as f cinematic a

Anlisis de Situaciones Fsicas de Cinemtica

Ral Prez-Enrquez

Emiliano Salinas Covarrubias

Departamento de Fsica, UNISON

Junio de 2002

Ral Prez-Enrquez y Emiliano Salinas Covarrubias ii

Anlisis de Situaciones Fsicas de Cinemtica iii

PresentacinEste trabajo de ninguna manera pretende substituir los libros de texto que elestudiante de Fsica (Mecnica en este caso particular) debe consultar comomaterial base durante su estudio. El papel de estos anlisis de situaciones fsicasconcretas, es el de fortalecer la comprensin por parte del alumno de la manera enque se puede modelar la realidad utilizando la Fsica; tambin, intentafamiliarizarlo con las diversas formas de atacar un problema (grfica y analtica).Estas son las razones por las cuales la deduccin de las ecuaciones de movimientoque se puede hallar en los libros de texto, se ha omitido para, en su lugar, abordarms a fondo la seleccin y manipulacin de variables, nombres y etapas; alinterpretar casos concretos, deseamos que el estudiante aprenda a interpretar larealidad fsica a la que se enfrenta e identificar, a partir de ella, las ecuacionesbsicas que debe utilizar. Una vez hecho sto, el estudiante estar en condicionesde adaptar sus ecuaciones y resolverlas para obtener un resultado. Rechazamos eluso de frmulas deducidas y sustitucin directa de valores en ellas.

Los anlisis aqu expuestos abordan los temas bsicos de la Cinemtica yse presentan en tres secciones: I. Conceptos Bsicos; II. Cinemtica en unaDimensin y III. Cinemtica en dos Dimensiones. Para cada tema se analizansituaciones caractersticas de complejidad creciente de manera que el estudiante sefamiliarice con las ecuaciones de movimiento y su forma de uso.

Estas ideas se reflejan en la manera en la que se presentan los anlisis delas situaciones fsicas. Al inicio de cada seccin se presentan las ecuacionesgenerales aplicables al caso. En consecuencia, las ecuaciones de movimientobsicas que se utilizarn, se numeran con el ndice romano y un nmero arbigoconsecutivo (I.1, I.2, I.3, etc.). A su vez, las ecuaciones adaptadas a la situacinsujeta a anlisis reciben un nmero consecutivo que debe entenderse local a dichoproblema ((1), (2), (3), etc.). As, las referencias a ecuaciones de aplicacingeneral quedan fcilmente distinguibles de aquellas elaboradas o desarrolladaspara un anlisis especfico.

Esperamos que los estudiantes encuentren provechosos los anlisis aquexpuestos y les ayuden a desarrollar sus propias habilidades para construirmodelos de la realidad y bajarlos a su representacin matemtica.

Ral Prez-Enrquez y Emiliano Salinas Covarrubias iv

Ttulo: Anlisis de Situaciones Fsicas de Cinemtica

Autores: Ral Prez-Enrquez y Emiliano Salinas Covarrubias

Editado por:

Departamento de Fsica,

Universidad de Sonora

Junio de 2002.

Anlisis de Situaciones Fsicas de Cinemtica v

Indice

Presentacin iii

I. Conceptos Bsicos de Cinemtica 1

II. Cinemtica en una Dimensin 11

II.1 Aceleracin constante en una dimensin 11

II.2 Cada de un cuerpo 21

III. Cinemtica en Dos Dimensiones 33

III.1 Aceleracin constante en dos dimensiones 33

III.2 Tiro parablico 41

III.3 Movimiento circular 51

A. Apndices 57

A.I Transformacin de vectores 56

A.II Identidades trigonomtricas 57

A.III Ecuacin Cuadrtica 58

Ral Prez-Enrquez y Emiliano Salinas Covarrubias vi

I. Conceptos Bsicos de Cinemtica

I.1 Conceptos Bsicos de CinemticaLa Cinemtica es la parte de la Fsica encargada de analizar el movimiento de laspartculas sin atender a las causas de dicho movimiento. Por ello, deseamoscomenzar el estudio de diversas situaciones fsicas, revisando varios conceptosbsicos mediante los cuales se har la descripcin del movimiento.

En primer lugar, habremos de introducir algunas definiciones y conceptosde apoyo; a continuacin y con su ayuda, presentaremos las definiciones dedesplazamiento, velocidad y aceleracin que son esenciales para la descripcin.

Definiciones Bsicas

A lo largo de las descripciones de las situaciones fsicas y de los anlisiscorrespondientes, se usarn los siguientes conceptos:

(i) Espacio.- Espacio Euclidiano en el que se suceden los eventosfsicos;

(ii) Tiempo.- Instante en el que ocurre un evento; intervalo entre doseventos;

(iii) Cuerpo.- Cualquier objeto macroscpico con masa;(iv) Partcula.- Objeto puntual con masa, carente de movimientos

internos de vibracin o rotacin; cualquier cuerpo se ver como unapartcula;

(v) Posicin.- Lugar del espacio que ocupa una partcula; y,(vi) Movimiento.- Efecto observado como cambio de la posicin de una

partcula.

Conceptos de Apoyo

Como ya se mencion, nuestra intensin es la de realizar el anlisis de laevolucin del movimiento de las partculas en el tiempo. Con esa finalidad enmente, introduciremos ahora algunos conceptos que nos permitirn realizar demanera formal estos anlisis. Al respecto, es conveniente que tomemos enconsideracin que la descripcin del movimiento lo podremos representar de dosformas diferentes y complementarias: por medio de una representacin analtica;y, por medio de grficas.

Los conceptos de apoyo necesarios son:

Ral Prez-Enrquez y Emiliano Salinas Covarrubias 2

(i) Sistema de Referencia.- Sistema de ejes de coordenadas querepresenta el espacio en el cual se sita la partcula o partculas dela situacin fsica bajo anlisis;

(ii) Ecuacin.- Expresin matemtica por medio de la cual se describeel movimiento de una partcula; y,

(iii) Grfica.- Representacin de la evolucin de alguna de las variablesque caracterizan al movimiento que nos brinda la posibilidad deinterpretar una situacin fsica especfica.

Definiciones Complementarias

En general, podremos considerar que conocemos el movimiento de una partculacuando podemos indicar de manera precisa la evolucin de su posicin en eltiempo. Como ya se dijo arriba, podemos describir esta evolucin por medio deexpresiones matemticas (ecuaciones de movimiento) o por medio de grficas. Enambos casos, se requiere de proporcionar detalles que nos permitan predecir suevolucin o determinar las condiciones iniciales de las que parti.

Las definiciones complementarias que introduciremos en esta seccin, sonlas que permitirn realizar esta tarea. Estas definiciones tienen que verdirectamente con dicho movimiento: desplazamiento, velocidad promedio einstantnea, y aceleracin promedio e instantnea.(i) Desplazamiento.- cambio de posicin de un cuerpo; en general, se expresa

como sigue:

12

12

xxx

rrr

== &&&

(I.1)

una dimensin la ltima, dos o tres dimensiones la primera.(ii) Velocidad promedio.- razn de cambio de la posicin de la partcula en un

intervalo de tiempo; se expresa por medio de las ecuaciones:

12

12

12

12

tt

xx

t

xv

tt

rr

t

rv

prom

prom

=

==

=(I.2)

aplicables de manera similar a tres o dos dimensiones la primera y una dimensinla segunda.(iii) Velocidad instantnea.- cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, la

velocidad promedio tiende a un valor nico que corresponde a la velocidaden un instante determinado; la velocidad instantnea se puede evaluar pormedio de las ecuaciones:

td

xd

t

xlimv

td

rd

t

rlimv

tx

t

==

==

0

0

(I.3)

para una y ms dimensiones.

I.1 Conceptos Bsicos de Cinemtica 3

(iv) Aceleracin promedio.- es una medida de la variacin de la velocidad de lapartcula en un intervalo de tiempo dado; las expresiones matemticas quepermiten su clculo son, siguiendo los casos anteriores:

12

12

12

12

tt

vva

tt

vv

t

va

xxprom

prom

=

=

=(I.4)

(v) Aceleracin instantnea.- de manera similar a la forma de clculo de lavelocidad instantnea, se obtiene la aceleracin instantnea al tomar ellmite cuando 0 t de la aceleracin promedio; esta aceleracin seexpresa como sigue:

td

vd

t

vlima

td

vd

t

vlima

xx

tx

t

==

==

0

0

(I.5)

Una vez expuestos los conceptos y expresadas las ecuaciones demovimiento, podemos pasar al anlisis de situaciones fsicas particulares.

SF.I.1. La posicin de un cuerpo que se mueve en lnea recta puede ser expresadacon la ecuacin 323 tttx += , en donde x est en metros y t en segundos. Sedesea conocer: (a) la posicin del cuerpo en st 4,3,2,1,0= ; (b) losdesplazamientos entre los instantes styst 31 == y entre styst 42 == ; (c) ascomo, la velocidad promedio en los intervalos entre styst 40 == y

styst 31 == ; y, la velocidad instantnea en los extremos de este ltimointervalo; y, (d) la aceleracin promedio entre styst 31 == ; y, la aceleracininstantnea en st 2= .Anlisis. La ecuacin de movimiento debe permitirnos identificar qu tipo demovimiento tiene la partcula; para ello, calcularemos las ecuaciones para lavelocidad y aceleracin instantneas utilizando las ecuaciones (I.3) y (I.5), pues setrata del movimiento en una dimensin. As, tenemos, considerando:

323)( ttttx += (1)sustituida en (I.3),

( )323 tttdt

d

dt

dxv +==

por lo tanto,2361 ttv += (2)

y, a su vez, sustituyendo (2) en (I.5)

( )2361 ttdt

d

dt

dva +==

tenemos


ta 66 += (3)Ser con la ayuda de estas tres ecuaciones que podremos responder a las preguntasplanteadas.(a) para obtener las posiciones de la partcula en los instantes definidos, basta con

sustituir el valor de t en la ecuacin (1):

mxx

mxx

mxx

mxx

mxx

20)4()4(34)4(

3)3()3(33)3(

2)2()2(32)2(

1)1()1(31)1(

0)0()0(30)0(

325

324

323

322

321

=+===+===+==

=+===+==

(4)

(b) los desplazamientos en los intervalos indicados los obtenemos de la siguientemanera, utilizando la ecuacin (I.1) para una dimensin:

12 xxx =en donde, 2x y 1x sern las posiciones en los extremos de cada intervalo detiempo. En consecuencia, tenemos:

mxxx

mxxx

22)2(20

4)1(3

3524

2413

======

Por lo tanto, el desplazamiento de la partcula entre segundo 1 y el segundo 3 desu recorrido es de 4 m; mientras entre los segundos 2 y 4 es 22 m.(c) La velocidad promedio entre los intervalos mencionados requiere de la

utilizacin de la Ec. (I.2), reescrita como sigue,

15

150404 tt

xx

t

xv

==

o bien,

sm

ss

mmv 5

04

02004 =

=Similarmente, la velocidad promedio entre el primero y tercer segundos es

24

241313 tt

xx

t

xv

==

sm

ss

mmv 2

13

)1(313 =

=Las velocidades promedio en los intervalos entre 0 y 4 s, y 1 y 3 s, son de 5 m/s y2 m/s, respectivamente.

