CAPITULO VI

TENSORES

El concepto de tensor surge naturalmente como una generalización de las canti­dades escalares y vectoriales; en los escalares el valor de la cantidad penna­nece ina¡terada para trarisfórmación de coordenadas; por ejemplo si en el inte­rior de u:;. 8uerpo la temperatura se puede expresar corno una función de punto t-j ( J. ::h 13 ) y si el mismo punto se expresa en otro sistema de 'coordenadas Xi comó ':)!., J X1.J~~ entonces la temperatura será -C;t. (x. I :r". :x:~) ; obviamente la tempera tura en cada punto tiene un valor de terminado independien­te del sistema coordenado utilizado para localizarlo por lo tanto:

-t~ ('J, 'f ~ 'j ~):::: tx. (~I I X 1 , X:, )

E ste tipo de transformación es la mas elemental que existe; en ella las compo­nentes de la cantidad (la cantidad escalar tiene una sola "componente" : su mag­nitud) permanecen invariables al cambiar de coordenadas.

También sabernos que las componentes de un vector se transforman al cambiar coordenadas; esta transformación puede ser covariante o contravariante para ca­da vector; es decir sus componentes I ya sean AJ' ó AJ' según que esten ex­presadas en la base recíproca o directa respectivamente r se transforman en Al!,

ó A l.: al cambiar del sistema Jl' al -:t.l': estas dos transformaciones son ~

aSl: , , A t.' :::. , A t..' ;:::

Recordemos que lo que se transfonna por medio de las anteriores ecuaciones son cierto tipo de componentes del vector pero no el vector mismo ya que este permanece fijo o inalterado,es un invariante, en cuanto a magnitud y dirección con respecto a algún sistema "absoluto" de coordenadas. Entonces el vector A~ se puede expresar según las coordenadas ::t,' o según las ~ L' Y en cada uno de estos sistemas se expresa según los vectores base directos o según los recípro-cos; por lo tanto: \. . ,_?(

K:::. A l'a- = AL' al' = A« bi == A l' b

siendo at', ti z: : base s directa y recíproca en -::::l L' = ::r'l' l '3', 'j t ;j-:;)

--¡; -;: t..' tJ t:, (V : bases directa y recíproca en ~ t:::. '1 l: (::L "Xl, X3)

• componentes contrava.riantes y covariantes refeddas a I

los :i. L:

,

I , AL. , •

•

37

componentes contravariantes y 00 variantes re­feridos a los j (' (los E (.' y l! l.' de las ecua­ciones 5-15 a).

Podemos generalizar ahora y suponer que existen cantidades, también invarian­tes como la magnitud de un escalar o como un vector fijo, cuyas componentes se transformc:1 de manera completamente similar a como se transforman las compo­nentes d e un vector; por ejemplo podemos suponer la existencia de una cierta cantidad A talq.¡e:

A=

En esta cantidad (Íormada por nueve componentes: 32) los términos A I'J' se lla­man las componentes de A según aL' 5.1; la expresión (!t@' no es un pro­ducto Ele vectores ( ni escalar ni vectorial) simplemente es la colocación de los dos vectores uno a continuación del otro para indicar que la componente !'1IJ corresponde o pertenece tanto a a.~' como a O:! , Reco!1ocemos un tipo de tal cantidad en el tensor de tensiones el cual como sabemos se acostumbra escri­bir como la matriz:

~ll

cf"23

Q;2

Este conjunto de nueve cantidades nos permite encontrar la tensión ( fuerza / area) para cualquier superficie infin itesimal en el entorno de un punto P Para el cual se conocen los <f(f referidos obviamente a un cierto sistema coorde­nado ;:(l; la tensión en esa superficie no cambia, es invariante, si en P re­ferimos los Ot-J' a un nuevo sistema de coordenadas; en el tensor de tensiones cada 0 J'esté5. adscrito a un par de direcciones Ql'Si , el índice T señala la cara sobre la cual actúa G( una cara es representada por el vector base nor­mal a ella, en este caso aL') y el índice J señala la dirección que tiene ~ en e SF.l. cara i.

