cÀlcul de probabilitats problemes (amb problemes resolts)lmontero/lmm_tm/qua_cp_pro.pdf · cÀlcul...

of 88 /88
CÀLCUL DE PROBABILITATS PROBLEMES (Amb Problemes Resolts) DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA Lídia Montero Mercadé Mónica Bécue Bertaut Departament Estadística i Investigació Operativa Despatx 421 Setembre de 2.004

Author: others

Post on 07-Jan-2020

3 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • CÀLCUL DE PROBABILITATS PROBLEMES

    (Amb Problemes Resolts)

    DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA

    Lídia Montero Mercadé

    Mónica Bécue Bertaut Departament Estadística i Investigació Operativa

    Despatx 421

    Setembre de 2.004

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 2 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 3

    TAULA DE CONTINGUTS

    1. TEMARI DETALLAT DEL CÀLCUL DE PROBABILITATS __________________________ 7

    2. DIVISIÓ DE LES HORES LECTIVES______________________________________________ 9

    2.1 INTRODUCCIÓ AL SISTEMA D’AVALUACIÓ ___________________________________________ 9

    3. PROBLEMES VARIS ___________________________________________________________ 11

    3.1 ELS DAUS BLAU I VERMELL _____________________________________________________ 11 3.2 INDEPENDÈNCIA I PROBABILITAT _________________________________________________ 11 3.3 BOLES DE COLORS _____________________________________________________________ 12 3.4 DAUS DE COLORS ______________________________________________________________ 12 3.5 INDEPENDÈNCIA DOS A DOS, INDEPENDÈNCIA MÚTUA________________________________ 12 3.6 UN DE OPOSICIONS _____________________________________________________________ 12 3.7 PARELLS DE NOMBRES ALEATORIS _______________________________________________ 13 3.8 EL DAU DE TRES CARES_________________________________________________________ 13 3.9 EL PARC NATURAL_____________________________________________________________ 13 3.10 UN DE DOS JUGADORS ... _______________________________________________________ 13 3.11 ELS TRES JUGADORS __________________________________________________________ 14 3.12 LA MALÀRIA _________________________________________________________________ 14 3.13 LA MALÀRIA ALTRE COP ______________________________________________________ 15 3.14 LA ROTLLANA DE NENS ________________________________________________________ 15 3.15 EL VENEDOR DE LLIBRES ______________________________________________________ 15 3.16 ELS PRODUCTES FARMACEUTICS_________________________________________________ 16 3.17 UN DE MONEDES TRUCADES_____________________________________________________ 16 3.18 ELS DESPATXOS ______________________________________________________________ 17 3.19 LOTERIA A L’ESCOLA__________________________________________________________ 17 3.20 LA CASETA DE LA FIRA ________________________________________________________ 17 3.21 LA MEMÒRIA D’ACCÉS RÀPID __________________________________________________ 18 3.22 EL GOS DE LA BENZINERA ______________________________________________________ 18 3.23 UNA VARIABLE ALEATÒRIA ESGLAONADA ________________________________________ 18 3.24 EL TALLER DE REPARACIÓ D’ORDINADORS _______________________________________ 19 3.25 UN DE VERIFICACIÓ DE PROPIETATS _____________________________________________ 20 3.26 LES ATURADES D’UNS SISTEMES DE CONTROL _____________________________________ 20 3.27 LES AVARIES D’UN CENTRE DE CÀLCUL __________________________________________ 21 3.28 RECANVIS DE PECES___________________________________________________________ 21 3.29 UN DE DESCRIPTIVA BIVARIANT _________________________________________________ 22 3.30 EL CONCURS DE MÈRITS _______________________________________________________ 22 3.31 LES QÜES AL PEATGE__________________________________________________________ 23 3.32 UNA APLICACIÓ DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT _______________________________ 23 3.33 UN DE PARELL DE VARIABLES DISCRETES_________________________________________ 23 3.34 UN NOU PARELL DE VARIABLES DISCRETES _______________________________________ 24 3.35 MÉS DE PARELL DE VARIABLES _________________________________________________ 24 3.36 UN PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I DISCRETES________________________________ 24 3.37 PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I CONTÍNUES __________________________________ 25

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 4 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    3.38 L’ESPERA A CORREUS _________________________________________________________ 25 3.39 LA FINESTRETA D’ATENCIÓ AL PÚBLIC ___________________________________________ 25 3.40 LA TENDA DE PEIXOS __________________________________________________________ 26 3.41 UN VIATGE TRANSATLÀNTIC____________________________________________________ 26 3.42 EL TUB DE RAJOS CATÒDICS____________________________________________________ 26 3.43 VIDA DE DISPOSITIUS ELECTRÒNICS _____________________________________________ 27 3.44 EL CREUAMENT DE TRENS _____________________________________________________ 27 3.45 LA MÀQUINA D’EMPLENAR CARAMELS ___________________________________________ 28 3.46 LA NORMAL TRUNCADA _______________________________________________________ 28 3.47 LES ALÇADES EN MATRIMONIS__________________________________________________ 29 3.48 LES AMPOLLES D’OLI _________________________________________________________ 29 3.49 LES EMPRESES D´ESTUDIS DE MERCAT ___________________________________________ 30 3.50 UN DE PROPIETATS BÀSIQUES ___________________________________________________ 30 3.51 UN ALTRE DE PROPIETATS BÀSIQUES EN UN PARELL DE V.A. __________________________ 31 3.52 LES MALALTIES TROPICALS ____________________________________________________ 31 3.53 PER PENSAR ... _______________________________________________________________ 32

    4. INDICACIÓ DE LA RESOLUCIÓ DELS PROBLEMES _____________________________ 33

    4.1 ELS DAUS VERMELL I BLAU.______________________________________________________ 33 4.2 INDEPENDÈNCIA I PROBABILITAT._________________________________________________ 34 4.3 BOLES DE COLORS. _____________________________________________________________ 34 4.4 DAUS DE COLORS. ______________________________________________________________ 35 4.5 INDEPENDÈNCIA DOS A DOS; INDEPENDÈNCIA MÚTUA. ________________________________ 35 4.6 UN D’OPOSICIONS. _____________________________________________________________ 36 4.7 PARELLS DE NOMBRES ALEATORIS. _______________________________________________ 37 4.8 EL DAU DE TRES CARES. _________________________________________________________ 37 4.9 EL PARC NATURAL._____________________________________________________________ 38 4.10 UN DE DOS JUGADORS. _________________________________________________________ 38 4.11 ELS TRES JUGADORS. __________________________________________________________ 39 4.12 LA MALÀRIA._________________________________________________________________ 40 4.13 LA MALÀRIA ALTRE COP._______________________________________________________ 40 4.14 LA ROTLLANA DE NENS. ________________________________________________________ 41 4.15 EL VENEDOR DE LLIBRES. ______________________________________________________ 43 4.16 ELS PRODUCTES FARMACÈUTICS. ________________________________________________ 44 4.17 UN DE MONEDES TRUCADES. ____________________________________________________ 45 4.18 ELS DESPATXOS ______________________________________________________________ 47 4.19 LOTERIA A L’ESCOLA. _________________________________________________________ 47 4.20 LA CASETA DE LA FIRA. ________________________________________________________ 48 4.21 LA MEMÒRIA D’ACCÉS RÀPID. ___________________________________________________ 48 4.22 EL GOS DE LA BENZINERA. ______________________________________________________ 49 4.23 UNA VARIABLE ALEATÒRIA ESGLAONADA._________________________________________ 49 4.24 EL TALLER DE REPARACIONS D’ORDINADORS.______________________________________ 50 4.25 UN DE VERIFICACIÓ DE PROPIETATS. _____________________________________________ 51 4.26 LES ATURADES D’UNS SISTEMES DE CONTROL. _____________________________________ 52 4.27 LES AVARIES D’UN CENTRE DE CÀLCUL.___________________________________________ 53 4.28 RECANVIS DE PECES. __________________________________________________________ 53 4.29 UN DE DESCRIPTIVA BIVARIANT. _________________________________________________ 53 4.30 EL CONCURS DE MÈRITS. _______________________________________________________ 53 4.31 LES CUES AL PEATGE. _________________________________________________________ 53 4.32 UNA APLICACIÓ DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT. ________________________________ 53 4.33 UN PARELL DE VARIABLES DISCRETES.____________________________________________ 53 4.34 UN NOU PARELL DE VARIABLES. _________________________________________________ 55

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 5

    4.35 MÉS DE PARELLS DE VARIABLES. ________________________________________________ 56 4.36 UN PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I DISCRETES. ________________________________ 56 4.37 PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I CONTÍNUES.___________________________________ 57 4.38 L’ESPERA A CORREUS. _________________________________________________________ 57 4.39 LA FINESTRETA D’ATENCIÓ AL PÚBLIC. ___________________________________________ 57 4.40 LA TENDA DE PEIXOS.__________________________________________________________ 58 4.41 UN VIATGE INTERNACIONAL.____________________________________________________ 59 4.42 EL TUB DE RAJOS CATÒDICS. ____________________________________________________ 59 4.43 VIDA DE DISPOSITIUS ELECTRÒNICS. _____________________________________________ 60 4.44 EL CREUAMENT DE TRENS. _____________________________________________________ 60 4.45 LA MÀQUINA D’EMPLENAR CARAMELS. ___________________________________________ 61 4.46 LA NORMAL TRUNCADA. _______________________________________________________ 62 4.47 LES ALÇADES EN MATRIMONIS. __________________________________________________ 63 4.48 LES AMPOLLES D’OLI. _________________________________________________________ 63 4.49 LES EMPRESES D’ESTUDI DE MERCAT. ____________________________________________ 65 4.50 UN DE PROPIETATS BÀSIQUES.___________________________________________________ 65 4.51 UN ALTRE DE PROPIETATS BÀSIQUES EN UN PARELL DE V.A. __________________________ 66 4.52 LES MALALTIES TROPICALS. ____________________________________________________ 67

    5. TAULES ESTADÍSTIQUES (AUTOR: JOSÉ ANTONIO GONZÁLEZ)_________________ 69

    77

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 6 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 7

