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Capítulo 2:

Guías de onda y líneas de transmisión

En el presente capítulo se va a analizar una solución general de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el que se permitirá la existencia de variación de las magnitudes

con las tres coordenadas espaciales.

Dada la complejidad del problema completo nos centraremos en problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos

ortogonales con simetría de traslación.

TAF-2- 1Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2016. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Teoría electromagnética de las ondas guiadasField Theory of Guided Waves

Emisor Receptor

Transmisión de energía electromagnética por soporte físico Medios de Transmisión

Línea Bifilar, Cable coaxialGuías de onda metálicas

Estructuras planaresGuías de onda dieléctricas: fibra óptica

Transparencia tomada de referencia 6


Frecuencias

1 KHz

10 KHz

100 KHz

1 MHz

10 MHz

100 MHz

1 GHz

10 GHz

100 GHz

100 THz

1 PHz

λλλλ Denominación

Audio

Muy BajaFrecuencia

BajaFrecuencia

FrecuenciasMedias

AltaFrecuencia

Muy altaFrecuencia

Ultra altaFrecuencia

Microondas

Milimétricas

100 Km

10 Km

1 Km

100 m

10 m

1 m

10 cm

1 cm

1 mm

Infrarrojos

Visible

Ultravioleta

Medio de Transmisión

LíneaBifilar

CableCoaxial

Guíasde

onda

FibraÓptica

CircuitosImpresosP.C.B.

Línea µµµµ strip

Línea strip

Líneascoplanares

guíasdieléctricas

planas

Distancia Circuitería

1 µµµµm

TipoOnda Guiada

Transparencia tomada de referencia 6 TAF-2- 3Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2016. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

CerradosCerrados

Abiertos

DieléctricoHomogéneo

Multi-dieléctricos

DieléctricoHomogéneo

Multi-dieléctricos

Guíarectangular Guía

circularGuía

coaxial

Guía imagen Línea microstrip Fin-line

Línea bifilarLínea trifásica

Línea microstrip Línea coplanar

Guía acanalada

Fibra salto de índice

CLASIFICACIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN



INTRODUCCIÓN (I)

• Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudes electromagnéticas con tres coordenadas espaciales. Limitaciones:

– Complejidad del problema EM completo

– Descripción del problema mediante

sistema curvilíneo ortogonal (u1, u2, u3)

– Simetría de traslación: u3=cte,

planos paralelos entre sí.

– Los factores de escala quedan:

• Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo caracterizado por ε y µ en donde no existen fuentes:

zuu

h

u

hh ˆˆ;0;1 3

3

2

3

13 ==

∂∂

=∂∂

=

=⋅∇

=⋅∇

⋅=×∇

⋅−=×∇

0

0

H

E

EjH

HjE

r

r

rr

rr

ωεωµ

Tomando rotacionales en las dos primeras y considerando

las otras dos εµωγ

γ

γ

⋅⋅−=

=−∆

=−∆

22

2

2

0

0

o

o

o

HH

EErr

rr

(1)


INTRODUCCIÓN (II)

• Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico)

– Separación del campo en componentes longitudinal y transversal:

– Sistema con simetría de traslación

• Aplicando la técnica de separación de variables:

• Las ecuaciones diferenciales han de ser igual a una constante

– constante en la dirección transversal

– constante en la dirección longitudinal

022 =−−∆+∆ zoTozT EEEErrrr

γγ

( ) zz

EEzEE

EE

EE zzTzz

zoz

ToT ˆˆ0

02

2

2

2

⋅

∂∂

+∆=⋅∆=∆⇒

=−∆

=−∆ r

rr

rr

γ

γ

No se puede mostrar la imagen en este momento.

( ) ( )zZuuFE Ez ⋅= 21, 01 2

2

2

=−∂∂+

∆o

E

ET

z

Z

ZF

F γ (2)

( ) ( ) 22222222

22 ;4

1;3 ococc

E

ET

z

Z

ZF

F γγγγγγγγ =+⇒−=⇒=∂∂=∆ 222 β−= kkc

(Pozar)


INTRODUCCIÓN (III)

• La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4) longitudinales

• La forma de esta solución puede ser

– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente longitudinal

– Solución B: constituye una onda estacionaria.: componente transversal

• El campo en la dirección longitudinal será:

donde se ha considerado sólo la onda progresiva

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zDzCzZ

zBzAzZ

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅−⋅=

γγγγ

senhcosh

expexp

( ) ( )( ) ( )

⋅−⋅⋅=

⋅−⋅⋅=

zuuFzH

zuuFzE

Hz

Ez

γγ

exp,ˆ

exp,ˆ

21

21r

r


CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I)

• MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo eléctrico ni magnético longitudinal

– las ecuaciones de Maxwell quedan

– calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación

– Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el valor del campo magnético transversal como:

– Los vectores están contenidos en planos perpendiculares a z.

