Dinámica de sistemas conDinámica de sistemas conmúltiples grados de libertadmúltiples grados de libertad

MGDLMGDL

5º Parte:5º Parte:“Análisis modal espectral de“Análisis modal espectral de

estructuras de MGDL”estructuras de MGDL”

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralSupongamos que una estructura de MGDL es sometida auna aceleración sísmica en su base

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }effpuKuCuM =++ &&&

{ } [ ]{} ( )tgeff uMp &&·ι−=

Como vimos en el capítulo anterior, la respuesta dinámicade un sistema de MGDL se puede escribir como lasuperposición de las contribuciones de los distintosmodos de vibrar

{ } [ ]{ }qu Φ=

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralHaciendo el cambio de variables y premultiplicando setiene:

[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{} gTTTT uMqKqCqM &&&&& ιΦ−=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ ··

Aplicando propiedades de ortogonalidad de los modos devibrar, y desarrollando la ecuación para un modo cualquiera“n”, se tiene:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{} gTnnn

Tnnn

Tnnn

Tn uMqKqCqM &&&&& ιφφφφφφφ −=++ ····

gnnnnnnn uqqq &&&&& ···2 2 Γ−=++ ωωξn

nn M

L=Γ { } [ ]{}ιφ ··ML T

nn =

{ } [ ]{ }nTnn MM φφ ··=

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralSi se realiza otro cambio de variable, sólo para homologarla ecuación con un sistema de 1GDL:

( ) ( )tnntn Dq ·Γ=

La ecuación anterior puede ser resuelta por los métodosnuméricos expresados en los sistemas de 1GDL.Finalmente se puede encontrar la respuesta de la estructura:

gnnnnnn uDDD &&&&& −=++ ··2 2ωωξ

{ } [ ]{ }qu Φ=

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralEs conveniente desarrollar la contribución del modo devibrar “n” a la respuesta del sistema:

( ){ } { } ( ) { } ( )tnnntnnnt Dqu ··· Γ== φφ

Del problema de valores propios se sabe que:

[ ]{ } [ ]{ }nnn MK φωφ ··· 2=

( ){ } [ ] ( ){ } [ ]{ } ( ) [ ]{ } ( )tnnntnnntnt DKqKuKf ······ Γ=== φφ

Reemplazando, se tiene:

( ){ } [ ]{ } ( )tnnnnnt DMf ····2 Γ= φω ( ){ } [ ]{ } ( ) { } ( )tnntnnnnnt AsDMf ····· 2 =Γ= ωφ

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralLa última ecuación expresa la contribución del modo “n” alas fuerzas elásticas del sistema en función de fuerzasestáticas equivalentes:

La suma de todos los componentes del vector “s” dan la llamada“Masa modal efectiva del modo n”, la que físicamente representala importancia del modo de vibrar en la respuesta de la estructuraglobal. Además es igual al Corte Basal estático del modo n.

( ){ } { } ( )tnnnt Asf ·= { } [ ]{ }nnn Ms φ··Γ=

( ) ( )tnntn DA ·2ω=

Vector de fuerzas estáticas delmodo “n” que actúan en cada GDL

Aceleración del modo “n”

{} { } {} [ ]{ }nTnn

Tn MsM φιι ····* Γ== { } [ ]{}

{ } [ ]{ }{} [ ]{ }

n

nn

T

nT

n

Tn

n ML

MM

MM

2* ···

··

··== φι

φφ

ιφ

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralCon la definición precedente de An se puede re-escribir lacontribución al desplazamiento total del modo “n”:

( ){ } { } ( ) { } ( )tnnn

ntnnnnt ADu ···· 2 φ

ωφ

Γ=Γ=

Para efectos de diseño es conveniente encontrar la respuestamáxima de una estructura sometida a solicitaciones sísmicas.La respuesta máxima de estructuras de MGDL se puededeterminar en forma aproximada a través de los espectros derespuesta.

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralDe hecho, la respuesta máxima del modo “n” se puededeterminar sustituyendo la aceleración modal, por lacoordenada del seudoespectro de aceleraciones asociada alperíodo de vibración del modo “n”:

( )tnA ( ) nnn ATA =ξ,

{ } { } nnnmax Asf ·=

{ } { } nnn

nnmax Au ··2 φ

ω

Γ=

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralYa que, se han obtenido los máximos valores de la respuestade cada modo de vibrar, es necesario generar “Reglas decombinación modal” para determinar la respuesta máximaglobal de la estructura.Lo anterior se debe a los máximos correspondientes a lasrespuestas de los diferentes modos de vibrar ocurren endistintos tiempos.Una aproximación que da una cota superior para la respuestaes suponer que todos los máximos modales ocurren a unmismo tiempo. Si “r0” es la respuesta global y “r0n” es elmáximo del modo “n”, se tiene:

∑=

≤N

nnrr

100 CRITERIO ABSSUM

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralLa aproximación ABSSUM es demasiado conservadora para eldiseño en ingeniería estructural, por lo tanto, no es muypopular.Una regla de combinación que se usó por muchos años, fue lapropuesta por Rosenblueth (1951), conocida como la 2raízcuadrada de la suma de los cuadrados”(SRSS)

∑=

≅N

nnrr

1

200 CRITERIO SRSS

Esta regla de combinación da muy buenos resultados paraestructuras que tienen frecuencias naturales “bien separadas”entre sí. Sin embargo, su uso es limitado en edificios de variospisos con plantas asimetricas.

Análisis Modal EspectralAnálisis Modal EspectralUna regla de combinación que intenta superar las limitacionesde el criterio SRSS es la “combinación cuadráticacompleta”(CQC). Esta regla incorpora coeficientes decorrelación ρin entre modos de vibrar distintos.

∑∑∑∑∑= === =

+=≅N

inoi

N

nin

N

nn

N

inoi

N

nin rrrrrr

10

11

20

10

10 ···· ρρ CRITERIO CQC

ni ≠

( )( ) ( ) ( ) 222222 4141

8 23

inniininniin

innininiin

βξξββξξβ

βξβξξξρ

++++−

+=

n

iin ω

ωβ =