INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL

NUMERO DE LA TAREA: 1

NOMBRE DE LA TAREA: ORIGEN DEL TERMINO NUMEROS IMAGINARIOS

NOMEBRE DEL ALUMNO: CRUZ SANTIAGO JESUS ROBERTO

NOMBRE DEL DOCENTE: GERADO REYES FIGUEROA

MATERIA: ALGEBRA LINEAL

NUMERO DE CONTROL: 14500875

FECHA DE ENTREGA: 01 DE FEBRERO DEL 2015

TITULO: ORIGEN DEL TERMINO NUMERO IMAGINARIO

INTRODUCCION

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a

cero, por ejemplo:   es un número imaginario, así como   o   son también números

imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por

la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :1 2 3

Todo número imaginario puede ser escrito como   donde   es un número real e   es la

unidad imaginaria, con la propiedad

,

Puesto entonces:

Que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número

real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

La finalidad de este tema es dar a conocer cómo es que podemos representar y manejar el uso correcto de números imaginarios para poder realizar operaciones que para la calculadora parecieran imposibles o erróneas.

OBJETIVO GENERAL

El objetivo general del curso es saber el uso de los números imaginarios ya que existen

ecuaciones las cuales no tienen soluciones con números reales por que no existen numero

reales que elevados al cuadrado den negativos Para solucionar problemas en los que

aparezcan raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los

números reales R, construyendo un nuevo conjunto, C, de manera que R sea un

subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de las

operaciones y todos los números tengan raíz cuadrada. Para ello se define la unidad

imaginaria.

Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al cuadrado da -1: i2=-1;  i=-1

En este tema veremos cómo podremos manejar este tipo de números

DESARROLLO

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a

cero, por ejemplo:   es un número imaginario, así como   o   son también números

imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por

la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :1 2 3

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a   el nombre de i, por

imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia

real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que   era una especie de anfibio

entre el ser y la nada.

En ingeniería electrónica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo

escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica,

tradicionalmente denotada por i.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS

Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano

complejo, presentándolos como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números

imaginarios es el considerar una recta numérica típica, que aumenta positivamente hacia la

derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje de

coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números

imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Este eje

vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como ,  , o simplemente . En esta

representación, una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre

el origen. Una multiplicación por   corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección

"positiva" (en el sentido anti horario), y la ecuación   puede interpretarse diciendo

que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado final es

equivalente a una simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación de 90 grados en

la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación. Esto refleja

el hecho que   es también una solución de la ecuación . En general, multiplicar

por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el

argumentó del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su

magnitud.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS

Todo número imaginario puede ser escrito como   donde   es un número real e   es la

unidad imaginaria, con la propiedad

,

Puesto entonces:

Que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número

real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

La raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número

imaginario, así por ejemplo:

Estos números extienden el conjunto de los números reales   al conjunto de los números

complejos  .

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual

que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.5 Es decir, es justo

decir que , y que . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a

una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales,

supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que

cero. Por ejemplo es justo decir que ,  , por lo tanto,

, entonces tenemos que , y obviamente .

Por otro lado, supóngase que , entonces tenemos que , lo cual

evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que , pero si multiplicamos

por   nos queda que . Por lo tanto tenemos que . Lo que

es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los

números imaginarios son completamente falsa.

CONCLUSION

Ahora ya sabemos cómo poder resolver cualquier ecuación o raíz cuadradas en los que

aparezcan números negativos haciendo uso de los números imaginarios