clase 05 economia para ingenieros - 2015

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

IX CICLO – 2015 - I

CLASE Nº 05Docente: ING. MAG. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMOEmail: [email protected] Blog: htpp:/inghamiltonwilson.blogspot.com E - mail: [email protected] Teléf.. (51) (056) - 225924

LAS SERIES DE GRADIENTE Y EL PRESENTE

Las series de gradiente se basan en la suposición teórica de que una cifra,como el costo de mantenimiento de un automóvil, aumentará cada año enuna cantidad exactamente igual al periodo anterior, y que esto se mantendrádurante cierto número de periodos.

Se dice que la situación es teórica pues en la práctica es imposible que sepuedan prever aumentos o disminuciones graduales por exactamente lamisma cantidad.

Sin embargo, se han desarrollado fórmulas especiales para resolver estetipo de problemas.

A la cantidad igual en la cual se incrementa un flujo de efectivo se le llamagradiente y se le representa con la letra G.

Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 2

400

350 300 250 200 150

0 1 2 3 4 5 6

P = ?

CASO 9.

Una persona adquirió un auto; espera que el costo de mantenimiento sea deS/. 150 al finalizar el primer año y que en los subsecuentes aumente a razónde S/. 50 anuales. Si la tasa de interés es de 8% capitalizada cada año,¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6años?SOLUCION.

Los datos del problema son: P = ?; i = 8 %; n = 6; primer pago = 150; G = 50.El diagrama de flujo del problema es el de la gráfica.


Utilizando la fórmula básica se tiene:

En este tipo de problemas se pueden observar ciertas particularidades.

Por ejemplo, la gráfica se puede dividir en dos, como se muestra en lasiguiente gráfica;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )654321 08.01400

08.01350

08.01300

08.01250

08.01200

08.01150

++

++

++

++

++

+=P

60.12195869.1400

4693.1350

3605.1300

2597.1250

1664.1200

08.1150

=+++++=P


250 200 150 100 50 0 0

1 2 3 4 5 6 =

P "

400 350 300 250 200 150

0 1 2 3 4 5 6

P = ?

150 150 150 150 150 150

0

1 2 3 4 5 6 +

P'


A+(n-1)G

(n-1)G A+2G

2G A+G

A A A A G A

0 0 0 0

1 2 n-1 n + 1 2 3 n = 1 2 3 n

P' P " P

Al incremento constante se le denota por G, esta gráfica, en formageneralizada y con literales, es la siguiente grafica;

Cuando se trabaja con Series Gradiente siempre se tiene:

1. Un número de A igual a n.

2. Un número de G en el mismo diagrama de (n-1) ya que en el periodo 1todavía no existe el incremento debido a G.

3. Se pueden obtener dos presentes, P' y P ", cuya suma es la P deldiagrama original.

Para, calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como:Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 6

Para calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como:

La fórmula para calcular P'; y la fórmula para calcular P" sí es nueva, y no sepresenta su deducción por las razones ya expuestas con anterioridad.

En este caso, aparentemente haber dividido el problema en dos partesparece más complicado que la solución ofrecida.

Sin embargo, si el número de n es elevado, puede ser más cómodo utilizarlas fórmulas para resolver este tipo de problemas.

( )( )

+−+

= n

n

iiiAP

111´

( )( )

+

−

−+= n

n

in

ii

iGP

1111"


CASO 10.

Resuélvase el caso anterior mediante el empleo de las fórmulas deGradiente.

SOLUCION.

Los datos del problema son: A = 150; G = 50; i = 8 %; n = 6. Sustituyendo enlas fórmulas se tiene:

( )( )

( )( )

60.121908.01

1608.0

108.0108.0

5008.0108.0

108.01150 6

6

6

6

=

+

−

−++

+−+

=P

El uso de las fórmulas de series gradiente también es adecuado cuando éstees decreciente.


900 850 800 750 700

650 600 550 500

450 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = P

CASO 11.

Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientescondiciones: Se hace un primer pago de S/. 900 un mes después de la fechade adquisición y nueve pagos mensuales adicionales, cada uno de los cualesdisminuye en S/. 50 el pago del mes anterior (el segundo mes se pagaránS/. 850, el tercer mes S/. 800, etc.), Si el interés que carga lacomercializadora es de 1 % capitalizado mensualmente, ¿cuál será el valor apagar de contado por la compra de la PC?SOLUCION.

En este caso existe un gradiente negativo que se representa mediante lagráfica;

Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H.

9

900 850 800 750 700

650 600 550 500

450 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = P

450 400 350 300 250

200 150 100 50

0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = P "

900 900 900 900 900 900 900 900 900 900 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + P'


SOLUCION.

