EJERCICIOS DE CINEMATICA RESUELTOS 1 )Transforma72 [ Km / hr ]en[ m / s ] 72 3,6=20 \72 [ Km / hr ]=20 [ m / s ] 2 )Transforma5 [ m / s ]en[ Km / hr ] 5 3,6=18 \5 [ m / s ]=18 [ Km / hr ] 3 )Un mvil con Movimiento Rectilneo Uniforme ( MRU ) tiene una rapidez de4 [ m / s ].Calcula la distancia que recorre en6 [ s ]. d=v t d=4 [ m / s ] 6 [ s ]=24 [ m ] 4 )Un velocista corre los100 [ m ]planos en10 [ s ]. Calcula su rapidez media. d=v m t 100 [ m ]=v m 10 [ s ] v m=10 [ m / s ] 5 )Calcula el tiempo que demora un automvil en recorrer800 [ m ] , con una rapidez media de20 [ m / s ] . d=v m t 800 [ m ]=20 [ m / s ] t t=40 [ s ] 6 )Dos ciclistas con MRU en un instante dado estn a20 [ m ]de distancia. El primer ciclista tiene una rapidez de6 [ m / s ]yel segundo ciclista, que persigue al primero, tiene una rapidez de10 [ m / s ] . Calcula el tiempo que demorarel segundo ciclista en alcanzar al primero y la distancia que recorrer c / u, desde ese instante. Para el primer ciclista:d 1=v 1 t

Para el segundo ciclista:d 2=v 2 t Cuando el segundo ciclista alcance al primero se cumplir que: d 2=d 1+20 [ m ] v 2 t=v 1 t+20 [ m ] v 2 tv 1 t=20 [ m ] ( v 2v 1 ) t=20 [ m ] ( 10 [ m / s ]6 [ m / s ] ) t=20 [ m ] 4 [ m / s ] t=20 [ m ] t=5 [ s ] Distancia que recorrer el primer ciclista:d 1=6 [ m / s ] 5 [ s ]=30 [ m ] Distancia que recorrer el segundo ciclista:d 2=10 [ m / s ] 5 [ s ]=50 [ m ] 7 )Dos proyectiles con MRU se encuentran a600 [ m ]uno del otro. Si se desplazan sobre una misma trayectoria, uno hacia el otro, el primero con una rapidez de80 [ m / s ]yel segundo a70 [ m / s ]. Calcula el tiempo, desde ese instante, que demorarn en chocar y la distancia que recorrerc / u. Para el primer proyectil:d 1=v 1 t Para el segundo proyectil:d 2=v 2 t Cuando choquen se cumplir que: d 1+d 2=600 [ m ] v 1 t+v 2 t=600 [ m ] ( v 1+v 2 ) t=600 [ m ] ( 80 [ m / s ]+70 [ m / s ] ) t=600 [ m] 150 [ m / s ] t=600[ m ] t=4 [ s ] Distancia que recorrer el primer proyectil:d 1=80 [ m / s ] 4 [ s ]=320 [ m ]

Distancia que recorrer el segundo proyectil:d 2=70 [ m / s ] 4 [ s ]=280 [ m ] 8 )Un mvil que llevaba una rapidez de4 [ m / s ]acelera durante6 [ s ]y adquiere una rapidez de22 [ m / s ].Calcula su aceleracin media. v 2v1 22 [ m / s ]4 [ m / s ] a m= = =3 [ m / s 2 ] t 6[s]

9 )Un mvil con Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado( MRUA )tiene en un instante dado una rapidez de2 [ m / s ]yuna aceleracin de4 [ m / s 2 ]. Calcula el tiempo que demorar, desde ese instante, en alcanzar la rapidez de26 [ m / s ].

v 2v1 v 2v1 26 [ m / s ]2 [ m / s ] a= = = =6 [ s ] t a 4[m/s2] 10 )Un atleta tena en un instante dado una rapidez de4 [ m / s ]. Si a partir de ese instante y durante2 [ s ]adquiri unMRUAcon una aceleracin de3 [ m / s 2 ]. Calculala rapidez que alcanz al cabo de esos2 [ s ]. v 2=v 1+a t=4 [ m / s ]+3 [ m / s 2 ] 2 [ s ]=10 [ m / s ] 11 )Un mvil en un instante dado adquiri unMRUAcon una aceleracin de5 [ m / s 2 ]. Si al cabo de 6[ s ]alcanz una rapidez de40 [ m / s ]. Calcula su rapidez inicial en ese instante dado. v 1=v 2a t=40 [ m / s ]5 [ m / s 2 ] 6 [ s ]=10 [ m / s ] 12 )Una velocista en una carrera de100 [ m ]planos, parti del reposo con una aceleracin de5 [ m / s 2 ] y la mantuvo durante2 [ s ]. Calcula la rapidez que alcanz y la distancia que recorri al cabo de esos 2 [ s ]. v 2=v 1+a t=0 [ m / s ]+5 [ m / s 2 ] 2 [ s ]=10 [ m / s ] d=v 1 t+1/2 a t 2=1/2 5 [ m / s 2 ] 4 [ s 2 ]=10 [ m ] 13 )Un vehculo parti del reposo con una aceleracin constante y al cabo de4 [ s ]alcanz una rapidez de20 [ m / s ]. Suponiendo que el vehculo adquiri unMRUA, calculasu aceleracin y la distancia que recorri durante esos4 [ s ].

v 2v1 20 [ m / s ]0[ m / s ] a= = = 5 [ m / s 2 ] t 4[s] d=v 1 t+1/2 a t 2=1/2 5 [ m / s 2 ] 16 [ s 2 ]=40 [ m ] 14 )Un mvil conMRUAtena en un instante dado una rapidez de28 [ m / s ]. Al cabo de6 [ s ]su rapidez disminuy a16 [ m / s ]. Calcula su aceleracin y la distancia que recorri en esos6 [ s ]. v 2v1 16 [ m / s ]28 [ m / s ] a= = = 2 [ m / s 2 ] t 6[s] d=v 1 t+1/2 a t 2=28 [ m / s ] 6 [ s ]+1/2 ( 2 [ m / s 2 ] ) 36 [ s 2 ] =132 [ m] 15 )Un tren que en un instante dado tena una rapidez de15 [ m / s ]adquiri una aceleracin de 3 [ m / s 2 ]durante2 [ s ]. Calcula su rapidez final y la distancia que recorri al cabo de esos2 [ s ]. v 2=v 1+a t=15 [ m / s ]3 [ m / s 2 ] 2 [ s ]=9 [ m / s ] d=v 1 t+1/2 a t 2 =15 [ m / s ] 2 [ s ]+1/2 ( 3 [ m / s 2 ] ) 4 [ s 2 ]=24 [ m ] SubirEJERCICIOS DE CINEMATICA RESUELTOS 1 )Transforma72 [ Km / hr ]en[ m / s ] 72 3,6=20 \72 [ Km / hr ]=20 [ m / s ] 2 )Transforma5 [ m / s ]en[ Km / hr ] 5 3,6=18 \5 [ m / s ]=18 [ Km / hr ] 3 )Un mvil con Movimiento Rectilneo Uniforme ( MRU ) tiene una rapidez de4 [ m / s ].Calcula la distancia que recorre en6 [ s ]. d=v t

d=4 [ m / s ] 6 [ s ]=24 [ m ] 4 )Un velocista corre los100 [ m ]planos en10 [ s ]. Calcula su rapidez media. d=v m t 100 [ m ]=v m 10 [ s ] v m=10 [ m / s ] 5 )Calcula el tiempo que demora un automvil en recorrer800 [ m ] , con una rapidez media de20 [ m / s ] . d=v m t 800 [ m ]=20 [ m / s ] t t=40 [ s ] 6 )Dos ciclistas con MRU en un instante dado estn a20 [ m ]de distancia. El primer ciclista tiene una rapidez de6 [ m / s ]yel segundo ciclista, que persigue al primero, tiene una rapidez de10 [ m / s ] . Calcula el tiempo que demorarel segundo ciclista en alcanzar al primero y la distancia que recorrer c / u, desde ese instante. Para el primer ciclista:d 1=v 1 t Para el segundo ciclista:d 2=v 2 t Cuando el segundo ciclista alcance al primero se cumplir que: d 2=d 1+20 [ m ] v 2 t=v 1 t+20 [ m ] v 2 tv 1 t=20 [ m ] ( v 2v 1 ) t=20 [ m ] ( 10 [ m / s ]6 [ m / s ] ) t=20 [ m ] 4 [ m / s ] t=20 [ m ] t=5 [ s ] Distancia que recorrer el primer ciclista:d 1=6 [ m / s ] 5 [ s ]=30 [ m ]

