notas de clase matematicas financieras

Matemáticas Financieras

Notas de Clase -2010

Carlos Mario Morales C

Matemáticas Financieras 2010

2 | Carlos Mario Morales C

Introducción La Matemática Financiera es una derivación de las matemáticas aplicadas que estudia el valor

del dinero en el tiempo. La disciplina a través de una serie de modelos matemáticos sirve de

apoyo a las personas, administradores y comerciantes en la toma racional de decisiones al

momento de escoger la mejor alternativa de inversión.

De esta forma, la matemática financiera es una herramienta básica para la Gestión y

Administración Financiera; actividad está en la cual directa o indirectamente está involucrado

todo el staff administrativo de la empresa que tiene a su cargo asegurar los resultados; es decir

la generación de valor del negocio.

Así, el texto ofrece a los estudiantes y profesionales con orientación a los negocios los

fundamentos básicos para el ejercicio de la administración financiera. En la primera parte se

estudia el tema de las matemáticas financieras; la segunda analiza la evaluación financiera de

proyectos y finalmente en la tercera, se hace una introducción a los indicadores financieros.

El texto propone el estudio de las matemáticas financieras desde la dimensión práctica, sin

dejar de realizar las conceptualizaciones necesarias; es decir, a partir de los elementos teóricos

se realizan aplicaciones orientadas a situaciones empresariales, permitiendo a los estudiantes,

de esta forma, desarrollar las habilidades requeridas para una práctica profesional financiera.

Para procurar lo anterior, la exposición de cada tema se inicia con los elementos teóricos

ilustrando su aplicación con ejemplos o situaciones de la práctica empresarial; en cada unidad

de aprendizaje se presentan ejercicios resueltos y se proponen casos para su solución.

Para la solución de los ejemplos, casos y ejercicios aplicamos en forma combinada las fórmulas

y las funciones financieras de Excel o simplemente la función, utilizando el siguiendo

procedimiento1 básico:

1. Identificación del problema y ordenamiento de los datos,

2. Aplicación del modelo apropiado para el caso identificado (fórmula o fórmulas) y,

3. Empleo de las funciones financieras de Excel.

1 ACHING GUZMAN, Cesar. Aplicación Financieras de Excel. Editorial: Prociencia y Cultura S.A. Bogotá: 2006



Conceptos Generales

Algunas definiciones

Matemáticas financieras Conjunto de herramientas matemáticas, que permiten analizar cuantitativamente la viabilidad

o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión. Analiza el valor del dinero

en el tiempo

Interés El interés es la cantidad que se paga o se cobra por el uso del dinero. Cuando alguien toma

prestado dinero, este debe pagar por su uso; en dicho pago debe estar incluido tanto la pérdida

del valor del dinero; como también la renta por el uso del dinero.

De igual manera, si en vez de un crédito lo que se hace es prestar dinero (invertir), entonces se

querrá recibir, aparte de lo invertido, un monto a través del cual se recupere el valor que ha

perdido el dinero en el tiempo y una renta por el préstamo del dinero.

Tasa de interés Es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que

se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".

La tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible

ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo

determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe

pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una situación determinada.

Porcentajes Cuando se opera con porcentajes en este texto, se hace con la expresión decimal (0.20), por

ejemplo 20% = 0.20 = (20/100), que es la forma correcta de trabajar con las fórmulas. Los

resultados de las operaciones lo expresamos generalmente con cuatro decimales, en el caso de

los factores o índices. Las respuestas finales de los ejercicios se expresan en con dos decimales.

En ambos casos los resultados son redondeados por exceso o por defecto

Interés Simple Si una operación es a interés simple, entonces el interés es calculado sobre el capital original

para el periodo completo de la transacción y los interés son pagados al prestamista, sin que

estos se reinviertan. Es decir, al cabo del periodo se reconoce al prestamista los intereses;

iniciándose a partir de allí una nueva liquidación solo sobre el monto original; sin que los

intereses se capitalicen para generar nuevos sobre ellos nuevos intereses.

Capitalización de intereses



Si al final del periodo de inversión en vez de devolver los intereses devengados al prestamista,

estos se suman al capital original, para a partir de ahí, calcular un nuevo interés, se dice que los

intereses se capitalizan.

Interés Compuesto Si una operación es a interés compuesto, entonces el interés es calculado sobre el capital para

un periodo reinvirtiéndose los intereses; es decir, al cabo del periodo los intereses se

capitalicen para calcular sobre dicho monto los nuevos intereses.

Proyecto de Inversión Son oportunidades de desembolsos de dinero del cual se espera obtener rendimientos (flujos

de efectivo o retornos) de acuerdo a unas condiciones particulares de riesgo. Los rendimientos

deben permitir recuperar las inversiones, cubrir los gastos operacionales y además obtener una

rentabilidad de acuerdo al nivel de riesgo.

Riesgo El riesgo se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto

más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa.

Factibilidad Económica Tiene que ver con determinar la bondad de invertir o no los recursos económicos en una

alternativa de inversión –proyecto-; sin importar el origen de dichos recursos.

