Òptica i problemes resolts - core

305
Òptica I Problemes resolts Carlos J Zapata i Rodríguez

Upload: others

Post on 26-Feb-2022

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Òptica I Problemes resolts - CORE

Òptica I

Problemes resolts

Carlos J Zapata i Rodríguez

Page 2: Òptica I Problemes resolts - CORE
Page 3: Òptica I Problemes resolts - CORE

Part I

Butlletins de Problemes i Treballs Tutelats

Page 4: Òptica I Problemes resolts - CORE
Page 5: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

PROBLEMES D’ÒPTICA I

Butlletí 1

P1.1. Un raig de llum monocromàtica penetra en una esfera homogènia d’índex n submergida en aire,

amb angle d’incidència i, i pateix p reflexions parcials en el seu interior abans d’eixir-ne.

a) Calculeu la desviació del raig emergent en relació amb el raig incident.

b) Per a quin angle d’incidència, im, aquesta desviació passa per un extrem relatiu?

c) Calculeu im i la desviació corresponent per a 34n i 1p i 2 . Aquest resultat és la base per a la

justificació geomètrica de la formació de l’arc iris.

P1.2. Considereu un espill de cara posterior, és a dir, una superfície reflectora sobre la qual es diposita

una làmina transparent de cares planes i paral·leles. Si la grossària de la làmina és t i el material

transparent té un índex de refracció n, determineu el desplaçament axial patit per la imatge a causa de la

presència d'aquesta làmina.

P1.3. Demostreu que per a un medi estratificat pla en què ynn , les trajectòries dels raigs

lluminosos satisfan l’equació diferencial dydnCdxyd 21222 2

, on C és la constant de la relació de

Bouguer ( sinnC ). És possible que un raig descriga una trajectòria rectilínia en un medi com

aquest?

P1.4. Considereu un medi estratificat de grossària 2h (regió II), caracteritzat per un índex de refracció

donat per

22

0

2 1 Lynhyn

i rodejat per dos medis homogenis (regions I i III) d’índex hnnn 31. En l’origen de coordenades

se situa una font puntual que emet raigs en tots els angles i possibles cap a l’exterior del medi.

a) Calculeu la trajectòria dels raigs.

b) Quina condició ha de complir la coordenada azimutal i perquè un raig es mantinga confinat en la

regió II?

c) Determineu la zona a través de la qual els raigs procedents de la font travessen la superfície de

separació entre les regions I i II.

d) Particularitzeu el resultat de l’apartat a per al cas que l’angle i siga petit (aproximació paraxial).

P1.5. Considereu un medi isòtrop caracteritzat per un índex de refracció amb simetria radial de la

forma 2

0 1 arnrn . Aquest instrument òptic es denomina ull de peix de Maxwell. Determineu

la trajectòria dels raigs que es propaguen en aquest medi i demostreu que formen circumferències

coplanàries amb l’origen de coordenades r = 0.

Page 6: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

P1.6. Considereu un medi isòtrop caracteritzat òpticament per un índex de la forma

Lynyn 210 . Determineu el temps que empra un raig lluminós a anar de A(0, 0) a

C(L, 2L) en els següents casos:

a) Si va primer de A a B(L, L) i després de B a C, ambdós recorreguts en línia recta.

b) Si va de A a C en línia recta.

c) Si realitza el recorregut al llarg de la corba continguda en el pla z = 0 (per a 40 ),

02coscossin

0

2

0

0

L

yLL

x

P1.7. Determineu l’equació de la superfície reflectora que focalitza estigmàticament un feix de raigs

paral·lels en un punt situat a una distància d del vèrtex de la superfície. Resoleu el problema aplicant:

a) la llei de la reflexió,

b) la condició d’estigmatisme (constància del camí òptic recorregut).

P1.8. Determineu analíticament i gràficament la posició i naturalesa de les imatges proporcionades per

una lent prima submergida en aire, tant per a objectes reals com virtuals. Considereu tant el cas d’una

lent convergent com el d’una lent divergent.

P1.9. Donada una lent prima de radis de curvatura r1 i r2 i índex n, determineu la potència ’ d’aquesta

quan es troba submergida entre dues substàncies d’índex n1 i n2. Considereu ara una lent prima

convergent, situada en aire, que té una distància focal de 20 cm i índex n = 3/2. Quina és la seua

distància focal quan se submergeix en aigua, l’índex de refracció de la qual és 4/3? I quan se submergeix

en bisulfur de carboni (amb índex de refracció 8/5). Analitzeu també el cas en què se submergisca en un

medi d’índex de refracció 1.5.

P1.10. Calculeu la distància HH' entre els plans principals d’una lent esfèrica en aire. A continuació,

determineu les condicions que la lent ha de complir per què:

a) HH' = e, on e és la grossària de la lent.

b) HH' = 0.

En ambdós casos, determineu la potència de la lent resultant i feu un esquema del sistema on assenyaleu

la situació dels plans principals.

P1.11. Trobeu l’expressió del camp associat a una ona cilíndrica i a una ona esfèrica com a solucions de

l’equació d’ones.

Page 7: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

PROBLEMES D’OPTICA I

Butlletí 2

P2.1. Calculeu la matriu de Jones associada a una làmina retardadora, amb les seues línies neutres

centrades, que introdueix un desfasament en la component Y. Resoleu el mateix cas quan es gira

l’element anterior un angle .

Se situa la làmina retardadora anterior entre dos polaritzadors lineals encreuats, de manera que les línies

neutres de la làmina formen un angle amb els eixos de transmissió d’ambdós polaritzadors. Calculeu la

intensitat emergent del dispositiu si s’il·lumina normalment amb un feix paral·lel de llum natural

d’intensitat I0. ¿Sota quines condicions la intensitat anterior és màxima?

P2.2. Es disposa d’un sistema format per l’acoblament de dues làmines de mitja ona amb els seus eixos

lents formant entre si un angle .

a) Calculeu la matriu de Jones que caracteritza aquest dispositiu.

b) Se situa ara el dispositiu anterior entre dos polaritzadors lineals amb el seus eixos de transmissió

perpendiculars entre si. Calculeu la intensitat emergent d’aquest dispositiu quan s’il·lumina normalment

amb un feix col·limat de llum natural d’intensitat I0.

P2.3. Siga un dispositiu òptic que es pretén caracteritzar. La seua acció sobre qualsevol llum

linealment polaritzada és únicament girar el seu pla de polarització un angle , sense cap altre canvi en el

seu estat de polarització o en la seua intensitat. Aquest fenomen es denomina activitat òptica o poder

rotatori. A partir d’aquest fet,

a) Calculeu la matriu de Jones del dispositiu.

b) Obteniu els valors i vectors propis d’esta matriu, i interpreteu-los en funció de llums polaritzades

elementals.

P2.4. Hi ha substàncies que absorbeixen de forma diferent la llum polaritzada circularment dextrogira,

R, o levogira, L, (dicroisme circular). Calculeu la matriu de Jones associada a una substància d’este

tipus, la transmitància en amplitud del qual és pR i pL, per a llum R i L, respectivament.

P2.5. Considereu una ona linealment polaritzada en una atmosfera d’electrons la densitat de la qual és

1012

electrons/m3. En la direcció de propagació s’aplica un camp magnètic d’intensitat Bo = 0.5 10

-4

weber/m2. Obteniu una expressió que represente el canvi d’estat de polarització per longitud d’ona en la

direcció de propagació.

Page 8: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

PROBLEMES D’OPTICA I

Butlletí 3

P3.1. Demostreu que existeix una relació no local entre el vector desplaçament D

i el camp elèctric E

,

dtEGtEtD

00 ,

on

diG exp2

1

és la transformada de Fourier de la susceptibilitat elèctrica característica del medi. A més, el principi

de causalitat requereix que tD

en un determinat instant t depenga del camp tE

en temps anteriors, i

per tant 0tG si t < 0. Demostreu açò utilitzant el model de Lorentz per a , on cal suposar que

<0. A més, comproveu que el model de Lorentz té associada la funció 0

2

0 expsin ptttG

per a valors positius de t, on 22

00 .

P3.2. Considereu el model d’un àtom en el qual l’electró es troba lligat per mitjà d’un potencial

d’oscil·lador harmònic de tipus anisòtrop, i que té associades freqüències pròpies d’oscil·lació , x, y i

z diferents en las direccions X, Y i Z, respectivament. Suposeu ara que una ona electromagnètica plana

de freqüència es propaga en el si d’un material format per aquest tipus d’àtoms. Amb les hipòtesis de

la teoria clàssica de l’índex de refracció,

a) Demostreu que el vector desplaçament elèctric PED

0 es pot escriure com ED

0 , on

és una matriu diagonal 3x3. A més, obteniu una expressió dels elements d’esta.

b) Considereu ara que l’ona incident es propaga en direcció de l’eix Z. Demostreu que els electrons de

cada àtom no vibren en la direcció del camp incident i que el pla de vibració de la polarització elèctrica

P

forma un angle amb l’eix X que compleix:

E

y

x

tantan

22

22

,

on E és l’angle que forma el camp elèctric amb l’eix X.

P3.3. Considereu un medi dielèctric, homogeni i isòtrop, sotmés a l’acció d’un camp magnètic B

uniforme i estacionari en la direcció de l’eix Z, i en el qual es propaga una ona monocromàtica de

freqüència . Fent ús del model de Lorentz de l’oscil·lador electrònic de freqüència pròpia o i

negligint, per simplificar, el terme d’amortiment,

a) Trobeu l’equació de moviment de l’electró.

Page 9: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

b) Suposant que els electrons del medi oscil·len a la mateixa freqüència que el camp E

de l’ona plana,

demostreu que la polarització P

del medi pot expressar-se com EP

0 , on la susceptibilitat elèctrica

complexa és una matriu 3x3 de la forma:

33

1112

1211

00

0

0

i

i

.

Obteniu una expressió per als coeficients 11, 12 i 33.

c) Considereu ara que l’ona plana que es propaga en el medi, ho fa en la direcció de l’eix Z. A partir de

l’equació d’ones inhomogènia, demostreu que en aquest cas l’ona plana està necessàriament polaritzada

circularment. Obteniu l’índex de refracció del medi per al cas en què la polarització de l’ona siga

dextrogira o levogira.

Page 10: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

PROBLEMES D’OPTICA I

Butlletí 4

P4.1. Comproveu que els angles azimutals de les components transmesa T i reflectida R satisfan les

equacions:

ITIT tancostan I

TI

TIR

tan

cos

costan

sent I i T els angles d’incidència i refracció i I l’angle azimutal de la radiació incident. Demostreu que

en la reflexió el camp elèctric s’allunya del pla d’incidència i que en la refracció s’hi acosta.

P4.2. Un feix pla de llum monocromàtica linealment polaritzada és desviat per

un romboedre de reflexió total d’índex n = 1.554, com s’indica en la figura.

Descriviu l’efecte del dispositiu sobre cada una de les components del camp.

Obteniu la matriu de Jones que caracteritza el dispositiu. Finalment, si el pla

de vibració de la llum incident forma un angle de 45º amb el pla d’incidència,

descriviu amb detall l’estat de polarització de la radiació que emergeix del

romboedre.

P4.3. Un raig de llum natural cuasimonocromàtica incideix, amb angle ,

sobre una esfera dielèctrica homogènia d’índex de refracció n submergida en aire, i pateix una única

reflexió parcial en el seu interior abans d’emergir d’aquesta. Obteniu una expressió per al grau de

polarització V del raig emergent en funció dels angles d’incidència i refracció ´. Finalment, calculeu

l’angle d’incidència per al qual el raig de llum emergent està totalment polaritzat en el cas d’una esfera

d’aigua (n = 4/3). Raoneu la resposta.

P4.4. Representeu gràficament la dependència de la reflectància i el desfasament amb l’angle

d’incidència sobre una superfície plana en el cas d’una ona monocromàtica de longitud d’ona = 500nm

que es propaga en el espai lliure i incideix sobre plata (n = 0.05 – i 2.87).

P4.5. Considereu un camp elèctric de la forma

tiikztiikz eBeAtrE

,

a) Deriveu l’expressió del camp magnètic H.

b) Considerant que el medi es transparent (k és real), mostreu que la potència transmesa al llarg de l’eix

OZ es pot escriure com

22

2BA

kSz

c) Deriveu el flux de potència al llarg de l’eix OZ en un medi dissipatiu amb una k complexa. Mostreu

que la potència no és la suma algebraica de la potència transportada per les ones individuals.

n = 1.554p/4

p/4

Page 11: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

P4.6. Un feix de llum circularment polaritzada incideix, des de l’aire, amb un angle de 45º sobre una

làmina de vidre d’índex de refracció 1.5. Descriviu l’estat de polarització del feix reflectit i refractat.

Repetiu el procés per a un angle d’incidència de 65º.

Page 12: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

TREBALLS TUTELATS D’ÒPTICA I

Butlletí 1

TT1.1. Un tub cilíndric té un diàmetre interior de 5 cm i una longitud d’un metre. La seua superfície

interior és reflectora en els primers 89 cm i absorbent en la resta. En l’extremitat absorbent del tub es

col·loca un diafragma proveït d'un orifici molt menut, centrat respecte a l’eix del cilindre. En l’altre

extrem es col·loca un altre diafragma idèntic darrere del qual se situa una font lluminosa. Determineu la

inclinació respecte a l’eix amb què emergeixen del tub els raigs de llum. Descriviu l’aspecte del camp

observat quan es mira a través del tub.

TT1.2. Considereu un brillant amb la talla de la figura. Suposant una

il·luminació paral·lela i normal a la cara superior, calculeu els valors

de que permeten que la llum, després de patir dues reflexions

internes, isca del brillant per aquesta mateixa cara (per a un primer

càlcul no s’ha de considerar la influència del rebaixat del cantell).

TT1.3. Considereu una guia corbada de secció rectangular com la de la figura. Tenint en compte que,

segons una descripció purament geomètrica, la llum es propaga en

l’interior de una guia per reflexió total.

a) Demostreu que és suficient que el raig 1 complisca la condició

de propagació perquè tot el feix es propague al llarg de la guia.

b) Obteniu el radi mínim que pot tindre aquesta guia per a evitar

que la llum deixe de propagar-s’hi a través.

TT1.4. Des d’un punt de la superfície terrestre, O, on l’índex de refracció de l’aire és n0, es mesura

l’angle zenital d’un estel, es a dir, l’angle que forma la direcció en què es veu l’estel amb la vertical del

punt d’observació. A causa de la variació de l’índex de l’aire amb l’altura, hi ha una lleu diferència

O entre l’ángle zenital real, , i l’observat, 0. Determineu l’equació de les trajectòries que

passen per O si l’índex de refracció de l’atmosfera ve donat per l’equació bznzn O 22 , on b és una

constant. A més, obtingueu l’expresió de en funció de 0.

TT1.5. Un raig de llum incideix sobre un medi inhomogeni estratificat en forma de làmina de cares

paral·leles de grossor d, l’índex de refracció del qual varia d’acord amb l’expresió

L

ydyn 21

2

302

on L és una constant amb unitats de longitud. Se suposa que la làmina es troba entre aire i un medi

d’índex de refracció n0. El raig incident es mou en l’aire 0y i, després de travessar la làmina, n’ix

amb un determinat angle r .

a) Quines condicions han de satisfer n0 i d perquè el raig emergent siga paral·lel a l’incident, ri ?

b) En el cas que es satisfacen les condicions de l’apartat anterior, calculeu el desplaçament produït

sobre el raig incident a causa de la presència de la làmina suposant que l’angle d’incidència 3i.

Page 13: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

TT1.6. Un sistema de comunicacions làser està format per un emissor i un receptor, ambdós situats en

torres d’una altura myO 10 sobre el nivell de terra i separades una distancia kmd 20 . L’aire proper

a la superfície té un índex de refracció que varia en funció de l’altura com kynyn 12

1

2 per a

my 400 i 1400 myn , on 002.11 n i 161097.9 mk .

a) Trobeu els possibles angles d’eixida del feix làser respecte a l’horitzontal perquè aquest incidisca

sobre el receptor.

b) Per a les solucions de l’apartat a, calculeu l’altura màxima sobre el nivell del sòl que aconsegueix el

feix làser.

TT1.7. Considereu la lent de Luneburg, que consisteix en una bola de radi a submergida en un medi

d’índex de refracció 0n . Aquesta bola està construïda amb un material isòtrop estratificat de simetria

radial, l’índex de refracció del qual té la forma 20 2 arnrn per a r ≤ a. Determineu la

trajectòria dels raigs que es propaguen dins la lent de Luneburg, i demostreu que formen el·lipses

coplanàries amb l’origen de coordenades r = 0. A més, comproveu que un feix de raigs paral·lels que

incideixen sobre la lent es focalitzen en un únic punt de la superfície de la lent.

TT1.8. La fórmula de Jacobi-Anger

m

im

m

miz ezJie cos

representa el desenvolupament d’una ona plana entorn d’una superposició d’ones cilíndriques.

a) Utilitzant la fórmula de Jacobi-Anger, demostreu que la funció de Bessel de primera classe es pot

expressar com a

2

0

cos

2de

ixJ nxi

n

n

0

sincos1

dxnxJn

b) Utilitzeu el resultat anterior per a justificar per què la funció de Bessel de primera classe representa

una ona estacionària.

TT1.9. Demostreu que l’equació diferencial

011 22

nnrdr

dfr

dr

d

f

resultat de resoldre l’equació d’ones utilitzant separació de variables en coordenades esfèriques, es pot

convertir en l’equació diferencial ordinària de Bessel mitjançant la transformació

21r

rZrf

TT1.10. Utilitzant la solució de l’equació d’ones en coordenades esfèriques, demostreu que el camp

d’una ona esfèrica divergent s’atenua en allunyar-se de l’origen O amb una dependència que és

inversament proporcional a la distància recorreguda des del punt O.

Page 14: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

TT1.11. Considereu el camp electromagnètic linealment polaritzat

trkieEtrE

0,

trkieHtrH

0,

on yEE yˆ

00

, corresponent a una ona plana que es propaga en un dielèctric transparent. Suposeu també

que 0Im xk

a) Avalueu el vector de Poynting.

b) Considereu la superposició de dues ones planes linealment polaritzades. Avalueu de nou el vector de

Poynting.

c) Trobeu la component z del vector de Poynting considerant que yy EE 21 .

d) Avalueu la divergència del vector de Poynting obtingut en l’apartat b.

Page 15: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

TREBALLS TUTELTAS D’OPTICA I

Butlletí 2

TT2.1. El camp magnètic d'una ona plana uniforme que es propaga en el buit és

iky4i

0

0 eze2ixi1E

rH

, 6.376000

on E0 es una contant real i 0 la impedància intrínseca del buit.

a) Determineu la direcció i sentit de propagació de l’ona. Si la freqüència és =500 THz. Quant valen la

longitud d’ona i el nombre d’ona?

b) Escriviu l’expressió del camp elèctric.

c) Determineu el tipus de polarització i el sentit de gir dels camps.

d) Escriviu l’expressió del vector de Poynting.

TT2.2. Determineu la matriu de Jones de i) una làmina de quart d’ona d’eix ràpid vertical, i ii) una

làmina de quart d’ona d’eix ràpid horitzontal. A continuació, representeu el vector camp elèctric d’un

estat lineal incident sobre una làmina de quart d’ona que forma un angle de 30º amb l’eix ràpid d’esta.

Descriviu amb detall l’estat de polarització de l’ona emergent.

TT2.3. Considereu un feix de llum polaritzada el·lípticament d’intensitat I0 que incideix normalment

sobre un polaritzador lineal giratori. Calculeu com varia la intensitat I emergent del sistema, en funció

de l’angle que forma el polaritzador amb l’eix X. Passa aquesta intensitat per un valor màxim o mínim?

TT2.4. Siga un dispositiu òptic format per una làmina de quart d’ona, els eixos ràpid i lent del qual

coincideixen, respectivament, amb els eixos OX i OY del sistema d’eixos cartesians de referència,

seguida d’un polaritzador lineal l’eix de transmissió del qual forma un angle amb l’eix OX.

Determineu els valors i vectors propis de la configuració i especifiqueu detalladament els tipus de llum

que representen. Raoneu per què aquestes llums són pròpies del sistema en qüestió.

En una segona part, resoleu les mateixes qüestions que en el paràgraf anterior per a una configuració

semblant en què el polaritzador lineal haja sigut girat 90º respecte de la seua posició original.

Reconeixeu que cada un dels nous vectors propis és ortogonal a un dels de la primera situació.

TT2.5. Analitzeu l’actuació del dispositiu descrit en l’apartat anterior sobre i) llum el·líptica centrada, d’

el·lipticitat , i ii) sobre el seu estat ortogonal.

Repetiu l’anàlisi quan s’afegeix a continuació una làmina retardadora idèntica a la primera però girada

respecte a aquesta 90º. Compareu ambdós resultats.

Finalment, particularitzeu els resultats anteriors al cas en què = /4.

Page 16: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

TT2.6. Es disposa d’una làmina de mitja ona amb les seues línies neutres girades un angle respecte als

eixos cartesians de referència.

a) Avalueu l’efecte que produeix esta làmina sobre la llum polaritzada circularment, tant dextrogira com

levogira. Interpreteu el resultat en termes de llums polaritzades elementals.

b) La làmina anterior se situa entre dues làmines de quart d’ona. L’eix lent de cada una d’aquestes

làmines forma un angle de 45º amb l’eix X. Analitzeu l’efecte que exerceix aquest dispositiu sobre una

llum linealment polaritzada a 0º i a 90º.

c) Comproveu que el dispositiu de l’apartat b es comporta com un retardador amb les seues línies

neutres centrades. Trobeu el valor del desfasament que introdueix.

d) A quin element equivaldria el dispositiu de l’apartat b si les dues làmines de quart d’ona tingueren els

seus eixos lents coincidents amb l’eix X?

TT2.7. Considereu el filtre de polarització dissenyat per Lyot i Öhman, que consisteix en un conjunt de

làmines retardadores compreses entre polaritzadors lineals amb els seus eixos de transmissió paral·lels.

El retard de les làmines segueix una progressió geomètrica, és a dir, , 2, 4, 8, … Totes les làmines

tenen les seues línies neutres orientades a 45º respecte dels eixos de transmissió dels polaritzadors.

a) Trobeu la matriu de Jones d’un sistema compost per N làmines retardadores (i N + 1 polaritzadors).

b) Demostreu que si incideix llum natural amb una intensitat I0, la intensitat emergent d’aquest sistema

es pot escriure com:

0212

12

2sin2

2sinII

N

N

out

Page 17: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

TREBALLS TUTELATS D’OPTICA I

Butlletí 3

TT3.1. La conductivitat d’un material es descriu mitjançant la llei d’Ohm, EJ

. Utilitzant l’equació

rJ

, on Ne és la densitat de càrregues i dtrdr ,

a) Identifiqueu la conductivitat del medi.

b) Demostreu que 0 i és essencialment la susceptibilitat del medi.

c) Com que en un metall les càrregues de conducció no estan lligades, podem considerar 00 , que és

l’anomenat model de Drude. Trobeu la conductivitat nominal (és a dir, en el límit 0 ) i la

freqüència de plasma per al coure, el qual té una densitat de 36 mgr109.8 i un pes atòmic de

molgr54.63 . A més considereu que = 2.05×1013 rad/s. En aquest cas, suposeu un electró de

conducció per àtom i recordeu que el nombre d’Avogadro és molàtom106 23 .

TT3.2. Demostreu que l’índex de refracció d’una mescla de gasos val:

i

iinfn ,

on in és l’índex de refracció de cada un dels gasos i fi la seua concentració fraccional molecular

(nombre de molècules del gas i dividit pel nombre total de molècules).

Com a aplicació, trobeu l’índex de refracció de l’aire per a nm589 a partir dels valors

000272.12On i 000297.1

2Nn corresponents respectivament a l’oxigen i al nitrogen. (Considereu

l’aire com una mescla d’aquests dos gasos amb proporcions respectives del 25% i el 75%).

TT3.3. La susceptibilitat d’un medi és definida a través de EENP local

0 , on E

és el camp

elèctric macroscòpic. El camp local, és a dir, el camp elèctric actuant sobre l’àtom, està donat per

PEElocal

1

03

. Demostreu que

23

322

0

2

0 i

N p ,

segons la teoria de Lorentz, que s’anomena relació de Clausius-Mossotti. A continuació, obteniu la

relació de Lorentz-Lorentz mitjançant l’equació 12 n .

TT3.4. Comproveu que la fórmula de Lorentz-Lorenz satisfà, amb les aproximacions oportunes que cal

establir, la fórmula de Cauchy per a l’índex de refracció de gasos:

211

BAn ,

on A i B són constants a determinar.

Page 18: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

TT3.5. A partir de l’expressió donada pel model clàssic per a la relació de dispersió, trobeu la fórmula

semiempírica de Sellmeier:

i i

iCAn

22

2 ,

vàlida per a medis transparents en les regions espectrals allunyades de les longituds d’ona de

ressonància i.

Com a aplicació, considereu en la regió visible el cas del CaF2, del qual es coneix l’existència de dues

longituds d’ona de ressonància nm2.941 i nm350002 . La primera d’aquestes està associada a

una transició electrònica, mentre que la segona correspon a una transició entre estats de vibració d’ions

F- en la molècula. Trobeu el valor de les constants de la fórmula de Sellmeier en aquest cas. (Ajuda:

eF mm 3470 , on me és la massa de l’electró).

TT3.6. Considereu el següent índex de refracció apropiat per a un medi amb freqüència de ressonància

0 i constant de relaxació [Phys. Rev. A 1 (1970) 305]:

inn

p

0

0 , on

np

En l’equació anterior, n∞ és l’índex de refracció lluny de la freqüència de ressonància i p>0 per a un

medi dissipatiu.

a) Avalueu la velocitat de fase i la velocitat de grup d’un pols l’ample espectral 1/del qual és molt

menor que la constant de relaxació, és a dir, >> 1.

b) Particularitzeu estes expressions quan la freqüència central del pols coincideix amb la freqüència de

ressonància 0 del medi, i trobeu els valors de p per als quals la velocitat de grup pot ser superlumínica

i inclús negativa.

c) Finalment, trobeu la condició que ha de complir el paràmetre p perquè la distància de penetració

1

0 Im

nkd siga molt major que la longitud d’ona 0 en el buit.

TT3.7. És ben conegut que en un dielèctric perfecte, el camp elèctric i magnètic oscil·len en fase.

Considereu ara una ona plana monocromàtica que es propaga en un medi metàl·lic amb una

conductivitat 0 . Trobeu el desfasament del vector camp magnètic respecte al vector camp elèctric, i

demostreu que si 1 es compleix que º45 .

