APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 29 CAPITULO 2 MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION ACERTIJO En un momento el cable de detencin se tensar y el aterrizaje a 140 millas/h de este F/A18 Hornet en la pista del portaaviones USS Nimitz concluir de manera sbita. El piloto cortar la corriente del motor y el avin se detendr en menos de 2 s. Si el cable no se ha acoplado con xito el piloto tendr que elevarse conrapidezantesdellegaralfinaldelacubiertadevuelo.Puededescribirsecuantitativamenteel movimiento del avin de tal forma que sea til para que los diseadores de los aviones, los navos y los pilotos aprendan a aterrizar sobre "un sello de correos"? (Cortesa del USS Nimitz/Armada de EE.UU.) Lneas generales del capitulo: 2.1 Desplazamiento, velocidad y rapidez 2.2 Velocidad y rapidez instantneas 2.3 Aceleracin 2.4 Diagramas de movimiento 2.5 Movimiento unidimensional con aceleracin constante 2.6 Objetos en cada libre 2.7 Ecuaciones cinemticas derivadas del clculo Etapas ROAA para resolver problemas APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 30 Comounprimerpasoenelestudiodelamecnicaclsicaesconvenientedescribirelmovimientoen trminosdelespacioyeltiempo,sintomarencuentalosagentesqueloproducen.Estapartedela mecnicaclsicarecibeelnombredecinemtica.(Lapalabracinemticatienelamismarazquecine. Tiene idea de a qu se debe esto?) En este captulo slo se considera el movimiento en una dimensin. Primero se define el desplazamiento, velocidad y aceleracin. Despus, con estos conceptos se estudia el movimiento de objetos que viajan en una dimensin con una aceleracin constante. Apartirdelaexperiencia cotidianasereconoceque elmovimientorepresentaelcambiocontinuoenla posicin de un objeto. La fsica estudia tres tipos de movimiento: traslacional, rotacional y vibratorio. Unautoquesemueveporunaautopistaexperimentaunmovimientotraslacional,elgirodiariodela Tierra sobre su eje es un ejemplo de movimiento rotacional, y el movimiento hacia adelante y hacia atrs de un pndulo es un ejemplo de movimiento vibratorio. En ste y en algunos de los siguientes captulos se estudiarsloelmovimientotraslacional.(Msadelanteenestelibroseanalizarnlosmovimientos rotacional y vibratorio.) Enelestudiodelmovimientotraslacionalsedescribealobjetoenmovimientocomounapartculasin importar su tamao. En general, una partcula es una masa parecida a un punto de tamao infinitesimal. Porejemplo,sisedeseadescribirelmovimientodelaTierraalrededordelSol,sepuedetratarala primeracomounapartculayobtenerinformacinrazonablementeprecisaacercadesurbita.Esta aproximacinsejustificaporqueelradiodelarbitadelaTierraesgrandecomparadoconlas dimensionesdenuestroplanetayelSol.Porejemplo,enunaescalamuchomspequea,esposible explicar la presin ejercida por un gas sobre las paredes de un recipiente considerando las molculas de gas como partculas. 2.1.DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y RAPIDEZ Elmovimientodeunapartculaseconoceporcompletosisuposicinenelespacioseconoceentodo momento. Considere un auto que se mueve hacia atrs y hacia adelante a lo largo del eje x como muestra lafigura2.1a.Cuandosecomienzaarecopilardatosdeposicinelautoesta30maladerechadela sealenelcamino.(Supongaquetodoslosdatosdeesteejemploseconocenhastadoscifras significativas. Para transmitir esta informacin es necesario reportar la posicin inicial como 3.0 x 101 m. Se escribi este valor en forma simplificada para hacer que el anlisis sea ms fcil de seguir.) Se echa a andar el reloj y cada 10 s se anota la ubicacin del auto en relacin con la seal. Como se puede ver en la tabla2.1,elautosemuevehacialaderecha(lacualsedefinecomoladireccinpositiva)durantelos primeros10sdemovimiento,desdelaposicinAalaposicinB.Sinembargo,ahoralosvaloresde posicin comienzan a: disminuir debido a que el auto est regresando de la posicin B a la posicin F. De hecho, en D, 30 s despus de que se comienza amedir, el carro est junto a la seal que se est usando como origen de las coordenadas. Contina movindose a la izquierda y est a ms de 50 m a la izquierda de la seal cuando se deja de registrar informacin luego del sexto dato. Una grfica con esta informacin se presenta en la figura 2.1b. Tal representacin recibe el nombre de grfica posicintiempo. TABLA 2.1. Posicin del carro en varios tiempos Posicint ( s )x ( m ) A030 B1052 C2038 D300 E4037 F5053 APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 31 Figura2.1a)Unautosemuevehaciaatrsyhaciaadelantealolargodeunalnearectaconsiderada comoejex.Debidoaqueseestinteresadosloenelmovimientodetraslacindelauto,esposible tratarlo como una partcula. b) Grfica posicintiempo para el movimiento de la "partcula". Siunapartculaestenmovimientosepuededeterminarfcilmenteelcambioensuposicin.El desplazamientodeunapartculase define comoelcambioensuposicin.Conformesemuevedesde una posicin inicial xi a una posicin final xf su desplazamiento est dado por xf xi. Se usa la letra griega delta () para denotar el cambio en cantidad. Por lo tanto, el desplazamiento, o cambio en la posicin de la partcula, se escribe como: i fx x x = (2.1) A partir de esta definicin se ve que x es positiva si xf es mayor que xi, y negativa si xf es menor que xi. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 32 Un error muy comn es no reconocer la diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida (Fig. 2,2), Cuando un jugador de bisbol batea un home run recorre una distancia de 360 pies en su viaje alrededor de las bases; sin embargo, su desplazamiento es 0 porque las posiciones final e inicial son idnticas. Figura 2.2 Vista a ojo de pjaro" de un diamante de beisbol. Un bateador que conecte un cuadrangular recorrer360piesconformedavueltaalasbases,perosudesplazamientoporelviajeredondoescero. (Mark C. Burnett/Photo Reseachers, Inc.) Eldesplazamientoesunejemplodecantidadvectorial.Muchasotrascantidadesfsicas,incluyendola velocidadylaaceleracin,tambinsonvectores,Engeneral,unvectoresunacantidadfsicaque requiere la especificacin tanto de una direccin como de una magnitud. En contraste, un escalar es unacantidadque tiene magnitudmsnodireccin.Enestecaptuloseusan lossignosmsymenos paraindicarladireccindelvector.Sepuedehacerestoporqueelcaptulotrataslodemovimiento unidimensional; esto significa que cualquier objeto que se estudie slo puede estarse moviendo a lo largo deunalnearecta.Porejemplo,paraelmovimientohorizontalseespecificardemaneraarbitrariala derechacomoladireccinpositiva.Deestosededucequesiemprequecualquierobjetosemuevaala derecha tendr un desplazamiento positivo + x, y cualquier objeto que se mueva a la izquierda tendr un desplazamiento negativo x. Los vectores se tratarn con ms detalle en el captulo 3. Existeunpuntomuyimportantequetodavanosehamencionado.Observequelagrficadelafigura 2.1bnosloconstadeseispuntos,sinoqueenrealidadsetratadeunacurvacontinua.Lagrfica contiene informacin acerca del intervalo completo de 50 s durante los cuales se observa el movimiento delauto.Esmuchomsfcilverloscambiosenlaposicinapartirde lagrficaquedeladescripcin verbaloinclusodeunatabladenmeros.Parejemplo,esclaroqueelcarroavanzmsalamitaddel intervalo de 50 s que al final. Entre las posiciones C y D el carro ha viajado casi 40 m, pero durante los ltimos10s,entrelasposicionesEyFsehamovidomenosdelamitaddeesadistancia.Unaforma comndecompararestosdiferentesmovimientosesdividireldesplazamientoxqueocurreentredos lecturasdelrelojentreladuracindedichointervalodetiempoparticulart.Estoseconvierteenuna proporcin muy til que se emplear en muchas ocasiones. Por conveniencia, a dicha proporcin se le ha dado un nombre especial: velocidad promedio. La velocidad promedio de la partcula xvse define corno el desplazamiento de la partcula, x, dividido entre el intervalo de tiempo, t, durante el cual ocurre el desplazamiento: Velocidad promedio txvx= (2.2) APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 33 dondeelsubndicexindicamovimientoalolargodelejex.Apartirdeestadefinicinsevequela velocidadpromediotienedimensionesdelongituddivididasportiempo(L/T),metrosporsegundoen unidades del SI. Aunqueladistanciarecorridaencadamovimientosiempreespositiva,lavelocidadpromediodeuna partculamovindoseenunadimensinpuedeserpositivaonegativa,dependiendodelsignodel desplazamiento.(Elintervalodetiempotsiempreespositivo.)Silacoordenadadeunapartcula aumentaconeltiempo(estoes,sixf>xi),entoncesxespositivoy xv =x/tespositivo.Estecaso corresponde al movimiento en la direccin x positiva. Si la coordenada disminuye en el tiempo (esto es, si xf < xi), entonces x es negativo y, por tanto,xves negativa. Este caso corresponde al movimiento en la direccin x negativa. Sepuedeinterpretarlavelocidadpromediodemanerageomtricadibujandounalnearectaentre cualesquiera dos puntos en la grfica posicintiempo de la figura 2.1b. Esta lnea forma la hipotenusa de un tringulo recto de altura x y base t. La pendiente de esta lnea es la relacin x/t. Por ejemplo, la lnea entre las posiciones A y B tiene una pendiente igual a la velocidad promedio del auto entre esos dos tiempos, (52 m 30 m)/(10 s 0) = 2.2 m/s. En la vida cotidiana los trminos rapidez y velocidad son intercambiables. En fsica, sin embargo, existe una clara distincin entre estas dos cantidades. Considere un corredor de maratn que corre ms de 40 km y, sin embargo, finaliza en el punto de partida. Su velocidad promedio es cero! No obstante, se debe ser capaz de cuantificar qu tan rpido estaba corriendo. Una relacin ligeramente diferente resuelve esto. La rapidezpromediodeunapartcula,unacantidadescalar,sedefinecomoelcocienteentrela distancia total recorrida y el tiempo total que lleva viajar esa distancia: Rapidez promedio: total tiempototal cia dispomedio Rapideztan= LaunidaddelSIdelarapidezpromedioesigualquelaunidaddelavelocidadpromedio:metrospor segundo.Sinembargo,adiferenciade lavelocidad promedio,larapidezpromedionotienedirecciny, por consiguiente, no lleva signo algebraico. Conocerlarapidezpromediodeunapartculanobrindaningunainformacinacercadelosdetallesdel viaje. Por ejemplo, suponga que usted tarda 8.0 h al viajar 280 km en su automvil. La rapidez promedio de su viaje es 35 km/h. Sin embargo, es probable que usted haya viajado a diversas velocidades durante el trayecto,ylarapidezpromediode35km/hresultaradeunnmeroinfinitodeposiblesvariacionesde rapidez. EJEMPLO 2.1. Clculo de las variables del movimiento Encuentre el desplazamiento, velocidad promedio y rapidez promedio del auto de la figura 2.1a entre las posiciones A y F. Solucin Las unidades de desplazamiento deben estar en metros, y los resultados numricos debern ser del mismo orden de magnitud que el de los datos de posicin proporcionados (lo cual significa probablemente no 10 o100vecesmsgrandeopequeo).Apartirdelagrficaposicintiempodadaenlafigura2.1b, observequexA=30mentA=0syquexF=53mentF=50s.Usandoestosvaloresjuntoconla definicin de desplazamiento, ecuacin 2.1, se encuentra que: m m m x x xA F83 30 53 = = = Este resultado significa que el carro termina 83 m en la direccin negativa (a la izquierda, en este caso) a partir de donde comenz. Este nmero tiene las unidades correctas y es del mismo orden de magnitud que los datos proporcionados. Un rpido vistazo a la figura 2.1a indica que sta es la respuesta correcta. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 34 Es difcil estimar la velocidad promedio sin completar los clculos, pero se espera que las unidades sean metros por segundo. Dado que el carro termina a la izquierda de donde se comenzaron a tomar los datos, se sabe que la velocidad promedio debe ser negativa. De la ecuacin 2.2, s msms sm mt tx xt tx xtxvA FA Fi fi fx/ 7 , 150830 . 5030 53 == ==== Seencuentraquelarapidezpromediodelautoparaesteviajesumandolasdistanciasrecorridasy dividindola entre el tiempo total: s msm m mpromedio Rapidez / 5 , 25053 52 22=+ += 2.2.VELOCIDAD Y RAPIDEZ INSTANTNEAS Con frecuencia se necesita conocer la velocidad de una partcula en un instante de tiempo particular, ms quesobreun intervalodetiempofinito.Porejemplo,auncuandoquieracalcularlavelocidadpromedio duranteunlargoviajeenautomvil,estarespecialmenteinteresadoenconocerlavelocidadenel instante en que se distingue un carro de polica junto al camino frente a usted. En otras palabras, querr sercapazdeespecificarsuvelocidaddemaneratanprecisacomosepuedaprecisarlaposicinalnotar qu est sucediendo en una lectura especfica del reloj: esto es, en algn instante especfico. Puede que no sea obvio inmediatamente cmo hacer esto. Qu significa cuando se habla de cun rpido se mueve algo sise"congelaeltiempo"ycuandosehablaslodeuninstanteindividual?steesunpuntosutilno completamente comprendido sino hasta finales del siglo XVII. En esa poca, con la invencin del clculo, loscientficoscomenzaronacomprendercmodescribirelmovimientodeunobjetoencualquier momento en el tiempo. Figura2.3a)Grficaquerepresentaelmovimientodelcarroenlafigura2.1.b)Unaampliacindela esquina superior izquierda de la grfica donde se muestra cmo la lnea azul entre las posiciones A y B se aproxima a la lnea tangente verde conforme el punto B se acerca ms al punto A. Paravercmosehaceestoconsiderelafigura2.3a.Yasehaanalizadolavelocidadpromedioparael intervalo durante el cual el auto se mueve de la posicin A a la posicin B (dado por la pendiente de la lnea azul oscuro) y para el intervalo durante el cual se mueve de A a F (representado por la pendiente de la lnea azul claro). Cul de estas dos lneas piensa que es una aproximacin ms cercana a la velocidad inicialdelcarro?Elautocomienzamovindosealaderecha,lacualsehadefinidocomoladireccin positiva.Portanto,siendopositivo,elvalordelavelocidadpromedioduranteelintervaloentreAyB probablemente se acerca ms al valor inicial de lo que lo hace el valor de la velocidad promedio durante elintervalodeAaFquesedeterminnegativoenelejemplo2.1.Ahoraimaginequeseiniciaconla lnea azul oscuro y se desliza el punto B a la izquierda a lo largo de la curva, hacia el punto A, como en la figura 2.3b. La lnea entre los puntos se inclina cada vez ms, y conforme los dos puntos se juntan ms, la lnea se convierte en una lnea tangente a la curva, indicada por la lnea verde en la grfica. La pendiente APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 35 de esta lnea tangente representa la velocidad del auto en el momento en que se comienzan a obtener los datos en el punto A. Lo que se ha hecho es determinar la velocidad instantnea en ese momento. En otras palabras,lavelocidadinstantnea,vx,esigualalvalorlmitedelcociente x/ tconforme tse acerca a cero:1 Velocidad instantnea: txlmite vtx= 0(2.3) 1Observe que el desplazamiento, x, tambin se aproxima a cero cuando t tiende a cero. Cuando x y t se vuelven ms y ms pequeos, la relacin x/t se aproxima a un valor igual a la pendiente de la lnea tangente a la curva x versus t. En la notacin del clculo este lmite se conoce como la derivada de x respecto de t, y se escribe dx/dt:

t dx dtxlmite vtx== 0 (2.4) Lavelocidadinstantneapuedeserpositiva,negativaocero.Cuandolapendientedelagrfica posicintiempo es positiva, tal como en cualquier tiempo durante los primeros 10 s en la figura 2.3, vx es positiva. En el punto B, vx es negativa puesto que la pendiente tambin lo es. En la punta, la pendiente y la velocidad instantnea son cero. Deaquenadelanteseemplearlapalabravelocidadparadesignaralavelocidadinstantnea.Cuando interese la velocidad promedio se emplear siempre el adjetivo promedio. La rapidez instantnea de una partcula se define como la magnitud de su velocidad. Como sucede con la rapidez promedio, la rapidez instantnea no tiene direccin asociada y, en consecuencia, no lleva signo algebraico.Porejemplo,siunapartculatieneunavelocidadde+25m/syotrapartculatieneuna velocidad de 25 m/s a lo largo de la misma lnea, las dos tienen una rapidez2 de 25 m/s. 2Comoconlavelocidad,seutilizaeladjetivopararapidezinstantnea:"rapidez"significarapidez instantnea. EJEMPLO 2.2. Velocidad promedio e instantnea Unapartculasemuevealolargodelejex.Sucoordenadaxvaraconeltiempodeacuerdoconla expresin x = 4 t + 2 t2, donde x est en metros y t en segundos.3 La grfica posicintiempo para este movimiento se muestra en la figura 2.4. Advierta que la partcula se desplaza en la direccin x negativa en el primer segundo del movimiento, que est en reposo en el momento t = 1 s, y que despus regresa a ladireccinxpositivaent>1s.a)Determineeldesplazamientodelapartculaenlosintervalosde tiempo t = 0 a t = 1 s y t = 1 s a t = 3 s. b) Calcule la velocidad promedio durante estos dos intervalos. c) Encuentre la velocidad instantnea de la partcula en t = 2.5 s. Solucin Duranteelprimerintervalodetiempo,setieneunapendientenegativaporlotantounavelocidad negativa.Deestemodo,sesabequeeldesplazamientoentreAyBdebeserunnmeronegativocon unidades de metros. Del mismo modo, esperamos que el desplazamiento entre B y D sea positivo. En el primerintervaloseestableceti=tA=0ytf=tB=1s.Usandolaecuacin2.1,conx=4t+2t2,se obtiene para el primer desplazamiento [ ] [ ] m x x xi xf xA B B A2 ) ) 0 ( 2 ) 0 ( 4 ) ) 1 ( 2 ) 1 ( 42 2 = + + = = = Para calcular el desplazamiento durante el segundo intervalo de tiempo se establece ti = tB = 1 s y tf = tD = 3 s: APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 36 [ ] [ ] m x x xi xf xB D D B8 ) ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 ) ) 3 ( 2 ) 3 ( 42 2+ = + + = = = Figura 2.4 Grfica posicintiempo para una partcula que tiene una coordenada x que vara en el tiempo de acuerdo con la expresin x = 4 t + 2 t2. Estos desplazamientos tambin pueden leerse directamente de la grfica posicintiempo b)Enelprimerintervalo,t=tfti=tBtA=1s.Enconsecuencia,conlaecuacin2.2yconlos resultados de a) se obtiene: s msmtxvB AB A x/ 212) ( === En el segundo intervalo t = 2 s; por lo tanto: s msmtxvD BD B x/ 428) (+ = == Estos valores concuerdan con las pendientes de las lneas que unen estos puntos en la figura 2.4. c)Ciertamente sepuedeasegurarqueestavelocidadinstantnea debeserdelmismoordendemagnitud queel resultadoprevio,estoes,alrededorde4m/s.Examinandolagrficasevequelapendientede la tangente en la posicin C es mayor que la pendiente de la lnea azul que une a los puntos B y D. De esta forma,seesperaraquelarespuestaseamayorque4m/s.Almedirlapendientedelagrfica posicintiempo en t = 2.5 s, se encuentra que vx = +6 m/s 3Simplementeparahacerlomsfcildeleer,seescribelaecuacinempricacomox=4t+2t2en lugardex=(4.00m/s)t+(2.00m/s2)t2,00.Cuandounaecuacinresumemedidas,consideresus coeficientescontantosdgitossignificativoscomolosotrosdatosasentadosenelproblema.Considere suscoeficientesparatenerlasunidadesrequeridasparalaconsistenciadimensional.Cuandoseechaa andarelrelojent=0s,usualmentenosignificalimitarlaprecisinaunsolodgito.Considereque cualquier valor cero en este libro contiene tantas cifras significativas como sea necesario. 2.3.ACELERACIN En el ltimo ejemplo se trabaj con una situacin en la cual la velocidad de una partcula cambia mientras sta se mantiene en movimiento. Esta es una ocurrencia muy comn. (Qu tan constante es su velocidad mientras viaja en un autobs?) Es fcil cuantificar los cambios en la velocidad como funcin del tiempo exactamenteenlamismamaneraenquesecuantificanloscambiosenlaposicincomofuncindel tiempo.Cuandolavelocidaddeunapartculacambiaconeltiempo,sedicequelapartculaest APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 37 acelerando.Porejemplo,lavelocidaddeunautoaumentacuandosepisaelaceleradorydisminuye cuandoseaplicanlosfrenos.Sinembargo,esnecesarioproporcionarunamejordefinicindela aceleracin que la anterior. Figura2.5a)Una.partculamovindosealolargodelejexdeAaBtienevelocidadvxient=tiy velocidadvxfent=tf,b)Grficavelocidadtiempoparalapartculaquesemueveenlnearecta.La pendiente de la lnea recta azul que conecta A y B es la aceleracin promedio en el intervalo de tiempo t = tf ti Supongaqueunapartculaquesemuevealolargodelejextieneunavelocidadvxialtiempoti,yuna velocidad vxf al tiempo tf, como se muestra en la figura 2.5a. Laaceleracinpromediodelapartculasedefinecomoelcambioenvelocidadvxdivididoentreel intervalo t durante el cual ocurre dicho cambio: i fi x f xxxt tv vtva== (2.5) Comoconlavelocidad,cuandoelmovimientoquesevaaanalizaresunidimensional,sepuedenusar signos positivo o negativo para indicar la direccin de la aceleracin. Debido a que las dimensiones de la velocidad son L/T y la dimensin del tiempo es T, la aceleracin tiene dimensiones de longitud divididas entreeltiempoalcuadrado,oL/T2.LaunidadSIdelaaceleracinesmetrosporsegundoalcuadrado (m/s2).Sermsfcilinterpretarestasunidadessisepiensaenellascomometrosporsegundopor segundo.Porejemplo,supongaunobjetoquetieneunaaceleracinde2m/s2.Deberformarseuna imagenmentaldeunobjetoquetieneunavelocidaddirigidaalolargodeunalnearectayest aumentando2m/scadaintervalode1s.Sielobjetopartedelreposodebersercapazdedibujarsu movimiento a una velocidad de + 2 m/s despus de 1 s, a + 4 m/s despus de 2 s, y as sucesivamente. En algunas situaciones el valor de la aceleracin promedio puede ser diferente sobre intervalos distintos. Porconsiguiente,estildefinirlaaceleracininstantneacomoellmitedelaaceleracinpromedio cuando t se acerca a cero. Este concepto es similar a la definicin de velocidad instantnea estudiada en la seccin anterior. Si se imagina que el punto B se acerca cada vez ms al punto A en la figura 2.5a y se considera el lmite de vx/t conforme t se aproxima a cero, se obtiene la aceleracin instantnea: Aceleracin instantnea: t dv dtvlmite ax xtx== 0(2.6) Es decir, la aceleracin instantnea es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo, la cual por definicin es la pendiente de la grfica velocidadtiempo (Fig. 2.5b). En consecuencia, se ve que, como lavelocidaddeunapartculaenmovimientoeslapendientedeunagrficaxtdelapartcula,la aceleracindeunapartculaeslapendientedelagrficavxtdelapartcula.Sepuedeinterpretarla derivada de la velocidad respecto del tiempo como la relacin de cambio de la velocidad con el tiempo. Si axespositiva,entonceslaaceleracinestenladireccinxpositiva;siax esnegativa,entoncesla aceleracin est en la direccin x negativa. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 38 Apartirdeahoraseempleareltrminoaceleracinconelsignificadodeaceleracininstantnea. Cuando se haga referencia a la aceleracin promedio siempre se usar el adjetivo promedio. Puesto que vx = dx/dt, la aceleracin tambin puede escribirse: 22t dx dt dx dt ddt dv daxx=|||