Distancia que recorrer el segundo ciclista:d 2=10 [ m / s ] 5 [ s ]=50 [ m ] 7 )Dos proyectiles con MRU se encuentran a600 [ m ]uno del otro. Si se desplazan sobre una misma trayectoria, uno hacia el otro, el primero con una rapidez de80 [ m / s ]yel segundo a70 [ m / s ]. Calcula el tiempo, desde ese instante, que demorarn en chocar y la distancia que recorrerc / u. Para el primer proyectil:d 1=v 1 t Para el segundo proyectil:d 2=v 2 t Cuando choquen se cumplir que: d 1+d 2=600 [ m ] v 1 t+v 2 t=600 [ m ] ( v 1+v 2 ) t=600 [ m ] ( 80 [ m / s ]+70 [ m / s ] ) t=600 [ m] 150 [ m / s ] t=600[ m ] t=4 [ s ] Distancia que recorrer el primer proyectil:d 1=80 [ m / s ] 4 [ s ]=320 [ m ] Distancia que recorrer el segundo proyectil:d 2=70 [ m / s ] 4 [ s ]=280 [ m ] 8 )Un mvil que llevaba una rapidez de4 [ m / s ]acelera durante6 [ s ]y adquiere una rapidez de22 [ m / s ].Calcula su aceleracin media. v 2v1 22 [ m / s ]4 [ m / s ] a m= = =3 [ m / s 2 ] t 6[s]

9 )Un mvil con Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado( MRUA )tiene en un instante dado una rapidez de2 [ m / s ]yuna aceleracin de4 [ m / s 2 ]. Calcula el tiempo que demorar, desde ese instante, en alcanzar la rapidez de26 [ m / s ].

v 2v1 v 2v1 26 [ m / s ]2 [ m / s ] a= = = =6 [ s ] t a 4[m/s2] 10 )Un atleta tena en un instante dado una rapidez de4 [ m / s ]. Si a partir de ese instante y durante2 [ s ]adquiri unMRUAcon una aceleracin de3 [ m / s 2 ]. Calculala rapidez que alcanz al cabo de esos2 [ s ]. v 2=v 1+a t=4 [ m / s ]+3 [ m / s 2 ] 2 [ s ]=10 [ m / s ] 11 )Un mvil en un instante dado adquiri unMRUAcon una aceleracin de5 [ m / s 2 ]. Si al cabo de 6[ s ]alcanz una rapidez de40 [ m / s ]. Calcula su rapidez inicial en ese instante dado. v 1=v 2a t=40 [ m / s ]5 [ m / s 2 ] 6 [ s ]=10 [ m / s ] 12 )Una velocista en una carrera de100 [ m ]planos, parti del reposo con una aceleracin de5 [ m / s 2 ] y la mantuvo durante2 [ s ]. Calcula la rapidez que alcanz y la distancia que recorri al cabo de esos 2 [ s ]. v 2=v 1+a t=0 [ m / s ]+5 [ m / s 2 ] 2 [ s ]=10 [ m / s ] d=v 1 t+1/2 a t 2=1/2 5 [ m / s 2 ] 4 [ s 2 ]=10 [ m ] 13 )Un vehculo parti del reposo con una aceleracin constante y al cabo de4 [ s ]alcanz una rapidez de20 [ m / s ]. Suponiendo que el vehculo adquiri unMRUA, calculasu aceleracin y la distancia que recorri durante esos4 [ s ]. v 2v1 20 [ m / s ]0[ m / s ] a= = = 5 [ m / s 2 ] t 4[s] d=v 1 t+1/2 a t 2=1/2 5 [ m / s 2 ] 16 [ s 2 ]=40 [ m ] 14 )Un mvil conMRUAtena en un instante dado una rapidez de28 [ m / s ]. Al cabo de6 [ s ]su rapidez disminuy a16 [ m / s ]. Calcula su aceleracin y la distancia que recorri en esos6 [ s ]. v 2v1 16 [ m / s ]28 [ m / s ] a= = = 2 [ m / s 2 ] t 6[s] d=v 1 t+1/2 a t 2=28 [ m / s ] 6 [ s ]+1/2 ( 2 [ m / s 2 ] ) 36 [ s 2 ] =132 [ m]

15 )Un tren que en un instante dado tena una rapidez de15 [ m / s ]adquiri una aceleracin de 3 [ m / s 2 ]durante2 [ s ]. Calcula su rapidez final y la distancia que recorri al cabo de esos2 [ s ]. v 2=v 1+a t=15 [ m / s ]3 [ m / s 2 ] 2 [ s ]=9 [ m / s ] d=v 1 t+1/2 a t 2 =15 [ m / s ] 2 [ s ]+1/Movimiento de cada libre El movimiento de los cuerpos por la accin de su propio peso es un ejemplo de movimiento que se da en la naturaleza y que puede ser descrito como rectilneo uniformemente acelerado. En este caso el espacio s se mide sobre la vertical y corresponde, por tanto, a una altura que se representa por la letra h. En ausencia de un medio resistente como el aire, es decir en el vaco, el movimiento de cada es de aceleracin constante, siendo dicha aceleracin la misma para todos los cuerpos, independientemente de cuales sean su forma y su peso. La presencia de aire frena ese movimiento de cada y la aceleracin pasa a depender entonces de la forma del cuerpo. No obstante, para cuerpos aproximadamente esfricos, la influencia del medio sobre el movimiento puede despreciarse y tratarse, en una primera aproximacin, como si fuera de cada libre. La aceleracin en los movimientos de cada libre, conocida como aceleracin de la gravedad, se representa por la letra g y toma un valor aproximado de 9,8 m/s2. Si el movimiento considerado es de descenso o de cada, el valor de g resulta positivo como corresponde a una autntica aceleracin. Si por el contrario es de ascenso en vertical el valor de g se considera negativo, pues se trata, en tal caso, de un movimiento deccierado. Las frmulas caractersticas de estos tipos de movimientos, al igual que sus grficas cinemticas, coinciden con las deducidas para los movimientos uniformemente acelerados y uniformemente retardados. Se escriben en la forma:

