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MATRICES Y DETERMINANTESSISTEMAS DE ECUACIONES

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología

Profesor: Jorge EscribanoColegio Inmaculada Niña

Granadawww.coleinmaculadanina.org

www.coleinmaculadanina.org

Departamento de MatemáticasColegio Inmaculada Niña de Granada

- 1 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes

TEMA 9.- MATRICES Y DETERMINANTES

1.- INTRODUCCIÓN

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestosen m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n.Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denotala fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de lafila 2 y columna 5.

Por ejemplo:

512

331A , es de orden 2 x 3

120

043

352

B , es de orden 3 x 3

La dimensión de una matriz se suele indicar:

3215

32

13

x

A

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión (u orden) y los elementosque ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

2.- TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a suutilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.



Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es deorden 1n.

Ejemplo 411321 x

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto esde orden m 1.

Ejemplo

134

2

1

x

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, esdecir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n,y no n n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principalde la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonalsecundaria.

Ejemplo

3251

342

031

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At,a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera filade A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segundacolumna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es deorden n m.

Ejemplo

424

135

012

410

231

452

tAA

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji.

Ejemplo

254

562

421

A



Atendiendo a los elementos

Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos nopertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Ejemplo

300

040

001

;30

02BA

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplo

400

040

004

;20

02BA

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonalprincipal iguales a 1.

Ejemplo

100

010

001

;10

0132 II

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos queestán a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangularespueden ser de dos tipos:Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de ladiagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 i<j.

Ejemplo

300

140

321

A

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonalprincipal son todos nulos. Es decir, aij =0 j<i.

Ejemplo

303

042

001

A



3.- OPERACIONES CON MATRICES

Suma y Diferencia de Matrices

La suma (o diferencia) de dos matrices A=(aij)mxn, B=(bij)mxn es otra matriz con términogenérico (aijbij)mxn. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener lamisma dimensión.

Así, para el caso de dimensión 2x2 :

Ejemplo:323232

402

511

331

120

133

411

xxx

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,

recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A (–A) 0.

Producto de una Matriz por un Número

El producto de una matriz A = (aij)mxn por un número real k es otra matriz B = (bij)mxn dela misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij

por k, es decir, bij = k·aij.

Ejemplo:22

010

155

02

315

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)4. 1·A = A (elemento unidad)



Producto de Matrices

Sean A una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp:

El producto de las matrices A y B (A⋅B) es otra matriz C de orden mxp con m filas y pcolumnas, cuyo elemento cij es el producto de la fila i de la matriz A por la columna jde la matriz B:

mxpijnxpijmxnij cba

donde:

Ejemplos:

543610

1

3

2

5

4132

14

41

x

x

Propiedades del producto de matrices

1. A·(B·C) = (A·B)·C2. El producto de matrices en general no es conmutativo: A.B B.A3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.4. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:

A·(B + C) = A·B + A·C



Ejercicios:

1.- Siendo

2502

1013

4331

1212

A y

4235

1410

1322

0213

B , calcula

3A – 2B

2.- Dadas las matrices:

011

121

101

,

115

003

102

BA , calcular A + B y B – A


121

024

114

,

321

212

121

BA

Calcular: 22 ,,, BAABBA


43

01

12

,043

521BA , calcular, si es

posible, A.B y B.A

4.- MATRIZ INVERSA

Dada una matriz cuadrada nA , se dice que es inversible o regular si existe una matriz

cuadrada nB tal que : nnnnn IABBA .

A dicha matriz se le llama matriz inversa de A y la notaremos por 1A

Propiedades de la inversión de matrices

1. La matriz inversa, si existe, es única2. A-1A=A·A-1=I3. (A·B) -1=B-1A-1

4. (A-1) -1=A5. (kA) -1=(1/k)·A-1

6. (At) –1=(A-1) t



Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de otra. (No todas las matrices tieneninversa. Las matrices que no tienen inversa se llaman singulares)

Uno de ellos es usando directamente la definición.

Ejemplo:

Dada la matriz

11

12A buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir

Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácilcomprobar que también cumple A-1 ·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.

El problema de este método es que a veces, especialmente para matrices más grandes,los cálculos se complican.

Método de Gauss-Jordan para el Cálculo de Matrices Inversas

Este método se basa en transformar la matriz cuadrada correspondiente en la matrizidentidad (de su mismo orden, claro) y hacer las mismas transformaciones con la matrizidentidad. La matriz obtenida al final del proceso será la matriz inversa.

Las transformaciones elementales permitidas son:

a) Intercambiar entre sí las filas de la matrizb) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número y

sumársela

Vemos primero un ejemplo de cómo transformar una matriz en la identidad:

1 2 1 1 2 1 1 2 1

43 0 4 1ª ( 3) 2ª 0 6 1 2ª 3ª 0 6 160 4 1 0 4 1 10 0 3

A x x



Ahora multiplicamos la 3ª fila por 3 y dividimos la 2ª por 6 para que nos quede unadiagonal de unos:

1 2 11 2 12ª: 6 10 6 1 0 1 63ª 3

10 0 0 0 13

x

Nos basamos ahora en el elemento 33a para hacer ceros en la 3ª columna y después en el

22a para hacer cero el 12a :

1 2 1 1 2 0 1 0 03ª ( 6) 2ª10 1 0 1 0 2ª 2 1ª 0 1 06 3ª ( 1) 1ª

0 0 1 0 0 10 0 1

xx

x

Si hubiéramos hecho a la vez las mismas operaciones con la matriz identidad,habríamos llegado a una matriz que sería la inversa de A.