\|= = (2.7) Esdecir,enunmovimientounidimensionallaaceleracinesigualalasegundaderivadadexcon respecto al tiempo. Lafigura2.6muestracmolagrficaaceleracintiempoestrelacionadaconlagrfica velocidadtiempo. La aceleracin en cualquier tiempo es la pendiente de la grfica velocidadtiempo en esetiempo.Losvalorespositivosdelaaceleracincorrespondenaaquellospuntosenlafigura2.6a donde la velocidad aumenta en la direccin x positiva. La aceleracin alcanza un mximo en el tiempo tA, cuando la pendiente de la grfica velocidad-tiempo es un mximo. Despus la aceleracin se vuelve cero eneltiempotB,cuandolavelocidadesunmximo(esdecir,cuandolapendientedelagrficavxtes cero). La aceleracin es negativa cuando la velocidad en la direccin de x positiva disminuye y alcanza su valor ms negativo en el tiempo tC. Figura2.6Laaceleracininstantneasepuedeobtenerapartirdelagrficavxt.a)Lagrfica velocidadtiempo para algn movimiento. b) La grfica aceleracintiempo para el mismomovimiento. La aceleracin dada por la grfica axt para algn valor de t es igual a la pendiente de la lnea tangente a la grfica vxt en el mismo valor de t. EJEMPLO CONCEPTUAL 2.3. Relaciones grficas entre x, vx y ax Laposicindeunobjetoquesemuevealolargodelejexvaraconeltiempo,comosemuestraenla figura 2.7a. Grafique la velocidad versus tiempo y la aceleracin versus tiempo para el objeto. Solucin La velocidad en cualquier instante es la pendiente de la tangente de la grfica xt en ese instante. Entre t =0yt=tA,lapendientedelagrficaxtaumentademanerauniforme,asquelavelocidadse incrementa linealmente, como se muestra en la figura 2.7b. Entre tA y tB la pendiente de la grfica xt es constante, de manera que la velocidad permanece constante. En tD la pendiente de la grfica xt es cero, de modo que la velocidad es cero en ese instante. Entre tD y tE la pendiente de la grfica xt y, por tanto, la velocidad, son negativas y disminuyen de manera uniforme en este intervalo. En el intervalo tE a tF la pendiente de la grfica xt an es negativa y en tF va a cero. Por ltimo, despus de tF la pendiente de la grfica xt es cero, lo que significa que el objeto se encuentra en reposo para t > tF. Laaceleracinencualquierinstanteeslapendientedelatangentedelagrficavxteneseinstante.La grficadeaceleracinversustiempoparaesteobjetosemuestraenlafigura2.7c.Observequela aceleracin es constante y positiva entre O y tA, donde la pendiente de la grfica vxt es positiva. Es cero APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 39 entre tA y tB. Y para t > tF debido a que la pendiente de la grfica vxt es cero en estos tiempos. Es negativo entre tB y tE debido a que la pendiente de la grfica vxt es negativa durante este intervalo. Figura2.7a)Grficaposicintiempoparaunobjetoquesemuevealolargodelejex.b)Lagrfica velocidad-tiempoparaelobjetoseobtienealmedirlapendientedelagrficaposicintiempoencada instante.c)Lagrficaaceleracin-tiempoparaelobjetoseobtienealmedirlapendientedelagrfica velocidadtiempo en cada instante. Pregunta sorpresa 2.1. Dibuje una grfica velocidad-tiempo para el auto mostrado en la figura 2.la y sela para determinar si en alguna ocasin excede el lmite de velocidad registrado en la seal del camino (30 km/h). EJEMPLO 2.4 Aceleracin promedio e instantnea Lavelocidaddeunapartculaquesemuevealolargodelejexvaraeneltiempodeacuerdoconla expresin vx = (40 5 t2) m/s, donde t se mide en segundos. a) Encuentre la aceleracin promedio en el intervalo t = 0 a t = 2.0 s. b) Determine la aceleracin en t = 2.0 s. Solucin a)Lafigura2.8esunagrficavxtquefuecreadaapartirdelaexpresinvelocidadversustiempo obtenidadelenunciadodelproblema.Debidoaquelapendientedetodalacurvavxtesnegativa,se espera que la aceleracin sea negativa. Se encuentran las velocidades en ti = tA = 0 y tf = tB = 2.0 s al sustituir estos valores de t en la expresin para la velocidad: vxA = (40 5tA2) m/s = [40 5(0)2] m/s = +40 m/s APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 40 vxB = (40 5 tB2) m/s = [40 5(2.0)2] m/s = +20 m/s Por tanto, la aceleracin promedio en el intervalo especificado t = tB tA = 2.0 s es: 2/ 10) 0 0 , 2 (/ ) 40 20 (s mss mt tv vt tv vaA BxA xBi fxi xfx ==== Elsignonegativoesconsistenteconlasexpectativas:asaber,quelaaceleracinpromedio,lacualest representadaporlapendientedelalnea(nomostrada)queunelospuntosinicialyfinalenlagrfica velocidadtiempo, es negativa. Figura 2.8 La grfica velocidadtiempo para una partcula movindose a lo largo del eje x de acuerdo con la expresin vx = (40 5 t2)m/s. La aceleracin en t = 2 es igual a la pendiente de la lnea tangente azul en dicho tiempo. b) La velocidad en el tiempo t es vxf = (40 5 t2) m/s, y la velocidad en el tiempo t + t es: vxf = 40 5(t + t)2 = 40 5 t2 10 t t 5 (t)2 Por tanto, el cambio en la velocidad sobre el intervalo de tiempo t es vx = vxf vxi = [ 10 t t 5 (t)2] m/s Si se divide esta expresin entre t y se toma el lmite del resultado cuando t tiende a cero se obtiene la aceleracin en cualquier tiempo t: 20 0/ 10 ) 5 10 ( s m t t lmitetvlmite atxtx = == Por consiguiente, en t = 2.0 s: ax = (10)(2.0) m/s2 = 20m/s2 Lo que se ha hecho al comparar la aceleracin promedio durante el intervalo entre A y B (10 m/s2) con elvalorinstantneoenB(20m/s2)escompararlapendientedelalnea(nomostrada)queuneAyB con la pendiente de la tangente en B. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 41 Observequelaaceleracinnoesconstanteenesteejemplo.Lassituacionesqueimplicanaceleracin constante se trata en la seccin 2.5. Hasta aqusehan evaluadolasderivadasdeuna funcin empezandoconladefinicin de la funcin y tomandodespusellmitedeuncocienteespecfico.Loslectoresfamiliarizadosconelclculodeben darsecuentaquehayreglasespecficasparaefectuarlasderivadasdediversasfunciones.Estasreglas, que se listan en el apndice B.6, permiten evaluar derivadas de manera rpida. Por ejemplo, una regla dice queladerivadadecualquierconstanteescero.Comootroejemplo,supongaquexesproporcionala alguna potencia de t, como en la expresin: nt A x = donde A y n son constantes. (sta es una forma funcional muy comn.) La derivada de x respecto de t es: 1 =nt A nt dx d Al aplicar esta regla al ejemplo 2.4, donde vx = 40 5 t2, se encuentra que ax = dvx/dt = 10 t. 2.4.DIAGRAMAS DE MOVIMIENTO Amenudoseconfundenlosconceptosdevelocidadyaceleracin,perodehechosoncantidadesmuy diferentes.Esinstructivousardiagramasdemovimientoparadescribirlavelocidadylaaceleracin mientras un objeto est en movimiento. Para no confundir estas dos cantidades vectoriales, para las que tanto la magnitud como la direccin son importantes, se usa rojo para los vectores de velocidad y violeta paralosvectoresdeaceleracin,comosemuestranenlafigura2.9.Losvectoressonbosquejadosen varios instantes durante el movimiento del objeto, y los intervalos de tiempo entre posiciones adyacentes sesuponeniguales.Estailustracinrepresentatresjuegosdefotografasestroboscpicasdeunauto movindosedeizquierdaaderechaalolargodeunacarreterarecta.Losintervalosdetiempoentrelos destellos son iguales en cada diagrama. Enlafigura2.9alasimgenesdelautoestnigualmenteespaciadas,ymuestranqueelcarroavanzala misma distancia en cada intervalo. Por tanto, el carro se mueve con velocidad constante positiva y tiene aceleracin cero. Enlafigura2.9blasimgenescomienzanaaparecermsseparadasconformetranscurreeltiempo.En este caso el vector velocidad se incrementa con el tiempo debido a que el desplazamiento del carro entre posicionesadyacentesseincrementaconeltiempo.Elcarrosemueveconvelocidadpositivayuna aceleracin positiva. Enlafigura2.9csepuededecirqueelcarrosedetieneconformesemuevealaderechapuestoquesu desplazamientoentreimgenesadyacentesdisminuyeconeltiempo.Enestecasoelauto semueveala derechaconunaaceleracinnegativaconstante.Elvectorvelocidaddisminuyeconeltiempoy eventualmente llega a cero. A partir de este diagrama se aprecia que los vectores aceleracin y velocidad noestnenlamismadireccin.Elautosemueveconunavelocidadpositivaperoconunaaceleracin negativa. Debersercapazdeconstruirdiagramasdemovimientoparaunautoquesemueveinicialmenteala izquierda con aceleracin constante, ya sea positiva o negativa. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 42 Figura 2.9 a) Diagrama de movimiento para un auto movindose a velocidad constante (aceleracin cero). b) Diagrama de movimiento para un auto cuya aceleracin constante est en direccin de su velocidad. El vectorvelocidadencadainstanteestindicadoporunaflecharoja,ylaaceleracinconstanteporuna flechavioleta.c)Diagramademovimientoparaunautocuyaaceleracinconstanteestendireccin opuesta a su velocidad en cada instante. Pregunta sorpresa 2.2 a)Siunautoviajahaciaeleste,suaceleracinpodrestarhaciaeloeste?b)Siunautoseesta deteniendo, puede su aceleracin ser positiva? 2.5.MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL CON ACELERACIN CONSTANTE Silaaceleracindeunapartculavaraconeltiempo,elmovimientopuedesercomplejoydifcilde analizar.Sinembargo,untipomuycomnysimpledemovimientounidimensionalocurrecuandola aceleracin es constante. Cuando este es el caso, la aceleracin promedio en cualquier intervalo es igual a laaceleracininstantneaencualquierinstanteduranteelintervalo,ylavelocidadcambiaenlamisma proporcin durante todo el movimiento. Si se reemplaza xapor ax en la ecuacin 2.5 y se toma ti = 0 y tf como cualquier t posterior, se encuentra que: tv vai x f xx=o t a v vx i x f x+ = (para ax constante) (2.8) Esta poderosa expresin permite determinar la velocidad de un objeto en cualquier tiempo t si se conocen lavelocidadinicialylaaceleracin(constante)delobjeto.Unagrficavelocidadtiempoparaeste movimientoaceleracinconstantesemuestraenlafigura2.10a.Lagrficaesunalnearectacuya pendiente(constante)eslaaceleracinaxi,estoesconsistenteconelhechodequeax=dvx/dtesuna constante.Adviertaquelapendienteespositiva;estoindicaunaaceleracinpositiva.Silaaceleracin fuera negativa, la pendiente de la lnea de la figura 2.10a sera negativa. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 43 Cuandolaaceleracinesconstante,lagrficadelaaceleracinversustiempo(Fig.2.10b)esunalnea recta con una pendiente de cero. Figura2.10Unobjetoquesemuevealolargodelejexconaceleracinconstanteax.a)Lagrfica velocidadtiempo. b) La grfica aceleracintiempo. c) La grfica posicintiempo. Pregunta sorpresa 2.3 Describa el significado de cada uno de los trminos en la ecuacin 2,8. Puesto que la velocidad en aceleracin constante vara linealmente en el tiempo segn la ecuacin 2.8, es posible expresar la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmtica de la velocidad inicial, vxi, y de la velocidad final, vxf: 2f x i xxv vv+= (para ax constante) (2.9) Observequeestaexpresinparalavelocidadpromedioestilsloensituacionesenlascualesla aceleracin es constante. Ahorasepuedenusarlasecuaciones2.1,2.2y2.9paraobtenereldesplazamientodecualquierobjeto comofuncindeltiempo.Recordandoquexenlaecuacin2.2representaxfxiyahorausandoten lugar de t (puesto que se toma ti = 0), se puede decir ) (21f x i x x i fv v t v x x + = = (para ax constante) (2.10) Esposibleobtenerotraexpresintilparaeldesplazamientoconaceleracinconstantealsustituirla ecuacin 2.8 en la ecuacin 2.10: t a v v x xx f x i x i f) (21+ + = 221t a t v x xx i x i f+ = (2.11) Lagrficaposicintiempoparaunmovimientoconaceleracinconstante(positiva)mostradaenla figura 2.10c se obtiene a partir de la ecuacin 2.11. Advierta que la curva es una parbola. La pendiente de la lnea tangente a esta curva en t = ti = 0 es igual a la velocidad inicial vxi, Y la pendiente de la lnea tangente en cualquier tiempo posterior t es igual a la velocidad en dicho tiempo, vxf. Se puede verificar la validez de la ecuacin 2.11 al mover el trmino xi al lado derecho de la ecuacin y diferenciando la ecuacin con respecto al tiempo: APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 44 t a v t a t v xt ddt dx dvx i x xix iff x+ = ||