Factibilidad Financiera Tiene que ver con determinar si el retorno es atractivo o no para los dueños del dinero, para el

inversionista. Es decir, lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente

por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por él.

Factibilidad económica versus factibilidad financiera En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que a cada

decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. Con la condición fundamental

de que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La

decisión de inversión, como ya se menciono, tiene que ver con la estructura operativa de la

empresa y con una de las funciones de la Administración financiera que es definir donde

invertir.

Para poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestión

financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero básico y si

los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisión de

financiación, otra de las decisiones fundamentales de la administración, tienen que ver con la

estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueños de los

recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital

promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa diseñar

indicadores financieros que permitan identificar si los inversionistas o dueños de la empresa



están alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan ánimo de lucro, es ganar

más dinero ahora y en el futuro.

Valor Económico Agregado Si la rentabilidad de una inversión supera el costo de capital promedio ponderado entonces se

puede afirmar que se generara valor económico para los propietarios de la empresa. Solamente

en este caso se puede decir que los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y

alcanzando sus objetivos financieros.

Inflación Se define como inflación al aumento generalizado del nivel de precios de bienes y servicios en

una economía. También se puede definir como la caída del poder adquisitivo de una moneda

en una economía en particular. Esto significa que, en una economía con inflación, la cantidad

de productos que se pueden comprar con una cantidad determinada de dinero hoy es mayor a

cantidad de productos que se podría comprar dentro de un tiempo.

Deflación Contrario a la inflación, la deflación es la disminución generalizada del nivel de los precios de

los bienes y servicios en una economía; es decir, es el aumento del poder adquisitivo de la

moneda. Esto significa que, en una economía con deflación, la cantidad de productos que se

pueden comprar con una cantidad determinada de dinero hoy es menor a la cantidad de

productos que se podría comprar dentro de un tiempo.

Devaluación No se puede confundir con la inflación, la devaluación es la pérdida del valor del dinero con

respecto a otra moneda, por ejemplo el dólar. La devaluación puede ser causada por muchos

factores: la falta de demanda de la moneda o una mayor demanda de la moneda con la cual se

le compara.

Reevaluación Es lo contrario a la devaluación, es decir es la valorización de una moneda, con respecto a otra.

Nomenclatura básica VP: Capital principal; valor presente, expresado en valores monetarios

VF: Capital más interés; valor futuro expresado en valores monetarias

j: Tasa nominal o la tasa de interés anual

t: Número de años (tiempo)

m: Número de capitalizaciones por año

n: Número de períodos de composición

i: Tasa de interés efectiva

iEA: Tasa de interés efectiva anual

I: Interés

VPN: Valor Presente Neto

TIR: Tasa Interna de Retorno



A: Anualidad o cuota uniforme

VPA: Valor presente de una anualidad

VFA: Valor futuro de una anualidad

ia: Tasa de interés anticipada

iv: Tasa de interés vencida

Funciones Financieras de Excel Las funciones financieras más utilizadas en el texto son:

NPER

Devuelve el número de períodos de una inversión basándose en los pagos periódicos

constantes y en la tasa de interés constante.

Sintaxis: NPER(tasa; pago; va; vf; tipo)

Tasa: tasa de interés por período.

Pago: pago efectuado en cada período; debe permanecer constante durante la vida de la

anualidad. Por lo general, pago incluye el capital y el interés, pero no incluye ningún otro

arancel o impuesto.

Va: Valor actual o la suma total de una serie de futuros pagos.

Vf: es el valor futuro o un saldo en efectivo que se desea lograr después de efectuar el último

pago. Si el argumento vf se omite, se supone que el valor es 0 (por ejemplo, el valor

futuro de un préstamo es 0).

Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos (0=final del periodo; 1=inicio del

periodo)

PAGO

Calcula el pago de un préstamo basándose en pagos constantes y en una tasa de interés

constante.

Sintaxis: PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)

Tasa: es el tipo de interés del préstamo.

Nper: es el número total de pagos del préstamo.

Va: es el valor actual, o la cantidad total de una serie de futuros pagos. También se conoce

como valor bursátil.


pago. Si el argumento vf se omite, se supone que el valor es 0 (es decir, el valor futuro de

un préstamo es 0).

Tipo: es el número 0 o 1, e indica cuándo vencen los pagos (0=final del periodo; 1=inicio del

periodo)

TASA



Devuelve la tasa de interés por período de una anualidad. TASA se calcula por iteración y puede

tener cero o más soluciones. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de

0,0000001 después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM!

Sintaxis: TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)

Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad.

Pago: es el pago efectuado en cada período, que no puede variar durante la vida de la

anualidad. Generalmente el argumento pago incluye el capital y el interés, pero no

incluye ningún otro arancel o impuesto. Si se omite el argumento pago, deberá incluirse

el argumento vf.

Va: es el valor actual, es decir, el valor total que tiene actualmente una serie de pagos

futuros.



futuro de un préstamo es 0).

Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. (0=final del periodo; 1=inicio del

periodo)

VA

Devuelve el valor actual de una inversión. El valor actual es el valor que tiene actualmente la

suma de una serie de pagos que se efectuarán en el futuro. Por ejemplo, cuando pide dinero

prestado, la cantidad del préstamo es el valor actual para el prestamista.

Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)

Tasa: es la tasa de interés por período. Por ejemplo, si obtiene un préstamo para un automóvil

con una tasa de interés anual del 10 por ciento y efectúa pagos mensuales, la tasa de

interés mensual será del 10%/12 o 0,83%. En la fórmula escribiría 10%/12, 0,83% ó 0,0083

como tasa.

Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad. Por ejemplo, si obtiene un

préstamo a cuatro años para comprar un automóvil y efectúa pagos mensuales, el

préstamo tendrá 4*12 (ó 48) períodos. La fórmula tendrá 48 como argumento nper.

Pago: es el pago efectuado en cada período, que no puede variar durante la anualidad.

Generalmente el argumento pago incluye el capital y el interés, pero no incluye ningún

otro arancel o impuesto. Por ejemplo, los pagos mensuales sobre un préstamo de 10.000

$ a cuatro años con una tasa de interés del 12 por ciento para la compra de un automóvil,

son de 263,33 $. En la fórmula escribiría -263,33 como argumento pago. Si se omite el

argumento pago, deberá incluirse el argumento vf.



futuro de un préstamo es 0). Si desea ahorrar 50.000 $ para pagar un proyecto especial

en 18 años, 50.000 $ sería el valor futuro. De esta forma, es posible hacer una estimación



conservadora a cierta tasa de interés y determinar la cantidad que deberá ahorrar cada

mes. Si se omite el argumento vf, deberá incluirse el argumento pago.

Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. (0=final del periodo; 1=inicio del

periodo)

VF

Devuelve el valor futuro de una inversión basándose en pagos periódicos constantes y en una

tasa de interés constante.

Sintaxis: VF(tasa;nper;pago;va;tipo)

Tasa: es la tasa de interés por período.

Nper: es el número total de períodos de pago en una anualidad.

Pago: es el pago que se efectúa cada período y que no puede cambiar durante la vigencia de la

anualidad. Generalmente, el argumento pago incluye el capital y el interés pero ningún

otro arancel o impuesto. Si se omite el argumento pago, se deberá incluir el argumento

va.

Va: es el valor actual o el importe total de una serie de pagos futuros. Si se omite el

argumento va, se considerará 0 (cero) y se deberá incluir el argumento pago.

Tipo: es el número 0 ó 1 e indica cuándo vencen los pagos. Si se omite el tipo, se calculará

como 0. (0=final del periodo; 1=inicio del periodo)



1 Unidad de Aprendizaje

Interés Simple

Contenido

Introducción

1. Concepto del interés simple

2. Formula de interés simple

3. Clases de interés simple

4. Capital Final – Valor futuro

5. Capital inicial – Valor presente

6. Representación gráfica –Flujo de Caja-

7. Interés Anticipado - Descuento simple.

8. Tasa realmente cobrada en una operación de descuento

9. Descuentos en cadena

10. Ejercicios resueltos

11. Ejercicios propuestos



Introducción

Si se considera el dinero como un bien es de esperarse en una economía de mercado, que el

costo que se paga por su uso sufra altas y bajas, como cualquier mercancía. De esta forma el

costo del dinero dependerá de las condiciones de oferta y demanda del mercado y otras

variables como la inflación, devaluación y revaluación.

Por eso la expresión: “No es lo mismo un millón de pesos de hoy, que un millón de pesos

dentro de un año”, se utiliza para significar que el poseedor del dinero espera que se le

recompense por no utilizar el dinero y ponerlo a disposición de otro, por un tiempo.

De esta forma, para las personas no es igual recibir una misma cifra de dinero hoy que un

tiempo después; es decir, no se puede decir que dichos valores sean equivalentes. Dos cifras de

dinero son equivalentes cuando a una persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy

(VP) y recibir otra suma diferente (VF) al cabo de un periodo. El Interés es el monto de dinero

que permite hacer equivalente una cifra pasada, con una cifra futura; es decir, el interés

permite hacer equivalente cifras de dinero en el tiempo.

El concepto de interés es de uso amplio en la vida comercial y financiera; esto ha conducido a

que tenga múltiples acepciones, entre otras:

- El valor del dinero en el tiempo

- Valor recibido o entregado por el uso del dinero

- Utilidad o ganancia que genera un capital

- Precio que se paga por el uso del dinero

- Rendimiento de una inversión

- Entre otros.

1. Concepto de Interés Simple

Es el canon de arrendamiento que se paga por hacer uso de un monto de dinero llamado

principal o capital, durante un periodo de tiempo determinado. Se dice que el interés es Simple

cuando se paga dicho canon de arrendamiento al momento de liquidarse, es decir al final del

periodo.


