Introducción a el calculo vectorial

Integrantes • Jaime Andrés Pacheco• María Juliana Escobar • Orley Romario Barrera• Jesús Alberto Rincón • Manuel Felipe Garzón • Zaira Camila Pabón • María José Guevara

El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

¿Qué es el calculo Vectorial?

Dotar al plano bidimensional R2 de coordenadas cartesianas 2D es establecer una biyecci ´on entre el conjunto de puntos del plano y el conjunto de parejas(x,y), donde

x ∈ R, y ∈ RSegún estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

Coordenadas en el Plano

• Coordenadas

Dotar al espacio tridimensional R3 de coordenadas cartesianas es establecer una biyeccion entre el conjunto de puntos de espacio tridimensional y el conjunto de ternas (x,y,z), donde

A Coordenadas: x ∈ R, y ∈ R, z ∈ Re

* Superficies elementales Si a,b,c ∈ R constantes diferentes de cero, entonces

Coordenadas en el Espacio R3

El producto escalar es una multiplicación entre dos vectores que da como resultado un escalar.

Para vectores expresados en coordenadas cartesianas el producto escalar se realiza multiplicando cada coordenada por la misma coordenada en el otro vector y luego sumando los resultados.

Producto Escalar

Conmutativa

Asociativa

Distributiva

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Propiedades del producto escalar

El producto vectorial es una multiplicación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a ambos. Dado que el resultado es otro vector, se define su módulo, dirección y sentido.

PRODUCTO VECTORIAL

El módulo se calcula como el producto de los módulos de los vectores multiplicado por el seno del ángulo que los separa. Es Igual a:

La dirección es sobre la recta ortogonal a ambos vectores, es decir que forma 90 grados con los mismos.

El sentido se calcula con la regla del tirabuzón, imaginando que gira por la recta ortogonal del origen entre uno y otro vector de tal forma que avance. Esto quiere decir que en el producto vectorial importa el orden en que se multiplican los vectores, ya que determina el sentido del vector resultado.

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Calcular el producto vectorial de los vectores   = (1, 2, 3) y   = (−1, 1, 2).

Ángulo entre dos vectores, trazados de un punto, se llama el ángulo más corto al cual hay que girar uno de los vectores alrededor de su inicio hasta la posición de co-dirección con el otro vector.

El coseno del ángulo entre vectores equivale al producto escalar de dos vectores dividido en el producto de módulos de estos vectores

  ÁNGULO DE DOS VECTORES

Ejemplo:

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo:

El ángulo (abertura) que forma el vector con los ejes positivos X y Y del plano cartesiano.

Están comprendidos entre 0o y 180o grados No existe convención para el giro de los angulos

directores. Los ángulos directores en el plano son:α es el que forma el vector con el eje positivo de las Xβ es el que forma el vector con el eje positivo de las Y

ÁNGULOS DIRECTORES