FÍSICA I

1

Cinemática -

Dinámica

3.1 Cinemática.

3.2 MRU – MRUV

3.3 Movimiento compuesto

I- Caída libre

3.4 Movimiento compuesto

II- Movimiento parabólico

3.5 Segunda ley de Newton.

Dinámica lineal. Dinámica

Circular.

I CICLO

2

mF

a

CINEMÁTICA

Leonhard Euler fue un respetado matemático yfísico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea(Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 enSan Petersburgo (Rusia). Se lo considera elprincipal matemático del siglo XVIII y como unode los más grandes de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de suvida y realizó importantes descubrimientos enáreas tan diversas como el cálculo o la teoría degrafos. También introdujo gran parte de lamoderna terminología y notación matemática,particularmente para el área del análisismatemático, como por ejemplo la noción defunción matemática. Asimismo se le conoce porsus trabajos en los campos de la mecánica, ópticay astronomía.

Primera Ley de Newton: En la ausencia defuerzas exteriores, todo cuerpo continúa en suestado de reposo o de movimiento rectilíneouniforme a menos que actúe sobre él una fuerzaque le obligue a cambiar dicho estado.

Segunda Ley de Newton: La aceleración a de uncuerpo de masa m, es directamente proporcionala la fuerza neta F que actúa sobre el cuerpo einversamente proporcional a su masa.

Cinemática rectilínea. En el presente estudio dela dinámica la partícula se mueve a lo largo deuna trayectoria rectilínea.Posición: La trayectoria rectilínea de unapartícula se define por medio de un solo eje decoordenadas.

A partir del punto fijo O (Origen de coordenadas)se traza la coordenada de posición x para definirla ubicación de la partícula en cualquier instantedado.

Desplazamiento: es el cambio en la posición de lapartícula.

Para la cinemática lineal el desplazamiento de lapartícula es ∆x .

Velocidad. Si una partícula recorre una distancia∆x en un intervalo de tiempo t su velocidadmedia durante este intervalo de tiempo es:

Si se toman intervalos de tiempo cada vez máspequeños la magnitud del desplazamiento sereduce cada vez más y se define lo que se conocecon el nombre de velocidad instantánea.

FÍSICA I

3

Aceleración: Al conocerse la velocidad de unapartícula en dos puntos de la trayectoria, sepuede conocer su aceleración media.

v=v -́v es la diferencia de velocidades duranteun intervalo de tiempo t.v=v -́v.

La aceleración instantánea en un determinadoinstante t se obtiene al tomar valores de t cadavez más pequeños y valores de ∆vcorrespondientes cada vez más pequeños.

Cuando el movimiento de la partícula es erráticoo variable su posición, velocidad y aceleración nose pueden describir mediante una sola funciónmatemática continua a lo largo de unatrayectoria, entonces se requiere de una serie defunciones para especificar el movimiento endiferentes intervalos. Se puede trazar una gráficadel movimiento que relacione dos de las variablesx, v, a, t y a partir de aquí obtener otras gráficasque relacionen otro par de variables.

En el espacio:

MRU – MRUVMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Un movimiento es rectilíneo cuando latrayectoria recorrida por el móvil es una recta.Cuando los espacios recorridos en intervalos detiempo iguales son los mismos, decimos entoncesque el movimiento es uniforme:

e1 / t1 = e2 / t2 = ....= en / tn = constante

Dicha constante representa el espacio recorridoen la unidad de tiempo y la denominamosvelocidad. Ésta es una magnitud vectorialcaracterizada por:

módulo: velocidad numérica cuyas unidadesson [v]= m/seg, km/h, etc. A esta magnitudse la denomina rapidez.

punto de aplicación: punto de la trayectoria. dirección: tangente a la trayectoria en el

punto estudiado. sentido: el mismo del movimiento.

Para pasar las unidades de km/h a m/s hay quedividir la velocidad por 3.6:

1 km/h = 1000 m / 3600 seg = 1/3.6 m/s

Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniforme

IªLey: La velocidad es constante.v = cte.

Velocidad media

t1

t2

tr

ttrrV

12

12

r1

r2

Dr

X

Y

Z

r1

r2

Dr

r1

r2

Dr

X

Y

Z

Aceleración media

X

Zr1

r2

v1

v2

12

12

ttVV

tV

a

YAceleración instantánea

2

2

0 dtrd

dtdr

dtd

dtdV

tVLim

I CICLO

4

2ª Ley: El espacio recorrido es proporcional altiempo siendo la constante de proporcionalidad,la velocidad.

e = v . t

Ecuación General del MRU:Esta ecuación representa la posición de un móvilcon movimiento rectilíneo uniforme a cualquiertiempo t y es particularmente útil para resolverproblemas de encuentro de móviles.

