capacidad: comprende tema: del lenguaje ordinario al

TAREA 1

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS

COLEGIO NACIONAL ENSEÑANZA MEDIA DIVERSIFICADA “PRESIDENTE FRANCO”

MATEMÁTICA Y SUS TECNOLOGIAS

Capacidad: Comprende conceptos y procedimientos básicos del algebra.

Tema: Expresiones Algebraicas

Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico

Las expresiones verbales pueden ser traducidas a expresiones simbólicas o algebraicas y viceversa. Si tenemos una desconocida le asignaremos una letra o variable para poder referirnos a ella. Hay frases que significan suma, resta, multiplicación, división o potencias. Debemos considerar el orden en que debemos escribir la frase.

Por ejemplo: La frase, el doble de un número, puede ser traducida a 2x, donde x es el número desconocido.

A continuación veremos una tabla con las frases más comunes y su correspondiente traducción:

Ejercicio:

1) Transcribe al lenguaje usual las siguientes expresiones algebraicas

a) 2(a +b) b) 1/ x c) (x + y)2 d) 3b3-b2 e) 5/x2 f) 3√

Expresión verbal Expresión algebraica

El cuadrado de un numero

el doble de un número 2x

La mitad de un número

El cubo de un número

el triple de un número 3x

Un tercio de un número

el cuadrado de la diferencia de tres y un número (3 - x)2

x menos que cuatro 4 - x

El cuadrado de un numero menos el mismo

número

Un cuarto de un número

El cuádruplo de un número 4p

2) Identificar expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica es una expresión matemática en la que se combinan números y letras.

3a + 2

Los números se denominan “coeficiente” y las letras “parte literal”.

La letra “a” representa una incógnita, es decir una variable de la que desconocemos su valor y que hay que calcular. El número que acompaña a la letra la va multiplicando.

3a = 3 x a

Los monomios son las expresiones algebraicas más simples. Un monomio es el producto de un número por una o varias letras. Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de sus letras: Ejemplo: 4x2 es de grado 2 3ab2 es de grado 3 7x es de grado 1 Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal

3x2 y 2

5x2 son semejantes, al igual que 5t y 8t son semejantes

2 a2 y 2 a no son semejantes

Ejercicio: Completa la siguiente tabla

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

8x2

5 ab4c2

x2 y

3

4p2 q r

5

7x3y2z

Ejercicio: Escribe 5 parejas de monomios semejantes

Tarea 2

Capacidad: Comprende conceptos y procedimientos básicos del algebra.

Tema: Polinomios

Aprenderemos que son los polinomios, que nos acompañara a lo largo de este

curso. También conoceremos su clasificación, grado y ordenamiento; de esta

manera será más fácil trabajar con ellos en la resolución de operaciones

matemáticas. Además, aprenderemos a hallar el valor numérico de

expresiones algebraicas.

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica que consiste en la suma de dos o

más monomios no semejantes entre sí.

Ejemplos: a+b+c , 2a+3b2-c , 4x2-5y

Clasificación: los polinomios se clasifican según el número de términos en:

Binomios: si tienen dos términos. Ejemplo: -3a-4b

Trinomios: si tienen tres términos. Ejemplo: 2a+3b+c

Cuatrinomio: si tienen cuatro términos. Ejemplo: 3a-5b+4c-5

Grado de un polinomio: Es el que corresponde al término de mayor grado del

polinomio. Recibe el nombre de grado absoluto. Ejemplo: 4xy2-5x3y2-6xy

es de quinto grado porque el término de mayor grado es -5x3y2

El grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente en

relación con esa letra en el polinomio, y recibe el nombre de del grado relativo

polinomio.

Ejemplo: 3a6b-a4b3-2a5b4+3 Es de sexto grado relativo con respecto a la

letra “a” y de cuarto grado relativo con el respeto a la letra “b”.

Polinomio homogéneo: es el que tiene todos sus términos de igual grado.

Ejemplos: 2x3y-3x2y2+2xy3 Todos los términos son del cuarto grado

Polinomio ordenado con respecto a una letra

Es aquel en el cual los exponentes de esa letra van aumentando o

disminuyendo.

Ejemplos: 5-3a+a2-2a3 Está ordenado en forma creciente

4x4+3x3y-2x2y2 Está ordenado en forma de decreciente con

respecto a la letra “x”, y en forma creciente con respecto a “y”.

Polinomios completó con respecto a una letra

Es aquel que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra.

Ejemplo: a4+a3b-a2b2-ab3-b4 Es completo con respecto a “a” y “b”.

