col·lecciÓ de problemes resolts

28
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D’ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D’EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES EMPRESARIALS 12222 INTRODUCCIÓ A LA MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS CURS ACADÈMIC: 2004/2005

Upload: others

Post on 01-Aug-2022

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIALDEPARTAMENT D’ECONOMIA FINANCERA

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

LLICENCIATURA EN ECONOMIALLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D’EMPRESES

DIPLOMATURA EN CIÈNCIES EMPRESARIALS

12222 INTRODUCCIÓ A LA MATEMÀTICAECONOMICOEMPRESARIAL

COL·LECCIÓ DE PROBLEMESRESOLTS

CURS ACADÈMIC: 2004/2005

Page 2: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

Tema 1.- Conceptos Básicos

A.- RADICALES

1.- Escribe como potencia de exponente fraccionario:

a. 3 25 =5 2/3

b. 7 2325 =53/7 . 22/7

c. 5 23

1= 3 -2/5

d. 5

55

3

2

3

2=

=25/2.3-5/2

e. 5 3xy = x1/5.y3/5

f. 5x

2=21/2.x-5/2

g. 3 2xaax =a1/2.x1/2.x1/3.a2/3=a1/2+2/3.x1/2+1/3=a7/6.x5/6

h. 4

2

y

x5=51/2.x.y-2

i. 5735yx

2=21/57.x-5/57.y-3/57

j. 2 = ( ) 2/12/12/12

=21/8

k. 523

1=3-2/5

2.- Escribe en forma de radical.

a. 21/3= 3 2

b. (3x)1/2= x3

c. (xy)1/5= 5 xy

d. 4-1/2=2

1

4

1=

e. (8x)-1/3=33 33 x2

1

x2

1

x8

1==

3.- Simplifica.

a. 3 8 = 223 3 =

b. 7 = 8 7

c. 32 = 442 123.432 ==

d. 6 53

3 2

xax

xaax= 6

5

26

105

57

6 56 9

6 426 33

x

a

xa

xa

xax

axxa==

e. x = 4 x

f. 1x − = 4 1x −

g. xxx = 8 78 244 2 xxxxxxx ==

h. 3

232 2/35/32/1

=21/2+3/2.33/5-1=24/2.3-2/5=22.3-2/5=5 23

4

Page 3: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

B.- PRODUCTO Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

1.- Calcula (3x4+5x3-2x+3).(2x2-x+3)

3x4 +5x3 -2x +3 2x2 -x +3 9x4 +15x3 -6x +9 -3x5 -5x4 +2x2 -3x

6x6 +10x5 -4x3 +6x2 6x6 +7x5 +4x4 +11x3 +8x2 -9x +9

2.- Calcula (3x4+5x3-2x+7):(x2-3x+2) 3x4 +5x3 -2x +7 x2 -3x 2

-3x4 +9x3 -6x2 3x2 +14x +36 / 14x3 -6x2 -2x

-14x3 +42x2 -28x / 36x2 -30x +7 -36x2 +108x -72 / 78x -65

3.- Calcula (3x4+5x3-2x+7):(x-2) con el método de Ruffini

3 5 0 -2 7 2 6 22 44 84

3 11 22 42 91 Cociente: 3x3+11x2+22x+42 Resto: 91

C.- ECUACIONES E INECUACIONES

1.- Resuelve:a. x2-7x+8 = 2

x2-7x+8-2=0 → x2-7x+6=0 → x=2

24497 −± → x= 62

257=

+

µ x= 12

257=

b. x(x-1) = x+3

x2-x-x-3=0→x2-2x-3=0→ x=2

1242 +± → x=3

µ x=-1

c. 2x2-5x=02x2-5x=0→x(2x-5)=0 → x=0

µ 2x-5=0→x=5/2

d. 2x13x

1x+=+

+−

2x13x

1x+=+

+− →

3x

)3x)(2x(

3x

)3x(11x

+++

=+

++− → x-1+x+3=x2+5x+6 → 2x+2=x2+5x+6 →

→x2+3x+4=0→ x=2

73

2

1693 −±−=

−±− no tiene solución real

Page 4: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

e. x2-7=3

x2-7=3 →x2=10→x= 10 → x=+ 10

µ x=- 10

2.- Resuelve:a. x+1-5(x-1)≤2x+1-5(x-1) ≤ 2 → x+1-5x+5 ≤ 2 → -4x ≤ 2-6 → -4x ≤ -4 → 4x≥ 4 → x ≥ 1

b. 2(x+1)+7(x+1)≥3(x+1)2(x+1)+7(x+1) ≥ 3(x+1) → 2x+2+7x+7 ≥ 3x+3 → 6x ≥ -6 → x ≥ -1

c. 3(x-1)-10≤10x3(x-1)-10 ≤ 10x → 3x-3-10 ≤ 10x → -13 ≤ 7x → x ≥ -13/7

d. 5

1)1x(7

10

1≤−−

5

1)1x(7

10

1≤−− →

10

2

10

)1x(701≤

−− → 1-70x+70 ≤ 2 → 69 ≤ 70x → x

70

69≤

e. 10(x-2)<5x+3

10(x-2) < 5x+3 → 10x-20 < 5x+3 → 5x < 23 → x<5

23

3.- Resuelve:

a. 2(x-3)(x+2)<02(x-3)(x+2)=0→ x-3=0 → x=3

µ x+2=0 → x=2

>0 <0 >0

-2 3Solución: ] -2 , 3 [

b. x2-5x+6>0x2-5x+6=0 → x=3 , x=2

>0 <0 >0

2 3

Solución: ] -∞ , 2 [ ∪ ] 3 , +∞ [

c. x2-3(x-2)>3

x2-3x+6-3>0→ x2-3x+3>0→ x2-3x+3=0→x=2

33

2

1293 −±=

−±

Esto significa que nunca se da la igualdad a 0, por tanto o siempre es >0 o siempre es <0. Enton-ces sustituimos un valor y lo comprobamos. Por ejemplo, para x=0 da 02-3.0+3=3. Por tanto,siempre es >0. Solución: R

