«El aprendizaje es un tesoro que seguirá a

su dueño a toda partes»

Proverbio Chino

CONJUNTOS

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

INTERSECCIÓN La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes entre A y B.

UNIÓN ULa unión de dos conjuntos (A y B), que se representa como (A ∪ B), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

DIFERENCIA –

La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A - B que resulta de tomar los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.

COMPLEMENTO 'El complemento de un conjunto A es el conjunto A' que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, y le faltan para igualar a conjunto U (universal o referencial) que lo contiene.

EJEMPLOUn club deportivo realizo una encuesta a una comunidad acerca de los deportes que les gusta practicar y se obtuvieron los siguientes resultados en un diagrama de Venn:

 

10

3010

10

B

F N

U

25

2015

30

Un grupo de jóvenes fue entrevistado a cerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte(Bicicleta, Moto y Automóvil). Los datos de la Encuesta fueron los siguientes:

Motos(35) Motos y Bicicletas, pero NO Automóvil(2) Moto y Automóvil, pero NO Bicicleta(16)

Moto, Bicicleta y Automóvil(1) Automóvil y Bicicleta, pero NO Moto(4)

Bicicleta(12) Automóvil(25)

Ninguno de los Tres(7)

Motos(35), Motos y Bicicletas pero NO Automóvil(2), Moto y Automóvil pero NO Bicicleta(16), Moto, Bicicleta y Automóvil (1), Automóvil y Bicicleta pero NO Moto(4), Bicicleta(12), Automóvil(25), Ninguno de los Tres(7)

• ¿Cuál fue el Numero de Jóvenes Entrevistados?

A) 102 C) 80 B) 55

D) 62

• ¿A Cuantos les gusta solamente los

Automóviles? A.9 C) 20 B. 25 D) 4

Usando la información obtenida en la encuesta se elaboraron las siguientes gráficas

Con relación a estas gráficas, es posible afirmar que de la información de la

A. gráfica 2 se puede deducir que 55 personas practican solamente dos deportes.B. gráfica 2 se puede determinar el número de personas que practican un solo deporte.C. gráfica1 se puede deducir que 40 personas no practican ninguno de los tres deportes.D. gráfica 1 se puede determinar el número de personas que practican al menos un

deporte.

PREGUNTA ICFES

NÚMEROS REALES «R»

RIQ

Z

N

•Es la unión de los conjuntos numéricos Racionales (Q) e Irracionales (I), se denota con la letra R.

Las matemáticas siempre han sido parte importante del desarrollo intelectual del hombre. El número como elemento principal surgió de la necesidad de contar, generando el Conjunto de los Números Naturales. Luego surgen los Números Enteros que entre sus aplicaciones está la de representar temperaturas, deudas, ganancias, entre otras.De la necesidad de representar la relación “parte de un todo” nacen los Números Racionales en su forma fraccionaria y luego se convertirían en decimales. Mas también se necesitó calcular la diagonal de un cuadrado y fue allí donde se establecieron los Números Irracionales.

NÚMEROS RACIONALES «Q»

El conjunto de los números Enteros lo conforman los números Naturales N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,…}, el elemento neutro ‘0’ y los enteros negativos {…-6,-5,-4,-3,-2,-1}

ba

El conjunto de los Racionales (Q) esta conformado por los Enteros Z = {N U -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,…}, los números de la forma (fraccionarios positivos y negativos) y los números decimales finitos e infinitos periódicos.

qZ

N

NÚMEROS RACIONALES «Q»

•Es un conjunto numérico más denso que el de los Enteros ya que al poseer más elementos llena cada vez más la Recta Numérica.

Para los números Racionales no enteros consideramos la unidad como el todo y la segmentamos para tomar sus partes y así se va completando la recta numérica.

NÚMEROS RACIONALES «Q»ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RACIONALES FRACCIONARIOS.

CASO 1Si las fracciones son homogéneas.

Conservamos el denominador y operamos los numeradores.

CASO 1ISi las fracciones son heterogéneas.

Para homogenizar las fracciones debemos calcular el M.C.M de los denominadores.

Con base en el M.C.M encontrado amplificamos los numeradores.

Por último operamos los numeradores y conservamos el denominador.

NÚMEROS RACIONALES «Q»MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES FRACCIONARIOS.

