clase 4_método del transporte

8/18/2019 Clase 4_Método Del Transporte

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Método del TransporteM.Sc. Margarita María Morales MorenoDocente OcasionalDistribución de Plantas AgroindustrialesAgosto/2015


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OBJETIVOMinimizar los costos detransporte desde varias fuenteshacia varios destinos y que almismo tiempo satisfaga loslimites de la oferta y la demanda.


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PROPÓSITO

El modelo de transportedebe determinar un plan detransporte o envío de unamercancía de varias fuentesa varios destinos, es decir,

cantidad de unidades deproductos que se enviará decada fuente a cada destinotal que se minimice el costo

de transporte total.


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Para utilizar el método del transporte esnecesario tener:

▪ Los puntos de origen y la capacidad de abastos por período paracada uno.

▪ Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno.

▪

El costo de embarque por unidad desde cada origen hacia cadadestino.


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Representación gráfica del modelo de transporte


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Función ObjetivoEs la suma de los costos del transporte de cada origen a cada destino. Estos costosestán dados por el costo unitario del transporte multiplicado por las unidades atransportar:

+ + +

Oferta oCapacidad(ai)

Demanda (b j)


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Proceso general de solución de un problema detransporte:

Establecer unamatriz detransporte

Encontrar unasolución inicial

factible.

Encontrar unasolución óptima.

Encontrar unmejor valor para lafunción objetivo.

La soluciónóptima es una

solución factiblede costomínimo.


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Restricciones:

▪ La cantidad del bien disponible en cada origen para ser transportada(restricciones de oferta).

▪ Las cantidades demandadas que deben ser transportadas a los destinos(restricciones de demanda).

▪ La no- negatividad de las variables: 0


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Prerrequisitos:

El modelo de transporte debe estar balanceado para que pueda ser solucionado. Elbalance consiste en agregar una restricción en la que se debe cumplir que lascantidades totales ofrecidas deben ser iguales al total de las unidadesdemandadas.

No obstante, este tipo de problemas puede convertirse en uno balanceado así:

, , ! !!

En cada caso se asigna, a cada celda de la localización ficticia coeficientes concostos de cero, porque de hecho estas unidades no serán embarcadas.


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Metodologíade Solución

Método de la Esquina Noroeste

Método del Escalón

Método del Costo Mínimo

Método de Aproximación de Voguel

Método Modi


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MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE▪ El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar

problemas de transporte mediante la consecución de una solución básica inicial

que satisfaga todas las restricciones existentes sin que esto implique que sealcance el costo óptimo total.

▪ Consiste en enviar la mayor cantidad posible de producción empezando por lacelda superior izquierda (Esquina Noroeste), se continua las siguientesasignaciones, de izquierda a derecha y de arriba a abajo, independientemente de

cual sea el coste unitario de transporte y, teniendo en cuenta la máxima oferta decada origen y la máxima demanda de cada destino.


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Determinar la capacidad de laplanta de cada renglón antes

de moverse hacia abajo, alsiguiente renglón (Rn).

Determinar los requerimientosdel mercado de cada columna,antes de moverse a lasiguiente columna, hacia laderecha (Kn).

Verificar que todas las ofertasy la demanda se hayan

cumplido.

MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE


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1. Ubicarse en la celda superior izquierda (Esquina Noroeste), y asignar la mayorcantidad posible, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones deoferta o de demanda.

2. Realizar las siguientes asignaciones, o bien recorriendo hacia la derecha obien hacia abajo. Las demandas se satisfacen recorriendo sucesivamente de

izquierda a derecha y las ofertas se destinan recorriendo de arriba hacia abajo.

3. Obtener el valor total de transporte estimado Z como sigue:

" " #

$

PASOS:


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EJEMPLO 1


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EJEMPLO 1

Z=5(10)+10(2)+5(7)+15*(9)+5(20)+10*(18) = $520

En consecuencia la soluciónbásica factible inicial es:

que reporta un costo del

programa (valor en la funciónobjetivo) de:

Esta primera distribución de los embarques, aunque obedece a una metodología ordenada, no garantiza una solución óptima.La solución obtenida en este ejemplo es factible, ya que satisface todas las restricciones de demanda y oferta. Pero no nos asegura el costo

de transporte mínimo, lo más probable es que se deba emplear un proceso adicional para alcanzar la solución óptima.