Page 5: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

Tema 2.- Álgebra

Page 6: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

Tema 3.- Funciones elementales

1) Escribe el dominio y representa (dando valores), las funciones:a)y = | x+1| b) y = ln(x-2)

a)y = | x+1| la función se puede escribir de la forma

<≥+

=-1 x1-x-

-1 x1xy por tanto su dominio es D = R

al estar la función definida por dos funciones polinómicas, para trazar su gráfica basta con hallar dospuntos de cada una de las semirrectas que la formany =x+1 y =-x-1

b) y = ln(x-2) La función logaritmo está definida para valores de R+-{0} , por tanto x-2>0, → x>2luego D= (2, +∞). Si construimos una tabla valores de valores

x y x y-1 0 -1 0-3 2 3 4

x 3 e+2 6 2.5 2.9y 0 1 1.3 -0.69 -0.1

Page 7: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

2) Dada la parabola 2xxy 2 −+= halla los puntos de corte con los ejes, el vértice y representalagráficamente.

Para hallar los puntos de corte con el eje XX´ hacemos 02xx 2 =++ x1=1 x2= -2 luego los puntos decorte con XX´ son (1,0) , (-2,0). Si hacemos x=0 obtenemos el punto (0,-2).Para hallar el vértice utilizaremos el calculo diferencial puesto que se trata de un máximo o un minimo

2

1- x 012x ;1x2y´ =→=++=

parabola la de verticeel es que minimo )4

9,

2

1(- 0)

2

1y´´(- 2y´´ −→>→=

3) Hallar la intersección de la recta y=x+3 con la parábola y=x2+1

Los puntos que pertenecen a la intersección deben verificar ambas ecuaciones, por tanto resolveremos :

1 x,2 x02 x1 x3 x1xy

3xy21

222

−==⇒=−−⇒+=+⇒

+=

+=x los puntos de corte son (2,5) (-

1,2)Si representamos ambas funciones, podemos comprobar que efectivamente los puntos de corte son loshallados.

Page 8: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

4) Indica cual es el dominio de la función y= ln|senx|

Sabemos que la función logarítmica esta definida para valores de R+-{0}. La función y=senx tiene porgráfica

la gráfica de y= |senx| es

en consecuencia del dominio de la función debemos descartar todos los puntos tales que |senx|=0 → x= kπ k∈Zel dominio pedido es D= R-{x∈R / x= kπ k∈Z}. Con ayuda del ordenador podemos dibujar su gráfica

5) Resolver la ecuación

log5 1)log3(xg2 xlo 5log3loglog2 5log)3 2log( 5 3 2 1x1x1x =++→=+→=→= +++ xxx

xlog2+xlog3 + log3 =log5 → x(log2 + log3) = log5-log3→ x(log2 + log3)= log5-log3

6log3

5log

log3log2

log3-log5x =

+=

Page 9: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

6) Resuelve la ecuación ln x + 3.ln x = 1Solución:

ln x + ln x3 = ln e ln (x.x3)= ln e , ln x4 = ln e, x4 = e, x= e1/4

7)Resuelve 42 =++ xx

Solución : xx −=+ 42 , 22 )4()2( xx −=+ ,

x + 2 = 16 – 8x + x2 x2 – 9x + 14 = 0

2

7

2

59

2

259

2

56819=

±=

±=

−±=x

Una vez resuelta la ecuación es necesario verificar que los resultados obtenidos cumplen la ecuación,pues al elevar al cuadrado estamos introduciendo soluciones extrañas en la ecuación original.

4727 ≠++ . 7 solo sería solución si tomáramos la raíz cuadrada con signo -, cosa que no sucedeen la ecuación inicial.

4222 =++ , luego x =2 es la solución de la ecuación.

8)Resuelve x4+x3-2x=0

Como no tiene termino independiente sacaremos factor común

x( x3+x2-2)=0 esta ecuación se cumple cuando x=0 ∨ x3+x2-2 =0 aplicando Ruffini

1 1 0 -2 1 1 2 2 1 2 2 0

x2+2x+2=0

simaginaria soluciones2

42

2

842x =

−±−=

−±−= . Las soluciones son x=0 ,x=1.

8) Resolver 58

2 2x

5-xx

=

Podemos trabajar con la función exponencial de base 2

52

2 2 23x

5xx

=−

→ 5)(2

2 2 23x

5xx

=−

; hacemos el cambio de variable 2x=A

5A

2 A3

-5 2

= → A52 5 =− → A2 5

15

= → 5

x

2 5

12 = → )

2 5

1log()2log(

5x = →

Page 10: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

)2 5

1log()2log(x

5= →

2log

)2 5

1log(

x5

= .

