CARÑOS DUARTE

COMPENDIO DE TECNICAS PARA LA TOMA DE DECISIONES

Carlos Alberto Duarte Alba

C.I: 22.330.870

Sección: SAIA A

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICERRECTORADO ACADEMICO

FACULTA DE CIENCIAS SOCIALES

ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN

CABUDARE EDO LARA

CARLOS DUARTE

Programación lineal

Es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un

problema indeterminado, formulado a través de un sistema de

inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal, de tal

forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de

restricciones que expresamos mediante un sistema

de inecuaciones lineales.

Fue fundada por George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en

1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo

año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas

similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en

economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó

el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el

problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es

decir, en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra

Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver

problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en

los principios teóricos y en el área.

Año Acontecimiento

1826

Joseph Fourier anticipa la programación lineal. Carl Friedrich Gauss resuelve ecuaciones

lineales por eliminación "gaussiana".

1902 Gyula Farkas concibe un método para resolver sistemas de inecuaciones.

1947

George Dantzig publica el algoritmo simplex y John von Neumann desarrolló la teoría de la

dualidad.

Se sabe que Leonid Kantoróvich también formuló la teoría en forma independiente.

1984

Narendra Karmarkar introduce el método del punto interior para resolver problemas de

programación lineal.

CARLOS DUARTE

Variables

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el

procedimiento de resolución se denomina Programación entera.

Restricciones

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3:

Dónde:

A = valor conocido a ser respetado estrictamente;

B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;

C = valor conocido que no debe ser superado;

j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);

a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;

X = Incógnitas, de 1 a N;

i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

CARLOS DUARTE

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N <

M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no

tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

Función objetivo

o

Donde:

= coeficientes son relativamente iguales a cero.

Ejemplo

Este es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de transporte puede tener

fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento de

cálculo.

CARLOS DUARTE

Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es:

La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día;

La mina "b" produce 40 t/día; y,

La mina "c" produce 20 t/día.

En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen:

La central "d" consume 40 t/día de carbón; y,

La central "e" consume 60 t/día

Los costos de mercado, de transporte por tonelada son:

De "a" a "d" = 2 monedas

De "a" a "e" = 11 monedas

De "b" a "d" = 12 monedas

De "b" a "e" = 24 monedas

De "c" a "d" = 13 monedas

De "c" a "e" = 18 monedas

Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte, tal vez la mayoría

opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque

es más conveniente que los otros, debido a que es el de más bajo precio.

En este caso, el costo total del transporte es:

Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas

Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas

Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas

Total 1.400 monedas.

Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal se tienen las

siguientes ecuaciones:

Restricciones de la producción:

CARLOS DUARTE

Restricciones del consumo:

La función objetivo será:

La solución de costo mínimo de transporte diario resulta ser:

Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedas

Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedas

Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas

Total 1.280 monedas.

120 monedas menos que antes

Lógica bayesiana

CARLOS DUARTE

La lógica bayesiana se aplica a muchos dominios de la teoría de la decisión

es un tipo de inferencia estadística en la que las evidencias u observaciones se emplean para

actualizar o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre «bayesiana»

proviene del uso frecuente que se hace del teorema de Bayes durante el proceso de inferencia. El

teorema de Bayes se ha derivado del trabajo realizado por el reverendo Thomas Bayes. Hoy en

día, uno de los campos de aplicación es en la teoría de la decisión,1 visión artificial

2 (simulación de

la percepción en general)3 y reconocimiento de patrones por ordenador.

La incertidumbre y la imprecisión son connaturales en el proceso de razonamiento.

La lógica establece unas reglas de inferencia a partir de las cuales se construye el sistema

de razonamiento deductivo, en el que una proposición determinada es considerada como cierta o

falsa, sin que se admitan grados entre estos dos extremos. Los métodos de razonamiento

aproximado, entre los que se encuentran los métodos bayesianos, aportan modelos teóricos que

simulan la capacidad de razonamiento en condiciones de incertidumbre, cuando no se conoce con

absoluta certeza la verdad o falsedad de un enunciado o hipótesis, e imprecisión, enunciados en

los que se admite un rango de variación.