– El vector se obtiene a partir de la expresión (3)

– No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la misma

0;0 == zz HEvv

( ) ( )zuuFE

EE

oETEM

ToTz

T⋅−⋅=

=⋅−∆

γγ

exp,

0

21

2

rv

vv

εµη ==×= TEM

TEM

TT Z

Z

EzH ;ˆ

rr

HErr

,

Hr

(3)

tt

tt

EjH

HjErr

rr

⋅⋅=×∇⋅⋅−=×∇

εωµω


CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II)

• MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente longitudinal del campo magnético por lo que también se les llama modos E:

• La componente longitudinal es:

• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando la segunda

– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM.

– La solución para modos TM:

– está contenido en planos perpendiculares a z

0=zHv

( ) ( )( )

1 2

21 2

ˆ , exp

, _ _ : 0

z E

E T E c E

E z F u u z

con F u u solución de F F

γ

γ

= ⋅ ⋅ − ⋅

∆ − =

r

zTToTz EjHHrrr

×∇=−∆ ωεγ 2

TT

zTc

T

zTc

zTo

T

Ezj

H

EE

zEj

Ej

Hrr

r

rr

×=⇒

∇=

×∇−=×∇−

=

ˆ

ˆ

2

222

γωε

γγ

γωε

γγωε

Hv

ωεγ

jH

EzZ

T

TTM =×= r

ˆ


CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III)

• MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal del campo eléctrico por lo que también se les llama modos H:

• La componente longitudinal es :

• Siguiendo un proceso análogo al de los modos TM resulta:

– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM

– La solución para modos TM:

– está contenido en planos perpendiculares a z

– Se puede definir una impedancia del modo como

0=zEr

( ) ( )( )

1 2

21 2

ˆ , exp

, _ _ : 0

z H

H T H c H

H z F u u z

con F u u solución de F F

γ

γ

= ⋅ ⋅ − ⋅

∆ − =

r

zTToTz HjEErrr

×∇−=−∆ ωµγ 2

2

2

ˆT T z

cT T

T T zc

jE H

jE H z

H H

ωµγ ωµγ γγ

= ∇ × ⇒ = ×

= ∇

r r

r r

r

Er

γωµj

H

EzZ

T

TTE =

×= r

ˆ


CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV)

• Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por superposición de los casos anteriores. La técnica de separación de variables deja de ser válida cuando la sección no es un cilindro recto.

• Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos.

• Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos.

• La constante de propagación viene determinada

– Por las características del medio: modos TEM

– Por las características del medio y las condiciones de contorno

• La constante de propagación es una función compleja de ω:

– Constante de atenuación describe cómo varían las amplitudes de los campos

– Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo

– Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase:

– Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante

– Dos situaciones:

• Modo no se propaga. Modo se propaga

µεωγγ jo ==

22co γγγ −=

( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=

( ) ( )( )

πω

ωωβπωλ

2

2 fv==

( ) ( )ωβωα ≥ ( ) ( )ωβωα ≤


CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I)

• Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución completa.

• Casos más comunes

– Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades.

– Características de buen conductor

– Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito

– Discontinuidades en el medio (línea microstrip)

• Condiciones de conductor perfecto:

– La región de contorno es un conductor perfecto:

– Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente

• De la primera se deriva:

n

τ

] ( )] ]

==×

⇒=+×⇒=×0

0ˆ0ˆ0ˆ

z

CTCzTC

E

EnEEnEn

rrrr

] ( )] ( ) ( )] ( )]( ) 0ˆˆˆˆ

0ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ

2=

∂∂=

∂∂

⇒⋅

∂∂+

∂∂⋅=⋅

=⋅⇒=⋅−⋅=××=×

n

F

n

Hn

Hn

n

HHn

HnHnzznHzHnEn

Hzzz

cT

CTCTTCTCT

ττγ

γr

rrrrr

(4)


CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II)

• Condiciones de conductor perfecto:

– Modos TM:

• La condición Ez=0 supone C es una línea de Ez cte, su gradiente es normal

• Tomando la segunda condición de (4): tiene dirección normal

– Modos TEM:

• Las condiciones coinciden con el planteamiento de un problema estático.

• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores

• El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático

• En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM

• En una región multiplemente conexa:

• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1.

