RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO - 11

• CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltan tes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.

Criterio:

Casos:

1.

~ A L B

2 .

3.

C

¿jI /'\ 'B

1)

Lado desconocido Lado conocido

R.T.(~ conOCido)

BC L

Tana => BC ~

11 ) AC L

=> AC~

1) AB ~ Cota => AB = L

11) AC = => AC= L

1) BC = Sena => BC = L

11) AB = => L

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• S UPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.

B

S S b·h abemos: ABC = 2 pero: h = aSenC

a b aSenC

luego: S ABC = 2

b e

Análogamente

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EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:

a

a) K2Sena.Cosa

e) (K 2 / 3)Sena.Cosa

e) (K2 / 5)5ena.Cosa

K

b) (K2 / 2)Sena.Cosa

d) (K2 / 4)Sena.Cosa

02. En un triángulo isósceles ABC (AB= BC) se sabe que los ángulos congruentes miden "a " mientras que el lado desigual mide "L". Hallar uno de los lados congruentes.

a) t Seea b) t Csca

d) tCtga e) tCosa

03. Obtener "x", en:

L e) "2 Tga

a

m

a) mSen a b) mCos a e) mSee a d) mCsea e) mTga

04. Obtener "x"

O 8

a) R(l- Sen8)

e) R(1- Cos8)

e) R(l- Tg8)

A

B

b) R(See8 - 1)

d) R(Csc8 -1)

05. En la figura, halla "x".

B

m n

A~a~ __ -{:x~ ____ ~P~C

a) mSena + nCosp

e) mCosa + nSenp

e) mSena + nSeep

06. Halla "x" en:

b) mCosa + nCosp

d) mSeea + nSeep

[Lo BI m I

a) mSecuTga

e) mCosaCtga

e) mTga

07. Halla "x":

a) m5ena.Cotp

b) mCosaCsca

d) m5enaCosa

b) mSena.Tanp

e) mSena.Senp d) mCosa.Cotp

e) mCosaTanp

08. Hallar "x":

~o. A m C H

a) mSen 28

e) mSen8Cos8

e) mSec8Csc8

b) mCos 28

d) mSen8Tg8

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09. Hallar "x", de la figura:

a) mSenO.CosO

e) mSenO

e) mTg8

b) SenO.CosO

d) mCosO

10. Del gráfico, hallar: AC .

B

m n

C=x ______ y= A

a) mSenx+nSeny e) nSenx+mCosy e) mSeny+nCosx

b) mCosx+nSeny d) mCosx+nCosy

11 . Del gráfico, hallar "x", si: ASCD es cuadrado.

12.

D,IIo::..l.lU"-------C m

a) mll- Sena) b) mll- Cosa)

e) mll - Tga) d) m(l- Ctgu)

e) mlTga- Ctgu)

Obtener "AS'":

A O

a) RICseO + CtgO) b) Rll + CtgO)

e) R(l + CseO) d) Rll + SenO) e) 2R+ 1

C

B

13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.

a) RSenO

e) Rll - SenO)

e) Rll- 2CosO)

14 . Hallar "x".

a) mSenaSen~

e) mCosuCos~

e) mTgaCtg~

m

O

x

B

b) RCosO

d) Rll - CosO)

b) mSenuCos~

d) mCosuSen~

15. Hallar la distancia mínima del punto "pOI a la circunferencia:

p

a) RCsce b) RICseO - 1)

e) RITgO + 1) d ) RICtgO -1)

e) RICseO + 1)

16. Determine "x" en: C

m

O a A D B

x

a) mSena.CosO b) mSenu.SeeO

e) mSenu.ctgO d) mCosu.CtgO

e) mCosu.TgO

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17. Hallar "x".

B

a

A

a) SenO + aCosO

e) bSenS - aCosS

e) aSeeO+bTgS

x C

b o O

b) bSenS + CosS

d) aSenS + bCosS

18. Oelennine el perímetro del triángulo ABe.

a) mil + SenO + CosO)

b) mil + SecO + TgO)

e) mil + CseO + CIgO)

d) mil + SecO + CseSI

el mil + TgS + CtgOI

19. Hallar: "x" en:

al mCIgSCosO

el mTgOSenO

el mSenO

bl mTgO.CosO

d) mTgO

20. Del gráfico. hallar: "Ctgx".

~ 2SeeO-CosS

bl SenO + CosO

al SenO SenS

el Seco + CosS di

Csc8 + SenO SenO CosS

el SeeS-CosO

SenO

2 1. Del gráfico, determine "x".

s

m

al m·SenS bl m·CosO el m ·SeeS

dl m·CscS e l m ·TanS

22 . Oelenninar CO .

