Òptica i problemes resolts - core
TRANSCRIPT
Òptica I
Problemes resolts
Carlos J Zapata i Rodríguez
Part I
Butlletins de Problemes i Treballs Tutelats
GRUP A CURS 2012-13
PROBLEMES D’ÒPTICA I
Butlletí 1
P1.1. Un raig de llum monocromàtica penetra en una esfera homogènia d’índex n submergida en aire,
amb angle d’incidència i, i pateix p reflexions parcials en el seu interior abans d’eixir-ne.
a) Calculeu la desviació del raig emergent en relació amb el raig incident.
b) Per a quin angle d’incidència, im, aquesta desviació passa per un extrem relatiu?
c) Calculeu im i la desviació corresponent per a 34n i 1p i 2 . Aquest resultat és la base per a la
justificació geomètrica de la formació de l’arc iris.
P1.2. Considereu un espill de cara posterior, és a dir, una superfície reflectora sobre la qual es diposita
una làmina transparent de cares planes i paral·leles. Si la grossària de la làmina és t i el material
transparent té un índex de refracció n, determineu el desplaçament axial patit per la imatge a causa de la
presència d'aquesta làmina.
P1.3. Demostreu que per a un medi estratificat pla en què ynn , les trajectòries dels raigs
lluminosos satisfan l’equació diferencial dydnCdxyd 21222 2
, on C és la constant de la relació de
Bouguer ( sinnC ). És possible que un raig descriga una trajectòria rectilínia en un medi com
aquest?
P1.4. Considereu un medi estratificat de grossària 2h (regió II), caracteritzat per un índex de refracció
donat per
22
0
2 1 Lynhyn
i rodejat per dos medis homogenis (regions I i III) d’índex hnnn 31. En l’origen de coordenades
se situa una font puntual que emet raigs en tots els angles i possibles cap a l’exterior del medi.
a) Calculeu la trajectòria dels raigs.
b) Quina condició ha de complir la coordenada azimutal i perquè un raig es mantinga confinat en la
regió II?
c) Determineu la zona a través de la qual els raigs procedents de la font travessen la superfície de
separació entre les regions I i II.
d) Particularitzeu el resultat de l’apartat a per al cas que l’angle i siga petit (aproximació paraxial).
P1.5. Considereu un medi isòtrop caracteritzat per un índex de refracció amb simetria radial de la
forma 2
0 1 arnrn . Aquest instrument òptic es denomina ull de peix de Maxwell. Determineu
la trajectòria dels raigs que es propaguen en aquest medi i demostreu que formen circumferències
coplanàries amb l’origen de coordenades r = 0.
GRUP A CURS 2012-13
P1.6. Considereu un medi isòtrop caracteritzat òpticament per un índex de la forma
Lynyn 210 . Determineu el temps que empra un raig lluminós a anar de A(0, 0) a
C(L, 2L) en els següents casos:
a) Si va primer de A a B(L, L) i després de B a C, ambdós recorreguts en línia recta.
b) Si va de A a C en línia recta.
c) Si realitza el recorregut al llarg de la corba continguda en el pla z = 0 (per a 40 ),
02coscossin
0
2
0
0
L
yLL
x
P1.7. Determineu l’equació de la superfície reflectora que focalitza estigmàticament un feix de raigs
paral·lels en un punt situat a una distància d del vèrtex de la superfície. Resoleu el problema aplicant:
a) la llei de la reflexió,
b) la condició d’estigmatisme (constància del camí òptic recorregut).
P1.8. Determineu analíticament i gràficament la posició i naturalesa de les imatges proporcionades per
una lent prima submergida en aire, tant per a objectes reals com virtuals. Considereu tant el cas d’una
lent convergent com el d’una lent divergent.
P1.9. Donada una lent prima de radis de curvatura r1 i r2 i índex n, determineu la potència ’ d’aquesta
quan es troba submergida entre dues substàncies d’índex n1 i n2. Considereu ara una lent prima
convergent, situada en aire, que té una distància focal de 20 cm i índex n = 3/2. Quina és la seua
distància focal quan se submergeix en aigua, l’índex de refracció de la qual és 4/3? I quan se submergeix
en bisulfur de carboni (amb índex de refracció 8/5). Analitzeu també el cas en què se submergisca en un
medi d’índex de refracció 1.5.
P1.10. Calculeu la distància HH' entre els plans principals d’una lent esfèrica en aire. A continuació,
determineu les condicions que la lent ha de complir per què:
a) HH' = e, on e és la grossària de la lent.
b) HH' = 0.
En ambdós casos, determineu la potència de la lent resultant i feu un esquema del sistema on assenyaleu
la situació dels plans principals.
P1.11. Trobeu l’expressió del camp associat a una ona cilíndrica i a una ona esfèrica com a solucions de
l’equació d’ones.
GRUP A CURS 2012-13
PROBLEMES D’OPTICA I
Butlletí 2
P2.1. Calculeu la matriu de Jones associada a una làmina retardadora, amb les seues línies neutres
centrades, que introdueix un desfasament en la component Y. Resoleu el mateix cas quan es gira
l’element anterior un angle .
Se situa la làmina retardadora anterior entre dos polaritzadors lineals encreuats, de manera que les línies
neutres de la làmina formen un angle amb els eixos de transmissió d’ambdós polaritzadors. Calculeu la
intensitat emergent del dispositiu si s’il·lumina normalment amb un feix paral·lel de llum natural
d’intensitat I0. ¿Sota quines condicions la intensitat anterior és màxima?
P2.2. Es disposa d’un sistema format per l’acoblament de dues làmines de mitja ona amb els seus eixos
lents formant entre si un angle .
a) Calculeu la matriu de Jones que caracteritza aquest dispositiu.
b) Se situa ara el dispositiu anterior entre dos polaritzadors lineals amb el seus eixos de transmissió
perpendiculars entre si. Calculeu la intensitat emergent d’aquest dispositiu quan s’il·lumina normalment
amb un feix col·limat de llum natural d’intensitat I0.
P2.3. Siga un dispositiu òptic que es pretén caracteritzar. La seua acció sobre qualsevol llum
linealment polaritzada és únicament girar el seu pla de polarització un angle , sense cap altre canvi en el
seu estat de polarització o en la seua intensitat. Aquest fenomen es denomina activitat òptica o poder
rotatori. A partir d’aquest fet,
a) Calculeu la matriu de Jones del dispositiu.
b) Obteniu els valors i vectors propis d’esta matriu, i interpreteu-los en funció de llums polaritzades
elementals.
P2.4. Hi ha substàncies que absorbeixen de forma diferent la llum polaritzada circularment dextrogira,
R, o levogira, L, (dicroisme circular). Calculeu la matriu de Jones associada a una substància d’este
tipus, la transmitància en amplitud del qual és pR i pL, per a llum R i L, respectivament.
P2.5. Considereu una ona linealment polaritzada en una atmosfera d’electrons la densitat de la qual és
1012
electrons/m3. En la direcció de propagació s’aplica un camp magnètic d’intensitat Bo = 0.5 10
-4
weber/m2. Obteniu una expressió que represente el canvi d’estat de polarització per longitud d’ona en la
direcció de propagació.
GRUP A CURS 2012-13
PROBLEMES D’OPTICA I
Butlletí 3
P3.1. Demostreu que existeix una relació no local entre el vector desplaçament D
i el camp elèctric E
,
dtEGtEtD
00 ,
on
diG exp2
1
és la transformada de Fourier de la susceptibilitat elèctrica característica del medi. A més, el principi
de causalitat requereix que tD
en un determinat instant t depenga del camp tE
en temps anteriors, i
per tant 0tG si t < 0. Demostreu açò utilitzant el model de Lorentz per a , on cal suposar que
<0. A més, comproveu que el model de Lorentz té associada la funció 0
2
0 expsin ptttG
per a valors positius de t, on 22
00 .
P3.2. Considereu el model d’un àtom en el qual l’electró es troba lligat per mitjà d’un potencial
d’oscil·lador harmònic de tipus anisòtrop, i que té associades freqüències pròpies d’oscil·lació , x, y i
z diferents en las direccions X, Y i Z, respectivament. Suposeu ara que una ona electromagnètica plana
de freqüència es propaga en el si d’un material format per aquest tipus d’àtoms. Amb les hipòtesis de
la teoria clàssica de l’índex de refracció,
a) Demostreu que el vector desplaçament elèctric PED
0 es pot escriure com ED
0 , on
és una matriu diagonal 3x3. A més, obteniu una expressió dels elements d’esta.
b) Considereu ara que l’ona incident es propaga en direcció de l’eix Z. Demostreu que els electrons de
cada àtom no vibren en la direcció del camp incident i que el pla de vibració de la polarització elèctrica
P
forma un angle amb l’eix X que compleix:
E
y
x
tantan
22
22
,
on E és l’angle que forma el camp elèctric amb l’eix X.
P3.3. Considereu un medi dielèctric, homogeni i isòtrop, sotmés a l’acció d’un camp magnètic B
uniforme i estacionari en la direcció de l’eix Z, i en el qual es propaga una ona monocromàtica de
freqüència . Fent ús del model de Lorentz de l’oscil·lador electrònic de freqüència pròpia o i
negligint, per simplificar, el terme d’amortiment,
a) Trobeu l’equació de moviment de l’electró.
GRUP A CURS 2012-13
b) Suposant que els electrons del medi oscil·len a la mateixa freqüència que el camp E
de l’ona plana,
demostreu que la polarització P
del medi pot expressar-se com EP
0 , on la susceptibilitat elèctrica
complexa és una matriu 3x3 de la forma:
33
1112
1211
00
0
0
i
i
.
Obteniu una expressió per als coeficients 11, 12 i 33.
c) Considereu ara que l’ona plana que es propaga en el medi, ho fa en la direcció de l’eix Z. A partir de
l’equació d’ones inhomogènia, demostreu que en aquest cas l’ona plana està necessàriament polaritzada
circularment. Obteniu l’índex de refracció del medi per al cas en què la polarització de l’ona siga
dextrogira o levogira.
GRUP A CURS 2012-13
PROBLEMES D’OPTICA I
Butlletí 4
P4.1. Comproveu que els angles azimutals de les components transmesa T i reflectida R satisfan les
equacions:
ITIT tancostan I
TI
TIR
tan
cos
costan
sent I i T els angles d’incidència i refracció i I l’angle azimutal de la radiació incident. Demostreu que
en la reflexió el camp elèctric s’allunya del pla d’incidència i que en la refracció s’hi acosta.
P4.2. Un feix pla de llum monocromàtica linealment polaritzada és desviat per
un romboedre de reflexió total d’índex n = 1.554, com s’indica en la figura.
Descriviu l’efecte del dispositiu sobre cada una de les components del camp.
Obteniu la matriu de Jones que caracteritza el dispositiu. Finalment, si el pla
de vibració de la llum incident forma un angle de 45º amb el pla d’incidència,
descriviu amb detall l’estat de polarització de la radiació que emergeix del
romboedre.
P4.3. Un raig de llum natural cuasimonocromàtica incideix, amb angle ,
sobre una esfera dielèctrica homogènia d’índex de refracció n submergida en aire, i pateix una única
reflexió parcial en el seu interior abans d’emergir d’aquesta. Obteniu una expressió per al grau de
polarització V del raig emergent en funció dels angles d’incidència i refracció ´. Finalment, calculeu
l’angle d’incidència per al qual el raig de llum emergent està totalment polaritzat en el cas d’una esfera
d’aigua (n = 4/3). Raoneu la resposta.
P4.4. Representeu gràficament la dependència de la reflectància i el desfasament amb l’angle
d’incidència sobre una superfície plana en el cas d’una ona monocromàtica de longitud d’ona = 500nm
que es propaga en el espai lliure i incideix sobre plata (n = 0.05 – i 2.87).
P4.5. Considereu un camp elèctric de la forma
tiikztiikz eBeAtrE
,
a) Deriveu l’expressió del camp magnètic H.
b) Considerant que el medi es transparent (k és real), mostreu que la potència transmesa al llarg de l’eix
OZ es pot escriure com
22
2BA
kSz
c) Deriveu el flux de potència al llarg de l’eix OZ en un medi dissipatiu amb una k complexa. Mostreu
que la potència no és la suma algebraica de la potència transportada per les ones individuals.
n = 1.554p/4
p/4
GRUP A CURS 2012-13
P4.6. Un feix de llum circularment polaritzada incideix, des de l’aire, amb un angle de 45º sobre una
làmina de vidre d’índex de refracció 1.5. Descriviu l’estat de polarització del feix reflectit i refractat.
Repetiu el procés per a un angle d’incidència de 65º.
GRUP A CURS 2012-13
TREBALLS TUTELATS D’ÒPTICA I
Butlletí 1
TT1.1. Un tub cilíndric té un diàmetre interior de 5 cm i una longitud d’un metre. La seua superfície
interior és reflectora en els primers 89 cm i absorbent en la resta. En l’extremitat absorbent del tub es
col·loca un diafragma proveït d'un orifici molt menut, centrat respecte a l’eix del cilindre. En l’altre
extrem es col·loca un altre diafragma idèntic darrere del qual se situa una font lluminosa. Determineu la
inclinació respecte a l’eix amb què emergeixen del tub els raigs de llum. Descriviu l’aspecte del camp
observat quan es mira a través del tub.
TT1.2. Considereu un brillant amb la talla de la figura. Suposant una
il·luminació paral·lela i normal a la cara superior, calculeu els valors
de que permeten que la llum, després de patir dues reflexions
internes, isca del brillant per aquesta mateixa cara (per a un primer
càlcul no s’ha de considerar la influència del rebaixat del cantell).
TT1.3. Considereu una guia corbada de secció rectangular com la de la figura. Tenint en compte que,
segons una descripció purament geomètrica, la llum es propaga en
l’interior de una guia per reflexió total.
a) Demostreu que és suficient que el raig 1 complisca la condició
de propagació perquè tot el feix es propague al llarg de la guia.
b) Obteniu el radi mínim que pot tindre aquesta guia per a evitar
que la llum deixe de propagar-s’hi a través.
TT1.4. Des d’un punt de la superfície terrestre, O, on l’índex de refracció de l’aire és n0, es mesura
l’angle zenital d’un estel, es a dir, l’angle que forma la direcció en què es veu l’estel amb la vertical del
punt d’observació. A causa de la variació de l’índex de l’aire amb l’altura, hi ha una lleu diferència
O entre l’ángle zenital real, , i l’observat, 0. Determineu l’equació de les trajectòries que
passen per O si l’índex de refracció de l’atmosfera ve donat per l’equació bznzn O 22 , on b és una
constant. A més, obtingueu l’expresió de en funció de 0.
TT1.5. Un raig de llum incideix sobre un medi inhomogeni estratificat en forma de làmina de cares
paral·leles de grossor d, l’índex de refracció del qual varia d’acord amb l’expresió
L
ydyn 21
2
302
on L és una constant amb unitats de longitud. Se suposa que la làmina es troba entre aire i un medi
d’índex de refracció n0. El raig incident es mou en l’aire 0y i, després de travessar la làmina, n’ix
amb un determinat angle r .
a) Quines condicions han de satisfer n0 i d perquè el raig emergent siga paral·lel a l’incident, ri ?
b) En el cas que es satisfacen les condicions de l’apartat anterior, calculeu el desplaçament produït
sobre el raig incident a causa de la presència de la làmina suposant que l’angle d’incidència 3i.
GRUP A CURS 2012-13
TT1.6. Un sistema de comunicacions làser està format per un emissor i un receptor, ambdós situats en
torres d’una altura myO 10 sobre el nivell de terra i separades una distancia kmd 20 . L’aire proper
a la superfície té un índex de refracció que varia en funció de l’altura com kynyn 12
1
2 per a
my 400 i 1400 myn , on 002.11 n i 161097.9 mk .
a) Trobeu els possibles angles d’eixida del feix làser respecte a l’horitzontal perquè aquest incidisca
sobre el receptor.
b) Per a les solucions de l’apartat a, calculeu l’altura màxima sobre el nivell del sòl que aconsegueix el
feix làser.
TT1.7. Considereu la lent de Luneburg, que consisteix en una bola de radi a submergida en un medi
d’índex de refracció 0n . Aquesta bola està construïda amb un material isòtrop estratificat de simetria
radial, l’índex de refracció del qual té la forma 20 2 arnrn per a r ≤ a. Determineu la
trajectòria dels raigs que es propaguen dins la lent de Luneburg, i demostreu que formen el·lipses
coplanàries amb l’origen de coordenades r = 0. A més, comproveu que un feix de raigs paral·lels que
incideixen sobre la lent es focalitzen en un únic punt de la superfície de la lent.
TT1.8. La fórmula de Jacobi-Anger
m
im
m
miz ezJie cos
representa el desenvolupament d’una ona plana entorn d’una superposició d’ones cilíndriques.
a) Utilitzant la fórmula de Jacobi-Anger, demostreu que la funció de Bessel de primera classe es pot
expressar com a
2
0
cos
2de
ixJ nxi
n
n
0
sincos1
dxnxJn
b) Utilitzeu el resultat anterior per a justificar per què la funció de Bessel de primera classe representa
una ona estacionària.
TT1.9. Demostreu que l’equació diferencial
011 22
nnrdr
dfr
dr
d
f
resultat de resoldre l’equació d’ones utilitzant separació de variables en coordenades esfèriques, es pot
convertir en l’equació diferencial ordinària de Bessel mitjançant la transformació
21r
rZrf
TT1.10. Utilitzant la solució de l’equació d’ones en coordenades esfèriques, demostreu que el camp
d’una ona esfèrica divergent s’atenua en allunyar-se de l’origen O amb una dependència que és
inversament proporcional a la distància recorreguda des del punt O.
GRUP A CURS 2012-13
TT1.11. Considereu el camp electromagnètic linealment polaritzat
trkieEtrE
0,
trkieHtrH
0,
on yEE yˆ
00
, corresponent a una ona plana que es propaga en un dielèctric transparent. Suposeu també
que 0Im xk
a) Avalueu el vector de Poynting.
b) Considereu la superposició de dues ones planes linealment polaritzades. Avalueu de nou el vector de
Poynting.
c) Trobeu la component z del vector de Poynting considerant que yy EE 21 .
d) Avalueu la divergència del vector de Poynting obtingut en l’apartat b.
GRUP A CURS 2012-13
TREBALLS TUTELTAS D’OPTICA I
Butlletí 2
TT2.1. El camp magnètic d'una ona plana uniforme que es propaga en el buit és
iky4i
0
0 eze2ixi1E
rH
, 6.376000
on E0 es una contant real i 0 la impedància intrínseca del buit.
a) Determineu la direcció i sentit de propagació de l’ona. Si la freqüència és =500 THz. Quant valen la
longitud d’ona i el nombre d’ona?
b) Escriviu l’expressió del camp elèctric.
c) Determineu el tipus de polarització i el sentit de gir dels camps.
d) Escriviu l’expressió del vector de Poynting.
TT2.2. Determineu la matriu de Jones de i) una làmina de quart d’ona d’eix ràpid vertical, i ii) una
làmina de quart d’ona d’eix ràpid horitzontal. A continuació, representeu el vector camp elèctric d’un
estat lineal incident sobre una làmina de quart d’ona que forma un angle de 30º amb l’eix ràpid d’esta.
Descriviu amb detall l’estat de polarització de l’ona emergent.
TT2.3. Considereu un feix de llum polaritzada el·lípticament d’intensitat I0 que incideix normalment
sobre un polaritzador lineal giratori. Calculeu com varia la intensitat I emergent del sistema, en funció
de l’angle que forma el polaritzador amb l’eix X. Passa aquesta intensitat per un valor màxim o mínim?
TT2.4. Siga un dispositiu òptic format per una làmina de quart d’ona, els eixos ràpid i lent del qual
coincideixen, respectivament, amb els eixos OX i OY del sistema d’eixos cartesians de referència,
seguida d’un polaritzador lineal l’eix de transmissió del qual forma un angle amb l’eix OX.
Determineu els valors i vectors propis de la configuració i especifiqueu detalladament els tipus de llum
que representen. Raoneu per què aquestes llums són pròpies del sistema en qüestió.
En una segona part, resoleu les mateixes qüestions que en el paràgraf anterior per a una configuració
semblant en què el polaritzador lineal haja sigut girat 90º respecte de la seua posició original.
Reconeixeu que cada un dels nous vectors propis és ortogonal a un dels de la primera situació.
TT2.5. Analitzeu l’actuació del dispositiu descrit en l’apartat anterior sobre i) llum el·líptica centrada, d’
el·lipticitat , i ii) sobre el seu estat ortogonal.
Repetiu l’anàlisi quan s’afegeix a continuació una làmina retardadora idèntica a la primera però girada
respecte a aquesta 90º. Compareu ambdós resultats.
Finalment, particularitzeu els resultats anteriors al cas en què = /4.
GRUP A CURS 2012-13
TT2.6. Es disposa d’una làmina de mitja ona amb les seues línies neutres girades un angle respecte als
eixos cartesians de referència.
a) Avalueu l’efecte que produeix esta làmina sobre la llum polaritzada circularment, tant dextrogira com
levogira. Interpreteu el resultat en termes de llums polaritzades elementals.
b) La làmina anterior se situa entre dues làmines de quart d’ona. L’eix lent de cada una d’aquestes
làmines forma un angle de 45º amb l’eix X. Analitzeu l’efecte que exerceix aquest dispositiu sobre una
llum linealment polaritzada a 0º i a 90º.
c) Comproveu que el dispositiu de l’apartat b es comporta com un retardador amb les seues línies
neutres centrades. Trobeu el valor del desfasament que introdueix.
d) A quin element equivaldria el dispositiu de l’apartat b si les dues làmines de quart d’ona tingueren els
seus eixos lents coincidents amb l’eix X?
TT2.7. Considereu el filtre de polarització dissenyat per Lyot i Öhman, que consisteix en un conjunt de
làmines retardadores compreses entre polaritzadors lineals amb els seus eixos de transmissió paral·lels.
El retard de les làmines segueix una progressió geomètrica, és a dir, , 2, 4, 8, … Totes les làmines
tenen les seues línies neutres orientades a 45º respecte dels eixos de transmissió dels polaritzadors.
a) Trobeu la matriu de Jones d’un sistema compost per N làmines retardadores (i N + 1 polaritzadors).
b) Demostreu que si incideix llum natural amb una intensitat I0, la intensitat emergent d’aquest sistema
es pot escriure com:
0212
12
2sin2
2sinII
N
N
out
GRUP A CURS 2012-13
TREBALLS TUTELATS D’OPTICA I
Butlletí 3
TT3.1. La conductivitat d’un material es descriu mitjançant la llei d’Ohm, EJ
. Utilitzant l’equació
rJ
, on Ne és la densitat de càrregues i dtrdr ,
a) Identifiqueu la conductivitat del medi.
b) Demostreu que 0 i és essencialment la susceptibilitat del medi.
c) Com que en un metall les càrregues de conducció no estan lligades, podem considerar 00 , que és
l’anomenat model de Drude. Trobeu la conductivitat nominal (és a dir, en el límit 0 ) i la
freqüència de plasma per al coure, el qual té una densitat de 36 mgr109.8 i un pes atòmic de
molgr54.63 . A més considereu que = 2.05×1013 rad/s. En aquest cas, suposeu un electró de
conducció per àtom i recordeu que el nombre d’Avogadro és molàtom106 23 .
TT3.2. Demostreu que l’índex de refracció d’una mescla de gasos val:
i
iinfn ,
on in és l’índex de refracció de cada un dels gasos i fi la seua concentració fraccional molecular
(nombre de molècules del gas i dividit pel nombre total de molècules).
Com a aplicació, trobeu l’índex de refracció de l’aire per a nm589 a partir dels valors
000272.12On i 000297.1
2Nn corresponents respectivament a l’oxigen i al nitrogen. (Considereu
l’aire com una mescla d’aquests dos gasos amb proporcions respectives del 25% i el 75%).
TT3.3. La susceptibilitat d’un medi és definida a través de EENP local
0 , on E
és el camp
elèctric macroscòpic. El camp local, és a dir, el camp elèctric actuant sobre l’àtom, està donat per
PEElocal
1
03
. Demostreu que
23
322
0
2
0 i
N p ,
segons la teoria de Lorentz, que s’anomena relació de Clausius-Mossotti. A continuació, obteniu la
relació de Lorentz-Lorentz mitjançant l’equació 12 n .
TT3.4. Comproveu que la fórmula de Lorentz-Lorenz satisfà, amb les aproximacions oportunes que cal
establir, la fórmula de Cauchy per a l’índex de refracció de gasos:
211
BAn ,
on A i B són constants a determinar.
GRUP A CURS 2012-13
TT3.5. A partir de l’expressió donada pel model clàssic per a la relació de dispersió, trobeu la fórmula
semiempírica de Sellmeier:
i i
iCAn
22
2 ,
vàlida per a medis transparents en les regions espectrals allunyades de les longituds d’ona de
ressonància i.
Com a aplicació, considereu en la regió visible el cas del CaF2, del qual es coneix l’existència de dues
longituds d’ona de ressonància nm2.941 i nm350002 . La primera d’aquestes està associada a
una transició electrònica, mentre que la segona correspon a una transició entre estats de vibració d’ions
F- en la molècula. Trobeu el valor de les constants de la fórmula de Sellmeier en aquest cas. (Ajuda:
eF mm 3470 , on me és la massa de l’electró).
TT3.6. Considereu el següent índex de refracció apropiat per a un medi amb freqüència de ressonància
0 i constant de relaxació [Phys. Rev. A 1 (1970) 305]:
inn
p
0
0 , on
np
En l’equació anterior, n∞ és l’índex de refracció lluny de la freqüència de ressonància i p>0 per a un
medi dissipatiu.
a) Avalueu la velocitat de fase i la velocitat de grup d’un pols l’ample espectral 1/del qual és molt
menor que la constant de relaxació, és a dir, >> 1.
b) Particularitzeu estes expressions quan la freqüència central del pols coincideix amb la freqüència de
ressonància 0 del medi, i trobeu els valors de p per als quals la velocitat de grup pot ser superlumínica
i inclús negativa.
c) Finalment, trobeu la condició que ha de complir el paràmetre p perquè la distància de penetració
1
0 Im
nkd siga molt major que la longitud d’ona 0 en el buit.
