COLEGIO DE BACHILLERES PLANTEL 14 MILPA ALTA

“FIDENCIO VILLANUEVA ROJAS”

Guía de estudio para presentar el examen de recuperación de:

Matemáticas II

Clave 204

Nombre del alumno:

___________________________________________

Matrícula

No olvides entregar la Guía de estudio resuelta al profesor aplicador del examen.

Elementos básicos de la Geometría Euclidiana.

1.1 Si A, B, C y D son cuatro puntos distintos cualesquiera de una recta dirigida, demostrar que, para

todas las ordenaciones posible a de estos puntos sobre la recta, se verifica la igualdad AB+BC+CD=AD.

1.2 La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de 1os puntos es -2 , hallar el otro punto. (Dos casos.)

1.3 Un cuadrado, de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a 1os ejes

coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vértices.

1.4 Dibujando demostrar quo los puntos (0, 0). (3, 4), (8, 4) y (5, 0) son 1os vértices de un rombo.

1.5 Dibujando demostrar que 1os puntos (2, - 2). (- 8, 4), (5, 3) son 1os vértices de un triángulo rectángulo,

Equivalencia entre grados y radianes.

Encuentre el ángulo complementario de: a) 5°17' 34'', b) 32.5° c) 63° 415'' d) 82.73° e) 48°51'37''

f) 82.73° g) 63° 4' 15'' h) 0° 17' 34'' i) 78°2'2'' j) 0.2589°

Encuentre el ángulo suplementario de: a) 48° 51' 37'' b) 136.42° c) 152° 12' 4'' d) 83°17'' 400'' e)

48°51'37'' f) 72.73° g) 23° 45' 15'' h) 47° 17' 34'' i) 78°20'20'' j) 0° 25' 89''.

Exprese el ángulo en términos de grados, minutos y segundos, al segundo más cercano.

a) 2° b) 1.5° c) 5° d) 4° e)14.5° f) 45.3689° g)56.89° h) 45.268° i)78.0025° j) 34.3.1456°

k ) 45.002°

Exprese el ángulo como decimal, al diezmilésimo de grado más cercano.

a) 37° 41' b) 37° 41'' c) 83°17' d) 83°17'' e) 115° 26' 27'' f) 258° 39' 52'' g) 78°20'20' h) 48°51'37'

i) 47° 17' 34'' j) 83°7' 45'' k) 78° 1535''

Exprese el ángulo en términos de grados, minutos y segundos al segundo más cercano.

a) 63.169° b) 12.864° c) 310.6215° d) 81.7238° e) 45.7896° f) 123.2488° g) 45.2578° h) 278.2589°

i) 45.789° j) 47.245° k) 4.256°

Encuentre la medida en radianes que corresponda a cada medida en grados: 330°, 405°, 150°, 240°, 36°.

Paralelismo y perpendicularidad.

Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos (- 2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la que pasa por los

dos puntos (- 1, 1) y (3, 7).

Demostrar que los cuatro puntos (2, 2). (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son los vértices e un rombo y que sus

diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

Demostrar que los cuatro puntos (2,4), (7, 3), (6. - 2) y (1, -1) son vértices de un cuadrado y que sus

diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.

Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos (- 2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la que pasa por los

dos puntos (- 1, 1) y (3, 7).

Encuentre los ángulos de acuerdo a las siguientes figuras:

a)

Complete las siguientes oraciones

Dos rectas son ________________________ si, al cortarse, forman ___ ángulos rectos.

Dos rectas son _______________________ si no tienen un punto en común y guardan siempre una

______________distancia.

Los ángulos opuestos por el vértice son_______________________

Escriba las siguientes definiciones

Ángulos alternos externos.

Ángulos correspondientes.

Ángulos colaterales internos (suplementarios).

Ángulos colaterales externos (suplementarios).

Polígonos

¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar20 diagonales en total ?.

¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total ?.

Hallar la suma de los ángulos interiores de un pentágono.

¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 120° ?

¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1800° ?

Características y elementos del Triángulo

Escriba la definición de Triángulo

Escriba la clasificación de los Triángulos de acuerdo a sus lados.

Escriba la definición de los triángulos de acuerdo a sus ángulos.

Escriba las definiciones de : a) Altura b) Ortocentro c)Baricentro d)Mediana e) Bisectriz f)Incentro

g) Circuncentro h)Mediatriz i) Recta de Euler.

