certamen 1 fis130 (pauta) - wordpress.com · certamen 1 fis130 (pauta) 2do semestre 2014 movimiento...

Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Física

Física General III

1

Certamen 1 FIS130 (PAUTA)

2do Semestre 2014

Movimiento Oscilatorio, Ondas Mecánicas y Sonido

Problema 1

Considere el montaje que muestra la figura. La barra es homogénea, de largo 𝐿 y masa 𝑚, y puede girar sin

roce en torno al punto fijo de la pared vertical. La masa 𝑀 está suspendida desde el centro de la barra, mediante una

cuerda de masa despreciable. El recipiente está lleno con un líquido tal que al oscilar la masa 𝑀 sumergida en su

interior, ésta experimenta roce proporcional a la velocidad con constante de roce 𝑏. El resorte unido al extremo de

la barra tiene constante elástica 𝑘 y es de masa despreciable. No considere la fuerza de empuje del líquido.

a) Encuentre el estiramiento del resorte, tal que la barra se mantiene en equilibrio estático.

b) Encuentre la frecuencia para pequeñas oscilaciones amortiguadas del sistema en torno a la posición de

equilibrio.

c) ¿Qué condición deben cumplir 𝑏, 𝑘,𝑚y 𝑀, para que al desplazarlo del equilibrio el sistema no oscile?

SOLUCIÓN:

a) Se supondrá que la posición indeformada del resorte corresponde a cuando la barra se encuentra en su

posición horizontal, por lo que por efecto del peso de la barra y de la masa 𝑀, la posición de equilibrio se

encontrará bajo la línea de posición horizontal del sistema, tal como se muestra en la figura 1.a.

𝐿2

𝑀

𝑚

𝑘



Física General III

2

Donde: 𝑃 = (𝑀 +𝑚)𝑔. Peso del sistema.

𝐹𝑘 = 𝑘 ∙ ∆. Fuerza del resorte.

𝜃𝑠𝑡 = Ángulo de posición de equilibrio.

Luego haciendo sumatoria de Torque en el pivote o punto 𝑂 se tiene:

↻∑𝜏𝑜 = 𝑃 ⋅𝐿

2⋅ cos(𝜃𝑠𝑡) − 𝐹𝑘 ⋅ 𝐿 ⋅ cos(𝜃𝑠𝑡) = 0

(𝑀 +𝑚)𝑔 ⋅𝐿

2⋅ cos(𝜃𝑠𝑡) − 𝑘 ∙ ∆ ⋅ 𝐿 ⋅ cos(𝜃𝑠𝑡) = 0

Si 𝜃𝑠𝑡 ≈ 0, entonces cos(𝜃𝑠𝑡) ≈ 1 y como ∆ = 𝐿 ⋅ sin(𝜃𝑠𝑡) ≈ 𝐿 ⋅ 𝜃𝑠𝑡, por lo que reemplazando estas

aproximaciones en la ecuación anterior:

(𝑀 +𝑚)𝑔 ⋅𝐿

2− 𝑘 ⋅ 𝐿2 ⋅ 𝜃𝑠𝑡 = 0

𝑘 ⋅ 𝐿 ⋅ 𝜃𝑠𝑡 = (𝑀 +𝑚)𝑔 ⋅𝐿

2

⟹ 𝜃𝑠𝑡 =(𝑀 +𝑚)𝑔

2𝐿𝑘

Por lo que la deformación del resorte ∆ será:

∆=(𝑀 +𝑚)𝑔

2𝑘

b) La siguiente figura 1.b.1 y 1.b.2 se muestran el diagrama de cuerpo libre de la barra y de la masa 𝑀,

respectivamente, fuera de la posición de equilibrio anterior y suponiendo que la barra se encuentra bajando

(�̇�(𝑡) > 0), además se supondrá que el cable que une la barra con la masa 𝑀 siempre permanece tensionado

(no se dobla).

𝐿2

𝐿2

𝑃

𝐹𝑘

𝐿2

𝜃𝑠𝑡

Figura 1.a: Diagrama de Cuerpo Libre en caso estático

∆

𝑂



Física General III

3

Donde: 𝜃 = Ángulo medido desde la posición de equilibrio del sistema.