Otra cantidad de este tipo es el conocido tensor de inercia • •

,/

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~l 1 13

I:. 1 22 1. 23

, Si en un sistema coordenado 'jt , tenemos un punto P en el cual hay una masa puntual m y además existe una recta :A entonces el producto m el '2. (siendo cl la distancia de P a la recta 1. ) es un invariante, es decir no cambia si

referimos el punto y la recta a .un nuevo sistema de coordenadas ;t,.' : esta can-tidad m d,"2.. es función de los ,términos de la matriz,.I y al cambiar de coor-denadas cambiarán los "lij' a I~' pero la cantidad /Md.. ~ (que es propiamen~e a~ tensor de inercia) no cambia. En este caso los índices i, j representan los ejes a los cuales si baja la perpendicular desde P, es decir ILJ' 'está también

~. --...,. adscrito a dos direcciones a\ o..J

No nos interesa por ahora profundizar en los tensores de tensiones y de inercia, lo que se quiere resaltar: es el hecho de que hay cantidades que tienen varias componentes , (componentes que pueden pertenec:er "a más de una dirección) y que al cambiar de coordenadas cambia el valor de esas componentes pero la can­tidad misma es invariante ( por ejemplo: la tensión sobre una superfiCie infini­tesimal o el producto de inercia m d'Z. ); estas cantidades las llamaremos ten­sores.

Como en un tensor cada componente pertenece a varias direcciones ( ó a una si la cantidad invariante es un vector) entonces la transformación de cada com­ponente I al cambiar de coordenadas, hay que hacerla teniendo en cuen ta la per­tenencia de ella a esas varias direcciones; esto es : si en un tensor cada compo­nente A¿j' corresponde a los vectores D", o/ y como para estos vectores bases contravariantes las componentes de cualquier vector son componentes cova­riantes (ver 5-15 a) entonces las A'J" se deben transformar covariantemente tanto

~. ::.iP'. por p¡ntenecer a D L como por pertenecer a C» es decir,A IJ' se transforma en Ald~ al cambiar de coordenadas ~l,: a las :XI' según la ley doblemente co­variante: ,

6-1 ) •

a:r' 9'1.J. AIJ'

(3 :;c!: O ..:í .(

Decimos entonces que las Alj' son las componentes de un tensor covariante de rango 2 ( un vector covariante es un tensor covariante de rango 1).

..

39

En forma similar sí las componentes ( A if ) de una cantidad invariante co---iI' _

rresponden cada una a dos vectores bases covariantes ( aL') Q.J ) enton-ces esas componentes se transforman contravariantemente al cambiar del siste­ma j /.' al ::ú' por lo tanto:

6-2. ) --

, Podemos también considerar cantidades invariantes cuyas componentes ( A t{ ) corresponden cada una a un vector base covariante ( a:r· ) y a un' vector base contravariante( ZI/ ) y por lo tanto se transformarán en forma mixta es decir

-";1

contravariantemente por su pertenencia al vec tor covariante at' y covariantemen-te por su pertenencia al vector contravariante al' t así que:

6-3)

Se puede apreciar de lo anterior que una cantidad inv~iante puede tener sus com­ponentes referidas tanto a las bases covariante ( lIt') como a la contravarian-

..-l\P te( OJ) o también a ambas al mismo tiempo; por ejemplo, para coordenadas curvilíneas en el tensor de tensiones podemos tomar sus componentes referidas a las al.' solamente, serán las \).J' ,o referidas a las a .. ;' solamente, serán

, , -="'> ~ • t.: las ~Jo podernos ref~rirlas tanto a las at' corno a las a r , serán las C5J' ; en este último caso t;S'"J' representa la tensión en la cara cuya normal está en la di­rección de á.:' la tensión misma tomada en la dirección de 11..J' ,

Las cantidades cuyas componentes se transforman como en 6-1,6-2 I 6-3 las lla­mamos respectivamente tensor covariante de rango dos I tensor contravariante de rango dos y tensor mixto de rango dos, (la palabra tensor se usó por primera vez en relación con el tensor de tensioner:;) . Sin embargo no debemos perder de vista que los adjetivos covariarie, contravariante y mixto se refieren exclusivamente a las componentes del tensor no al tensor, este es un invariante. De ahora en ade­lante designaremos un tensor A por su componente genérica¡ por lo tanto si el

'-.J L' tensor es de rango dos podemos representarlo por Aü' , Al , A J ; esos tres símbolos representan al mismo tensor solo que en el primer caso se dan sus com­ponentes covariantes, en el segundo las contravariantes y en el último las mix­tas.