Complete las siguientes oraciones :

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a _________________.

Un Angulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los __________________no adyacentes a él.

La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a_____________________

La suma de _________lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el lado ___________, mientras

que su diferencia es menor.

Los vértices de un triángulo son A (- 1,3), B (3, 5) y C (7, - 2) . Si D es el punto medio del lado AB y E

es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud

del lado AC.

Demostrar que los puntos (2, - 2). (- 8, 4) , (5, 3) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar su

área.

Dibujar los vértices de un triángulo son A (3, 8), B (2, - 1) y C (6. -1) . Si D es el punto medio del lado

BC. Calcular la longitud de la mediana AD y dibujar en el plano cartesiano.

Dibujar y Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0 ) . (1, 2). (3, -4).

Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4, 2) y (1. 1). Hallar las coordenadas de 1os

tres vértices.

Congruencia y semejanza de triángulos.

Complete las siguientes oraciones.

Dos triángulos son congruentes si___________________________

Dos triángulos son congruentes si tienen _______________ y el lado adyacente a ellos respec

tivamente _____________________

Dos triángulos son congruentes si ______________ y el ángulo comprendido entre ellos son res pec

tivamente _____________a sus _____________ del otro.

Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ______________ homólogos.

Dos triángulos son semejantes si sus ____________________ _____son proporcionales.

Dos triángulos son ________________ si tienen un _______________ igual y los

_______________que los forman son ____________.

Teorema de Tales

Cuando en un triángulo se traza una ______________________ a uno de los lados, el triángulo que se

forma es semejante_____________________.

Resuelva para el valor de x de acuerdo a las siguientes figuras.

Bloque II

Teorema de Pitágoras

Demuestre el teorema de Pitágoras.

¿Puede existir un triángulo rectángulo tal que su hipotenusa mida 73 cm y sus catetos 48 y 55 cm?

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 34 cm y un cateto 30 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?

Calcular el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 24 cm

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 21 y 28 cm. Hallar la hipotenusa.

Evaluar si los siguientes lados determinan un triángulo rectángulo: 8cm, 5 cm y 4 cm.

Resuelva los siguientes problemas.

Desde un punto al nivel del suelo a 135 pies de la base de una torre, el ángulo de elevación de la cima

de la torre es 57°20. Calcule la altura de la torre.

Desde lo alto de un edificio situado frente a un océano, un observador ve un bote que navega

directamente hacia el edificio. Si el observador está a 100 pies sobre el nivel del mar y si el ángulo de

depresión del bote cambia de 25° a 40° durante el periodo de observación, calcule la distancia que

recorre el bote.

Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con g 90°, encuentre los valores exactos de las partes

restantes.

Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con g 90°, calcule las partes restantes.

Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con g 90°, exprese la tercera parte en términos de las

primeras dos.

Resuelva el siguiente problema

Una persona que hace volar una cometa sostiene la cuerda 4 pies arriba del nivel del suelo. La cuerda

de la cometa está tensa y forma un ángulo de 60° con la horizontal (vea la figura). Calcule la altura de

la cometa arriba del nivel del suelo si se dan 500 pies de cuerda.

Razones Trigonométricas

Use el sentido común para relacionar las variables y los valores. (Los triángulos se trazan a escala y los

ángulos se miden en radianes.)

De acuerdo a cada una de las figuras encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas (seno,

coseno, tangente cotangente, cosecante, secante) para el ángulo

Identidades Trigonométricas. Use las identidades de Pitágoras para escribir la expresión como entero.

Simplifique las siguientes expresiones .

Use identidades fundamentales para escribir la primera expresión en términos de la segunda, para cualquier ángulo agudo

Verifique la identidad al transformar el lado izquierdo en el lado derecho.

Funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°

Para cada triángulo de las figuras encuentre los valores exactos de x y y.

Encuentre los valores exactos de las funciones trigonométricas para el ángulo agudo

Resuleva los siguientes problemas.

Un guardabosque, situado a 200 pies de la base de una sequoia roja, observa que el ángulo entre el suelo

y la cima del árbol es de 60°. Estime la altura del árbol.