La velocidad instantnea en los extremos de este intervalo requiere deutilizar la velocidad encontrada, Ec. (2), sustituyendo el tiempo correspondiente:

smv 2)1(3)1(61)1( 2 =+=

y


smv 10)3(3)3(61)3( 2 =+=

La velocidad en 1 segundo es de -2 m/s, mientras a los 3 segundos es de 10m/s. Esto es, al primer segundo va hacia la izquierda y a los 3 segundos se muevehacia la derecha como se puede observar en la Figura I.1.1

Figura I.1.1 Cuerpo que se mueve segn 323 tttx +=(d) Finalmente, el clculo de la aceleracin promedio en el intervalo en

consideracin nos obliga a utilizar estos ltimos resultados; substituyendo en laEc. (I.4), tenemos,

13

)1()3(1313

== vv

t

va .

213 72

)2(10

sm

ss

ms

ma ==

Para obtener la aceleracin en un cierto instante, debemos utilizar la Ec. (3) que esla derivada de la velocidad con respecto al tiempo y substituir .2 st =

26)2(66)2( sma =+=

La aceleracin a los 2 segundos es de 6 m/s2.

A continuacin, se abordar el anlisis del movimiento de una partculaque viaja con aceleracin constante, centrando la atencin en la identificacin derasgos caractersticos de este tipo de movimiento; tales como la variacin de lavelocidad de manera lineal y, por tanto, la igualdad entre las velocidades mediaen un intervalo e instantnea al centro de dicho intervalo.


SF.I.2. Una partcula se mueve a lo largo de una lnea recta. Su posicin enmetros est descrita por medio de la ecuacin: .2.326 2ttx += Calcule: (a) lavelocidad promedio entre st 1= y st 5= ; (b) la velocidad instantnea a los 3 s; y,(c) la aceleracin en ese mismo instante.Anlisis. La velocidad promedio se puede calcular utilizando la Ec. (I.2) para elmovimiento en una dimensin,

12

1215 tt

xx

t

xv

==

en donde,mxx 8.4)1(2.3)1(26)1( 21 =+==

mxx 64)5(2.3)5(26)5( 22 =+==en consecuencia,

s

m

ss

mmv

4

8.68

15

8.46415 =

=

smv 2.1715 = (1)

Por otro lado, la velocidad instantnea la obtenemos por derivacin de laposicin como lo indica la Ec. (I.3)

( ) tttdt

dv 4.622.326 2 =+=

entonces,

smv 2.17)3(4.62)3( == (2)

Como se puede ver fcilmente, la velocidad promedio en el intervalo es igual ala velocidad al centro del intervalo, -17.2 m/s.

Por lo que se refiere a la aceleracin, utilizando la Ec. (I.5) tenemos,

( ) 24.64.62 smtdtd

a ==la partcula tiene aceleracin constante. Esto es, tiene el mismo valor de -6.4 m/s2

para cualquier instante, en particular a los 3 s.

Los clculos de las velocidades promedio se pueden utilizar parainterpretar situaciones particulares que resultan engaosas para el principiante.Un caso interesante es el que a continuacin se analiza.

SF.I.3. Calcule la velocidad promedio en los dos casos siguientes: (a) Ustedcamina 80 m a razn de 1.3 m/s y luego corre otros 80 m a razn de 3.0 m/s a lolargo de una pista recta. (b) Usted camina durante 1 min a razn de 1.3 m/s y luegocorre durante 1.0 min a razn de 3.0 m/s a lo largo de una pista recta.Anlisis. En una primera aproximacin mental, pensamos que la solucin es elpromedio de las velocidades; sin embargo, basta detenerse un poco paracomprender que ambas situaciones son radicalmente distintas. Con el objeto de


encontrar el punto medular de la diferencia, realizaremos un anlisis utilizando dosenfoques: uno numrico y otro analtico.

Antes de proceder al anlisis, elaboremos un diagrama esquemtico ynombremos de manera adecuada los datos conocidos y desconocidos. La velocidaden cada caso se identificar con av y bv . En la Figura I.1.2, se muestran los dos

casos planteados y una manera de identificar las variables; los subndices 1 y 2 serefieren a las etapas de caminar y correr, respectivamente.

Figura I.1.2. Dos casos en los que usted camina y corre.

Enfoque Numrico.Nos queda claro que la distancia recorrida en este caso (a), es

mxa 160= . Por otro lado, utilizando la Ec. (I.2) podemos calcular los intervalosde tiempo que le tomo a usted caminar

ssm

m

v

xt

t

xv 62

/3.1

80

1

11

1

11 ===

= (1)y, similarmente, correr

ssm

m

v

xt 27

/0.3

80

2

22 === (2)

Utilizando la misma Ec. (I.2) para el recorrido (a) obtenemos

s

m

t

xv

a

aa 89

160==

o bien,smva /8.1=

La velocidad promedio en el recorrido (a) es 1.8 m/s.


En el caso (b) lo seguro es que usted recorri la distancia total enstb 120= o dos minutos. Entonces, son las distancias parciales las que debemos

encontrar haciendo uso de la Ec. (I.2) como sigue

)60)(/3.1(1111

11 ssmtvxt

xv ==

= (3)o bien,

mx 781 =y, similarmente, para la etapa de carrera

mssmtvx 180)60)(/0.3(222 === (4)Por lo tanto, la velocidad promedio es

sms

mm

t

xv

b

bb /2.2120

18078 =+==

Su velocidad promedio en el caso (b) es 2.2 m/s.

Enfoque analticoSi antes de proceder a hacer las substituciones numricas anteriores

hacemos un poco de lgebra encontraremos significados fsicos para estassoluciones.

Utilizando la mencionada Ec. (I.2) para el primer caso tenemos

21

21

tt

xx

t

xv

a

aa +

+== (5)

en donde se constata que el desplazamiento total es la suma de losdesplazamientos y el tiempo total es la suma de los intervalos en que se camin ycorri. Ahora podemos considerar que 21 xx = y los intervalos de tiempoencontrados en las Ecs. (1) y (2), tenemos

+=

+

=

211

1

2

1

1

1

1

11

22

vvx

x

v

x

v

x

xva

o bien,

12

212vv

vvva += (6)

Esta velocidad es una velocidad reducida cuyo valor numrico coincide con elencontrado previamente como se puede ver enseguida

smsmsm

smsmva /8.1)/3.1/0.3(

)/0.3)(/3.1(2 =+=

Mientras la velocidad para el caso (b), en el que 21 tt = y que losdesplazamientos al caminar y correr los podemos determinar con las Ecs. (3) y (4),tenemos


1

1211

2 t

tvtvvb

+=o bien,

smsmsmvv

vb /2.22

)/0.3/3.1(

221 =+=+= (7)

que adems de tener el mismo valor encontrado antes, representa el promedio delas velocidades.


II. Movimiento en una Dimensin

II.1 Aceleracin constante en una dimensinEl movimiento de un cuerpo en una dimensin ha sido analizado de manerageneral en la Seccin I. En ella, se han revisado diversos casos en los que secalcula la velocidad y aceleracin de un cuerpo. El Estudiante est, ahora, encondiciones de iniciar el estudio de situaciones en las que la aceleracin de la(s)partcula(s) involucrada(s) en constante. Para hacerlo, el estudiante tendr,despus de revisar alguno de los libros de texto propuestos, que estar convencidode que el conjunto de cinco ecuaciones que se muestran adelante, permiten hacerla descripcin de un movimiento de esta naturaleza; adems, deber poderidentificar cada una de las variables que intervienen en ellas y su significado entrminos de las condiciones iniciales del movimiento.

Cualquiera de las ecuaciones de movimiento siguientes describe elmovimiento de una partcula con aceleracin constante:

tavv += 0 (II.1)2

21

00 tatvxx ++= (II.2)( )0202 2 xxavv += (II.3)( )tvvxx 0210 ++= (II.4)

221

0 tatvxx += (II.5)Corresponder a la prxima seccin, abordar el caso especial de la

partcula que cae libremente.No est por dems mencionar los usos de estas variables: El movimiento

que se describe es el de una partcula que parte de la posicin 0x en el instante

0=t , cuando lleva una velocidad inicial 0v . El nuevo estado de movimiento altiempo t , est dado por una nueva posicin x y velocidad final v . Antes de usarestas ecuaciones se tiene que confirmar que la aceleracin de la partcula, a , esconstante.

Dada una situacin fsica concretar, la tarea consiste en analizar lainformacin y responder a las preguntas. Las situaciones seleccionadas para suanlisis permitirn al estudiante irse familiarizando con un procedimiento generalque facilitar el enfrentar otro tipo de problemas. Este procedimiento tiene lossiguientes pasos:i) Lea con atencin la situacin fsica que se describe y elabore un diagrama

descriptivo;ii) A partir de la descripcin, identifique la informacin que se proporciona y

aquella que se desea conocer, asignndoles nombres especficos;


iii) Identifique entre las ecuaciones de movimiento II.1 a II.5, aquella(s) que lepermitan introducir la informacin y reescriba la(s) ecuacin(s) entrminos de los nombres de sus variables;

iv) Realice el lgebra pertinente para obtener el valor de la(s) variable(s)desconocidas;

v) Substituya los valores de las variables conocidas para obtener elresultado; y,

vi) Con el valor obtenido regrese a la situacin fsica descrita para respondera las cuestiones planteadas.Como ya se ha hecho en la seccin anterior, la numeracin es local a cada

situacin planteada; excepto por las llamadas a las ecuaciones de movimiento.Para empezar, se discute una situacin sencilla.

SF.II.1. Un avin Jumbo de propulsin a chorro debe despegar sobre una pista deKm8.1 de longitud; para ello, requiere de alcanzar una velocidad de hKm /360 .

Qu aceleracin constante mnima necesita para elevarse (a) si parte delreposo?Anlisis. Primero, idealizamos la situacin suponiendo que el Jumbo es unapartcula que se mover con aceleracin constante y elaboramos el diagrama quese ilustra en la Figura II.1.1.

La descripcin nos ha permitido indicar que la partcula parte del reposo,00 =v . Adems, que debe alcanzar la velocidad horizontal, hKmv /360= , al

final de la pista. La longitud de la misma es el desplazamiento, Kmxx 8.10 = .La aceleracin a , supuesta constante, es desconocida. As, el paso de encontrar laecuacin de movimiento adecuada para este caso se reduce a seleccionar aquellaecuacin que no involucra al tiempo; esto es, escogemos la Ec. (II.3). En estesencillo caso, la reescritura de la ecuacin es simple:

Figura II.1.1 Aceleracin para el despegue de un Jumbo.

