parte ii. 2.2 guías de ondas circulares. guias de ondas 4 solución de la ecuación de onda en...

Parte II

2.2 Guías de Ondas Circulares.

GUIAS DE ONDASGUIAS DE ONDAS

Solución de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas, para los campos:

Zr EEEE ,,

Zr HHHH ,,

CapítuloII

z

y

x

ra

GUIAS DE ONDAS CIRCULARESGUIAS DE ONDAS CIRCULARES

i )

ii )

iii )

EjHx

HjEx

HH

22

EE

22 22

donde:

zr ,, Ecuación escalar de Helmholtz

Ecuación escalar de Helmholtz

CapítuloII

CapítuloII


La ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas, está dada por:

2

2

2

2

2

2

11

zrrr

rr(*)

Usando el método de S.V. La solución se asume de la forma:

R(r) () Z(z)

Sustituyendo en (*) y dividiendo por se tiene:

CapítuloII


22

2

2

2

2

111

dz

Zd

Zd

d

rdr

dRr

dr

d

rR

Constante de propagación en la guía

(**)

(a)

CapítuloII

zdz

Zd

dz

Zd

Z gg2

2

22

2

21 1 )

Dado que el lado derecho de (**) es una cte., entonces, la suma de los términos del lado izquierdo debe también serlo. En particular el término (a) es una cte.


La solución general de (1) es:

zz gg eBeAzZ

Reemplazando (1) en (**), arreglando y multiplicando por r2 obtenemos:

01 222

2

2

rd

d

dr

dRr

dr

d

R

rg

CapítuloII

(b)

Con el mismo raciocinio anterior, ahora (b) debe ser una cte. (n2)


2

2

2

n

Cuya solución es:

nBnA nn cossen

Hay una onda estacionaria en el sentido azimutal ().

Hay una onda estacionaria en el sentido azimutal ().

CapítuloII


Análogamente al caso anterior, reemplazando -n2 en (**) y multiplicando por R, se obtiene:

022

Rnrkdr

dRr

dr

dr C

Ecuación de Bessel de orden n

222gck

donde

Ecuación característica de Bessel

Ecuación característica de Bessel

CapítuloII


Para el caso de las GG.OO. sin pérdidas, la ecuación anterior, se reduce a:

22cg k ; g = g+jg

La solución a la ecuación de Bessel es de la forma:

R (r ) = Cn Jn ( kC r ) + Dn Nn ( kC r )

función de Bessel de orden n del primer tipo que representa una onda estacionaria (r < a).

función de Bessel de orden n del 2º tipo que representa una onda estacionaria (r > a).

CapítuloII


= [Cn Jn (kC r) + Dn Nn (kC r) zjnn

genBnA cossen

La solución total para la ecuación de Helmholtz

R Z

CapítuloII


2.2.1 Aplicando las condiciones de borde en la guía de ondas.

En r = 0, kc r = 0 Nn

Sobre el eje z, en r = 0 el campo debe ser finito

Cn Jn (kCr) zjnn

genBnA cossen

Dn = 0

CapítuloII


Además,

nFB

AnBAnBnA n

n

nnnnn costgcoscossen 122

0 Jn (kCr)

zj gen cos

CapítuloII


2.2.2 Modos TEnp

n: número de ciclos de en dirección , en 2 radianes.

p: número de ceros del campo E en dirección

radial, excluyendo el origen.

Obs:

Para los modos TEnp

Ez =0 existe Hz 0

CapítuloII


La ecuación de onda es solución para Hz

Hz= Hoz Jn (kcr) zj gen cos

Solución a la cual se aplica condiciones de borde en el interior de la guía.

E =0 : campo tangencial

Hr =0 : campo radial r = a

CapítuloII


Considerando las ecuaciones de Maxwell

HjEx

EjHx

Desarrolladas en coordenadas cilíndricas:

rz Hwj

z

EE

r

1

Hwjr

E

z

E zr

zr Hwj

E

rrE

rr

11

rz Ewj

z

HH

r

1

Ewjr

HHj z

rg

zr Ewj

H

rrH

rr

11

CapítuloII


Considerando EZ= 0 y gjz

z

C

r

H

rk

wjE

12

r

H

k

wjE z

C

2

0zE

r

H

kjH z

C

gr

2

z

C

g H

rkjH

12

conocidoH z

222gC wk

CapítuloII


Las condiciones de borde implican:

E = 0 en r = a 0

arr

H z

Forzando esta condición en la expresión para Hz

OZZ Harr

H

J’n (kca) 0cos zj gen

J’n (kca) = 0.

Hr = 0 en r = a 0

arr

H z

CapítuloII


Así, los valores permisibles de kc pueden ser escritos

como:

Obs:

Esto se satisface para la secuencia infinita de J’(kca), es decir, los máximos y mínimos de las curvas J(kca).