Page 19: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

TREBALLS TUTELATS D’OPTICA I

Butlletí 4

TT4.1. Una ona plana homogènia de freqüència =500THz té un camp

elèctric que s’escriu de la forma:

rkieyizxErE

2

55220

Considereu que aquesta ona es propaga en un medi d’índex de refracció

n1=2 i incideix obliquament sobre una superfície que separa este medi de

l’espai buit (n2=1) tal com es mostra en la figura adjunta.

a) Obteniu el valor dels angles d’incidència i de refracció. A més, escriviu les expressions dels vectors

d’ona de les ones incident, reflectida, i transmesa.

b) Identifiqueu el tipus de polarització de l’ona incident.

c) Obteniu el camp elèctric de l’ona reflectida i transmesa. A més, identifiqueu el tipus de polarització

d’estes ones.

TT4.2. Comproveu que l’angle límit és sempre major que l’angle de Brewster. Trobeu aquests angles

per a dos medis d’índex de refracció 1.33 i 1.75.

TT4.3. Un raig de llum incideix sobre una superfície de separació aire-vidre de manera que l’angle

d’incidència i té un valor doble que l’angle de refracció r. En estes condicions el factor de reflexió R┴

val 0.411.

a) Determineu l’índex de refracció n del vidre respecte l’aire i els angles i i r.

b) Si en compte d’estar en contacte amb l’aire, el dit vidre es troba en contacte amb l’aigua (índex de

refracció na= 1.33 respecte a l’aire) i el raig de llum incideix amb el mateix angle i sobre la superfície de

separació d’ambdós medis, determineu el nou angle de refracció r´ i els factors de reflexió R|| i R┴ en els

dos casos següents:

El raig incideix des de l’aigua amb l’angle d’incidència i.

El raig incideix des del vidre també amb l’angle d’incidència i.

c) Demostreu que per a la superfície de separació aigua-vidre no pot obtenir-se cap angle d’incidència

que valga el doble que l’angle de refracció.

TT4.4. Es disposa d’una làmina planoparal·lela de grossària h i índex n=1.554, submergida en aire, amb

una de les seues cares tallada a 45º. Un raig de llum

circularment polaritzat levogir incideix normalment sobre

aquesta cara d’entrada i es propaga en el seu interior, tal com

mostra la figura. Determineu l’estat de polarització del raig en n = 1.554p/4

z

n1=2 n

2=1

x

zyk

Page 20: Òptica I Problemes resolts - CORE

GRUP A CURS 2012-13

l’interior de la làmina en funció de la coordenada z.

TT4.5. Quina ha de ser l’altura angular del sol sobre l’horitzó perquè la llum reflectida per una

superfície d’aigua (n’=4/3) estiga totalment polaritzada? Quan el sol aconsegueix esta altura, se

submergeix un bloc de vidre, d’índex n=1.6, la superfície plana del qual forma un angle amb

l’horitzontal. Determineu perquè el feix reflectit pel bloc estiga també totalment polaritzat. ¿Pot

emergir de l’aigua este feix?

TT4.6. Siga un prisma òptic d’índex de refracció n i angle de

refringència que es troba immers en aire. A més, un feix de

llum natural incideix sobre la primera cara del prisma amb un

angle 1, el qual coincideix amb l’angle de Brewster, tal com

indica la figura adjunta.

a) Deduïu la condició que han de complir n i perquè el raig que es refracta en la primera cara i es

propaga dins del prisma, incidisca sobre la segona cara també amb un angle de Brewster.

b) Per a un prisma que compleix la hipòtesi anterior, calculeu el grau de polarització de la llum

emergent.

c) Com a aplicació numèrica, particularitzeu els resultats anteriors per a un prisma d’índex de refracció

n=√3.

Page 21: Òptica I Problemes resolts - CORE

Part II

Diapositives amb solucions

Page 22: Òptica I Problemes resolts - CORE
Page 23: Òptica I Problemes resolts - CORE

OP

TIC

A I

Nom

bre crèd

its de p

rob

lemes: 1

.5 E

CT

S

Nom

bre crèd

its de treb

alls tu

telats: 1

.5

EC

TS

Pro

fessor p

rob

lemes: C

arlos J. Z

apata R

odríg

uez

Dep

artamen

t d’Ò

ptica. D

espatx

4307

Tuto

ries: dijo

us (1

0:0

0 a 1

3:0

0)

E-m

ail d

e contacte: carlo

s.zapata@

uv.es

Page 24: Òptica I Problemes resolts - CORE

OP

TIC

A I

Cla

sses de p

rob

lemes / treb

alls tu

telats (1

ho

ra per

setman

a)

A

questes sessio

ns estan

centrad

es en el treb

all d

e

l’estud

ian

t i en la seu

a particip

ació activ

a de fo

rma

indiv

idual o

gru

pal en

la resolu

ció d

e dubtes so

rgits d

e les

classes teorico

pràctiq

ues i serv

iran tam

bé p

er al reforç d

e

concep

tes de m

és dificu

ltat.

A

questes classes estan

destin

ades a la reso

lució

de

pro

blem

es perq

uè s’ex

erciten les ein

es presen

tades en

les

classes teorico

pràctiq

ues.

Page 25: Òptica I Problemes resolts - CORE

OP

TIC

A I

Avalu

ació

con

tínu

a (o

blig

atòria)

Basad

a en la realització

d’u

n co

nju

nt d

e pro

blem

es que

cada alu

mne h

aurà d

e realitzar al llarg d

el quad

rimestre.

L’alu

mne ex

posarà el seu

treball q

uan

siga citat p

el

pro

fessor d

e pro

blem

es (almen

ys 2

veg

ades/q

uad

rimestre)

Aquest treb

all contin

u su

posarà el 4

0%

de la n

ota d

e

pro

blem

es.

Page 26: Òptica I Problemes resolts - CORE

OP

TIC

A I

Page 27: Òptica I Problemes resolts - CORE

OP

TIC

A I

Page 28: Òptica I Problemes resolts - CORE

OP

TIC

A I

PE

ND

EN

T

RE

CU

PE

RA

CIÓ

Page 29: Òptica I Problemes resolts - CORE

PR

OB

LE

ME

S D

’ÒP

TIC

A I

Solu

cion

s del B

utlletí 1

Page 30: Òptica I Problemes resolts - CORE

P1.1

. Un raig

de llu

m m

onocro

màtica p

enetra en

una esfera

hom

ogèn

ia d’ín

dex

n su

bm

ergid

a en aire, am

b an

gle

d’in

cidèn

cia i, i pateix

p reflex

ions p

arcials en el seu

interio

r

aban

s d’eix

ir-ne.

1

p

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 31: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) C

alculeu

la desv

iació d

el raig em

ergen

t en relació

amb el

raig in

ciden

t. 11

sinsin

n

11

1

22

2

22

33

sinsin

n

33

3

Refra

cció #

1

Refra

cció #

2

Reflex

ió #

1

21

21

CI

I

32

32

C

II

31

31

31

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 32: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) C

alculeu

la desv

iació d

el raig em

ergen

t en relació

amb el

raig in

ciden

t.

n

n1

11

1

sinarcsin

sinsin

11

1

2

22

33

3

32

21

11

32

14

2

31

1

p

11

32

11

22

pp

p

1

p

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 33: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) P

er a quin

angle d

’incid

ència, im

, aquesta d

esviació

passa

per u

n ex

trem relatiu

?

11

11

11

cos

cos

sinsin

d

nd

n

01

22

12

21 1

1

11

1

d dp

d dp

p

m i

11

cos

1co

s

p

n

1

22

1

22

1

22

1

22

1

22

1

22

1

22

cos

1co

s1

sinsin

1co

s

cos

1co

s

pn

nn

n

pn

11

1co

s2

2

11

p

n

m i

pn

1

1

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 34: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Calcu

leu im

i la desv

iació co

rresponen

t per a n

= 4

/3 i p

= 1

i

2. A

quest resu

ltat és la base p

er a la justificació

geo

mètrica d

e

la form

ació d

e l’arc iris.

11

1co

s2

2

11

p

n

m i

1

p

2

p

34

n

º39

.59

m

i

º83

.71

m

i

11

12

2

p

p

11

sinsin

n

1

p

2

p

º20

.40

1

º

97

.137

º45

.45

1

º

98

.230

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 35: Òptica I Problemes resolts - CORE

http

://es.wik

iped

ia.org

/wik

i/Arch

ivo:R

ainbo

w_fo

rmatio

n.p

ng

Qüestió

: Hi h

a

algun erro

r en

aquest d

ibu

ix

il·lustratiu

?

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 36: Òptica I Problemes resolts - CORE

http

://teleform

acion.ed

u.a

yto

lacoru

na.es/F

ISIC

A/d

ocu

men

t/fisicaInteractiv

a/colo

r/arcoIris/A

rcoIris.h

tm

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 37: Òptica I Problemes resolts - CORE

http

://es.wik

iped

ia.org

/wik

i/Arch

ivo:S

eattle_D

ouble_

Rain

bo

w.jp

g

AR

C IR

IS D

OB

LE

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 38: Òptica I Problemes resolts - CORE

P1.2

. Consid

ereu u

n esp

ill de cara p

osterio

r, és a dir, u

na

superfície reflecto

ra sobre la q

ual es d

iposita u

na làm

ina

transp

arent d

e cares plan

es i paral·leles. S

i la gro

ssària de la

làmin

a és t i el material tran

sparen

t té un ín

dex

de refracció

n, d

etermin

eu el d

esplaçam

ent ax

ial patit p

er la imatg

e a

causa d

e la presèn

cia d'aq

uesta làm

ina.

13

31

ss

OO

O

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 39: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

el desp

laçamen

t axial p

atit per la im

atge a cau

sa

de la p

resència d

'aqu

esta làmin

a.

01

1

I1

11

sinsin

n

02

2

I2

I3

33

sinsin

n

02

1

03

2

32

21

II

II

31

Ra

igs

para

l·lels

Qüestió

: Què su

cceeix si co

nsid

erem sim

ultàn

iamen

t la

prim

era reflexió

en les d

ues cares d

e la làmin

a transp

arent?

0

t

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 40: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

el desp

laçamen

t axial p

atit per la im

atge a cau

sa

de la p

resència d

'aqu

esta làmin

a.

31

1

n

11

sinsin

3

22

1

s SI

11

tan

1 11

tans SI

ss

1

t II

2tan

31

1

1

1

11

1

1

31

11

3

3

3 33

tan

tan2

tan

tantan

tans

ts

sI

ISI

sSI

Os SI

21

3

2

1

22

1

2

1

11

2

sin

sin1

2tan tan

2

n

n

nt

nt

tO

11

0

t

Qüestió

: Dem

ostreu

la igualtat

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 41: Òptica I Problemes resolts - CORE

P1.3

. Dem

ostreu

que p

er a un m

edi estratificat p

la en q

n =

n(y), les trajectò

ries dels raig

s llum

inoso

s satisfan

l’equació

diferen

cial

on C

és la constan

t de la relació

de B

ouguer.

dy

dn

Cdx

yd

2

22

2

2

1

sinn

C

Ck

nk

nk

kx

00

0sin

cos

Con

servació

de k

x

co

ttan

dx

dy

2 P

roblem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 42: Òptica I Problemes resolts - CORE

És p

ossib

le que u

n raig

descrig

a una trajectò

ria rectilínia en

un m

edi co

m aq

uest?

dy

dn

dy

dn

dy

dC

nC

cos

sin2

sin0

sin2

22

22

22

dy

dn

ndy

d2

22 tan

cot

2 tan

sin 1

sin 1

sin 1co

t2

22

22

2

2

dy

dn

ndx

dy

dy

d

dx

d

dx

yd

dx

dy

dy

dn

Cdy

dn

ndx

yd

2

2

2

22

2

2

2

1

sin2

1

sinn

C

00

2

2

2

dy

dn

dx

yd

Tra

jectò

ries re

ctilín

ies

nom

és a

pare

ixen e

n

mitja

ns h

om

ogenis

(localm

ent)

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 43: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

P1.4

. Consid

ereu u

n m

edi estratificat d

e gro

ssària 2h (reg

II), caracteritzat per u

n ín

dex

de refracció

donat p

er:

i rodejat p

er dos m

edis h

om

ogen

is (regio

ns I i III) d

’índex

n1 =

n3 =

n(±

h). E

n l’o

rigen

de co

ord

enad

es se situa u

na fo

nt

puntu

al que em

et raigs en

tots els an

gles i p

ossib

les cap a

l’exterio

r del m

edi.

2

20

21

L yn

hy

n

P1

C. Z

APA

TA

Page 44: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

a) C

alculeu

la trajectòria d

els raigs.

00co

si

nC

2 20

22

20

22

1L

yn

dy

dn

L yn

n

0co

s 1

2

1

0

22

2

22

2

y

iL

ydy

dn

Cdx

yd

00

y

EQ

UA

CIÓ

DE

LA

TR

AJE

CT

ÒR

IA

00

cos

expco

sexp

iL

xj

Bi

L

xj

Ax

y

00

0

B

Ay

0tan

0i

y

0

0co

ssin

sini

L

xi

Lx

y

Eq

. oscil·la

do

r

harm

òn

ic

P1

C. Z

APA

TA

Page 45: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

a) C

alculeu

la trajectòria d

els raigs.

Tam

bé p

odem

resold

re el pro

blem

a de la m

anera seg

üen

t:

00

y

EQ

UA

CIÓ

DE

LA

TR

AJE

CT

ÒR

IA

0

0co

ssin

sini

L

xi

Lx

y

2

0

2

0

2 22

sinco

s 11

L yi

iy

C n

dx

dy

0

0

02

0

00

00

sinarcsin

cos

sin1

sinco

si

L

xy

iL

iL

y

iL

yd

iL

xx

dx

y dy

xy

xx

yy

Li

Li

2

cos

21

00

Qüestió

: Dem

ostreu

que el p

eríode és:

Eq

. inte

gra

l para

metritz

ad

a

P1

C. Z

APA

TA

Page 46: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

b) Q

uin

a condició

ha d

e com

plir la co

ord

enad

a azimutal i

perq

uè u

n raig

es man

tinga co

nfin

at en la reg

ió II?

2

0

2

0

2 22

sinco

s 11

L yi

iy

C n

dx

dy

min

0m

axsin

0y

iL

yy

Condició

de co

nfin

amen

t:

• Es p

ot o

bten

ir el mateix

resultat u

tilitzant la co

ndició

de g

uiatg

e:

hy

iL

max

0sin

0

220

22

2

20co

s1

in

Ch

nL h

n

2

0

2sin

Lh

i

2

0

21

sinSi

Lh

iL

hi

A

nalitzeu

:

P1

C. Z

APA

TA

Page 47: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

c) Determ

ineu

la zona a trav

es de la q

ual els raig

s pro

ceden

ts

de la fo

nt trav

essen la su

perfície d

e separació

entre les

regio

ns I i II.

22

2

0

2

0

02

0

1co

s0

2sin

arcsinarcsin

1sin

hL

x

Lh

i

iL

h

L h

iL

h

Lh

0

0sin

arcsinco

si

L

hi

Lx

hx

y2

00

i

P1

C. Z

APA

TA

Page 48: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

d) P

articularitzeu

el resultat d

e l’apartat a

per al cas q

ue

l’angle i sig

a petit (ap

roxim

ació p

araxial)

Aquest és u

n co

mportam

ent g

eneral q

uan

2

0

0

0sin

cos

sinsin

iO

L xL

ix

yi

L

xi

Lx

y

2

0 i

2

01

cos

iO

i

2

00

sini

Oi

i

20

22

ny

ny

n

01

2

12

2

22

2

y

Ly

dy

dn

Cdx

yd

ef

2

00

iO

nC

ydy n

d

dy

dn

ydy n

dn

yn

0

2 22

22

0

2 22

20

2

2 1

0

2 11

0

2

20

22

2

dy

nn

d

Lef

ef

efL

xi

Lx

yi

iy

ysin

tan0

,0

00

00

P1

C. Z

APA

TA

Page 49: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

Una altra m

anera d

e resold

re l'apartat d

és consid

erar les

apro

xim

acions seg

üen

ts:

2

01

ln2 1

lnln

L yn

yn

1sin

y

ds

dx

dy

dn

dx

dy

yn

dx d

dy

dn

ds

dy

yn

ds d

dx

ds

00

yn

dx d

ds

dx

yn

ds d

dx

ds

dy

nd

dx

yd

dy

dn

dx

yd

yn

ln2

2

2

2

22

2

L y

dx

yd

L x

Li

xy

sin0

00

y

00

iy

42

22

2

11

ln2

2

L y

L y

L y

Ly L

yy

ndy d

Ly

P1

C. Z

APA

TA

Page 50: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

P1.5

. Consid

ereu u

n m

edi isò

trop caracteritzat p

er un ín

dex

de

refracció am

b sim

etria radial d

e la form

a

Aquest in

strum

ent ò

ptic es d

enom

ina u

ll de p

eix d

e Max

well.

Determ

ineu

la trajectòria d

els raigs q

ue es p

ropag

uen

en aq

uest

med

i i dem

ostreu

que fo

rmen

circum

ferències co

plan

àries amb

l’orig

en d

e coord

enad

es r = 0

.

2

0

1a

r nr

n

P1

C. Z

APA

TA

Page 51: Òptica I Problemes resolts - CORE

P1

C. Z

APA

TA

Page 52: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Els raig

s de llu

m s'h

an d

efinit co

m les trajectò

ries

orto

gonals als fro

nts d

'ona S

(x,y,z)=co

nstan

t. Si r és u

n v

ector

de p

osició

d'u

n p

unt típ

ic en u

n raig

i s la longitu

d d

el raig

mesu

rat des d

'un p

unt fix

en aq

uest, llav

ors

• Aquesta eq

uació

especifica els raig

s per m

itjà de la fu

nció

S, p

erò se’n

pot d

erivar fàcilm

ent u

na eq

uació

diferen

cial què

especifiq

ue els raig

s directam

ent en

termes d

e la funció

d'ín

dex

de refracció

n(r).

Ss

nS

ds r

dn

ˆ

2

2

2 1

2 1n

nS

nS

n SS

ds r

dS

ds d

ds r

dn

ds d

ds r

ds

ˆ

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 53: Òptica I Problemes resolts - CORE

• La fo

rma v

ectorial d

e les equacio

ns d

iferencials d

els raigs

de llu

m és

• En p

articular, en

un m

edi h

om

ogen

i n=

constan

t i aquesta

equació

es redueix

a

Aquesta és u

na eq

uació

vecto

rial d'u

na lín

ia recta en la

direcció

del v

ector a

, que p

assa pel p

unt r=

b. P

er tant, en

un

med

i hom

ogen

i els raigs d

e llum

tenen

la form

a de lín

ies

rectes.

ns

nds d

nds r

dn

ds d

ˆ

bas

rds r

d

02

2

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 54: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Com

un ex

emple d

'un cert in

terès, ara consid

erarem els

raigs en

un m

itjà que té sim

etria esfèrica, és a dir, o

n l'ín

dex

de refracció

dep

èn ú

nicam

ent d

e la distàn

cia r des d

'un p

unt

fix O

.

• Aquest és el cas d

e l'atmosfera terrestre q

uan

la curv

atura

de la terra es té en

com

pte.

• Tots els raig

s són co

rbes p

lanes, situ

ades en

un p

la que

passa p

er l'orig

en.

ds sn

dr

sn

ds r

d

ds

sn

rd

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

sn

ss

nds r

d

ˆ

n

ur

nr

ds sn

dr

rr

sinco

nstan

nr

sn

r

r

nn

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 55: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Atès q

ue r sin

rep

resenta la d

istància d

perp

endicu

lar des

de l'o

rigen

a la tangen

t, aquesta eq

uació

també es p

ot escriu

re

com

• Aquesta relació

es den

om

ina la fó

rmula d

e Bo

uguer i és

l'anàleg

de la fó

rmula b

en co

neg

uda en

din

àmica q

ue

expressa la co

nserv

ació d

el mom

ent an

gular d

'una p

artícula

que es m

ou so

ta l'acció d

'una fo

rça central.

constan

tsin

nd

nr

22

22

1co

ssin

rn

cc

nr

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 56: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Per o

bten

ir una ex

pressió

explícita p

er als raigs en

un m

edi

estratificat de sim

etria esfèrica, record

em q

ue:

• L'eq

uació

dels raig

s en u

n m

edi am

b sim

etria esfèrica, per

tant, es p

ot escriu

re en la fo

rma

dr

rd

tan

r

r+d

r

dr=

sds

dr

r∙d

22

2

tan

cr

nr

c

rdr

d

rr

dr

cr

nr

c

0

22

20 P

roblem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 57: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Un ex

emple sen

zill i interessan

t és el coneg

ut co

m l’u

ll de

peix

, presen

tat per u

n m

edi am

b l'ín

dex

de refracció

• Reso

lem les eq

uacio

ns d

els raigs.

2

0

1a

r nr

n

rr

dr

cr

nr

c

0

22

20a r

0an c

K

0

22

22

2

0

1 1d

K

K

Secció

transv

ersal de la len

t d'u

ll de p

eix

de M

axw

ell amb

un o

mb

reig b

lau q

ue

represen

ta un m

ajor ín

dex

de refracció

(Font: W

ikip

edia)

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 58: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Pot d

emostrar-se q

ue

• L'eq

uació

polar d

els raigs és

0

20

2

2

20

1

41

arcsin1

41

arcsinK

K

K

K

22

22

22

21 1

1

41

arcsin

K

K

K

K

d d

1

41

sin1

41

arcsin2

20

20

20

K

K

K

K

ar a

r

cn

a

c2

2

220

24

sin

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 59: Òptica I Problemes resolts - CORE

• La fam

ília del p

aràmetre

dels raig

s a través d

'un p

unt fix

P0 (r

0 ,0 ) v

e donat p

er

00

220

22

sinsin

r

ar

r

ar

• Tots els raig

s pro

ceden

ts d'u

n p

unt

arbitrari P

0 es reuneix

en en

un p

unt

P1 (r

1 ,1 ) en

la línia q

ue u

neix

P0 a O

:

• Cad

a raig in

terseca el cercle r=a

en

punts d

iametralm

ent o

posats.

22 a

r

01

0

2

1r

ar

00

nr

n

20

na

rn

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 60: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Per o

bten

ir l'equació

dels raig

s en co

ord

enad

es cartesianes,

posem

:

• Conclu

sió: C

ad

a ra

ig és u

n cercle.

sin

cos

ry

rx

2

22

220

24

sinco

sa

yx

cn

aa

cx

y

220

24

21

cn

aa

c

b

2

22

sinco

s2

ay

xx

yb

22

22

cos

sinb

ab

yb

x

ar a

r

cn

a

c2

2

220

24

sin

20

0an

c

tan&

0x

yb

c

ar

ban

c

&

02

0

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 61: Òptica I Problemes resolts - CORE

P1.6

. Consid

ereu u

n m

edi isò

trop caracteritzat ò

pticam

ent p

er

un ín

dex

de la fo

rma . D

etermin

eu el tem

ps

que em

pra u

n raig

llum

inós a an

ar de A

(0, 0

) a C(L

, 2L

) en els

casos seg

üen

ts:

a) S

i va p

rimer d

e A a B

(L, L

) i desp

rés de B

a C, am

bdós

recorreg

uts en

línia recta.

b) S

i va d

e A a C

en lín

ia recta.

c) Si realitza el reco

rregut al llarg

de la co

rba co

ntin

guda en

el

pla z =

0 (p

er a )

02

cos

cos

sin0

2

0

0

L yL

Lx

40

Ly

nn

21

20

2

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 62: Òptica I Problemes resolts - CORE

Prim

er estudiem

la trajectòria q

ue p

rendria el raig

per an

ar

de A

(0, 0

) a C(L

, 2L

).

00sin

nC

20

220

22

21

nL

dy

dn

nL y

n

0

2

0

2

2sin 1

2

10

L

dy

dn

Cy

x

20

2 10

0x

yx

yy

xy

00

y

00

cot

2tan

0

y

EQ

UA

CIO

PA

RA

LIC

A D

E L

A T

RA

JE

CT

ÒR

IA

2 2

L x

L x

L y

L xx

xy

2

40

8

97

6.

0,

4sin

42

sin1

00

2

0

Pro

blem

es

Com

pro

veu q

ue la trajectò

ria parab

òlica p

assa

per C

si:

P1

C. Z

APA

TA

Page 63: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) S

i va p

rimer d

e A a B

(L, L

) i desp

rés de B

a C, am

bdós

recorreg

uts en

línia recta.

BC

AB

AC

LL

L

1

L x

L x

L y

Ln

dy

L yn

nds

L

LBA

AB

0

0

03 1

32

21

2

dx

dy

xx

y

dy

dy

dx

ds

22

2

Ln

dy

L yn

nds

L

LL

CB

BC

0

2

03

3

55

21

0

dx

Lx

dy

ds

cL

t

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 64: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) S

i va d

e A a C

en lín

ia recta.

Ln

dy

L yn

nds

L

LCA

AC

0

20

06

525

21

2 5

dx

dy

xx

y2

2

d

ydy

dx

ds

25

22

L x

L y2

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 65: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Si realitza el reco

rregut al llarg

de la co

rba:

Ln

dx

L x

L xn

nd

sL

LCA

AC

0

0

2

2

03 8

22

21

2

202

220

22

22

12

1n

L x

L xn

L yn

L xx

xy

dx

L x

L xdy

dx

ds

2 22

22

21

2

dx

L xdy

21

2 2

L x

L x

L y

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 66: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Si realitza el reco

rregut al llarg

de la co

rba:

Ln

dy

L y L y

nnds

L

LCA

AC

0

20

03 8

2

41

21

2

L yL

Lx

L xx

xy

41

22

2

dy

L y L y

dy

dx

ds

41

42

22

dy

L ydx

41

1

2 2

L x

L x

L y

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 67: Òptica I Problemes resolts - CORE

Resu

m:

Ln

LA

C0

3 82

Ln

Ln

LA

C0

03

3

55

3 13

2

cL

nt

AC

0973

.3

cL

nt

AC

0794

.3

Ln

LA

C0

6

525

cL

nt

AC

0771

.3

Conclu

sió: E

l

temps em

prat és

men

or p

er a la

trajectòria

parab

òlica.

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 68: Òptica I Problemes resolts - CORE

P1.7

. Determ

ineu

l’equació

de la su

perfície reflecto

ra que

focalitza estig

màticam

ent u

n feix

de raig

s paral·lels en

un

punt situ

at a una d

istància d

del v

èrtex d

e la superfície.