Vemos un ejemplo completo de cálculo de inversa:

Calculamos la inversa de

41

23A

En primer lugar triangularizamos inferiormente:

Dividimos por -10 la segunda fila para que quede la diagonal de unos:

Una vez que hemos triangularizado superiormente lo hacemos inferiormente:



Y por tanto la matriz inversa de A será:

103

101

51

52

103

101

102

104

1A

Nota: si al intentar triangularizar se nos convierte una fila entera en ceros, significaráque la matriz no tiene inversa.

Ejercicio: Calcular las matrices inversas de

1 2 3 1 1 3 2 1 01 2 2 4

0 1 2 ; ; 1 2 1 ; ; 0 1 43 4 1 2

1 2 4 2 0 0 3 2 2

A B C D E

5.- RANGO DE UNA MATRIZ

Tanto las filas como las columnas de una matriz pueden ser consideradas de maneraseparada como vectores.

Recordemos que un conjunto de vectores eran linealmente independientes si ninguno deellos se podía poner como combinación lineal de los demás, es decir, si no se podíaobtener haciendo operaciones (suma y producto por un número) con ellos.

Así, por ejemplo, en la matriz

1 2 3

2 1 1

4 3 5

A

el vector correspondiente a la tercera fila se puede obtener como combinación lineal delas otras dos multiplicando el vector de la primera fila por 2 y sumándole el vector de lasegunda fila. Esta matriz tiene por tanto dos filas linealmente independientes.

Se llama Rango de una matriz A al número máximo de filas o columnas de A que sonlinealmente independientes

Así, la matriz anterior tiene Rango 2, y se expresa: ( ) 2Rg A

A veces se puede obtener el rango “a ojo”, pero no siempre es fácil



Método de Gauss-Jordan para el Cálculo del Rango de una Matriz

Consiste en usar las transformaciones vistas anteriormente para convertir la matriz entriangular o escalonada (todos los elementos por debajo de la diagonal principal debenser 0) y observar el número de filas en la matriz resultante que son distintas de 0.

Ejemplo:

Calcular el rango de

1 2 3 1

0 5 1 7

2 1 5 9

A

Vamos a triangularizar la matriz:

1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1

0 5 1 7 2 1ª 3ª 0 5 1 7 2ª 3ª 0 5 1 7

2 1 5 9 0 5 1 7 0 0 0 0

x

Por tanto el ( ) 2Rg A ya que se obtienen dos filas linealmente independientes.

Conviene tener en cuenta que el rango de una matriz no varía si: Permutamos entre sí dos filas o columnas Suprimimos una fila o columna de ceros Suprimimos una fila o columna proporcional a otra Suprimimos una fila o columna que sea combinación lineal de otras paralelas a

ella

Así, en la matriz1 2 3 4

6 3 2 8

2 4 6 8

7 5 5 4

A

podemos eliminar la 3ª fila al ser el doble de la 1ª y también podemos eliminar la 4ª filaal ser la suma de la 1ª y la 2ª, de donde:

1 2 3 4

6 3 2 8 1 2 3 4( )

2 4 6 8 6 3 2 8

7 5 5 4

Rg A Rg Rg

Y al hacerla escalonada:1 2 3 4 1 2 3 4

1ª ( 6) 2ª6 3 2 8 0 9 16 32

x

Por lo que ( ) 2Rg A



Ejercicio: Calcular el rango de las matrices

1 4 6 2

1 4 1 1 3 1 3 2 5 11 4 2

1 3 2 ; 2 1 5 ; ; 4 6 1 02 8 4

2 2 0 1 10 8 0 0 10 1

7 8 6 1

A B C D

Teorema

Una matriz cuadrada de orden n tiene inversa su rango es n

Esto significa que, a veces, conviene calcular el rango de una matriz antes de ponernos acalcular su inversa, pues nos podemos evitar esos cálculos si su rango no coincide consu orden.

6.- DETERMINANTES

Un determinante es un número real que se la asocia a una matriz cuadrada. Lellamaremos AA det

Dependiendo del orden de la matriz, los determinantes se calculan de una u otra forma:

Determinantes de orden 1:


Ejemplo: 7425354

23




En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y suscorrespondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquemagráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

Ejemplo:

213

132

241

A

35116181246116181246

213

132

241

A

Ejercicio: Calcula los determinantes de las matrices:

243

111

111

;

111

322

221

;37

25;

22

13DCBA



Determinantes de orden superior a 3:

Antes de ver cómo se calculan estos determinantes, son necesarias una serie dedefiniciones:

Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama submatriz complementaria delelemento ija a la matriz de orden n-1 que se obtiene al suprimir en A la fila i y

la columna j. Esta matriz se expresa como ij

Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama menor complementario del

elemento ija al determinante de su submatriz complementaria, es decir, ij

Así, si

1 1 2 0

2 0 4 3

3 2 0 1

4 1 6 3

A

, el menor complementario del elemento 23a será:

23

1 1 0

3 2 1 8

4 1 3

Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama adjunto del elemento ija al

número ijA definido por la siguiente expresión:

1i j

ij ijA

Así, en el ejemplo anterior, el adjunto del elemento 23a será:

5

23 231 ( 8) 8A

A la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento de una matriz A por su adjuntocorrespondiente se le llama matriz Adjunta de A: Adj(A)Calcula como ejercicio la matriz adjunta de la matriz anterior.