B

e a

e D

al mTana · SenS bl mCIga· CosS

el mTana ·CosO di mTana.·CseO

el mCIga.· SenO

23. Del gráfico, hallar "x".

45'

1---- m - -f-- x --l

m m al Tana-l bl Ctga-l

m m el 1-Ctga di 1- Tana.

el mil + Tanal

24. Determine "x" en :

al m ·SenS ·Sena bl m ·SenS·Cosa

el m· SenO· Seca di m CosS · Seca.

el m ·CosS·Sena

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25. Determine I1x" en: 1--- m ---l

9

x

e) m . Sen29 d) m· Cse29

e) m·Sec9·Csc9

26, Si ASCD es un cuadrado, determine "x",

B

L 1 A cx

1 D

a) L· Sen2a b) L Cos2a

e) L·(Sena +Cosa) d) L ·Sen2a·Cosa

e) L.Sena·Cos2a

27. Del gráfico, hallar "x":

f-- m---l

9

9 1---- x ---l

a) m · (See29 - 1) b) m· (Csc29 - 1)

e) m .(Tan29 - 1) d) m. (Ctg29 - 1)

e) m.(Tan29-Ctg29)

28. Del gráfico, hallar "x". si ABCD es un cuadrado.

a) nSen9

d) nCse9

A B

n T x

1

e

b) ncose

e) nCtg9

e) nTan9Cse9

29. Del gráfico, hallar: ED.

C

9

E m

9 A D B

a) mCtg9 b) mSec9 e) mSee29

d) mCtg29 e) mTan29

30, En el gráfico, hallar Mp, en términos de" a" y" 8 "; ti a"

M

a) (a+b·Cos9)·Seea

e) (a + b· TanS)· Ctga

e) (a + bSen9)· Csca

N

R---'a-'" P

b) (a + b· Cos9)· Csca

d) (a - bSee9)· Tana

31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx es igual a:

a)2TanC e) 2TanB e) 2(TanC + TanB)

b) TanB + TanC d) TanC + CtgC

32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al área del triángulo ABe. El valor de a será:

D

a

C

a A B

a) AreTan(1) b) AreCtg (1)

e) AreTan (12) d) AreCtg ( 12) e) AreTan../2

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33. En la región limitada por una circunferencia de radio R y dos tangentes a ésta; se quiere inscrib ir otra

circunferencia {de radio menor que R}. Si las tangentes se intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A qué distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse el centro de la circunferencia inscrita?

al R ( 1 +Sena ) bl Sena l -Sena

R ( I - Sena ) Sena l +Sena

el Sena (I-Sena) d l ----ª--- (l+Sena) R Sena

el -R-(I -Sena) Sena

34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, Y. 9

C OA= x

AC=y B

o A

al OB = xCosO + ySen9

BC = xSenO + yCos9

bl OB = xCosO - ySenO

BC = ySen8 - xCos8

el OB = xCosO + ySenO

BC = xSenO - yCosO

d l OB = xCosO + ySenO

BC = yCosO - xSenO

el OB = xCosO-ySen8

BC = xSenO-yCos9

35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la

circunferencia de centro 0 , ARo = a; RS II AB , AB=a. Hallar el radio de la circunferencia.

al a -2Cosa

a el 2Sena

el a -lCosa 2

s

a bl --

2Cosa

dl aSena

36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los

triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego SenO es:

3-15 a l -6-

l -3+15

e 6

el J3 -615

A~---,;F"--_B

E

D---_---"1.L::II

bl 3+15 6

dl J3+615

37. En la figura mostrada, son conocidos: a . 9 Y h.

Entonces los valores de x e y son dados por:

T

f o y

""'"""a'---------v-- -- 1

h2 h2Tan2a. el x Tan2S - Tan2o.

; y Tan2e- Tan2a.

h2 h2Tan2a dl x

(T anS - T ana.)2 ;y

(Tan9 - Tana)2

el x = hTana TanO ; y = h2TanaTanO

38. En la siguiente figura , hallar (x + yl si:

AS = 3y AC= 27 16

A

x B

al 5,14 dl 4,19

bl 5,19 el 5 ,29 el 3,19

C

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39. De la figura hallar:

al 3,15 di 3,00

F = 6Tanz -3Tany CtgxTanyTanz

b12,35 el 3,20

el 4,30

40. En un triángulo rectángulo BAC. se cumple que

CosBCosC = ,Jz . 4

Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que

esta mide 6,Jzm .

al ,J2 m

di .J5 m

bl13m

el .,f7 m

el3m

41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 64 m2 y

tal que PC = BP'.

42.

Hallar: AM Si:AP= 6m

B

P'

C:L-- - - --".JO

al 12,[5 m bl 1; 13 m el 1; 13 m

di 1;,[5 m el 1213 m

En la siguiente figura, G es el baricentro del triángulo

ABC, AD = BO y 3Sena - Cosa = 3 Hallar la tangente del ángulo OCG.

