llista de prob resolts

Facultat de Ciencies Economiques iEmpresarials

Universitat Pompeu Fabra

MATEMATIQUES I (ECO/ADE)MATEMATIQUES (1r trim. EMP)

Dossier de Problemes Resolts.

15 de setembre de 2011

Index

1 Bloc 1: Funcions reals de variable real 3

2 Bloc 2: Derivacio 20

3 Bloc 3: Optimitzacio 27

4 Bloc 4: Integracio 36

5 Bloc 5: Sistemes d’equacions i Matrius 39

2

Capıtol 1

Bloc 1: Funcions reals devariable real

Exercici* 1

Resoldre 3x− 2 ≥ 4.

Solucio Exercici 1 Aıllant la incognita tenim: x ≥ 2. Des d’un punt devista grafic, es pot entendre observant que la recta y = 3 x − 2 es creixent italla la recta y = 4 en el punt (2, 4); conseguentment, sera igual o mes granque y = 4 per x ∈ [2,∞).

Exercici** 2

Soluciona les seguents desigualtats

(a) −3x+ 7 > 5

(b) |−3x+ 7| > 5

(c) |2x+ 7| ≤ 5

(d) 1x> 4

(e) x−1x−2

> 0

Solucio Exercici 2

(a) −3x+ 7 > 5⇒ 2 > 3x⇒ x ∈ (−∞, 23

)Atencio al canvi de signe en la

desigualtat.

(b) |−3x+ 7| > 5⇒ −3x+7 > 5 o −3x+7 < −5⇒ x ∈ (4,∞)∪(−∞, 23

)3

CAPITOL 1. BLOC 1: FUNCIONS REALS DE VARIABLE REAL

(c) |2x+ 7| ≤ 5⇒ −5 ≤ 2x+ 7 ≤ 5⇒ x ∈ [−6,−1]

(d) 1x> 4 ⇒ 1

x− 4 > 0 ⇒ 1−4x

x> 0 ⇒ ⇒ x ∈ (0, 1

4

). Es incorrecte fer

1x> 4⇒ 1

4> x.

(e) x−1x−2

> 0⇒ ⇒ x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,∞)

Exercici*** 4

Com ja sabem, el valor absolut d’un nombre es pot interpretar com ladistancia d’aquest nombre al 0, es a dir, |x|= distancia de x a 0. De lamateixa manera es pot parlar de la distancia entre dos nombres reals a, b enla recta real, distancia que es defineix com

d(a, b) = |a− b|. (1.1)

(a) Calculeu la d(3, 2), d(4, 8), d(2, 2) segons la formula (1.1).

(b) Demostreu que |a− b| coincideix amb la distancia entre a i b.

(c) Escriviu la formula que representa exactament la seguent frase “la dis-tancia de 2x a 8 es mes gran que 3”, usant el valor absolut.

(d) Troba tots els punts x tals que la distancia de 2x a 8 es mes gran que3.

Solucio Exercici 4

(a) d(3, 2) = |3− 2| = 1, d(4, 8) = |4− 8| = 4, d(2, 2) = 0.

(b) Si a = b aleshores d(a, b) = 0 que coincideix amb |a − b|. Si a > baleshores d(a, b) = a− b que coincideix amb |a− b|. Si a < b aleshoresd(a, b) = b− a que coincideix amb |a− b| = b− a.

(c) d(2x, 8) = |2x− 8| > 3.

(d) Resolent d(2x, 8) = |2x− 8| > 3 obtenim x ∈ (−∞, 52) ∪ (11

2,∞).

Exercici* 8

Si f(x) es el benefici que s’obte en vendre x unitats d’un article,

(a) Doneu la interpretacio economica de les expressions f(x), f(x + 1),f(2x), f(x+ 1)− f(x).

4


(b) Calculeu les expressions anteriors en cas que f(x) = x2.

(c) Calculeu les expressions anteriors en cas que x = 100.

Solucio Exercici 8

(a) f(x): benefici que s’obte en vendre x unitats d’un article, f(x + 1):benefici que s’obte en vendre x + 1 unitats d’un article (una unitatmes), f(2x): benefici que s’obte en vendre 2x unitats d’un article (eldoble d’unitats), f(x + 1) − f(x): benefici que aporta la unitat x + 1(el benefici de l’ultima unitat, es el benefici marginal).

(b) Calculeu les expressions anteriors en cas que f(x) = x2, f(x + 1) =(x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1, f(2x) = 4x2; f(x+ 1)− f(x) = 2x+ 1.

(c) Calculeu les expressions anteriors en cas que x = 100. f(100) = 10000,f(x+ 1) = 10.201, f(2x) = 40.000; f(x+ 1)− f(x) = 201

Exercici** 9

Resol l’equacio √x+ 3 =

√x− 5 + 4

Solucio Exercici 9 Comencem passant el 3 a la dreta i elevant al quadrat.Recordeu que s’ha de fer servir la formula del quadrat d’una suma. Trobareml’expressio:

x = x− 5 + 2√x− 5 + 1

que podem simplificar, i obtenim

2 =√x− 5

Elevant al quadrat i aıllant trobem que la solucio es x = 9.

Exercici* 10

Calculeu els dominis de

(a) f1(x) =√x− 1

(b) f2(x) =√

2− x

(c) f3(x) =√

x−1x−2

(atencio amb les desigualtats!)

(d) f4(x) =√

(x− 1)(x− 2)

5


Solucio Exercici 10

(a) x ≥ 1

(b) x ≤ 2

(c) (−∞, 1] ∪ (2,∞)

(d) (−∞, 1] ∪ [2,∞)

Exercici* 12

Donada la funcio

f(x) =4x+ 2

x− 1,

Trobeu el rang de f(x).

Solucio Exercici 12 Un nombre a pertany al rang de f(x) si l’equaciof(x) = a te solucio. Si operem obtenim 4x+2

x−1= a → 4x + 2 = ax − a →

(4− a)x = −a− 2 que te solucio nomes si a 6= 4. Per tant el rang es R \ {4}.

Exercici** 13

Donada la grafica de la seguent funcio f(x):

6


(a) Dibuixeu la grafica de la funcio −f(x− 3) + 2.

(b) A partir de la grafica de f(x) dieu a quina funcio correspon aquestagrafica:

Solucio Exercici 13

(a) S’ha de desplacar f(x) tres a la dreta, fer la simetrica respecte l’eix xi despres desplacar-la 2 amunt (teniu les dues dibuixades).

7


(b) Es −f(x− 1)− 3

Exercici** 15

Donada la funcio

f(x) =1

(x+ 1)2− 2

(a) Resol graficament i analıticament les equacions f(x) = −3 i f(x) = −1.

(b) Existeix algun valor de c pel qual l’equacio f(x) = c tingui una unicasolucio?

(c) Planteja i resol analıticament les equacions f(3x) = 2 i f(−x) = −1.

(d) Per a quins valors de c, l’equacio f(cx) = 0 te solucio?

Solucio Exercici 15

(a) La primera equacio no te solucio, la segona te dues solucions, x = 0 ix = −2. Recordeu que quan es resol una equacio de grau 2 cal prendrel’arrel positiva i la negativa.

8


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

(b) No existeix cap, es veu graficament que no hi ha cap recta horitzontalque talli a la grafica nomes una vegada.

(c) La primera equacio es

1

(3x+ 1)2− 2 = 2

Passem el −2 a l’altra banda sumant i traiem l’arrel quadrada. Obte-nim dues equacions:

1

3x+ 1= ±2

una per cada signe de l’arrel. Resolent amb el signe positiu ens donax = −1

6i resolent pel signe negatiu obtenim x = −1

2.

La segona equacio es

1

(−x+ 1)2− 2 = −1

i es resol de forma similar. Les solucions son x = 0 i x = 2.

(d) Podem plantejar sempre una equacio similar a la de l’apartat anterior

1

(cx+ 1)2− 2 = −1

i resoldre-la amb els mateixos passos. Les solucions seran x = 0 ix = −2

c. En el cas c = 0 no tenim equacio perque l’expressio de

l’esquerra ja no depen de la variable x.

9


Exercici** 16

Suposem que una funcio ve definida per f(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 10√

x− 10 if 10 < x ≤ 14−x+ 16 if 14 < x ≤ 16

(a) Representeu f(x).

(b) Trobeu el rang de f(x).

(c) Representeu f(x+ 2) en el domini x ≥ 0.

(d) Trobeu els valors que fan f(x) < f(x+ 2) tambe en el domini x ≥ 0.

Solucio Exercici 16

(a) Representem

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

-1

1

2

3

(b) El rang es [0, 2].

(c) Fem la representacio grafica conjunta i obtenim:

10


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

-1

1

2

3

(d) Resolem√x− 10 = −x+14⇒ x = 29

2− 1

2

√17 = 12. 438 447 19 i veiem

que f(x) < f(x+ 2) en l’interval (8, 12. 438 447 19).

Exercici** 18

Resol les seguents inequacions

(a) (x+ c)2 ≤ x per c = 0, c = 14

i c = 2.

(b) x2 − x < −x2 + 3x+ 6

(c) x2 + x− 1 > x3 + x− 1

Solucio Exercici 18

(a) Per c = 0. Hem de resoldre primer l’equacio x2 = x que te solucionsx = 0 i x = 1. Dibuixem les grafiques de les funcions x2 i x i trobemque es tallen en aquests dos punts i que entre x = 0 i x = 1 la graficade x2 va per sota. Per tant la solucio es l’interval tancat [0, 1].Quan c = 1

4la unica solucio a l’equacio (x+ 1

4)2 = x es x = 1

4. Dibuixem

les grafiques de les funcions (x+ 14)2 i x i trobem que es tallen en aquest

punt i que a la resta la grafica de x2 va per sobre que el de x. Per tantla solucio es el punt x = 1

4.

Quan c = 2 es procedeix de forma similar i es veu que la inequacio note solucio.

