Cinemática

MECANICA

CINEMATICA DINAMICA

Campo de la Física que estudia el movimiento de los objetos y conceptos afines de

fuerza y energía.

Es la descripción de cómo se mueven los

objetos

Estudia la fuerza y las causas que provocan

que los objetos de muevan como lo hacen

En este capitulo trataremos:

La descripción de un objeto que se mueve SIN ROTACION (movimiento de traslación) a lo largo de una trayectoria en línea recta.

Se escogerá un marco de referencia. Elegiremos el eje x como línea a lo largo del cual se llevara a cabo el movimiento. Si el movimiento es vertical, como para los objetos que caen, escogeremos el eje y.

POSICION

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

La posición de la partícula en cada instante está determinada por un vector que la señala. A medida que la partícula cambia de posición en el tiempo, el vector se desplaza con ella. La dependencia de r en el tiempo, se indica r = f (t).

DISTANCIA.- Longitud de la trayectoria recorrida por un objeto.

DESPLAZAMIENTO.- Es el cambio de posición de un objeto, es decir, que tan lejos esta el objeto de su punto de partida o referencia.

La distancia es un ESCALAREl desplazamiento es un VECTOR.

DISTANCIA ≠ DESPLAZAMIENTO

DESPLAZAMIENTO

La posición del objeto está definida por su desplazamiento medido desde un punto O, u origen.

El desplazamiento Δx puede relacionarse con el tiempo mediante una relación funcional Δ x = f ( t )

El desplazamiento de la partícula cuando se mueve de P a Q en

t = tf -ti P, ti

Q, tf

rf

ri

r

x

y

Trayectoria de la partícula

O

es igual al vector:

r = rf - ri.

¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?

B

t1

t2

No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo

A

r

Una persona camina 70 m hacia el este y luego da la vuelta y camina de regreso (oeste) una distancia de 30 m.¿Cuál es la distancia total recorrida ? y ¿Cuál es el desplazamiento?

XEste

y

oOeste

70m

30m40 m

Distancia Total = 100 m

Desplazamiento = 40m

Ejercicio № 2Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 10m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=30m. ¿ Cual es el desplazamiento del objeto?

X (m)

y

o

X₁ X₂

10 20 30

∆X = X₂- X₁ DESPLAZAMIENTO

∆x = 30 – 10 = 20 m

Ejercicio № 3Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 30m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=10m. ¿ Cual es el desplazamiento del objeto?

X (m)

y

o

X₂ X₁

10 20 30

∆X = X₂- X₁ DESPLAZAMIENTO

∆x = 10 – 30 = -20 m

RAPIDEZ. MEDIA- Es la distancia total recorrida por un objeto a lo largo de su trayectoria, dividida por el tiempo que le toma recorrer esa distancia.

VELOCIDAD MEDIA- Es el desplazamiento de un objeto dividido para el tiempo transcurrido durante el mismo.

La Rapidez es un ESCALARLa Velocidad es un VECTOR.

RAPIDEZ ≠ VELOCIDAD

Vector velocidad media

Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como:

sm

tt

rr

tr

V12

ttm

12

y

x

t1

t2

A

B

rmV r//Vm

)(t1r

)(t2r

La velocidad media apunta en la misma dirección del vector desplazamiento

Rapidez mediaLa rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado.

tl

empleadotiemporecorridadistancia

v~m

• La rapidez media NO es un vector.

• La rapidez media NO es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo).

mm Vv

Y(m)

x(m)

t1

t2Δl

:Δl Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2]

r

Ejemplo № 4Una persona camina 70 m hacia el este y luego da la vuelta y camina de regreso (oeste) una distancia de 30 m. Asumir que la caminata tardó 70s en completarse.¿Cuál es la rapidez promedio ? y ¿Cuál es la velocidad promedio?

XEste

y

oOeste

70m

30m40 m

Rapidez promedio = 100 m/70s = 1.4 m/s

Magnitud velocidad promedio = 40m/70s= 0.57m/s

Ejercicio № 5Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 10m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=30m. ¿ Cual es la velocidad promedio del objeto, si ∆t = 10s?