Variables básicas

Variables no básicas


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MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO

▪ El Método del Costo Mínimo determina una mejor solución básicafactible inicial que el Método de la Esquina Noroeste debido a quese concentra en las rutas menos costosas.

▪ Se inicia asignando lo máximo posible a la celda que tenga el

mínimo costo unitario (en caso de empates, éstos se rompen deforma arbitraria).


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EJEMPLO 1

La solución básica factible de inicio resultante con 6 variables básicas es: %=15, %&=0, %=15, %&=10, %=5, %&=5la cual reporta un valor en la función objetivo (costo) de:

Z=15(2)+0(11)+15(9)+10(20)+5(4)+5(18)= $475


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MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL

El Método de Aproximación de Vogel es una versión mejorada del Método delCosto Mínimo y el Método de la Esquina Noroeste que en general produce mejoressoluciones básicas factibles de inicio, entendiendo por ello a soluciones básicasfactibles que reportan un menor valor en la función objetivo (de minimización) deun Problema de Transporte balanceado (suma de la oferta = suma de la demanda).

Los pasos que requiere la aplicación del Método de Aproximación de Vogel sonlos siguientes:


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Pasos:

Paso 1: Determinar para cada fila y columna una medida de penalización,restando el elemento de costo unitario mínimo en la fila y columna del elementocon costo unitario siguiente al mínimo de la misma fila y columna.

Paso 2: Identificar la fila o columna con la mayor penalización. Romper losempates (de existir) de forma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que

tenga el mínimo costo unitario de la fila o columna seleccionada. Ajusta la oferta yla demanda y tachar la fila o la columna ya satisfecha. Si se satisfacen una fila yuna columna en forma simultánea, sólo se tacha uno de los dos y al que queda sele asigna oferta o demanda cero.


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Pasos:

Paso 3:▪ Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda,

detenerse.

▪ Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva , determinar

las variables básicas en la fila o columna con el Método del Costo Mínimo.Detenerse.

▪ Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda(restante), determinar las variables básicas cero por el Método del Costo Mínimo.Detenerse.

▪ En cualquier otro caso, seguir en el Paso 1.


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EJEMPLO 1

15

2

7

14

20 = 9-

11

20 = 11-

9

18 = 2-

16

16 – 9= 7

18 – 11= 7


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EJEMPLO 1

10

5

0

El valor de la función objetivo asociado aesta solución factible inicial es:

Z=15(2)+0(11)+15(9)+10(20)+5(4)+5(18)= $475

que es similar a lo alcanzado por elMétodo del Costo Mínimo, no obstante,en general el Método de Aproximación deogel reporta mejor solución de inicio!


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OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA

Una vez que se tiene la solución inicial factibles se deben realizar lasiteraciones necesarias hasta obtener la solución óptima. Hay variosmétodo para llegar a la solución óptima, los más usados son:

▪ El método del escalón o eslabón

▪ El método modificado de distribución (MODI) ó distribuciónmodificada (DIMO)


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MÉTODO DEL ESCALÓN

▪

Es una técnica para moverse desde una solución factible inicial hacia unasolución óptima.

▪ Este método se utiliza para evaluar la efectividad del costo al embarcar bienespor medio de rutas de transporte que no se encuentran actualmente en lasolución.

▪ Se prueba cada celda o cuadro no utilizado en la tabla de transporte, mediante lasiguiente pregunta: ¿Qué sucedería a los costos totales de embarque, si unaunidad del producto tentativamente se embarcara en una ruta no utilizada?


