trigonometrÍa -...

1

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es la rama de las Matemáticas que estudia las relaciones existentes

entre las magnitudes de los lados y las amplitudes de los ángulos de un triángulo.

La palabra trigonometría procede de las voces griegas trigonon (triángulo) y metron

(medida), y significa medida de triángulos.

La necesidad que tiene el hombre de medir distancias y ángulos en distintas

situaciones hace que los estudios de trigonometría tengan multitud de aplicaciones en

Topografía, Navegación, Aviación, etc.

1. Sistemas de medidas angulares

Como ya sabes, un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas

que tienen un origen común. Las semirrectas se llaman lados del ángulo, y el origen de

estas es el vértice del mismo.

Existen diferentes unidades para medir ángulos. Las más utilizadas son las unidades

del sistema sexagesimal y el radián.

1.1. Sistema sexagesimal

El sistema de medida angular más utilizado en geometría elemental es el sexagesimal,

cuya unidad principal es el grado sexagesimal. Un grado sexagesimal es la amplitud del

ángulo que resulta de dividir un círculo en 360 partes iguales, y se escribe 1˚. Así, un

ángulo llano mide 180˚ y un ángulo recto 90˚.

Si dividimos el grado sexagesimal en 60 partes iguales, cada una de ellas recibe el

nombre de minuto sexagesimal (′). El minuto, a su vez, se divide en 60 partes iguales:

cada una es un segundo sexagesimal (″).

1˚ = 60 minutos sexagesimales = 60′

1′ = 60 segundos sexagesimales = 60″

Ejemplo de notación: un ángulo de 27 grados, 32 minutos y 5 segundos se escribe

27˚ 32′ 5″ .

2

Un ángulo se puede expresar en forma decimal o en forma compleja. Por ejemplo, el

ángulo α = 46,54˚ está expresado en forma decimal, y el ángulo β = 15˚ 45′ 18″ en forma

compleja.

α = 46,54˚ = 46˚ 32′ 24″

β = 15˚ 45′ 18″ = 15,755˚

Ejercicio Utiliza tu calculadora científica para pasar a forma compleja los ángulos

α = 46,54˚ y β = 354,29′ ; y pasar a forma decimal el ángulo γ = 23˚ 25′ 12″.

Ejercicio Dados los ángulos α =60˚ 35′ 45″ y β = 145˚ 27′ 30″ , usa la calculadora

para hallar en forma decimal y en forma compleja el valor de:

a) α + β =

b) β – α =

c) 3 α =

d) β/2 =

Ejercicio A partir de un ángulo recto dibuja, de forma aproximada, ángulos de 45˚,

30˚ y 60˚.

1.2. Sistema circular

La unidad de medida es el radián.Un radián (rad) es el ángulo central cuyo arco tiene

igual longitud que el radio de la circunferencia.

Observación: Un radián mide algo menos de 60˚.

3

1.3. Paso de radianes a grados, y viceversa.

La longitud de la circunferencia es 2 r . Por tanto, el número de radianes de un

ángulo completo es 2 . Sabemos que el número de grados de un ángulo completo es

360˚. Por tanto,

360˚ = 2 radianes

y entonces,

180˚ = radianes

Estas igualdades nos permiten pasar de grados a radianes y viceversa.

Ejercicio Pasa a radianes los siguientes ángulos:

a) 90˚ b) 30˚ c) 225˚

Ejercicio Pasa a grados los siguientes ángulos:

a) 3

rad b)

4

rad c)

5

3

rad

¡ojo! Este ejercicio puedes hacerlo mentalmente teniendo en cuenta que radianes=180˚

2. Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas establecen relaciones numéricas entre segmentos

rectilíneos y ángulos, mediante las cuales se pueden calcular unos en función de otros.

2.1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que

se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera que contenga

dicho ángulo.

Las razones trigonométricas fundamentales de un ángulo agudo α de un triángulo

rectángulo son:

4

Se llama seno de , y se denota sen , al cociente entre la

longitud del cateto opuesto al ángulo y la de la

hipotenusa, es decir:

sen = cateto opuesto

hipotenusa

Se llama coseno de , y se denota cos , al cociente entre

la longitud del cateto contiguo al ángulo y la de la

hipotenusa, es decir:

cos =cateto contiguo

hipotenusa

Se llama tangente de , y se denota tg , al cociente

entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la del

cateto contiguo, es decir:

tg =cateto opuesto

cateto contiguo

Si aplicamos estas definiciones al triángulo tenemos:

bˆa

senB cˆcosa

B bˆc

tgB

cˆa

senC bˆcosa

C cˆb

tgC

5

Ejercicio Dado el triángulo calcula las razones

trigonométricas fundamentales del ángulo .