Reso

leu el p

roblem

a aplican

t:

a) la llei d

e la reflexió

tan

xy

x

dy

dy

xF

P

2

2tan

,

tan

2

1tan

2co

t2

2tan

2

y

y

x

dy

2

12

d xy

d yy

2

2

d xx

y4

2

PA

BO

LA

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 69: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) la co

ndició

d’estig

matism

e (constàn

cia del cam

í òptic

recorreg

ut)

d xx

y4

2

d

OF

FO

L2

0

2

2y

dx

yd

PF

QP

L

0L

L

0

d

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 70: Òptica I Problemes resolts - CORE

L’ap

roxim

ació p

araxial:

2 Rd

dy

x

,

2

22

RR

yx

E

SF

ER

A

CE

NT

RA

DA

EN

C

Ry

Ry

Ry

RR

y2

22

22

2

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 71: Òptica I Problemes resolts - CORE

P1.8

. Determ

ineu

analíticam

ent i g

ràficamen

t, la posició

i la

natu

ralesa de les im

atges p

roporcio

nad

es per u

na len

t prim

a

subm

ergid

a en aire, tan

t per a o

bjectes reals co

m v

irtuals.

Consid

ereu tan

t el cas d’u

na len

t converg

ent co

m el d

’una

lent d

iverg

ent.

fa

a

11

1

EQ

UA

CIÓ

DE

CO

NJU

GA

CIÓ

DE

GA

US

S

0

f Len

t

converg

ent

0

f Len

t

div

ergen

t

0

a

Objecte

real 0

a

Objecte

virtu

al

0

a Im

atge

real 0

a Imatg

e

virtu

al

HO

a

OH

a

FH

f

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 72: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

P1.8

. Determ

ineu

analíticam

ent i g

ràficamen

t, la posició

i la

natu

ralesa de les im

atges p

roporcio

nad

es per u

na len

t prim

a

subm

ergid

a en aire, tan

t per a o

bjectes reals co

m v

irtuals.

Consid

ereu tan

t el cas d’u

na len

t converg

ent co

m el d

’una

lent d

iverg

ent.

P1

C. Z

APA

TA

Page 73: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

P1.8

. Determ

ineu

analíticam

ent i g

ràficamen

t, la posició

i la

natu

ralesa de les im

atges p

roporcio

nad

es per u

na len

t prim

a

subm

ergid

a en aire, tan

t per a o

bjectes reals co

m v

irtuals.

Consid

ereu tan

t el cas d’u

na len

t converg

ent co

m el d

’una

lent d

iverg

ent.

P1

C. Z

APA

TA

Page 74: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

P1.1

1. T

robeu

l’expressió

del cam

p asso

ciat a una o

na

cilíndrica i a u

na o

na esfèrica co

m a so

lucio

ns d

e l’equació

d’o

nes.

P1

C. Z

APA

TA

Page 75: Òptica I Problemes resolts - CORE

P1

C. Z

APA

TA

Page 76: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Les d

ues p

rimeres eq

uacio

ns d

e Max

well en

form

a

diferen

cial són eq

uacio

ns d

iferencials d

e prim

er ord

re

acoblad

es.

• En g

eneral, és m

olt d

esitjable d

esacoblar aq

uestes

equacio

ns. A

ixò p

ot aco

nseg

uir-se a co

sta d'au

gm

entar l'o

rdre

de les eq

uacio

ns d

iferencials d

e segon o

rdre.

• Suposan

t un m

edi h

om

ogen

i, es pot escriu

re que

t HM

Ei

t EE

JH

i

Ht

ME

Et H

ME

ii

2

2

22

t E

t E

t JM

qE

qE

ii

EQ

UA

CIÓ

D’O

NE

S V

EC

TO

RIA

L

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 77: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Suposan

t un m

edi h

om

ogen

i, es pot escriu

re que

• Per a u

n m

edi lliu

re de fo

nts, les eq

uacio

ns d

'ona só

n

E

tE

JH

Hi

2

2

22

0t H

t H

t MM

JH

Hi

ii

V

EC

TO

R W

AV

E E

QU

AT

ION

2

22

t HH

2

22

t EE

ME

DI S

EN

SE

RD

UE

S

2

22

t H

t HH

2

22

t E

t EE

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 78: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Per a cam

ps h

armònics en

el temps [v

ariacions en

el temps

de la fo

rma ex

p(-iw

t)], les equacio

ns d

'ona p

oden

ser creades

usan

t

• La co

nstan

t de p

ropag

ació és k. L

a part real d

e k és la

constan

t de fase i la p

art imag

inària d

e k és la constan

t

d'aten

uació

.

02

22

22

w

w

w

w

E

kE

Ei

EE

iE

w

w

i

k2

2

EQ

UA

CIÓ

D’O

NE

S D

E H

EL

MH

OL

TZ

EQ

UA

CIÓ

DE

DIS

PE

RS

02

2

Hk

H

Pro

blem

es

EQ

UA

CIÓ

D’O

NE

S D

E H

EL

MH

OL

TZ

P1

C. Z

APA

TA

Page 79: Òptica I Problemes resolts - CORE

• En aq

uesta secció

es dem

ostra el m

ètode d

e la separació

de

variab

les que p

ot ser u

tilitzat per a reso

ldre l'eq

uació

escalar

de H

elmholtz.

• En co

ord

enad

es rectangulars, es p

ot escriu

re una so

lució

gen

eral per a E

com

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 80: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Utilitzan

t el mèto

de d

e separació

de les v

ariables,

• La su

ma d

els tres prim

ers termes p

ot ser ig

ual a -b

2 nom

és

si cada term

e és constan

t.

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 81: Òptica I Problemes resolts - CORE

• La su

ma d

els tres prim

ers termes p

ot ser ig

ual a -b

2 nom

és

si cada term

e és constan

t.

• A m

és, bx , b

y i bz es co

neix

en co

m les co

nstan

ts (o n

om

bre)

d’o

na en

la direcció

x, y, z, respectiv

amen

t.

• Alg

unes so

lucio

ns v

àlides típ

ics serien

CO

ND

ICIÓ

DE

LL

IGA

DU

RA

ON

ES

VIA

TG

ER

ES

O

NE

S E

ST

AC

ION

ÀR

IES

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 82: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 83: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Consid

erem en

prim

er lloc la so

lució

de E

per a u

n m

edi

lliure d

e fonts i sen

se pèrd

ues.

• L'eq

uació

per a E

z és una eq

uació

en d

erivad

es parcials d

e

segon o

rdre:

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 84: Òptica I Problemes resolts - CORE

BE

SS

EL

DIF

FE

RE

NT

IAL

EQ

UA

TIO

N

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 85: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Les fu

ncio

ns d

e Bessel d

e prim

era i segona classe, J

m(b

) i

Ym

(b

), s'utilitzen

per a rep

resentar les o

nes estacio

nàries,

men

tre que les fu

ncio

ns d

e Han

kel d

e prim

era i segona classe,

H(1

)m(b

) i H

(2)m

(b

), represen

ten les o

nes q

ue v

iatgen

.

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 86: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 87: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Suposem

que l'esp

ai en q

uè els cam

ps elèctrics i m

agnètics

han

de ser reso

lts està lliure d

e fonts i n

o té p

èrdues.

• Les tres eq

uacio

ns escalars d

iferencials p

arcials estan

acoblad

es. No o

bstan

t això, so

lucio

ns T

Er i T

Mr h

an d

e

satisfer l'equació

d'o

na escalar:

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 88: Òptica I Problemes resolts - CORE

EQ

UA

CIÓ

DIF

ER

EN

CIA

L

DE

LE

GE

ND

RE

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 89: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Les fu

ncio

ns d

e Bessel esfèriq

ues d

e prim

era i segona

classe, jn (br) i y

m(b

r), s'utilitzen

per a rep

resentar les o

nes

estacionàries, m

entre q

ue les fu

ncio

ns d

e Han

kel esfèriq

ues

de p

rimera i seg

ona classe, h

(1)n (b

r) i h(2

)n (br), rep

resenten

les

ones q

ue v

iatgen

.

• Pn

m(co

s) i Q

nm

(cos

) són

les fun

cion

s de L

egen

dre a

ssocia

des

de p

rimera

i segon

a cla

sse, respectiv

amen

t.

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 90: Òptica I Problemes resolts - CORE

RM

UL

A D

E R

OD

RIG

UE

S

Pro

blem

es P

1

C. Z

APA

TA

Page 91: Òptica I Problemes resolts - CORE

PR

OB

LE

ME

S D

’ÒP

TIC

A I

Solu

cion

s del B

utlletí 2

Page 92: Òptica I Problemes resolts - CORE

P2.1

. Calcu

leu la m

atriu d

e Jones asso

ciada a u

na làm

ina

retardad

ora, am

b les seu

es línies n

eutres cen

trades, q

ue

intro

dueix

un d

esfasamen

t en

la com

ponen

t Y. R

esoleu

el

mateix

cas quan

es gira l’elem

ent an

terior u

n an

gle

.

1

01 0

exp0

10 1

exp,

0*

22

*00

i

PP

iP

PR

co

ssin

cos

sinexp

sinco

ssin

cos

exp,

*

22

*i

PP

iP

PR

i

Rexp

0

01

,0

MIN

A R

ET

AR

DA

DO

RA

EIX

PID

VE

RT

ICA

L

2

2

22

sinco

sexp

cos

sinexp

1

cos

sinexp

1sin

expco

s,

ii

ii

RL

ÀM

INA

RE

TA

RD

AD

OR

A

EIX

PID

GIR

AT

Q

Pro

blem

es P

2

C. Z

APA

TA

Page 93: Òptica I Problemes resolts - CORE

Reso

leu el m

ateix cas q

uan

es gira l’elem

ent an

terior u

n

angle

.

*

22

*exp

,

PP

iP

PR

*

22

*00

exp,

0

P

Pi

PP

R

co

ssin

sinco

s*

22

*

0P

PP

PR

co

ssin

sinco

s*

22

*0P

PP

PR

MA

TR

IUS

DE

RO

TA

CIÓ

DE

L

SIS

TE

MA

DE

RE

FE

NC

IA

RR

RR

,0

,

Mèto

de 2

n:

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 94: Òptica I Problemes resolts - CORE

Se situ

a la làmin

a retardad

ora an

terior en

tre dos p

olaritzad

ors

lineals en

creuats, d

e man

era que les lín

ies neu

tres de la

làmin

a form

en u

n an

gle

amb els eix

os d

e transm

issió

d’am

bdós p

olaritzad

ors. C

alculeu

la inten

sitat emerg

ent d

el

disp

ositiu

si s’il·lum

ina n

orm

almen

t amb u

n feix

paral·lel d

e

llum

natu

ral d’in

tensitat I

0 .

1r E

LE

ME

NT

2n

EL

EM

EN

T

3r E

LE

ME

NT

*00

0P

PP

*

22

*exp

,

PP

iP

PR

*

22

2

P

PP

LL

UM

EM

ER

GE

NT

L

LU

M E

ME

RG

EN

T

00

12

PI

12

,

R

2

32

P

sin

expco

s2

20

2i

PP

I

22

*

2

*

20

3sin

expco

s2

P

iP

PP

PI

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 95: Òptica I Problemes resolts - CORE

Calcu

leu la in

tensitat em

ergen

t del d

ispositiu

si s’il·lum

ina

norm

almen

t amb u

n feix

paral·lel d

e llum

natu

ral d’in

tensitat

I0 . S

ota q

uin

es condicio

ns la in

tensitat an

terior és m

àxim

a?

Conclu

sió: L

a inten

sitat és màx

ima q

uan

la làmin

a

retardad

ora és d

e mitja o

na (ro

tor) i es co

l·loca a

20

20

3co

ssin

exp

12

cos

sinex

pco

ssin

2

Pi

IP

iI

20

32

exp

2sin

2sin

2

Pi

Ii

2

sin2

sin2

22

0

II

22

22

20

max

II

º45

00

12

PI

20

22

PI

22

03

2

P

I

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 96: Òptica I Problemes resolts - CORE

P2.2

. Es d

isposa d

’un sistem

a form

at per l’aco

blam

ent d

e

dues làm

ines d

e mitja o

na am

b els seu

s eixos len

ts form

ant

entre si u

n an

gle b

.

a) C

alculeu

la matriu

de Jo

nes q

ue caracteritza aq

uest

disp

ositiu

.

2co

s2

sin

2sin

2co

s

cos

sinco

ssin

2

cos

sin2

sinco

s,

22

22

R

*

22

**

22

*exp

exp,

,

b

b

b

b

b

P

Pi

PP

PP

iP

PR

RM

*

22

*

2

*

2

*co

ssin

sinco

s

b

b

b

b

b

b

b

b

P

PP

PP

PP

PM

Pro

blem

es

NO

TA

: TR

AC

TA

ME

NT

MA

TE

TIC

PO

C A

VA

NT

AT

JÓS

b

b

b

b

b

2co

s2

sin

2sin

2co

s

2co

s2

sin

2sin

2co

s,

,R

RM

**

2exp

2exp

2co

s2

sin

2sin

2co

sR

Ri

LL

iM

b

b

bb

b

b

C. Z

APA

TA

P

2

Page 97: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) C

alculeu

la matriu

de Jo

nes q

ue caracteritza aq

uest

disp

ositiu

.

*

22

2

*02

*

2

*02

cos 2

sin

2sin

2co

s

2co

s2

sin

2sin

2co

s,

P

PP

PP

PR

22

sin

2co

s,

PP

R

b

b

b

b

22

22

,,

,P

PP

RP

RR

PM

PO

LA

RIT

ZA

CIÓ

LIN

EA

L

AM

B R

OT

AC

IÓ 2

b

PO

LA

RIT

ZA

CIÓ

LIN

EA

L

SIM

ÈT

RIC

A R

ES

PE

CT

E A

L’E

IX

LE

NT

DE

L R

ET

AR

DA

DO

R

Pro

blem

es

sin2

cos

cos

2sin

sin2

sinco

s2

cos

sin

cos

2co

s2

sin

2sin

2co

s,

PR

co

ssin

sinco

s*

22

*0P

PP

PR

MA

TR

IU D

E

RO

TA

CIÓ

C. Z

APA

TA

P

2

Page 98: Òptica I Problemes resolts - CORE

**

2exp

2exp

RR

iL

Li

Mb

b

b) S

e situa ara el d

ispositiu

anterio

r entre d

os p

olaritzad

ors

lineals am

b el seu

s eixos d

e transm

issió p

erpen

dicu

lars entre

si. Calcu

leu la in

tensitat em

ergen

t d’aq

uest d

ispositiu

quan

s’il·lum

ina n

orm

almen

t amb u

n feix

col·lim

at de llu

m n

atural

d’in

tensitat I

0 .

1r E

LE

ME

NT

2n

EL

EM

EN

T

3r E

LE

ME

NT

*00

0P

PP

*

22

2

P

PP

LL

UM

EM

ER

GE

NT

L

LU

M E

ME

RG

EN

T

00

12

PI

12

M

23

2

P

b

2

00

02

22

PI

PM

I

20

20

32

sin2

22

cos

2

b

b

PI

PI

1r M

ÈT

OD

E

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 99: Òptica I Problemes resolts - CORE

13

2

M

P

**

2exp

2exp

RR

iL

Li

Mb

b

b) S

e situa ara el d

ispositiu

anterio

r entre d

os p

olaritzad

ors

lineals am

b el seu

s eixos d

e transm

issió p

erpen

dicu

lars entre

si. Calcu

leu la in

tensitat em

ergen

t d’aq

uest d

ispositiu

quan

s’il·lum

ina n

orm

almen

t amb u

n feix

col·lim

at de llu

m n

atural

d’in

tensitat I

0 .

1r E

LE

ME

NT

2n

EL

EM

EN

T

3r E

LE

ME

NT

*00

0P

PP

*

22

2

P

PP

LL

UM

EM

ER

GE

NT

L

LU

M E

ME

RG

EN

T

0 1

22

00

01

IP

I

b

bb

bb

b

b

1 0

2sin

22

cos

2sin

00

2co

s2

sin

2sin

2co

s

10

00

20

3I

MP

b

2

sin2

20

33

II

2n

TO

DE

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 100: Òptica I Problemes resolts - CORE

P2.3

. Sig

a un d

ispositiu

òptic q

ue es p

retén caracteritzar. L

a

seua acció

sobre q

ualsev

ol llu

m lin

ealmen

t polaritzad

a és

únicam

ent g

irar el seu p

la de p

olarització

un an

gle , sen

se

cap altre can

vi en

el seu estat d

e polarització

o en

la seua

inten

sitat. Aquest fen

om

en es d

enom

ina a

ctivitat ò

ptica

o

poder ro

tato

ri. A p

artir d’aq

uest fet,

a) C

alculeu

la matriu

de Jo

nes d

el disp

ositiu

.

b) O

bten

iu els v

alors i v

ectors p

ropis d

’aquesta m

atriu, i

interp

reteu-lo

s en fu

nció

de llu

ms p

olaritzad

es elemen

tals.

PP

M2

1

12

*

22

*0

22

0

PP

PP

MP

MP

PM

P

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 101: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) C

alculeu

la matriu

de Jo

nes d

el disp

ositiu

.

Conclu

sió: C

om

és lògic, la m

atriu d

e Jones co

incid

eix am

b

la matriu

de ro

tació R

(-)

*

22

*0

P

PP

PM

co

ssin

sinco

s1

0co

s

sin0

1sin

cos

M

P

PM

sin

cos

sinco

sco

ssin

sinsin

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sinco

s

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 102: Òptica I Problemes resolts - CORE

0sin

cos

0co

ssin

sinco

s2

2

b) O

bten

iu els v

alors i v

ectors p

ropis d

’aquesta m

atriu, i

interp

reteu-lo

s en fu

nció

de llu

ms p

olaritzad

es elemen

tals.

0det

I

MM

iexp

1co

sco

s0

1co

s2

22

y x

y xi

Mexp

cos

sin

sinco

s

xy

xx

xy

xi

ii

sin

cos

expsin

cos

ii

x

y x

1

2 11

1

R L

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 103: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) O

bten

iu els v

alors i v

ectors p

ropis d

’aquesta m

atriu, i

interp

reteu-lo

s en fu

nció

de llu

ms p

olaritzad

es elemen

tals.

oC

om

hem

vist, la m

atriu M

coin

cideix

amb la m

atriu d

e

rotació

R(-).

oA

çò p

rovoca u

na ro

tació d

e l'el·lipse d

e polarització

, sense

modificar el d

esfasamen

t entre les d

ues co

mponen

ts

prin

cipals.

oF

inalm

ent, aq

uesta ro

tació n

o afecta (ex

cepte u

n facto

r de

fase) estats amb sim

etria circular, co

m só

n l'estat L

i l'estat

R, els q

uals co

nstitu

eixen

els estats pro

pis d

el sistema.

**

expexp

LL

iR

Ri

M

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 104: Òptica I Problemes resolts - CORE

P2.4

. Hi h

a substàn

cies que ab

sorb

eixen

de fo

rma d

iferent la

llum

polaritzad

a circularm

ent d

extro

gira, R

, o lev

ogira, L

,

(dicro

isme circu

lar). Calcu

leu la m

atriu d

e Jones asso

ciada a

una su

bstàn

cia d’aq

uest tip

us, la tran

smitàn

cia en am

plitu

d

del q

ual és p

R i pL , p

er a llum

R i L

, respectiv

amen

t.

i

i

pi

i

pL

Lp

RR

pD

LR

LR

11

21

1

2

**

22

22

1

1

21

1

2L

RL

R

LR

LR

LR

pp

pp

i

pp

ip

p

i

ip

i

ip

D

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 105: Òptica I Problemes resolts - CORE

Efecte so

bre llu

m lin

ealmen

t polaritzad

a:

Conclu

sió: L

'acció d

'aquestes su

bstàn

cies sobre llu

m

linealm

ent p

olaritzad

a és la de tran

sform

ar aquesta en

llum

el·lípticam

ent p

olaritzad

a, dex

trogira si p

R > p

L , on l'eix

majo

r

coin

cideix

amb el p

la de p

olarització

de la llu

m en

trant.

22

2

P

pp

iP

pp

PD

LR

LR

ou

t

co

s

sin

2sin

cos

2sin

2co

s2

sin2

cos

2L

RL

R

LR

LR

LR

LR

ou

t

pp

ip

p

pp

pp

i

pp

ip

p

PD

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 106: Òptica I Problemes resolts - CORE

Altres ex

emples:

En el cas q

ue am

bdós co

eficients d

'abso

rció co

incid

isquen

,

l'elemen

t òptic es co

nverteix

en u

n filtre g

ris.

1

1

2 1

1 0

i

iD

p p

L R

1

1

2 1

0 1

i

iD

p p

L R

It

t

tD

tp

tp

L R

0

0

PO

LA

RIT

ZA

DO

R C

IRC

UL

AR

LE

VO

GIR

P

OL

AR

ITZ

AD

OR

CIR

CU

LA

R D

EX

TR

OG

IR

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 107: Òptica I Problemes resolts - CORE

P2.5

. Consid

ereu u

na o

na lin

ealmen

t polaritzad

a en u

na

atmosfera d

’electrons la d

ensitat d

e la qual és 1

012 m

-3. En la

direcció

de p

ropag

ació s’ap

lica un cam

p m

agnètic

d’in

tensitat B

0 = 0

.5 1

0-4 w

eber/m

2. Obten

iu u

na ex

pressió

que rep

resente el can

vi d

’estat de p

olarització

per lo

ngitu

d

d’o

na en

la direcció

de p

ropag

ació.

ikzt

iE

E

w

exp

0

12

11

2 22

1

w

ck

22

20

2

20

2

0

2

11

cm

eN

ww

w

w

w

w

22

20

20

2

12

c

c

m

eN

ww

w

w

ww

AT

MO

SF

ER

A

D'E

LE

CT

RO

NS

LL

IUR

ES

z

ikL

EL

Eo

ut

in

exp

00

in

out

z=0

z>0

z

ikR

ER

Eo

ut

in

exp

00

B0

Pro

blem

es

P2.3

C. Z

APA

TA

P

2

Page 108: Òptica I Problemes resolts - CORE

Obten

iu u

na ex

pressió

que rep

resente el can

vi d

’estat de

polarització

per lo

ngitu

d d

’ona en

la direcció

de p

ropag

ació.

*

22

*0

**

exp

exp

P

PP

PL

Li

RR

iM

z

ikL

EL

Eo

ut

in

exp0

0

z

ikR

ER

Eo

ut

in

exp0

0

inout

A

*

**

*ex

pex

pex

pex

pex

pL

Li

RR

ii

LL

zik

RR

zik

A

zk

kz

2

M

iA

exp

P3.3

Conclu

sió: U

n estat P

gira el seu

pla d

e

polarització

un an

gle

-

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 109: Òptica I Problemes resolts - CORE

Obten

iu u

na ex

pressió

que rep

resente el can

vi d

’estat de

polarització

per lo

ngitu

d d

’ona en

la direcció

de p

ropag

ació.

Exem

ple n

um

èric:

22

210

22

20

2

20

221

11

0

cc

w

w

w

w

w

w

w

w

ww

w

11

22

210

22

20

2

211

20

w w

w

w

w

w w

w

w

w

w

ww

w

w

c

c

c

c

c

ms

Bm

ec

c214

10

79

.8

16

0

w

C

e1

910

6022

.1

mF

12

010

8542

.8

kg

m3

110

1094

.9

m

sm

Ne

4.33

10

64

.5

1

17

10

221

w

w

w

w

w

2

4

12

16

221

11

11

510

06

.1

10

59

.3

10

98

.2

8.632

s

nm

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

2

Page 110: Òptica I Problemes resolts - CORE

Obten

iu u

na ex

pressió

que rep

resente el can

vi d

’estat de

polarització

per lo

ngitu

d d

’ona en

la direcció

de p

ropag

ació.

En la io

nosfera, la rad

iació d

el visib

le és pràcticam

ent

lum

ínica i n

o sen

t l'efecte del cam

p m

agnètic terrestre.

Per a aix

ò es n

ecessiten cam

ps m

agnètics m

és inten

sos:

2

2 22

w

nc

k1

21

112

11

12

11

n

11

5

010

98

.2

8.632

w

sB

me

nm

cc

TB

3

010

9.16

zn

n

cz

2

w

2

2 2112

22

w

w ww

w

w

w

zz

cz

cz

cc

zc

z

w

2

111

c

2

1

Pro

blem

es

25

10

3.5

2

mm

kmm

m12

10

1192

2

C. Z

APA

TA

P

2

Page 111: Òptica I Problemes resolts - CORE

PR

OB

LE

ME

S D

’ÒP

TIC

A I

Solu

cion

s del B

utlletí 3

Page 112: Òptica I Problemes resolts - CORE

P3.1

. Dem

ostreu

que ex

isteix u

na relació

no lo

cal entre el

vecto

r desp

laçamen

t D i el cam

p elèctric E

,

on

és la transfo

rmad

a de F

ourier d

e la suscep

tibilitat

característica d

el med

i. A m

és, el prin

cipi d

e causalitat

requereix

que D

(t) en u

n d

etermin

at instan

t t dep

enga d

el

camp E

(t) en tem

ps an

teriors i, p

er tant, G

(t)=0 si t <

0.

Dem

ostreu

açò u

tilitzant el m

odel d

e Loren

tz per a

w.

Pro

blem

es

tt

t

dt

EG

tE

tD

0

0

ww

t

w

td

iG

exp

2 1

P3

C. Z

APA

TA

Page 113: Òptica I Problemes resolts - CORE

C. Z

APA

TA

P

3

Page 114: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Una altra co

nseq

üèn

cia de la d

epen

dèn

cia espectral d

e (w)

és la connex

ió n

o lo

cal en el d

om

ini tem

poral en

tre el vecto

r

desp

laçamen

t D(x

, t) i el camp elèctric E

(x, t):

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 115: Òptica I Problemes resolts - CORE

w

w

ww

t

it

td

ti

dt

exp

,ex

p2 1

,x

Ex

D

tt

t

wt

w

w

t

t

i

dt

dt

exp

,2 1

,x

Ex

D

t

tt

wt

w

w

tt

Fd

ti

dF

,,

exp

2 1x

Ex

D

w

t

ww

t

t

id

Fex

p2 1

0

10

• Una altra co

nseq

üèn

cia de la d

epen

dèn

cia espectral d

e (w)

és la connex

ió n

o lo

cal en el d

om

ini tem

poral en

tre el vecto

r

desp

laçamen

t D(x

, t) i el camp elèctric E

(x, t):

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 116: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Si (w

) és indep

enden

t de w

, llavors G

(t) (t) i s'o

bté la

connex

ió in

stantàn

ia, però

si (w) can

via am

b w

, G(t) n

o

s'anul·la p

er a valo

rs de t d

iferents d

e zero.

t

t

tG

F0

• Aquestes eq

uacio

ns p

roporcio

nen

una co

nnex

ió n

o lo

cal

entre D

i E, en

la qual D

en u

n tem

ps t d

epèn

del cam

p

elèctric en tem

ps d

iferents d

e t

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 117: Òptica I Problemes resolts - CORE

A m

és, el prin

cipi d

e causalitat req

uereix

que D

(t) en u

n

determ

inat in

stant t d

epen

ga d

el camp E

(t) en tem

ps an

teriors

i, per tan

t, F(t) =

0 si t <

0. D

emostreu

açò u

tilitzant el

model d

e Loren

tz per a

w.