Los datos son: A =900; G = 50; i = 1%; n = 10; P = P' - P"

Si se usa la fórmula básica, de la gráfica se obtiene:

( )( )

( )( )

+

−

−+−

+−+

= 10

10

10

10

01.01110

01.0101.01

01.050

01.0101.0101.01900P

( ) ( ) 64328431.41504713.9900 =−=P

( ) ( ) ( ) ( )6432

01.01450

01.01500.............

01.01850

01.01900

10921 =+

++

+++

++

=P


USO DE NOTACION SIMPLIFICADA Y TABLAS DE FACTORES

Se tiene dos fórmulas básicas que se pueden reescribir como sigue:

( ) )......(....................1 AiPF n+=

( )).........(....................

1B

iF

P n+=

A la porción de la fórmula dentro del paréntesis cuadrado se le llama factor;a la de la fórmula (A) se le llamaría "factor para calcular un futuro si seconoce el presente", o en forma simplificada (F/P, i, n ), que puede leersecomo "factor de un futuro dado un presente, a determinadas i y n".


Por lo tanto la fórmula (A) se puede anotar como sigue:

A esta última también se le numeró como (A) debido a que es exactamentela misma fórmula original pero con notación simplificada.

Procediendo de una manera similar, al factor de la fórmula (B) se le puedellamar "factor de un presente dado un futuro" y puede escribirse como:

( ) ( )niPFPFAiPF n ,,/)......(....................1 =⇒+=

( )( )niFPFPB

iFP n ,,/)........(....................

1=⇒

+=


Formula Original Notacion Simplificada

Nombre del Factor

( )[ ]nniPF += 1 = P (F/P, i, n) Futuro dado un Presente

(A)

( )

+= ni

FP1

1 = F(P/F, i, n)

Presente dado un Futuro

(B)

( )( )

−++

=11

1n

n

iiiPA = P (A/P, i, n)

Pago Uniforme dado un Presente

(C)

Las Fórmulas son sólo derivaciones de las formulas básicas (A) y (B); esasfórmulas adicionales pueden facilitar los cálculos de cierta manera y paraellas también se ha aceptado la notación simplificada.

A continuación se presentan las fórmulas originales y su notaciónsimplificada, haciendo énfasis en que los factores son la parte de cadauna encerrada en el paréntesis cuadrado de la fórmula y del paréntesis dela notación simplificada


Formula Original Notacion Simplificada

Nombre del Factor

( )( )

+−+

= n

n

iiiAP

111

= A (P/A, i, n) Presente dado un Pago Uniforme

(D)

( )

−+=

iiAF

n 11 = A (F/A, i, n) Futuro dado un

Pago Uniforme (E)

( )

−+=

11 niiFA = F (A/F, i, n) Pago Uniforme

dado un Futuro (F)

( )( )

+

−

−+

= n

n

in

ii

iGP

11111

= G (P/G, i, n) Presente dado un Gradiente

(G)

( )

−

−+

= n

ii

iGF

n 111 = G (F/G, i, n)

Futuro dado un Gradiente

(H)

( )

−+−=

111

nin

iGA = G (A/G, i, n)

Pago Uniforme dado un Gradiente

(I)

... Continuación


Por lo tanto la fórmula (A) se puede anotar como sigue:

A esta última también se le numeró como (A) debido a que es exactamente lamisma fórmula original pero con notación simplificada.

Procediendo de una manera similar, al factor de la fórmula (B) se le puedellamar "factor de un presente dado un futuro" y puede escribirse como:

( ) ( )niPFPFAiPF n ,,/)......(....................1 =⇒+=

( )( )niFPFPB

iFP n ,,/)........(....................

1=⇒

+=

METODOLOGIA DE CALCULO CON EL USO DE LA TABLA DE FACTORES


TABLAS DE FACTORESFórmula Original Notación

Simplificada Nombre del Factor

( )[ ]nniPF += 1 = P (F/P, i, n) Futuro dado un Presente (A)

( )

+= ni

FP1

1 = F(P/F, i, n) Presente dado un Futuro (B)

( )( )

−++

=11

1n

n

iiiPA = P (A/P, i, n) Pago Uniforme dado un

Presente (C)

( )( )

+−+

= n

n

iiiAP

111 = A (P/A, i, n) Presente dado un Pago

Uniforme (D)

( )

−+=

iiAF

n 11 = A (F/A, i, n) Futuro dado un Pago Uniforme (E)

( )

−+=

11 niiFA = F (A/F, i, n) Pago Uniforme dado un

Futuro (F)