\|+ + = =221 Porltimo,esposibleobtenerunaexpresinparalavelocidadfinalquenocontengaunintervalode tiempo sustituyendo el valor de t de la ecuacin 2.8 en la ecuacin 2.10: xi x f xxi x f xf x i x i fav vav vv v x x2) (212 2=|||

\| + = ) ( 22 2i f x i x f xx x a v v + = (para constante ax) (2.12) Para el movimiento con aceleracin cero se ve a partir de las ecuaciones 2.8 y 2.11 que: )`= = =t v x xv v vx i fx i x f xcuando ax = 0 Esdecir,cuandolaaceleracinescerolavelocidadesunaconstanteyeldesplazamientocambia linealmente con el tiempo. Figura 2.11 Las partes a), b) y c) son grficas vxt de objetos en movimiento unidimensional. Las posibles aceleraciones de cada objeto como funcin del tiempo se muestran en orden revuelto en d), e) y f). Pregunta sorpresa 2.4 En la figura 2.11 equipare cada grfica vxt con la grfica ax -t que describa mejor el movimiento. Lasecuacionesdela2.8ala2.12sonexpresionescinemticasquepuedenutilizarsepararesolver cualquierproblemademovimientounidimensionalconaceleracinconstante.Recuerdequeestas relacionesseobtuvierondelasdefinicionesdevelocidadyaceleracinjuntoconalgunosmanejos algebraicos simples y el requerimiento de que la aceleracin sea constante. Lascuatroecuacionescinemticasutilizadasconmayorfrecuenciaseincluyenenlatabla2.2.La eleccindeculecuacindebeutilizarseenunasituacindeterminadadependerdequseconocede antemano. Algunas veces es necesario emplear dos de estas ecuaciones para resolver dos incgnitas. Por ejemplo, suponga que se dan la velocidad inicial, vxi, y la aceleracin, ax. Es posible encontrar entonces 1) la velocidad despus de que ha transcurrido un tiempo t, empleando vxf = vxi + ax t, y 2) el desplazamiento despusdequehapasado untiempot,usandoxfxi=vxit+axt2.Adviertaquelascantidadesque varan durante el movimiento son la velocidad, el desplazamiento y el tiempo. Se adquirir mucha prctica en el uso de estas ecuaciones resolviendo muchos ejercicios y problemas. Muchas veces descubrir que se puede usar ms de un mtodo para obtener una solucin. Recuerde que estas ecuaciones de cinemtica no se pueden usar en una situacin en la cual la aceleracin varia con el tiempo. Slo se pueden usar cuando la aceleracin es constante. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 45 TABLA 2.2. Ecuaciones cinemticas para el movimiento en una lnea recta bajo aceleracin constante Ecuacin Informacin proporcionada por la ecuacin t a v vx i x f x+ = Velocidad como funcin del tiempo t v v x xf x i x i f) (21+ = Desplazamiento como funcin de la velocidad y el tiempo 221t a t v x xx i x i f+ = Desplazamiento como funcin del tiempo ) ( 22 2i f x i x f xx x a v v + = Velocidad como funcin del desplazamiento Nota: El movimiento es a lo largo del eje x. EJEMPLO 2.5. La velocidad de diferentes objetos Considere los siguientes movimientos unidimensionales: a) Una pelota arrojada directamente hacia arriba alcanza su punto ms alto y cae de regreso a la mano del lanzador. b) Un auto de carreras comienza desde elreposoyacelerahastaalcanzar100m/s.c)Unanaveespacialnavegaporelespacioavelocidad constante.Existenalgunospuntosenelmovimientodeestosobjetosenloscualeslavelocidad instantneasealamismaquelavelocidadpromediosobreelmovimientocompleto?Siesas, identifquelos. Solucin a) La velocidad promedio para la pelota lanzada es cero, pues la pelota regresa al punto de partida; de esta manera su desplazamiento es cero. (Recuerde que la velocidad promedio se define como x/t.) Existe un punto en el cual la velocidad instantnea es cero: en la parte alta del movimiento. b)Lavelocidadpromediodelautonosepuedeevaluarsinambigedadconlainformacin proporcionada, pero debe ser algn valor entre 0 y 100 m/s. Debido a que el auto tendr cada velocidad instantneaentre0y100m/senalgnmomentoduranteelintervalo,deberhaberalgninstanteenel cual la velocidad instantnea sea igual a la velocidad promedio. c)Puestoquelavelocidadinstantneadelanaveespacialesconstante,suvelocidadinstantneaen cualquier tiempo y su velocidad promedio sobre cualquier intervalo sern los mismos. EJEMPLO 2.6 Ingresando al flujo vehicular (a)Estimesuaceleracinpromedioconformemanejasobrelarampadeingresoaunacarretera interestatal. b)Qu distanciaavanzardurantelaprimeramitaddel intervalodetiempoduranteel cual aceler? Solucin Este problema involucra ms que la cantidad usual de estimaciones! Se trata de dar con un valor de ax, pero este valor es difcil de adivinar directamente. Las otras tres variables involucradas en la cinemtica son posicin, velocidad y tiempo. La velocidad es probablemente la ms fcil de aproximar. Suponga una velocidad final de 100 km/h, de tal manera que pueda mezclarse con el trfico. Multiplique este valor por 1000paraconvertirkilmetrosametrosyluegodivdaloentre3600paraconvertirhorasasegundos. Estos dos clculos juntos son aproximadamente equivalentes a dividir entre tres. De hecho, slo diga que la velocidad final es vxf = 30 m/s. (Recuerde, puede realizar este tipo de aproximaciones y disminucin de dgitos cuando realiza clculos mentales. Si hubiese comenzado con el sistema ingls de unidades podra aproximar 1 milla/h toscamente a 0.5 m/s y continuar a partir de aqu.) APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 46 Ahora suponga que abord la rampa en cerca de un tercio de su velocidad final, de tal manera que vxi = 10 m/s.Finalmente,supongaqueletomacercade10sirdevxiavxfbasandoestasuposicinensu experiencia previa en automviles. Entonces se puede encontrar la aceleracin usando la ecuacin 2.8: 2/ 210/ 10 / 30s mss m s mtv vai x f xx=== Deacuerdo,sehanrealizadomuchasaproximacioneshastaahora,peroestetipodeesfuerzosmentales puedensersorprendentementetilesycasisiempreconcuerdanconlosresultadosquenosonmuy diferentes de los derivados de medidas cuidadosas. b)Sepuedecalcularladistanciarecorridadurantelosprimeroscincosegundosapartirdelaecuacin 2.11: m m m s s m s s m t a t v x xx i x i f75 25 50 ) 5 ( ) / 2 (21) 5 (( ) / 10 (212 2 2= + = + = + = Esteresultadoindicaquesinohaacelerado,suvelocidadinicialde10m/shabraresultadoenun movimientosobrelarampade50mdurantelosprimeroscincosegundos.Los25madicionalessonel resultado del incremento de su velocidad durante dicho intervalo. Notemaintentarrealizarsuposicionesprobablesyhacerbastantesredondeosnumricosdrsticospara simplificar clculos mentales. Los fsicos se dedican a este tipo de anlisis todo el tiempo. EJEMPLO 2.7.Aterrizaje en un portaaviones Un jet aterriza sobre un portaaviones a 140 millas/h ( 63 m/s). a) Cul es su aceleracin si se detiene en 2.0 s? b) Cul es el desplazamiento del avin mientras se est deteniendo? Solucin a)Definaelejexcomola direccindelmovimientodel jet.Unalecturacuidadosadelproblemarevela queadicionalmentealavelocidadinicialdadade63m/s,tambinseconocelavelocidadfinal,quees cero.Adviertatambinquenoseproporcionaeldesplazamientodeljetmientrasseestdeteniendo.La ecuacin 2.8 es la nica ecuacin en la tabla 2.2 que no involucra el desplazamiento y, por tanto, se puede usar para encontrar la aceleracin: 2/ 310 , 2/ 63 0s mss mtv vai x f xx === b)Ahorasepuedeemplearcualquieradelasotrastresecuacionesenlatabla2.2pararesolverel desplazamiento. Elija la ecuacin.2.10: m s s m t v v x xi x f x i f63 ) 0 , 2 ( ) 0 / 63 (21) (21= = = Si el aeroplano recorre ms que esto podra caer en el ocano. Aunque la idea; de usar cables de detencin paraquelosavionesaterricendemanerasegurasobrelosnavosseoriginalrededordelapocadela Primera Guerra Mundial, los cables an son una parte vital de la operacin de los modernos portaaviones. EJEMPLO 2.8 Cuidado con el lmite de rapidez! Unautomvilviajaaunarapidezconstantede45.0m/sypasaporunanunciodetrsdelcual seoculta unamotociclistadetrnsito.Unsegundodespusdequepasaelautomvillamotociclistapartedel anuncio para atraparlo, acelerando a una relacin constante de 3.00 m/s2. Cunto tarda ella en rebasar al automvil? APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 47 Solucin Una cuidadosa lectura permite categorizar ste como un problema de aceleracin constante. Se sabe que despus de un segundo de retraso al arrancar, le tomar a la motociclista otros 15 s acelerar hasta los 45.0 m/s.Desdeluego,elladebercontinuarincrementandosurapidez(aunaproporcinde3.00m/spor segundo) para atrapar al automovilista. Mientras todo esto sucede el automvil contina movindose. Por tanto,sedebeesperarqueelresultadoestporarribadelos15s.Unbosquejo(Fig.2.12)ayudaa clarificar la secuencia de los eventos. vx auto = 45.0 m/s ax auto = 0 ax polica = 3.00 m/s2 Figura 2.12 Un auto con exceso de velocidad pasa a un oficial de polica oculto. Primero, escriba expresiones para la posicin de cada vehculo como funcin del tiempo. Es conveniente elegir laposicindelanunciocomoelorigenyestablecertB=0comoeltiempoenquelamotociclista iniciasumovimiento.Eneseinstanteelautomvilyaharecorridounadistanciade45.0mporqueha viajado a una rapidez constante de vx = 45.0 m/s durante un segundo. De este modo, la posicin inicial del auto con exceso de rapidez es xB = 45.0 m. Puesto que el automvil se mueve con rapidez constante, su aceleracin es cero, y al aplicar la ecuacin 2.11 (con ax = 0) dada para la posicin del auto en cualquier tiempo t se obtiene: xauto = xB + vx auto t = 45.0 m + (45.0 m/s)t Unrpidovistazomuestra queent =0estaexpresindalaposicin inicialcorrectadel auto cuando la motociclista comienza su persecucin: xauto = xB = 45.0 m. Observar los casos lmite para ver si se ajustan alosvaloresesperadosesunaformamuytildeasegurarsedequeseestnobteniendoresultados razonables. Lamotociclistapartedelreposoent=0yaceleraa3.00m/s2desdeelorigen.Portanto,suposicin despus de cualquier intervalo de tiempo t se puede encontrar a partir de la ecuacin 2.11: 221t a t v x xx i x i f+ + = 2 2 2) / 00 , 3 (21210 0 t s m t a t xx polica= + + = Lamotociclistarebasaalautoenelinstanteenquesuposicinseemparejaconladelauto,queesla posicin C: APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 48 xpolicia = xauto (3.00 m/s2) t2 = 45.0 m + (45.0 m/s) t Esto da la ecuacin cuadrtica 1.50 t2 45.0 t 45.0 = 0 La solucin positiva de esta ecuacin es t = 31.0 s (Para ayudarse a resolver ecuaciones cuadrticas vea el apndice B.2.) Advierta que en este intervalo de 31.0 s la motociclista viaj una distancia de casi 1 440 m. [Esta distancia se puede calcular a partir de la rapidez constante del auto: (45.0 m/s) (31 + l)s = 1 440 m.] EjercicioEsteproblemasepuederesolverdemaneragrfica.Sobrelamismagrficatracelaposicin versus tiempo para cada vehculo y, a partir de la interseccin de las dos curvas,) determine el tiempo en el cual la motociclista rebasa al automvil. 