    1. TEMARI DETALLAT DEL CÀLCUL DE PROBABILITATS

    L’orientació del temari posa èmfasi especial en la relació entre els espais de probabilitat i les variables aleatòries (discretes per claredat). Els conceptes fonamentals de variable aleatòria es presenten inicialment en el context discret per facilitar una visió més intuïtiva, per finalment en el Tema 4 presentar la definició general de variable aleatòria, tot relacionant els conceptes generals amb el ja conegut en el context discret. TEMA 1. INTRODUCCIÓ A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Definició de mostra, població, matriu de dades i variable. Classificació de variables. Tècniques d’Estadística Descriptiva Univariant: Indicadors numèrics: clàssics i robustos de tendència central i dispersió. Eines gràfiques: Histogrames, diagrames de barres. Boxplot Tècniques d’Estadística Descriptiva Bivariant. Introducció. TEMA 2. INTRODUCCIÓ A LA TEORIA DE LA PROBABILITAT Introducció i motivacions: concepte d’experiència aleatòria Espais de probabilitat El conjunt de resultats d’una experiència aleatòria

    Esdeveniments o successos Definició de probabilitat i propietats Recordatori de combinatòria

    Probabilitat condicionada Definició i concepte Independència entre successos Teorema de les probabilitats totals Fórmula de Baies

    TEMA 3. VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA Definició i propietats d’una variable aleatòria discreta Funció de probabilitat i funció de distribució Variables aleatòries discretes clàssiques

    Llei de Bernoulli Llei Binomial Llei geomètrica

    Llei conjunta de 2 variables aleatòries discretes: definició i concepte Distribució conjunta, distribució condicional, distribució marginal

    Moments d’una variable aleatòria discreta Esperança i variància: relació amb els estadístics mostrals

    Moments de funcions de vàries variables discretes Covariància i coeficient de correlació

    Independència i no-correlació

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 8 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    Variables aleatòries discretes clàssiques Llei de Poisson. Relació amb la llei Binomial Llei Binomial negativa

    TEMA 4. VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA Definició i propietats Funció de distribució i funció densitat de probabilitat: definicions i diferència amb el cas discret Moments en les variables aleatòries contínues Llei conjunta de variables aleatòries contínues Independència Variables aleatòries contínues clàssiques

    Llei uniforme Llei de Laplace-Gauss o Normal. Llei exponencial. Relació amb els processos poissonians Distribucions associades a la llei normal: χ 2 de Pearson, T-Student, F-Fisher.

    Teorema central del límit

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 9

    2. DIVISIÓ DE LES HORES LECTIVES

    La part teòrica de l’assignatura comporta 3 h/set i es realitza amb el grup complert. La part pràctica de l’assignatura comporta 2h/set de classe per cada subgrup i consta de: • Problemes. Sessions de 2 hores cadascuna durant el quadrimestre. Els estudiants amb ajuda

    del professor de pràctiques farà la resolució a classe de problemes de la llista auxiliar de suport a la docència prèviament indicats. La participació mitjançant el lliurament del treball fet a la sessió constituirà la nota de seguiment de l’assignatura i es reflectirà a la nota final de l’assignatura.

    • Pràctiques de Laboratori. Disponibilitat de vàries sessions de 2 hores en el quadrimestre per la iniciació en l’aprenentatge del paquet estadístic MINITAB (versió 13 per WINDOWS) en l’entorn de la xarxa de PC’s de l’escola.

    Per evitar confusions sobre els continguts, les sessions de pràctiques (2h/set) s’anomenen sessions de problemes i sessions de laboratori atenent als continguts esmentats al paràgrafs anteriors. 2.1 Introducció al sistema d’avaluació

    El sistema d’avaluació de l’assignatura de Càlcul de Probabilitats compren tres elements: • Una prova parcial (15%). La nota estarà disponible abans del període d’exàmens del

    quadrimestre. • Un examen final del quadrimestre (65%). • L’avaluació del seguiment en les classes de problemes de l’assignatura, a realitzar pel

    professor de pràctiques (20%). Aquest element de l’avaluació es publicarà abans de la data de convocatòria per l’examen final.

    Resum d’avaluació

    ASPECTE % NOTA FINAL NOTA de PROVA PARCIAL 15 NOTA d’EXAMEN FINAL(*) 65 NOTA DE SEGUIMENT 20

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 10 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 11

    3. PROBLEMES VARIS

    Els alumnes de l’assignatura disposen del present llibret de Quadern de Càlcul de Probabilitats. Es tindrà en compta la participació a pissarra en la resolució dels problemes. La llista de problemes per suport de docència es troba a continuació en aquest quadern i està constituïda per problemes desenvolupats per professors del departament, bàsicament pels professors R.Nonell, J.A.González i Lídia Montero. Es proposaran amb 1 setmana d’antelació els problemes a resoldre pels alumnes. El pes de la nota de problemes en la nota final de l’assignatura és del: 5%.

    3.1 Els Daus Blau i Vermell Es llencen dos daus, un de blau i un de vermell, tot notant X com el número obtingut amb el dau blau i Y com el número obtingut amb el dau vermell. Sigui Ω, l’espai de tots els parells de possibles valors o espai fonamental de l’experiència aleatòria.

    • Representeu l’espai Ω mitjançant un diagrama cartesià.

    • Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment A format per tots els resultats que compleixen x y+ = 8.

    • Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment B format per tots els resultats que compleixen x y− = 3.

    • Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment C format per tots els resultats que compleixen 1 2 1 2≤ ≤ ≤ ≤x o y .

    • Quin és l’esdeveniment A B C∩ ∩ ? S’aconsella emprar la fórmula de Morgan.

    3.2 Independència i Probabilitat

    Sigui un espai fonamental Ω, un esdeveniment A i el seu complementari A .

    ⇒ Considereu una primera probabilitat P, definida per P(A) = 1/3. Demostreu que A i A no són independent per la probabilitat P.

    ⇒ Considereu una segona probabilitat P´, definida per P'(A) =1. Són els esdeveniments A i A independents per la probabilitat P´?

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 12 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    3.3 Boles De Colors

    Es consideren dues bosses S1 i S2, que contenen cadascuna 3 boles vermelles i 7 boles negres. Es fa l’extracció d’una bola de S1 i se la col·loca a S2. Quina és la probabilitat d’extreure una bola vermella de S2 en una extracció posterior?

    3.4 Daus De Colors

    Una bossa conté 7 daus vermells, 5 daus grocs i 3 daus verds. S’extreuen successivament 3 daus. Quina és la probabilitat que el primer dau sigui vermell, el segon groc i el tercer verd si:

    ⇒ ... es fa reposició dels daus després de cada extracció?

    ⇒ ... no es fa reposició dels daus després de cada extracció?

    3.5 Independència Dos A Dos, Independència Mútua

    Es llencen successivament dos daus equilibrats, tot definint els següents esdeveniments:

    • A: El primer número obtingut és senar.

    • B: El segon número obtingut és parell.

    • C: Els dos números tenen la mateixa paritat.

    Demostreu que A i C, A i B i B i C són independents dos a dos, però que A, B i C no són mútuament independents.

    3.6 Un de Oposicions

    Una persona es presenta a una oposició per entrar a formar part del cos de funcionaris de la Generalitat de Catalunya, com a informàtic. L’oposició consta de 50 temes distribuïts en dos blocs: 20 temes són d’Arquitectura de Computadors (AC) i 30 temes són de Llenguatges i Sistemes d’Informació (LSI). D’aquests 50 temes els candidats hauran de desenvolupar-ne 5. La forma d’escollir aquests 5 temes és: se’n tria un a l’atzar i després els 4 restants s’escullen a l’atzar entre els del bloc que corresponguin al primer tema escollit. El candidat decideix d’estudiar-se només 15 temes a l’atzar, 10 de LSI i 5 de AC. Per aprovar la oposició s’han de desenvolupar bé 4 o més temes (suposem que el candidat desenvolupa bé els temes que s’ha estudiat).

    ⇒ Quina és la probabilitat d’aprovar l’oposició?

    ⇒ Si ha aprovat la oposició, quina és la probabilitat que hagin sortit els temes de LSI?

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 13

    3.7 Parells De Nombres Aleatoris

    Un programa d’ordinador produeix parell de números enters a l’atzar compresos entre el 0 i el 9, ambdós inclosos. Suposem que el programa actua com un generador de números aleatoris perfecte, és a dir, es verifiquen les tres hipòtesis següents:

    • Independència entre els 2 números que integren un determinat parell.

    • Equiprobabilitat de generació de cadascun dels números.

    • Independència mútua dels parells de números generats successivament.

    S’executa el programa sol·licitant la producció de n parells. Quina és la probabilitat que entre aquests n parells n’hi hagi al menys un parell constituït per dos números idèntics? Calculeu la probabilitat per n=10 i n=50.

    3.8 El Dau de Tres Cares Un dau de sis cares té únicament tres valors possibles: 1, 2 i 3, tots ells equiprobables. Es proposa la realització del següent joc:

    Llencem un dau, si surt 3 guanyem, si surt 1 o 2 continuem repetint el llançament fins obtenir el resultat de la primera tirada, situació que en dona la victòria, o bé fins a obtenir un valor 3, situació que comporta l’aturada del joc amb pèrdua per la nostra part.

    ⇒ Calculeu la probabilitat de guanyar.

    3.9 El Parc Natural Un parc natural del nostre país està dividit en dues parts iguals per un riu, dites A i B. Els biòlegs han pogut comptabilitzar 10 isards a la part A i 10 isards a la part B. Un biòleg del parc realitza investigacions sobre la conducta d’un dels isards de A, que anomenem X. Per un error dels vigilants, 9 dels isards de A passen a B, però un cop assabentats de l’incident, els vigilants retornen 9 dels isards de B, triats a l’atzar, a la part A. El biòleg no massa satisfet pel desenvolupament dels fets ha de prosseguir les seves investigacions sobre el isard X. En quina de les 2 parts, A o B, és preferible que comenci a buscar el seu isard?

    3.10 Un de Dos Jugadors ...

    Dos jugadors, A i B juguen al següent joc:

    A tira un dau de sis cares perfectament equilibrat. Si surt 1 o 2 treu una bola d’una urna U1 i si surt 3, 4, 5 o 6, treu una bola d’una altra urna U2. La urna U1 conté 60 boles blanques i 40 boles negres. La urna U2 conté 40 boles blanques i 60 boles negres.

    A comunicada al jugador B el color de la bola extreta i aleshores B ha d’endevinar per guanyar de quina urna procedeix, altrament guanya A.

    ⇒ Dibuixeu l’arbre de probabilitats associat a l’experiència aleatòria.

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 14 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    ⇒ Apliqueu el Teorema de Probabilitats Totals per determinar la probabilitat que A extregui una bola blanca. Repetiu els càlculs per una bola negre.

    ⇒ Quina estratègia seguiríeu en aquest joc si fóssiu el jugador B?