TT3.7. És ben conegut que en un dielèctric perfecte, el camp elèctric i magnètic oscil·len en fase.
Considereu ara una ona plana monocromàtica que es propaga en un medi metàl·lic amb una
conductivitat 0 . Trobeu el desfasament del vector camp magnètic respecte al vector camp elèctric, i
demostreu que si 1 es compleix que º45 .
GRUP A CURS 2012-13
TREBALLS TUTELATS D’OPTICA I
Butlletí 4
TT4.1. Una ona plana homogènia de freqüència =500THz té un camp
elèctric que s’escriu de la forma:
rkieyizxErE
2
55220
Considereu que aquesta ona es propaga en un medi d’índex de refracció
n1=2 i incideix obliquament sobre una superfície que separa este medi de
l’espai buit (n2=1) tal com es mostra en la figura adjunta.
a) Obteniu el valor dels angles d’incidència i de refracció. A més, escriviu les expressions dels vectors
d’ona de les ones incident, reflectida, i transmesa.
b) Identifiqueu el tipus de polarització de l’ona incident.
c) Obteniu el camp elèctric de l’ona reflectida i transmesa. A més, identifiqueu el tipus de polarització
d’estes ones.
TT4.2. Comproveu que l’angle límit és sempre major que l’angle de Brewster. Trobeu aquests angles
per a dos medis d’índex de refracció 1.33 i 1.75.
TT4.3. Un raig de llum incideix sobre una superfície de separació aire-vidre de manera que l’angle
d’incidència i té un valor doble que l’angle de refracció r. En estes condicions el factor de reflexió R┴
val 0.411.
a) Determineu l’índex de refracció n del vidre respecte l’aire i els angles i i r.
b) Si en compte d’estar en contacte amb l’aire, el dit vidre es troba en contacte amb l’aigua (índex de
refracció na= 1.33 respecte a l’aire) i el raig de llum incideix amb el mateix angle i sobre la superfície de
separació d’ambdós medis, determineu el nou angle de refracció r´ i els factors de reflexió R|| i R┴ en els
dos casos següents:
El raig incideix des de l’aigua amb l’angle d’incidència i.
El raig incideix des del vidre també amb l’angle d’incidència i.
c) Demostreu que per a la superfície de separació aigua-vidre no pot obtenir-se cap angle d’incidència
que valga el doble que l’angle de refracció.
TT4.4. Es disposa d’una làmina planoparal·lela de grossària h i índex n=1.554, submergida en aire, amb
una de les seues cares tallada a 45º. Un raig de llum
circularment polaritzat levogir incideix normalment sobre
aquesta cara d’entrada i es propaga en el seu interior, tal com
mostra la figura. Determineu l’estat de polarització del raig en n = 1.554p/4
z
n1=2 n
2=1
x
zyk
GRUP A CURS 2012-13
l’interior de la làmina en funció de la coordenada z.
TT4.5. Quina ha de ser l’altura angular del sol sobre l’horitzó perquè la llum reflectida per una
superfície d’aigua (n’=4/3) estiga totalment polaritzada? Quan el sol aconsegueix esta altura, se
submergeix un bloc de vidre, d’índex n=1.6, la superfície plana del qual forma un angle amb
l’horitzontal. Determineu perquè el feix reflectit pel bloc estiga també totalment polaritzat. ¿Pot
emergir de l’aigua este feix?
TT4.6. Siga un prisma òptic d’índex de refracció n i angle de
refringència que es troba immers en aire. A més, un feix de
llum natural incideix sobre la primera cara del prisma amb un
angle 1, el qual coincideix amb l’angle de Brewster, tal com
indica la figura adjunta.
a) Deduïu la condició que han de complir n i perquè el raig que es refracta en la primera cara i es
propaga dins del prisma, incidisca sobre la segona cara també amb un angle de Brewster.
b) Per a un prisma que compleix la hipòtesi anterior, calculeu el grau de polarització de la llum
emergent.
c) Com a aplicació numèrica, particularitzeu els resultats anteriors per a un prisma d’índex de refracció
n=√3.
Part II
Diapositives amb solucions
OP
TIC
A I
Nom
bre crèd
its de p
rob
lemes: 1
.5 E
CT
S
Nom
bre crèd
its de treb
alls tu
telats: 1
.5
EC
TS
Pro
fessor p
rob
lemes: C
arlos J. Z
apata R
odríg
uez
Dep
artamen
t d’Ò
ptica. D
espatx
4307
Tuto
ries: dijo
us (1
0:0
0 a 1
3:0
0)
E-m
ail d
e contacte: carlo
s.zapata@
uv.es
OP
TIC
A I
Cla
sses de p
rob
lemes / treb
alls tu
telats (1
ho
ra per
setman
a)
A
questes sessio
ns estan
centrad
es en el treb
all d
e
l’estud
ian
t i en la seu
a particip
ació activ
a de fo
rma
indiv
idual o
gru
pal en
la resolu
ció d
e dubtes so
rgits d
e les
classes teorico
pràctiq
ues i serv
iran tam
bé p
er al reforç d
e
concep
tes de m
és dificu
ltat.
A
questes classes estan
destin
ades a la reso
lució
de
pro
blem
es perq
uè s’ex
erciten les ein
es presen
tades en
les
classes teorico
pràctiq
ues.
OP
TIC
A I
Avalu
ació
con
tínu
a (o
blig
atòria)
Basad
a en la realització
d’u
n co
nju
nt d
e pro
blem
es que
cada alu
mne h
aurà d
e realitzar al llarg d
el quad
rimestre.
L’alu
mne ex
posarà el seu
treball q
uan
siga citat p
el
pro
fessor d
e pro
blem
es (almen
ys 2
veg
ades/q
uad
rimestre)
Aquest treb
all contin
u su
posarà el 4
0%
de la n
ota d
e
pro
blem
es.
OP
TIC
A I
OP
TIC
A I
OP
TIC
A I
PE
ND
EN
T
RE
CU
PE
RA
CIÓ
PR
OB
LE
ME
S D
’ÒP
TIC
A I
Solu
cion
s del B
utlletí 1
P1.1
. Un raig
de llu
m m
onocro
màtica p
enetra en
una esfera
hom
ogèn
ia d’ín
dex
n su
bm
ergid
a en aire, am
b an
gle
d’in
cidèn
cia i, i pateix
p reflex
ions p
arcials en el seu
interio
r
aban
s d’eix
ir-ne.
1
p
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
a) C
alculeu
la desv
iació d
el raig em
ergen
t en relació
amb el
raig in
ciden
t. 11
sinsin
n
11
1
22
2
22
33
sinsin
n
33
3
Refra
cció #
1
Refra
cció #
2
Reflex
ió #
1
21
21
CI
I
32
32
C
II
31
31
31
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
a) C
alculeu
la desv
iació d
el raig em
ergen
t en relació
amb el
raig in
ciden
t.
n
n1
11
1
sinarcsin
sinsin
11
1
2
22
33
3
32
21
11
32
14
2
31
1
p
11
32
11
22
pp
p
1
p
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
b) P
er a quin
angle d
’incid
ència, im
, aquesta d
esviació
passa
per u
n ex
trem relatiu
?
11
11
11
cos
cos
sinsin
d
nd
n
01
22
12
21 1
1
11
1
d dp
d dp
p
m i
11
cos
1co
s
p
n
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
1
22
cos
1co
s1
sinsin
1co
s
cos
1co
s
pn
nn
n
pn
11
1co
s2
2
11
p
n
m i
pn
1
1
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
c) Calcu
leu im
i la desv
iació co
rresponen
t per a n
= 4
/3 i p
= 1
i
2. A
quest resu
ltat és la base p
er a la justificació
geo
mètrica d
e
la form
ació d
e l’arc iris.
11
1co
s2
2
11
p
n
m i
1
p
2
p
34
n
º39
.59
m
i
º83
.71
m
i
11
12
2
p
p
11
sinsin
n
1
p
2
p
º20
.40
1
º
97
.137
º45
.45
1
º
98
.230
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
http
://es.wik
iped
ia.org
/wik
i/Arch
ivo:R
ainbo
w_fo
rmatio
n.p
ng
Qüestió
: Hi h
a
algun erro
r en
aquest d
ibu
ix
il·lustratiu
?
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
http
://teleform
acion.ed
u.a
yto
lacoru
na.es/F
ISIC
A/d
ocu
men
t/fisicaInteractiv
a/colo
r/arcoIris/A
rcoIris.h
tm
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
http
://es.wik
iped
ia.org
/wik
i/Arch
ivo:S
eattle_D
ouble_
Rain
bo
w.jp
g
AR
C IR
IS D
OB
LE
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
P1.2
. Consid
ereu u
n esp
ill de cara p
osterio
r, és a dir, u
na
superfície reflecto
ra sobre la q
ual es d
iposita u
na làm
ina
transp
arent d
e cares plan
es i paral·leles. S
i la gro
ssària de la
làmin
a és t i el material tran
sparen
t té un ín
dex
de refracció
n, d
etermin
eu el d
esplaçam
ent ax
ial patit p
er la imatg
e a
causa d
e la presèn
cia d'aq
uesta làm
ina.
13
31
ss
OO
O
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
el desp
laçamen
t axial p
atit per la im
atge a cau
sa
de la p
resència d
'aqu
esta làmin
a.
01
1
I1
11
sinsin
n
02
2
I2
I3
33
sinsin
n
02
1
03
2
32
21
II
II
31
Ra
igs
para
l·lels
Qüestió
: Què su
cceeix si co
nsid
erem sim
ultàn
iamen
t la
prim
era reflexió
en les d
ues cares d
e la làmin
a transp
arent?
0
t
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
el desp
laçamen
t axial p
atit per la im
atge a cau
sa
de la p
resència d
'aqu
esta làmin
a.
31
1
n
11
sinsin
3
22
1
s SI
11
tan
1 11
tans SI
ss
1
t II
2tan
31
1
1
1
11
1
1
31
11
3
3
3 33
tan
tan2
tan
tantan
tans
ts
sI
ISI
sSI
Os SI
21
3
2
1
22
1
2
1
11
2
sin
sin1
2tan tan
2
n
n
nt
nt
tO
11
0
t
Qüestió
: Dem
ostreu
la igualtat
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
P1.3
. Dem
ostreu
que p
er a un m
edi estratificat p
la en q
uè
n =
n(y), les trajectò
ries dels raig
s llum
inoso
s satisfan
l’equació
diferen
cial
on C
és la constan
t de la relació
de B
ouguer.
dy
dn
Cdx
yd
2
22
2
2
1
sinn
C
Ck
nk
nk
kx
00
0sin
cos
Con
servació
de k
x
co
ttan
dx
dy
2 P
roblem
es P
1
C. Z
APA
TA
És p
ossib
le que u
n raig
descrig
a una trajectò
ria rectilínia en
un m
edi co
m aq
uest?
dy
dn
dy
dn
dy
dC
nC
cos
sin2
sin0
sin2
22
22
22
dy
dn
ndy
d2
22 tan
cot
2 tan
sin 1
sin 1
sin 1co
t2
22
22
2
2
dy
dn
ndx
dy
dy
d
dx
d
dx
yd
dx
dy
dy
dn
Cdy
dn
ndx
yd
2
2
2
22
2
2
2
1
sin2
1
sinn
C
00
2
2
2
dy
dn
dx
yd
Tra
jectò
ries re
ctilín
ies
nom
és a
pare
ixen e
n
mitja
ns h
om
ogenis
(localm
ent)
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
P1.4
. Consid
ereu u
n m
edi estratificat d
e gro
ssària 2h (reg
ió
II), caracteritzat per u
n ín
dex
de refracció
donat p
er:
i rodejat p
er dos m
edis h
om
ogen
is (regio
ns I i III) d
’índex
n1 =
n3 =
n(±
h). E
n l’o
rigen
de co
ord
enad
es se situa u
na fo
nt
puntu
al que em
et raigs en
tots els an
gles i p
ossib
les cap a
l’exterio
r del m
edi.
2
20
21
L yn
hy
n
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
a) C
alculeu
la trajectòria d
els raigs.
00co
si
nC
2 20
22
20
22
1L
yn
dy
dn
L yn
n
0co
s 1
2
1
0
22
2
22
2
y
iL
ydy
dn
Cdx
yd
00
y
EQ
UA
CIÓ
DE
LA
TR
AJE
CT
ÒR
IA
00
cos
expco
sexp
iL
xj
Bi
L
xj
Ax
y
00
0
B
Ay
0tan
0i
y
0
0co
ssin
sini
L
xi
Lx
y
Eq
. oscil·la
do
r
harm
òn
ic
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
a) C
alculeu
la trajectòria d
els raigs.
Tam
bé p
odem
resold
re el pro
blem
a de la m
anera seg
üen
t:
00
y
EQ
UA
CIÓ
DE
LA
TR
AJE
CT
ÒR
IA
0
0co
ssin
sini
L
xi
Lx
y
2
0
2
0
2 22
sinco
s 11
L yi
iy
C n
dx
dy
0
0
02
0
00
00
sinarcsin
cos
sin1
sinco
si
L
xy
iL
iL
y
iL
yd
iL
xx
dx
y dy
xy
xx
yy
Li
Li
2
cos
21
00
Qüestió
: Dem
ostreu
que el p
eríode és:
Eq
. inte
gra
l para
metritz
ad
a
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
b) Q
uin
a condició
ha d
e com
plir la co
ord
enad
a azimutal i
perq
uè u
n raig
es man
tinga co
nfin
at en la reg
ió II?
2
0
2
0
2 22
sinco
s 11
L yi
iy
C n
dx
dy
min
0m
axsin
0y
iL
yy
Condició
de co
nfin
amen
t:
• Es p
ot o
bten
ir el mateix
resultat u
tilitzant la co
ndició
de g
uiatg
e:
hy
iL
max
0sin
0
220
22
2
20co
s1
in
Ch
nL h
n
2
0
2sin
Lh
i
2
0
21
sinSi
Lh
iL
hi
A
nalitzeu
:
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
c) Determ
ineu
la zona a trav
es de la q
ual els raig
s pro
ceden
ts
de la fo
nt trav
essen la su
perfície d
e separació
entre les
regio
ns I i II.
22
2
0
2
0
02
0
1co
s0
2sin
arcsinarcsin
1sin
hL
x
Lh
i
iL
h
L h
iL
h
Lh
0
0sin
arcsinco
si
L
hi
Lx
hx
y2
00
i
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
d) P
articularitzeu
el resultat d
e l’apartat a
per al cas q
ue
l’angle i sig
a petit (ap
roxim
ació p
araxial)
Aquest és u
n co
mportam
ent g
eneral q
uan
2
0
0
0sin
cos
sinsin
iO
L xL
ix
yi
L
xi
Lx
y
2
0 i
2
01
cos
iO
i
2
00
sini
Oi
i
20
22
ny
ny
n
01
2
12
2
22
2
y
Ly
dy
dn
Cdx
yd
ef
2
00
iO
nC
ydy n
d
dy
dn
ydy n
dn
yn
0
2 22
22
0
2 22
20
2
2 1
0
2 11
0
2
20
22
2
dy
nn
d
Lef
ef
efL
xi
Lx
yi
iy
ysin
tan0
,0
00
00
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
Una altra m
anera d
e resold
re l'apartat d
és consid
erar les
apro
xim
acions seg
üen
ts:
2
01
ln2 1
lnln
L yn
yn
1sin
y
ds
dx
dy
dn
dx
dy
yn
dx d
dy
dn
ds
dy
yn
ds d
dx
ds
00
yn
dx d
ds
dx
yn
ds d
dx
ds
dy
nd
dx
yd
dy
dn
dx
yd
yn
ln2
2
2
2
22
2
L y
dx
yd
L x
Li
xy
sin0
00
y
00
iy
42
22
2
11
ln2
2
L y
L y
L y
Ly L
yy
ndy d
Ly
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
P1.5
. Consid
ereu u
n m
edi isò
trop caracteritzat p
er un ín
dex
de
refracció am
b sim
etria radial d
e la form
a
Aquest in
strum
ent ò
ptic es d
enom
ina u
ll de p
eix d
e Max
well.
Determ
ineu
la trajectòria d
els raigs q
ue es p
ropag
uen
en aq
uest
med
i i dem
ostreu
que fo
rmen
circum
ferències co
plan
àries amb
l’orig
en d
e coord
enad
es r = 0
.
2
0
1a
r nr
n
P1
C. Z
APA
TA
P1
C. Z
APA
TA
• Els raig
s de llu
m s'h
an d
efinit co
m les trajectò
ries
orto
gonals als fro
nts d
'ona S
(x,y,z)=co
nstan
t. Si r és u
n v
ector
de p
osició
d'u
n p
unt típ
ic en u
n raig
i s la longitu
d d
el raig
mesu
rat des d
'un p
unt fix
en aq
uest, llav
ors
• Aquesta eq
uació
especifica els raig
s per m
itjà de la fu
nció
S, p
erò se’n
pot d
erivar fàcilm
ent u
na eq
uació
diferen
cial què
especifiq
ue els raig
s directam
ent en
termes d
e la funció
d'ín
dex
de refracció
n(r).
Ss
nS
ds r
dn
ˆ
2
2
2 1
2 1n
nS
nS
n SS
ds r
dS
ds d
ds r
dn
ds d
ds r
ds
ˆ
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• La fo
rma v
ectorial d
e les equacio
ns d
iferencials d
els raigs
de llu
m és
• En p
articular, en
un m
edi h
om
ogen
i n=
constan
t i aquesta
equació
es redueix
a
Aquesta és u
na eq
uació
vecto
rial d'u
na lín
ia recta en la
direcció
del v
ector a
, que p
assa pel p
unt r=
b. P
er tant, en
un
med
i hom
ogen
i els raigs d
e llum
tenen
la form
a de lín
ies
rectes.
ns
nds d
nds r
dn
ds d
ˆ
bas
rds r
d
02
2
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Com
un ex
emple d
'un cert in
terès, ara consid
erarem els
raigs en
un m
itjà que té sim
etria esfèrica, és a dir, o
n l'ín
dex
de refracció
dep
èn ú
nicam
ent d
e la distàn
cia r des d
'un p
unt
fix O
.
• Aquest és el cas d
e l'atmosfera terrestre q
uan
la curv
atura
de la terra es té en
com
pte.
• Tots els raig
s són co
rbes p
lanes, situ
ades en
un p
la que
passa p
er l'orig
en.
ds sn
dr
sn
ds r
d
ds
sn
rd
ˆˆ
ˆ
0ˆ
ˆˆ
sn
ss
nds r
d
0ˆ
ˆ
n
ur
nr
ds sn
dr
rr
sinco
nstan
tˆ
nr
sn
r
r
nn
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Atès q
ue r sin
rep
resenta la d
istància d
perp
endicu
lar des
de l'o
rigen
a la tangen
t, aquesta eq
uació
també es p
ot escriu
re
com
• Aquesta relació
es den
om
ina la fó
rmula d
e Bo
uguer i és
l'anàleg
de la fó
rmula b
en co
neg
uda en
din
àmica q
ue
expressa la co
nserv
ació d
el mom
ent an
gular d
'una p
artícula
que es m
ou so
ta l'acció d
'una fo
rça central.
constan
tsin
nd
nr
22
22
1co
ssin
rn
cc
nr
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Per o
bten
ir una ex
pressió
explícita p
er als raigs en
un m
edi
estratificat de sim
etria esfèrica, record
em q
ue:
• L'eq
uació
dels raig
s en u
n m
edi am
b sim
etria esfèrica, per
tant, es p
ot escriu
re en la fo
rma
dr
rd
tan
r
r+d
r
dr=
sds
dr
r∙d
22
2
tan
cr
nr
c
rdr
d
rr
dr
cr
nr
c
0
22
20 P
roblem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Un ex
emple sen
zill i interessan
t és el coneg
ut co
m l’u
ll de
peix
, presen
tat per u
n m
edi am
b l'ín
dex
de refracció
• Reso
lem les eq
uacio
ns d
els raigs.
2
0
1a
r nr
n
rr
dr
cr
nr
c
0
22
20a r
0an c
K
0
22
22
2
0
1 1d
K
K
Secció
transv
ersal de la len
t d'u
ll de p
eix
de M
axw
ell amb
un o
mb
reig b
lau q
ue
represen
ta un m
ajor ín
dex
de refracció
(Font: W
ikip
edia)
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Pot d
emostrar-se q
ue
• L'eq
uació
polar d
els raigs és
0
20
2
2
20
1
41
arcsin1
41
arcsinK
K
K
K
22
22
22
21 1
1
41
arcsin
K
K
K
K
d d
1
41
sin1
41
arcsin2
20
20
20
K
K
K
K
ar a
r
cn
a
c2
2
220
24
sin
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• La fam
ília del p
aràmetre
dels raig
s a través d
'un p
unt fix
P0 (r
0 ,0 ) v
e donat p
er
00
220
22
sinsin
r
ar
r
ar
• Tots els raig
s pro
ceden
ts d'u
n p
unt
arbitrari P
0 es reuneix
en en
un p
unt
P1 (r
1 ,1 ) en
la línia q
ue u
neix
P0 a O
:
• Cad
a raig in
terseca el cercle r=a
en
punts d
iametralm
ent o
posats.
22 a
r
01
0
2
1r
ar
00
nr
n
20
na
rn
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Per o
bten
ir l'equació
dels raig
s en co
ord
enad
es cartesianes,
posem
:
• Conclu
sió: C
ad
a ra
ig és u
n cercle.
sin
cos
ry
rx
2
22
220
24
sinco
sa
yx
cn
aa
cx
y
220
24
21
cn
aa
c
b
2
22
sinco
s2
ay
xx
yb
22
22
cos
sinb
ab
yb
x
ar a
r
cn
a
c2
2
220
24
sin
20
0an
c
tan&
0x
yb
c
ar
ban
c
&
02
0
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
P1.6
. Consid
ereu u
n m
edi isò
trop caracteritzat ò
pticam
ent p
er
un ín
dex
de la fo
rma . D
etermin
eu el tem
ps
que em
pra u
n raig
llum
inós a an
ar de A
(0, 0
) a C(L
, 2L
) en els
casos seg
üen
ts:
a) S
i va p
rimer d
e A a B
(L, L
) i desp
rés de B
a C, am
bdós
recorreg
uts en
línia recta.
b) S
i va d
e A a C
en lín
ia recta.
c) Si realitza el reco
rregut al llarg
de la co
rba co
ntin
guda en
el
pla z =
0 (p
er a )
02
cos
cos
sin0
2
0
0
L yL
Lx
40
Ly
nn
21
20
2
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
Prim
er estudiem
la trajectòria q
ue p
rendria el raig
per an
ar
de A
(0, 0
) a C(L
, 2L
).
00sin
nC
20
220
22
21
nL
dy
dn
nL y
n
0
2
0
2
2sin 1
2
10
L
dy
dn
Cy
x
20
2 10
0x
yx
yy
xy
00
y
00
cot
2tan
0
y
EQ
UA
CIO
PA
RA
BÒ
LIC
A D
E L
A T
RA
JE
CT
ÒR
IA
2 2
L x
L x
L y
L xx
xy
2
40
8
97
6.
0,
4sin
42
sin1
00
2
0
Pro
blem
es
Com
pro
veu q
ue la trajectò
ria parab
òlica p
assa
per C
si:
P1
C. Z
APA
TA
a) S
i va p
rimer d
e A a B
(L, L
) i desp
rés de B
a C, am
bdós
recorreg
uts en
línia recta.
BC
AB
AC
LL
L
1
L x
L x
L y
Ln
dy
L yn
nds
L
LBA
AB
0
0
03 1
32
21
2
dx
dy
xx
y
dy
dy
dx
ds
22
2
Ln
dy
L yn
nds
L
LL
CB
BC
0
2
03
3
55
21
0
dx
Lx
dy
ds
cL
t
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
b) S
i va d
e A a C
en lín
ia recta.
Ln
dy
L yn
nds
L
LCA
AC
0
20
06
525
21
2 5
dx
dy
xx
y2
2
d
ydy
dx
ds
25
22
L x
L y2
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
c) Si realitza el reco
rregut al llarg
de la co
rba:
Ln
dx
L x
L xn
nd
sL
LCA
AC
0
0
2
2
03 8
22
21
2
202
220
22
22
12
1n
L x
L xn
L yn
L xx
xy
dx
L x
L xdy
dx
ds
2 22
22
21
2
dx
L xdy
21
2 2
L x
L x
L y
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
c) Si realitza el reco
rregut al llarg
de la co
rba:
Ln
dy
L y L y
nnds
L
LCA
AC
0
20
03 8
2
41
21
2
L yL
Lx
L xx
xy
41
22
2
dy
L y L y
dy
dx
ds
41
42
22
dy
L ydx
41
1
2 2
L x
L x
L y
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
Resu
m:
Ln
LA
C0
3 82
Ln
Ln
LA
C0
03
3
55
3 13
2
cL
nt
AC
0973
.3
cL
nt
AC
0794
.3
Ln
LA
C0
6
525
cL
nt
AC
0771
.3
Conclu
sió: E
l
temps em
prat és
men
or p
er a la
trajectòria
parab
òlica.
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
P1.7
. Determ
ineu
l’equació
de la su
perfície reflecto
ra que
focalitza estig
màticam
ent u
n feix
de raig
s paral·lels en
un
punt situ
at a una d
istància d
del v
èrtex d
e la superfície.