Ahora ya estamos en condiciones de abordar el cálculo de determinantes de orden n:

Si A es una matriz cuadrada de orden n, su determinante es igual a la suma de losproductos de cada uno de los elementos de una línea (fila o columna) por susrespectivos adjuntos:



Así, si

el desarrollo por los elementos de la fila i es:

1 1 2 2 3 3 ....i i i i i i in inA a A a A a A a A

Ejemplo:

Vamos a calcular el siguiente determinante de orden 4, utilizando el desarrollopor los elementos de su primera fila:

11 12 13 14

1 1 1 3

0 2 1 11 1 1 3

2 1 0 2

1 4 0 2

A A A A

Como:

11 12

13 14

2 1 1 0 1 1

1 0 2 10 ; 2 0 2 ( 2) 2

4 0 2 1 0 2

0 2 1 0 2 1

2 1 2 13 ; 2 1 0 9

1 4 2 1 4 0

A A

A A

El determinante será:

11 12 13 14

1 1 1 3

0 2 1 11 1 1 3 10 2 13 27 52

2 1 0 2

1 4 0 2

A A A A

Hay que tener en cuenta que a la hora de desarrollar por los adjuntos de una línea,conviene elegir aquella que más ceros tenga (menos adjuntos que hacer). En este casohubiera sido más sencillo desarrollar el determinante por los elementos de la terceracolumna (hacerlo).



Ejercicio: calcular

1 0 1 1

1 1 1 1

1 2 1 1

0 1 2 1

7.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. El determinante de una matriz cuadrada es igual que el de su traspuesta:tA A

2. El determinante de producto de dos matrices es igual al producto de susdeterminantes: A B A B

3. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementosde su diagonal principal

4. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, sudeterminante es 0

5. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales o proporcionales, sudeterminante es 0

6. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinantecambia de signo

7. Si se multiplica una fila o columna de una matriz cuadrada por un número, sudeterminante queda multiplicado por dicho número

8. Si una matriz cuadrada tiene una línea que es combinación lineal de otrasparalelas, su determinante es 0

9. Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada sedescomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone ensuma de dos determinantes de la siguiente forma:

11 12 13 11 12 13 12 13

21 22 23 21 22 23 22 23

31 32 33 31 32 33 32 33

a b a a a a a b a a

a c a a a a a c a a

a d a a a a a d a a

10. Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de lasotras paralelas, su determinante no varía



Ejercicios:

1.- Justifica, sin desarrollar, las siguientes igualdades:

a)

3 1 7

0 0 0 0

1 11 4

b)

4 1 7

2 9 1 0

8 2 14

c)

7 4 1

2 9 7 0

27 94 71

2.- Sabiendo que 5 0 3 2

1 1 1

x y z

, calcular:

a)

3 3 3

5 0 3

1 1 1

x y z

b)

15 0 9

2 2 2

1 1 1

x y z c) 2 5 2 2 3

1 1 1

x y z

x y z

x y z

8.- CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES

Hemos visto antes que el Rango de una matriz A es el número máximo de filas ocolumnas de A que son linealmente independientes y vimos cómo calcularlo usando elmétodo de Gauss.

De las propiedades anteriores de los determinantes, se deduce un método más sencillopara calcular el Rango de una matriz:

El Rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo

Recordemos que un menor era el determinante de cualquier submatriz cuadrada dentrode A.

Vemos un ejemplo:

Vamos a calcular el Rango de

2 0 1 2

3 1 2 5

1 1 1 3

A

Como la matriz es de orden 3x4, el rango como mucho puede ser 3 (no hay dentro deella submatrices cuadradas de orden 4).Calculamos todos los menores posibles de orden 3. Si alguno de ellos no da 0, el rangode la matriz será 3:

2 0 1 2 0 2 2 1 2 0 1 2

3 1 2 0 ; 3 1 5 0 ; 3 2 5 0 ; 1 2 5 0

1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3



Como todos los menores posibles de orden 3 dan 0, el rango de la matriz puede sercomo mucho 2.Para ver si es así buscamos un menor de orden 2 que no de 0:

2 02 0

3 1

Por lo tanto ( ) 2Rg A

Ejercicio: calcular el rango de las siguientes matrices:

5 0 3 42 3 1 3 5

1 1 0 2 3 7 44 6 2 ; 2 4 ; ;

2 0 3 3 2 8 16 9 3 1 0

3 1 2 0

A B C D

9.- CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES

Si A es una matriz cuadrada tal que 0A , entonces su matriz inversa se puede calcular

mediante la fórmula:

1 ( ) ( )t tAdj A Adj A

AA A

Nota:Es muy importante comprobar antes si el determinante de la matriz es o no 0,pues si lo es directamente la matriz no tiene inversa.

Ejemplo:

Calcular la matriz inversa de

2 2 2

2 1 0

3 2 2

A

Calculamos primero su determinante: 1

2 2 2

2 1 0 2 0

3 2 2

A A

Calculamos los adjuntos de cada elemento:



11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 2 0 2 12 , 4 , 7

2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 2 20 , 2 , 2

2 2 3 2 3 2

2 2 2 2 2 22 , 4 , 6

1 0 2 0 2 1

A A A

A A A

A A A

Luego la matriz adjunta será:

2 4 7

( ) 0 2 2

2 4 6

Adj A

Y su traspuesta: 2 0 2

( ) 4 2 4

7 2 6

tAdj A

Y por tanto la matriz inversa:

1

2 0 2

4 2 41 0 1

7 2 6( )2 1 2

27 1 32

tAdj A

AA

(Es fácil comprobar que 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A A A A I

Ejercicios:

1.- calcular, si es posible, las matrices inversas de las siguientes matrices:

1 0 0 1 0 13 2

3 -1 2 , , 2 3 11 2

1 5 -4 1 1 2

A B C

2.- Dada la matriz

1 1

1 1

0 0 2

a

A a

a) Calcular los valores de a para los que existe la inversa de Ab) Halla su inversa para a = 2



10.- ECUACIONES MATRICIALES

Son ecuaciones en las que la incógnita es una matriz.

Se resuelven como las ecuaciones normales, con la salvedad de que no se pueden dividirmatrices.

A

BCXBCAXCBAX

xxxx

23

663173713

Esto último con matrices no se puede hacer.

En lugar de dividir por una matriz, que no se puede, lo que haremos es multiplicar laecuación por la inversa de esa matriz:

BAXBAXIIAAComoBAAXABAX 11111 )(

Es importante que hay que multiplicar por 1A por el lado en el que esté A (en el casoanterior por la izquierda) para que quede la identidad, ya que el producto de matrices noes conmutativo.