En ellas se considera g con signo + cuando el movimiento es de descenso y con signo cuando es de ascenso. En el aire, la aproximacin consistente en suponer despreciable la influencia retardadora del rozamiento sobre el movimiento slo es vlida para velocidades no muy grandes, del orden de las que puede alcanzar un cuerpo cayendo desde una altura de unas pocas decenas de metros. La ley de que los cuerpos caen en el vaco con una aceleracin que es la misma para todos ellos e independiente de sus pesos respectivos fue establecida por Galileo Galilei y comprobada mediante un experimento espectacular. Desde lo alto de la torre inclinada de la ciudad italiana de Pisa, y en presencia de profesores y alumnos de su Universidad, Galileo solt a la vez dos balas de can, una de ellas diez veces ms pesada que la otra. Con este experimento Galileo planteaba una pregunta directamente a la naturaleza y ella se encarg de responder que, dentro del error experimental, ambos cuerpos, a pesar de las diferencias entre sus pesos, caen a la vez, es decir, recorren el mismo espacio en el mismo tiempo. El resultado del experimento de la torre de Pisa, que fue ampliamente contestado en la poca de Galileo, resulta

pues iguales alturas darn lugar a idnticas velocidades finales si se acepta que la aceleracin g de cada es la misma para todos los cuerpos. Inversamente, la demostracin experimental de Galileo de que a igualdad de alturas h cuerpos de diferentes pesos alcanzan la misma velocidad v, equivale a demostrar que la aceleracin de cada es independiente del peso de los cuerpos. APLICACIN DEL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS DE CADA Los movimientos de los cuerpos sometidos a las fuerzas del peso constituyen un ejemplo de movimientos de aceleracin constante e igual a 9,8 m/s2cuando se desprecia la accin del rozamiento. Si el movimiento es de descenso dicho valor se tomar como positivo, pues el cuerpo gana velocidad con el tiempo. Si el

cuerpo asciende como consecuencia de un impulso o velocidad inicial, su velocidad disminuye con el tiempo y la aceleracin de la gravedad se considerar negativa. La determinacin de magnitudes cinemticas tales como velocidad, altura o tiempo se podrn determinar, en tales casos, con la ayuda de las frmulas correspondientes. As, si se lanza verticalmente hacia arriba una bola de acero con una velocidad inicial de 10 m/s cabe preguntarse a qu altura llegar. Se dispone del valor de vo= 10 m/s, del valor de la aceleracin g = 9,8 m/s y tambin del valor de la velocidad final, puesto que la bola, al perder progresivamente velocidad, terminar por pararse, iniciando a continuacin un movimiento de descenso. Se trata entonces de identificar una frmula del movimiento uniformemente decelerado que relacione las magnitudes v (dato), g (dato) y h (incgnita). Dicha expresin es:

Despejando h y sustituyendo se tiene:

El tiempo que ha empleado el cuerpo en alcanzar esta altura mxima puede, asimismo, determinarse a partir de los datos iniciales. Se trata en este caso de identificar una frmula que relacione v, g y t, siendo v y g conocidas; dicha expresin es

Despejando t y sustituyendo resulta:

Otra cuestin de inters en este tipo de movimientos es averiguar con qu velocidad volver a caer. En el punto ms alto de su trayectoria el cuerpo carece de velocidad, de modo que iniciar el ovimiento de descenso partiendo del reposo,

vo= 0. El espacio que recorre al subir es el mismo que el que recorre al

pero considerando ahora g con valor positivo resulta:

v2= 2 9,8 5,1 = 10 m/s En ausencia de rozamientos, los movimientos de ascenso y descenso son perfectamente simtricos, de modo que el cuerpo emplea el mismo tiempo en subir que en bajar, y vuelve al punto de lanzamiento con idntica velocidad con la que parti de l. Es, asimismo, interesante saber calcular la altura que alcanzara en la mitad del tiempo de ascenso. Como paso previo se han de identificar con claridad las nuevas incgnitas, as como los datos disponibles. Se conoce el tiempo t = 1,0/2, la aceleracin g = 9,8 m/s2y la velocidad inicial vo= 10,0 m/s y se desea averiguar la altura h; la ecuacin que relaciona tales magnitudes es:

Sustituyendo los valores numricos se obtiene:

De acuerdo con este resultado en la primera mitad del tiempo total, el cuerpo recorre ms de la mitad del espacio total, lo que indica que el movimiento no es uniforme. ESTUDIO DE LOS MOV. CIRCULARES La descripcin de los movimientos rectilneos uniformes y uniformemente acelerados puede extenderse a movimientos de trayectoria no rectilneo, si no se tienen en cuenta aquellos aspectos del movimiento relacionados con el cambio de

orientacin que sufre el mvil al desplazarse a lo largo de una trayectoria curvilnea. Por tanto, un movimiento circular uniforme o uniformemente acelerado, se puede estudiar recurriendo a las relaciones entre s, v, t y a, deducidas a propsito de los movimientos rectilneos. Sin embargo, la posibilidad de describir el desplazamiento del punto mvil mediante el ngulo j barrido por uno de los radios, abre un nuevo camino para su estudio, exclusivo de los movimientos circulares, empleando magnitudes angulares y no magnitudes lineales, es decir, utilizando magnitudes referidas a ngulos y no a la lnea trayectoria. Magnitudes lineales y magnitudes angulares La magnitud fundamental es el ngulo barrido por el radio que une el punto mvil con el centro de la trayectoria circular, ngulo que se expresa en radianes (rad). Un radin es la unidad SI de medida de ngulo plano y se define como el ngulo central (con vrtice en el centro de una circunferencia) cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio. Dado que la longitud de la circunferencia es igual a 2p veces el valor del radio, el ngulo central completo medir 2p rad. A partir de la definicin de radin se puede establecer una relacin entre la longitud del arco, que en trminos cinemticos coincide con el espacio s, y el ngulo j. As, expresar el ngulo j en radianes equivale a decir cuntas veces el radio R est contenido en la porcin de arco s correspondiente, lo que en trminos matemticos se expresa en la forma:

Utilizando la notacin de incrementos se tiene:

Si para describir un movimiento circular se elige la opcin angular, es decir, en trminos de variacin del ngulo j con el tiempo, se hace necesario introducir otras magnitudes angulares que desempeen el mismo papel que la velocidad y la aceleracin en la descripcin lineal. As se define la velocidad angular media m como el cociente entre el ngulo barrido y el tiempo empleado

y representa la rapidez con la que por trmino medio vara el ngulo j a lo largo del intervalo de tiempo Dt. El valor instantneo, o referido a un instante, w se expresa anlogamente como:

De acuerdo con su definicin, la unidad SI de medida dew ser el rad/s. Dado que la velocidad angular puede variar con el tiempo, es necesario introducir una magnitud que d idea de la rapidez con la que dicha variacin tiene lugar; esto es, lo que se entiende por aceleracin angular. Al tratarse de una rapidez se habr de distinguir entre el valor medio am

y el valor instantneo

Las unidades SI para esta nueva magnitud son, de acuerdo con su definicin, rad/s/s, es decir, rad/s2o rad s-2. Dado que todo movimiento circular puede describirse, bien en funcin de magnitudes lineales, bien en funcin de magnitudes angulares, ambas descripciones equivalentes estn relacionadas entre s. La relacin fundamental viene dada por la ecuacin (2.27) que puede escribirse de nuevo en la forma

donde se indica que multiplicando el valor del ngulo en radianes por el radio se tiene el valor del arco o espacio s medido sobre la trayectoria. As, conociendo el espacio que recorre una bicicleta y la longitud del radio de sus ruedas, es posible averiguar el ngulo descrito, o lo que, es lo mismo, el nmero de vueltas que ha dado. En general se verifica:

de modo que:

La relacin descrita por la ecuacin (2.27) se puede extender a las otras magnitudes angulares como la velocidad w y la aceleracin a. De modo que, en general, la relacin de paso entre magnitudes lineales y magnitudes angulares en un movimiento circular puede escribirse como:

Para las velocidades la relacin es, por tanto:

En efecto:

donde:

pues R es constante. Sustituyendo en la ecuacin (2.32) de partida, se tiene:

Para la magnitud aceleracin la relacin es anloga:

y, por tanto:

es decir:

Movimiento circular uniforme La analoga existente entre las magnitudes lineales y las angulares en un movimiento circular asegura la existencia de una analoga en la forma de las ecuaciones correspondientes. En un movimiento circular uniforme, la ecuacin fundamental del movimiento referida a magnitudes lineales:

se puede expresar en funcin de magnitudes angulares. Sustituyendo en ella los valores de s y v dados en las ecuaciones (2.27) y (2.31) resulta:

es decir:

que es la ecuacin fundamental del movimiento circular uniforme descrito en funcin de magnitudes angulares. Movimiento circular uniformemente acelerado Siguiendo un procedimiento anlogo se obtienen las ecuaciones cinemticas que describen este tipo de movimiento. As, partiendo de la ecuacin: v= vo+ at y tomando en cuenta las ecuaciones (2.31) y (2.33), resulta

y dividiendo por R se obtiene la ecuacin anloga a la de partida, pero expresada en funcin de magnitudes angulares:

La ecuacin

se beneficia del mismo tratamiento; considerando ahora la relacin entre espacio s y ngulo resulta:

es decir:

Lo mismo sucede para la ecuacin

que se convierte, aplicando idntico procedimiento, en la forma:

Finalmente la ecuacin

se convierte en:

es decir:

Las anteriores ecuaciones caractersticas del movimiento circular uniformemente acelerado pueden aplicarse tambin al movimiento uniformemente retardado sin ms que considerar la aceleracin como la deceleracin, esto es, con signo negativo. APLICACIN DEL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS CIRCULARES La descripcin de un movimiento circular puede hacerse bien en funcin de magnitudes lineales ignorando la forma de la trayectoria, bien en funcin de magnitudes angulares. Ambas descripciones estn relacionadas entre s mediante el valor del radio de la circunferencia trayectoria. Un coche que circula a 72 km/h frena en un instante dado y consigue detenerse tras recorrer una distancia de 40 m. Sus ruedas poseen un radio de 25 cm y se pretende estudiar el movimiento circular de stas en trminos lineales y en trminos angulares, calculando su aceleracin de frenado y el tiempo que tarda en pararse. El clculo de la deceleracin del coche se puede efectuar a partir de la frmula que relaciona las variables a (incgnita) con vo(dato) y s (dato). Dicha expresin es

por tanto:

Dado que el coche termina parndose, la velocidad final v ser cero. Antes de sustituir los datos en las frmulas es preciso expresarles en unidades del Sistema Internacional:

R = 25 cm = 0,25 m s = 40 m por tanto,

Si las ruedas no se bloquean, sta ser tambin la aceleracin lineal del movimiento circular descrito por un punto de su superficie, ya que el movimiento de traslacin o de avance del coche es el desarrollo del movimiento de rotacin de las ruedas. El valor de la aceleracin angular correspondiente se podr calcular dividiendo el anterior valor por el del radio:

El clculo de a puede efectuarse de un modo alternativo convirtiendo inicialmente los datos en sus correspondientes cantidades angulares y utilizando despus las frmulas del movimiento circular. En tal caso:

La determinacin del tiempo que tarda en pararse puede calcularse a partir de la expresin

en donde a se ha de tomar con su signo, que es, en este caso, negativo:

El clculo del ngulodescrito por uno de sus radios se podr efectuar a partir de la frmula

es decir:

LA ACELERACIN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILNEOS

En los movimientos curvilneos la direccin cambia con el tiempo. Eso significa que la velocidad considerada como vector v podr variar cuando vare slo su direccin, su mdulo o, en el caso ms general, cuando varen ambos. La aceleracin asociada a los cambios en direccin Desde un punto de vista Sectorial, un movimiento circular uniforme es un movimiento acelerado, aun cuando el mvil recorra la trayectoria a ritmo constante. La direccin del vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, va cambiando a lo largo del movimiento, y esta variacin dev que afecta slo a su direccin da lugar a una aceleracin. Cuando en un movimiento circular uniforme se determina grficamente el vector diferencia Dv, se advierte que est dirigido hacia el centro de la trayectoria. De acuerdo con la definicin del vector aceleracin a, la direccin de esta magnitud coincide con la direccin de la variacin del vector velocidad Dv. As que en el movimiento circular uniforme el vector aceleracin est dirigido en cada instante hacia el centro de la trayectoria segn la direccin del radio. Por este motivo, se le denomina aceleracin centrpeta ac, que significa dirigida hacia el centro y da idea de la rapidez con la que cambia la direccin del movimiento. Puede demostrarse que la aceleracin centrpeta aces tanto mayor cuanto ms rpido es el movimiento y cuanto ms cerrada es la curva trayectoria, siendo su expresin:

donde v es la rapidez o velocidad escalar y R el radio de la trayectoria circular. Esta componente del vector aceleracin, relacionada con los cambios en direccin del vector velocidad, est presente en todos los movimientos curvilneos, sean o no circulares. La aceleracin asociada a los cambios en mdulo Adems de variar en direccin, el vector v puede variar tambin en mdulo en los movimientos curvilneos. La aceleracin asociada a tal variacin recibe el nombre de aceleracin tangencial at, porque es tangente a la trayectoria. Es el nico tipo de aceleracin presente en los movimientos rectilneos y coincide en mdulo con la aceleracin que se considera en el estudio puramente escalar del movimiento circular. La aceleracin total

La aceleracin total en un movimiento curvilneo es, entonces, un vector que puede considerarse como la suma de dos componentes, Una, la aceleracin centrpeta ac, que es perpendicular a la trayectoria, y da idea de la rapidez con la que el mvil cambia de orientacin; la otra, la aceleracin tangencial ates tangente a la trayectoria y representa la rapidez con la que vara en mdulo el vector velocidad, Si la primera componente no es nula eso significa que el movimiento es curvilneo; si la segunda tampoco lo es quiere decir que no es uniforme. 2 ( 3 [ m / s 2 ] ) 4 [ s 2 ]=24 [ m ].

EJERCITACIN CINEMTICAMOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORMEMENTE VARIADO

1. Una locomotora necesita 10 s. para alcanzar su velocidad normal que es 60 Km/h. Suponiendo que su movimiento es uniformemente acelerado Qu aceleracin se le ha comunicado y qu espacio ha recorrido antes de alcanzar la velocidad regular? 2. Un cuerpo posee una velocidad inicial de 12 m/s y una aceleracin de 2 m/s2 Cunto tiempo tardar en adquirir una velocidad de 144 Km/h? 3. Un mvil lleva una velocidad de 8 cm/s y recorre una trayectoria rectilnea con movimiento acelerado cuya aceleracin es igual a 2 cm/s2. Calcular el tiempo que ha tardado en recorrer 2,10 m. 4. Un motorista va a 72 Km/h y apretando el acelerador consigue al cabo de 1/3 de minuto, la velocidad de 90 Km/h. Calcular a) su aceleracin media. b) Espacio recorrido en ese tiempo. 5. En ocho segundos, un automvil que marcha con movimiento acelerado ha conseguido una velocidad de 72 m/s. Qu espacio deber recorrer para alcanzar una velocidad de 90 m/s? 6. Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 18 m. de longitud. La aceleracin del mvil es de 4 m/s2; calcular a) Tiempo que tarda el mvil en recorrer la rampa. b) velocidad que lleva al finalizar el recorrido inclinado. 7. Dos mviles se dirigen a su encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre s 180 Km. Si se encuentran a los 9 s de salir y los espacios recorridos por los mviles estn en relacin de 4 a 5, calcular sus aceleraciones respectivas. 8. Un avin despega de la pista de un aeropuerto, despus de recorrer 1000 m de la misma, con una velocidad de 120 Km/h. Calcular a) la aceleracin durante ese

trayecto. b) El tiempo que ha tardado en despegar si parti del reposo c) La distancia recorrida en tierra en el ltimo segundo. 9. Un mvil se mueve con movimiento acelerado. En los segundos 2 y 3 los espacios recorridos son 90 y 100 m respectivamente. Calcular la velocidad inicial del mvil y su aceleracin. 10. Dos cuerpos A y B situados a 2 Km de distancia salen simultneamente uno en persecucin del otro con movimiento acelerado ambos, siendo la aceleracin del ms lento, el B, de 32 cm/s2. Deben encontrarse a 3,025 Km. de distancia del punto de partida del B. Calcular a) tiempo que tardan en encontrarse, b) aceleracin de A. c) Sus velocidades en el momento del encuentro.MOVIMIENTO DE CAIDA DE CUERPOS.