    3.11 Els Tres Jugadors

    Una urna conté 6 boles blanques i 5 boles negres. Tres jugadors, A, B i C, extreuen una bola sense reposició, en aquest mateix ordre. Les normes del joc indiquen que guanya el primer jugador que treu una bola blanca, en la vinantesa que si en finalitzar l’extracció C no hi hagut un guanyador, els jugadors tornen a començar l’extracció, sense retornar les boles i en el mateix ordre.

    ⇒ Calculeu les probabilitats respectives de guanyar dels tres jugadors.

    3.12 La Malària

    La malària, E, mostra dues varietats incompatibles que es solen notar-se com a E1 i E2. Un equip de patòlegs estudia dues síntomes de la malària, dites S1 i S2, per tal de poder millorar la diagnosi de la varietat de malària que pateixen els pacients. Es sap que cap de totes dues síntomes és característica de cap varietat, és a dir, que poden aparèixer les dues síntomes en persones sanes i a l’inrevés, estar una persona malalta i no mostrar-ne cap de les dues.

    La recerca mèdica ha mostrat fins el moment:

    • prob. de contraure la varietat E1: 0.18

    • prob. de contraure la varietat E2: 0.09

    • Pels pacients amb la varietat E1:

    ◊ prob. només síntoma S1: 0.55

    ◊ prob. només síntoma S2: 0.12

    ◊ prob. totes dues síntomes: 0.25

    • Pels pacients amb la varietat E2:

    ◊ prob. només síntoma S1: 0.14

    ◊ prob. només síntoma S2: 0.42

    ◊ prob. totes dues síntomes: 0.32

    • Per les persones sanes, no malaltes de E:

    ◊ prob. només síntoma S1: 0.06

    ◊ prob. només síntoma S2: 0.08

    ◊ prob. totes dues síntomes: 0.03

    Quin és el millor indicador per un pacient amb malària de varietat E1:

    ⇒ Una síntoma, S1 o S2

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 15

    ⇒ Una síntoma, però no l’altra

    ⇒ Les dues síntomes

    ⇒ Cap de les dues síntomes ?

    3.13 La Malària Altre Cop

    Determineu ara quin és el millor indicador per un pacient amb malària de varietat E2:

    ⇒ Una síntoma, S1 o S2

    ⇒ Una síntoma, però no l’altra

    ⇒ Les dues síntomes

    ⇒ Cap de les dues síntomes ?

    3.14 La Rotllana de Nens

    Un nens juguen aplegats en tres rotllanes, de manera que inicialment:

    • La primera rotllana conté 1 nen i 3 nenes.

    • La segona rotllana conté 4 nens i 2 nenes.

    • La tercera rotllana conté 5 nens i 5 nenes.

    Després d’una estona, un infant (nen o nena) ha passat de la primera rotllana a la segona, un altre de la segona a la tercera i un tercer infant, ha passat de la tercera rotllana a la primera.

    ⇒ Quina és la probabilitat que s’hagi mantingut la proporció de nens i nenes a totes les rotllanes?

    ⇒ Quina és la probabilitat en triar un infant a l’atzar de la primera rotllana que sigui nen ?

    3.15 El Venedor de Llibres

    Un venedor de Grans Enciclopèdies a domicili tria setmanalment el districte de treball, entre tres possibilitats l’Eixampla, Gràcia o les Corts, amb probabilitats respectives de 0.5, 0.25 y 0.25 i independentment de la tria efectuada en setmanes anteriors. Si va a l’Eixampla sap que té un 80% de possibilitats de vendre alguna enciclopèdia, mentre que si va a Gràcia o les Corts, les probabilitats respectives són del 40 i el 60%.

    ⇒ Quina és la probabilitat que una certa setmana vengui alguna enciclopèdia?

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 16 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    ⇒ Quina és la probabilitat d’haver venut alguna enciclopèdia almenys 2 setmanes durant un mes?

    ⇒ Si tot acabant una setmana el venedor no ha venut res, a quin barri, més probablement, haurà estat treballant aquella setmana? Raoneu amb càlculs precisos.

    ⇒ Un company d’ofici també tria setmanalment el districte de treball, entre els 3 anteriors, però de manera equiprobable. Quina és la probabilitat que els dos venedors coincideixin al mateix districte almenys un cop durant dues setmanes?

    3.16 Els productes farmaceutics

    Una fàbrica de productes farmacèutics produeix 1000 unitats diàries d´un producte via dos procediments diferents, tant tècnica com econòmicament. El primer procediment és més laboriós, però produeix un 99% d’unitats satisfactòries sobre un 25% del total diari de la producció. El segon procediment produeix el 75% restant de les unitats, però amb un 10% d’unitats defectuoses. Donat el lot de fabricació d´un dia qualsevol, s’extrau una unitat a l’atzar. Si la unitat és satisfactòria, quina és la probabilitat que s´hagi fabricat via el segon procediment?

    1. Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

    2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior i fent extraccions amb reposició de 10 unitats, quina és la probabilitat d’obtenir com a màxim l peça defectuosa? Emprar el Teorema de Bayes en la resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

    3. Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com el número de peces defectuoses obtingut en la selecció amb reposició de 2 unitats d´un lot diari. Quina és l’esperança matemàtica de X? Determineu clarament els valors de la v.a. X i la partició de Ω induïda.

    3.17 Un de monedes trucades

    Una bossa conté 100 monedes, 25 d’elles amb una cara per ambdues bandes i les 75 restants perfectament normals (una cara i una creu) i equilibrades. S’extrau una moneda a l’atzar.

    1. Quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 2 llençaments consecutius? Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

    2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior, quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 10 llençaments consecutius? Emprar el Teorema de Bayes en la resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

    3. Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com el número de cares obtingut en el llençament consecutiu dues vegades de la moneda triada a l’experiència anterior. Quina és l’esperança matemàtica de X? Determineu clarament els valors de la v.a. X i la partició de Ω induïda.

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 17

    3.18 Els despatxos

    Un edifici de la UPC té nou despatxos. Un professor té probabilitat ½ de tenir el despatx a l’esmentat edifici i, si es troba en l’edifici, té la mateixa probabilitat d’estar en qualsevol dels nou despatxos.

    1. Quina és la probabilitat p que el despatx del professor sigui el novè despatx?

    2. S’obren inexitosament els vuit primers despatxos. Quina és la probabilitat q que el professor sigui al novè despatx?

    3.19 Loteria a l’Escola

    En una escola de la nostra universitat s’ha muntat una loteria per tal de finançar un viatge de final de carrera dels alumnes. Els números de la loteria poden ésser de 4 xifres i es venen a 1000 ptes cadascun. La distribució de premis es la següent:

    • Un premi gros de 500.000 ptes per un únic número.

    • Un premi de 50.000 ptes per tots els números que tinguin una determinada terminació de 3 xifres.

    • Un premi de 5.000 ptes per tots els números que tinguin una determinada terminació de 2 xifres.

    • La devolució dels diners per tots els números que tinguin una xifra final determinada.

    Durant el sorteig es procura que les terminacions no siguin coincidents per tal de no acumular premis. Determineu:

    ⇒ Quin és l’espai fonamental associat?

    ⇒ Sigui X la v.a. benefici net per algú que compri un número. Descriure els conjunt de valors i la funció de probabilitat.

    ⇒ Quin és el benefici net esperat?

    3.20 La Caseta de la Fira

    El propietari d’una caseta de fira de tir al blanc assegura que per un jugador amb probabilitat de fer blanc p, fer un blanc incrementa la probabilitat de fer-ne un altre seguidament en la meitat de la quantitat que resta per la fiabilitat total (p+(1-p)/2) . Pel contrari, fallar un tret no modifica la probabilitat d’encert en assatjos posteriors. Els jugadors proven dos cops la seva punteria.

    ⇒ Calculeu la funció de probabilitat de la variable X, número de blancs obtinguts en dos intents.

    ⇒ Calculeu el número esperat d’encerts per un bon tirador (p=0.8) i per un mal tirador (p=0.2).

    ⇒ Per què no podem declarar X com a variable binomial ?

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 18 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    3.21 La Memòria d’Accés Ràpid

    Un Centre de Càlcul d’un departament de la nostra universitat ha de comprar memòria d’accés ràpid (RAM) per millorar les prestacions del seu ordinador central. El mercat posa a l’abast dos tipus de memòria ràpida, A i B. El temps d’accés de la memòria tipus A és de 50 nanosegons, mentre l’accés per la memòria tipus B, de major capacitat, és de 90 nanosegons. Quan un programa necessita dades primer va a buscar-les a la memòria ràpida, i si no les troba accedeix a memòria convencional (on segur que hi són). La memòria convencional té un temps d’accés de 1.200 nanosegons. Un programa típic dels executats al departament comporta:

    ⇒ l’accés a memòria convencional un 20% dels cops en instal·lar la RAM tipus A.

    ⇒ l’accés a memòria convencional un 10% dels cops en instal·lar la RAM tipus B.

    Addicionalment, el cost de la RAM tipus B és un 30% superior al cost de la RAM tipus A.

    La variable aleatòria que modelitza la mesura de valoració d’una RAM i segons els valors de la qual es prendrà la decisió de compra en favor del tipus A o del B, està definida com el temps d’accés mig d’un programa típic per el preu. Quina serà la decisió que prenguin els responsables del Centre de Càlcul ?

    3.22 El Gos de la Benzinera

    El dependent d’una benzinera té un gos que l’acompanya durant les seves hores de feina i té observat que el gos creua vàries vegades al dia el carrer on s’ubica la benzinera. Un estadístic client de l’establiment determina que el número de vegades que el gos creua la carretera durant una jornada laboral es pot modelitzar com una variable de Poisson, dita X ~ P (λ), on λ és el número mig de vegades que el gos creua el carrer diàriament. El gos cada matí comença la jornada de la banda de la benzinera, doncs acompanya l’amo des de casa.

    Es defineix una nova variable, Y amb els valors:

    0. Si el gos és a la banda de la benzinera en completar la jornada

    1. Si el gos és a l’altra banda del carrer en completar la jornada.

    ⇒ Determineu la funció de probabilitat de la variable Y.

    ⇒ Com s’interpreta el resultat quan λ augmenta indefinidament?

    Ajut: Considerar el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció cosinus hiperbòlic.

    3.23 Una Variable Aleatòria Esglaonada

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 19

    Sigui X una variable aleatòria contínua amb una funció de densitat de probabilitat com es mostra en la figura, és a dir, amb valor constant [x0, x01) i valor constant [x01, x02]. L’àrea sota la funció de densitat en el primer bloc és π1 . Calculeu analíticament:

    ⇒ La funció de densitat de probabilitat de X.

    ⇒ La funció de distribució de X.

    ⇒ L’esperança matemàtica de X.

