clase 12 13 y 14. operaciones con fracciones y racionalizacion
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7/25/2019 Clase 12 13 y 14. Operaciones Con Fracciones y Racionalizacion
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Gua de estudio
Operaciones con fracciones
Unidad A: Clase 18
Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina Mara Grajales Vanegas y Sergio Ivn
Restrepo Ochoa1.
8. Operaciones con fracciones
Principio fundamental de las fracciones: Simplificacin de fracciones.
Principio fundamental de las fracciones: Al multiplicar o dividir el
numerador y el denominador de una fraccin por una cantidad diferente de
cero se obtiene como resultado una fraccin equivalente. Esto es,
A AC
B BC y
AC
BC
A
B siempre 0C
El resultado anterior nos permite simplificar los factores comunes al numerador
y al denominador de una fraccin, esto es lo que se conoce como simplificacin
de fracciones.
Para simplificar una fraccin procedemos as:
a)
Inicialmente factorizamos completamente el numerador y eldenominador de la fraccin.
b) A continuacin se simplifican los factores comunes al numerador y al
denominador.
Ejemplo 1
Efectuar operaciones y simplificar.
2
2
4
2
x
x x
Solucin
Para simplificar se factoriza numerador y denominador y obtenemos
1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Econmicas Universidad de Antioquia. Direccin
electrnica: [email protected]. Lina Mara Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Econmicas Universidad
de Antioquia. Direccin electrnica: [email protected]. Sergio Ivn Restrepo Ochoa. Facultad de
Ciencias Econmicas Universidad de Antioquia. Direccin electrnica: [email protected].
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2
2
( 2)4
2
xx
x x
=
( 2)
( 2)
x
x x
+
2x
x
+=
Ejemplo 2
Efectuar operaciones y simplificar la expresin2
3 2
3 27 24
2 16 14
+
+
x x
x x x
Solucin
2 2
3 2 2
3( 8) ( 1)3 27 24 3( 9 8)
2 16 14 2 ( 8 7 )
x xx x x x
x x x x x x x
+ += =
+ + 2 ( 7) ( 1)x x x
3( 8)
2 ( 7)
x
x x
=
Multiplicacin de fracciones.
La regla para multiplicar fracciones es la siguiente:
A C AC
B D BD =
es decir, se multiplican los numeradores entre si y los denominadores entre si,
a continuacin se simplifica la fraccin resultante.
Ejemplo 3
Multiplicar las fracciones
2
2
4
2
+
z
z z ,
2
2 4 4 +
z
z z y simplificar.
Solucin22 2 2 2
2 2 2 2
4 ( 4)
2 4 4 ( 2 )( 4 4)
zz z z z
z z z z z z z z
= =
+ + + +
( 2)z ( 2)z +
z ( 2)z +2
( 2)z
( 2)
z
z=
Divisin de fracciones.
La regla para dividir fracciones se la siguiente:
A C A D AD
B D B C BC = =
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Lo anterior tambin se indica como
AB
CD
AD
BC=
Es decir, el resultado de una divisin de fracciones e igual al producto de los
extremos sobre el producto de los medios.
Ejemplo 4
Realizar las operaciones y simplificar.
a)2 2
2 2
2 6
3 18 24 4 4
+
+ +
x x x x
x x x x
b)
2
2
2
2
7 102 8
6 5
3 4
x xx x
x x
x x
+
+ +
Solucin
a)2 2 2 2
2 2 2 2
2 6 ( 2 )( 4 4)
3 18 24 4 4 ( 6)(3 18 24)
( 2)
+ + + =
+ + +
+=
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x ( 2)
x ( 2)( 3) ( 2)
+x
x x (3 12) ( 2) x x
( 2)
3( 3)( 4)
=
x x
x x
b)
2
2 22
2 2 2
2
7 10( 5)( 2) ( 4)( 7 10)( 3 4)2 8
6 5 ( 2 8)( 6 5)
3 4
x xx x xx x x xx x
x x x x x x
x x
+
+ = =
+ + + +
( 1)x +
( 4)x ( 2)( 5) ( 1)x x x+ + +
( 5)( 2)( 2)( 5)x xx x
=+ +
Racionalizacin de denominadores: Algunas fracciones tienen
denominadores que contienen radicales de la forma 3 35 2, 2 3, 7 5+
etc. En estos casos, el denominador puede racionalizarse al multiplicarlo por
una expresin que lo transforme en diferencias de cuadrados o suma o
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diferencia de cubos. La expresin por la que multiplicamos el numerador y el
denominador de la fraccin se conoce como factor racionalizante. Algunos de
los factores racionalizantes ms comunes son los siguientes:
a) Para racionalizar un denominador de forma A B el factor racionalizante
es A B pues ( )( )A B A B A B =
b) Para racionalizar denominadores de la forma 3 3A B el factor
racionalizante es ( ) ( )2 2
3 3 3 3A A B B+ ya que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 33 3 3 3 3 3 3 3A B A A B B A B A B
+ + = + = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3A B A A B B A B A B + + = =
Ejemplo 5
Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones.