1. Una bombilla cae del techo de un tren que va a 40 Km/h. Calcular el tiempo que tarda en caer si el techo dista del suelo 4 metros. 2. Se suelta un cuerpo sin velocidad inicial. Al cabo de cunto tiempo su velocidad ser de 45 Km/h? 3. Desde lo alto de una torre se deja caer un cuerpo. A qu distancia del suelo tendr una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando choca contra el suelo? 4. Un cuerpo en cada libre pasa por un punto con una velocidad de 20 cm/s. Cul ser su velocidad cinco segundos despus y qu espacio habr recorrido en ese tiempo? 5. Desde la azotea de un rascacielos de 120 m. de altura se lanza una piedra con velocidad de 5 m/s, hacia abajo. Calcular : a) Tiempo que tarda en llegar al suelo, b) velocidad con que choca contra el suelo. 6. Una piedra cae libremente y pasa por delante de un observador situado a 300 m del suelo. A los dos segundos pasa por delante de otro que est a 200 m del suelo. Calcular : a) altura desde la que cae. b) velocidad con que choca contra el suelo. 7. Si queremos que un cuerpo suba 50 m. verticalmente. Con qu velocidad se deber lanzar? Cunto tiempo tardar en caer de nuevo a tierra? 8. Se dispara verticalmente un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 10 s. Hallar la velocidad con que se dispar y la altura alcanzada. 9. Lanzamos verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 900 Km/h. Calcular a) Tiempo que tarda en alcanzar 1 Km. de altura. b) Tiempo que tarda en alcanzar la altura mxima c)Altura alcanzada.

10. Del techo de un ascensor que dista 2 m del suelo, se desprende un tornillo en el momento mismo del arranque del ascensor que sube con una velocidad constante de 1 m/s. Calcular a) la distancia a la que estar el tornillo del suelo 0,5 s. despus de iniciada la subida. b) Tiempo que tardar en tocar el suelo. 11. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo; el 1 con una velocidad inicial de 50 m/s y el 2 con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular a) Tiempo que pasa hasta que los dos se encuentren a la misma altura. b) A qu altura suceder el encuentro. c) Velocidad de cada proyectil en ese momento.MOVIMIENTOS COMBINADOS.

1. Partiendo del reposo un mvil alcanza al cabo de 25 s. una velocidad de 100 m/s. En los 10 primeros s. llevaba un movimiento uniformemente acelerado y en los 15 s. restantes, un movimiento uniforme. Calcular el espacio total recorrido por dicho mvil. 2. Una canoa invierte 20 minutos para bajar cierto trayecto de un ro y 36 minutos para hacer el mismo recorrido en sentido contrario. Calcular las velocidades de la canoa en los dos casos si la longitud del recorrido ha sido 10,8 Km. 3. Un hombre deja caer una piedra en un pozo de una mina de 250 m. de profundidad. Calcular el tiempo que tardar en or el ruido de la piedra al chocar contra el fondo (velocidad del sonido 340 m/s ) 4. La velocidad de un remolcador respecto del agua de un ro es de 12 Km/h. La velocidad de la corriente es de 1.25 m/s. Calcular el tiempo que durar el viaje de ida y vuelta entre dos ciudades situadas a 33 Km. de distancia en la misma orilla del ro. 5. Dos mviles salen del mismo lugar en el mismo sentido : uno con velocidad constante de 30 m/s y el otro con aceleracin constante de 1,5 m/s2. Al cabo de cuanto tiempo volvern a estar juntos? qu recorrido habr hecho cada uno? 6. Se cruzan dos trenes en sentido contrario con velocidades de 60 Km/h el primer tren y desconocida la del segundo. Si tardan en cruzarse 6 segundos y la longitud del segundo tren es de 175 m. calcular la velocidad con que se mueve el segundo tren. 7. Dos ciclistas pasan por una carretera rectilnea con velocidad constante. Cuando van en el mismo sentido, el primero adelanta al segundo 150 m/min.; cuando van en sentidos contrarios, el uno se acerca a otro 350 m. cada veinte segundos. Hallar la velocidad de cada ciclista. 8. en el instante en que la seal luminosa de trfico se pone verde, un autobs que ha estado esperando, arranca con una aceleracin constante de 1,80 m/s2.En el mismo instante, un camin que viene con una velocidad constante de 9 m/s alcanza y pasa el

autobs. Calcular: a) a qu distancia vuelve a alcanzarle el autobs al camin. b) Qu velocidad lleva en ese momento el autobs. 9. El maquinista de un tren que marcha a 72 Km/h observa que otro tren de 200 m de largo tarda en pasarle 4 segundos. Hallar: a) Velocidad del segundo tren si se mueven ambos en sentidos contrarios. b) Velocidad del segundo tren si se desplazan ambos en el mismo sentido.

GRFICAS DE MOVIMIENTOS.

1. Un peatn sale de A hacia B, situado a 20 km de distancia, a las 10 horas de la maana y va a 5 Km/h. Cuando ha andado una hora, descansa 20 minutos. Hallar la grfica de su movimiento y determinar la hora en que lleg al punto de destino.

2. Dado el diagrama de la figura nmero 1, calcular la velocidad del mvil en cada una de las fases del movimiento e interpretar el significado de la parte BC del diagrama.

Fig. 1

3. En la grfica de la figura 2, calcular el espacio total recorrido.

4 Con los datos de la grfica 3, calcular la velocidad del vil y el valor del espacio

inicial.

Fig. 3

5. Dada la grfica 4, calcular las diversas velocidades y el camino total recorrido por el mvil

6. Deducir del diagrama 5

a)Separacin entre los mviles A y B a las 9 de la maana.

b)Tiempo de descanso de cada uno. c)Velocidad en la ida y en la vuelta de cada uno. d)Distancia que los separa a las dos de la tarde. e)Distancia que se encuentran del punto de partida a las 11 horas. 7. Un ciclista sale de una ciudad A a las 7 de la maana a 25 Km/h. en direccin a otra B que dista de la primera 185 Km. A las dos horas y media de marcha tiene una avera que le obliga a detenerse una hora y media. Sale despus a 35 Km/h sin variar la velocidad hasta llegar a la ciudad B. Calcular : a) A qu hora llegar? b) A qu distancia se encuentra de A a las doce del medio da. c) Qu hora era cuando se encontraba a 167,5 Km de la ciudad A. d) Qu hora era cuando estaba a 52,5 Km de B. Nota: resolver el ejercicio numrica y grficamente.

8. Dada la grfica de la figura 1, calcular las aceleraciones y el recorrido total efectuado por el mvil.

9. Un tren sale de la estacin A a las doce del medio da a 40 Km/h. en direccin a otra ciudad B. Otro tren sale de B a las tres de la tarde a 60 Km/h con direccin a la

ciudad A. Si la distancia entre ambas ciudades es de 420 Km, calcular :a) A qu hora y en qu punto se cruzan, b) A qu hora distarn 250 Km. c) Qu distancia les separa a las 4,30 de la tarde. Nota : resolver el problema numrica y grficamente.SOLUCIONES

Movimiento de cada libre El movimiento de los cuerpos por la accin de su propio peso es un ejemplo de movimiento que se da en la naturaleza y que puede ser descrito como rectilneo uniformemente acelerado. En este caso el espacio s se mide sobre la vertical y corresponde, por tanto, a una altura que se representa por la letra h. En ausencia de un medio resistente como el aire, es decir en el vaco, el movimiento de cada es de aceleracin constante, siendo dicha aceleracin la misma para todos los cuerpos, independientemente de cuales sean su forma y su peso. La presencia de aire frena ese movimiento de cada y la aceleracin pasa a depender entonces de la forma del cuerpo. No obstante, para cuerpos aproximadamente esfricos, la influencia del medio sobre el movimiento puede despreciarse y tratarse, en una primera aproximacin, como si fuera de cada libre. La aceleracin en los movimientos de cada libre, conocida como aceleracin de la gravedad, se representa por la letra g y toma un valor aproximado de 9,8 m/s2. Si el movimiento considerado es de descenso o de cada, el valor de g resulta positivo como corresponde a una autntica aceleracin. Si por el contrario es de ascenso en vertical el valor de g se considera negativo, pues se trata, en tal caso, de un movimiento deccierado. Las frmulas caractersticas de estos tipos de movimientos, al igual que sus grficas cinemticas, coinciden con las deducidas para los movimientos uniformemente acelerados y uniformemente retardados. Se escriben en la forma:

En ellas se considera g con signo + cuando el movimiento es de descenso y con signo cuando es de ascenso. En el aire, la aproximacin consistente en suponer despreciable la influencia retardadora del rozamiento sobre el movimiento slo es vlida para velocidades no muy grandes, del orden de las que puede alcanzar un cuerpo cayendo desde una altura de unas pocas decenas de metros. La ley de que los cuerpos caen en el vaco con una aceleracin que es la misma para todos ellos e independiente de sus pesos respectivos fue establecida por Galileo Galilei y comprobada mediante un experimento espectacular. Desde lo alto de la torre inclinada de la ciudad italiana de Pisa, y en presencia de profesores y alumnos de su Universidad, Galileo solt a la vez dos balas de can, una de ellas diez veces ms pesada que la otra. Con este experimento Galileo planteaba una pregunta directamente a la naturaleza y ella se encarg de responder que, dentro del error experimental, ambos cuerpos, a pesar de las diferencias entre sus pesos, caen a la vez, es decir, recorren el mismo espacio en el mismo tiempo. El resultado del experimento de la torre de Pisa, que fue ampliamente contestado en la poca de Galileo, resulta

pues iguales alturas darn lugar a idnticas velocidades finales si se acepta que la aceleracin g de cada es la misma para todos los cuerpos. Inversamente, la demostracin experimental de Galileo de que a igualdad de alturas h cuerpos de diferentes pesos alcanzan la misma velocidad v, equivale a demostrar que la aceleracin de cada es independiente del peso de los cuerpos. APLICACIN DEL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS DE CADA Los movimientos de los cuerpos sometidos a las fuerzas del peso constituyen un ejemplo de movimientos de aceleracin constante e igual a 9,8 m/s2cuando se desprecia la accin del rozamiento. Si el movimiento es de descenso dicho valor se tomar como positivo, pues el cuerpo gana velocidad con el tiempo. Si el cuerpo asciende como consecuencia de un impulso o velocidad inicial, su velocidad disminuye con el tiempo y la aceleracin de la gravedad se considerar negativa. La determinacin de magnitudes cinemticas tales como velocidad, altura o tiempo se podrn determinar, en tales casos, con la ayuda de las frmulas correspondientes. As, si se lanza verticalmente hacia arriba una bola de acero con una velocidad

inicial de 10 m/s cabe preguntarse a qu altura llegar. Se dispone del valor de vo= 10 m/s, del valor de la aceleracin g = 9,8 m/s y tambin del valor de la velocidad final, puesto que la bola, al perder progresivamente velocidad, terminar por pararse, iniciando a continuacin un movimiento de descenso. Se trata entonces de identificar una frmula del movimiento uniformemente decelerado que relacione las magnitudes v (dato), g (dato) y h (incgnita). Dicha expresin es:

Despejando h y sustituyendo se tiene:

El tiempo que ha empleado el cuerpo en alcanzar esta altura mxima puede, asimismo, determinarse a partir de los datos iniciales. Se trata en este caso de identificar una frmula que relacione v, g y t, siendo v y g conocidas; dicha expresin es

Despejando t y sustituyendo resulta:

Otra cuestin de inters en este tipo de movimientos es averiguar con qu velocidad volver a caer. En el punto ms alto de su trayectoria el cuerpo carece de velocidad, de modo que iniciar el ovimiento de descenso partiendo del reposo, vo= 0. El espacio que recorre al subir es el mismo que el que recorre al

pero considerando ahora g con valor positivo resulta:

v2= 2 9,8 5,1 = 10 m/s En ausencia de rozamientos, los movimientos de ascenso y descenso son perfectamente simtricos, de modo que el cuerpo emplea el mismo tiempo en subir que en bajar, y vuelve al punto de lanzamiento con idntica velocidad con la que parti de l. Es, asimismo, interesante saber calcular la altura que alcanzara en la mitad del tiempo de ascenso. Como paso previo se han de identificar con claridad las nuevas incgnitas, as como los datos disponibles. Se conoce el tiempo t = 1,0/2, la aceleracin g = 9,8 m/s2y la velocidad inicial vo= 10,0 m/s y se desea averiguar la altura h; la ecuacin que relaciona tales magnitudes es:

Sustituyendo los valores numricos se obtiene:

De acuerdo con este resultado en la primera mitad del tiempo total, el cuerpo recorre ms de la mitad del espacio total, lo que indica que el movimiento no es uniforme. ESTUDIO DE LOS MOV. CIRCULARES La descripcin de los movimientos rectilneos uniformes y uniformemente acelerados puede extenderse a movimientos de trayectoria no rectilneo, si no se tienen en cuenta aquellos aspectos del movimiento relacionados con el cambio de orientacin que sufre el mvil al desplazarse a lo largo de una trayectoria curvilnea. Por tanto, un movimiento circular uniforme o uniformemente acelerado, se puede estudiar recurriendo a las relaciones entre s, v, t y a, deducidas a propsito de los movimientos rectilneos. Sin embargo, la posibilidad de describir el desplazamiento del punto mvil mediante el ngulo j barrido por uno de los radios, abre un nuevo camino para su estudio, exclusivo de los movimientos circulares, empleando

magnitudes angulares y no magnitudes lineales, es decir, utilizando magnitudes referidas a ngulos y no a la lnea trayectoria. Magnitudes lineales y magnitudes angulares La magnitud fundamental es el ngulo barrido por el radio que une el punto mvil con el centro de la trayectoria circular, ngulo que se expresa en radianes (rad). Un radin es la unidad SI de medida de ngulo plano y se define como el ngulo central (con vrtice en el centro de una circunferencia) cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio. Dado que la longitud de la circunferencia es igual a 2p veces el valor del radio, el ngulo central completo medir 2p rad. A partir de la definicin de radin se puede establecer una relacin entre la longitud del arco, que en trminos cinemticos coincide con el espacio s, y el ngulo j. As, expresar el ngulo j en radianes equivale a decir cuntas veces el radio R est contenido en la porcin de arco s correspondiente, lo que en trminos matemticos se expresa en la forma:

Utilizando la notacin de incrementos se tiene:

Si para describir un movimiento circular se elige la opcin angular, es decir, en trminos de variacin del ngulo j con el tiempo, se hace necesario introducir otras magnitudes angulares que desempeen el mismo papel que la velocidad y la aceleracin en la descripcin lineal. As se define la velocidad angular media m como el cociente entre el ngulo barrido y el tiempo empleado

y representa la rapidez con la que por trmino medio vara el ngulo j a lo largo del intervalo de tiempo Dt. El valor instantneo, o referido a un instante, w se expresa anlogamente como:

De acuerdo con su definicin, la unidad SI de medida dew ser el rad/s. Dado que la velocidad angular puede variar con el tiempo, es necesario introducir una magnitud que d idea de la rapidez con la que dicha variacin tiene lugar; esto es, lo que se entiende por aceleracin angular. Al tratarse de una rapidez se habr de distinguir entre el valor medio am

y el valor instantneo

Las unidades SI para esta nueva magnitud son, de acuerdo con su definicin, rad/s/s, es decir, rad/s2o rad s-2. Dado que todo movimiento circular puede describirse, bien en funcin de magnitudes lineales, bien en funcin de magnitudes angulares, ambas descripciones equivalentes estn relacionadas entre s. La relacin fundamental viene dada por la ecuacin (2.27) que puede escribirse de nuevo en la forma

donde se indica que multiplicando el valor del ngulo en radianes por el radio se tiene el valor del arco o espacio s medido sobre la trayectoria. As, conociendo el espacio que recorre una bicicleta y la longitud del radio de sus ruedas, es posible averiguar el ngulo descrito, o lo que, es lo mismo, el nmero de vueltas que ha dado. En general se verifica:

de modo que:

La relacin descrita por la ecuacin (2.27) se puede extender a las otras magnitudes angulares como la velocidad w y la aceleracin a. De modo que, en general, la relacin de paso entre magnitudes lineales y magnitudes angulares en un movimiento circular puede escribirse como:

Para las velocidades la relacin es, por tanto:

En efecto:

donde:

pues R es constante. Sustituyendo en la ecuacin (2.32) de partida, se tiene:

Para la magnitud aceleracin la relacin es anloga:

y, por tanto:

es decir:

Movimiento circular uniforme La analoga existente entre las magnitudes lineales y las angulares en un movimiento circular asegura la existencia de una analoga en la forma de las ecuaciones correspondientes. En un movimiento circular uniforme, la ecuacin fundamental del movimiento referida a magnitudes lineales:

se puede expresar en funcin de magnitudes angulares. Sustituyendo en ella los valores de s y v dados en las ecuaciones (2.27) y (2.31) resulta:

es decir:

que es la ecuacin fundamental del movimiento circular uniforme descrito en funcin de magnitudes angulares. Movimiento circular uniformemente acelerado Siguiendo un procedimiento anlogo se obtienen las ecuaciones cinemticas que describen este tipo de movimiento. As, partiendo de la ecuacin: v= vo+ at y tomando en cuenta las ecuaciones (2.31) y (2.33), resulta

y dividiendo por R se obtiene la ecuacin anloga a la de partida, pero expresada en funcin de magnitudes angulares:

La ecuacin

se beneficia del mismo tratamiento; considerando ahora la relacin entre espacio s y ngulo resulta:

es decir:

Lo mismo sucede para la ecuacin

que se convierte, aplicando idntico procedimiento, en la forma:

Finalmente la ecuacin

se convierte en:

es decir:

Las anteriores ecuaciones caractersticas del movimiento circular uniformemente acelerado pueden aplicarse tambin al movimiento uniformemente retardado sin ms que considerar la aceleracin como la deceleracin, esto es, con signo negativo. APLICACIN DEL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS CIRCULARES La descripcin de un movimiento circular puede hacerse bien en funcin de magnitudes lineales ignorando la forma de la trayectoria, bien en funcin de magnitudes angulares. Ambas descripciones estn relacionadas entre s mediante el valor del radio de la circunferencia trayectoria. Un coche que circula a 72 km/h frena en un instante dado y consigue detenerse tras recorrer una distancia de 40 m. Sus ruedas poseen un radio de 25 cm y se pretende estudiar el movimiento circular de stas en trminos lineales y en trminos angulares, calculando su aceleracin de frenado y el tiempo que tarda en pararse. El clculo de la deceleracin del coche se puede efectuar a partir de la frmula que relaciona las variables a (incgnita) con vo(dato) y s (dato). Dicha expresin es

por tanto:

Dado que el coche termina parndose, la velocidad final v ser cero. Antes de sustituir los datos en las frmulas es preciso expresarles en unidades del Sistema

Internacional:

R = 25 cm = 0,25 m s = 40 m por tanto,

Si las ruedas no se bloquean, sta ser tambin la aceleracin lineal del movimiento circular descrito por un punto de su superficie, ya que el movimiento de traslacin o de avance del coche es el desarrollo del movimiento de rotacin de las ruedas. El valor de la aceleracin angular correspondiente se podr calcular dividiendo el anterior valor por el del radio:

El clculo de a puede efectuarse de un modo alternativo convirtiendo inicialmente los datos en sus correspondientes cantidades angulares y utilizando despus las frmulas del movimiento circular. En tal caso:

La determinacin del tiempo que tarda en pararse puede calcularse a partir de la expresin

en donde a se ha de tomar con su signo, que es, en este caso, negativo:

El clculo del ngulodescrito por uno de sus radios se podr efectuar a partir de la frmula

es decir:

LA ACELERACIN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILNEOS En los movimientos curvilneos la direccin cambia con el tiempo. Eso significa que la velocidad considerada como vector v podr variar cuando vare slo su direccin, su mdulo o, en el caso ms general, cuando varen ambos. La aceleracin asociada a los cambios en direccin Desde un punto de vista Sectorial, un movimiento circular uniforme es un movimiento acelerado, aun cuando el mvil recorra la trayectoria a ritmo constante. La direccin del vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, va cambiando a lo largo del movimiento, y esta variacin dev que afecta slo a su direccin da lugar a una aceleracin. Cuando en un movimiento circular uniforme se determina grficamente el vector diferencia Dv, se advierte que est dirigido hacia el centro de la trayectoria. De acuerdo con la definicin del vector aceleracin a, la direccin de esta magnitud coincide con la direccin de la variacin del vector velocidad Dv. As que en el movimiento circular uniforme el vector aceleracin est dirigido en cada instante hacia el centro de la trayectoria segn la direccin del radio. Por este motivo, se le denomina aceleracin centrpeta ac, que significa dirigida hacia el centro y da idea de la rapidez con la que cambia la direccin del movimiento. Puede demostrarse que la aceleracin centrpeta aces tanto mayor cuanto ms rpido es el movimiento y cuanto ms cerrada es la curva trayectoria, siendo su expresin:

donde v es la rapidez o velocidad escalar y R el radio de la trayectoria circular. Esta componente del vector aceleracin, relacionada con los cambios en direccin del vector velocidad, est presente en todos los movimientos curvilneos, sean o no circulares. La aceleracin asociada a los cambios en mdulo Adems de variar en direccin, el vector v puede variar tambin en mdulo en los movimientos curvilneos. La aceleracin asociada a tal variacin recibe el nombre de aceleracin tangencial at, porque es tangente a la trayectoria. Es el nico tipo de aceleracin presente en los movimientos rectilneos y coincide en mdulo con

la aceleracin que se considera en el estudio puramente escalar del movimiento circular. La aceleracin total La aceleracin total en un movimiento curvilneo es, entonces, un vector que puede considerarse como la suma de dos componentes, Una, la aceleracin centrpeta ac, que es perpendicular a la trayectoria, y da idea de la rapidez con la que el mvil cambia de orientacin; la otra, la aceleracin tangencial ates tangente a la trayectoria y representa la rapidez con la que vara en mdulo el vector velocidad, Si la primera componente no es nula eso significa que el movimiento es curvilneo; si la segunda tampoco lo es quiere decir que no es uniforme. Anterior

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2006 La Pgina de JC

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UNIFORMEMENTE VARIADO

1. Una locomotora necesita 10 s. para alcanzar su velocidad normal que es 60 Km/h. Suponiendo que su movimiento es uniformemente acelerado Qu aceleracin se le ha comunicado y qu espacio ha recorrido antes de alcanzar la velocidad regular? 2. Un cuerpo posee una velocidad inicial de 12 m/s y una aceleracin de 2 m/s2 Cunto tiempo tardar en adquirir una velocidad de 144 Km/h? 3. Un mvil lleva una velocidad de 8 cm/s y recorre una trayectoria rectilnea con movimiento acelerado cuya aceleracin es igual a 2 cm/s2. Calcular el tiempo que ha tardado en recorrer 2,10 m. 4. Un motorista va a 72 Km/h y apretando el acelerador consigue al cabo de 1/3 de minuto, la velocidad de 90 Km/h. Calcular a) su aceleracin media. b) Espacio recorrido en ese tiempo. 5. En ocho segundos, un automvil que marcha con movimiento acelerado ha conseguido una velocidad de 72 m/s. Qu espacio deber recorrer para alcanzar una velocidad de 90 m/s? 6. Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 18 m. de longitud. La aceleracin del mvil es de 4 m/s2; calcular a) Tiempo que tarda el mvil en recorrer la rampa. b) velocidad que lleva al finalizar el recorrido inclinado. 7. Dos mviles se dirigen a su encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre s 180 Km. Si se encuentran a los 9 s de salir y los espacios recorridos por los mviles estn en relacin de 4 a 5, calcular sus aceleraciones respectivas. 8. Un avin despega de la pista de un aeropuerto, despus de recorrer 1000 m de la misma, con una velocidad de 120 Km/h. Calcular a) la aceleracin durante ese trayecto. b) El tiempo que ha tardado en despegar si parti del reposo c) La distancia recorrida en tierra en el ltimo segundo. 9. Un mvil se mueve con movimiento acelerado. En los segundos 2 y 3 los espacios recorridos son 90 y 100 m respectivamente. Calcular la velocidad inicial del mvil y su aceleracin. 10. Dos cuerpos A y B situados a 2 Km de distancia salen simultneamente uno en persecucin del otro con movimiento acelerado ambos, siendo la aceleracin del ms lento, el B, de 32 cm/s2. Deben encontrarse a 3,025 Km. de distancia del punto de partida del B. Calcular a) tiempo que tardan en encontrarse, b) aceleracin de A. c) Sus velocidades en el momento del encuentro.MOVIMIENTO DE CAIDA DE CUERPOS.