( )0202 2 xxavv += (1)Despejando la aceleracin de Ec. (1)


)(2 0

20

2

xx

vva

= (2)o bien,

)(2 0

2

xx

va =

Substituyendo los valores conocidos y utilizando los factores de conversinnecesarios:

23

2232

78.2

110)8.1(2

36001

110)/360(

sm

KmmKm

sh

KmmhKm

a =

=

esto es, la aceleracin mnima requerida para despegar es de 2.78 m/s2.

Se pasar, ahora, al anlisis de una situacin en la que la aparicin de dospartculas, obliga a utilizar dos ecuaciones de movimiento, una por partcula:

SF.II.2. En el instante en el que un semforo cambia a verde, un automvilarranca con una aceleracin de 2.2 m/s. Simultneamente, un camin que viaja a9.5 m/s, alcanza y rebasa al auto. Se desea saber: (a) a qu distancia del semforoel automvil rebasa al camin? (b) cul es la velocidad del auto en ese momento?Anlisis. En la situacin fsica descrita intervienen dos vehculos por lo cual sernecesario establecer dos ecuaciones de movimiento: una para cada una de ellos.Para distinguir entre ambas partculas, usaremos subndices 1 y 2 para el auto y elcamin, respectivamente. As, podemos ver en seguida que ambos vehculos se

mueven con aceleracin constante: 21 2.2 sma = y 02 =a .

Tambin, es conveniente darnos cuenta que el tiempo transcurre igual paraambas partculas pues inician su avance al momento del cambio de seal en elsemforo; asimismo, su punto de partida ser en 02010 == xx , como se muestra enel diagrama esquemtico de la Figura II.1.2. Sabemos que para el auto 010 =v .

En consecuencia, podemos reescribir la Ec. (II.2) para ambos:Automvil: 212

110101 tatvxx ++=

Camin: 2221

20202 tatvxx ++=Mismas que se reducen a:

212

11 tax = (1)

tvx 202 = (2)


Figura II.1.2 Alcance del camin por un automovil.

Antes de continuar con las ecuaciones, haremos una grfica cualitativa delo que sucede y as podremos identificar el momento del alcance. En la FiguraII.1.3, hemos graficado la posicin contra tiempo de las dos partculas. Como sepuede apreciar en la figura, se hace evidente que, en el cruce de las dos curvas, elauto rebasa al camin: 21 xxxr == . Esto sucede cuando rtt = .

Figura II.1.3 Grfica en donde se representa el instante del alcance.

As, despejando rt de la Ec. (2) y substituyendo en la Ec. (1) tenemos:2

2012

1

=

v

xax rr

o bien, ( )2

2

1

220

2.2

5.922

sm

sm

a

vxr ==

mxr 82=Concluimos que (a) el automvil rebasa al camin a 82 m del semforo.


Para responder a la pregunta sobre la velocidad del automvil en el instantedel alcance, utilizamos la Ec. (II.4) reescrita para el auto como sigue:( ) rr tvvxx 1102110 ++= (3)despejando el tiempo dado en la Ec. (2) para dicho instante rt :

20v

xt rr =

y substituyendo en la Ec. (3), tenemos:

=

2012

1

v

xvx rr

o bien, ( )smvv 5.922 201 == (4)s

mv 191 =Resulta que la velocidad en el momento del rebase es de 19 m/s. El doble

de la velocidad del camin segn vemos en la Ec. (4); lo cual se confirma demanera clara cuando hacemos la grfica de velocidad contra tiempo para ambaspartculas (ver Figura II.1.4). El instante rt corresponde al momento en que lasreas bajo las dos curvas es la misma; es decir, cuando la distancia recorrida es lamisma.

Figura II.1.4 Grfica de sus velocidades.

La situacin fsica que se analiza a continuacin requiere de abstraerse delos valores numricos y concentrarse en los aspectos cualitativos de lascondiciones de movimiento de las partculas; dos trenes en este caso.


SF.II.3. El maquinista de un tren que se mueve a una velocidad 1v advierte lapresencia de un tren de carga a una distancia d delante de l que se mueve convelocidad ms lenta 2v , en la misma va recta y en la misma direccin. Accionalos frenos e imprime a su tren una desaceleracin constante a . Demuestre que:

Si ( )

a

vvd

2

221 > , entonces no habr colisin

Si ( )

a

vvd

2

221 < , entonces si habr colisin

Anlisis. Como siempre, elaboremos un diagrama esquemtico de la situacin. Enla Figura II.1.5, hemos representado el instante inicial y el instante lmite para quesuceda el accidente.

Figura II.1.5 Diagrama que ilustra el movimiento del tren y del carguero.

En (a), vemos a los dos trenes viajando con sus respectivas velocidades yseparados por la distancia

01 xxd = (1)En (b), hemos representado a los dos trenes en 2x , llevando ambos la

misma velocidad 2v .El estudiante debe estar convencido de que sta es la condicin extrema

pues si lleva una velocidad mayor, chocarn irremediablemente; mientras si el tren1 lleva una velocidad ligeramente menor ya no alcanzar al carguero y se evitar lacolisin. Esto se puede apreciar en la Figura II.1.6. En ella, vemos la grfica de laposicin contra tiempo de ambas partculas (trenes): la curva con aceleracinnegativa del tren y la recta de velocidad constante del carguero.


Figura II.1.6 Grfica de posicin contra tiempo que ilusta las condiciones de colisin.

Utilizando la Ec. (II.4) para el tren 1, tomando en cuenta que la velocidadfinal debe ser 2v , tenemos:( )tvvxx 212102 ++= (2)y la Ec. (II.2) para el carguero, considerando que 02 =a , encontramos:

222

1212 tatvxx ++=

o bien,tvxx 212 += (3)

Restando la Ec. (3) de la Ec. (2), tenemos( ) tvtvvxx 2212110 )(0 ++=o bien, considerando la Ec. (1):( )tvvd 2121 = (4)Ahora, nos basta con calcular el tiempo a partir de la Ec. (II.1) reescrita paranuestros datos como: ( )

a

vvttavv 2112

== (5)que al substituir en la Ec. (4) da la condicin que se buscaba:

( )a

vvd

2

221 =

Esta distancia es la distancia crtica para que se de la colisin. Siregresamos a la Figura II.1.6, podemos confirmar mediante el estudio de las lneaspunteadas que la condicin de si colisin se da para un valor de d menor alcrtico (lnea inferior); mientras en caso contrario el tren no se acercademasiado al carguero (lnea superior).


Por ltimo, y antes de proceder a considerar situaciones en las que laaceleracin es la de la gravedad, se revisar el caso de un tren subterrneo queacelera y decelera entre estaciones. Se solicita que el estudiante preste atencin ala manera en que se indican las posiciones de las dos etapas que incluye estemovimiento.

SF.II.4. Un tren subterrneo (metro) acelera desde el reposo en una estacin( 2/20.1 sma += ) durante la primera mitad de la distancia a la siguiente estaciny luego decelera hasta el reposo ( 2/20.1 sma = ) en la segunda mitad de surecorrido. La distancia entre estaciones es de 1.10 Km. Halle (a) el tiempo de viajeentre estaciones y (b) la velocidad mxima del metro.Anlisis. En esta situacin fsica debemos contemplar que el movimiento delmetro se realiza en dos etapas; ambas con aceleracin constante pero opuesta entres que designaremos como: aa =1 y aa =2 . Adems, sabemos que la velocidadmxima la alcanzar a la mitad de la distancia entre estaciones, KmD 10.1= .

Con estas consideraciones, elaboramos el diagrama esquemtico que semuestra en la Figura II.1.7. en donde hemos identificado las velocidades para cadaetapa; identificando la condicin de continuidad a la mitad del recorrido,

Dx 21

0 + , ya mencionada, 201 vv = . As, podemos decir que el tiempo entreestaciones ser:

21 ttt += (1)esto es, la suma de los lapsos en cada una de las dos etapas.

Figura II.1.7 Fases de aceleracin y desaceleracin del Metro.

Para la primera mitad del viaje, podemos reescribir la Ec. (II.2) comosigue:

2112

111002

10 tatvxDx ++=+

la cual podemos reducir a


a

DttaD == 121 (2)

pues 010 =v y aa =1 .Para la segunda etapa, tomaremos como punto de partida Dx 2

10 + y punto

de llegada Dx +0 ; utilizando la Ec. (II.5) pues ahora conocemos la velocidadfinal, 02 =v , tenemos:

2222

122

100 tatvDxDx ++=+

o bien,

a

DttaD == 222 (3)

como era de esperarse pues la aceleracin fue la misma pero en sentido contrario.As, combinando los valores de las Ecs. (2) y (3) en la Ec. (1), obtenemos:

2/2.1

110022

sm

m

a

Dt ==

st 6.60=Decimos entonces que al metro le tomo 60.6 segundos llegar de una

estacin a la otra.Para responder al inciso (b), recordemos que la velocidad mxima ocurre a

la mitad del recorrido. Por ello, utilizando la Ec. (II.3) reescrita para la etapa I,tenemos: ( )0210121021 )(2 xDxavv ++=o bien,

)/20.1)(1100( 211 smmaDv == (4)

smv 3.361 =

Entonces, decimos que el metro alcanza una velocidad mxima de 36.6m/s cuando llega a la mitad de su recorrido.

II.2 Cada de un cuerpoLa cada de un cuerpo se puede considerar como un movimiento en unadimensin. Este movimiento est en la direccin vertical misma que, en un sistemade referencia euclidiano, denominamos eje .y Las ecuaciones de una partcula conaceleracin constante estarn dadas por:

tavv += 0 (II.1v)2

21

00 tatvyy ++= (II.2v)( )0202 2 yyavv += (II.3v)( )tvvyy 0210 ++= (II.4v)

221

0 tatvyy += (II.5v)Un caso especial sucede cuando se trate de una partcula que cae

libremente, la aceleracin considerada ser la de la gravedad, ga = . A lassituaciones fsicas descritas por esta condicin se les conoce como Movimiento enCada Libre.

Existe un sinnmero de situaciones que es posible analizar mediante el usode estas ecuaciones; en particular, se hace nfasis en situaciones en las que estninvolucrados cambios de estado de movimiento o ms de una partcula. Paraempezar, se discuten dos situaciones fsicas especiales: la primera presenta unsolo cuerpo con dos etapas en su movimiento; la segunda hace referencia a doscuerpos.

SF.II.5. Consideremos una bola de acero que se deja caer en una alberca desdeun trampoln a 2.6 m sobre el nivel del agua. La bola golpea el agua con ciertavelocidad y luego continua undindose hasta el fondo con la misma velocidadconstante; llegando al fondo 0.97 s despus de que se ha dejado caer. (a) Cul esla profundidad de la alberca?

