Problemas Complementarios28-03-2014

Problema 1

Si la estrella del Norte o Polaris se apagara hoy, ?en que año

desaparecería de nuestra visión? La distancia desde la Tierra a

Polaris es alrededor de 6.44 × 1018𝑚

Problema 1

Solución

Datos: distancia = 6.44 × 1018𝑚; 𝑇 =?

Sabemos que: 𝜆 ∙ 𝑓 = 𝑐 =1

𝑇=

𝑑

𝑇

⟹ 𝑇 =𝑑

𝐶=

6.44×1018𝑚

3×108 𝑚/𝑠×

1𝑎ñ𝑜

365𝑑𝑖𝑎𝑠×

1𝑑í𝑎

24ℎ×

1ℎ

3600𝑠

Por lo tanto: 𝑇 = 680𝑎ñ𝑜𝑠

En consecuencia: La estrella desaparecería de nuestra visión

en el 2680.

Problema 2

La rapidez de una onda electromagnética que viaja en una

sustancia transparente no magnética es 𝑣 =1

𝑘∙𝜖∙𝜇0, donde 𝑘

es la constante dieléctrica de la sustancia.

Determine la rapidez de la luz en el agua, la cual tiene una

constante dieléctrica a frecuencias ópticas de 1.78.

Problema 2

Solución

Por dato 𝑣 =1

𝑘∙𝜖∙𝜇0(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒)

Nos piden: 𝑣𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 =? 𝑠𝑖 𝑘 = 1.78

Sabemos que por condición se cumple

𝑣 =1

1.78 4𝜋×10−7 8.85×10−12

Problema 2

Solución

∴ 𝑉𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 2.25 × 108 𝑚/𝑠

Problema 3

Una onda electromagnética en el vacío tiene una amplitud de

campo eléctrico de 220 V/m. Calcule la amplitud del campo

magnético correspondiente.

Problema 3

Solución

Datos: 𝐸𝑚á𝑥 =220𝑉

𝑚; 𝐵𝑚á𝑥 =?

Sabemos que en una onda electromagnética se cumple que:

𝐸𝑚á𝑥

𝐵𝑚á𝑥= 𝑐

Problema 3

Solución

⟹ 𝐵𝑚á𝑥 =𝐸𝑚á𝑥

𝑐=

220

3×108∴ 𝐵𝑚á𝑥 = 733 × 10−9𝑇 = 733𝑛𝑇

Problema 4

Calcule el valor máximo del campo magnético de una onda

electromagnética en un medio donde la rapidez de la luz es

de dos tercios de la rapidez de la luz en el vacío, y donde la

amplitud del campo eléctrico es de 7.60 mV/m

Problema 4

Solución

Datos: 𝐸 𝑚á𝑥 = 7.60 ×10−3𝑉

𝑚; donde: 𝑐𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =

2

3𝑐𝑣𝑎𝑐í𝑜

Sabemos que en una onda electromagnética se cumple que:

𝐸𝑚á𝑥

𝐵𝑚á𝑥= 𝑐𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =

2

3𝑐𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 ⟹ 𝐵𝑚á𝑥 =

3𝐸𝑚á𝑥

2𝑐𝑣𝑎𝑐í𝑜=

3× 7.6×10−3

2× 3×108

𝐵𝑚á𝑥 = 38 × 10−12𝑇 ≅ 38𝑝𝑇

Problema 5

La figura muestra una onda sinusoidal electromagnética plana que

se propaga en lo que se eligió como la dirección de 𝑥. Suponga que

la longitud de onda es 50m y el campo vibra en el plano 𝑥𝑦 con una

amplitud de 22V/m. Calcule a) la frecuencia de la onda y b) la

magnitud y dirección de B cuando el campo tiene su valor máximo

en la dirección 𝑧 negativa. C) Escriba una expresión para B en la

forma 𝐵 = 𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

Problema 5

Con valores numéricos para 𝐵𝑚𝑎𝑥 , 𝑘 𝑦 𝜔

𝑧

𝑦

𝑥

𝐸 =22𝑉

𝑚𝑗

𝜆 = 50m

𝐵 =?