Entre los métodos de razonamiento aproximado se encuentran los métodos bayesanos, basados

en el conocido teorema de Bayes. Todos ellos tienen en común la asignación de una probabilidad

como medida de credibilidad de las hipótesis. En este contexto, la inferencia se entiende como un

proceso de actualización de las medidas de credibilidad al conocerse nuevas evidencias. Mediante

la aplicación del Teorema de Bayes se busca obtener las probabilidades de las hipótesis

condicionadas a las evidencias que se conocen. La diferencia entre los distintos métodos

bayesianos, modelos causales y redes bayesianas, estriba en las hipótesis de independencia

condicional entre hipótesis y evidencias. Dichas relaciones se expresan comúnmente mediante

un grafo a cíclico dirigido.

Ejemplos

Un ejemplo de lógica bayesana es el siguiente:

Durante miles de millones de años, el sol ha salido después de haberse puesto. El sol se ha

puesto esta noche. Hay una probabilidad muy alta de (o 'Yo creo firmemente' o 'es verdad')

que el sol va a volver a salir mañana. Existe una probabilidad muy baja de (o 'yo no creo de

ningún modo' o 'es falso') que el sol no salga mañana.

La logica bayesana usa un estimador numérico del grado de creencia en una hipótesis aún antes

de observar la evidencia y calcula un estimador numérico del grado de creencia en la hipótesis

después de haber observado la evidencia. La inferencia bayesiana generalmente se basa en

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grados de creencia, o probabilidades subjetivas, en el proceso de inducción y no necesariamente

declara proveer un método objetivo de inducción.

El método Simplex

Es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada

paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha

alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se

satisfacen todas las restricciones).

Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en

buscar otro punto que mejore el valor anterior. Como se verá en el método Gráfico, dichos puntos

son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de 2) que

constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema

(llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del

polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo.

Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible

encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor

máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de

Z aumenta.

Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones

del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes

independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones

para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex.

En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual)

o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución,

siendo el más común el método de las Dos Fases.

Ejemplo del método Simplex

La forma estándar del modelo de problema consta de una función objetivo sujeta a

determinadas restricciones:

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Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn

Sujeto a: a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1

a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2

...

am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm

x1,..., xn ≥ 0

El modelo debe cumplir las siguientes condiciones:

1. El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la función objetivo (por ejemplo,

incrementar ganancias o reducir pérdidas, respectivamente).

2. Todas las restricciones deben ser ecuaciones de igualdad (identidades matemáticas).

3. Todas las variables (xi) deben tener valor positivo o nulo (condición de no negatividad).

4. Los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser no negativos.

Hay que adaptar el problema modelado a la forma estándar para poder aplicar el algoritmo del

Simplex.

Tipo de optimización.

Como se ha comentado, el objetivo del método consistirá en optimizar el valor de la función

objetivo. Sin embargo se presentan dos opciones: obtener el valor óptimo mayor (maximizar) u

obtener el valor óptimo menor (minimizar).

Además existen diferencias en el algoritmo entre el objetivo de maximización y el de

minimización en cuanto al criterio de condición de parada para finalizar las iteraciones y a las

condiciones de entrada y salida de la base. Así:

Objetivo de maximización

Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor negativo.

Condición de entrada a la base: el menor valor negativo en la fila Z (o el de mayor

valor absoluto entre los negativos) indica la variable Pj que entra a la base.

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Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que

sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente positivos.

Objetivo de minimización

Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor positivo.

Condición de entrada a la base: el mayor valor positivo en la fila Z indica la variable

Pj que entra a la base.

Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que

sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente negativos.

No obstante, es posible normalizar el objetivo del problema con el fin de aplicar siempre los

mismos criterios en lo referente a la condición de parada del algoritmo y a las condiciones de

entrada y salida de las variables de la base. De esta forma, si el objetivo es minimizar la solución,

se puede cambiar el problema a otro equivalente de maximización simplemente multiplicando la

función objetivo por "1". Es decir, el problema de minimizar Z es equivalente al problema de

maximizar (-1)·Z. Una vez obtenida la solución será necesario multiplicarla también por (-1).