El interés simple es el resultado de calcular el capital por la tasa periódica de interés por el

número de periodos, es decir:

I = VP * i * n (1)

VP: Capital o monto principal



i: Tasa de interés periódica

n: Número de periodos.


No existe un criterio único para aplicar el interés simple; la aplicación depende de la operación

comercial o financiera o incluso muchas veces del sector económico o las costumbres

comerciales.

Por lo anterior, dependiendo de la base en días para el cálculo, se puede hacer distinción de

dos clases de aplicaciones:

Interés Ordinario, que es aquel donde se toma como base para el cálculo, un año de 360 días e

Interés Exacto, cuando se toma como base para el cálculo, años de 365 días; los cuales a su vez

pueden llegar a tomar algunas de las variantes que se muestran en la siguiente tabla:

Interés Ordinario

(Base de Cálculo 360)

Con tiempo exacto (Interés Bancario)

(Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el

préstamo y una base de 360 días al año)

Tiempo exacto

Con tiempo aproximado (Interés Comercial)

(Considera indistintamente meses de 30 días y una base de

360 días al año)

Meses de 30 días

Interés Exacto

(Base de Calculo 365)

Exacto o Verdadero (Interés Racional)


préstamo y la base son los días exactos del año)

Tiempo exacto

Exacto sin Bisiesto (Interés base 365 días)


préstamo y una base de 365 días al año (No considera

bisiestos))

Tiempo exacto sin

bisiesto

Con tiempo aproximado

(Considera meses de 30 días y la base son los días exactos

del año (No tiene utilidad práctica))

Meses de 30 días

Clases de interés simple - Ejemplos

Ejemplo 1 Sandra quiere conocer cuál es el interés que debe cancelar por el mes de febrero del año 2004

(bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual.

Solución



El monto o capital es: $1´000.000

El interés es 20% Nominal anual; es decir, es lo que se cobraría por un año.

El periodo en que se causa el interés es una fracción de año: 29 (días del mes de febrero) de

360 días, si aplicamos interés bancario.

Con las anteriores consideraciones, el interés se calcula, como:

I = 1´000.000 * 0,2 * (29/360) = 16.666,11

El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo de un millón durante el mes de febrero,

aplicando interés bancario es: 16.666,11


(bisiesto) sobre un crédito comercial de $1´000.000 para la compra de un TV, si se le cobra una

tasa del 20% Nominal Anual.

Solución




360 días, si aplicamos interés comercial.


I = 1´000.000 * 0,2 * (30/360) = 16.666,67

El monto que Sandra debe cancelar por el crédito para la compra de un TV durante mes de

febrero, aplicando interés comercial es: 16.666,67


(bisiesto) sobre un préstamo de $1´000.000, si se le cobra una tasa del 20% Nominal Anual y el

prestamista hace el cálculo con interés racional

Solución




366 días, si aplicamos interés racional.


I = 1´000.000 * 0,2 * (29/366) = 15.846,99



El monto que Sandra debe cancelar por el préstamo en este caso es de: 15.846,99



prestamista hace el cálculo con interés base 365

Solución




365 días, si aplicamos interés base 365, que recordemos no considera bisiestos.


I = 1´000.000 * 0,2 * (28/365) = 15.342,47




prestamista hace el cálculo con interés exacto-tiempo aproximado

Solución




366 días, si aplicamos interés exacto-tiempo aproximado.


I = 1´000.000 * 0,2 * (30/366) = 16.393,44


4. Capital Final – (Valor futuro)

El capital final que recibirá el prestamista o inversionista, corresponde al capital inicial más los

intereses. A este valor se le denomina valor final, valor futuro y se representa por VF

VF = VP + I

VF = VP + (VPin)



VF = VP( 1 + in) (2)

Donde:




VF: Valor futuro

5. Capital Inicial – (Valor presente)

El capital inicial que deberá aportar el prestamista o inversionista, se puede calcular a partir del

valor futuro, el interés y la cantidad de periodos a los cuales se hace la inversión. A este valor se

le denomina valor presente y se representa por VP

VF = VP( 1 + in)

VP = VF/(1+in) (3)

Donde:




VF: Valor futuro


Para mayor comprensión del comportamiento de las operaciones financieras; estas se pueden

representar a través de una gráfica denominada FLUJO DE CAJA. El flujo de Caja ilustra en una

línea del tiempo los ingresos con flechas hacia arriba y los egresos, inversiones, que ocurren en

una operación financiera.

Horizonte de tiempo

Ingresos

Egresos



Grafica No 1 – Flujo de Caja

Ejemplos valor presente y valor futuro.

Ejemplo 6.

María Cristina quiere saber cuánto recibirá al final “exactamente” si presta $3´000.000 entre el

23 de agosto hasta el 27 de octubre de 1999 a una tasa de interés del 35% nominal anual

La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:



El periodo, en el cual se causan intereses, en días entre 23.08.1999 y el 27.10.1999 es 65 días;

que es una fracción de año o 365 días, si aplicamos interés racional.