11


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

x

!x +

14

"2

x2

(x + 2)2

(b) Es resol de la mateixa manera que l’apartat anterior pero tenint encompte que la desigualtat es estricte i que les solucions de l’equaciox2 − x = −x2 + 3x+ 6 no son solucions de la inequacio. Sol: (−1, 3).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x2 ! x!x2 + 3x + 6

(c) Observeu que podem simplificar la inequacio i resoldre x2 > x3 que tesolucio (−∞, 0) ∪ (1,∞).

-2 -1 0 1 2

-2

-1

1

2x2

x3

12


Exercici** 21

Trobeu les equacions dels seguents objectes:

(a) La circumferencia que passa per (2, 3) i te centre (1, 1).

(b) La circumferencia que passa per (2, 3) i te radi 2.

(c) La circumferencia que passa per (0, 3), (3, 0) i (1, 1).

(d) Els punts (x, y) tals que la seva distancia al (3, 0) es la mateixa queal (0, 3). Representeu aquests punts i trobeu-ne dos que compleixin lacondicio.

(e) Els punts (x, y) tals que la seva distancia al (3, 0) es el triple que al(0, 3). Representeu aquests punts i trobeu-ne dos que compleixin lacondicio.

Solucio Exercici 21

(a) (x− 1)2 + (y − 1)2 = 5.

(b) Totes les que compleixen (2 − a)2 + (3 − b)2 = 4, es a dir (a − 2)2 +(b− 3)2 = 4. Son les que tenen el centre en la circumferencia de centre(2, 3) i radi 2.

(c) Partim de (x− a)2 + (y− b)2 = r2 i imposem que passin els tres punts,amb el que obtenim que (x − 3)2 + y2 = r2, x2 + (y − 3)2 = r2 i(x− 1)2 + (y − 1)2 = r2.

(d) Cal resoldre (x− 3)2 + y2 = x2 + (y − 3)2 amb el que s’obte x2 − 6x+9 + y2 = x2 + y2 − 6y + 9, es a dir x = y; es una recta. Podem prendre(1, 1), (2, 2) per exemple.

(e) Cal resoldre√

(x− 3)2 + y2 = 3√

(x2 + (y − 3)2) amb el que s’obte(x− 3)2 + y2 = 9(x2 + (y − 3)2) i per tant

x2 − 6x+ 9 + y2 = 9(x2 + y2 − 6y + 9)

x2 − 6x+ 9 + y2 = 9x2 + 9y2 − 54y + 81

−72 = 8x2 + 8y2 + 6x− 54y−72

8= x2 + y2 + 6

8x− 54

8y

Amb el que obtenim el seguent sistema

−2a = 68→ a = −3

8−2b = −548→ b = 27

8

r2 − a2 − b2 = −728→ r2 = −72

8+(−3

8

)2+(

278

)2= 162

64= 81

32

13


amb el que finalment r =√

8132

.

Aixı doncs la seva equacio es

(x+3

8)2 + (y − 27

8)2 =

81

32.

Si fem x = 0 obtindrem (y − 278

)2 = 8132− 9

64= 153

32i per tant y =

278±√

15364

, es a dir y = 1.828835390 i y = 4.921164609.

Exercici* 22

S’estima que quan el preu d’un cert producte es de 10 euros, la seva demandaes de 45 unitats i la seva oferta es de 40 unitats. Tambe s’estima que si elpreu augmenta en 10 unitats la demanda disminueix en 3 unitats i l’ofertaaugmenta en 2 unitats. Calculeu les funcions de demanda D(p) i oferta S(p),indicant clarament quins suposits feu servir i calculeu el preu d’equilibri (elque fa que l’oferta i la demanda s’equilibrin).

Solucio Exercici 22 Considerem p com a variable independent. Sabemque D(p) es lineal i que si p = 10 aleshores la demanda es 45 i si p = 20la demanda es 42 ; per tant la demanda passa pels punts (10, 45) i (20, 42)del que deduım que D(p) = (−3/10)p + 48. Sabem que S(p) es lineal i quesi p = 10 aleshores l’oferta es 40 i si p = 20 l’oferta es 42 ; per tant l’ofertapassa pels punts (10, 40) i (20, 42) del que deduım que D(p) = (2/10)p+ 38.El preu d’equilibri es (−3/10)p+ 48 = (2/10)p+ 38⇒ p = 20

Exercici*** 25

Trobeu l’expressio de la seguent funcio exponencial (o obtinguda a partird’una exponencial)

14


Solucio Exercici 25 Partim de (12)x i desplacant-la adequadament obtenim

que la funcio buscada es −((12)x − 1)

Exercici** 27

Suposem que una persona te un sou l’any 2010 de 26.000 euros i l’any 2020 de30.000 euros. Suposant que el sou segueix un model exponencial, calculeula funcio s(t) que dona el sou l’any t, considerant t = 0 l’any 2010.

Solucio Exercici 27 s(t) = 26000 ∗ at; s(10) = 26000 ∗ a10 = 30000⇒ a =10

√3000026000

= 1. 014 412 964; la funcio es s(t) = 26000 ∗ (1.014)t

Exercici** 28

En la llico d’Economia 2004-05 impartida per la professora Linda C. Bab-cock es va plantejar una situacio com aquesta: en obtenir la primera feinal’individu A obte un salari anual de 15.000 euros mentre que l’individu Bn’obte un salari anual de 20.000 euros.

(a) Al cap de 20 anys, quin sera el salari de cadascun d’ells si a tots dosse’ls augmenta 100 euros cada any. Plantegeu clarament la funcio delsou de cadascun d’ells, prenent com a any t=0 l’any 2005.

(b) Quina sera la diferencia entre els sous de A i B l’any 2005. Quina seraaquesta diferencia d’aquı a 20 anys?

Solucio Exercici 28

(a) Individu A: SA(t) = 15000+100t→ SA(20) = 15000+100∗20 = 17000

(b) Individu B: SB(t) = 20000 + 150t → SB(20) = 20000 + 100 ∗ 20 =22 000

(c) com podeu veure la diferencia de sou es constant, sempre igual a 5000

Exercici** 29

En la llico d’Economia 2004-05 impartida per la professora Linda C. Bab-cock es va plantejar una situacio com aquesta: en obtenir la primera feinal’individu A obte un salari anual de 15.000 euros mentre que l’individu Bn’obte un salari anual de 20.000 euros.

(a) Al cap de 20 anys, quin sera el salari de cadascun d’ells si a tots dosse’ls augmenta el salari un 3% anual? Plantegeu clarament la funciodel sou de cadascun d’ells, prenent com a any t=0 l’any 2005.

15


(b) Quina es la diferencia entre els sous de A i B l’any 2005. Quina esaquesta diferencia d’aquı a 20 anys?

Solucio Exercici 29

(a) SA(t) = 15000(1.03)t i SA(20) = 15000(1.03)20 = 27091. 668 52

SB(t) = 20000(1.03)t i SA(20) = 20000(1.03)20 = 36122. 224 69

(b) L’any 2004 la diferencia de sous es 20000 − 15000 = 5000, d’aquı a20 anys la diferencia de sou sera SB(16) − SA(16) = 20000(1.03)20 −15000(1.03)20 = 9030. 556 173. Com veieu un increment notable!

Exercici* 32

Resoldre 3x2 − 3x− 6 > 0.

Solucio Exercici 32 Com que la parabola te els zeros a −1 i 2, i a per x = 0es negativa, aixo vol dir que la solucio de la desigualtat es x ∈ (−∞,−1) ∪(2,∞).

Exercici* 34

Quin son els polinomi de grau mınim que s’adiuen a les grafiques seguents,

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

-1,5

-1

-0,5

0,5

1

1,5

16


Solucio Exercici 34

(a) La grafica del polinomi passa pels punts (−1, 0), (0.4, 0), (1, 0), per tantha de ser de la forma P (x) = A · (x − (−1)) · (x − 0.4) · (x − 1). Siimposem que la grafica passa tambe pel punt (0, 0.4) queda que A = 1i doncs P (x) = (x− (−1)) · (x− 0.4) · (x− 1).

(b) L’altre es y = −169

(x+ 1)2(x− 1)x.

Exercici* 35

Quines de les divisions seguents donen residu igual a 0? (a i b son constantsi n es un numero natural).

(a) (x3 − x− 1)/(x− 1)

(b) x3 − ax2 + bx− ab)/(x− a)

(c) (x2n − 1)/(x+ 1)

Solucio Exercici 35

(a) No: si p(x) = x3 − x− 1, aleshores sera p(1) = −1 i com 1 no es unaarrel, el polinomi no es divisible per (x− 1)

(b) Sı ja que si substituım a en el polinomi tenim a3 − aa2 + ab− ab = 0

(c) Sı, ja que si substituım −1 en el polinomi tenim (−1)2n−1 = 1−1 = 0

Exercici*** 36

Trobeu els polinomis p(x) de grau inferior o igual a 2 que satisfacin (son duescondicions diferents)

(a) p(0) = p(1) = p(2) = 1

(b) p(0) = 1 i p(1) = 3

Solucio Exercici 36

(a) Si p(x) = ax2 + bx + c i p(0) = p(1) = p(2) = 1 tenim que c =1, a+b+c = 1 i 4a+2b+c = 1; si ho resolem obtenim a = 0, b = 0, c = 1amb el que p(x) = 1

17


(b) Si p(x) = ax2+bx+c i p(0) = 1 i p(1) = 3 tenim que c = 1 i a+b+c = 3i per tant b = a− 2 i p(x) = ax2 + (2− a)x+ 1 on a es un nombre real.Podem tenir un polinomi de grau 1 amb aquestes caracterıstiques fenta = 0 amb el que s’obte p(x) = 2x+ 1;

Exercici** 38

Troba els dominis de

(a) y = ln(8− x3)

(b) y = ln(x−1x+1

)Solucio Exercici 38

(a) y = ln(8− x3) =⇒ Dy = (−∞, 2)

(b) y = ln(x−1x+1

)=⇒ (−∞,−1) ∪ (1,∞)

Exercici* 41

En un experiment psicologic es van fer aprendre 125 noves dates historiquesa un grup de persones. En proves successives, es va trobar que el nombrede noves dates historiques que, de promig, recordaven despres de t ≥ 0 diesd’haver-les apres s’ajusta a la llei

H(t) = 125 (1 + e)/(1 + et+1).