Actividades

a) Completa la tabla:

*Clasifica estos polinomios según el número de sus términos

*Determina el grado absoluto y relativo

Polinomio Clasifica Grado absoluto Grado relativo

2a+5a2-4a3 a=

0,25x3y-2x4y2+6x5y3+6 x= y=

y6-2x4y5 x= y=

b) De los siguientes polinomios: marca con una x los que sean homogéneos.

c) Ordena los siguientes polinomios respecto a la primera letra Polinomios Ascendente Descendente

d) Ejemplifica dos polinomios completos a. b.

Valor numérico de las expresiones algebraicas

Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras de la expresión por los

valores numéricos dados y efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo:

*Resuelve: 3a -5b+3, Sabiendo que a=2 y b=3.

Reemplazamos los valores de “a” y “b” en la expresión

3(2) -5(3)+3=6-15+3= -6

*Calcula el perímetro de la siguiente figura.

La fórmula el perímetro es una expresión algebraica: P=2l+2a

P=2l+2a=2(5)+2(2)=10+4=14m

*Halla el valor de

, sabiendo que a=-1, b=2 y c=-2.

(; )

( )

(; )

; ;

Actividad

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones álgebraicas.

X=

a) 12x2y3z…..Si Y=

Z=

a=5

b) 2a√ si b=2

c=3

x=2

c) √

…..si y=3

z=

a=3

d)

si b=4

c=2

d=-2

l=5 m

a a=2 m

l

Área de Matemática y sus tecnologías Prof.: Esp. Liz Paola Pineda Cuba

TAREA 3

Capacidad: Aplica algoritmo y propiedades de las operaciones de adición,

sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas.

Tema: Algoritmos de las operaciones entre monomios

Algunos conceptos del álgebra, por ser muy complicados pueden parecernos

innecesarios; sin embargo, el álgebra nos ayuda en la resolución de problemas de

la vida diaria. Aprenderemos los algoritmos de la adición, sustracción y

multiplicación entre monomios y cómo aplicarlos en situaciones . reales

Algoritmos de la adición y sustracción entre monomios

Tanto en la adición como en la sustracción entre monomios se procede de

diferentes maneras según sean estos semejantes o no semejantes.

Adición de monomios semejantes

Para sumar dos o más monomios semejantes, se suman sus coeficientes, y al

resultado se le agrega la misma parte literal.

Ejemplo:

*Adiciona: 5x2y -4x2y 3yx2

5x2y - 4x2y) + 3yx2= (5-4+3) x2y= 4 x2y + (

*Adiciona:

( )

(

)

𝟏𝟕

𝟔𝒂𝟑𝒃𝟐

Adición de monomios no semejantes

Si los monomios no son semejantes, se escribe un monomio a continuación del

otro y se deja indicada la suma.

Ejemplo: 5m3n | -4mn2 | 3m2n3

5m3n + ( -4mn2 ) + 3m2n3 = 5m3n - 4mn2 + 3m2n3

*Adiciona: 5m3n | -4mn2 | 3 n m3=

(5+3) m3n+ (-4mn2)= 8m3n-4mn2

=

; . ; . : .

; ; 8:

; 7


Sustracción de monomios semejantes

Para restar dos monomios semejantes se suma al minuendo el opuesto del

sustraendo.

Ejemplo: Del monomio -12a2bc, restar 6a2bc

Minuendo opuesto del sustraendo

-12a2bc - 6a2bc = (-12-6) a2bc = -18 a2bc

Sustracción de monomios no semejantes

En este caso, la resta no se puede resolver y se deja indicada la operación.

De 18xyz, restar -4x4

18xyz- (-4x4)= 18xyz + 4x4

Actividad

I. Halla la suma de los siguientes monomios

a) -5az2 | 2az2 |-3az2

b)

x3y2z |

x3y2z |

8 x3y2z

c) 2m2n2 | -4 m2n2 | -8 m2n2

d)

x4 |

x4 | 0,5x4

e) √ xy2 | √

xy2| -3xy2 | √ xy2

f)

z2 | -5y2 |0,75z2 | -0,5y2

II. Calcula la diferencia entre los siguientes monomios

a) De

x2y2 resta

x2y2

b) De -2,5xyz resta 0,5xyz

c) De

z2 resta

z2

d) Resta 12a2b de 32a2b

e) Resta

mn de

mn


Tarea 4



Tema: Algoritmo de multiplicación y división entre monomios

En la multiplicación y división de monomios, no importa que estos sean o no

semejantes, se procede como veremos a continuación.