El pico del Monte Fuji de Japón mide aproximadamente 12,400 pies de altura. Un estudiante de

trigonometría, situado a varias millas del monte, observa que el ángulo entre el nivel del suelo y el pico

es de 30. Estime la distancia del estudiante al punto a nivel del suelo que está directamente abajo del

pico.

Ley de senos .

Demuestra la ley de los senos.

Cuando el ángulo de elevación del Sol es 64°, un poste de teléfono que está inclinado a un ángulo de 9°

directamente alejándose del Sol proyecta una sombra de 21 pies de largo en un terreno nivelado. Calcule

la longitud del poste.

Un punto P a nivel del suelo está a 3.0 kilómetros al norte de un punto Q. Un corredor avanza en la

dirección N25°E de Q al punto R y luego de R a P en la dirección S70°W. Calcule la distancia recorrida.

Un bote pesquero mercante utiliza un equipo de sonar para detectar un banco de peces a 2 millas al este

del bote y que se desplaza en la dirección N51°W a razón de 8 mi/h.

(a) Si el bote navega a 20 mi/h, calcule, al 0.1° más cercano, la dirección a la que debe dirigirse para

interceptar el banco de peces.

(b) Encuentre, al minuto más cercano, el tiempo que tardará el bote en llegar a los peces.

Longitud de una sombra Un camino recto forma un ángulo de 15° con la horizontal. Cuando el ángulo

de elevación del Sol es 57°, un poste vertical al lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de

largo directamente en el camino, como se muestra en la figura. Calcule la longitud del poste.

Altura de un globo de aire caliente Los ángulos de elevación de un globo desde dos puntos A y B al

nivel del suelo son 24°10' y 47°40' , respectivamente. Como se muestra en la figura, los puntos A y B

están a 8.4 millas entre sí, y el globo está entre los puntos, en el mismo plano vertical. Calcule la altura

del globo sobre el suelo.

Distancia a un avión Un camino recto forma un ángulo de 22° con la horizontal. De un cierto punto P

en el camino, el ángulo de elevación de un avión en el punto A es 57°. En el mismo instante, desde otro

punto Q, a 100 metros más arriba en el camino, el ángulo de elevación es 63°. Como se indica en la

figura, los puntos P, Q y A se encuentran en el mismo plano vertical. Calcule la distancia de P al avión.

Ley de cosenos.

Demuestra la ley de los cosenos.

Un paralelogramo tiene lados de longitudes de 30 centímetros y 70 centímetros y un ángulo de 65°.

Calcule la longitud de cada diagonal al centímetro más cercano.

Un poste vertical de 40 pies de altura se encuentra sobre una ladera que forma un ángulo de 17° con la

horizontal. Calcule la longitud mínima de cable que llegará de lo alto del poste a un punto situado a 72

pies colina abajo desde la base del mismo.

Hallar la longitud de un cable

Un poste vertical de 40 pies de altura se encuentra sobre una ladera que forma un ángulo de 17° con la

horizontal. Calcule la longitud mínima de cable que llegará de lo alto del poste a un punto situado a 72

pies colina abajo desde la base del mismo.

Distancia entre automóviles Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y viajan a lo largo

de carreteras rectas que difieren en dirección en 84°. Si las magnitudes de rapidez de ambos son 60

mi/h y 45 mi/h, respectivamente, ¿aproximadamente a qué distancia están uno de otro al término de 20

minutos?

Distancia de vuelo Un avión vuela 165 millas desde el punto A en la dirección 130° y luego en la

dirección 245° otras 80 millas. ¿Aproximadamente a qué distancia está el avión desde A?

Rumbo de un corredor Un deportista corre con rapidez constante de una milla cada 8 minutos en dirección

S40°E durante 20 minutos y luego en dirección N20°E los siguientes 16 minutos. Calcule, al décimo de

milla más cercano, la distancia en línea recta de la meta al punto de partida del rumbo del corredor.

Bloque III

Relación entre polígonos y circunferencia

Calcula el ángulo central y el ángulo interior de los siguientes polígonos regulares:

a) Decágono. b) Dodecágono. c) Polígono de 15 lados.

Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de 20 lados.

¿Cuántas diagonales tiene?.

El área de un cuadrado mide 20cm^2, calcula el perímetro.

El área de un rectángulo es 20cm^2 y un lado mide 10 cm. Calcula el perímetro y la diagonal del

rectángulo.

Escriba la definición de paralelogramo.