X(t) = Xo + v.t

donde x(t) es la posición del móvil al tiempo t, xo

es la posición a tiempo cero (posición inicial),vrepresenta la velocidad. La diferencia X(t) - Xorepresenta el espacio recorrido por el móvil.

Representación gráfica del MRU:Veremos a continuación que tipos de gráficos seobtienen al representar las leyes de estemovimiento y la ecuación general:v(t)

v = cte

e = v.tespacio

te

tg = e/t = vt

X(t)Xo

Xo*t

Xo* Móvil alejándose el observadorXo Móvil acercándose al observador

Ejercicio:a) Un automóvil viaja a una velocidad de 90

km/h. Representar gráficamente V(t), e(t)y X(t) a partir del instante en que pasapor el punto ubicado en el observador.

b) Las posiciones de un móvil respecto delobservador en función del tiempo son lassiguientes:

t(seg)

0 10 20 30 40 50

X(t)(m)

30 330 630 930 1230 1530

1) Representar gráficamente la tabla anterior.2) Construir un gráfico de V(t) y calcular

gráficamente el espacio recorrido.3) Determinar gráfica y analíticamente la

velocidad del móvil.

MOVIMIENTO VARIADOCuando los espacios recorridos por el móvil noson proporcionales a los tiempos, el movimientoes variado, es decir, la velocidad varía con eltiempo. Esta velocidad puede aumentar odisminuir.

Podemos definir dos tipos de velocidad en estemovimiento:

Velocidad Media ( vm ): es la velocidad del móvilcon la cual recorrería el mismo espacio en igualtiempo pero con movimiento rectilíneo uniforme.

Supongamos que un automóvil recorre en laprimera media hora 30 Km. y en los 15 minutosposteriores 20 Km. ¿Cuál será su velocidad mediaen km/h?

La velocidad media queda definida por lasiguiente ecuación:

Vm = (e1+e2) / (t1+t2)

Antes de reemplazar los valores vamos a pasarlos dos tiempos de minutos a horas:

60 min. 1 hora30 min. x= 30 min.1h/60 min = 0.5 hs. 60min. 1 hora15 min x= 15 min.1h/60 min= 0.25 h

FÍSICA I

5

Entonces t1 = 0.5 hs. y t2 = 0.25 h. Ahorareemplazamos:

Vm = (e1+e2)/(t1+t2) =(30 km + 20 km ) / (0.5 h + 0.25 h) =

50 km / 0.75 h = 66.67 km/h

Velocidad Instantánea ( v i): es la velocidad realque tiene el móvil en un instante dado.Vi = lim (e / t) = de/dt

t 0donde dt = 1 seg. y de el espacio recorridodurante ese segundo.

Veamos un ejemplo para clarificar este concepto.Supongamos que dejamos caer una pelota desdeel extremo de una pendiente. La pelota vaaumentando su velocidad a medida quedesciende por el plano. Podemos determinar suvelocidad en algún punto de la pendientecolocando una superficie plana horizontal enalgún punto de la pendiente. La velocidad con lacual la pelota recorrerá dicho plano horizontal, esla misma velocidad que tenía en dicho punto dela pendiente:

12

35

En 1 la velocidad de la pelota es 0En 2 la pelota está en movimientoEn 3 la pelota va más rápido que en 2En 4 la pelota va más rápido que en 3En 5 la pelota se mueve horizontalmentecon la misma velocidad instantánea quetenía en 4.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTEVARIADO (MRUV)

Es un movimiento en el cual las variaciones develocidad son proporcionales a los tiempos en loscuales varía dicha velocidad, es decir, a tiemposiguales, la velocidad experimenta variacionesiguales.

Si la velocidad aumenta en el transcurso deltiempo, el movimiento es acelerado; si en cambiodisminuye, el movimiento es retardado.

AceleraciónEs un parámetro que representa la variación de lavelocidad en la unidad de tiempo.

a = (v2 – v1) / t

Donde t representa el tiempo en el cual lavelocidad cambió desde el valor v1 al valor v2.

Unidades de aceleración:Se obtienen al dividir las unidades de velocidadpor la unidad de tiempo,

[a] = [ v ] / [ t ] = (m/seg). / seg. = m/seg2

Veamos un ejemplo: un automóvil que circula poruna ruta a 100 km/h acelera hasta 130 km/h en10 segundos. ¿Cuánto vale la aceleración?

v1 = 100 km/h : 3.6 = 27.78 m/sv2 = 130 km/h : 3.6 = 36.11 m/st = 10 seg.

a = (36.11 m/s – 27.78 m/s) / 10 seg = 0.833m/seg2

Esto significa que la velocidad aumentó en 0.833m/s en cada segundo.

Signos de la aceleración:La aceleración puede ser positiva o negativasegún los valores de ambas velocidades,

Si v2 > v1 => a >0 (positiva) elmovimiento es acelerado (va más rápido).