Reso
leu el p
roblem
a aplican
t:
a) la llei d
e la reflexió
tan
xy
x
dy
dy
xF
P
2
2tan
,
tan
2
1tan
2co
t2
2tan
2
y
y
x
dy
2
12
d xy
d yy
2
2
d xx
y4
2
PA
RÀ
BO
LA
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
b) la co
ndició
d’estig
matism
e (constàn
cia del cam
í òptic
recorreg
ut)
d xx
y4
2
d
OF
FO
L2
0
2
2y
dx
yd
PF
QP
L
0L
L
0
d
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
L’ap
roxim
ació p
araxial:
2 Rd
dy
x
,
2
22
RR
yx
E
SF
ER
A
CE
NT
RA
DA
EN
C
Ry
Ry
Ry
RR
y2
22
22
2
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
P1.8
. Determ
ineu
analíticam
ent i g
ràficamen
t, la posició
i la
natu
ralesa de les im
atges p
roporcio
nad
es per u
na len
t prim
a
subm
ergid
a en aire, tan
t per a o
bjectes reals co
m v
irtuals.
Consid
ereu tan
t el cas d’u
na len
t converg
ent co
m el d
’una
lent d
iverg
ent.
fa
a
11
1
EQ
UA
CIÓ
DE
CO
NJU
GA
CIÓ
DE
GA
US
S
0
f Len
t
converg
ent
0
f Len
t
div
ergen
t
0
a
Objecte
real 0
a
Objecte
virtu
al
0
a Im
atge
real 0
a Imatg
e
virtu
al
HO
a
OH
a
FH
f
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
P1.8
. Determ
ineu
analíticam
ent i g
ràficamen
t, la posició
i la
natu
ralesa de les im
atges p
roporcio
nad
es per u
na len
t prim
a
subm
ergid
a en aire, tan
t per a o
bjectes reals co
m v
irtuals.
Consid
ereu tan
t el cas d’u
na len
t converg
ent co
m el d
’una
lent d
iverg
ent.
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
P1.8
. Determ
ineu
analíticam
ent i g
ràficamen
t, la posició
i la
natu
ralesa de les im
atges p
roporcio
nad
es per u
na len
t prim
a
subm
ergid
a en aire, tan
t per a o
bjectes reals co
m v
irtuals.
Consid
ereu tan
t el cas d’u
na len
t converg
ent co
m el d
’una
lent d
iverg
ent.
P1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
P1.1
1. T
robeu
l’expressió
del cam
p asso
ciat a una o
na
cilíndrica i a u
na o
na esfèrica co
m a so
lucio
ns d
e l’equació
d’o
nes.
P1
C. Z
APA
TA
P1
C. Z
APA
TA
• Les d
ues p
rimeres eq
uacio
ns d
e Max
well en
form
a
diferen
cial són eq
uacio
ns d
iferencials d
e prim
er ord
re
acoblad
es.
• En g
eneral, és m
olt d
esitjable d
esacoblar aq
uestes
equacio
ns. A
ixò p
ot aco
nseg
uir-se a co
sta d'au
gm
entar l'o
rdre
de les eq
uacio
ns d
iferencials d
e segon o
rdre.
• Suposan
t un m
edi h
om
ogen
i, es pot escriu
re que
t HM
Ei
t EE
JH
i
Ht
ME
Et H
ME
ii
2
2
22
t E
t E
t JM
qE
qE
ii
EQ
UA
CIÓ
D’O
NE
S V
EC
TO
RIA
L
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Suposan
t un m
edi h
om
ogen
i, es pot escriu
re que
• Per a u
n m
edi lliu
re de fo
nts, les eq
uacio
ns d
'ona só
n
E
tE
JH
Hi
2
2
22
0t H
t H
t MM
JH
Hi
ii
V
EC
TO
R W
AV
E E
QU
AT
ION
2
22
t HH
2
22
t EE
ME
DI S
EN
SE
PÈ
RD
UE
S
2
22
t H
t HH
2
22
t E
t EE
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Per a cam
ps h
armònics en
el temps [v
ariacions en
el temps
de la fo
rma ex
p(-iw
t)], les equacio
ns d
'ona p
oden
ser creades
usan
t
• La co
nstan
t de p
ropag
ació és k. L
a part real d
e k és la
constan
t de fase i la p
art imag
inària d
e k és la constan
t
d'aten
uació
.
02
22
22
w
w
w
w
E
kE
Ei
EE
iE
w
w
i
k2
2
EQ
UA
CIÓ
D’O
NE
S D
E H
EL
MH
OL
TZ
EQ
UA
CIÓ
DE
DIS
PE
RS
IÓ
02
2
Hk
H
Pro
blem
es
EQ
UA
CIÓ
D’O
NE
S D
E H
EL
MH
OL
TZ
P1
C. Z
APA
TA
• En aq
uesta secció
es dem
ostra el m
ètode d
e la separació
de
variab
les que p
ot ser u
tilitzat per a reso
ldre l'eq
uació
escalar
de H
elmholtz.
• En co
ord
enad
es rectangulars, es p
ot escriu
re una so
lució
gen
eral per a E
com
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Utilitzan
t el mèto
de d
e separació
de les v
ariables,
• La su
ma d
els tres prim
ers termes p
ot ser ig
ual a -b
2 nom
és
si cada term
e és constan
t.
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• La su
ma d
els tres prim
ers termes p
ot ser ig
ual a -b
2 nom
és
si cada term
e és constan
t.
• A m
és, bx , b
y i bz es co
neix
en co
m les co
nstan
ts (o n
om
bre)
d’o
na en
la direcció
x, y, z, respectiv
amen
t.
• Alg
unes so
lucio
ns v
àlides típ
ics serien
CO
ND
ICIÓ
DE
LL
IGA
DU
RA
ON
ES
VIA
TG
ER
ES
O
NE
S E
ST
AC
ION
ÀR
IES
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Consid
erem en
prim
er lloc la so
lució
de E
per a u
n m
edi
lliure d
e fonts i sen
se pèrd
ues.
• L'eq
uació
per a E
z és una eq
uació
en d
erivad
es parcials d
e
segon o
rdre:
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
BE
SS
EL
DIF
FE
RE
NT
IAL
EQ
UA
TIO
N
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Les fu
ncio
ns d
e Bessel d
e prim
era i segona classe, J
m(b
) i
Ym
(b
), s'utilitzen
per a rep
resentar les o
nes estacio
nàries,
men
tre que les fu
ncio
ns d
e Han
kel d
e prim
era i segona classe,
H(1
)m(b
) i H
(2)m
(b
), represen
ten les o
nes q
ue v
iatgen
.
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Suposem
que l'esp
ai en q
uè els cam
ps elèctrics i m
agnètics
han
de ser reso
lts està lliure d
e fonts i n
o té p
èrdues.
• Les tres eq
uacio
ns escalars d
iferencials p
arcials estan
acoblad
es. No o
bstan
t això, so
lucio
ns T
Er i T
Mr h
an d
e
satisfer l'equació
d'o
na escalar:
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
EQ
UA
CIÓ
DIF
ER
EN
CIA
L
DE
LE
GE
ND
RE
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
• Les fu
ncio
ns d
e Bessel esfèriq
ues d
e prim
era i segona
classe, jn (br) i y
m(b
r), s'utilitzen
per a rep
resentar les o
nes
estacionàries, m
entre q
ue les fu
ncio
ns d
e Han
kel esfèriq
ues
de p
rimera i seg
ona classe, h
(1)n (b
r) i h(2
)n (br), rep
resenten
les
ones q
ue v
iatgen
.
• Pn
m(co
s) i Q
nm
(cos
) són
les fun
cion
s de L
egen
dre a
ssocia
des
de p
rimera
i segon
a cla
sse, respectiv
amen
t.
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
FÓ
RM
UL
A D
E R
OD
RIG
UE
S
Pro
blem
es P
1
C. Z
APA
TA
PR
OB
LE
ME
S D
’ÒP
TIC
A I
Solu
cion
s del B
utlletí 2
P2.1
. Calcu
leu la m
atriu d
e Jones asso
ciada a u
na làm
ina
retardad
ora, am
b les seu
es línies n
eutres cen
trades, q
ue
intro
dueix
un d
esfasamen
t en
la com
ponen
t Y. R
esoleu
el
mateix
cas quan
es gira l’elem
ent an
terior u
n an
gle
.
1
01 0
exp0
10 1
exp,
0*
22
*00
i
PP
iP
PR
co
ssin
cos
sinexp
sinco
ssin
cos
exp,
*
22
*i
PP
iP
PR
i
Rexp
0
01
,0
LÀ
MIN
A R
ET
AR
DA
DO
RA
EIX
RÀ
PID
VE
RT
ICA
L
2
2
22
sinco
sexp
cos
sinexp
1
cos
sinexp
1sin
expco
s,
ii
ii
RL
ÀM
INA
RE
TA
RD
AD
OR
A
EIX
RÀ
PID
GIR
AT
Q
Pro
blem
es P
2
C. Z
APA
TA
Reso
leu el m
ateix cas q
uan
es gira l’elem
ent an
terior u
n
angle
.
*
22
*exp
,
PP
iP
PR
*
22
*00
exp,
0
P
Pi
PP
R
co
ssin
sinco
s*
22
*
0P
PP
PR
co
ssin
sinco
s*
22
*0P
PP
PR
MA
TR
IUS
DE
RO
TA
CIÓ
DE
L
SIS
TE
MA
DE
RE
FE
RÈ
NC
IA
RR
RR
,0
,
Mèto
de 2
n:
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
Se situ
a la làmin
a retardad
ora an
terior en
tre dos p
olaritzad
ors
lineals en
creuats, d
e man
era que les lín
ies neu
tres de la
làmin
a form
en u
n an
gle
amb els eix
os d
e transm
issió
d’am
bdós p
olaritzad
ors. C
alculeu
la inten
sitat emerg
ent d
el
disp
ositiu
si s’il·lum
ina n
orm
almen
t amb u
n feix
paral·lel d
e
llum
natu
ral d’in
tensitat I
0 .
1r E
LE
ME
NT
2n
EL
EM
EN
T
3r E
LE
ME
NT
*00
0P
PP
*
22
*exp
,
PP
iP
PR
*
22
2
P
PP
LL
UM
EM
ER
GE
NT
L
LU
M E
ME
RG
EN
T
00
12
PI
12
,
R
2
32
P
sin
expco
s2
20
2i
PP
I
22
*
2
*
20
3sin
expco
s2
P
iP
PP
PI
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
Calcu
leu la in
tensitat em
ergen
t del d
ispositiu
si s’il·lum
ina
norm
almen
t amb u
n feix
paral·lel d
e llum
natu
ral d’in
tensitat
I0 . S
ota q
uin
es condicio
ns la in
tensitat an
terior és m
àxim
a?
Conclu
sió: L
a inten
sitat és màx
ima q
uan
la làmin
a
retardad
ora és d
e mitja o
na (ro
tor) i es co
l·loca a
20
20
3co
ssin
exp
12
cos
sinex
pco
ssin
2
Pi
IP
iI
20
32
exp
2sin
2sin
2
Pi
Ii
2
sin2
sin2
22
0
II
22
22
20
max
II
º45
00
12
PI
20
22
PI
22
03
2
P
I
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
P2.2
. Es d
isposa d
’un sistem
a form
at per l’aco
blam
ent d
e
dues làm
ines d
e mitja o
na am
b els seu
s eixos len
ts form
ant
entre si u
n an
gle b
.
a) C
alculeu
la matriu
de Jo
nes q
ue caracteritza aq
uest
disp
ositiu
.
2co
s2
sin
2sin
2co
s
cos
sinco
ssin
2
cos
sin2
sinco
s,
22
22
R
*
22
**
22
*exp
exp,
,
b
b
b
b
b
P
Pi
PP
PP
iP
PR
RM
*
22
*
2
*
2
*co
ssin
sinco
s
b
b
b
b
b
b
b
b
P
PP
PP
PP
PM
Pro
blem
es
NO
TA
: TR
AC
TA
ME
NT
MA
TE
MÀ
TIC
PO
C A
VA
NT
AT
JÓS
b
b
b
b
b
2co
s2
sin
2sin
2co
s
2co
s2
sin
2sin
2co
s,
,R
RM
**
2exp
2exp
2co
s2
sin
2sin
2co
sR
Ri
LL
iM
b
b
bb
b
b
C. Z
APA
TA
P
2
a) C
alculeu
la matriu
de Jo
nes q
ue caracteritza aq
uest
disp
ositiu
.
*
22
2
*02
*
2
*02
cos 2
sin
2sin
2co
s
2co
s2
sin
2sin
2co
s,
P
PP
PP
PR
22
sin
2co
s,
PP
R
b
b
b
b
22
22
,,
,P
PP
RP
RR
PM
PO
LA
RIT
ZA
CIÓ
LIN
EA
L
AM
B R
OT
AC
IÓ 2
b
PO
LA
RIT
ZA
CIÓ
LIN
EA
L
SIM
ÈT
RIC
A R
ES
PE
CT
E A
L’E
IX
LE
NT
DE
L R
ET
AR
DA
DO
R
Pro
blem
es
sin2
cos
cos
2sin
sin2
sinco
s2
cos
sin
cos
2co
s2
sin
2sin
2co
s,
PR
co
ssin
sinco
s*
22
*0P
PP
PR
MA
TR
IU D
E
RO
TA
CIÓ
C. Z
APA
TA
P
2
**
2exp
2exp
RR
iL
Li
Mb
b
b) S
e situa ara el d
ispositiu
anterio
r entre d
os p
olaritzad
ors
lineals am
b el seu
s eixos d
e transm
issió p
erpen
dicu
lars entre
si. Calcu
leu la in
tensitat em
ergen
t d’aq
uest d
ispositiu
quan
s’il·lum
ina n
orm
almen
t amb u
n feix
col·lim
at de llu
m n
atural
d’in
tensitat I
0 .
1r E
LE
ME
NT
2n
EL
EM
EN
T
3r E
LE
ME
NT
*00
0P
PP
*
22
2
P
PP
LL
UM
EM
ER
GE
NT
L
LU
M E
ME
RG
EN
T
00
12
PI
12
M
23
2
P
b
2
00
02
22
PI
PM
I
20
20
32
sin2
22
cos
2
b
b
PI
PI
1r M
ÈT
OD
E
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
13
2
M
P
**
2exp
2exp
RR
iL
Li
Mb
b
b) S
e situa ara el d
ispositiu
anterio
r entre d
os p
olaritzad
ors
lineals am
b el seu
s eixos d
e transm
issió p
erpen
dicu
lars entre
si. Calcu
leu la in
tensitat em
ergen
t d’aq
uest d
ispositiu
quan
s’il·lum
ina n
orm
almen
t amb u
n feix
col·lim
at de llu
m n
atural
d’in
tensitat I
0 .
1r E
LE
ME
NT
2n
EL
EM
EN
T
3r E
LE
ME
NT
*00
0P
PP
*
22
2
P
PP
LL
UM
EM
ER
GE
NT
L
LU
M E
ME
RG
EN
T
0 1
22
00
01
IP
I
b
bb
bb
b
b
1 0
2sin
22
cos
2sin
00
2co
s2
sin
2sin
2co
s
10
00
20
3I
MP
b
2
sin2
20
33
II
2n
MÈ
TO
DE
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
P2.3
. Sig
a un d
ispositiu
òptic q
ue es p
retén caracteritzar. L
a
seua acció
sobre q
ualsev
ol llu
m lin
ealmen
t polaritzad
a és
únicam
ent g
irar el seu p
la de p
olarització
un an
gle , sen
se
cap altre can
vi en
el seu estat d
e polarització
o en
la seua
inten
sitat. Aquest fen
om
en es d
enom
ina a
ctivitat ò
ptica
o
poder ro
tato
ri. A p
artir d’aq
uest fet,
a) C
alculeu
la matriu
de Jo
nes d
el disp
ositiu
.
b) O
bten
iu els v
alors i v
ectors p
ropis d
’aquesta m
atriu, i
interp
reteu-lo
s en fu
nció
de llu
ms p
olaritzad
es elemen
tals.
PP
M2
1
12
*
22
*0
22
0
PP
PP
MP
MP
PM
P
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
a) C
alculeu
la matriu
de Jo
nes d
el disp
ositiu
.
Conclu
sió: C
om
és lògic, la m
atriu d
e Jones co
incid
eix am
b
la matriu
de ro
tació R
(-)
*
22
*0
P
PP
PM
co
ssin
sinco
s1
0co
s
sin0
1sin
cos
M
P
PM
sin
cos
sinco
sco
ssin
sinsin
cos
cos
sin
cos
cos
sin
sinco
s
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
0sin
cos
0co
ssin
sinco
s2
2
b) O
bten
iu els v
alors i v
ectors p
ropis d
’aquesta m
atriu, i
interp
reteu-lo
s en fu
nció
de llu
ms p
olaritzad
es elemen
tals.
0det
I
MM
iexp
1co
sco
s0
1co
s2
22
y x
y xi
Mexp
cos
sin
sinco
s
xy
xx
xy
xi
ii
sin
cos
expsin
cos
ii
x
y x
1
2 11
1
R L
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
b) O
bten
iu els v
alors i v
ectors p
ropis d
’aquesta m
atriu, i
interp
reteu-lo
s en fu
nció
de llu
ms p
olaritzad
es elemen
tals.
oC
om
hem
vist, la m
atriu M
coin
cideix
amb la m
atriu d
e
rotació
R(-).
oA
çò p
rovoca u
na ro
tació d
e l'el·lipse d
e polarització
, sense
modificar el d
esfasamen
t entre les d
ues co
mponen
ts
prin
cipals.
oF
inalm
ent, aq
uesta ro
tació n
o afecta (ex
cepte u
n facto
r de
fase) estats amb sim
etria circular, co
m só
n l'estat L
i l'estat
R, els q
uals co
nstitu
eixen
els estats pro
pis d
el sistema.
**
expexp
LL
iR
Ri
M
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
P2.4
. Hi h
a substàn
cies que ab
sorb
eixen
de fo
rma d
iferent la
llum
polaritzad
a circularm
ent d
extro
gira, R
, o lev
ogira, L
,
(dicro
isme circu
lar). Calcu
leu la m
atriu d
e Jones asso
ciada a
una su
bstàn
cia d’aq
uest tip
us, la tran
smitàn
cia en am
plitu
d
del q
ual és p
R i pL , p
er a llum
R i L
, respectiv
amen
t.
i
i
pi
i
pL
Lp
RR
pD
LR
LR
11
21
1
2
**
22
22
1
1
21
1
2L
RL
R
LR
LR
LR
pp
pp
i
pp
ip
p
i
ip
i
ip
D
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
Efecte so
bre llu
m lin
ealmen
t polaritzad
a:
Conclu
sió: L
'acció d
'aquestes su
bstàn
cies sobre llu
m
linealm
ent p
olaritzad
a és la de tran
sform
ar aquesta en
llum
el·lípticam
ent p
olaritzad
a, dex
trogira si p
R > p
L , on l'eix
majo
r
coin
cideix
amb el p
la de p
olarització
de la llu
m en
trant.
22
2
P
pp
iP
pp
PD
LR
LR
ou
t
co
s
sin
2sin
cos
2sin
2co
s2
sin2
cos
2L
RL
R
LR
LR
LR
LR
ou
t
pp
ip
p
pp
pp
i
pp
ip
p
PD
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
Altres ex
emples:
En el cas q
ue am
bdós co
eficients d
'abso
rció co
incid
isquen
,
l'elemen
t òptic es co
nverteix
en u
n filtre g
ris.
1
1
2 1
1 0
i
iD
p p
L R
1
1
2 1
0 1
i
iD
p p
L R
It
t
tD
tp
tp
L R
0
0
PO
LA
RIT
ZA
DO
R C
IRC
UL
AR
LE
VO
GIR
P
OL
AR
ITZ
AD
OR
CIR
CU
LA
R D
EX
TR
OG
IR
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
P2.5
. Consid
ereu u
na o
na lin
ealmen
t polaritzad
a en u
na
atmosfera d
’electrons la d
ensitat d
e la qual és 1
012 m
-3. En la
direcció
de p
ropag
ació s’ap
lica un cam
p m
agnètic
d’in
tensitat B
0 = 0
.5 1
0-4 w
eber/m
2. Obten
iu u
na ex
pressió
que rep
resente el can
vi d
’estat de p
olarització
per lo
ngitu
d
d’o
na en
la direcció
de p
ropag
ació.
ikzt
iE
E
w
exp
0
12
11
2 22
1
w
ck
22
20
2
20
2
0
2
11
cm
eN
ww
w
w
w
w
22
20
20
2
12
c
c
m
eN
ww
w
w
ww
AT
MO
SF
ER
A
D'E
LE
CT
RO
NS
LL
IUR
ES
z
ikL
EL
Eo
ut
in
exp
00
in
out
z=0
z>0
z
ikR
ER
Eo
ut
in
exp
00
B0
Pro
blem
es
P2.3
C. Z
APA
TA
P
2
Obten
iu u
na ex
pressió
que rep
resente el can
vi d
’estat de
polarització
per lo
ngitu
d d
’ona en
la direcció
de p
ropag
ació.
*
22
*0
**
exp
exp
P
PP
PL
Li
RR
iM
z
ikL
EL
Eo
ut
in
exp0
0
z
ikR
ER
Eo
ut
in
exp0
0
inout
A
*
**
*ex
pex
pex
pex
pex
pL
Li
RR
ii
LL
zik
RR
zik
A
zk
kz
2
M
iA
exp
P3.3
Conclu
sió: U
n estat P
gira el seu
pla d
e
polarització
un an
gle
-
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
Obten
iu u
na ex
pressió
que rep
resente el can
vi d
’estat de
polarització
per lo
ngitu
d d
’ona en
la direcció
de p
ropag
ació.
Exem
ple n
um
èric:
22
210
22
20
2
20
221
11
0
cc
w
w
w
w
w
w
w
w
ww
w
11
22
210
22
20
2
211
20
w w
w
w
w
w w
w
w
w
w
ww
w
w
c
c
c
c
c
ms
Bm
ec
c214
10
79
.8
16
0
w
C
e1
910
6022
.1
mF
12
010
8542
.8
kg
m3
110
1094
.9
m
sm
Ne
4.33
10
64
.5
1
17
10
221
w
w
w
w
w
2
4
12
16
221
11
11
510
06
.1
10
59
.3
10
98
.2
8.632
s
nm
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
2
Obten
iu u
na ex
pressió
que rep
resente el can
vi d
’estat de
polarització
per lo
ngitu
d d
’ona en
la direcció
de p
ropag
ació.
En la io
nosfera, la rad
iació d
el visib
le és pràcticam
ent
lum
ínica i n
o sen
t l'efecte del cam
p m
agnètic terrestre.
Per a aix
ò es n
ecessiten cam
ps m
agnètics m
és inten
sos:
2
2 22
w
nc
k1
21
112
11
12
11
n
11
5
010
98
.2
8.632
w
sB
me
nm
cc
TB
3
010
9.16
zn
n
cz
2
w
2
2 2112
22
w
w ww
w
w
w
zz
cz
cz
cc
zc
z
w
2
111
c
2
1
Pro
blem
es
25
10
3.5
2
mm
kmm
m12
10
1192
2
C. Z
APA
TA
P
2
PR
OB
LE
ME
S D
’ÒP
TIC
A I
Solu
cion
s del B
utlletí 3
P3.1
. Dem
ostreu
que ex
isteix u
na relació
no lo
cal entre el
vecto
r desp
laçamen
t D i el cam
p elèctric E
,
on
és la transfo
rmad
a de F
ourier d
e la suscep
tibilitat
característica d
el med
i. A m
és, el prin
cipi d
e causalitat
requereix
que D
(t) en u
n d
etermin
at instan
t t dep
enga d
el
camp E
(t) en tem
ps an
teriors i, p
er tant, G
(t)=0 si t <
0.
Dem
ostreu
açò u
tilitzant el m
odel d
e Loren
tz per a
w.
Pro
blem
es
tt
t
dt
EG
tE
tD
0
0
ww
t
w
td
iG
exp
2 1
P3
C. Z
APA
TA
C. Z
APA
TA
P
3
• Una altra co
nseq
üèn
cia de la d
epen
dèn
cia espectral d
e (w)
és la connex
ió n
o lo
cal en el d
om
ini tem
poral en
tre el vecto
r
desp
laçamen
t D(x
, t) i el camp elèctric E
(x, t):
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
w
w
ww
t
it
td
ti
dt
exp
,ex
p2 1
,x
Ex
D
tt
t
wt
w
w
t
t
i
dt
dt
exp
,2 1
,x
Ex
D
t
tt
wt
w
w
tt
Fd
ti
dF
,,
exp
2 1x
Ex
D
w
t
ww
t
t
id
Fex
p2 1
0
10
• Una altra co
nseq
üèn
cia de la d
epen
dèn
cia espectral d
e (w)
és la connex
ió n
o lo
cal en el d
om
ini tem
poral en
tre el vecto
r
desp
laçamen
t D(x
, t) i el camp elèctric E
(x, t):
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
• Si (w
) és indep
enden
t de w
, llavors G
(t) (t) i s'o
bté la
connex
ió in
stantàn
ia, però
si (w) can
via am
b w
, G(t) n
o
s'anul·la p
er a valo
rs de t d
iferents d
e zero.
t
t
tG
F0
• Aquestes eq
uacio
ns p
roporcio
nen
una co
nnex
ió n
o lo
cal
entre D
i E, en
la qual D
en u
n tem
ps t d
epèn
del cam
p
elèctric en tem
ps d
iferents d
e t
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
A m
és, el prin
cipi d
e causalitat req
uereix
que D
(t) en u
n
determ
inat in
stant t d
epen
ga d
el camp E
(t) en tem
ps an
teriors
i, per tan
t, F(t) =
0 si t <
0. D
emostreu
açò u
tilitzant el
model d
e Loren
tz per a
w.
Els p
ols d
e l'integ
rand es tro
ben
tots en
la meitat in
ferior d
el
pla co
mplex
:
L’in
tegran
d és an
alític tant en
la meitat su
perio
r (Im w
> 0
)
com
en l’eix
real.
