cÁlculo vectorial · 2016. 6. 13. · el espacio vectorial v3 debido a que cualquier vector aa a12...

CÁLCULO VECTORIAL

28 http://damasorojas.jimdo.com Dr. DÁMASO ROJAS twitter:@dmasorojas [email protected] [email protected]

VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL DEFINICIÓN DE ESPACIO NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL El conjunto de todos los temas ordenados de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por 3R . Cada tema ordenada ( ), ,x y z se denomina punto del espacio numérico tridimensional. Con el fin de representar 3R en un espacio geométrico tridimensional, se consideran las distancias dirigidas de un punto a tres planos mutuamente perpendiculares. Los tres planos se forman al tomar tres rectas perpendiculares entre sí, las cuales se intersectan en un punto llamado origen y denotado por O . El sentido positivo, elegido en cada eje como se muestra en la figura, proporciona un sistema coordenado derecho. Este nombre se deriva del hecho de que si se coloca la mano derecha de modo que el dedo índice apunte en la dirección positiva del eje x , y el dedo medio apunte hacia el sentido positivo del eje y , entonces el pulgar apuntará en la dirección positiva del eje z .

Los tres ejes determinan tres planos coordenados: el plano xy que contiene a los ejes x y y , el plano xz que contiene a los ejes x y z , y el plano yz que contiene a los ejes y y

z Una tema ordenada ( ), ,x y z se asocia con cada punto P del espacio geométrico

tridimensional. La distancia dirigida de P al plano yz es la coordenada x , su distancia dirigida al plano xz es la coordenada y , y la coordenada z es la distancia dirigida de P al plano xy . Los tres planos coordenados dividen al espacio en ocho partes denominadas OCTANTES. El primer octante es aquel en el que las tres coordenadas son positivas. EJEMPLO 1. Representa el punto ( )3,5,2P

Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto P . Proyéctalo, P sobre el plano XY . Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas de P . (Observa que el único paso arbitrario es decidir la situación de P′ ).

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EJEMPLO 2. Representa los puntos siguientes:

( ) ( ) ( ) ( )5,2,3 , 3, 2,5 , 1,4,0 , 0,0,4P Q R S− y ( )0,6,3T .

(Las líneas discontinuas, sólo las coloqué como referencia para localizar el punto, no se debe grafica) Notas: Una recta es paralela a un plano si y sólo si la distancia desde cualquier punto de la recta al plano es constante. 1) Una recta es paralela al plano yz si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x . 2) Una recta es paralela al plano xz si y solo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada y . 3) Una recta es paralela al plano xy si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada z . 4) En el espacio tridimensional, si una recta es paralela a cada uno de dos planos que se intersectan, entonces la recta es paralela a la recta de intersección de los dos planos. 5) Si una recta dada es paralela a una segunda recta, entonces la recta dada es paralela a cualquier plano que contenga a la segunda recta. 6) Una recta es paralela al eje x si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada y y la misma coordenada z . 7) Una recta es paralela al eje y si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x y la misma coordenada z . 8) Una recta es paralela al eje z si y solo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x y la misma coordenada y . DISTANCIA DE UN PUNTO A OTRO DE UNA RECTA PARALELA A UNO DE LOS EJES COORDENADOS 1) Si ( )1, ,A x y z y ( )2 , ,B x y z son dos puntos de una recta paralela al eje x , entonces la

distancia dirigida de A a B , denotada por AB , está dada por 2 1AB x x= − .

2) Si ( )1, ,C x y z y ( )2, ,D x y z son dos puntos de una recta paralela al eje y , entonces la

distancia dirigida de C a D , denotada por CD , está dada por 2 1CD y y= − .

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3) Si ( )1, ,E x y z y ( )2, ,F x y z son dos puntos de una recta paralela al eje z , entonces la

distancia dirigida de E a F , denotada por EF , está dada por 2 1EF z z= − .

EJEMPLO 3. La distancia dirigida PQ del punto ( )2, 5, 4P − − al punto ( )2, 3, 4Q − − está

dada por el ( ) ( )3 5 2PQ = − − − =

DISTANCIA NO DIRIGIDA ENTRE DOS PUNTOS CUALESQUIERA DEL ESPACIO. La fórmula para la distancia entre dos puntos en el espacio es una simple extensión de la fórmula para la distancia en el plano. La distancia no dirigida entre los puntos ( )1 1 1 1, ,P x y z y ( )2 2 2 2, ,P x y z está dada por

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 1 2 1 2 1PP x x y y z z= − + − + −

EJEMPLO 4. Calcule la distancia no dirigida entre los puntos ( )3,4, 1P − − y ( )2,5, 4Q − .

Solución: ( ) ( ) ( )2 2 22 3 5 4 4 1 35PQ = + + − + − + =

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA Las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son ( )1 1 1 1, ,P x y z

y ( )2 2 2 2, ,P x y z están dadas por

1 2 1 2 1 2

2 2 2x x y y z zx y z+ + +

= = =

DEFINICIÓN DE VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL El conjunto de todas las temas ordenadas , ,x y z , donde ,x y y z son números reales,

(se denominan componentes del vector , ,x y z ), se denota por 3V . Un vector de 3V

puede representarse mediante un segmento dirigido. Si 1 2 3, ,A a a a= , entonces el segmento dirigido que tiene su punto inicial en el origen y su punto terminal en el punto ( )1 2 3, ,a a a recibe el nombre de representación de posición de A . Un segmento dirigido

que tiene su punto inicial en ( ), ,x y z y su punto terminal en el punto

( )1 2 3, ,x a y a z a+ + + es también una representación del vector A .