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Desarrollo de la prueba:1. Seleccionar un cuadro no utilizado para evaluar.2. A partir de este cuadro, trazar una ruta cerrada de regreso al

cuadro original, a través de cuadros que se estén utilizandoactualmente (únicamente se permiten movimientos horizontales yverticales), sin embargo, se puede pasar sobre un cuadro vacío uocupado. Solamente existe una ruta cerrada para cada celdavacía. Todas las esquinas de la ruta deben ser celdas ocupadas,

excepto donde iniciamos.3. Comenzando con un signo (+) en el cuadro no utilizado, poner

signos positivos y negativos en forma alternada en cada esquinadel cuadro de la ruta recién trazada.


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Desarrollo de la prueba:

4. Calcular el índice de mejoramiento mediante la suma de loscostos unitarios que se encuentren en cada cuadro que tiene unsigno positivo y después restar los costos unitarios de cadacuadro que tenga un signo negativo.

5. Repetir los pasos 1 al 4 hasta que se calcula un índice demejoramiento para todos los cuadros no utilizados. Si todos losíndices son mayores o iguales a cero, se ha alcanzado unasolución óptima. Si no, es posible mejorar la solución actual yreducir los costos totales de embarque.


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▪

Cuando se presenta un índice negativo, existe la posibilidad demejorar una ruta no utilizada; el siguiente paso es elegir dicha rutacon el índice de mejoramiento más negativo. Entonces se puedeembarcar el máximo número de unidades permisible en esa ruta ydisminuir el costo total equivalente.

▪ ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede embarcar en la nuevaruta de ahorro de dinero? Esa cantidad se encuentra referida a laruta cerrada de signos positivos y negativos dibujados para lamisma y seleccionado el menor número encontrado en las celdasque contengan signos negativos.


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▪

Para obtener una nueva solución se suma ese número a todas lasceldas con signos positivos de la ruta cerrada y se resta de todaslas celdas con signo negativo de la ruta.

▪ Se ha completado una iteración del método del escalón. De nuevo

se debe verificar para observar si es óptima o bien si se puedellevar a cabo una siguiente mejora. Esto se hace mediante laevaluación de cada cuadro no utilizado, según se describióanteriormente.


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Paso 1. Construir la matriz de transporte y hallar una solución inicialfactible.En este caso se utilizó el método de la esquina noroeste.

Se calcula fácilmente el costo total de este asignación de transporte como 4200 dólares.

Costo total (Z) = (100x$5)+(200x$8)+(100x$4)+(100x$7)+(200x$5)=$4.200


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Paso 2. Se aplica el Métododel Escalón:

1 y 2. Seleccionar una celda noutilizada para evaluar. Empezando con

la ruta desde (D) hacia (B), primero setraza una ruta cerrada utilizando nadamás las celdas cupadas en forma usual.

3. Comenzando con un signo (+) en lacelda no utilizada, que estoy evaluando,

colocar alternadamente signos positivos ynegativos en las esquinas de esta ruta.

4. Se cálcula un índice de mejoramientopara la ruta desde (D) hacia (B), al sumarlos costos unitarios en las celdas consignos positivo y restando los costos en

las celdas con signos negativos. De ahí setiene:

Índice D - B = $4 - $5 + $8 - $4 = +$3Este resultado significa que para cada producto embarcado, a través de laruta desde (D) hacia (B), el costo total de transporte se incrementará en 3dólares sobre su nivel actual.


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5. Repetir los pasos 1 al 4hasta que se calcule un índicede mejoramiento para todos loscuadros no utilizados.

Ahora se examinará la rutainutilizada desde (D) hacia (C).Solamente se puede utilizar unacelda ocupada como escalón.

Índice D–C= $3-$5+$8-$4+$7-$5= +$4

Entonces abriendo esta rutatampoco disminuirán los costostotales de embarque.

Se observa que se gira en cada esquina únicamente enlas celdas de la ruta existente. La ruta puede pasar através de la celda E – C pero no puede dar la vuelta, y nose puede colocar ahí un signo negativo o positivo.Solamente se puede utilizar una celda ocupada comoescalón.