Por ejemplo:

1

111

ABCX

ABCIXABCXAABCXACBXA

Ejercicio:

Resolver la ecuación: AX + B = 2C , siendo:

100

214

121

013

11

02CBA



EJERCICIOS

1.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA

2.- Efectúa todos los productos posibles con las siguientes matrices:

015200365172

43101107

152321 CBA

3.- Dadas las matrices

23

11,0374,30

21 CBA

Calcula:

a) (A.B) + (A.C) b) (A-B).C c) A.B.C

4.- Calcula las inversas, si existen, de las siguientes matrices por el método deGauss:

5.- Halla los valores a y b en la matriz

a

baA 0 de forma que se cumpla:

BAA 22 , siendo

00

10B

6.- Dada la matriz

12

32A , halla el valor que deben tener x e y para que se

cumpla la igualdad: 02 yIxAA

120

101

212

=B

011

112

101

=A



7.- Dada la matriz

xx

xA

000000

, calcular el valor de x para que se verifique la

ecuación: 0962 IAA

8.- Razonar si existe algún valor de x tal que BB 2 siendo

xxB 11

9.- Calcula el rango de las siguientes matrices mediante el método de Gauss primeroy después por menores:

1 2 3 1 2 31 2 3 4

; 2 4 6 ; 2 4 02 4 6 8

12 24 36 3 6 0

1 0 3 0 0 0 1

0 2 0 3 ; 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0

A B C

D E

10.- Estudiar, según los valores de a, el rango de la matriz

1 2

1 1

0 1

a

A a

a

11.- Dada la matriz

4 5 1

3 4 1

3 4 0

A

, calcular 2 3 4 5 6 128, , , , ,...,A A A A A A

12.- Halla todas las matrices X de la forma

1 0

0 1

0 0

a

X b

c

tales que

2

1 0 1

0 1 0

0 0 1

X

13.- Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k:1 1 1 2 1 4

1 1 2 ; 2 1 3

2 1 1 2

1 3 2 1 1 1 0 2

2 6 4 ; 1 3 1 0

4 12 8 4 2 10 3

A B

k k

C k D

k



14.- Si 25

a b c

p q r

u v w

, calcular razonadamente

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a c b

u w v

p r q

15.- Si 3 0 2 5

1 1 1

x y z

, calcular razonadamente

2 2 2

3 0 121 1 1

x y z

16.- Calcular, si es posible, la inversa de la matriz

1 1 1

2 1 2

0 0 1

A

17.- Dada la matriz

5 0 6

2 1

3 2 4

A

a) Calcular los valores de para los que no existe la inversa de Ab) Calcular su inversa para 6

18.- ¿Qué valores de a hacen que la matriz

1 1

1 2 3

2 3 7

a a a

A

a a a

no tenga

inversa?

19.- Resuelve la ecuación:

2 1 3 2

2 1 2 1 0

2 1 3 3 2

x x x

x x x

x x x

20.- Dada la matriz

cos 0

cos 0

cos cos 1

senx x

A x senx

senx x senx x

a) ¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?b) Calcular dicha matriz inversa

21.- Calcula el rango de

2 0 2

1 0 1 3

5 4 4 3

a

A

a

según los valores de a



22.- Comprueba que si A es una matriz cuadrada de orden dos que verifica la relación2 2 3 0A A I , entonces A tiene inversa. ¿Cuál es la inversa de A?

23.- Dada las matrices:

102121

101,

010021213

BA

a) Calcular 11 , BAb) Calcular la inversa de A Bc) Comprobar que 111 ABBA

24.- Resuelve la ecuación AX = B donde:

101-

011=B

10

11=A

25.- Resuelve la ecuación matricial 2AX B C , siendo:1 0 0 0 1 2 1 1 0

2 2 1 , 0 1 1 , 1 0 2

3 0 1 1 0 1 1 0 0

A B C

26.- Sea la matriz

5 4 2

2 1 1

4 4 1

A

a) Comprueba que se verifica: 2 2 0A A I b) Usando la igualdad anterior, calcula razonadamente 1A y 4A

27.- Resolver la ecuación matricial AX+B=C, siendo:

a)

4-03-

527=C

1-10

1-01=B

12-

20=A

b)

1-10

312

01-1

=C

111

11-0

012

=B

2-10

121

1-01

=A

28.- Si 3 0 2 5

1 1 1

x y z

, calcular razonadamente:

1 1 1

) 3 3 3 3 2 ) 4 1 3

1 1 1 1 1 1

x y z x y z

a x y z b

x y z



29.- Calcular el determinante:

1 3 2 1

3 0 4 1

0 1 2 3

1 2 3 2

30.- Se consideran las matrices

1 31 2

, 01 1 1

0 2

mA B m

a) Calcula los valores de m para los que la matriz A B es inversibleb) Para m = 0, calcula la inversa de A B

31- Dadas las matrices

1 4 1 0 1 1

1 3 2 1 1 2

1 2 0 1 0 1

A B

a) Estudia si existe la inversa de A y, en caso afirmativo, calcúlalab) Estudia si existe la inversa de B y, en caso afirmativo, calcúlalac) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula una matriz X que

verifique 2A I B B A X A

32.- Dadas las matrices1 1 3 1 0

0 1 21 0 3 , 1 2 ,

2 1 11 2 1 0 1

A B C

a) Calcular la inversa de la matriz A B C b) Resolver la ecuación matricial: A X B C X A

33.- Se consideran las matrices1 2 2 0

,2 3 0 3

P Q

. Calcula:

a) La matriz 1P

b) La matriz X cuadrada de orden 2 tal que 1P X P Q

c) La matriz 21P Q P


- 1 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones

TEMA 10.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.- INTRODUCCIÓN

Una ecuación lineal es una expresión del tipo:bxaxaxaxa nn ...332211

Por ejemplo: 3x+2y-z=1

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales:

Donde las ix son las incógnitas, las ija los coeficientes de las incógnitas y las jb los

términos independientes. El sistema anterior tiene m ecuaciones y n incógnitas.