Se dice que los vectores 1 2 3, ,a a a y 1 2 3, ,b b b son iguales si y sólo si sus componentes

escalares son iguales 1 1 2 2,a b a b= = y 3 3a b= .

El vector cero es el vector 0,0,0 y se denota por 0 . Cualquier punto es una representación del vector cero.

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El módulo de un vector es la longitud de alguna de sus representaciones. Si el vector

1 2 3, ,A a a a= , el módulo de A se denota por A , y 2 2 21 2 3A a a a= + +

La dirección de un vector diferente del vector cero de 3V está determinada por tres ángulos llamados ángulos directores del vector.

DEFINICIÓN DE ÁNGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR Los ángulos directores de un vector diferente del vector cero son los tres ángulos que tienen la menor medida en radianes no negativa ,α β y γ medidos a partir de los ejes

,x y y z , respectivamente, hasta la representación de posición del vector. La medida en radianes de cada ángulo director de un vector es mayor que o igual a 0 y menor que o igual a π .

Los ángulos directores del vector 1 2 3, ,A a a a= , cuyas medidas en radianes son ,α β y

γ las componentes de A son números positivos, y los ángulos directores de este vector

tiene medidas en radianes positivas menores que 2π. En la figura se observa que el

triángulo POR es un triángulo rectángulo y 1cos aA

α =

Puede demostrarse que la misma fórmula se cumple sí 12π α π≤ ≤ . De igual manera

pueden deducirse fórmulas para cosβ y cosγ 31 2cos cos cos aa a

A A Aα β γ= = =

Los tres números cos ,cosα β y cosγ se denominan cosenos directores del vector A . EJEMPLO 5. Se determinaran el módulo y los cosenos directores del vector 3,2, 6A = − .

( ) ( ) ( )2 2 23 2 6 7A = + + − = Entonces 3 2 6cos cos cos7 7 7

α β γ= = = −

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Si el módulo de un vector y sus cosenos directores se conocen, entonces el vector está determinado de manera única

1 2 3cos cos cosa A a A a Aα β γ= = =

Nota: Los tres cosenos directores de un vector no son independientes entre sí. Si cos ,cosα β y cosγ son los cosenos directores de un vector, entonces:

2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = EJEMPLO 6. Se verificara para el vector del ejemplo anterior

2 2 22 2 2 3 2 6 9 4 36cos cos cos 1

7 7 7 49 49 49α β γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + − = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El vector 1 2 3, ,A a a a= es un vector unitario si 1A =

Suponga que 1 2 3, ,A a a a= es diferente del vector cero y que tiene los cosenos

directores cos ,cosα β y cosγ y que c es cualquier escalar. Entonces 1 2 3, ,cA ca ca ca= ;

y si 1 1cos ,cosα β y 1cosγ son los cosenos directores de cA , entonces se tiene

1 1 2 21 1cos cos ; cos cosca a ca ac c c c

c c c ccA A cA Aα α β β= ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒

3 3

1cos cosca ac cc ccA A

γ γ= ⇒ ⇒

Por tanto, si c es un escalar diferente de cero, entonces el vector cA es un vector cuyo módulo es c veces el módulo de A . Si 0,c cA> tiene la misma dirección que A . Si

0c < el sentido de cA es el opuesto al de A Vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD). Dados tres vectores no coplanarios , ,x y z del espacio tridimensional, se dice que los vectores , ,x y z forman una base del espacio tridimensional. Un vector es coplanario con otros vectores, si y sólo sí es combinación lineal de ellos (LD) Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI)

Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice ortogonal y si además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulos uno decimos que la base es ortonormal. (Canónica)

Los tres vectores unitarios 1,0,0 0,1,0 0,0,1i j k= = = forman una base para

el espacio vectorial 3V debido a que cualquier vector 1 2 3, ,a a a puede expresarse en

términos de ellos como sigue: 1 2 3 1 2 3, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1a a a a a a= + +

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En consecuencia, si 1 2 3, ,A a a a= , también se puede escribir 1 2 3

ˆˆ ˆA a i a j a k= + +

Ecuación que permite expresar cualquier vector diferente de cero en términos de su módulo y de sus cosenos directores.

( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos cos cos cosA A i A j A k A A i j kα β γ α β γ= + + ⇒ = + +

EJEMPLO 7. Exprese el vector 3,2, 6A = − en términos de su módulo y de sus cosenos directores.