1. Una bombilla cae del techo de un tren que va a 40 Km/h. Calcular el tiempo que tarda en caer si el techo dista del suelo 4 metros.

2. Se suelta un cuerpo sin velocidad inicial. Al cabo de cunto tiempo su velocidad ser de 45 Km/h? 3. Desde lo alto de una torre se deja caer un cuerpo. A qu distancia del suelo tendr una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando choca contra el suelo? 4. Un cuerpo en cada libre pasa por un punto con una velocidad de 20 cm/s. Cul ser su velocidad cinco segundos despus y qu espacio habr recorrido en ese tiempo? 5. Desde la azotea de un rascacielos de 120 m. de altura se lanza una piedra con velocidad de 5 m/s, hacia abajo. Calcular : a) Tiempo que tarda en llegar al suelo, b) velocidad con que choca contra el suelo. 6. Una piedra cae libremente y pasa por delante de un observador situado a 300 m del suelo. A los dos segundos pasa por delante de otro que est a 200 m del suelo. Calcular : a) altura desde la que cae. b) velocidad con que choca contra el suelo. 7. Si queremos que un cuerpo suba 50 m. verticalmente. Con qu velocidad se deber lanzar? Cunto tiempo tardar en caer de nuevo a tierra? 8. Se dispara verticalmente un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 10 s. Hallar la velocidad con que se dispar y la altura alcanzada. 9. Lanzamos verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 900 Km/h. Calcular a) Tiempo que tarda en alcanzar 1 Km. de altura. b) Tiempo que tarda en alcanzar la altura mxima c)Altura alcanzada. 10. Del techo de un ascensor que dista 2 m del suelo, se desprende un tornillo en el momento mismo del arranque del ascensor que sube con una velocidad constante de 1 m/s. Calcular a) la distancia a la que estar el tornillo del suelo 0,5 s. despus de iniciada la subida. b) Tiempo que tardar en tocar el suelo. 11. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo; el 1 con una velocidad inicial de 50 m/s y el 2 con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular a) Tiempo que pasa hasta que los dos se encuentren a la misma altura. b) A qu altura suceder el encuentro. c) Velocidad de cada proyectil en ese momento.MOVIMIENTOS COMBINADOS.

1. Partiendo del reposo un mvil alcanza al cabo de 25 s. una velocidad de 100 m/s. En los 10 primeros s. llevaba un movimiento uniformemente acelerado y en los 15 s. restantes, un movimiento uniforme. Calcular el espacio total recorrido por dicho mvil.

2. Una canoa invierte 20 minutos para bajar cierto trayecto de un ro y 36 minutos para hacer el mismo recorrido en sentido contrario. Calcular las velocidades de la canoa en los dos casos si la longitud del recorrido ha sido 10,8 Km. 3. Un hombre deja caer una piedra en un pozo de una mina de 250 m. de profundidad. Calcular el tiempo que tardar en or el ruido de la piedra al chocar contra el fondo (velocidad del sonido 340 m/s ) 4. La velocidad de un remolcador respecto del agua de un ro es de 12 Km/h. La velocidad de la corriente es de 1.25 m/s. Calcular el tiempo que durar el viaje de ida y vuelta entre dos ciudades situadas a 33 Km. de distancia en la misma orilla del ro. 5. Dos mviles salen del mismo lugar en el mismo sentido : uno con velocidad constante de 30 m/s y el otro con aceleracin constante de 1,5 m/s2. Al cabo de cuanto tiempo volvern a estar juntos? qu recorrido habr hecho cada uno? 6. Se cruzan dos trenes en sentido contrario con velocidades de 60 Km/h el primer tren y desconocida la del segundo. Si tardan en cruzarse 6 segundos y la longitud del segundo tren es de 175 m. calcular la velocidad con que se mueve el segundo tren. 7. Dos ciclistas pasan por una carretera rectilnea con velocidad constante. Cuando van en el mismo sentido, el primero adelanta al segundo 150 m/min.; cuando van en sentidos contrarios, el uno se acerca a otro 350 m. cada veinte segundos. Hallar la velocidad de cada ciclista. 8. en el instante en que la seal luminosa de trfico se pone verde, un autobs que ha estado esperando, arranca con una aceleracin constante de 1,80 m/s2.En el mismo instante, un camin que viene con una velocidad constante de 9 m/s alcanza y pasa el autobs. Calcular: a) a qu distancia vuelve a alcanzarle el autobs al camin. b) Qu velocidad lleva en ese momento el autobs. 9. El maquinista de un tren que marcha a 72 Km/h observa que otro tren de 200 m de largo tarda en pasarle 4 segundos. Hallar: a) Velocidad del segundo tren si se mueven ambos en sentidos contrarios. b) Velocidad del segundo tren si se desplazan ambos en el mismo sentido.

GRFICAS DE MOVIMIENTOS.

1. Un peatn sale de A hacia B, situado a 20 km de distancia, a las 10 horas de la maana y va a 5 Km/h. Cuando ha andado una hora, descansa 20 minutos. Hallar la grfica de su movimiento y determinar la hora en que lleg al punto de destino.

2. Dado el diagrama de la figura nmero 1, calcular la velocidad del mvil en cada una de las fases del movimiento e interpretar el significado de la parte BC del diagrama.

Fig. 1

3. En la grfica de la figura 2, calcular el espacio total recorrido.

Fig. 2

4. Con los datos de la grfica 3, calcular la velocidad del mvil y el valor del espacio

inicial.

Fig. 3

5. Dada la grfica 4, calcular las diversas velocidades y el camino total recorrido por el mvil

6. Deducir del diagrama 5

a)Separacin entre los mviles A y B a las 9 de la maana. b)Tiempo de descanso de cada uno. c)Velocidad en la ida y en la vuelta de cada uno. d)Distancia que los separa a las dos de la tarde. e)Distancia que se encuentran del punto de partida a las 11 horas.

7. Un ciclista sale de una ciudad A a las 7 de la maana a 25 Km/h. en direccin a otra B que dista de la primera 185 Km. A las dos horas y media de marcha tiene una avera que le obliga a detenerse una hora y media. Sale despus a 35 Km/h sin variar la velocidad hasta llegar a la ciudad B. Calcular : a) A qu hora llegar? b) A qu distancia se encuentra de A a las doce del medio da. c) Qu hora era cuando se encontraba a 167,5 Km de la ciudad A. d) Qu hora era cuando estaba a 52,5 Km de B. Nota: resolver el ejercicio numrica y grficamente.

8. Dada la grfica de la figura 1, calcular las aceleraciones y el recorrido total efectuado por el mvil.

9. Un tren sale de la estacin A a las doce del medio da a 40 Km/h. en direccin a otra ciudad B. Otro tren sale de B a las tres de la tarde a 60 Km/h con direccin a la ciudad A. Si la distancia entre ambas ciudades es de 420 Km, calcular :a) A qu hora y en qu punto se cruzan, b) A qu hora distarn 250 Km. c) Qu distancia les separa a las 4,30 de la tarde.SOLUCIONES