Realizamos el producto entre los numeradores para obtener el nuevo numerador e igual operamos con los denominadores.

Ejemplo.En el grado 10-3 hay 40 estudiantes, de los cuales dos quintas partes son mujeres de cabello largo, determina la cantidad real de mujeres de cabello largo que hay en el grado?

Para esto multiplicamos

NÚMEROS RACIONALES «Q»DIVISIÓN DE RACIONALES FRACCIONARIOS.

MÉTODO IRealizamos el producto en equis y si al final es posible simplificamos.

MÉTODO IIAplicamos la Ley de los Extremos y al final si es posible simplificamos.

NÚMEROS IRRACIONALES «I»

I El conjunto de los números Irracionales (I) lo conforman los decimales infinitos no periódicos, las raíces cuadradas de los números primos, y números especiales como el número pí (π) y el número de euler (e)

e = 2.718281

EJEMPLO

Considere el siguiente conjunto: -3, 0, 5/7, 2/3, , 1/7, , . Indique a cual de los conjuntos numéricos pertenece.

Conjunto de los números irracionales Conjunto de los números enteros negativos Conjunto de los números reales Conjunto de los números racionales.

EJEMPLO Un estudiante hace 1/3 de sus tareas y después va a

comer. Posteriormente hace la mitad de la primera parte y decide ir a jugar, cuando regresa hace una cuarta parte. ¿Qué parte de sus tareas dejo sin completar si decide no trabajar más?

A.1/4B.1/6C.3/4D.2/6

TEORÍA NUMÉRICA MÁXIMO COMÚN

DIVISOR8 12 20 24 6 10 22 3 5

2x 2 = 4

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

8 12 20 24 6 10 22 3 5 21 3 5 31 1 5 5 1 1 12x2x2x3x5 =120

EJEMPLO En un autódromo parten simultáneamente tres automóviles

desde la línea de salida. El automóvil 1 da una vuelta cada 51 segundos, el automóvil 2 da una vuelta cada 27 segundos, el automóvil 3 da una vuelta cada 15 segundos,

Los tres automóviles vuelven a pasar simultáneamente por el punto de partida a los:

a) 38 minutos y 10 segundosb) 2290 segundosc) 38 minutos y 15 segundosd) 2285 segundos.

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POTENCIACIÓN

656138

Ejemplo.En la fusión nuclear un neutrón choca contra el núcleo de un átomo de uranio. Este núcleo absorbe el neutrón y se desintegra emitiendo tres neutrones. Cada neutrón vuelve a chocar con otro núcleo de uranio que a su vez se desintegra emitiendo 3 nuevos neutrones y así sucesivamente. ¿Calcular el número de neutrones que se emiten en el choque numero 8?

Los números Reales como exponentes son estudiados teniendo en cuenta la definición de potencias y sus propiedades: Def: Para n Z y aR, el producto de n veces a lo denotamos

y lo llamamos: Potencia n-esima de a

a x a x a x a x a…; n veces.

Número de choques (exponente) Cantidad de neutrones en el octavo

choque (potencia)Cantidad de neutrones (base)

POTENCIACIÓNPROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.

POTENCIACIÓNOPERACIONES ENTRE POTENCIAS.

POTENCIACIÓNOPERACIONES ENTRE POTENCIAS.

POTENCIACIÓNPROPIEDADES1. a0= 12. a1 = a3. ( a)n x (a)m = an + m

4. ( a)n / (a)m = an - m

5. ( a)n x (b)n = (axb)n

6. ( a)n / (b)n = (a/b)n

7. a-n = (1/a)n

8. (an)m = (a)nxm

EJEMPLO { [ ( 2/3)-3 ]-1 }-2/3 es igual a : A. - 4/9B. – 9/4C. 9/4D. 4/9

Simplificar 2561/2

A. 128 B. 24

C. 2(16) D. 28

PROPORCIONALIDADRAZÓN.

El cociente entre las magnitudes implicadas en cada enunciado recibe el nombre de razón. Sea “S” y “T” magnitudes, la razón formada por ellas se simboliza como

TS

o S: T y se lee “S” es a “T”.

Ejemplos.

PROPORCIONALIDADPROPORCIÓN.

Ejemplos.

Una proporción representa la igualdad entre dos razones equivalentes. Para verificar esta igualdad aplicamos el

producto en cruz o Ley de los Extremos, esto se conoce como la propiedad fundamental de la proporción.