Pro
blem
es
w
w
w
w
w
22
20
2
i
p
ww
w
w
wt
w
ww
t
w
td
i
id
iG
p
2
exp
2ex
p2 1
220
2
0
220
0si
;w
w
w
0
220
2w
w
w
ww
w
w
w
w
ii
C. Z
APA
TA
P
3
Dem
ostreu
que F
(t) = 0
si t < 0
utilitzan
t el model d
e
Loren
tz per a
w.
Ara co
nsid
erem u
n co
nto
rn d
’integ
ració d
es de –
R
cap a R
i també al llarg
d’u
n sem
icercle en la
meitat su
perio
r del p
la, el qual està cen
trat a
l’orig
en i té u
n rad
i R.
Alesh
ores aq
uesta in
tegració
de co
nto
rn d
óna zero
si t < 0
.
Pro
blem
es
02
exp
2
exp
2
exp
220
220
220
w
w
w
w
wt
ww
w
w
wt
ww
w
w
wt
C
RR
di
id
i
id
i
i
1Im
exp
exp
0&
0Im
t
w
wt
t
w
i
02
exp
lim0
2
exp
lim2
20
220
w
w
w
w
wt
w
w
w
w
wt
RRR
CR
di
id
i
i
Re(w
Im(w
-R
R
C+
C. Z
APA
TA
P
3
Avalu
eu F
(t) si t > 0
utilitzan
t el model d
e Loren
tz per a
w.
Ara co
nsid
erem u
n co
nto
rn d
’integ
ració d
es de –
R
cap a R
i també al llarg
d’u
n sem
icercle en la
meitat in
ferior d
el pla. P
roblem
es
w
ww
w
w
wt
ww
w
w
wt
Res
22
exp
2
exp
220
220
id
i
id
i
i
C
RR
1Im
exp
exp
0&
0Im
t
w
wt
t
w
i
w
w
w
w
w
wt
w
w
w
w
wt
Res
22
exp
lim0
2
exp
lim2
20
220
id
i
id
i
iRR
RC
R
Re(w
Im(w
-R
R
C-
0w
w
i
o
oi
i
i
i
w
tw
t
w
w
tw
w
w
w
wt
w
w
w
w
w
2 ex
pex
pex
p
2
exp
limR
es2
20
w
w
w
w
w
w
w
2
220
i
0
0
2
exp
exp
Res
w
tw
t
w
i
C. Z
APA
TA
P
3
Avalu
eu F
(t) si t > 0
utilitzan
t el model d
e Loren
tz per a
w
.
Pro
blem
es
w
w
w
w
w
wt
R
es2
2
exp
lim2
20
id
i
iRR
R
w
tw
t
w
tw
t
ww
w
w
wt
0
0
220
2
exp
exp
2 exp
exp
22
exp
ii
id
i
i
o
o
t
tw
w
ww
w
w
wt
exp
sin2
2
exp
220
o
o
di
i
t
tw
w w
ww
w
w
wt
w
t
exp
sin2
exp
2
2
220
2
o
o pp
di
iG
t
tw
w w
t
wex
psin
2
0 22
o
o p
pG
m Ne
C. Z
APA
TA
P
3
P3.2
. Consid
ereu el m
odel d
’un àto
m en
el qual l’electró
es
troba llig
at per m
itjà d’u
n p
oten
cial d’o
scil·lador h
armònic d
e
tipus an
isòtro
p, i q
ue té asso
ciades freq
üèn
cies prò
pies
d’o
scil·lació, w
x , wy i w
z diferen
ts en les d
ireccions X
, Y i Z
,
respectiv
amen
t. Suposeu
ara que u
na o
na electro
mag
nètica
plan
a de freq
üèn
cia w es p
ropag
a en el si d
’un m
aterial form
at
per aq
uest tip
us d
’àtom
s. Am
b les h
ipòtesis d
e la teoria
clàssica de l’ín
dex
de refracció
:
a) D
emostreu
que el v
ector d
esplaçam
ent elèctric
es pot escriu
re com
, on és u
na m
atriu
diag
onal 3
×3. A
més, o
bten
iu u
na ex
pressió
dels elem
ents
d’aq
uesta.
b) C
onsid
ereu ara q
ue l’o
na in
ciden
t es pro
pag
a en d
irecció d
e
l’eix Z
. Dem
ostreu
que els electro
ns d
e cada àto
m n
o v
ibren
en la d
irecció d
el camp in
ciden
t.
Pro
blem
es
PE
εD
0
E
εD
w
0
w
C. Z
APA
TA
P
3
Em e
rr
Em e
zz
Em e
yy
Em e
xx
EeF
zz
yy
xx
w
w
w
w
20
2 2 2
00
200
2
0
0exp
expE
m er
rx
kit
ir
r
xki
ti
EE
w
w
w
w
Pro
blem
es
a) D
emostreu
que el v
ector d
esplaçam
ent elèctric
es pot escriu
re com
, on és u
na m
atriu
diag
onal 3
×3. A
més, o
bten
iu u
na ex
pressió
dels elem
ents
d’aq
uesta.
PE
εD
0
E
εD
w
0
w
w
w
w
w
z
y
x
00
00
00
0
C. Z
APA
TA
P
3
00
00
00
0
0 0
exp
expr
Ne
Eε
PE
εD
xki
ti
DD
xki
ti
PP
rN
eP
w
w
w
w
w
w
w
w
z y x
z
y
x
E E E
m e
z y x
0 0 0
22
22
22
0 0 0
10
0
01
0
00
1
Pro
blem
es
a) D
emostreu
que el v
ector d
esplaçam
ent elèctric
es pot escriu
re com
, on és u
na m
atriu
diag
onal 3
×3. A
més, o
bten
iu u
na ex
pressió
dels elem
ents
d’aq
uesta.
PE
εD
0
E
εD
w
0
w
C. Z
APA
TA
P
3
w
w
w
w
w
w
z y x
z
y
x
z y x
E E E
m Ne
m Ne
m Ne
D D D
0 0 0
22
2
0
22
2
0
22
2
0
0 0 0
10
0
01
0
00
1
w0
ε
Pro
blem
es
a) D
emostreu
que el v
ector d
esplaçam
ent elèctric
es pot escriu
re com
, on és u
na m
atriu
diag
onal 3
×3. A
més, o
bten
iu u
na ex
pressió
dels elem
ents
d’aq
uesta.
PE
εD
0
E
εD
w
0
w
C. Z
APA
TA
P
3
b) C
onsid
ereu ara q
ue l’o
na in
ciden
t es pro
pag
a en d
irecció
de l’eix
Z. D
emostreu
que els electro
ns d
e cada àto
m n
o
vib
ren en
la direcció
del cam
p in
ciden
t.
Pro
blem
es
w
w
w
w
zik
ti
rr
zik
ti
PP
zik
ti
DD
zik
ti
EE
10
10
10
10exp
exp
exp
exp
PE
cE
tt
2
0
2
2
1
2
00
1c
xP
xE
cx
Ez
ikz
ikx
xx
ˆˆ
ˆˆ
ˆ0
2
00
2 2
01
1w
w
w
w
w
2
2
0 2
2 221
11
xm N
e
ck
x
x
xE
m Ne
P0
22
2
0
1
w
w
P
LA
DE
PO
LA
RIT
ZA
CIÓ
XZ
rE
||
xx
r
xP
P
xD
D
x xˆ ˆ ˆ
00
00
00
xE
E
zk
k
xˆ
ˆ00
1
C. Z
APA
TA
P
3
w
w
w
w
zik
ti
rr
zik
ti
PP
zik
ti
DD
zik
ti
EE
20
20
20
20exp
exp
exp
exp
PE
cE
tt
2
0
2
2
1
2
00
1c
yP
yE
cy
Ez
ikz
iky
yy
ˆˆ
ˆˆ
ˆ0
2
00
2 2
02
2w
w
w
w
w
2
2
0 2
2 222
11
ym N
e
ck
y
y
yE
m Ne
P0
22
2
0
1
w
w
rE
||
yy
r
yP
P
yD
D
y yˆ ˆ ˆ
00
00
00
yE
E
zk
k
yˆ
ˆ00
2
b) C
onsid
ereu ara q
ue l’o
na in
ciden
t es pro
pag
a en d
irecció
de l’eix
Z. D
emostreu
que els electro
ns d
e cada àto
m n
o
vib
ren en
la direcció
del cam
p in
ciden
t.
Pro
blem
es
PL
A D
E
PO
LA
RIT
ZA
CIÓ
YZ
C. Z
APA
TA
P
3
z
ikt
iz
kk
iEy
ExE
zik
ti
Eyz
ikt
iEx
E
yx
yx
11
20
0
20
10
expexp
ˆˆ
expˆ
expˆ
w
w
w
z
ikt
iz
kk
iPy
PxP
yx
11
20
0exp
expˆ
ˆ
w
Ex
EE
cos
00
Ey
EE
sin0
0
cos
00
PP
x
sin
00
PP
y
E
y x
x y
y x
x y
y
y
x
xy
xE E
P PE
E
m Ne
PP
w
w
w
w
w
w
w
w
w
ww
w
tantan
,,
22
22
0 0
22
22
0 0
22
0
22
0
2
00
b) C
onsid
ereu ara q
ue l’o
na in
ciden
t es pro
pag
a en d
irecció
de l’eix
Z. D
emostreu
que els electro
ns d
e cada àto
m n
o
vib
ren en
la direcció
del cam
p in
ciden
t.
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
P3.3
. Consid
ereu u
n m
edi d
ielèctric, hom
ogen
i i isòtro
p,
sotm
ès a l’acció d
’un cam
p m
agnètic u
nifo
rme i estacio
nari
en la d
irecció d
e l’eix Z
, i en el q
ual es p
ropag
a una o
na
monocro
màtica d
e freqüèn
cia w. F
ent ú
s del m
odel d
e
Loren
tz de l’o
scil·lador electrò
nic d
e freqüèn
cia prò
pia w
0 i
neg
ligin
t, per sim
plificar, el term
e d’am
ortim
ent:
a) T
rob
eu l’eq
uació
de m
ovim
ent d
e l’electró.
b) S
uposan
t que els electro
ns d
el med
i oscil·len
a la mateix
a
freqüèn
cia que el cam
p d
e l’ona p
lana, d
emostreu
que la
polarització
del m
edi p
ot ex
pressar-se p
er mitjà d
’una
suscep
tibilitat elèctrica co
mplex
a.
c) Consid
ereu ara q
ue l’o
na p
lana q
ue es p
ropag
a en el m
edi,
ho fa en
la direcció
de l’eix
Z. D
emostreu
que en
aquest cas
l’ona p
lana està n
ecessàriamen
t polaritzad
a circularm
ent.
B
E
P
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
a) T
robeu
l’equació
de m
ovim
ent d
e l’electró.
Analitzem
el cas en q
uè n
o h
i ha cam
p m
agnètic ex
tern.
Les am
plitu
ds E
i B estan
relacionad
es a través d
e la velo
citat
de fase d
e l'ona p
lana.
B
rm e
Em e
rr
Br
eEe
F
w
20
x
kit
iE
kB
xki
ti
EE
BE
t
w
w
w
ex
pex
p0
0
fv E
B
E
m er
rEe
Fv r
f
w
20
1
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
a) T
robeu
l’equació
de m
ovim
ent d
e l’electró.
Si in
cloem
un cam
p m
agnètic ex
tern:
z
rB
m eE
m er
rz
reB
EeF
ˆˆ
0
200
w
EQ
UA
CIÓ
DE
MO
VIM
EN
T
zB
Bˆ
0
xyyx
zzz
yyxx
zr
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
yB
m et
iE
m ex
xx
00
20ex
p
w
w
xB
m et
iE
m ey
yy
00
20ex
p
w
w
t
iE
m ez
zz
w
w
ex
p0
20
zE
yE
xE
Ez
yx
ˆˆ
ˆ0
00
0
Pro
blem
es
1
xk
C. Z
APA
TA
P
3
b) S
uposan
t que els electro
ns d
el med
i oscil·len
a la mateix
a
freqüèn
cia que el cam
p d
e l’ona p
lana, d
emostreu
que la
polarització
del m
edi p
ot ex
pressar-se p
er mitjà d
’una
suscep
tibilitat elèctrica co
mplex
a.
E
P
00
00
200
2y
Bm e
iE
m ex
xx
w
w
w
00
00
200
2x
Bm e
iE
m ey
yy
w
w
w
zE
m ez
z0
0
200
2
w
w
EQ
UA
CIÓ
DE
MO
VIM
EN
T
zE
me
z0
20
20
w
w
w
ww
w
w
w
y x
E E
m e
y x
Bm e
i
Bm e
i
0 0
0 0
20
2
0
0
20
2
Pro
blem
es
z
ri
Bm e
Em e
rr
ti
rr
ˆex
p0
00
0
200
2
0
w
w
w
w
C. Z
APA
TA
P
3
w
ww
w
ww
w
w
y x
c
c
E E
m e
y x
i
i
0 0
0 0
20
2
20
2
0B
m ec
w Fre
qü
èn
cia
de c
iclo
tró
10
01
22
CA
AiC
iCA
AiC
iCA
cC
ww
20
2w
w
A
w
ww
w
ww
w
w
ww
w
w
y x
c
c
cE E
i
i
m e
y x
0 0
20
2
20
2
0 02
220
2
b) S
uposan
t que els electro
ns d
el med
i oscil·len
a la mateix
a
freqüèn
cia que el cam
p d
e l’ona p
lana, d
emostreu
que la
polarització
del m
edi p
ot ex
pressar-se p
er mitjà d
’una
suscep
tibilitat elèctrica co
mplex
a.
E
P
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
w
w
ww
w
w
w
w
ww
w
w
ww
ww
w
w
ww
ww
w
w
w
w
z y x
cc
c
c
c
c
E E Ei
i
m e
z y x
0 0 0
20
2
22
20
2
20
2
22
20
2
22
20
22
220
2
20
2
0 0 0
10
0
0 0
00
0
00
00
00
exp
Er
Ne
rN
eP
EP
ti
PP
w
b) S
uposan
t que els electro
ns d
el med
i oscil·len
a la mateix
a
freqüèn
cia que el cam
p d
e l’ona p
lana, d
emostreu
que la
polarització
del m
edi p
ot ex
pressar-se p
er mitjà d
’una
suscep
tibilitat elèctrica co
mplex
a.
E
P
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
w
w
ww
w
w
w
w
ww
w
w
ww
ww
w
w
ww
ww
w
w
w
w
20
2
22
20
2
20
2
22
20
2
22
20
22
220
2
20
2
0
2
10
0
0 0
cc
c
c
c
c
i
i
m
eN
b) S
uposan
t que els electro
ns d
el med
i oscil·len
a la mateix
a
freqüèn
cia que el cam
p d
e l’ona p
lana, d
emostreu
que la
polarització
del m
edi p
ot ex
pressar-se p
er mitjà d
’una
suscep
tibilitat elèctrica co
mplex
a.
E
P
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
33
11
12
12
11
00
0 0
i
i
22
20
2
20
22
11
c
p
ww
w
w
w
ww
22
20
2
2
12
c
cp
ww
w
w
ww
w
20
2
2
33
w
w
w
p
Conclu
sió: E
l med
i és isòtro
p
nom
és quan
el camp elèctric
de l'o
na p
lana és p
aral·lel al
camp m
agnètic estàtic.
m
Ne
p
0
22
w
b) S
uposan
t que els electro
ns d
el med
i oscil·len
a la mateix
a
freqüèn
cia que el cam
p d
e l’ona p
lana, d
emostreu
que la
polarització
del m
edi p
ot ex
pressar-se p
er mitjà d
’una
suscep
tibilitat elèctrica co
mplex
a.
E
P
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
3
333
22
12
11
11
12
11
uu
uu
uu
Conclu
sió: Q
uan
E ┴
B, llav
ors el cam
p elèctric
E és p
roporcio
nal a P
si el seu estat d
e
polarització
és circular.
00
0
1E
P
33
11
12
12
11
00
0 0
i
i
0 12 1
1
i
u
0 12 1
2
i
u
1 0 0
3u
LL
UM
CIR
CU
LA
RM
EN
T
PO
LA
RIT
ZA
DA
LE
VO
GIR
A
LL
UM
CIR
CU
LA
RM
EN
T
PO
LA
RIT
ZA
DA
DE
XT
RO
GIR
A
LL
UM
LIN
EA
LM
EN
T
PO
LA
RIT
ZA
DA
b) S
uposan
t que els electro
ns d
el med
i oscil·len
a la mateix
a
freqüèn
cia que el cam
p d
e l’ona p
lana, d
emostreu
que la
polarització
del m
edi p
ot ex
pressar-se p
er mitjà d
’una
suscep
tibilitat elèctrica co
mplex
a.
E
P
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
c) Consid
ereu ara q
ue l’o
na p
lana q
ue es p
ropag
a en el m
edi,
ho fa en
la direcció
de l’eix
Z. D
emostreu
que en
aquest cas
l’ona p
lana està n
ecessàriamen
t polaritzad
a circularm
ent.
PE
cE
tt
2
0
2
2
1
0
2
00
2 2
0
0 0exp
expP
Ec
Eki
kix
kit
iP
P
xki
ti
EE
w
w
w
w
02 2
02 2
0
2
0
0
2
00
00
0E
cE
cE
kE
kk
Ek
Ek
kE
kk
EP
w
w
00
2
1
c
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
c) Consid
ereu ara q
ue l’o
na p
lana q
ue es p
ropag
a en el m
edi,
ho fa en
la direcció
de l’eix
Z. D
emostreu
que en
aquest cas
l’ona p
lana està n
ecessàriamen
t polaritzad
a circularm
ent.
00
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
10
0
01
0
00
1
EEI
zz
yy
xx
I
0
0
2
2
2
2
2
2
11
Ek
kEJ
kk
kk
kk
kk
k
kk
kk
k
kk
kk
k
kJ
zz
yz
x
zy
yy
x
zx
yx
x
00
2 2
2 22
2
02 2
02 2
0
2
0
2
w
w
w
w
Ec
Ic
Ik
Jk
Ec
EIc
EIk
EJk
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
c) Consid
ereu ara q
ue l’o
na p
lana q
ue es p
ropag
a en el m
edi,
ho fa en
la direcció
de l’eix
Z. D
emostreu
que en
aquest cas
l’ona p
lana està n
ecessàriamen
t polaritzad
a circularm
ent.
00
ˆ0
0
00
w
zz
Ek
B
HB
zkk
00
00
00
00
0
z
PE
D
zz
DP
zE
zz
Jˆ
ˆ
10
0
00
0
00
0
0
2
02 2
2 22
Ek
EI
cc
Jk
w
w
EQ
UA
CIÓ
DE
VA
LO
RS
PR
OP
IS
0
2
02 2
00
Ek
EI
cE
J
w
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
c) Consid
ereu ara q
ue l’o
na p
lana q
ue es p
ropag
a en el m
edi,
ho fa en
la direcció
de l’eix
Z. D
emostreu
que en
aquest cas
l’ona p
lana està n
ecessàriamen
t polaritzad
a circularm
ent.
Conclu
sió: O
nes am
b p
olarització
circular lev
ogira i
dex
trogira es p
ropag
uen
amb v
elocitats d
e fase diferen
ts.
w
w
11
12
2 2
12
11
2 22
nc
ck
w
y x
y x
E Ek
E E
i
i
c0 0
2
0 0
11
12
12
11
2 2
1
1
w0
2
02 2
Ek
EI
c
i
EE
1
2 00
i
EE
1
2 00
Pola
ritz
ació
circ
ula
r desx
trogir
a
Pola
ritz
ació
circ
ula
r levogir
a
Pro
blem
es C
. ZA
PA
TA
P
3
c) Consid
ereu ara q
ue l’o
na p
lana q
ue es p
ropag
a en el m
edi,
ho fa en
la direcció
de l’eix
Z. D
emostreu
que en
aquest cas
l’ona p
lana està n
ecessàriamen
t polaritzad
a circularm
ent.
Conclu
sió: E
n els p
lasmes, les o
nes am
b p
olarització
circular
dex
trogira n
o es p
ropag
uen
a freqüèn
cies baix
es.
Pro
blem
es
2 2
22
2
11
22
c p
c
pc
w w
w
w
w
w
w
11
11
2
22 2
12
22
w w
w
w w
w
w
w
ww
w
w
c
c
p
c
cp
c
w0
20
12
11
21
1
n
12
2
n
C. Z
APA
TA
P
3
PR
OB
LE
ME
S D
’ÒP
TIC
A I
Solu
cion
s del B
utlletí 4
P4.1
. Com
pro
veu
que els an
gles azim
utals d
e les com
ponen
ts
transm
esa T i reflectid
a R satisfan
les equacio
ns:
sent
I i T els an
gles d
’incid
ència i refracció
i I l’an
gle
azimutal d
e la radiació
incid
ent.
Pro
blem
es
I I
inI
sin
cos
0
||
IT
IT
M TE
TT
E
TM
trt t
t t
tanco
stan
||
||
T
I
IT
TE
t
sin
cos
sin2
T
IT
I
IT
TM
t
co
ssin
cos
sin2
I
TI
TI
R
tanco
s
cos
tan
I
TI
T
tan
cos
tan
P4
C. Z
APA
TA
I
TI
TI
R
tanco
s
cos
tan
I
TI
T
tan
cos
tan
I I
inI
sin
cos
0
||
I
TI
TI
I
TI
TI
TI
TI
TM TE
RT
E
TM
refr r
r r
tanco
s
cos
tansin
tan
tansin
tan||
||
T
I
TI
TE
r
sin
sin
TI
TI
TM
r
tan
tan
Pro
blem
es
Com
pro
veu
que els an
gles azim
utals d
e les com
ponen
ts
transm
esa T i reflectid
a R satisfan
les equacio
ns:
sent
I i T els an
gles d
’incid
ència i refracció
i I l’an
gle
azimutal d
e la radiació
incid
ent.
P4
C. Z
APA
TA
Dem
ostreu
que en
la reflexió
el camp elèctric s’allu
nya d
el
pla d
’incid
ència i q
ue en
la refracció s’h
i acosta.
T
I
TI
I R
cos
cos
tan
tan
IT
IT
TI
I T
tan
tan1
cos
tan
tan
2
TI
2
TI
IR
I R
1
tan
tan
IR
I R
1
tan
tan
TI
TI
cos
cos
I
T
Pro
blem
es P
4
C. Z
APA
TA
P4.2
. Un feix
pla d
e llum
monocro
màtica lin
ealmen
t
polaritzad
a és desv
iat per u
n ro
mboed
re de reflex
ió to
tal
d’ín
dex
n =
1.5
54, co
m s’in
dica en
la figura. D
escriviu
l’efecte del d
ispositiu
sobre cad
a una d
e les com
ponen
ts del
camp.
sin
cos
0
||I
in
ME
DI 1
ME
DI 2
ME
DI 1
i
tt
tr
rt
tr
rt
TE
TE
TE
TE
TM
TM
TM
TM
ou
tex
p
||
21
12
12
21
21
21
||12
21
21
21
12
12
12
78
31
.0
1
2º
0º
0t
nt
tT
ET
M
21
21
21
217
.1
1 2º
0º
0t
n nt
tT
ET
M
2
21
2
21
exp
TM TE
r ri
Pro
blem
es P
4
C. Z
APA
TA
Descriv
iu l’efecte d
el disp
ositiu
sobre cad
a una d
e les
com
ponen
ts del cam
p.
ME
DI 1
ME
DI 2
ME
DI 1
4ex
p7
85
9.
0ex
pco
sco
s
cos
cos
12
12
21
ii
n nr
TE
25718
.1
exp
exp
2
21
2
21
i
r ri
TM TE
455
.0
cos
441
.0
2sin
sin1
1º
45
12
2
i in
2
exp
57
18
.1
exp
cos
cos
cos
cos
12
12
21
ii
n nr
TM
4sin
1sin
cos
2tan
2
2
2
2
2
2
n DE
SF
AS
AM
EN
T T
OT
AL
DE
SF
AS
AM
EN
T E
N
CA
DA
RE
FL
EX
IO
Pro
blem
es P
4
C. Z
APA
TA
Obten
iu la m
atriu d
e Jones q
ue caracteritza el d
ispositiu
.
Si el p
la de v
ibració
de la llu
m in
ciden
t
form
a un an
gle d
e 45º am
b el p
la
d’in
cidèn
cia, descriv
iu am
b d
etall l’estat de
polarització
de la rad
iació q
ue em
ergeix
del
rom
bo
edre.
ii
R0
01
exp
0
01
,0
2
1 1
2 04
0
4I
PI
in
1953
.0
21
12
tt
LI
i
Iou
t0
01
2
Pro
blem
es P
4
C. Z
APA
TA
P4.3
. Un raig
de llu
m n
atural q
uasim
onocro
màtica in
cideix
,
amb an
gle
1 , sobre u
na esfera d
ielèctrica hom
ogèn
ia d’ín
dex
de refracció
n su
bm
ergid
a en aire, i p
ateix u
na ú
nica reflex
ió
parcial en
el seu in
terior ab
ans d
’emerg
ir d’aq
uella.
11
sinsin
n
11
1
22
2
22
33
sinsin
n
33
3
Refra
cció #
1
Refra
cció #
2
Refle
xió
#1
21
21
CI
I
32
32
C
II
31
31
31
Pro
blem
es P
4
C. Z
APA
TA
Obten
iu u
na ex
pressió
per al g
rau d
e polarització
V d
el raig
emerg
ent en
funció
dels an
gles d
’incid
ència
1 i refracció ´
1 .