• La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere

• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente

TEr

] 0;0ˆ =×∇=×TETCT FEn

rr

( )⇒

⋅∇=⋅∇

Φ−∇=

ED

yxF TETrr

r

ε, ( )

( )

=Φ=Φ∆cteyx

yx

C

T

,

0,

( ) 0, =Φ∆ yxT

∫ ⋅=Φ−Φ=2

12112 ldEV

rr

C1

C2

∫ ⋅=C

ldHIrr


CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)

• Teorema de Green:

– Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como:

– Cálculo de la divergencia

– Teorema de Green para dos dimensiones

• Condiciones de contorno de conductor perfecto

• Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirse

– la constante de propagación es real si ω< ωc luego no se propaga y el modo está al corte

– la constante de propagación es imaginaria si ω> ωc , el modo se propaga

• La propagación es de tipo paso alto con

( ) ( )yxFyxFA ,,* ∇⋅=r

( ) ( ) ( ) ( )yxFyxFyxFyxFA ,,,, ** ∆⋅+∇⋅∇=∇r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅∇⋅=∆⋅+∇⋅∇⇒⋅=∇CSCS

ldyxFyxFyxFyxFyxFyxFldAAtt

rrrr,,,,,, ***

∫∫ ⋅∂∂⋅=∆⋅+∇⋅∇

CSTTT ld

n

FFFFFF

t

r***

⇒⋅=∆

=∂

∂=

FF

n

FTE

FTM

cT

C

H

E2

0:)(

0:)(

γ ∫∫ ⋅⋅⋅−=∇⋅∇tt S

cS

TT dsFFFF *2* γ

02 <cγ

µεπγ

2

2c

cf−

=


CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)

• En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:

– El signo + corresponde a f>fC.

– El signo - corresponde a f<fc

• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión

2

2

2

22

2

1;

1

;1f

fZ

f

fZ

f

f cTM

c

TEc

o −⋅±=−

±=−⋅±= ηηγγ

Así ZTE , por debajo del corte, será inductivo y ZTM capacitivo.


CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (III)

• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión

• Existe un número infinito de soluciones (autofunciones) cada una correspondiéndose con un valor de (autovalores). El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TE2

cγ


( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 22 2

;

< _

1

1

o c

c

o c

c

c

c c

c c

Si no propagación

elipse

γ γ γω ω α γ

α γ γα ω µ ε γα ω µ ε γα ω µ εγ γ

α ω

γ γµ ε

= −⇒ ⇒ =

= −

= − ⋅ ⋅ − ⇒

+ ⋅ ⋅ = −

⋅ ⋅+ =− −

+ = ⇒ − − ⋅

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 222

;

> _

1

1

o c

c

o c

c

c

c c

cc

Si sí propagación j

hipérbola

γ γ γω ω β γ

β γ γβ ω µ ε γβ ω µ ε γβ ω µ εγ γ

ω β

γγµ ε

= −⇒ ⇒ =

− = −

− = − ⋅ ⋅ − ⇒

− + ⋅ ⋅ = −

− ⋅ ⋅+ =− −

− = ⇒ −− ⋅

CONCEPTOS DE VELOCIDAD DE FASE Y DE GRUPO: DISPERSIÓN

• Hasta ahora se ha considerado dos velocidades relacionadas con la propagación de ondas em:

– Velocidad de la luz:

– Velocidad de fase:

• La diferencia entre ambas es que la velocidad de la luz coincide con la velocidad a la que una onda plana se propagaría en dicho medio mientras que la velocidad de fase es la velocidad a la que un frente de onda viaja. Para el caso de un modo TEM ambas coinciden.

• Concepto de dispersión:

– Cuando la velocidad de fase y la atenuación no cambian con f la línea es no dispersiva.

– Cuando la velocidad de fase es diferente a distintas frecuencias se dice que el medio es dispersivo.

• Si el ancho de banda de la señal es pequeño o la dispersión es baja, se puede acudir al concepto de velocidad de grupo que se puede definir como la velocidad a la una onda modulada se propaga en un límite de variación frecuencial. Viene dada por:

• Particularizada para las guías de onda antes descritas tenemos:


1 c

µ ε=

⋅ pv

ωβ

=

1

=g

d dv

d d

ω ββ ω

− = 2

2

2

2

1 ;

;

1

cg

p

c

fv c

f

cv

f

f

= ⋅ −

=

−

)m/1(),m/nep( βα

1αααα2αααα 3αααα 4αααα 5αααα 6αααα

1ββββ

2ββββ3ββββ 4ββββ

5ββββ6ββββ

fc1fr

ecue

ncia

fc6fc5fc4fc3

fc2Frecuenciafc 2 fc 3 fc

c

2

2c

g f

f1cv −=

∂∂=

βω

2

2c

f

f

f1

cv

−==

βω

vf vg= c2

Fre

cuen

cia

)m/1(),m/nep( βα

fc

ββββ

αααα

12

2c

2

22c

2

=

γ−

β−

µε

γ−

ω

12

2c

2

22c

2

=

γ−

α+

µε

γ−

ω

µεωβ =

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE

CONDUCTOR PERFECTO (III)



CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)

• Conclusiones:

– Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan.