Els p

ols d

e l'integ

rand es tro

ben

tots en

la meitat in

ferior d

el

pla co

mplex

:

L’in

tegran

d és an

alític tant en

la meitat su

perio

r (Im w

> 0

)

com

en l’eix

real.

Pro

blem

es

w

w

w

w

w

22

20

2

i

p

ww

w

w

wt

w

ww

t

w

td

i

id

iG

p

2

exp

2ex

p2 1

220

2

0

220

0si

;w

w

w

0

220

2w

w

w

ww

w

w

w

w

ii

C. Z

APA

TA

P

3

Page 118: Òptica I Problemes resolts - CORE

Dem

ostreu

que F

(t) = 0

si t < 0

utilitzan

t el model d

e

Loren

tz per a

w.

Ara co

nsid

erem u

n co

nto

rn d

’integ

ració d

es de –

R

cap a R

i també al llarg

d’u

n sem

icercle en la

meitat su

perio

r del p

la, el qual està cen

trat a

l’orig

en i té u

n rad

i R.

Alesh

ores aq

uesta in

tegració

de co

nto

rn d

óna zero

si t < 0

.

Pro

blem

es

02

exp

2

exp

2

exp

220

220

220

w

w

w

w

wt

ww

w

w

wt

ww

w

w

wt

C

RR

di

id

i

id

i

i

1Im

exp

exp

0&

0Im

t

w

wt

t

w

i

02

exp

lim0

2

exp

lim2

20

220

w

w

w

w

wt

w

w

w

w

wt

RRR

CR

di

id

i

i

Re(w

Im(w

-R

R

C+

C. Z

APA

TA

P

3

Page 119: Òptica I Problemes resolts - CORE

Avalu

eu F

(t) si t > 0

utilitzan

t el model d

e Loren

tz per a

w.

Ara co

nsid

erem u

n co

nto

rn d

’integ

ració d

es de –

R

cap a R

i també al llarg

d’u

n sem

icercle en la

meitat in

ferior d

el pla. P

roblem

es

w

ww

w

w

wt

ww

w

w

wt

Res

22

exp

2

exp

220

220

id

i

id

i

i

C

RR

1Im

exp

exp

0&

0Im

t

w

wt

t

w

i

w

w

w

w

w

wt

w

w

w

w

wt

Res

22

exp

lim0

2

exp

lim2

20

220

id

i

id

i

iRR

RC

R

Re(w

Im(w

-R

R

C-

0w

w

i

o

oi

i

i

i

w

tw

t

w

w

tw

w

w

w

wt

w

w

w

w

w

2 ex

pex

pex

p

2

exp

limR

es2

20

w

w

w

w

w

w

w

2

220

i

0

0

2

exp

exp

Res

w

tw

t

w

i

C. Z

APA

TA

P

3

Page 120: Òptica I Problemes resolts - CORE

Avalu

eu F

(t) si t > 0

utilitzan

t el model d

e Loren

tz per a

w

.

Pro

blem

es

w

w

w

w

w

wt

R

es2

2

exp

lim2

20

id

i

iRR

R

w

tw

t

w

tw

t

ww

w

w

wt

0

0

220

2

exp

exp

2 exp

exp

22

exp

ii

id

i

i

o

o

t

tw

w

ww

w

w

wt

exp

sin2

2

exp

220

o

o

di

i

t

tw

w w

ww

w

w

wt

w

t

exp

sin2

exp

2

2

220

2

o

o pp

di

iG

t

tw

w w

t

wex

psin

2

0 22

o

o p

pG

m Ne

C. Z

APA

TA

P

3

Page 121: Òptica I Problemes resolts - CORE

P3.2

. Consid

ereu el m

odel d

’un àto

m en

el qual l’electró

es

troba llig

at per m

itjà d’u

n p

oten

cial d’o

scil·lador h

armònic d

e

tipus an

isòtro

p, i q

ue té asso

ciades freq

üèn

cies prò

pies

d’o

scil·lació, w

x , wy i w

z diferen

ts en les d

ireccions X

, Y i Z

,

respectiv

amen

t. Suposeu

ara que u

na o

na electro

mag

nètica

plan

a de freq

üèn

cia w es p

ropag

a en el si d

’un m

aterial form

at

per aq

uest tip

us d

’àtom

s. Am

b les h

ipòtesis d

e la teoria

clàssica de l’ín

dex

de refracció

:

a) D

emostreu

que el v

ector d

esplaçam

ent elèctric

es pot escriu

re com

, on és u

na m

atriu

diag

onal 3

×3. A

més, o

bten

iu u

na ex

pressió

dels elem

ents

d’aq

uesta.

b) C

onsid

ereu ara q

ue l’o

na in

ciden

t es pro

pag

a en d

irecció d

e

l’eix Z

. Dem

ostreu

que els electro

ns d

e cada àto

m n

o v

ibren

en la d

irecció d

el camp in

ciden

t.

Pro

blem

es

PE

εD

0

E

εD

w

0

w

C. Z

APA

TA

P

3

Page 122: Òptica I Problemes resolts - CORE

Em e

rr

Em e

zz

Em e

yy

Em e

xx

EeF

zz

yy

xx

w

w

w

w

20

2 2 2

00

200

2

0

0exp

expE

m er

rx

kit

ir

r

xki

ti

EE

w

w

w

w

Pro

blem

es

a) D

emostreu

que el v

ector d

esplaçam

ent elèctric

es pot escriu

re com

, on és u

na m

atriu

diag

onal 3

×3. A

més, o

bten

iu u

na ex

pressió

dels elem

ents

d’aq

uesta.

PE

εD

0

E

εD

w

0

w

w

w

w

w

z

y

x

00

00

00

0

C. Z

APA

TA

P

3

Page 123: Òptica I Problemes resolts - CORE

00

00

00

0

0 0

exp

expr

Ne

PE

εD

xki

ti

DD

xki

ti

PP

rN

eP

w

w

w

w

w

w

w

w

z y x

z

y

x

E E E

m e

z y x

0 0 0

22

22

22

0 0 0

10

0

01

0

00

1

Pro

blem

es

a) D

emostreu

que el v

ector d

esplaçam

ent elèctric

es pot escriu

re com

, on és u

na m

atriu

diag

onal 3

×3. A

més, o

bten

iu u

na ex

pressió

dels elem

ents

d’aq

uesta.

PE

εD

0

E

εD

w

0

w

C. Z

APA

TA

P

3

Page 124: Òptica I Problemes resolts - CORE

w

w

w

w

w

w

z y x

z

y

x

z y x

E E E

m Ne

m Ne

m Ne

D D D

0 0 0

22

2

0

22

2

0

22

2

0

0 0 0

10

0

01

0

00

1

w0

ε

Pro

blem

es

a) D

emostreu

que el v

ector d

esplaçam

ent elèctric

es pot escriu

re com

, on és u

na m

atriu

diag

onal 3

×3. A

més, o

bten

iu u

na ex

pressió

dels elem

ents

d’aq

uesta.

PE

εD

0

E

εD

w

0

w

C. Z

APA

TA

P

3

Page 125: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) C

onsid

ereu ara q

ue l’o

na in

ciden

t es pro

pag

a en d

irecció

de l’eix

Z. D

emostreu

que els electro

ns d

e cada àto

m n

o

vib

ren en

la direcció

del cam

p in

ciden

t.

Pro

blem

es

w

w

w

w

zik

ti

rr

zik

ti

PP

zik

ti

DD

zik

ti

EE

10

10

10

10exp

exp

exp

exp

PE

cE

tt

2

0

2

2

1

2

00

1c

xP

xE

cx

Ez

ikz

ikx

xx

ˆˆ

ˆˆ

ˆ0

2

00

2 2

01

1w

w

w

w

w

2

2

0 2

2 221

11

xm N

e

ck

x

x

xE

m Ne

P0

22

2

0

1

w

w

P

LA

DE

PO

LA

RIT

ZA

CIÓ

XZ

rE

||

xx

r

xP

P

xD

D

x xˆ ˆ ˆ

00

00

00

xE

E

zk

k

ˆ00

1

C. Z

APA

TA

P

3

Page 126: Òptica I Problemes resolts - CORE

w

w

w

w

zik

ti

rr

zik

ti

PP

zik

ti

DD

zik

ti

EE

20

20

20

20exp

exp

exp

exp

PE

cE

tt

2

0

2

2

1

2

00

1c

yP

yE

cy

Ez

ikz

iky

yy

ˆˆ

ˆˆ

ˆ0

2

00

2 2

02

2w

w

w

w

w

2

2

0 2

2 222

11

ym N

e

ck

y

y

yE

m Ne

P0

22

2

0

1

w

w

rE

||

yy

r

yP

P

yD

D

y yˆ ˆ ˆ

00

00

00

yE

E

zk

k

ˆ00

2

b) C

onsid

ereu ara q

ue l’o

na in

ciden

t es pro

pag

a en d

irecció

de l’eix

Z. D

emostreu

que els electro

ns d

e cada àto

m n

o

vib

ren en

la direcció

del cam

p in

ciden

t.

Pro

blem

es

PL

A D

E

PO

LA

RIT

ZA

CIÓ

YZ

C. Z

APA

TA

P

3

Page 127: Òptica I Problemes resolts - CORE

z

ikt

iz

kk

iEy

ExE

zik

ti

Eyz

ikt

iEx

E

yx

yx

11

20

0

20

10

expexp

ˆˆ

expˆ

expˆ

w

w

w

z

ikt

iz

kk

iPy

PxP

yx

11

20

0exp

expˆ

ˆ

w

Ex

EE

cos

00

Ey

EE

sin0

0

cos

00

PP

x

sin

00

PP

y

E

y x

x y

y x

x y

y

y

x

xy

xE E

P PE

E

m Ne

PP

w

w

w

w

w

w

w

w

w

ww

w

tantan

,,

22

22

0 0

22

22

0 0

22

0

22

0

2

00

b) C

onsid

ereu ara q

ue l’o

na in

ciden

t es pro

pag

a en d

irecció

de l’eix

Z. D

emostreu

que els electro

ns d

e cada àto

m n

o

vib

ren en

la direcció

del cam

p in

ciden

t.

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 128: Òptica I Problemes resolts - CORE

P3.3

. Consid

ereu u

n m

edi d

ielèctric, hom

ogen

i i isòtro

p,

sotm

ès a l’acció d

’un cam

p m

agnètic u

nifo

rme i estacio

nari

en la d

irecció d

e l’eix Z

, i en el q

ual es p

ropag

a una o

na

monocro

màtica d

e freqüèn

cia w. F

ent ú

s del m

odel d

e

Loren

tz de l’o

scil·lador electrò

nic d

e freqüèn

cia prò

pia w

0 i

neg

ligin

t, per sim

plificar, el term

e d’am

ortim

ent:

a) T

rob

eu l’eq

uació

de m

ovim

ent d

e l’electró.

b) S

uposan

t que els electro

ns d

el med

i oscil·len

a la mateix

a

freqüèn

cia que el cam

p d

e l’ona p

lana, d

emostreu

que la

polarització

del m

edi p

ot ex

pressar-se p

er mitjà d

’una

suscep

tibilitat elèctrica co

mplex

a.

c) Consid

ereu ara q

ue l’o

na p

lana q

ue es p

ropag

a en el m

edi,

ho fa en

la direcció

de l’eix

Z. D

emostreu

que en

aquest cas

l’ona p

lana està n

ecessàriamen

t polaritzad

a circularm

ent.

B

E

P

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 129: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) T

robeu

l’equació

de m

ovim

ent d

e l’electró.

Analitzem

el cas en q

uè n

o h

i ha cam

p m

agnètic ex

tern.

Les am

plitu

ds E

i B estan

relacionad

es a través d

e la velo

citat

de fase d

e l'ona p

lana.

B

rm e

Em e

rr

Br

eEe

F

w

20

x

kit

iE

kB

xki

ti

EE

BE

t

w

w

w

ex

pex

p0

0

fv E

B

E

m er

rEe

Fv r

f

w

20

1

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 130: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) T

robeu

l’equació

de m

ovim

ent d

e l’electró.

Si in

cloem

un cam

p m

agnètic ex

tern:

z

rB

m eE

m er

rz

reB

EeF

ˆˆ

0

200

w

EQ

UA

CIÓ

DE

MO

VIM

EN

T

zB

0

xyyx

zzz

yyxx

zr

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

yB

m et

iE

m ex

xx

00

20ex

p

w

w

xB

m et

iE

m ey

yy

00

20ex

p

w

w

t

iE

m ez

zz

w

w

ex

p0

20

zE

yE

xE

Ez

yx

ˆˆ

ˆ0

00

0

Pro

blem

es

1

xk

C. Z

APA

TA

P

3

Page 131: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) S

uposan

t que els electro

ns d

el med

i oscil·len

a la mateix

a

freqüèn

cia que el cam

p d

e l’ona p

lana, d

emostreu

que la

polarització

del m

edi p

ot ex

pressar-se p

er mitjà d

’una

suscep

tibilitat elèctrica co

mplex

a.

E

P

00

00

200

2y

Bm e

iE

m ex

xx

w

w

w

00

00

200

2x

Bm e

iE

m ey

yy

w

w

w

zE

m ez

z0

0

200

2

w

w

EQ

UA

CIÓ

DE

MO

VIM

EN

T

zE

me

z0

20

20

w

w

w

ww

w

w

w

y x

E E

m e

y x

Bm e

i

Bm e

i

0 0

0 0

20

2

0

0

20

2

Pro

blem

es

z

ri

Bm e

Em e

rr

ti

rr

ˆex

p0

00

0

200

2

0

w

w

w

w

C. Z

APA

TA

P

3

Page 132: Òptica I Problemes resolts - CORE

w

ww

w

ww

w

w

y x

c

c

E E

m e

y x

i

i

0 0

0 0

20

2

20

2

0B

m ec

w Fre

èn

cia

de c

iclo

tró

10

01

22

CA

AiC

iCA

AiC

iCA

cC

ww

20

2w

w

A

w

ww

w

ww

w

w

ww

w

w

y x

c

c

cE E

i

i

m e

y x

0 0

20

2

20

2

0 02

220

2

b) S

uposan

t que els electro

ns d

el med

i oscil·len

a la mateix

a

freqüèn

cia que el cam

p d

e l’ona p

lana, d

emostreu

que la

polarització

del m

edi p

ot ex

pressar-se p

er mitjà d

’una

suscep

tibilitat elèctrica co

mplex

a.

E

P

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 133: Òptica I Problemes resolts - CORE

w

w

ww

w

w

w

w

ww

w

w

ww

ww

w

w

ww

ww

w

w

w

w

z y x

cc

c

c

c

c

E E Ei

i

m e

z y x

0 0 0

20

2

22

20

2

20

2

22

20

2

22

20

22

220

2

20

2

0 0 0

10

0

0 0

00

0

00

00

00

exp

Er

Ne

rN

eP

EP

ti

PP

w

b) S

uposan

t que els electro

ns d

el med

i oscil·len

a la mateix

a

freqüèn

cia que el cam

p d

e l’ona p

lana, d

emostreu

que la

polarització

del m

edi p

ot ex

pressar-se p

er mitjà d

’una

suscep

tibilitat elèctrica co

mplex

a.

E

P

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 134: Òptica I Problemes resolts - CORE

w

w

ww

w

w

w

w

ww

w

w

ww

ww

w

w

ww

ww

w

w

w

w

20

2

22

20

2

20

2

22

20

2

22

20

22

220

2

20

2

0

2

10

0

0 0

cc

c

c

c

c

i

i

m

eN

b) S

uposan

t que els electro

ns d

el med

i oscil·len

a la mateix

a

freqüèn

cia que el cam

p d

e l’ona p

lana, d

emostreu

que la

polarització

del m

edi p

ot ex

pressar-se p

er mitjà d

’una

suscep

tibilitat elèctrica co

mplex

a.

E

P

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 135: Òptica I Problemes resolts - CORE

33

11

12

12

11

00

0 0

i

i

22

20

2

20

22

11

c

p

ww

w

w

w

ww

22

20

2

2

12

c

cp

ww

w

w

ww

w

20

2

2

33

w

w

w

p

Conclu

sió: E

l med

i és isòtro

p

nom

és quan

el camp elèctric

de l'o

na p

lana és p

aral·lel al

camp m

agnètic estàtic.

m

Ne

p

0

22

w

b) S

uposan

t que els electro

ns d

el med

i oscil·len

a la mateix

a

freqüèn

cia que el cam

p d

e l’ona p

lana, d

emostreu

que la

polarització

del m

edi p

ot ex

pressar-se p

er mitjà d

’una

suscep

tibilitat elèctrica co

mplex

a.

E

P

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 136: Òptica I Problemes resolts - CORE

3

333

22

12

11

11

12

11

uu

uu

uu

Conclu

sió: Q

uan

E ┴

B, llav

ors el cam

p elèctric

E és p

roporcio

nal a P

si el seu estat d

e

polarització

és circular.

00

0

1E

P

33

11

12

12

11

00

0 0

i

i

0 12 1

1

i

u

0 12 1

2

i

u

1 0 0

3u

LL

UM

CIR

CU

LA

RM

EN

T

PO

LA

RIT

ZA

DA

LE

VO

GIR

A

LL

UM

CIR

CU

LA

RM

EN

T

PO

LA

RIT

ZA

DA

DE

XT

RO

GIR

A

LL

UM

LIN

EA

LM

EN

T

PO

LA

RIT

ZA

DA

b) S

uposan

t que els electro

ns d

el med

i oscil·len

a la mateix

a

freqüèn

cia que el cam

p d

e l’ona p

lana, d

emostreu

que la

polarització

del m

edi p

ot ex

pressar-se p

er mitjà d

’una

suscep

tibilitat elèctrica co

mplex

a.

E

P

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 137: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Consid

ereu ara q

ue l’o

na p

lana q

ue es p

ropag

a en el m

edi,

ho fa en

la direcció

de l’eix

Z. D

emostreu

que en

aquest cas

l’ona p

lana està n

ecessàriamen

t polaritzad

a circularm

ent.

PE

cE

tt

2

0

2

2

1

0

2

00

2 2

0

0 0exp

expP

Ec

Eki

kix

kit

iP

P

xki

ti

EE

w

w

w

w

02 2

02 2

0

2

0

0

2

00

00

0E

cE

cE

kE

kk

Ek

Ek

kE

kk

EP

w

w

00

2

1

c

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 138: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Consid

ereu ara q

ue l’o

na p

lana q

ue es p

ropag

a en el m

edi,

ho fa en

la direcció

de l’eix

Z. D

emostreu

que en

aquest cas

l’ona p

lana està n

ecessàriamen

t polaritzad

a circularm

ent.

00

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

10

0

01

0

00

1

EEI

zz

yy

xx

I

0

0

2

2

2

2

2

2

11

Ek

kEJ

kk

kk

kk

kk

k

kk

kk

k

kk

kk

k

kJ

zz

yz

x

zy

yy

x

zx

yx

x

00

2 2

2 22

2

02 2

02 2

0

2

0

2

w

w

w

w

Ec

Ic

Ik

Jk

Ec

EIc

EIk

EJk

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 139: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Consid

ereu ara q

ue l’o

na p

lana q

ue es p

ropag

a en el m

edi,

ho fa en

la direcció

de l’eix

Z. D

emostreu

que en

aquest cas

l’ona p

lana està n

ecessàriamen

t polaritzad

a circularm

ent.

00

ˆ0

0

00

w

zz

Ek

B

HB

zkk

00

00

00

00

0

z

PE

D

zz

DP

zE

zz

ˆ

10

0

00

0

00

0

0

2

02 2

2 22

Ek

EI

cc

Jk

w

w

EQ

UA

CIÓ

DE

VA

LO

RS

PR

OP

IS

0

2

02 2

00

Ek

EI

cE

J

w

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 140: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Consid

ereu ara q

ue l’o

na p

lana q

ue es p

ropag

a en el m

edi,

ho fa en

la direcció

de l’eix

Z. D

emostreu

que en

aquest cas

l’ona p

lana està n

ecessàriamen

t polaritzad

a circularm

ent.

Conclu

sió: O

nes am

b p

olarització

circular lev

ogira i

dex

trogira es p

ropag

uen

amb v

elocitats d

e fase diferen

ts.

w

w

11

12

2 2

12

11

2 22

nc

ck

w

y x

y x

E Ek

E E

i

i

c0 0

2

0 0

11

12

12

11

2 2

1

1

w0

2

02 2

Ek

EI

c

i

EE

1

2 00

i

EE

1

2 00

Pola

ritz

ació

circ

ula

r desx

trogir

a

Pola

ritz

ació

circ

ula

r levogir

a

Pro

blem

es C

. ZA

PA

TA

P

3

Page 141: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Consid

ereu ara q

ue l’o

na p

lana q

ue es p

ropag

a en el m

edi,

ho fa en

la direcció

de l’eix

Z. D

emostreu

que en

aquest cas

l’ona p

lana està n

ecessàriamen

t polaritzad

a circularm

ent.

Conclu

sió: E

n els p

lasmes, les o

nes am

b p

olarització

circular

dex

trogira n

o es p

ropag

uen

a freqüèn

cies baix

es.

Pro

blem

es

2 2

22

2

11

22

c p

c

pc

w w

w

w

w

w

w

11

11

2

22 2

12

22

w w

w

w w

w

w

w

ww

w

w

c

c

p

c

cp

c

w0

20

12

11

21

1

n

12

2

n

C. Z

APA

TA

P

3

Page 142: Òptica I Problemes resolts - CORE

PR

OB

LE

ME

S D

’ÒP

TIC

A I

Solu

cion

s del B

utlletí 4

Page 143: Òptica I Problemes resolts - CORE

P4.1

. Com

pro

veu

que els an

gles azim

utals d

e les com

ponen

ts

transm

esa T i reflectid

a R satisfan

les equacio

ns:

sent

I i T els an

gles d

’incid

ència i refracció

i I l’an

gle

azimutal d

e la radiació

incid

ent.

Pro

blem

es

I I

inI

sin

cos

0

||

IT

IT

M TE

TT

E

TM

trt t

t t

tanco

stan

||

||

T

I

IT

TE

t

sin

cos

sin2

T

IT

I

IT

TM

t

co

ssin

cos

sin2

I

TI

TI

R

tanco

s

cos

tan

I

TI

T

tan

cos

tan

P4

C. Z

APA

TA

Page 144: Òptica I Problemes resolts - CORE

I

TI

TI

R

tanco

s

cos

tan

I

TI

T

tan

cos

tan

I I

inI

sin

cos

0

||

I

TI

TI

I

TI

TI

TI

TI

TM TE

RT

E

TM

refr r

r r

tanco

s

cos

tansin

tan

tansin

tan||

||

T

I

TI

TE

r

sin

sin

TI

TI

TM

r

tan

tan

Pro

blem

es

Com

pro

veu

que els an

gles azim

utals d

e les com

ponen

ts

transm

esa T i reflectid

a R satisfan

les equacio

ns:

sent

I i T els an

gles d

’incid

ència i refracció

i I l’an

gle

azimutal d

e la radiació

incid

ent.

P4

C. Z

APA

TA

Page 145: Òptica I Problemes resolts - CORE

Dem

ostreu

que en

la reflexió

el camp elèctric s’allu

nya d

el

pla d

’incid

ència i q

ue en

la refracció s’h

i acosta.

T

I

TI

I R

cos

cos

tan

tan

IT

IT

TI

I T

tan

tan1

cos

tan

tan

2

TI

2

TI

IR

I R

1

tan

tan

IR

I R

1

tan

tan

TI

TI

cos

cos

I

T

Pro

blem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 146: Òptica I Problemes resolts - CORE

P4.2

. Un feix

pla d

e llum

monocro

màtica lin

ealmen

t

polaritzad

a és desv

iat per u

n ro

mboed

re de reflex

ió to

tal

d’ín

dex

n =

1.5

54, co

m s’in

dica en

la figura. D

escriviu

l’efecte del d

ispositiu

sobre cad

a una d

e les com

ponen

ts del

camp.

sin

cos

0

||I

in

ME

DI 1

ME

DI 2

ME

DI 1

i

tt

tr

rt

tr

rt

TE

TE

TE

TE

TM

TM

TM

TM

ou

tex

p

||

21

12

12

21

21

21

||12

21

21

21

12

12

12

78

31

.0

1

0t

nt

tT

ET

M

21

21

21

217

.1

1 2º

0t

n nt

tT

ET

M

2

21

2

21

exp

TM TE

r ri

Pro

blem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 147: Òptica I Problemes resolts - CORE

Descriv

iu l’efecte d

el disp

ositiu

sobre cad

a una d

e les

com

ponen

ts del cam

p.

ME

DI 1

ME

DI 2

ME

DI 1

4ex

p7

85

9.

0ex

pco

sco

s

cos

cos

12

12

21

ii

n nr

TE

25718

.1

exp

exp

2

21

2

21

i

r ri

TM TE

455

.0

cos

441

.0

2sin

sin1

45

12

2

i in

2

exp

57

18

.1

exp

cos

cos

cos

cos

12

12

21

ii

n nr

TM

4sin

1sin

cos

2tan

2

2

2

2

2

2

n DE

SF

AS

AM

EN

T T

OT

AL

DE

SF

AS

AM

EN

T E

N

CA

DA

RE

FL

EX

IO

Pro

blem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 148: Òptica I Problemes resolts - CORE

Obten

iu la m

atriu d

e Jones q

ue caracteritza el d

ispositiu

.

Si el p

la de v

ibració

de la llu

m in

ciden

t

form

a un an

gle d

e 45º am

b el p

la

d’in

cidèn

cia, descriv

iu am

b d

etall l’estat de

polarització

de la rad

iació q

ue em

ergeix

del

rom

bo

edre.

ii

R0

01

exp

0

01

,0

2

1 1

2 04

0

4I

PI

in

1953

.0

21

12

tt

LI

i

Iou

t0

01

2

Pro

blem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 149: Òptica I Problemes resolts - CORE

P4.3

. Un raig

de llu

m n

atural q

uasim

onocro

màtica in

cideix

,

amb an

gle

1 , sobre u

na esfera d

ielèctrica hom

ogèn

ia d’ín

dex

de refracció

n su

bm

ergid

a en aire, i p

ateix u

na ú

nica reflex

parcial en

el seu in

terior ab

ans d

’emerg

ir d’aq

uella.