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Las otras dos rutas que sepueden evaluar de manerasimilar son:

• Índice E – C = $3-$4+$7-$5 =+$1

(Ruta cerrada=EC-EB+FB-FC)

• Índice F – A = $9-$7+$4-$8=-$2

(Ruta cerrada=FA-FB+EB-EA)Debido a que este último índicees negativo, se puede obtenerun ahorro en costos al utilizar la

ruta F hacia A (actualmente sinuso).

+

-+

-


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El siguiente paso, entonces, es elegir dicha

ruta (la celda no utilizada) con el índice demejoramiento más negativo, seleccionandoel menor número encontrado en las celdasque contienen signos negativos. Entonces,se pueden embarcar el máximo número deunidades permisible en esa ruta y disminuir

el costo total equivalente.Para obtener una nueva solución, se sumaese número a todas las celdas con signopositivo de la ruta cerrada y se resta detodas las celdas con signo negativo de laruta.

El mayor y único índice negativo es la rutadesde F hacia A.

La máxima cantidad que puede sertransportada en este ruta es el menornúmero encontrado en las celdas que

contengan signos negativos, en este caso100 unidades.


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Se realiza la nueva solución(Se muestra en la tabla):

Ahora se adicionan 100unidades a la ruta F-A; luegose procede a restar 100 de laruta F-B dejando en cero esacelda (pero aún balanceandoel total del renglón F); luegose suman 100 a la ruta E-B,

para generar 200; yfinalmente, se resta 100 a laruta E-A, dejando 100unidades transportadas.Obsérvese que los nuevos

números aún producen lostotales requeridos en las filasy columnas.

El costo de transporte se ha reducido en (100 unidades) x (2dólares ahorrados por unidad) = 200 dólares, con lo que seobtiene un costo total de 4000 dólares.

CT (Z) = (100x$5)+(100x$8)+(200x$4)+(100x$9)+(200x$5)= $4000

Se ha completado una iteración del método del escalón.De nuevo, se debe verificar para observar si es óptima obien si se puede llevar a cabo una siguiente mejora.Entonces se evalúa cada cuadro no utilizado según lodescrito anteriormente.


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Índice D-B= $4 - $5 + $8 - $4 = +$3Índice D-C = $3 - $5 + $9 - $5 = +$2

Índice E-C = $3 - $8 + $9 - $5 = -$1

Índice F-B = $7 - $9 + $8 - $4 = +$2

Se puede concluir entonces que la solución anteriorno es la óptima, ya que la ruta EC tiene un índice

negativo de mejoramiento de costo.→Intente encontrar la solución por su cuenta.

Se ha completado unaiteración del método delescalón. De nuevo, se debeverificar para observar si esóptima o bien si se puedellevar a cabo una siguientemejora. Entonces se evalúacada cuadro no utilizadosegún lo descrito

anteriormente.


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MÉTODO MODIFICADO DE DISTRIBUCIÓN(MODI)

▪ Permite calcular los índices de mejoramiento para cada celda no utilizada, sin tener que dibujartodas las trayectorias cerradas. Por lo tanto, puede ofrecer un considerable ahorro de tiemposobre el método del escalón para resolver problemas de transporte.

▪ Al aplicar el método Modi se inicia con una solución obtenida al utilizar la regla de la esquinanoreste.

▪ Se debe calcular un valor para cada fila o renglón (llámense los valores R1 , R2, R3 .. .. ... Rntantos renglones existan), y para la columna (K1, K2, K3.........Kn tantas columnas existan) en latabla de transporte, en general, sean:

Ri = Valor asignado al renglón i

K j = Valor asignado a la columna j

Cij = Costo del cuadro ij (costo de transportar desde la fuente i al destino j)


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Pasos:1. Para calcular los valores de cada renglón y columna, establecer Ri + K j = Cij

pero solamente para aquellas celdas que actualmente estén ocupadas.