ME
DI 1
ME
DI 2
||
in2
0||
0I
Iin
in
TE
TE
TE
TM
TM
TM
ou
tt
rt
tr
t
12
21
21
||12
21
21
01 1
12 2
||
in in
inin
V
1
11
1
11
12
cos
sin
cos
sin2
T
Mt
1
1
11
21
tan
tan
TM
r
1
11
1
11
21
cos
sin
cos
sin2
T
Mt
1
1
11
12
sin
cos
sin2
T
Et
1
1
11
21
sin
sin
T
Er
1
1
11
21
sin
cos
sin2
T
Et P
roblem
es P
4
C. Z
APA
TA
ME
DI 1
ME
DI 2
||
in2
0||
0I
Iin
in
TE
TE
TE
TM
TM
TM
ou
tt
rt
tr
t
12
21
21
||12
21
21
01 1
12 2
||
in in
inin
V
1
1
3
11
12
21
21
||12
21
21
cos
cos
TE
TE
TE
TM
TM
TM
ou
tt
rt
tr
t
2 2
1 1
ou
t
ou
to
ut
V
Pro
blem
es
Obten
iu u
na ex
pressió
per al g
rau d
e polarització
V d
el raig
emerg
ent en
funció
dels an
gles d
’incid
ència
1 i refracció ´
1 .
P4
C. Z
APA
TA
Fin
almen
t, calculeu
l’angle d
’incid
ència p
er al qual el raig
de
llum
emerg
ent està to
talmen
t polaritzat en
el cas d’u
na esfera
d’aig
ua (n
= 4
/3). R
aoneu
la resposta.
20
cos
cos
11
1
11
3
11
o
ut
ou
tV
Conclu
sió: S
i el feix in
cideix
amb
l’angle d
e Brew
ster, la com
ponen
t
TM
no
es reflecteix en
el punt I
2 . En
eixir d
el punt I
3 , el feix es tro
ba
linealm
ent p
olaritzat (T
E p
ur).
º13
.53
arctan1
n
B
º39
.59
m
i
º20
.40
1
925
.0
200
.0
ou
to
ut
V
AR
C IR
IS A
PR
OX
.
LIN
EA
LM
EN
T P
OL
AR
ITZ
AT
Pro
blem
es P
4
C. Z
APA
TA
P4.4
. Rep
resenteu
gràficam
ent la d
epen
dèn
cia de la
reflectància i el d
esfasamen
t amb l’an
gle d
’incid
ència so
bre
una su
perfície p
lana en
el cas d’u
na o
na m
onocro
màtica d
e
longitu
d d
’ona
= 5
00 n
m q
ue es p
ropag
a en el esp
ai lliure i
incid
eix so
bre p
lata (n =
0.0
5 –
i 2.8
7).
Pro
blem
es
21
21
12
cos
cos
cos
cos
n nr
TE
21
2
21
2
21
21
12
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
nn
nn
n nr
TM
2
1
2
1
22
2
22
2
2
2
2sin
sinsin
sin1
cos
ni
nn
nn
n
21
sinsin
n
P4
C. Z
APA
TA
P4.4
. Rep
resenteu
gràficam
ent la d
epen
dèn
cia de la
reflectància i el d
esfasamen
t amb l’an
gle d
’incid
ència so
bre
una su
perfície p
lana en
el cas d’u
na o
na m
onocro
màtica d
e
longitu
d d
’ona
= 5
00 n
m q
ue es p
ropag
a en el esp
ai lliure i
incid
eix so
bre p
lata (n =
0.0
5 –
i 2.8
7).
Pro
blem
es
TE
TE
in n
r
exp
cos
cos
cos
cos
21
21
12
TM
TM
in
n
nn
r
exp
cos
cos
cos
cos
21
2
21
2
12
2
1
2
2sin
cos
ni
n
24
887
22
.-
n.
-in
Ag
Neg
ligin
t pèrd
ues d
el meta
ll
1
2
1
2
cos
sin
2tan
nT
E
1
2
2
1
2cos
sin
2tan
n
nT
E
112
12
TM
TE
rr
P4
C. Z
APA
TA
Pro
blem
es
24
82
.-
nA
g
1
2
1
2
cos
sintan
nT
E
1
2
2
1
2cos
sintan
n
nT
E
11
21
2
T
MT
Er
r
0.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
rads
1
TE
TM
Neg
ligin
t pèrd
ues d
el
meta
ll
P4
C. Z
APA
TA
P4.4
. Rep
resenteu
gràficam
ent la d
epen
dèn
cia de la
reflectància i el d
esfasamen
t amb l’an
gle d
’incid
ència so
bre
una su
perfície p
lana en
el cas d’u
na o
na m
onocro
màtica d
e
longitu
d d
’ona
= 5
00 n
m q
ue es p
ropag
a en el esp
ai lliure i
incid
eix so
bre p
lata (n =
0.0
5 –
i 2.8
7).
Pro
blem
es
1
2
1
2
cos
sintan
nT
E
1
2
2
1
2cos
sintan
n
nT
E
0.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
rads
1
TE
TM
Neg
ligin
t pèrd
ues d
el
meta
ll
rads
1
)(
)(
TM
TE
º72
1
23
P4
C. Z
APA
TA
P4.4
. Rep
resenteu
gràficam
ent la d
epen
dèn
cia de la
reflectància i el d
esfasamen
t amb l’an
gle d
’incid
ència so
bre
una su
perfície p
lana en
el cas d’u
na o
na m
onocro
màtica d
e
longitu
d d
’ona
= 5
00 n
m q
ue es p
ropag
a en el esp
ai lliure i
incid
eix so
bre p
lata (n =
0.0
5 –
i 2.8
7).
Pro
blem
es
TE
TM
TE
TE
TE
ir
n nr
exp
cos
cos
cos
cos
21
21
12
i.
-n
Ag
29
.0
23
82
0.0
0.5
1.0
1.5
0.9
65
0.9
70
0.9
75
0.9
80
0.9
85
0.9
90
0.9
95
1.0
00
2
1
2
2sin
cos
ni
n
TE
TM
rads
1
rads
1
2r
Con
sidera
nt p
èrdu
es
del m
etall
P4
C. Z
APA
TA
P4.4
. Rep
resenteu
gràficam
ent la d
epen
dèn
cia de la
reflectància i el d
esfasamen
t amb l’an
gle d
’incid
ència so
bre
una su
perfície p
lana en
el cas d’u
na o
na m
onocro
màtica d
e
longitu
d d
’ona
= 5
00 n
m q
ue es p
ropag
a en el esp
ai lliure i
incid
eix so
bre p
lata (n =
0.0
5 –
i 2.8
7).
P4
C. Z
APA
TA
P4.5
. Consid
ereu u
n cam
p elèctric d
e la form
a
a) D
eriveu
l’expressió
del cam
p m
agnètic H
.
b) C
onsid
erant q
ue el m
edi és tran
sparen
t (k és real), mostreu
que la p
otèn
cia transm
esa al llarg d
e l’eix O
Z es p
ot escriu
re
com
c) Deriv
eu el flu
x d
e potèn
cia al llarg d
e l’eix O
Z en
un m
edi
dissip
atiu am
b u
na k co
mplex
a. Mostreu
que la p
otèn
cia no
és la sum
a algeb
raica de la p
otèn
cia transp
ortad
a per les o
nes
indiv
iduals.
Pro
blem
es
ti
ikzt
iikz
eB
eA
tr
Ew
w
,
w
22
2B
Ak
Sz
P4
C. Z
APA
TA
a) D
eriveu
l’expressió
del cam
p m
agnètic H
.
Pro
blem
es
t EH
w
k
ti
ikzt
iikz
eB
eA
tr
Ew
w
,
t
iikz
ti
ikze
De
Ct
rH
w
w
,
ti
ikzt
iikz
ti
ikzt
iikz
eB
ie
Ai
eD
zik
eC
zik
w
w
w
w
w
w
ˆˆ
Az
kC
zz
w
ˆ
ˆˆ
Bz
kD
zz
w
ˆˆ
ˆ
Cz
zC
Cz
zC
zz
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
Az
C
ˆ1
Bz
D
ˆ
1
P4
C. Z
APA
TA
b) C
onsid
erant q
ue el m
edi és tran
sparen
t (k es real), mostreu
que la p
otèn
cia transm
esa al llarg d
e l’eix O
Z es p
ot escriu
re
com
Pro
blem
es
ti
ikzt
iikz
eB
eA
tr
Ew
w
,
t
iikz
ti
ikze
De
Ct
rH
w
w
,
Az
C
ˆ1
Bz
D
ˆ
1
z
kk
iz
kk
iz
kk
iz
kk
ie
DB
eC
Be
DA
eC
AH
E*
**
**
**
**
kzi
ke
AB
iB
Az
HE
2*
22
real*
Im2
ˆ
2
2*
2 ˆR
e2 1
BA
zH
ES
z
kk
iz
kk
iz
kk
iz
kk
ie
BB
eB
Ae
AB
eA
Az
HE
**
**
**
**
*
*ˆ
P4
C. Z
APA
TA
z
kk
iz
kk
iz
kk
iz
kk
ie
BB
eB
Ae
AB
eA
Az
HE
**
**
**
**
*
*ˆ
c) Deriv
eu el flu
x d
e potèn
cia al llarg d
e l’eix O
Z en
un m
edi
dissip
atiu am
b u
na k co
mplex
a. Mostreu
que la p
otèn
cia no
és la sum
a algeb
raica de la p
otèn
cia transp
ortad
a per les o
nes
indiv
iduals.
Pro
blem
es
zk
zk
iz
ki
zk
kik
ke
Be
BA
eA
Be
Az
HE
22
2*
2*
22
2
*ˆ
zk
iz
kz
ke
AB
ie
Be
Ai
z2
*2
22
2
2Im
2ˆ
z
ki
zk
zk
ze
AB
eB
eA
S
2*
22
22
22
Im2
Term
e d’in
terferència
P4
C. Z
APA
TA
P4.6
. Un feix
de llu
m circu
larmen
t polaritzad
a incid
eix, d
es
de l’aire, am
b u
n an
gle d
e 45º so
bre u
na làm
ina d
e vid
re
d’ín
dex
de refracció
1.5
. Descriv
iu l’estat d
e polarització
del
feix reflectit i refractat. R
epetiu
el pro
cés per a u
n an
gle
d’in
cidèn
cia de 6
5º.
º1717
.37
º65
º1255
.28
º45
0 0
sin
sin0
n
Pro
blem
es P
4
C. Z
APA
TA
Descriv
iu l’estat d
e polarització
del feix
reflectit i refractat.
22
11
22
11
12
cos
cos
cos
cos
nn
nn
rT
E
22
11
11
12
cos
cos
cos
2
nn
nt
TE
º1
25
5.
28 º
45
2
31
30
33
37
.1 0
.30
33
37
0.6
96
66
3
0.3
03
33
7 -
21 21
12 12
TE TE
TE TE
t r t r
Pro
blem
es P
4
C. Z
APA
TA
21
12
21
12
12
cos
cos
cos
cos
nn
nn
rT
M
21
12
11
12
cos
cos
cos
2
nn
nt
TM
º1
25
5.
28 º
45
2
31
1.3
6198
0.0
920134
-
0.7
28009
0.0
920134
21 21
12 12
TM TM
TM TM
t r t r
Pro
blem
es
Descriv
iu l’estat d
e polarització
del feix
reflectit i refractat.
P4
C. Z
APA
TA
º1
25
5.
28 º
45
2
31
i
Iin
1
2
0||
TM
TE
TM
TE
TM
refr
ri
Ir
r r
12
12
012
12
||12
1
2
TM
TM
TE
TE
TM
TM
TE
TE
TM
TM
trt
tt
ti
It
tt
t
tt
21
12
21
12
021
12
21
12
||21
12
1
2
3.3
0
1
20
.09
20
i
Iref
0.9
16
1
20.9
90
i
Itr P
roblem
es
Descriv
iu l’estat d
e polarització
del feix
reflectit i refractat.
P4
C. Z
APA
TA
TR
EB
AL
LS
TU
TE
LA
TS
D’Ò
PT
ICA
I
Solu
cion
s del B
utlletí 1
Treb
alls tutelats
TT
1.1
. Un tu
b cilín
dric té u
n d
iàmetre in
terior d
e 5 cm
i una
longitu
d d
’un m
etre. La seu
a superfície in
terior és reflecto
ra
en els p
rimers 8
9 cm
i abso
rben
t en la resta. E
n l’ex
tremitat
abso
rben
t del tu
b es co
l·loca u
n d
iafragm
a pro
veït d
'un o
rifici
molt m
enut, cen
trat respecte a l’eix
del cilin
dre. E
n l’altre
extrem
es col·lo
ca un altre d
iafragm
a idèn
tic darrere d
el qual
se situa u
na fo
nt llu
min
osa.
0 R
EF
LE
XIO
NS
1 R
EF
LE
XIÓ
2 R
EF
LE
XIO
NS
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
Determ
ineu
la inclin
ació resp
ecte a l’eix am
b q
uè
emerg
eixen
del tu
b els raig
s de llu
m. D
escriviu
l’aspecte d
el
camp o
bserv
at quan
es mira a trav
és del tu
b.
55
.4
11
2
Ncm
N L
mL
1
cmd
5
Es p
rodueix
en n
om
és
fins a 4
reflexio
ns.
L Nd
NL d
N
2 2tan
º86
.2
1
º71
.5
2
º53
.8
3
º31
.11
4
Lle
i de la
reflex
ió
3 R
EF
LE
XIO
NS
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
Qüestio
ns:
a) Q
uè su
cceeix si to
ta la superfície in
terior d
el tub és
reflector?
b) C
om
és el camp o
bserv
at si el diafrag
ma d
'eixid
a és
circular d
e diàm
etre no n
eglig
ible?
El cam
p o
bserv
at consisteix
en
un p
un
t central i 4
anells.
TT
1
C. Z
APA
TA
TT
1.2
. Consid
ereu u
n b
rillant am
b la talla d
e la figura.
Suposan
t una il·lu
min
ació p
aral·lela i norm
al a la cara
superio
r, calculeu
els valo
rs de a
que p
ermeten
que la llu
m,
desp
rés de p
atir dues reflex
ions in
ternes, isca d
el brillan
t per
aquesta m
ateixa cara (p
er a un p
rimer càlcu
l no
s’ha d
e
consid
erar la influ
ència d
el rebaix
del can
tell).
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
Solu
ció: S
i consid
erem q
ue a
= 9
0º, h
em d
'exig
ir que
1 =
2
siga m
ajor q
ue l'an
gle lím
it lim
.
21
limº
45
º6.
23
1arcsin
n
1sin
sin1
1
n
Llei d
e S
nell 1
sinlim
n
An
gle
límit
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
Consid
erant trian
gles in
teriors, tro
bem
la relació d
els angles
d'in
cidèn
cia amb a
.
22
1
a
12
21
22
a
a
22 3
2
a
2
13
32
12
22
a
2
3
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
Perq
uè h
i haja u
na d
oble reflex
ió:
Per a ev
itar una trip
le reflexió
: º72
5 2
23
a
a
º120
3 2
22
a
º120
º72
a
LIM
ITA
CIÓ
GE
OM
ÈT
RIC
A
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
Hem
de fer co
mplir la co
ndició
de reflex
ió to
tal en les d
ues
prim
eres cares i evitar-la en
la tercera.
º8.
132
22
2lim
lim1
a
a
º7.
75
3
2
32
2 3lim
lim2
a
a
º8.
132
º7.
75
a
Dob
le re
flexió
inte
rn
a
Qüestió
: Hem
de co
nsid
erar valo
rs neg
atius d
e 2 ?
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
Hem
de fer co
mplir la co
ndició
de reflex
ió to
tal en les d
ues
prim
eres cares i evitar-la en
la tercera.
a
a
a
a
a
º8.
101
22
2
º2.
78
22
22
lim lim
lim3
º8.
101
º2.
78
a
CO
ND
ICIÓ
D’E
ME
RG
ÈN
CIA
Conclu
sió: L
a condició
d'em
ergèn
cia
dom
ina so
bre la resta.
Qüestió
: Quin
a és la raó d
e tallar el
diam
ant i p
roduir-li reb
aixos laterals?
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
TT
1.3
. Consid
ereu u
na g
uia co
rbad
a de secció
rectangular
com
la de la fig
ura. T
enin
t en co
mpte q
ue, seg
ons u
na
descrip
ció p
uram
ent g
eom
ètrica, la llum
es pro
pag
a en
l’interio
r de u
na g
uia p
er reflexió
total.
a) D
emostreu
que és su
ficient q
ue el raig
1 co
mplisca la
condició
de p
ropag
ació p
erquè to
t el feix es p
ropag
ue al llarg
de la g
uia.
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
a) D
emostreu
que és su
ficient q
ue el raig
1 co
mplisca la
condició
de p
ropag
ació p
erquè to
t el feix es p
ropag
ue al llarg
de la g
uia.
2
sind
R
x
22
max
dR
x
2 2
arcsin2
min
dR
dR
dR
x
Conclu
sió: S
i es pro
dueix
reflexió
total p
er a r1 ,
min >
lim
,
llavors tam
bé s'o
bserv
arà per a la resta d
e raigs.
Raig
#1
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
b) O
bten
iu el rad
i mín
im q
ue p
ot ten
ir aquesta g
uia p
er a
evitar q
ue la llu
m d
eixe d
e pro
pag
ar-s’hi a trav
és.
2 2
arcsin1
arcsinm
inlim
dR
dR
n
1 1
2m
in
n n
dR
1
n
2d
R
Con
dició
de
pro
pagació
Qüestió
: Dem
ostreu
que si u
n raig
incid
eix so
bre la cara ex
terior
amb u
n an
gle
, desp
rés de reflectir-s’h
i, torn
a a incid
ir en u
n altre
punt d
‘aquesta m
ateixa cara am
b el m
ateix an
gle
.
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
TT
1.4
. Des d
’un p
unt d
e la superfície terrestre, O
, on l’ín
dex
de refracció
de l’aire és n
0 , es mesu
ra l’angle zen
ital d’u
n
estel, és a dir, l’an
gle q
ue fo
rma la d
irecció en
què es v
eu
l’estel amb la v
ertical del p
unt d
’observ
ació. A
causa d
e la
variació
de l’ín
dex
de l’aire am
b l’altu
ra, hi h
a una lleu
diferèn
cia D =
–
0 entre l’an
gle zen
ital real, , i l’observ
at,
0 . D
etermin
eu l’eq
uació
de les trajectò
ries que p
assen p
er O
si l’índex
de refracció
de l’atm
osfera v
e donat p
er l’equació
:
on b
és una co
nstan
t. A m
és, obten
iu l’ex
pressió
de D
en
funció
de
0 .
bz
nz
n
20
20
b
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
l’equació
de les trajectò
ries que p
assen p
er O si
l’índex
de refracció
de l’atm
osfera v
e donat p
er l’equació
:
bz
nz
n
20
2
0
0n
n
b
nd
bd
nd
n1
120
20
00sin
nC
2
2
02 1
00
xz
xz
zx
zb
dz
dn
0
220
0
2
2sin
22
10
n
b
dz
dn
Cz
x
00
z
00
cot
2tan
0
z
2
0
220
0sin
4co
tx
n
bx
z
dz
0
Treb
alls tutelats
dz
dn
Cdx
zd
2
22
2
2
1
TT
1
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
l’equació
de les trajectò
ries que p
assen p
er O si
l’índex
de refracció
de l’atm
osfera v
e donat p
er l’equació
:
bz
nz
n
20
2
0
0n
n
b
nd
bd
nd
n1
120
20
2
0
220
0sin
4co
tx
n
bx
z
dz
0
xn
b
dx
dz
0
220
0sin
2co
t0
bn
zx
200
2
0co
s,
2sin
,
22
0
220
200
2sin
sin1
cos
Cn
db
n
Con
dició
d’o
bserv
ació
1
C
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
bz
nz
n
20
2
1
00
nn
b
n
b
nd
dn
12
11
0
20
2
0
20
sin4
cot
xb
xz
dz
00
00
0sin
sinsin
nC
1a L
lei de B
ou
gu
er 0
0
D
0
00
cos
sinsin
sin
D
D
00
0
00
0
0
0tan
1co
s
sinsin
cos sin
sin
Dn
n
A m
és, obten
iu l’ex
pressió
de D
en fu
nció
de
0 .
Qüestió
: Dem
ostreu
que si
"2'1
D
0003
.1
0
n
º45
0
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
TT
1.5
. Un raig
de llu
m in
cideix
sobre u
n m
edi in
hom
ogen
i
estratificat en fo
rma d
e làmin
a de cares p
aral·leles de g
rosso
r
d, l’ín
dex
de refracció
del q
ual v
aria d’aco
rd am
b l’ex
presió
:
on n
2(0) =
3/2
i L és u
na co
nstan
t amb u
nitats d
e longitu
d. S
e
suposa q
ue la làm
ina es tro
ba en
tre aire i un m
edi d
’índex
de
refracció n
0 . El raig
incid
ent es m
ou en
l’aire (y < 0
) i,
desp
rés de trav
essar la làmin
a, n’ix
amb u
n d
etermin
at angle
r .
0
21
02
2n
L yd
yn
T
reballs tu
telats T
T1
C. Z
APA
TA
a) Q
uin
es condicio
ns h
an d
e satisfer n0 i d
perq
uè el raig
emerg
ent sig
a paral·lel a l’in
ciden
t?
in
C
sin
sin
02
02
12
22
2n
Ldy
dn
nL y
n
iL
nx
ydy
dn
Cdx
yd
2
22
22
2
sin
0
2
1
2
02 1
00
xy
xy
yx
y
00
y
iL n
y
2
2
sin 00
1sin
00
1co
t2
2
2 22
2
i
ny
C n
dx
dy
EQ
UA
CIO
PA
RA
BÒ
LIC
A D
E L
A T
RA
JE
CT
ÒR
IA
De l’in
varian
t de B
ouguer:
ir
Cn
sinsin
0
10
n
ir
Indep
enden
t
del v
alor d
e d!
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
b) E
n el cas q
ue es satisfacen
les condicio
ns d
e l’apartat
anterio
r, calculeu
el desp
laçamen
t d p
roduït so
bre el raig
incid
ent a cau
sa de la p
resència d
e la làmin
a suposan
t que
l’angle d
’incid
ència
i =
/3
L xx
dy
yn
i2
20
23
0
3
LL
dx
L xx
dr
rr
2
41
11
211
30
tan0
3x
yy
xy
yi
i
dx
xd
rr
33
22
d
L d
L dL
xx
rr
41
2 1
2 13
12
4 1
L d
0
d
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
Qüestió
: Què o
corre
quan
?
LL
dx
L xx
dr
rr
2
41
11
211
d
L d
L dL
xx
rr
41
2 1
2 13
12
41
Ld
Qüestió
: Què
oco
rre ací?
L x
xd
yy
n
i2
20
23
0
3
Treb
alls tutelats
b) E
n el cas q
ue es co
mplisq
uen
les condicio
ns d
e l’apartat
anterio
r, calculeu
el desp
laçamen
t d p
roduït so
bre el raig
incid
ent a cau
sa de la p
resència d
e la làmin
a suposan
t que
l’angle d
’incid
ència
i =
/3
TT
1
C. Z
APA
TA
TT
1.7
. Consid
ereu la len
t de L
uneb
urg
, que co
nsisteix
en u
na
bola d
e radi a
subm
ergid
a en u
n m
edi d
’índex
de refracció
n0 .
Aquesta b
ola està co
nstru
ïda am
b u
n m
aterial isòtro
p
estratificat de sim
etria radial, l’ín
dex
de refracció
del q
ual té
la form
a
per a r ≤
a. Determ
ineu
la trajectòria d
els raigs q
ue es
pro
pag
uen
din
s la lent d
e Luneb
urg
i dem
ostreu
que fo
rmen
el·lipses co
plan
àries amb l’o
rigen
de co
ord
enad
es r = 0
. A
més, co
mpro
veu
que u
n feix
de raig
s paral·lels q
ue
incid
eixen
sobre la len
t es focalitzen
en u
n ú
nic p
unt d
e la
superfície d
e la lent. T
reballs tu
telats
2
02
ar
nr
n
TT
1
C. Z
APA
TA
• Un ex
emple sen
zill i interessan
t és coneg
ut co
m la "len
t de
Luneb
urg
”, que es caracteritza p
er un m
edi d
'índex
de
refracció
• Reso
lem les eq
uacio
ns d
els raigs.