Si v2 < v1 => a< 0 (negativa) elmovimiento es retardado (está frenando).

Velocidad inicial (vo)Es la velocidad del móvil a tiempo t = 0,

es decir, al inicio del movimiento.

Velocidad final ( vf )

I CICLO

6

Es la velocidad a un instante t distinto de cero.V(t) = vo + a . t

Si t = 8 seg, se obtiene la velocidad instantáneadel móvil al finalizar el octavo segundo.

Leyes del Movimiento Rectilíneo UniformementeVariado

1ª Ley: la variación de velocidad esproporciona¡ al tiempo.

v = a . t vf - vo = a.t

2ª Ley: el espacio recorrido es proporcionalal cuadrado del tiempo empleado enrecorrerlo.

e = v0 . t + ½ a . t2

Ecuación General del MRUVEsta ecuación representa la posición de un móvilcon movimiento rectilíneo uniformementevariado a cualquier tiempo t y es particularmenteútil para resolver problemas de encuentro demóviles.

x(t) = x0 + v0 . t + ½ a . t2

donde x(t) es la posición del móvil al tiempo t, xo

es la posición a tiempo cero (posición inicial), v0

representa la velocidad inicial y a la aceleración.La diferencia X(t) - Xo representa el espaciorecorrido por el móvil.

Representación GráficaVeremos a continuación que tipos de gráficos seobtienen al representar la leyes de estemovimiento y la ecuación general:

v(t)1 2

Vo 3

T

v(t)VfVo

Espacio

TX(t)

31

2T

Referencias:1- Movimiento acelerado con velocidad inicial2- Movimiento acelerado sin velocidad inicial (apartir del reposo)3- Movimiento retardado (obviamente convelocidad inicial)

Ejercicio:a) Un automóvil parte del reposo desde el

punto donde se encuentra el observador conuna aceleración de 1.5 m/seg2. Representargráficamente V(t) y X(t) para los primeros 15segundos.

b) Las velocidades de un móvil en función deltiempo son las siguientes:

t (seg) 0 10 20 30 40 50v(t)

(m/s)10 15 20 25 30 35

1) Representar gráficamente la tablaanterior y determinar el espacio totalrecorrido y la aceleración, analítica ygráficamente.

2) Construir un gráfico de x(t) .3) Determinar la velocidad instantánea

del móvil en km/h a los 27 segundos.4) Determinar su velocidad media.

FÍSICA I

7

MOVIMIENTO COMPUESTO. CAÍDALIBRE Y TIRO VERTICALCuando dejamos caer un objeto (sin velocidadinicial) desde una determinada altura, éste lohace libremente bajo la acción de la fuerza degravedad. En este caso el movimiento se lodenomina caída libre. Si por el contrario,lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba ohacia abajo con una determinada velocidadinicial, el movimiento se denomina tiro vertical.

Ambos movimientos son un caso particular delMRUV pues el móvil está sometido en el primercaso a una aceleración producida por la fuerzagravitatoria y en el segundo caso, a unadesaceleración provocada por la misma fuerza (sise lanza hacia arriba) o una aceleración haciaabajo si se lo lanza en igual sentido. El valor dedicha aceleración-desaceleración se denominaaceleración de ¡a gravedad "g" siendo su valor980.665 cm / seg2 a nivel del mar y 45º latitud.

La definimos de esta manera pues su valordepende de la altura, la posición relativa alecuador (debido a que la tierra no esperfectamente esférica) y otros factores como larotación terrestre y la composición geológica delsuelo. Así por ejemplo en la ciudad deCambridge, Massachusetts, g=980.398 cm/seg2

(h=14m), y en Denver, Colorado, g=979.609cm/seg2 (h= 1 638 m).

A partir de lo dicho anteriormente, podemosplantear las ecuaciones que rigen estemovimiento, tomando en cuenta que: para la caída libre a = g con v0

= 0 para el tiro vertical a = -g con vo >0

ó v0 < 0 según sea lanzado hacia arriba ohacia abajo

Ecuaciones Generales válidas para ambosmovimientos:

Velocidad: v(t) = v0 – g.t

Altura: h(t) = h0 + v0.t - ½ g t2

Aplicando las condiciones especificadas másarriba, las ecuaciones se simplifican de lasiguiente forma:

Caída libre: v(t) = – g.th(t) = h0 - ½ g t2

Tiro Vertical: v(t) = v0 – g.th(t) = h0 + v0.t - ½ g t2

En las fórmulas anteriores, h0 es la altura inicialdesde la cual se deja caer o se lanza el objeto yh(t) es la altura que alcanza el móvil al tiempo t.Nótese que en las ecuaciones, el término quecontiene a “g” es negativo. Esto se debe a que eleje de coordenadas para medir la posiciónvertical del objeto (altura) es positivo hacia arribay la aceleración g es hacia abajo ( es decir,contraria a dicho eje: negativa). Nosotrosutilizaremos como valor de g, 9.81 m/seg2

h(t) ho

g

hoo

Caída libre

h(t) v(t) =0

g

0

Tiro Vertical desde el piso

I CICLO

8

Vo<0

ho

Vo>0

Tiro Vertical con altura inicial

En el caso de un tiro vertical cuando el objetoalcanza su altura máxima, se detiene (v(t) = 0) ycomienza a caer en caída libre. Si el objeto fuelanzado desde el piso, debido a que la únicafuerza que actúa, tanto en el ascenso como en eldescenso es la fuerza gravitatoria a través de g, eltiempo que tarda en caer nuevamente al piso esel mismo tiempo empleado en alcanzar la alturamáxima. Asimismo, la velocidad con que llega alpiso es la misma con la que salió inicialmentedesde éste pero negativa.

Si el objeto es lanzado desde cierta altura,pueden presentarse dos casos:.a) El objeto se lanza hacia arriba: en

este caso v0 es positiva.b) El objeto se lanza hacia abajo:

entonces v0 es negativa.

A partir de las ecuaciones generales vistas másarriba, pueden deducirse otras como porejemplo:

tiempo empleado en alcanzar laaltura máxima tm = v0/g

altura máxima alcanzadahm = h0 + ½ v0

2/g

Ejercicio:Desde el borde de una terraza de 45 m de alturase deja caer un objeto hasta la vereda. Calcular:a) ¿Cuánto tarda en llegar a la vereda y

con que velocidad llega?

b) ¿a qué altura se encuentra y cuál essu velocidad a los 2 segundos?

c) ¿Qué altura máxima alcanzaría si selanza desde la terraza hacia arriba con unavelocidad de 25 m/s?

d) ¿Cuánto tardaría en llegar a la veredasi se lanza a 10 m/s hacia abajo?

MOVIMIENTO COMPUESTO.TIRO OBLICUO O MOVIMIENTOPARABOLICO

Cuando un objeto es lanzado con un ciertoángulo respecto de la superficie horizontal delsuelo, describe una trayectoria parabólica en lacual alcanza una altura máxima y luego cae alsuelo. En este movimiento se combinan el MRU yel MRUV. El lanzamiento de una jabalina, latrayectoria de una bala de cañón son algunosejemplos de este movimiento.

El Tiro Oblicuo puede descomponerse en dosdirecciones:

una dirección vertical a la quellamaremos “y” donde se aplican lasecuaciones del MRUV, más precisamente lasdel tiro vertical, pues está afectada por laaceleración gravitatoria.

Una dirección horizontal a la quellamaremos “x” en la cual se aplican lasecuaciones del MRU pues no hay ningunaaceleración que afecte a esta dirección delmovimiento.

El dibujo anterior muestra la trayectoriaparabólica de una bala de cañón bajo un tirooblicuo. Veamos como descomponemos estemovimiento en los dos ejes x e y:

V0y Vo

FÍSICA I

9

Vox x

Y(t)

hmax

x(t)Alcance de un proyectil

En la figura de la izquierda la flecha rojarepresenta la velocidad inicial y el ángulo que forma la dirección de la velocidad con lasuperficie del suelo. El vector velocidad inicial sepuede descomponer en ambos ejes x e y: laflecha azul representa la componente horizontalde la velocidad inicial (v0x) y la flecha verderepresenta a la componente vertical de dichavelocidad (v0y).

Aplicando las funciones trigonométricas para ladescomposición rectangular de vectores,podemos obtener los valores de ambascomponentes:

v0x = v0 . cosv0y = v0. sentg= voy / vox

Si observan el dibujo de la derecha podrán verque las flechas azules horizontales querepresentan la velocidad horizontal (vx) no varíandurante toda la trayectoria, esto significa nocambia debido a que en esta dirección el tipo demovimiento es MRU (recordar que en estemovimiento la velocidad es constante).

En cambio, las flechas verticales que representanla componente vertical de la velocidad (vy), vancambiando: disminuyen hasta la altura máximadonde se anula y luego va en aumento pero haciaabajo hasta que toca el suelo. En este caso elmovimiento corresponde a un tiro vertical.

En función de lo explicado hasta aquí, lasecuaciones para este movimiento quedanexpresadas de la siguiente manera:

Eje x: vox vox

vx (t) = vo . cos x(t) = vo. cos . t

Eje y: voy

vy(t) = vo . sen – g . t

y (t) = y0 + v0 . sen. t - ½ g . t2

En la altura máxima (hmáx), se cumple que:

v y (t) = vo sen- g . t = 0y(t) = vo sen. t - ½ g t2 = h máx.