𝑃𝑚 = Peso de la barra.

𝐹𝑘 = 𝑘 ⋅ (∆ + 𝛿). Fuerza de resorte.

𝑇 = Tensión del cable

Donde: 𝐹𝑎 = 𝑏 ⋅ �̇�. Fuerza de amortiguamiento causada por el líquido viscoso.

𝑃𝑀 = Peso de la masa 𝑀.

El valor de la tensión del cable 𝑇 se obtiene de la figura 1.b.2 haciendo sumatoria de fuerzas en el eje 𝑦:

∑𝐹𝑦 = 𝑇 + 𝐹𝑎 − 𝑃𝑀 = −𝑚�̈�

𝑇 + 𝑏�̇� − 𝑀𝑔 = −𝑚�̈�

Pero 𝑦 =𝐿

2⋅ sin(𝜃 + 𝜃𝑠𝑡), pero como 𝜃 ≈ 0 y 𝜃𝑠𝑡 ≈ 0, entonces (𝜃 + 𝜃𝑠𝑡) ≈ 0, por lo que

sin(𝜃 + 𝜃𝑠𝑡) ≈ (𝜃 + 𝜃𝑠𝑡), entonces:

�̇� =𝐿

2�̇� ⟹ �̈� =

𝐿

2�̈�

𝐿2 𝜃𝑠𝑡

𝐿2

𝐹𝑘

𝐿2

𝜃𝑠𝑡

Figura 1.b.1: Diagrama de Cuerpo Libre en caso dinámico de la barra.

∆

𝑂

𝜃

𝑇

𝛿

𝑃𝑚

𝑃𝑀

𝐹𝑎 𝑇 𝑦

Figura 1.b.2: Diagrama de Cuerpo Libre en caso dinámico de la masa 𝑀.



Física General III

4

Por lo que la sumatoria de fuerzas anterior queda:

𝑇 + 𝑏𝐿

2�̇� − 𝑀𝑔 = −𝑀

𝐿

2�̈� ⟹ 𝑇 = −𝑏

𝐿

2�̇� + 𝑀𝑔 −𝑀

𝐿

2�̈�

Para poder encontrar la frecuencia del sistema, se debe llegar a la ecuación diferencial del movimiento, la

cual se obtiene haciendo sumatoria de Torque en 𝑂 en la barra:

↻∑𝜏𝑜 = (𝑃𝑚 − 𝑇) ⋅𝐿

2⋅ cos(𝜃𝑠𝑡 + 𝜃) − 𝐹𝑘 ⋅ 𝐿 ⋅ cos(𝜃𝑠𝑡 + 𝜃) = 𝐼𝑂 ⋅ �̈�

Y como (𝜃 + 𝜃𝑠𝑡) ≈ 0, entonces cos(𝜃 + 𝜃𝑠𝑡) ≈ 1 y (∆ + 𝛿) = 𝐿 ⋅ (𝜃 + 𝜃𝑠𝑡), por lo que reemplazando 𝑇

y estas aproximaciones en la ecuación anterior:

(𝑃𝑚 + 𝑇) ⋅𝐿

2− 𝑘 ⋅ 𝐿2 ⋅ (𝜃 + 𝜃𝑠𝑡) = 𝐼𝑂 ⋅ �̈�

𝑚𝑔 ⋅𝐿

2+ (−𝑏

𝐿

2�̇� + 𝑀𝑔 −𝑚

𝐿

2�̈�) ⋅

𝐿

2− 𝑘 ⋅ 𝐿2 ⋅ (𝜃 +

(𝑀 +𝑚)𝑔

2𝐿𝑘) = 𝐼𝑂 ⋅ �̈�

(𝐼𝑂 +1

4𝑀𝐿2) �̈� +

1

4𝑏𝐿2�̇� + 𝑘𝐿2𝜃 = 0

Por otro lado la inercia de la barra con respecto a su centro de masa es:

𝐼𝑐𝑚 =1

12𝑚𝐿2

Y aplicando el teorema de Steiner se obtiene la inercia de la barra con respecto a 𝑂:

𝐼𝑂 = 𝐼𝑐𝑚 +𝑚(𝐿

2)2

=1

3𝑚𝐿2

Entonces reemplazando el valor de inercia en la última ecuación y despejando �̈� se obtiene la ecuación

diferencial del movimiento:

�̈� +3𝑏

4𝑚 + 3𝑀�̇� +

12𝑘

4𝑚 + 3𝑀𝜃 = 0

La ecuación anterior presenta la forma:

�̈� +𝑏𝑒𝑞

𝑚𝑟�̇� +

𝑘𝑒𝑞

𝑚𝑟𝑥 = 0

Donde 𝑏𝑒𝑞 y 𝑘𝑒𝑞 son amortiguamiento y rigidez del resorte representativos respectivamente y 𝑚𝑟 es una

masa representativa. De esta expresión equivalente se rescata los términos de frecuencia angular natural del

sistema (𝜔𝑛) y frecuencia angular amortiguadora (𝛾).

𝛾 =𝑏𝑒𝑞2𝑚𝑟

𝜔𝑛2 =

𝑘𝑒𝑞𝑚𝑟



Física General III

5

Luego el sistema solo oscilará si 𝜔𝑛2 > 𝛾2, con una frecuencia angular igual a:

𝜔 = √𝜔𝑛2 − 𝛾2

Entonces bajo este supuesto y comparando los últimos términos con la ecuación diferencial del movimiento

se llega a:

𝑏𝑒𝑞

𝑚𝑟=

3𝑏

4𝑚 + 3𝑀 ⟹ 𝛾 =

𝑏𝑒𝑞

2𝑚𝑟=

3𝑏

8𝑚 + 6𝑀

𝜔𝑛2 =

𝑘𝑒𝑞𝑚𝑟

=12𝑘

4𝑚 + 3𝑀

Por lo que la frecuencia angular del sistema será:

𝜔 = √12𝑘

4𝑚 + 3𝑀− (

3𝑏

8𝑚 + 6𝑀)2

c) Para que el sistema no oscile, se debe tener que el amortiguamiento 𝑏 aplicado al sistema debe ser superior

al valor crítico, es decir, el amortiguamiento debe ser capaz de que una vez aplicado las condiciones

iniciales del movimiento, de frenar la barra antes de que se genere una oscilación. Dicha situación ocurre

cuando la frecuencia angular amortiguada al cuadrado (𝛾2) es igual o superior a la frecuencia angular

natural del sistema al cuadrado (𝜔𝑛2).

𝜔𝑛2 ≤ 𝛾2

12𝑘

4𝑚 + 3𝑀≤ (

3𝑏

8𝑚 + 6𝑀)2

12𝑘

4𝑚 + 3𝑀≤ (

3𝑏

2(4𝑚 + 3𝑀))2

48𝑘

9(4𝑚 + 3𝑀) ≤ 𝑏2

⟹ 𝑏 ≥4

3√12𝑚 + 9𝑀



Física General III

6

Problema 2

La figura muestra dos cuerdas unidas de diferente densidad lineal en 𝑡 = 0. Posteriormente la masa 𝑀 es

levemente empujada hacia arriba una distancia 𝐴𝑗 por lo que empieza a oscilar con una frecuencia 𝜔1. La oscilación

de masa 𝑀 genera una onda que empieza a viajar hacia la derecha por la primera cuerda con velocidad 𝑣1. Las

cuerdas están sometidas a la misma tensión 𝑇.

a) Encuentre la ecuación de onda incidente que viaja por la cuerda 1, en función de los datos dados. Considere:

𝐴𝑖 = 0.075 [𝑚], 𝜔1 = 2 [𝐻𝑧], 𝑇 = 144 [𝑁], µ1 = 9 [𝐾𝑔

𝑚] , µ2 = 4[𝐾𝑔/𝑚], 𝐿 = 2 [𝑚]

b) Encuentre la amplitud de la onda reflejada y transmitida cuando la onda cambia de medio.

c) Indique el número de ondas que se pueden observar si toma una foto cuando hayan transcurrido 1.7 [𝑠]. No

es necesario escribirlas matemáticamente, solo nómbrelas.