Observaciones:

Como los catetos de un triángulo rectángulo son menores que la hipotenusa, el

seno y el coseno de un ángulo agudo tienen valores comprendidos entre 0 y 1.

0 1sen 0 cos 1

Observa que:

bb a

cc cosa

sentg

Así, la tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el seno y el coseno del mismo y

puede tomar cualquier valor real no negativo.

cos

sentg

Observa que:

6

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

b c b c b c acos ( ) (cos ) 1

a a a a a aPitagoras

sen sen

Así, para cualquier ángulo agudo se verifica que la suma de los cuadrados del seno y

el coseno del ángulo es igual a 1.

2 2cos 1 sen (Fórmula fundamental de la trigonometría)

Otras razones trigonómetricas:

Además del seno, el coseno y la tangente de un ángulo, también se pueden definir sus

valores inversos, que son, respectivamente, la cosecante, la secante y la cotangente de

dicho ángulo, es decir,

1

cos ecsen

1

scos

ec

1 cos

cot gtg sen

Ejercicio Utilizando la calculadora halla el valor de:

a) 74sen =

b) 65cos =

c) 20tg =

d) cos 13ec =

e) sec59 =

f) cot 87g =

g) cos (38˚ 15′ 43″)=

h) sen (35˚ 7″)=

Ejercicio Calcula de forma aproximada la altura de los árboles de la figura:

7

Ejercicio Resuelve el triángulo siendo B 30˚

Ejercicio Con ayuda de la calculadora, halla la medida de los ángulos agudos cuyas

razones trigonométricas son las siguientes:

a) 0́ 5sen

b) cos 0́ 5

c) 1tg

d) ˆ 0́ 7771senA

e) ˆcos 0́ 97437B

f) ˆ 5́14455tgC

Ejercicio Resuelve el triángulo

Ejercicio Calcula todas las razones trigonométricas que conozcas de los ángulos agudos

del triángulo rectángulo de la figura. Obtén también la medida de dichos ángulos.

8

Ejercicio El seno de un ángulo agudo vale 0,32. Calcula el coseno y la tangente de ese

mismo ángulo.

Ejercicio Calcula todas las razones trigonométricas que conozcas de un ángulo agudo

del que se sabe que 5

cos3

.

Ejercicio La tangente de un ángulo agudo vale 3

2. Calcula el seno y el coseno de ese

mismo ángulo y expresa los resultados mediante fracciones y radicales.

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Actividad 1 Dibuja un triángulo equilátero de lado una unidad y traza la altura

correspondiente a uno de sus lados. Aplica el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos

rectángulos obtenidos y calcula las razones trigonométricas fundamentales de los ángulos

de 30˚ y 60˚.

Comprueba los resultados en la calculadora.

¡¡OJO!! Memoriza estos valores porque los utilizarás con frecuencia.

Actividad 2 Dibuja un cuadrado de lado unidad. Traza la diagonal y calcula las razones

trigonométricas fundamentales del ángulo de 45˚.



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Actividad 3 Rellena la siguiente tabla:

SENO COSENO TANGENTE

30°

45°

60°

Ejercicio En el momento del día en que los rayos solares tienen una inclinación de 45

grados, la sombra que proyecta un edificio mide 30 metros. Calcula la altura del edificio.

Ejercicio Halla el ángulo aproximado que forman

los rayos solares con la superficie del suelo en el

momento en que una estatua de 2 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros.

Ejercicio Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m., que forma con la

horizontal del terreno un ángulo de 60˚. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura

de la cometa.

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Ejercicio Halla la medida aproximada del

ángulo de inclinación que debe colocarse

una escalera de 4 m. para que alcance una

altura de 3 m.

Ejercicio La base de un triángulo isósceles mide 10 m. y el ángulo opuesto 50˚. Halla la

altura del triángulo y el área.

Ejercicio Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm. y cada rama mide 0,12 m.

Halla el ángulo que forman las ramas del compás.