2
02
ar
nr
n
rr
dr
cr
nr
c
0
22
20a r
0an c
K
0
22
40
2d
K
K
Secció
transv
ersal de la len
t de L
uneb
urg
,
amb
om
breig
blau
pro
porcio
nal a l'ín
dex
de refracció
(Font: W
ikip
edia)
11
12
2
K1
0
K
ar
0
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
• Es p
ot d
emostrar q
ue
0
02
24
22
2arctan
2 1
K
K
K
22
42
24
22
22
arctan2 1
K
K
KK
K
d d
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
4
,4
3,
00
0
0
2
min
11
K
21
K Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
• La trajectò
ria com
pleta està d
onad
a per
min
0m
in0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
4
,4
3,
00
0
0
2
min
11
K
dK
K
22
40
2m
in
min
0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
0
min
02
21
K Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
min
0m
in0
4
,4
3,
00
2
min
11
K
21
K
21
K
4m
in
0
K
200
max
2
K
0m
in
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
• Es p
ot d
emostrar q
ue
• L'eq
uació
pola
r dels raig
s és
220
40
220
22
4
22
0
2arctan
2 1
2arctan
2 1
KK
K
KK
K
22
42
24
22
22
arctan2 1
K
K
KK
K
d d
22
4
22
220
40
220
0
22
tan2
arctan2 1
KK
K
KK
K
a
a
a
2
20
2
220
2
0
2 2
21
11
12
sinr
n c
cn
a
an
K
K0
0an
c
ar
an
ac
20
22
11
2
a
A
AA
2tan
1
tansin
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
• Per o
bten
ir l'equació
dels raig
s en co
ord
enad
es cartesianes,
posem
:
• Conclu
sió: C
ada raig
és una el·lip
se.
a
a
a
2sin
4sin
4co
s2
22
22
2
ry
x
ry
x
ry
rx
22
22
21
2sin
Ka
rK
r
a
2
22
12
sin1
K
K
a
a
a
2
2
22m
in
2
2
22m
ax
11
11
4
11
11
4
KK
K
KK
K
12max 2
2min 2
r y
r x
11
12
2
K
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
• L'eix
majo
r de l'el·lip
se es troba cen
trat al llarg d
e l’eix y´
amb u
n an
gle
• Cad
a raig in
terseca el cercle fix r=
a en
quatre p
unts
especu
larmen
t col·lo
cats respecte als eix
os x´ i y´. E
ls quatre
punts am
b y´>
0 satisfan
:
• Donat u
n p
unt en
el cercle r=a en
un an
gle
0 , tenim
:
21
2sin
1K
a
a
tan0
40
xy
xK
42
a
K
arccos
2 1
a
K
arccos
2 10
a
2co
sK
40
4 4
a
a
44
44
0 0
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
• Donat u
n p
unt en
el cercle r=a en
un an
gle
0 , tenim
:
• En aq
uest cas, les d
ues eq
uacio
ns d
e les dues trajectò
ries són
K
arccos
2 10
a
0
0
2
2 2
22
sin2
cos
12
sin1
1
1
a
KK
K
K
0
20
22
22
2sin
12
cos
1
K
K
K K
2co
sK
02 2
2sin
2co
s1
2sin 1
40
a
2sin
2sin
1
2co
s2
2
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
• A b
anda d
el punt en
el cercle r=a
en u
n an
gle
0 , també
tenim
:
4
20
02
2sin
2sin
1
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
0
0
42
0
d
d
dd
dx
dy
sinco
s
cos
sin
d
d0
2
32
cos
2co
s
2sin
0tan
2tan
1
dx
dy
• Un feix
col·lim
at
amb raig
s inclin
ats
un an
gle
0 es
focalitza en
la part
posterio
r de la len
t.
d
d2
tan
Treb
alls tutelats
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
TT
1.8
. La fó
rmula d
e Jacobi-A
nger
represen
ta el desen
volu
pam
ent d
’una o
na p
lana en
torn
d’u
na
superp
osició
d’o
nes cilín
driq
ues.
a) U
tilitzant la fó
rmula d
e Jacobi-A
nger, d
emo
streu q
ue la
funció
de B
essel de p
rimera classe es p
ot ex
pressar co
m a
b) U
tilitzeu el resu
ltat anterio
r per a ju
stificar per q
uè la
funció
de B
essel de p
rimera classe rep
resenta u
na o
na
estacionària.
20
cos
2d
ei
xJ
nx
in
n
0
sinco
s1
dx
nx
Jn
m
im
m
miz
ez
Ji
eco
s
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
Dem
ostreu
que la fu
nció
de B
essel de p
rimera classe es p
ot
expressar co
m a
m
im
m
miz
ez
Ji
eco
s
20
cos
2d
ei
xJ
nx
in
n
x
Ji
xJ
id
ee
xJ
id
en
n
m
nm
m
m
m
inim
m
mn
xi
d
2
2
20
20
cos
01
220
20
n
mi
e
nm
i ed
en
mi
nm
in
mn
mi
x
Ji
de
de
de
n
nn
xi
nx
in
xi
2
02
cos
20
cos
20
cos
x
Jx
Jx
Ji
xJ
in
n
nn
n
n
n1
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
Dem
ostreu
que la fu
nció
de B
essel de p
rimera classe es p
ot
expressar co
m a
0
sinco
s1
dx
nx
Jn
22
2
sin
22
2
22
cos
2
20
cos
2 1
22
de
de
id
ei
xJ
xn
in
xi
nn
xi
n
n
0
sin
0
sin
22
2
sin
2 1
2 1d
ed
ed
ex
Jx
ni
xn
ix
ni
n
0
0
sinsin
sinco
s1
2 1d
xn
de
ex
Jx
ni
xn
i
n
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
Utilitzeu
el resultat an
terior p
er a justificar p
er què la fu
nció
de B
essel de p
rimera classe rep
resenta u
na o
na estacio
nària.
Consid
erem, p
er simplificar, el cam
p o
ndulato
ri d’u
n feix
Bessel d
’ord
re 0 q
ue es p
ropag
a a l’espai lliu
re en el sen
tit
positiu
de l’eix
z, el qual es p
ot rep
resentar d
e la següen
t
man
era:
zi
mz
i
mz
zz
eA
Je
mD
mC
JA
E
0
0
22
1sin
cos
22
22
kz
SU
MA
DE
RIE
MA
NN
20
20
cos
02 1
2 1d
ed
eJ
yk
xk
ii
yx
sin,
cos
,y
xk
k
sin,
cos
,y
x
Nl
yk
xk
i
N
Nl
ly
lx
le
NJ
1
2
0
1lim
xk
yk
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
zi
mz
i
mz
zz
eA
Je
mD
mC
JA
E
0
0
22
1sin
cos
sin,
cos
,y
xk
k
Nl
yk
xk
i
N
ly
lx
eN
J1
0
1lim
xk
yk
21
0co
s2
limNl
ly
lx
Ny
kx
kN
J
21
0
1lim
Nl
yk
xk
iy
kx
ki
N
ly
lx
ly
lx
ee
NJ
TT
1
C. Z
APA
TA
Utilitzeu
el resultat an
terior p
er a justificar p
er què la fu
nció
de B
essel de p
rimera classe rep
resenta u
na o
na estacio
nària.
Consid
erem, p
er simplificar, el cam
p o
ndulato
ri d’u
n feix
Bessel d
’ord
re 0 q
ue es p
ropag
a a l’espai lliu
re en el sen
tit
positiu
de l’eix
z, el qual es p
ot rep
resentar d
e la següen
t
man
era:
Treb
alls tutelats
TT
1.9
. Dem
ostreu
que l’eq
uació
diferen
cial
resultat d
e resold
re l’equació
d’o
nes u
tilitzant sep
aració d
e
variab
les en co
ord
enad
es esfèriques, es p
ot co
nvertir en
l’equació
diferen
cial ord
inària d
e Bessel m
itjançan
t la
transfo
rmació
01
12
2
n
nr
dr
df
rdr d
f
21
r
rZ
rf
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
01
12
2
n
nr
dr
df
rdr d
f
2
1x
xZ
xf
01
12
2
2
n
nr
dx
df
dr
dx
r
dx d
dr
dx
fr
x
01
12
2
n
nx
dx
df
xdx d
f
2
32
12
1
x
xZ
dx
dZ
xdx
df
01
2
22
12
32
1
nn
xx
Zx
dx
dZ
xdx d
xZ x
01
4
1
22
32
21
21
2
22
32
12
1
nn
xx
Zx
dx
dZ
x
dx Z
dx
dx
dZ
x
xZ x
Dem
ostració
:
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
01
4
1
22
32
21
21
2
22
32
12
1
nn
xx
Zx
dx
dZ
x
dx Z
dx
dx
dZ
x
xZ x
01
4 11
2
2
22
nn
xdx Z
dx
dx
dZ
xx
Z
02 1
12
2
2
22
nx
dx Z
dx
dx
dZ
xx
Z
02
22
vv
vZ
vx
ZxZ
x EQ
UA
CIÓ
DIF
ER
EN
CIA
L D
E B
ES
SE
L
2 1
n
v
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
TT
1.1
0. U
tilitzant la so
lució
de l’eq
uació
d’o
nes en
coord
enad
es esfèriques, d
emostreu
que el cam
p d
’una o
na
esfèrica div
ergen
t s’atenua en
allunyar-se d
e l’orig
en O
amb
una d
epen
dèn
cia que és in
versam
ent p
roporcio
nal a la
distàn
cia recorreg
uda d
es del p
unt O
.
r
hC
Bm
Dm
CP
rh
Bn
mmn
nm
n
103
00
0,
33
1
2sin
cos
cos
rH
rr
hn
n
1
21
1
2
42
12
px
ix
pe
xx
H
ri
nn
ri
r
ne
r
ie
rr
rh
1
42
21
11
2
2
r eA
ri
2
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
TT
1.1
1. C
onsid
ereu el cam
p electro
mag
nètic lin
ealmen
t
polaritzat
corresp
onen
t a una o
na p
lana q
ue es p
ropag
a en u
n d
ielèctric
transp
arent. S
uposeu
també q
ue Im
(kx )=
0.
a) A
valu
eu el v
ector d
e Poyntin
g.
b) C
onsid
ereu la su
perp
osició
de d
ues o
nes p
lanes lin
ealmen
t
polaritzad
es. Avalu
eu d
e nou el v
ector d
e Poyn
ting
.
c) Tro
beu
la com
ponen
t z del v
ector d
e Poyntin
g co
nsid
erant
que E
1y =
E2y .
d) A
valu
eu la d
iverg
ència d
el vecto
r de P
oyntin
g.
t
rk
ie
Et
rE
0
,
t
rk
ie
Ht
rH
0
,
yE
Eyˆ
00
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
a) A
valu
eu el v
ector d
e Poyntin
g
t
zk
yk
xk
i
yz
yx
eEy
tr
E
0ˆ
,
00
0
;0
t
zk
yk
xk
i
yy
ED
zy
xe
EE
D
00
t
zk
yk
xk
i
yy
zy
xe
Eik
00
E
ki
zx
ykz
kxk
kˆ
ˆ0
t
rk
i
t
tr
ki
y
zy
x
HB
eH
eE
zy
x
t BE
0
00
0
ˆˆ
ˆ
t
rk
it
rk
i
yx
tr
ki
yz
eH
ie
Eik
ze
Eik
x
00
0ˆ
ˆ0
0H
iE
ki
yx
yz
Ek
zE
kx
H0
00
ˆˆ
Llei d
e Fa
rad
ay
d’in
du
cció
Llei d
e Gau
ss
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
a) A
valu
eu el v
ector d
e Poyntin
g
t
zk
xk
i
yz
xe
Eyt
rE
0ˆ
,
t
rk
i
t
tr
ki
z
tr
ki
x
zy
x
Je
E
eH
eH
zy
x
Jt D
H
0
00
0
0
ˆˆ
ˆ
t
rk
i
y
tr
ki
xz
tr
ki
zx
eE
iye
Hik
eH
iky
00
0ˆ
ˆ0
0E
iH
ki
2
22
00
0z
xy
xz
zx
kk
EH
kH
k
Llei d
e
Bio
t-Savart
t
zk
xk
iy
xz
zx
eE
kzkx
tr
H
0
ˆˆ
,
22
22
x
k
zk
kx
22
22
x
k
zk
ik
x
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
a) A
valu
eu el v
ector d
e Poyntin
g
t
zk
xk
i
yz
xe
Eyt
rE
0ˆ
,
t
zk
xk
iy
xz
zx
eE
kzkx
tr
H
0
ˆˆ
,
t
rk
i
z
tr
ki
x
tr
ki
y
eH
eH
eE
zy
x
HE
S
**
*0
*0
0
*
0
00
ˆˆ
ˆ
Re
2 1R
e2 1
rk
y
zx
rk
ki
xy
zy
eE
kzkx
eH
EzH
ExS
Im2
2
0*
**0
0
*00
ˆˆ
Re
2 1ˆ
ˆR
e2 1
*
22
Re
2
0Im
2
2
02
2y
kr
ky
Ek
eE
kS
x
z
ky
x
kz
xe
Ekx
S
Im2
2
0
2ˆ
22
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
b) C
onsid
ereu la su
perp
osició
de d
ues o
nes p
lanes lin
ealmen
t
polaritzad
es. Avalu
eu d
e nou el v
ector d
e Poyn
ting
t
zk
xk
i
y
tz
kx
ki
yz
xz
xe
Eye
Eyt
rE
22
11
21
ˆˆ
,
tz
kx
ki
y
xz
tz
kx
ki
y
xz
zx
zx
eE
kzkx
eE
kzkx
tr
H
22
11
2
22
1
11
ˆˆ
ˆˆ
,
rki
z
rki
z
rki
x
rki
x
rki
y
rki
y
eH
eH
eH
eH
eE
eE
zy
x
HE
S
*2*1
*2*1
21
*2
*1
*2
*1
21
*
0
00
ˆˆ
ˆ
Re
2 1R
e2 1
222
22
21
21z
xz
xk
kk
k
rk
ki
xy
rk
ki
xy
rk
ki
xy
rk
ki
xy
rk
ki
zy
rk
ki
zy
rk
ki
zy
rk
ki
zy
eH
Ee
HE
eH
Ee
HE
z
eH
Ee
HE
eH
Ee
HE
xS
*2
2*2
1*1
2*1
1
*22
*21
*12
*11
*22
*21
*12
*11
*22
*21
*12
*11
ˆ
ˆR
e2 1
212
1S
SS
S
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
t
zk
xk
i
y
tz
kx
ki
yz
xz
xe
Eye
Eyt
rE
22
11
21
ˆˆ
,
tz
kx
ki
y
xz
tz
kx
ki
y
xz
zx
zx
eE
kzkx
eE
kzkx
tr
H
22
11
2
22
1
11
ˆˆ
ˆˆ
,
zk
y
zx
rk
yz
eE
kz
kx
eE
kS
1
1Im
2
2
1
11
Im2
2
1
11
2R
eˆ
Re
ˆ2
Re
222
22
21
21z
xz
xk
kk
k
rk
ki
zy
y
rk
ki
zy
y
rk
ki
xy
y
rk
ki
xy
y
ek
EE
ek
EE
z
ek
EE
ek
EE
xS
*2
1*1
2
*21
*12
*2
*21
*1
*12
*2
*21
*1
*12
12
ˆ
ˆR
e2
1
r
kk
i
yy
zx
rk
ki
yy
zx
eE
Ekz
kxe
EE
kzkx
S
*21
*12
*21
*2
*2
*12
*1
*11
2ˆ
ˆˆ
ˆR
e2
1
r
kk
i
yy
rk
ki
yy
eE
Ek
eE
Ek
S
*21
*12
*21
*2
*12
*11
2R
e2
1
b) C
onsid
ereu la su
perp
osició
de d
ues o
nes p
lanes lin
ealmen
t
polaritzad
es. Avalu
eu d
e nou el v
ector d
e Poyn
ting
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
c) Tro
beu
la com
ponen
t z del v
ector d
e Poyntin
g co
nsid
erant
que E
1y =
E2y .
02
Re
1Im
2
2
1
11
zk
y
zz
ze
Ek
S
0R
e
Re
2R
e1
Im2
1 2Im
2
2
2
22
12
2
z
zk
k
z zz
ky
zz
Se
k ke
Ek
Sz
zz
r
kk
i
z
rk
ki
z
y
ze
ke
kE
S
*2
1*1
2*2
*1
2
1
12
Re
2
r
kk
i
z
rk
ki
z
rk
ky
ze
ke
ke
ES
2
12
12
1R
e*2
Re
*1
Im
2
1
12
Re
2
rk
kk
k
rk
kk
ke
ES
zz
zz
zk
ky
zz
z
21
21
21
21
Im
2
1
12
Re
sinIm
Re
cos
Re
22
1
22
2
xz
kk
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
02
1
z
zS
S
xk
ke
Ek
kS
Sx
x
zk
ky
zz
zz
zz
21
Im
2
1
21
12
sin2
Im2
1
0R
eR
e2
1
z
zk
k
0Im
Im2
1
z
zk
k
z
ky
zz
ze
Ek
S
1
Im2
2
1
11
2R
e
rk
kk
k
rk
kk
ke
ES
zz
zz
zk
ky
zz
z
21
21
21
21
Im
2
1
12
Re
sinIm
Re
cos
Re
22
1
02
2
1
11
y
zz
Ek
S
0
cos
12
21
2
1
21
rk
kE
kk
Sy
zz
z
c) Tro
beu
la com
ponen
t z del v
ector d
e Poyntin
g co
nsid
erant
que E
1y =
E2y .
2
2xk
2
2xk
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
d) A
valu
eu la d
iverg
ència d
el vecto
r de P
oyntin
g
zk
y
zx
rk
yz
eE
kz
kx
eE
kS
1
1Im
2
2
1
11
Im2
2
1
11
2R
eˆ
Re
ˆ2
Re
212
1S
SS
S
zk
y
zz
xx
ze
Ek
kS
1Im
2
2
1
11
12
Re
Re
0Im
Re
1Im
2
11
2
1
1
zk
zz
yz
ek
kE
S
02
1
S
S
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
r
kk
i
yy
rk
ki
yy
eE
Ek
eE
Ek
S
*21
*12
*21
*2
*12
*11
2R
e2
1
r
kk
i
zz
xx
yy
rk
ki
zz
xx
yy
ek
kE
Ee
kk
EE
S
*21
*12
*2
*2
*21
*1
*1
*12
12
Re
2
1
rk
ki
zz
zx
xx
yy
rk
ki
zz
zx
xx
yy
ek
kk
kk
kE
iE
ek
kk
kk
kE
iES
*2
1
*12
*2
*21
*2
*21
*21
*1
*12
*1
*12
*12
12
Re
2
1
rk
ki
zx
rk
ki
zx
rk
ki
zz
rk
ki
zz
rk
ki
rk
ki
xx
yE
E
kk
ek
ke
kk
i
ek
ke
kk
ee
kk
iE
Sy
y
xx
*2
1*1
2
*21
*12
*21
*12
21
21
2*2
22
2*1
21
*21
2
*12
1
2
1
0Im
Im
12
Re
2
r
kk
i
zx
rk
ki
zx
ye
kk
ek
kE
S
*21
*12
2*2
22
2*1
21
2
1
12
Im2
d) A
valu
eu la d
iverg
ència d
el vecto
r de P
oyntin
g
TT
1
C. Z
APA
TA
Treb
alls tutelats
0
Im2
*12
*21
2
2
1
12
r
kk
ir
kk
iy
ee
ES
2
21
21z
xk
k
2*
21
21z
xk
k
r
kk
i
zx
rk
ki
zx
ye
kk
ek
kE
S
*21
*12
2*2
22
2*1
21
2
1
12
Im2
01
2
S
d) A
valu
eu la d
iverg
ència d
el vecto
r de P
oyntin
g 0
212
1
S
SS
S
TT
1
C. Z
APA
TA
TR
EB
AL
LS
TU
TE
LA
TS
D’Ò
PT
ICA
I
Solu
cion
s del B
utlletí 2
TT
2.1
. El cam
p m
agnètic d
'una o
na p
lana u
nifo
rme q
ue es
pro
pag
a en el b
uit és
on E
0 es una co
ntan
t real i h0 la im
ped
ància in
trínseca d
el
buit.
a) D
etermin
eu la d
irecció i el sen
tit de p
ropag
ació d
e l’ona.
Si la freq
üèn
cia és n=
500 T
Hz q
uan
t valen
la longitu
d d
’ona i
el nom
bre d
’ona?
L’o
na es p
ropag
a al llarg d
e l’eix O
Y i sen
tit positiu
.
Treb
alls tutelats
ikyt
ii
ez
ei
xi
Et
rH
h
ˆ
2ˆ
1,
4
0 0
h6.
376
00
0
ykk
ˆ
nm
Hz s
mc
600
10
500
10
312
8
n
147
.10
2
mk
ikyt
ie
Hr
H
0
z
ei
xi
EH
iˆ
2ˆ
14
0 00
h
TT
2
C. Z
APA
TA
b) E
scriviu
l’expressió
del cam
p elèctric.
ykk
ˆ
ikyt
ie
Ht
rH
0
,
z
ei
xi
EH
iˆ
2ˆ
14
0 00
h
t EH
0
ikyt
ie
Et
rE
0
,
00
0E
iH
ki
x
ei
zi
Ek
Hy
kE
iˆ
2ˆ
1ˆ
4
0 0
0
0
0
0
h
h
6.376
00
0
00
k
x
ei
zi
EE
iˆ
2ˆ
14
00
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
c) Determ
ineu
el tipus d
e polarització
i el sentit d
e gir d
els
camps.
Sol: L
lum
circularm
ent p
olaritzad
a L
d) E
scriviu
l’expressió
del v
ector d
e Poyntin
g.
x
iz
eE
xe
iz
iE
Ei
iˆ
ˆ2
ˆ2
ˆ1
4
0
4
00
a
a
a
2 º45
1
2 1
sin
cos
ie
i
yE
HE
Sˆ
2R
e2 1
0
20*
h
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
TT
2.2
. Determ
ineu
la matriu
de Jo
nes d
e i) una làm
ina d
e
quart d
’ona d
’eix ràp
id v
ertical, i ii) una làm
ina d
e quart
d’o
na d
’eix ràp
id h
oritzo
ntal.
1
01 0
01
0 1
2exp
2,
0*
22
*00
iP
Pi
PP
R
1
01 0
01
0 1
2exp
2,
2
*
22
*00
i
PP
PP
iR
iR
0
01
2,
0L
ÀM
INA
/4
EIX
RÀ
PID
VE
RT
ICA
L
i
iR
0
01
10
0
2,
2
LÀ
MIN
A
/4
EIX
RÀ
PID
HO
RIT
ZO
NT
AL
Exercici: C
om
pro
veu
l’equiv
alència in
dicad
a
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
A co
ntin
uació
, represen
teu el v
ector cam
p elèctric d
’un estat
lineal in
ciden
t sobre u
na làm
ina d
e quart d
’ona q
ue fo
rma u
n
angle d
e 30º am
b l’eix
ràpid
d’aq
uesta. D
escriviu
amb d
etall
l’estat de p
olarització
de l’o
na em
ergen
t.
2 2
3
21
23
0
01
2,
2º
30
ii
PR
LL
UM
EL
•LÍP
TIC
A C
EN
TR
AD
A L
EV
OG
IRA
a
a
a
2 º30
2 23
sin
cos
ie
i
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
TT
2.3
. Consid
ereu u
n feix
de llu
m p
olaritzad
a el·lípticam
ent
d’in
tensitat I
0 que in
cideix
norm
almen
t sobre u
n p
olaritzad
or
lineal g
iratori. C
alculeu
com
varia la in
tensitat I em
ergen
t del
sistema, en
funció
de l’an
gle q
ue fo
rma el p
olaritzad
or am
b
l’eix X
. Passa aq
uesta in
tensitat p
er un v
alor m
àxim
o
mín
im?
a
a
a
a
sin
cos
sinsin
cos
sinco
sco
s
sin
cos
2
2
00
iin
ou
ti
ine
IP
eI
2
2
*
sinsin
cos
sinco
sco
ssin
cos
sin
cos
PP
P
a
a
a
a
a
a
sin
cos
sinsin
cos
cos
sinsin
cos
sinco
s
sinsin
cos
cos
cos
02
2
0
i
i
i
ou
te
Ie
eI
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
Calcu
leu co
m v
aria la inten
sitat I emerg
ent d
el sistema, en
funció
de l’an
gle q
ue fo
rma el p
olaritzad
or am
b l’eix
X.
a
a
a
a
a
a
a
2sin
2sin
cos
2 1sin
sinco
sco
s
sinsin
cos
cos
cos
2sin
sinco
sco
s
22
22
0
22
22
0
I
II
inin
PP
PP
inin
ou
to
ut
PP
PP
I
2*
,*
2
0
2
sinsin
cos
cos
a
a
i
ine
IP
I
1r M
ÈT
OD
E
2n
MÈ
TO
DE
a
a
Pe
Ii
ou
tsin
sinco
sco
s0
2
0sin
sinco
sco
sa
a
i
ou
to
ut
eI
I
LL
UM
LIN
EA
LM
EN
T
PO
LA
RIT
ZA
DA
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
a
a
a
a
sin
sinco
sco
sco
s2
sinsin
cos
cos
22
22
0I
I Passa aq
uesta in
tensitat p
er un v
alor m
àxim
o m
ínim
?
a
a
a
a
a
a
sinco
sco
sco
sco
s2
sinsin
cos
sinco
s2
sinsin
cos
2co
ssin
cos
2
0
22
0I
I
a
a
aa
22
22
0sin
cos
sinco
ssin
cos
sinco
sco
s2
0I
I
a
a
2co
s2
sin2
sin2
cos
cos
00
II
a
cos
2tan
2tan
a
cos
2tan
2tan
Co
nclu
sió: E
l valo
r màx
im i m
ínim
s'aconseg
ueix
en q
uan
el pla d
e polarització
d'eix
ida co
incid
eix am
b els eix
os m
ajor i
men
or d
e l'el·lipse d
e polarització
d'en
trada.
2
2
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
Passa aq
uesta in
tensitat p
er un v
alor m
àxim
o m
ínim
?
Quan
la llum
transm
esa pel p
olaritzad
or aco
nseg
ueix
un
màx
im o
un m
ínim
, s'està seleccionan
t la direcció
dels eix
os
prin
cipals d
e l'el·lipse d
'entrad
a.
a
cos
2tan
2tan
a
a
2sin
2sin
cos
2co
s2
cos
12 0I
I
a
a
a
22
20
0co
s2
sin2
cos
12
2sin
2sin
cos
12
II
Iextr
a
a
a
22
22
cos
2sin
2co
s
cos
2sin
2tan
1
2tan
2sin
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
Qüestió
: Es p
ot d
etermin
ar experim
enta
lmen
t el valo
r de
l'el·lipticitat d
e l'el·lipse d
e polarització
de la llu
m in
ciden
t?
a
a
2
22
0m
axco
s2
sin2
cos
12 I
I
a
a
2
22
0m
inco
s2
sin2
cos
12 I
I
0m
inm
axI
II
a
a
a
a
22
2
22
2
max
min
2
cos
2sin
2co
s1
cos
2sin
2co
s1
tanI I
2
cos
2sin
2co
s1
sin2
22
2
a
a
2
cos
2sin
2co
s1
cos
22
22
a
a
a
a
a
2
22
22
22
2sin
2sin
cos
2sin
2co
s1
cos
sin4
2sin
a
22
2sin
2sin
2sin
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
TT
2.4
. Sig
a un d
ispositiu
òptic fo
rmat p
er una làm
ina d
e
quart d
’ona, els eix
os ràp
id i len
t del q
ual co
incid
eixen
,
respectiv
amen
t, amb els eix
os O
X i O
Y d
el sistema d
’eixos
cartesians d
e referència, seg
uid
a d’u
n p
olaritzad
or lin
eal l’eix
de tran
smissió
del q
ual fo
rma u
n an
gle am
b l’eix
OX
.