Ventajas: No hay que preocuparse por nuevos criterios de parada, condición de entrada y

salida de la base ya que se mantienen.

Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todos los coeficientes de sus variables

básicas positivos, y además las restricciones sean del tipo de desigualdad "≤", al hacer el cambio

dichos coeficientes quedan negativos cumpliéndose la condición de parada en la primera iteración

(en la fila del valor de la función objetivo todos los valores son positivos o cero). Obteniéndose en

este caso por defecto un valor óptimo para la función igual a 0.

Solución: Realmente no existe este problema dado que para que la solución sea superior a 0

es necesario que alguna restricción tenga impuesta la condición "≥" (y se trataría de un modelo

para el método de las Dos Fases). En el caso planteado, la solución real debe ser cero.

Restricción de tipo "≤"

Para normalizar una restricción con una desigualdad del tipo "≤", hay que añadir una nueva

variable, llamada variable de holgura xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta

nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la

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ecuación correspondiente (que ahora sí será una identidad matemática o ecuación de

igualdad).

a11·x1 + a12·x2 ≤ b1 a11·x1 + a12·x2 + 1·xs = b1

Restricción de tipo "≥"

En caso de una desigualdad del tipo "≥", también hay que añadir una nueva variable

llamada variable de exceso xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta nueva

variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en la ecuación

correspondiente.

Surge ahora un problema con la condición de no negatividad con esta nueva variable

del problema. Las inecuaciones que contengan una desigualdad de tipo "≥" quedarían:

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1

Al realizar la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no

estarán en la base y tomarán valor cero. En este caso la nueva variable xs, tras hacer cero

a x1 y x2, tomará el valor -b1 y no cumpliría la condición de no negatividad. Es necesario

añadir otra nueva variable xr, llamada variable artificial, que también aparecerá con

coeficiente cero en la función objetivo y sumando en la restricción correspondiente.

Quedando entonces de la siguiente manera:

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1·xr = b1

Restricción de tipo "="

Al contrario de lo que cabría pensar, para las restricciones de tipo "=" (aunque ya son

identidades) también es necesario agregar variables artificiales xr. Como en el caso

anterior, su coeficiente será cero en la función objetivo y aparecerá sumando en la

restricción correspondiente.

a11·x1 + a12·x2 = b1 a11·x1 + a12·x2 + 1·xr = b1

CARLOS DUARTE

En el último caso se hace patente que las variables artificiales suponen una violación de las

leyes del álgebra, por lo que será necesario asegurar que dichas variables artificiales tengan un

valor 0 en la solución final. De esto se encarga el método de las Dos Fases y por ello siempre que

aparezcan este tipo de variables habrá que realizarlo.

En la siguiente tabla se resume según la desigualdad el tipo de variable que aparece en la

ecuación normalizada, así como su signo:

Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece

≥ - exceso + artificial

= + artificial

≤ + holgura

Método Simplex

Construcción de la primera tabla:

Las columnas de la tabla están dispuestas de la siguiente forma: la primera columna de la

tabla contiene las variables que se encuentran en la base (o variables básicas), esto es,

aquellas que toman valor para proporcionar una solución; la segunda columna recoge los

coeficientes que dichas variables básicas tienen en la función objetivo (esta columna es

llamada Cb); la tercera muestra el término independiente de cada restricción (P0); a partir

de ésta aparece una columna por cada una de las variables de decisión y holgura

presentes en la función objetivo (Pj). Para tener una visión más clara de la tabla, se incluye

una fila que contiene los títulos de cada una de las columnas.

Sobre esta tabla se agregan dos nuevas filas: una de ellas, que lidera la tabla, donde

aparecen los coeficientes de las variables de la función objetivo, y una última fila que

recoge el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj - Cj.

Los costes reducidos muestran la posibilidad de mejora en la solución Z0. Por este

motivo también son llamados valores indicadores.