Ejercicio Para hallar el ancho de un río procedemos así:

Nos situamos en un punto A, en una orilla del río, y medimos el ángulo (53˚) bajo el cual

se ve un árbol que está frente a nosotros, en la otra orilla. Nos alejamos 20 m. de la orilla

en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el cual se ve el árbol,

32˚. ¿Cuánto mide el ancho del río?

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Ejercicio Considera el rombo ABCD de la figura.

a) Calcula el área del rombo.

b) Calcula el perímetro del rombo.

Ejercicio El dibujo muestra el plano de un local. El local se encuentra en venta, y el

precio de cada metro cuadrado es de 3500 euros. ¿Cuál es el precio del local?

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2.2. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

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Como sabes, no solamente existen los

ángulos agudos, sino que podemos ver

ángulos mayores de 90˚ hasta 360˚.

Incluso podemos imaginar ángulos

superiores a 360˚ como, por ejemplo, el

que recorre un niño que está montado en

un “tiovivo” y da 20 vueltas completas.

Habrá recorrido 20·360˚=7200˚.

Ángulos orientados

Si el ángulo se recorre de a hacia b,

en sentido contrario a como giran las

agujas de un reloj, se considera positivo

y en caso contrario negativo.

Los ejes de coordenadas dividen al

plano en regiones (cuatro ángulos

rectos) cada uno de los cuales se

dice que es un cuadrante.

Un ángulo se representa en un sistema de coordenadas cartesianas haciendo coincidir

su vértice con el origen de coordenadas (O) y uno de sus lados con el semieje positivo de

abscisas (OX), el cual se toma como origen para medir los ángulos. Los ángulos positivos

se orientan de forma que al recorrerlos desde el origen de ángulos hasta el otro lado, se

realice un giro en sentido contrario al de las agujas del reloj. Los ángulos negativos se

orientan de manera que el giro se realice en el mismo sentido que el de las agujas del

reloj.

El cuadrante hasta el

que se extiende permite

clasificarlos en uno de los cuatro grupos siguientes:

Ángulos del segundo cuadrante

90 180

2

Ángulos del tercer

cuadrante

180 270

3

2

Ángulos del primer cuadrante

0 90

0

2

Ángulos del cuarto cuadrante

270 360

32

2

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Así, pues, nos encontramos con ángulos de cualquier amplitud y pretendemos conocer sus

razones trigonométricas.

Obviamente, cuando un ángulo mide más de 90˚ ya no se puede definir el seno, coseno y

tangente de la misma manera que antes. Por eso a continuación vamos a diseñar un

procedimiento que nos permite definir las razones trigonométricas de cualquier ángulo, y que

cuando el ángulo es agudo coinciden con las definiciones que ya conoces.

Por ello consideremos un sistema de referencia cartesiano y dibujamos una circunferencia de

radio unidad con centro en el origen de coordenadas.

Tal circunferencia acompañada del sistema

de referencia y sobre la cual se sitúan los ángulos

como anteriormente se ha descrito se le llama

circunferencia goniométrica.

Al considerar un ángulo representado en el sistema de coordenadas, su lado cortará a la

circunferencia en un punto P de coordenadas (x,y). Pues se definen las razones trigonométricas

de ese ángulo en función de las coordenadas x e y del punto P.

yy 1

1sen sen sen y sen

xcos cos 1 cos

1x x cos

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Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica los ángulos 30˚, 180˚, 260˚ y - 45˚.

Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica el ángulo 450˚.

Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: 45 ,cos 45 , 120 ,cos120sen sen .

Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: 210 ,cos 210 , 330 ,cos330sen sen .

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Ejercicio Representa en la circunferencia goniométrica: ( 30 ),cos( 30 )sen .

Actividad En la circunferencia goniométrica siguiente están representados los ángulos: 0˚, 90˚,

180˚, 270˚ y 360˚.

Observa y calcula:

0˚ = 0 rad

0

cos 0

0

sen

tg

90˚ = 2

rad

90

cos90

90

sen

tg

180˚ = rad

180

cos180

180

sen

tg

270˚ = 32

rad

270

cos 270

270

sen

tg

360˚ = 2 rad

360

cos360

360

sen

tg



18

Observaciones:

Si dos ángulos tienen el mismo punto asociado entonces tienen las mismas razones

trigonométricas, de ahí que las razones trigonométricas de 360˚ sean las mismas que

las de 0˚.

El seno y el coseno de cualquier ángulo tienen valores comprendidos entre -1 y 1.