Sí 3 2 63,2, 6 7; cos ; cos ; cos7 7 7

A A α β γ= − ⇒ = = = = − . 3 2 6 ˆˆ ˆ77 7 7

A i j k⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

OPERACIONES CON VECTORES: ADICIÓN, SUSTRACIÓN Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR. Sean los vectores 1 2 3, ,A a a a= y 1 2 3, ,B b b b= y c es un escalar, entonces:

( )( )

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1) , ,

2) , ,

3) , ,

4) , , , ,

A B a b a b a b

A a a a

A B A B a b a b a b

cA c a a a ca ca ca

+ = + + +

− = − − −

− = + − = − − −

= =

EJEMPLO 8. Dados 5, 2,6A = − y 8, 5, 4B = − − , calcule , , 3A B A B A+ − y 5B− .

( ) ( )( ) ( )

5 8, 2 5 ,6 4 13, 7,2

5 8, 2 5 ,6 4 3,3,10

A B

A B

+ = + − + − + − = −

− = − − − − − − = −

3 3 5, 2,6 15, 6,18

5 5 8, 5, 4 40,25,20

A

B

= − = −

− = − − − = −

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LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE DOS VECTORES DE 3V

Si P es el punto ( ), ,x y z y PQ es una representación de 1 2 3, ,A a a a= ; entonces Q es el

punto ( )1 2 3, ,x a y a z a+ + + Sean 1 2 3, ,B b b b= y QR una representación de B , entonces

( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 3 3, ,x a b y a b z a b+ + + + + + es el punto R . Por tanto, PR es una

representación del vector A B+ , y se cumple la ley del paralelogramo.

EJEMPLO 9. Coordenadas de un vector que une dos puntos

Observa la siguiente igualdad vectorial:→→→→→→

−=⇒=+ OPOQPQOQPQOP Por tanto si las coordenadas de los puntos son ( )cbaP ,, y ( )cbaQ ′′′ ,,

Las coordenadas de →

PQ son: , ,PQ a a b b c c→

′ ′ ′= − − − COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Si los puntos del segmento tienen de coordenadas: ( )cbaP ,, ( )cbaQ ′′′ ,,

Fíjate en la igualdad vectorial: →→→

+= PQOPOM21

Las coordenadas del punto medio M se obtienen operando en la fórmula anterior y

obtenemos: ( ) ( )1, , , ,2

OM a b c a a b b c c→

′ ′ ′= + − − − entonces ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′+′+

2,

2,

2ccbbaaM

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LA DIFERENCIA DE DOS VECTORES DE 3V

Se puede obtener una representación del vector A B− al elegir las representaciones de

A y B de modo que tengan el mismo punto inicial. Entonces, una representación del

vector A B− es el segmento dirigido del punto terminal de la representación de B al

punto terminal de la representación de A .

EJEMPLO 10. En la figura muestra los puntos ( )1 2 3, ,P a a a y ( )1 2 3, ,Q b b b , y los segmentos

dirigidos ,PQ OP y OQ . Observe que 1 2 3 1 2 3, , , ,PQ OQ OP b b b a a a= − = −

Por lo tanto, 1 1 2 2 3 3, ,PQ b a b a b a= − − −

EJEMPLO 11. La figura muestra el segmento dirigido PQ , donde P es el punto ( )1,3,5 y

Q es el punto ( )2, 1,4− . Por tanto, 2 1, 1 3,4 5 1, 4, 1PQ = − − − − = − −

EJEMPLO 12. Dados los puntos ( ) ( ) ( )1,7,3 , 1,3,0 , 3, 4,11A B C− − y ( )1,0, 5D −

a) Halla las coordenadas de los vectores: , , , ,AB BC CD DA AC b) Halla el punto medio de cada uno de los siguientes segmentos: , , , ,AB BC CD AC AD

) 2 4 3 ; 4, 7,11 ; 2, 4, 16

0,7,8 ; 2, 11,8

a AB BC CD

DA AC

= − − − = − = − −

= = −

( )3 1 11 3 7) 0,5, ; 1, , ; 2, 2,3 ; 2, ,7 ; 1, , 12 2 2 2 2AB BC CD AC ADb M M M M M−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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VECTOR UNITARIO Si 1 2 3

ˆˆ ˆA a i a j a k= + + es diferente del vector cero, entonces el vector unitario U que tiene

la misma dirección que A está determinado por 31 2 ˆˆ ˆ aa aU i j kA A A

= + +

EJEMPLO 13. Dados los puntos ( )2, 1,3R − y ( )3,4,6S . Obtenga el vector unitario que

tiene la misma dirección que RS .

( ) 2 2 2ˆˆ ˆ3 2,4 1 ,6 3 5 3 (1) (5) (3) 35RS i j k RS= − − − − = + + ⇒ = + + =

El vector unitario pedido es 1 5 3 ˆˆ ˆ35 35 35

U i j k= + +

TRES PUNTOS ALINEADOS QUE FORMAN VECTORES

Los puntos de coordenadas: ( )cbaP ,, ( )cbaQ ′′′ ,, ( )cbaR ′′′′′′ ,, están alineados siempre que

tengan la misma dirección: ( )ccbbaaPQ −′−′−′→

,, y ( )ccbbaaQR ′−′′′−′′′−′′→

,,

Es decir, si se cumple: cccc

bbbb

aaaa

′−′′−′

=′−′′

−′=

′−′′−′

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO El simétrico del punto ( )cbaP ,, , (le llamamos P′ ), respecto a otro ( )cbaQ ′′′ ,, se caracteriza como: aquel para el que Q es el punto medio del segmento que une P′ y P .