Page 11: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

10) Resuelve

=

=−− 132

3321y x

y x

Hacemos 2x = A , 3y =B

=

=−− 13 3)2(

3321y1 x

y x

=

=− 1.3 .B A

3 B . A 1-1

=

=

3A

B

3B.A →B=3 A → A 3A=3 →3A2=3→ A=±1

A=1→B=3

=

=

33

12y

x

→ x=0, y=1

A=-1→B=-3

−=

−=

33

12x

x

IMPOSIBLE ax>0 ∀a∈R , por tanto no se deduce ninguna

solución de este resultado.

Solución única x=0, y=1∴

Page 12: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

Tema 4.- Límites y Continuidad

1. Calcula los siguientes límites

a) limn →∞

3 n +5

1+3

n

= lim

n →∞

3 n

1+1

n / 3

1 +

1

n /3

5

= limn →∞

3 n

3

1+1

n / 3

3

1 +1

n /3

5

=

limn →∞

n

3

1+1

n / 3

9

1 +1

n / 3

5

= e9.1 = e

9

b) limn→∞

−2n − 5

n+8

n

= lim

n →∞

−2n

1+1

n / 8

1 + 1

n /8

−5

= limn →∞

8 n

8

1+1

n /8

−2

1 + 1

n /8

−5

=

limn→∞

n

8

1+ 1

n /8

−2.8

1 + 1

n /8

−5

= e −16.1 = e −16

c)

881

8

8

3

1

3

3

8

8

3

1

313

1.)8/(3

11lim

)8/(3

11lim

)8/(3

11limlim

)8/(31

1

)8/(3

11

)8/(3

11

3

83

een

nn

n

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

==

+

=

−+

=

−+=

+

+

+

∞→

−−

∞→

∞→

+−

∞→

2. Calcula los siguientes límites

a) 8

3

43

12lim

22=

−−

→ x

xx

,

b) existenox

xx

=−−

→ 4

12lim

22 (porque si x tiende a 2 por la derecha, el denominador tendería a “0

positivo” y el límite tendería a +∞, y si x tiene a 2 por la izquierda, el denominador tiende a “0negativo” y el límite tendería a -∞.

c) 03

2lim

)3)(12(

)2)(12(lim

352

252lim

222

2

2=

+−

=+−−−

=−++−

→→→ x

x

xx

xx

xx

xxxxx

d) 0

0

32

1lim

2

2

1=

−−−

−→ xx

xx

Indeterminación.

e) 2

1

4

2

)3)(1(

)1)(1(lim

32

1lim

12

2

1=

−−

=−++−

=−−

−−→−→ xx

xx

xx

xxx

f) limh →0

(1 + h)2 −1

h= lim

h →0

2h + 1 −1

h= lim

h →0

2h

h= 2

Page 13: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

g) limx →3

x 3 − 27

x − 3=

0

0= lim

x →3

( x2 + 3x + 9)(x − 3)

x − 3= lim

x →3(x

2 + 3x + 9) = 27

h) limx →0

xe x

e 2 x + e x=

0

2= 0

3. Calcula los siguientes límites (sin utilizar derivadas)

a) limx →∞

x 2 − 3x + 2

x3 + 1

= limx →∞

(x 2 − 3x + 2) /x 3

( x3 +1) / x

3 = limx →∞

1

x− 3

x2 + 2

x3

1 + 1

x 3

=0

1= 0 ,

b) limx →∞

cosx

x3 + 1= cos 0 =1 ,

c) limx →∞

lnx 2 + 3x

x2 +1= lim

x →∞ln

1 + 3 / x

1 + 1 /x 2= ln1 = 0

d) limx →∞

x 2 − 4

x= lim

x →∞

1 − 4 /x 2

1=

1

1=1

e) limx→∞

( x2 − 4 − x) = lim

x →∞

( x 2 − 4 − x)( x2 − 4 + x)

x 2 − 4 + x= lim

x →∞

( x 2 − 4 )2 − x2

x 2 − 4 + x= lim

x→∞

−4

x2 − 4 + x= 0

4. Estudia el dominio y la continuidad de las siguientes funciones:

• f (x) =ln 2 x x ≤1/2

cos 2x 1 /2 < x < π / 22 x −1

3xπ /2 < x

Veamos primer el dominio según las definiciones de la función en los distintos intervalos:§ El logaritmo está definido cuando la variable es mayor que 0, en este caso cuando 2x>0, o sea,

x>o.§ El coseno está definido en toda la recta real.§ Un cociente de polinomios está definido siempre que el denominador es distinto de cero, en este

caso sería cuando x es distinto de cero, pero x<π/2.Por todo ello, el dominio de la función es ]0,ππ/2[∪∪]ππ/2,∞∞[

En cuanto a la continuidad:§ En ]0,1/2[ la función es continúa por serlo la función logaritmo§ En ]1/2,π/2[ la función es continúa por serlo la función coseno.§ En x=1/2, estudiamos el límite por la derecha y el límite por la izquierda cuando x tiende a 1/2:

limx →1 / 2 −

f (x) = limx →1 / 2 −

ln 2 x = ln1 = 0 ; limx →1 / 2 +

f (x) = limx →1 / 2 +

cos 2x = cos 1 ≠ 0

Como los límites laterales no coinciden, no existe el límite de f(x) en x=1/2, por tanto la funciónno es continúa en x=1/2.

§ En ]π/2,∞[ la función es continúa por serlo el cociente de polinomios con denominador distintode cero.