Con las anteriores consideraciones, el valor final se calcula, como:

VF = VP(1 + in)

VF = 3´000.000*(1+(0,2*(65/365))) = 3´186.986,30

El monto que recibirá María Cistina al final será: 3´186.986,10; esto significa que ella a

devengado 186.986,30 pesos de interés.

Ejemplo 7.

Juan debe pagar $600.000 de matrícula en la universidad el día 13 de diciembre. ¿Cuánto

dinero debe depositar el 5 de agosto del 2005 en una cuenta de ahorros que paga el 23%

Nominal anual?


VF =¿?

Días = 65

VP = 3´000.000

VF = $600.000

Días = ¿?

VP = ¿?

23/08/99 27/10/99

05/08/05 13/12/05

i = 35% NA

i = 23% NA



El Valor Final (VF) es: $600.000


El periodo, en el cual se causan intereses, en días entre 05.08.2005 y el 13.12.2005 es 130 días;

que es una fracción del año o 360 días, si aplicamos interés bancario.

Con las anteriores consideraciones, el valor presente se calcula, como:

VP = VF/(1 + in)

VP = 600.000/(1+(0,23*(130/360))) = 553.988,23

El monto que Juan debe depositar en la cuenta de ahorros es: $553.988,23.

Ejemplo 8

Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $3´000.000 durante el pasado

periodo; él quiere conocer a que tasa de interés comercial dichos excedentes se convertirán en

$3´500.000 en 6 meses.


El Valor Final (VF) es: $3´500.000

El Valor inicial (Presente) es: $3´000.000

El periodo, en el cual se causan intereses son 6 meses (180 días) que es una fracción del año

(360 días); si aplicamos interés Comercial.


VF = VP * (1 + in)

((VF/VP) -1)/n = i

i = ((3´500.000/3´000.000)-1)/(180/360))) = 0,33333

La tasa de Interés NA que se le debe reconocer a Julián es: 33,33%

Ejemplo 9

VF = $3´500.000

6 Meses VP = 3´000.000

i= ¿?



Julián dueño de una pequeña empresa ha tenido excedentes por $3´000.000 durante el pasado

periodo; él quiere conocer durante cuánto tiempo debe colocar este dinero para convertir

estos excedentes en $4´500.000, si la entidad bancaria le reconoce un interés NA del 27%.



El Valor inicial (Presente) es: $3´000.000

El periodo necesario para acumular la cifra final, en días, serán una fracción del año (360 días);

si aplicamos interés bancario.

La tasa de interés Nominal Anual: 27%

Con las anteriores consideraciones, el número de días se calcula, como:

VF = VP * (1 + in)

((VF/VP) -1)/i = (n/360)

i = ((3´500.000/3´000.000)-1)*360/(0,27))) = 666,67

El número de días que se debe colocar el monto inicial para al final obtener los 4,5 milloes es:

667

7. Interés Anticipado - Descuento

El interés anticipado consiste en causar los intereses al principio del periodo. El descuento se

representa por la letra “D”

Tasa Anticipada (Tasa de descuento): Es la que genera el interés anticipado y se representa por

la letra “d”

Descuento Simple Consiste en cobrar los intereses por anticipado calculados sobre el valor final; de esta forma el

Descuento se calcula, como:

D = VF*d*n (3)

VF = $4´500.000

n = ¿? VP = 3´000.000

i= 27%



Donde:

d: Tasa de descuento

D: Descuento

Valor Líquido (VT) Es el valor nominal menos el descuento

VT = VF – D

VT = VF – (VF*d*n)

VT = VF*(1 – d*n) (4)

Ejemplos Interés Anticipado - Descuento

Ejemplo 10

El 17 de abril del 99 una pequeño comerciante compra mercancías por un valor de $8´000.000

para surtir su almacén; este realiza el pago a la fabrica a través de una letra de cambio por valor

nominal de $8´000.000 con vencimiento el 17 de julio.

El 20 de junio la fábrica por problemas de liquidez ofrece en venta la letra al banco Medellín, el

cual hará un descuento (interés anticipado) del 36% aplicado al valor final del documento.

¿Cuál es el valor que recibirá la fabrica – Valor líquido?



El periodo en que se causa el descuento es: entre el 20/06 y 17/07, es decir: 27 días que es una

una fracción del año (360 días); si aplicamos interés bancario.

La tasa de descuento Nominal Anual: 36%

Con las anteriores consideraciones, el Valor Liquido se calcula, como:

VT = VF * (1 - dn)

VT = ¿? 17/04/99

VF = 8´000.000

i= 36%

17/07

20/06



VT = (8´000.000 * (1 -0,36(27/360)) = 7´784.000,00

El valor que recibirá el fabricante es: 7´784.000,00

Ejemplo 11

¿Cuál debe ser el valor nominal de un documento de cambio que un comerciante descuenta a

un interés del 38% Nominal Anual entre el 17.12.98 y el 25.01.99 y su valor liquido es

$6´374.370?