– También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia (dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio.

– Si la frecuencia es menor que la frecuencia correspondiente al menor no existe ningún modo que se propague constituyendo dicha fc la frecuencia de corte absoluto.

– El modo de menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores.

– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta

• Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas Im(µ)=0):

– La constante de propagación será:

– La permitividad se modifica como:

– Luego queda:

– Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β

2cγ

( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=''' εεε j−=

( ) ( )

−⋅−=−

⋅=⇒−−⋅−=−=+=

2222

2222222

'

''2'''

c

cco jjγµεωβα

µεωαβγεεµωγγβαγ

'2

2

µεπγ c

cf−

= εεη

εε

ηεεγγ '

1;'

1

;'

1 2

2

2

22

2

⋅−⋅=⋅−

=⋅−⋅=f

fZ

f

fZ

f

f cTM

c

TEc

o


• Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:

• En el caso que las pérdidas dieléctricas sean pequeñas:

– La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas

– La constante de atenuación vale:

• Para modos TEM, considerando resulta:

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⋅+−⋅−+−⋅−−⋅=

⋅+−⋅−+−⋅−⋅=

2222222

2222222

''''21

''''21

µεωγµεωγµεωβ

µεωγµεωγµεωα

cc

ccd

''' εε <<

δβµεω

εε

βµεωα tg

2'

'''

2' 22

⋅⋅=⋅⋅=d

''' εε <<

δδµεωεεµεωα tg

ktgd ⋅=⋅

⋅=⋅

⋅=

22

'

'

''

2

'


GUÍAS RECTANGULARES (I)


ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II)

Condiciones de contorno para conductor perfecto

byaxETM

byy

H

axx

H

n

HTE

z

z

z

z

,0;,0en 0 :

,0en 0

,0en 0

0 :

===

==∂

∂

==∂

∂

⇒=∂

∂

=−−

=−∂∂⋅+

∂∂⋅

⇒=222

22

2

2

2

0)()(),(

cyx

c

kk

XYy

YX

x

XY

yYxXyxF

γ

γ

10

2 2 2 2 2 20 2

,2 2

2 2

1

2

1 1

2 2

c

m n c

c

TE

m n m nf

a b a bj k k

m n

a b a

γ γ π π π πγ ω µεπ µ ε

µ ε µ ε

− = = − + + ⇒ = ⋅ + = ⋅ ⋅ −

= ⋅ + = ⋅ ⋅

Nomenclatura PozarTAF-2- 22Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2016.

Tema 2: Líneas de transmisión y guías

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III)

( )( )

( )

( )

,

,

0( , ) cos

;( , ) cos

ˆ: cos cos exp

ˆ: exp

x x

x yy y

z mn mn

z mn mn

A CX x y Asink x B k xm n

k kY x y Csink y D k ya b

m nTE H z P x y z

a bm n

TM E z Qsen x sen y za b

π π

π π γ

π π γ

= == + ⇒ = == +

= ⋅ ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ −

r

r

Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejarlas constantes, resulta:


ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (IV):resumen


No válidos subíndices 00, 01 y 10 para los modos TM. Primer modo TM11

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (V)

Distribución de campo Distribución de corriente

Ubicación de modos para el caso a=2b

010 02

2

1 2

21

c g

c

fa f

f

λπλ λβµε

= ⇒ = = >

−

Modo dominante TE10 ( )

( )

( )

,10 10

,10 ,10

,10 10

,10

,10 10

sin exp

0

exp

0

cos exp

y

x z

x

y

z

j aE P x z

aE E

aH P sen x z

aH

H P x za

ωµ π γπ

γ π γπ

π γ

= − ⋅ −

= =

= ⋅ ⋅ −

=

= ⋅ −Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm


La densidad de corriente superficial en las paredesmetálicas puede ponerse como: ˆSJ n H= ×

r r

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (VI)

Tomado de referencia 4 Distribución de campos en la guía rectangularTAF-2- 26Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2016.