Anlisis. En la Figura II.2.1 (a), se muestra un esquema de la situacin descrita.Como se puede observar, el movimiento de la bola se desarrollar en dos etapas: labola se desplazar desde el trampoln hasta el nivel del agua con la aceleracin dela gravedad, as ga =1 ; y, desde ah hasta el fondo con 02 =a . Si llamamos

thy =10 a la altura del trampoln y ahy =2 a la profundidad de la alberca,podremos hacer el diagrama (b) de la Figura II.2.1, en la que por conveniencia


hemos situado el nivel 0 en la separacin entre las etapas I y II, en el nivel delagua.

Figura II.2.1 Diagrama para analizar las fases de la cada de la bola de acero.

Antes de empezar a trabajar con las ecuaciones de la partcula (la bola deacero) en cada una de las zonas, es apropiado establecer la condicin decontinuidad al nivel del agua. Esta condicin nos dice que la velocidad final de laetapa I es igual a la velocidad inicial de la etapa II; esto es, en y = 0, se debe tener:

201 vv = (1)adems, se debe cumplir que el tiempo total del movimiento sea igual a la suma deel tiempo transcurrido para cada una de las dos etapas; esto es,

21 ttt += (2)en donde .97.0 st =

Ahora s podemos considerar la pregunta que se formula. La profundidadde la alberca se puede encontrar, reescribiendo la ecuacin (II.2v) para la etapa IIcomo sigue:

220 tvha = (3)en donde, sustituyendo las expresiones para 20v y 2t de (1) y (2), encontramos:( )11 ttvha = (4)Los valores de 1v y 1t son desconocidos; sin embargo, ambos se pueden obtener apartir del anlisis de la etapa I del movimiento de la bola. Para esta etapa,considerando que la velocidad inicial es cero, podemos reescribir la ecuacin(II.3v) como:

( )thygvv = 221021 thgv 21 =

en donde se ha hecho 0=y y thy =0 segn se ve en la Figura 4.1(b) y 010 =v . Eneste caso se ha tomado la raz negativa para indicar que la bola de acero se dirigehacia abajo. As, podemos obtener:


( )( ) smsm mv 14.76.28,92 21 == (5)Por otro lado, el tiempo 1t se puede calcular reescribiendo la ecuacin (II.2v) parala partcula en la etapa I:

212

110101 tgtvyy +=

de donde obtenemos el valor para 1t pues ,10 thy = 01 =y y 010 =v :s

m

g

ht

ss

t 73.08.9

)6.2(22

2

1 === (6)Finalmente, al considerar los valores calculados en la ecuacin (4), encontramos:

msssmha 71.1)73.097.0()/14.7( == (7)En este caso el signo negativo nos indica que est por debajo del nivel del aguacomo era de esperar. Entonces, la profundidad de la alberca es de 1.71 metros.

(b) Supngase ahora que la alberca se vaca y la bola de acero se arroja de talmanera que tarda el mismo tiempo, st 97.0= , en llegar al fondo . Cul es lavelocidad inicial con que la bola fue arrojada?

El anlisis en este caso debe contemplar una sola etapa; adems,conocemos las posiciones inicial y final y la trayectoria de la partcula, vernuevamente la Figura 4.1. Revisando las ecuaciones de movimiento vertical,encontramos que la (II.2v) permite calcular la velocidad inicial a partir de datosconocidos:

221

0 tgtvhh ta += (8)en donde se ha considerado ga = . Despejando la velocidad tenemos,

t

tghhv ta

22

1

0

)( +=

sms

smmv s

m

/31.0)97.0(

)97.0)(8.9)(5(.)6.271.1( 2

0

2 =+= (9)La respuesta a la pregunta es: La bola de acero debe ser arrojada hacia arribacon una velocidad inicial de 0.31 m/s (dado que 0v result positiva).

SF.II.6. Considrese ahora una situacin fsica que involucre dos cuerpos encada libre: Dos cuerpos inician su cada desde la misma altura sobre el suelo conun segundo de diferencia. (a) Se desea saber el instante a partir de que el primercuerpo empez a caer en el cual la distancia de separacin entre ellos sea de 10metros.Anlisis. En el esquema que se muestra en la Figura II.2.2, se presenta la situacindescrita; en l se ha colocado el sistema de referencia a la altura desde la que sedejan caer los cuerpos y se ha definido la direccin positiva hacia abajo. Lasposiciones de los dos cuerpos en cierto instante t se indican como 1y y 2y . As,

por ejemplo, al tiempo t = 1s, el primer cuerpo ocupa la posicin ,1y mientras el


otro est en 02 =y . Los valores para dichas posiciones se calcularn por medio deun par de ecuaciones de movimiento especficas. La conexin entre ambasecuaciones la tendremos que establecer mediante una variable r que represente elretraso entre ambos movimientos ( ,1sr = en este caso); si llamamos 21 tyt altiempo transcurrido desde el momento en que se deja caer cada cuerpo, tendremosque el tiempo de cada del segundo cuerpo se puede expresar mediante la relacin:

rtt = 12 (1)

Figura II.2.2 Momentos de la cada de dos cuerpos.

Entonces, si llamamos d a la distancia de separacin entre los cuerpos,vemos claramente que

21 yyd = (2)Una grfica del movimiento de las dos partculas cayendo con un cierto

retraso, una respecto de la otra, se muestra en la Figura II.2.3. En ella, la lnea msdelgada representa la diferencia de posiciones o distancia entre ellas.


Figura II.2.3 Grfica en donde se muestra la posicin de las partculas en el tiempo.

Una vez formulado el modelo abstracto de la situacin fsica descrita,podemos pasar a su solucin cuantitativa. Utilizando la ecuacin (II.2v) paradescribir el movimiento de cada partcula y tomando en consideracin que

gayvv === 02010 pues parten del reposo y hemos escogido el eje positivode y hacia abajo, tenemos:

212

1222

12

212

11

)( rtgtgy

tgy

===

(3)

en donde hemos hecho uso de la ecuacin (1). Substituyendo las ecuaciones (3) enla ecuacin (2), obtenemos:

))(( 212

121

21 rttgyyd ==o bien,

)2( 2121 rrtgd =

Finalmente, podemos despejar el valor de 1t :

ss

sm

r

rgd

t sm

52.1)1(2

)1()8.9()10(2

2

222

1

2 =+

=+

= (4)En consecuencia, tenemos que la separacin entre ambos cuerpos

alcanza los 10 metros cuando han transcurrido 1.52 segundos; tan slo 0.52 sdespus de que se solt el segundo cuerpo.

Ahora, se analiza una situacin de especial complejidad de un cuerpo que cae encada libre y que obliga a visualizar la relatividad del movimiento:

SF.II.7. Considrese una pelota que es dejada caer desde una cierta altura; se dicede ella que recorri la mitad de su trayectoria total durante el ltimo segundo de sucada y se desea conocer (a) el tiempo total de cada y (b) la altura de la que parti.


Anlisis. Lo atractivo de esta forma de describir el movimiento radica en que nosobliga a hacer una abstraccin de las etapas de cada y expresar todo en trminosdel tiempo transcurrido. Debemos tener cuidado al hacer nuestro anlisis de noenfatizar la segunda parte del movimiento.

An cuando se trata de una partcula (la pelota) la descripcin delmovimiento nos permite establecer dos ecuaciones de movimiento pues son doslas cantidades desconocidas: el tiempo total de cada y la altura. En el esquema dela Figura II.2.4, se presenta el movimiento realizado por la pelota, indicndose enella dos instantes de su trayectoria; el tiempo transcurrido hasta el inicio del ltimosegundo se ha expresado como 1t pues como se ha dicho arriba, estosimplificar las ecuaciones.

Figura II.2.4 Diagrama de la bola que cae.

Si consideramos que la pelota parte de 0y y utilizamos la ecuacin (II.2v)

para calcular la posicin de la pelota despus que han pasado los dos instantes,tendremos:i) para la primera mitad de la trayectoria:

( )22100 12 = tgyy (1)ii) para la trayectoria total:

221

00 tgy =o bien,

221

0 tgy = (2)Substituyendo (2) en (1), despus de reagrupar trminos, llegamos a:

( ) ( )121 221241 == tttgtgesto es,


( ) st 4.312 2 == (3)A su vez, substituyendo este tiempo total de (3) en (2), podemos calcular

( )( ) msy sm 0.574.38.9 2210 ==(4)

As, concluimos que la pelota se dejo caer desde una altura de 57 m y setard 3.4 segundos en llegar al suelo.

En todos los casos anteriores, las condiciones iniciales de dejar caer loscuerpos ha implicado que parten con velocidad inicial igual a cero. Si embargodejar caer puede representar otras condiciones tal como sucede en la situacinsiguiente.

SF.II.8. Un globo est ascendiendo a razn de 15.0 m/s a una altura de 83.6 msobre el nivel del suelo cuando se deja caer desde l un bulto. Se desea conocer (a)la velocidad con la que el bulto golpea el suelo y (b) el tiempo que le tom hacer elrecorrido. Ver Figura II.2.5.Anlisis. En este caso, las palabras dejar caer el bulto significa que el bultopierde contacto con el globo, por lo tanto su velocidad respecto del globo sercero; mientras tanto el observador en el suelo (nosotros) veremos al paquetemovindose con la misma velocidad del globo ( ./0.150 smv = ) Esta situacin seha tratado de esquematizar en la Figura 6.2. Cmo la velocidad inicial del bulto eshacia arriba, en el esquema se muestra el movimiento del bulto hasta su llegada alsuelo. En dicha figura, hemos colocado el nivel cero del eje vertical en el suelo y,por ello, my 6.830 = es la altura inicial del bulto.

Figura II.2.5 Diagrama que ilustra el movimiento del bulto respecto a nosotros.


De una revisin de las ecuaciones de cada libre, encontramos que lavelocidad con la que llega al suelo queda puede ser expresada por la ecuacin(II.4v) pues conocemos la altura y velocidad inicial; de modo que

)0(2 02

02 ygvv =

en donde se ha considerado ga = . De aqu, basta tomar la raz negativa pues elsentido de la velocidad al golpear el suelo es hacia abajo, para encontrar:

02

0 2 ygvv += (1)

Figura II.2.6 Detalles sobre el movimiento del paquete.

Sustituyendo los valores correspondientes, tenemos:

( ) ( )( )smv

mvs

ms

m

/2.43

6.838.920.15 22

=+=

(2)El bulto golpea el suelo con una velocidad igual a sm /2.43 .Para obtener el tiempo que el bulto estuvo en el aire, se puede recurrir a la

ecuacin (II.2v); de manera que2

21

000 tgtvy += (3)la cual identificamos como una ecuacin de segundo grado en el tiempo; mismaque se puede resolver utilizando el mtodo general con la ecuacin (AI.1) segn sepresenta en el Apndice I, en donde los coeficientes estn dados por:


0

0

21

yc

vb

ga

===

(4)

por lo tanto, el tiempo de vuelo del bulto se expresa como sigue:

g

ygvvt

+= 02

00 2 (5)

Esta ecuacin tiene dos soluciones, una para cada signo de la raz; a saber:

sts

m

sm

sm

9.28.9

2.430.15

2

1 =+=

y,

sts

m

sm

sm

9.58.9

2.430.15

2

2 +==

De ambas soluciones, la nica con significado fsico para la situacindescrita es la segunda. Por ello, concluimos que el tiempo que le lleva al bulto enllegar al suelo es de 5.9 segundos. Insistimos, el tiempo negativo no tiene unsignificado fsico interpretable, en esta situacin.