Por ejemplo:

54

123

22

zyx

zyx

zyx

Todo sistema tiene asociada una matriz:

Que no es sino una forma más sencilla de escribir el sistema. En el ejemplo anterior, lamatriz asociada al sistema sería:

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores quecumplen a la vez todas las ecuaciones del sistema.



Así, una solución del sistema

02

3

yx

yx es (1,2) (x=1, y=2) (Es fácil resolver por

cualquiera de los métodos conocidos)

Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Así, los sistemas

2

52

yx

yx y

723

63

yx

yx son equivalentes puesto que ambos

tienen como solución (3,1)

2.- CLASIFICACIÓN DE UN S.E.L.

Según su número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:

Los ejemplos anteriores son sistemas Compatibles Determinados pues tienen una únicasolución.

El sistema

422

2

yx

yx es un sistema Compatible Indeterminado pues tiene infinitas

soluciones (hay infinitas parejas de números que sumen 2) como se puede comprobar alresolverlo.

El sistema

1

2

yx

yx es un sistema Incompatible ya que no tiene solución (es

imposible que dos números sumen 2 y a la vez sumen 1)

Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber sies única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en casode ser compatible, si es determinado o indeterminado.



3.- SISTEMAS ESCALONADOS

Un sistema escalonado o triangular es un sistema de ecuaciones lineales del tipo:

Es decir, son sistemas cuya matriz asociada es una matriz triangular.

Por ejemplo:

62

323

72

z

zy

zyx

La ventaja de estos sistemas es que son muy fáciles de resolver. En el ejemplo anterior,despejando de la última ecuación sale z = 3, de la segunda sale y = -1 y de la terceraecuación sale x = 2.

4.- MÉTODO DE GAUSS DE RESOLUCIÓN DE S.E.L. (REDUCCIÓN)

El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales (también llamadométodo de reducción) consiste en transformar un sistema en otro escalonado que seaequivalente a él (es decir, tenga las mismas soluciones).

Nota: al usar este método usaremos la matriz asociada al sistema para facilitar lasoperaciones.

Las transformaciones que se pueden para que el sistema resultante sea equivalente alinicial son las mismas que vimos el emplear el método de Gauss para calcular la matrizinversa de otra. A saber:

Transformaciones Válidas:

a) Intercambiar entre sí las filas de la matrizb) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número y

sumársela

Durante el proceso, o al finalizarlo, podemos encontrarnos con los siguientes casos:

Una fila de ceros: es una ecuación trivial y podemos prescindir de ella Dos filas iguales o proporcionales: corresponden a ecuaciones equivalentes y

podemos eliminar inmediatamente una de ellas



Una fila de ceros, salvo el último número: evidentemente, se trata de unaecuación imposible, con lo que el sistema será incompatible.

Ejemplo 1:

Resolver el sistema:

2965

11532

2

zyx

zyx

zyx

Obtenemos su matriz asociada:

29651

11532

2111

Hemos señalado la “diagonal” de la matriz para darnos cuenta de que los elementos quehay que hacer 0 para que el sistema se transforme en uno escalonado son justamente losque hay por debajo de ella (el 2, el 1 y el -5). Para ello usaremos las transformacionesque hemos indicado:

Hemos conseguido transformarlo en un sistema escalonado equivalente que sería:

6923

73

2

z

zy

zyx

, cuya solución, como es fácil ver, es (1,-2,3)

Este método permite además discutir el sistema a la vez que se resuelve. En este caso setrata de un Sistema Compatible Determinado (una única solución)



Ejemplo 2:

Discutir y resolver el sistema

43

32

2642

zyx

zy

zyx

El elemento redondeado es el en el que nos basamos para hacer cada transformación(hacer ceros) llamado elemento pivote.

Vemos que en la última matriz queda una fila entera de ceros, lo que indica que esa filase puede eliminar. Esto significa que como nos queda un sistema con más incógnitasque ecuaciones tendrá infinitas soluciones. Por tanto se trata de un Sistema CompatibleIndeterminado.

Para resolver este tipo de sistemas tratamos a una de las tres incógnitas como si fuese unnúmero (le llamamos, por ejemplo, ), y despejamos las restantes incógnitas:

Dándole distintos valores a , podríamos obtener las infinitas soluciones del sistema.Por ejemplo, si =1, una solución sería (-12,-5,1), si =0, otra solución sería (-5,-3,0),si =-1, otra solución sería (2,-1,-1), …

Ejemplo 3:

Discutir y resolver el sistema

1842

342

2

zyx

zyx

zy

Intercambiando la 1ª fila por la 2ª:



Como vemos la última ecuación no tiene sentido (0 = 5), y por tanto se trata de unSistema Incompatible.

Ejercicios:

1.- Discutir y resolver los sistemas:

32423452

)111

)yx

zyxzyx

bzyxzyxzyx

a

3 x + 2 y - z = 0

x + z = 2)

- x + y = 3

x - y + z = 4

c

2 x + y - z + t = - 1

) x + y + z = 0

- x + 2 y - z = 1

d

x + y - z + t = 2

) 2 x - y + z + 2 t = 1

2 x + 2 y - 2 z + 2 t = 0

e

2.- Dado el sistema:

azayxazyx

zayx

6)22(1124

a) Discútelo y resuélvelo para a = 4b) Discútelo y resuélvelo para a = 0

5.- REGLA DE CRAMER

El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver unsistema de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de seguirel proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas.