( )( )

+

−

−+

= n

n

in

ii

iGP

11111 = G (P/G, i, n) Presente dado un

Gradiente (G)

( )

−

−+

= n

ii

iGF

n 111 = G (F/G, i, n) Futuro dado un Gradiente (H)

( )

−+−=

111

nin

iGA = G (A/G, i, n) Pago Uniforme dado un

Gradiente (I)


17

( )( )

096422.0108.01

08.0108.023

23

=

−++

Aplicación:Ahora bien, si se desea usar las tablas, he aquí un ejemplo de cómo hacerlo.Supóngase que en determinado problema se desea calcular el Pago Uniformedado un Presente utilizando el factor (A/P, i, n) con los siguientes datos: i = 8 % yn = 23. El cálculo es:

Presente dado un Pago Uniforme A (P/A, i, n)

Si; el Valor Presente es de S/. 1,500.00 determine la amortización A:( )

( )APA 096422.0

108.0108.0108.023

23

=

−++

=

PA 096422.0= ( ) A=1500096422.0 A = 144.633

Si utilizamos las tablas de factores, localizamos primero la Tasa de interés del 8% acontinuación la columna del factor (A/P) y buscamos hacia abajo hasta intersectar conn=23.El Valor de la tabla es de 0.0964 y aplicamos la deducción de la formula: PA 0964.0=

A = 144.6

( )( )

−++

=11

1n

n

iiiPA


( )( )

096422.0108.01

08.0108.023

23

=

−++

La notación simplificada permite el uso de las tablas de factores de interéscapitalizado que aparecen en los diferentes Textos.

Con fines didácticos y cuando sólo se cuenta con una calculadora de bolsillopoco potente, el uso de las tablas es recomendable, sin embargo, en laactualidad hay calculadoras de bolsillo no sólo potentes sino programableso ya programadas para realizar cálculos de este tipo; en caso de que sedomine el concepto implícito en las fórmulas y se cuente con una buenacalculadora, será mejor usar esta última y no las tablas.

Ahora bien, si se desea usar las tablas, he aquí un ejemplo de cómohacerlo. Supóngase que en determinado problema se desea calcular elfactor (A/P, i, n) con los siguientes datos: i = 8 % y n = 23. El cálculo es:


DENOMINACION TABLAS DE FACTORES DE INTERES DISCRETO

(F/P, i, n) Factor de una cantidad capitalizada

(P/F, i, n) Factor de una cantidad descontada o traída al presente

(A/P, i, n) Factor de Recuperación de Capital

(P/A, i, n) Factor de Descuento de series Uniformes

(F/A, i, n) Factor de Series Uniforme Capitalizado

(A/F, i, n) Factor de un Fondo de Series Uniformes que se capitaliza en el Futuro

(P/G, i, n) Factor para descontar series Gradiente

Nomenclatura Utilizada:


. M. Hamilton Wilson H.22

EL CONCEPTO Y USO DE EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

El término equivalencia significa tener igual valor o comparar encondiciones similares un valor.

Dado el fenómeno inflacionario presente en cualquier tipo de economía,ya sea de un país avanzado o de uno en vías de desarrollo, una unidadmonetaria actual no tiene el mismo poder adquisitivo que tendrá dentrode un año, es decir, no son equivalentes pues no se están comparando bajolas mismas condiciones.

Dado que lo único que hace diferente en poder adquisitivo a esa unidadmonetaria es el tiempo, una base lógica y adecuada de comparación podríaser medir el valor de ese dinero en un solo instante, ya sea eldía de hoy, dentro de un año o en cualquier instante, pero que sea el mismoinstante de tiempo.


80 80 70 70 60

0 1 2 3 4 5 B B

Supóngase que se originan una serie de flujos de efectivo en una empresa,que pueden representarse como se muestra en la gráfica:

¿Se desea conocer las cantidades B?

Veamos que las cantidades de arriba del diagrama no son iguales y las dela parte inferior, siendo iguales, no están ni en el mismo tiempo ni enperiodos consecutivos*.

*El concepto de equivalencia la tasa de interés es determinante, ya que B = 164 sólo escierto si la tasa de Interés es del 10 %.

Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H.24

En el diagrama de flujo de la situación bajo análisis, se puede declarar elsiguiente teorema fundamental:

Por tanto, para obtener una ecuación que resuelva el problema de la gráfica deberán trasladarse

todos los flujos (de arriba y de abajo) a un solo instante de tiempo (usualmente el presente o el

futuro) e igualar la ecuación que traslade los flujos de arriba con la que traslade los flujos de abajo.

“Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo instante”


Todo problema puede ser resuelto si se siguen estos pasos:

Dibújese el diagrama de flujo del problema.

a) Recuérdese que cuando dos entidades intercambian dinero, el diagramade flujo de una es contrario al diagrama de flujo de la otra.

b) Por ejemplo, si una persona deposita dinero en un banco, para lapersona el depósito es un flujo negativo, mientras que para el banco, espositivo. Los flujos de efectivo se invierten cuando se hace un retiro.

c) Sin importar la referencia, considérese "ARRIBA" los flujos que hayanquedado por encima de la línea del diagrama de flujo, y "ABAJO" losflujos que hayan quedado por debajo de la misma línea.

d) El teorema fundamental simplemente declara que, ya obtenido eldiagrama de flujo, se iguale lo de "arriba" a lo de "abajo", tomando comoreferencia cualquier periodo de tiempo, es decir, igualar a su valorequivalente.


Para este cálculo, se utilizaron las fórmulas básicas

Este resultado ha obtener muestra que efectivamente:

“Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en unmismo instante",

Para ser considerado como el teorema fundamental de la IngenieríaEconómica, será siempre que el diagrama de flujo sea correctamentetrazado y que se aplique sin error las fórmulas básicas:

( )niPF += 1

( )niF

P+

=1

Formulas que trasladan el valor del dinero a través del tiempo, a sus valores equivalentes.


Resuélvase B para cada una de las igualdades planteadas.

Resolviendo el problema planteado en la gráfica se tiene:

Abajo Periodo de referencia: año 0 Arriba

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432131 1.0180

1.0170

1.0160

1.0180

1.0170

1.011.01 ++

++

++

++

+=

++

+BB


( ) ( ) ( ) ( ) ( )43212 1.0180

1.0170

1.0160

1.018070

1.01 ++

++

++

++=

++

BB


( )( )

( )( ) ( ) ( )321

11

1

1.0180

1.0170

1.0160801.0170

1.011.01

++

++

++++=

+++

BB


28




( ) ( ) ( )( ) ( )21

122

1.0180

1.0170601.01801.01701.01

++

++++++=++ BB

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1

12313

1.0180701.01601.01801.01701.011.01+

+++++++=+++ BB

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 801.01701.01601.01801.01701.011.01 123424 ++++++++=+++ BB

En todas, B será igual a 164.Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 29

INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO

En este curso se ha considerado a un año como el periodo más usual enque se puede cobrar un interés, sin embargo, en la vida cotidiana hayperiodos mucho más cortos, en los cuales es posible ganar interés.

Estos periodos pueden ser: semestrales, trimestrales, mensuales, deacuerdo con sus necesidades.

Cuando se presentan situaciones de este tipo, puede manejarse variosconceptos respecto de las tasas de interés.

Por ejemplo:

Un banco paga a sus depositarios 12 % de interés anual capitalizadocada año. En este caso al 12 % se le llama tasa nominal anual y/otasa efectiva anual, puesto que sólo después de transcurrido un añoes posible cobrar ese interés.


Un banco paga a sus depositarios 12 % de interés anual capitalizadocada tres meses.

En este caso, 12% sigue siendo la tasa nominal anual, pero dado que secapitaliza en periodos menores a un año, existe una tasa efectiva porperiodo (trimestral, en este caso), y una tasa efectiva anual.

La tasa efectiva por periodo iefectiva trimestral (en este caso) se obtienedividiendo la tasa nominal anual entre el número de periodos que tenga elaño.

Por tanto:

=

periodosdenumeroi

i anualalnoperiodoporefectiva __

_min__

En este caso,

03.0412.0

_ =

=trimestralefectivai o sea 3%


La tasa efectiva anual se obtiene cuando se aplica la siguientefórmula:

En este caso seria:

( )[ ] 10011 _______ xii añoporperiododenumero

periodoporefectivaAnualefectiva −+=

( )[ ] %55.12100103.01 4_ =−+= xi Anualefectiva

Obsérvese que el hecho de capitalizar en periodos menores de un año haceque la tasa efectiva anual sea ligeramente mayor que la tasa nominalanual.

Así, la fórmula puede reescribirse de la siguiente manera:

1001____

1____

_min_ x

añoporperiodosdenumeroi

iañoporperiododenumero

anualalnoAnualefectiva

−

+=

Con la fórmula se calculará el interés efectivo anual para observar cómo,mientras el periodo de capitalización se hace más corto, el interés efectivoanual crece.