11

sinsin

n

11

1

22

2

22

33

sinsin

n

33

3

Refra

cció #

1

Refra

cció #

2

Refle

xió

#1

21

21

CI

I

32

32

C

II

31

31

31

Pro

blem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 150: Òptica I Problemes resolts - CORE

Obten

iu u

na ex

pressió

per al g

rau d

e polarització

V d

el raig

emerg

ent en

funció

dels an

gles d

’incid

ència

1 i refracció ´

1 .

ME

DI 1

ME

DI 2

||

in2

0||

0I

Iin

in

TE

TE

TE

TM

TM

TM

ou

tt

rt

tr

t

12

21

21

||12

21

21

01 1

12 2

||

in in

inin

V

1

11

1

11

12

cos

sin

cos

sin2

T

Mt

1

1

11

21

tan

tan

TM

r

1

11

1

11

21

cos

sin

cos

sin2

T

Mt

1

1

11

12

sin

cos

sin2

T

Et

1

1

11

21

sin

sin

T

Er

1

1

11

21

sin

cos

sin2

T

Et P

roblem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 151: Òptica I Problemes resolts - CORE

ME

DI 1

ME

DI 2

||

in2

0||

0I

Iin

in

TE

TE

TE

TM

TM

TM

ou

tt

rt

tr

t

12

21

21

||12

21

21

01 1

12 2

||

in in

inin

V

1

1

3

11

12

21

21

||12

21

21

cos

cos

TE

TE

TE

TM

TM

TM

ou

tt

rt

tr

t

2 2

1 1

ou

t

ou

to

ut

V

Pro

blem

es

Obten

iu u

na ex

pressió

per al g

rau d

e polarització

V d

el raig

emerg

ent en

funció

dels an

gles d

’incid

ència

1 i refracció ´

1 .

P4

C. Z

APA

TA

Page 152: Òptica I Problemes resolts - CORE

Fin

almen

t, calculeu

l’angle d

’incid

ència p

er al qual el raig

de

llum

emerg

ent està to

talmen

t polaritzat en

el cas d’u

na esfera

d’aig

ua (n

= 4

/3). R

aoneu

la resposta.

20

cos

cos

11

1

11

3

11

o

ut

ou

tV

Conclu

sió: S

i el feix in

cideix

amb

l’angle d

e Brew

ster, la com

ponen

t

TM

no

es reflecteix en

el punt I

2 . En

eixir d

el punt I

3 , el feix es tro

ba

linealm

ent p

olaritzat (T

E p

ur).

º13

.53

arctan1

n

B

º39

.59

m

i

º20

.40

1

925

.0

200

.0

ou

to

ut

V

AR

C IR

IS A

PR

OX

.

LIN

EA

LM

EN

T P

OL

AR

ITZ

AT

Pro

blem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 153: Òptica I Problemes resolts - CORE

P4.4

. Rep

resenteu

gràficam

ent la d

epen

dèn

cia de la

reflectància i el d

esfasamen

t amb l’an

gle d

’incid

ència so

bre

una su

perfície p

lana en

el cas d’u

na o

na m

onocro

màtica d

e

longitu

d d

’ona

= 5

00 n

m q

ue es p

ropag

a en el esp

ai lliure i

incid

eix so

bre p

lata (n =

0.0

5 –

i 2.8

7).

Pro

blem

es

21

21

12

cos

cos

cos

cos

n nr

TE

21

2

21

2

21

21

12

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

nn

nn

n nr

TM

2

1

2

1

22

2

22

2

2

2

2sin

sinsin

sin1

cos

ni

nn

nn

n

21

sinsin

n

P4

C. Z

APA

TA

Page 154: Òptica I Problemes resolts - CORE

P4.4

. Rep

resenteu

gràficam

ent la d

epen

dèn

cia de la

reflectància i el d

esfasamen

t amb l’an

gle d

’incid

ència so

bre

una su

perfície p

lana en

el cas d’u

na o

na m

onocro

màtica d

e

longitu

d d

’ona

= 5

00 n

m q

ue es p

ropag

a en el esp

ai lliure i

incid

eix so

bre p

lata (n =

0.0

5 –

i 2.8

7).

Pro

blem

es

TE

TE

in n

r

exp

cos

cos

cos

cos

21

21

12

TM

TM

in

n

nn

r

exp

cos

cos

cos

cos

21

2

21

2

12

2

1

2

2sin

cos

ni

n

24

887

22

.-

n.

-in

Ag

Neg

ligin

t pèrd

ues d

el meta

ll

1

2

1

2

cos

sin

2tan

nT

E

1

2

2

1

2cos

sin

2tan

n

nT

E

112

12

TM

TE

rr

P4

C. Z

APA

TA

Page 155: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

24

82

.-

nA

g

1

2

1

2

cos

sintan

nT

E

1

2

2

1

2cos

sintan

n

nT

E

11

21

2

T

MT

Er

r

0.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

rads

1

TE

TM

Neg

ligin

t pèrd

ues d

el

meta

ll

P4

C. Z

APA

TA

P4.4

. Rep

resenteu

gràficam

ent la d

epen

dèn

cia de la

reflectància i el d

esfasamen

t amb l’an

gle d

’incid

ència so

bre

una su

perfície p

lana en

el cas d’u

na o

na m

onocro

màtica d

e

longitu

d d

’ona

= 5

00 n

m q

ue es p

ropag

a en el esp

ai lliure i

incid

eix so

bre p

lata (n =

0.0

5 –

i 2.8

7).

Page 156: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

1

2

1

2

cos

sintan

nT

E

1

2

2

1

2cos

sintan

n

nT

E

0.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

rads

1

TE

TM

Neg

ligin

t pèrd

ues d

el

meta

ll

rads

1

)(

)(

TM

TE

º72

1

23

P4

C. Z

APA

TA

P4.4

. Rep

resenteu

gràficam

ent la d

epen

dèn

cia de la

reflectància i el d

esfasamen

t amb l’an

gle d

’incid

ència so

bre

una su

perfície p

lana en

el cas d’u

na o

na m

onocro

màtica d

e

longitu

d d

’ona

= 5

00 n

m q

ue es p

ropag

a en el esp

ai lliure i

incid

eix so

bre p

lata (n =

0.0

5 –

i 2.8

7).

Page 157: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pro

blem

es

TE

TM

TE

TE

TE

ir

n nr

exp

cos

cos

cos

cos

21

21

12

i.

-n

Ag

29

.0

23

82

0.0

0.5

1.0

1.5

0.9

65

0.9

70

0.9

75

0.9

80

0.9

85

0.9

90

0.9

95

1.0

00

2

1

2

2sin

cos

ni

n

TE

TM

rads

1

rads

1

2r

Con

sidera

nt p

èrdu

es

del m

etall

P4

C. Z

APA

TA

P4.4

. Rep

resenteu

gràficam

ent la d

epen

dèn

cia de la

reflectància i el d

esfasamen

t amb l’an

gle d

’incid

ència so

bre

una su

perfície p

lana en

el cas d’u

na o

na m

onocro

màtica d

e

longitu

d d

’ona

= 5

00 n

m q

ue es p

ropag

a en el esp

ai lliure i

incid

eix so

bre p

lata (n =

0.0

5 –

i 2.8

7).

Page 158: Òptica I Problemes resolts - CORE

P4

C. Z

APA

TA

Page 159: Òptica I Problemes resolts - CORE

P4.5

. Consid

ereu u

n cam

p elèctric d

e la form

a

a) D

eriveu

l’expressió

del cam

p m

agnètic H

.

b) C

onsid

erant q

ue el m

edi és tran

sparen

t (k és real), mostreu

que la p

otèn

cia transm

esa al llarg d

e l’eix O

Z es p

ot escriu

re

com

c) Deriv

eu el flu

x d

e potèn

cia al llarg d

e l’eix O

Z en

un m

edi

dissip

atiu am

b u

na k co

mplex

a. Mostreu

que la p

otèn

cia no

és la sum

a algeb

raica de la p

otèn

cia transp

ortad

a per les o

nes

indiv

iduals.

Pro

blem

es

ti

ikzt

iikz

eB

eA

tr

Ew

w

,

w

22

2B

Ak

Sz

P4

C. Z

APA

TA

Page 160: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) D

eriveu

l’expressió

del cam

p m

agnètic H

.

Pro

blem

es

t EH

w

k

ti

ikzt

iikz

eB

eA

tr

Ew

w

,

t

iikz

ti

ikze

De

Ct

rH

w

w

,

ti

ikzt

iikz

ti

ikzt

iikz

eB

ie

Ai

eD

zik

eC

zik

w

w

w

w

w

w

ˆˆ

Az

kC

zz

w

ˆ

ˆˆ

Bz

kD

zz

w

ˆˆ

ˆ

Cz

zC

Cz

zC

zz

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

Az

C

ˆ1

Bz

D

ˆ

1

P4

C. Z

APA

TA

Page 161: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) C

onsid

erant q

ue el m

edi és tran

sparen

t (k es real), mostreu

que la p

otèn

cia transm

esa al llarg d

e l’eix O

Z es p

ot escriu

re

com

Pro

blem

es

ti

ikzt

iikz

eB

eA

tr

Ew

w

,

t

iikz

ti

ikze

De

Ct

rH

w

w

,

Az

C

ˆ1

Bz

D

ˆ

1

z

kk

iz

kk

iz

kk

iz

kk

ie

DB

eC

Be

DA

eC

AH

E*

**

**

**

**

kzi

ke

AB

iB

Az

HE

2*

22

real*

Im2

ˆ

2

2*

2 ˆR

e2 1

BA

zH

ES

z

kk

iz

kk

iz

kk

iz

kk

ie

BB

eB

Ae

AB

eA

Az

HE

**

**

**

**

*

P4

C. Z

APA

TA

Page 162: Òptica I Problemes resolts - CORE

z

kk

iz

kk

iz

kk

iz

kk

ie

BB

eB

Ae

AB

eA

Az

HE

**

**

**

**

*

c) Deriv

eu el flu

x d

e potèn

cia al llarg d

e l’eix O

Z en

un m

edi

dissip

atiu am

b u

na k co

mplex

a. Mostreu

que la p

otèn

cia no

és la sum

a algeb

raica de la p

otèn

cia transp

ortad

a per les o

nes

indiv

iduals.

Pro

blem

es

zk

zk

iz

ki

zk

kik

ke

Be

BA

eA

Be

Az

HE

22

2*

2*

22

2

zk

iz

kz

ke

AB

ie

Be

Ai

z2

*2

22

2

2Im

z

ki

zk

zk

ze

AB

eB

eA

S

2*

22

22

22

Im2

Term

e d’in

terferència

P4

C. Z

APA

TA

Page 163: Òptica I Problemes resolts - CORE

P4.6

. Un feix

de llu

m circu

larmen

t polaritzad

a incid

eix, d

es

de l’aire, am

b u

n an

gle d

e 45º so

bre u

na làm

ina d

e vid

re

d’ín

dex

de refracció

1.5

. Descriv

iu l’estat d

e polarització

del

feix reflectit i refractat. R

epetiu

el pro

cés per a u

n an

gle

d’in

cidèn

cia de 6

5º.

º1717

.37

º65

º1255

.28

º45

0 0

sin

sin0

n

Pro

blem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 164: Òptica I Problemes resolts - CORE

Descriv

iu l’estat d

e polarització

del feix

reflectit i refractat.

22

11

22

11

12

cos

cos

cos

cos

nn

nn

rT

E

22

11

11

12

cos

cos

cos

2

nn

nt

TE

º1

25

5.

28 º

45

2

31

30

33

37

.1 0

.30

33

37

0.6

96

66

3

0.3

03

33

7 -

21 21

12 12

TE TE

TE TE

t r t r

Pro

blem

es P

4

C. Z

APA

TA

Page 165: Òptica I Problemes resolts - CORE

21

12

21

12

12

cos

cos

cos

cos

nn

nn

rT

M

21

12

11

12

cos

cos

cos

2

nn

nt

TM

º1

25

5.

28 º

45

2

31

1.3

6198

0.0

920134

-

0.7

28009

0.0

920134

21 21

12 12

TM TM

TM TM

t r t r

Pro

blem

es

Descriv

iu l’estat d

e polarització

del feix

reflectit i refractat.

P4

C. Z

APA

TA

Page 166: Òptica I Problemes resolts - CORE

º1

25

5.

28 º

45

2

31

i

Iin

1

2

0||

TM

TE

TM

TE

TM

refr

ri

Ir

r r

12

12

012

12

||12

1

2

TM

TM

TE

TE

TM

TM

TE

TE

TM

TM

trt

tt

ti

It

tt

t

tt

21

12

21

12

021

12

21

12

||21

12

1

2

3.3

0

1

20

.09

20

i

Iref

0.9

16

1

20.9

90

i

Itr P

roblem

es

Descriv

iu l’estat d

e polarització

del feix

reflectit i refractat.

P4

C. Z

APA

TA

Page 167: Òptica I Problemes resolts - CORE

TR

EB

AL

LS

TU

TE

LA

TS

D’Ò

PT

ICA

I

Solu

cion

s del B

utlletí 1

Page 168: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

TT

1.1

. Un tu

b cilín

dric té u

n d

iàmetre in

terior d

e 5 cm

i una

longitu

d d

’un m

etre. La seu

a superfície in

terior és reflecto

ra

en els p

rimers 8

9 cm

i abso

rben

t en la resta. E

n l’ex

tremitat

abso

rben

t del tu

b es co

l·loca u

n d

iafragm

a pro

veït d

'un o

rifici

molt m

enut, cen

trat respecte a l’eix

del cilin

dre. E

n l’altre

extrem

es col·lo

ca un altre d

iafragm

a idèn

tic darrere d

el qual

se situa u

na fo

nt llu

min

osa.

0 R

EF

LE

XIO

NS

1 R

EF

LE

XIÓ

2 R

EF

LE

XIO

NS

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 169: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

Determ

ineu

la inclin

ació resp

ecte a l’eix am

b q

emerg

eixen

del tu

b els raig

s de llu

m. D

escriviu

l’aspecte d

el

camp o

bserv

at quan

es mira a trav

és del tu

b.

55

.4

11

2

Ncm

N L

mL

1

cmd

5

Es p

rodueix

en n

om

és

fins a 4

reflexio

ns.

L Nd

NL d

N

2 2tan

º86

.2

1

º71

.5

2

º53

.8

3

º31

.11

4

Lle

i de la

reflex

3 R

EF

LE

XIO

NS

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 170: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

Qüestio

ns:

a) Q

uè su

cceeix si to

ta la superfície in

terior d

el tub és

reflector?

b) C

om

és el camp o

bserv

at si el diafrag

ma d

'eixid

a és

circular d

e diàm

etre no n

eglig

ible?

El cam

p o

bserv

at consisteix

en

un p

un

t central i 4

anells.

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 171: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

1.2

. Consid

ereu u

n b

rillant am

b la talla d

e la figura.

Suposan

t una il·lu

min

ació p

aral·lela i norm

al a la cara

superio

r, calculeu

els valo

rs de a

que p

ermeten

que la llu

m,

desp

rés de p

atir dues reflex

ions in

ternes, isca d

el brillan

t per

aquesta m

ateixa cara (p

er a un p

rimer càlcu

l no

s’ha d

e

consid

erar la influ

ència d

el rebaix

del can

tell).

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 172: Òptica I Problemes resolts - CORE

Solu

ció: S

i consid

erem q

ue a

= 9

0º, h

em d

'exig

ir que

1 =

2

siga m

ajor q

ue l'an

gle lím

it lim

.

21

limº

45

º6.

23

1arcsin

n

1sin

sin1

1

n

Llei d

e S

nell 1

sinlim

n

An

gle

límit

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 173: Òptica I Problemes resolts - CORE

Consid

erant trian

gles in

teriors, tro

bem

la relació d

els angles

d'in

cidèn

cia amb a

.

22

1

a

12

21

22

a

a

22 3

2

a

2

13

32

12

22

a

2

3

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 174: Òptica I Problemes resolts - CORE

Perq

uè h

i haja u

na d

oble reflex

ió:

Per a ev

itar una trip

le reflexió

: º72

5 2

23

a

a

º120

3 2

22

a

º120

º72

a

LIM

ITA

CIÓ

GE

OM

ÈT

RIC

A

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 175: Òptica I Problemes resolts - CORE

Hem

de fer co

mplir la co

ndició

de reflex

ió to

tal en les d

ues

prim

eres cares i evitar-la en

la tercera.

º8.

132

22

2lim

lim1

a

a

º7.

75

3

2

32

2 3lim

lim2

a

a

º8.

132

º7.

75

a

Dob

le re

flexió

inte

rn

a

Qüestió

: Hem

de co

nsid

erar valo

rs neg

atius d

e 2 ?

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 176: Òptica I Problemes resolts - CORE

Hem

de fer co

mplir la co

ndició

de reflex

ió to

tal en les d

ues

prim

eres cares i evitar-la en

la tercera.

a

a

a

a

a

º8.

101

22

2

º2.

78

22

22

lim lim

lim3

º8.

101

º2.

78

a

CO

ND

ICIÓ

D’E

ME

RG

ÈN

CIA

Conclu

sió: L

a condició

d'em

ergèn

cia

dom

ina so

bre la resta.

Qüestió

: Quin

a és la raó d

e tallar el

diam

ant i p

roduir-li reb

aixos laterals?

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 177: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

1.3

. Consid

ereu u

na g

uia co

rbad

a de secció

rectangular

com

la de la fig

ura. T

enin

t en co

mpte q

ue, seg

ons u

na

descrip

ció p

uram

ent g

eom

ètrica, la llum

es pro

pag

a en

l’interio

r de u

na g

uia p

er reflexió

total.

a) D

emostreu

que és su

ficient q

ue el raig

1 co

mplisca la

condició

de p

ropag

ació p

erquè to

t el feix es p

ropag

ue al llarg

de la g

uia.

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 178: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) D

emostreu

que és su

ficient q

ue el raig

1 co

mplisca la

condició

de p

ropag

ació p

erquè to

t el feix es p

ropag

ue al llarg

de la g

uia.

2

sind

R

x

22

max

dR

x

2 2

arcsin2

min

dR

dR

dR

x

Conclu

sió: S

i es pro

dueix

reflexió

total p

er a r1 ,

min >

lim

,

llavors tam

bé s'o

bserv

arà per a la resta d

e raigs.

Raig

#1

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 179: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) O

bten

iu el rad

i mín

im q

ue p

ot ten

ir aquesta g

uia p

er a

evitar q

ue la llu

m d

eixe d

e pro

pag

ar-s’hi a trav

és.

2 2

arcsin1

arcsinm

inlim

dR

dR

n

1 1

2m

in

n n

dR

1

n

2d

R

Con

dició

de

pro

pagació

Qüestió

: Dem

ostreu

que si u

n raig

incid

eix so

bre la cara ex

terior

amb u

n an

gle

, desp

rés de reflectir-s’h

i, torn

a a incid

ir en u

n altre

punt d

‘aquesta m

ateixa cara am

b el m

ateix an

gle

.

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 180: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

1.4

. Des d

’un p

unt d

e la superfície terrestre, O

, on l’ín

dex

de refracció

de l’aire és n

0 , es mesu

ra l’angle zen

ital d’u

n

estel, és a dir, l’an

gle q

ue fo

rma la d

irecció en

què es v

eu

l’estel amb la v

ertical del p

unt d

’observ

ació. A

causa d

e la

variació

de l’ín

dex

de l’aire am

b l’altu

ra, hi h

a una lleu

diferèn

cia D =

0 entre l’an

gle zen

ital real, , i l’observ

at,

0 . D

etermin

eu l’eq

uació

de les trajectò

ries que p

assen p

er O

si l’índex

de refracció

de l’atm

osfera v

e donat p

er l’equació

:

on b

és una co

nstan

t. A m

és, obten

iu l’ex

pressió

de D

en

funció

de

0 .

bz

nz

n

20

20

b

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 181: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

l’equació

de les trajectò

ries que p

assen p

er O si

l’índex

de refracció

de l’atm

osfera v

e donat p

er l’equació

:

bz

nz

n

20

2

0

0n

n

b

nd

bd

nd

n1

120

20

00sin

nC

2

2

02 1

00

xz

xz

zx

zb

dz

dn

0

220

0

2

2sin

22

10

n

b

dz

dn

Cz

x

00

z

00

cot

2tan

0

z

2

0

220

0sin

4co

tx

n

bx

z

dz

0

Treb

alls tutelats

dz

dn

Cdx

zd

2

22

2

2

1

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 182: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

l’equació

de les trajectò

ries que p

assen p

er O si

l’índex

de refracció

de l’atm

osfera v

e donat p

er l’equació

:

bz

nz

n

20

2

0

0n

n

b

nd

bd

nd

n1

120

20

2

0

220

0sin

4co

tx

n

bx

z

dz

0

xn

b

dx

dz

0

220

0sin

2co

t0

bn

zx

200

2

0co

s,

2sin

,

22

0

220

200

2sin

sin1

cos

Cn

db

n

Con

dició

d’o

bserv

ació

1

C

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 183: Òptica I Problemes resolts - CORE

bz

nz

n

20

2

1

00

nn

b

n

b

nd

dn

12

11

0

20

2

0

20

sin4

cot

xb

xz

dz

00

00

0sin

sinsin

nC

1a L

lei de B

ou

gu

er 0

0

D

0

00

cos

sinsin

sin

D

D

00

0

00

0

0

0tan

1co

s

sinsin

cos sin

sin

Dn

n

A m

és, obten

iu l’ex

pressió

de D

en fu

nció

de

0 .

Qüestió

: Dem

ostreu

que si

"2'1

D

0003

.1

0

n

º45

0

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 184: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

1.5

. Un raig

de llu

m in

cideix

sobre u

n m

edi in

hom

ogen

i

estratificat en fo

rma d

e làmin

a de cares p

aral·leles de g

rosso

r

d, l’ín

dex

de refracció

del q

ual v

aria d’aco

rd am

b l’ex

presió

:

on n

2(0) =

3/2

i L és u

na co

nstan

t amb u

nitats d

e longitu

d. S

e

suposa q

ue la làm

ina es tro

ba en

tre aire i un m

edi d

’índex

de

refracció n

0 . El raig

incid

ent es m

ou en

l’aire (y < 0

) i,

desp

rés de trav

essar la làmin

a, n’ix

amb u

n d

etermin

at angle

r .

0

21

02

2n

L yd

yn

T

reballs tu

telats T

T1

C. Z

APA

TA

Page 185: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) Q

uin

es condicio

ns h

an d

e satisfer n0 i d

perq

uè el raig

emerg

ent sig

a paral·lel a l’in

ciden

t?

in

C

sin

sin

02

02

12

22

2n

Ldy

dn

nL y

n

iL

nx

ydy

dn

Cdx

yd

2

22

22

2

sin

0

2

1

2

02 1

00

xy

xy

yx

y

00

y

iL n

y

2

2

sin 00

1sin

00

1co

t2

2

2 22

2

i

ny

C n

dx

dy

EQ

UA

CIO

PA

RA

LIC

A D

E L

A T

RA

JE

CT

ÒR

IA

De l’in

varian

t de B

ouguer:

ir

Cn

sinsin

0

10

n

ir

Indep

enden

t

del v

alor d

e d!

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 186: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) E

n el cas q

ue es satisfacen

les condicio

ns d

e l’apartat

anterio

r, calculeu

el desp

laçamen

t d p

roduït so

bre el raig

incid

ent a cau

sa de la p

resència d

e la làmin

a suposan

t que

l’angle d

’incid

ència

i =

/3

L xx

dy

yn

i2

20

23

0

3

LL

dx

L xx

dr

rr

2

41

11

211

30

tan0

3x

yy

xy

yi

i

dx

xd

rr

33

22

d

L d

L dL

xx

rr

41

2 1

2 13

12

4 1

L d

0

d

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 187: Òptica I Problemes resolts - CORE

Qüestió

: Què o

corre

quan

?

LL

dx

L xx

dr

rr

2

41

11

211

d

L d

L dL

xx

rr

41

2 1

2 13

12

41

Ld

Qüestió

: Què

oco

rre ací?

L x

xd

yy

n

i2

20

23

0

3

Treb

alls tutelats

b) E

n el cas q

ue es co

mplisq

uen

les condicio

ns d

e l’apartat

anterio

r, calculeu

el desp

laçamen

t d p

roduït so

bre el raig

incid

ent a cau

sa de la p

resència d

e la làmin

a suposan

t que

l’angle d

’incid

ència

i =

/3

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 188: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

1.7

. Consid

ereu la len

t de L

uneb

urg

, que co

nsisteix

en u

na

bola d

e radi a

subm

ergid

a en u

n m

edi d

’índex

de refracció

n0 .

Aquesta b

ola està co

nstru

ïda am

b u

n m

aterial isòtro

p

estratificat de sim

etria radial, l’ín

dex

de refracció

del q

ual té

la form

a

per a r ≤

a. Determ

ineu

la trajectòria d

els raigs q

ue es

pro

pag

uen

din

s la lent d

e Luneb

urg

i dem

ostreu

que fo

rmen

el·lipses co

plan

àries amb l’o

rigen

de co

ord

enad

es r = 0

. A

més, co

mpro

veu

que u

n feix

de raig

s paral·lels q

ue

incid

eixen

sobre la len

t es focalitzen

en u

n ú

nic p

unt d

e la

superfície d

e la lent. T

reballs tu

telats

2

02

ar

nr

n

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 189: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Un ex

emple sen

zill i interessan

t és coneg

ut co

m la "len

t de

Luneb

urg

”, que es caracteritza p

er un m

edi d

'índex

de

refracció

• Reso

lem les eq

uacio

ns d

els raigs.

