)(tx)(ty

)(tz)(),(),(: tztytxposicin

,)(:dtdx

tVvelocidad x

dtdy

tVy )(

dtdz

tVz )(

dtdV

tanaceleraci xx )(:

dtdV

ta yy )(

dtdV

ta zz )(

De Coord.y

x

zzyxentodesplazami ,,:

yx

t1

t2

A

B

r

r(t1)

r(t2)

r(t1) Vector posicin en el instante t1r(t2) Vector posicin en el instante t2

El vector desplazamiento en el intervalo detiempo [t1 , t2] esta dado por:

Es importante conocer la trayectoriadel mvil para hallar el vectordesplazamiento?

)t()t( 12 rrr

Se define el vector velocidad mediaen el intervalo de tiempo [t1 , t2]como:

yx

t1

t2

A

B

rmV

r//Vm

)(t1r

)(t2rLa velocidad media apunta en la misma

direccin del vector desplazamiento

Y(m)

x(m)

t1

t2l

:l Distancia total recorrida en elintervalo de tiempo [t1 , t2]

r

La rapidez media es igual a ladistancia total recorrida entreel tiempo total empleado

tl

empleadotiemporecorridadistancia

v~m

La rapidez media no es un vector La rapidez media no es igual al mdulodel vector velocidad media (para el mismointervalo de tiempo)

mm Vv

t3A

Y(m)

x(m)

El vector velocidadinstantnea estangente a la

trayectoria quedescribe la partcula

t2

t1

)v(t1 )v(t2 )v(t3 vv

t2

t'2

t"2

t1

B

A

Y(m)

x(m)

v

r1

r

r2

mV

r2'

r'

mV

r2"

r"

mV

La velocidad instantnea es laderivada del vector posicinrespecto del tiempo

dtdr

trlimv(t) 0t

Esta expresin podemosexpresarla en funcin de suscomponente rectangulares

dtdx(t)

vx dtdy(t)

vy dtdz(t)

vz

dtdr

trlimv(t) 0t

tlv(t)

0~ tlim

Si 0trt1

t2l

rl dr

vtd

dr

La rapidez instantnea es igual almdulo de la velocidad instantnea

dtdr

trlimv~ 0t(t)

)t((t) vv~ Al mdulo de la velocidadinstantnea se le conoce comorapidez instantnea

AY(m)

x(m)

t2t1

1212

m tt)V(t)V(t

a

)v(t1)v(t2

Se define la aceleracin media como larapidez de cambio de la velocidadinstantnea en un determinado intervalode tiempo

212

12m

s

m

tt)V(t)V(t

a

Y(m)

x(m)

La aceleracin en estepequeo intervalo de tiempoapunta hacia la concavidad

de la trayectoria

t)v(t

t1 )v(t1v

v atVlima ot(t)

a

Na

Ta

Es la aceleracin normal , responsabledel cambio de direccin de la velocidad

Es la aceleracin tangencial responsabledel cambio del modulo de la velocidad

dt(t)dv

a xx dt(t)dv

a yy dt(t)dv

a zz

Expresado en componentes rectangulares

dtdV

a

Si se conoce la posicin de la partcula con eltiempo r(t) podemos determinar su velocidad yaceleracin instantnea por simple derivacin

dtdr

v(t)

(t)

2(t)2(t)

(t)dt

rddt

dva naa

Resumen

As mismo si se conoce la aceleracin con el tiempoes posible encontrar la posicin y la velocidad usandoel camino inverso, es decir integrando:

dtadvdt

dva (t)

(t)(t)

tt

(t))(t(t)

O

O dtavv tt

(t))(t(t)

O

O dtavv

dtvdrdt

drv (t)

(t)(t) t

t

(t))(t(t)

O

O dtvrr

Son los vectores posicin y velocidad en el instante to

Ejemplo 1:Si el vector posicin de una partcula estadada por:

ktj1)2t(ti1)(2tr 423(t) Hallar:1) el vector posicin para t = 0 y 2 s2) el vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s4) su velocidad instantnea en t = 0 y t = 2 s5) su aceleracin media en el intervalo [0,2]s6) su aceleracin instantnea en t = 0 y 2s

Ejemplo 2:Si el vector posicin de una partcula estadada por:

k6)-t2(j(t)i)3(5tr 42(t) Hallar:1) el vector posicin para t = 1s y 5 s2) el vector desplazamiento en el intervalo [1,5]s3) su velocidad media en el intervalo [1,5]s4) su velocidad instantnea en t = 1s y t = 5 s5) su aceleracin media en el intervalo [1,5]s6) su aceleracin instantnea en t = 1s y 5 s

Podemos aplicar lo discutidoanteriormente al caso de unapartcula moviendose en unasola dimensin, por ejemploa lo largo del eje x.

X(t)

t

P

Q

R 0v

0v

0v

dtdx

v (t)

Velocidad instantnea

tti tf

t

a > 0a = 0

a < 0

Aceleracin instantnea

dtdv

a(t)

tti tf

t

En toda grfica v versus t el rea bajo lacurva es igual al desplazamiento del mvil

curvalabajoarea 21

t

t

vdtxv

dtdx

Diremos que un movimientorectilneo es uniforme variado si laaceleracin del mvil permanececonstante en todo momento.

Supongamos que una partculaparte de la posicin xo en elinstante t0=0 , con una velocidad vo

x t0

v

v

adtdvo

a

ov (t)vox

(t)xt=0

Como a= cte. entonces dv/dt=a es fcil deintegrar

tvv o(t) a Velocidadinstantnea

Problema inverso

Podemos ahora determinar la posicin de lapartcula en cualquier instante de tiempo t

t0

(t)dtvdxx

xo

t0

o t)dtvdx ax

xo

(

tvv o(t) a

2oo(t) t2

1tvxx a

xa

ov (t)vox

(t)xt=0

Hallaremos ahora una expresin paradeterminar la velocidad media en el intervalo detiempo [0, t]:

txVm t

x-xV o(t)m

xa

ov (t)vox

(t)xt=0

tx-x

V o(t)m

2oo(t) t2

1tvxx atv-v

a o(t)

Y usando las ecuacionesanteriormente deducidas

xa

ov (t)vox

(t)xt=0

2vv

tx-x

V o(t)o(t)m

Finalmente obtenemos

xa

ov (t)vox

(t)xt=0

xa2vv 202(t)

Tambin se puede demostrar:

Donde : 0(t) xxx Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo[0 , t]

x2vv 202(t)

a

Resumen

0(t) xxx [0 , t]

tvv o(t) a2

oo(t) t21tvxx a

2vv

tx-x

V o(t)o(t)m

2vv

ttx-x

V )(t)(t12

)(t)(tm

1212

[t1 , t2 ]

ctea MRUADespejando t en la1ra y sustituyendo

en la 2da, seobtiene la 3ra

tvv o(t) a

0 0

at

tt

xo

x(t)

t

Pendiente = v0

pendiente = v(t)

2oo(t) t2

1tvxx a

O t

a

aPendiente = 0

a

datoa :0

atVV 00

2

2

00at

tVxx

0

a

V

x

t

t

t

x0

V0

0xaxx

VV 0tVxx x00

MRUEje x

gay gtVV yy 0

2

2

00gt

tVyy y MRUVEje y