Multiplicación de monomios

Para multiplicar monomios se multiplican por un lado los coeficientes y

por otro, la parte literal entre sí; como resultado se obtiene un

monomio cuyo grado es la suma de los grados de los monomios

multiplicados.

Ejemplo:

*Multiplica los monomios

y

(

) (

) = (

.

) ( . ) =

Calculo auxiliar

(

.

) =

: : =

*Multiplica: -3xz2 ;

; -4xyz

(-3.

. -4)(xz2.x3yz2.xyz)= 2x5y2z5

División de monomios

Para hallar el cociente entre dos monomios, se dividen por separado los

coeficientes entre sí y las partes literales entre sí. El cociente es otro

monomio, cuyo grado es la diferencia de los monomios divididos.

*(-12a4b3c): (-20a2b2c)= ;

; =

; ; ; =

*(

):(

)=

;

;

; ; = 9

El producto de los extremos: numerador El producto de los medios: denominador


Potencia de un monomio

Para hallar la potencia de un monomio, se elevan el coeficiente y la

parte literal a la potencia indicada, aplicando las propiedades de la

potenciación.

Ejemplo: (

)

(

)

[(

) ]

. . . = 9

x4y4z2

Actividades

1. Halla los siguientes productos.

a.

cba.ca.ab 2392

6

1

3

1 d.

cab.ca.abc, 2

2

1210250

b.

yx.xy,.yx 2

2

53023

3

2 e.

a.ab.ab.ba

15

133252

2

1

c.

)mx.(xm,.m.m, 3221021050 f.

bnm.mn.nm 34

3

102

16

14

25

4

2. Calcula el cociente de las siguientes divisiones.

a.

cbacba 22203412 e.

nmnm 2

7

332

2

7

b.

32200432100 ymnynm f.

cba,cba, 321043350

c.

zyxzyx 23

8

12358 g.

abccba 233320

d.

2433644418 zyxzyx h.

yzmxmzyx 57235

7

1

3. Calcula las siguientes potencias.

a.

2

25 xy d. 5342 )cab(

b. 336 )mn( e. 222

3

1)zxy(

c.

3

32

2

1cba f. 632

3

1)rqp(

𝑥𝑛 . 𝑥𝑚 𝑥𝑛:𝑚

𝑥𝑛

𝑥𝑚 𝑥𝑛;𝑚

(𝑥.𝑦)𝑛 𝑥𝑛 .𝑦𝑛

(𝑥)𝑛 𝑚 𝑥𝑛 .𝑚

Recuerda: Propiedades de la

potenciación


Tarea 5



Tema: Adición de polinomios.

Adición de polinomios

La suma de polinomios es otro polinomio formado por la suma algebraica de los

términos semejantes.

Pasos para sumar

Se ordenan los polinomios en forma descendente o ascendente, cuidando

que los términos semejantes queden en columnas.

Se reducen los términos semejantes, sumando algebraicamente los

mismos.

Ejemplo:

Adición entre polinomios y monomios

*(3x3-2x2+4x+5) + 6x2=

3x3-2x2+4x+5+ 6x2 =

Adición entre polinomios

*(-2y2-1+3y3+y) + (2y-5+3y3+2y2)

3y3- 2y2+1y-1

3y3+2y2+2y-5

6y3 3y-6 Respuesta=

Se elimina porque el resultado es cero.

*(3a-2b+4) +(6b-4c-5)+(8b+6a) 3a- 2b…. +4 .….+6b-4c-5

6a +8b……..

Actividades

1. Expresa la suma de polinomios en forma reducida.

a. aaa 453 d. 33238 xxx

b. 245232 aabaab e. abab4

1

2

1

c. mnmnm4

132

3

1

2

1 f. cbacba4

12

2

1

2

13

4

1

6y3+3y-6

3x3+4x2+4x+5

9a+12b-4c-1


2. Adiciona los siguientes polinomios.

a. cbacba 264246

b. yxyxyx 445628

c.

222352826 baabbaba

d. 3226126108 yxyxyx

e.

713625411517 uvuvuvuv

f.

43263322 xxxxx

g.

2

3

242

2

122

3

1250 babaabba,

3. Expresa el perímetro de cada figura, como un polinomio reducido, considerando que los lados son polinomios. Ejemplo: X+2 P= l + l + l + l

P= (X+2)+(X+2)+(X+2)+(X+2) a. c.

b. d.