2

02

ar

nr

n

rr

dr

cr

nr

c

0

22

20a r

0an c

K

0

22

40

2d

K

K

Secció

transv

ersal de la len

t de L

uneb

urg

,

amb

om

breig

blau

pro

porcio

nal a l'ín

dex

de refracció

(Font: W

ikip

edia)

11

12

2

K1

0

K

ar

0

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 190: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Es p

ot d

emostrar q

ue

0

02

24

22

2arctan

2 1

K

K

K

22

42

24

22

22

arctan2 1

K

K

KK

K

d d

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

4

,4

3,

00

0

0

2

min

11

K

21

K Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 191: Òptica I Problemes resolts - CORE

• La trajectò

ria com

pleta està d

onad

a per

min

0m

in0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

4

,4

3,

00

0

0

2

min

11

K

dK

K

22

40

2m

in

min

0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

0

min

02

21

K Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 192: Òptica I Problemes resolts - CORE

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

min

0m

in0

4

,4

3,

00

2

min

11

K

21

K

21

K

4m

in

0

K

200

max

2

K

0m

in

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 193: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Es p

ot d

emostrar q

ue

• L'eq

uació

pola

r dels raig

s és

220

40

220

22

4

22

0

2arctan

2 1

2arctan

2 1

KK

K

KK

K

22

42

24

22

22

arctan2 1

K

K

KK

K

d d

22

4

22

220

40

220

0

22

tan2

arctan2 1

KK

K

KK

K

a

a

a

2

20

2

220

2

0

2 2

21

11

12

sinr

n c

cn

a

an

K

K0

0an

c

ar

an

ac

20

22

11

2

a

A

AA

2tan

1

tansin

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 194: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Per o

bten

ir l'equació

dels raig

s en co

ord

enad

es cartesianes,

posem

:

• Conclu

sió: C

ada raig

és una el·lip

se.

a

a

a

2sin

4sin

4co

s2

22

22

2

ry

x

ry

x

ry

rx

22

22

21

2sin

Ka

rK

r

a

2

22

12

sin1

K

K

a

a

a

2

2

22m

in

2

2

22m

ax

11

11

4

11

11

4

KK

K

KK

K

12max 2

2min 2

r y

r x

11

12

2

K

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 195: Òptica I Problemes resolts - CORE

• L'eix

majo

r de l'el·lip

se es troba cen

trat al llarg d

e l’eix y´

amb u

n an

gle

• Cad

a raig in

terseca el cercle fix r=

a en

quatre p

unts

especu

larmen

t col·lo

cats respecte als eix

os x´ i y´. E

ls quatre

punts am

b y´>

0 satisfan

:

• Donat u

n p

unt en

el cercle r=a en

un an

gle

0 , tenim

:

21

2sin

1K

a

a

tan0

40

xy

xK

42

a

K

arccos

2 1

a

K

arccos

2 10

a

2co

sK

40

4 4

a

a

44

44

0 0

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 196: Òptica I Problemes resolts - CORE

• Donat u

n p

unt en

el cercle r=a en

un an

gle

0 , tenim

:

• En aq

uest cas, les d

ues eq

uacio

ns d

e les dues trajectò

ries són

K

arccos

2 10

a

0

0

2

2 2

22

sin2

cos

12

sin1

1

1

a

KK

K

K

0

20

22

22

2sin

12

cos

1

K

K

K K

2co

sK

02 2

2sin

2co

s1

2sin 1

40

a

2sin

2sin

1

2co

s2

2

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 197: Òptica I Problemes resolts - CORE

• A b

anda d

el punt en

el cercle r=a

en u

n an

gle

0 , també

tenim

:

4

20

02

2sin

2sin

1

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

0

0

42

0

d

d

dd

dx

dy

sinco

s

cos

sin

d

d0

2

32

cos

2co

s

2sin

0tan

2tan

1

dx

dy

• Un feix

col·lim

at

amb raig

s inclin

ats

un an

gle

0 es

focalitza en

la part

posterio

r de la len

t.

d

d2

tan

Treb

alls tutelats

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 198: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

TT

1.8

. La fó

rmula d

e Jacobi-A

nger

represen

ta el desen

volu

pam

ent d

’una o

na p

lana en

torn

d’u

na

superp

osició

d’o

nes cilín

driq

ues.

a) U

tilitzant la fó

rmula d

e Jacobi-A

nger, d

emo

streu q

ue la

funció

de B

essel de p

rimera classe es p

ot ex

pressar co

m a

b) U

tilitzeu el resu

ltat anterio

r per a ju

stificar per q

uè la

funció

de B

essel de p

rimera classe rep

resenta u

na o

na

estacionària.

20

cos

2d

ei

xJ

nx

in

n

0

sinco

s1

dx

nx

Jn

m

im

m

miz

ez

Ji

eco

s

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 199: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

Dem

ostreu

que la fu

nció

de B

essel de p

rimera classe es p

ot

expressar co

m a

m

im

m

miz

ez

Ji

eco

s

20

cos

2d

ei

xJ

nx

in

n

x

Ji

xJ

id

ee

xJ

id

en

n

m

nm

m

m

m

inim

m

mn

xi

d

2

2

20

20

cos

01

220

20

n

mi

e

nm

i ed

en

mi

nm

in

mn

mi

x

Ji

de

de

de

n

nn

xi

nx

in

xi

2

02

cos

20

cos

20

cos

x

Jx

Jx

Ji

xJ

in

n

nn

n

n

n1

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 200: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

Dem

ostreu

que la fu

nció

de B

essel de p

rimera classe es p

ot

expressar co

m a

0

sinco

s1

dx

nx

Jn

22

2

sin

22

2

22

cos

2

20

cos

2 1

22

de

de

id

ei

xJ

xn

in

xi

nn

xi

n

n

0

sin

0

sin

22

2

sin

2 1

2 1d

ed

ed

ex

Jx

ni

xn

ix

ni

n

0

0

sinsin

sinco

s1

2 1d

xn

de

ex

Jx

ni

xn

i

n

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 201: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

Utilitzeu

el resultat an

terior p

er a justificar p

er què la fu

nció

de B

essel de p

rimera classe rep

resenta u

na o

na estacio

nària.

Consid

erem, p

er simplificar, el cam

p o

ndulato

ri d’u

n feix

Bessel d

’ord

re 0 q

ue es p

ropag

a a l’espai lliu

re en el sen

tit

positiu

de l’eix

z, el qual es p

ot rep

resentar d

e la següen

t

man

era:

zi

mz

i

mz

zz

eA

Je

mD

mC

JA

E

0

0

22

1sin

cos

22

22

kz

SU

MA

DE

RIE

MA

NN

20

20

cos

02 1

2 1d

ed

eJ

yk

xk

ii

yx

sin,

cos

,y

xk

k

sin,

cos

,y

x

Nl

yk

xk

i

N

Nl

ly

lx

le

NJ

1

2

0

1lim

xk

yk

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 202: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

zi

mz

i

mz

zz

eA

Je

mD

mC

JA

E

0

0

22

1sin

cos

sin,

cos

,y

xk

k

Nl

yk

xk

i

N

ly

lx

eN

J1

0

1lim

xk

yk

21

0co

s2

limNl

ly

lx

Ny

kx

kN

J

21

0

1lim

Nl

yk

xk

iy

kx

ki

N

ly

lx

ly

lx

ee

NJ

TT

1

C. Z

APA

TA

Utilitzeu

el resultat an

terior p

er a justificar p

er què la fu

nció

de B

essel de p

rimera classe rep

resenta u

na o

na estacio

nària.

Consid

erem, p

er simplificar, el cam

p o

ndulato

ri d’u

n feix

Bessel d

’ord

re 0 q

ue es p

ropag

a a l’espai lliu

re en el sen

tit

positiu

de l’eix

z, el qual es p

ot rep

resentar d

e la següen

t

man

era:

Page 203: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

TT

1.9

. Dem

ostreu

que l’eq

uació

diferen

cial

resultat d

e resold

re l’equació

d’o

nes u

tilitzant sep

aració d

e

variab

les en co

ord

enad

es esfèriques, es p

ot co

nvertir en

l’equació

diferen

cial ord

inària d

e Bessel m

itjançan

t la

transfo

rmació

01

12

2

n

nr

dr

df

rdr d

f

21

r

rZ

rf

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 204: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

01

12

2

n

nr

dr

df

rdr d

f

2

1x

xZ

xf

01

12

2

2

n

nr

dx

df

dr

dx

r

dx d

dr

dx

fr

x

01

12

2

n

nx

dx

df

xdx d

f

2

32

12

1

x

xZ

dx

dZ

xdx

df

01

2

22

12

32

1

nn

xx

Zx

dx

dZ

xdx d

xZ x

01

4

1

22

32

21

21

2

22

32

12

1

nn

xx

Zx

dx

dZ

x

dx Z

dx

dx

dZ

x

xZ x

Dem

ostració

:

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 205: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

01

4

1

22

32

21

21

2

22

32

12

1

nn

xx

Zx

dx

dZ

x

dx Z

dx

dx

dZ

x

xZ x

01

4 11

2

2

22

nn

xdx Z

dx

dx

dZ

xx

Z

02 1

12

2

2

22

nx

dx Z

dx

dx

dZ

xx

Z

02

22

vv

vZ

vx

ZxZ

x EQ

UA

CIÓ

DIF

ER

EN

CIA

L D

E B

ES

SE

L

2 1

n

v

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 206: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

TT

1.1

0. U

tilitzant la so

lució

de l’eq

uació

d’o

nes en

coord

enad

es esfèriques, d

emostreu

que el cam

p d

’una o

na

esfèrica div

ergen

t s’atenua en

allunyar-se d

e l’orig

en O

amb

una d

epen

dèn

cia que és in

versam

ent p

roporcio

nal a la

distàn

cia recorreg

uda d

es del p

unt O

.

r

hC

Bm

Dm

CP

rh

Bn

mmn

nm

n

103

00

0,

33

1

2sin

cos

cos

rH

rr

hn

n

1

21

1

2

42

12

px

ix

pe

xx

H

ri

nn

ri

r

ne

r

ie

rr

rh

1

42

21

11

2

2

r eA

ri

2

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 207: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

TT

1.1

1. C

onsid

ereu el cam

p electro

mag

nètic lin

ealmen

t

polaritzat

corresp

onen

t a una o

na p

lana q

ue es p

ropag

a en u

n d

ielèctric

transp

arent. S

uposeu

també q

ue Im

(kx )=

0.

a) A

valu

eu el v

ector d

e Poyntin

g.

b) C

onsid

ereu la su

perp

osició

de d

ues o

nes p

lanes lin

ealmen

t

polaritzad

es. Avalu

eu d

e nou el v

ector d

e Poyn

ting

.

c) Tro

beu

la com

ponen

t z del v

ector d

e Poyntin

g co

nsid

erant

que E

1y =

E2y .

d) A

valu

eu la d

iverg

ència d

el vecto

r de P

oyntin

g.

t

rk

ie

Et

rE

0

,

t

rk

ie

Ht

rH

0

,

yE

Eyˆ

00

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 208: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

a) A

valu

eu el v

ector d

e Poyntin

g

t

zk

yk

xk

i

yz

yx

eEy

tr

E

,

00

0

;0

t

zk

yk

xk

i

yy

ED

zy

xe

EE

D

00

t

zk

yk

xk

i

yy

zy

xe

Eik

00

E

ki

zx

ykz

kxk

ˆ0

t

rk

i

t

tr

ki

y

zy

x

HB

eH

eE

zy

x

t BE

0

00

0

ˆˆ

ˆ

t

rk

it

rk

i

yx

tr

ki

yz

eH

ie

Eik

ze

Eik

x

00

ˆ0

0H

iE

ki

yx

yz

Ek

zE

kx

H0

00

ˆˆ

Llei d

e Fa

rad

ay

d’in

du

cció

Llei d

e Gau

ss

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 209: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

a) A

valu

eu el v

ector d

e Poyntin

g

t

zk

xk

i

yz

xe

Eyt

rE

,

t

rk

i

t

tr

ki

z

tr

ki

x

zy

x

Je

E

eH

eH

zy

x

Jt D

H

0

00

0

0

ˆˆ

ˆ

t

rk

i

y

tr

ki

xz

tr

ki

zx

eE

iye

Hik

eH

iky

00

ˆ0

0E

iH

ki

2

22

00

0z

xy

xz

zx

kk

EH

kH

k

Llei d

e

Bio

t-Savart

t

zk

xk

iy

xz

zx

eE

kzkx

tr

H

0

ˆˆ

,

22

22

x

k

zk

kx

22

22

x

k

zk

ik

x

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 210: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

a) A

valu

eu el v

ector d

e Poyntin

g

t

zk

xk

i

yz

xe

Eyt

rE

,

t

zk

xk

iy

xz

zx

eE

kzkx

tr

H

0

ˆˆ

,

t

rk

i

z

tr

ki

x

tr

ki

y

eH

eH

eE

zy

x

HE

S

**

*0

*0

0

*

0

00

ˆˆ

ˆ

Re

2 1R

e2 1

rk

y

zx

rk

ki

xy

zy

eE

kzkx

eH

EzH

ExS

Im2

2

0*

**0

0

*00

ˆˆ

Re

2 1ˆ

ˆR

e2 1

*

22

Re

2

0Im

2

2

02

2y

kr

ky

Ek

eE

kS

x

z

ky

x

kz

xe

Ekx

S

Im2

2

0

22

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 211: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

b) C

onsid

ereu la su

perp

osició

de d

ues o

nes p

lanes lin

ealmen

t

polaritzad

es. Avalu

eu d

e nou el v

ector d

e Poyn

ting

t

zk

xk

i

y

tz

kx

ki

yz

xz

xe

Eye

Eyt

rE

22

11

21

ˆˆ

,

tz

kx

ki

y

xz

tz

kx

ki

y

xz

zx

zx

eE

kzkx

eE

kzkx

tr

H

22

11

2

22

1

11

ˆˆ

ˆˆ

,

rki

z

rki

z

rki

x

rki

x

rki

y

rki

y

eH

eH

eH

eH

eE

eE

zy

x

HE

S

*2*1

*2*1

21

*2

*1

*2

*1

21

*

0

00

ˆˆ

ˆ

Re

2 1R

e2 1

222

22

21

21z

xz

xk

kk

k

rk

ki

xy

rk

ki

xy

rk

ki

xy

rk

ki

xy

rk

ki

zy

rk

ki

zy

rk

ki

zy

rk

ki

zy

eH

Ee

HE

eH

Ee

HE

z

eH

Ee

HE

eH

Ee

HE

xS

*2

2*2

1*1

2*1

1

*22

*21

*12

*11

*22

*21

*12

*11

*22

*21

*12

*11

ˆ

ˆR

e2 1

212

1S

SS

S

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 212: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

t

zk

xk

i

y

tz

kx

ki

yz

xz

xe

Eye

Eyt

rE

22

11

21

ˆˆ

,

tz

kx

ki

y

xz

tz

kx

ki

y

xz

zx

zx

eE

kzkx

eE

kzkx

tr

H

22

11

2

22

1

11

ˆˆ

ˆˆ

,

zk

y

zx

rk

yz

eE

kz

kx

eE

kS

1

1Im

2

2

1

11

Im2

2

1

11

2R

Re

ˆ2

Re

222

22

21

21z

xz

xk

kk

k

rk

ki

zy

y

rk

ki

zy

y

rk

ki

xy

y

rk

ki

xy

y

ek

EE

ek

EE

z

ek

EE

ek

EE

xS

*2

1*1

2

*21

*12

*2

*21

*1

*12

*2

*21

*1

*12

12

ˆ

ˆR

e2

1

r

kk

i

yy

zx

rk

ki

yy

zx

eE

Ekz

kxe

EE

kzkx

S

*21

*12

*21

*2

*2

*12

*1

*11

ˆˆ

ˆR

e2

1

r

kk

i

yy

rk

ki

yy

eE

Ek

eE

Ek

S

*21

*12

*21

*2

*12

*11

2R

e2

1

b) C

onsid

ereu la su

perp

osició

de d

ues o

nes p

lanes lin

ealmen

t

polaritzad

es. Avalu

eu d

e nou el v

ector d

e Poyn

ting

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 213: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

c) Tro

beu

la com

ponen

t z del v

ector d

e Poyntin

g co

nsid

erant

que E

1y =

E2y .

02

Re

1Im

2

2

1

11

zk

y

zz

ze

Ek

S

0R

e

Re

2R

e1

Im2

1 2Im

2

2

2

22

12

2

z

zk

k

z zz

ky

zz

Se

k ke

Ek

Sz

zz

r

kk

i

z

rk

ki

z

y

ze

ke

kE

S

*2

1*1

2*2

*1

2

1

12

Re

2

r

kk

i

z

rk

ki

z

rk

ky

ze

ke

ke

ES

2

12

12

1R

e*2

Re

*1

Im

2

1

12

Re

2

rk

kk

k

rk

kk

ke

ES

zz

zz

zk

ky

zz

z

21

21

21

21

Im

2

1

12

Re

sinIm

Re

cos

Re

22

1

22

2

xz

kk

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 214: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

02

1

z

zS

S

xk

ke

Ek

kS

Sx

x

zk

ky

zz

zz

zz

21

Im

2

1

21

12

sin2

Im2

1

0R

eR

e2

1

z

zk

k

0Im

Im2

1

z

zk

k

z

ky

zz

ze

Ek

S

1

Im2

2

1

11

2R

e

rk

kk

k

rk

kk

ke

ES

zz

zz

zk

ky

zz

z

21

21

21

21

Im

2

1

12

Re

sinIm

Re

cos

Re

22

1

02

2

1

11

y

zz

Ek

S

0

cos

12

21

2

1

21

rk

kE

kk

Sy

zz

z

c) Tro

beu

la com

ponen

t z del v

ector d

e Poyntin

g co

nsid

erant

que E

1y =

E2y .

2

2xk

2

2xk

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 215: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

d) A

valu

eu la d

iverg

ència d

el vecto

r de P

oyntin

g

zk

y

zx

rk

yz

eE

kz

kx

eE

kS

1

1Im

2

2

1

11

Im2

2

1

11

2R

Re

ˆ2

Re

212

1S

SS

S

zk

y

zz

xx

ze

Ek

kS

1Im

2

2

1

11

12

Re

Re

0Im

Re

1Im

2

11

2

1

1

zk

zz

yz

ek

kE

S

02

1

S

S

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 216: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

r

kk

i

yy

rk

ki

yy

eE

Ek

eE

Ek

S

*21

*12

*21

*2

*12

*11

2R

e2

1

r

kk

i

zz

xx

yy

rk

ki

zz

xx

yy

ek

kE

Ee

kk

EE

S

*21

*12

*2

*2

*21

*1

*1

*12

12

Re

2

1

rk

ki

zz

zx

xx

yy

rk

ki

zz

zx

xx

yy

ek

kk

kk

kE

iE

ek

kk

kk

kE

iES

*2

1

*12

*2

*21

*2

*21

*21

*1

*12

*1

*12

*12

12

Re

2

1

rk

ki

zx

rk

ki

zx

rk

ki

zz

rk

ki

zz

rk

ki

rk

ki

xx

yE

E

kk

ek

ke

kk

i

ek

ke

kk

ee

kk

iE

Sy

y

xx

*2

1*1

2

*21

*12

*21

*12

21

21

2*2

22

2*1

21

*21

2

*12

1

2

1

0Im

Im

12

Re

2

r

kk

i

zx

rk

ki

zx

ye

kk

ek

kE

S

*21

*12

2*2

22

2*1

21

2

1

12

Im2

d) A

valu

eu la d

iverg

ència d

el vecto

r de P

oyntin

g

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 217: Òptica I Problemes resolts - CORE

Treb

alls tutelats

0

Im2

*12

*21

2

2

1

12

r

kk

ir

kk

iy

ee

ES

2

21

21z

xk

k

2*

21

21z

xk

k

r

kk

i

zx

rk

ki

zx

ye

kk

ek

kE

S

*21

*12

2*2

22

2*1

21

2

1

12

Im2

01

2

S

d) A

valu

eu la d

iverg

ència d

el vecto

r de P

oyntin

g 0

212

1

S

SS

S

TT

1

C. Z

APA

TA

Page 218: Òptica I Problemes resolts - CORE

TR

EB

AL

LS

TU

TE

LA

TS

D’Ò

PT

ICA

I

Solu

cion

s del B

utlletí 2

Page 219: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

2.1

. El cam

p m

agnètic d

'una o

na p

lana u

nifo

rme q

ue es

pro

pag

a en el b

uit és

on E

0 es una co

ntan

t real i h0 la im

ped

ància in

trínseca d

el

buit.

a) D

etermin

eu la d

irecció i el sen

tit de p

ropag

ació d

e l’ona.

Si la freq

üèn

cia és n=

500 T

Hz q

uan

t valen

la longitu

d d

’ona i

el nom

bre d

’ona?

L’o

na es p

ropag

a al llarg d

e l’eix O

Y i sen

tit positiu

.

Treb

alls tutelats

ikyt

ii

ez

ei

xi

Et

rH

h

ˆ

1,

4

0 0

h6.

376

00

0

ykk

ˆ

nm

Hz s

mc

600

10

500

10

312

8

n

147

.10

2

mk

ikyt

ie

Hr

H

0

z

ei

xi

EH

14

0 00

h

TT

2

C. Z

APA

TA

Page 220: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) E

scriviu

l’expressió

del cam

p elèctric.

ykk

ˆ

ikyt

ie

Ht

rH

0

,

z

ei

xi

EH

14

0 00

h

t EH

0

ikyt

ie

Et

rE

0

,

00

0E

iH

ki

x

ei

zi

Ek

Hy

kE

4

0 0

0

0

0

0

h

h

6.376

00

0

00

k

x

ei

zi

EE

14

00

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 221: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Determ

ineu

el tipus d

e polarització

i el sentit d

e gir d

els

camps.

Sol: L

lum

circularm

ent p

olaritzad

a L

d) E

scriviu

l’expressió

del v

ector d

e Poyntin

g.

x

iz

eE

xe

iz

iE

Ei

ˆ2

ˆ2

ˆ1

4

0

4

00

a

a

a

2 º45

1

2 1

sin

cos

ie

i

yE

HE

2R

e2 1

0

20*

h

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 222: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

2.2

. Determ

ineu

la matriu

de Jo

nes d

e i) una làm

ina d

e

quart d

’ona d

’eix ràp

id v

ertical, i ii) una làm

ina d

e quart

d’o

na d

’eix ràp

id h

oritzo

ntal.

1

01 0

01

0 1

2exp

2,

0*

22

*00

iP

Pi

PP

R

1

01 0

01

0 1

2exp

2,

2

*

22

*00

i

PP

PP

iR

iR

0

01

2,

0L

ÀM

INA

/4

EIX

PID

VE

RT

ICA

L

i

iR

0

01

10

0

2,

2

MIN

A

/4

EIX

PID

HO

RIT

ZO

NT

AL

Exercici: C

om

pro

veu

l’equiv

alència in

dicad

a

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 223: Òptica I Problemes resolts - CORE

A co

ntin

uació

, represen

teu el v

ector cam

p elèctric d

’un estat

lineal in

ciden

t sobre u

na làm

ina d

e quart d

’ona q

ue fo

rma u

n

angle d

e 30º am

b l’eix

ràpid

d’aq

uesta. D

escriviu

amb d

etall

l’estat de p

olarització

de l’o

na em

ergen

t.

2 2

3

21

23

0

01

2,

30

ii

PR

LL

UM

EL

•LÍP

TIC

A C

EN

TR

AD

A L

EV

OG

IRA

a

a

a

2 º30

2 23

sin

cos

ie

i

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 224: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

2.3

. Consid

ereu u

n feix

de llu

m p

olaritzad

a el·lípticam

ent

d’in

tensitat I

0 que in

cideix

norm

almen

t sobre u

n p

olaritzad

or

lineal g

iratori. C

alculeu

com

varia la in

tensitat I em

ergen

t del

sistema, en

funció

de l’an

gle q

ue fo

rma el p

olaritzad

or am

b

l’eix X

. Passa aq

uesta in

tensitat p

er un v

alor m

àxim

o

mín

im?

a

a

a

a

sin

cos

sinsin

cos

sinco

sco

s

sin

cos

2

2

00

iin

ou

ti

ine

IP

eI

2

2

*

sinsin

cos

sinco

sco

ssin

cos

sin

cos

PP

P

a

a

a

a

a

a

sin

cos

sinsin

cos

cos

sinsin

cos

sinco

s

sinsin

cos

cos

cos

02

2

0

i

i

i

ou

te

Ie

eI

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 225: Òptica I Problemes resolts - CORE

Calcu

leu co

m v

aria la inten

sitat I emerg

ent d

el sistema, en

funció

de l’an

gle q

ue fo

rma el p

olaritzad

or am

b l’eix

X.

a

a

a

a

a

a

a

2sin

2sin

cos

2 1sin

sinco

sco

s

sinsin

cos

cos

cos

2sin

sinco

sco

s

22

22

0

22

22

0

I

II

inin

PP

PP

inin

ou

to

ut

PP

PP

I

2*

,*

2

0

2

sinsin

cos

cos

a

a

i

ine

IP

I

1r M

ÈT

OD

E

2n

TO

DE

a

a

Pe

Ii

ou

tsin

sinco

sco

s0

2

0sin

sinco

sco

sa

a

i

ou

to

ut

eI

I

LL

UM

LIN

EA

LM

EN

T

PO

LA

RIT

ZA

DA

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 226: Òptica I Problemes resolts - CORE

a

a

a

a

sin

sinco

sco

sco

s2

sinsin

cos

cos

22

22

0I

I Passa aq

uesta in

tensitat p

er un v

alor m

àxim

o m

ínim

?

a

a

a

a

a

a

sinco

sco

sco

sco

s2

sinsin

cos

sinco

s2

sinsin

cos

2co

ssin

cos

2

0

22

0I

I

a

a

aa

22

22

0sin

cos

sinco

ssin

cos

sinco

sco

s2

0I

I

a

a

2co

s2

sin2

sin2

cos

cos

00

II

a

cos

2tan

2tan

a

cos

2tan

2tan

Co

nclu

sió: E

l valo

r màx

im i m

ínim

s'aconseg

ueix

en q

uan

el pla d

e polarització

d'eix

ida co

incid

eix am

b els eix

os m

ajor i

men

or d

e l'el·lipse d

e polarització

d'en

trada.

2

2

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 227: Òptica I Problemes resolts - CORE

Passa aq

uesta in

tensitat p

er un v

alor m

àxim

o m

ínim

?

Quan

la llum

transm

esa pel p

olaritzad

or aco

nseg

ueix

un

màx

im o

un m

ínim

, s'està seleccionan

t la direcció

dels eix

os

prin

cipals d

e l'el·lipse d

'entrad

a.

a

cos

2tan

2tan

a

a

2sin

2sin

cos

2co

s2

cos

12 0I

I

a

a

a

22

20

0co

s2

sin2

cos

12

2sin

2sin

cos

12

II

Iextr

a

a

a

22

22

cos

2sin

2co

s

cos

2sin

2tan

1

2tan

2sin

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 228: Òptica I Problemes resolts - CORE

Qüestió

: Es p

ot d

etermin

ar experim

enta

lmen

t el valo

r de

l'el·lipticitat d

e l'el·lipse d

e polarització

de la llu

m in

ciden

t?

a

a

2

22

0m

axco

s2

sin2

cos

12 I

I

a

a

2

22

0m

inco

s2

sin2

cos

12 I

I

0m

inm

axI

II

a

a

a

a

22

2

22

2

max

min

2

cos

2sin

2co

s1

cos

2sin

2co

s1

tanI I

2

cos

2sin

2co

s1

sin2

22

2

a

a

2

cos

2sin

2co

s1

cos

22

22

a

a

a

a

a

2

22

22

22

2sin

2sin

cos

2sin

2co

s1

cos

sin4

2sin

a

22

2sin

2sin

2sin

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 229: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

2.4

. Sig

a un d

ispositiu

òptic fo

rmat p

er una làm

ina d

e

quart d

’ona, els eix

os ràp

id i len

t del q

ual co

incid

eixen

,

respectiv

amen

t, amb els eix

os O

X i O

Y d

el sistema d

’eixos

cartesians d

e referència, seg

uid

a d’u

n p

olaritzad

or lin

eal l’eix

de tran

smissió

del q

ual fo

rma u

n an

gle am

b l’eix

OX

.

