Medidas de tendencia central

Medidas de Posición: son aquellos valores numéricos que nos permiten o bien dar alguna medida de tendencia central, dividiendo el recorrido de la variable en dos, o bien fragmentar la cantidad de datos en partes iguales. Las más usuales son la media, la mediana, la moda, los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles. Pueden ser de dos tipos: de tendencia central o de tipismo.

Medidas de Dispersión: se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficientes para variables cuantitativas. Las más usuales son el desvío estándar y la varianza.

Medidas de tendencia central

medias de los diferentes conjuntos. 3) Es posible hallar la media de La idea de media o promedio (también llamada media aritmética) formaliza el concepto intuitivo de punto de equilibrio de las observaciones. Es decir, es el punto medio del recorrido de la variable según la cantidad de valores obtenidos.

Ese valor tiene varias propiedades importantes. 1) Si se suma la distancia de todos los valores respecto de la media, esa suma da cero. 2) Si se toman una cantidad cualesquiera de conjuntos de valores, cada uno con su respectiva media, la media del conjunto general es igual a la suma de cada una de las un conjunto de valores de una variable a partir de tomar la distancia de las observaciones a un valor cualquiera (pertenezca o no al recorrido de la variable) 4) si a un conjunto de observaciones de una variable se le realiza una operación matemática usando un valor constante, entonces la media del nuevo grupo de valores así obtenidos es igual a la aplicación de la misma operación matemática usando ese valor constante sobre la media original.

La Media

El cálculo de la Media

Dado un conjunto de observaciones

la media se representa mediante y se obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el número de ellos, es decir:

La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya en una propiedad que afirma que la suma de las desviaciones

de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que

La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma

de todos los datos y el número de estos.

Ejemplo: las notas de Juan el año pasado fueron:

5, 6, 4, 7, 8, 4, 6

La nota media de Juan es:

Nota media = 7,57

40

7

6487465 ==++++++

que suman 40

Hay 7 datos

Media aritmética (I)

Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten.

Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:

Notas Frecuenciaabsoluta

Notas xF. absoluta

3 5 155 8 40

6 10 60

7 2 14Total 25 129

1,525

129 Media ==

Datos por frecuencias

Total de datos

1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman.2º. El resultado se divide por el total de datos.

Media aritmética (II)

Mediana

La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades iguales. Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).

en caso que N sea impar

La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de datos menores que él es igual al número de datos mayores que él.

Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son:

Ejemplo:72, 65, 71, 56, 59, 63, 72

1º. Ordenamos los datos:

56, 59, 63, 65, 71, 72, 72

2º. El dato que queda en el centro es 65.

La mediana vale 65.

Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.

Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es: 64

2

6563 =+

Caso:

La mediana

Moda

La moda, es aquel dato, aquel valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor.

La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.

Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla:

Ejemplo.

La moda es 41.

Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45

Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7

El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41.

Lo compran 35 personas

La moda

Cuartil, Quintiles, Deciles, Percentiles

La mediana, como vimos, separa en dos mitades el conjunto ordenado de observaciones. Podemos a su vez subdividir cada mitad en dos, de tal manera que resulten cuatro partes iguales. Cada una de esas divisiones se conoce como Cuartil y lo simbolizaremos mediante la letra Q agregando un subíndice según a cual de los cuatro cuartiles nos estemos refiriendo. Se llama primer cuartil (Q1) a la mediana de la mitad que contiene los datos más pequeños. Este cuartil, corresponde al menor valor que supera – o que deja por debajo de él – a la cuarta parte de los datos. Se llama tercer cuartil (Q3) a la mediana de la mitad formada por las observaciones más grandes. El tercer cuartil es el menor valor que supera – o que deja por debajo de él – a las tres cuartas partes de las observaciones. Con esta terminología, la mediana es el segundo cuartil (Q2) y el cuarto cuartil (Q4) coincide con el valor que toma el último dato, luego de ordenados.

Medidas de Dispersión

El desvío estándar

Es posible identificar conjuntos de datos que a pesar de ser muy distintos en términos de valores absolutos, poseen la misma media. Una medida diferencial para identificar esos conjuntos de datos es la concentración o dispersión alrededor de la media.

Una manera de evitar que los distintos signos se compensen es elevarlas al cuadrado, de manera que todas las desviaciones sean positivas. La raíz cuadrada del promedio de estas cantidades recibe el nombre de desvío estándar, o desviación típica y es representada por la siguiente fórmula:

A mayor valor del coeficiente del desvío estándar, mayor dispersión de los datos con respecto a su media. Es un valor que representa los promedios de todas las diferencias individuales de las observaciones respecto a un punto de referencia común, que es la media aritmética. Se entiende entonces que cuando este valor es más pequeño, las diferencias de los valores respecto a la media, es decir, los desvíos, son menores y, por lo tanto, el grupo de observaciones es más “homogéneo” que si el valor de la desviación estándar fuera más grande. O sea que a menor dispersión mayor homogeneidad y a mayor dispersión, menor homogeneidad.