Despres de quants dies una persona recordara nomes 25 noves dates?

Solucio Exercici 41 Es demana que solucionem l’equacio H(t) = 25 =125 (1 + e)/(1 + et+1). Operant s’obte 1 + et+1 = 5 (1 + e), que implicaet+1 = 4 + 5e, i, per tant, t = ln(4 + 5e) − 1 ≈ 1.87 dies, es a dir, 1 dia, 20hores i 53 minuts. La corba de la funcio

Exercici*** 42

En les seguents expressions, escriviu-les com el logaritme d’una sola quantitat(per exemple: ln(x)− ln(y) = ln x

y):

(a) ln(x− 2)− ln(x+ 2).

(b) 3 lnx+ 2 ln y − 4lnz.

(c) 2 ln 3− 12

ln(x2 + 1)

18


Solucio Exercici 42

(a) ln x−2x+2

.

(b) ln x3y2

z4.

(c) ln 32√x2+1

19

Capıtol 2

Bloc 2: Derivacio

Exercici** 2

Sigui P (x) = x3 + ax+ b. Calcula a i b de forma que el polinomi P (x) siguitangent a la recta y = 6x en el punt x = 1.

Solucio Exercici 2 Per x = 1 la grafica de la funcio i la de la recta han depassar pel mateix punt, es a dir, P (1) = 6. Per una altra banda, la derivadade la funcio ha de coincidir amb el pendent de la recta, es a dir, P ′(1) = 6.Imposant aquestes dues condicions obtenim que a = 3 i b = 2.

Exercici** 3

A quin punt de la corba f(x) =√x es tangent la recta y = 1

4x+ 1?

Solucio Exercici 3 Com que sabem que l’equacio d’una recta tangent a unacorba y = f(x) es y = f(x0)+f ′(x0)(x−x0), si derivem la funcio f(x) =

√x

i igualem el resultat al pendent de la recta tangent tenim 12√x0

= 14; aixo ens

permet trobar x0 = 4 i y0 = f(x0 = 4) = 2. Aixı, doncs, la recta en questioes tangent a la corba en el punt (4, 2).

Exercici** 6

Calculeu les seguents derivades

(a) f(x) = x√

1 + x2

(b) f(x) = x√4−x2

(c) f(x) =√x+

√x+√x

Solucio Exercici 6

20

CAPITOL 2. BLOC 2: DERIVACIO

(a) f(x) = x√

1 + x2 =⇒ f ′(x) = ddx

(x√

1 + x2)

=√

1 + x2+x 2x

2√

(1+x2)=

1+2x2√(1+x2)

(b) f(x) = x√4−x2 =⇒ f ′(x) =

√4−x2−x −2x

2√

4−x2

4−x2 =

4√(4−x2)

4−x2 = 4“√(4−x2)

”3

(c) f(x) =√x+

√x+√x =⇒ f ′(x) = 1

21q

x+√x+√x

(x+

√x+√x)′

=

12

1qx+√x+√x

(1 + 1

2√x+√x(x+

√x)′)

= 12

1qx+√x+√x

(1 + 1

2√x+√x(1 + 1

2√x)

)

Exercici** 7

Calculeu

• ddx

(ax(1− e−bx))

• dda

(ax(1− e−bx))

• ddb

(ax(1− e−bx))

Solucio Exercici 7

• ddx

(ax(1− e−bx)) = a(1− e−bx) + axbe−bx

• dda

(ax(1− e−bx)) =x

(1− e−bx)

• ddb

(ax(1− e−bx)) = ax2e−bx

Exercici* 10

Estudiar la continuıtat de la funcio f(x) = 1/(1− exp(1/x)).

Solucio Exercici 10 Com que 1/x no esta definida per x = 0, tampoc no hiestan exp(1/x) ni la funcio f(x). Es a dir, el domini de f(x) es x ∈ <−{0}.Per tant f(x) no es contınua a x = 0. D’altra banda, sabem que la conti-nuıtat d’una funcio f(x) en un punt b requereixlimx→b+ f(x) = limx→b− f(x) = f(b). Com que limx→0+ f(x) = 0, perolimx→0− f(x) = 1, aquesta seria una altra rao per la manca de continuıtat.Llevat del punt x = 0, la funcio f(x) esta definida per tots els reals. A mes,com que exp(1/x) es contınua per tots els reals, excepte en el zero, 1−exp(0)tambe n’es i f(x) tambe.

21


Exercici** 13

Suposant que g(x) es derivable, calcula la derivada de

(a) f(x) = 3g(x) + g(x)2 +√g(x) + eg(x).

(b) f(x) = xg(x) + x2g(x) + x(g(x))2 + exg(x).

Solucio Exercici 13

(a) f ′(x) = 3g′(x) + 2g(x)g′(x) + 12g(x)

g′(x) + eg(x)g′(x).

(b) f ′(x) = g(x) + xg′(x) + 2xg(x) + x2g′(x) + (g(x))2 + x2g(x)g′(x) +exg(x)(g(x) + xg′(x)).

Exercici** 14

Troba les equacions de la recta tangent i de la recta normal (perpendi-cular a la tangent) a la circumferencia u2 + v2 = 9 en els punts (0, 3) i(2,√

5).Representa graficament la circumferencia, la recta tangent i la nor-mal: (Recordeu que si tenim la recta y = mx + n, la recta perpendicular esde la forma y = −(1/m)x+ k).

Solucio Exercici 14 La recta tangent te equacio y = y(a) + y′(a)(x− a),mentre que la recta normal te equacio y = y(a)− 1

y′(a)(x− a)

u2 +v2 = 9⇒ 2u+2vv′ = 0⇒ v′ = −uv

i per tant en el punt (0, 3) tenimv′(0) = −0

3amb el que la recta tangent es v = 3 i la recta normal es vertical

u = 0. En el punt (2,√

5) tenim v′(2) = − 2√5

amb el que la recta tangent es

es v =√

5− 2√5(u− 2) i la recta normal es v =

√5 +

√5

2(u− 2)

22


Exercici** 15

Sigui la corbay3 − x2y + 6 = 0,

Es demana,

(a) Calculeu els valors de y quan x = 1 (potser us cal usar Ruffini).

(b) Calculeu la derivada de y respecte x, i la derivada de y respecte x enel punt que te x = 1.

(c) Calculeu la recta tangent a la corba en el punt que te x = 1.

Solucio Exercici 15

(a) La unica solucio real de y3 − y + 6 = 0 es y = −2.

(b)dy

dx |x=1,y=−2=

−2xy

−3y2 + x2|x=1,y=−2

= − 4

11

dx

dy |x=1,y=−2

=−3y2 + x2

−2xy |x=1,y=−2

= −11

4

(c) La recta tangent a la corba en en el punt que te x = 1 es y − (−2) =− 4

11(x− 1) o equivalentment y = −18

11− 4

11x.

Exercici** 21

Que ens diu el teorema del valor intermedi sobre la funcio f(x) = x7−5x3 +4en l’interval [−1, 1]? Indiqueu si l’equacio x7− 5x3 + 4 = 1 te alguna solucioen [−1, 1].

Solucio Exercici 21 Ens diu que com que f(x) es contınua en [−1, 1],aleshores f(x) pren tots els valors entre f(−1) = 8 i f(1) = 0. En particularf(x) = 1 te una solucio en aquest interval.

Exercici** 24

Calculeu una aproximacio de ln(1.4) a partir del desenvolupament fins atercer grau de la funcio f(x) = ln(1+x) en el punt x = 0. Compareu el valorque trobeu amb l’obtingut amb la calculadora: ln(1.4) = 0.3364722 . . .

Solucio Exercici 24 Com que f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = −1, f ′′′(0) = 2,el desenvolupament demanat es: P3, 0(x) = x− x2

2+ x3

3. L’esperanca es que

ln(1 +x) ≈ P (x), i per tant que ln(1.4 = 1 + 0.4) ≈ P (0.4). Si es substitueix

23


0.4 a P (x), es troba que P (0.4) = 0.3413333 . . . Si es compara amb el valorde la calculadora, s’observa que l’error de l’aproximacio ve a ser del 1, 4%.Per a molts calculs l’aproximacio es prou bona.

Exercici** 25

Demostreu que (1 + x)m ∼= 1 +mx en un entorn de x = 0. Utilitzeu aquestaaproximacio per a calcular 10

√1.03.

Solucio Exercici 25 Tenim que f(x) = (1+x)m i f ′(x) = m(1+x)m−1 ambel que si x = 0 tenim que f(0) = 1 i f ′(0) = m i l’aproximacio demanada es

(1 + x)m ∼= 1 +mx . Ara 10√

1.03 = (1.03)110 = (1 + 0.03)

110 = 1 + 1

100.03 = 1.

003. El valor real es 10√

1.03 = 1. 002 960 3.

Exercici** 26

Troba l’aproximacio lineal a F (K) = AKα en un entorn de K = 1.

Solucio Exercici 26 F (K) = AKα ≈ F (1)+F ′(1)(K−1) = A+Aα(K−1)on F ′(K) = AαKα−1 i per tant F ′(1) = Aα

Exercici** 28

Troba el diferencial de F (K) = AKα quan K passa de K = 1 a K = 1.2.

Solucio Exercici 28 dF = F ′(K)dK = AαKα−1dK i per tant dF =Aα ∗ 0.2

Exercici** 29

Donada la seguent equacio:

x4 − 4x3 = −y4 − 2x2y2 + 4xy2 + 4y2,

la representacio de la qual (esborrant els valors en els eixos) es

24


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

(a) Calculeu els valors de y que corresponen a x = 0 i marqueu-los en elgrafic.

(b) Calculeu usant derivacio implıcita la derivada y′.

(c) Calculeu y′(0), suposant a mes que y > 0.