Determ

ineu

els valo

rs i vecto

rs pro

pis d

e la config

uració

i

especifiq

ueu

detallad

amen

t els tipus d

e llum

que rep

resenten

.

Rao

neu

per q

uè aq

uestes llu

ms só

n p

ròpies d

el sistema en

qüestió

.

*

2

*0

*

22

*00

*

1sin

cos

2,

2

PP

iP

PP

iPP

PP

PR

PM

*

20

*

2

*01

sinco

ssin

cos

Pi

PP

Pi

PP

M

LL

UM

El·L

ÍPT

ICA

CE

NT

RA

DA

DE

XT

RO

GIR

A A

MB

EL

·LIP

TIC

ITA

T

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 230: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

els valo

rs i vecto

rs pro

pis d

e la config

uració

i

especifiq

ueu

detallad

amen

t els tipus d

e llum

que rep

resenten

.

Rao

neu

per q

uè aq

uestes llu

ms só

n p

ròpies d

el sistema en

qüestió

.

2

2

*

2

*01

sinco

ssin

cos

sinco

ssin

cos

sin

cos

sinco

si

ii

Pi

PP

M

2

22

22

22

1sin

cos

cos

sinsin

cos

0det

ii

iI

M

P

isin

cos

sinco

s11

22

11

2sin

2co

s

cos

sin0

12

12

ii

LL

UM

EL

·LÍP

TIC

A C

EN

TR

AD

A

LE

VO

GIR

A A

MB

EL

·LIP

TIC

ITA

T

/2-

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 231: Òptica I Problemes resolts - CORE

En u

na seg

ona p

art, resoleu

les mateix

es qüestio

ns q

ue en

el

paràg

raf anterio

r per a u

na co

nfig

uració

semblan

t en q

uè el

polaritzad

or lin

eal haja sig

ut g

irat 90º resp

ecte de la seu

a

posició

orig

inal.

2

2

2co

sco

ssin

cos

sinsin

cos

sinco

s

sin

i

ii

M

*

22

*02

*

22

*00

*

22

2co

ssin

2,

22

PP

iP

PP

iPP

PP

PR

PM

*

20

2

*

2

*02

2co

ssin

cos

sin

P

iP

PP

iP

PM

LL

UM

EL

·LÍP

TIC

A C

EN

TR

AD

A

LE

VO

GIR

A A

MB

EL

·LIP

TIC

ITA

T

/2-

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 232: Òptica I Problemes resolts - CORE

Reco

neix

eu q

ue cad

a un d

els nous v

ectors p

ropis és

orto

gonal a u

n d

els de la p

rimera situ

ació.

2

22

22

22

2co

ssin

cos

sinsin

cos

0det

ii

iI

M

221

22

21

cos

sinco

ssin

Pi

sin

cos

022

22

i

LL

UM

EL

·LÍP

TIC

A C

EN

TR

AD

A

DE

XT

RO

GIR

A A

MB

EL

·LIP

TIC

ITA

T

2

2

2co

sco

ssin

cos

sinsin

cos

sinco

s

sin

i

ii

M

02

*

21

11

PP

0sin

cos

cos

sin22

12

ii

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 233: Òptica I Problemes resolts - CORE

Reco

neix

eu q

ue cad

a un d

els nous v

ectors p

ropis és

orto

gonal a u

n d

els de la p

rimera situ

ació.

Qüestió

: Per q

uè n

o es co

mpleix

el teorem

a de

desco

mposició

espectral?

*

22

22

22

22

22

21

21

21

2co

ssin

PP

iM

12

21

*

20

22

cos

sin

Pi

PP

M

22

11

*

20

1sin

cos

P

iP

PM

*2

2

12

12

12

11

11

11

1sin

cos

PP

iM

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 234: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

2.5

. Analitzeu

l’actuació

del d

ispositiu

descrit en

l’apartat

anterio

r sobre i) llu

m el·líp

tica centrad

a, d’el·lip

ticitat , i ii)

sobre el seu

estat orto

gonal.

P

M11

22

1

22

11

1

M12

21

2

M

022

2

M

(i)

221

12

2

PM

012

1

M

(ii)

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 235: Òptica I Problemes resolts - CORE

Rep

etiu l’an

àlisi quan

s’afegeix

a contin

uació

una làm

ina

retardad

ora id

èntica a la p

rimera p

erò g

irada resp

ecte a

aquesta 9

0º. C

om

pareu

ambdós resu

ltats.

2

0

*

22

*00

22

1sin

cos

2,

0

P

iP

PP

iPP

PM

R

02

,0

12

1

MR

02

,0

22

2

MR

20

2

*

22

*00

12

2co

ssin

2,

0

Pi

PP

PiP

PP

MR

22

22

122

22

12

,0

2,

0

MR

MR

12

12

212

12

22

,0

2,

0

MR

MR

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 236: Òptica I Problemes resolts - CORE

Fin

almen

t, particu

laritzeu els resu

ltats anterio

rs al cas en q

=

/4.

Conclu

sió: P

odem

constru

ir polaritzad

ors circu

lars amb d

ues

làmin

es de q

uart d

'ona i u

n p

olaritzad

or lin

eal.

*

41

RP

M

*

4

*

43

2L

PL

PM

Li

4

12

cos

sinR

i

4

22

sin

cos

**

41

2,

02

,0

RR

RP

RM

R

**

42

2,

02

,0

LL

LP

RM

R

2

,2

42

,0

*

RP

RR

R

2,

24

32

,0

*

RP

RL

L

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 237: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

2.6

. Es d

isposa d

’una làm

ina d

e mitja o

na am

b les seu

es

línies n

eutres g

irades u

n an

gle a

respecte als eix

os cartesian

s

de referèn

cia.

a) A

valu

eu l’efecte q

ue p

rodueix

aquesta làm

ina so

bre la

llum

polaritzad

a circularm

ent, tan

t dex

trogira co

m lev

ogira.

Interp

reteu el resu

ltat en term

es de llu

ms p

olaritzad

es

elemen

tals.

aa

a a

a

a

a a

a

a

a

aa

cos

sinco

s

sinsin

cos

sin

cos

,*

22

*P

PP

PR

a

a

aa

a

aa

a

aa

a

a

a

2co

s2

sin

2sin

2co

s

cos

sinsin

cos

2

sinco

s2

sinco

s,

22

22

R

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 238: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) A

valu

eu l’efecte q

ue p

rodueix

aquesta làm

ina so

bre la

llum

polaritzad

a circularm

ent, tan

t dex

trogira co

m lev

ogira.

Interp

reteu el resu

ltat en term

es de llu

ms p

olaritzad

es

elemen

tals.

a

a

aa

aa

a

a

aa

2 2

*

22

*

20

20

exp

exp

iPP

iR

RI

iPP

iL

LI

PP

PP

I

iPP

R

iPP

L

*

22

*,

a

a

aa

a

PP

PP

R

R

ii

iPP

iL

Ra

a

a

a

a

aex

pex

pex

p,

2

Li

iiP

Pi

RR

a

a

a

a

aa

exp

exp

exp

,2

**

2exp

2exp

,L

Ri

RL

iR

a

a

a

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 239: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) A

valu

eu l’efecte q

ue p

rodueix

aquesta làm

ina so

bre la

llum

polaritzad

a circularm

ent, tan

t dex

trogira co

m lev

ogira.

Interp

reteu el resu

ltat en term

es de llu

ms p

olaritzad

es

elemen

tals.

L

ii

i

iR

Ra

a

a

a

aa

a

2exp

1

2 2exp

1

2co

s2

sin

2sin

2co

s

2 1,

R

ii

i

iL

Ra

a

a

a

aa

a

2exp

1

2

2exp

1

2co

s2

sin

2sin

2co

s

2 1,

*

22

*,

a

a

aa

a

PP

PP

R

**

2exp

2exp

,L

Ri

RL

iR

a

a

a

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 240: Òptica I Problemes resolts - CORE

04

exp0 1

2

11

11

11

22

12

,4

Pi

i

ii

i

ii

RR

*

2

*

04

exp4

exp2

,4

LP

iR

Pi

R

i

i

ii

PiP

PP

R1

1

11

2 12

,4

*

43

43

*

44

24

exp1 0

2

11

11

11

22

12

,4

Pi

i

ii

i

ii

LR

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

b) L

a làmin

a anterio

r se situa en

tre dues làm

ines d

e quart

d’o

na. L

’eix len

t de cad

a una d

’aquestes làm

ines fo

rma u

n

angle d

e 45º am

b l’eix

X. A

nalitzeu

l’efecte que ex

erceix aq

uest

disp

ositiu

sobre u

na llu

m lin

ealmen

t polaritzad

a a 0º i a 9

0º.

Page 241: Òptica I Problemes resolts - CORE

L

ii

i

ii

ii

PR

4ex

p1

2

1

0 1

11

11

2 12

,4

0

*

2

*04

exp

4ex

p2

,4

PR

iP

Li

R

i

i

ii

PiP

PP

R1

1

11

2 12

,4

*

43

43

*

44

R

ii

i

ii

ii

PR

4ex

p1

2

1

1 0

11

11

2 12

,4

2

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

b) L

a làmin

a anterio

r se situa en

tre dues làm

ines d

e quart

d’o

na. L

’eix len

t de cad

a una d

’aquestes làm

ines fo

rma u

n

angle d

e 45º am

b l’eix

X. A

nalitzeu

l’efecte que ex

erceix aq

uest

disp

ositiu

sobre u

na llu

m lin

ealmen

t polaritzad

a a 0º i a 9

0º.

Page 242: Òptica I Problemes resolts - CORE

1r E

LE

ME

NT

2n

EL

EM

EN

T

3r E

LE

ME

NT

LL

UM

EM

ER

GE

NT

**

2exp

2exp

,L

Ri

RL

iR

a

a

a

Ri

i4

exp2

exp2

a

03

2exp

2exp

2,

44

exp2

expP

ii

RR

ii

a

a

*

2

*04

exp4

exp2

,4

PR

iP

Li

R

L

iP

R4

exp

2,

40

1

*

2

*

04

exp4

exp2

,4

LP

iR

Pi

R

Treb

alls tutelats

b) L

a làmin

a anterio

r se situa en

tre dues làm

ines d

e quart

d’o

na. L

’eix len

t de cad

a una d

’aquestes làm

ines fo

rma u

n

angle d

e 45º am

b l’eix

X. A

nalitzeu

l’efecte que ex

erceix aq

uest

disp

ositiu

sobre u

na llu

m lin

ealmen

t polaritzad

a a 0º i a 9

0º. C

. ZA

PA

TA

T

T2

Page 243: Òptica I Problemes resolts - CORE

1r E

LE

ME

NT

2n

EL

EM

EN

T

3r E

LE

ME

NT

LL

UM

EM

ER

GE

NT

22

,4

43

4

21

iP

PP

R

*

43

43

*

44

2,

4

P

iPP

PR

R

i4

exp1

**

2exp

2exp

,L

Ri

RL

iR

a

a

a

1

2,

a

R

L

ii

4exp

2exp

2

a

23

2,

4

R

*

43

43

*

44

2,

4

P

iPP

PR

23

2ex

p2

exp

2,

44

exp

2ex

p

a

a

Pi

iL

Ri

i

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

b) L

a làmin

a anterio

r se situa en

tre dues làm

ines d

e quart

d’o

na. L

’eix len

t de cad

a una d

’aquestes làm

ines fo

rma u

n

angle d

e 45º am

b l’eix

X. A

nalitzeu

l’efecte que ex

erceix aq

uest

disp

ositiu

sobre u

na llu

m lin

ealmen

t polaritzad

a a 0º i a 9

0º.

Page 244: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Com

pro

veu

que el d

ispositiu

de l’ap

artat b es co

mporta

com

un retard

ador am

b les seu

es línies n

eutres cen

trades.

Tro

beu

el valo

r del d

esfasamen

t que in

trodueix

.

*

22

*00

22

exp

22

exp

2,

4,

2,

4

a

a

a

PP

iP

Pi

RR

R

*

22

*00

4ex

p2

2ex

p2

,4

,2

,4

a

a

a

P

Pi

PP

iR

RR

a

a

a

4,

02

2ex

p2

,4

,2

,4

Ri

RR

R

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 245: Òptica I Problemes resolts - CORE

d) A

quin

elemen

t equiv

aldria el d

ispositiu

de l’ap

artat b si

les dues làm

ines d

e quart d

’ona tin

gueren

els seus eix

os len

ts

coin

ciden

ts amb l’eix

X?

44

2,

04

4,

44

2,

04

4

a

RR

RR

RR

RR

RR

RM

*

22

*00

2,

0

PiP

PP

R

co

ssin

sinco

s*

22

*

0P

PP

PR

co

ssin

sinco

s*

22

*0P

PP

PR

MA

TR

IUS

DE

RO

TA

CIÓ

DE

L

SIS

TE

MA

DE

RE

FE

NC

IA

*

43

43

*

44

2,

4

P

iPP

PR

4

2,

44

2,

0

RR

RR

2

,0

,2

,0

a

R

RR

M

4

2,

04

2,

4

RR

RR

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 246: Òptica I Problemes resolts - CORE

4

2,

4,

42

,4

4

a

R

RR

RR

M

4

42

,0

44

,4

42

,0

44

a

R

RR

RR

RR

RR

RR

M

a

a

a

4,

02

2exp

2,

4,

2,

4R

iR

RR

4

4,0

2ex

p4

aa

R

Ri

RM

a

a

4,4

2ex

pR

iM

*

44

*

44

4ex

p2

exp

a

a

P

Pi

PP

iM

*

44

*

44

2exp

2exp

a

a

P

Pi

PP

iM

Treb

alls tutelats

d) A

quin

elemen

t equiv

aldria el d

ispositiu

de l’ap

artat b si

les dues làm

ines d

e quart d

’ona tin

gueren

els seus eix

os len

ts

coin

ciden

ts amb l’eix

X?

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 247: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

2.7

. Consid

ereu el filtre d

e polarització

dissen

yat p

er Lyot

i Öhm

an, q

ue co

nsisteix

en u

n co

nju

nt d

e làmin

es

retardad

ores co

mpreses en

tre polaritzad

ors lin

eals amb els

seus eix

os d

e transm

issió p

aral·lels. El retard

de les làm

ines

segueix

una p

rogressió

geo

mètrica, és a d

ir, d, 2

d, 4

d, 8

d, …

Totes les làm

ines ten

en les seu

es línies n

eutres o

rientad

es a

45º resp

ecte dels eix

os d

e transm

issió d

els polaritzad

ors.

a) T

robeu

la matriu

de Jo

nes d

’un sistem

a com

post p

er N

làmin

es retardad

ores (i N

+ 1

polaritzad

ors).

º

45

12

42

1P

MM

MM

MN

d d

d

d

1 1

1

1

22

exp

1

2ex

p1

2 1

2ex

p0

01

11

11

2 12,

45

1N N

N

N

i i

iR

PM

N

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 248: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) T

robeu

la matriu

de Jo

nes d

’un sistem

a com

post p

er N

làmin

es retardad

ores (i N

+ 1

polaritzad

ors).

d dd

d d

d d

i ii

i i

i iM

MN

N N

N

exp

1

exp

1

4

2ex

p1

exp

1

exp

1

2ex

p1

2ex

p1

4 11

1 1

12

1

1

22

1

1

12

2co

s2

exp

2

2ex

p1

1M

iM

iM

MN

NN

Nd

d

d

14

21

24

21

1co

sex

pM

MM

iM

MM

MN

N

dd

1

22

12

42

cos

exp

2co

s2

exp

2co

s2

exp

1M

ii

iM

MM

MN

NN

dd

dd

dd

1

111

11

1

12

42

2co

s2

exp

1M

iM

MM

Mn

Nn

Nn

nN

d

d

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 249: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) T

robeu

la matriu

de Jo

nes d

’un sistem

a com

post p

er N

làmin

es retardad

ores (i N

+ 1

polaritzad

ors).

1

111

11

1

12

42

2co

s2

exp

1M

iM

MM

Mn

Nn

Nn

nN

d

d

º

45

12

42

1P

MM

MM

MN

º

45

22

cos

22

exp

º45

10

10

12

42

1P

iP

MM

MM

Mn

Nn

Nn

nN

d

d

º

45

2co

s2

exp

11

11

4

exp

1

11

11

2 1

exp

1

exp

1

2 1º

45

1P

ii

i iP

Md

d

d

d d

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 250: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) T

robeu

la matriu

de Jo

nes d

’un sistem

a com

post p

er N

làmin

es retardad

ores (i N

+ 1

polaritzad

ors).

º

45

2sin

2

2sin

2

12

exp

º45

22

cos

22

exp

110

10

Pi

Pi

MN

NN

nNn

Nn

n

d

d

d

d

d

12

24

21

21

10

N

NNn

n

2

sin2

2co

s2

cos

2sin

2

2sin

2

2co

s2

sin2

2sin

2

2sin

23

32

22

1

d

dd

d

d

dd

d

d

N

NN

N

N

NN

N

N

d

d

d

d

d

d

22

cos

2sin

2

22

cos

2sin

2

2sin

2

2sin

10

11

1n

Nn

MN

N

nN

MN

n

MN

M

N

N

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 251: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) D

emostreu

que si in

cideix

llum

natu

ral amb u

na in

tensitat

I0 , la in

tensitat em

ergen

t d’aq

uest sistem

a es pot escriu

re

com

:

º

45

2sin

2

2sin

2

12

exp

1

Pi

MN

NN

d

d

d

º45

0

1

22

sin2

2sin

2

12

exp

PI

iN

NN

ou

td

d

d

02

12

12

2sin

2

2sin

II

N

N

ou

td d

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T2

Page 252: Òptica I Problemes resolts - CORE

TR

EB

AL

LS

TU

TE

LA

TS

D’Ò

PT

ICA

I

Solu

cion

s del B

utlletí 2

Page 253: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

3.1

. La co

nductiv

itat d’u

n m

aterial es descriu

mitjan

çant

la llei d’O

hm

, . Utilitzan

t l’equació

, on

és la den

sitat de càrreg

ues i :

a) Id

entifiq

ueu

la conductiv

itat s

del m

edi.

b) D

emostreu

que és essen

cialmen

t la

suscep

tibilitat c

del m

edi.

c) Com

que en

un m

etall les càrregues d

e conducció

no estan

lligad

es, podem

consid

erar 0

0, q

ue és l’an

om

enat m

odel

de D

rude. T

robeu

la conductiv

itat nom

inal (és a d

ir, en el

límit

→ 0

) i la freqüèn

cia de p

lasma p

er al coure, el q

ual té

una d

ensitat d

e 8.9

× 1

06 g

r/m3 i u

n p

es atòm

ic de

63.5

4 g

r/mol. A

més, co

nsid

ereu q

ue =

2.0

5 ×

10

13 rad

/s. En

aquest cas, su

poseu

un electró

de co

nducció

per àto

m i

record

eu q

ue el n

om

bre d

’Avogad

ro és 6

× 1

02

3 àtom

/mol.

Treb

alls tutelats

EJ

s

rJ

Ne

dt

rd

r

0

s

i

TT

3

C. Z

APA

TA

Page 254: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) Id

entifiq

ueu

la conductiv

itat s

del m

edi.

s

s

2

220

0

2i

iE

Jp

Ei

i

m Ne

Ei

m Ne

rJ

Ne

22

12

20

2

220

2

Ei

m er

Em e

rdt r

d

dt r

d

2

12

220

202

2

m

Ne

p

0

22

s

s

2lim

0

2

0n

om

p

Dru

de

s

2

0

2

00

i

ip

Dru

de

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 255: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) D

emostreu

que és essen

cialmen

t la

suscep

tibilitat c

del m

edi.

0

s

i

P

ir

Ne

ir

iN

er

JN

e

EJ

s

EP

c

0

c

s

0i

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 256: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Com

que en

un m

etall les càrregues d

e conducció

no estan

lligad

es, podem

consid

erar 0

0, q

ue és l’an

om

enat m

odel

de D

rude. T

robeu

la conductiv

itat nom

inal (és a d

ir, en el

límit

→ 0

) i la freqüèn

cia de p

lasma p

er al coure, el q

ual té

una d

ensitat d

e 8.9

× 1

06 g

r/m3 i u

n p

es atòm

ic de

63.5

4 g

r/mol. A

més, co

nsid

ereu q

ue =

2.0

5 ×

10

13 rad

/s. En

aquest cas, su

poseu

un electró

de co

nducció

per àto

m i

record

eu q

ue el n

om

bre d

’Avogad

ro és 6

× 1

02

3 àtom

/mol.

mS

iemen

s10

8.5

2

70

2

no

m

sp

Ce

19

10

6022

.1

kg

m3

110

1094

.9

mF

12

010

8542

.8

Hz

10

6.2

srad

10

6.1

15

16

0

2

pp

fm

Ne

3

28

36

23

m

electrons

10

4.8

àtom

electró1

mgr

10

9.8

mol

gr

54

.63

mol

àtom

s10

6

N

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 257: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

3.2

. Dem

ostreu

que l’ín

dex

de refracció

d’u

na m

escla de g

asos

val:

on n

i () és l’ín

dex

de refracció

de cad

a un d

els gaso

s i fi la seua

concen

tració fraccio

nal m

olecu

lar (nom

bre d

e molècu

les del g

as i

div

idit p

el nom

bre to

tal de m

olècu

les).

Com

a aplicació

, trobeu

l’índex

de refracció

de l’aire p

er a

a partir d

els valo

rs i

corresp

onen

ts respectiv

amen

t a l’oxig

en i al n

itrog

en. (C

onsid

ereu

l’aire com

una m

escla d’aq

uests d

os g

asos am

b p

roporcio

ns

respectiv

es del 2

5%

i el 75%

).

i

ii n

fn

nm

589

000272

.1

2

On

000297

.1

2

Nn

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 258: Òptica I Problemes resolts - CORE

Relació

entre la su

sceptib

ilitat i l’índex

de refracció

c

c

c

2 11

11

n

220

0

21

cm

Ne

Nom

bre

de d

ipols p

er

un

itat d

e v

olu

m

Su

scep

tibilita

t

elè

ctr

ica

Càrre

ga

elè

ctr

ica

Fre

èn

cia

de

resso

nàn

cia

M

assa

de

l’ele

ctr

ó

Perm

itivita

t

die

lèctr

ica

Ce

19

10

6022

.1

mF

12

010

8542

.8

kg

m3

110

1094

.9

ME

DIS

MO

LT

DIL

UÏT

S

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 259: Òptica I Problemes resolts - CORE

Suposem

que ex

isteix m

és d'u

na esp

ècie atòm

ica.

Si les esp

ècies a ten

en Z

a electrons am

b freq

üèn

cies de

ressonàn

cia ai , llav

ors p

odem

escriure:

i

Zjij

i

i

i

i

Zjij

ii

im

eN

ff

me

Nn

12

2

2

01

22

2

02

2 11

c

i

Zjij

ii

me

N

12

2

2

0

i

iN

N

i

ii

if

N Nf

1

i

ii

i

Zjij

in

fm

eN

fn

i12

2

2

02

1 Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 260: Òptica I Problemes resolts - CORE

EX

EM

PL

E N

UM

ÈR

IC:

000272

.1

2

On

000297

.1

2

Nn

25

.0

2

Of

75

.0

2

Nf

000291

.1

22

22

N

NO

OA

IRE

nf

nf

n

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 261: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

3.3

. La su

sceptib

ilitat d’u

n m

edi és d

efinid

a a través d

e

, on és el cam

p elèctric m

acroscò

pic. E

l

camp lo

cal, és a dir, el cam

p elèctric actu

ant so

bre l’àto

m,

està donat p

er . Dem

ostreu

que

segons la teo

ria de L

oren

tz, que s’an

om

ena la relació

de

Clau

sius-M

osso

tti. A co

ntin

uació

, obten

iu la relació

de

Loren

tz-Loren

tz mitjan

çant l’eq

uació

EE

NP

loca

l

c

a

0E

PE

Elo

cal

1

03

a

c

c

23

32

20

2

0i

Np

12

cn

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 262: Òptica I Problemes resolts - CORE

m

Ne

p

0

22

Dem

ostreu

la relació d

e Clau

sius-M

osso

tti. EN

EE

EN

Plo

cal

loca

l

a c

c

a

0

0

0

00

03

13

c

a c

N

PE

Elo

cal

loc

loc

Ei

m er

Em e

rdt r

d

dt r

d

2

12

220

202

2

0

220

2

2

a

a

N

iE

Nr

eNP

p

loca

l

0

31

a

c c

N

RE

LA

CIÓ

DE

CL

AU

SIU

S-M

OS

SO

TT

I

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 263: Òptica I Problemes resolts - CORE

A co

ntin

uació

, obten

iu la relació

de L

oren

tz-Loren

tz.

12

cn

a

c c

23 1

33

220

2

0i

Np

23 1

2 12

20

2

2 2

in n

p

RE

LA

CIÓ

DE

LO

RE

NT

Z-L

OR

EN

TZ

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 264: Òptica I Problemes resolts - CORE

T3.4

. Com

pro

veu

que la fó

rmula d

e Loren

tz-Loren

z safisfà,

amb les ap

roxim

acions o

portu

nes q

ue cal estab

lir, la fórm

ula

de C

auch

y p

er a l’índex

de refracció

de g

asos:

on A

i B só

n co

nstan

ts a determ

inar.

2

11

BA

n Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 265: Òptica I Problemes resolts - CORE

Relació

entre la su

sceptib

ilitat i l’índex

de refracció

c

c

c

2 11

11

n

220

0

21

cm

Ne

Nom

bre

de d

ipols p

er

un

itat d

e v

olu

m

Su

scep

tibilita

t

elè

ctr

ica

Càrre

ga

elè

ctr

ica

Fre

èn

cia

de

resso

nàn

cia

M

assa

de

l’ele

ctr

ó

Perm

itivita

t

die

lèctr

ica

Ce

19

10

6022

.1

mF

12

010

8542

.8

kg

m3

110

1094

.9

ME

DIS

MO

LT

DIL

UÏT

S

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 266: Òptica I Problemes resolts - CORE

Suposan

t que h

i ha Z

electrons q

ue resp

onen

de fo

rma

indep

enden

t a un cam

p d

onat:

Zi

i

me

Nn

12

2

2

02 1

1

c

Zii

me

N

12

2

2

0

i

i

c

2

Zi

i iZi

i

i

mc

Ne

mc

Ne

n1

2

2

2

0

2

2

12

2

22

2

0

2

2

18

81

21

21

1

1

i

i

i

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 267: Òptica I Problemes resolts - CORE

Zi

i

Zi

ii

Zi

im

c

Ne

mc

Ne

mc

Ne

n1

2

4

2

0

2

2

1

2

2

0

2

2

2 2

1

2

2

0

2

21

88

18

1

2

11

BA

n

AA

B

Zi

im

c

Ne

A1

2

2

0

2

2

8

Zi

i

Zi

i

B

1

2

1

4

Treb

alls tutelats

Suposan

t que h

i ha Z

electrons q

ue resp

onen

de fo

rma

indep

enden

t a un cam

p d

onat:

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 268: Òptica I Problemes resolts - CORE

EX

EM

PL

E N

UM

ÈR

IC: G

as He a tem

peratu

ra i pressió

estàndard

.