J’n (kca) = J’n (kcr) ar

a

Xk np

c

' X'np = kC a

Ceros de J’n (kca) para los

modos TEnp

(Tabla 4-2-1 de Liao)

CapítuloII


00 1 2 3 4 5

1

2

3

4

3.832 1.841 3.054 4.201 5.317 6.416

7.016

10.173

13.324 11.706

8.536

5.331 6.706

9.696

13.170

11.346

8.015 9.282

12.682 13.987

10.520

np

----- ----- -----


CapítuloII

Ceros de J’n(kca) para los modos TEnp


Reemplazando adecuadamente, las expresiones para el campo E.M. son:

zjnpnorr

genra

XJEE

sen

'

zjnpno

genra

XJEE

cos

''

Ez = 0

CapítuloII


zjnpn

g

o

zjnpnorr

g

g

enra

XJ

Z

E

enra

XJHH

cos'

'

cos'

'

zjnpn

g

or genra

XJ

Z

EH

sen

'

zjnpnozz

genra

XJHH

cos

'

CapítuloII


r

rg H

E

H

EZ

donde

Impedancia de onda

Obs:

Con kc se puede calcular fc del modo de propagación.

Con el valor más pequeño de la tabla se obtiene fc del modo de dominante, que en este caso es el modo TE11.

Por lo general, se opera en el modo de dominante.

CapítuloII


En el rango de frecuencia de corte del modo dominante y la frecuencia de corte del modo inmediatamente superior.

En este caso:

TE11 TE21

f

Si se trabaja con una frecuencia menor a la indicada por el modo dominante ( fc ), no existe transmisión.

Modo evanescente

CapítuloII


Parámetros de importancia para los Modos TEnp

2

2 '

a

Xw np

g

a) Constante de fase:

a

Xf np

C2

'

b) Frecuencia de corte:

CapítuloII


c) Velocidad de fase:

2

1

ff

VwV

C

pd

gpg

1pdV

donde

d) Longitud de onda:

2

0

1

ffC

g

CapítuloII


2

0

1

f

f

wZ

Cg

g

e) Impedancia de onda en la guía:

f

c0

120

0

00

donde

CapítuloII

Obs.: sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.


2.2.3 Modos TMnp

Debido a que en los modos TMnp no existe componente

de campo magnético en dirección de propagación

Obs:

El análisis es equivalente al caso anterior.

Hz =0 EZ 0

zz EE 22 zjCnozz

genrkJEE cos

CapítuloII


Aplicando condiciones de borde, se obtiene:

0arEz Jn (kC a) = 0

Xnp = kC a a

Xk np

C

Las raices de Jn (Xnp) son infinitas.

Ceros de Jn (kCa) para los

modos TMnp


CapítuloII


00 1 2 3 4 5

1

2

3

4

2.405 3.832 5.136 6.380 7.588 8.771

5.520

8.645

11.792 13.324

10.173

7.106 8.417

11.620

14.796

13.015

9.761 11.065

14.372 -----

12.339

np

----- ----- -----


CapítuloII

Ceros de Jn(kca) para los modos TMnp


De las ecuaciones de Maxwell y considerando

gjz

Hz = 0 y

zjnpnorr

genra

XJEE

cos'

zjnpno

genra

XJEE

sen

CapítuloII


zjnpn

g

or

genra

XJ

Z

EH

sen'

zjnpn

g

or genra

XJ

Z

EH

cos'

Hz = 0

zjnpnozz

genra

XJEE

cos

CapítuloII


r

rg H

E

H

EZ

donde

Impedancia de onda

Obs:

Para estos modos, el modo dominante es el modo TM01.

Pero como TE11 es menor que TM01,.

El modo dominante para guías de onda circulares es el modo TE11.

CapítuloII


a) Constante de fase:

b) Frecuencia de corte:

2

2

a

Xw np

g

a

Xf np

C2

Parámetros de importancia para los Modos TMnp

CapítuloII


c) Velocidad de fase:

1pdV

donde

2

1

ff

VV

C

pdpg

CapítuloII


d) Longitud de onda:

e) Impedancia de onda en la guía:

2

0

1

f

fC

g

2

0 1

f

f

wZ Cg

g

CapítuloII

Obs.: sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.


2.2.4 Potencia Transmitida en GG.OO. circulares.

ddrrEEZ

P r

a

gtr

22

0

2

02

1

ddrrHHZ

P r

ag

tr

22

0

2

02

Obs:

Con respecto a pérdidas de potencia. Idem a GG.OO. Rectangulares.