2. Después que se han escrito todas las ecuaciones hacer R1=0

3. Resolver el sistema de dos ecuaciones para todos los valores de R y de K.

4. Calcular el índice de mejoramiento para cada celda no utilizada, por medio de

la fórmula:5. Índice = Cij – Ri – K j (1)

6. Seleccionar el índice más grande y resolver el problema, tal como se hizoutilizando el método del escalón.


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Ejemplo 3En la actualidad una empresa agroindustrial mantiene plantas en Tenjo (Cundinamarca) yEnvigado (Antioquia) para proveer a importantes centros de distribución en Bogotá y Medellín.Esta empresa ha decidido abrir una tercera planta y ha restringido su elección a una de dosciudades: Caloto (Cauca) y Barranquilla (Atlántico).

La tabla muestra la producción pertinente y los costos de distribución, así como lascapacidades de las plantas y las demandas de distribución.

La pregunta importante a la que se encara la empresa es: ¿Cuál de las nuevas localizacionesgenerará un menor costo, en combinación con las plantas existentes y los centros dedistribución?


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▪

Se inicia el ejercicio analizando Caloto como alternativa de localización,diseñando una tabla de transporte.

1. Usamos el método de la esquina noreste para hallar una solución factible.

Costo total = (600und x $14)+(200und x $9)+(700und x $12)+(500und x $10)= $23.600


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2. Hallar la solución óptima aplicando el método Modi; establecer una ecuaciónpara cada celda ocupada.

3. Índice de mejoramiento de cada celda no utilizada.

Índice = Cij – Ri – K j

Tenjo – Bogotá = 11-0-17 = -6Caloto – Medellín = 9-(-7)-14= 2

La empresa ahorra $6 por cada unidad que transporte desde Tenjohacia Bogotá, por tanto para mejorar la solución inicial se debe hallar

la ruta cerrada para proceder con el desarrollo de la solución por elMétodo del Escalón.


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Aplicó el método del escalón:

Como existen 600 y 700 con signosnegativos en la celda cerrada, se escogeel menor: 600

Se obtiene la siguiente distribución deltransporte:

Tenjo - Bogotá = 600

Envigado - Medellín = 800Envigado - Bogotá = 100

Caloto - Bogotá = 500

Costo Total actual es de $20.000. Sepresentó un ahorro de $3.600 sobre lasolución inicial.

Medellín Bogotá

Tenjo

Envigado

Caloto


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Ahora se deben probar las dos rutas no utilizadas, para verificar si los índices de mejoramientoson negativos:

Tenjo - Medellín = 14 - 11 + 12 - 9 = 6

Caloto - Medellín = 9 - 10 + 12 - 9 = 2

Dado que ambos valores son mayores que cero, se ha logrado una solución óptima utilizando

la planta Caloto. Si la organización desea abrir la planta en este sitio, el costo total deproducción y distribución de la compañía será de 20.000 dólares.

+ -

+-+

+ -

-

Se calcula el índice de mejoramiento pero según el método del escalón, ya que es el método que estamos utilizando para resolver está parte, el cual se determinamediante la suma de los costos unitarios que se encuentran en cada celda que tiene un signo positivo y se restan los costos unitarios de cada celda que tenga un signonegativo.


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Análisis de Barranquilla 1. Costo total = $23.100

2. Método Modi

3. Índice de mejoramiento:

Tenjo - Bogotá = 11 - 0 -17 = - 6B/quilla - Medellín = 7 - (-8) - 14 = 1

CT (Z)=(600x$14)+(200x$9)+(700x$12)+(500x$9)CT (Z)=$23.100


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CT(Z)=(600x$11)+(800x$9)+(100x$12)+(500x$9)CT(Z)=$19.500

600

100800

Para lograr satisfacer la demandacreciente de las ciudades de Bogotáy Medellín, la planta debe serinstalada en Barranquilla ya querepresenta el menor costo total

(producción y transporte) para laempresa.


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EJERCICIO

Un grupo de inversionistas posee tres empresas, en los sitios A,B,C. Los productosprocesados por dichas plantas se venden en cinco ciudades 1,2,3,4,5. La matriz detransporte es la siguiente:

¿De dónde debe traer los productos cada punto de distribución paraminimizar los costos de transporte?

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