(d) Calculeu la recta tangent en el punt que te x = 0 i y > 0 i representeu-laal grafic.

(e) Sabent que si x = 0.2 aleshores l’unica y positiva que satisfa l’equacioes y = 2.1740359, calculeu l’increment i el diferencial de y quan passemdel punt que te x = 0 i y > 0 al punt que te x = 0.2 i y > 0. Marqueual grafic aquests dos valors.

Solucio Exercici 29

(a) Calculeu els valors de y que correspon a x = 0 i marqueu-los en elgrafic.{x4 − 4x3 = −y4 − 2x2y2 + 4xy2 + 4y2

x = 0→ 0 = 4y2 − y4 → y =

2, 0,−2

25


(b) Calculeu usant derivacio implıcita la derivada y′

→ x4 − 4x3 = −y4 − 2x2y2 + 4xy2 + 4y2 →4x3 − 12x2 = 4 (y)2 − 4 (y)3 y′ − 4x (y)2 + 8yy′ − 4x2yy′ + 8xyy′ →y′ = 4x3−12x2+4xy2−4y2

−4y3−4x2y+8xy+8y

(c) Calculeu y′(0), suposant a mes que y > 0

y′ =[

4x3−12x2+4xy2−4y2

−4y3−4x2y+8xy+8y

]x=0,y=2

= 1

(d) Calculeu la recta tangent en el punt que te x = 0 i y > 0.

y = 2 + x

(e) df = 1 ∗ 0.2 = 0.2,∆f = 2. 174 035 9− 2 = 0.174 035 9

Solucio:

26

Capıtol 3

Bloc 3: Optimitzacio

Exercici*** 1

Donada la funcio f(x) =6x3

x4 + x2 + 2, demostreu que x = 0 es un punt

estacionari de f(x) pero que no es ni maxim ni mınim local.

Solucio Exercici 1 La derivada es f ′(x) =18x2(x4 + x2 + 2)− 6x3 (4x3 + 2x)

(x4 + x2 + 2)2 =

−6x6 + 6x4 + 36x2

(x4 + x2 + 2)2 =−6x2 (x4 − x2 − 6)

(x4 + x2 + 2)2 ; els punts estacionaris son els que

tenen x = 0 o x4− x2− 6 = 0→ x = ±√3.Podem calcular ara el signe de laderivada, i veiem que f ′(x) ≥ 0 en l’interval

[−√3,√

3]

. Per tant no hi hacanvi de signe de la derivada en el punt 0 i x = 0 no es ni maxim ni mınimlocal.

Nota: per a resoldre x4 − x2 − 6 = 0 fem el canvi z = x2 amb el queobtenim z2 − z − 6 = 0,→ z = −2, z = 3 i per tant z = ±√−2 (que no tesentit) i z = ±√3

Exercici*** 2

Donada f (x) =2x2

x4 + 1, trobeu el valor maxim de f en [0,∞) . Demostreu

que f (x) = f (−x) per a tot x. Quins son els maxims de f en (−∞,∞)

27

CAPITOL 3. BLOC 3: OPTIMITZACIO

Solucio Exercici 2 Primer calculem la derivada de f (x) =2x2

x4 + 1

df

dx=

(x4 + 1) (4x)− 2x2 (4x3)

(x4 + 1)2 =4x (x4 + 1)− 4x (2x4)

(x4 + 1)2 =4x (1− x4)

(x4 + 1)2

=4x (1 + x) (1− x) (1 + x2)

(x4 + 1)2

i els seus punts estacionaris f ′ (x) =4x(1+x)(1−x)(1+x2)

(x4+1)2= 0⇒ 4x (1 + x) (1− x) (1 + x2)

les arrels del qual a [0,∞) son x = 0; y x = 1. Si estudiem el signe de laderivada en [0,∞) obtenim que

x x = 0 x = 1f ’ 0 + + ++ 0 −−−−

i per tant x = 1 es un maxim local de la funcio. Per altra banda tambees un mınim global en [0,∞) ja que es l’unic punt interior a [0,∞) on laderivada canvia de signe. Ara provarem que f(−x) = f(x). Per fer-ho

calcularem f(−x) =2(−x)2

(−x)4 + 1=

2x2

x4 + 1= f(x). Per veure els maxims

globals en (−∞,∞) podem argumentar que com f(−x) = f(x) la funcio essimetrica respecte l’eix y i per tant si 1 es maxim en [0,∞), −1 sera maximen (−∞, 0] amb el mateix valor de la funcio en 1. Per tant els maxims globalsseran x = 1, i x = −1.Si fem el grafic podem observar la simetria:

Exercici** 3

Aplicant el criteri de la primera derivada troba els maxims i mınims localsde les seguents funcions:

(a) f(x) = 3x4 + 8x3 − 6x2 − 24x+ 7

28


(b) f(x) = ln(x)− x(c) f(x) = 1

x2−3

(d) f(x) = x3

x2−1

Solucio Exercici 3

(a) Maxim local a x = −1 i mınims locals a x = −2 i x = 1.

(b) Maxim local a x = 1.

(c) Mınim local a x = 0.

(d) Maxim local a x = −√3 i mınim local a x =√

3. A x = 0 la derivadas’anul·la pero la derivada es negativa als dos costats del zero per tantno tenim un optim.

Exercici** 4

Troba els optims, els punts d’inflexio i els intervals de concavitat i convexitatde les seguents funcions:

(a) f(x) = xx2−1

.

(b) f(x) = 15x5 + 1

4x4 − 2

3x3 + 1.

(c) f(x) = ln(x) + 1x

Solucio Exercici 4

(a) f′(x) = − x2+1

(x−1)2i f′′(x) = 2x(x2+3)

(x−1)3.

La funcio no te maxims ni mınims, sempre es decreixent.Els intervals de convexitat (f

′′(x) > 0) son (−1, 0) i (1,∞).

Els intervals de concavitat (f′′(x) < 0) son (−∞,−1) i (0, 1).

Punt d’inflexio a x = 0. La segona derivada tambe canvia de signe ax = −1 i x = 1 pero no son punt d’inflexio perque la funcio no estadefinida en aquests punts.

(b) f′(x) = x4 + x3 − 2x2 = x2(x − 1)(x + 2) i f

′′(x) = 4x3 + 3x2 − 4x =

4x(x− 0.693)(x+ 1.443).La funcio te un maxim a x = −2 i un mınim a x = 1.Els intervals de convexitat (f

′′(x) > 0) son (−1.443; 0) i (0.693;∞).

Els intervals de concavitat (f′′(x) < 0) son (−∞;−1.443) i (0; 0.693).

Punts d’inflexio a x = −1.443, x = 0.693 i x = 0.

29


(c) El domini de la funcio es D = (0;∞).f′(x) = 1

x− 1

x2 i f′′(x) = − 1

x2 + 2x3 .

La funcio te un mınim a x = 1.L’interval de convexitat (f

′′(x) > 0) es (0; 1).

L’interval de concavitat (f′′(x) < 0) es (1;∞).

Punt d’inflexio a x = 2.

Exercici*** 5

Sigui f(x) = x3 + ax + b, x ∈ R. Determina els intervals en els que f escreixent o decreixent i en els que es concava (∩) o convexa (∪). En cas queexisteixin, determina tambe els maxims – mınims (locals) i punts d’inflexiode la funcio. Nota. Aquı a i b denoten dues constants arbitraries.

Solucio Exercici 5 Per determinar els intervals de creixement i decreixe-ment de f obtenim la seva derivada; es f ′(x) = 3x2 + a, definida per a totx ∈ R. Observem que,

(a) Si a > 0, f ′(x) > 0 per a tot x ∈ R. Aleshores, f es creixent arreu ino presenta maxims o mınims. Pel que fa la concavitat i/o convexitattenim que f ′′(x) = 6x , x ∈ R i doncs,

• Si x > 0, f ′′(x) > 0 i f es convexa.

• Si x < 0, f ′′(x) < 0 i f es concava.

• x = 0 es un punt d’inflexio.

(b) Si a < 0, f ′ s’anul.la en x = ±√−a3

. Escrivim doncs f ′(x) = 3(x −√−a3

)(x+√−a3

) i per tant,

• Si x ∈ (−∞; −√−a3

) ∪ (√−a3

; +∞), f ′(x) > 0 i f es creixent.

• Si x ∈ (−√−a3

;√−a3

), f ′(x) < 0 i f es decreixent.

• x = −√−a3

es un maxim local de f i x =√−a3

es un mınim local

de f .

Pel que fa a la concavitat–convexitat de f , veiem que aquesta no dependel valor de a i doncs

• Si x > 0, f ′′(x) > 0 i f es convexa.

• Si x < 0, f ′′(x) < 0 i f es concava.

30


• x = 0 es un punt d’inflexio.

Per finalitzar observem que no hi ha dependencia en termes de b pel que faa la monotonia de la funcio i a la concavitat–convexitat.

Exercici** 6

Donada la funcio f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, trobeu els valors de a, b, c, d,sabent que 1 n’es un mınim local, 2 es un maxim local, i que passa pels punts(0, 4) i (1, 1).

Solucio Exercici 6 Com que ha de complir f ′(1) = 0, f ′(2) = 0, f(0) = 4,f(1) = 1 ha de ser f(x) = −6

5x3 + 27

5x2 − 36

5x+ 4.

Exercici*** 7

Sigui f(x) = (x+ 1)2 e−x, x ∈ R. Es demana,

(a) Calcula la derivada primera de la funcio, f ′.

(b) Determina els extrems relatius de f .

(c) Determina les asımptotes de f . Els extrems relatius de l’apartat ante-rior, son absoluts?

(d) Representa f graficament.

Solucio Exercici 7

(a) Es tracta de la derivada d’un producte, que queda,

f ′(x) = (1 + x)(1− x) e−x, x ∈ R

La derivada primera s’anul.la en x = 1 i x = −1. Si estudiem el signede la derivada tenim que

• Si x < −1, f ′ < 0 i doncs f es decreixent.