§ En x=π/2 la función no es continúa porque no está definida.Por tanto, resumiendo todo lo calculado la función es continúa en todo su dominio de definición

menos en x=1/2, o sea, f(x) es continúa en ]0,1/2[∪∪]1/2, ππ/2[∪∪]ππ/2,∞∞[

Page 14: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

Tema 5.- Derivadas1.- y = (2x3-5x+10)4 y´ = 4 (2x3-5x+10)3 (6x2-5)

2.- y = 13

−+

x

xy´ =

13

2

13

−+

−+

x

x

x

x

=

1x3x

2

)1x(

)3x()1x(2

−+

+−−

=

1

32

)1(

42

−+

−−

x

x

x =

3)1)(3(

2

−+

xx

3.- y = x y = 21

x = 21

21

)(x = 21

21

21

))((x = 2

1

2

1

2

1

x = 8

1

x

y´ = 8

7

8

1−

x = 8 78

1

x4.- y = sen-2x y´ = -2 sen-3x cosx

5.- y = ln(x2+1) y´ = 1

22 +x

x

6.- y = 12

5 ++ xx y´ = )12(55ln 12

+⋅ ++ xxx

7.- y = (senx) cosx y´ = cosx (senx)cosx-1 cosx + ln(senx) (senx)cosx (-senx) =

= (senx)cosx

− )senxln(senx

senxxcos2

8.- y = sen2(x2+1)2 y´ = 2 sen(x2+1)2 [sen(x2+1)2]´ == 2 sen(x2+1)2 cos(x2+1)2 [(x2+1)2]´ == 2 sen(x2+1)2 cos(x2+1)2 2 (x2+1) 2x == 8x (x2+1) sen(x2+1)2 cos(x2+1)2

9.- y = tan[ln(x2+3)] y´ =[ ]

[ ])3xln(cos

)3xln(22

2

+

′+ = [ ])3xln(cos

3x

x2

22

2

++ = [ ])3xln(cos)3x(

x2222 ++

10.- y = ln senx1senx1

−+

y´ =

senx1senx1

senx1

senx1

−+

−+

=

senx1senx1senx1senx1

2

senx1senx1

−+

−+

−+

=

senx1senx1

2

senx1senx1

−+

−+

=

=( )

senx1senx1

2

senx1

)xcos)(senx1()senx1(xcos2

−+

−+−−

=

= )senx1)(senx1(2

xsenxcosxcosxsenxcosxcos−+

++−=

= )1(2

cos22 xsen

x

− =

xcos

xcos2

= xcos

1

Page 15: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

A) CÁLCULO DE LÍMITES

1.- 11

1lim Hôpitall'

1

1lim ===

∞∞

=+−

∞→∞→ xxaplicant

x

x

2.- 4

3

2.4

6lim Hôpitall'

2).12(2

16lim Hôpitall'

)12(

13lim

2

2

====

∞∞

=++

==

∞∞

=+

−+∞→∞→∞→ xxx x

xaplicant

x

xx

3.- 0

4

4

42lim Hôpitall'

0

04lim

34

2

∞→=→+

==

=

+∞→∞→ x

xaplicant

x

xxxx

Indeterminat

B) FÓRMULA DE TAYLOR

1.- Encontrad el polinomio de Taylor de orden 3 asociado a xxxf cos.)( = en x=0.

323 ).0('''.!3

1).0(''.!21).0(')0()()( xfxfxffxPxf +++=≅

0)0(cos.)( =→= fxxxf

1)0('sin.cos)(' =→−= fxxxxf

0)0(''cos.sin2)cos.(sinsin)('' =→−−=+−−= fxxxxxxxxf

[ ] 3)0('''sin.cos3)sin(coscos2)(''' −=→+−=−+−−= fxxxxxxxxf

26

30.10)(

33

3x

xx

xxP −=−++=

Si queremos hacer una pequeña comprobación por aproximación, observamos que:

0995,0)1,0)(cos1,0()1,0( ==f

0995,02

001,0)1,0()1,0(3 =−=P

2.- Encontrad el polinomio de Taylor de orden 2 asociado a x

xxf

ln)( = en x=1.

22 )1).(1(''.!2

1)1).(1(')1()()( −+−+=≅ xfxffxPxf

01

0)1(

ln)( ==→= f

x

xxf

11

01)1('

ln1ln.1)('

22=

−=→

−=

−= f

x

x

x

xxxxf

31

03)1(''

ln.23ln.222).ln1(.1)(''

344

2

−=−−

=→+−

=+−−

=−−−

= fx

x

x

xxxx

x

xxxxxf

2

54

2

3)12(

2

31

2

)1(3)1(10)( 22

2

2 −+−=+−−−=−

−−+= xxxxxx

xxP

Si queremos hacer una pequeña comprobación por aproximación, observamos que:

00985,001,1

00995,0)01,1( ==f

00985,004,40315,45,204,4)0201,1(2

3)01,1(2 =+−=−+−=P

Page 16: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

C) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DERIVABLES.