Si aplicamos el resultado visto anteriormente tenemos que: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

2,

2,

2γβα cbaQ

Es decir que tenemos: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

=′′′2

,2

,2

,, γβα cbacba

Despejando en esta última igualdad los valores de γβα ,, tenemos que:

( ) ( )ccbbaa −′−′−′= 2,2,2,, γβα

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PUNTOS INTERIORES EN UN SEGMENTO EJEMPLO 14. Dividimos el segmento PQ en cinco partes iguales y situamos el punto V a dos unidades de P y tres de Q . ¿Cuáles son las coordenadas de V ? Para hallarlas procedemos así.

Llamamos ,P OP Q OQ= = ⇒ ( )2 2 3 25 5 5 5

OV P PQ P Q P P Q= + = + − = +

a) Si ( )4, 1,8P − y ( )1,9,8Q − , halla las coordenadas de V .

b) Obtén las coordenadas de un punto W situado en el segmento PQ del siguiente modo: se divide el segmento en 7 partes iguales y situamos W a 2 de P . Aplícalo a ( ) ( )2,11, 15 , 9, 3,6P Q− − . c) Demuestra que si dividimos el segmento PQ en m n+ partes y situamos X a

m unidades de P , las coordenadas de X son: n mP Q

m n m n+

+ +

d) Demuestra que si 0 1a≤ < , entonces ( )1 P Qα α− + es un punto de PQ .

a) ( ) ( ) ( )3 24, 1,8 1,9,8 2,3,85 5

V = − + − =

b) Razonando como en el caso anterior, llegamos a:

( )2 2 5 27 7 7 7

OW P PQ Q P P Q= + + − = +

Si consideramos el caso ( )2,11, 15P − y ( )9, 3,6Q − entonces:

( ) ( ) ( )5 22,11, 15 9, 3,6 4,7 97 7

W = − + − = −

c) Razonando como en los casos anteriores, tenemos que:

( ) 1m m m m n mOX P PQ P Q P P Q P Qm n m n m n m n m n m n

⎛ ⎞= + = + − = − + = +⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠

d) Llamamos d PQ= . Sea X un punto del segmento PQ que esté a una

distancia dα de P y ( )1 dα− de Q . (Como 0 1α≤ < , entonces 0 d dα≤ < ; luego X pertenece al segmento PQ ). Razonando como en los apartados anteriores, tenemos que las coordenadas de X son: ( )1 d dP Q

d dα α−

+ , es decir, ( )1 P Qα α− +

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Por tanto, este punto (que es X ) es un punto del segmento PQ . EJEMPLO 15. Calcula el valor de a para que los puntos de corte del plano con cada una de las rectas estén alineados. Hallamos los puntos de corte del plano con cada una de las tres rectas:

π Con 11 1 1: 2 1 0 1, ,2 2 2

a a ar a z z P− − − − − −⎛ ⎞+ + = → = → ⎜ ⎟⎝ ⎠

π Con 21 2 2 4 1 2: 2 3 1 0 2, ,

3 3 3a a ar a z z Q− − − − − −⎛ ⎞+ + = → = → ⎜ ⎟

⎝ ⎠

π Con 31 3 3 9 1 3:3 4 1 0 3, ,

4 4 4a a ar a z z R− − − − − −⎛ ⎞+ + = → = → ⎜ ⎟

⎝ ⎠ EJEMPLO 16. Halla, en función de a , los puntos de corte ,P Q y R . Expresa

después la dependencia lineal entre los vectores PQ y QR .

Los vectores PQ y QR han de tener sus coordenadas proporcionales:

1 5 1 1 11 11, , ; 1, ,6 6 12 12

1 5 1 11 1 12 10 1 11 1; 1 16 12 6 12

a a a aPQ QR

a a a aa a a a a

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − − − − −= ⇒ − − = − − ⇒ = = ⇒ = ∴ =

EJEMPLO 17. Obtén las coordenadas de los puntos que dividen cada uno de los segmentos de a) de extremos ( )3, 5,1− y ( )3,1,13− .b) de extremos ( )5,1,7− y

( )4,2,0 en tres partes iguales.

Dado un segmento de extremos P y Q

( )1 1 1 1 23 3 3 3 32 23 3

OQ OPOR OP PQ OP OQ OP OP OQ OP

OQ OPOS OP PQ

+= + = + − = + − =

+= + =

Según esto, los puntos que buscamos son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,1,13 2 3, 5,1 2 3,1,13 3, 5,1

) 1, 3,5 ; 1, 1,93 3

a− + − − + −

= − = − −

( ) ( ) ( ) ( )4,2,0 2 5,1,7 2 4,2,0 5,1,74 14 5 7) 2, , ; 1, ,3 3 3 3 3 3

b+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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EJEMPLO 18. Los puntos ( ) ( )1,3, 1 , 2,0,2A B− y ( )4, 1, 3C − − son vértices consecutivos

de un paralelogramo. Halla el vértice D y el centro del paralelogramo.