SOLUCIÓN:

a) Puesto a que en 𝑡 = 0 las cuerdas se encuentran de forma horizontal, se tendrá que la ecuación de onda que

viaja por la cuerda 1 se puede describir como:

𝜓1 (𝑥, 𝑡) = 𝐴sin(𝜔𝑡 − 𝑘1𝑥)

Se sabe que el factor 𝑘 es igual a:

𝑘 = 2𝜋

𝜆

Por otro lado la velocidad de propagación de una onda es:

𝑣 = 𝜆𝑓 ⟹ 𝜆 = 𝑣

𝑓

Además, la velocidad de propagación de la onda en una cuerda también puede ser expresada como:

𝑣 = √𝑇

𝜇1= √

144 [𝑁]

9 [𝐾𝑔𝑚 ]

= 4 [𝑚

𝑠]

𝑀

Cuerda 1, µ1 Cuerda 2, µ2

2𝐿 𝐿



Física General III

7

Luego la frecuencia 𝑓 se obtiene de la frecuencia angular 𝜔 que será exactamente igual a la que oscila la

masa 𝑀 (𝜔 = 𝜔1):

𝜔 = 2𝜋𝑓 ⟹ 𝑓 = 𝜔

2𝜋

Ocupando los datos dados y la velocidad de propagación calculada se tiene que:

𝑓 = 𝜔

2𝜋=2 [rad/s]

2𝜋=1

𝜋[𝐻𝑧] ⟹ 𝜆 =

4 [𝑚/𝑠]

1𝜋[𝐻𝑧]

= 4𝜋[𝑚] ⟹ 𝑘1 = 2𝜋

4𝜋[𝑚]=1

2[𝑚−1]

Finalmente:

𝜓1 (𝑥, 𝑡) = 0.075 [m] ⋅ sin (2 [rad/s] 𝑡 −1

2[𝑚−1]𝑥)

b) Para encontrar la amplitud de la onda reflejada y transmitida se modelarán dichas ondas como:

𝜓𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑖 sin(𝜔𝑡 − 𝑘1𝑥) ; 𝜓𝑟(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑟 sin(𝜔𝑡 + 𝑘1𝑥) ; 𝜓𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑡 sin(𝜔𝑡 − 𝑘2𝑥)

Donde 𝑥 = 0 es el punto de conexión de las cuerdas. En 𝑥 = 0 debe cumplirse:

𝜓𝑖(0, 𝑡) + 𝜓𝑟(0, 𝑡) = 𝜓𝑡(0, 𝑡) ; 𝜕𝜓𝑖(0, 𝑡)

𝜕𝑥+𝜓𝑟(0, 𝑡)

𝜕𝑥=𝜓𝑡(0, 𝑡)

𝜕𝑥

Es decir que la cuerda debe ser continua y suave (que no se quiebre) en el punto de unión, luego:

𝜕𝜓𝑖(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= −𝐴𝑖𝑘1 cos(𝜔𝑡 − 𝑘1𝑥)

𝜕𝜓𝑟(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝐴𝑟𝑘1 cos(𝜔𝑡 − 𝑘1𝑥)

𝜓𝑡(0, 𝑡)

𝜕𝑥= −𝐴𝑡𝑘2 cos(𝜔𝑡 − 𝑘2𝑥)

Entonces reemplazando en 𝑥 = 0

𝜓𝑖(0, 𝑡) = 𝐴𝑖 sin(𝜔𝑡) ; 𝜓𝑟(0, 𝑡) = 𝐴𝑟 sin(𝜔𝑡) ; 𝜓𝑡(0, 𝑡) = 𝐴𝑡 sin(𝜔𝑡)

𝜕𝜓𝑖(0, 𝑡)

𝜕𝑥= −𝐴𝑖𝑘1 cos(𝜔𝑡) ,

𝜕𝜓𝑟(0, 𝑡)

𝜕𝑥= 𝐴𝑟𝑘1 cos(𝜔𝑡) ,

𝜓𝑡(0, 𝑡)

𝜕𝑥= −𝐴𝑡𝑘2 cos(𝜔𝑡)