1) 1

( )1

f xx

=−

a) Dominio: }1{−ℜ

b) Cortes con los ejes:( ) 0f x = àEn este caso no tiene solución

(0) 1f =−Por tanto, tenemos el punto (0, 1)− .

c) Signo de la funciónLa función será positiva (dibujo por encima del eje OX) cuando 1x >La función será negativa (dibujo por debajo del eje OX) cuando 1x <

d) Crecimiento y decrecimiento 2

1(́ )

( 1)f x

x

−=

−Como vemos, la primera derivada siempre es negativa, por tanto la función siempre es decreciente.

e) Máximos y mínimos:No tiene pues observamos que la primera derivada no se anula en ningún punto.

f) Concavidad y convexidad 3

2´́ ( )

( 1)f x

x=

−Si 1x > la función es cóncava (derivada segunda positiva)

Si 1x < la función es convexa (derivada segunda negativa)

g) Puntos de InflexiónNo tiene pues la segunda derivada no se anula en ningún punto.

h) Asíntotas

h.1) asíntota horizontal. 1lim ( ) lim 0

1x xf x

x→+∞ →+∞= =

−1

lim ( ) lim 01x x

f xx→−∞ →−∞

= =−

Como existen ambos límites, tiene asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda.h.2) Asíntota vertical.Tenemos problemas de definición de la función con 1x = , por tanto, estudiaremos los siguientes límites:

1

1lim

1x x+→= +∞

1

1lim

1x x−→= −∞

−Por tanto, tenemos una asíntota vertical en 1x = tanto por arriba como por abajo.h.3) Asíntota oblícuaPara ello debemos resolver el siguiente límite:

11lim 0

x

xx

→+∞

− = à la asíntota oblícua no existe (si existe la horizontal no existe la oblicua y viceversa).

Page 17: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

Dibujo 1

-4 -2 2 4

-20

-10

10

20

2) 3 2( ) 6 8f x x x x= − +

a) Dominio: ℜ=D

b) Cortes con los ejes: ( ) 0f x = àà

0

2

4

x

x

x

===

(0) 0f =Por tanto, tenemos los puntos (0,0), (2,0), (4,0)

c) Signo de la función( ) ( 2)( 4)f x x x x= − −

La función será negativa cuando 0x <La función será positiva cuando 0 2x< <La función será negativa cuando 2 4x< <La función será positiva cuando 4 x<

d) Crecimiento y decrecimiento 2(́ ) 3 12 8f x x x= − +

Factorizamos este polinomio: (́ ) 3( 0.85)( 3.15)f x x x= − −la función es creciente para 0.85x <la función es decreciente para 0.85 3.15x< <la función es creciente para 3.15 x<

e) Máximos y mínimos:Tiene dos óptimos en 0.85x = y 3.15x = . El primero es un máximo pues la función pasa de crecientea decreciente, y el segundo es un mínimo pues la función pasa de decreciente a creciente. (La otra formade averiguarlo es calcular el signo de la derivada segunda en cada uno de esos puntos, si toma valor ne-gativo es un máximo, y si toma valor positivo es un mínimo).

f) Concavidad y convexidad: ´́ ( ) 6 12f x x= −Si 2x > la función es cóncava (derivada segunda positiva)Si 2x < la función es convexa (derivada segunda negativa)

Page 18: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

g) Puntos de InflexiónTiene uno en 2x = (cambia la concavidad/convexidad) ya que se anula la segunda derivada.h) Asíntotash.1) asíntota horizontal.

lim ( )x

f x→+∞

= +∞

lim ( )x

f x→−∞

= −∞

Como no existen, no tiene asíntotas horizontalesh.2) Asíntota vertical.No tiene asíntotas verticales al ser un polinomio (el dominio es todo el eje OX)h.3) Asíntota oblícuaPara ello debemos resolver el siguiente límite:

3 26 8limx

x x x

x→∞

− += +∞à la asíntota oblicua no existe.

Dibujo 2

-4 -2 2 4 6 8

-10

-5

5

10

3)2

( )1

xf x

x=

+

a) Dominio: ℜ=D

b) Cortes con los ejes:( ) 0f x = à 0x =(0) 0f =

Por tanto, tenemos el punto (0,0)

c) Signo de la funciónEl denominador es siempre positivo, por lo que el signo solo depende del numerador. Por tanto:La función será negativa cuando 0x <La función será positiva cuando 0 x<

d) Crecimiento y decrecimiento 2

2

1(́ )

1

xf x

x

−=

+El signo solo depende en este caso del signo del numerador. El numerador factorizado queda como sigue:(1 )(1 )x x− + . Por tanto:

La función es decreciente para 1x < −

Page 19: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

La función es creciente para 1 1x− < <La función es decreciente para 1x <

e) Máximos y mínimos:Tiene dos óptimos en 1x = − y 1x = . El primero es un mínimo pues la función pasa de decreciente acreciente, y el segundo es un máximo pues la función pasa de creciente a decreciente.

f) Concavidad y convexidad 2

2 3

2 ( 3)´́ ( )

(1 )

x xf x

x

−=

+Hemos de factorizar el numerador pues es el que determinará el signo de la función:2 ( 1.73)( 1.73)x x x− + . Por tanto:

La función será convexa cuando 1.73x < −La función será cóncava cuando 1.73 0x− < <La función será convexa cuando 0 1.73x< <La función será cóncava cuando 1.73 x<

g) Puntos de Inflexión Tiene tres:

1.73

0

1.73

x

x

x

= −==

h) Asíntotas

h.1) asíntota horizontal.2

lim ( ) lim 01x x

xf x

x→+∞ →+∞= =

+

2lim ( ) lim 0

1x x

xf x

x→−∞ →−∞= =

+Tiene asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda.h.2) Asíntota vertical.No tiene asíntotas verticales al ser el dominio todo el eje OX.h.3) Asíntota inclinadaPara ello debemos resolver el siguiente límite:No tiene por tener asíntota horizontal (tanto por la derecha como por la izquierda).