Tema 2: Líneas de transmisión y guías

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (VII):guías rectangulares standard

Tomado de referencia 4


ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (VII)


GUÍA ESTRANGULADA (REENTRANTE O RIDGED)

• Ancho de banda de la guía rectangularestá limitado a una octava.• Los “raíles” disminuyen la frecuencia de corte del fundamental.• La capacidad de transmitir potencia decrece• Posibilidad de adaptar impedancias


GUÍAS CIRCULARES (I)

Utilización de coordenadas cilíndricas.Condiciones de contorno para conductor perfecto

( ) ( ) ( )

( )

2 22 2

2 2 2

2 22 2 22 2 22 2

22 2

: 0,

: 0

1 1 10

10

z

a

z a

c

cc

HTE

F R P

TM E

F F PF k

P

R RR R Pk R

R RR R P

ρ

ρ

ϕ

ϕ

ρ ρ ϕ ρ ϕ

ρ γρ ρ ρ ρ ϕ ϕ

ρ ρρ ρ γ ργ ρρ ρρ ρ ϕ

=

=

∂ = ∂ ⇒ = ⋅=

∂ ∂ ∂ ∂⋅ + − = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒

∂ ∂∂ ∂ ∂ + ⋅ − + ⋅ =+ ⋅ − = − ∂ ∂∂ ∂ ∂

Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:

zr

φ

)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=)()()( ργργρ cncn DYCJR +=

Modos TE Modos TM

( ) )()cos()(),( ργφφφρ cnH JnBnAsenF += ( )( , ) ( ) cos( ) ( )E n cF Asen n B n Jρ ϕ ϕ ϕ γ ρ= +

zr

φ


GUÍAS CIRCULARES (II)

( )

µεπγγγ

ργρ ρ

a

pf

a

p

a

p

JH

nmnmc

nmnmnmc

cn

a

z

2

00'

,2'20

'

,

'

=⇒

−=⇒=

=⇒=∂

∂

=

n p’n1 p’

n2 p’n3

0 3.832 7.016 10.174

1 1.841 5.331 8.536

2 3.054 6.706 9.970

Modos TE Modos TM

0)(0),( =⇒= akJaE cnz φ

220

220

−=−=a

pk nm

cnm γγγµεπa

pf nm

cmn2

=

n pn1 pn2 pn3

0 2.405 5.520 8.654

1 3.832 7.016 10.174

2 5.135 8.417 11.620

Distribución de modos


GUÍAS CIRCULARES (III)


Distribución de campos en la guía circular


GUÍAS CIRCULARES (IV): resumen de campos en la guía circular



GUÍAS CIRCULARES (V)


CONSIDERACIONES FINALES: potencia transmitida y ortogonalidad de modos

• Para modos TEM, la ZTEM no es imaginaria pura luego los modos TEM siempre transmiten potencia.

• Los modos TE y TM tienen impedancia real si f>fc, luego un modo al corte no transmite potencia mientras que un modo que se propaga sí transmite potencia

• Cuando el medio posee pérdidas hay un factor de atenuación: exp(-2αz)– La constante que aparecía en Hz es la potencia transmitida por el modo

– Para una potencia (P) transmitida fija, la amplitud de campo decrece al aumentar frec.

– Para P y f fijas la amplitud del campo crece al aumentar la altura de la guía

– Dado que la amplitud del campo no debe superar la tensión de ruptura del medio, existe un límite superior de potencia transmitida.

• Los modos de distinta frecuencia de corte (no degenerados) son ortogonales entre sí y la potencia total es la suma de la transmitida por cada uno de ellos


GUÍA DIELÉCTRICA

• Guía de permitividad εr2 sobre dieléctricode permitividad εr1. Todo sobre plancha Metálica.• Los campos quedan confinados en el dieléctrico de mayor permitividad.• Soporta modos TE y TM en la medida que todala energía se concentre en el dieléctrico.• Ventaja: poco peso, reducidas dimensiones• Problema: grandes pérdidas en empalmes yen dobleces.


MODOS TEM

• Modos TEM:

• Las condiciones coinciden con el planteamiento de un problema estático.

• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores

• El campo TEM coincide con la solución de electrostática

• En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM

• En una región multiplemente conexa:

• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1.