CapítuloII

CapítuloIIGUIAS DE ONDAS CIRCULARESGUIAS DE ONDAS CIRCULARES

2.2.5 Analogía entre GG.OO. y Líneas de Tx. TEM.

Existe una analogía entre las intensidades de campo E y H de las ondas TE-TM y los voltajes y corrientes de líneas de Tx., adecuadamente terminados (sin reflexión).

Existe una analogía entre las intensidades de campo E y H de las ondas TE-TM y los voltajes y corrientes de líneas de Tx., adecuadamente terminados (sin reflexión).

EwjHx

HwjEx

Recordando las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas rectangulares:


xyz Ewj

z

H

y

H

yzx Ewj

x

H

z

H

zxy Ewj

yH

x

H

CapítuloII

yzx Hwj

x

E

z

E

zxy Hwj

y

E

x

E

xyz Hwj

z

E

y

E


Para las ondas TM

Hz= 0 Existe Ez

0

xyz Ewj

z

H

y

H

O bien, (x E)z = 0

CapítuloII

Es decir:

En el plano xy el campo eléctrico no tiene rotacional.


El voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero.

El campo eléctrico en este plano puede expresarse como el gradiente de algún potencial V.

El campo eléctrico en este plano puede expresarse como el gradiente de algún potencial V.

x

VEx

y

VEy

CapítuloII

Potencial


Ahora, si tomamos la ecuación y se considera Hz = 0, queda:

xy Ewj

z

H

x

E

k

jwH z

C

y

2

x

VEx

y como

x

Vjw

x

E

k

jw

zz

C

2

queda

CapítuloII


Intercambiando el orden de derivación

dxVjwx

Ek

jw

zx z

C

2

VjwEk

jw

z z

C

2

donde

2

1

Ck: [m2]

jw Ez : Densidad de corriente longitudinal

de desplazamiento [A/m2]

CapítuloII


Vwjz

I z

()

Corriente en la dirección z.

YVz

I

; Y : Admitancia paralela.

Esta ecuación es similar a la ecuación de la línea de Tx.

CapítuloII


x

E

k

jwwj

x

E

z

E z

C

zx2

x

E

k

w

x

E

z

E z

C

zx

2

2

Ahora, si consideramos la ecuación y se reemplaza nuevamente Hy, se obtiene:

CapítuloII

12

2

C

zx

k

w

x

E

z

E

Arreglando se logra:

12

2

C

z

k

w

x

E

x

V

z

dxk

wE

xz

V

x C

z 12

2

Esto se reemplaza en

Cambiando el orden de derivación


zC

Ek

w

z

V

2

2

1

Arreglando


zC Iwj

kwj

z

V

2

()

2

2

C

zC

k

Ewj

wj

kwj

z

V

zIZz

V


2

1

Ckwj

wjZ

donde

CapítuloII

: ImpedanciajwLRZ

kc2

Obs:

Las ecuaciones ( ) y ( ) son las ecuaciones diferenciales de una línea de Tx. sin pérdidas.


2.2.6 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TM.

kc2 kc

2 kc2

CapítuloII


a) Modos TE ( Ez= 0):

En este caso

0

zyy Ewj

y

H

x

H

Por tanto:

(x H)z = 0

No existe rotacional para H en el plano xy.

El voltaje magnético a través de un camino cerrado es nulo.

CapítuloII


x

UH x

y

UH y

xy Hwj

z

E

Es posible definir en el plano xy un potencial escalar magnético U.Es posible definir en el plano xy un potencial escalar magnético U.

Tomando la ecuación y considerando Ez = 0

CapítuloII


x

H

k

wjE z

C

y

2

x

UH x

x

Uwj

x

H

k

wj

zz

C

2

sabiendo que:

CapítuloII


Cambiando el orden de derivación se logra:

dxUwjx

Hk

wj

zx zC

2

UwjHk

wj

z z

C

2

Uwjz

V

IZz

V

Tiene dimensiones de voltaje

Dimensión de corriente.

CapítuloII


Considerando la ecuación y reemplazando:

y

H

k

wjE z

C

x

2

Y

H

k

w

z

H

y

H z

C

yz

2

2

12

2

C

zy

k

w

y

H

z

H

CapítuloII


Reemplazando en y cambiando el orden de derivación :

dxk

wH

yz

U

y C

z 12

2

z

C

Hk

w

z

U

12

2

z

C

C Hk

wjwj

wj

k

z

U2

2

Se obtiene:

VYz

I

CapítuloII


2.2.7 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TE.

kc

2

kc

2

CapítuloII


2.2.8 Configuración de campos EM y métodos de excitación de modos en GG.OO. Circulares.

CapítuloII

GUIAS DE ONDAS CIRCULARESGUIAS DE ONDAS CIRCULARESCapítulo

II

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