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UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Certamen 1 Fis130 (PAUTA) Física General III (FIS130)

Movimiento Oscilatorio, Ondas Mecánicas y Sonido

Pregunta 1

Considere un péndulo formada por una masa de , unida a una cuerda de largo ( ) y masa

despreciable, que se sostiene estático a de la vertical. Al ponerse en movimiento la masa de aire ejerce una

fuerza directamente proporcional a la velocidad de ésta, con coeficiente de proporcionalidad

a) Encuentre la función que representa el movimiento de la masa.

b) Encuentre el tiempo que debe transcurrir para que la amplitud de oscilación disminuya a un del valor

inicial.

c) Grafique la función en función del tiempo.

SOLUCIÓN:

a) Diagrama de cuerpo libre de la masa del péndulo

En el diagrama la masa se encuentra con un movimiento en

dirección del ángulo en crecimiento . En él se muestran las fuerzas

de tensión , la del peso y la fuerza que proporciona la masa de

aire a la masa , donde es la rapidez tangencial de la masa. La

fuerza del aire actúa como fuerza amortiguadora del movimiento.

Consideremos los ejes (tangente al movimiento) e (perpendicular

al movimiento), luego:

∑

Donde es la aceleración tangencial del movimiento circular de la

masa. Expresando y en función del ángulo en la ecuación se tiene:

Como , entonces , por lo tanto:

Despejando se tiene la Ecuación diferencial del movimiento:

𝜃

𝑂

𝑚𝑔

𝐿

𝑏 𝑣𝑡

𝐹

𝑥 𝑦

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MÉTODO 1:

La ecuación diferencial del movimiento es del tipo homogénea. Luego se factoriza esta ecuación por un

operador diferencia :

(

)

Como se tiene que las soluciones se encuentran en el paréntesis. Por lo tanto se tiene que las

soluciones son:

√

√(

)

Llamemos:

Se debe observar el valor que se tiene dentro del discriminante para poder determinar la solución final.

Reemplazando los valores :

Entonces:

√ √

Por lo cual se está frente de un movimiento armónico amortiguado. Entonces se tiene que la solución de la

ecuación diferencial es:

* (√ ) (√ )+

Luego evaluando las condiciones iniciales se obtienen los valores de las constantes y . Inicialmente se

tiene que ⁄ , entonces:

⁄

Por otro lado el movimiento parte del reposo, esto quiere decir que . Luego:

* √ (√ ) √ (√ )+

* (√ ) (√ )+

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Entonces:

√

√

Reemplazando todos los valores encontrados se tiene que la ecuación de posición angular de la masa es:

⁄ * ⁄

⁄ +

MÉTODO 2:

Se observa que la ecuación diferencial del movimiento es de un movimiento Amortiguado. Ahora se verifica

que tipo de amortiguamiento es.

Llamemos

Reemplazando los valores :

Luego:

√ √

Por lo cual el movimiento que describe la partícula es un Movimiento Armónico Amortiguado, el cual se

describe mediante la siguiente función de posición angular:

Con

√

Para encontrar los valores de y de se debe evaluar la función en las condiciones iniciales:

Se tiene que

⁄

Entonces:

⁄

4



Luego:

⁄

Entonces:

(

) (

)

Reemplazando en la primera ecuación:

⁄

⁄

Entonces la función de posición angular es:

⁄ ⁄

b) La ecuación se puede expresar como una única ecuación cosenoidal:

⁄

Por lo cual la amplitud está dada por:

⁄

Luego se obtiene el tiempo de cuando la amplitud alcanza un de la amplitud inicial:

⁄ (

) ⁄

(

)

⁄

PUNTAJE:

a) Diagramas de Cuerpo Libre del péndulo Ecuación Diferencial del Movimiento

Ecuación de la posición angular

b) Tiempo en que demora la amplitud en disminuir a un

c) Gráfico de en función del tiempo.

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Pregunta 2

Un automóvil requiere el uso de un adecuado sistema de amortiguación. Un buen sistema de amortiguación es

aquel que no permite más de una oscilación con amplitud sobre el de la inicial, resultante de la pasada de una

rueda sobre alguna irregularidad del terreno. Considerando que hay amortiguadores en las cuatro ruedas y

considerando la masa total del automóvil.

a) Encuentre los valores de (constante proporcional a la velocidad) y (constante elástica) que permiten cumplir

con la especificación técnica de amortiguamiento.

SOLUCIÓN

DCL (Rueda – Amortiguador – Resorte)

En el dibujo se modela el problema. Sobre cada rueda descansa una masa equivalente a ⁄

de la masa total del auto. Luego realizando el DCL sobre la masa se tiene que actúan las fuerzas

de peso ( ), la fuerza de amortiguamiento ( ) y la fuerza del resorte ( ) donde mide la

deformación que sufre el resorte

Luego:

∑

Por lo tanto despejando se obtiene la ecuación diferencial del movimiento:

Se tiene que eta ecuación tiene una solución homogénea y una particular. La solución particular será una

constante y e indicará la deformación permanente que tiene el resorte y la posición por la cual el sistema oscila. Pero

para efectos del problema se estudia la solución homogénea de la ecuación, es decir:

La cual nos entrega una solución sinusoidal con una amplitud inicial considerando a priori de que:

𝒎

𝒎

𝑚𝑔

𝑏�� 𝑘𝑥

𝑥

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(

)

La solución de esta ecuación, o la ecuación de un movimiento armónico amortiguado es:

Donde:

√

(

)

Considerando de que el periodo de la amplitud se mantiene durante todo el movimiento se tiene que es igual a:

Luego, el sistema amortiguador-resorte no permite más de una oscilación con amplitud sobre el de la inicial,

entonces se tendrá que en la segunda oscilación la amplitud:

(

)

Reemplazando y :

(

)

(

)

√

(

) (

)√

(

)

√

(

)

(

(

)

)

(

)

Reemplazando los valores de la masa ⁄ y :

√

PUNTAJE:

Ecuación diferencial del movimiento Cálculo o expresión de las frecuencias angulares del amortiguamiento y del MAS Identificación y relación de la función amplitud de onda. Con el cálculo o expresión de sus términos) Relación entre las constantes y

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Pregunta 3

Una onda sonora cuya longitud de onda es se propaga a lo largo de un tubo de de largo

orientado paralelamente al eje . La velocidad del sonido al interior del tubo es de y la densidad del aire

. La onda se propaga hacia la derecha y su nivel de intensidad es de .

a) Calcule la intensidad y la amplitud de presión de la onda.

b) Determine la ecuación de la onda de presión descrita.

c) Suponga que la onda mencionada se refleja en el extremo derecho del tubo experimentando un desfase de

medio ciclo, encuentre la ecuación de la onda estacionaria que se produce en el interior del tubo.

d) Considerando la onda estacionaria anterior, calcule el nivel de intensidad del sonido en un punto situado a

30 [cm] del extremo izquierdo del tubo.

SOLUCIÓN:

a) Se tiene que el nivel de intensidad de sonido se calcula como:

(

)

Donde ⁄ , e es la intensidad del sonido que se transmite por el tubo. Luego:

(

⁄ ) (

⁄ )

⁄

⁄

Además se tiene que la Intensidad del sonido se calcula como:

Dónde: : Densidad del aire : Velocidad de propagación del sonido : Amplitud de onda de presión del sonido

Luego:

√ √ ⁄

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b) MÉTODO 1:

Consideremos que la onda de presión es del tipo cosenoidal.

Se define la frecuencia angular como de una onda como:

Y la frecuencia se obtiene de la velocidad de propagación de la onda y de su longitud de onda:

⁄

Por lo tanto:

⁄

Luego el coeficiente de la ecuación de la onda es:

Entonces la ecuación de la onda de presión se expresa como:

⁄

MÉTODO 2:

De forma senoidal:

⁄

c) Se tiene que la onda de presión y la onda de posición se relacionan de la siguiente forma:

MÉTODO 1:

Por lo tanto:

∫

La constante se asume con valor 0. La expresión

, para ello debe conocer el coeficiente volumétrico

.

Se tiene que:

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√

Entonces el coeficiente volumétrico tiene un valor de:

*

+ ( *

+)

Por lo tanto la amplitud A es igual a:

Por lo tanto la ecuación de posición de la onda es:

Luego la onda reflejada, con un desfase de es igual a:

Luego la ecuación estacionaria de la onda queda expresada como:

MÉTODO 2:

Por lo tanto:

∫

La constante se asume con valor 0. La expresión

, para ello debe conocer el coeficiente volumétrico

.

Se tiene que:

√

Entonces el coeficiente volumétrico tiene un valor de:

*

+ ( *

+)

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Por lo tanto la amplitud A es igual a:

Por lo tanto la ecuación de posición de la onda es:

Luego la onda reflejada, con un desfase de es igual a:

Luego la ecuación estacionaria de la onda queda expresada como:

d) Se tiene que:

Suponiendo que los 30 [cm] son hacia adentro del tubo, no se pierde energía, entonces se puede ocupar la

ecuación anterior. Luego:

[

] [

]

Reemplazando en la fórmula de transformación de intensidad a nivel de intensidad:

(

)

PUNTAJE:

a)

b)

c)

d)

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PROBLEMA 4

Se tiene una cuerda de largo L y masa m, la cual es sujetada desde lo alto de un edificio. En cierto instante se

genera un pulso en la parte superior de ella que se propaga hacia su extremo inferior, donde además se encuentra

adherida una masa M.

a) Calcule una expresión para la velocidad de propagación del pulso.

b) Hallar el tiempo en el cual el pulso recorre toda la cuerda.

SOLUCIÓN:

a) Se tiene que la velocidad de propagación de la onda en una cuerda es:

√

Donde es la tensión de la cuerda y la densidad lineal de ésta.

Para poder encontrar la tensión de la cuerda, ésta se debe cortar imaginariamente a una distancia

desde la parte superior de la cuerda. A continuación se presentan los cortes superior e inferior de

la cuerda.

DCL (Superior) DCL (Inferior)

𝑴

𝐿 𝑥

𝑇 𝑥

𝑀𝑔

𝑚 𝐿 𝑥 𝑔

𝑇 𝑥

𝑚𝑥𝑔

𝑁

𝑥

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Donde:

Fuerza normal que ejerce la persona sobre la cuerda.

: masa de la cuerda de un largo

: masa de la cuerda de un largo

Tensión de la cuerda

Del DCL (Superio) no podemos calcular pues no se tiene el valor de , en cambio del tramo

inferior, se conosen todos los valores de las fuerzas actuando en ese sistema, menos . La masa

del tramo de cuerda inferior está dada por:

Luego:

∑

Reemplazando

(

)

Por lo tanto se tiene que la velocidad de propagación de la cuerda es:

√

√

√ (

)

√(

)

b) El tiempo que tarda el pulso en propagarse desde el extremo superior hasta el extremo inferior de la

cuerda, se calcula por integración según la definición: la velocidad es la derivada de la posición con

respecto al tiempo.

Entonces:

√( )

∫

√( )

∫

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(√( ) √

)

√

√ √

√

PUNTAJE:

a) Diagrama de cuerpo libre de la cuerda cortada

Cálculo de la fuerza de tensión

Expresión de la velocidad de propagación en función de los datos entregados

b) Cálculo del tiempo de viaje del pulso desde la parte superior hasta la parte inferior.

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