B

G

a A O C

al3 bl ~ 1 3 el 3'

di .1 1 el-

2 2

43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx Ctgy Si: AB = AD = 1 ; OC = 2

B

~ A O C

1 al-

2

di .1 4

1 bl -

3

el1

el2

44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra el globo respecto del lago?

GIO~~9 ".)~ ..... "II!

H

~~ ........ .... . ~ Lago

al HCos2a

el HSee2a

el HCtg2a

", :

bl HSen2a

di HCse2a

45. En la figura : OC = 2AB = 2. Calcular el área del triángulo EFG.

~ B F C

1 al 18 Tana

2 el 45 Tana

el i(Tana + Ctgal

bl :5 Ctga

di ..l.(Tana + Ctgal 18

46. En un sector circular, cuyo ángulo centra1 es ex , está inscrito un cuadrado de lado L. El radio de la circunferencia correspondiente es:

1

al ~[Ctg2(~) +Ctg(~l+ 5]2

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1

bl t[ Ctgt~} 2Ct9( ~ )+5]2

1

el t [ Ctg2(~ 1 +4Ctg(~)+5]2

dl t[Ct9(~) +2] 1

el t[Ct9(~) +2]2 47. Se tiene un triángulo ABe en el que se conocen el lado

AC (opuesto al vértice B, de longitud bl, y la bisectriz de longitud w relativa al vértice B. Hallar el área del triángulo ABe.

al bwC ( A-C) -- 05--3 3

bl bwC ( A- C) -- 05--2 2

el bwC ( A-C) -- 05--3 2

bwC ( A-C) d l -- 05--2 3

bwC ( A-C) el -- 05--2 4

48. Se tiene una poligonal ABCO tal que los ángulos ABC

5rr 3rr y BCD miden 6 y 4 ,respectivamente.

Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangente a los tres segmentos de la poligonal si cumple que:

al 2n m n·m

dl--n+m

Ctg 5rr +Ctg 3rr ~ m BC = n 12 8 Y

bl -"-m

el~

n el-2m

49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KH es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de lado 6. Hallar el radio R.

KN H T

al 2J3Ct9( rr~a) bl 2J3Tan( rr~a )

el 2J3Tan(rr;" 1 dl 4J3Tan( rr~" 1

50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con uno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyo lado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DM divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio

cuyas áreas están en la relación de 1 : 4. Calcule la tangente del ángulo MOe.

AI.----~B

M

8 O C

1 bl1. 1 al - el -4 5 3

dl 1 3 el -4 5

51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazan

dos circunferencias, la primera de radio r que es

tangente a todos los lados del polígono, y la segunda

de radio R que pasa por todos sus vértices.

El valor de la razón * es:

al Sen"'­n

bl Sen....'!... 2n

dl lSen"'- el Cos"'-2 n n

el Sen 2rr n

52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden ~2 -,f2~ ,

está inscrito en una circunferencia.

Calcular la distancia del punto Q al punto medio del

arco MN.

al O,5~

dl ,f2~

bl 1~

el ,f2 ~ 2

el 1 ,5~

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53. En la siguiente figura:

B

a

c------1y 2

La relación 4~ es equivalente a: e

al 2(1-COS~) bI2(1+Cosa)

eI2(1 - Sena) di 2(1+COS~) el 2 (1 - Cosa)(l- Senal

54 . La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto medio del lado AB. Determine CscS

A,--~Q;.-- B s

'--------"D

bl ~ 4 el3 al2

dl4 el 2..[5

55. En la figura, hallar "x":

x

al kSee5S· SenS

el kCtgS.See7e el kSee5S· CosS

f-- k--j

bl kSee 6S·TanS

di kTan8·Cos6e

56 . En el cuadrado ABCO, las áreas de los triángulos OAp, PDC y CBO son iguales. Luego CscS es:

A,-_~O;(---, B

P

C: ~---,,-O.L..:""D

al ~ 3+6..[5

6 el 3-..[5

6 el 3+..[5

bl ~ 5 _613

di ~ 3_6..[5

57. En la figura hallar el valor de "h" en función de a , ~ y

- -Y. Si: y~e, A~o., B~p

C

h

A D B

al Ctgo. + Ctgp y

bl Tano. + Tanp

ySena fJ..

el Seno. + Senp di Ctgo. + Ctgp

e) Cosa + Seny

58. En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el

cateto BA forman un ángulo agudo S. Entonces, Tg6 es:

al2 TanA bl2 CtgA el2TanC di TanA + TgC el2(TanC + CtgAl

59. En la semicircunferencia mostrada, halle:

bl3

1 el '3

K ~ Sen2a Sen2p

el4

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60. Del gráfico, hallar T anS

AP PB Si: - = -

m n

m

al Jn(2m+nl

n

el Jm(2n + ml

el ~2n+m 2m+n

n

bl Jm(2m + nl

di ~2m+n 2n+m

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d

b

b

e b

e b

e b

e b

a b

b e

e b

b e

e b

d b

e d

d a

e a

d e

e e

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