Determ
ineu
els valo
rs i vecto
rs pro
pis d
e la config
uració
i
especifiq
ueu
detallad
amen
t els tipus d
e llum
que rep
resenten
.
Rao
neu
per q
uè aq
uestes llu
ms só
n p
ròpies d
el sistema en
qüestió
.
*
2
*0
*
22
*00
*
1sin
cos
2,
2
PP
iP
PP
iPP
PP
PR
PM
*
20
*
2
*01
sinco
ssin
cos
Pi
PP
Pi
PP
M
LL
UM
El·L
ÍPT
ICA
CE
NT
RA
DA
DE
XT
RO
GIR
A A
MB
EL
·LIP
TIC
ITA
T
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
Determ
ineu
els valo
rs i vecto
rs pro
pis d
e la config
uració
i
especifiq
ueu
detallad
amen
t els tipus d
e llum
que rep
resenten
.
Rao
neu
per q
uè aq
uestes llu
ms só
n p
ròpies d
el sistema en
qüestió
.
2
2
*
2
*01
sinco
ssin
cos
sinco
ssin
cos
sin
cos
sinco
si
ii
Pi
PP
M
2
22
22
22
1sin
cos
cos
sinsin
cos
0det
ii
iI
M
P
isin
cos
sinco
s11
22
11
2sin
2co
s
cos
sin0
12
12
ii
LL
UM
EL
·LÍP
TIC
A C
EN
TR
AD
A
LE
VO
GIR
A A
MB
EL
·LIP
TIC
ITA
T
/2-
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
En u
na seg
ona p
art, resoleu
les mateix
es qüestio
ns q
ue en
el
paràg
raf anterio
r per a u
na co
nfig
uració
semblan
t en q
uè el
polaritzad
or lin
eal haja sig
ut g
irat 90º resp
ecte de la seu
a
posició
orig
inal.
2
2
2co
sco
ssin
cos
sinsin
cos
sinco
s
sin
i
ii
M
*
22
*02
*
22
*00
*
22
2co
ssin
2,
22
PP
iP
PP
iPP
PP
PR
PM
*
20
2
*
2
*02
2co
ssin
cos
sin
P
iP
PP
iP
PM
LL
UM
EL
·LÍP
TIC
A C
EN
TR
AD
A
LE
VO
GIR
A A
MB
EL
·LIP
TIC
ITA
T
/2-
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
Reco
neix
eu q
ue cad
a un d
els nous v
ectors p
ropis és
orto
gonal a u
n d
els de la p
rimera situ
ació.
2
22
22
22
2co
ssin
cos
sinsin
cos
0det
ii
iI
M
221
22
21
cos
sinco
ssin
Pi
sin
cos
022
22
i
LL
UM
EL
·LÍP
TIC
A C
EN
TR
AD
A
DE
XT
RO
GIR
A A
MB
EL
·LIP
TIC
ITA
T
2
2
2co
sco
ssin
cos
sinsin
cos
sinco
s
sin
i
ii
M
02
*
21
11
PP
0sin
cos
cos
sin22
12
ii
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
Reco
neix
eu q
ue cad
a un d
els nous v
ectors p
ropis és
orto
gonal a u
n d
els de la p
rimera situ
ació.
Qüestió
: Per q
uè n
o es co
mpleix
el teorem
a de
desco
mposició
espectral?
*
22
22
22
22
22
21
21
21
2co
ssin
PP
iM
12
21
*
20
22
cos
sin
Pi
PP
M
22
11
*
20
1sin
cos
P
iP
PM
*2
2
12
12
12
11
11
11
1sin
cos
PP
iM
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
TT
2.5
. Analitzeu
l’actuació
del d
ispositiu
descrit en
l’apartat
anterio
r sobre i) llu
m el·líp
tica centrad
a, d’el·lip
ticitat , i ii)
sobre el seu
estat orto
gonal.
P
M11
22
1
22
11
1
M12
21
2
M
022
2
M
(i)
221
12
2
PM
012
1
M
(ii)
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
Rep
etiu l’an
àlisi quan
s’afegeix
a contin
uació
una làm
ina
retardad
ora id
èntica a la p
rimera p
erò g
irada resp
ecte a
aquesta 9
0º. C
om
pareu
ambdós resu
ltats.
2
0
*
22
*00
22
1sin
cos
2,
0
P
iP
PP
iPP
PM
R
02
,0
12
1
MR
02
,0
22
2
MR
20
2
*
22
*00
12
2co
ssin
2,
0
Pi
PP
PiP
PP
MR
22
22
122
22
12
,0
2,
0
MR
MR
12
12
212
12
22
,0
2,
0
MR
MR
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
Fin
almen
t, particu
laritzeu els resu
ltats anterio
rs al cas en q
uè
=
/4.
Conclu
sió: P
odem
constru
ir polaritzad
ors circu
lars amb d
ues
làmin
es de q
uart d
'ona i u
n p
olaritzad
or lin
eal.
*
41
RP
M
*
4
*
43
2L
PL
PM
Li
4
12
cos
sinR
i
4
22
sin
cos
**
41
2,
02
,0
RR
RP
RM
R
**
42
2,
02
,0
LL
LP
RM
R
2
,2
42
,0
*
RP
RR
R
2,
24
32
,0
*
RP
RL
L
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
TT
2.6
. Es d
isposa d
’una làm
ina d
e mitja o
na am
b les seu
es
línies n
eutres g
irades u
n an
gle a
respecte als eix
os cartesian
s
de referèn
cia.
a) A
valu
eu l’efecte q
ue p
rodueix
aquesta làm
ina so
bre la
llum
polaritzad
a circularm
ent, tan
t dex
trogira co
m lev
ogira.
Interp
reteu el resu
ltat en term
es de llu
ms p
olaritzad
es
elemen
tals.
aa
a a
a
a
a a
a
a
a
aa
cos
sinco
s
sinsin
cos
sin
cos
,*
22
*P
PP
PR
a
a
aa
a
aa
a
aa
a
a
a
2co
s2
sin
2sin
2co
s
cos
sinsin
cos
2
sinco
s2
sinco
s,
22
22
R
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
a) A
valu
eu l’efecte q
ue p
rodueix
aquesta làm
ina so
bre la
llum
polaritzad
a circularm
ent, tan
t dex
trogira co
m lev
ogira.
Interp
reteu el resu
ltat en term
es de llu
ms p
olaritzad
es
elemen
tals.
a
a
aa
aa
a
a
aa
2 2
*
22
*
20
20
exp
exp
iPP
iR
RI
iPP
iL
LI
PP
PP
I
iPP
R
iPP
L
*
22
*,
a
a
aa
a
PP
PP
R
R
ii
iPP
iL
Ra
a
a
a
a
aex
pex
pex
p,
2
Li
iiP
Pi
RR
a
a
a
a
aa
exp
exp
exp
,2
**
2exp
2exp
,L
Ri
RL
iR
a
a
a
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
a) A
valu
eu l’efecte q
ue p
rodueix
aquesta làm
ina so
bre la
llum
polaritzad
a circularm
ent, tan
t dex
trogira co
m lev
ogira.
Interp
reteu el resu
ltat en term
es de llu
ms p
olaritzad
es
elemen
tals.
L
ii
i
iR
Ra
a
a
a
aa
a
2exp
1
2 2exp
1
2co
s2
sin
2sin
2co
s
2 1,
R
ii
i
iL
Ra
a
a
a
aa
a
2exp
1
2
2exp
1
2co
s2
sin
2sin
2co
s
2 1,
*
22
*,
a
a
aa
a
PP
PP
R
**
2exp
2exp
,L
Ri
RL
iR
a
a
a
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
04
exp0 1
2
11
11
11
22
12
,4
Pi
i
ii
i
ii
RR
*
2
*
04
exp4
exp2
,4
LP
iR
Pi
R
i
i
ii
PiP
PP
R1
1
11
2 12
,4
*
43
43
*
44
24
exp1 0
2
11
11
11
22
12
,4
Pi
i
ii
i
ii
LR
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
b) L
a làmin
a anterio
r se situa en
tre dues làm
ines d
e quart
d’o
na. L
’eix len
t de cad
a una d
’aquestes làm
ines fo
rma u
n
angle d
e 45º am
b l’eix
X. A
nalitzeu
l’efecte que ex
erceix aq
uest
disp
ositiu
sobre u
na llu
m lin
ealmen
t polaritzad
a a 0º i a 9
0º.
L
ii
i
ii
ii
PR
4ex
p1
2
1
0 1
11
11
2 12
,4
0
*
2
*04
exp
4ex
p2
,4
PR
iP
Li
R
i
i
ii
PiP
PP
R1
1
11
2 12
,4
*
43
43
*
44
R
ii
i
ii
ii
PR
4ex
p1
2
1
1 0
11
11
2 12
,4
2
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
b) L
a làmin
a anterio
r se situa en
tre dues làm
ines d
e quart
d’o
na. L
’eix len
t de cad
a una d
’aquestes làm
ines fo
rma u
n
angle d
e 45º am
b l’eix
X. A
nalitzeu
l’efecte que ex
erceix aq
uest
disp
ositiu
sobre u
na llu
m lin
ealmen
t polaritzad
a a 0º i a 9
0º.
1r E
LE
ME
NT
2n
EL
EM
EN
T
3r E
LE
ME
NT
LL
UM
EM
ER
GE
NT
**
2exp
2exp
,L
Ri
RL
iR
a
a
a
Ri
i4
exp2
exp2
a
03
2exp
2exp
2,
44
exp2
expP
ii
RR
ii
a
a
*
2
*04
exp4
exp2
,4
PR
iP
Li
R
L
iP
R4
exp
2,
40
1
*
2
*
04
exp4
exp2
,4
LP
iR
Pi
R
Treb
alls tutelats
b) L
a làmin
a anterio
r se situa en
tre dues làm
ines d
e quart
d’o
na. L
’eix len
t de cad
a una d
’aquestes làm
ines fo
rma u
n
angle d
e 45º am
b l’eix
X. A
nalitzeu
l’efecte que ex
erceix aq
uest
disp
ositiu
sobre u
na llu
m lin
ealmen
t polaritzad
a a 0º i a 9
0º. C
. ZA
PA
TA
T
T2
1r E
LE
ME
NT
2n
EL
EM
EN
T
3r E
LE
ME
NT
LL
UM
EM
ER
GE
NT
22
,4
43
4
21
iP
PP
R
*
43
43
*
44
2,
4
P
iPP
PR
R
i4
exp1
**
2exp
2exp
,L
Ri
RL
iR
a
a
a
1
2,
a
R
L
ii
4exp
2exp
2
a
23
2,
4
R
*
43
43
*
44
2,
4
P
iPP
PR
23
2ex
p2
exp
2,
44
exp
2ex
p
a
a
Pi
iL
Ri
i
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
b) L
a làmin
a anterio
r se situa en
tre dues làm
ines d
e quart
d’o
na. L
’eix len
t de cad
a una d
’aquestes làm
ines fo
rma u
n
angle d
e 45º am
b l’eix
X. A
nalitzeu
l’efecte que ex
erceix aq
uest
disp
ositiu
sobre u
na llu
m lin
ealmen
t polaritzad
a a 0º i a 9
0º.
c) Com
pro
veu
que el d
ispositiu
de l’ap
artat b es co
mporta
com
un retard
ador am
b les seu
es línies n
eutres cen
trades.
Tro
beu
el valo
r del d
esfasamen
t que in
trodueix
.
*
22
*00
22
exp
22
exp
2,
4,
2,
4
a
a
a
PP
iP
Pi
RR
R
*
22
*00
4ex
p2
2ex
p2
,4
,2
,4
a
a
a
P
Pi
PP
iR
RR
a
a
a
4,
02
2ex
p2
,4
,2
,4
Ri
RR
R
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
d) A
quin
elemen
t equiv
aldria el d
ispositiu
de l’ap
artat b si
les dues làm
ines d
e quart d
’ona tin
gueren
els seus eix
os len
ts
coin
ciden
ts amb l’eix
X?
44
2,
04
4,
44
2,
04
4
a
RR
RR
RR
RR
RR
RM
*
22
*00
2,
0
PiP
PP
R
co
ssin
sinco
s*
22
*
0P
PP
PR
co
ssin
sinco
s*
22
*0P
PP
PR
MA
TR
IUS
DE
RO
TA
CIÓ
DE
L
SIS
TE
MA
DE
RE
FE
RÈ
NC
IA
*
43
43
*
44
2,
4
P
iPP
PR
4
2,
44
2,
0
RR
RR
2
,0
,2
,0
a
R
RR
M
4
2,
04
2,
4
RR
RR
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
4
2,
4,
42
,4
4
a
R
RR
RR
M
4
42
,0
44
,4
42
,0
44
a
R
RR
RR
RR
RR
RR
M
a
a
a
4,
02
2exp
2,
4,
2,
4R
iR
RR
4
4,0
2ex
p4
aa
R
Ri
RM
a
a
4,4
2ex
pR
iM
*
44
*
44
4ex
p2
exp
a
a
P
Pi
PP
iM
*
44
*
44
2exp
2exp
a
a
P
Pi
PP
iM
Treb
alls tutelats
d) A
quin
elemen
t equiv
aldria el d
ispositiu
de l’ap
artat b si
les dues làm
ines d
e quart d
’ona tin
gueren
els seus eix
os len
ts
coin
ciden
ts amb l’eix
X?
C. Z
APA
TA
T
T2
TT
2.7
. Consid
ereu el filtre d
e polarització
dissen
yat p
er Lyot
i Öhm
an, q
ue co
nsisteix
en u
n co
nju
nt d
e làmin
es
retardad
ores co
mpreses en
tre polaritzad
ors lin
eals amb els
seus eix
os d
e transm
issió p
aral·lels. El retard
de les làm
ines
segueix
una p
rogressió
geo
mètrica, és a d
ir, d, 2
d, 4
d, 8
d, …
Totes les làm
ines ten
en les seu
es línies n
eutres o
rientad
es a
45º resp
ecte dels eix
os d
e transm
issió d
els polaritzad
ors.
a) T
robeu
la matriu
de Jo
nes d
’un sistem
a com
post p
er N
làmin
es retardad
ores (i N
+ 1
polaritzad
ors).
º
45
12
42
1P
MM
MM
MN
d d
d
d
1 1
1
1
22
exp
1
2ex
p1
2 1
2ex
p0
01
11
11
2 12,
0º
45
1N N
N
N
i i
iR
PM
N
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
a) T
robeu
la matriu
de Jo
nes d
’un sistem
a com
post p
er N
làmin
es retardad
ores (i N
+ 1
polaritzad
ors).
d dd
d d
d d
i ii
i i
i iM
MN
N N
N
exp
1
exp
1
4
2ex
p1
exp
1
exp
1
2ex
p1
2ex
p1
4 11
1 1
12
1
1
22
1
1
12
2co
s2
exp
2
2ex
p1
1M
iM
iM
MN
NN
Nd
d
d
14
21
24
21
1co
sex
pM
MM
iM
MM
MN
N
dd
1
22
12
42
cos
exp
2co
s2
exp
2co
s2
exp
1M
ii
iM
MM
MN
NN
dd
dd
dd
1
111
11
1
12
42
2co
s2
exp
1M
iM
MM
Mn
Nn
Nn
nN
d
d
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
a) T
robeu
la matriu
de Jo
nes d
’un sistem
a com
post p
er N
làmin
es retardad
ores (i N
+ 1
polaritzad
ors).
1
111
11
1
12
42
2co
s2
exp
1M
iM
MM
Mn
Nn
Nn
nN
d
d
º
45
12
42
1P
MM
MM
MN
º
45
22
cos
22
exp
º45
10
10
12
42
1P
iP
MM
MM
Mn
Nn
Nn
nN
d
d
º
45
2co
s2
exp
11
11
4
exp
1
11
11
2 1
exp
1
exp
1
2 1º
45
1P
ii
i iP
Md
d
d
d d
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
a) T
robeu
la matriu
de Jo
nes d
’un sistem
a com
post p
er N
làmin
es retardad
ores (i N
+ 1
polaritzad
ors).
º
45
2sin
2
2sin
2
12
exp
º45
22
cos
22
exp
110
10
Pi
Pi
MN
NN
nNn
Nn
n
d
d
d
d
d
12
24
21
21
10
N
NNn
n
2
sin2
2co
s2
cos
2sin
2
2sin
2
2co
s2
sin2
2sin
2
2sin
23
32
22
1
d
dd
d
d
dd
d
d
N
NN
N
N
NN
N
N
d
d
d
d
d
d
22
cos
2sin
2
22
cos
2sin
2
2sin
2
2sin
10
11
1n
Nn
MN
N
nN
MN
n
MN
M
N
N
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
b) D
emostreu
que si in
cideix
llum
natu
ral amb u
na in
tensitat
I0 , la in
tensitat em
ergen
t d’aq
uest sistem
a es pot escriu
re
com
:
º
45
2sin
2
2sin
2
12
exp
1
Pi
MN
NN
d
d
d
º45
0
1
22
sin2
2sin
2
12
exp
PI
iN
NN
ou
td
d
d
02
12
12
2sin
2
2sin
II
N
N
ou
td d
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T2
TR
EB
AL
LS
TU
TE
LA
TS
D’Ò
PT
ICA
I
Solu
cion
s del B
utlletí 2
TT
3.1
. La co
nductiv
itat d’u
n m
aterial es descriu
mitjan
çant
la llei d’O
hm
, . Utilitzan
t l’equació
, on
és la den
sitat de càrreg
ues i :
a) Id
entifiq
ueu
la conductiv
itat s
del m
edi.
b) D
emostreu
que és essen
cialmen
t la
suscep
tibilitat c
del m
edi.
c) Com
que en
un m
etall les càrregues d
e conducció
no estan
lligad
es, podem
consid
erar 0
0, q
ue és l’an
om
enat m
odel
de D
rude. T
robeu
la conductiv
itat nom
inal (és a d
ir, en el
límit
→ 0
) i la freqüèn
cia de p
lasma p
er al coure, el q
ual té
una d
ensitat d
e 8.9
× 1
06 g
r/m3 i u
n p
es atòm
ic de
63.5
4 g
r/mol. A
més, co
nsid
ereu q
ue =
2.0
5 ×
10
13 rad
/s. En
aquest cas, su
poseu
un electró
de co
nducció
per àto
m i
record
eu q
ue el n
om
bre d
’Avogad
ro és 6
× 1
02
3 àtom
/mol.
Treb
alls tutelats
EJ
s
rJ
Ne
dt
rd
r
0
s
i
TT
3
C. Z
APA
TA
a) Id
entifiq
ueu
la conductiv
itat s
del m
edi.
s
s
2
220
0
2i
iE
Jp
Ei
i
m Ne
Ei
m Ne
rJ
Ne
22
12
20
2
220
2
Ei
m er
Em e
rdt r
d
dt r
d
2
12
220
202
2
m
Ne
p
0
22
s
s
2lim
0
2
0n
om
p
Dru
de
s
2
0
2
00
i
ip
Dru
de
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
b) D
emostreu
que és essen
cialmen
t la
suscep
tibilitat c
del m
edi.
0
s
i
P
ir
Ne
ir
iN
er
JN
e
EJ
s
EP
c
0
c
s
0i
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
c) Com
que en
un m
etall les càrregues d
e conducció
no estan
lligad
es, podem
consid
erar 0
0, q
ue és l’an
om
enat m
odel
de D
rude. T
robeu
la conductiv
itat nom
inal (és a d
ir, en el
límit
→ 0
) i la freqüèn
cia de p
lasma p
er al coure, el q
ual té
una d
ensitat d
e 8.9
× 1
06 g
r/m3 i u
n p
es atòm
ic de
63.5
4 g
r/mol. A
més, co
nsid
ereu q
ue =
2.0
5 ×
10
13 rad
/s. En
aquest cas, su
poseu
un electró
de co
nducció
per àto
m i
record
eu q
ue el n
om
bre d
’Avogad
ro és 6
× 1
02
3 àtom
/mol.
mS
iemen
s10
8.5
2
70
2
no
m
sp
Ce
19
10
6022
.1
kg
m3
110
1094
.9
mF
12
010
8542
.8
Hz
10
6.2
srad
10
6.1
15
16
0
2
pp
fm
Ne
3
28
36
23
m
electrons
10
4.8
àtom
electró1
mgr
10
9.8
mol
gr
54
.63
mol
àtom
s10
6
N
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
TT
3.2
. Dem
ostreu
que l’ín
dex
de refracció
d’u
na m
escla de g
asos
val:
on n
i () és l’ín
dex
de refracció
de cad
a un d
els gaso
s i fi la seua
concen
tració fraccio
nal m
olecu
lar (nom
bre d
e molècu
les del g
as i
div
idit p
el nom
bre to
tal de m
olècu
les).
Com
a aplicació
, trobeu
l’índex
de refracció
de l’aire p
er a
a partir d
els valo
rs i
corresp
onen
ts respectiv
amen
t a l’oxig
en i al n
itrog
en. (C
onsid
ereu
l’aire com
una m
escla d’aq
uests d
os g
asos am
b p
roporcio
ns
respectiv
es del 2
5%
i el 75%
).
i
ii n
fn
nm
589
000272
.1
2
On
000297
.1
2
Nn
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Relació
entre la su
sceptib
ilitat i l’índex
de refracció
c
c
c
2 11
11
n
220
0
21
cm
Ne
Nom
bre
de d
ipols p
er
un
itat d
e v
olu
m
Su
scep
tibilita
t
elè
ctr
ica
Càrre
ga
elè
ctr
ica
Fre
qü
èn
cia
de
resso
nàn
cia
M
assa
de
l’ele
ctr
ó
Perm
itivita
t
die
lèctr
ica
Ce
19
10
6022
.1
mF
12
010
8542
.8
kg
m3
110
1094
.9
ME
DIS
MO
LT
DIL
UÏT
S
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Suposem
que ex
isteix m
és d'u
na esp
ècie atòm
ica.
Si les esp
ècies a ten
en Z
a electrons am
b freq
üèn
cies de
ressonàn
cia ai , llav
ors p
odem
escriure:
i
Zjij
i
i
i
i
Zjij
ii
im
eN
ff
me
Nn
12
2
2
01
22
2
02
2 11
c
i
Zjij
ii
me
N
12
2
2
0
i
iN
N
i
ii
if
N Nf
1
i
ii
i
Zjij
in
fm
eN
fn
i12
2
2
02
1 Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
EX
EM
PL
E N
UM
ÈR
IC:
000272
.1
2
On
000297
.1
2
Nn
25
.0
2
Of
75
.0
2
Nf
000291
.1
22
22
N
NO
OA
IRE
nf
nf
n
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
TT
3.3
. La su
sceptib
ilitat d’u
n m
edi és d
efinid
a a través d
e
, on és el cam
p elèctric m
acroscò
pic. E
l
camp lo
cal, és a dir, el cam
p elèctric actu
ant so
bre l’àto
m,
està donat p
er . Dem
ostreu
que
segons la teo
ria de L
oren
tz, que s’an
om
ena la relació
de
Clau
sius-M
osso
tti. A co
ntin
uació
, obten
iu la relació
de
Loren
tz-Loren
tz mitjan
çant l’eq
uació
EE
NP
loca
l
c
a
0E
PE
Elo
cal
1
03
a
c
c
23
32
20
2
0i
Np
12
cn
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
m
Ne
p
0
22
Dem
ostreu
la relació d
e Clau
sius-M
osso
tti. EN
EE
EN
Plo
cal
loca
l
a c
c
a
0
0
0
00
03
13
c
a c
N
PE
Elo
cal
loc
loc
Ei
m er
Em e
rdt r
d
dt r
d
2
12
220
202
2
0
220
2
2
a
a
N
iE
Nr
eNP
p
loca
l
0
31
a
c c
N
RE
LA
CIÓ
DE
CL
AU
SIU
S-M
OS
SO
TT
I
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
A co
ntin
uació
, obten
iu la relació
de L
oren
tz-Loren
tz.
12
cn
a
c c
23 1
33
220
2
0i
Np
23 1
2 12
20
2
2 2
in n
p
RE
LA
CIÓ
DE
LO
RE
NT
Z-L
OR
EN
TZ
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
T3.4
. Com
pro
veu
que la fó
rmula d
e Loren
tz-Loren
z safisfà,
amb les ap
roxim
acions o
portu
nes q
ue cal estab
lir, la fórm
ula
de C
auch
y p
er a l’índex
de refracció
de g
asos:
on A
i B só
n co
nstan
ts a determ
inar.
2
11
BA
n Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Relació
entre la su
sceptib
ilitat i l’índex
de refracció
c
c
c
2 11
11
n
220
0
21
cm
Ne
Nom
bre
de d
ipols p
er
un
itat d
e v
olu
m
Su
scep
tibilita
t
elè
ctr
ica
Càrre
ga
elè
ctr
ica
Fre
qü
èn
cia
de
resso
nàn
cia
M
assa
de
l’ele
ctr
ó
Perm
itivita
t
die
lèctr
ica
Ce
19
10
6022
.1
mF
12
010
8542
.8
kg
m3
110
1094
.9
ME
DIS
MO
LT
DIL
UÏT
S
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Suposan
t que h
i ha Z
electrons q
ue resp
onen
de fo
rma
indep
enden
t a un cam
p d
onat:
Zi
i
me
Nn
12
2
2
02 1
1
c
Zii
me
N
12
2
2
0
i
i
c
2
Zi
i iZi
i
i
mc
Ne
mc
Ne
n1
2
2
2
0
2
2
12
2
22
2
0
2
2
18
81
21
21
1
1
i
i
i
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Zi
i
Zi
ii
Zi
im
c
Ne
mc
Ne
mc
Ne
n1
2
4
2
0
2
2
1
2
2
0
2
2
2 2
1
2
2
0
2
21
88
18
1
2
11
BA
n
AA
B
Zi
im
c
Ne
A1
2
2
0
2
2
8
Zi
i
Zi
i
B
1
2
1
4
Treb
alls tutelats
Suposan
t que h
i ha Z
electrons q
ue resp
onen
de fo
rma
indep
enden
t a un cam
p d
onat:
C. Z
APA
TA
T
T3
EX
EM
PL
E N
UM
ÈR
IC: G
as He a tem
peratu
ra i pressió
estàndard
.