• La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere

• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente

] 0;0ˆ =×∇=×TETCT FEn

rr

( )⇒

⋅∇=⋅∇

Φ−∇=

ED

yxF TETrr

r

ε, ( )

( )

=Φ=Φ∆cteyx

yx

C

T

,

0,

( ) 0, =Φ∆ yxT

∫ ⋅=Φ−Φ=2

12112 ldEV

rr

C1C2

∫ ⋅=C

ldHIrr


CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN

• Dos características importantes como sistemas de transmisión:

– Capacidad de propagarse a cualquier frecuencia

– Constancia de velocidad de fase lo que supone ausencia de dispersión

• Retomando la expresión

– Vo no depende de los puntos elegidos

– La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores de cualquier sección recta del sistema

• Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario

( ) ( )zVzVldEV o ⋅−==⋅=Φ−Φ= ∫ γexp2

12112

rr

C1 C2

( ) ( )1 2

1 20

exp

S S

C C C

o

I H dl J dl J dl

I z I zγ

= ⋅ = = ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫r r rr r r


CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II)

• Se puede definir una impedancia característica

– η depende del medio

– k depende de la geometría de la línea

– Resultado independiente de z

• El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo TEM.

• Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, G, L y C cuando las dimensiones transversales sean pequeñas.

cteldH

ldE

I

VZ

C

o ⋅=⋅

⋅==∫

∫ηrr

rr2

1


CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III)

• Consideremos un cuadripolo simétrico (a=d)

• Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo

• Formando la red en T:

( )( )

−⋅=−⋅=

=−⇒

+=+=

lII

lVVbca

aIcVI

bIaVV

o

o

γγ

exp

exp1

12

122

221

221

I1 I2

V1 V2

( )( )

( )( )

( )

=

=

=

⇒

−=−

+=

la

Z

lc

lZb

bcal

bcal

o

o

o

oo

o

o

γ

γγ

γ

γ

cosh

senh

senh

exp

exp

2

2

c

az

czz

c

az

bca

=

==

=

=−

22

21112

11

12

1211 zz − 1211 zz −

12z

Si es recíproco


CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV)

• Introduciendo los valores:

• En el caso en que l sea muy pequeña:

( )( )l

lZZ

o

oo γ

γsenh

1cosh −=( )

( )ll

ZZo

oo γ

γsenh

1cosh −=

( )o

o

Z

lY

γsenh=

εµωγεµη

⋅⋅−=

⋅=⋅=

2o

o ctecteZ

( )δεεεεεωωε

ωµtg1''''

'''2

jjl

kj

kY

lkjZ

−⋅=−=

⋅

⋅+=

⋅⋅=

( )2l

ZZ oo

γ=( )

o

o

Z

lY

γ=

( )2l

ZZ oo

γ=

Carácter inductivo

Capacidad más conductancia


CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (V)

• El circuito equivalente (en ausencia de pérdidas en conductores) queda:

• Simplificaciones adicionales:

– A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo

– B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo

– C: Pérdidas en los conductores

LCjZ

G

C

LZ

oo

o

⋅+⋅=

=

ωγ2Gl Cl

2l

L2l

L

⋅=

⋅⋅==

⋅=

o

o

o

ZC

CZ

G

ZL

ηε

δωηωεη

µ

'

tan''

Expresiones sin pérdidas en los conductores y con bajas pérdidas

en el dieléctrico

LlCl

BGl Cl2

lL 2

lL

2l

R2l

R

C

βααωγ jLCjZ

RZG

C

LZ

cdo

o

o

++=⋅+⋅

+⋅=

=

22

A


ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA

Dada una línea de transmisión:

i(z,t)

v(z,t)

∆z

z

Se puede obtener un modelo circuital equivalente de la misma…

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2016. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

TAF-2- 43

∆z

i(z,t)

v(z,t)R∆z L∆z

G∆z C∆z v(z+ ∆z,t)

i(z + ∆z,t)

R = resistencia en serie por unidad de longitud, Ω/mL = inductancia en serie por unidad de longitud, H/mG = conductancia en paralelo por unidad de longitud, S/m

C = capacidad por unidad de longitud, F/m



TAF-2- 44

Ecuación del telegrafista

Por las leyes de Kirchhoff:

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,

,, =∆+−∂

∂⋅∆⋅−⋅∆− tzzvt

tzizLtzizRtzv

( ) ( ) ( ) ( ) 0,,

,, =∆+−∂

∆+∂∆−∆+⋅∆− tzzit

tzzvzCtzzVzGtzi

∆z 0

( ) ( )t

tziLtziR

z

tzv

∂∂⋅−⋅−=

∂∂ ,

),(,

( ) ( )t

tzvCtzvG

z

tzi

∂∂⋅−⋅−=

∂∂ ,

),(,

Aplicación de la T. Fourier en t


TAF-2- 45

( ) ( ) ( )zIjwLRdz

zdV ⋅+−=

( ) ( ) ( )zVjwCGdz

zdI ⋅+−=Similitud con las ecuaciones de Maxwell

( ) ( ) 022

=− zVdz

zVd γ

( ) ( ) 022

=− zIdz

zId γ( ) ( )jwCGjwLRj +⋅+=+= βαγ

CONSTANTE DE PROPAGACIÓN



TAF-2- 46

( ) zo

zo eVeVzV γγ ⋅+⋅= −−+

jwCG

jwLRjwLRZo +

+=+=γ

−

−

+

+

−==o

oo

o

o

I

VZ

I

V

( ) zo

zo eIeIzI γγ ⋅+⋅= −−+

( ) [ ] [ ]zo

zo

zo

zo

o

eVeVjwLR

eVeVZ

zI γγγγ γ ⋅−⋅+

=⋅−⋅= −−+−−+1

( )o

zo

zo

Z

eVeVzI

γγ ⋅−⋅=−−+



TAF-2- 47

( ) ( )( ) z

o

zo

ezwtV

ezwtVtzv

α

α

φβ

φβ

⋅++⋅

+⋅+−⋅=−−

−++

cos

cos,

βπλ 2= f

wvp ⋅== λ

β

ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA(dominio temporal)


TAF-2- 48

Línea sin pérdidas

LCjwj =+= βαγ LCw=β

0=α C

LZo =

( ) z

o

oz

o

o eZ

Ve

Z

VzI ββ ⋅−⋅=

−−

+

( ) zo

zo eVeVzV ββ ⋅+⋅= −−+

LCw

πβπλ 22 ==

LC

wvp

1==β


TAF-2- 49

LÍNEA COAXIAL (I)

• Dos formas de resolución: a partir del problema electrostático o a partir de la ecuación de Helmholtz.• Problema electrostático:

• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM

==

==

⇒=⋅=⇒=⇒==

a

bKL

a

bKG

a

bKZa

b

KK

a

bC

ln2

ln

''2''

ln22

ln'

ln

'20

πµµ

πεωωε

πηη

πεπε


LÍNEA COAXIAL (II)

• Es necesario conocer los valores de la función potencial Φ(ρ,φ)

• Ecuaciones a considerar:

0),(1),(1

2

2

2=

∂Φ∂+

∂Φ∂

∂∂

φφρ

ρρφρρ

ρρ

)()(),( φρφρ PR=Φ

2

21

φρρ

ρρ

d

Pd

Pd

dR

R

−=

∂∂

022

2

=+ Pkd

Pdφφ

02 =−

∂∂

φρρ

ρρ

kd

dR

R

ab

bV

d

dR

lnln

),(0 0 ρφρρ

ρρ

=Φ⇒=

∂∂

ρρ

φρφρ ˆln

),(),( 0

ab

Ve t =Φ−∇=

φπρ

φρφρ ˆ2

),(ˆ1

),( 0IezZ

hTEM

=×=

• Soluciones:

)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=

πη

2ln

0

00

abI

VZ ==


CONECTORES COAXIALES EN MICROONDAS


Conector N Conector SMA 3,5 Conector SSMA 2,4 Conector APC7

TECNOLOGÍAS PLANAS

• Características:

– Coste económico. Chapa barata y proceso de fabricación sencillo mediante fotograbado.

– Reducido peso que los hace ligeros.

– Dimensiones reducidas

– Permiten la integración de circuitos MIC (Microwave integrated circuits) y MMIC (Monolithic Microwave Integrated Circuits)

– Están formados por materiales metálicos y dieléctricos.

• Opciones tecnológicas:

– Línea stripline (triplaca)

– Línea microstrip

– Línea coplanar

– Línea de ranura


LÍNEA STRIPLINE (TRIPLACA): INTRODUCCIÓN

• Se puede considerar derivada de la coaxial.

• Proceso de construcción: superposición de placas

• Recinto doblemente conexo: modos TEM

• También soporta modos TE y TM que conviene eliminar

– Tornillos entre los planos de masa

– Separación entre planos menor de λ/4

• Análisis:

– Expresiones semiempíricas

– Ábacos y curvas

– Aproximación electrostática.

• Formulación:

1 22

pp

vfv

f

ϖ π λπβ µε λ

⋅= = = ⇒ = rrpv

εγεεµϖϖβ 000 ===CvC

LC

C

LZ

p

10 ===


LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN

Impedancia característica (b=2d)bW

bZ

er 441.030

0 +=

επ

<−

>−=

35.0)35.0(

35.00

2

b

WforbW

b

Wfor

b

W

b

We

Anchura de la línea

>−−

<=

1206.085.0

120

0

0

Zforx

Zforx

b

W

r

r

ε

ε441.0

30

0

−=Z

xrεπ

Atenuación en los conductores ( )

( )( )( )

( )

( )