CARLOS DUARTE

Se muestra a continuación el aspecto general de la tabla del método Simplex:

Tabla

C1 C2 ... Cn

Base Cb P0 P1 P2 ... Pn

P1 Cb1 b1 a11 a12 ... a1n

P2 Cb2 b2 a21 a22 ... a2n

... ... ... ... ... ... ...

Pm Cbm bm am1 am2 ... amn

Z Z0 Z1-C1 Z2-C2 ... Zn-Cn

Todos los valores incluidos en la tabla vendrán dados por el modelo del problema

salvo los valores de la fila Z (o fila indicadora). Estos se obtienen de la siguiente forma: Zj =

Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij.

Se observa, al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla ocupan la base

todas las variables de holgura y por ello (todos los coeficientes de las variables de holgura

son 0 en la función objetivo) el valor inicial de Z es cero.

Por este mismo motivo tampoco es necesario realizar los cálculos de los costes

reducidos en la primera tabla, pudiéndose determinar directamente como el cambio de

signo de los coeficientes de cada variable en la función objetivo, esto es, -Cj.

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Condición de parada:

Se cumple la condición de parada cuando la fila indicadora no contiene ningún valor

negativo entre los costes reducidos (cuando el objetivo es la maximización), esto es, no

existe posibilidad de mejora.

Si no se cumple la condición de parada es necesario realizar una iteración más del

algoritmo, esto es, determinar la variable que se vuelve básica y la que deja de serlo,

encontrar el elemento pivote, actualizar los valores de la tabla y comprobar si se cumple

nuevamente la condición de parada.

Es también posible determinar que el problema no se encuentra acotado y su solución

siempre resultará mejorable. En tal caso no es necesario continuar iterando

indefinidamente y se puede finalizar el algoritmo. Esta situación ocurre cuando en la

columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos.

Elección de la variable que entra a la base:

Cuando una variable se vuelve básica, es decir, entra en la base, comienza a formar parte

de la solución. Observando los costes reducidos en la fila Z, se decide que entra a la base

la variable de la columna en la que éste sea el de menor valor (o de mayor valor absoluto)

entre los negativos.

Elección de la variable que sale de la base:

Una vez obtenida la variable entrante, se determina que sale de la base la variable que se

encuentre en aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos

(teniendo en cuenta que esta operación se hará únicamente cuando Pj sea superior a 0).

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Elemento pivote:

El elemento pivote de la tabla queda marcado por la intersección entre la columna de la

variable entrante y la fila de la variable saliente.

Actualización de la tabla:

Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalteradas en

la nueva tabla. El resto de valores deberán calcularse como se explica a continuación:

En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como:

Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote.

En el resto de las filas cada elemento se calcula:

Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote *

Nuevo Elemento Fila Pivote).

De esta forma se consigue que todos los elementos de la columna de la variable entrante sean

nulos salvo el de la fila de la variable saliente cuyo valor será 1. (Es análogo a utilizar el método de

Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales).

Teoría de juegos

Es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en

estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos

de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento

previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos

pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar

mil veces conjuntamente un mismo juego.1

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el comportamiento de

la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos campos, como en la biología,

sociología, psicología y filosofía. Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera

vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra

Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en particular a causa del concepto

de destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la

conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos

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como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la

teoría de juegos ha atraído también la atención de los investigadores en informática, usándose

en inteligencia artificial y cibernética.

Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría de juegos estudia

decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras palabras, estudia la elección de la

conducta óptima cuando los costes y los beneficios de cada opción no están fijados de antemano,

sino que dependen de las elecciones de otros individuos. Un ejemplo muy conocido de la

aplicación de la teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el

matemático Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza de

la cooperación humana. La teoría psicológica de juegos, que se arraiga en la escuela

psicoanalítica del análisis transaccional, es enteramente distinta.

Tipos de juego y ejemplos

La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se

pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se define "resolución" en una

categoría particular). Las categorías comunes incluyen:

Juegos simétricos y asimétricos

Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una

estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los

otros jugadores y no de quien las juegue. Si las identidades de los jugadores

pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias,

entonces el juego es simétrico. Muchos de los juegos 2×2 más estudiados

son simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina,

el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.3

Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay

conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo,

el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no

obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por

ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos de estrategias

idénticos para ambos jugadores.