La Varianza

El cuadrado de la desviación estándar recibe el nombre de varianza y se representa por . La suma de los cuadrados de los desvíos de la totalidad de las observaciones, respecto de la media aritmética de la distribución, es menor que la suma de los cuadrados de los desvíos respecto de cualquier otro valor que no sea la media aritmética.

Si observamos, veremos que la varianza no es más que el desvío estándar al cuadrado. Precisamente la manera de simbolizarla es.

Por lo mismo, el desvío estándar puede definirse como la raíz cuadrada de la varianza

8 cms.

Aquí tenemos 9 rectángulos cuya altura es de 8 centímetros (y todos tienen la misma base).

¿Existe alguna variación respecto de su altura entre estos rectángulos?

¿Cuál es el promedio de la altura de estos rectángulos?

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

9=

72

9= 8

El quinto rectángulo y el octavo rectángulo en un acto de rebeldía cambiaron su altura. El quinto rectángulo, ahora de color rojo, mide 10 centímetros, y el octavo rectángulo, de color azul, mide 6 centímetros?

¿Cuál es el nuevo promedio de estos 9 rectángulos?

8 + 8 + 8 + 8 + 10 + 8 + 8 + 6 + 8

9=

72

9= 8

... ¡el mismo promedio! Pero... ¿ha habido variación?

8 cms.

10 cms

6 cms

El rectángulo rojo tiene +2 centímetros sobre el promedio, y el rectángulo azul tiene –2 centímetros bajo el promedio. Los otros rectángulos tienen cero diferencia respecto del promedio.

8 cms.

10 cms

6 cms

Si sumamos estas diferencias de la altura respecto del promedio, tenemos

0 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0 – 2 + 0 = 0

Este valor nos parece indicar que ¡no ha habido variabilidad! Y sin embargo, ante nuestros ojos, sabemos que hay variación.

8 cms.

10 cms

6 cms

Una forma de eliminar los signos menos de aquellas diferencias que sean negativas, esto es de aquellos mediciones que estén bajo el promedio, es elevar al cuadrado todas las diferencias, y luego sumar...

02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 = 8

Y este resultado repartirlo entre todos los rectángulos, es decir lo dividimos por el número de rectángulos que es 9

02 + 02 + 02 + 02 + 22 + 02 + 02 + (– 2)2 + 02 =9 9

8= 0,89

8 cms.

10 cms

6 cms

Se dice entonces que la varianza fue de 0,89

Observemos que las unidades involucradas en el cálculo de la varianza están al cuadrado. En rigor la varianza es de 0,89 centímetros cuadrados. De manera que se define

0,89 0,943=

La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar

8 cms.

10 cms

6 cms

Que la desviación estándar haya sido de 0,943 significa que en promedio la altura de los rectángulos variaron (ya sea aumentando, ya sea disminuyendo) en 0,943 centímetros.

Es claro que esta situación es “en promedio”, puesto que sabemos que los causantes de la variación fueron los rectángulos quinto y octavo. Esta variación hace repartir la “culpa” a todos los demás rectángulos que se “portaron bien”.

La desviación estándar mide la dispersión de los datos respecto del promedio

8 cms.10 cms

6 cms4 cms

8 cms.8 cms. 8 cms.7 cms.

8 cms.

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las alturas de los rectángulos?

En primer lugar debemos calcular el promedio

8 + 4 + 8 + 8 + 10 + 8 + 7 + 6 + 8

9= 7,44

Luego debemos calcular la varianza

8 cms.10 cms

6 cms4 cms

8 cms. 8 cms. 8 cms.7 cms.

8 cms.

Promedio

7,44

0,56-3,44

0,56 0,56 2,56 0,56 -0,44 -1,44

0,56

0,562 + (-3,44)2 + 0,562 + 0,562 + 2,562 + 0,562 + (-0,44)2 + (-1,44)2 + 0,562

9

22,22249

=

= 2,469Este es el valor de la varianza

10 cms8 cms.

6 cms4 cms

8 cms. 8 cms. 8 cms.7 cms.

8 cms.

Promedio

7,44

Si la varianza fue de 2,469, entonces la desviación estándar es de...

2,469 1,57=Lo que significa que, en promedio, los rectángulos se desviaron más o menos (más arriba o más abajo) en 1,57 centímetros.

Para entender la varianza necesariamente debe saber:

•Sumar

•Restar

•Multiplicar

•Dividir

•Potencia de orden 2

•Raíz cuadrada

Y es claro que esto no es suficiente (salvo que queramos que aprenda de memoria los cálculos). Necesitamos estimular su imaginación para que “vea” la variabilidad existente en la naturaleza.

Entregue una lista de fenómenos en que un mismo atributo tenga variabilidad si se mide este atributo a un número de individuos u objetos.