• Si −1 < x < 1, f ′ > 0 i doncs f es creixent.

• Si x > 1, f ′ < 0 i doncs f es decreixent.

Per tant en x = −1 es dona un mınim relatiu i en x = 1 un maximrelatiu.

31


(b) Tenim,lim

x→−∞f(x) = +∞ lim

x→∞f(x) = 0

Com,

limx→−∞

f(x)

x= +∞

tenim que x = 0 es una asımptota horitzontal de la funcio en +∞ i quef no presenta pas cap altra asımptota.Com la funcio es positiva arreu i que nomes s’anul.la en x = −1, enaquest punt tenim un mınim absolut de f . El punt x = 1 no pot donarlloc a un maxim relatiu perque limx→−∞ f(x) = +∞.

(c) La representacio grafica demanada es,

1,5

0,5

x

54320-1 1

2,5

2

1

0

Exercici* 9

Localitzar i classificar els punts estacionaris de la funcio f(x) = (x−2)2(x+1).

Solucio Exercici 9 Per localitzar els punts estacionaris necessitem la de-rivada primera de la funcio i imposar la condicio de primer ordre. Derivant,s’obte f ′(x) = 3x(x − 2). Per tant, la condicio de primer ordre, f ′(x) = 0,ens porta als punts estacionaris x = {0, 2}. Per classificar-los necessitem laderivada segona: f ′′(x) = 6(x − 1). Com que f ′′(0) = −6 < 0, ja podemafirmar que el punt estacionari x = 0 es un maxim local (o relatiu); a mes,com que f ′′(2) = 6 > 0, x = 2 es un mınim local. Per acabar, encara queen aquest cas no es tracta d’un punt estacionari, com que la segona derivadas’anul.la per a x = 1 i f ′′′(1) 6= 0, podem afirmar que a x = 1 hi ha un puntd’inflexio.

Exercici** 11

32


El departament de Marqueting d’ una companyia ha determinat que la de-manda d’un producte vindra donada per

x = 10000− 20

3p

amb x ∈ [0, 10000], on x es el nombre d’unitats demandades del nou productei p es el preu unitari de venda.

El departament de finances ha determinat que l’equacio de costos quanes fabriquen x unitats es

C(x) = 1050000 + 300x

on un altre cop x ∈ [0, 10000]

• Calculeu el cost marginal i interpreteu el resultat.

• Trobeu una equacio que expressi els ingressos totals I(x) quan es venenx unitats (ingressos = unitats fabricades × preu unitari).

• Calculeu el ingres marginal per a nivells de produccio de 3, 5 i 8 milunitats¡. Interpreteu els resultats.

• Representeu graficament (en els mateixos eixos) C i I i trobeu el llindarde rendibilitat (el punt on els ingressos igualen als costos).

• Obtingueu la funcio de beneficis totals. Per a quins nivells de producciol’empresa te beneficis? I perdues?

• Per a quin nivell de produccio es troba el maxim benefici?

Solucio Exercici 11

• Cost marginal C ′(x) = 300 es l’augment del cost si produım una unitatde mes.

• I(x) : cal calcular els ingressos si la demanda es de x unitats.EvidentmentI(x) = xp i per tant cal aıllar p en funcio de x. De x = 10000 − 20

3p

obtenim − 320

(x− 10000) = p i ara I(x) = x ∗ − 320

(x− 10000) =− 3

20(x2 − 10000x) .

• Ingres marginal es I ′(x) = − 320

(2x− 10000) . Si produım 3000 tenimque x = 3000 i per tant I ′(3000) = − 3

20(2 ∗ 3000− 10000) = 600,

I ′(5000) = − 320

(2 ∗ 5000− 10000) = 0, I ′(8000) = − 320

(2 ∗ 8000− 10000) =−900. Resulta clar que si fem mes de 5000 ens ingressos tendeixen adisminuir.

33


• Representem I(x) i C(x) i trobem el punt on I(x) = C(x). La repre-sentacio sera la seguent, ja que C(x) es una recta i I(x) una parabola(notem que en l’eix de les y l’escala es en milions, aixı 1e+6 es 1000000,2e+6 es 2000000 i successivament):

-800 0 800 1600 2400 3200 4000 4800 5600 6400 7200 8000 8800 9600 1,04⋅104

-8⋅105

-4⋅105

4⋅105

8⋅105

1,2⋅106

1,6⋅106

2⋅106

2,4⋅106

2,8⋅106

3,2⋅106

3,6⋅106

4⋅106

com es pot veure hi ha dos punts on s’igualen el cost i el benefici, is’obtenen aıllant x en

1050000 + 300x = − 3

20

(x2 − 10000x

)es a dir − 3

20x2 + 30000

20x−300x−1050000 = − 3

20x2 + 24000

20x−1050000 =

− 320x2 + 1200x− 1050000 = 0→ x = 1000, x = 7000. A partir de 1000

els ingressos superen els costos, fins a 7000.

• Els beneficis sonB(x) = I(x)−C(x) = − 320

(x2 − 10000x)−(1050000 + 300x) =− 3

20x2 + 1200x − 1050 000. Mirem primer on els beneficis son 0. Sera

en els punts − 320x2 + 1200x− 1050 000 = 0, que com ja sabem son x =

1000, x = 7000. Entre aquests punts l’empresa te beneficis, per exempleen x = 2000 tenim B(2000) = − 3

20(2000)2 + 1200 (2000)− 1050 000 =

750 000 > 0. Alla on no hi ha benefici hi ha perdues.

• El maxim benefici s’obte fent B′(x) = 0 es a dir − 620x+ 1200 = 0 es a

dir x = 4000 tal com es veu en la grafica seguent:

34


-800 0 800 1600 2400 3200 4000 4800 5600 6400 7200 8000 8800 9600 1,04⋅104

-8⋅105

-4⋅105

4⋅105

8⋅105

1,2⋅106

1,6⋅106

2⋅106

2,4⋅106

2,8⋅106

3,2⋅106

3,6⋅106

4⋅106

35

Capıtol 4

Bloc 4: Integracio

Exercici* 1

Demostra que∫ (1

x(x+ ex)3 + 3 lnx(x+ ex)2(1 + ex)

)dx = lnx(x+ ex)3 + C

Solucio Exercici 1 Derivem lnx(x+ ex)3 i obtenim el que volem

Exercici** 2

Calcula les seguents integrals:

(a)∫

(4e−3x + e−x)dx

(b)∫

(2x + 5x4 + x−2/3 + 4)dx

(c)∫

(2x + 2−x + 23x + 7x+2)dx

(d)∫

(4e−3x + e−x)dx

Solucio Exercici 2

(a)∫

(4e−3x + e−x)dx =∫

4e−3xdx+∫e−xdx = −4

3e−3x − e−x + C

(b)∫

(2x + 5x4 + x−2/3 + 4)dx =∫

2xdx+∫

5x4dx+∫x−2/3dx+

∫4dx =

1ln 2

2x + x5 + 3 3√x+ 4x+ C

(c)∫

(2x + 2−x + 23x + 7x+2)dx =∫

2xdx+∫

2−xdx+∫

23xdx+∫

7x+2dx =13

23x

ln 2− 2−x 1

ln 2+ 2x

ln 2+ 7x+2

ln 7+ C

36

CAPITOL 4. BLOC 4: INTEGRACIO

(d)∫

(4e−3x + e−x)dx =∫

4e−3xdx+∫e−xdx = −4

3e−3x − e−x + C

Exercici** 3

Trobeu l’area de la figura limitada per les corbes y2 = 9x i y = 2− 2x

Solucio Exercici 3 Les corbes es tallen en x = 4 i x = 1/4 l l’area es

2

∫ 1/4

0

3√

(x) +

∫ 4

1/4

(2− 2x)− (−3√x)) = 125/16

Exercici** 4

Representa les funcions f(x) = 2x − 1 i g(x) = x3 − 2x − 1 i troba l’areatancada entre els punts de tall d’aquestes funcions.

Solucio Exercici 4 Les funcions es tallen en 2x− 1 = x3 − 2x− 1→ x =0, x = 2, x = −2, per tant cal calcular

0∫−2

((x3 − 2x− 1

)− (2x− 1))dx+

2∫0

((2x− 1)− (x3 − 2x− 1

))dx = 4+4 = 8

Exercici* 6

El cost marginal per a un cert producte es dCdx

= 123√12x+1

. Troba la funcio de

cost si C = 100 quan x = 13.

Solucio Exercici 6 C(X) =

∫ (12

3√12x+1

)dx = 3

2

(3√

(12x+ 1))2

+ D;

substituint C(13) = 100 obtenim 32

(3√

(12 ∗ 13 + 1))2

+ D = 100 → D =

−32

(3√

157)2

+ 100.

37

CAPITOL 4. BLOC 4: INTEGRACIO

Exercici* 7

Troba totes les funcions g(x) que satisfan el seguent:

(a) g′′(x) = ex.

(b) g′(0) = 2.

(c) g(0) = 100.

Solucio Exercici 7 Sera g′(x) = ex+C i com que g′(0) = e0+C = 1+C = 2,necessariament C = 1 i g′(x) = ex + 1. Ara tindrem que g(x) = ex + x+ C ′

i com que g(0) = e0 + 0 + C ′ = 1 + C ′ = 100 tenim que C ′ = 99. Com aconclusio g(x) = ex + x+ 99.

Exercici*** 8

Una companyia produeix actualment 150 unitats d’un cert producte per set-mana. Se sap de passades experiencies que el cost de produir la unitat x vedonat per

C ′(x) = 25− 0.02x.

Si assumim que aquest cost marginal continua essent valid, trobeu el costaddicional per setmana que comportaria augmentar la produccio de 150 a200 unitats per setmana.

Solucio Exercici 8 El cost marginal es la derivada de la funcio de cost, iper tant

C(x) =

∫C ′(x)dx = 25x− 0.01x2 +K.

Observeu que no tenim suficient informacio per a calculau la constantd’integracio K; en tot cas, per a calcular l’increment C(200) − C(150), elvalor de K es irrellevant, i per tant C(200)−C(150) = 25(200)− 0.012002−25(150) + 0.011502 = 4600− 3525 = 1075.