2
11
BA
n
* L
asers (P.W
. Milo
nni &
J.H.E
berly
), p. 4
0
510
48
.3
A
21
110
3.2
cmB
A584
22
1
Z
31
910
69
.2
cm
N
5
1
2
2
0
2
2
10
23
.8
8
Zi
im
c
Ne
A
21
1
1
2
1
4
10
42
.3
cmB
Zi
i
Zi
i
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
T3.5
. A p
artir de l’ex
pressió
donad
a pel m
odel clàssic p
er a la
relació d
e disp
ersió, tro
beu
la fórm
ula sem
iempírica d
e
Sellm
eier:
vàlid
a per a m
edis tran
sparen
ts en les reg
ions esp
ectrals
allunyad
es de les lo
ngitu
ds d
’ona d
e ressonàn
cia i .
i
i
iC
An
22
2
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Relació
entre la su
sceptib
ilitat i l’índex
de refracció
c
Zii
iB
n1
22
22
11
c
Zii
iZi
im
c
Ne
me
N
12
2
22
2
0
2
2
12
2
2
04
i
i
c
2
FÓ
RM
UL
A D
E S
EL
LM
EIE
R
2
2
0
2
2
4i
im
c
Ne
B
2
2
2
22
2
22
2
i
ii
ii
i
ii
i
iB
BB
BB
B
i
i
iZi
i
ii
Zi
i
CA
BB
n2
21
22
2
1
21
Zi
iB
A1
1
ii
iB
C2
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Llu
ny d
e la zona d
e ressonàn
cia es com
pleix
:
2
2
0
2
2
4i
im
c
Ne
B
i
ii
ii
i
ii
iC
AC
AC
An
2 2
2
2 22
22
21
1
1
Zi
iB
A1
1
ii
iB
C2
i
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Com
a aplicació
, consid
ereu en
la regió
visib
le el cas del
CaF
2 , del q
ual es co
neix
l’existèn
cia de d
ues lo
ngitu
ds d
’ona
de resso
nàn
cia i . La p
rimera
d’aq
uestes està asso
ciada a u
na tran
sició electrò
nica, m
entre
que la seg
ona co
rrespon a u
na tran
sició en
tre estats de
vib
ració d
’ions F
- en la m
olècu
la. Tro
beu
el valo
r de les
constan
ts de la fó
rmula d
e Sellm
eier en aq
uest cas. (A
juda:
, on m
e és la massa d
e l’electró).
nm
2.94
1
m
35
2
eF
mm
3470
8.39
21 22
1 2
F e
m m
B B??
121
i
iB
A
??1
211
B
C
kgm
e
31
10
1094
.9
??
N
Ce
19
10
6022
.1
mF
12
010
8542
.8
??4
2
0
2
22
cm
Ne
e
??
2
11
B??
2
222
B
C
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
TT
3.6
. Consid
ereu el seg
üen
t índex
de refracció
apro
piat p
er
a un m
edi am
b freq
üèn
cia de resso
nàn
cia 0 i co
nstan
t de
relaxació
[Phys. R
ev. A 1
(1970) 3
05]:
En l’eq
uació
anterio
r, n∞ és l’ín
dex
de refracció
lluny d
e la
freqüèn
cia de resso
nàn
cia i p >
0 p
er a un m
edi d
issipatiu
.
a) A
valu
eu la v
elocitat d
e fase i la velo
citat de g
rup d
’un p
ols
l’ample esp
ectral 1/t d
el qual és m
olt m
enor q
ue la co
nstan
t
de relax
ació, t >
> 1
.
in
np0
0
np
22
0
0
22
0
00
00
00
p
p
nin
np
n
nn
ii
in
n
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
1
d
cn
d
dk
dv
g
2
2
0
00
pn
n
1
22
0
2
2
0
20
c
c nv
p
g
1
22
0
00
c
c n
d dv
p
g
a) A
valu
eu la v
elocitat d
e fase i la velo
citat de g
rup d
’un p
ols
l’ample esp
ectral 1/t d
el qual és m
olt m
enor q
ue la co
nstan
t
de relax
ació, t >
> 1
.
n c
kv
f
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
n
p
b) P
articularitzeu
aquestes ex
pressio
ns q
uan
la freqüèn
cia
central d
el pols co
incid
eix am
b la freq
üèn
cia de resso
nàn
cia
0 d
el med
i, i trobeu
els valo
rs de
p per als q
uals la
velo
citat de g
rup p
ot ser su
perlu
mín
ica i inclú
s neg
ativa.
2
0
1
2
01
0
p
p
gn
c
cc n
v
0
2
0
2
2
0
22
0
11
0
nn
nn
cv
p
p
pp
g
00
1n
np
n c
vf
0
00
0
2
p
gn
v
0
np
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
c) Fin
almen
t, trobeu
la condició
que h
a de co
mplir el
paràm
etre p p
erquè la d
istància d
e pen
etració d
= [k
0 Im(n
)]-1
siga m
olt m
ajor q
ue la lo
ngitu
d d
’ona
0 en el b
uit.
pp
n0
22
0
0
2
1
2
10
0
0
p
pn
kd
Qüestió
: És co
mpatib
le aquest resu
ltat amb els o
btin
guts en
l'apartat an
terior?
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
TT
3.7
. És b
en co
neg
ut q
ue en
un d
ielèctric perfecte, el cam
p
elèctric E i m
agnètic H
d’u
na o
na p
lana o
scil·len en
fase.
Consid
ereu ara u
na o
na p
lana m
onocro
màtica q
ue es p
ropag
a
en u
n m
edi m
etàl·lic amb u
na co
nductiv
itat s ≠
0. T
robeu
el
desfasam
ent
del v
ector cam
p m
agnètic resp
ecte al vecto
r
camp elèctric, i d
emostreu
que si s
/
1
es com
pleix
que
=
-45º.
x
kit
iE
E
exp
0
x
kit
iH
H
exp
0
x
kit
iD
ED
exp
0
x
kit
iB
HB
exp
0
x
kit
iJ
EJ
s
exp
0
00
00
Hk
Bk
B
00
00
Ek
Dk
D
CA
MP
TR
AN
SV
ER
SA
L
00
Bi
Eki
BE
t
00
0D
iE
Hki
DJ
Ht
s
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
Tro
beu
el desfasam
ent
del v
ector cam
p m
agnètic resp
ecte
al vecto
r camp elèctric, i d
emostreu
que si s
/ >
> 1
es
com
pleix
que
= -4
5º.
00
00
HE
kB
iE
ki
00
00
00
0E
EE
iH
kD
iE
Hki
c
s
s
s
ic
s
i
kH
kE
kk
c
22
2
00
E
QU
AC
IÓ D
E D
ISP
ER
SIÓ
00
2
00
22
20
s
i
nk
n
s
,
00
00
argarg
argH
Ek
HE
k
42
tan2
2
s
s
si
k
k
EH
argarg
arg0
0
Treb
alls tutelats
C. Z
APA
TA
T
T3
TR
EB
AL
LS
TU
TE
LA
TS
D’Ò
PT
ICA
I
Solu
cion
s del B
utlletí 4
TT
4.1
. Una o
na p
lana h
om
ogèn
ia de freq
üèn
cia n=
500T
Hz té
un cam
p elèctric q
ue s’escriu
de la fo
rma:
Consid
ereu q
ue aq
uesta o
na es p
ropag
a en u
n m
edi d
’índex
de refracció
n1 =
2 i in
cideix
obliq
uam
ent so
bre u
na su
perfície
que sep
ara aquest m
edi d
e l’espai b
uit (n
2 =1) tal co
m es
mostra en
la figura ad
junta.
Treb
alls tutelats
rki
ey
iz
xE
rE
ˆ
2
55
ˆˆ
22
0
n1 =
2n
2 =1
x
zy
k
a) O
bten
iu el v
alor d
els angles
d’in
cidèn
cia i de refracció
. A m
és, escriviu
les expressio
ns d
els vecto
rs d’o
na d
e les
ones in
ciden
t, reflectida i tran
smesa.
TT
4
C. Z
APA
TA
a) O
bten
iu el v
alor d
els angles d
’incid
ència i d
e refracció. A
més, escriv
iu les ex
pressio
ns d
els vecto
rs d’o
na d
e les ones
incid
ent, reflectid
a i transm
esa.
Treb
alls tutelats
rki
rki
eE
ey
iz
xE
rE
0
02
55
22
n1 =
2n
2 =1
x
zy
k
rki
eE
rE
0
r
kie
Er
E
0
ON
A R
EF
LE
CT
IDA
O
NA
TR
AN
SM
ES
A
00
2
25
5
4
Ei
E
z y x
u u u
uu
nk
kˆ1
0
un
kk
ˆ
20
u
nk
k
ˆ10
0ˆ
0
Eu
0ˆ
ˆ
y
u
52
0
51
ˆ ˆˆ
0 0
yE
yE
u
ck
n
2
0
1
05.
10
m
k
TT
4
C. Z
APA
TA
a) O
bten
iu el v
alor d
els angles d
’incid
ència i d
e refracció. A
més, escriv
iu les ex
pressio
ns d
els vecto
rs d’o
na d
e les ones
incid
ent, reflectid
a i transm
esa.
Treb
alls tutelats
rki
eE
rE
0
n1 =
2n
2 =1
x
zy
k
rki
eE
rE
0
r
kie
Er
E
0
ON
A R
EF
LE
CT
IDA
O
NA
TR
AN
SM
ES
A
un
kk
ˆ10
un
kk
ˆ
20
u
nk
k
ˆ10
zz
kk
52
0
51
u
ON
A IN
CID
EN
T
yy
y
xx
x
kk
k
kk
k
cos 0
sin
u
51
0
52
cos 0
sin
u
sin
sin2
1n
n
51
sin
º57
.26
º43
.63
º90
TT
4
C. Z
APA
TA
b) Id
entifiq
ueu
el tipus d
e polarització
de l’o
na in
ciden
t.
Treb
alls tutelats
n1 =
2n
2 =1
x
zy
k
rki
eE
rE
0
un
kk
ˆ10
ON
A IN
CID
EN
T
00
2
25
5
4
Ei
E
52
0
51
ˆ ˆˆ
0 0
yE
yE
u
0
0
||0
0||
||0
02
55
52
ˆ ˆˆ
ˆˆ
ˆE
iu
E
uE
uu
Eu
uE
E
uu
uˆ
ˆˆ
||
yu
ˆˆ
51
0
52
ˆ||
u
LL
UM
EL
·LÍP
TIC
A
CE
NT
RA
DA
DE
XT
RO
GIR
A
TT
4
C. Z
APA
TA
c) Obten
iu el cam
p elèctric d
e l’ona reflectid
a i transm
esa. A
més, id
entifiq
ueu
el tipus d
e polarització
d’aq
uestes o
nes.
Treb
alls tutelats
n1 =
2n
2 =1
x
zy
k
rki
eE
rE
0
r
kie
Er
E
0
ON
A R
EF
LE
CT
IDA
O
NA
TR
AN
SM
ES
A
un
kk
ˆ
20
u
nk
k
ˆ10
0
0
||0
0||
||0
02
55
52
ˆ ˆˆ
ˆˆ
ˆE
iu
E
uE
uu
Eu
uE
E
0||
0
||0
0||
||0
02
55
52
ˆ ˆˆ
ˆˆ
ˆE
ti
t
uE
uE
uu
Eu
uE
E
0||
0
||0
0||
||0
02
55
52
ˆ ˆˆ
ˆˆ
ˆE
ri
r
uE
uE
uu
Eu
uE
E
TT
4
C. Z
APA
TA
c) Obten
iu el cam
p elèctric d
e l’ona reflectid
a i transm
esa. A
més, id
entifiq
ueu
el tipus d
e polarització
d’aq
uestes o
nes.
Treb
alls tutelats
n1 =
2n
2 =1
x
zy
k
rki
eE
rE
0
r
kie
Er
E
0
ON
A R
EF
LE
CT
IDA
O
NA
TR
AN
SM
ES
A
un
kk
ˆ
20
u
nk
k
ˆ10
00
25
5
52
Ei
E
00
54
54
Ei
E
00
25
3
0E
iE
5 8
sin
cos
sin2
t
2co
ssin
cos
sin2
||
t
5 3
sin
sin
r
0tan
tan||
r
LL
UM
CIR
CU
LA
RM
EN
T
PO
LA
RIT
ZA
DA
DE
XT
RO
GIR
A
LL
UM
LIN
EA
LM
EN
T
PO
LA
RIT
ZA
DA
TT
4
C. Z
APA
TA
c) Obten
iu el cam
p elèctric d
e l’ona reflectid
a i transm
esa. A
més, id
entifiq
ueu
el tipus d
e polarització
d’aq
uestes o
nes.
Treb
alls tutelats
n1 =
2n
2 =1
x
zy
k
rki
eE
rE
0
r
kie
Er
E
0
ON
A R
EF
LE
CT
IDA
O
NA
TR
AN
SM
ES
A
un
kk
ˆ
20
u
nk
k
ˆ10
00
||0
0
8 54
4
ˆ5
4ˆ
54
Ei
uE
iu
EE
00
0
0
25
3
0
ˆ2
53
Ei
uE
iE
u
uu
ˆ
ˆˆ
||
yu
ˆˆ
52
0
51
ˆ||
u
00
2
25
5
4
Ei
E
TT
4
C. Z
APA
TA
c) Obten
iu el cam
p elèctric d
e l’ona reflectid
a i transm
esa. A
més, id
entifiq
ueu
el tipus d
e polarització
d’aq
uestes o
nes.
Com
pro
veu
que es co
mpleix
en les co
ndicio
ns d
e conto
rn:
Treb
alls tutelats
n1 =
2n
2 =1
x
zy
k
rki
eE
rE
0
r
kie
Er
E
0
ON
A R
EF
LE
CT
IDA
O
NA
TR
AN
SM
ES
A
un
kk
ˆ
20
u
nk
k
ˆ10
00
8 54
4
Ei
E
0
0
0
25
3
0
Ei
E
0
0
2
25
5
4
Ei
E
xx
xE
EE
00
0
yy
yE
EE
00
0
zz
zz
zz
EE
ED
DD
02
01
01
00
0
421
1
n
122
2
n
TT
4
C. Z
APA
TA
TT
4.2
. Com
pro
veu
que l’an
gle lím
it és sempre m
ajor q
ue
l’angle d
e Brew
ster.
Tro
beu
aquests an
gles p
er a n =
1.3
3 i n
= 1
.75
, sent n
´=1.
Treb
alls tutelats
n nl
sin
n nB
tan
2 2
22
22
2
22
tansin
1
sintan
n n
nn
nB
l
ll
Bl
22
2n
nn
n
n
n
l1
arcsin
n
B1
arctan
º94
.36
º75
.48
33
.1
B ln
º74
.29
º85
.34
75
.1
B ln
TT
4
C. Z
APA
TA
TT
4.3
. Un raig
de llu
m in
cideix
sobre u
na su
perfície d
e
separació
aire-vid
re de m
anera q
ue l’an
gle d
’incid
ència i té
un v
alor d
oble q
ue l’an
gle d
e refracció r. E
n aq
uestes
condicio
ns el facto
r de reflex
ió R
┴ v
al 0.4
11.
a) D
etermin
eu l’ín
dex
de refracció
n d
el vid
re respecte d
e
l’aire i els angles i i r.
41
1.
03
sin sin
sin
sin2 2
2
2 22
r r
ri
ri
rR
ri
º87
.36
º74
.73
r i
600
.1
sinsin
n
rn
i
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
b) S
i en co
mpte d
’estar en co
ntacte am
b l’aire, el d
it vid
re es
troba en
contacte am
b l’aig
ua (n
a = 1
.33) i el raig
de llu
m
incid
eix am
b el m
ateix an
gle i so
bre la su
perfície d
e
separació
d’am
bdós m
edis, d
etermin
eu el n
ou an
gle d
e
refracció r´ i els facto
rs de reflex
ió R
┴ y
R|| en
els dos caso
s
següen
ts:
El raig
incid
eix d
es de l’aig
ua am
b l’an
gle d
’incid
ència i.
El raig
incid
eix d
es del v
idre tam
bé am
b l’an
gle d
’incid
ència
i.
1961
.0
sin
sin2 2
2
r
i
ri
rR
rn
in
asin
sin
08
01
2.
0tan
tan2 2
2
||||
ri
ri
rR
º94
.52
r
54
97
.0
2sin
sini
rr
ni
na
1
R
1||
R
RE
FL
EX
IÓ T
OT
AL
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
c) Dem
ostreu
que p
er a la superfície d
e separació
aigua-v
idre
no p
ot o
bten
ir-se cap an
gle d
’incid
ència q
ue v
alga el d
oble
que l’an
gle d
e refracció.
rn
rn
rn
in
a
ri
asin
2sin
sinsin
2
rr
rco
ssin
22
sin
º
90
º04
.1
06
º02
.53
cos
2i
rn
rn
aS
OL
UC
IÓ
NO
RE
AL
IST
A
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
TT
4.4
. Es d
isposa d
’una làm
ina p
lanoparal·lela d
e gro
ssària
h i ín
dex
n=
1.5
54, su
bm
ergid
a en aire, am
b u
na d
e les seues
cares tallada a 4
5º. U
n raig
de llu
m circu
larmen
t polaritzat
levogir in
cideix
norm
almen
t sobre aq
uesta cara d
’entrad
a i es
pro
pag
a en el seu
interio
r, tal com
mostra la fig
ura.
0,
20
hP
2
,1
hh
P
2
,2
2h
hP
2
1,
1h
mh
Pm
m
i
IL
Iin
1
2 00
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
l’estat de p
olarització
del raig
en l’in
terior d
e la
làmin
a en fu
nció
de la co
ord
enad
a z.
•T
rajecte P0 →
P1 (h
/2<
z<h)
•T
rajecte P1 →
P2 (h
<z<
2h)
ME
DI 1
ME
DI 2
Lt
t tin
TE
TM
ou
t
12
12
||12
12
12
12
78
31
.0
1
2º
0º
0t
nt
tT
ET
M
4
exp
cos
cos
cos
cos
12
12
21
in n
rT
E
2ex
pco
sco
s
cos
cos
12
12
21
in n
rT
M
TE
TM
ou
tr r
t21
||21
12
4 3ex
p
1
iou
t
CIR
CU
LA
R
LE
VO
GIR
A
EL
·LÍP
TIC
A
LE
VO
GIR
A
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
l’estat de p
olarització
del raig
en l’in
terior d
e la
làmin
a en fu
nció
de la co
ord
enad
a z.
•T
rajecte P2 →
P3 (2
h<
z<3h)
•T
rajecte P3 →
P4 (3
h<
z<4h)
PO
LA
RIT
ZA
CIÓ
LIN
EA
L
EL
·LÍP
TIC
A
DE
XT
RO
GIR
A
º13
52
21
||
2
21
12
exp
1
2 1P
ir r
tT
E
TM
ou
t
3
21
||
3
21
12
TE
TM
ou
t
r rt
4 5ex
p
1
io
ut
Treb
alls tutelats
ME
DI 1
ME
DI 2
TT
4
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
l’estat de p
olarització
del raig
en l’in
terior d
e la
làmin
a en fu
nció
de la co
ord
enad
a z.
•T
rajecte P4 →
P5 (4
h<
z<5h)
•T
rajecte P5 →
P6 (5
h<
z<6h)
CIR
CU
LA
R
DE
XT
RO
GIR
A
EL
·LÍP
TIC
A
DE
XT
RO
GIR
A
Ri
r rt
TE
TM
ou
t
2
3ex
p
1
2 14
21
||
4
21
12
5
21
||
5
21
12
TE
TM
ou
t
r rt
4 7ex
p
1
iou
t
Treb
alls tutelats
ME
DI 1
ME
DI 2
TT
4
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
l’estat de p
olarització
del raig
en l’in
terior d
e la
làmin
a en fu
nció
de la co
ord
enad
a z.
•T
rajecte P6 →
P7 (6
h<
z<7h)
•T
rajecte P7 →
P8 (7
h<
z<8h)
PO
LA
RIT
ZA
CIÓ
LIN
EA
L
EL
·LÍP
TIC
A
LE
VO
GIR
A
º45
6
21
||
6
21
12
1 1
2 1P
r rt
TE
TM
ou
t
7
21
||
7
21
12
TE
TM
ou
t
r rt
4ex
p
1
io
ut
Treb
alls tutelats
ME
DI 1
ME
DI 2
TT
4
C. Z
APA
TA
Determ
ineu
l’estat de p
olarització
del raig
en l’in
terior d
e la
làmin
a en fu
nció
de la co
ord
enad
a z.
•T
rajecte P8 →
P9 (8
h<
z<9h)
•T
rajecte P9 →
P10 (9
h<
z<10
h)
CIR
CU
LA
R
LE
VO
GIR
A
EL
·LÍP
TIC
A
LE
VO
GIR
A
Li
r rt
TE
TM
ou
t
1
2 18
21
||
8
21
12
4 3ex
p
1
io
ut
Con
clusió
: El sistem
a
és periò
dic cad
a 8
reflexio
ns, am
b p
=8h
Treb
alls tutelats
ME
DI 1
ME
DI 2
TT
4
C. Z
APA
TA
TT
4.5
. Quin
a ha d
e ser l’altura an
gular d
el sol so
bre l’h
oritzó
perq
uè la llu
m reflectid
a per u
na su
perfície d
’aigua (n
’=4/3
)
estiga to
talmen
t polaritzad
a?
º87
.36
''
sin'
sin1
11
11
nn
º87
.36
º13
.53
'arctan
11
11
a
nn
B
Treb
alls tutelats
aig
ua
TT
4
C. Z
APA
TA
Quan
el sol aco
nseg
ueix
aquesta altu
ra, se subm
ergeix
un
blo
c de v
idre, d
’índex
n=
1.6
, la superfície p
lana d
el qual
form
a un an
gle
amb l’h
oritzo
ntal. D
etermin
eu
perq
uè el
feix reflectit p
el blo
c estiga tam
bé to
talmen
t po
laritzat.
º19
.50
'arctan
22
22
n
nB
º32
.13
22
21
21
BB
BB
Treb
alls tutelats a
igua
TT
4
C. Z
APA
TA
Pot em
ergir d
e l’aigua aq
uest feix
?
º19
.50
2
B
ag
ua
aire
lB
Bn
narcsin
º59
.48
º51
.63
22
32
1
º13
.53
1
B
3
21
22
BB
Conclu
sió: E
l feix p
ateix reflex
ió
total in
terna en
el punt I
3 sobre la
interfície aig
ua-aire.
Treb
alls tutelats
aig
ua
TT
4
C. Z
APA
TA
TT
4.6
. Sig
a un p
risma ò
ptic d
’índex
de refracció
n i an
gle d
e
refringèn
cia a q
ue es tro
ba im
mers en
aire. A m
és, un feix
de
llum
natu
ral incid
eix so
bre la p
rimera cara d
el prism
a amb u
n
angle
1 , el qual co
incid
eix am
b l’an
gle d
e Brew
ster, tal com
indica la fig
ura ad
junta.
11
sinsin
n
22
sinsin
n
Refra
cció #
1
Refra
cció #
2
21
21
22
a
a
n
1
tan2
11
11
sinco
s
n1
tan1
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
a) D
eduïu
la condició
que h
an d
e com
plir n
i a p
erquè el raig
que es refracta en
la prim
era cara i es pro
pag
a din
s del
prism
a, incid
isca sobre la seg
ona cara tam
bé am
b u
n an
gle d
e
Brew
ster.
n
1arctan
22
1
a
a
n
1
tan2
11
11
sinco
s
n1
tan1
n 1tan
2
2
22
22
sinco
s
n
2tan
n
arctan2
1
n
1arctan
12
12
tan
an
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
b) P
er a un p
risma q
ue co
mpleix
la hip
òtesi an
terior, calcu
leu
el grau
de p
olarització
de la llu
m em
ergen
t.
ME
DI 1
ME
DI 2
||
in2
0||
0I
Iin
in
TE
TE
TM
TM
ou
tt
t
tt
12
21
||12
21
01 1
12 2
||
D
D
D
in in
inin
V
1
11
1
11
12
cos
sin
cos
sin2
T
Mt
1
11
1
11
21
cos
sin
cos
sin2
T
Mt
1
1
11
12
sin
cos
sin2
T
Et
1
1
11
21
sin
cos
sin2
T
Et
n
1
tan1
sin2
2
1
2
n
n
1
1co
s2
1
2
n
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
||
in
2
22
11
2
12
21
||12
21
4
1
cos
1
n
n
tt
tt
TE
TE
TM
TM
ou
t
D
4
24
42
4
2 2
116
116
1 1
D
D
n
n
nn
Vo
ut
ou
to
ut
ME
DI 1
ME
DI 2
20
||0
II
inin
01 1
12 2
||
D
D
D
in in
inin
V
TE
TE
TM
TM
ou
tt
t
tt
12
21
||1
22
1
1
2co
ssin
2sin
sinco
sco
sco
s2
11
11
11
11
n
n
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA
b) P
er a un p
risma q
ue co
mpleix
la hip
òtesi an
terior, calcu
leu
el grau
de p
olarització
de la llu
m em
ergen
t.
c) Com
a aplicació
num
èrica, particu
laritzeu els resu
ltats
anterio
rs per a u
n p
risma d
’índex
de refracció
. 3
n
4
24
42
4
2 2
116
116
1 1
D
D
n
n
nn
Vo
ut
ou
to
ut
ME
DI 1
ME
DI 2
3
n
25 7
49
49
49
16
49
16
2 2
4 4
out
V
Treb
alls tutelats
TT
4
C. Z
APA
TA