El Valor Nominal (VF) es: ¿?

El periodo en que se causa el descuento es: entre el 17/12/98 y 25/01/77, es decir: 39 días que

es una fracción del año (360 días); si aplicamos interés comercial.


Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal (VF) se calcula, como:

VF = VT/(1 - dn)

VT = (6´374.370 / (1 -0,38(39/360)) = 6´648.047,97

El valor nominal del documento debe ser: 6´648.047,97

8. Tasa Real en una operación de Descuento

La tasa de descuento se aplica al valor final del documento; a diferencia del interés simple que

se aplica al valor inicial, en consecuencia, es lógico, que para el mismo valor se obtienen

diferentes resultados de interés cobrado; para calcular la tasa real en una operación de

descuento debemos aplicar la formula de monto simple al resultado final. Lo anterior se ilustra

con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 12

Si el Banco Medellín descuenta una letra de cambio de $6´000.000 35 días antes del

vencimiento al 38%. ¿Cuál es la tasa de interés simple real que se cobra por esta operación?


VT = 6´374.370

17/12/98

VF = ¿?

i= 38%

25/01/99



Lo primero que debemos hacer es investigar cual es el Valor liquido de la transacción: VT

Valor Nominal (VF): 6´000.000

El periodo en que se causa el descuento es 35 días que es una fracción del año (360 días); si

aplicamos interés bancario.


Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal (VF) se calcula, como:

VT = VF*(1 - dn)

VT = (6´000.000*(1- -0,38(35/360)) = 5´778.333,33

El valor líquido de la letra de cambio es: 5´778.333,33

Así, la situación de la operación financiera se muestra en la siguiente gráfica, a partir de esta se

pide determinar la Tasa de Interés Real de la operación.

Podemos de la formula VF = VP(1+in), despejar i para conocer, así la verdadera tasa de interés

de la operación

VF = VP(1+in)

((VF/VP) -1)/n = i

((6´000.000/5´778.333,33)-1)/(35/360) = 0,3946

La tasa Nominal Anual Real de interés de la operación es: 39,46%

9. Descuentos en Cadena

VT = ¿?

VF = 6´000.000

i= 38%

35 días

VT = 5´778.333,33

VF = 6´000.000

i= ¿?

35 días



En una operación comercial pueden ocurrir varios descuentos; tal es el caso cuando una

empresa vende mercancía; en este caso se ofrecen una serie de descuentos que son aplicables

a la misma factura.

� Descuento por volumen

� Descuento por pronto pago

� Descuento por embalaje

� Descuento por temporada

� Descuento por fidelidad

En la siguiente tabla se muestra el efecto matemático causado por una serie de descuentos

sobre un mismo monto (una factura por ejemplo).

Descuentos en Cadena

Valor Factura Antes Tasa

descuento

Valor Descuento Valor Factura Después de Descontada

A d1 Ad1 A - Ad1 = A(1-d1)

A(1-d1) d2 A(1-d1) d2 A(1-d1)-A(1-d1) d2 = A(1-d1)(1-d2)

A(1-d1)(1-d2) d3 A(1-d1)(1-d2) d3 (A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3) =

A(1-d1)(1-d2)(1-d3)

… … … …

A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1) dn A(1-d1)(1-d2)…

(1-dn-1) dn

= A(1-d1)(1-d2)(1-d3)…(1-dn)

El descuento total será el valor inicial del monto (factura) menos el valor final, es decir después

de ser descontado el monto.

D = A(1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn))

Al dividir el valor final del monto (factura) con el valor inicial de la misma factura, se obtiene la

tasa de descuento promedio, esto es:

d = 1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn)

Ejemplo 13

Un comerciante quiere conocer el descuento promedio que obtiene y el valor final de una

factura después de realizar compras por $12´361.500; si el proveedor de la mercancía le



concede los siguientes descuentos: por pronto pago: 10%; por compra al por mayor 25%; y por

temporada: 8%

El descuento total lo puede calcular como:

D = A(1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn))

D = 12´361.500*(1-(1-0,1)(1-0,25)(1-0,08)) = 4´685.008,5

De esta forma, el valor final de la factura es: A – D = 12´361.500 - 4´685.008,5 = 7´676.491,5

La tasa de descuento total se calcula como:

d = 1-(1-d1)(1-d2)…(1-dn)

d = 1-(1-0,1)(1-0,25)(1-0,08) = 0,3790 = 37,90%


1) Calcular el interés simple comercial de $300.000 desde el del 18 de marzo al 18 de junio del

mismo año al 3.4% mensual.

