ESCUELAESCUELA:: INGENIERÍA CIVILINGENIERÍA CIVIL

CÁLCULO AVANZADO

NOMBRE: Ing. Carmen Esparza VillalbaIng. Carmen Esparza Villalba

CLASECLASE:: ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENORDEN

SEMESTRESEMESTRE:: ABRIL ABRIL –– AGOSTO AGOSTO 20112011CLASE: Nro 2

Contenidos

2.1 Teoría de existencia y unicidad de soluciones.

2.2 Ecuaciones de variables separables.2.2 Ecuaciones de variables separables.

2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos.

2.1 Teoría de existencia y unicidad desoluciones

Existencia y unicidad de soluciones (ED).-

• La ED de primer orden:

),( yxfdy = 1

con frecuencia no se puede resolver por integracióndirecta. Es importante saber cuando existensoluciones.

• Teorema.- existe una solución única a la ED

que satisface la condición inicial , si layoxoy =)(

),( yxfdx

dy =

),( yxfdx

dy = 1

2.1 Teoría de existencia y unicidad desoluciones

Existencia y unicidad de soluciones (ED).- cont…

función y su derivada parcial son continuasen x y y cerca al punto inicial y

),( yxf

,xox =y

f

∂∂

yoy =en x y y cerca al punto inicial y,xox = yoy =

Al resolver un problema de condición inicial surgendos preguntas

¿Existe solución al problema?, si la hay, ¿es única?

2.2 Ecuaciones Diferenciales de VariablesSeparables• La ED de primer orden de la forma:

),( yxfdx

dy = 1

es de variables separables si se considera un cocientede diferenciales, esto también puede ser escrito de la forma .

donde

y

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

),( yxf

),(),( yxfyxM −=

1),( =yxN

2

2.2 Ecuaciones Diferenciales de VariablesSeparables• En el caso de que M sea una función exclusiva de x y N es

función exclusiva de y, entonces

)(xfM = )(ygN =

• Ésta ecuación puede ser resulta inmediatamente porintegración cuya solución es una función

CxFyH += )()(

)(xfM = )(ygN =

0)()( =+ dyygdxxf

Solución general de una EDde variables separables

EDVS

2.2 Ecuaciones Diferenciales de VariablesSeparables

Ejemplos:2

54

32

++=

x

y

dx

dy

Utilizando la técnica de integración por sustitución

EDVS

54 +xdx

( ) ( )22 5432 +=

+ x

dx

y

dy

( ) ( )∫∫ +=

+ 22 5432 x

dx

y

dy

dydu

dydu

yu

=

=+=

2

2

32

dxdv

dxdv

xv

=

=+=

4

4

54

2.2 Ecuaciones Diferenciales de VariablesSeparables

Ejemplos:

( ) ( )∫∫ =22 42 v

dv

u

du

Reemplazando u y v21

4

1

2

1C

vC

u+−=+−

Cxy

++

=+ )54(4

1

)32(2

1

Cxy

++

=+ )54(

1

)32(

2 Solución general de la EDVS

2.2 Ecuaciones Diferenciales de VariablesSeparables

Ejemplos:

( ) ( ) 01132 =+++ −− dyeedxee xxyy

Reemplazando u y v( ) ( )∫∫ +−=

+ 3211 x

x

y

y

e

dxe

e

dye

dxedv

evx

x

=+= 1 Utilizando la técnica de integración por sustitución

dxedu

euy

y

=+= 1

( ) ( )∫∫ −=32 v

dv

u

du

2.2 Ecuaciones Diferenciales de VariablesSeparables

Ejemplos:

Reemplazando u y v( ) 22

1

2

11C

vC

u+=+−

Solución general de la EDVS

( )2 vu

( ) Cee xy

++

=+

−2

12

1

1

1

( ) Cee xy

=+

++ 2

12

1

1

1

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos• Si los coeficientes M y N en la ecuación de orden uno

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

son ambas funciones homogéneas y del mismo grado en x y y,entonces M /N sólo es una función f(y/x) de aquí la ecuaciónpuede expresarse en la forma:

)/( xyfdx

dy =

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos• Observación: Los polinomios en los que todos los términos

(x,y) son del mismo grado como:

,32 323 yxyx +−

son llamados homogéneos

Una definición formal de la homogeneidad es: la función

es homogénea de grado k en x y y sí y sólo sí

,4 22 yx −

,2 54 yxy +

),( yxf

( ) ( )yxfyxf k ,, λλλ =

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos• Metodología para resolver EDCH: Si la ecuación diferencial es

de coeficientes homogéneos, se introduce una nueva variablev haciendo y = vx entonces la ecuación se transforma es:

Derivando respecto de x, se obtiene:

)(vfdx

dy =

)/( xyfdx

dy =vxy = 3

3

vdx

dvx

dx

dy +=

4

5

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos• Metodología para resolver EDCH cont..

