1Concepto de Fasor Introduccin La Funcin de Excitacin Compleja El Fasor Relaciones Fasoriales para R, L y C Impedancia (admitancia)2Concepto de FasorIntroduccin Mtodosque se aplicana circuitos resistivos ahora sernaplicables a inductancias y condensadores. Al especificar amplitudyngulodefasedeunasinusoidal,sta queda determinada de forma tan completa como si fueradescrita por una funcin analtica en el tiempo. Trabajaremos con fasores, en vez de hacerlo con derivadas eintegrales de sinusoidales, para todos los circuitos RLC.3Concepto de FasorIntroduccin Transformacin matemtica para simplificar un problema estpresente en muchos problemas de ingeniera: Logaritmos,Laplace, ecuacin de circunferencia, etc. Muypocasdelastransformacionesqueseconocendanlasimplificacin que se obtiene con el concepto fasor.4Concepto de FasorLa Funcin de excitacin complejaN Pensemos en una funcin de excitacin compleja ==>respuesta compleja con parte real e imaginaria.Circuito cualquiera, pasivo, es decir, slo RLC+-) t cos( Vm) t cos( Im5Concepto de FasorLa Funcin de excitacin compleja Cambiando la referencia para el tiempo, desplazando la fase dela funcin de excitacin en 90, se tiene que :) t sen( V ) 90 - t cos( Vm m) t sen( I ) 90 - t cos( Im m6Concepto de FasorLa Funcin de excitacin compleja Ahoraapliquemosunaexcitacinimaginariaalamismaredanterior :N+-) t sen( V jm) t sen( I jm7Concepto de FasorLa Funcin de excitacin compleja Aplicandosuperposicinparaencontrar larespuestaaunaexcitacin compleja de parte real e imaginaria, se tiene que :Excitacin :Respuesta :) t j( emV ) t sen( mV j ) t (mV cos) t j(emI ) t sen(mI j ) t cos(mI8Concepto de FasorLa Funcin de excitacin compleja Apliquemos una fuente real a un circuito RL y busquemos larespuesta real i (t) :RL+- Primerose construyela excitacincomplejaquemedianteidentidad de Euler lleva a la excitacin real dada :La fuente compleja necesaria es :La respuesta compleja resultanteexpresada en trminos de su amplitud y ngulo de fase ser :(t) i) t cos( Vmt je Re t) ( cost jme V) t ( jme I9Concepto de FasorLa Funcin de excitacin compleja Escribiendolaecuacindiferencial del circuitoeinsertandolas expresiones complejas se tiene que : Derivando y luego dividiendo por e j t se obtiene :) t ( jm) t ( jm) t ( jme V ) e (IdtdL e I RmV jemI L j jemI RL j RmV jemI))RL (1tg - ( je2L22RmV jemI10Concepto de FasorLa Funcin de excitacin compleja Entonces se obtiene i (t) reinsertando e j ten ambos lados :Expresin que coincide con la obtenida cuando estudiamos larespuesta a excitacin sinusoidal de un circuito RL.))RL (1 tg - t ( cos2L22RmV) t ( cosmI11Concepto de FasorEl Fasor Corrienteotensinsinusoidal -aunafrecuenciadada- secaracteriza nicamente por 2 parmetros : amplitud y ngulode fase. Una vez especificado Im y la corriente est determinada conexactitud. La representacin compleja de toda tensin o corrientecontendr el factor ej t, superfluo, pues no contieneinformacin til.) t cos( Im) t ( jme I12Concepto de FasorEl Fasor Por lo tanto para el ejemplo anterior : Pasos mediante los cuales una tensin o corriente -real-sinusoidal se transforma en un fasor: Luego, eliminando Re y suprimiendo e j t se obtiene :0 / 2Ve2Vt) cos( Vm0 jmm / 2Ie2I) t cos( Imjmm) t ( jmme2IRe ) t cos( I i(t)/ 2Ie2I Imjm13Concepto de FasorEl Fasor El fasor no es una funcin instantnea del tiempo, slocontiene informacin de amplitud y fase (dominio de lafrecuencia). Ejemplos :suprimiendo Re y e j t = e j 400 t==>luego de escribirlacomo coseno, es decir, restando 90.) 30 - t 400 ( je 100 Re ) 30 - t (400 cos 2 100 v(t)30 - / 100 V/60 5 ) 150 t (377 sen2 5 i(t)14Concepto de FasorEl Fasor Cmoefectuar latransformacininversapara regresar deldominio de la frecuencia al dominio del tiempo ??? Aplicacin al circuito RL en serie :ecuacinapenasunpocomscomplicadaquelaleydeOhmpara una resistencia.) 45 t ( sen2 115 V) 45 - t ( cos 2 115 v(t) 45 - / 115 VV I L j I R V e I L j e I Rmjmjm