Introduccin En el mundo que nos rodea existen muchos ejemplos de movimientos en rotacin, desde las molculas hasta las galaxias. El estudio de la rotacin puede simplificarse mediante analogas que existen entre el movimiento lineal y el movimiento de rotacin. Algunos sistemas que giran con respecto un eje, lo hacen de tal forma que la distancia entre dos partculas cualesquiera, que forman parte del mismo, no se modifica. Un sistema de este tipo se denomina cuerpo rgido.

Cinemtica rotacionalLa cinemtica describe el comportamiento de los objetos sin importar sus causas. Emplea variables como: tiempo, posicin, desplazamiento, velocidad y aceleracin. Cuando los objetos se mueven en trayectorias circulares, su posicin en funcin del tiempo puede ser definida utilizando el ngulo medido a partir del eje x positivo, en sentido antihorario.

Las cantidades de la cinemtica para un movimiento circular, estn dadas por:

Desplazamiento angular: = f- i, es medido en radianes. Se puede calcular como la integral w dt.Velocidad angular(w): dq/dt . Si la velocidad angular es constante se calcula como = 2 pi/T, done T es el periodo medido en segundos. Su unidad es rad/s. Tambin se puede calcular como la integral a dt.Rapidez(vs): vs= R. Su unidad es m/s.Aceleracin angular(): = d/dt. Su unidad es rad/s2.Aceleracin tangencial(aT): aT= R. Su unidad es m/s2.Aceleracin radial(ar): ar= V2/ R. Su unidad es m/s2.

Otras definiciones importantes: Periodo( T): Tiempo que tarda en dar una vuelta un objeto. SE mide en segundos. Frecuencia(f): Nmero de vueltas que realiza el objeto en un segundo. e mide en Hertz (Hz)

Ejercicios:a) La posicin angular de un objeto que se mueve en una pista circular es dada por = 3t +2 rad. Determine la velocidad angular con que gira el objeto y su aceleracin angular.

Solucin:

= d/dt = 3 rad/s R/ La velocidad angular es de 3 rad/s.

= d/d t = 0 R/ La aceleracin angular es 0 rad/s2.

b) Un disco gira tal que la posicin de una marca en su interior gira con = 20 rad/s. Determine, cuantas vueltas dar en un minuto.

Solucin:

= dt = 20 * 60 = 120 rad

No. vueltas = 120/ pi = 38.2 vueltas

R/ En un minuto dar 38.2 vueltasEnerga cintica rotacionalLa energa rotacionales laenerga cinticade uncuerpo rgido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energa depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras ms alejada este la masa del cuerpo respecto al eje de rotacin, se necesitara ms energa para que el cuerpo adquiera una velocidad angular.Esto puede ser ilustrado por el siguiente experimento: dos esferas de idntica masa y radio se colocan sobre un plano inclinado. Una de las esferas esta hecha de un material ligero, como el plstico. Esta esfera es maciza y slida. La otra esfera, en cambio, es hueca y esta hecha de un material ms denso que el plstico. La esfera hueca rodar ms lentamente, ya que toda su masa se acumula en una delgada capa, que est a una cierta distancia del eje de rotacin. La esfera maciza se mover ms rpidamente, ya que porcentualmente sus partculas se encuentran ms cerca del eje de rotacin y por lo tanto se movern ms lentamente, puesto que stas describen una trayectoria ms corta que las partculas de la superficie de la esfera.La energa rotacional es, entre otras cosas, de gran importancia para:turbinas,generadores,neumticosyruedas,ejes,hlices.Momento de inerciaUn cuerpo que rota en torno al eje x con velocidad angularposee la energa rotacional:

Donde: :Momento de inerciadel cuerpo en torno al eje x. :Velocidad angular

En general, esto se puede expresar como:

Donde: :Tensor de inercia :Velocidad angular

Para calcular la energa de un cuerpo que rota en torno a un eje arbitrario (vector unitario), la velocidad angular se expresar por sus componentes vectoriales: donde en el cual los componentes de n que representa los componentes de la direccin del eje de x,y y z. La energa de rotacin es ahora:

Aqu esel momento de inercia respecto a un eje arbitrario

EjemploUn cuerpo que gira alrededor de la diagonal formada por su superficie xy tiene la siguiente velocidad angular: mit En consecuencia, el momento de inercia respecto a este eje:

Ahora uno obtiene la energa rotacional:

Momento angularLa energa rotacional se puede expresar a travs delmomento angular: donde Cabe sealar que, en general, el momento angular y la velocidad angular no son paralelas entre s (excepto en la rotacin alrededor de uneje principal de inercia).FUNDAMENTOConsideremos un movimiento circular uniformemente variado cuya aceleracin angular tiene el valor . Puede establecerse la relacin entre , la velocidad angular y el espacio angular recorrido a partir de la definicin de :

Si en el instante que tomamos como = 0 la velocidad angular es 0, la integracin de la ecuacin anterior conduce a la relacin cinemtica entre , , y (ecuacin [1]).