Problema 5

Solución

Inciso a

Sabemos que: 𝜆 ∙ 𝑓 = 𝑐 ⇒ 𝐹 =𝑐

𝜆=

3×108

50

∴ 𝑓 = 6 × 106𝐻𝑧 = 6𝑀𝐻𝑧

Problema 5

Solución

Inciso b

Sabemos que:𝐸𝑚𝑎𝑥

𝐵𝑚𝑎𝑥= 𝑐 ⇒ 𝐵𝑚𝑎𝑥 =

𝐸𝑚𝑎𝑥

𝑐=

22𝑉/𝑚

3×108

∴ 𝐵𝑚𝑎𝑥 = 73.3 × 10−9𝑇 = 73.3𝑛𝑇 (−𝑘)

Problema 5

Solución

Inciso c

Sabemos que: 𝜔 = 2𝜋 × 𝑓 = 2𝜋 × 106 = 12𝜋 × 106𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜔 = 3.77 × 107𝑠−1

Además:𝜔

𝑘= 𝑐 ⟹ 𝑘 =

3×108

12𝜋×106= 0.126

Problema 5

Solución

Inciso c

Entonces: 𝐵 𝑥, 𝑡 = −73.3𝑁𝑇𝑐𝑜𝑠 0.126 − 3.77 × 107𝑡 𝑘

Problema 6

Escriba expresiones para los campos eléctrico y magnético de

una onda electromagnética plana sinusoidal que tiene

frecuencia de 3𝐺𝐻𝑧 y viaja en la dirección 𝑥 positiva. La

amplitud del campo eléctrico es 300 V/m

Problema 6

Solución

Datos: 𝑓 = 3 × 109𝐻𝑧 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 300𝑉/𝑚

Sabemos que las expresiones para una ecuación de onda

están dadas por:

𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

Problema 6

Solución

Donde: 𝐵𝑚𝑎𝑥 =𝐸𝑚𝑎𝑥

𝐶=

3×102

3×108= 1 × 10−6𝑇

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2 3.1416 3 × 109 = 18.85 × 10−9𝑠−1

𝑘 =𝜔

𝑐=

18.85×109

3×108= 62.8

Problema 6

Solución

𝐵 𝑥, 𝑡 = 1𝜇𝑇 𝑐𝑜𝑠 62.8𝑥 − 18.85 × 109𝑡

𝐸 𝑥, 𝑡 = 300𝑉/𝑚 𝑐𝑜𝑠 62.8𝑥 − 18.85 × 109𝑡

Problema 7

Verifique por sustitución que las siguientes ecuaciones

Respectivamente

𝐸 = 𝐸𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝐵 = 𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

son soluciones para las ecuaciones

𝜕2𝐸

𝜕𝑥2= 𝜇𝑜 ∙ 𝜖𝑜

𝜕2𝐸

𝜕𝑡2𝑦

𝜕2𝐵

𝜕𝑥2= 𝜇𝑜 ∙ 𝜖𝑜

𝜕2𝐸

𝜕𝑡2

Problema 7

Solución

Tenemos que

⟹𝜕𝐸

𝜕𝑥= −𝐸𝑚á𝑥𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

⇒𝜕2𝐸

𝜕𝑥2= −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘

2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

Por lado

⟹𝜕𝐸

𝜕𝑡= 𝐸𝑚á𝑥𝜔𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

⇒𝜕2𝐸

𝜕𝑡2= −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔

2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

Problema 7

Solución

Entonces reemplazando tenemos

−𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝜇0𝜖0 ∙ −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔

2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

⟹1

𝜇0𝜖0=

𝜔2

𝑘2∴𝜔

𝑘=

1

𝜇0𝜖0= 𝑐 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)

En consecuencia

𝐸 = 𝐸𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 si es solución de la ecuación

Problema 7

Solución

Por otro lado:

Tenemos que

⟹𝜕𝐵

𝜕𝑥= −𝐵𝑚á𝑥𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

⇒𝜕2𝐵

𝜕𝑥2= −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘

2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

Además

⟹𝜕𝐵

𝜕𝑡= 𝐵𝑚á𝑥𝜔𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

⇒𝜕2𝐵

𝜕𝑡2= −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔

2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

Problema 7

Solución

Entonces reemplazando tenemos

−𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝜇0𝜖0 ∙ −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔

2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

⟹1

𝜇0𝜖0=

𝜔2

𝑘2∴𝜔

𝑘=

1

𝜇0𝜖0= 𝑐 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)

En consecuencia

𝐵 = 𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 si es solución de la ecuación