I = (300.000 x 0,034) x 3 = 30.600

2) Una persona invierte $250.000 al 40% desde el 15 de septiembre de 1998 hasta el 18 de

noviembre de 1998. Calcular: a) El monto racional y b) el monto bancario

Real Bancario

Septiembre 15 15

Octubre 31 31

3 meses 18.03 18.06

i = 3,4% mensual

15.09 18.11

i = 40%

250.000



Noviembre 18 18

Total 64 63

I = 250.000 (64/365) x 0,4 = 17.534,22; entonces el valor final S = 267.534,22 (Racional)

I = 250.000 (64/360) x 0,4 = 17.777,77; entonces el valor final S = 267.777,77 (Bancario)

3) ¿Cuánto debe invertirse hoy 17 de octubre en un fondo que garantiza el 28% simple real

para que el 20 de marzo del siguiente año pueda retirar la suma de $150.000?

Real Bancario Comercial

Octubre 14 14 13

Noviembre 30 30 30

Diciembre 31 31 30

Enero 31 31 30

Febrero 28 28 30

Marzo 20 20 20

Total 154

S = P + iPn

S = P(1 + in)

P = S/(1 + in)

P = 150.000/(1 + 0,028 x( 154/365)) = 134.151,73 (Racional)

4) Hallar el valor presente de $500 000 en 31/2 años a1 3% mensual

17.10 20.03

i = 28%

P = ¿?

S = 150.000

P = ¿?

42 meses S = 500.000



S = P(1 + in)

P = S/(1 + in)

P = 500.000/(1 + (0,03 x 42)) = 221.238,93

5) Hace 6 años compré un lote en $900 000 y hoy se vendió en $6 millones. Hallar la tasa de

interés comercial que gane en este negocio.

S = P( 1 + in)

S/P = 1 + in

((S/P) – 1)/n = i

((6´000.000/900.000) – 1)/6 = i; es decir: i = 94.44%

6) ¿Qué tan rentable es un documento que hoy se puede comprar en $75 000 el cual

devolverá al cavo de 3 años la suma de $330.000?

i = ((S/P)-1)/n

i = ((330.000/75.000)-1)/3 = 1,13333; es decir: i = 113,33%

7) Se recibe un préstamo por $1 millón al 42% nominal anual periodo vencido el día 8 de

agosto de 1999 con vencimiento el 8 de marzo del 2000. Hallar el valor final del préstamo

calculando los intereses:

a) interés exacto o racional

b) interés comercial o base 360

c) interés bancario

3 años

i = ¿?

75.000

S = 330.000

900.000

i = ¿? S = 6´000.000

6 años



d) interés base 365

Nota: Tenga en cuenta que el año 2000 es un año bisiesto

Exacto o racional Bancario Comercial

Agosto 23 23 22

Septiembre 30 30 30

Octubre 31 31 30

Noviembre 30 30 30

Diciembre 31 31 30

Enero 31 31 30

Febrero 29 29 30

Marzo 8 8 8

Total 213 213 210

a) Interés exacto racional

I = 1´000.000 x 0,42 x (213/366) = 244.426,20

S = 1´244.426,20

b) Interés Comercial

I = 1´000.000 x 0,42 x (210/360) = 245.000

S = 1´245.000

c) Interés Bancario

I = 1´000.000 x 0,42 x (213/360) = 248.500

S = 1´248.500

8) Un pagaré con valor presente de $300.000 emitido el 15 de septiembre de 1999 con plazo

de 270 días a una tasa de interés del 30% nominal anual período vencido. Hallar el valor

futuro y la fecha de vencimiento en:

P = 1´000.000

i = 42%

08.08.99 S = ¿?

08.03.00



a) interés exacto o racional

b) interés comercial o base 360

c) interés bancario

d) interés base 365

a) Interés Exacto o racional

S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/366)

S = 366.393,42

Fecha de vencimiento: 11.06.2000

b) Interés Comercial

S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/360)

S = 367.500


c) Interés Bancario

S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/360)

S = 367.500


d) Interés Base

S = P(1 + in) = 300.000( 1 + 0,3(270/365)

S = 366.575


9) Una letra por $550000 madura el 23 de agosto de 1998 y va a ser descontada el 17 de julio

del mismo año al 38%. Determinar el valor de la transacción.

300.000

15.09.99

270 dias – 30%

S=¿?



D = Sdn – Descuento- d: tasa de descuento – n: número de periodos

VL = S – D – Valor Liquido-

VL = S – Sdn

VL = S( 1-dn)

Exacto o racional Comercial

Julio 14 13

Agosto 23 23

Total 37 36

VL = 550.000(1 – 0,38(36/360)

VL = 529.100 - Valor Comercial-

VL = 550.000(1 – 0,38(37/360)

VL = 528.519 - Valor Bancario-

10) El 15 de diciembre de 1999 una empresa recibe un pagaré por $2 millones a un plazo de

90 días al 25% nominal anual vencido de interés comercial simple. El 14 de enero lo negocia

con un banco que lo adquiere a una tasa de descuento del 29% nominal anual anticipado en

interés bancario. ¿Cuánto recibirá la empresa por el pagaré y cuánto ganará el banco en la

operación de descuento?

S = 2´000.000 (1 + 0,25(90/360)) = 2´125.000

VL = S(1 – dn)

17.07.98

17.07.98

$550.000

P= ¿?