La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades delas matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de lasincógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.

Antes de enunciar la regla de Cramer, hemos de darnos cuenta que un sistema deltipo:



se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A se denominamatriz de coeficientes.

Es decir, se puede expresar como una ecuación matricial: A X B

Regla de Cramer:

Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una única solución si lamatriz A de los coeficientes es regular, es decir, si 0A

Además, cada solución jx del sistema viene dada por el cociente de dos

determinantes: en el denominador, el determinante de la matriz de los coeficientes,y en el numerador, el determinante que se obtiene al sustituir en A la columna jpor la columna de los términos independientes

Demostración:

Si A es regular tendrá inversa, y por tanto:

A-1AX = A-1B X=A-1B ( ( ))X =

| A |

tAdj AB

1 j 1 2 j 2 n j nj

+ + . . . + =x

| A |b b b

O sea:



Nota: Los sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas ycuya matriz de coeficientes es regular, se denominan sistemas de Cramer, y esa este tipo de sistemas, y no a otros, a los que podemos aplicarles esta regla.Los sistemas de Cramer son siempre, por tanto, sistemas compatiblesdeterminados.En caso de querer resolver una sistema compatible indeterminado, se pasanlas incógnitas sobrantes al segundo miembro y se convierte en un sistema deCramer, como veremos más adelante.

Ejemplo:

Resolvamos el sistema:

x - 2 y + z = 4

- x + y - 3 z = 1

2 x - y + z = 2

Como m=n=3 y

1 2 1

1 1 3 7 0

2 1 1

A

. Luego, es un sistema de Cramer y

por tanto es compatible determinado:

4 - 2 1

1 1 - 3

2 - 1 1 3x = =

7 7;

1 4 1

- 1 1 - 3

2 2 1 - 17y = =

7 7;

1 - 2 4

- 1 1 1

2 - 1 2 - 9z = =

7 7.

Por tanto, la solución del sistema es:3 17 9

, ,7 7 7

Ejercicio:

Resolver por Cramer el siguiente sistema:

1

4 2 2 4

3 3 3 9

x y z

x y z

x y z



6.- CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS.TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

La regla de Cramer es un método de resolución de sistemas (sólo un tipo especial deellos), pero no permite clasificarlos.Vamos a estudiar un teorema que permita clasificar sistemas basándose en rangos dematrices, si bien para resolverlos utilizaremos o bien el método de Gauss o bien la reglade Cramer.

Dado un sistema del tipo:

Llamamos A a la matriz de los coeficientes y 'A a la matriz ampliada, es decir, a

Teorema de Rouché-Fröbenius

Si ( ) ( ') ( º )Rg A Rg A n n incógnitas El sistema es CompatibleDeterminado

Si ( ) ( ')Rg A Rg A n El sistema es Compatible Indeterminado

Si ( ) ( ')Rg A Rg A El sistema es Incompatible

Veamos un ejemplo de cómo discutir un sistema usando el Teorema de Rouché:

Ejemplo 1:

Discutir y resolver el sistema:

1

2 0

3 2 3

x y

y z

x y z

La matriz de coeficientes es

1 1 0

0 2 1

1 3 2

A



Como

1 1 0

0 2 1 2 0 ( ) 3

1 3 2

A Rg A

La matriz ampliada será

1 1 0 1

' 0 2 1 0

1 3 2 3

A

, y como A está contenida en A’,

entonces ( ') 3Rg A

Por tanto ( ) ( ') 3 º . . .Rg A Rg A n incógnitas S C D Para resolverlo utilizamos la regla de Cramer:

1 1 0 1 1 0 1 1 1

0 2 1 0 0 1 0 2 0

3 3 2 1 3 2 1 3 342 ; 1 ; 2

2 2 2 2x y z

Y por tanto la solución del sistema es (2,-1,2)

Ejemplo 2:


1

2 2

1

x y z t

x y z

x y z t

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes

1 1 1 1

2 1 1 0

1 1 1 1

A

Como

1 1 1

2 1 1 2 0 ( ) 3

1 1 1

Rg A

Como el rango de A’ no puede ser 4 y A está incluida en A’ ( ') 3Rg A

Por tanto ( ) ( ') 3 º . . .Rg A Rg A n incógnitas S C I

Podemos resolverlo por Cramer o por Gauss. Elegimos una incógnita (porejemplo t) y la tratamos como si fuera un número: t , y el sistema quedaría:

1

2 2

1

x y z

x y z

x y z

Resolvemos este sistema por Cramer y es fácil ver que:



1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 11 ; ;

2 2 2x y z

Luego las infinitas soluciones del sistema serán de la forma:

1 , , ,

Ejercicio:

1.- Discutir y resolver los sistemas:6 2 2 0

) 4 1 ) 2 3 3 ) 2

5 2 5 2 2 0 2 0

x y x y z x y z t

a x y b x y x c x y z

x y x y z x y t

7.- CASO PARTICULAR: SISTEMAS HOMOGÉNEOS

Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si todos sus términosindependientes son nulos, es decir, un sistema del tipo:

Por ejemplo:

033

032

042

zyx

zyx

zyx

Estos sistemas siempre son compatibles, pues al menos tienen la solución (0,0,0),llamada solución trivial. La cuestión es si sólo tiene esa solución o tiene infinitassoluciones además de ésa.

