ESCUELAESCUELA:: INGENIERÍA CIVILINGENIERÍA CIVIL

CÁLCULO AVANZADO

NOMBRE: Ing. Carmen Esparza VillalbaIng. Carmen Esparza Villalba

CLASECLASE:: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONESINTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONESDIFERENCIALESDIFERENCIALES

SEMESTRESEMESTRE:: ABRIL 2011 ABRIL 2011 –– AGOSTO 2011AGOSTO 2011CLASE: Nro 1

Contenidos

1.1. Definición y terminología.

1.2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales.1.2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales.

1.3. Soluciones de una ecuación diferencial

1.1 Definición y terminología

Ecuación Diferencial (ED).-

• Es una ecuación que involucra derivadas de una omás variables dependientes, con respecto una o másmás variables dependientes, con respecto una o másvariables independientes.

• Es aquella ecuación que contiene derivadas de unafunción desconocida (Φ) de una o más variables.

Ejemplos:xexy

dx

dy −=+ 2 ytxdt

dy

dt

dx +=+ sin xyyy 3cos'2''3 =−+

1.2 Clasificación de las ED

Según el TIPO.-• Si la ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables

dependientes con respecto de una sola variable independientes sedice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).

• Si la ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variablesdependientes con respecto de una o más variables independientesse dice que es una ecuación diferencial parcial (EDP).

• “No se incluyen en el concepto de ecuaciones diferenciales aquellasque son identidades”

ydx

dyxyx

dx

d +=)*(

1.2 Clasificación de las ED

Según el TIPO.-

Ejemplos:

dy dyydyd 23

=+−+ yxdydx −=− 22

Son ecuaciones diferenciales ordinarias: están derivadas respecto a una sola variable independiente

Son ecuaciones diferenciales parciales: están derivadas respecto a dos o más variables independientes

xeydx

dy =+ 2 xxydx

dy

dx

yd

dx

yd3cos53

2

2

3

3

=+−+ yxdt

dy

dt

dx −=− 22

xt

u

x

u

x

u

∂∂∂=

∂∂+

∂∂ 2

2

2

2

2

2

2

2t

u

y

u

y

u

∂∂=

∂∂−

∂∂

t

v

y

u

∂∂=

∂∂

1.2 Clasificación de las ED

Según el ORDEN.-

• El orden de una ecuación diferencial (EDO ó EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación

Ejemplos:

xxydx

dy

dx

yd

dx

yd3cos53

2

2

3

3

=+−+ EDO tercer orden

xxydx

dy

dx

yd

dx

yd

dx

ydn

n

n

n

n

n

2.....)2(

)2(

)1(

)1(

)(

)(

=+++++−

−

−

−

EDO n-ésimo orden

xyyyy ln8'4''164 )4( =+++ EDO cuarto orden

2

2

2

2

42

tydt

dy

tdt

yd =−

+EDO segundo orden

1.2 Clasificación de las ED

Según el ORDEN.-

• A la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden de una variable dependiente, también se puede expresar mediante la forma generalforma general

Donde F es una función de valores reales de n+2 variables: x, y, y’,…, y(n)

( ) 0,...,',, )( =nyyyxF

( )1

)(

)(

,...,',, −= n

n

n

yyyxfdx

yd

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(0'

1''

2)2(

2)1(

1)( xfyxayxayxayxayxayxa n

n

n

n

n

n =++++++ −−

−− L

1.2 Clasificación de las ED

Según la LINEALIDAD.-• La ecuación diferencial ordinaria (EDO) general:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(0'

1''

2)2(

2)1(

1)( xgyxayxayxayxayxayxa n

n

n

n

n

n =++++++ −−

−− L

donde , son funciones dadasde xes lineal si se cumplen dos condiciones

• La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primergrado.

• Los coeficientes de y y de sus derivadas dependen de la variableindependiente x (es decir son funciones exclusivas de x).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(01221 xgyxayxayxayxayxayxa nnn =++++++ −− L

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaxaxaxaxaxg nn 0121 ,,,,,),( L−

1.2 Clasificación de las ED

Según la LINEALIDAD.-

• Una ecuación que no puede escribirse de esta forma se llamaecuación diferencial no lineal.

Ejemplo:

xxydx

dy

dx

ydx ln572

2

2

=+− EDO, 2do orden, lineal

xyyyyx iv 24)2(cos '' =+−− EDO, 4to orden, no lineal

yyyy sin8'4''16 =++ EDO, 2do orden, no lineal

2

2

2

2

42

tydt

dy

tdt

yd =−

+ EDO, 2do orden no lineal

1.3 Soluciones de una ED

• Una solución de una ED es una función que satisface la EDsobre algún intervalo abierto I. Así cualquier función Φdefinida en el intervalo I que posee n derivadas continuas enI, que al sustituirlas en una ecuación diferencial de orden nI, que al sustituirlas en una ecuación diferencial de orden nreduce la ecuación a una identidad, es una solución de laecuación en el intervalo.

• Las funciones solución de una ecuación diferencial puedenser: Explícitas, Implícitas, Singulares, Generales, Particulares

1.3 Soluciones de una ED

Ejemplos:

Compruebe que la función dada sea la solución de la ED

• 22

; xyyxcx

y =+′+=• 2;

3xyyx

x

cxy =+′+=

2

2

33

2

32

3

3

19

939

9

)3)(3()3(3

3

3

x

cxxy

x

cxxy

x

cxxxy

x

cxy

−−=′

−−=′

+−=′

+=

22

22

22

22

2

33

1

33

1

xx

xx

cx

x

cxx

xx

cx

x

cxxx

=

=++−−

=

++

−−

1.3 Soluciones de una ED

• xxyycey x =+′+= − 2;2

1 2

( ) xcexxcexcey xxx =

++−−=′ −−− 222

2

1222( )

xx

xxcexxcexcey

xcexxcexcey

xxx

==++−−=′

=

++−−=′

−−− 222

222

2222

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• ZILL, Dennis G.,2006, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 8ta. Edición. CENGAGE Learning.Learning.

• TRENCH, William F., 2002, Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, ThomsonInternational.

• ESPARZA, Carmen A. 2010, Guía de cálculo avanzado, UTPL.