2.6.OBJETOS QUE CAEN LIBREMENTE Ahora es bien sabido que, en ausencia de resistencia de aire, todos los objetos que se dejan caer cerca de lasuperficiedelaTierracaenhaciaellaconlamismaaceleracinconstantebajolainfluenciadela gravedad terrestre. No fue sino hasta cerca del ao 1600 que esta conclusin fue aceptada. Antes de dicha poca las enseanzas del gran filsofo Aristteles (384322 a.C.) sostenan que los objetos pesados caen ms rpido que los ms ligeros. FueelitalianoGalileoGalilei(15641642)quienoriginlasideascontemporneasenrelacinconla cada de los objetos. Segn cuenta la leyenda, l demostr la ley de los objetos que caen al observar que al dejar caer simultneamente dos diferentes pesas desde la inclinada Torre de Pisa ambas golpeaban en el suelo casi al mismo tiempo. Si bien hay cierta duda de que este particular experimento se haya realizado, estperfectamenteestablecidoqueGalileoefectumuchosexperimentossistemticosenobjetosquese movansobreplanosinclinados.Ensusexperimentoshizorodarpelotashaciaabajodeunapendiente leve y midi las distancias que recorran en intervalos de tiempo sucesivos. El propsito de la pendiente fue reducir la aceleracin; con la aceleracin reducida Galileo fue capaz de realizarmediciones precisas de los intervalos de tiempo. Al incrementar de manera gradual la pendiente del plano, al fin pudo dibujar conclusionesacercadeobjetosquecaanlibrementedebidoaqueunabolaquecaedemaneralibrees equivalente a una bola que se mueve hacia abajo sobre un plano vertical. ElastronautaDavidScottsueltaunmartilloyunaplumasimultneamente,ystoscaenalunsonoala superficie lunar. (Cortesa de NASA) APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 49 Experimento sorpresa Useunlpizparahacerunhoyoenelfondodeunvasodepapelopoliestireno.Cubraelhoyoconsu dedoylleneelvasoconagua.Sostengaelvasofrenteaustedysultelo.Saleaguaporelagujero mientras cae el vaso? Por qu s o por qu no? Talvezellectordeseeintentarelsiguienteexperimento.Dejecaersimultneamente,desdelamisma altura, una moneda y un pedazo de papel apretado con la mano. Si los efectos de la resistencia del aire son despreciables,ambosexperimentarnelmismomovimientoyllegarnalsueloalmismotiempo.Enel caso idealizado, en el cual no existe resistencia del aire, dicho movimiento se conoce como cada libre. Si este mismo experimento se llevara a cabo en el vaco, donde la resistencia del aire es verdaderamente despreciable,elpapelylamonedacaeranconlamismaaceleracin,auncuandoelpapelnoestuviera apretado. El 2 de agosto de 1971 el astronauta David Scott realiz un experimento de estas caractersticas en la Luna. Simultneamente solt un martillo y una pluma, que hicieron contacto con la superficie lunar al mismo tiempo. Esa demostracin seguramente habra complacido a Galileo! Cuando se emplea la expresin objeto que cae libremente no se hace referencia por fuerza a un objeto que se solt desde el reposo. Un objeto que cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos lanzados hacia arriba ohaciaabajoylosquesesueltandesdeelreposotodoscaenlibrementeunavezquesehan liberado.Cualquierobjetoquecaelibrementeexperimentaunaaceleracindirigidahaciaabajo, independientemente del movimiento inicial del objeto. Sedenotarlamagnituddelaaceleracindecadalibreconelsmbolog.Elvalordegcercadela superficie de la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. Tambin hay ligeras variaciones de g con loscambiosenlalatitud.Escomndefinir"arriba"comoladireccin+yyusarycomolaposicin variableenlasecuacionescinemticas.EnlasuperficiedelaTierraelvalordegesaproximadamente 9.80 m/s2. A menos que se establezca lo contrario, cuando efectuemos clculos usaremos este valor para g. Para hacer estimaciones rpidas use g = 10 m/s2. Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleracin en cada libre no vara con la altitud sobrecortasdistanciasverticales,entonceselmovimientoverticaldeunobjetoquecaelibrementees equivalentealmovimiento enuna dimensincon aceleracin constante:Portanto,sepuedenaplicar las ecuacionesdesarrolladasenlaseccin2.5paraobjetosquesemuevenconaceleracinconstante.La nica modificacin que es necesario hacer en estas ecuaciones para objetos en cada libre es notar que el movimiento se realiza en la direccin vertical (la direccin y) en lugar de la direccin horizontal (x) y que laaceleracinestdirigidahaciaabajoytieneunamagnitudde9.80m/s2.Deestemodo,siemprese tendr ay = g = 9.80 m/s2, donde el signo menos significa que la aceleracin de un objeto en cada libre est dirigidahaciaabajo.Enelcaptulo14seestudiarcmotrabajarconvariaciones degdebidasa la altitud. EJEMPLO 2.9 El osado paracaidista Unparacaidistasaltadeunhelicpterosuspendidoenelaire.Unoscuantossegundosdespusotro paracaidista salta y ambos caen a lo largo de la misma lnea vertical. Ignore la resistencia del aire, de tal manera que ambos paracaidistas caigan con la misma aceleracin. La diferencia en su rapidez permanece igual a lo largo de su cada? La distancia vertical entre ellos permanece igual a travs de su cada? Si los dosparacaidistasestnconectadosconunalargacuerdadebungee,latensinenlacuerdase incrementar, disminuir o permanecer igual durante la cada? Solucin En cualquier momento dado, la rapidez de los paracaidistas son diferentes debido a que uno salt primero. Sin embargo, en un intervalo de tiempo dt despus de este instante, los dos paracaidistas incrementan su rapidezporlamismacantidadpuestienenlamismaaceleracin.Portanto,ladiferenciaensurapidez permanece igual durante toda la cada. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 50 Elprimersaltadorsiempretendrunarapidezmayorqueelsegundo.Destemodo,enunintervalode tiempodadoelprimersaltadorcubrirunadistanciamayorqueelsegundo,porloqueladistanciade separacin entre ellos se incrementa . Una vez que la distancia entre los saltadores alcanza la longitud de la cuerda de bungee, la tensin en la cuerdacomienzaaincrementarse.Conformelatensinaumenta,ladistanciaentrelossaltadoresse vuelve cada vez mayor. EJEMPLO 2.10. Descripcin del movimiento de una pelota lanzada Una pelota es arrojada hacia arriba a 25 m/s. Estime su velocidad en el intervalo 1 s. Solucin Elija la direccin hacia arriba como positiva. Sin importar si la bola se mueve hacia arriba o hacia abajo, su velocidad vertical cambia por aproximadamente 10 m/s por cada segundo que permanece en el aire. Comienza a 25 m/s. Despus de que ha transcurrido un segundo, permanece movindose hacia arriba pero a 15 m/s debido a que su aceleracin es hacia abajo (la aceleracin hacia abajo provoca que su velocidad disminuya).Despusdeotrosegundosuvelocidadhaciaarribahacadoa5m/s.Ahoravienelaparte truculenta:despusdeotromediosegundosuvelocidadescero.Labolahallegadotanaltocomoha podido. Despus de la ltima mitad de este intervalo de un segundo la bola se mueve a 5 m/s. (El signo menos dice que la bola est ahora movindose en la direccin negativa, esto es, hacia abajo. Su velocidad ha cambiado de +5 m/s a 5 m/s durante ese intervalo de un segundo. El cambio en velocidad todava es 5[+5]=10m/sendichosegundo.)Continahaciaabajoydespusdequehatranscurridootro segundo, est cayendo a una velocidad de 15 m/s. Finalmente, despus de otro segundo alcanza su punto de salida original y se est moviendo hacia abajo a 25 m/s. Si la bola se lanz verticalmente desde una montaa, de tal manera que contine cayendo, su velocidad continuara cambiando por casi 10 m/s cada segundo. EJEMPLO 2.11. Siga la bola saltarina Sesueltaunapelotadetenisdesdelaalturadelhombro(casi1.5m)yrebotatresvecesantesdeser atrapada.Bosquejegrficasdesuposicin,velocidadyaceleracincomofuncionesdeltiempo,conla direccin + y definida hacia arriba. Solucin Para los bosquejos reduzca las cosas horizontalmente para que se pueda ver qu est pasando. (Aun si la bola se estuviese moviendo horizontalmente, este movimiento no afectara su movimiento vertical.) A partir de la figura 2.13 se ve que la bola est en contacto con el piso en los puntos B, D y F. Puesto que lavelocidaddelabolacambiadenegativoapositivotresvecesduranteestossaltos,lapendientedela grficaposicintiempodebecambiarenlamismaforma.Adviertaqueelintervaloentrelosrebotes disminuye. A qu se debe esto? Durante el resto del movimiento de la bola, la pendiente de la grfica velocidadtiempo debera ser 9.80 m/s2. La grfica aceleracintiempo es una lnea horizontal en estos tiempos debido a que la aceleracin nocambiacuandolabolaestencadalibre.Cuandolabolaestencontactoconelpiso,lavelocidad cambiademanerasustancialduranteuncortointervalodetiempo,yaslaaceleracindebesermayor. Esto corresponde a las lneas muy inclinadas hacia arriba en la grfica velocidadtiempo y los picos en la grfica aceleracintiempo. Pregunta sorpresa 2.5 Cules valores representan la velocidad y aceleracin de la bola en los puntos A, C y E en la figura 2.13? a) vy = 0, ay = 0 b) vy = 0, ay = 9.80 m/s2 APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 51 c) vy = 0, ay = 9.80 m/s2 d) vy = 9.80 m/s, ay = 0 Figura2.13a)Sesueltaunapelotadesdeunaalturade1.5mybotadesdeelpiso.(Elmovimiento horizontalnoseconsideraaqupuestoquenoafectaalmovimientovertical.)b)Grficasdeposicin, velocidad y aceleracin versus tiempo. EJEMPLO 2.12. No es un mal lanzamiento para un novato Una piedra que se lanza desde el techo de un edificio adquiere una velocidad inicial de 20.0 m/s en lnea rectahaciaarriba.Eledificiotiene50mdealturaylapiedralibraapenaseltechoensutrayectohacia abajo, como se muestra en la figura 2.14. Usando tA = 0 como el tiempo en que la piedra deja la mano del lanzador en la posicin A, determine a) el tiempo necesario para que la piedra alcance su mxima altura, b)laalturamxima,c)eltiemponecesarioparaquelapiedraregresealaalturadesdelacualfue arrojada, d) la velocidad de la piedra en ese instante, y e) la velocidad y posicin de la piedra en t = 5.00 s. Solucin a) Conforme la piedra viaja de A a B, su velocidad debe cambiar por 20 m/s debido a que se detiene en B. Puesto que la gravedad provoca que las velocidades verticales cambien por casi 10 m/s para cada segundo de cada libre, le tomara a la piedra casi dos segundos ir de A a B en el dibujo. (En un problema como ste,unbosquejodefinitivamenteayudaaorganizarlospensamientos.)ParacalculareltiempotBenel cual la piedra alcanza la altura mxima se usa la ecuacin 2.8, vyB = vyA + ay t, destacando que vyA = 0 y poniendo el comienzo de las lecturas del reloj en tA = 0: 20.0 m/s + (9.80 m/s2) t = 0 APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 52 ss ms mt tB04 , 2/ 80 , 9/ 0 , 202= = = La estimacin realizada fue muy cercana. Figura2.14Posicinyvelocidadversus tiempopara unapiedraque cae en libertad luegodehabersido lanzada inicialmente hacia arriba con una velocidad vy = 20.0 m/s. b) Puesto que la velocidad promedio para este primer intervalo es 10 m/s (el promedio de 20 m/s y 0 m/s) ydadoqueviajadurantecasidossegundosseesperaquelapiedraviajecasi20m.Alsustituirel intervaloenlaecuacin2.11sepuedeencontrarlaalturamximacomomedidadesdelaposicinde lanzamiento, donde se ha establecido yi = yA = 0: ymx = yB = vyA t + ay t2 yB = (20.0 m/s) (2.04 s) + t (9.80 m/s2) (2.04 s)2 = 20.4 m La estimacin para la cada libre es muy precisa. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 53 c)NohayraznparacreerqueelmovimientodelapiedradeBaCseaotroqueelcontrariodesu movimiento de A a B. De esta manera el tiempo necesario para ir de A a C debera ser el doble del tiempo necesarioparairdeAaB.Cuandolapiedraestderegresoalaalturadesdelacualfuearrojada (posicin C), la coordenada y es nuevamente cero. Usando la ecuacin 2.11, con yf = yC = 0 y yi = yA = 0, se obtiene: yC yA = vyA t + ay t2 0 = 20.0 t 4.90 t2 sta es una ecuacin cuadrtica y as tiene dos soluciones para t = tC. La ecuacin se puede factorizar para obtener: t (20.0 4.90 t) = 0 Unasolucin est =0,la cualcorrespondealtiempoenquelapiedracomienzasumovimiento.Laotra solucinest=4.08s,lacualeslasolucinquesedardespus.Adviertaquestadoblaelvalor calculado para tB. d) De nuevo, se espera que todo en C sea igual a como es en A, excepto que la velocidad est ahora en la direccin opuesta. El valor para t encontrado en c) puede ser insertado en la ecuacin 2.8 para dar: vyC = vyA + ay t = 20.0 m/s + (9.80 m/s2) (4.08 s) = 20.0 m/s Lavelocidaddelapiedracuandollegaderegresoasualturaoriginaltienelamismamagnitudasu velocidad inicial, pero en direccin opuesta. Esto indica que el movimiento es simtrico. e)ParaestaparteseconsideraloquesucedeconformelapiedracaedesdelaposicinB,dondetiene velocidadverticalcero,alaposicinD.Debidoaqueeltiempotranscurridoparaestapartedel movimiento es de casi 3 segundos, se estima que la aceleracin debida a la gravedad cambiar la rapidez en cerca de 30 m/s. Se puede calcular esto a partir de la ecuacin 2.8, donde se toma t = tD tB: vyD = vyB + ay t = 0 m/s + (9.80 m/s2) (5.00 s 2.04 s) = 29,0 m/s