    ⇒ La variància de X.

    Apliqueu els anteriors resultats a una variable X que compleixi: x0 = 0; x01 = 18; x02 = 24;

    P(X < x01)=0.6

    f x

    x 0 x 01 x 02X

    3.24 El Taller de Reparació d’Ordinadors

    Es considera un ordinador constituït per una CPU i una RAM. Una gran empresa es proveeix de dos fabricants F1 i F2. F1 aporta el 80% dels ordinadors i F2 el 20% restant. En el temps de posta en marxa es troba que les RAM del fabricant F1 són defectuoses en un 5%, i les CPU en un 2%. Pel fabricant F2, les RAM defectuoses són un 5% i les CPU un altre 5%. Considerem els esdeveniments:

    • A: CPU en bon estat.

    • B: RAM en bon estat.

    ⇒ Calculeu les probabilitats P(A), P(B) i P(A ∩ B).

    ⇒ Quina és la probabilitat que l’ordinador sigui de F2, si funciona després de la posta en marxa?

    ⇒ Després de la posta en marxa, els ordinadors que s’espatllen són enviats a un taller especialitzat. Se sap que els operaris d’aquest taller han d’atendre una mitjana de 2 ordinadors diaris i com a màxim podrien atendre 5 ordinadors en un dia. Calculeu la probabilitat que es col·lapsi el taller de reparacions un dia qualsevol.

    ⇒ Quina és la probabilitat que els operaris estiguin una setmana laboral complerta de 5 dies sense feina?

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 20 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    3.25 Un de Verificació de Propietats

    Sigui X una variable aleatòria absolutament convergent amb funció de densitat de probabilitat:

    f xx si x

    altramentX ( ) =

    +< <

    112

    0 3

    0

    2

    ⇒ Comproveu que f xX ( ) és efectivament una funció de densitat

    ⇒ Determineu la funció de distribució de X, F xX ( ) .

    ⇒ Com és F xX ( ) ? Com ha d’ésser forçosament i quina relació té amb f xX ( ) ?

    ⇒ Si se sap que X > 1, trobeu la probabilitat que X sigui més gran que 2.

    ⇒ Calculeu l’esperança i la variància de X.

    3.26 Les Aturades d’uns Sistemes de Control

    Dos sistemes de control electrònic funcionen independentment amb un cert número d’aturades diàries. Les lleis de probabilitat que segueixen les variables que compten aquestes aturades diàries per cadascun dels sistemes, dites X i X1 2 , són les següents:

    X i ( )p xX i1 ( )p xX i2

    0 0.07 0.1

    1 0.35 0.2

    2 0.34 0.5

    3 0.24 0.2

    ⇒ Quina és la probabilitat que el sistema 1 tingui almenys 2 aturades un cert dia?

    ⇒ Quina és la probabilitat que el número de aturades del sistema 1 sigui menor que el número d’aturades del sistema 2 en un cert dia?

    ⇒ Quina és la probabilitat que hi hagi una sola aturada en un dia entre els dos sistemes?

    ⇒ Quina és la probabilitat que el número d’aturades del sistema 1 sigui igual al número d’aturades del sistema 2?

    ⇒ Existeix un equip de manteniment pels casos d’aturades que pot atendre fins a 5 casos en un dia. Calculeu la probabilitat que aquest equip es col·lapsi un cert dia.

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 21

    3.27 Les Avaries d’un Centre de Càlcul

    Un Centre de Càlcul dóna servei a una Universitat i detecta que hi han dos tipus d’avaries principalment en els terminals gràfics de les sales d’usuaris: tipus A i tipus B, diferents i independents. Se sap que en les sales d’usuaris es donen un promig de 1 avaria tipus B cada dues setmanes i 2 avaries tipus A a la setmana.

    ⇒ Quina és la probabilitat que durant 3 setmanes no hi hagi cap avaria del tipus A?

    ⇒ Quina és la probabilitat que durant 4 setmanes hi hagi menys de 3 avaries del tipus B?

    ⇒ Quina és la probabilitat que durant les 4 darreres setmanes del curs hi hagi exactament 4 avaries en total (tipus A o B)?

    ⇒ Si en les 10 primeres setmanes del quadrimestre no hi ha hagut cap avaria. Quina és la probabilitat de que acabi el quadrimestre sense cap avaria ? Un quadrimestre són 14 setmanes.

    ⇒ Les darreres 4 setmanes han produït 3 avaries del mateix tipus. La probabilitat a priori d’ésser de tipus A és 2/3 i de tipus B 1/3. Quina és la probabilitat que les 3 avaries hagin estat totes del tipus A?

    ⇒ Ara considerem que hi ha 10 sales d’usuaris amb terminals gràfics. Quina és la probabilitat de tenir, una determinada setmana, més de 4 d’aquestes sales amb 3 o més avaries?

    ⇒ Si la Universitat disposés de 100 sales d’usuaris, amb quina probabilitat hi hauria entre 40 i 60 sales amb 3 o més avaries cada setmana? Quin número de sales d’usuaris caldria tenir de reserva per substituir les que cada setmana esperem que tindrien aquest número d’avaries?

    3.28 Recanvis de Peces

    Un taller de reparacions ha controlat durant un cert temps les reparacions fetes sobre un determinat tipus de màquina que presenta una avaria simple (1 fallada) o doble (2 fallades). El taller s’ocupa d’anar reparant les fallades i si cal canviar la peça base. Els resultats del control mostren que un 40% de les reparacions eren per una avaria simple sense que calgui el canvi de la peça base, un 30% eren per una avaria simple però que requeria de canviar la peça, i de la resta que eren avaries dobles, n’hi havia igual nombre que havien necessitat el canvi de peça, com sense canvi.

    ⇒ Quina és la funció de probabilitat de les variables, X: número de fallades i Y: canvi o no de peça i la llei conjunta d’ambdues variables ? És independent el número de fallades i el fet d’haver de canviar la peça?

    ⇒ Quina és la probabilitat d’haver de canviar la peça base? I la probabilitat d’haver de canviar la peça si se sap hi han hagut 2 fallades?

    ⇒ Si el taller obté la peça base per una reparació d’un magatzem on hi van 9 tallers més, quina és la probabilitat que més de 5 tallers hi vagin a buscar la peça per canviar, un dia que tots han rebut avís de reparació?

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 22 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    ⇒ El taller té una tarifa de preus establerta de 4.000 ptes pel transport, 2.000 ptes per cada fallada i 2.000 ptes més si hi ha hagut finalment canvi de peça. Quin és el valor esperat i la variabilitat del cost total d’una reparació?

    ⇒ El taller també té calculats uns temps per a solucionar les reparacions: 1 hora pel transport i 20 minuts per cada fallada a solventar (no hi ha temps addicional si ha hagut canvi de peça). Calculeu el valor esperat i la variabilitat del temps total d’una reparació.

    ⇒ Doneu la funció de probabilitat conjunta del cost total i del temps emprat per les reparacions. Calculeu la probabilitat que una reparació costi 8.000 ptes si han trigat 80 minuts.

    3.29 Un de Descriptiva Bivariant

    Durant l’any 1.993 es van suïcidar 28.295 persones als Estats Units, on 21.786 eren homes. La via del suïcidi es pot classificar en quatre categories:

    I. Per armes de foc.

    II. Ingerint productes tòxics.

    III.Estrangulament

    IV.Altres.

    Se sap que 16.600 persones empraren vies de tipus I, 5.617 vies de tipus II i 3.931 vies de tipus III. A més, se sap que dels homes, un 6’688% fan triar altres vies i un 14’79% vies tipus III. De entre tots els qui es van enverinar, un 43’96% foren dones.

    ⇒ Resumir la informació anterior en una taula de contingència.

    ⇒ Estudiar la distribució de la via de suïcidi segons el gènere.

    ⇒ Si disposem de la dada de un suïcidi per via III, què es pot dir del sexe de l’afectat? I si el suïcida fos dóna, quina hauria estat la via més probablement emprada?

    ⇒ Si suposem que les variables són independents, i assumim que les distribucions marginals són idèntiques, quin és el número esperat de homes suïcidats per vies tipus I ? Quin és el número esperat de dones suïcidades per ingestió de verí?

    ⇒ Observant els resultats dels anteriors apartats, sembla recolzable la hipòtesi d’independència entre les variables?

    3.30 El Concurs de Mèrits

    Un concursant ha de realitzar tres proves. La probabilitat de superar cadascuna d’elles és: 1/3 per la primera prova i per les altres dues proves, 1/2 si va superar l’anterior i 1/4 si no va superar-la.

    ⇒ Sigui X la v.a. número de proves superades. Dibuixar la seva funció de probabilitat i de distribució.

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 23

    ⇒ Si el concursant ha superat dues proves, quina és la probabilitat que no hagi superat la segona ?

    ⇒ Si el concursant ha superat la tercera prova, tindria la mateixa probabilitat d’haver superat la primera?

    ⇒ Suposant que qui guanya el concurs té un increment en el seu sou anual funció del número de proves aprovades, i modelitzat per una nova variable aleatòria Y X= 50 2 , en mils de ptes. Quin és l’augment esperat del sou anual?

    ⇒ Continuant amb l’apartat anterior se suposa que en el cas que no superi una prova ha de pagar les 3/4 parts del que porta guanyat i prenent com a criteri l’augment esperat, l’hi convé concursar a la tercera prova si ha guanyat les dues primeres ?

    3.31 Les Qües al Peatge

    L’arribada de vehicles al peatge de l’autopista A-16 segueix una llei de Poisson de tassa promig 5 vehicles per hora entre les 3 i 5 h de la matinada dels dies feiners.

    ⇒ Demostreu que la llei de la variable T, temps entre l’arribada de dos vehicles, segueix una distribució exponencial.

    ⇒ Calculeu l’esperança i la variància de T.

    ⇒ Si un cert dia no ha arribat cap vehicle entre les 3h i les 4h de la matinada. Quina és la probabilitat que no arribi cap vehicle entre les 4h i les 5h del mateix dia?

    ⇒ En una setmana de cinc dies feiners, quina és la distribució de la variable que comptabilitza el número de dies feiners en els que no arriba cap vehicle entre les 3:00 h i 3:30 h de la matinada?

    3.32 Una Aplicació del Teorema Central del Límit

    Un programa d’ordinador realitzar la suma de 100 números reals prèviament arrodonits a l’enter més proper. Suposem que l’error d’arrodoniment es distribueix uniformement entre -1/2 i 1/2, i que els errors són mútuament independents. Calculeu quin és el rang de valors que pot prendre l’error de la suma amb una probabilitat de 0.99, entenen per error la discrepància entre la suma real sense arrodonir dels valors i la suma calculada pel programa.