Se resuelven de la misma manera que todos los sistemas, si bien su clasificación es unpoco distinta:

)(

)(

solucionessCompatible

trivialsoluciónlasólolesIncompatibHomogéneosLinealesSistemas



Ejemplo:


023

032

025

zyx

zyx

zyx

Lo hacemos por ejemplo por Gauss:

En este caso nos quedan dos ecuaciones y tres incógnitas y por tanto el sistema tendráinfinitas soluciones, por tanto se trata de un Sistema Homogéneo Compatible:

13

12

13

2525

13

5

0513

025

zyx

yzzy

zyx

Las infinitas soluciones del sistema son de la forma:5

, ,13 13

Como podemos ver, si =0 se obtiene la solución trivial (0,0,0)

8.- DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS

Hasta ahora hemos discutido sistemas de los que conocíamos todos los valoresde los coeficientes y de los términos independientes. Sin embargo, es frecuenteencontrar sistemas en los que uno o más coeficientes o términos independientes tomanvalores desconocidos o parámetros.

La discusión de estos sistemas consiste en hallar los valores de dichos parámetros paralos que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado oincompatible.

Si bien esta clasificación puede hacerse por el método de Gauss, que discute y resuelveel sistema a la vez, suele ser más sencillo hacer la discusión por el teorema de Rouché,para luego resolverlo en casos particulares por Cramer o Gauss.

Veamos con un ejemplo cuál es el procedimiento a seguir:



Ejemplo:Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de a:

4

1

2

ax y z

x ay z

x y z a

En primer lugar obtenemos la matriz de los coeficientes:

1 1

1 1

1 1 1

a

A a

Su rango, que en este caso puede ser como máximo 3, depende de si su determinante eso no 0.Calculamos por tanto su determinante y al igualarlo a 0 obtendremos los valores de aque nos servirán para su clasificación:

2 2

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

a

A a a a a a

Si lo igualamos a 0: 2 1 0 1 , 1a a a

Tenemos por tanto tres posibilidades para a: o es 1, o es -1, o es distinto de 1 y de -1.Analizamos cada caso usando el Teorema de Rouché:

Si 1a y 1a

En este caso Rg(A)=3, y como la matriz ampliada tiene como mucho rango 3 eincluye a A, su rango también será 3. Por tanto:

( ) ( ') 3 º . . .Rg A Rg A n incógnitas S C D Para resolverlo podemos usar por ejemplo la regla de Cramer:

2

2

4 1 1

1 1

2 1 1 2 ( 1)( 2) 2

1 (1 )(1 ) 1

a

a a a a a ax

A a a a a

Y de la misma manera:2 3

1 ;1

a ay z

a

Si 1a


1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

, que no tiene rango 3.

Como1 1

2 0 ( ) 21 1

Rg A



Veamos ahora el de la ampliada:

1 1 1 4

' 1 1 1 1

1 1 1 3

A

Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0:1 1 4

1 1 1 2 0 ( ') 3

1 1 3

Rg A

Luego ( ) ( ')Rg A Rg A Sistema Incompatible

Si 1a


1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

, que no tiene rango 3.

Como1 1

2 0 ( ) 21 1

Rg A

Veamos ahora el de la ampliada:

1 1 1 4

' 1 1 1 1

1 1 1 1

A

Como la 2ª y 3ª filas son iguales, no hay ningún menor de orden 3 distinto de 0,y por tanto ( ') 2Rg A

Luego en este caso: ( ) ( ') 2 º . . .Rg A Rg A n incógnitas S C I

Para resolverlo en este caso usamos por ejemplo el método de Gauss:

1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 41ª 2ª

1 1 1 1 0 2 2 5 1 2ª 3ª 0 2 2 51ª 3ª

1 1 1 1 0 2 2 5 0 0 0 0

x

Y por tanto el sistema resultante es:4

2 2 5

x y z

y z

Resolvemos llamando z :4 5 5 3

4 42 5 2 2 2 2

x yy x y

y

Luego las infinitas soluciones serían de la forma:3 5

, ,2 2



Ejercicio:Discutir y clasificar los siguientes sistemas según los parámetros:

1 1 4

) 1 ) 0 ) 2 2 2

1 ( 1) 1 2 5

01

) 2 0 )2 1

2 0

ax y z x y x y z

a x ay z b my z c x y z

x y x m y mz m x y z k

x y zmx y

d ax z ex my m

x y az

9.- RESOLUCIÓN MATRICIAL DE UN S.E.L.

Ya hemos visto que un sistema de ecuaciones lineales del tipo:

se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

Es decir, se puede expresar como una ecuación matricial: A.X = B, y por tanto se puederesolver como: BAX 1

Ejemplo: Resolver matricialmente el sistema

143

034

233

zyx

zyx

zyx

Matricialmente se puede expresar como:

1

0

2

431

341

331

z

y

x



Es decir, A.X = B, donde

431

341

331

A ,

1

0

2

B y

z

y

x

X

Como BAX 1 , calculamos la inversa de A:

101

011

337

1A (comprobarlo9

Y por tanto:

3

2

17

1

0

2

101

011

337

X

Es decir, es un sistema Compatible Determinado cuya solución es: x=17 , y=-2 , z=-3

Nota: si la matriz A no tiene inversa, el sistema no se puede resolver de formamatricial.

Ejercicio: resuelve matricialmente los sistemas:

a)

1=2z+y+x

0=z-3y+2x

1-=z+2y+x

b)

2-=z-2x

4=z+2y

1=z+y-3x



EJERCICIOS

1.- Estudia y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas:

a)

2-=z-2x

4=z+2y

1=z+y-3x

b)

0=2z+x-

0=z+3y-x

c)

1=3z-6y+x

0=z+2y-x

3=2z+y-2x

1=z-2y+x

d)

4=z+3y

0=z-2y+x-

2=y-3x

1=2z-y+2x

e)

5=2y+x

5=y-2x

2=y-x

f)

3-=4t-2z-y-x

2-=3t-z+y-3x

2-=z-2y+x _

g)

3=3z-2y-x

3=2z+y+x-

4-=z+3y+2x

h)

0=6y-3x

3=2y+x

1=y-3x

i)

1=2z+y+x

0=z-3y+2x

1-=z+2y+x

j)