SepodrahabercalculadomsfcilmentelaposicinentreAyBalasegurarelusodelintervalode tiempo correcto, t = tD tA = 5.00 s: vyD = vyA + ay t = 20.0 m/s + (9.80 m/s2) (5.00 s) = 29.0 m/s Parademostrarelpoderdelasecuacionescinemticassepuedeusarlaecuacin2.11paraencontrarla posicindelapiedraentD=5.00sparaconsiderarelcambiodeposicinentreundiferenteparde posiciones, C y D. En este caso el tiempo es tD tC: yD = yC + vyC t + ay t2 = 0 m + (20.0 m/s) (5.00 s v 4.08 s) + (9.80 m/s2) (5.00 s 4.08 s)2

= 22.5 m EjercicioDeterminea)lavelocidaddelapiedrajustoantesdequegolpeeelsueloenEyb)eltiempo total que permanece en el aire. Respuesta: a) 37.1 m/s b) 5.83 s APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 54 2.7.ECUACIONES CINEMTICAS DERIVADAS DEL CLCULO staesunaseccinoptativaenlaquesesuponequeellectorestfamiliarizadoconlastcnicasdel clculo integral. Si usted an no ha estudiado integrales en su curso de clculo debe saltar esta seccin o cubrirla tiempo despus de que se haya familiarizado con ese tema. Lavelocidaddeunapartculaquesemueveenunalnearectapuedeobtenerseconociendoculessu posicin como funcin al tiempo. Matemticamente, la velocidad es igual a la derivada de la coordenada de posicin con respecto al tiempo. Tambin es posible encontrar el desplazamiento de una partcula si se conoce su velocidad como funcin del tiempo. En clculo el procedimiento usado para realizar esta tarea seconocecomointegracin,obien,comodeterminacindelaantiderivada.Desdeelpuntodevista grfico esto equivale a determinar el rea bajo una curva. Suponga que la grfica vxt para una partcula que se mueve a lo largo del eje x es como se muestra en la figura2.15.Dividaelintervalodetiempotftienmuchosintervalospequeos,cadaunodeellosde duracin tn. Segn la definicin de la velocidad promedio se ve que el desplazamiento durante cualquier intervalopequeo,comoelsombreadoenlafigura2.15,estdadoporxn= xnv tn,donde xnv esla velocidadpromedioeneseintervalo.Portanto,eldesplazamientoeneltranscursodeestepequeo intervalo es sencillamente el rea del rectngulo sombreado. Figura2.15Velocidadversustiempoparaunapartculaenmovimientoalolargodelejex;Elreadel rectngulosombreadoesigualaldesplazamientoxenelintervalodetiempot.,mientrasqueelrea total bajo la curva es el desplazamiento total de la partcula. El desplazamiento total para el intervalo tf ti es la suma de las reas de todos los rectngulos: nnn xt v x = donde el smbolo (letra griega sigmamayscula) significa una suma sobre todos los trminos. En este caso la suma se toma sobre todos los rectngulos de ti a tf.Ahora, a medida que cada intervalo se vuelve ms y ms pequeo, el nmero de trminos en la suma aumenta y sta se acerca a un valor igual al rea bajo la grfica velocidadtiempo. En consecuencia; en el lmite n , o tn 0, el desplazamiento es: nnn xtt v lmite xn = 0(2.13) o Desplazamiento = rea bajo la grfica vxt APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 55 Adviertaqueenlasumasehasustituidolavelocidadpromedio, n xv porlavelocidadinstantneavxn. Comosepuedeverenlafigura2.15estaaproximacinclaramenteesvlidaenellmitedeintervalos muypequeos.Laconclusinesquesiseconocelagrficavxtparaelmovimientoalolargodeuna lnea recta, puede obtenerse el desplazamiento durante cualquier intervalo de tiempo al medir el rea bajo la curva correspondiente a ese intervalo de tiempo. El lmite de la suma mostrada en la ecuacin 2.13 se conoce como integral defnida y se escribe:

= = finttx nnn xtt t v t v lmite x ) (0 (2.14) donde vx(t) denota la velocidad en cualquier tiempo t. Si se conoce la forma funcional explcita de vx(t), y se dan los lmites, es posible evaluar la integral. Figura 2.16 La curva velocidadtiempo para una partcula en movimiento con velocidad constante vxi. El desplazamientodelapartculaduranteelintervalodetiempotfti;esigualalreadelrectngulo sombreado. Algunas veces la grfica vxt para una partcula en movimiento tiene una forma mucho ms simple que la mostrada en la figura 2.15. Por ejemplo, suponga una partcula movindose a una velocidad constante vxi. Enestecasolagrficavxtesunalneahorizontal,comosemuestraenlafigura2.16,ysu desplazamiento durante el intervalo de tiempo t es simplemente el rea del rectngulo sombreado: x = vxi t (cuando vxf = vxi = constante) Figura2.17Lacurvavelocidadtiempoparaunapartculaenmovimientoconunavelocidadquees proporcional al tiempo. Como otro ejemplo, considere una partcula movindose con una velocidad que es proporcional a t, como se ve en la figura 2.17. Si se toma vx = ax t, donde ax es la constante de proporcionalidad (la aceleracin), APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 56 se encontrar que el desplazamiento de la partcula durante el intervalo de tiempo t = 0 a t = tA es igual al rea del tringulo sombreado en la figura 2.17: 221) ( ) (21A x A x At a t a t x = = Ecuaciones cinemticas A continuacin se utilizarn las ecuaciones de definicin correspondientes a la aceleracin y la velocidad para deducir dos ecuaciones cinemticas, las ecuaciones 2.8 y 2.11. La ecuacin que define la aceleracin (ecuacin 2.6): t dv daxx= tambin puede escribirse como d vx = ax dt o, en trminos de una integral (o antiderivada), como: + =1C dt a vx x donde C1 es una constante de integracin. Para el caso especial en el que la aceleracin es constante, la ax puede ser removida de la integral para dar: + = + =1 1C t a C dt a vx x x (2.15) El valor de C1 depende de las condiciones iniciales del movimiento. Si se toma vx = vxi cuando t = 0, y se sustituyen estos valores en la ltima ecuacin, se obtiene: vxi = ax (0) + C1 C1 = vxi Llamandovx=vxfalavelocidaddespusdequeelintervalothatranscurrido,ysustituyendoestoyel valor recin encontrado para C1 en la ecuacin 2.15, se obtiene la ecuacin cinemtica 2.8: t a v vx xi xf+ =(para ax constante) Ahora considere la ecuacin que define a la velocidad (ecuacin 2.4): t ddxvx= Se puede escribir sta como dx = vx dt o en forma integral como: = = dt v dx xx + C2 donde C2 es otra constante de integracin. En vista de que vx = vif = vxi + ax t, esta expresin se convierte en: + + = + + = + + =2 2 2) ( C dt t a dt v C dt t a dt v C dt t a v xx xi x xi x xi APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 57 2221C t a t v xx xi+ + = Para encontrar C2 se toma en cuenta la condicin inicial de que x = xi cuando t = 0. Esto produce C2 = xi. En consecuencia, despus de sustituir xf por x, se tiene: 221t a t v x xx xi i f+ + = (para ax constante) Una vez despejado xi al lado izquierdo de la ecuacin, se obtiene la ecuacin cinemtica 2.11. Recuerde que xf xi es igual al desplazamiento del objeto, donde xi es su posicin inicial. RESUMEN Cuando una partcula se mueve a lo largo del eje x desde cierta posicin inicial hasta cierta posicin final x, su desplazamiento es: 1 2x x x = (2-1) Lavelocidadpromediodeunapartculadurantealgnintervalodetiempoeseldesplazamientox dividido entre el intervalo de tiempo t durante el cual dicho desplazamiento ocurri: txvx=(2-2) La rapidez promedio de una partcula es igual al cociente entre la distancia total que recorre y el tiempo total necesario para cubrir esa distancia. La velocidad instantnea de una partcula se define como el lmite de la relacin x/t cuando t tiende a cero. Por definicin, este lmite es igual a la derivada de x con respecto a t, o a la relacin de cambio de la posicin en el tiempo: t dx dtxite vtx== 0lim (2-4) La rapidez instantnea de una partcula es igual a la magnitud de su velocidad. La aceleracin promedio de una partcula se define como la proporcin entre el cambio de su velocidad, v dividido entre el intervalo de tiempo t durante el cual ocurri dicho cambio: i fxi xfxxt tv vtva== (2-5) La aceleracin instantnea es igual al lmite de la relacin v/t cuando t tiende a cero. Por definicin, estelmiteesigualaladerivadadevxrespectodet,oalaproporcindecambiodelavelocidadenel tiempo: 220limt dx dt dv dtvite ax xtx= == (2-6) Lasecuacionesdelacinemticaparaunapartculaquesemuevealolargodelejexconaceleracin uniforme ax (constante en magnitud y direccin) son: APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 58 t a v vx xi xf+ = (2-8) t v v t v x xxi xfxi f) (21+ = = (2-10) 221t a t v x xx xi i f+ = (2-11) ) ( 22 2i f x xi xfx x a v v + = (2-12) Debe ser capaz de usar estas ecuaciones y las definiciones en este captulo para analizar el movimiento de cualquier objeto que se mueve con aceleracin constante. UnobjetoquecaelibrementeenpresenciadelagravedaddelaTierraexperimentaunaaceleracinde cada libre dirigida hacia el centro de la Tierra. Si se ignora la resistencia del aire, si el movimiento ocurre cerca de la superficie de la Tierra y si el rango del movimiento es pequeo comparado con el radio de la Tierra,puedesuponersequelaaceleracindecadalibre,g,esunaconstanteenelintervalodel movimiento, donde ges igual a 9.80 m/s2. Losproblemascomplicadostienenunmejorabordajeconunmtodoorganizado.Debesercapazde recordar y aplicar las etapas de la estrategia ROAA cuando los necesite. PREGUNTAS 1.La velocidad promedio y la velocidad instantnea son por lo general cantidades diferentes. Pueden ser iguales en un tipo de movimiento especfico? Explique. 2.Si la velocidad promedio es diferente de cero para cierto intervalo de tiempo, esto quiere decir que la velocidad instantnea nunca es cero durante este intervalo? Explique. 3.Si la velocidad promedio es igual a cero en cierto intervalo de tiempo t, y si vx(t) es una funcin continua,demuestrequelavelocidadinstantneadebetenderaceroenciertotiempoeneste intervalo. (En su prueba sera til un dibujo de x contra t.) 4.Es posible una situacin en la cual la velocidad y la aceleracin tengan signos opuestos? Si es as bosqueje una grfica velocidad-tiempo para probar su afirmacin. 5.Si la velocidad de una partcula es diferente de cero, su aceleracin puede ser cero? Explique. 