38%

15.12.99

15.03.00

S=¿?

i = 25%

15.01.00



VL = 2´125.000 (1 – 0,29(60/360)) = 2´022.291,67

La empresa recibirá: $ 2´022.291,67

El Banco Ganará: $ 102.708,33


1) Halle el valor de maduración de un pagaré con vencimiento el 20 de abril si va a ser

descontado el13 de marzo del mismo año a140% y su valor de transacción es de $ 78 400.

2) Una persona solicita un préstamo a un banco por la suma de $800 000, a un plazo de 90

días y le cobran una tasa anticipada del 38%.

a) ¿Cuál es el valor líquido que le entregan?

b) Suponga que el banco cobra $15 000 por el estudio del crédito, ¿cuál será el valor

liquido?

3) ¿Cuál es el valor del documento que queda en poder de un banco, si el prestatario recibe

un valor liquido de $50 000 por un documento con maduración en 90 días, si le cobran una

tasa de descuento del 41 %?

a) Sin tener en cuenta costos de apertura del crédito y

b) Teniendo en cuenta que el banco cobra $2000 por estudio del documento

4) Un documento de valor inicial $70 000 es fechado el 25 de septiembre de 1998 a un plazo

de 325 días y un interés del 32%. Si es descontado por un banco el18 de marzo de 1999 al

40% determinar: a) la fecha de vencimiento b) El valor al vencimiento c) El valor de

transacción.

5) Hallar la verdadera tasa bancaria que cobra un banco cuando descuenta un documento con

valor de maduración de $400 000 si es descontado 25 días antes del vencimiento al41 %

nominal anual anticipado.

6) Un almacén ofrece los siguientes descuentos, sobre una mercancía cuyo costo inicial es

de $200 000: 30% por venta al por mayor, 10% por pago al contado y 5% por enviar la

mercancía sin empaque.

a) ¿Cuál es el valor final de la factura?

b) ¿Cuál es el descuento promedio que se otorgó?

7) Una fábrica ofrece un descuento del 25% en ventas al por mayor, e15% por pronto pago y

e14% por embalaje. ¿Cuál debe ser el descuento adicional que puede ofrecerse a los

empleados de la misma fábrica para que el descuento total no sea superior al 35%?



8) Demostrar que el interés simple producido por un capital C, colocado durante n años a la

tasa de interés i es igual al interés simple que producirá a la tasa proporcional (i/m)

colocado durante m.n periodos.

9) Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa del 9%.

10) Calcular el interés simple que produce un capital de $10.000 en 3 años al 0,8% mensual.

11) ¿A qué tasa de interés el monto de $20.000 será $21.200, a interés simple, en 9 meses?

12) El 10 de enero de 2006 se firmo un pagaré de $6.000 con 9% de interés. ¿En que fecha los

intereses serán de $359?

13) ¿Qué suma debe invertirse al 9% para tener $2000 dentro de 8 meses?

14) Una persona firma un pagare por $20.000 el 15 de mayo con vencimiento el 13 de agosto y

recibe solo $19.559,90. ¿A que tasa de descuento racional le fue descontado el pagaré?

15) Un inversionista recibió un pagaré que gana intereses del 8%, por $120.000, el 15 de julio a

150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar

10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?



2 Unidad de Aprendizaje

Interés Compuesto

Contenido

Introducción

1. Concepto del interés simple



4. Capital Final – Valor futuro

5. Capital inicial – Valor presente


7. Interés Anticipado - Descuento simple.

8. Tasa realmente cobrada en una operación de descuento

9. Descuentos en cadena





1. Concepto de Interés compuesto

En general las operaciones financieras se realizan utilizando interés compuesto.

Con este interés, a diferencia del interés simple, cada vez que se liquidan los

intereses, éstos se acumulan al capital para formar un nuevo capital (monto),

sobre el cual se liquidan intereses nuevamente.

Por ejemplo, si se invierte un capital de $1000 al 10% trimestral, durante un año,

bajo la modalidad de Interés simple, la liquidación de los intereses será así:

I = (1.000)*(10%)*4 = $400,

Al cabo de un año el inversionista recibirá $1.400, $1000 correspondiente al

capital y $400 a los intereses. La situación se ilustra en la siguiente grafica:

De otra forma, si la inversión se hace a interés compuesto entonces al final del primer trimestre

se liquidan los primeros intereses (1000x0,1 = $100) y estos se acumulan al capital para obtener

un monto de $1.100 al cabo del primer periodo; al final del 2do periodo se liquidan los

segundos intereses sobre el monto anterior $1100 x 0,1 = 110 y estos se acumulan al capital

obteniendo para este periodo un nuevo monto de $1.210; y así sucesivamente hasta

$1.464,10; la situación se ilustra en la siguiente grafica:

$1.000

$1.000

1

$100

2

$100

3

$100

4

$100 10% 10%

$1.000

$1.464

1

$1.100

2 3 4

10% 10%

$1.210

$1.331

notas de clase matematicas financieras

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