Sea ( ), ,D x y z el otro vértice: 1,3, 3 4, 1, 3BA CD x y z= ⇒ − − = − + +

( )4 1 31 3 2 3,2, 63 3 6

x xy y Dz z

− = − → =⎧ ⎫⎪ ⎪+ = → = −⎨ ⎬⎪ ⎪+ = − → = −⎩ ⎭

Si M es el centro del paralelogramo, es el punto medio de AC . 4 1 1 3 3 1 5, , ,1, 2

2 2 2 2M + − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

EJEMPLO 19. Calcula el baricentro del triángulo formado por los vértices ( ) ( )1, 3,5 , 0,7,2P Q− y ( )1,5,6R −

a) Calcula las coordenadas del punto medio de cada lado. b) Recuerda que el baricentro (punto donde se cortan las medianas del triángulo)

está sobre cada mediana, a 23 del vértice y a

13 del punto medio del lado opuesto.

1 7 1 11) ,2, ,6,4 0,1,2 2 2 2PQ QR PRa M M M⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) A partir de P : 2 1,12,8 1, 3,5 130,3,

3 3 3QROM OP

OG+ − + −

= = =

A partir de Q : 0,2,11 0,7,22 130,3,

3 3 3PROM OQOG

++= = =

A partir de R : 2 1,4,7 1,5,6 130,3,

3 3 3PQOM OR

OG+ + −

= = =

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Localiza el baricentro de vértices ( ) ( ) ( )2, 1,3 , 0,4,1 , 1,1,0A B C− .

Hallamos el punto medio, M del lado BC : 1 5 1, ,2 2 2

M ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

El baricentro, G está sobre la mediana, a 23 de A y a

13 de M :

1,5,1 2, 1,32 4 41, ,3 3 3 3

OM OAOG+ −+

= = =

EJEMPLOS ADICIONALES. EJEMPLO 20. Determina las coordenadas de cada punto en esta figura:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30, 0,3 ; 0,3,3 ; 3,3,3 ; 3, 0,3 ; 3, 0, 0 ; 3,3, 0 ; 0,3, 0 ; 0, , 3 ;2

3 3 30,3, ; 3, , 0 ; 3, 0,2 2 2

A B C D E F G P

Q R S

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

EJEMPLO 21. Comprueba si los puntos ( ) ( )1, 2,1 , 2,3,0A B− y ( )1,0, 4C − − están

alineados.

( )( )1,5, 1

2,2, 5

AB

AC

⎫− ⎪⎬

− − ⎪⎭ Sus coordenadas no son proporcionales. Luego los puntos no

están alineados.

EJEMPLO 22. Halla los puntos P y Q tales que 35

AQ AB= y 23

AP AQ= , siendo

( )2,0,1A y ( )5,3, 2B − .

Si ( ), ,Q x y z , entonces ( )2, , 1AQ x y z− − :

( ) ( )3 3 9 9 93,3,3 , , 2, , 15 5 5 5 5

AB x y z⎛ ⎞= = − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

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9 1925 5

9 19 9 4, ,5 5 5 5

9 415 5

x x

y Q

z z

⎫− = → = ⎪⎪⎪ ⎛ ⎞= −⎬ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪− = − → = − ⎪⎭

Si ( ), ,P a b c , entonces ( )2, , 1AP a b c= − − :

( ) ( )2 2 3 2 2 6 6 63,3, 3 , , 2, , 13 3 5 5 5 5 5 5

6 1625 5

6 16 6 1, ,5 5 5 5

6 115 5

AQ AB AB a b c

a

b P

c c

⎛ ⎞= ⋅ = = − = − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎫− = →= ⎪⎪⎪ ⎛ ⎞= −⎬ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪− = − → = − ⎪⎭

EJEMPLO 23. Halla el simétrico del punto ( )2,3,0A − respecto del punto

( )1, 1,2M − .

( ): , ,sea A x y z′ El simétrico de A respecto del punto M . Como M es el punto

medio del segmento AA′ , entonces: ( )2 3, , 1, 1,22 2 2

x y z− +⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 31 4; 1 5; 2 42 2 2

x y zx y z− += → = = − → = − = → =

Por tanto: ( )4, 5,4A′ −

EJEMPLO 24. Calcula a y b para que los puntos ( ) ( )1,2, 1 , 3,0, 2A B− − y ( )4, ,C a b

estén alineados.

( )( )2, 2, 1

3, 2, 1

AB

AC a b

⎫− − ⎪⎬

− + ⎪⎭ Para que estén alineados ha de ser;

3 2 12 2 1

a b− += =

− −

Por tanto: 2 3 2 3 1

2 21 3 3 51

1 2 2 2

a a a

b b b

−= → − = − → = −

−+

= → = − − → = −−

CÁLCULO VECTORIAL


APLICACIONES A LA MECÁNICA EJEMPLO 25. Exprese cada fuerza que actúa en la cañería en la forma del vector Cartesiano.