X (m)

y

o

X₁ X₂

10 20 30

X₂- X₁

VELOCIDAD PROMEDIO

V = 2 m/s hacia el Este

t₂- t₁ ṽ =

La dirección de la velocidad promedio es siempre la misma que la dirección del desplazamiento

La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad media, r/t, conforme t tiende a cero.

dt

d

tt

rr

lim

0

VDirección de Velocidad

Instantánea:

El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria que describe la partícula en el punto P.

Q

Q’Q’’

r1

r3 r2

P

Dirección de v en P

x

y

O

La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo

Rapidez instantánea

La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea

dtdr

tr

limv~ 0t(t)

)t((t) vv~

rt1

t2

Δl

tl

v(t) 0

~tlim

Si 0Δt rt1

t2

Δl

rl dr

vtd

dr

La distancia que falta por recorrer para llegar a Durham es de 18 km La distancia que falta por recorrer para llegar a Durham es de 18 km medida a lo largo de la carretera, desde el punto en que aparece el medida a lo largo de la carretera, desde el punto en que aparece el letrero.letrero.

El odómetro de un auto registra la rapidez instantánea que lleva el El odómetro de un auto registra la rapidez instantánea que lleva el vehículo en un instante de tiempo.vehículo en un instante de tiempo.

Ejemplo: Un muchacho se desliza con su patineta sobre la pista circular, desde O hasta B, como se indica en la figura 2.29. Si le toma 1,41 s recorrer su trayectoria, determine la velocidad media hasta este punto y la longitud de la trayectoria recorrida durante este tiempo OB

O

B

R = 3 m

O

B

3 m

r = 3 i - 3 j. m

ji41.1

3

41.1

3

t

rv

m2

3

2

r

S

ACELERACION MEDIASe denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo t=t'-t.La aceleración de un cuerpo es una función del tiempo.

2

12

12m s

m

tt

)(tV)(tVa

La aceleración instantánea, a, se define como el límite de la razón, v/t, cuando t tiende a cero:

dt

d

tt

vva

lim0

La aceleración se produce por:1.- Cambio en la magnitud del vector velocidad.2.- Cambio en la dirección del vector velocidad.3.- Cambio en la magnitud y dirección del vector velocidad.

dtˆd

vdtdv

ˆa

La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t.

(t)a dt

ˆvddtdV

nv

v

ˆdtdv

anaˆaa n

dtdv

a

2

nv

a

2n

2 aaa

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél movimiento cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t.

MOVIMIENTO RECTILINEO

Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Un automóvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h durante los primeros 30 min de su trayectoria recta; luego aumenta su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30 s, su velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un obstáculo, por lo que retrocede 100 m en 30 s y se detiene. Encontrar su velocidad media desde el inicio de su movimiento hasta que se detiene.

hmin

hminmint

2

1

60

1 30 301

kmm

kmmmx

10

1

10

1100100

3

hs

hsst

120

1

3600

1 30 302

hs

hsst

120

1

3600

1 30 30

totaltiempo

totalentodesplazami

t

x

v

tttxtvtv

v

21

2211

hkm

hv / 7.9

h 120

1h

120

1 h

2

1km 10/1h 1/120 12 2/1 10 h

kmh

km

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

La posición x del móvil en el instante t lo podemos ver en la representación de v en función de t.

La función desplazamiento es el área bajo la curva de la función velocidad

Por tanto el desplazamiento será

x ( t ) =  x0 + v . t

Donde x0 será la posición inicial del móvil.   

El gráfico adjunto representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si al tiempo t=0, la partícula se encuentra en la posición x= -100 m, ¿cuál es la posición de la partícula a los 15 s?

Los gráficos mostrados representan el movimiento de una partícula en línea recta. ¿Cuál es la posición de la partícula a t=0?