Xm= Vo cos . t = Xf / 2

Donde Xm representa la distancia desde el puntode lanzamiento donde alcanza la altura máxima yXf representa el alcance, es decir, la distanciahorizontal donde el objeto toca el piso.Ejercicio:

Se lanza un objeto desde el piso con unángulo de 37º y una velocidad de 35 m/s.Calcular:

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzael objeto?

b) ¿A qué distancia alcanza dichaaltura?

c) ¿En qué posición y con qué velocidadse encuentra a los 2 segundos?

d) ¿Cuál es el alcance del objeto?e) ¿Cuál sería la altura máxima y a qué

distancia caería nuevamente al piso sise lanza desde una plataforma de 8 mde altura?

I CICLO

10

Práctica Dirigida 01

1. la posición de una partícula que se mueve alo largo de una línea recta está definida por larelación donde x seexpresa en pies y t en segundos. Determinara) el tiempo al cual la velocidad será cero,b)la posición y la distancia recorrida por lapartícula en ese tiempo, c) la aceleración dela partícula en ese tiempo, d) la distanciarecorrida por la partícula desde t=4 s hastat=6s.

2. El movimiento de una partícula estádeterminado por la ecuación x=a+bt2, dondea=20 cm y b=4cm/s2. a) determinar eldesplazamiento de la partícula en el intervalode tiempo comprendido entre t1=2s y t2=5s.b) Hallar la velocidad media en este intervalode tiempo. c) Hallar la velocidad instantáneaen el instante t1=2s.

3. El movimiento de una partícula está dado porv=m+nt2, donde m=10cm/s y n=2cm/s2. a)Calcular la variación de la velocidad de lapartícula en el intervalo de tiempocomprendido entre t1=2s y t2=5s. b) Calcularla aceleración media en este intervalo detiempo. c) Calcular la aceleración instantáneaen t1=2s.

4. Un cuerpo se mueve sobre una rectaestando dada su distancia al origen en uninstante cualquiera por la ecuación x=8t-3t2,donde x se mide en cm y t en s. a) Calcular lavelocidad media del cuerpo en el intervalocomprendido entre t=0 y t=1s y en elintervalo entre t=0 y t=4s. b) calcular lavelocidad instantánea en los instantes t=1s yt=4s. c) Determinar la aceleración en losinstantes t=1s y t=4s.

5. La aceleración de un punto es a=20t m/s2.Cuando t=0 x=40m y v=-10m/s. determinar laposición y la velocidad cuando t=3s.

6. La aceleración de un punto es a=60t-36t2

pies/s2. Cuando t=0, x=0 y v=20 pies/s. Hallarla velocidad y la posición en función deltiempo.

7. Se dispara hacia arriba un misil de dos etapasdesde el reposo con la aceleración que seindica. En 15 segundos la primera etapa A seconsume y se enciende la segunda etapa B.Trace las gráficas v-t y s-t las cuales describenel movimiento de las dos etapas del misildurante el intervalo de tiempo 0≤t≤20s.

Figura 1.8. Una partícula viaja a lo largo de una línea

recta con la velocidad descrita por la gráfica.Trace la gráfica a-s.

Figura 2.9. Se proporciona la gráfica a-s de un “jeep” que

viaja a lo largo de una carretera recta de los300 m de su movimiento. Trace la gráfica v-s.Cuando s=0 , v=0.

Figura 3.

FÍSICA I

11

10. Un camión viaja a lo largo de una línea rectacon una velocidad descrita por la gráfica.Trace la gráfica a-s durante el intervalo detiempo 0≤s≤1500 pies.

Figura 4.11. Un auto arranca del reposo y viaja a lo largo

de una carretera recta con una velocidaddescrita por la gráfica. Determine la distanciatotal recorrida hasta que el automóvil sedetiene. Trace las gráficas s-t y a-t.

Figura 5.12. La moto de nieve se desplaza por un sendero

recto de acuerdo a la gráfica v-t. Trace lasgráficas s-t y a-t durante el mismo intervalode 50 s. Cuando t=0, s=0.

Figura 6.

13. Los misiles diseñados como defensa contralos cohetes balísticos alcanzan aceleracionessuperiores a 100g (Cien veces la aceleración

de la gravedad). Supóngase que un misildespega del suelo y tiene una aceleraciónconstante de 100g. Determinar el tiempo quedemora en alcanzar una altura de 3000m. ¿Aqué velocidad viaja cuando alcanza esaaltura?

14. Supóngase que el misil del problema anteriordespega desde el suelo y debido a que sevuelve más ligero conforme gastacombustible su aceleración está dada comouna función del tiempo en segundos por:

¿Cuál es la velocidad del misil en millas porhora 1 segundo después de haberdespegado?

15. Un avión libera su paracaídas en el tiempot=0. Su velocidad está dada como función deltiempo por:

En m/s. Determinar el valor de la aceleraciónen t=3s.