[1]

PARTE EXPERIMENTAL:ESTUDIO DE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE DECELERADO.De acuerdo con la ecuacin [1] si se mide la velocidad angular correspondiente a diferentes ngulos recorridos en un movimiento angular uniformemente decelerado debe obtenerse la siguiente relacin:

[2]donde la aceleracin angular es -.

El sistema experimental a utilizar es un disco de radio R que puede girar con poco rozamiento en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro y una puerta fotoelctrica conectada en modo de interrupcin que puede medir los intervalos de tiempo en que el haz resulta obstruido por un obstculo que pasa a travs del mismo. ABeC

R

En la figura 1 se presenta un esquema de este sistema experimental. El disco A lleva unida

Figura 1. Esquema experimental

una lengeta B de anchura e que sobresale un poco del borde, de modo que la lengeta interrumpe el haz de la puerta fotoelctrica C una vez en cada vuelta durante un tiempo muy corto, del orden de centsimas de segundo. Lo denominaremos tiempo de interrupcin t. Evidentemente el tiempo de interrupcin se va haciendo mayor en sucesivas vueltas, ya que el disco gira cada vez ms despacio.Aunque es cierto que una vez que el disco se pone en marcha el rozamiento produce un movimiento angular uniformemente decelerado, al ser tan corto el tiempo de interrupcin t podemos hacer una muy buena aproximacin suponiendo que durante la interrupcin del haz fotoelctrico la velocidad lineal del borde del disco es constante, y su valor est dado por

donde e es la anchura de la lengeta. Esto nos permite aproximar la velocidad angular instantnea como

[3a]En esta ecuacin R es la distancia desde el centro del disco hasta el haz fotoelctrico; pero se ha supuesto que dicho haz est muy pegado al borde y por tanto la distancia es igual al radio del disco. En caso de que la lengeta fuese de longitud apreciable y se separase mucho del mismo habra que tener en cuenta la longitud extra correspondiente.Por otra parte, cada vez que el disco da una vuelta, el ngulo descrito por la lengeta (tomada como referencia) se incrementa en 2 radianes, de modo que cuando ha dado n vueltas contadas a partir de la vuelta inicial tomada como origen de medida de ngulos el ngulo es:

[3b]Introduciendo en la ecuacin [2] los valores de y de dados respectivamente por [3a] y [3b] tenemos la siguiente relacin entre los tiempos de interrupcin y el nmero de vueltas:

Esta ecuacin puede reordenarse para dejar los tiempos de interrupcin en el primer miembro:

[4]

Esta es una ecuacin de la forma , donde , y la ordenada en el origen y la pendiente son respectivamente

Por lo tanto, si representamos grficamente los inversos de los cuadrados de los tiempos de interrupcin frente al nmero de vueltas n, debe obtenerse una recta de pendiente negativa; midiendo en la grfica los valores de A y B podremos obtener la velocidad angular inicial y la aceleracin angular del movimiento circular uniformemente decelerado.

[5a][5b]Observaciones sobre el uso de la puerta fotoelctrica.La puerta debe alimentarse con tensin continua de 5 V y ponerse en modo interrupcin, de modo que mida los intervalos en que el haz est interrumpido mientras la lengeta pasa a su travs. Este procedimiento nos permite leer los valores acumulados de los tiempos de interrupcin. Por ejemplo, si en la primera vuelta la lengeta invierte 20 ms en pasar por el haz y en la segunda invierte 21 ms, al trmino de la primera vuelta el contador de la puerta indicar 20 y al trmino de la segunda indicar 41.

MEDIDAS1. Se iniciar el movimiento de giro haciendo manualmente un par de fuerzas sobre dos puntos opuestos de un dimetro del disco. Debe cuidarse que el movimiento sea suave y el disco no se bambolee.Cuando el movimiento de giro se vea estable, se aproximar con cuidado la puerta fotoelctrica al borde y se empezar a tomar medidas cuando la lengeta atraviese el haz por primera vez. Deben tomarse medidas hasta que el sistema se detenga. Adems, en el momento en que la lengeta pase por primera vez por el haz, se pondr en marcha un cronmetro, que habr de detenerse cuando el disco se pare. Anote el tiempo tC registrado por el cronmetro.2. Colquese el soporte inferior del disco en una posicin diferente (mas arriba o ms abajo respecto al ensayo anterior) con objeto de variar el rozamiento del disco con el eje y reptanse la medidas igual que se ha indicado en el prrafo precedente.TRATAMIENTO DE DATOS1. Represente grficamente frente a n para los dos casos anteriores, y obtenga las pendientes y las ordenadas en el origen a partir de las grficas. Estime los errores correspondientes.2. Determine la velocidad angular inicial y la aceleracin angular del movimiento.3. Explique de qu modo puede utilizarse el tiempo tC medido con el cronmetro para verificar los valores obtenidos con el tratamiento anterior.

EJEMPLO (Slo toma de datos y representacin grfica)Vueltasmst (s)1/t2 (s-2)

0290,0291189,1

1590,0301111,1

2910,032976,6

31250,034865,1

41610,036771,6

51990,038692,5

62410,042566,9

72860,045493,8

83370,051384,5

93950,058297,3

104670,072192,9

115690,10296,1