*Libro Matemática 8° grado- Página: 26 al 28

4. Efectúa las siguientes adiciones

a) (6a3-3a2b+ab2+b3) + (-4a2b)= b) 24xy + (4x3y-8x2y2+4xy+5)=

P= 4X+8


Tarea 6

Capacidad: Aplica algoritmos y propiedades de las operaciones de adición, sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas. Tema: Sustracción de polinomios

Sustracción de polinomios

La resta de polinomios es otro polinomio formado por la resta de los términos semejantes.

Pasos para restar polinomios Se ordenan los polinomios en forma ascendente o descendente,

cuidando que los términos semejantes queden en la misma columna. Se restan los términos semejantes, cambiando previamente los signos

de los términos del polinomio sustraendo, ubicados encima de cada uno.

Se suman algebraicamente los términos semejantes. Ejemplo:

(7m3-2m2+m-3) - (-m2+2+5m3) 7m3-2m2+m-3 + - 5m3+ m2 -2 2m3- m2+ m-5

Paso-1: Alineamos los términos semejantes en columnas

Paso-2: Cambiar todos los signos del segundo renglón

Paso-3: Sumar

Errores comunes


Actividad 1. Efectúa las siguientes sustracciones de polinomios.

2. Resuelve estas sustracciones.

a. De abba 8262 resta 2523 baba

b. De aaaa 101524463 resta 64225385 aaaa

c. De 5

2

1435

9

1xxyy resta xyxy 42553

d. Resta 2

5

1

6

1bab de 2

5

32

9

2ba

e. Resta nmnmmn 2

6

13

10

33

5

12 de 3

5

132

4

12

3

1nmmnnm

3. Dados los polinomios A= 50332 ,xx

; B= xxx 2235 y C=

14 x .

Calculo las operaciones indicadas:

a. ( A + B ) – C = c. B + C – A =

b. A – ( B + C ) = d. A – ( B – C ) =

Página del libro: 29 a 30

a.

b.

c.

d.

e.

f.


Tarea 7

Capacidad: Aplica algoritmos y propiedades de las operaciones de adición, sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas. Tema: Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un polinomio por un monomio

El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio que se obtiene multiplicando el monomio por cada término del polinomio.

Pasos para multiplicar un polinomio por un monomio

Se ordena el polinomio en forma descendente o ascendente (si es posible)

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio, siguiendo los procedimientos ya conocidos. Multiplicación de polinomios El producto de polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.

Método 1: Aplicando propiedad distributiva

(-7-8x3+2x-x2)(-3x)=

-8x3.-3X -x2.-3X +2x.-3X -7.-3X=

24X4+3X3-6X2+21X

Método 2: Método práctico -8x3-x2+2x -7 -3x

24X4+3X3-6X2+21X

Pasos para multiplicar polinomio

Su ordenar ambos polinomios en forma descendente (si es posible).

Se completan los polinomios si estos son incompletos.

Se multiplica cada término del segundo polinomios por cada término del primer polinomio.

Si utilizamos el método práctico, se colocan los términos semejantes en cada columna (uno debajo del otro).

Se reducen los términos semejantes.

Método 1: Aplicando propiedad distributiva

(2y2+5y-7)(5y+2) 10y3+25y2 -35y+4y2+10y-14 = =

10y3+29y2-25y-14

Método 2: Método práctico 2y2+5y-7 5y+2 10y3+25y2 -35y 4y2+10y-14

10y3+29y2-25y-14

Ejemplo de áreas de figuras.

A =2x A =2v A =3x.x= 3x2 A = y.y= y2 A =l.a =4x.x =4x2

Atotal= A + A Atotal= A + A Atotal= 2x+2v Atotal= 3x2+y2

Los exponentes en la

multiplicación, se

multiplicarán los términos y

se sumarán los exponentes.

Ej. :(5x2) (3x)= 15x

3

4x

x


Actividades

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones, aplicando la propiedad distributiva:

2. Calcula los siguientes productos.

a.

121323 x.xxx

b.

mm.mmmm 2312345

c.

82432237 xx.xxx

d.

32122 y.yy

e.

nm.nmnnm 234222

f.

105123253 x.xxx

3. Expresa el área de cada figura, mediante un polinomio.

a. c.

cmx 13 cmx 83

cmx 3 cmx 82

b.

Recuerda: A = l2 A = l.a

Páginas del libro: 31 al 34

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.


Tarea 8

Capacidades: Aplica el algoritmo de la división con expresiones algebraicas: Tema: División de polinomios.

División de un polinomio entre un monomio

Al dividir un polinomio entre un monomio resulta otro polinomio cuyos términos se

obtienen al dividir cada termino del polinomio entre el monomio.