Juegos de suma cero y de suma distinta de cero

En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores

del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en

otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de

otros). El go, el ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos de

juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que

pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de

ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1

(considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto),

E F

E 1, 2 0, 0

F 0, 0 1, 2

Un juego asimétrico

A B C

1 30, -30 -10, 10 20, -20

2 10, -10 20, -20 -20, 20

Un juego de suma cero

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mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.

La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del prisionero, son

juegos de suma distinta de cero, porque algunos desenlaces tienen resultados netos mayores o

menores que cero. Es decir, la ganancia de un jugador no necesariamente se corresponde con la

pérdida de otro. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de suma

positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría si no se hubiera

dado la negociación.

Se puede analizar más fácilmente un juego de suma distinta de cero, y cualquier juego se puede

transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio" adicional ("el tablero" o "la

banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los jugadores.

La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por ejemplo, un

juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a la derecha

Método del transporte

Es una técnica de aplicación de la programación lineal, un enfoque cuantitativo que tiene

como objetivo encontrar los medios menos costosos (óptimos) para embarcar abastos desde varios

orígenes (fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarcan los bienes)

hacia varios destinos (cualquiera de los puntos que reciben bienes). En los problemas de

localización, este método se puede emplear para el análisis de la mejor ubicación de un nuevo

centro, de varios a la vez, y en general, para cualquier reconfiguración de la red.

Para utilizar el método de transportación hay que considerar los siguientes pasos:

1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno.

2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno.

3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino.

El primer paso en el procedimiento de este tipo de problema es establecer una matriz de

transportación, la cual tiene como objetivo resumir de manera provechosa y concisa todos los

datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo.

Para crear la matriz de transportación deben seguirse los siguientes pasos:

1. Crear una fila que corresponda a cada planta (existente o nueva) que se este considerando y

crear una columna para cada almacén.

2. Agregar una columna para las capacidades de las plantas y una fila para las demandas de los

almacenes, e insertar después sus valores numéricos específicos.

3. Cada celda que no se encuentre en la fila de requisitos ni en la columna de capacidad

representa una ruta de embarque desde un aplanta hasta un almacén. Insertar los costos

unitarios en la esquina superior derecha de cada una de esas celdas.

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En muchos problemas reales, a veces sucede que la capacidad excede a los requisitos

unidades, se agrega una columna (un almacén ficticio) con una demanda de unidades y los

costos de embarque en las nuevas celdas creadas son igual a $0, pues en realidad esos

embarques no se realizan, por lo que representan capacidad de planta no utilizada. Igualmente, si

los requerimientos exceden a la capacidad por unidades, se agrega una fila más (una planta

ficticia) con capacidad de unidades y se asignan costos de embarque iguales a los costos

faltantes de las nuevas celdas. Si estos últimos costos no se conocen o su valor es el mismo para

todos los almacenes, se le asigna $0 por unidad a los costos de embarque de cada celda de la fila

ficticia. La solución óptima no resulta afectada, pues el mismo faltante de unidades se necesita

en todos los casos. Para lograr que la suma de todas las capacidades sea igual a la suma de todas

las demandas es que se añade una planta ficticia o un almacén ficticio. Algunos paquetes

de software los añaden automáticamente cuando el usuario introduce los datos.

Cuando la matriz inicial está conformada, el objetivo es establecer el patrón de asignación de

menor costo que satisfaga todas las demandas y agote todas las capacidades. Este patrón se

determina mediante el método de transporte, el cual garantiza que se hallará la solución óptima. La

matriz inicial se completa con una solución que cumpla dos condiciones: sea factible y satisfaga las

demandas de todos los almacenes y agote las capacidades de todas las plantas. Luego se crea

una nueva matriz con una solución nueva, teniendo ésta un costo total más bajo. Este

procedimiento iterativo se debe realizar hasta que no sea posible mejorar la solución anterior,

cuando esto ocurra la solución óptima se ha encontrado.

En este método es obligatorio que se cumpla que el número de embarques no iguales a 0 en la

solución óptima nunca sea mayor que la suma del número de planta y almacenes menos 1.