++⋅+

+=

−−+⋅+

−+=

>

<−

⋅⋅

=

−

t

W

W

t

tW

bB

t

tb

tb

tb

tb

WA

mNpZB

bZ

R

ZAtb

ZR

rs

rors

c

ππ

π

ε

επ

ε

α

4ln

2

1414.05.0

7.05.01

2ln

121

/120 para

16.0

120 para30

107.2

00

0

3


LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS

Impedancia característica de la línea triplaca en función de sus parámetros: anchura (W), grosor (b) y espesor de metal (t)



LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN

• Proceso de construcción: placa fotograbada

• Recinto NO doblemente conexo*: no soporta modos TEM sino cuasi TEM que son una superposición híbrida de modos TE y TM que conviene eliminar.

• Aplicaciones:

– Estructuras de transmisión: pocos campos desbordados, altas permitividades, bajos espesores.

– Estructuras radiantes: gran campo desbordado bajas permitividades, espesores grandes.

• Análisis:

– Expresiones semiempíricas

– Ábacos y curvas

– * Recinto simplemente conexo es aquel en el que se puede ir desde cualquier punto del recinto a otro por cualquier línea sin salirse del recinto

e

p

cv

εµεβϖ === 1

eep

kv

εεεµϖϖβ 000 ===


LÍNEA MICROSTRIP (II)

Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva εe

re εε <<1

Wdrr

e121

1

2

1

2

1

+−++= εεε

Concepto de permitividad efectiva

( )[ ]

≥+++

≤

+=

1444.1ln667.0393.1

120

14

8ln

60

0

dWfordWdW

dWford

W

W

d

Z

e

e

επ

ε

Impedancia característica

Anchura de línea

( )

>

−+−−+−−−

<−=

261.0

39.0)1ln(2

112ln1

2

22

82

dWforBBB

dWfore

e

d

W

rr

r

A

A

εεε

πr

rr

rr

ZB

ZA

επ

εεεε

0

0

2

377

11.023.0

11

21

60

=

+

+−++=

Atenuación mNpkk

re

er

re

erd

)1(

)1(2tan

)1()1(

2tan 0

−−=

−−=

εεεεδ

εεεεδα mNp

WZ

Rsc

0

=α σϖµ2

0=sR


LÍNEA MICROSTRIP (III)


Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de sus parámetros: anchura (W), altura de substrato (h)


LÍNEA DE RANURA

• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos• Soporta modos cuasi TEM• La eficiencia es menor que la microstrip• Modificando la separación entre placas se consigue variar la impedancia. Se consiguen fácilmente impedancias altas aumentando la separación entre placas.


LÍNEA COPLANAR

• Es como una línea slotline pero con un conductor central• El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa. • Soporta modos cuasi-TEM pares o impares • Constante dieléctrica efectiva: • Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias• Formulación:

21+= r

e

εε

<<

−+

≤<

= −

1173.01

12ln

4

173.002ln

10

aWforW

a

aW

aW

aWforW

a

Z

e

e

επη

επη


TABLA COMPARATIVA (I): tipos de estructuras de transmisión



TABLA COMPARATIVA (II)

Características Coaxial Guía onda Stripline Microstrip

Modos: HabitualSecundario

TEMTM,TE

TE10TM,TE

TEMTM,TE

Cuasi-TEMHíbrido TM,TE

Dispersión No Media No Baja

Ancho de Banda Alto Bajo Alto Alto

Pérdidas Medias Bajas Altas Altas

Capacidad de Potencia

Media Alta Baja Baja

Tamaño Grande Grande Medio Pequeño

Dificultad de Fabricación

Media Media Fácil Fácil

Integración con otros Elementos

Difícil Difícil Regular Fácil


MATERIALES EN MICROONDAS



BIBLIOGRAFÍA

1. Wadell, B.C.: "Transmisión Line Design Handbook", Artech House, 1991.

2. David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John Wiley&Sons. (capítulo 3)

3. Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill, 1992. (capítulo 3)

4. Ramo, Whinnery y Van Duzer: “Fields and waves in communication electronics” John Wiley 1969.

5. Bahl y Bhartia: "Microwave Solid State Circuit Design", Wiley Interscience, 1988. (capítulo 2)

6. Harlan Howe: "Stripline Circuit Design"; Microwave Associates Burlington; Artech House 1974.

7. J. Esteban, M. A. González, M. Lambea y J. Rebollar; “Enfoque para el estudio de ondas guiadas en la ETSIT-UPM”, URSI Symposium Nacional, Oviedo 2006


capítulo 2: guías de onda y líneas de transmisión€¦ · capítulo 2: guías de onda y líneas...

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