Pasos para dividir un polinomio entre un monomio

Se ordena el polinomio en forma ascendente o descendente

Se divide cada termino del polinomio entre el monomio

(18x3-24x2+12x): (6x)

18x3-24x2+12x 6x -18x3 3x2 -4x+2 0 -24x2

+ -24x2 0 12x - 12x (0)

(2x4-4x3+8x2-12x) : (2x)

División de polinomios

Se ordenan ambos polinomios en forma descendente.

Se completa el polinomio dividiendo en caso de que el polinomio sea incompleto.

Se divide el 1er término del dividendo por el 1er término del divisor, de esta manera

obtenemos el 1er término del cociente.

Se multiplica este cociente por cada término del divisor.

Se resta el polinomio obtenido del dividendo.

Se baja el siguiente termino en el dividendo, en el 1er término del residuo se vuelve a

dividir por el 1er termino del divisor.

El proceso se repite hasta obtener un residuo de grado menor al grado del divisor.

Ejemplos: (x5+2x3-x-8) : (x2-2x+1)


Actividades

1. Calcula cada una de las siguientes divisiones.

a.

22245468 xxxx d.

323124664 xxxx

b.

233941256 mmmm e.

27335221414 mmmm

c.

2888316564 yyyy f.

23239412523 mnnmmnnm

2. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a.

12212822344 xxxxxx

b.

652453154126222 mmmmmm

c.

1562 xxx

d.

2252334 mmmm

e.

aaa 4391828

f.

3563125 aaaa

g.

1212234 xxxx

h.

52622335 mmmmm


3. Resuelve los siguientes problemas.

a. Un terreno rectangular tiene una superficie de

12522 xx 2cm . Si uno de sus lados es igual a 4x

cm ¿Cuánto mide el otro lado?

b. Un jardín triangular tiene una superficie de

121022 xx 2m . ¿Cuál es su base si su altura es de

3x m ?

Página: 39 al 42

Tarea 9

Capacidades: Aplica el algoritmo de la división con expresiones algebraicas. Tema: Regla de Ruffini

*Recordamos los pasos seguidos al realizar la siguiente división (x4 − 3x² + 2) : (x − 3)

x4 + 0x3− 3x² + 0x + 2 x − 3 - x4 +-3x3 x3 +3x2 +6x+18 3x3 -3x2 -3x3+-9x2 6x2 -6x2+-18x 18x + 2 -18x +-54 (56) La regla de Ruffini es un método que permite:

Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …) Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-a Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …) Calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3

Páginas:

43 a 44

Si el polinomio

no es

completo, lo

completamos

añadiendo los

términos que

faltan con

ceros.


Actividades

Resuelve las siguientes divisiones de polinomios, aplicando la Regla de Ruffini.

a. 28243

xxxx e. 112343

mmmmm

b. 11223354

xxxxx f. 132356

mmmmm

c. 2352243

xxxx g. 2246532

yyyy

d. 113233

xxxx h. 322134

nnnn

Tarea 10

Capacidades: Aplica el algoritmo de la división con expresiones algebraicas.

Tema.: Teorema del Residuo

Conversamos sobre la clase pasada, si surgen dudas aclaramos las mismas. Aplicamos la Regla de Ruffini para resolver la siguiente división.

4 2 -1 3

-1 -4 2 -1

4 -2 1 (2)

Cociente: 4x2-2x+1 Resto: 2

Teorema del resto El teorema del resto establece que el resto de la división de un polinomio P(x) por un binomio de la forma (x-a) es igual el valor numérico del polinomio evaluado x=a. Esto significa que se puede calcular el resto de una división sin tener que hacerla cuando se divide un polinomio por (x-a). El siguiente ejemplo muestra cómo aplicarlo. Determina el cociente que se obtiene al dividir. 4x3+2x2-x+3= 4(-1)3+2(-1)2-(-1)+3= 4.-1+2.1+1+3= -4+2+1+3= 2

1. Aplica el Teorema el Residuo para calcular el resto de las siguientes divisiones.

a. 21092433

mmmm c.

5

1520345 aaaa

b. )x()xxx( 1543552 d.

3

223246 nnnn

2. Resuelve las divisiones aplicando la Regla de Ruffini, verifica el resto aplicando el

Teorema del Residuo.

a. )x()xxx( 2652432 c. )x()xxx( 313224

b. )a()aaa( 122336 d. )x()xxxx( 11222324

1324 23 xxxx

1.324 23 xxxx

capacidad: comprende tema: del lenguaje ordinario al

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