Igualando 4 y 5 nos da:

)(vfvdv

x =+

Agrupando términos comunes en x y v tenemos una EDVS

vvf

dv

x

dx

−=

)(

)(vfvdx

x =+

6

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos

Ejemplos:

( ) 022 =−+ dyxdxyxy

Comprobamos que sea una EDCH,

Es EDCH de grado 2

( )2

2

),(

),(

xyxN

yxyyxM

−=+=

),()(),(

),()(),(22222

22222

yxNxxyxN

yxMyxyxyyyxM

λλλλλλλλλλλλ

=−=−==+=+=

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos

Ejemplos:

Utilizamos las ecuaciones 3 y 5

Reescribiendo la ED nos queda( ) 022 =−+dx

dyxyxy

Utilizamos las ecuaciones 3 y 5

vxy = vdx

dvx

dx

dy +=

( ) 0222 =

+−+ vdx

dvxxvxxxv Se convierte en una EDVS

( ) ( ) 02222 =+−+ vdxxdvxdxvxxv Multiplicando por dx a la ED

( ) ( ) 02 =+−+ vdxxdvdxvv Dividiendo para x2 a toda la ED

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos

Ejemplos:

Integrando la EDVS

Sustituyendo v en la SG

( )∫∫ =2v

dv

x

dx

Sustituyendo v en la SGC

vx +−= 1

ln

yCxxy +−=ln

Cxy

x +−=/

1ln

yCxyx =+ ln Solución general de la EDCH

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos

Ejemplos:

( ) 0=++− dyxyxydx

Comprobamos que sea una EDCH,

Es EDCH de grado 1

xyxyxN

yyxM

+=

−=

),(

),(

( ) ),(),(

),()(),(

yxNxyxxyxyxxyxN

yxMyyyxM

λλλλλλλλλλλλλλ

=+=+=+=

=−=−=

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos

Ejemplos:

Utilizamos las ecuaciones 3 y 5

Reescribiendo la ED nos queda( ) 0=++−dx

dyxyxy

Utilizamos las ecuaciones 3 y 5

vxy = vdx

dvx

dx

dy +=

Sacando factor común x en la ED

( )

++= vdx

dvxxvxxvx

( )

++= vdx

dvxvxvx 1

( ) ( )( )vvdx

dvxvv ++

+= 11 Multiplicando termino a termino

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos

Ejemplos:Multiplicando por dx a la ED( )( ) ( )dxvvdvvxvdx 2/31 +++=

Agrupando términos comunes( )( )dvvxdxv +−= 12/3

Agrupando términos comunes( )( )dvvxdxv +−= 12/3

( )dv

v

v

x

dx2/3

1+=− Se convierte en una EDVS

∫∫+=− dvv

v

x

dx2/3

2/11

∫∫

+=− dvv

v

vx

dx2/3

2/1

2/3

1

2.3 Ecuaciones Diferenciales concoeficientes homogéneos

Ejemplos:Multiplicando por dx a la ED

Agrupando términos comunes

∫∫∫ +=− −

v

dvdvv

x

dx 2/3

Agrupando términos comunes

( )dv

v

v

x

dx2/3

1+=− Se convierte en una EDVS

∫∫+=− dvv

v

x

dx2/3

2/11

Cxvv +−=+− − lnln2 2/1Sustituyendo v en la SG

Cxx

y

y

x +−=+− lnln2 yCyyx =+− ln2

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• ZILL, Dennis G.,2006, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 8ta. Edición. CENGAGE Learning.Learning.

• TRENCH, William F., 2002, Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, ThomsonInternational.

• ESPARZA, Carmen A. 2010, Guía de cálculo avanzado, UTPL.