Se har, finalmente, un comentario respecto de este anlisis. Obsrveseque la solucin obtenida a partir de la ecuacin (3) y que est expresada en (5), esla misma que hubisemos obtenido al resolver la ecuacin (II.1v) directamente,pero utilizando la velocidad final recin calculada:

tgvv = 0 (7)de donde se puede despejar el tiempo para obtener:( )

sg

vvt

sm

sm

sm

9.58.9

2.430.15

2

0 === (8)este resultado confirma nuestro hallazgo anterior: el tiempo que est en el aire esde 5.9 segundos. Si bien este camino aparenta ser ms directo y no conlleva ladificultad del anlisis de la ecuacin cuadrtica ni de los signos, requiere haberobtenido previamente otra de los variables de movimiento.

(c.) Cmo se alteran estos resultados si el globo va descendiendo con la mismavelocidad de 15 m/s?

Esta nueva situacin fsica no altera los principios bsicos de nuestro anlisis, tanslo modifica las condiciones iniciales del Bulto; esto es, la velocidad inicial delbulto es, ahora, smv 150 = pues tiene direccin hacia abajo. En consecuencia, lavelocidad con la que llega al suelo es igual a la anteriormente calculada pues comose puede ver en la ecuacin (1), sta interviene elevada al cuadrado por lo que susigno no es relevante:

smvd /2.43= (9)


Mientras, segn podamos prever, el tiempo de vuelo se reduce al introducir lavelocidad inicial correspondiente en la ecuacin (8):( )

sg

vvt

sm

sm

sm

d 9.28.9

2.430.15

2

0 === (10)A ambos resultados se les ha puesto el subndice d para indicar que se refieren alcaso en que el globo desciende. Por tanto, podemos afirmar que la velocidad delbulto es la misma pero el tiempo se reduce a poco menos de la mitad.

Una ltima situacin fsica que se analiza, presenta la complejidad de dosmovimientos acelerados e informacin proporcionada de manera indirecta.

SF.II.9. Una paracaidista salta desde un avin y cae libremente, sin friccin, unaaltura de 52 m. En ese instante, abre su paracadas y ste le imprime unadeceleracin de 2.10 m/s2; hacindola llegar al suelo con una velocidad de 2.90m/s. Se solicita (a) el tiempo que la paracaidista estuvo en el aire y (b) la alturadesde la cual salt.Anlisis. Se puede ver, claramente, que el movimiento de la partcula (laparacaidista) se sucede en dos etapas bien definidas: una en cada libre conaceleracin ga =1 (etapa I) y otra con aceleracin 22 /10.2 sma = (etapa II).Por tanto, el tiempo que dura en el aire ser:

21 ttt += (1)esto es, la suma de los tiempos en que cae cada etapa.

Para sistematizar la informacin, de nueva cuenta, elaboramos un diagramaen el que se identifique la informacin disponible. La Figura II.27 muestra esto yse pueden destacar dos aspectos: la condicin de continuidad cuando se abre elparacadas en Dy 0 (D = 52m), la velocidad al final de la etapa I es igual a lainicial de la etapa II :

201 vv = (2)y, la altura desde donde salt, 0y , queda determinada.

Figura II.2.7 Fases de la cada de la paracaidista.


Ahora bien, el tiempo 1t puede ser obtenido utilizando la Ec. (II.2v)reescrita considerando adecuadamente las posiciones inicial y final:

212

11000 tgtvyDy +=

despejando el tiempo,

==21 /8.9

)52(22

sm

m

g

Dt

st 3.31 = (3)Para la etapa II es posible contemplar la condicin (2) y utilizando la Ec.

(II.1) reescrita como sigue:

2212 tavv +=o bien,

2

122 a

vvt

= (4)En este caso tenemos conocido smv /90.22 = y la aceleracin. La

velocidad se obtiene a partir de la etapa I, utilizando la Ec. (II.3) escrita como:

( )0021021 )(2 yDygvv =o bien,

== )52)(/8.9(22 21 msmDgvs

mv 9.311 = (5)As, substituyendo en la Ec. (4) los valores conocidos y Ec. (5), tenemos:

22 /10.2

)/9.31(/90.2

sm

smsmt

=st 8.132 =

Regresando a la Ec. (1) se tiene:ssst 1.178.133.3 =+=

El tiempo total que la paracaidista estuvo en el aire es 17.1 s.Para obtener la altura desde donde salt la paracaidista utilizaremos la Ec.

(II.3) reescrita para la etapa II, como sigue:

( ))(2 022122 Dyyavv +=de donde se tiene, en virtud de que la posicin final de la misma es el suelo, 0=y ,que

msm

smsmD

a

vvy 52

)/10.2(2

)/9.2()/9.31(

2 2

22

2

22

21

0 +=+=my 2930 =

Obsrvese que la aceleracin es positiva (est en contra del movimiento decada). La paracaidista dej el avin a 293 m de altura; esto es, 241 m ms los52 m de cada libre.

III. Cinemtica en dos Dimensiones

III.1 Aceleracin constanteEl movimiento de un cuerpo en una dimensin ha sido analizado de manerageneral en la Seccin II. En ella, se han revisado diversos casos en los que secalcula la posicin, la velocidad y la aceleracin de un cuerpo. El Estudiante est,ahora, en condiciones de iniciar el estudio de situaciones fsicas en las cuales elmovimiento se desarrolla en un plano; adems, podr verificar con los anlisisque se presentan, la independencia de los movimientos en cada una de lasdirecciones: cada eje de coordenadas. Es esa independencia la que permitirinterpretar las ecuaciones de movimiento como conjuntos de ecuaciones quedebern ser resultas de manera simultnea. Para continuar, el alumno deberpoder identificar cada una de las variables que intervienen en las ecuaciones, yproporcionar su significado en trminos de las condiciones iniciales delmovimiento.

Cualquiera de las ecuaciones de movimiento siguientes describe elmovimiento de una partcula con aceleracin constante:

tavv += 0 (III.1)2

21

00 tatvrr ++= (III.2)( )000 2 rravvvv += (III.3)( )tvvrr 0210 ++= (III.4)

221

0 tatvrr += (III.5)De manera similar al caso unidimensional, las posiciones ryr0 , son las

posiciones inicial y final de la partcula; mientras vyv 0 son las velocidadesinicial y final, respectivamente.

Los anlisis de las situaciones fsicas que se abordan en esta seccin,siguen la misma secuencia que ya se ha desarrollado:i) Lea con atencin la situacin fsica que se describe y elabore un diagrama

descriptivo;ii) A partir de la descripcin, identifique la informacin que se proporciona y

aquella que se desea conocer, asignndoles nombres especficos;iii) Identifique entre las ecuaciones de movimiento III.1 a III.5, aquella(s) que

le permitan introducir la informacin y reescriba la(s) ecuacin(s) entrminos de los nombres de sus variables;

iv) Realice el lgebra pertinente para obtener el valor de la(s) variable(s)desconocida(s);


v) Substituya los valores de las variables conocidas para obtener elresultado; y,

vi) Con el valor obtenido regrese a la situacin fsica descrita para respondera las preguntas planteadas.Como ya se ha dicho, la numeracin arbiga es local a cada situacin

fsica descrita; las llamadas a las ecuaciones de movimiento generales se hacenutilizando el nmero de seccin (en romano) y su nmero secuencial.

SF.III.1 Una pelota se deja caer desde una altura de 39.0 m. El viento estsoplando horizontalmente e imparte una aceleracin constante a la pelota de 1.20m/s2. (a) demuestre que la trayectoria de la pelota es una lnea recta y halle losvalores de R y en la Figura III.1.1 (b) Qu tanto tiempo le toma llegar al suelo?(c) A qu velocidad golpea la pelota el suelo?

Figura III.1.1. Pelota que cae acelerada horizontalmente por el viento.

Anlisis. Para hacer la demostracin es necesario que nuestro anlisis nosconduzca a expresar la posicin y en trminos de x , mediante una ecuacinlineal

bxmy += (1)Colocando el sistema de referencia en O, podemos ver que la posicin inicial de lapartcula, la pelota, es jijyixr 930 000 +=+= y cualquier posicinsubsecuente ser jyixr += , tal como se muestra en la Figura III.1.2.

Adems, como la aceleracin es constante en ambas direcciones,podemos utilizar la Ec. (III.2)

221

00 tatvrr ++=misma que podemos interpretar como dos ecuaciones: una en cada direccin. As,tenemos


Figura III.1.2. Vectores de posicin de la pelota que cae y la trayectoria rectilnea.

En direccin i2

21

00 tatvxx xx ++=

xx a

xttax

22221 == (2)

En direccin j2

21

00 tatvyy yy ++=2

21

0 tgyy = (3)sustituyendo el tiempo de la Ec. (2) en la Ec. (3), encontraremos la expresindeseada similar a la Ec. (1)

=

xa

xgyy

221

0

o bien,

xyxa

gyy

x

2.8390 == (4)que es lo que se quera demostrar.

Para encontrar el valor de R se requiere evaluar la Ec. (4) en el instante enque la pelota toca el suelo, .0 jiRr +=

8.42.8

39 ==REl ngulo lo obtenemos del tringulo rectngulo utilizando

R

ytan 0=

o bien,


01 838.4

39 =

= tanPara obtener el tiempo que tarda en llegar al suelo, basta con que hagamos

uso de la Ec. (2) sustituyendo en ella el valor de R, recin calculado

ssm

m

a

Rt

x

8.2)/2.1(

)8.4(222

===esto es, tarda 2.8 s en caer.

Con este valor del tiempo conocido, podemos hacer uso de la Ec. (III.1)para conocer la velocidad con la que la pelota llega al suelo.

tavv += 0( ) ( )( )sjsmismtjgiav x 8.2/8.9/2.1 22 ==

esto essmenjiv /274.3 =

La cual puede ser expresada como una velocidad de 27.2 m/s 277 siutilizamos la Transformacin de Vectores A.3, reescrita como sigue:

2222 )/27()/4.3( smsmvvv yx +=+=y

=

=

4.3

2711 tanv

vtan

x

y

No en todas las situaciones fsicas se dispone de la informacin completarespecto de la posicin. Por ello, en ocasiones ser necesario analizar elproblema por etapas.

SF.III.2. Una partcula sale del origen al tiempo 0=t con una velocidadiv 6.30 = , en m/s. Experimenta una aceleracin constante jia 4.12.1 = , en

m/s2. (a) En qu tiempo llega la partcula a su coordenada x mxima? (b) Cules la velocidad de la partcula en ese momento? (c) Dnde est la partcula en esemomento?Anlisis. Antes de proceder a llevar a cabo cualquier clculo es convenientemeditar sobre la condicin que determina el momento de alcanzar la x mxima.La velocidad inicialmente positiva sufre una desaceleracin; esto es, avanzar enla direccin i positiva mientras su velocidad no llegue a cero. Por lo tanto,podemos asegurar que la condicin de llegada al punto extremo se da cuando

0=xv . En la Figura III.1.3, se muestra un diagrama del movimiento descrito porla partcula.