38

Capıtol 5

Bloc 5: Sistemes d’equacions iMatrius

Exercici* 1

Utilitzeu el metode de Gauss per a trobar la solucio dels seguents sistemesd’equacions:

a. :

x1 − 2x2 + 3x3 = 11x1 + x2 − x3 = 4

2x1 − x2 + 3x3 = 10b. :

x1 + x2 − x3 = 7

4x1 − x2 + 5x3 = 42x1 + 2x2 − 3x3 = 0

Solucio Exercici 1

(a)

1 -2 3 111 1 -1 42 -1 3 10

→ (fila 2- fila 1)(fila 3- 2*fila 1)

1 -2 3 110 3 –4 -70 3 -3 -12

→

(fila 3- fila 2)

1 -2 3 110 3 –4 -70 0 1 -5

i les solucions son x3 = −5, x2 = −9, x1 = 8

(b)

1 1 -1 74 -1 5 42 2 -3 0

→ (fila 2- 4*fila 1)(fila 3- 2*fila 1)

1 1 -1 70 -5 9 -240 0 -1 -14

→La solucio del sistema b) es x3 = 14, x2 = 30, x1 = −9

Exercici** 2

39

CAPITOL 5. BLOC 5: SISTEMES D’EQUACIONS I MATRIUS

Resoleu el seguent sistema d’equacions, indicant les diferents possibilitatsque tenim, segons els valors de a i b

3x− 2y + 8z = 92y + z = 3

az = (b− 1)

Solucio Exercici 2Tenim els seguents casos

(a) Si a = 0 i b = 1 el sistema queda

3x− 2y + 8z = 9

2y + z = 30z = 0

Es un sistema indeterminat amb 1 grau de llibertat i una possible so-lucio es x = 6y − 5, z = −2y + 3, y = y

(b) Si a = 0 i b 6= 1 el sistema queda

3x− 2y + 8z = 9

2y + z = 30z = (b− 1)

amb b− 1 6= 0

amb el que el sistema resulta incompatible.

(c) Si a 6= 0 el sistema es compatible determinat amb solucio z =b− 1

a, y =

12

−b+ 1 + 3a

a, x =

−3b+ 3 + 4a

a

Exercici** 3

Com sabeu, el mercat de la telefonia mobil es molt dinamic i es produeixenmolts canvis de companyia entre els clients. Mes concretament sabem que,any rera any,

• el 75% dels clients de telephonica continuen a la mateixa, el 15% passena vidapone i 10% passen a ados.

• el 50% dels clients de vidapone continuen a la mateixa, el 35% passena telephonica i 15% passen a ados.

• el 60% dels clients de ados continuen a la mateixa, el 25% passen atelephonica i 15% passen a vidapone.

Es demana

40


(a) Suposant que x03,y03, z03 denoten el nombre de clients de cada compa-nyia l’any 2003 i x04,y04, z04, els clients de l’any 2004 (les x per telep-honica, les y per vidapone i les z per ados), plantegeu el sistema querelaciona els clients de cada companyia els dos anys. Indicacio: sera

del tipus

a11x03 + a12y03 + a13z03 = x04

a21x03 + a22y03 + a23z03 = y04

a31x03 + a32y03 + a33z03 = z04

(b) Utilitzant el sistema anterior trobeu els clients de cada companyia l’any2004 si l’any 2003 telephonica tenia 20 milions de clients, vidapone 2milions i ados 1 milio.

(c) Utilitzant el sistema anterior trobeu els clients de cada companyia l’any2003 si l’any 2004 telephonica te 13.5 milions de clients, vidapone 8milions i ados 8.5 milions.

Solucio Exercici 3

(a)

75%x03 + 35%y03 + 25%z03 = x04

15%x03 + 50%y03 + 15%z03 = y04

10%x03 + 15%y03 + 60%z03 = z04

(b)

.75 ∗ 20 + .35 ∗ 2 + .25 ∗ 1 = 15.95.15 ∗ 20 + .50 ∗ 2 + .15 ∗ 1 = 4.15.10 ∗ 20 + .15 ∗ 2 + .60 ∗ 1 = 2.9

(c)

.75 ∗ x03 + .35 ∗ y03 + .25 ∗ z03 = 13.5.15 ∗ x03 + .50 ∗ y03 + .15 ∗ z03 = 8

.10 ∗ x03 + .15 ∗ y03 + .60 ∗ z03 = 8.5

que te per solucio {x03 = 10, y03 = 10, z03 = 10}

Exercici* 4

S&H Seccio 12.2, Problema 4. Si 3(x, y, z) + 5(−1, 2, 3) = (4, 1, 3), calcularx, y, z.

Solucio Exercici 4 3(x, y, z)+5(−1, 2, 3) = (4, 1, 3)→ (3x− 5, 3y + 10, 3z + 15) =

(4, 1, 3)→

3x− 5 = 43y + 10 = 13z + 15 = 3

, i per tant x = 3, z = −4, y = −3

Exercici* 5

S&H Seccio 12.2, Problema 6.

41


(a) Demostreu que l’equacio vectorial x

(3−4

)+ y

( −23

)=

( −12

)equival a un sistema de dues equacions i dues incognites, x, y; trobeula solucio

(b) Proveu que no hi ha dos nombres x, y tals que x

(2−3

)+y

(4−6

)=(

10

)Solucio Exercici 5

(a) El sistema es

{3x− 2y = −1−4x+ 3y = 2

→ x = 1, y = 2

(b) Plantegem

{2x+ 4y = 1−3x− 6y = 0

; si apliquem Gauss tenim que

(2 4 1−3 −6 0

)→(

1 2 1/2−3 −6 0

)→(

1 2 1/20 0 3/2

)que es clarament un sistema que

no te solucio.

Exercici* 8

Donats els vectors −→a = (1, 2, 3) i−→b = (1, 0, 5), dieu si el vector −→c =

(−1,−6, 1) es combinacio lineal de −→a i−→b .

Solucio Exercici 8 Sı ja que (−1,−6, 1) = −3(1, 2, 3) + 2(1, 0, 5)

Exercici* 9

Per a quin valor de x el vector (1, x, 3) es combinacio lineal dels vectors(1, 2, 3) i (0, 1, 2).

Solucio Exercici 9 (1, x, 3) = a(1, 2, 3) + b(0, 1, 2); nomes te solucio six = 2.

Exercici* 11

En aquest problema treballarem amb els vectors de R1 (per exemple (2) ∈R1, (0) ∈ R1...). Demostreu que el vector (2) es combinacio lineal de (4) i(5).

Solucio Exercici 11 (2) = 12(4) + 0(5) per exemple.

Exercici* 14

S&H Seccio 12.4, Problema 2. Si a = (1, 2, 2),b = (0, 0,−3), c = (−2, 4,−3),

42


(a) Calculeu a ·b, b ·a, (a + b) · c ,a · c + b · c, a · (3b) i 3a ·b. Comproveuquins han de ser iguals i si ho son.

(b) Calculeu ||a||, ||b||, ||c||.(c) Comprovar la desigualtat de Cauchy-Schwarz per a a i b.

Solucio Exercici 14

(a) a·b = −6 = b·a; (a+b)·c = 9 = a·c+b·c = 9, a·(3b) = −18 = (3a)·b =−18

(b) ‖a‖ = 3, ‖b‖ = 3, ‖c‖ =√

29

(c) Es la desigualtat de Cauchy-Swcharz:

• a · b = −6, |a · b| = 6

• ‖a‖ = 3, ‖b‖ = 3, ‖a‖ ‖b‖ = 9

• |a · b| = 6 ≤ ‖a‖ ‖b‖ = 9

Exercici* 15

S&H Seccio 12.4, Problema 3. Esbrineu quins del parell de vectors seguentsson ortogonals (es a dir, perpendiculars).

(a) (1, 2) i (−2, 1).

(b) (1,−1, 1) i (−1, 1,−1).

(c) (a,−b, 1) i (b, a, 0)

Solucio Exercici 15

(a) (1, 2) · (−2, 1) = 0 son ortogonals

(1,−1, 1) · (−1, 1,−1) = −3 no son ortogonals

(a,−b, 1) · (b, a, 0) = 0 son ortogonals

Exercici* 17

S&H Seccio 12.4, Problema 5. Per a quins valors de x son ortogonals elsvectors (x,−x− 8, x, x) i (x, 1,−2, 1)?

Solucio Exercici 17 Solucio al llibre.

43


Exercici* 18

Per a quins valors de x els vectors (x+ 2,−1) i (x, x+ 1) son ortogonals?

Solucio Exercici 18 (x+2,−1)·(x, x+1) = x2+2x−x−1 = 0→ x = −1±√

52

Exercici* 19

S&H Seccio 12.4. Problema 6. Una empresa constructora te una comandade tres tipus de cases: 5 de tipus A, 7 de tipus B i 12 de tipus C. Trobeu un3-vector ~x les coordenades del qual son les cases de cada tipus. Suposem quecada casa de tipus A necessita 20 unitats de fusta, del tipus B 18 unitats idel tipus C 25 unitats. Trobeu un 3-vector ~u les coordenades del qual siguinles quantitats de fusta requerides pels tipus A, B i C. Trobeu quanta fustaes necessita en total, calculant el producte escalar ~u · ~x.

Solucio Exercici 19 ~u = (20, 18, 25) i ~x = (5, 7, 12) per tant ~u · ~x =(20, 18, 25) · (5, 7, 12) = 526

Exercici*** 21

Demostreu que donat un vector −→a = (a1,a2, ..., an), el vector 1

‖−→a ‖−→a te norma

igual a 1.

Solucio Exercici 21 Sense solucio.

Exercici* 22

Escriure una matriu A = (aij)3x3on aij = ij.