Por lo que, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

{𝐴𝑖 sin(𝜔𝑡) + 𝐴𝑟 sin(𝜔𝑡) = 𝐴𝑡 sin(𝜔𝑡)

−𝐴𝑖𝑘1 cos(𝜔𝑡) + 𝐴𝑟𝑘1 cos(𝜔𝑡) = −𝐴𝑡𝑘2 cos(𝜔𝑡)}



Física General III

8

{𝐴𝑖 + 𝐴𝑟 = 𝐴𝑡

−𝐴𝑖𝑘1 + 𝐴𝑟𝑘1 = −𝐴𝑡𝑘2}

Reemplazando la primera ecuación en la segunda:

−𝐴𝑖𝑘1 + 𝐴𝑟𝑘1 = −(𝐴𝑖 + 𝐴𝑟)𝑘2

𝐴𝑖(𝑘1 − 𝑘2) = 𝐴𝑟(𝑘1 + 𝑘2) ⟹ 𝐴𝑟 =𝑘1 − 𝑘2𝑘1 + 𝑘2

𝐴𝑖

Reemplazando esta última ecuación en 𝐴𝑖 + 𝐴𝑟 = 𝐴𝑡 se obtiene:

𝐴𝑖 +𝑘1 − 𝑘2𝑘1 + 𝑘2

𝐴𝑖 = 𝐴𝑡 ⟹ 𝐴𝑡 =2𝑘1

𝑘1 + 𝑘2

Por otro lado se tiene:

𝑣 = 𝜆𝑓 ⟹ 𝜆 =𝑣

𝑓

𝑘1 =2𝜋

𝜆1 ∧ 𝑘2 =

2𝜋

𝜆2

Luego:

𝑘1 =2𝜋𝑣1𝑓

=2𝜋𝑓

𝑣1 ∧ 𝑘2 =

2𝜋𝑣2𝑓

=2𝜋𝑓

𝑣2

Reemplazando las nuevas expresiones de 𝑘1 y 𝑘2 en las ecuaciones anteriores que definen 𝐴𝑟 y 𝐴𝑡 se

obtiene:

𝐴𝑡 =2𝑣2

𝑣1 + 𝑣2𝐴𝑖 𝐴𝑟 =

𝑣2 − 𝑣1𝑣1 + 𝑣2

𝐴𝑖

Luego, la velocidad en la cuerda 2 está determinada por la ecuación:

𝑣2 = √𝑇

𝜇2= √

144 [𝑁]

4 [𝐾𝑔𝑚 ]

= 6 [𝑚

𝑠]

Por lo que, ocupando la última relación encontrada para las amplitudes de las ondas transmitidas y reflejadas

se llega a:

𝐴𝑡 = 2 ⋅ 𝑣2𝑣1 + 𝑣2

𝐴𝑖 =2 ⋅ 6

4 + 6⋅ 0.075 [m] = 0.090[m]

𝐴𝑟 =𝑣2 − 𝑣1𝑣1 + 𝑣2

𝐴𝑖 =6 − 4

4 + 6⋅ 0.075 [m] = 0.015 [m]



Física General III

9

c) Las cantidades de ondas observadas en cada cuerda se determina a partir del tiempo en que tarda cada onda,

en cada cuerda respectivamente en ser formada.

Para saber si se forma la onda transmitida y reflejada en la cuerda 2 y 1 respectivamente, se debe calcular

el tiempo en que demora la onda incidente en llegar al punto de unión (𝑡1). La velocidad de propagación

de cualquier onda en la cuerda 1 es de 𝑣1 = 4 [𝑚

𝑠] por lo que si el largo de esta cuerda es 𝐿1 = 2𝐿 = 4[𝑚],

el tiempo 𝑡1 es:

𝑡1 = 4[𝑚]

4 [𝑚𝑠 ]

= 1 [𝑠]

Por lo que en la cuerda 1 se observaran 2 ondas, la incidente y la reflejada, hasta el momento. Ahora se

debe determina si la onda reflejada en la cuerda 1 alcanza (antes de los 1.7 [s] en llegar a la masa 𝑀). El

tiempo en que demora una onda en cruzar toda la cuerda 1 es de 1[𝑠] por lo que la onda reflejada no alcanza

a llegar a la masa 𝑀 no formándose así una nueva onda reflejada.