PROBLEMA

Un auto A realiza un viaje de 200km a una rapidez media de 40 km/h. Otro auto B sale una hora mas tarde y llega al mismo lugar y al mismo tiempo que el auto A, Calcule la rapidez media del segundo Auto.

SOLUCION

t = DISTANCIA / VEL.

tA =200/40= 5h

tB = 5h - 1h= 4h

VB = 200 / 4= 50 km/h.

Un ciclista cruza un semáforo con una velocidad constante de 15 km/h. Después de 15 minutos un segundo ciclista pasa por el mismo semáforo pero a una velocidad de 40 km/h, en dirección a la meta situada a 10 km en línea recta a partir del semáforo. ¿Después de qué tiempo los dos ciclistas se encontrarán?. ¿Después de qué tiempo a partir de la llegada del primero que arribe a la meta llegará el siguiente?

hvv

vttt

hkm

hp

5

2

15-40

40h 4/1 km

12

2

hv

xt

h

m

3

2

15

km 10km

11 h

v

tvxt pm

2

1

40

h 4/1 40km 10

hkm

hkm

2

22

t = t1 - t2 = 0,67 h - 0,50 h = 0,17 h = 10 min

Movimiento Uniformemente Movimiento Uniformemente AceleradoAcelerado

tvv o(t) a

at

tt

Pendiente =

a

xo

x(t)

t

Pendiente = v0

pendiente = v(t)

2

oo(t) t21

tvxx a

O t

a

aPendiente = 0

a

Movimiento Rectilíneo Movimiento Rectilíneo Uniforme MRUUniforme MRU

datoa :0

atVV 0

0

2

2

00

attVxx

0

aa

VV

xx

tt

tt

tt

xx00

VV00

Movimiento ParabólicoMovimiento Parabólico0xa

xx VV 0

tVxx x00

MRU MRU

Eje xEje x

gay gtVV yy 0

2

2

00

gttVyy y

MRUV MRUV

Eje yEje y

av

x

t t

t

v0

-v0-g

tvtv/2

tv

H

jga

gtvv0

2gt21

tvyy00

M.R.U.A.M.R.U.A.Movimiento en línea recta en donde se produce un cambio del vector velocidad.

M.R.U.A.M.R.U.A.Movimiento en línea recta en donde se produce un cambio del vector velocidad.

Calculo de distancia recorrida, desplazamiento, rapidez y velocidad media en un MRUA

v (m/s)

t (s)

v1

-v2

t1

t2t3

Distancia recorridaDistancia recorrida

d =d = Áreas Áreas (sin considerar signos)(sin considerar signos)

A1 A2

A3

d= Ad= A11 + A + A22 + A + A33

d= vd= v11tt11 + + ½(t½(t22 –t –t11)v)v11 +½(t +½(t33 –t –t22)v)v22

Desplazamiento resultanteDesplazamiento resultante

D =D = Áreas Áreas (considerar signos)(considerar signos)

D= AD= A11 + A + A22 - A - A33

D= vD= v11tt11 + + ½(t½(t22 –t –t11)v)v11 -½(t -½(t33 –t –t22)v)v22

Rapidez mediaRapidez media r = d/t =r = d/t = Áreas Áreas (sin considerar signos)(sin considerar signos) tt

Velocidad mediaVelocidad media v = D/t =v = D/t = Áreas Áreas (considerar signos)(considerar signos) tt

3.-Dos cuerpos se mueven de acuerdo a la siguiente gráfica, 3.-Dos cuerpos se mueven de acuerdo a la siguiente gráfica, partiendo desde el origen, encuentre que tiempo transcurre para partiendo desde el origen, encuentre que tiempo transcurre para que la separación entre ellos sea de 60 metros. que la separación entre ellos sea de 60 metros.

X (m) a)14 s. b)1 min.c)0.5 min. 8 Ad) 2 min. Be) 50 s. 2 10 t(s)

dA –dB = AA – AB = ½t(hA) -½t(hB)= ½t[vAt –vBt]= ½t2[vA-vB]

=½t2[mA-mB] = 60

=½t2[8/10- 2/10] = 60

t =[60(2)(10/6)]½= 14.14 s

Aceleración en gráficas x vs t

La gráfica x vs t tiene La gráfica x vs t tiene forma parabólica cuando se forma parabólica cuando se trata de un movimiento trata de un movimiento aceleradoacelerado..