En las ecuaciones (6-1,6-2, 6-3) que nos definen tensores de rango dos (o de segundo orden) los índices que aparecen pueden tomar los valore s de 1,2 I 3 si estamos en un espacio tridimensional; y tornarían los valores 1-2 si estamos en una superficie; por ejemplo en el tridimensional 6-1 queda así:

,

40

1

C) l' .2íQ A 11 é)'i'. ~8'í-: A .1- ~ ~ A,) lo

A ~1 ..... é):::L 't.. a .;í. l éJ;:i. K 81R.. -- ~;tl( a..:t

0.f: ~ AZJ S?1: d~~ A21 -t ~ j~ ? j~ A 22- -r .J. 8::Ll( 8:1-14 B;i..K ax é):L"" o.x

~ 8'j' A31 -r _01 3 ~'t. A32. ;- SJ'f: ~A:H 8;iK a.xR.

é):t)(. -é>;i~ 8z" a~14

Una de estas ecuaciones se obtiene para cada par de valores (J<.) i ); por lo ta,T1-to corno los rangos de k y 1 son también de 1,2,3 resultan 32 componentes ;11<1. • Las ecuaciones 6-1,6-2, 6-3 se pueden generalizar si es necesario de modo que sean aplicables a espacios de más de tres dimensiones I por ejemplo n; en este caso lo único que hay que tener en cuenta e s que el rango de los índices va , de 1 hasta n; por lo tanto habrá n2 términos A K.i. cada uno conteniendo n2 tér-minos funciones de los AlJ; en la teoría de la relatividad por ejemplo, n= 4 ya que fuera de las tres dimensiones espaciales se considera una cuarta dimensión, el tiempo constituyéndose así un espacio -tiempo de cuatro dimensiones.

Podernos generalizar mas aún el concepto de tensor y entrar a definir tensores co­variantes f contravariantes y mixtos de orden 3 f 4, ... etc.; por ejemplo, un tensor covariante de orden 4 en el espacio n- dimensional trasnforma sus componentes A(!'lIC! al pasar del sistema (YI'Y2 ... Yn ) al sistema (XII x2 ... x n ) según la re-

gla:

•

~JJ' Bit(_ a .:t. ,;. -a;( l'

I

Este tensor tiene n 4 componentes que contienen a los AtJ'K 1. . forma sus componentes AL'.¡'t4fl.

A I'fl\ N'I ~ 9¡- cada una formada por n 4 sumandos Un tenEor contravariante de rango cuatro trans­

en las A rrn mp ~ al pasar del sistema J'L'al sis terna xi según la ley:

I 11"1'\ '"

A rM""~~::: ;::,.::(. r ª X-: 'a~r 8jJ

.Q:i~ <;3.:t ~~ '0:$1< BjJl.

A ¿'J'K1{ • )

Un tensor mixto de cuarto orden puede expreSélrse /)'

de varias maneras: A K':'"

por ejemplo: )

)

"

41

(,j,,,,1-rm ,Il\ r, 9r

De la reg la anterior para transformar las diversas componentes de tensores de distintos órdenes podemos apreciar que un escalar es un tensor de orden cero y un vector es un tensor de orden 1 ( puede ser covariante o contravariante); así mismo el cero es un tensor de cualquier orden, es decir se puede conside­rar escalar, vector I tensor de orden 2, ... tensor de orden n ya que se trans­forma así:

6-4) .. •

•

aquí está considerado co­mo tensor mixto de orden 4.

,