Luego se determina el tiempo en que tarda la onda transmitida en llegar a la pared (∆𝑡2), con el fin de

determinar si se forma o no una onda reflejada en la cuerda 2.

∆𝑡2 =2[𝑚]

6 [𝑚𝑠 ]

= 0.33[𝑠]

Luego el tiempo en que llega la onda a la pared es (𝑡2):

𝑡2 = 1.33[𝑠]

Como 𝑡2 < 1.7[𝑠] en la cuerda 2 se desarrollarán una onda transmitida y una onda reflejada de ésta última,

hasta el momento.

Por último se debe determinar si la onda reflejada en la cuerda 2 llega al nudo de unión produciéndose una

nueva onda reflejada en la cuerda 2 y una onda transmitida en la cuerda 1. El tiempo que demora ir la onda

reflejada inicial de la cuerda 2 desde la pared hacia el nudo es ∆𝑡2 = 0.33[𝑠], por lo que en tiempo

transcurrido desde que se produjo el pulso (𝑡3) es:

𝑡3 = 𝑡2 + ∆𝑡2 = 1.33[𝑠] + 0.33[𝑠] = 1.66[𝑠] < 1.7[𝑠]

𝑡3 < 1.7 [𝑠] por lo que en la cuerda 2 se formarán 1 onda transmitida y 2 reflejadas (una de la onda

transmitida y otra de la reflexión de ésta última onda) y en la cuerda 1 se observarán la onda incidente, la

reflejada de ésta última y una onda transmitida de la primera onda reflejada en la cuerda 2. En resumen:

Cuerda 1: 3 ondas.

Cuerda 2: 3 ondas.

La última onda reflejada en la cuerda 2 no alcanza a ser reflejada en la pared.



Física General III

10

Problema 3

Dos fuentes puntuales, 𝐴 y 𝐵, separadas una distancia a entre sí, emiten cada una onda con longitud de onda

λ, cuyas funciones de onda son respectivamente:

𝑦𝐴 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)

𝑦𝐵 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜋/4)

Suponga que existe un punto P, muy distante de 𝐴 y 𝐵, a distancia 𝑟𝐴 y 𝑟𝐵 respectivamente, en donde las ondas se

superponen. Determine una relación entre la longitud de onda y las distancias de las fuentes al punto P para que

exista interferencia: (a) Constructiva. (b) Destructiva.

Ayuda: 𝑠𝑒𝑛(𝑎) + 𝑠𝑒𝑛(𝑏) = 2𝑠𝑒𝑛((𝑎 + 𝑏)/2)𝑐𝑜𝑠((𝑎 − 𝑏)/2)

SOLUCIÓN:

En primer lugar deben definirse las ondas en función del tiempo y la posición.

Para la onda 𝐴 una partícula en 𝑥 = 0 oscilará con la función 𝑦𝐴 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡). Luego la perturbación viaja

desde 𝑥 = 0 a un punto a una distancia 𝑥 en un tiempo 𝑥

𝑣, por lo que el punto ubicado a una distancia 𝑥 recibirá la

perturbación que sintió el punto 𝑥 = 0 hace un tiempo 𝑥

𝑣, por lo que se tiene que la posición en función del tiempo

para el punto 𝑥 es:

Ψ𝐴(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin (𝜔 (𝑡 −𝑥

𝑣)) = 𝐴 sin (𝜔𝑡 −

𝜔𝑥

𝜆𝑓) = 𝐴 sin (𝜔𝑡 −

2𝜋𝑓𝑥

𝜆𝑓) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

Obteniéndose así la función de onda de propagación de la onda de la fuente 𝐴. Análogo se hace para la fuente 𝐵.