    3.33 Un de Parell de Variables Discretes

    La següent taula conté la funció de probabilitat conjunta del parell de variables X i Y.

    Y\X -1 0 1

    -1 a 2a 3a

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 24 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    0 2a 4a 6a

    1 ab 4a 3ab

    ⇒ Determineu les esperances de X i Y

    ⇒ Determinar la llei conjunta del parell (S,M), amb S = ( X+Y ) i M = Màx ( X,Y ). Resumiu la resposta en una taula

    ⇒ Sota quines condicions les variables X i Y són independents?

    3.34 Un Nou Parell de Variables Discretes

    La següent taula conté la funció de probabilitat conjunta del parell de variables X i Y.

    Y \ X -1 0 1

    -1 0 2a 3a

    0 2a 0 a

    1 3a a 0

    ⇒ Determineu a, la llei de X i l’esperança de ( X + Y )

    ⇒ Són X i Y independents?

    ⇒ Determineu la llei de Z=(X-Y)

    ⇒ Determineu la llei de S = Max ( X,Y )

    3.35 Més de Parell de Variables

    La següent taula conté la funció de probabilitat conjunta del parell de variables X i Y.

    Y vs. X x1 x2 x3 x4

    y1 0.02 0.01 0.03 0.04

    y2 a 4a 0.05 0.06

    y3 0.09 0.05 0.1 0.05

    ⇒ Calculeu els valors del paràmetre real positiu a. ⇒ Calculeu la funció de probabilitat de la variable X i E(X). ⇒ Calculeu E(X/Y=y1). ⇒ Calculeu E(XY) i COV(X,Y). ⇒ Justifiqueu si X i Y són o no són estadísticament independents.

    3.36 Un Parell de Variables Uniformes i Discretes

    Siguin dues variables aleatòries independent, X1 i X2 , de llei uniforme sobre A:={0,1,2,3,4,5}.

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 25

    ⇒ Determineu la llei de (X1-X2)2

    ⇒ Determineu la llei de 6X1+X2

    3.37 Parell de Variables Uniformes i Contínues

    Siguin dues variables aleatòries independents, X1 i X2 , de llei uniforme sobre [0,1]. Determineu la llei de X1+X2, la seva esperança i la seva variància.

    3.38 L’Espera a Correus

    Una oficina de correus té una finestreta que tracta dues categories d’operacions: reintegraments de diners i trameses de paquets. Es fan dues hipòtesis:

    I. Per tot interval de longitud T, en minuts, el número de persones que es presenten a la finestreta per sol·licitar un reintegrament segueix una variable aleatòria de Poisson, dita Xa, de paràmetre aT (a>0).

    II. El número de persones que es presenten per trametre paquets es representa mitjançant una variable aleatòria Xb que segueix una llei de Poisson de bT (b>0). Les variables aleatòries Xa i Xb són independents.

    ⇒ Demostreu que la llei associada al número total de persones que es presenten a la finestreta és una llei de Poisson de paràmetre (a+b)T. Si a=0.4 i b=0.2. Quina és la probabilitat que cap client es presenti entre 10:00h i 10:05h ?

    ⇒ Els operaris acaben la seva jornada laborat a les 19 hores, i per això l’oficina tanca les seves portes a les 18:45 hores. Se sap que en un cert dia hi ha una cua de n persones arribades entre les 18:35 i les 18:45 hores. Determineu en funció de a, b i n, la llei de la variable aleatòria associada al número de persones de la cua que han vingut per un reintegrament.

    3.39 La Finestreta d’Atenció al Públic

    En una finestreta d’atenció al públic de mitjana hi arriben dues persones cada minut.

    ⇒ Quina és la probabilitat que en un minut hi arribin més de dues persones?

    ⇒ Quina és la probabilitat que en cinc minuts hi arribin menys de 13 persones?

    ⇒ Quina és la probabilitat que passin cinc minuts sense que hi arribi ningú si ara no hi ha cap persona?

    ⇒ Quina és la probabilitat que passin cinc minuts sense que hi arribi ningú si ara hi ha una persona?

    ⇒ Quina és l’esperança del temps d’espera fins que arribi una altra persona quan ara n’hi acaba d’arribar una?

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 26 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    3.40 La Tenda de Peixos

    El dependent d’una tenda d’animals domèstics disposa d’una peixera de grans dimensions amb peixos tropicals per a la venda al públic. El dependent enretira de la peixera els peixos que ven amb una petita xarxa on només cap un exemplar; però, cada intent de captura d’un animal no sempre resulta exitòs. El dependent sap:

    • En introduir la xarxa a la peixera, el dependent té una probabilitat p=0.6 de capturar un peix.

    • Si no es capturen grans quantitats de peixos de la peixera, la probabilitat p pot assumir-se constant al llarg de successius intents.

    • L’èxit o fracàs a cada intent és independent del resultat d’intents anteriors.

    ⇒ Si arriba un client indecís a la tenda per comprar peixos tropicals i li demana els peixos que pugui capturar en 6 intents, quina és la llei de probabilitat de la variable aleatòria, X, número de peixos comprats per un client indecís ? Quin és el número esperat de peixos que s’endurà el client? Quina és la probabilitat que el client s’en vagi sense comprar cap peix?

    ⇒ Si entra un client decidit que vol comprar 1 peix, quina és la llei de probabilitat de la variable aleatòria, Y, número d’intents necessaris per part del dependent per satisfer la comanda del client?

    ⇒ Els clients indecisos entren a la tenda segons una llei de Poisson de paràmetre 4 clients per hora i els clients decidits segueixen una altra llei de Poisson, independent de l’anterior i de paràmetre 1 client per hora. Si entre les 10:00 i les 10:15 hores ha entrat un únic client a la botiga que ha comprat un únic peix, quina és la probabilitat que el individu sigui un client indecís?

    3.41 Un Viatge Transatlàntic

    Un avió surt de Xicago a les 21 hores (hora local), fa una escala tècnica a Islàndia i té anunciada l’arribada a Luxemburg a les 14:30 hores (hora local). La diferència horària entre Xicago i Luxemburg és de 6 hores. La durada del trajecte es pot descomposar en 3 durades a les quals se les pot associar 3 variables aleatòries normals mútuament independents, X, Y i Z:

    X: Durada del trajecte Xicago a Islàndia. N1(µ=240,s=25), Y: Durada de l’escala tècnica a Islàndia. N2(µ=45,s=10), Z: Durada del trajecte Islàndia a Luxemburg. N3(µ=420,s=40)

    Calculeu la probabilitat que l’hora d’arribada a Luxemburg difereixi de l’hora anunciada (14:30h) en menys de 15 minuts.

    3.42 El Tub de Rajos Catòdics

    Els tubs de rajos catòdics d’una terminal gràfica tenen una fina malla darrera la superfície visible que s’ha de tensar durant l’ensamblatge. Si es tensa massa, la malla es desgarra, mentre que si no es tensa prou, s’hi formen arrugues. La tensió a la que es sotmet aquesta malla es pot mesurar en

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 27

    miliVolts (mV) mitjançant un dispositiu electrònic. Actualment, la lectura de la tensió de successius tubs es distribueix segons una llei normal N(µ=275,s=43).

    La tensió mínima acceptable per tal que la malla no s’arrugui és de 200 mV. La tensió màxima que suporten aquestes malles sense trencar-se és de 375 mV.

    ⇒ Calculeu la probabilitat que la malla s’arrugui.

    ⇒ Si una malla s’ha arrugat, quina és la probabilitat que s’hi hagi aplicat una tensió inferior a 175mV ?

    ⇒ Quina és la probabilitat que una malla estigui en bones condicions ?

    ⇒ Quina és la probabilitat que entre 5 tubs almenys 3 d’ells tinguin la malla en bones condicions?

    ⇒ Sigui X la lectura de tensió en mV i µ = E(X). Quina és la tensió t tal que P t X t( ) .µ µ− ≤ ≤ + = 0 95?

    3.43 Vida de Dispositius Electrònics

    La vida d’un dispositiu electrònic del tipus A segueix una llei exponencial de mitjana 1000 hores i la vida d’un dispositiu del tipus B segueix una llei normal de mitjana 1000 hores. La vida dels dispositius de tipus A pot considerar-se independent de la vida dels dispositius de tipus B.

    ⇒ Calculeu la probabilitat que un dispositiu de tipus A duri almenys 1000 hores.

    ⇒ Quina és la probabilitat que un dispositiu de tipus B duri almenys 60.000 minuts?

    ⇒ Quin dispositiu escolliríeu?

    ⇒ Per tal d’augmentar la fiabilitat d’un sistema que requereix d’un dispositiu electrònic es decideix de col·locar en paral·lel un dispositiu tipus A i un altre tipus B. Quina és la probabilitat que el sistema funcioni després de 1.000 hores?

    ⇒ Quin és el valor de la variància de la vida d’un dispositiu del tipus B si se sap que la probabilitat que duri més de 500 hores és 0.9993.

    3.44 El Creuament de Trens

    Dos trens de llarg recorregut surten dels seus respectius orígens A i B a les 16:00 hores diàriament. El trajecte entre ambdues estacions és de via única, excepte a l’abaixador C; de manera que els trens efectuen el creuament sense perill. La maniobra de creuament la regula manualment el cap d’estació i se sap que està molt atent fins a les 20:00 hores, moment en que encèn el televisor i minva la seva percepció fins el 50%.

    El tren que surt de l’estació A arriba l’abaixador C en promig desprès de 3h 28’54’’, i la durada es distribueix normalment amb desviació tipus de 20 minuts. El tren que surt de l’estació B arriba a l’abaixador C en promig després de 3h27’36’’, i la durada també es distribueix normalment amb una desviació tipus de 20 minuts.

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 28 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    ⇒ Definiu quines són les lleis de probabilitat associades a les durades del trajectes dels trens des de l’estació de partida fins C. Quina és la probabilitat que el tren A arribi abans de les 19:00 hores a l’abaixador C? I la probabilitat que el tren B hi arribi abans de les 18:30 hores?

    ⇒ Quin és el risc que hi hagi un accident?

    ⇒ Si el recorregut es fa diàriament, quina és la probabilitat que després d’una setmana s’hagi produït algun accident?

    ⇒ I quina és la probabilitat que després de 200 dies s’hagi produït algun accident?

    ⇒ Si un dia donat no va haver-hi cap accident, quina és la probabilitat que els trens arribessin després de les 20:00 hores a l’abaixador C?