12 = 12

PROPORCIONALIDAD DIRECTADos magnitudes son directamente proporcionales si cumple: Están directamente correlacionadas La razón entre las dos magnitudes es constante, es decir forman proporción. Al representar gráficamente estas magnitudes obtenemos una línea recta.

Harina kg 5 10 20 25 35

Nº de panes 50 100 200 250 350

Ejemplo.•Un panadero usa 10kg de harina para preparar 100 panes del mismo tamaño y forma. Determina cuantos panes hace con 5, 20, 25 y 35kg de harina respectivamente

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a medida que una aumenta, la otra también lo hace.

REGLA DE TRES DIRECTASe utiliza para hallar el cuarto término de una proporción con magnitudes que se relacionan directamente. La relación entre las magnitudes es lo primero que se debe identificar en problemas de regla de tres simple.

Ejemplo.•La docena de una fruta cuesta $ 300 pesos. ¿Cuánto costarán 50 unidades de la misma fruta?

Como la relación es directa las magnitudes forman proporción: 300 es a 12 equivale x (incógnita) es a 50, donde x es el costo de las frutas

x

x

xx

x

12501215000

12150001250300

5012300

R/ Las 50 frutas cuestan 1250 pesos.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si: Están inversamente correlacionadas El producto entre los valores de las dos magnitudes es constante. Al representar gráficamente estas magnitudes obtenemos una curva con

concavidad hacia arriba.

Horas que permanece

prendido el fogón

1 2 3 4 5 6

Duración del cilindro en días 18 9 6 4,5 3,6

3

Ejemplo.•Con el fin de planificar los gastos domésticos, la familia de Camila contabilizó el tiempo diario que dura prendido el fogón de la estufa y el tiempo que tarda el gas en consumirse. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a medida que

una aumenta, la otra disminuye.

REGLA DE TRES INVERSA

Se utiliza para hallar el cuarto término de una proporción con magnitudes que se relacionan inversamente. La relación entre las magnitudes es lo primero que se debe identificar en problemas de regla de tres simple.

Ejemplo.

•En una fábrica 12 obreros hacen cierto trabajo en 15 horas. Cuanto tiempo demorarán 5 obreros en efectuar el mismo trabajo con la misma rapidez y habilidad.

Como la relación es inversa, ya que al disminuir la cantidad de obreros aumentará el tiempo. El producto entre los valores de las dos magnitudes es constante

x

x

xx

365180

518051512

R/ Los 5 obreros demoraran 36 horas en efectuar el mismo trabajo.

PORCENTAJE %El Porcentaje se representa: como una razón cuyo denominador es 100 o también como un número decimal.

Porcentaje Razón Número Decimal Lectura8% 0,08 8 por ciento

1008

Hay tres tipos de situaciones en las que se aplica el concepto de porcentaje.1. Calcular el tanto por ciento de una cantidad:

Ej: Hallar el 4% de $2000

80$100000.24

2. Hallar el valor de la cantidad total, dada una relación entre porcentaje y una cantidad.

Ej: Calcular la cantidad total si el 18% es 45

x 2501810045

3. Calcular el porcentaje, dada la relación entre dos cantidades.

Ej: Que porcentaje es 21 de 35

%603510021

Pruebas Psicotécnicas

Las pruebas psicotécnicas son instrumentos científicos que usa el estado, LAS UNIVERSIDADES y las empresas privadas para examinar una conducta humana en unas circunstancias determinadas. Se trata de pruebas que sirven para discriminar y medir variables psicológicas, permitiendo constatar las aptitudes de una persona para una determinada tarea.

OBJETIVO GENERAL:

Adquirir un conocimiento amplio referente a la interpretación de pruebas psicotécnicas para selección de personal.

Contenido• Inteligencia Abstracta• Razonamiento Básico • Razonamiento lógico • Razonamiento Abstracto• Razonamiento Analítico • Pensamiento lógico Analítico• Capacidad numérica y de cálculo• Resistencia a la fatiga• Mecánica

Ejemplo

Test domino:Encontrara una serie de fichas de domino que

guardan una cierta relación entre si. El objetivo es descubrir la ficha que falta una vez deducida dicha relación.

INTELIGENCIA ABSTRACTA

SOLUCION