En el caso que se emplee un paquete de software sólo se introducen los datos correspondientes a

la primera matriz.

Ejemplo

Una empresa del sector textil que opera en toda la península Ibérica dispone de la siguiente

configuración:

Dos plantas de fabricación en Setúbal y Valencia, con capacidades de 900 y 1 500 unidades

respectivamente.

Cuatro almacenes regionales de distribución que sirven a los clientes de sus respectivas zonas en

Barcelona, Madrid, Lisboa y Sevilla con demandas de 700, 800, 500 y 400 unidades.

En los próximos años, la empresa espera un crecimiento de la demanda del orden del 25%, lo cual

ha llevado a la dirección de la misma a plantearse la apertura de una nueva fábrica. A la vista de

los criterios que la empresa estima importantes para la localización de la nueva planta, existen dos

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alternativas a considerar: La Coruña (alternativa 1) y Málaga (alternativa 2). La elección recaerá en

aquella que provoque los menores costos de transporte entre las fábricas y los almacenes, dado

que ambas parecen ser igualmente convenientes respecto a otros factores. La siguiente tabla

recoge los costos de transporte unitarios entre cada origen y destino.

Costos unitarios de transporte

Costos unitarios Barcelona Madrid Lisboa Sevilla

Setúbal 6 4 2 6

Valencia 2 3 7 5

La Coruña 6 4 4 8

Málaga 6 3 4 2

La apertura de la nueva planta en La Coruña o en Málaga va a provocar una reasignación distinta

de los intercambios entre las fábricas y los almacenes. Para conocer como afectaría una y otra

alternativa habría que resolver el problema de transporte en cada caso. Las

correspondientes soluciones aparecen en las tablas que se muestran a continuación, que dan lugar

respectivamente a los costos:

CTc = 625·2+275·6+875·2+400·3+225·5+600·4 = 9 375 u

CTm = 275·4+625·2+875·2+625·3+100·3+500·2 = 7 275 u

De los resultados obtenidos se deriva que Málaga es la mejor localización para el criterio

empleado.

Solución final para la alternativa 1

Barcelona Madrid Lisboa Sevilla Capacidad

Setúbal 6 4 2 6 900

625 275

Valencia 2 3 7 5 1 500

875 400 225

Córdoba 6 4 4 8 600

600

Demanda 875 1 000 625 500

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Solución final para la alternativa 2

Barcelona Madrid Lisboa Sevilla Capacidad

Setúbal 6 4 2 6 900

275 625

Valencia 2 3 7 5 1 500

875 625

Málaga 6 3 4 2 600

100 500

Demanda 875 1 000 625 500

II. Una empresa dispone de 3 fábricas para la elaboración de sus productos cuyas capacidades

de producción son las siguientes:

1 2 3

45 000 uds. 93 000 uds. 60 000

uds.

También dispone de 3 centros de distribución con capacidades:

A B C

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28 000 uds. 65 000 uds. 35 000

uds.

Debido al aumento que han experimentado sus ventas (unas 70 000 unidades), la Dirección de la

Empresa está evaluando la posibilidades de abrir un nuevo centro de distribución para lo cual tiene

dos ubicaciones posibles (D, E).

Los costos de transporte entre las diferentes ubicaciones son:

A B C D E

1 8 12 2 6 15

2 13 4 3 10 4

3 0 7 11 8 7

Solución:

Ubicar en D. Costo: 842 000 u.

A B C D Producción

1 8 12 2 6 45 000

7 000 38 000

2 13 4 3 10 93 000

65 000 28 000

3 0 7 11 8 60 000

28 000 32 000

Necesidades 28 000 65 000 35 000 70 000

Ubicar en E. Costo: 786 000 u.