    3.45 La Màquina d’Emplenar Caramels

    Una màquina d’emplenar bosses de caramels diposita en cada bossa una quantitat en pes de caramels que pot considerar-se distribuït segons una llei normal, de manera que el 33% de bosses emplenades contenen més de 81.76 g de caramels i només el 0.6% de les bosses contenen un pes de caramels inferior a 69.96 g.

    ⇒ Quin són els paràmetres que defineixen la variable aleatòria X, quantitat de caramels per bossa (en g)?

    ⇒ Si es trien 10 bosses a l’atzar, quina és la probabilitat que 5 bosses pesin més de 80 g i 5 bosses menys de 80 g? Justificar la formulació.

    ⇒ Si es trien 100 bosses a l’atzar, quina és la probabilitat de trobar-ne com a mínim 40 amb un pes superior a 80 g? Justificar la formulació.

    3.46 La Normal Truncada

    La vida en hores de certs tubs electrònics té per densitat de probabilitat la funció:

    f x k e xx

    X

    x

    ( ) = ≥<

    −2

    80000 2000 200

    Un aparell de tipus A conté 100 tubs i requereix pel seu funcionament d’almenys 65 tubs actius. Un aparell de tipus B conté 20 aparells tipus A i requereix de més de 10 aparells tipus A actius. Respongueu a les següents preguntes relacionades amb l’anterior enunciat:

    ⇒ Comproveu que el valor k que fa que l’anterior funció sigui una densitat de probabilitat ben definida és k

    FY=

    −1

    200 2 200π ( ) on FY ( )−200 indica el valor de la funció de distribució

    d’una variable aleatòria normal, ( )Y N≈ = =µ σ0 400002, , en el punt y = -200.

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 29

    ⇒ Expresseu la constant k en termes de la funció de distribució de la variable normal, Z, centrada i reduïda, ( )Z N≈ = =µ σ0 12, .

    ⇒ Calculeu la probabilitat que un tub tingui una vida activa superior a 250 hores.

    ⇒ Calculeu la probabilitat que un aparell tipus A funcioni almenys 250 hores. En cas de no haver resolt l’apartat anterior, suposeu que té per solució una probabilitat p = 0.7.

    ⇒ Calculeu en un determinat aparell tipus B, en funcionament actual des de fa més de 250 hores, quin és el nombre màxim d’aparells tipus A que estaran actius amb una probabilitat del 90%?

    3.47 Les Alçades en Matrimonis

    La distribució conjunta del parell d’alçades en un matrimoni segueix una llei normal bivariant, de manera que l’alçada de les dones té una mitjana de 169.82 cm i una desviació tipus de 5 cm i l’alçada dels marits té una mitjana de 176.5 cm i una desviació tipus de 5.5 cm; la correlació entre ambdues variables és 0.51.

    ⇒ Quina és la covariància entre les alçades dels marits i les mullers?

    ⇒ Quina és la probabilitat que una dona sigui més alta que un home, independentment que formin un matrimoni?

    ⇒ Expressar la probabilitat que tots dos membres d’un matrimoni tinguin una alçada superior als 180 cm, suposant que f x yXY ( , ) nota la funció de densitat conjunta de les alçades dels membres d’un matrimoni.

    ⇒ Si a un sopar assisteixen 10 matrimonis que constitueixen una mostra aleatòria simple de la població de referència, quina és la probabilitat que el marit sigui més alt que la dona en almenys 8 parelles de les que estan presents al sopar?

    3.48 Les Ampolles d’Oli

    Una empresa disposa de 3 línies d’envasat automàtic d’ampolles d’oli d’oliva. Els continguts de les ampolles emplenades per la línia A, la B i la C són, respectivament, variables aleatòries y y i yA B C, distribuïdes segons lleis normals de paràmetres:

    y cm cmy cm cmy cm cm

    A A A

    B B B

    C C C

    µ σµ σµ σ

    = == == =

    998 151000 0 81001 0 5

    3 3

    3 3

    3 3

    .

    .

    .

    Es preparen caixes de dos tipus, C1 i C2, amb 6 ampolles per caixa, de manera que en les caixes de C1 hi han 2 ampolles de la línia A, 3 de la B i 1 de la C, mentre a les caixes C2 hi han 2 ampolles de la línia A i 4 de la C. Una ampolla es considera defectuosa si el seu contingut és inferior a 999 cm cúbics i una caixa és defectuosa si conté alguna ampolla defectuosa.

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 30 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    ⇒ Quina és la probabilitat de tenir un contingut total d’oli d’una caixa tipus C2 superior al contingut d’una caixa tipus C1?

    ⇒ Quin contingut total mínim pot garantir-se per una caixa C1 amb un risc d’error del 2%?

    ⇒ Si triem a l’atzar 150 ampolles de la línia A, quina és la probabilitat de tenir-ne més de 100 de defectuoses?

    ⇒ Quina és la probabilitat de tenir entre 10 caixes del tipus C2 triades a l’atzar almenys una de defectuosa?

    3.49 Les Empreses d´Estudis de Mercat

    Una empresa A que es dedica als estudis de mercat té un volum de facturació mensual distribuit normalment amb un valor mig de 220 kEuros i desviació tipus de 20 kEuros (variable aleatòria X). L’empresa B, que es la competència de l’empresa A en el sector de sondejos sobre nous productes alimentaris, factura en promig mensualment 205 kEuros amb una desviació tipus de 20 kEuros (variable aleatòria Y) i també es pot considerar que la seva facturació mensual segueix una distribució normal.

    Els estudis de mercat tenen una demanda estacional i per tant no és d’estranyar que la facturació mensual de les dues empreses estigui correlacionada positivament amb una magnitud de 0,815. L’empresa A està desenvolupant una política agresiva de preus adreçada a l’eliminació de l’empresa B del sector, en un moment en que passa per una crisi directiva notable. Totes dues empreses necessiten de facturar com a mínim 200 kEuros mensuals per cubrir despeses i a més per satisfer els seus accionistes haurien d’obtenir beneficis durant més de 8 mesos l’any..

    1. Calculeu la covariància entre les dues variables aleatòries que representen les facturacions mensuals de les dues empreses.

    2. Quina és la probabilitat de que durant l’any en curs (12 mesos) els accionistes de l’empresa B acabin insatisfets de la seva inversió? Indicar clarament l’ús fet de les taules.

    3. Se sap que l’empresa B ha començat amb mal peu l’any i la política de l’empresa A la perjudica enormement. Quina és la probabilitat que l’empresa B hagi d’arribar al setembre (inclòs) per haver cobert despeses durant 3 mesos?

    4. Finalment, quin és el número de mesos que en 10 anys cap esperar que l’empresa B no obtingui beneficis? I quin és el número de mesos màxim que en 10 anys no obté beneficis amb un risc d’equivocar-nos del 5% ?

    3.50 Un de Propietats Bàsiques

    Sigui X una variable aleatòria contínua que modelitza el temps d’espera a la caixa d’un supermercat (en minuts) i que té per funció distribució:

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 31

    ( )F x

    xx x

    xx x

    x

    X =

    ≤< ≤< ≤< ≤

    >

    0 005 0 105 1 2

    0 25 2 41 4

    ..

    .

    1. Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.

    2. Calculeu (justificadament) l’expressió de la funció densitat de probabilitat de la variable aleatòria X. Dibuixeu-la.

    3. Si se sap que x > 1, calculeu la probabilitat que x > 3.

    4. Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria X.

    3.51 Un altre de propietats bàsiques en un parell de v.a.

    Siguin X i Y un parell de variables aleatòries discretes amb una funció de probabilitat conjunta

    pXY Y=1 Y=2

    X = 1 1/4 1/6

    X = 2 1/8 1/12

    X = 3 a b

    • Calculeu els valors dels paràmetres a i b per tal que l’anterior representa una llei de probabilitat conjunta. Sota quines condicions són independents X i Y?

    • Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.

    • Si se sap que X = 2 , calculeu la probabilitat que Y =1.

    • Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria Y, en general i sota condició d´independència.

    3.52 Les Malalties Tropicals Tot continuant amb la malaltia tropical, els experts tenen constància que en Sud-est Asiàtic, X: la incidència de la malaltia (casos/mil hab), té una mitjana de 2 casos/mil hab i té una distribució normal ( )N µ σ, 2 . 1. Quina és la desviació tipus σ de la variable aleatòria X, sabent que ( )E X 2 4 01= . ? 2. Quina és la probabilitat d´incidència entre 1.98 i 2.02 casos/mil hab ? Quina és la probabilitat

    d´incidència superior a 2.2 casos/mil hab?

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 32 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    3. En els poblats amb incidència entre 1.98 casos/mil hab i 2.02 casos/mil hab es planeja fer un estudi de detall. Quina és la probabilitat de disposar de com a mínim 5 poblats adequats per l’estudi de detall en una subàrea geogràfica de fàcil accés que conté 10 poblats? I en una àrea més extensa que conté 100 poblats?

    4. L’objectiu de la OMS (Organització Mundial de la Salut) consisteix en reduir la probabilitat d´una incidència superior als 2.02 casos/mil hab a un 25%. Per això és necessari de millorar les condicions sanitàries, tot uniformitzant l´accès a l’aigua potable, és a dir, reduint la variància de la v.a. X. Quin és el valor màxim de la variància que es correspon amb l´objectiu descrit?

    3.53 Per Pensar ...

    Raoneu què han de complir forçosament dos esdeveniments d’un espai de probabilitat que siguin alhora incompatibles i independents.

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 33

    4. INDICACIÓ DE LA RESOLUCIÓ DELS PROBLEMES

    4.1 Els daus vermell i blau.

    X : Dau blau

    Y : Dau vermell

    a) b) X+Y≥8

    c) X-Y≥3 d) 1≤X≤2 o 1≤Y≤2

    e) A B C ?∩ ∩

    A B C ) = A B C ) = A B C∩ ∩ ∩ ∪ ∪ ∪( (

    1 2 3 4 5 6 X

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Y

    1 2 3 4 5 6 X

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Y

    1 2 3 4 5 6 X

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Y

    1 2 3 5 6 4 X

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Y

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 34 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    { } { } { } { }A B C X 8 Y X Y 3 1 X 2 1 Y 2∪ ∪ = ≥ − ∪ ≥ + ∪ ≤ ≤ ∪ ≤ ≤ A∪B∪C és:

    I per tant, { }A B C∪ ∪ = ( , ),( , ),( , )3 3 3 4 4 3

    4.2 Independència i probabilitat.

    a) Sigui P(A)=1/3

    A i A són independents si P(A A) = P(A) P(A)∩ ⋅

    ts.independensón no 2/90 2/3=1/3-1=P(A)-1=)AP( 1/3P(A)

    0)P()AP(A⇒≠⇒

    ⇒==∅=∩

    b) Sigui P(A)=1

    ts.independensón 00 0=1-1=P(A)-1=)AP( 1P(A)

    0)P()AP(A⇒≡⇒

    ⇒==∅=∩

    4.3 Boles de colors.

    Definim l’esdeveniment: A= V a S2

    3V

    7N

    S1 0.3

    0.7

    V2

    V1

    N1

    V2

    N2

    N2

    4/11

    7/11

    3/11

    8/11

    3V

    7N

    S2

    1 2 3 5 6 4 X

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Y

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 35

    P(A) P(V V ) P(N V ) P(V ) P V V P(N ) PV

    N1 2 1 2 12

    11

    2

    1= ∩ + ∩ = ⋅

    + ⋅

    =

    = × + × = + = =0 3 411 0 7311

    1211

    2111

    3311 0 3. .