Ψ𝐵(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin (𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑥)

Luego al sumar Ψ𝐴 y Ψ𝐵, ocupando la identidad trigonométrica dada, se tiene:

Ψ𝐴(𝑟𝐴, 𝑡) + Ψ𝐵(𝑟𝐵 , 𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴) + 𝐴 sin (𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵) = 2𝐴 sin (𝜔𝑡 +

𝜋

8−𝑘

2(𝑟𝐴 + 𝑟𝐵)) cos (

𝑘

2(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −

𝜋

8)

a) Fase constructiva

MÉTDO 1:

Para que se produzca una fase constructiva, es decir, que en un tiempo 𝑡 dado se obtenga una amplitud de

2𝐴 se tiene que esto se produce cuando los ángulos que se encuentran dentro de cada función seno se

encuentran desfasados un valor 2𝑛𝜋, con 𝑛 = 1, 2, 3, … es decir:

Si 𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴 ≤ 𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵:

𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴 − (𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵) = 2𝑛𝜋

𝑘 ⋅ (𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −𝜋

4= 2𝑛𝜋



Física General III

11

2𝜋

𝜆(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −

𝜋

4= 2𝑛𝜋

⟹ (𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) = (𝑛 +1

8) 𝜆

Si 𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴 ≥ 𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵

(𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵) − (𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴) = 2𝑛𝜋

𝑘 ⋅ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) +𝜋

4= 2𝑛𝜋

2𝜋

𝜆(𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) +

𝜋

4= 2𝑛𝜋

⟹ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) = (𝑛 −1

8) 𝜆

MÉTDO 2:

Del resultado de la suma de ondas Ψ𝐴(𝑟𝐴, 𝑡) + Ψ𝐵(𝑟𝐵, 𝑡), se observa que existe una parte que queda

determinado tanto por el tiempo y otra no (funciones seno y coseno respectivamente). En los lugares en que

la función independiente del tiempo adopta sus valores extremos 1 y −1, la oscilación exhibe su mayor

amplitud 2𝐴 . Esto sucede cuando se cumple que el argumento de la función coseno satisface:

𝑘

2(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −

𝜋

8= 𝑛𝜋

Con 𝑛 = 1, 2, 3, … si (𝑘

2(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −

𝜋

8) > 0. Luego:

𝑘 ⋅ (𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −𝜋

4= 2𝑛𝜋

2𝜋


𝜋

4= 2𝑛𝜋

⟹ (𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) = (𝑛 +1

8) 𝜆

Si (𝑘

2(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −

𝜋

8) < 0, entonces se tiene:

𝑘

2(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −

𝜋

8= −𝑛𝜋

Con 𝑛 = 1, 2, 3, … Luego:

𝑘 ⋅ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) +𝜋

4= 2𝑛𝜋



Física General III

12

2𝜋


𝜋

4= 2𝑛𝜋

⟹ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) = (𝑛 −1

8) 𝜆

b) Para que exista interferencia destructiva se tiene que tener que para cualquier instante de tiempo:

Ψ𝐴(𝑟𝐴, 𝑡) + Ψ𝐵(𝑟𝐵 , 𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴) + 𝐴 sin (𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵) = 2𝐴 sin (𝜔𝑡 +

𝜋

8−𝑘

2(𝑟𝐴 + 𝑟𝐵)) cos (

𝑘

2(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −

𝜋

8)

MÉTODO 1:

Dicho efecto se produce cuando los ángulos que se encuentran dentro de cada función seno se encuentran

desfasados un valor (2𝑛 − 1)𝜋, con 𝑛 = 1, 2, 3, … es decir:

Si 𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴 ≤ 𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵:

𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴 − (𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵) = (2𝑛 − 1)𝜋

𝑘 ⋅ (𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −𝜋

4= (2𝑛 − 1)𝜋

2𝜋


𝜋

4= (2𝑛 − 1)𝜋

⟹ (𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) = ((2𝑛 − 1)

2+1

4) 𝜆

Si 𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴 ≥ 𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵

(𝜔𝑡 +𝜋

4− 𝑘𝑟𝐵) − (𝜔𝑡 − 𝑘𝑟𝐴) = (2𝑛 − 1)𝜋

𝑘 ⋅ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) +𝜋

4= (2𝑛 − 1)𝜋

2𝜋


𝜋

4= (2𝑛 − 1)𝜋

⟹ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) = ((2𝑛 − 1)