16. El mecanismo de freno que se utiliza parareducir el retroceso en ciertos tipos decañones consiste esencialmente de unémbolo unido a un cañón que se mueve enun cilindro fijo lleno de aceite (Figura 7).Cuando el cañón retrocede con una velocidadinicial v0, el émbolo se mueve y el aceite esforzado a través de los orificios del émbolo,provocando que este último y el cañón sedesaceleren a una razón proporcional a suvelocidad, esto es a=-kv. Exprese a) v entérminos de t, b) x en términos de t, c) v entérminos de x.

Figura 7.

Émbolo

Aceite

I CICLO

12

17. La aceleración de una partícula se definemediante la relación donde a y tse expresan en m/s2 y s respectivamente. Six=0 y v=0 en t=0, determine la velocidad y laposición de la partícula cuando t=0.5s.

18. Un punto P parte del reposo y acelerauniformemente hasta alcanzar una velocidadde 88pie/s después de recorrer 120 pies:Determine la aceleración de P.

19. constantes. Obtenga la velocidad de P parat=5s, a =2m, b=0,5 m/s y=1,2rad/s.

20. Si los componentes x y y de la velocidad deuna partícula son vx=(32t) m/s y vy=8 m/s,determine la ecuación de la trayectoriay=f(x). x=0 y y=0 cuando t=0.

21. Una partícula se desplaza a lo largo de latrayectoria recta que se muestra en la figura8. Si su posición a lo largo del eje x es x=(8t)m, donde t está en segundos, determine larapidez cuando t=2s.

22. Se hace que una partícula viaje a lo largo deuna trayectoria como la que se muestra en lafigura 9. Si x=(4t4)m, donde t está ensegundos; determine la magnitud de lavelocidad y aceleración de la partícula cuandot=0,5s.

Figura 8.

Figura 9.

23. Una partícula viaja a lo largo de unatrayectoria de línea recta y=0.5x. Si elcomponente x de la velocidad de la partículaes vx=(2t2) m/s, donde t está en segundos,determine la magnitud de la velocidad yaceleración de la partícula cuando t=4s.Figura 10.

Figura 10.24. Una partícula viaja a lo largo de una

trayectoria parabólica y=0.25x2. Si x = (2t2) m,donde t está en segundos, determine lamagnitud de la velocidad y aceleración de lapartícula cuando t=2s.

Figura 11.

FÍSICA I

13

25. La posición de una partícula que se deslizahacia abajo por una trayectoria helicoidal ladescribe r=2Sen(2t)i+2Costj-2t2k pies; dondet está en segundos y los argumentos del senoy coseno están en radianes. Determine lavelocidad y aceleración de la caja cuandot=2s. Figura 12.

Figura 12.

26. La posición de una partícula es r=(3t3-2t)i-(4t1/2+t)j+(3t2-2)k m, donde t está ensegundos. Determine la magnitud de lavelocidad y aceleración de la partícula cuandot=2s.

27. La velocidad de una partícula es v=3i+(6-2tjm/s. Donde t está en segundos. Si r=0cuando t=0, determine el desplazamiento dela partícula durante el intervalo de tiempot=1s a t=3s.

28. La ecuación v=16t2i+4t3j+(5t+2)km/s da lavelocidad de una partícula donde t está ensegundos. Si la partícula está en el origencuando t=0.

29. Una partícula viaja a lo largo de unatrayectoria parabólica y=bx2. Si sucomponente de velocidad a lo largo del eje yes vy=ct2, determine las componentes x y y dela aceleración de la partícula. En este caso b yc son constantes.

30. La aceleración de un punto está dada porap=6ti+12t2j-4k m/s2. En t=0, las condicionesiniciales son vP=2im/s y rOP=i+3 j+9k m.Encuentre el vector de posición de P en t=5.

31. Un punto se mueve sobre una trayectoria conun vector de posición dado porrOP=Sen2ti+3tj+e6tk, en metros, cuando t estáen segundos, obtenga;a) La velocidad del punto en t=0.b) Su aceleración en t=π/2 s.

32. Determinar las leyes de velocidad yaceleración de la partícula cuyo vector deposición es r=2Sen3ti+2Cos3tj+8tk.

33. Una partícula se mueve de manera que suvector deposición viene dado porr=Costi+Sentj siendo una constante.a) Demostrar que la velocidad v de la

partícula es perpendicular a r.b) Demostrar que la aceleración a está

dirigida hacia el origen y su módulo esproporcional a su distancia al mismo.

c) Demostrar que rxc es un vectorconstante.

34. Después de parar el motor de una canoa, éstaadquiere una aceleración en sentido opuestoa la velocidad y directamente proporcional alcuadrado de ésta. Si el motor se para cuandov0=6m/s y la velocidad disminuye hasta 3 m/sen un tiempo de 15s;a) demostrar que la velocidad v en el instantet después de parar el motor está dada por

ktvv

0

11

b) Hallar el valor de k.c) Hallar la aceleración en el instante que se

para el motor.d) Demostrar que la distancia recorrida en un

tiempo t es )1ln(1

0 ktvk

x

e) Demostrar que la velocidad después de

recorrer una distancia x es kxevv 0 .