En virtud de que necesitamos conocer la velocidad de la partcula, podemosutilizar la Ec. (III.1), reescrita como sigue

tavv += 0ecuacin vectorial que podemos analizar en cada una de las direcciones


Figura III.1.3. Partcula que se mueve con aceleracin constante.

En direccin itsmsmtavv xxx )/2.1(/6.3

20 +=+=

o bien, debido a que 0=xv ,s

sm

smt 3

/2.1

/6.32== (1)

La partcula llega en 3 s a la coordenada x mxima.En direccin j ,

)3)(/4.1(0 2 ssmtavv oyy +=+=smv y /2.4=

As, la velocidad en ese momento es jv 2.4= en m/s.Para obtener la posicin que tiene la partcula recurrimos a la Ec. (III.2)

que resolveremos vectorialmente como sigue2

21

00 tatvrr ++=En direccin i

22221

0 )3)(/2.1(5.)3)(/6.3( ssmssmtatvx xx +=+=mx 4.5=

En direccin j222

21 )3)(/2.1(5.0 ssmtay y ==

my 3.6=As, la posicin es jir 3.64.5 = en metros.

A continuacin, se presenta una situacin de movimiento bidimensionalque involucra dos partculas. Pngase atencin a la forma en que se hace el


anlisis para llegar a las ecuaciones que permitirn conocer las condiciones decolisin.

SF.III.3 Una partcula A se mueve a lo largo de la lnea ),30( mdy = con unavelocidad )/3( smvv = dirigida paralelamente al eje x positivo (ver FiguraIII.1.3). Una segunda partcula B comienza a moverse en el origen con velocidadcero y aceleracin )/40.0( 2smaa = en el mismo instante en que A pasa por eleje y . Qu ngulo entre la aceleracin a y el eje y positivo resultara en unacolisin entre estas dos partculas?

Figura III.1.3. Dos partculas A y B y la condicin de colisin.

Anlisis. La complejidad de esta situacin fsica radica en que son dos laspartculas involucradas por lo que ser necesario identificar ecuaciones demovimiento a cada una de ellas. Adems, debemos tener cuidado al considerar elngulo , pues se solicita respecto del eje .y ; esto es, contamos con que laaceleracin est expresada por ).90( = aa

De acuerdo con las reglas de transformacin de vectores A.1.1, tendremos

=

x

y

a

atan 190 (1)

y tambin, sabemos que las componentes de la aceleracin cumplen222

yx aaa += (2)Estos hechos nos hacen pensar en que el camino ser encontrar ecuaciones

en las componentes de la aceleracin. En la Figura III.1.3b, hemos dibujado undiagrama en donde se incorpora la informacin sobre las condiciones iniciales delas partculas y la condicin de colisin; mismas que nos permitirn formular lasecuaciones de movimiento.

Como se puede ver en dicha figura la condicin de colisin es que ambaspartculas estn al tiempo t en la posicin rrr BA ==

jdixr += (3)


Utilizando la Ec. (III.2) para expresar la posicin de cada partcula yconsiderando que la aceleracin de A es cero ( 0=Aa ) y la aceleracin de Bconocida ( aa B = ), tenemos

tvrr AA += 02

21

00 tatvrr BB ++=a partir de las cuales obtenemos, despus de considerar que 00 =Br y ,00 =Bv

221

0 tatvr AA =+ (4)En donde aparecen cantidades conocidas junto con las componentes de laaceleracin y tiempo que son incgnitas. Dos ecuaciones lineales y la Ec. (2) sonsuficientes para obtener sus valores.

Analizando la Ec. (4) que es vectorial, obtenemos las siguientes ecuacionesEn direccin i

221 tatv x=

de donde podemos despejar el instante en que sucede la colisin

xa

vt

2= (5)En direccin j

221 tad y=

en la cual podemos substituir el valor de t de la Ec. (5) para obtener una expresinpara las componentes de la aceleracin

2

21 2

=

xy a

vad

o bien,

yx avad22 2= (6)

Ahora, podemos combinar esta ecuacin (6) con la Ec. (2) para llegar a unaexpresin cuadrtica en ya

02 222 =+ adavad yyque se puede resolver por el mtodo general (Apndice A.III), para obtener

d

davva y 2

442 2242 +=o bien

d

davva y

2242 +=

)30(

)30()/40.0()/0.3()/0.3( 22242

m

msmsmsma y

+=


2/20.0 sma y = (7)y a partir de la Ec. (2) tenemos

222222 )/20.0()/40.0( smsmaaa yx ==2/35.0 smax = (8)

Finalmente, podemos calcular en ngulo respecto al eje y con la Ec. (1)

otan 6035.0

20.090 1 =

=

y, podemos concluir que la aceleracin debe tener un ngulo de 60 conrespecto al eje vertical para lograr que haya colisin entre las partculas A y B.

III.2 Tiro parablicoUn caso tpico de movimiento con aceleracin constante es el Tiro Parablico.Este tipo de situacin fsica se llama as debido a la forma parablica de latrayectoria descrita por la partcula; tambin, se le conoce como movimiento deproyectiles. La condicin necesaria para obtener este tipo de movimiento es que laaceleracin se pueda expresar como:

jaia y 0 += (III.6)Esto es, la aceleracin es constante en direccin vertical, normalmente ga y = eigual a cero en la otra direccin.

A continuacin se hace un anlisis general del Tiro Parablico y,enseguida, se revisa un par de situaciones ejemplares.

SF.III.4. Se lanza un proyectil con una velocidad de 80.0 m/s y con un ngulo de60 sobre la horizontal. Hallar: (a) el tiempo que tarda en alcanzar la alturamxima, (b) la altura mxima, (c) la velocidad a los 5 segundos despus deldisparo, (d) la velocidad en la altura mxima, (e) la velocidad a los 8 segundos, (f)su posicin a los 10 segundos, (g) el tiempo en que se encuentra a 150 metros dealtura, (h) el tiempo total de vuelo, (i) la velocidad con la que llega al suelo.Anlisis. Para empezar, debemos hacer un diagrama donde se muestren la realidadfsica del movimiento y los principales elementos a considerar.

Figura III.2.1. Trayectoria seguida por un proyectil, bajo la influencia de la aceleracin de la gravedad, lanzado con una velocidad inicial V0.


En la figura, se muestran el vector velocidad inicial 0v , con suscomponentes en el eje X ( 000 cosvv x = ) y en el eje Y ( 000 senvv y = ), la alturamxima que alcanza el proyectil ( maxy ), y su alcance horizontal ( maxx ). Debido a

que vamos a usar frecuentemente las componentes de la velocidad inicial, vamos acalcularlas

smsmv x /0.4060cos)/0.80(0 == (1)smsmv y /3.6960sen)/0.80(0 == (2)

As, para hallar el tiempo que tarda en llegar a su altura mxima, podemos utilizarel hecho de que en ese punto de la trayectoria, la velocidad vertical es cero; por lotanto, al analizar la Ec. (III.1) en direccin j , tenemos

tgvtgvv yyy == 00 0s

sm

sm

g

vt

y07.7

/8.9

/3.692

0 === (3)Tarda 7.07 s en llegar a la altura mxima.

Utilizando la Ec. (III.3), podemos encontrar la altura mxima)(2 000 rravvvv +=

o bien, al desarrollar los productos escalares utilizando la Ec. (A.I.8)

)(2 02

02

022 yygvvvv maxyxyx +=+

la cual se reduce a la expresin siguiente, despus de considerar que xx vv 0= ,0=yv y 00 =y ,

g

vyygv

ymaxmaxy

202

0 20 == (4)o bien, al substituir los valores

msm

smymax 245

)/8.9(2

)/3.69(2

2

==El proyectil alcanza una altura mxima de 245 m.

La velocidad del proyectil en cualquier tiempo de su recorrido es un vectortangente a la trayectoria; a los 5 segundos despus del disparo an no alcanza sumximo por lo que esperamos que las componentes de la velocidad sean ambaspositivas (ver Figura III.2.2).

Utilizando la Ec. (III.1) tenemostavv += 05

En direccin ismvv xx /0.4005 == (5)

pues recordemos que la aceleracin en esa direccin es cero.En direccin j

)0.5)(/8.9(/3.69 205 ssmsmtgvv yy == (6)


smv y /3.205 =Por lo tanto, la velocidad ser: )3.200.40(5 jiv += en m/s.

Figura III.2.2. Algunos puntos de observacin del Tiro Parablico.

Utilizando las transformaciones Ecs. (A.I.3), podemos encontrar sumagnitud,

2225

255 )/3.20()/0.40( smsmvvv yx +=+= (7)

smv /8.445 =y su direccin,

=

=

= 9.26

/0.40

/3.201

5

515 sm

smtan

v

vtan

x

y (8)La velocidad es de 44.8 m/s y 26.9 con la horizontal a los 5 s. De estosresultados se desprende que cuando han transcurrido 5 s desde el lanzamiento, elproyectil sigue subiendo ( yv5 es positiva y ha disminuido comparada con yv0 ) y la

direccin a disminuido a poco menos de la mitad. De hecho, 2.07 segundos mstarde la velocidad es horizontal ( jiv 00.407 += en m/s), en el punto ms alto desu trayectoria.

Procedemos a calcular la velocidad en t = 8 s; esto es, una vez que elproyectil rebasa este punto ms alto. Utilizamos las mismas Ecs. (5) y (6) perosubstituyendo el nuevo instante

smv x /0.408 =smssmsmv y /10.9)0.8)(/8.9(/3.69

28 ==


En este caso, la componente yv resulta negativa, lo que quiere decir que el

proyectil ya va bajando. La velocidad en ese momento es jiv 10.90.408 = enm/s. Por lo tanto, su magnitud y direccin sern, de acuerdo con lastransformaciones del Apndice A.I, usadas en Ecs. (7) y (8)

smsmsmv /0.41)/10.9()/0.40( 228 =+=y

=

= 8.120.40

10.918 tan

El signo negativo nos confirma que el vector velocidad(tangente a la trayectoria)est por debajo de la horizontal. La rapidez a 8 s del lanzamiento es de 41.0 m/s.

La posicin del proyectil en cualquier instante puede ser calculadautilizando la Ec. (III.2). El vector de posicin va desde el punto donde fue lanzado,

00 =r , hasta el punto donde se encuentre en el tiempo considerado, r . Esto puedeverse en el diagrama de la Figura III.2.2.