Dibujo 3

-4 -2 2 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Page 20: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

4)2

( )1

xf x

x=

+

a) Dominio: }1{−ℜ=D

b) Cortes con los ejes:( ) 0f x = à 0x =(0) 0f =

Por tanto, tenemos el punto (0,0)

c) Signo de la funciónEl numerador es siempre positivo, por lo que el signo solo depende del denominador. Por tanto:La función será negativa cuando 1x < −La función será positiva cuando 1 x− <

d) Crecimiento y decrecimiento: ( )2

(2 )(́ )

1

x xf x

x

+=

−El signo solo depende en este caso del signo del numerador. Por tanto:La función es creciente para 2x < −La función es decreciente para 2 0x− < <La función es creciente para 0 x<

e) Máximos y mínimos:Tiene dos óptimos en 2x = − y 0x = . El primero es un máximo pues la función pasa de creciente adecreciente, y el segundo es un mínimo pues la función pasa de decreciente a creciente.

f) Concavidad y convexidad 3

2´́ ( )

(1 )f x

x=

+El signo de la segunda derivada es el del denominador, al igual que pasara en el estudio del signo de lafunción. Por tanto:La función será convexa cuando 1x < −La función será cóncava cuando 1 x− <

g) Puntos de InflexiónNo tiene, pues la segunda derivada no se anula en ningún punto.

h) Asíntotash.1) asíntota horizontal.

lim ( )x

f x→+∞

= +∞

lim ( )x

f x→−∞

= −∞

No tiene asíntota horizontal.h.2) Asíntota vertical.Tiene asíntota vertical en 1x = − ya que

1lim ( )x

f x→−

= ∞

h.3) Asíntota inclinada

Para ello debemos resolver el siguiente límite:

2

2

21lim lim 1

x x

xxxm

x x x→∞ →∞

+= = =+

Por tanto, sí tiene una asíntota oblicua, con pendiente igual a 1. La ordenada en el origen se calcula delsiguiente modo:

2 2

lim lim lim 11 1 1x x x

x x xmx x

x x x→∞ →∞ →∞

−− = − = = − + + +

Page 21: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

Por tanto, la ecuación de la asíntota es 1y x= −

Dibujo 4

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-15

-10

-5

5

10

15

5) ( ) xf x xe−=

a) Dominio: ℜ=D

b) Cortes con los ejes:( ) 0f x = à 0x =(0) 0f =

Por tanto, tenemos el punto (0,0)

c) Signo de la funciónLa exponencial es siempre positiva, por lo que el signo solo depende del factor x. Por tanto:La función será negativa cuando 0x <La función será positiva cuando 0 x<

d) Crecimiento y decrecimiento (́ ) (1 ) xf x x e−= −El signo solo depende del factor 1 x− . Por tanto:

La función es creciente para 1x <La función es decreciente para 1 x<

e) Máximos y mínimos:Tiene un óptimo en 1x = . Es un máximo pues la función pasa de creciente a decreciente

f) Concavidad y convexidad ´́ ( ) ( 2 ) xf x x e−= − +El signo de la segunda derivada depende del factor ( 2 )x− + . Por tanto:

La función será convexa cuando 2x <La función será cóncava cuando 2 x<

g) Puntos de InflexiónTiene uno en 2x = .

Page 22: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

h) Asíntotash.1) asíntota horizontal. lim 0x

xxe−

→+∞=

lim x

xxe−

→−∞= −∞

Tiene asíntota horizontal pero sólo por la derecha.h.2) Asíntota vertical.No tiene asíntotas verticales ya que no hay valores finitos que hagan que la función tome “valor” infinito.h.3) Asíntota inclinada

Para ello debemos resolver el siguiente límite: limx

x

xem

x

→−∞= = +∞

Por tanto, no tiene asíntota oblicua por la izquierda (por la derecha tiene asíntota horizontal).

Dibujo 5

-2 2 4 6 8

-1.5

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

6)

2

2( )x

f x e−

=

a) Dominio: ℜ=D

b) Cortes con los ejes:( ) 0f x = à No existe solución.

(0) 1f =Por tanto, tenemos el punto (0,1)

c) Signo de la funciónLa exponencial es siempre positiva, por lo que la función siempre es positiva

d) Crecimiento y decrecimiento

2

2(́ )x

f x xe−

= −El signo solo depende del factor x− . Por tanto:

La función es creciente para 0x <La función es decreciente para 0 x<

e) Máximos y mínimos:Tiene un óptimo en 0x = . Es un máximo pues la función pasa de creciente a decreciente

f) Concavidad y convexidad

2

2 2´́ ( ) ( 1 )x

f x x e−

= − +El signo de la segunda derivada depende del factor 2( 1 )x− + , que es ( 1)( 1)x x+ − .Por tanto:

Page 23: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

La función será cóncava cuando 1x < −La función será convexa cuando 1 1x− < <La función será cóncava cuando 1 x<

g) Puntos de Inflexión Tiene dos: 1

1

x

x

= −=

.

h) Asíntotas

h.1) asíntota horizontal. 2

2lim 0x

xe

→+∞= ;

2

2lim 0x

xe

→−∞=

Tiene asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda.h.2) Asíntota vertical.No tiene asíntotas verticales ya que no hay valores finitos que hagan que la función tome “valor” infinito.h.3) Asíntota inclinadaNo tiene asíntota oblicua por tener asíntota horizontal.