Periodo de

Capitalizacion Calculo de interes efecitvo anual

Interes nominal

anual Interes efectivo por periodo

Semestral %36.121001212.01

2

=

−

+= xief

12% 06.0212.0

==efsemi

Cuatrimestral %486.121001312.01

3

=

−

+= xief

12% 04.0312.0

. ==efcuati

Trimestral %551.121001412.01

4

=

−

+= xief

12% 03.0412.0

. ==eftrimi

Se toma como base el interés anual igual al 12 %. Aplicamos laformula;


P e r i o d o d e

C a p i t a l i z a c i o n C a l c u l o d e i n t e r e s e f e c i t v o a n u a l

I n t e r e s

n o m i n a l

a n u a l

I n t e r e s e f e c t i v o p o r p e r i o d o

M e n s u a l %683.1210011212.01

12

=

−

+= xief

1 2 % 01.01212.0

. ==efmensi

S e m a n a l %734.1210015212.01

52

=

−

+= xief

1 2 % 0023.05212.0

==efsemanali

D i a r i o %7447.121001365

12.01365

=

−

+= xief

1 2 % 000328.0365

12.0==efdiai

C a d a 8 h o r a s %748.1210013365

12.013365

=

−

+= x

xi

x

ef 1 2 % 000109.01095

12.0.8 ==hsefi

........ Continua;


INTERÉS CONTINUO

Si se continuaran haciéndose cálculos sobre periodos cada vez más cortos,por ejemplo, capitalización cada hora, cada minuto..., se llegaría a unlímite que se puede escribir como:

Limite iefectivo cuando numero de periodos por año → ∞

1001____

1____

_min_ x

añoporperiodosdenumeroi

iañoporperiododenumero

anualalnoAnualefectiva

−

+=

y esto a su vez puede escribirse como:

( )( )[ ] 1001_min__ xei nanualalnoi

Anualefectiva −= donde n = número deaños


calculando para:

¡nominal anual = 12 % y n = 1 (un año) se tiene:

Con las fórmulas anteriores se comprueba que, conforme se reduce elperiodo de capitalización, la tasa efectiva anual aumenta hasta un límiteque es la capitalización continua, calculada con la fórmula.

[ ] %74968.121001112.0_ =−= xei x

Anualefectiva


CONCLUSIONES

Se han presentado los conceptos fundamentales dé la ingenieríaeconómica, de hecho, existen dos fórmulas básicas, e incluso se puedeafirmar que es una sola fórmula la que gobierna el traslado del dinero através del tiempo.

La demostración es tan clara que las demás fórmulas son derivaciones deésta.

Así, es posible resolver cualquier tipo de problemas con esta fórmula básicay con la aplicación del teorema fundamental: lo que está arriba es igual alo que está abajo comparado en un solo instante.

Traducido a un lenguaje económico, el teorema fundamental significaría: loque yo debo, es exactamente igual a lo que debo pagar.


Si pago de contado, las cantidades son exactamente las mismas; si lo hagoa plazos, las cantidades parecerán distintas por los intereses que sepagarán, pero, nuevamente, si esas cantidades con intereses se trasladana un solo instante de tiempo, como el presente, las cantidades que sedeben y que se pagarán, serán exactamente las mismas.

Una violación de este teorema fundamental implicaría pagar más de lo quedebemos, o bien, que nos cobrarán menos de nuestra deuda.

Por tanto, el teorema es inviolable, como justos deben ser los cobros deuna deuda como esperan todos los que piden prestado en la vida real*.

*Al margen de lo anterior cabe mencionar que en los diagramaspropuestos para solucionar los ejemplos, el sentido de las flechaspodría invertirse, con lo que se mostraría el punto de vista delcomprador o de la contraparte que ejecuta la acción económica delproblema.

.......... Continua:


0

1 2 3 4 5 P

PROBLEMA Nº 01Determine el valor de P en la grafica mostrada, si la i = 10%.

SOLUCION.

P = ?;

i = 10 %;

n = 5

( )niPF += 1

( )niF

P+

=1

Formulas que trasladan el valor del dinero a través del tiempo, a sus valores equivalentes.


SOLUCION 1A.

Aplicamos llevar directamente y por separado las cantidades de losperiodos 4 y 5 hasta el periodo cero.

P= 30 (P/F, 10%, 4) + 40 (P/F, 10%, 5)

( )

+

= niFP

11

F (P/F, i, n)Formula simplificada

del calculo del Presente dado un Futuro

( ) ( ) ( ) ( )32.45

1.0140

1.0130

10.01140

10.01130 5454 =

++

+=

++

+=P

Reemplazando;

P = 45.32Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 40


44


47

52

! GRACIAS POR SU ATENCION !

!Seguimos trabajando hasta la Próxima Clase!


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