Solucio Exercici 22

A =

1 1 12 4 83 9 27

Exercici* 23

S&H Seccio 12.6, Problema 3. Per a quins valors de u i v son iguals lesmatrius (1− u)2 v2 3

v 2u 56 u −1

=

4 4 uv −3v u− v6 v + 5 −1

Solucio Exercici 23 Evidentment u = 3 i u − v = 5, amb el que v = −2.

Cal comprovar que se satisfan totes les altres igualtats.

Exercici* 24

44


Seccio 12.6, Problema 4. Calculeu A + B i 3A si A =

(0 12 3

)i B =(

1 −15 2

).

Solucio Exercici 24 A+B =

(1 07 5

)i 3A =

(0 36 9

)Exercici* 25

S&H Seccio 12.7, Problema 2.

Si A =

1 2 −35 0 21 −1 1

,B =

3 −1 24 2 52 0 3

,C =

4 1 20 3 21 −2 3

,

calculeu A + B, A−B, AB, BA, A(BC) i (AB)C.

Solucio Exercici 25 A+B =

4 1 −19 2 73 −1 4

, A−B =

−2 3 −51 −2 −3−1 −1 −2

,

AB =

5 3 319 −5 161 −3 0

, BA =

0 4 −919 3 −35 1 −3

A(BC) =

1 2 −35 0 21 −1 1

3 −1 24 2 52 0 3

4 1 20 3 21 −2 3

=

1 2 −35 0 21 −1 1

14 −4 10

21 0 2711 −4 13

=

23 8 2592 −28 764 −8 −4

=

(AB)C =

1 2 −35 0 21 −1 1

3 −1 24 2 52 0 3

4 1 20 3 21 −2 3

= 5 3 319 −5 161 −3 0

4 1 20 3 21 −2 3

=

23 8 2592 −28 764 −8 −4

=A(BC) com era

d’esperar

Exercici** 26

S&H Seccio 12.8, Problema 4. Si A i B son matrius quadrades d’ordre n,demostreu que

(a) (A + B)(A−B) 6= AA−BB.

(b) (A−B)(A−B) 6= AA− 2AB + BB

45


excepte en casos especials. Trobeu una condicio necessaria i suficient per aque es verifiqui la igualtat (es a dir, dir exactament en quins casos se satisfala igualtat).

Solucio Exercici 26

(a) (A+B)(A−B) = A(A−B) +B(A−B) = AA− AB +BA−BBi (A + B)(A− B) = AA− BB en cas que AB = BA, es a dir, siA i B commuten

(b) (A−B)(A−B) = A(A−B)−B(A−B) = AA−AB−BA+BB

i (A−B)(A−B) = AA− 2AB +BB en cas que AB = BA, es adir, si A i B commuten

Exercici** 27

Problema 5.Calculeu

(a)

1 0 00 1 00 0 1

5 3 12 0 91 3 3

(b)(

1 2 −3) 1 0 0

0 1 00 0 1

.

Solucio Exercici 27

a)

1 0 00 1 00 0 1

5 3 12 0 91 3 3

=

5 3 12 0 91 3 3

(dona la segona matriu ja

que la primera es la identitat)

b)(

1 2 −3) 1 0 0

0 1 00 0 1

=(

1 2 −3)

Exercici*** 28

S&H Seccio 12.8, Problema 6. Sigui A la matriu A =

1 1 1−1 −1 −11 1 1

,

(a) Calculeu un 3-vector ~x0 tal que A~x0 = ~x0 i ~x0 tingui longitud 1.

(b) Calculeu An~x0, n = 1, 2, 3, . . . .

46


Solucio Exercici 28

(a) A =

1 1 1−1 −1 −11 1 1

, A−→x0 = −→x0 → 1 1 1−1 −1 −11 1 1

xyz

= x+ y + z−x− y − zx+ y + z

=

xyz

→

x+ y + z = x−x− y − z = yx+ y + z = z

→

y + z = 0−x− 2y − z = 0

x+ y = 0→ z = −y, x = −y, y = y. Per tant −→x0 = −yy

−y

; si volem que tingui norma 1 haura de ser√

(−y)2 + y2 + (−y)2 =

1 → √3y2 = 1, i per tant y = ± 1√

3. UNa possibilitat seria doncs

−→x0 =

−yy−y

=

−1√3

1√3

−. 1√3

(b) An−→x0 = An−1−→x0 = An−2−→x0 = ... = A−→x0 = −→x0

Exercici*** 29

Comproveu que qualsevol matriu A =

(a bc d

)satisfa,

A2 − (a+ d)A+ (ad− bc)I = 0

on I denota la matriu identitat 2× 2. Podeu enunciar de manera equivalent(i sense explicitar les components de A) la igualtat anterior?

Solucio Exercici 29 La matriu A2 es igual a,

A2 =

(a2 + bc ab+ bdca+ dc bc+ d2

)Per una altra banda,

(a+d)A =

(a(a+ d) b(a+ d)c(a+ d) d(a+ d)

)(ad−bc)I =

((ad− bc) 0

0 (ad− bc))

Si ara operem les tres matrius obtingudes, A2, (a+d)A, i (ad−bc)I (recordemque la suma i resta de matrius es realitza component a component) tenim

47


que

A2 − (a+ d)A+ (ad− bc)I =

(a2 − (a+ d)a+ ad ab+ bd− (a+ d)bca+ dc− (a+ d)c d2 − (a+ d)d+ ad

)que es la matriu zero 2×2 tal i com volıem provar. Notem que a+d = tr(A)i ad− bc = det(A); per tant podem expressar de forma alternativa la igualtatde l’enunciat segons,

A2 − tr(A)A+ det(A)I = 0

Exercici* 31

Suposem que tenim una fabrica de mobles i subministrem a dos majoristesles seguents quantitats:

taules cadires sofasmajorista 1 10 12 45majorista 2 1 1 4

Per altra banda, els preus unitaris dels mesos de gener i febrer han estatels seguents

Gener FebrerTaula 1 4Cadira 2 5Sofa 3 6

(a) Feu els calculs i interpreteu el resultat de:(10 12 451 1 4

) 1 42 53 6

(b) Feu els calculs i interpreteu el resultat de:(

10 12 451 1 4

) 1 42 53 6

( 11

)(c) Feu els calculs i interpreteu el resultat de:

( 10 12 451 1 4

) 1 42 53 6

T (11

)T

Nota: en cada apartat feu les operacions i indiqueu la interpretacioeconomica del resultat.

48


Solucio Exercici 31

(a)

(10 12 451 1 4

) 1 42 53 6

=

(169 37015 33

); 169 es l’import submi-

nistrat el primer majorista al gener, 370 es el subministrat al primermajorista al febrer..

(b)

(10 12 451 1 4

) 1 42 53 6

( 11

)=

(53948

).539 es l’import del sub-

ministrat al primer majorista entre gener i febrer, 48 es el mateix alsegon majorista.

(c)

( 10 12 45

1 1 4

) 1 42 53 6

T (11

)T

=(

184 403). 184 es

l’import del subministrat al gener i 403 es l’import del subministrat alfebrer.

Exercici* 32

S&H Seccio 12.9, Problema 4. Per a quins valors de a la matriu A == a a2 − 1 −3a+ 1 2 a2 + 4−3 4a −1

es simetrica?

Solucio Exercici 32 SiA =

a a2 − 1 −3a+ 1 2 a2 + 4−3 4a −1

ha de ser simetrica,

aleshores a a2 − 1 −3a+ 1 2 a2 + 4−3 4a −1

= AT =

a a+ 1 −3a2 − 1 2 4a−3 a2 + 4 −1

i per tant

tenim que{a2 − 1 = a+ 1→ a = −1, a = 2a2 + 4 = 4a→ a = 2

amb el que a = 2.

Exercici* 36

Demostreu les seguents propietats de les matrius

(a) (AB)T = BTAT . Indicacio calculeu l’element que ocupa la fila i, co-lumna j de (AB)T i el que ocupa la fila i, columna j de BTAT

49


(b) Si α es un nombre real, α(AB) = (αA)B = A(αB).

Solucio Exercici 36 Sense solucio

Exercici* 37

Donat el vector fila −→a = (1, 2, 3), calcula∣∣∣−→a (−→a )

T∣∣∣ i∣∣∣(−→a )

T −→a∣∣∣. Observa que

−→a es considera una matriu d’una fila i (−→a )T

es una matriu d’una columna.

Solucio Exercici 37

∣∣∣∣∣∣( 1 2 3) 1

23

∣∣∣∣∣∣ = |14| = 14 (en aquest cas cal

no confondre determinant i valor absolut: el determinant d’un nombre reales el mateix nombre).∣∣∣∣∣∣

123

( 1 2 3)∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ 1 2 3

2 4 63 6 9

∣∣∣∣∣∣ = 0

Exercici* 38

S&H Seccio 13.1, Prob 8. Donada la matriu A(t) =

(t2 2t− 12t 2

). Calcu-

leu |A(t)| i trobeu els valors de t per als que |A(t)| = 0.