a)2 2
4 4 ( 6 2) 4( 6 2) 4( 6 2)
6 2 ( 6 2) ( 6 2) ( 6 2)( 6 2) ( 6) ( 2)
+ = = =
+ +
4( 6 2) 4
6 2
= =
( 6 2)
4
6 2 2( 3 1)= =
b)2
2 2 1 3 2(1 3) 2(1 3) 2
1 31 3 1 3 1 3 1 ( 3)
+ + += = = =
+
(1 3)
2
+
(1 3)= +
c)
2 23 33 32 23 33 3
2 2 3 33 3 3 3 33 3 3 3 3
4 ( 6) 6 2 ( 2)4 4 ( 6) 6 2 ( 2)
6 2 6 2 ( 6) 6 2 ( 2) ( 6) ( 2)
+ + = =
+ + + +
4 =
2 23 33( 6 ) 12 ( 2)
8
+ 2 23 33( 6) 12 ( 2)
2
+=
d)
2 23 32 23 3
2 2 3 33 3 3 3 3
4 2 2 2 ( 2) 44 4 2 2 2 ( 2)
2 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 ( 2)
+ + = = =
+ + + +
2 23 32 2 2 ( 2)
10
+
2 23 32 2 2 2 ( 2)
5
+ =
-
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Suma y resta de fracciones
Para sumar y restar fracciones se procede de la siguiente forma:
a) Inicialmente factorizamos completamente el numerador y el
denominador de cada fraccin de forma de los factores que aparezcansean irreducibles.
b) Simplificar completamente cada fraccin.
c) A continuacin se busca el mnimo comn denominador (MCD) que es el
MCM de los denominadores y es igual al producto de los factores
comunes y no comunes de los distintos denominadores, cada uno
elevado a la potencia ms grande con la que aparece.
d) El resultado de la suma o resta es una fraccin en la que el denominador
es el MCD y el numerador se obtiene al multiplicar cada numerador por
lo que le falta al denominador de la fraccin para ser igual al MCD y
despus se suman o restan estos productos.
Esto es,
2 2
3 2 2 3 3 3
A D E A C D B C E B
B C BC B C B C
=
Observacin: Si las fracciones tienen el mismo denominador entonces la
suma o resta se realiza as:
A C A C
B B B
=
Ejemplo 6
Realizar las siguientes operaciones y simplificar
2 2 ( 3)5 6 5 6
3 3 3
xx x x x
x x x
++ + ++ = =
+ + +
( 2)
3
x
x
+
+2x= +
Ejemplo 7
Realizar las siguientes operaciones y simplificar
2 2
2 3 3 1 1
2 11 6 3 16 12 3 2
x x
x x x x x
+ +
+ +
Solucin
2 2
2 3 3 1 1 2 3 3 1 1
2 11 6 3 16 12 3 2 ( 6)(2 1) (3 2)( 6) 3 2
x x x x
x x x x x x x x x x
+ + + = +
+ + + +
-
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(2 3)(3 2) (3 1)(2 1) ( 6)(2 1)
( 6)(2 1)(3 2)
x x x x x x
x x x
+ + + =
+
2 2 2
6 13 6 6 1 2 11 6( 6)(2 1)(3 2)
+ + + + + =+
x x x x x xx x x
22 1
( 6)(2 1)(3 2)
+=
+
x x
x x x
Fracciones compuestas.
Una fraccin compuesta es aquella en la que numerador o el denominador, o
ambos son fracciones.
Para reducir una fraccin compleja a una simple, se realizan las operaciones
indicadas en el numerador y el denominador de la fraccin. A continuacin, se
realiza el producto de internos y externos, se coloca en el numerador el
producto de los externos y en el denominador el de los internos.
Nota: Si el numerador o el denominador es un entero y no un fraccionario,
este se debe convertir a un fraccionario dividindolo por la unidad.
Ejemplo 8Efectuar operaciones y simplificar la siguiente fraccin compuesta.2
21
x
y
x y
y x
Solucin:Para simplificar esta fraccin compuesta realizamos las operaciones
indicadas en el numerador y el denominador, como se muestra a continuacin
2 2 2
2 2 2
2 2
( )( )1
( )( )
x y x y x y x
y y y
x y x y x yx y
y x xyxy
+
= =+
A continuacin efectuamos el producto de los extremos sobre el producto de
los medios y simplificamos y obtenemos
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2
2
2
1( )( )
( )( )
x
x yxy y x y xy
x y y x y x y
y x
+
= =+
( )y x+ ( )y x
2y ( )x y+ ( )x y
x
y=
Referencias Stewart, James. Clculo Conceptos y contextos. Editorial Thomson.
Tercera edicin, 2006. Dez M, Luis H. Matemticas Operativas. Primer ao de universidad,
preuniversitarios y semilleros, Lina Dez editora, 2009.