6.Si la velocidad de una partcula es cero, su aceleracin puede ser diferente de cero? Explique. 7.Un objeto que tiene aceleracin constante puede detenerse y permanecer detenido? 8.Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio. El desplazamiento de lapiedradependedelalocalizacindelorigendelsistemadecoordenadas?Lavelocidaddela piedra depende del origen? (Suponga que el sistema de coordenadas es estacionario en relacin con el edificio.) Explique. 9.Desdelaazoteadeunedificiodealturahunestudiantelanzaunapelotahaciaarribaconuna rapidezinicialvyiydespuslanzaunasegundapelotahaciaabajoconlamismarapidezinicial. Cmo se comparan las velocidades finales de las pelotas cuando alcanzan el suelo? 10.Lamagnituddelavelocidadinstantneadeunobjetoalgunavezpuedesermsgrandequela magnitud de su velocidad promedio? Puede ser menor? APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 59 11.Silavelocidadpromediodeunobjetoesceroenciertointervalodetiempo,qusepuededecir acerca del desplazamiento del objeto en ese intervalo? 12.Unaplantaderpidocrecimientoduplicasualturacadasemana.Alfinaldelda25laplanta alcanza la altura de un edificio. En qu tiempo la planta tuvo un cuarto de la altura del edificio? 13.Dos automviles se mueven en la misma direccin en carriles paralelos por una autopista. En cierto instante la velocidad del auto A supera la velocidad del B. Esto quiere decir que la aceleracin de A es mayor que la de B? Explique. 14.UnamanzanasedejacaerdesdeciertaalturasobrelasuperficiedelaTierra..Siseignorala resistencia del aire, cunto aumenta su rapidez cada segundo durante su cada? 15.Considerelasiguientecombinacindesignosyvaloresparalavelocidadylaaceleracindeuna partcula con respecto a un eje x unidimensional: VelocidadAceleracin APositivaPositiva BPositivaNegativa CPositivaCeroDNegativaPositiva ENegativaNegativa FNegativaCero GCeroPositiva HCeroNegativa Describaloqueesthaciendolapartculaencadacasoyproporcioneunejemplodelavidareal paraunautomvilsobreunejeunidimensionaleste-oeste,conelesteconsideradocomola direccin positiva. 16.Se suelta un guijarro en un pozo de los deseos y el golpe con el agua se escucha 16 s despus, como se ilustra en la figura P2.16. Estime la distancia desde la orilla del pozo a la superficie del agua. 17.Lavelocidadpromedioesunacantidadcompletamenteartificialyotrascombinacionesdedatos puedenresultartilesenotroscontextos.Porejemplo,losgegrafosutilizanlaproporcinx/t, llamadala"lentitud"deunobjetoenmovimiento,cuandoestudianelmovimientodelasplacas continentales. Explique lo que significa esta cantidad. PROBLEMAS DE MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION Seccin 2.1 Desplazamiento, velocidad y rapidez 2.1.La posicin de un automvil que baja por la pendiente de una colina fue observada en diferentes tiempos y los resultados se resumieron en la tabla siguiente. Encuentre la velocidad promedio del automvil durante a) el primer segundo, b) los ltimos tres segundos y c) el periodo completo de observacin. x (m)02.39.220.736.857.5 t (s)01.02.03.04.05.0 Respuesta: (a) 2,30 m/s; (b) 16,1 m/s; (c) 11,5 m/s 2.2.Unautomovilistaviajahaciaelnortedurante35.0mina85.0km/hyluegosedetienedurante 15.0minoDespuscontinahaciaelnorterecorriendo130kmen2.00h.(a)Culessu desplazamiento total? b) Cul es su velocidad promedio? APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 60 2.3.En la figura P2.3 se muestra la grfica de desplazamiento versus tiempo para cierta partcula que se mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo a) 0 a 2 s, b) 0 a 4 s, c) 2 a 4 s, d) 4 a 7 s, e) 0 a 8 s. Figura P2-3. Problemas 3 y 11 Respuesta: (a) 5 m/s; (b) 1,2 m/s; (c) 2,5 m/s; (d) 3,3 m/s 2.4.Unapartculasemuevedeacuerdoconlaecuacinx=10t2,dondexestenmetrosyten segundos.a)Encuentrelavelocidadpromedioenelintervalodetiempode2.0a3.0s.b) Determine la velocidad promedio para el intervalo de tiempo de 2.0 a 2.1 s. 2.5.Una persona camina del punto A al punto B a una rapidez constante de 5.00 mis a lo largo de una lnearecta,ydespusregresaalolargodelalneadeBaAconunarapidezconstantede3.00 mis. Cules son a) su rapidez promedio en el recorrido completo y b) su velocidad promedio en el recorrido completo? Respuesta: (a) 3,75 m7s; (b) 0 2.6.Una persona camina del punto A al punto B a una rapidez constante de v1 a lo largo de una lnea recta, y despus regresa a lo largo de la lnea de B a A con una rapidez constante de v2 Cules son (a) su rapidez promedio en el recorrido completo y(b) su velocidad promedio en el recorrido completo? Seccin 2.2 Velocidad instantnea y rapidez 2.7.En t = 1.00 s, una partcula que se mueve con velocidad constante se localiza en x = -3.00 m y en t=6.00s,lapartculaselocalizaenx=5.00m.a)Conestainformacingrafiquelaposicin como funcin del tiempo. b) Determine la velocidad de la partcula a partir de la pendiente de esta grfica. Respuesta: (a) (b)1,69 m/s 2.8.La posicin de una partcula en movimiento a lo largo del eje x vara en el tiempo de acuerdo con la expresin x = 3 t2, donde x est en metros y t en segundos. Evale su posicin a) en t = 3.00 s y b)en3.00s+t.c)Evaleellmitedex/tconformettiendeaceroparaencontrarla velocidad en t = 3.00 s. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 61 2.9.En la figura P2.9 se muestra la grfica posicin-tiempo de una partcula que se mueve a lo largo delejex.a)Encuentrelavelocidadpromedioenelintervalodetiempot=1.5sat=4.0s.b) Determinelavelocidadinstantneaent=2.0smidiendolapendientedelalneatangente mostrada en la grfica. c) En cul valor de t la velocidad es cero? Figura P2-9 Respuesta: (a) 2,4 m/s; (b) 3,8 m/s; (c) 4,0 s 2.10.(a)Conlosdatosdelproblema1construyaunagrficacontinuadeposicinversustiempo.b) Construyendotangentesparalacurvax(t)encuentrelavelocidadinstantneadelautoen diferentesinstantes.c)Grafiquelavelocidadinstantneacontraeltiempoy,apartirdeesto, determine la aceleracin promedio del automvil. d) Cul es la velocidad inicial del vehculo? 2.11.DeterminelavelocidadinstantneadelapartculadescritaenlafiguraP2.3enlossiguientes tiempos: a) t = 1.0s, b) t = 3.0s,c) t = 4.5s yd) t = 7.5s Respuesta: (a) 5,0 m/s; (b) 2,5 m7s, (c) 0; (d) 5,0 m/s Seccin 2.3 Aceleracin 2.12.Una partcula se mueve con una velocidad de 60.0 m/s en la direccin x positiva en t = 0. Entre t =0yt=15.0s,lavelocidaddisminuyeuniformementehastacero.Culeslaaceleracin durante este intervalo de 15.0 s? Cul es el significado del signo de su respuesta? 2.13.Una superbola de 50.0 g que viaja a 25.0 m/s bota sobre una pared de ladrillo y rebota a 22.0 m/s. Una cmara de alta velocidad registra este evento. Si la bola est en contacto con la pared durante 3.50ms,culeslamagnituddelaaceleracinpromediodelaboladuranteesteintervalode tiempo? (Advierta: 1 ms = l0-3 s.) Respuesta: 1,34 x 104 m/s2 2.14.UnapartculapartedelreposoyaceleracomoseindicaenlafiguraP2.14.Determine:a)la rapidez de la partcula en t = 10 s y en t = 20 s, y b) la distancia recorrida en los primeros 20 s.APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 62 Figura P2 14 2.15.Unagrficavelocidad-tiempoparaunobjetoquese muevealolargodel ejex semuestraen la figura P2.15. a) Elabore una grfica de la aceleracin versus tiempo. b) Determine la aceleracin promedio del objeto en los intervalos de tiempo t = 5.00 s a t = 15.0 s y t = 0 a t = 20.0 s. Figura P2 15 Respuesta: (a) (b) 1,6 m/s2 y 0,80 m/s2 2.16.Un estudiante maneja su convertible a lo largo de un camino recto, como se describe en la grfica velocidad-tiempodelafiguraP2.16.Dibujeestagrficaenlapartemediadeunahojadepapel grfico.a)Directamentesobreestagrficadibujeunagrficadelaposicinversustiempo alineando las coordenadas de tiempo de las dos grficas. b) Dibuje una grfica de la aceleracin versustiempodirectamentedebajodelagrficavx-t,alineandodenuevolascoordenadasde tiempo.Sobrecadagrficamuestrelosvaloresnumricosdexyaxparatodoslospuntosde inflexin.c)Culeslaaceleracinent=6s?d)Determinelaposicin(relativaalpuntode inicio) en t = 6 s. e) Cul es la posicin final del convertible en t = 9 s?APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 63 Figura P2-16 2.17.Una partcula se mueve a lo largo del eje x segn la ecuacin x = 2.00 + 3.00t - t2, donde x est en metros y t en segundos. En t = 3.00 s encuentre a) la posicin de la partcula, b) su velocidad y c) su aceleracin. Respuesta: (a) 2,00 m; (b) 3,00 m/s, (c) 2,00 m/s2 2.18.Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuacin x = (3.00t2 - 2.00t + 3.00) m. Determine a) la rapidez promedio entre t = 2.00 s y t = 3.00 s, b) la rapidez instantnea en t = 2.00 syent=3.00s,c)laaceleracinpromedioentret=2.00syt=3.00s,yd)laaceleracin instantnea en t = 2.00 s y t = 3.00 s. 2.19.LafiguraP2.19muestraunagrficadev.versustparaelmovimientodeunmotociclistadesde quepartedelreposoysemuevealolargodeuncaminoenlnearecta.a)Encuentrela aceleracin promedio para el intervalo de tiempo t = 0 a t = 6.00 s. b) Estime el tiempo en el cual laaceleracintienesuvalorpositivomayoryelvalordelaaceleracinenesteinstante.c) Cundoescerolaaceleracin?d)Calculeelmximovalornegativodelaaceleracinyel tiempo en el que ocurre. Figura P2 19 Respuesta: (a) 1,3 m/s2; (b) 2,0 m/s2 en 3 s s; (c) en t = 6 s y para t > 10 s; (d) 1,5 m/s2 en 8 s. Seccin 2.4 Diagramas de movimiento 2.20.Dibujeundiagramademovimientoparaa)unobjetoquesemuevealaderechaconrapidez constante, b) un objeto que se mueve a la derecha y acelera a una relacin constante, c) un objeto quesemuevealaderechayfrenaaunaproporcinconstante,d)unobjetoquesemueveala izquierda y acelera a una proporcin constante, y e) un objeto que se mueve a la izquierda y frena aunaproporcinconstante.f)Cmocambiaransusdibujossiloscambiosenlarapidezno fuesen uniformes; esto es, si la rapidez no cambiara a una relacin constante? Seccin 2.5 Movimiento unidimensional con aceleracin constante 2.21.Julio Verne propuso en 1865 enviar gente a la Luna mediante el disparo de una cpsula espacial desdeuncande220mdelargoconunavelocidadfinalde10.97km/s.Culhabrasidola granaceleracinirrealmenteexperimentadaporlosviajerosespacialesduranteellanzamiento? Compare su respuesta con la aceleracin de cada libre, 9.80 m/s2.APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 64 Respuesta: 2,74 x 105 m/s2, lo cual es 2,79 x 104 g 2.22.Cierto constructor de automviles proclama que su carro deportivo de superlujo acelerar desde el reposo a una rapidez de 42.0 mis en 8.00 s. Bajo la (improbable) suposicin de que la aceleracin es constante, a) determine la aceleracin del carro. b) Encuentre la distancia que recorre el auto en losprimeros8.00s.c)Culeslarapidezdelauto10.0sdespusdequecomienzasu movimiento, suponiendo que contina movindose con la misma aceleracin? 2.23.Un camin cubre 40.0 m en 8.50 s mientras frena suavemente a una rapidez final de 2.80 m/s. a) Encuentre su rapidez original. b) Determine su aceleracin. Respuesta: (a) 6,61 m/s; (b) 0,448 m/s2 2.24.Ladistanciamnimarequeridaparadetenerunautoquesemuevea35.0millas/hes40.0pies. Culesladistanciamnimadefrenadoparaelmismovehculoquesemuevea70.0millas/h, suponiendo la misma relacin de aceleracin? 