A B C D Producción

1 8 12 2 15 45 000

10 000 35 000

2 13 4 3 4 93 000

55 000 38 000

3 0 7 11 7 60 000

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28 000 32 000

Necesidades 28 000 65 000 35 000 70 000

Luego la solución más económica es ubicar el centro en E con un costo asociado de transporte de

786 000 unidades monetaria

Almacenes Disponible Diferencias

Fábricas

3 2 0 3 20 -

15 5

4 8 7 5 15 1

2 3 4 6 25 4

5 20

Requerida 15 20 15 10

Diferencias 2 - - 1

Almacenes Disponible Diferencias

Fábricas

3 2 0 3 20 -

15 5

4 8 7 5 15 1

10 5

2 3 4 6 25 -

5 20

Requerida 15 20 15 10

Diferencias - - - -

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Costo total = 15·0 + 3·5 + 10·4 + 5·5 + 5·2 + 20·3 = 150

Modelo Global de la localización

Su principal objetivo es solucionar el problema multidimensional de la localización y es empleado

para ubicar una planta. En este modelo se clasifican los criterios que influyen en la localización

según la estructura del mismo, así como la cuantificación de los criterios y realiza el intercambio

entre ellos.

La estructura del modelo es la siguiente: para cada lugar , se define una medida de

localización que refleja los valores relativos para cada uno de los criterios.

Dónde:

: es la medida del factor crítico para el lugar .

: es igual a 0 ó 1.

: es la medida del factor objetivo para el lugar .

y

: es la medida del factor subjetivo para el lugar .

y

: es el peso de decisión del factor objetivo

La medida del factor crítico es la suma de los productos de los índices de los factores

críticos individuales para el lugar , respecto al factor crítico . Como el índice del factor crítico

para cada lugar es 0 ó 1, dependiendo de que el lugar sea adecuado o no para el factor si

cualquier índice del factor crítico es 0, entonces y la medida total de

ubicación también tienen valor 0. En tal caso se eliminaría el lugar .

Ejemplo La empresa General Motors está pensando en construir una nueva planta productiva, para lo cual

cuenta con varias alternativas de localización en ciudades europeas. Para decidirse entre ellas ha

recabado la siguiente información (recogida en las tablas que se muestran) y considera que el

peso relativo entre factores objetivos y subjetivos es de = 0,5.

UFT

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Solución:

Por lo que se recomienda construir la nueva planta productiva en la Ciudad 1 teniendo en cuenta

que es la que tiene el menor ILi diferente de cero.

Método de Montecarlo

Es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones

matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia

al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser

CARLOS DUARTE

la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los

métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el

desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado

en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en elLaboratorio Nacional de

Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos

de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee

un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de

los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.

En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron

esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de

estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el

mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores

característicos de la ecuación de Schrödingerpara la captura de neutrones a nivel nuclear usando

este método.

El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas

matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números

pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya

seaestocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en

evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el

método de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en virtud

del teorema del límite central.

Ejemplo

Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda,

debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de

manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función

de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así:

CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499

CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999

Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo,

obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que

está incluido en el intervalo asignado a CARA

CARLOS DUARTE

Bibliografía

Bierman, H. S. y L. Fernández, Game Theory with economic applications, Addison-

Wesley, 1998.

Davis, M. D. (1971): Introducción a la teoría de juegos. Alianza Editorial, 1ª edición.

Fudenberg, Drew y Jean Tirole: Game Theory, MIT Press, 1991, ISBN 0262061414

Gardner, R. (1996): Juegos para empresarios y economistas. Antoni Bosh editores, 1ª

edición.

Gibbons, Robert (1992): Game Theory for Applied Economists, Princeton University

Press ISBN 0691003955. También publicado en Londres por Harvester Wheatsheaf

(Londres) con el título A primer in game theory.

Gibbons, R. (1993): Un primer curso de teoría de juegos. Antoni Bosch editores, 1ª

edición.

Fernández Sánchez, E. (1993). Dirección de la Producción I. Fundamentos Estratégicos.

Editorial Civitas, S.A., España

Everet, E. A. (1991). Administración de la Producción y las Operaciones.

Conceptos, Modelos y Funcionamiento. Prentice- Hall Hispanoamericana S.A, México.

Robertson, B. and Vignaux, G.A. (1995) Interpreting Evidence: Evaluating Forensic

Science in the Courtroom. John Wiley and Sons. Chichester

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