35. La aceleración de un punto P en movimientorectilíneo está dado por a=5t2 m/s2; con lascondiciones iniciales v(t=0)=2m/s y x(t=0)=-7m; hallar x(t).

I CICLO

14

36. La aceleración de una partícula enmovimiento es proporcional a su velocidadsegún la siguiente relación a=-2v m/s2; con lasmismas condiciones iniciales que en elejemplo anterior. Determinar x(t).

37. Sea a=-4x m/s2 Evaluar v2(x) con las mismascondiciones que en el ejemplo anterior.

38. Una partícula tiene aceleración rectilíneaa=12ti m/s2; Se efectúan dos observacionesdel movimiento de la partícula: su velocidaden t=1s es v=2i m/s y su posición en t=2s esx=3i m. a) Hallar el desplazamiento de lapartícula en t=5 s, respecto al que tenía ent=0.

39. Un punto P tiene una aceleración dada por laecuación a=-5x2 m/s2. Determine la velocidaddel punto P en función de x; si P está en 0,3mcon v=0,6 m/s cuando t=0.

40. Suponiendo que las condiciones iniciales seanlas mismas que en el problema anteriordeterminar x(t) para a=5v2

41. Un punto Q tiene un vector aceleracióna=4i-6tj+Sen 0,2t k . En t=0 el punto Q seencuentra en (1,3,-5) y tiene un vectorvelocidad 2i-7j+3,4k. Determinar la velocidadde Q en t=3 s.El movimiento de un cuerpo que cae en unmedio resistente partiendo del reposo estádado por la ecuación a=A-Bv donde A y B sonconstantes. Demostrar que la velocidad encualquier instante t está dada por .

)1( BteBAv

42. Determine la rapidez del bloque D en la figura13, si el extremo A de la cuerda se jala haciaabajo con una rapidez vA=3m/s.

Figura 13.

43. Determine la rapidez del bloque A de laFigura 14 si el extremo B de la cuerda se jalahacia abajo con una rapidez de 6m/s.

Figura 14.

44. Determine la rapidez del bloque A de laFigura 15 si el extremo B de la cuerda se jalahacia abajo con una rapidez de 1.5 m/s.

Figura 15.

FÍSICA I

15

45. Determine la rapidez del bloque A si elextremo F de la cuerda se jala hacia abajo conuna rapidez vP=3m/s. Figura 16.

Figura 16.

“Sólo los perdedores contemplan laposibilidad de la derrota antes deintentarlo”.

Sergio Delgado

Práctica Dirigida 02

1. Un hombre jala horizontalmente un cajón de300N de peso aplicando una fuerza constantede 20N. Determinar la aceleración con que semueve la caja. Suponiendo que elmovimiento es a partir del reposo y que nohay fuerzas de fricción determinar ladistancia recorrida por el cajón al cabo de 2 s.

2. Un móvil de masa “m” se desplaza haciaabajo en un plano inclinado que hace 20o conla horizontal. Determinar la aceleración delmóvil si la pendiente carece de fricción.

3. Un hombre tira de una caja con una fuerza de90N que hace un ángulo de 30o con lahorizontal. La caja tiene una masa de 20Kg yel coeficiente de fricción entre la caja y elpiso es 0,5. Determinar a) La aceleración de lacaja. b) Suponiendo que el movimiento seinició desde el reposo, determínese lavelocidad cuando se ha recorrido 2m. c)Cuanto tiempo toma la caja en recorrer estadistancia?

4. Una caja de masa 100kg descansa sobre elsuelo de un montacargas como se muestra enla figura 1. Determinar la fuerza que ejerce lacaja sobre el piso si el montacargas:

a) Arranca hacia arriba con unaaceleración de 3m/s2.

b) Arranca hacia abajo con unaaceleración de 2m/s2.

5. Una masa de 1Kg se mueve a lo largo deuna recta de manera que su posición estádada por x=A-2t-3t2+t3. Hallar la magnitud dela fuerza que actúa sobre el cuerpo al finalizarel tercer segundo de movimiento.

6. Un cuerpo se desplaza por un plano inclinadoque hace un ángulo de 60o con la horizontal.La ley de movimiento es x=3t2. Hallar elcoeficiente de rozamiento entre el cuerpo yel plano.

I CICLO

16

7. Un atleta que tiene una masa de 70 kg secoloca sobre una balanza de resorte en unascensor; cuánto marca la balanza si elascensor:a.- Sube con velocidad constante.b.- Tiene aceleración hacia arriba de 5 m/s2.c.- Tiene aceleración hacia debajo de 3,4m/s2.d.- Cae libremente debido a que el cable se

rompe.