2−1

4) 𝜆

MÉTODO 2:

Del resultado de la suma de ondas Ψ𝐴(𝑟𝐴, 𝑡) + Ψ𝐵(𝑟𝐵, 𝑡), se tiene que la función coseno,

dependiente solo de la posición, anulará la suma si:

𝑘

2(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −

𝜋

8=(2𝑛 − 1)𝜋

2

𝑘 ⋅ (𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) −𝜋

4= (2𝑛 − 1)𝜋



Física General III

13

2𝜋


𝜋

4= (2𝑛 − 1)𝜋

⟹ (𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) = ((2𝑛 − 1)

2+1

4) 𝜆

Esto es válido si 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴 > 0, si 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴 < 0 se tiene:

𝑘

2(𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) −

𝜋

8=(2𝑛 − 1)𝜋

2

𝑘 ⋅ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) +𝜋

4= (2𝑛 − 1)𝜋

2𝜋


𝜋

4= (2𝑛 − 1)𝜋

⟹ (𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) = ((2𝑛 − 1)

2−1

4) 𝜆



Física General III

14

Problema 4

El automóvil A posee en su parte delantera un radar anticolisión que le permite advertir, cuando las condiciones

de visibilidad son pésimas, la presencia de otros vehículos que están delante de él.

El conductor del automóvil 𝐴, que se mueve con velocidad de 108 [𝐾𝑚/ℎ], acciona el radar emitiendo una señal

de 20 [𝐺ℎ𝑧], la cual regresa al cabo de 0.20 [𝜇𝑠] aumentada en 2,66 [𝐾𝐻𝑧]. La velocidad del sonido en el aire es

de 340 [𝑚/𝑠].

a) Calcule la velocidad 𝑢 del móvil 𝐵.

b) Determine el tiempo disponible por el conductor del móvil 𝐴 para realizar las maniobras que le permitirán

evitar la colisión con el automóvil 𝐵. Justifique su respuesta.

SOLUCIÓN:

a) Cuando el móvil 𝐴 envía el sonido hacia el móvil 𝐵, éste último se convierte en un receptor, el cual captará

una frecuencia igual a (según la ecuación de efecto Doppler):

𝑓𝐵 =𝑣 − 𝑢

𝑣 − 𝑣𝐴𝑓𝑒

Donde 𝑣 la rapidez de la señal, 𝑣𝐴 la velocidad del móvil 𝐴 y 𝑓𝑒 la frecuencia de la señal emitida.

Por otro lado el móvil 𝐴 recibe como eco la señal que envió con una frecuencia 𝑓1igual a:

𝑓𝐴 = 𝑣 + 𝑣𝐴𝑣 + 𝑢

𝑓𝐵 =𝑣 + 𝑣𝐴𝑣 + 𝑢

⋅𝑣 − 𝑢

𝑣 − 𝑣𝐴𝑓𝑒

Donde 𝑓𝐴 = 𝑓𝑒 + 2.66[𝐾𝐻𝑧] = 20000002660 [𝐻𝑧] y 𝑣𝐴 = 108 [𝑘𝑚

ℎ] = 30 [

𝑚

𝑠]

Luego se tiene:

𝑢 = 𝑣2𝑓𝑒 + 𝑣𝐴𝑣𝑓𝑒 − 𝑣2𝑓𝐴 + 𝑣𝑣𝐴𝑓𝐴(𝑣 − 𝑣𝐴)𝑓𝐴 + (𝑣 + 𝑣𝐴)𝑓𝑒

= 30 [𝑚

𝑠] = 108 [

𝑘𝑚

ℎ]

b) Si el conductor 𝐴 mantiene su velocidada al igual que el conductor 𝐵 estos nunca se encontrarán y

mantendrán constante la distancia que los separa, puesto a que ambos presentan la misma velocidad.

𝑚ó𝑣𝑖𝑙 𝐵 𝑚ó𝑣𝑖𝑙 𝐴

𝑢



Física General III

15

certamen 1 fis130 (pauta) - wordpress.com · certamen 1 fis130 (pauta) 2do semestre 2014 movimiento...

Documents