    . . . .

    4.4 Daus de colors.

    Tenim 7R (vermells), 5A (grocs) i 3V(verds). ⇒ en total tenim 15 daus.

    a) P(R A V ) P(R ) P(A ) P(V ) 715

    515

    315

    0.03111 2 3 1 2 3∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

    son independents

    b) P(R A V ) P(R ) P A V R P(R ) PA

    R PV

    R A1 2 3 12 3

    11

    2

    1

    3

    1 2∩ ∩ = ⋅ ∩

    = ⋅

    ⋅ ∩

    =

    = ⋅ ⋅ = =715

    514

    313

    126

    0 0384615.

    4.5 Independència dos a dos; independència mútua.

    Siguin els següents esdeveniments:

    • A= {1r. número senar}

    • B= {2r. número parell}

    • C= {números amb la mateixa paritat}

    { }P(A C) els dos senars 336

    936

    14

    P(A) 1836

    12

    P(C) 1836

    12

    A i C independents.

    2

    ∩ = = = =

    = =

    = =

    P(A B) 936

    14

    P(A) 12

    P(B) 12

    A i B independents.

    ∩ = =

    =

    =

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 36 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    { }P(B C) els dos parells 336

    936

    14

    P(B) 1836

    12

    P(C) 1836

    12

    B i C independents.

    2

    ∩ = = = =

    = =

    = =

    P(A B C) P(A) P(B) P(C) ?

    P(A) P(B) P(C) = 12

    P(A B C) = P( ) = 0 1

    80 no mutuament independents. 3

    ∩ ∩ = ⋅ ⋅

    ⋅ ⋅ =

    ∩ ∩ ∅

    ⇒ ≠ ⇒

    18

    4.6 Un d’oposicions.

    El conjunt de resultats és Ω = “conjunt de 5 temes del mateix bloc (AC/LSI) que poden sortir”

    Considerem els esdeveniments :

    • A= “aprovar l’oposició”

    • LSI= “surten els temes de LSI”

    • AC= “surten els temes de AC”

    Clarament Ω= LSI ∪ AC

    a) P(A) P(A LSI) P(A AC) P(A LSI) P(LSI) P(A AC) P(AC)= ∩ + ∩ = ⋅ + ⋅

    on P(AC) 20 50 2 / 5P(LSI) 30 50 3 / 5

    = == =

    donat que només depèn de l’elecció del primer tema.

    Ara cal trobar la P(A/LSI) i P(A/AC):

    • P(A/LSI) = P(dels 5 temes escollits de LSI, 4 són dels estudiats pel candidat) + P(dels 5 temes escollits de LSI, tots ells han estat estudiats pel candidat) =

    =

    104

    201

    305

    105305

    210 20 252142506

    0 03124

    +

    =× +

    = .

    • P(A/AC) = P(dels 5 temes escollits de AC, 4 són dels estudiats pel candidat) + P(dels 5 temes escollits de AC, tots ells han estat estudiats pel candidat) =

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 37

    =

    54

    151

    205

    55205

    5 15 115504

    0 004901

    +

    =× +

    = .

    Finalment tenim que: P(A) 0.03124 3 / 5 0.004901 2 / 5 0.0207047= ⋅ + ⋅ =

    b) Directament aplicant la fórmula de Bayes:

    P(LSI / A) P(A / LSI) P(LSI)P(A)

    0.03124 3 / 50.0207047

    0.905= ⋅ = ⋅ =

    4.7 Parells de nombres aleatoris.

    Ω={(i,j) tals que i=0..9, j=0..9 aleshores #Ω=100

    Considerem n parells i tenim Ωn.

    Casos possibles → 102n

    Definim els successos A: Almenys un parell igual

    Bi : El parell i és igual

    ( )P(A) = 1- P(cap parell igual) = 1 P(B ... B )P(B ) 10100 110 P(B ) 1 110 910P(A) 1 1 110

    1 n

    i i

    n− ∩ ∩= = ⇒ = − =

    ⇒ = − −

    Calculem per: n = 10 0,6513n = 50 0,9948

    4.8 El dau de tres cares.

    Definim l’esdeveniment A: guanyar i ens preguntem quant val P(A).

    Si surt un 3 → guanyes

    sinó repetir fins obtenir el resultat de la primera tirada → guanyes

    si surt un 3 → perdem

    Ω={3 , 12i 1 , 12i 3 , 21i 2 , 21i 3}

    { }{ }{ }

    A 3 A 12 1 tq. i 0 A 21 2 tq. i 0

    A A A A1

    2i

    3i

    1 2 3

    == ≥

    = ≥

    ⇒ = ∪ ∪

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 38 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    P(A) 13

    13

    13

    13

    ... 13

    13

    13

    ... 13

    16

    16

    23

    2 3 4

    successio geometrica de rao 1/3

    2 3 4

    = +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    = + + =1 24444 34444

    a a1 r

    1 / 91 1 / 3

    1 / 6nn k

    k

    =

    ∑ = − = − =

    4.9 El parc natural.

    Fem el següent diagrama d’arbre:

    Sigui C l’esdeveniment C : el cérvol X està a A al final

    P(A)=P(X no surt de A) + P(X surt i el retornen)=1/10+9/19*9/10=100/190

    4.10 Un de dos jugadors.

    U1 = (60B,40N) U2 = (40B,60N)

    a) L’arbre de probabilitats és:

    B

    A

    B

    A

    9/10

    1/10

    10/19

    9/19 →

    {1,2}

    {3,4,5,6}

    B (U1 ) 12/60=P(ω1 )

    N (U1 ) 8/60=P(ω2 )

    B (U2 ) 16/60=P(ω3 )

    N (U2 ) 24/60=P(ω4 )

    2/6

    4/6

    6/10

    4/10

    4/10

    6/10

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 39

    b) Calculem les dues probabilitats:

    6028

    104

    64

    106

    62

    UBP)P(UU

    BP)P(U)UP(B)UP(BP(B)2

    21

    121 =⋅+⋅=

    ⋅+

    ⋅=∩+∩=

    6032

    106

    64

    104

    62

    UNP)P(UU

    NP)P(U)UP(N)UP(NP(N)2

    21

    121 =⋅+⋅=

    ⋅+

    ⋅=∩+∩=

    c) Tenim 4 possibles estratègies, calculem la probabilitat de cada una:

    P U BP(B U )

    P(B)

    P(U ) P BUP(B)

    12 6028 60

    1228

    37

    1 11

    1

    =

    ∩=

    = = =

    P U B PU

    B1 1

    = −

    =1

    47

    P U NP(N U )

    P(N)

    P(U ) P N UP(N)

    8 6032 60

    832

    14

    1 11

    1

    =

    ∩=

    = = =

    P U N PU

    N1 1

    = −

    =1

    34

    Per tant, si la bola és blanca direm urna 2negra direm urna 2

    4.11 Els tres jugadors.

    Definim els esdeveniments:

    Aij : guanyar el jugador i en l’instant j i=1..3

    Ai : guanyar el jugador i

    P(A ) 61111 =

    P(A ) P(A A ) P(A ) P(A ) 611

    511

    410

    39

    68

    13221 11 12 11 12

    = ∪ = + = + ⋅ ⋅ ⋅ =

    P(A ) P(A A ) P(A ) P(A ) 610

    511

    410

    39

    28

    272 21 22 21 22

    = ∪ = + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =5

    1167

    P(A ) P(A A ) P(A ) P(A ) 69

    511

    410

    39

    28

    191543 31 32 31 32

    = ∪ = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =5

    114

    1017

    66

    Per tant, el jugador amb més possibilitats de guanyar és el primer.

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 40 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    4.12 La malària.

    • Un símptoma:

    P(S1)= ( ) ( )P S1E1 P(E1) P S1E2 P(E2) P S1E1 E2 P E1E2⋅ + ⋅ + ∩ ⋅ = =(0.55+0.25)·0.18+(0.14+0.32)·0.09+(0.06+0.03)·0.73=0.2511

    P(S2)=(0.25+0.12)·0.18+(0.32+0.42)·0.09+(0.03+0.08)·0.73=0.2135

    • Els dos símptomes:

    P(S1∩S2)=0.25·0.18+0.32·0.09+0.03·0.73=0.0957

    • Algun símptoma:

    P(S1∪S2)=P(S1)+P(S2)-P(S1∩S2)=0.3689

    • Un símptoma però no l’altre:

    P(S1∩S2 )=P(S1∪S2)-P(S2)=0.1554

    P(S2∩ S1 )=P(S1∪S2)-P(S1)=0.1178

    • Cap símptoma:

    P( S )=1-P(S1∪S2)=0.634

    • ( ) ( )P E1S1 P(E1 S1)P(S1)P S1E1 P(E1)

    P(S1)0.8 0.180.2511

    0.5735= ∩ =⋅

    =⋅

    =

    • ( )P E1S2 0.37 0.180.2511=⋅

    = 0 3119.

    • P E1S1 S2

    0.55 0.180.1554∩

    =

    ⋅= 0 6371.

    • P E1S1 S2

    0.12 0.180.1178∩

    =

    ⋅= 01834.

    • ( )P E1S S2 0.25 0.180.09571 0 4702∩ =⋅

    = .

    • P E1S

    0.08 0.180.6311

    =

    ⋅= 0 0228.

    • ( )P E1S S2 (0.55+ 0.25+ 0.12) 0.180.36891 0 4489∪ =⋅

    = .