8. En el sistema que se muestra en la figura, elmalacate enrolla el cable con una aceleraciónconstante de modo que el embalaje de 20 kgse mueve una distancia s=6m en 3s a partirdel reposo. Determinar la tensióndesarrollada por el cable. El coeficiente defricción cinética entre el embalaje y el planoes k=0.3.

Figura 1.

9. En el sistema que se muestra en la figura 2, elmotor M ejerce una fuerza F=(10t2+100)N enel cable, donde t está en segundos.Determine la velocidad del embalaje de 25kgcuando t=4s. los coeficientes de fricciónestática y cinética entre el embalaje y elplano es s =0.3 y k=0.25, respectivamente.En un inicio el embalaje está en reposo.

Figura 2

10. El trineo representado en la figura 3 se utilizapara el ensayo de pequeños cohetespropulsores de combustible sólido. La masacombinada del trineo y del cohete es de1000kg. De las características del combustiblese sabe que el empuje que proporciona elcohete durante el movimiento del trineopuede expresarse en la forma F=a+bt-ct2,donde F se expresa en newton y t ensegundos. Si el trineo parte del reposocuando el empuje del cohete es 10kN,recorre 700m y alcanza una velocidad de150m/s durante un recorrido de prueba de10s, determinar los valores de a, b y c.

Figura 3.

11. Un resorte de rigidez k=500N/m estámontado contra el bloque de 10kg. Si este sesomete a la fuerza de 500N, determine suvelocidad cuando s=0, el bloque está enreposo y el resorte no está comprimido. Lasuperficie de contacto es lisa. Figura 4.

Figura 4.

12. Al automóvil de 2Mg lo remolca un malacate. Sieste ejerce una fuerza de T=(100s)N en el cable,donde s es el desplazamiento del automóvil enmetros, determine la rapidez del automóvilcuando s=10m, a partir del punto de reposo.Ignore la resistencia a la rodadura por parte delautomóvil. (Figura 5).

FÍSICA I

17

Figura 5.13. El tren de 160000 kg de la figura 6 viaja con

una rapidez de 80 km/h cuando comienza asubir la pendiente. Si la máquina ejerce unafuerza de tracción F de 1/20 del peso del treny la resistencia al rodamiento FD es igual a1/500 del peso del tren, determine ladesaceleración.

14. El tren de 160000 kg parte del punto dereposo y comienza a subir la pendiente comose muestra en la figura. Si la máquina ejerceuna fuerza de tracción F de 1/8 del peso deltren determine la rapidez cuando hayarecorrido 1km pendiente arriba. Ignore laresistencia al rodamiento.

Figura 6.

15. Si los bloques A y B de la figura 7 tienen 10kgy 6kg de masa respectivamente y se colocansobre el plano inclinado y luego se sueltan,determine la fuerza desarrollada en eleslabón. Los coeficientes de fricción cinéticaentre los bloques y el plano inclinado sonµA=0.1 y µB=0.3. Ignore la masa del eslabón.

Figura 7.

16. Una lancha de masa “m” se mueve en unalaguna a la velocidad v0. En el instante t=0 seapaga el motor. Si la fuerza de la resistenciadel agua al movimiento de la lancha estádada por f=-kv , Hallar:a) la velocidad en función del tiempo.b) La velocidad en función de la posición.c) El camino total hasta la parada.

17. Un móvil de masa 5 Kg se mueve a unavelocidad de 30 m/s. El móvil frena demanera que la velocidad disminuye hastaanularse de acuerdo con v=v0-kt2 dondev0=30m/s y k=0,3 m/s3. Hallar la fuerzaresultante que desacelera el móvil despuésde 5 s de freno.

18. Un móvil de 50Kg de masa acelera partiendodel reposo. Durante los primeros 10segundos las fuerza resultante que actúasobre él está dada por F=F0-kt; dondeF0=200N, k=10N/s y t es el tiempo ensegundos recorrido después del arranque.Hallar la velocidad al cabo de 10 segundos.

19. Para el problema anterior determine laposición al cabo de 10segundos.

20. Sobre una masa “m” se aplica una fuerzaF=bt2; siendo b una constante y F hace unángulo con la horizontal. Hallar: a) Lavelocidad del cuerpo cuando éste se separade la superficie. b) Distancia recorrida hastaese instante. (Desprecie el rozamiento).

21. Determinar las ecuaciones diferenciales parauna partícula P que se mueve en un medioviscoso en el que la resistencia del aire esproporcional a la velocidad. Esta partículadescribe una trayectoria parabólica e inicia sumovimiento con una velocidad vi y con unángulo de tiro .

22. Utilizando las ecuaciones diferencialesobtenidas anteriormente determinar lascomponentes de la velocidad.

I CICLO

18