2

11

BA

n

* L

asers (P.W

. Milo

nni &

J.H.E

berly

), p. 4

0

510

48

.3

A

21

110

3.2

cmB

A584

22

1

Z

31

910

69

.2

cm

N

5

1

2

2

0

2

2

10

23

.8

8

Zi

im

c

Ne

A

21

1

1

2

1

4

10

42

.3

cmB

Zi

i

Zi

i

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 269: Òptica I Problemes resolts - CORE

T3.5

. A p

artir de l’ex

pressió

donad

a pel m

odel clàssic p

er a la

relació d

e disp

ersió, tro

beu

la fórm

ula sem

iempírica d

e

Sellm

eier:

vàlid

a per a m

edis tran

sparen

ts en les reg

ions esp

ectrals

allunyad

es de les lo

ngitu

ds d

’ona d

e ressonàn

cia i .

i

i

iC

An

22

2

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 270: Òptica I Problemes resolts - CORE

Relació

entre la su

sceptib

ilitat i l’índex

de refracció

c

Zii

iB

n1

22

22

11

c

Zii

iZi

im

c

Ne

me

N

12

2

22

2

0

2

2

12

2

2

04

i

i

c

2

RM

UL

A D

E S

EL

LM

EIE

R

2

2

0

2

2

4i

im

c

Ne

B

2

2

2

22

2

22

2

i

ii

ii

i

ii

i

iB

BB

BB

B

i

i

iZi

i

ii

Zi

i

CA

BB

n2

21

22

2

1

21

Zi

iB

A1

1

ii

iB

C2

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 271: Òptica I Problemes resolts - CORE

Llu

ny d

e la zona d

e ressonàn

cia es com

pleix

:

2

2

0

2

2

4i

im

c

Ne

B

i

ii

ii

i

ii

iC

AC

AC

An

2 2

2

2 22

22

21

1

1

Zi

iB

A1

1

ii

iB

C2

i

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 272: Òptica I Problemes resolts - CORE

Com

a aplicació

, consid

ereu en

la regió

visib

le el cas del

CaF

2 , del q

ual es co

neix

l’existèn

cia de d

ues lo

ngitu

ds d

’ona

de resso

nàn

cia i . La p

rimera

d’aq

uestes està asso

ciada a u

na tran

sició electrò

nica, m

entre

que la seg

ona co

rrespon a u

na tran

sició en

tre estats de

vib

ració d

’ions F

- en la m

olècu

la. Tro

beu

el valo

r de les

constan

ts de la fó

rmula d

e Sellm

eier en aq

uest cas. (A

juda:

, on m

e és la massa d

e l’electró).

nm

2.94

1

m

35

2

eF

mm

3470

8.39

21 22

1 2

F e

m m

B B??

121

i

iB

A

??1

211

B

C

kgm

e

31

10

1094

.9

??

N

Ce

19

10

6022

.1

mF

12

010

8542

.8

??4

2

0

2

22

cm

Ne

e

??

2

11

B??

2

222

B

C

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 273: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

3.6

. Consid

ereu el seg

üen

t índex

de refracció

apro

piat p

er

a un m

edi am

b freq

üèn

cia de resso

nàn

cia 0 i co

nstan

t de

relaxació

[Phys. R

ev. A 1

(1970) 3

05]:

En l’eq

uació

anterio

r, n∞ és l’ín

dex

de refracció

lluny d

e la

freqüèn

cia de resso

nàn

cia i p >

0 p

er a un m

edi d

issipatiu

.

a) A

valu

eu la v

elocitat d

e fase i la velo

citat de g

rup d

’un p

ols

l’ample esp

ectral 1/t d

el qual és m

olt m

enor q

ue la co

nstan

t

de relax

ació, t >

> 1

.

in

np0

0

np

22

0

0

22

0

00

00

00

p

p

nin

np

n

nn

ii

in

n

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 274: Òptica I Problemes resolts - CORE

1

d

cn

d

dk

dv

g

2

2

0

00

pn

n

1

22

0

2

2

0

20

c

c nv

p

g

1

22

0

00

c

c n

d dv

p

g

a) A

valu

eu la v

elocitat d

e fase i la velo

citat de g

rup d

’un p

ols

l’ample esp

ectral 1/t d

el qual és m

olt m

enor q

ue la co

nstan

t

de relax

ació, t >

> 1

.

n c

kv

f

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

n

p

Page 275: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) P

articularitzeu

aquestes ex

pressio

ns q

uan

la freqüèn

cia

central d

el pols co

incid

eix am

b la freq

üèn

cia de resso

nàn

cia

0 d

el med

i, i trobeu

els valo

rs de

p per als q

uals la

velo

citat de g

rup p

ot ser su

perlu

mín

ica i inclú

s neg

ativa.

2

0

1

2

01

0

p

p

gn

c

cc n

v

0

2

0

2

2

0

22

0

11

0

nn

nn

cv

p

p

pp

g

00

1n

np

n c

vf

0

00

0

2

p

gn

v

0

np

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 276: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Fin

almen

t, trobeu

la condició

que h

a de co

mplir el

paràm

etre p p

erquè la d

istància d

e pen

etració d

= [k

0 Im(n

)]-1

siga m

olt m

ajor q

ue la lo

ngitu

d d

’ona

0 en el b

uit.

pp

n0

22

0

0

2

1

2

10

0

0

p

pn

kd

Qüestió

: És co

mpatib

le aquest resu

ltat amb els o

btin

guts en

l'apartat an

terior?

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 277: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

3.7

. És b

en co

neg

ut q

ue en

un d

ielèctric perfecte, el cam

p

elèctric E i m

agnètic H

d’u

na o

na p

lana o

scil·len en

fase.

Consid

ereu ara u

na o

na p

lana m

onocro

màtica q

ue es p

ropag

a

en u

n m

edi m

etàl·lic amb u

na co

nductiv

itat s ≠

0. T

robeu

el

desfasam

ent

del v

ector cam

p m

agnètic resp

ecte al vecto

r

camp elèctric, i d

emostreu

que si s

/

1

es com

pleix

que

=

-45º.

x

kit

iE

E

exp

0

x

kit

iH

H

exp

0

x

kit

iD

ED

exp

0

x

kit

iB

HB

exp

0

x

kit

iJ

EJ

s

exp

0

00

00

Hk

Bk

B

00

00

Ek

Dk

D

CA

MP

TR

AN

SV

ER

SA

L

00

Bi

Eki

BE

t

00

0D

iE

Hki

DJ

Ht

s

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 278: Òptica I Problemes resolts - CORE

Tro

beu

el desfasam

ent

del v

ector cam

p m

agnètic resp

ecte

al vecto

r camp elèctric, i d

emostreu

que si s

/ >

> 1

es

com

pleix

que

= -4

5º.

00

00

HE

kB

iE

ki

00

00

00

0E

EE

iH

kD

iE

Hki

c

s

s

s

ic

s

i

kH

kE

kk

c

22

2

00

E

QU

AC

IÓ D

E D

ISP

ER

SIÓ

00

2

00

22

20

s

i

nk

n

s

,

00

00

argarg

argH

Ek

HE

k

42

tan2

2

s

s

si

k

k

EH

argarg

arg0

0

Treb

alls tutelats

C. Z

APA

TA

T

T3

Page 279: Òptica I Problemes resolts - CORE

TR

EB

AL

LS

TU

TE

LA

TS

D’Ò

PT

ICA

I

Solu

cion

s del B

utlletí 4

Page 280: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

4.1

. Una o

na p

lana h

om

ogèn

ia de freq

üèn

cia n=

500T

Hz té

un cam

p elèctric q

ue s’escriu

de la fo

rma:

Consid

ereu q

ue aq

uesta o

na es p

ropag

a en u

n m

edi d

’índex

de refracció

n1 =

2 i in

cideix

obliq

uam

ent so

bre u

na su

perfície

que sep

ara aquest m

edi d

e l’espai b

uit (n

2 =1) tal co

m es

mostra en

la figura ad

junta.

Treb

alls tutelats

rki

ey

iz

xE

rE

ˆ

2

55

ˆˆ

22

0

n1 =

2n

2 =1

x

zy

k

a) O

bten

iu el v

alor d

els angles

d’in

cidèn

cia i de refracció

. A m

és, escriviu

les expressio

ns d

els vecto

rs d’o

na d

e les

ones in

ciden

t, reflectida i tran

smesa.

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 281: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) O

bten

iu el v

alor d

els angles d

’incid

ència i d

e refracció. A

més, escriv

iu les ex

pressio

ns d

els vecto

rs d’o

na d

e les ones

incid

ent, reflectid

a i transm

esa.

Treb

alls tutelats

rki

rki

eE

ey

iz

xE

rE

0

02

55

22

n1 =

2n

2 =1

x

zy

k

rki

eE

rE

0

r

kie

Er

E

0

ON

A R

EF

LE

CT

IDA

O

NA

TR

AN

SM

ES

A

00

2

25

5

4

Ei

E

z y x

u u u

uu

nk

kˆ1

0

un

kk

ˆ

20

u

nk

k

ˆ10

0

Eu

ˆ

y

u

52

0

51

ˆ ˆˆ

0 0

yE

yE

u

ck

n

2

0

1

05.

10

m

k

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 282: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) O

bten

iu el v

alor d

els angles d

’incid

ència i d

e refracció. A

més, escriv

iu les ex

pressio

ns d

els vecto

rs d’o

na d

e les ones

incid

ent, reflectid

a i transm

esa.

Treb

alls tutelats

rki

eE

rE

0

n1 =

2n

2 =1

x

zy

k

rki

eE

rE

0

r

kie

Er

E

0

ON

A R

EF

LE

CT

IDA

O

NA

TR

AN

SM

ES

A

un

kk

ˆ10

un

kk

ˆ

20

u

nk

k

ˆ10

zz

kk

52

0

51

u

ON

A IN

CID

EN

T

yy

y

xx

x

kk

k

kk

k

cos 0

sin

u

51

0

52

cos 0

sin

u

sin

sin2

1n

n

51

sin

º57

.26

º43

.63

º90

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 283: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) Id

entifiq

ueu

el tipus d

e polarització

de l’o

na in

ciden

t.

Treb

alls tutelats

n1 =

2n

2 =1

x

zy

k

rki

eE

rE

0

un

kk

ˆ10

ON

A IN

CID

EN

T

00

2

25

5

4

Ei

E

52

0

51

ˆ ˆˆ

0 0

yE

yE

u

0

0

||0

0||

||0

02

55

52

ˆ ˆˆ

ˆˆ

ˆE

iu

E

uE

uu

Eu

uE

E

uu

ˆˆ

||

yu

ˆˆ

51

0

52

ˆ||

u

LL

UM

EL

·LÍP

TIC

A

CE

NT

RA

DA

DE

XT

RO

GIR

A

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 284: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Obten

iu el cam

p elèctric d

e l’ona reflectid

a i transm

esa. A

més, id

entifiq

ueu

el tipus d

e polarització

d’aq

uestes o

nes.

Treb

alls tutelats

n1 =

2n

2 =1

x

zy

k

rki

eE

rE

0

r

kie

Er

E

0

ON

A R

EF

LE

CT

IDA

O

NA

TR

AN

SM

ES

A

un

kk

ˆ

20

u

nk

k

ˆ10

0

0

||0

0||

||0

02

55

52

ˆ ˆˆ

ˆˆ

ˆE

iu

E

uE

uu

Eu

uE

E

0||

0

||0

0||

||0

02

55

52

ˆ ˆˆ

ˆˆ

ˆE

ti

t

uE

uE

uu

Eu

uE

E

0||

0

||0

0||

||0

02

55

52

ˆ ˆˆ

ˆˆ

ˆE

ri

r

uE

uE

uu

Eu

uE

E

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 285: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Obten

iu el cam

p elèctric d

e l’ona reflectid

a i transm

esa. A

més, id

entifiq

ueu

el tipus d

e polarització

d’aq

uestes o

nes.

Treb

alls tutelats

n1 =

2n

2 =1

x

zy

k

rki

eE

rE

0

r

kie

Er

E

0

ON

A R

EF

LE

CT

IDA

O

NA

TR

AN

SM

ES

A

un

kk

ˆ

20

u

nk

k

ˆ10

00

25

5

52

Ei

E

00

54

54

Ei

E

00

25

3

0E

iE

5 8

sin

cos

sin2

t

2co

ssin

cos

sin2

||

t

5 3

sin

sin

r

0tan

tan||

r

LL

UM

CIR

CU

LA

RM

EN

T

PO

LA

RIT

ZA

DA

DE

XT

RO

GIR

A

LL

UM

LIN

EA

LM

EN

T

PO

LA

RIT

ZA

DA

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 286: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Obten

iu el cam

p elèctric d

e l’ona reflectid

a i transm

esa. A

més, id

entifiq

ueu

el tipus d

e polarització

d’aq

uestes o

nes.

Treb

alls tutelats

n1 =

2n

2 =1

x

zy

k

rki

eE

rE

0

r

kie

Er

E

0

ON

A R

EF

LE

CT

IDA

O

NA

TR

AN

SM

ES

A

un

kk

ˆ

20

u

nk

k

ˆ10

00

||0

0

8 54

4

ˆ5

54

Ei

uE

iu

EE

00

0

0

25

3

0

ˆ2

53

Ei

uE

iE

u

uu

ˆ

ˆˆ

||

yu

ˆˆ

52

0

51

ˆ||

u

00

2

25

5

4

Ei

E

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 287: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Obten

iu el cam

p elèctric d

e l’ona reflectid

a i transm

esa. A

més, id

entifiq

ueu

el tipus d

e polarització

d’aq

uestes o

nes.

Com

pro

veu

que es co

mpleix

en les co

ndicio

ns d

e conto

rn:

Treb

alls tutelats

n1 =

2n

2 =1

x

zy

k

rki

eE

rE

0

r

kie

Er

E

0

ON

A R

EF

LE

CT

IDA

O

NA

TR

AN

SM

ES

A

un

kk

ˆ

20

u

nk

k

ˆ10

00

8 54

4

Ei

E

0

0

0

25

3

0

Ei

E

0

0

2

25

5

4

Ei

E

xx

xE

EE

00

0

yy

yE

EE

00

0

zz

zz

zz

EE

ED

DD

02

01

01

00

0

421

1

n

122

2

n

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 288: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

4.2

. Com

pro

veu

que l’an

gle lím

it és sempre m

ajor q

ue

l’angle d

e Brew

ster.

Tro

beu

aquests an

gles p

er a n =

1.3

3 i n

= 1

.75

, sent n

´=1.

Treb

alls tutelats

n nl

sin

n nB

tan

2 2

22

22

2

22

tansin

1

sintan

n n

nn

nB

l

ll

Bl

22

2n

nn

n

n

n

l1

arcsin

n

B1

arctan

º94

.36

º75

.48

33

.1

B ln

º74

.29

º85

.34

75

.1

B ln

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 289: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

4.3

. Un raig

de llu

m in

cideix

sobre u

na su

perfície d

e

separació

aire-vid

re de m

anera q

ue l’an

gle d

’incid

ència i té

un v

alor d

oble q

ue l’an

gle d

e refracció r. E

n aq

uestes

condicio

ns el facto

r de reflex

ió R

┴ v

al 0.4

11.

a) D

etermin

eu l’ín

dex

de refracció

n d

el vid

re respecte d

e

l’aire i els angles i i r.

41

1.

03

sin sin

sin

sin2 2

2

2 22

r r

ri

ri

rR

ri

º87

.36

º74

.73

r i

600

.1

sinsin

n

rn

i

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 290: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) S

i en co

mpte d

’estar en co

ntacte am

b l’aire, el d

it vid

re es

troba en

contacte am

b l’aig

ua (n

a = 1

.33) i el raig

de llu

m

incid

eix am

b el m

ateix an

gle i so

bre la su

perfície d

e

separació

d’am

bdós m

edis, d

etermin

eu el n

ou an

gle d

e

refracció r´ i els facto

rs de reflex

ió R

┴ y

R|| en

els dos caso

s

següen

ts:

El raig

incid

eix d

es de l’aig

ua am

b l’an

gle d

’incid

ència i.

El raig

incid

eix d

es del v

idre tam

bé am

b l’an

gle d

’incid

ència

i.

1961

.0

sin

sin2 2

2

r

i

ri

rR

rn

in

asin

sin

08

01

2.

0tan

tan2 2

2

||||

ri

ri

rR

º94

.52

r

54

97

.0

2sin

sini

rr

ni

na

1

R

1||

R

RE

FL

EX

IÓ T

OT

AL

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 291: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Dem

ostreu

que p

er a la superfície d

e separació

aigua-v

idre

no p

ot o

bten

ir-se cap an

gle d

’incid

ència q

ue v

alga el d

oble

que l’an

gle d

e refracció.

rn

rn

rn

in

a

ri

asin

2sin

sinsin

2

rr

rco

ssin

22

sin

º

90

º04

.1

06

º02

.53

cos

2i

rn

rn

aS

OL

UC

NO

RE

AL

IST

A

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 292: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

4.4

. Es d

isposa d

’una làm

ina p

lanoparal·lela d

e gro

ssària

h i ín

dex

n=

1.5

54, su

bm

ergid

a en aire, am

b u

na d

e les seues

cares tallada a 4

5º. U

n raig

de llu

m circu

larmen

t polaritzat

levogir in

cideix

norm

almen

t sobre aq

uesta cara d

’entrad

a i es

pro

pag

a en el seu

interio

r, tal com

mostra la fig

ura.

0,

20

hP

2

,1

hh

P

2

,2

2h

hP

2

1,

1h

mh

Pm

m

i

IL

Iin

1

2 00

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 293: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

l’estat de p

olarització

del raig

en l’in

terior d

e la

làmin

a en fu

nció

de la co

ord

enad

a z.

•T

rajecte P0 →

P1 (h

/2<

z<h)

•T

rajecte P1 →

P2 (h

<z<

2h)

ME

DI 1

ME

DI 2

Lt

t tin

TE

TM

ou

t

12

12

||12

12

12

12

78

31

.0

1

0t

nt

tT

ET

M

4

exp

cos

cos

cos

cos

12

12

21

in n

rT

E

2ex

pco

sco

s

cos

cos

12

12

21

in n

rT

M

TE

TM

ou

tr r

t21

||21

12

4 3ex

p

1

iou

t

CIR

CU

LA

R

LE

VO

GIR

A

EL

·LÍP

TIC

A

LE

VO

GIR

A

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 294: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

l’estat de p

olarització

del raig

en l’in

terior d

e la

làmin

a en fu

nció

de la co

ord

enad

a z.

•T

rajecte P2 →

P3 (2

h<

z<3h)

•T

rajecte P3 →

P4 (3

h<

z<4h)

PO

LA

RIT

ZA

CIÓ

LIN

EA

L

EL

·LÍP

TIC

A

DE

XT

RO

GIR

A

º13

52

21

||

2

21

12

exp

1

2 1P

ir r

tT

E

TM

ou

t

3

21

||

3

21

12

TE

TM

ou

t

r rt

4 5ex

p

1

io

ut

Treb

alls tutelats

ME

DI 1

ME

DI 2

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 295: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

l’estat de p

olarització

del raig

en l’in

terior d

e la

làmin

a en fu

nció

de la co

ord

enad

a z.

•T

rajecte P4 →

P5 (4

h<

z<5h)

•T

rajecte P5 →

P6 (5

h<

z<6h)

CIR

CU

LA

R

DE

XT

RO

GIR

A

EL

·LÍP

TIC

A

DE

XT

RO

GIR

A

Ri

r rt

TE

TM

ou

t

2

3ex

p

1

2 14

21

||

4

21

12

5

21

||

5

21

12

TE

TM

ou

t

r rt

4 7ex

p

1

iou

t

Treb

alls tutelats

ME

DI 1

ME

DI 2

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 296: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

l’estat de p

olarització

del raig

en l’in

terior d

e la

làmin

a en fu

nció

de la co

ord

enad

a z.

•T

rajecte P6 →

P7 (6

h<

z<7h)

•T

rajecte P7 →

P8 (7

h<

z<8h)

PO

LA

RIT

ZA

CIÓ

LIN

EA

L

EL

·LÍP

TIC

A

LE

VO

GIR

A

º45

6

21

||

6

21

12

1 1

2 1P

r rt

TE

TM

ou

t

7

21

||

7

21

12

TE

TM

ou

t

r rt

4ex

p

1

io

ut

Treb

alls tutelats

ME

DI 1

ME

DI 2

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 297: Òptica I Problemes resolts - CORE

Determ

ineu

l’estat de p

olarització

del raig

en l’in

terior d

e la

làmin

a en fu

nció

de la co

ord

enad

a z.

•T

rajecte P8 →

P9 (8

h<

z<9h)

•T

rajecte P9 →

P10 (9

h<

z<10

h)

CIR

CU

LA

R

LE

VO

GIR

A

EL

·LÍP

TIC

A

LE

VO

GIR

A

Li

r rt

TE

TM

ou

t

1

2 18

21

||

8

21

12

4 3ex

p

1

io

ut

Con

clusió

: El sistem

a

és periò

dic cad

a 8

reflexio

ns, am

b p

=8h

Treb

alls tutelats

ME

DI 1

ME

DI 2

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 298: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

4.5

. Quin

a ha d

e ser l’altura an

gular d

el sol so

bre l’h

oritzó

perq

uè la llu

m reflectid

a per u

na su

perfície d

’aigua (n

’=4/3

)

estiga to

talmen

t polaritzad

a?

º87

.36

''

sin'

sin1

11

11

nn

º87

.36

º13

.53

'arctan

11

11

a

nn

B

Treb

alls tutelats

aig

ua

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 299: Òptica I Problemes resolts - CORE

Quan

el sol aco

nseg

ueix

aquesta altu

ra, se subm

ergeix

un

blo

c de v

idre, d

’índex

n=

1.6

, la superfície p

lana d

el qual

form

a un an

gle

amb l’h

oritzo

ntal. D

etermin

eu

perq

uè el

feix reflectit p

el blo

c estiga tam

bé to

talmen

t po

laritzat.

º19

.50

'arctan

22

22

n

nB

º32

.13

22

21

21

BB

BB

Treb

alls tutelats a

igua

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 300: Òptica I Problemes resolts - CORE

Pot em

ergir d

e l’aigua aq

uest feix

?

º19

.50

2

B

ag

ua

aire

lB

Bn

narcsin

º59

.48

º51

.63

22

32

1

º13

.53

1

B

3

21

22

BB

Conclu

sió: E

l feix p

ateix reflex

total in

terna en

el punt I

3 sobre la

interfície aig

ua-aire.

Treb

alls tutelats

aig

ua

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 301: Òptica I Problemes resolts - CORE

TT

4.6

. Sig

a un p

risma ò

ptic d

’índex

de refracció

n i an

gle d

e

refringèn

cia a q

ue es tro

ba im

mers en

aire. A m

és, un feix

de

llum

natu

ral incid

eix so

bre la p

rimera cara d

el prism

a amb u

n

angle

1 , el qual co

incid

eix am

b l’an

gle d

e Brew

ster, tal com

indica la fig

ura ad

junta.

11

sinsin

n

22

sinsin

n

Refra

cció #

1

Refra

cció #

2

21

21

22

a

a

n

1

tan2

11

11

sinco

s

n1

tan1

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 302: Òptica I Problemes resolts - CORE

a) D

eduïu

la condició

que h

an d

e com

plir n

i a p

erquè el raig

que es refracta en

la prim

era cara i es pro

pag

a din

s del

prism

a, incid

isca sobre la seg

ona cara tam

bé am

b u

n an

gle d

e

Brew

ster.

n

1arctan

22

1

a

a

n

1

tan2

11

11

sinco

s

n1

tan1

n 1tan

2

2

22

22

sinco

s

n

2tan

n

arctan2

1

n

1arctan

12

12

tan

an

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 303: Òptica I Problemes resolts - CORE

b) P

er a un p

risma q

ue co

mpleix

la hip

òtesi an

terior, calcu

leu

el grau

de p

olarització

de la llu

m em

ergen

t.

ME

DI 1

ME

DI 2

||

in2

0||

0I

Iin

in

TE

TE

TM

TM

ou

tt

t

tt

12

21

||12

21

01 1

12 2

||

D

D

D

in in

inin

V

1

11

1

11

12

cos

sin

cos

sin2

T

Mt

1

11

1

11

21

cos

sin

cos

sin2

T

Mt

1

1

11

12

sin

cos

sin2

T

Et

1

1

11

21

sin

cos

sin2

T

Et

n

1

tan1

sin2

2

1

2

n

n

1

1co

s2

1

2

n

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

Page 304: Òptica I Problemes resolts - CORE

||

in

2

22

11

2

12

21

||12

21

4

1

cos

1

n

n

tt

tt

TE

TE

TM

TM

ou

t

D

4

24

42

4

2 2

116

116

1 1

D

D

n

n

nn

Vo

ut

ou

to

ut

ME

DI 1

ME

DI 2

20

||0

II

inin

01 1

12 2

||

D

D

D

in in

inin

V

TE

TE

TM

TM

ou

tt

t

tt

12

21

||1

22

1

1

2co

ssin

2sin

sinco

sco

sco

s2

11

11

11

11

n

n

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA

b) P

er a un p

risma q

ue co

mpleix

la hip

òtesi an

terior, calcu

leu

el grau

de p

olarització

de la llu

m em

ergen

t.

Page 305: Òptica I Problemes resolts - CORE

c) Com

a aplicació

num

èrica, particu

laritzeu els resu

ltats

anterio

rs per a u

n p

risma d

’índex

de refracció

. 3

n

4

24

42

4

2 2

116

116

1 1

D

D

n

n

nn

Vo

ut

ou

to

ut

ME

DI 1

ME

DI 2

3

n

25 7

49

49

49

16

49

16

2 2

4 4

out

V

Treb

alls tutelats

TT

4

C. Z

APA

TA