Componente rectangular: Desde 2 2 2

2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = , entonces 2 2

2cos 1 cos 60º cos 120º 0,7071β = ± − − = ± . Sin embargo, se requiere que 2 90ºβ > , así,

( )12 cos 0,7071 45ºβ −= − = Resolviendo 1F y 2F en sus componentes ,x y y z , como

muestra en las figuras a y b, respectivamente, 1F y 2F , puede expresarse en la forma de vector Cartesiano como

( )( ) ( )( ) [ ]{ }

341 5 5

2

600 0 600 480 360

400cos60º 400cos 45º 400cos120º 200 283 200

F i j k i k N

F i j k i j k N

= + + + + = +

= + + = + −

EJERCICIOS PROPUESTOS En los ejercicios 1 a 5, los puntos A y B son vértices opuestos de un paralelepípedo que tiene sus caras paralelas a los planos coordenados. En cada ejercicio, (a) obtenga las coordenadas de los otros seis vértices, (b) calcule la longitud de la diagonal AB.

1) ( ) ( )0,0,0 ; 7,2,3A B 2) ( ) ( )1,1,1 ; 3,4,2A B 3) ( ) ( )1,1,2 ; 2,3,5A B−

4) ( ) ( )2, 1, 3 ; 4,0,1A B− − 5) ( ) ( )1, 1,0 ; 3,3,5A B−

6) Localice los puntos cuyas coordenadas son ( ) ( ) ( ) ( )1,2,3 , 2,0,1 , 2,4,5 , 0,3,0− y

( )1, 2, 3− − −

7) Siga las instrucciones del problema anterior para

( ) ( ) ( )13, 3,3 , 0, , 3 , 2, , 2 , 0, , 33

A B C Dπ π⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

CÁLCULO VECTORIAL


8) El vértice opuesto al rincón de una sala está a 18 pie al este, 15 pie al sur y 12 pie por arriba del primer rincón determine la longitud de la diagonal que une dos vértices opuestos

9) Calcule la distancia entre las siguientes parejas de punto. a) ( )6, 1,0− y ( )1,2,3 ; b) ( )2, 2,0− − y ( )2, 2, 3− − ; c) ( ), ,0e π y ( ), 4, 3π− −

En los ejercicios 10 a 14, determine (a) la distancia no dirigida entre los puntos A y B, y (b) el punto medio del segmento de recta que une a A con B. 10) ( ) ( )3,4, 2 ; 1,6,3A B 11) ( ) ( )4, 3,2 ; 2,3, 5A B− − − 12) ( ) ( )1

22, 4,1 ; , 2,3A B−

13) ( ) ( )122, ,5 ; 5,1, 4A B− − − 14) ( ) ( )5,2,1 ; 3,7, 2A B− −

15) Demuestre que ( ) ( )4,5,3 , 1,7, 4 y ( )2,4,6 son vértices de un triángulo equilátero.

16) Demuestre que los tres puntos ( ) ( )1, 1,3 ; 2,1,7− y ( )4,2,6 son los vértices de un triángulo rectángulo, y calcule su área. 17) Demuestre que ( ) ( )2,1,6 , 4,7,9 y ( )8,5, 6− son vértices de un triángulo rectángulo.

Sugerencia: sólo los triángulos rectángulos satisfacen el Teorema de Pitágoras. 18) ¿Qué tienen de particular las coordenadas de todos los puntos del plano yz ? ¿Y los puntos del eje z ? 19) ¿Qué tienen de particular las coordenadas de todos los puntos del plano xz ? ¿Y los puntos del eje y ? 20) Calcule la distancia de ( )2,3, 1− a a) El plano xy b) el eje y , y c) el origen. 21) Se dibuja una recta que pasa por el punto ( )6,4,2 y que es perpendicular al plano yz . Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que están a una distancia de 10 unidades del punto ( )0,4,0 . 22) Resuelva el ejercicio anterior, si la recta se dibuja perpendicularmente al plano xy . 23) Una caja rectangular tiene sus caras paralelas a los planos de coordenadas y tiene a ( )2,3,4 y ( )6, 1,0− como los extremos de una diagonal principal. Bosqueje la caja y calcule las coordenadas de sus ocho vértices. 24) El punto ( ),5,P x z está en una línea que pasa por ( )2, 4,3Q − y es paralela a uno de los ejes de coordenadas. ¿Cuál eje debe ser y qué valores tienen x y z ?

25) Demuestre que los tres puntos ( 3, 2, 4); (6,1, 2); ( 12,3,6)− − son colineales empleando la fórmula de la distancia. 26) Determine los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos medios en ( ) ( )3,2,3 ; 1,1,5− y ( )0,3,4 .

27) Para el triángulo que tienen vértices ( ) ( )2, 5,3 ; 1,7,0A B− − y ( )4,9,7C − calcule (a) la longitud de cada lado, y (b) los puntos medios de cada lado.

CÁLCULO VECTORIAL


En los problemas del 28 al 31, para los vectores tridimensionales u y v , determine la suma u v+ , la diferencia u v− y las magnitudes u y v

28) 1,0,0 ; 3,4,0u v= − = 29) 0,0,0 ; 3,3,1u v= = − 30) 1,0,1 ; 5,0,0u v= = − 31) 0.3,0.3,0.5 ; 2.2,1.3, 0.9u v= = −

32) Demuestre los siguientes teoremas para el caso de vectores tridimensionales. Sea 1 2 3 1 2 3, , ; , ,u u u u v v v v= = y 1 2 3, ,w w w w=

a) u v v u+ = + ( ) ( ))b u v w u v w+ + = + + c) 0 0u u+ = +

d) ( ) 0u u+ − = e) ( ) ( )a bu ab u= g) ( )a b u au bu+ = + h) 1u u=

En los ejercicios 33 a 33, 1,2,3 ; 4, 3, 1 ; 5, 3,5A B C= = − − = − − y 2,1,6D = − .