221

00 tatvrr ++=la cual proporciona las siguientes ecuaciones para las componentes cuandoutilizamos la condicin Ec. (III.6). Para t = 10 s, tenemosEn direccin i

)0.10)(/0.40(0 ssmtvx x ==o bien,

mx 400=En direccin j

22212

21

0 )10)(/8.9()10)(/3.69( ssmssmtgtvy y == (9)esto es,

my 203=Estos resultados lo que nos indican es que en 10 s el proyectil ha avanzado 400m horizontalmente y que se encuentra a 203 m de altura sobre el suelo.Expresamos la posicin como el vector jir 203400 += en metros.

Continuamos con nuestro anlisis del movimiento de un proyectil. Ahora,se nos pide determinar el instante en que ste alcanza los 150 m de altura. Paraello, utilizaremos la misma ecuacin del movimiento en direccin j , Ec. (9), endonde la altura y est en funcin del tiempo

2221 )/8.9()/3.69(150 tsmtsmm =

que como se puede ver es una ecuacin en la que todos los trminos estn enmetros, por lo que hay congruencia de unidades. Para facilitar el clculo vamos atrabajar sin unidades y reescribiendo la ecuacin para su forma cuadrtica

01503.699.4 2 =+ ttmisma que podemos resolver utilizando la frmula general dada en la Ec. (A:III)


)9.4(2

)150)(9.4(4)3.69()3.69( 2 =tde donde se obtienen dos tiempos, como era de esperarse: st 67.21 = y st 5.112 = .El significado fsico de estos dos tiempos es el siguiente: Cuando el proyectil vasubiendo alcanza la altura de 150 m a los 2.67 segundos y para cuando vabajando vuelve a estar a 150 m en el instante 11.5 s desde su lanzamiento.

Para hallar el tiempo total de vuelo, tomamos en cuenta de nuevo que laaltura, desde su salida, va aumentando hasta llegar a su mxima altura y despus,desciende hasta llegar al suelo; teniendo una altura cero como cuando parti.Utilizando la expresin ya vista

221

02

21

00 00 tgtvtgtvyy yy +=+=o bien,

ssm

sm

g

vt

y14.14

/8.9

)/3.69(222

0 ===Este tiempo es, precisamente, el doble del tiempo en que tarda el proyectil enllegar a su altura mxima como se encontr al responder al iniciso (a).Asimismo,vase que es igual a la suma de los tiempos 1t y 2t del inciso anterior.

Finalmente, podemos calcular la velocidad con la que llega al suelo,utilizando la Ec. (III.1) y tomando el tiempo recin calculado

tavv f = 0En direccin i

smvv xfx /0.400 ==En direccin j

)14.14)(/8.9(/3.69 20 ssmsmtgvv yfy ==o bien,

smv fy /3.69=La velocidad dada con estas componentes es jiv 3.690.40 = , de donde,utilizando las transformaciones A.I, tenemos

smsmsmvvv fyfxf /80)/3.69()/0.40(02222 =++=

y,

=

=

= 60

0.40

3.6911 tanv

vtan

fx

fyf

Efectivamente, la velocidad de llegada tiene la misma magnitud que la de salida,80 m/s, y su direccin ahora es de 60 pero por debajo del eje horizontal.

A continuacin se analiza una situacin fsica de tiro parablico en dondela variable desconocida es el ngulo de proyeccin 0 .


SF.III.5. Un pateador de Ftbol americano puede dar a la pelota una velocidadinicial de 25 m/s. Dentro de qu intervalo angular deber ser pateada la pelota siel pateador debe anotar un gol de campo desde un punto situado a 50 m enfrentede los postes de gol cuya barra horizontal est a 3.44 m sobre el terreno?Anlisis. Despus de meditar unos segundos, nos damos cuenta que,efectivamente, la pelota pasar por encima de la barra horizontal de gol en doscondiciones extremas: un ngulo menor a 45, 1 ; y otro mayor a 45, 2 .Cualquier tiro por fuera de estos lmites fallar el gol de campo tal y como semuestra en la Figura III.2.3. Podemos esperar, entonces, una solucin al problemaque involucre una ecuacin cuadrtica en 0 que es el ngulo de proyeccin.

Situando el origen de nuestro sistema de referencia en la posicin delpateador, tenemos 00 =r y la posicin del baln al anotar el gol jir 44.350 += ,en metros. Asimismo, sabemos que smvconvv /25, 0000 == y laaceleracin est dada por la Ec. (III.6).

Figura III.2.3. Angulos de proyeccin de la pelota para anotar gol de campo.

Suponiendo que no hay friccin con el aire, podemos utilizar la Ec. (III.2)reescrita como sigue

221

00 tatvrr ++=misma que podemos analizar en las direcciones horizontal y vertical, tomando enconsideracin que el tiempo es comn a ambas y que podemos conocer larepresentacin por componentes de la velocidad. As, tenemosEn direccin i

tvtatvxx xx 002

21

00 cos=++=de donde

00 cosvx

t = (1)En direccin j

221

002

21

00 sen tgtvtatvyy yy =++= (2)


substituyendo la Ec. (1) en la Ec. (2) podemos obtener

022

0

2

21

0cos v

xgtanxy =

que como vemos es una ecuacin cuadrtica, la cual podemos transformar con laayuda de las identidades trigonomtricas de A.II.ii, reescritas como sigue

02

02

seccos

1 =1sec 0

20

2 = tanAs, obtenemos una ecuacin para la 0tan

( )0220

2

0 12

tanv

xgtanxy +=

A su vez, haciendo el cambio de variable 0tans = , obtenemos la ecuacin quenos permitir conocer los valores de 0 .

022 20

22

20

2

=

++ y

v

xgsxs

v

xg(3)

Substituyendo los valores conocidos en los coeficientes, tenemos la ecuacin023506.19 2 =+ ss

cuyas races 1s y 2s estn dadas, al usar la solucin general Ec. (A.III), por

)6.19(2

)23)(6.19(45050 2 =sa saber,

95.1,602.0 21 == ssFinalmente, recuperando el cambio de variable, stan 10

= , llegamos a lasolucin

oo 63,31 21 == expresando que el pateador deber enviar la pelota con un ngulo mayor a 31pero menor a 63 para anotar el gol de campo.

Entre las ecuaciones bsicas del Tiro Parablico, tambin, debemosconsiderar a la ecuacin que relaciona el alcance, ,R con la velocidad inicial del

proyectil y su ngulo de proyeccin, 0v y 0 , respectivamente. Esta ecuacin seobtiene al utilizar la Ec. III.2, considerando 00 =r y jiRr 0 += (vase laFigura III.2.4)

As, se tiene la siguiente relacinEn direccin i

tvtvR x 000 cos==o bien,


00 cosvR

t =

Figura III.2.4. Alcance de un proyectil, R .En direccin j

221

00 tgtv y =o bien,

g

vt 00

sen2 =Igualando ambas ecuaciones, se obtiene una expresin para el alcance mximo

g

vR 00

20 cossen2 =

la cual puede ser reducida utilizando una conocida identidad trigonomtrica( cossen22sen = , ver Apndice A.II)

g

vR 0

20 2sen = (III.7)

El alcance depende del cuadrado de la velocidad inicial y del seno del doble delngulo de proyeccin. Considrese ahora, una situacin fsica que requiere deesta relacin.

SF.III.6. Un baln de ftbol es pateado con una velocidad inicial de 19.5 m/s y unngulo de proyeccin de 42 sobre la horizontal. Un portero situado en la lnea degol, a 60 m en direccin de la patada, comienza a correr en ese mismo momentopara atrapar el baln. Cul debe ser su velocidad promedio si tiene que llegar albaln justo en el instante en que ste toque el suelo?Anlisis. Cuando elaboramos un diagrama esquemtico de la situacin fsica en laFigura III.1.8, podemos observar que la distancia que el portero debe recorrer es

RL , con mL 60= y R el alcance mximo del baln. Adems, sabemos que elportero dispone para ello, del tiempo, ,t en el que el baln recorre esa distancia.


Figura III.2.5 . El portero llega al baln justo antes de tocar el suelo.

As, podemos expresar la velocidad promedio del portero como

t

RLv p

= (1)Utilizando la Ec. (III.2) y analizando en la direccin i , recordando que

0=xa y que la posicin del baln es iRr = , tenemostvtvR x 000 cos==

00 cosvR

t = (2)que involucra los otros datos conocidos ( smv /5.190 = y = 420 ). Por ello,podemos combinar las Ecs. (1) y (2) para obtener una expresin en trminos de R ,

00 cosvRRL

vP

= (3)Para conocer el valor del alcance, utilizamos la Ec. (III.7) recin obtenida,

)/8.9(

84sen)/5.19(2sen2

20

20

sm

sm

g

vR

==

mR 38=Substituyendo este valor de R en la Ec. (3), tenemos

( )

= 42cos/5.19

38

3860sm

m

mmvP

smvP /4.8=La velocidad promedio del portero para alcanzar el baln debe ser de 8.4 m/s.Analizando la Ec. (3), vemos que esta velocidad se refiere a qu fraccin delalcance debe de recorrer el portero pues 00 cosv es la velocidad horizontal delbaln.

III.3 Movimiento CircularOtro caso tpico de movimiento en dos dimensiones es el movimiento circularuniforme. Las partculas que se mueven en trayectorias circulares, tienen unavelocidad y aceleracin de magnitud constante pero que varan continuamente;una en direccin siempre tangente a la trayectoria y la otra, la aceleracin,siempre apuntando en direccin del centro de giro (aceleracin centrpeta). As, elmovimiento circular puede ser descrito por un par de ecuaciones de movimiento.

Adems de estas consideraciones sobre el movimiento, ser necesariointroducir varios conceptos bsicos de este tipo de movimiento. Se comenzar conellos.

Cuando se pretende describir el movimiento de una partcula que gira, sepiensa de inmediato en la frecuencia: nmero de vueltas por unidad de tiempo, f.Tambin, nos podemos referir al tiempo que tarda en dar una revolucin o giro,T ; a esta cantidad se le conoce como perodo. Y ambas estn relacionadas por

fT

1= (III.8)A partir de estas definiciones, podemos introducir la velocidad de giro, v , y laaceleracin centrpeta, a , que se muestran en la Figura III.3.1. Estas cantidadescaracterizarn al movimiento circular mediante las ecuaciones siguientes:

T

rv

2= (III.9)

r

va

2

= (III.10)ambas definidas con la ayuda del otro parmetro constante del movimiento que esel radio de giro, r .

Figura III.3.1 Partcula en Movimiento Circular.


SF.III.6. Se coloca un satlite en rbita circular a 640 km sobre la superficie de laTierra. Su perodo de giro es de 98 min. (a) Cul es la velocidad del satlite?, (b)Cul es la aceleracin en cada libre en la rbita? El radio terrestre es R=6370Km.Anlisis. Como el movimiento del satlite es un movimiento circular, sabemosque es posible aplicar las Ecs. (III.9) y (III.10) para calcular la velocidad yaceleracin , respectivamente. Sin embargo se requiere prestar atencin al radio dela rbita; esto es, el radio de la rbita como se muestra en la Figura III.3.2 vienedado por

KmKmhRr 6406370 +=+=o bien,

Kmr 7010= (1)

Figura III.3.2. Radio de la rbita del satlite.