2.25.Uncuerpoquesemueveconaceleracinuniformetieneunavelocidadde12.0cm/senla direccin x positiva cuando su coordenada x es 3.00 cm. Si su coordenada x 2.00 s despus es - 5.00 cm, cul es la magnitud de su aceleracin? Respuesta: 16,0 cm/s2 2.26.La figura P2.26 representa parte de la informacin de desempeo del auto que posee un orgulloso estudiantedefsica.a)Apartirdelagrficacalculeladistanciatotalrecorrida.b)Culesla distanciaqueelautorecorreentrelostiempost=10syt=40s?c)Dibujeunagrficadesu aceleracinversuseltiempoentret=0yt=50s.d)Escribaunaecuacinparaxcomouna funcin del tiempo para cada fase del movimiento, representado por i) Oa, ii) ab, iii) bc. e) Cul es la velocidad promedio del auto entre t = 0 y t = 50 s? Figura P2-26 2.27.Una partcula se mueve a lo largo del eje x. Su posicin est dada por la ecuacin x = 2.00 + 3.00t 4.00t2 con x en metros y t en segundos. Determine a) su posicin en el instante en que cambia su direccin y b) su velocidad cuando regresa a la posicin que tena en t = 0. Respuesta: (a) 2,56 m, (b) 3,00 m/s 2.28.Larapidezinicialdeuncuerpo esde5.20m/s.Culessurapidezdespusde 2.50s siacelera uniformemente a) a 3.00 m/s2 y b) a 3.00 m/s2? 2.29.Unpilotodearranconesinicialamarchadesuvehculodesdeelreposoyaceleraa10.0m/s2 durante una distancia total de 400 m (1/4 de milla). a) Cunto tiempo tarda el carro en recorrer esta distancia? b) Cul es su rapidez al final del recorrido? Respuesta: (a) 8,94 s; 8b) 89,4 m/s APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 65 2.30.Un automvil se acerca a una montaa a 30.0 m/s cuando repentinamente falla su motor, justo al pie de la colina. El auto experimenta una aceleracin constante de 2.00 m/s2 mientras efecta el ascenso.a)Escribaecuacionesparalaposicinalolargodelapendienteylavelocidadcomo funciones del tiempo, considerando x = 0 en la parte inferior de la colina, donde vi = 30.0 m/s. b) Determine la distancia mxima que el auto recorre sobre la colina. 2.31.Un jet aterriza con una rapidez de 100 m/s y puede acelerar a una relacin mxima de 5.00 m/s2 conformesevadeteniendo.a)Apartir delinstanteenque tocalapistadeaterrizaje,cul es el tiempomnimonecesarioantesdequesedetenga?b) Esteavinpuede aterrizaren elpequeo aeropuerto de una isla tropical donde la pista tiene 0.800 km de largo? Respuesta: (a) 20,0 s; (b) no 2.32.Elconductordeunautoaplicalosfrenoscuandoveunrbolbloqueandoelcamino.Elautose detienedemanerauniformeconuna aceleracinde 5.60m/s2durante4.20s,haciendomarcas deneumticosde62.4mdelargoqueterminanenelrbol.Conqurapidezelautogolpeaal rbol? 2.33.Ayuda!Unadelasecuacionesestperdida!Sehandescritomovimientosconaceleracin constante con las variables y parmetros vxi, vxf.ax., t y xf - xi. De las ecuaciones en la tabla 2.2 la primera no involucra xf - xi. La segunda no contiene ax, la tercera omite vxf y la ltima deja fuera t. Asqueparacompletarel juegodebera haberuna ecuacinquenoinvolucrara vxi.Dedzcala a partir de las otras. sela para resolver el problema 32 en un paso. Respuesta: xf xi = vxit axt2/2 = 3,10 m/s 2.34.Unabalaindestructiblede2.00cmdelargosedisparaenlnearectaatravsdeunatablaque tiene10.0cmdeespesor.Labalaentraenlatablaconunarapidezde420m/sysaleconuna rapidez de 280 m/s. a) Cul es la aceleracin promedio de la bala a travs de la tabla? b) Cul es el tiempo total que la bala est en contacto con la tabla? c) Qu espesor de la tabla (calculado hasta0.1cm)serequeriraparadetenerlabala,suponiendoquelaaceleracindelproyectila travs de todas las partes de la tabla es la misma? 2.35.Un camin en un camino recto parte del reposo, acelerando a 2.00 m/s2 hasta alcanzar una rapidez de 20.0 m/s. Entonces el camin viaja 20.0 s con rapidez constante hasta que se aplican los frenos ysedetieneenformauniformeenotros5.00s.a)Cuntoestelcaminenmovimiento?b) Cul es la velocidad promedio del camin para el movimiento descrito? Respuesta: () 35,0 s; (b) 15,7 m/s 2.36.Un tren viaja de bajada en un tramo recto a 20.0 m/s cuando el maquinista aplica los frenos. Esto da como resultado una aceleracin de 1.00 m/s2 durante tanto tiempo como el tren permanece en movimiento.Qudistanciaavanzareltrenduranteunintervalode40.0spartiendoenel instante en que se aplican los frenos? 2.37.DurantemuchosaoselrcordmundialderapidezterrestreloposeaelcoroneldelaFuerza AreadeEstadosUnidos,JohnP.Stapp(Fig.P2.37).El19demarzode1954,enuntrineo impulsado por cohete, baj por una pista a 632 millas/h. l y el vehculo se detuvieron en forma segura en 1.40 s. Determine a) la aceleracin negativa que experiment y b) la distancia recorrida durante esta aceleracin negativa.APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 66 Figura P2 37. (Izquierda) El coronel John Stapp en un deslizador cohete. (Cortesa de la Fuerza Area EE. UU.) (Derecha) La cara del coronel Stapp se contare debido a la tensin de la rpida aceleracin negativa

Respuesta: (a) 202 m/s2; (b) 198 m 2.38.Un electrn en un tubo de rayos catdicos (TRC) acelera uniformemente de 2.00 x 104 m/s a 6.00 x 106 m/s en 1.50 cm. a) Cunto tiempo tarda el electrn en recorrer esta distancia? b) Cul es su aceleracin? 2.39.Unapelotapartedelreposoyaceleraa0.500m/s2mientrassemuevehaciaabajoenunplano inclinadode9.00mdelargo.Cuandoalcanzalaparteinferior,lapelotaruedaporotroplano donde,despusdemoverse15.0m,sedetiene.a)Culeslarapidezdelapelotaenlaparte inferiordelprimerplano?b)Cuntotardaenrodarporelprimerplano?c)Culesla aceleracin a lo largo del segundo plano? d) Cul es la rapidez de la pelota 8.00 m a lo largo del segundo plano? Respuesta: (a) 3,00 m; (b) 6,00 s; (c) 0,300 m/s2, (d) 2,05 m/s 2.40.Susanavamanejandoa30.0m/syentraenuntneldeunsolocarril.Entoncesobservauna camionetaquesemuevedespacio155madelanteviajandoa5.00m/s.Aplicasusfrenospero puededesacelerarsloa2.00m/s2debidoaqueelcaminoesthmedo.Chocar?Siesas determine a qu distancia dentro del tnel y en qu tiempo ocurre el choque. Si no, determine la distancia de mximo acercamiento entre el auto de Susana y la camioneta. Secci6n 2.6 Cuerpos en cada libre Nota: En todos los problemas de esta seccin ignore los efectos de la resistencia del aire. 2.41.Una bola de golf es lanzada desde el reposo de la parte alta de un edificio muy alto. Calcule a) la posicin y b) la velocidad de la bola despus de 1.00 s, 2.00 s y 3.00 s. Respuesta: (a) 4,90 m, 19,6 m, 44,1 m, (b) 9,80 m/s,19,6 m/s, 29,4 m/s 2.42.Cada maana a las siete en punto Hay veinte terriers taladrando la roca. El jefe viene y ks dice, "Mantnganse firmes y apyense duro sobre el taladro de hierro fundido y taladren, terriers, taladren." Y taladren, terriers, taladren. Es trabajar todo el da por azcar en su t... y taladren, terriers, taladren. Un da una explosin prematura se suscit y una milla en el aire el gran Jim Goff subi. Y taladren... Entonces, cuando el siguiente da de paga lleg, Jim Goff un dlar menos encontr. Cuando l pregunt por qu, esta rplica recibi: "Fue por el tiempo que en el cielo permaneci". Y taladren... APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 67 -Cancin popular estadounidense Cul era el salario por hora de Goff? Establezca las suposiciones que hizo para calcularlo. 2-43.Unaestudiantelanzaunacajaconllavesverticalmentehaciaarribaasuhermanadeunclub femenil estudiantil, quien se encuentra en una ventana 4.00 m arriba. La hermana atrapa las llaves 1.50 s despus con la mano extendida. a) Cul es la velocidad inicial con la cual se lanzaron las llaves? b) Cul fue la velocidad de las llaves exactamente antes de que las atraparan? Respuesta: (a) 10,0 m/s hacia arriba; (b) 4,68 m/s hacia abajo 2-44.Unapelotaeslanzadadirectamentehaciaabajoconunarapidezinicialde8.00m/sdesdeuna altura de 30.0 m. Cuntos segundos tarda la pelota en golpear el suelo? 2-45.EmiliadesafaasuamigoDavidaatraparunbilletededlarmientrasstecae.Ellasostieneel billeteverticalmente,comoenlafiguraP2.45,conelcentroentrelosdedosndiceypulgarde David.ldebeatraparlodespusdequeEmilialosueltesinmoversumanohaciaabajo.Sisu tiempo de reaccin es 0.2 s, tendr xito? Explique su razonamiento. Figura P2-45 Respuesta: No. En 0,2 s el billete caer entre los dedos de David 2-46.Sedejacaerunapelotadesdeelreposoaunaalturahsobreelpiso.Otrabolaeslanzada verticalmentehaciaarribadesdeelpisoenelmismoinstanteenquesesueltalaprimerabola. Determinelarapidezdelasegundabolasilasdosbolasseencuentranaunaalturah/2sobreel piso. 2-47.Una pelota de bisbol es golpeada con el bat de tal manera que viaja en lnea recta hacia arriba. Unaficionadoobservaquesonnecesarios3.00sparaquelapelotaalcancesualturamxima. Encuentre a) su velocidad inicial, y b) la altura mxima que alcanza. Respuesta: (a) 29,4 m7s; (b) 44,1 m 2-48.Se inform que una mujer cay 144 pies desde el piso 17 de un edificio y aterriz sobre una caja de ventilador metlica, la cual sumi hasta una profundidad de 18.0 pulgadas. Slo sufri lesiones menores. Calcule a) la rapidez de la mujer exactamente antes de chocar con la caja del ventilador, b)suaceleracinpromediomientrasestencontactoconlacaja,yc)eltiempoquetardaen sumir la caja. APUNTES DE FSICACINEMTICAMsC. JESS RTOBERTO GAVIDIA IBERICO 68 2-49.Unosadovaquerosentadosobrelaramadeunrboldeseacaerverticalmentesobreuncaballo que galopa debajo del rbol. La rapidez del caballo es de 10.0 m/s y la distancia de la rama a la sillademontaresde3.00m.a)Culdebeserladistanciahorizontalentrelasillaylarama cuando el vaquero salta? b) Cunto tiempo dura en el aire? Respuesta: (a) 7,82 m; (b) 0,782 s 2-50.Unapelotalanzadaverticalmentehaciaarribaescapturadaporellanzadordespusde20.0s. Determine a) la velocidad inicial de la pelota, y b) la altura mxima que alcanza. 2-51.Unapelotaeslanzadaverticalmentehaciaarribadesdeelsueloconunarapidezinicialde15.0 mis. a) Cunto tiempo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud mxima? b) Cul es su altitud mxima? c) Determine la velocidad y la aceleracin de la pelota en t = 2.00 s. Respuesta: (a) 1,53 s; (b) 11,5 m, (c) 4,60 m/s, 9,80 m/s2 2-52.La altura de un helicptero sobre el suelo est representada por h = 3.00 t3, donde h est en metros ytensegundos.Despusde2.00selhelicpterodejacaerunapequeavalijaconla correspondencia. Cunto tiempo tarda la valija en llegar al suelo? Seccin 2-7. Ecuaciones cinemticas derivadas del clculo 2-53.Los ingenieros automotrices se refieren a la proporcin de cambio de la aceleracin en el tiempo comoel"jaln".SiunobjetosemueveenunadimensindemaneratalquesujalnJes constante,a)determineexpresionesparasuaceleracinax,velocidadvxyposicinx,dadassu aceleracin,rapidezyposicininicialescomoax0, vxiyx0respectivamente.b)Muestreque ) ( 22 2xi x xi xv v J a a + = . Respuesta: (a) ax = axi + J t, vx = vxi + axit + J t2, x = xi + vxi t + axit + Jt3 2-54.La rapidez de una bala mientras viaja hacia la salida del can de un rifle est dada por v = (5.0 x107)t2+(3,0x105)t,dondevestenmetros/segundoytensegundos.Laaceleracindela balacuandosaledelcanescero.a)Determinelaaceleracinyposicindelabalacomouna funcindeltiempoenqueseencuentraenelcan.b)Determineeltiempoenquelabalase acelera. c) Encuentre la rapidez a la cual la bala sale del can. d) Cul es la longitud del can? 2-55.La aceleracin de una canica en cierto fluido es proporcional a su rapidez al cuadrado, y est dada (enunidadesdelSI)pora=3.00v2parav>0.Silacanicaentraalfluidoconunarapidezde 1.50 m/s, cunto tiempo transcurrir para que la rapidez de la canica se reduzca a la mitad de su valor inicial?. Respuesta: 0,222 s PROBLEMAS ADICIONALES 2-56.Unautomovilistaviajaa