    4.13 La malària altre cop.

    • Un símptoma:

    P(S1)= ( ) ( )P S1E1 P(E1) P S1E2 P(E2) P S1E1 E2 P E1E2⋅ + ⋅ + ∩ ⋅ =0.2511

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 41

    P(S2)=(0.25+0.12)·0.18+(0.32+0.42)·0.09+(0.03+0.08)·0.73=0.2135

    • Els dos símptomes:

    P(S1∩S2)=0.25·0.18+0.32·0.09+0.03·0.73=0.0957

    • Algun símptoma:

    P(S1∪S2)=P(S1)+P(S2)-P(S1∩S2)=0.3689

    • Un símptoma però no l’altre:

    P(S1∩S2 )=P(S1∪S2)-P(S2)=0.1554

    P(S2∩ S1 )=P(S1∪S2)-P(S1)=0.1178

    • Cap símptoma:

    P( S )=1-P(S1∪S2)=0.634

    • ( ) ( )P E2S1P S1E2 P(E2)

    P(S1)0.46 0.09

    0.25110.1649=

    ⋅=

    ⋅=

    • ( ) ( )P E2S2P S2 E2 P(E2)

    P(S2)0.74 0.09

    0.2135=

    ⋅=

    ⋅= 0 3119.

    • P E2S1 S2

    P S1 S2 E2 P(E2)

    P(S1 S2)0.14 0.09

    0.1554∩

    =

    ∩=

    ⋅= 0 08108.

    • P E2S1 S2

    P S1 S2 E2 P(E2)

    P(S1 S2)0.42 0.09

    0.1178∩

    =

    ∩=

    ⋅= 0 3209.

    • ( )P E2S S2 0.32 0.090.09571 0 30094∩ =⋅

    = .

    • P E2S

    P SE2 P(E2)

    P(S)0.12 0.09

    0.634

    =

    =⋅

    = 0 01703.

    • ( ) ( )P E2S S2P S1 S2 E2 P(E2)

    P(S1 S2)0.88 0.09

    0.368910 2147∪ =

    ∪ ⋅

    ∪=

    ⋅= .

    4.14 La rotllana de nens.

    Sigui X: nen i Y: nena. Tenim (1X,3Y),(4X,2Y),(5X,5Y)

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 42 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    a) B0 : mantenir proporcions dels sexes

    B0 = {w1 ,w8} → P(B )14

    57

    611

    34

    37

    6110

    = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 2727.

    b) Sigui A : Treure nen

    Definim B1 = {w2 ,w4}, B2 = {w3 ,w6}, B3 = {w5 ,w7} aleshores Ω = B0 ∪B1 ∪B2 ∪B3

    12013.0116

    72

    41

    115

    72

    41)( 1 =⋅⋅+⋅⋅=BP

    P(B ) 14

    27

    511

    34

    47

    5112

    = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 2273.

    P(B ) 34

    47

    611

    34

    37

    5113

    = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 3799.

    P(A) P A B P(B ) PA

    B P(B ) PA

    B P(B ) PA

    B P(B )0 0 1 1 2 2 3 3=

    ⋅ +

    ⋅ +

    ⋅ +

    ⋅ =

    31495.03799.0212273.0

    4112013.002727.0

    41

    =⋅+⋅+⋅+⋅=

    X

    Y

    Y

    X

    Y

    X

    X

    Y X

    Y

    X

    Y

    X

    Y

    1/4

    3/4

    5/7

    2/7

    4/7

    3/7

    6/11

    5/11

    5/11

    6/11

    6/11

    5/11

    5/11

    6/11

    w1

    w2 w3

    w4

    w5

    w6

    w7

    w8

    (1,3)(4,2)(5,5)

    (0,4)(4,2)(6,4)

    (1,3)(5,1)(4,6)

    (0,4)(5,1)(5,5)

    (2,2)(3,3)(5,5)

    (1,3)(3,3)(6,4)

    (2,2)(4,2)(4,6)

    (1,3)(4,2)(5,5)

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 43

    4.15 El venedor de llibres.

    V : vendre

    NV : no vendre

    E : Eixampla

    G : Gràcia

    C : Les Corts

    a) P(V)?

    P(V)=P(V/E)P(E)+P(V/G)P(G)+P(V/C)P(C)=0.8*0.5+0.4*0.25+0.6*0.25=0.65

    b) S: número de setmanes en què ha venut algun llibre aquest mes. ≈ B(4, 0.65)

    P(S≥2)=1 P(S 1) 1 f (0) f (1) 1 0.35 4 0.65 0.35 0.8735187S S4 3− ≤ = − − = − − ⋅ ⋅ =

    c) Recordem que P( / NV) P(NV / )P( )P(NV)

    • =• •

    1) P(E / NV) P(NV / E)P(E)P(NV)

    = =⋅

    =0 2 05

    0 350 2857. .

    ..

    2) P(G / NV) P(NV / G)P(G)P(NV)

    = =⋅

    =0 6 0 25

    0 350 4286. .

    ..

    3) P(C / NV) P(NV / C)P(C)P(NV)

    = =⋅

    =0 4 0 25

    0 350 2857. .

    ..

    Notem que la suma de les tres probabilitats suma 1.

    A la vista dels resultats, és més probable que hagi anat a Gràcia.

    Eixample

    Gràcia

    Les Corts

    Vendre

    No vendre

    Vendre

    No vendre

    Vendre

    No vendre

    0.5

    0.25

    0.25

    0.8

    0.2

    0.4

    0.6

    0.6

    0.4

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 44 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    d)

    Definim C: coincidir en un districte

    Coincidir almenys un cop durant dues setmanes = A = CCCCCC ∪∪

    P(A)=1-P( CC)=1-P( C)·P( C) (per independència entre setmanes)

    C = E1·E2 ∪ G1·G2 ∪ C1·C2 (disjunts)

    P(C) = P(E1·E2) + P(G1·G2) + P(C1·C2) = P(E1)·P(E2) + P(G1)·P(G2) + P(C1)·P(C2) =

    = 1/6+1/12+1/12=1/3

    P(A)=1-(1-1/3)(1-1/3)=5/9

    4.16 Els productes farmacèutics.

    a) Definim els següents esdeveniments:

    P1 : Fabricació via procediment 1

    P2 : Fabricació via procediment 2

    D : Peça defectuosa

    Hem de calcular P P2D

    Fem-ho per arbre:

    P P2D

    P(P2 D)P(D)

    0.6750.9225

    0.732 =

    ∩= =

    { }P(D) P( w ,w ) 0.25 0.99 0.75 0.9 0.92252 4= = ⋅ + ⋅ =

    { }P(P2 D) P( w ) 0.75 0.9 0.6754∩ = = ⋅ =

    Per Bayes:

    0.25

    0.75

    D

    P1

    P2

    D

    D

    D

    0.01

    0.99

    0.1

    0.9

    w1

    w2

    w3

    w4

    E1

    G1

    C1 0.25

    0.25

    0.5

    E2

    G2

    C2 1/3

    1/3

    1/3

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 45

    P P2D

    P DP2 P(P2)

    P DP1 P(P1) PD

    P2 P(P2)

    =

    ⋅ +

    =⋅

    ⋅ + ⋅=

    0 9 0 750 25 0 99 0 75 0 9

    0 732. .. . . .

    .

    A priori:

    P D P1 0.99 PD

    P2 0.9 P(P1) = 0.25 P(P2) = 0.75

    =

    =

    b) Sigui A: Extreure com a màxim 1 peça defectuosa entre 10.

    A0 : Treure cap peça defectuosa

    A1 : Treure 1 peça defectuosa

    Di : Treure una peça defectuosa en i-èssima posició i la resta de les 10 peces no defectuoses.

    P(A)=P(A0)+P(A1)

    P(A0)=P( D)10 =0.922510 =0.446

    P(A ) P(D D ... D ) 10 P(D ) 10 (1 P(D)) P(D) 10 0.0775 0.9225 0.37511 2 10 i 9= ∪ ∪ ∪ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =

    P(A)=0.446+0.375=0.821

    c) X : v.a. número de peces defectuoses en 2 extraccions amb reposició.

    P(D)=0.0775

    P([X = 2 = 0.0775 = 0.006

    P([X = 0 = 0.9225 = 0.851P([X = 1 = 0.0775 0.9225 + 0.9225 0.0775 = 0.143

    verifica p (x ) 1

    2

    2X i

    xi

    ]

    ]] ⋅ ⋅

    =∑)

    )

    [ ]E X p (x ) 0 p (0) 1 p (1) 2 p (2) 0.143 2 0.006 0.155X ix

    X X Xi

    = = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ =∑

    4.17 Un de monedes trucades.

    (75E , 25C) on E : moneda equilibrada i C : moneda 2 cares.

    a) Sigui A : Moneda trucada i B : surt (C,C) en 2 llançaments consecutius.

    • Fent-ho per Bayes:

    ( ) ( ) ( )P A 0 25 P A 0 75

    P C A 1 PX

    A 0

    P CA

    0 5 P XA

    0 5

    a priori tambe P BA 1 P

    BA 0

    P BA

    1 / 4 P BA

    3 / 4

    ( ) . ( ) .

    . .

    = =

    = =

    =

    =

    = =

    =

    =

    ( ) ( )( )P A B

    P BA P(A)

    P BA P(A) PB

    AP(A)

    11

    47

    0.57141

    4

    14

    14

    34

    14

    716

    =⋅

    ⋅ + ⋅

    =⋅

    ⋅ + ⋅= = =

  • Diplomatura d’Estadística Problemes Assignatura Càlcul de Probabilitats

    Pàg. 46 Curs 2004-2005 Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue

    • Fent-ho amb arbre:

    { }A B w P(A B) 1 / 41∪ = → ∪ =

    { }B w ,w P(B) 1 / 4 3 / 16 7 / 161 2= → = + =

    ( )P A B P(A B)P(B)1 / 47 / 16

    47

    =∩

    = =

    b) Sigui A : Moneda trucada i B : surt (C,...,C) en 10 llançaments consecutius.

    A priori:

    ( ) ( ) ( )( ) ( )P A B

    P BA P(A)

    P(B)

    P BA P(A)

    P BA P(A) PB

    AP(A)

    11

    2 32

    0.9971

    4

    14

    12

    10 34

    10

    12=⋅

    =⋅

    ⋅ + ⋅

    =⋅

    ⋅ + ⋅=

    +=

    A

    A

    C C

    C

    X

    C

    X

    C

    X

    w1

    w2

    w3

    w4

    w5

    0.75

    0.25 1 1

    0.5

    0.5

    0.5

    0.5

    0.5

    0.5

    P(wi )

    0.25

    3/16

    3/16

    3/16

    3/16

  • Diplomatura d’Estadística Assignatura Càlcul de Probabilitats Problemes

    Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue Curs 2003-2004 pàg. 47

    No

    1/2

    1/2