Dibujo 6

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Page 24: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

Tema 6.- Cálculo de Primitivas3 1 4

3 3

3 1 23

3 3 2

1) 5 5 5 53 1 4

1 1 1 1 1 12)

6 6 6 6 3 1 6 2 12

x xx dx x dx C C

dx x xdx x dx C C C

x x x

+

− + −−

= = + = ++

−= = = + = + = +

− + −

∫ ∫

∫ ∫ ∫3 1 2

33 3 2

2 512 3 53 3

3 2 3

1 1 1 1 1 12)

6 6 6 6 3 1 6 2 12

33)

2 5 513 3

dx x xdx x dx C C C

x x x

x x xx dx x dx C C C

− + −−

+

−= = = + = + = +

− + −

= = + = + = ++

∫ ∫ ∫

∫ ∫

2 2 2 2

13 34 4 4

4 4

5 54) 5 5 ( 2)

2 2

1 4 15) ln 1 ln 1

1 4 1 4

x x x xe dx e dx e dx e C

x xdx dx x C x C

x x

− − − −= = − = +− −

= = + + = + ++ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫senx -sen

6) ( 1) ln 1 cos1 cosx 1 cos

1 1 1 1 1 17) ( ) ( )

xdx dx x C

x

x xdx dx dx dx

x x x x xx x

= − = − + ++ ++

= + = + = +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫5 7

11 1 5 7 32 222 2 2 2 2

22 2 2

2 28)

5 7 7 712 2

1 2 1 29) ln 1

1 1 1

x x x x xx xdx x x dx x dx x dx C C C C

x xdx dx dx arctgx x C

x x x

++

= = = = + = + = + = ++

+= + = + + +

+ + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫2

2

x

1 210) ln

e11) ln 1

1x

x

xdx x x C

x x

dx e Ce

+= + +

+

= + ++

∫12) 2 2 4 2 4 2( 3) ( 6 9) 6 9x dx x x dx x dx x dx dx+ = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

=5 3 5

4 2 36 9 6 9 2 95 3 5

x x xx dx x dx dx x C x x C+ + = + + + = + + +∫ ∫ ∫

3 42 2 3 2 3 2 313) (1 2 ) ( 2 ) 2 2 2

3 4

x xx x dx x x dx x dx x dx x dx x dx C+ = + = + = + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

14) cossenx senxe xdx e C= +∫1 1

2 22 212

2 2

11 12 22 2

2

115) (1 ) (1 ) 2

21 (1 )

1 (1 ) 1 (1 )1

1 12 21 22

x xdx dx x xdx x xdx

x x

x xC C x C

− −

− +

= = + = + =+ +

+ += + = + = + +

− +

∫ ∫ ∫ ∫

Page 25: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

1 12 2 22 2

11 32 22 2 32 2

116) 1 (1 ) (1 ) 2

2

1 (1 ) 1 (1 ) 1(1 )

1 32 2 31 22

x xdx x xdx x xdx

x xC C x C

+

+ = + = + =

+ += + = + = + +

+

∫ ∫ ∫

1 117) cos3 3cos3 3

3 3xdx xdx sen x C= = +∫ ∫

1 1 cos 218) 2 2 2 ( cos 2 )

2 2 2

xsen xdx sen xdx x C C= = − + = − +∫ ∫

2x 2 2 1 2 12 2 2 2 2

2 2 2

e 1 1 (1 ) 1 (1 ) 119) (1 ) (1 )2

(1 ) 2 2 2 1 2 1 2(1 )

x xx x x x

x x

e edx e e dx e e dx C C C

e e

− + −− + + −

= + = + = + = + = ++ − + − +∫ ∫ ∫

3 3 3

1x 1 1 1

2 2 2

1 120) 3

3 3

e 1 121) ( 1) ( )

x

x x x

x x x

e dx e dx e C

dx e dx e dx e Cx x

= = +

= = − − = − +

∫ ∫

∫ ∫ ∫1 1 2

22

122) tgxsec

cos 1 1 2

123) 2 2( cos )

2

tg x tg xxdx tgx dx C C

x

sen xdx sen xdx x C

x x

+

= = + = ++

= = − +

∫ ∫

∫ ∫4 5

4(lnx) 1 (ln )24) (ln )

5(ln ) 1

25) (ln ) cos(ln )

xdx x dx C

x xsen x

dx sen x dx x Cx x

= = +

= = − +

∫ ∫

∫ ∫

26) Juan afirma que 22cos cosxdx x C= − +∫ , mientas que José sostiene que la

respuesta es 2sen x C+ . ¿Quién tiene razón?

27)

( 1)

x x x

x x x x x

xsenxdx

u x du dx

dv e dx v e dx e

xe e dx xe e C e x C

=

= → =

= → = =

= − = − + = − +

∫∫

2

22 2 2

28)

1

1

v=

1 1 2 1 ln 1

1 1 2 1 2

arctgxdx

u arctgx du dxx

dv dx dx x

x xxarctgx x dx xarctgx dx xarctgx dx xarctgx x C

x x x

=

= → =+

= → =

= − = − = − = − + ++ + +

∫ ∫ ∫

22

2 329) ln 3 2

3 2

xdx x x C

x x

+= + + +

+ +∫

Page 26: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

2 4 12 4

2 4 2 3

2 3 ( 3 2) 130) (2 3)( 3 2)

( 3 2) 4 1 3( 3 2)

x x xdx x x x dx C C

x x x x

− +−+ + + −

= + + + = + = ++ + − + + +∫ ∫

3 13 3

3 2

1 1 (4 1) 131) (4 1) 4(4 1)