33) Calcule: a) 5A B+ ; b) 7 5C D− c) 7 5C D−

34) Calcule: a) 2A C− b) 2A C−

c) 4 6 2B C D+ − d)

4 6 2B C D+ −

35) Calcule; a) 3 8C D A+ − b)

A B C D−

36) Calcule: a) 3 2 12A B C D− + − b) A C B D−

37) Dados los vectores 1,2,3 ; 4, 3, 1 ; 5, 3,5A B C= = − − = − − determine los escalares a

y b tales que: ( ) ( ) 0a A B b C D+ + + =

38) Dados los vectores 1,2,3 ; 4, 3, 1 ; 5, 3,5 ; 2,1,6A B C D= = − − = − − = − determine

los escalares a, b y c tales que aA bB cC D+ + = En los ejercicios del 39 al 42, determine los cosenos directores del vector ( )1 2V PP y

verifique las respuestas al mostrar que la suma de sus cuadrados es 1. 39) ( ) ( )1 23, 1, 4 ; 7,2,4P P− −

40) ( ) ( )1 22,6,5 ; 2,4,1P P−

41) ( ) ( )1 24, 3, 1 ; 2, 4, 8P P− − − − −

42) ( ) ( )1 21,3,5 ; 2, 1,4P P −

43) Utilice los puntos del ejercicio 39 y obtenga el punto Q tal que ( ) ( )1 2 13PP PQ= .

44) Utilice los puntos del ejercicio 42 y obtenga el punto R tal que ( ) ( )1 22PR P R= −

45) Dados ( )1 3, 2, 4P − y ( )2 5,4,2P − , determine el punto 3P tal que ( ) ( )1 2 2 34 3PP P P= −

46) Dados ( )1 7,0, 2P − y ( )2 2, 3,5P − , determine el punto 3P tal que ( ) ( )1 3 2 35PP P P=

En los ejercicios 47 y 49, exprese el vector en términos de su módulo y de sus cosenos directores.

47) 6 2 3A i j k= − + + 48) 2 3A i j k= − + − 49) 3 4 5A i j k= + − En los ejercicios 50 y 51, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de

( )1 2PP

CÁLCULO VECTORIAL


50) ( ) ( )1 2) 4, 1, 6 ; 5,7, 2a P P− − − 51) ( ) ( )1 2) 3,0, 1 ; 3,8, 1a P P− − − 52) Si P, Q, R y S son cuatro puntos del espacio tridimensional y A, B, C y D son los puntos medios de PQ, QR, RS y SP, respectivamente, demuestre mediante geometría analítica que A B C D es un paralelogramo. 53) Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular tienen la misma longitud. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , , , , , ,0 , ,0,0 , 0, , , ,0, , 0, ,0A B a b c C a b H a G b c E a c F b

54) Halle las longitudes de los lados del triángulo PQR . ¿Es un triángulo rectángulo? ¿Es un triángulo isósceles? ( ) ( ) ( )3, 2, 3 , 7,0,1 , 1, 2,1P Q R− − 55) Determine si los puntos yacen en una línea recta. a) ( ) ( ) ( )2,4, 2 , 3,7, 2 , 1,3,3A B C− b) ( ) ( ) ( )0, 5,5 , 1, 2, 4 , 3, 4, 2D E F− −

56) Determine el ángulo de la coordenada γ para 2F y entonces expresa cada fuerza que actúa en el anaquel como un vector Cartesiano.

57) Determine que la magnitud y ángulos de dirección de coordenadas de la fuerza resultante actuando en el anaquel.

58) Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante que actúa en la cañería.

59) La fuerza F que actúa en el anaquel dentro del OCTANTE mostrado. Si

400 , 60ºF N β= = y 45ºγ = , determine los componentes , ,x y z de F .

CÁLCULO VECTORIAL


60) La fuerza F que actúa en el anaquel dentro del OCTANTE mostrado. Si la magnitud de los componentes x y z de F son 300xF N= y 600zF N= , respectivamente, y

60ºβ = , determine la magnitud de F y su componente y . También, encuentre los ángulos de dirección de coordenadas α y γ .

61) Las dos fuerzas 1F y 2F actúan en A tenga una fuerza resultante de

{ }100RF k lb= − . Determine la magnitud y ángulos de dirección de coordenadas de 2F .

62) Determine el ángulo de dirección de coordenada de la fuerza 1F y los indica en la figura.

63) El compuesto de la espuela a las dos fuerzas causadas por el contacto con otros compuestos. Determine la fuerza resultante de las dos fuerzas y expresa el resultado como un vector Cartesiano.

64) Si la fuerza resultante en el anaquel es { }300 650 250RF i j k N= − + + , determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de F .

CÁLCULO VECTORIAL


65) Si la fuerza resultante que actúa en el andén será { }800RF j N= , determine la

magnitud y ángulo de dirección de coordenada de F .