Solucio Exercici 38

A(t) =

(t2 2t− 12t 2

)→∣∣∣∣ t2 2t− 1

2t 2

∣∣∣∣ = −2t2 + 2t = 0→ t = 0, t = 1

Exercici* 42

S&H Seccio 13.4 Prob 6. Siguin A i B matrius 3×3 tals que |A| = 3 i B = −4.Trobeu els valors dels seguents determinants, si es possible |AB|, 3|A|, | −2B|, |A|+ |B| i |A + B|.Solucio Exercici 42 |AB| = −12, 3 |A| = 9, |−2B| = (−2)3 |B| = −8 ∗

(−4) = 32, |A|+ |B| = −1, |A+B| no es pot calcular

Exercici*** 45

Sabent que

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = 56, calculeu (utilitzant les propietats dels determi-

nats) ,

∣∣∣∣∣∣a 3d g + 3dc 3f i+ 3f

2b− a 6e− 3d 2h− g + 6e− 3d

∣∣∣∣∣∣50


Solucio Exercici 45 Ho podem fer aixı=

∣∣∣∣∣∣a 3d g + 3dc 3f i+ 3f

2b− a 6e− 3d 2h− g + 6e− 3d

∣∣∣∣∣∣ =3a+1a∣∣∣∣∣∣

a 3d g + 3dc 3f i+ 3f2b 6e 2h+ 6e

∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣∣a 3d g + 3dc 3f i+ 3fb 3e h+ 3e

∣∣∣∣∣∣ =(trasposem)= 2

∣∣∣∣∣∣a c b3d 3f 3e

g + 3d i+ 3f h+ 3e

∣∣∣∣∣∣ =

3a-2a2

∣∣∣∣∣∣a c b3d 3f 3eg i h

∣∣∣∣∣∣ = 2 ∗ 3

∣∣∣∣∣∣a c bd f eg i h

∣∣∣∣∣∣ = −2 ∗ 3 ∗∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ =

−2 ∗ 3 ∗ (56) = −336

Exercici*** 46

Usant les propietats dels determinants i sense desenvolupar-lo, calculeu elseguent determinant: ∣∣∣∣∣∣

1 x− 1 x2 − 2x+ 12 2x+ 2 2x2 + 4x+ 23 3x 3x2

∣∣∣∣∣∣Solucio Exercici 46∣∣∣∣∣∣

1 x− 1 x2 − 2x+ 10 4 8x0 3− 3 6x− 3− 3

4∗ 8x

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 x− 1 x2 − 2x+ 10 4 8x0 0 −3

∣∣∣∣∣∣ = −12

Exercici* 47

Trobeu els valors de x que fan que el seguent determinant valgui 0∣∣∣∣∣∣5− x −6 −6−1 4− x 23 −6 −4− x

∣∣∣∣∣∣Indicacio: Procureu obtenir zeros i traieu factor comu sempre que sigui

possible!

Solucio Exercici 47

∣∣∣∣∣∣5− x −6 −6−1 4− x 23 −6 −4− x

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣5− x 0 −6−1 2− x 23 −2 + x −4− x

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣5− x 0 −6−1 2− x 22 0 −2− x

∣∣∣∣∣∣ =

(5−x) (2− x) (−2− x)−(−12) (2− x) = (2− x) [(5− x) (−2− x)− (−12)] ==(2− x) (2− 3x+ x2) = 0→ x = 2, x = 1

51


Exercici**** 48

Demostreu que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x0 x2

0 xn01 x1 x2

1 xn1......1 xn x2

n xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (x1 − x0)(x2 − x1)(x2 − x0) ∗ ... ∗ (xn − x1)(xn − x0)

(indicacio: estudieu el determinant per n = 2 i n = 3, fixant-vos en quinespropietats es poden utilitzar per a reduir-lo a un determinant de la forma∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 ... 01 ... ... ...... ... ... ...1 ... ... ...

∣∣∣∣∣∣∣∣ ;despres intenteu reduir un n× n a un de (n− 1× (n− 1) similar.

Solucio Exercici 48

Exercici**** 50

S&H Seccio 13.6. Prob 1. Demostreu que la inversa de

(3 02 −1

)es(

1/3 02/3 −1

).

Solucio Exercici 50

(3 02 −1

)(1/3 02/3 −1

)=

(1 00 1

)Exercici**** 51

] S&H Seccio 13.6 Prob 2. Demostreu que la inversa de

1 1 −32 1 −32 2 1

es −1 1 087−1 3

7−27

0 17

.

Solucio Exercici 51 1 1 −32 1 −32 2 1

−1 1 087−1 3

7−27

0 17

=

1 0 00 1 00 0 1

52


Exercici**** 52

S&H Seccio 13.6 Prob 3. Trobeu els valors de a i b que fan que A sigui lainversa de B, on

A =

2 −1 −1a 1/4 b1/8 1/8 −1/8

i B

1 2 40 1 61 3 2

Solucio Exercici 52 Si fem el producte 2 −1 −1

a 1/4 b1/8 1/8 −1/8

1 2 40 1 61 3 2

=

1 0 0a+ b 2a+ 1

4+ 3b 4a+ 3

2+ 2b

0 0 1

amb el que tenim que

a+ b = 02a+ 1

4+ 3b = 1

4a+ 32

+ 2b = 0→

a+ b = 02a+ 3b = 3

4

4a+ 2b = −32

, d’on b = 34, a = −3

4

Exercici**** 53

Seccio 13.7. Prob 2. Calcular la inversa per determinants de

−2 3 26 0 34 1 −1

Solucio Exercici 53

−2 3 26 0 34 1 −1

−1

=

− 124

572

18

14− 1

1214

112

736

−14

Exercici**** 54

Calculeu la inversa de la matriu A =

1 2 32 4 53 5 6

utilitzant el metode de

Gauss.

Solucio Exercici 54

1 2 32 4 53 5 6

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣→

1 2 30 0 −10 −1 −3

∣∣∣∣∣∣1 0 0−2 1 0−3 0 1

∣∣∣∣∣∣→ 1 2 3

0 −1 −30 0 −1

∣∣∣∣∣∣1 0 0−3 0 1−2 1 0

∣∣∣∣∣∣→

1 2 30 1 30 0 1

∣∣∣∣∣∣1 0 03 0 −12 −1 0

∣∣∣∣∣∣→ 1 2 3

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣1 0 0−3 3 −12 −1 0

∣∣∣∣∣∣→

1 2 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣−5 3 0−3 3 −12 −1 0

∣∣∣∣∣∣→

53


1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣1 −3 2−3 3 −12 −1 0

∣∣∣∣∣∣ per tant la inversa es

1 −3 2−3 3 −12 −1 0

Exercici**** 55

Determinar els valors del parametre a que fan invertible la matriu

M =

a −a 1−a 1 −1

1 −1 2a− 1

.

Solucio Exercici 55 Com que una matriu es invertible si i nomes si el seudeterminant es diferent de zero, i sabem que det(M) = −2a3 + 3a2 − 1 =−(a − 1)2(2a + 1), queda clar que el determinant de M s’anul.la nomes pera = −1/2 i a = 1, d’on es conclou que per qualsevol valor d’a que no siguinels dos esmentats la matriu te inversa.

Exercici**** 56

Sigui la matriu

A =

x− 1 0 25 x− 1 00 0 x

.

Trobeu els valors de x per als quals existeix la inversa de A.

Solucio Exercici 56

∣∣∣∣∣∣x− 1 0 2

5 x− 1 00 0 x

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)2 x = 0→ x = 1, x = 0

Exercici** 57

Siguin les matrius,

A =

(1 4−1 1

)

B =

(1 32 −1

)

C =

1 1 00 2 11 0 1

54


E =

1 −1 1 −1−1 1 0 1

1 0 0 0−1 1 0 0

Es demana,

(a) Trobeu la inversa de les matrius A, B, C i E.

(b) Comprova que (A ·B)−1 = B−1 · A−1

Solucio Exercici 57

(a) El determinant de A es igual a 5 i doncs A admet inversa. L’adjuntade A es, [

1 1−4 1

]Si avaluem 1

det(A)· Adj(A)t queda,

1

5

−4

51

5

1

5

que es la matriu inversa demanada. Com det(B) = −7 6= 0, procedintde manera similar,

B−1 =

1

7

3

72

7

−1

7

El det(C) = 3 i doncs C tambe te inversa. Ara, Adj(C), 2 1 −2

−1 1 11 −1 2

i la matriu inversa de C es,

2

3

−1

3

1

31

3

1

3

−1

3−2

3

1

3

2

3

55


Finalment verifiquem que E te inversa: el deu determinant es 1 i pro-cedint com en els casos previs,

0 0 1 00 0 1 11 1 0 00 1 0 −1

(b) Ara ja tenim els calculs de les matrius inverses i es tracta de comprovar

la multiplicacio demanada en l’enunciat: computarem cada banda dela igualtat per separat i verificarem que les matrius resultants son lamateixa. Recordem que per tal que dues matrius siguin iguals, ho hande ser per a cadascuna de les seves components. Seguint el procedimentque hem detallat a l’apartat anterior,

(A ·B)−1 =

4

35

−1

351

35

−9

35

per una altra banda, la multiplicacio B−1 · A−1 dona lloc a,

4

35

−1

351

35

−9

35

tal i com volıem veure.

Exercici* 58

S&H Seccio 13.6 Prob 4. Resoleu els seguents sistemes d’equacions usant lamatriu inversa:

(a)

{2x− 3y = 33x− 4y = 5

(b)

{2x− 3y = 83x− 4y = 4

(c)

{2x− 3y = 03x− 4y = 0

Solucio Exercici 58

56


(a)

(xy

)=

(2 −33 −4

)−1(35

)=

1

1

( −4 3−3 2

)(35

)=

(31

)

(b)

(xy

)=

(2 −33 −4

)−1(811

)=

1

1

( −4 3−3 2

)(811

)=

(1−2

)

(c)

(xy

)=

(2 −33 −4

)−1(00

)=

(00

)

Exercici* 59

S&H Seccio 13.7 Prob 1. Cal calcular la inversa per determinants - metodede l’adjunta, en cas que existeixi.

(a)

(2 34 5

)

(b)

1 0 22 −1 00 2 −1

(c)

1 0 0−3 −2 14 −16 8

Solucio Exercici 59

(a)

(2 34 5

)−1

=

( −52

32

2 −1

);

(b)

1 0 22 −1 00 2 −1

−1

=

19

49

29

29−1

949

49−2

9−1

9

(c)

1 0 0−3 −2 14 −16 8

no te inversa ja que

∣∣∣∣∣∣1 0 0−3 −2 14 −16 8

∣∣∣∣∣∣ = 0

Exercici** 60

Aılleu X en l’expressio A+BXA+E +CXA = D on A,B,X,E,C,D sonmatrius nxn i (B + C) i A son invertibles.

Solucio Exercici 60 A + BXA + E + CXA = D → BXA + CXA =D−A−E → (B+C)XA = D−A−E → XA = (B+C)−1 (D − A− E)→X = (B + C)−1 (D − A− E)A−1

57

llista de prob resolts

Documents