(4 1) 4 4 3 1 8(4 1)

dx xx dx x dx C C

x x

− +− − + −

= + = + = + = ++ − + +∫ ∫ ∫

22 2

x 1 2 132) ln 9

x 9 2 9 2

xdx dx x C

x= = + +

+ +∫ ∫

2

222 2

1 1 11 19 3 333)

99 3 3 3( ) 1 ( ) 13 39 9

dx xdx dx dx arctg C

x xxx= = = = +

+ + ++∫ ∫ ∫ ∫

22 2 2 2

12x+3 2 3 2 934) 3

9x 9 9 9 99 9

x xdx dx dx dx dx

xx x x= + = + = =

+ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

22

2

12 1 33 ln 9

9 3 3( ) 13

x xdx dx x arctg C

xx= + = + + +

+ +∫ ∫

2

22 2 22

2

2 2

4 0 435) ( 1) 42 5 2 1 4 ( 1) 42 4 1 5 0

4 41 1

1 1 12 21 12 2 2( ) 1 ( ) 1

2 2

dxb acdx dx dx

dxxx x x x x

dx dx xarctg C

x x

+ <= = = = = ++ + + + + + ++ ⋅ ⋅ < +

+= = = +

+ ++ +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2

2 2 2 22

2

222 2

4 036)

4 9 4 4 5 2 2 2 54 4 1 9 0

1 1 2( 5) 552 2( 2) 5( 2) 5 5 5 5( ) 1 ( ) 1

5 55 5

b acdx dx dx

x x x x x x

dx dxdxdx x

arctg Cx xxx

+ <= = = = + + + + + + ⋅ + +− ⋅ ⋅ <

+= = = = = +

+ +++ + + ++

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

2

x+336) *

x 3 2dx

x=

+ +∫2

2 13 3 4 1 2 3 9 8 3 1 3 13 2 0;

22 1 2 2 2x x x

− − ± − ⋅ ⋅ − ± − − ± − ±+ + = = = = = = −⋅

2

3 3 A B A( 2) B( 1) (A+B) (2A+B)

3 2 ( 1)( 2) 1 x+2 ( 1)( 2) (x+1)(x+2)

x x x x x

x x x x x x x

+ + + + + += = + = =

+ + + + + +

A+B=1 -A-B=-1 2A+B=3 2A+B = 3 A=2; B=-1

Page 27: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

22

3 2 1 1 1 * 2

( 1)( 2) 1 2 1 2

12ln 1 ln 2 ln 1 ln 2 ln

2

xdx dx dx dx dx

x x x x x x

xx x C x x C C

x

+ −= = + = − =

+ + + + + +

+= + − + + = + − + + = +

+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

x+137) *

x ( 2)dx

x=

−∫2

2 2 2

1 A B C A ( 2) B( 2) C

( 2) 2 ( 2)

x x x x x

x x x x x x x

+ − + − += + + =

− − −2 2 21 A 2A B 2B C ; 1 (A+C) ( 2A+B) 2Bx x x x x x x x+ = − + − + + = + − −

A+C=0

-2A+B=1 B=1

2− ; -2A

1

2− =1; -2A=

3

2; A=

3

4− ; C=

3

4-2B=1

2 2 2

343 3

4 43

4

3 311 3 1 1 1 3 14 2 4 *( 2) 2 4 2 4 2

23 1 1 3 1 1ln ( ) ln 2 ln ln 2 ln

4 2 4 2 2

xdx dx dx dx dx dx dx

x x x x x x x x

xx x C x x C C

x x x x

− −+= = + + = − − + =

− − −

−= − − − + − + = − + − + = + + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3

41 2

ln2

xC

x x

−= + +

2

3 2

138) *

1

x xdx

x x x

+ +=

− + −∫

3 2 1 0; x x x− + − =

1 1 -1 1 -1 1 0 1 1 0 1 0

3 2 21 ( 1)( 1)x x x x x− + − = − +2 2 2 2

3 2 2 2 2

1 A M N A( 1) (M N)( -1) A A+M ( M+N) N

1 1 1 ( 1)( 1) ( -1)( 1)

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

+ + + + + + + + − −= + = = =

− + − − + − + +2

2

(A+M) ( M+N) (A-N)

( 1)( 1)

x x

x x

+ − +=

− +

A+M = 1

-M+N = 1 Sumando las tres ecuaciones: 2A=3; A=3

2;

3

2-N=1; N=

1

2 A-N = 1

Page 28: COL·LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

3

2+M=1; M=-

1

2

2 2

3 2 2 2

2 2 2 2

32

21

2 4

1 131 1 2 2 2 *=

1 ( 1)( 1) 1 1

3 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

13 1 1 1ln 1 ln 1 ln

2 4 2 21

xx x x xdx dx dx dx

x x x x x x x

x xdx dx dx dx dx dx

x x x x x x

xx x arctgx C arctgx C

x

− ++ + + += = + =

− + − − + − +−

= − − = − + =− + + − + +

−= − − + + + = + +

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

2 2

139) *

( 1)

xdx

x x

−=

+∫2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 2 3 2 3 2

2 2 2 2

1 A B M N A ( 1) B( 1) (M N)

( 1) 1 ( 1)

A A +B +B+M N (A+M) (B+N) A B

( 1) ( 1)

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

− + + + + + += + + = =

+ + +

+ + + + += =

+ +

A + M = 0B + N = 1 M = 0; -1 + N = 1; N = 2A = 0B = -1

2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1 * ( ) 2 2

( 1) 1 1

xdx dx dx dx dx arctgx C

x x x x x x x

− −= = + = − + = + +

+ + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