Escriba la definición de ángulo central de un polígono regular.

Demuestre gráficamente que un polígono regular se puede descomponer en triángulos rectángulos, ¿ es

posible descomponer un polígono regular en triángulos rectángulos ?

Deduce una fórmula para calcular en cuantos triángulos rectángulos se puede dividir un polígono

regular de n lados

Escriba la definición de apotema.

Escriba la fórmula para calcular el área de un polígono regular en función de la apotema.

Investigue la fórmula para obtener el perímetro de los polígonos circunscritos alrededor de un círculo

de radio r.

Investigue y describa brevemente el uso de los polígonos inscritos y circunscritos para aproximar el

valor del número Pi

Medir, por medio de una cinta métrica, el perímetro de la circunferencia de un objeto cilíndrico (p.ej. una

lata de conservas). A continuación, medir con una regla su diámetro. Finalmente, dividir el perímetro

entre el diámetro. Obtendremos siempre, sea cual sea el objeto utilizado, una cantidad muy próxima a

3,141592654…

Perímetros, áreas de figuras geométricas inscritas y circunscritas

Escriba la definición de circunferencia y círculo.

Escriba algunos elementos de la circunferencia.

Encuentre el área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero de lado 6 cm.

Encuentre el área de un triángulo isósceles inscrito en un círculo de radio R si la altura del

triángulo es igual al doble de su base.

El área de un círculo es 20cm^2 . Calcula la longitud de la circunferencia.

Perímetros, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos compuestos.

Calcula el volumen y la superficie de un prisma triangular cuya superficie de la base mide 3m^2 y cuya

altura es 5m. Suponga que la base es un triángulo isósceles.

Calcule el volumen en litros de una pirámide cónica cuyo radio de la base mide 2m y cuya altura mide

6m.

Un cubo de 9 m de arista. Hallar también su área.

Un prisma triangular regular recto de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura. Calcular también su área.

Un cilindro recto de 3 cm de radio y 10 cm de altura.

Una pirámide recta de 15 m de altura cuya base es un cuadrado de 10 m de lado. Hallar también su área.

Calcular el volumen y la superficie de la Tierra, teniendo en cuenta que su radio medio es de

aproximadamente 6371 km.

Hallar el volumen de las torres Kio, sabiendo que su base es un cuadrado de 35 m de lado, y la altura es

de 114 m.

Se desea pintar las paredes y el techo de un salón de planta 12 x 7 m, y altura 3,5 m. Sabiendo que

dispone de dos puertas de 1 x 2 m, y tres ventanales de 2 x 2 m, ¿cuánta superficie habrá que pintar?

(Hacer un dibujo explicativo) Si disponemos de botes de pintura para 25 m^2, ¿cuántos botes

necesitaremos?

Hallar el volumen de un cubo de Rubik de 8 cm de arista. Hallar también el de una de sus piezas.

Hallar el volumen, en ml, de una lata de Coca-Cola, sabiendo que tiene 10,9 cm de alto y 6,2 cm de

diámetro

(Dato: 1 ml = 1 cm3)

Simetría, rotación y traslación de figuras en el plano.

Defina que es una transformación Isométrica, isomórfica y anamórfica. Defina el concepto de simetría Defina el concepto de rotación.

¿Cuáles de las siguientes transformaciones del plano no preserva la semejanza de figuras?

a) Rotaciones b)Traslaciones c) Reflexiones en una recta d) Dilataciones

Perspectiva espacial.

Las dimensiones de las hojas de un libro de texto de 80 páginas son 20 30 centímetros. Si se extendieran,

sin solaparse, todas las hojas del libro sobre el suelo, ¿qué superficie ocuparían?

El volumen de un cubo es numéricamente igual a su área total. Tomando como unidad el centímetro,

calcula cuánto miden su arista, su superficie y su volumen.

Calcula el área de un trapecio circular cuyos radios mayor y menor miden 10 y 5 centímetros,

respectivamente, y que abarca un ángulo de 60°

Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son tres múltiplos consecutivos de 3. Halla las

dimensiones de sus lados y el área del triángulo.

Halla el área de las bases y el área total de un cilindro de 5 centímetros de radio y 12 de altura.

La generatriz de un cono mide 10 decímetros, y su altura, 80 centímetros. Calcula su área lateral y su

área total.