La velocidad de la partícula La velocidad de la partícula se calcula en base a la se calcula en base a la pendiente de la línea pendiente de la línea tangente a la curva para un tangente a la curva para un tiempo t.tiempo t.

La aceleración media de la La aceleración media de la partícula se calcula en base partícula se calcula en base a la expresión:a la expresión:Vmedia= v = vf –vo

t t

Lo cual corresponde a la diferencia de los valores de pendiente entre Lo cual corresponde a la diferencia de los valores de pendiente entre dos puntos de la curva.dos puntos de la curva.

Aceleración media vs aceleración instantáneaAceleración media vs aceleración instantánea

El área representa la velocidad media en El área representa la velocidad media en el intervalo de 0 a tel intervalo de 0 a t

xx = v= voot + t + ½at½at22

VVff = v = voo + at + at

Ecuaciones cinemáticas

x= vx= voot + t + ½at½at2 2 (1) (1)

VVf f = v= voo + at (2) + at (2)

vvff22= v= voo

22 + 2ax (3) + 2ax (3)

vvpp = (v = (voo + v + vff)/2 (4))/2 (4)

X = vX = vppt (5)t (5)

TIRO PARABÓLICOTIRO PARABÓLICO

v= vv= vxxî +vî +vyyĵĵ

v= vv= vooCosCos î +(vî +(voosensen - gt) ĵ - gt) ĵ

Vector Posición rVector Posición r

r= vr= voxoxt t îî + (v + (voyoyt - t - ½gt½gt22)ĵ)ĵ

r= (vr= (voocoscos)t )t îî + (v + (voosensen t - t - ½gt½gt22)ĵ)ĵ

Alcance y altura máximaAlcance y altura máxima

Tiempo de subida tTiempo de subida tss

ttss= V= Voyoy/g/g

VVyy =0 en el punto =0 en el punto máximomáximo

VVyy = v = voyoy -gt -gt

Altura máximaAltura máxima

VVyy22 =v =voyoy

22 – 2gh – 2gh

hhmaxmax= = vvoyoy22

2g2gTiempo de caída tTiempo de caída tcc

Es igual al tiempo de Es igual al tiempo de subida si el cuerpo llega subida si el cuerpo llega al mismo nivel desde al mismo nivel desde donde se lanzódonde se lanzó

Alcance Alcance R = vR = voxox t tvv

tiempo de vuelo tiempo de vuelo t tvv= t= tss + t + tc c = 2t= 2tss

Alcance máximo Alcance máximo

Ejercicio:Ejercicio: Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s sobre un blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una sobre un blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una distancia horizontal de 3600 m. Despreciando la resitencia del aire, distancia horizontal de 3600 m. Despreciando la resitencia del aire, determine el valor del ángulo de tiro determine el valor del ángulo de tiro ..

VVoxox = v = voo cos cos = 240 cos = 240 cos

x =x = (240 cos 240 cos ) t) t

3600=(240 cos 3600=(240 cos ) t) t

t= t= 3600 3600 = = 15 . 15 . 240 cos 240 cos cos cos

Movimiento horizontalMovimiento horizontal

Movimiento verticalMovimiento vertical Y = vY = voyoy t - t - ½gt½gt22 600= 240sen 600= 240sen t - t - ½(9.81)t½(9.81)t22

600= 600= 240sen 240sen (15) - (15) - ½(9.81) ½(9.81) (15)(15)22

cos cos cos cos22

1104 tg1104 tg22 - 3600tg - 3600tg + 1704 = 0 + 1704 = 0

tgtg = 0.575 y tg = 0.575 y tg = 2.69 = 2.69

= 29.9º y = 29.9º y = 69.6º = 69.6º