cilindro 1
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CILINDRO
1. Definición:
En geometría:
Es una superficie formada por los puntos situados a una distancia fija de una línea
recta dada, el eje del cilindro. Como superficie de revolución, se obtiene mediante el
giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución.
El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje
también se llamado cilindro.
También podría ser considerado como un prisma recto de infinito número de caras
laterales.
En geometría diferencial:
Un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada
por una familia uniparametrica de líneas paralelas.
2. Clasificación:
Un cilindro puede ser:
cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases;
cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases;
cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360° grados.
3. Superficies cilíndricas
Son las superficies que se generan a partir de una curva que se mueve en el
espacio, siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la gráfica
de una superficie de este tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la
dirección de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza
que va dejando. En la figura 1, la curva generatriz es una parábola y como directriz
se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En el software para este ejemplo, se puede cambiar la
curva y la trayectoria u.
Figura 1.
Podemos decir:
Sea una curva sobre un plano llamada directriz y sea una
recta no paralela al plano , llamada generatriz. Entonces el
conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a que
intersecan a es un cilindro
Observación:
- Esta definición es una generalización del conocido cilindro circular recto donde,
por ejemplo, la generatriz es x2+ y2=1 que esta sobre el plano xy y la directriz es
paralela al eje .cilindros cuyas curvas generatrices están sobre planos paralelos a
los planos coordenados y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes
coordenados Un cilindro circular recto tiene como generatriz un círculo y como recta
directriz una recta paralela a uno de los ejes coordenados.
- Cuando la directriz es una recta que no es paralela a alguno de los ejes
coordenados el cilindro generado se conoce como oblicuo.
Además las superficies cilíndricas pueden ser:
superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de
un eje, paralelo a ella,
superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de
las generatrices.
4. Desarrollo de la superficie cilíndrica
Fig. 2 muestra en forma didáctica
como se podría obtener un cilindro en
3 D.
La superficie de un cilindro circular recto está conformada por el área de la
base, circular en este caso:
Pero como este cilindro tiene 2 bases se multiplica por 2, siendo el área total de las
bases:
Además, el área lateral está formada por un rectángulo de altura y de largo
del perímetro del círculo , por lo que el área lateral es:
Por lo tanto, el área total es:
5. Volumen del cilindro
El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por la altura del
cilindro .
El volumen de un cilindro de base circular, es:
Siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases. z
6. Cilindro: superficie cónica
Las secciones cónicas son de tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas, que
sirviendo de directrices, originan tres tipos de superficies cilíndricas:
Cilindro elíptico
Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica
elíptica (que incluye a los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son
iguales).
En un sistema ortogonal de coordenadas, tomando como eje z una recta cuya
dirección es paralela a la generatriz, si se escoge como origen el centro de simetría,
la ecuación de la superficie cilíndrica es similar a la de la superficie cónica
correspondiente.
La ecuación de un cilindro elíptico es de la forma:
Dónde: a y b son los semiejes.
Cilindro parabólico
En similares condiciones, la ecuación de una superficie parabólica será de la forma:
Cilindro hiperbólico
En similares condiciones, la ecuación de un superficie hiperbólica es de la forma:
7. Algunos ejemplos
EJEMPLO. Sea la curva plana
x2+Y 2=16
un círculo de radio 4 con centro en el origen. Esta genera en el espacio la superficie
cilindrica 5 definida por la misma ecuación, quedando libre la variable z.
Figura 3: Cilindro circular recto.
Se llama cilindro circular recto de radio 2 con centro en el origen y con directriz al
eje z (véase figura 3).
EJEMPLO. Sea la curva sinusoidal
y = senx,
Figura 4: Cilindro sinusoidal.
x £ [—7T, TT]. Tal curva genera la superficie cilíndrica en la misma ecuación,
siendo z libre. Se llama cilindro sinusoidal con directriz al eje z. La figura 4. ilustra
a esta superficie.
.
EJEMPLO. Sea 7 la gráfica de la función z = ey en el plano R~ y. Esta curva genera
la superficie cilíndrica.
z - ey = 0
con la variable x libre.
Se llama cilindro exponencial con directriz el eje x (véase la figura 5).
Fig.5 cilindro exponencial