66) Si 120º , 90º , 60ºα β γ= < = y 400F lb= , determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante que actúa en el gancho.

67) Si la fuerza resultante que actúa en el gancho es { }200 800 150RF i j k= − + + ,

determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de F .

68) El árbol S ejerce tres componentes de fuerza en el dado D . Encuentra la magnitud y ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante. La fuerza 2F los actos dentro del OCTANTE mostrado.

CÁLCULO VECTORIAL


69) El mástil se sujeta a las tres fuerzas mostradas. Determine el ángulo de dirección de coordenada 1 1 1, ,α β γ de 1F para que la fuerza resultante que actúa en el mástil sea

{ }350RF i N=

70) El mástil se sujeta a las tres fuerzas mostradas. Determine los ángulos de dirección de coordenadas 1 1 1, ,α β γ de 1F para que la fuerza resultante que actúa en el mástil sea cero.

71) Determina la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de 2F para que la resultante de las dos fuerzas que actúan a lo largo del eje x y tiene una magnitud de 500N .

72) Determinar la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de 2F para que la resultante de las dos fuerzas es cero.

CÁLCULO VECTORIAL


73) Si la fuerza resultante actuando en el anaquel es direccionado a lo largo del eje y , determine la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo de dirección de coordenada de F para que 90β < ° .

74) Especifique la magnitud de 3F y sus ángulos de dirección de coordenada 3 3 3, ,α β γ para

la fuerza resultante { }9RF j k N= .

75) Si ( )9,231

9,581 = y ( )9,2319,581 x= , determine la magnitud y el ángulo de dirección de

coordenada de la fuerza resultante actuando en la junta de rótula.

76) El pole se sujeta a la fuerza F , que tiene componentes que actúan a lo largo de los ejes , ,x y z mostrado. Si la magnitud de F es 3 , 30kN β = ° y 75γ = ° , determine la magnitud de tres componentes.

CÁLCULO VECTORIAL


77) La pole se sujeta a la fuerza F que tiene componentes 1,5xF kN= y 1,25zF kN= . Si

75β = ° , determine la magnitud de F y yF .

78) Tres fuerzas actúan en el ring. Si la fuerza resultante RF tiene una magnitud y dirección

como se muestra, determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de fuerza 3F .

79) Determine el ángulo de dirección de coordenada de 1F y RF .

80) Dos fuerzas 1F y 2F que actúan en la saeta. Si la fuerza resultante RF tiene una magnitud

de 50 lb y el ángulo de dirección de coordenada 110α = ° y 80β = ° , como se muestra,

determine la magnitud de 2F y el ángulo de dirección de coordenada.

81) Determine el vector posición r dirigido de punto A al punto B y la longitud del cordón AB . Usa 4z m= .

82) Si el cordón AB es longitud 7,5m , determine la posición de la coordenada z+ del punto

B

CÁLCULO VECTORIAL


83) Determine la distancia entre el punto extremo A y B en el alambre formulando un vector de la posición primero de A y B y entonces determinando su magnitud.

84) Determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de la fuerza resultante actuando a A .

85) Determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante.

86) Determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante actuando en A .

87) Determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenada de la fuerza resultante.

CÁLCULO VECTORIAL


88) El candelabro se apoya por tres cadenas que están coexistente en el punto O . Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 60 lb , exprese cada fuerza como un vector Cartesiano y determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas de la fuerza resultante.

89) El candelabro se apoya por tres cadenas que están coexistente en el punto O . Si la fuerza resultante a O tiene una magnitud de 130 lb y se dirige a lo largo del eje negativo de z , determine la fuerza en cada cadena.

90) La fuerza expresa F como un vector Cartesiano, entonces sus ángulos de dirección de coordenada.

91) La torre se sostiene en el lugar por tres cables. Si la fuerza de cada cable que actúa en la torre se muestra, determine la magnitud y el ángulo de dirección de coordenadas

, ,α β γ de la fuerza resultante. Toma 20 , 15x m y m= = .

92) La puerta se sostiene abierto por medio de dos cadenas. Si la tensión en AB y CD es 300AF N= y 250CF N= , respectivamente, exprese cada uno de estas fuerzas en la forma de vector Cartesiano.

CÁLCULO VECTORIAL


93) Los alambres del tipo se usan para apoyar el polo del teléfono. Represente la fuerza en cada alambre en la forma de vector Cartesiano. Desprecie el diámetro del polo.

94) Se usan dos cables afianzar el estampido de la proyección en la posición y apoyar la carga 1500N . Si la fuerza resultante se dirige a lo largo del estampido del punto A hacia O , determine la magnitud de la fuerza resultante y fuerzas BF y CF . Juega 3x m= y

2z m= .

95) Se usan dos cables afianzar el estampido de la proyección en la posición y apoyar la carga 1500N . Si la fuerza resultante se dirige a lo largo del estampido del punto A hacia O , determine los valores de x y z por las coordenadas de punto C y magnitud de la fuerza resultante. Jugar 1610BF N= y 2400CF N= .

cÁlculo vectorial · 2016. 6. 13. · el espacio vectorial v3 debido a que cualquier vector aa a12...

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