1-=3z-y+3x-

5=z-3y+x-

3=z+y+x

k)

4=y-3x

3-=z-2y+x-

2=z-2x

2=2z+y-x

l)1=y-x

2=3z+y+2x

m)

0=3z-4y-x

0=3z+y-4x

0=z+2y-3x

0=2z+y+x



2.- Considera el sistema:2 2 1

3

x y z

x y z

Añade una ecuación de manera que el sistema resulte:a) Incompatibleb) Compatible Indeterminadoc) Compatible Determinado

3.- Discute, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas:

a)

2=z+2y+x

0=z-ay+x

2=z+2y+ax

b)

a=y

0=ay+x

a=y+ax

c)

1+a=x-

0=y+ax

1+a=y+x

d)

x - 2y + z + t = 1

x + y - 2z = 3

-x + 2y - z - t =

e)

x + 2y - z = 2

3x + 2z = 5

x + y + z = a

2x - y - 3z = -2

f)

1=az+y+x

1=z+ay+x

1=z+y+ax

g)

0=z+ky+x

0=z+y+kx

0=z+y+x

h)

3-=5z+2)y+(+3x

0=4z+3y+x

1=3z+y+x

4.- Calcula a para que los siguientes sistemas sean compatibles

a)

0=z+y-ax

0=az+2y-3x

0=z+ay+2x

b)

1=ax

2a=z+ay

0=z-y+2ax

1=z-y+ax-

_

c)

a=2z+y-

0=az+y+x-

2=2y-1)x-(a



5.- En el siguiente sistema halla μ para que:1+=y+x

2=y+x

a) No tenga soluciónb) Tenga infinitas solucionesc) Tenga solución única

6.- Indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para el sistema

0=9z-6y+3x

0=2z-3y+x

0=z-y+ax

a) para cualquier valor del parámetro a tiene infinitas solucionesb) cualquiera que sea a no tiene soluciónc) tiene solución únicad) ninguna de las anteriores

7.- Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro m:

2 2 2 2 2

2 (2 ) 0

1 1 1

m x my z m

x m y

m x m z m

Resuélvelo, si es posible, para m = 1

8.- Discute y resuelve, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas:

( 1) 2 2 3 4

) 0 ) 5 5 2 ) 6

( 1) 2 1 4 7 0

2 4 ( 1) 1 0

) 2 ) ( 1) 3 ) 12 ( 2)

2 ( 1) 2 4

k x y z k x y z mx y

a x y kz b x y z m c x my

x ky k z k x y z x y

x y az a x y z a x ky kz

d x y z e x a y z a f x k y

x z x y a z a

2 0

12 2 0

z

x y z

9.- Un cajero automático contiene 1330 € en billetes de 10 €, de 20 € y de m €. Hay,en total, 97 billetes, y el número de billetes de 10 € es el doble que el número debilletes de 20 €.a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos billetes hay de

cada tipob) Prueba que si 5,50,100,200,500m el sistema es compatible

determinadoc) Razona si en el cajero puede haber billetes de 100 €.



10.- Halla qué relación deben cumplir los parámetros a, b, c y d para que el siguientesistema tenga una solución distinta de la trivial:

0

0

0

0

x y z at

x y z bt

y z ct

x y z dt

11.- En un sistema de n ecuaciones con n incógnitas el rango de la matriz de loscoeficientes es h ( h < n ). Di cuál debe ser el rango de la matriz ampliada para queel sistema sea:a) Compatible Indeterminadob) Incompatiblec) Compatible Determinado

12.- ¿Qué podemos decir sobre la compatibilidad de un sistema de cuatro ecuaciones ytres incógnitas en el que el rango de la matriz ampliada es cuatro? Razona turespuesta.

13.- Resuelve los siguientes sistemas matricialmente (en caso de que sea posible)

a)

8=3z+y-x

0=z-2x

2-=z-y+x

b)

2

1-

1

=

z

y

x

1-11

21-1-

12-1

c)

2-=z+y-3x

4-=z+y-x

1=z+y+2x

d)

3=z+3x

0=z-y-2x

1-=3z+y-x

14.- a) Discute, en función de a, el sistema:2

2( 1)

x ay z a

x y az a

ax y z a

b) Resuélvelo para el caso a = -1

15.- Demuestra que no hay valores de m para los que el siguiente sistema no tengasolución:

2 3

3 2 5

3 7

x y z

x y z

x my z



16.- Discute y resuelve el siguiente sistema en función de los valores del parámetrom:

0

1

2 0

mx y z

x my z

x y z

Razona si existe algún valor de m para el que tenga una solución con z = 0

17.- Sean S y S’ dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que difieren sóloen los términos independientes:

: ; ' :' ' ' ' ' '

ax by c ax by dS S

a x b y c a x b y d

Si S es un sistema compatible indeterminado, ¿puede ser S’ compatibledeterminado? Razona la respuesta

18.- Una compañía tiene tres camiones (P, Q y R) en los que caben exactamente uncierto número de contenedores de tres tipos (A, B y C) de acuerdo con lasiguiente tabla:

Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo B y 58 del tipoC, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes se efectúantotalmente llenos?

19.- Discute el sistema:

3 1

5 3 3

1

3 7 5 5

x y z

x y z

x y z

x y z

a) Por Gaussb) Por Rouché

20.- Una persona ha obtenido 6.000 € de beneficio por invertir un total de 60.000 €en tres empresas A, B y C. La suma del dinero invertido en A y B fue m veces elinvertido en C, y los beneficios fueron del 5% en A, el 10% en B y el 20% en C.

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cadaempresa

b) Prueba que si m > 0 el sistema es compatible determinadoc) Halla la solución para m = 5

A B CP 5 3 4Q 2 5 5R 4 3 6

matemáticas 2º de bachillerato ciencias y tecnología · departamento de matemáticas colegio...

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