Ahora s podemos substituir los valores en la ecuacin de la velocidad,considerando el perodo de 98 min,

==

h

min

min

Km

T

rv

1

60

98

)7010)(1416.3(22

o bien,hKmv /107.2 4= (2)

As, utilizando los valores de las Ecs. (1) y (2) en la ecuacin para laaceleracin, tenemos

==

22

23242

3600

1

1

10

7010

)/107.2(

s

h

Km

m

Km

hKm

r

va

o bien,2/0.8 sma =

III.3 Movimiento Circular 53

El satlite tiene una velocidad de 2.7 X 104 Km/h y, a la altura a la que seencuentra, la aceleracin en cada libre es 8.0 m/s2. Esta aceleracin es un 82%de la aceleracin sobre la superficie de la Tierra.

Algunas situaciones aunque presentan el movimiento circular sin ningunacomplejidad estn en un marco ms difcil. Tal es el caso de la siguiente situacinFsica.SF.III.7. Un nio hace girar una piedra en un crculo horizontal situado 1.9 msobre el suelo por medio de una cuerda de 1.4 m de longitud. La cuerda se rompe,y la piedra sale disparada horizontalmente, golpeando el suelo 11 m de distancia.Cul fue la aceleracin centrpeta de la piedra mientras estaba en movimientocircular?Anlisis. El movimiento circular de la piedra es fcilmente determinado pues senos dice que la piedra est sujeta por una cuerda de radio, mr 4.1= ysimplificamos diciendo que gira horizontalmente. Por lo que la aceleracin estardada por la Ec. (III.10)

r

va

2

= (1)Sin embargo, no conocemos la velocidad mientras gira. Esta la podemos calcular apartir del anlisis del movimiento de la piedra despus del rompimiento de lacuerda que es un tiro parablico como se ilustra en la Figura III.3.3.

Figura III.3.3. Nio jugando con la piedra atada a una cuerda.

As, podemos utilizar la Ec. (III.2) con las posiciones inicial y finalmostradas en la Figura. Tenemos

221

00 tatvrr ++=En direccin i

t

xvtvxx =+= 0 (2)


pues sabemos que la velocidad inicial de la piedra debe ser la misma velocidad degiro. El tiempo lo obtenemos de la ecuacin en direccin j

g

yttgyy 022

10

2==o bien,

ssm

mt 62.0

/8.9

)9.1(22== (3)

Substituyendo este valor en la Ec. (2) y a su vez la velocidad en la Ec. (1), tenemos

sms

mv /0.18

62.0

)11( ==y,

22

/2314.1

)/0.18(sm

m

sma ==

As, la aceleracin de la piedra mientras giraba era 231 m/s2. Nada ms ni nadamenos que 23.6 g (la aceleracin de la gravedad).

Finalmente y a manera de ilustracin, se pueden hace un par de clculosrelacionados con el movimiento de la Tierra. Uno de ellos es debido a surotacin; mientras el otro es acerca de su movimiento de translacin.

SF.III.8. Calcule la velocidad y la aceleracin de una persona que vive enHermosillo debidas a la rotacin de la Tierra.Anlisis. La ciudad de Hermosillo est situada a 29 de latitud norte. Por ello, unapersona que vive en esta ciudad tendr un giro a lo largo del da diferente a alguienque viva sobre el Ecuador. Podemos elaborar un diagrama que nos permitavisualizar cul es el crculo que describimos mientras la Tierra gira en funcin de (ver Figura III.3.4)

Como se puede apreciaren el diagrama el radio de giro escosRr = (1)

Por lo tanto, para encontrar la velocidad a la que gira, substituimos esta expresinen la Ec. (III.9)

T

Rv

cos2= (2)

hKmh

Kmv /459,1

)24(

29cos)6370)(1416.3(2 ==en donde hemos asumido que el perodo es de un da.

As, la velocidad a la que gira una persona en Hermosillo es de 1,459Km/h.

Al substituir la Ecs. (1) y (2) en la expresin para la aceleracin, Ec.(III.10), tenemos

III.3 Movimiento Circular 55

cos4

cos

)/cos2(2

22

T

R

R

TRa ==

(2)

Figura III.3.4.Radio del crculo descrito por una persona que vive en Hermosillo.

o bien,

29cos)86400(

)1037.6()1416.3(42

62

s

ma

=2/029.0 sma =

La aceleracin en Hermosillo debida a la rotacin de la Tierra es de 0.029m/s2. La Ec. (2) puede verse como una expresin general en funcin de la latitud

cos)/034.0( 2sma =en donde el coeficiente el la aceleracin en el ecuador, donde 0= .SF.III.9. Cul es su velocidad y su aceleracin centrpeta de la Tierra debida a sumovimiento alrededor del Sol? La distancia al Sol es de 150,000 Km.Anlisis. Suponiendo que la rbita de la Tierra fuese circular, lo cual es prcticoen este caso, nos permite calcular ambas cantidades haciendo un uso directos de laEcs. (III.9) y (III.10). Para la primera, tenemos

hKmdiahdias

Km

T

rv /108

)/24)(365(

)105.1)(1416.3(22 5 === (1)Mientras para la aceleracin tenemos


== 2223

5

22

3600

10

)105.1(

)/108(

s

h

Km

m

Km

hKm

r

va

28 /106.5 sma =As concluimos que viajamos a una velocidad de 108 Km/h mientras nosmovemos alrededor del Sol y sentimos una aceleracin centrpeta de tan slo 56nano g debido a este movimiento.

A. Apndices

A.I. Transformacin de VectoresUna parte importante de la comprensin de la Cinemtica tiene que ver con eldominio de los conceptos de vector y sus diferentes representaciones. En esteApndice se presentan las operaciones vectoriales bsicas y las transformacionesentre sus diversas representaciones para vectores en dos dimensiones. Unadiscusin completa de este tema tan importante se puede hallar en los libros detexto.

A.I.1 Notacin.En Fsica, adems de las cantidades escalares conocidas, existen otras cantidadesdenominadas vectores que para quedar completamente definidas, necesitan indicaruna direccin en el espacio. Normalmente, estos vectores se representan en formagrfica mediante una flecha cuya longitud representa la magnitud y cuyaorientacin indica la direccin.

En los anlisis que aqu se desarrollan, las entidades vectoriales se escribencon una barra encima; esto es, a es un vector. Entonces, su magnitud se escribe:

aa = . Un vector unitario en la direccin de a se representa como

a

aa = (A.I.1)

A partir de esta definicin, se pueden introducir los vectores unitarios enlas direcciones x y y ; estos son los vectores i y j , respectivamente.A.I.2 Representacin de un vector

Como ya se mencion, algunas entidades fsicas tienen caractersticas talesque obligan a proporcionar la direccin en la que estn definidas. Por ello, existendiversas representaciones vectoriales. Las ms conocidas son:

i) Magnitud - Direccin. En esta forma el vector queda definido pordos cantidades: su magnitud y su direccin.

= aa (A.I.2)ii) Componentes. En esta otra representacin, se utiliza un conjunto de

vectores unitarios en direcciones ortogonales:jaiaa yx += (A.I.3)

Las componentes y el ngulo referidos en estas representaciones seencuentran relacionadas con la representacin grfica del mismo, segn se ilustraen la Figura A.I.1. En ella, se puede apreciar que los valores de las componentes


son los escalares por los que es necesario multiplicar los vectores unitarios paraobtener el vector deseado.

Figura A.I.1. Representacin de un vector de dos dimensiones.

A.I.3 Las transformaciones.Es posible ir venir entre las representaciones de un vector. Siempre que se seaconsistente, se pueden utilizar las transformaciones siguientes:

i) Para ir de Magnitud- Direccin a Componentes

sen

cos

aa

aa

y

x

==

(A.I.4)

ii) Para ir de Componentes a Magnitud-Direccin

=

+=

x

y

yx

a

atan

aaa

1

22

(A.I.5)

En la Figura A.I.2, se presenta un resumen de estas transformaciones

Figura A.I.2. Transformaciones entre vectores.

A. Apndices 59

A.I.4 Operaciones con vectoresEl lgebra de vectores se construye a partir de definir ciertas operaciones bsicasentre ellos. Se introduce, tambin, una operacin de multiplicacin por un escalarcon lo que el resto de las operaciones quedan ms fciles de comprender.

Todo vector puede ser estirado o comprimido mediante la multiplicacinpor un escalar, asb = . Si el valor de s > 1, el vector se alarga; si el s < 1, el vectorse acorta; finalmente, si el escalar s < 0, el vector resultante b conserva la mismadireccin de a pero invierte el sentido, cambiando su magnitud de acuerdo con elvalor absoluto de s. De hacho en la representacin por componentes esta operacinya ha sido utilizada.

Las operacipones que definen el lgebra vectorial son:i) Suma. La suma de vectores se define as:

Sean a y b vectores, entonces,jbaibaba yyxx )()( +++=+ (A.I.6)

conocida como regla del paralelogramos (ver Figura A.I.3)ii) Producto escalar. El tambin conocido como producto punto se define as:

Sean a y b dos vectores en el plano y el ngulo entre ellos, entonces,cosbaba = (A.I.7)

o bien, en la representacin por componentes,

yyxx bababa += (A.I.8)iii) Producto vectorial. Presentado aqu solo por completez,

Sean a y b dos vectores en el espacio y el ngulo entre ellos, entoncesnbaba sen= (A.I.9)

donde n es un vector unitario en la direccin perpendicular al planodefinido por a y b .O bien, en la representacin por componentes,

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

ba xyyxxzzxyzzy

zyx

zyx)()()(

+== (A.I.10)

A.II. Identidades TrigonomtricasEl tringulo rectngulo formado por dos catetos y una hipotenusa permite definirlas funciones trigonomtricas bsicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secantey cosecante. En este Apndice, se recogen las definiciones de algunas de ellas y,tambin, diversas de las identidades que de alguna manera aparecen utilizadas enlos anlisis.A.II.1 Definiciones

En el Figura A.II.1, se muestra el tringulo con sus catetos e hipotenusadesignados por las letras x , y y r .


Figura A.II.1 Definicin de las funciones trigonomtricas.

A.II.2 IdentidadesEntre estas funciones existen una variedad de identiddades de las cuales se recogensolamente aquella utilizadas en los anlisis aqu presentados.

i) Angulos complementarios cos)90sen( = sen)90cos( =

ii) Unidad1cossen 22 =+ 1sec 22 = tan

cos

sen=taniii) Suma de ngulos

cossen22sen = sencoscossen)sen( = sensencoscos)cos( m=

A.III Ecuacin CuadrticaUna ecuacin cuya solucin general se conoce y se presenta en varios de losanlisis aqu desarrollados, es la ecuacin general de segundo grado.Sea la ecuacin de coeficientes reales

02 =++ cxbxaentonces,

a

cabbx

2

42 =

as f cinematic a

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