1 1sen 1 cos 1

Para cualquier ángulo se siguen cumpliendo las propiedades fundamentales de la

trigonometría, es decir, 2 2cos 1 sen y

cos

sentg

.

Con lo que hemos aprendido observa que:

SENO COSENO

El seno es positivo

para los ángulos del

1º y 2º cuadrante, y es

negativo en el 3º y 4º.

El coseno es positivo para los

ángulos del 1º y 4º cuadrante, y

es negativo para los del 2º y 3º.

Y por tanto:

SENO COSENO TANGENTE

COSECANTE SECANTE COTANGENTE

19

Ejercicio Sabiendo que 3

5sen

y que 180 270 , calcula las demás razones

trigonométricas del ángulo .


cos3

y que 3

22

, calcula las demás razones

trigonométricas del ángulo .

Ejercicio Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:

a) 3

5 cos cos0 2 cos cos cos 22 2

A

b) 3

5 3cos 2 0 2 22 2

A tg tg sen sen

c) 4 2 cos cos6 4

A sen

d) 4 2

A sen sen sen

e) 3

cos cos0 cos cos2 2

A

Ejercicio Dibuja en la circunferencia goniométrica dos ángulos cuyo seno valga 0´7. ¿Podrías

decirme el valor de estos ángulos?

20

2.3 .Relación entre las razones trigonométricas de ciertos ángulos.

REDUCCIÓN AL PRIMER GIRO

Para representar un ángulo mayor de 360˚ se deben dar algunas vueltas completas y

pararse en una determinada posición . Se verifica entonces que las razones trigonométricas

para ese ángulo son las mismas que las de .

Así, por ejemplo, el ángulo de 750˚ se representa dando dos vueltas completas más 30˚

puesto que 750˚ = 2·360˚+30˚ y, por tanto, las razones trigonométricas del ángulo de 750˚ son

las mismas que las de 30˚.

1750 30

2

3cos750 cos30

2

3750 30

3

sen sen

tg tg

Dado un ángulo 360 , reducirlo al primer giro consiste en buscar un ángulo

0 360 tal que las razones trigonométricas de coincidan con las razones

trigonométricas de .

En general,

y entonces =360˚·k + .

Pues:

sen sen cos cos tg tg

Ejercicio Halla las razones trigonométricas de 420˚.

21

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Muchas veces interesa expresar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera en

términos de las razones de ángulos del primer cuadrante.

Dado un ángulo 1er

cuadrante, reducirlo al primer cuadrante consiste en buscar un

ángulo del 1er

cuadrante tal que ambos, salvando el signo, tengan las mismas razones

trigonométricas.

Caso 1 Si 2ºcuadrante (se relaciona con 180˚- )

(180 )

cos cos(180 )

(180 )

sen sen

tg tg

Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de 150˚.

Caso 2 Si 3ercuadrante (se relaciona con -180˚)

( 180 )

cos cos( 180 )

( 180 )

sen sen

tg tg


22

Caso 3 Si 4ºcuadrante (se relaciona con 360˚- )

(360 )

cos cos(360 )

(360 )

sen sen

tg tg


Ejercicio Calcula:

a) 135tg =

b) cos240 =

c) 315sen =

d) 930tg =

Ejercicio Halla el valor de A sin utilizar la calculadora:

a) 2 4

23 3

A sen sen sen

b) 2 7 4 11

cos3 6 3 6

A sen tg tg

c) 5 3 7

cos4 4 4

A sen sen

23

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS

( )

cos( ) cos

( )

sen sen

tg tg

Ejemplo Halla las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) de -30˚.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Se dice que dos ángulos y son complementarios si + = 90˚ ( 90 ).

Si y son complementarios se cumple que:

cos

cos

sen

sen

(90 ) cos

cos(90 )

sen

sen

Ejemplo

360 cos30

2

1cos 60 30

2

sen

sen

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

SUMA DIFERENCIA

( ) cos cos

cos( ) cos cos

( )1

sen sen sen

sen sen

tg tgtg

tg tg

( ) cos cos

cos( ) cos cos

( )1

sen sen sen

sen sen

tg tgtg

tg tg

24

Ejercicio Calcula el seno, el coseno y la tangente de 75˚ teniendo en cuenta que 75˚ = 45˚+30˚.

Ejercicio Calcula el seno, el coseno y la tangente de 15˚ teniendo en cuenta que 15˚ = 45˚-30˚.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

Se demuestran teniendo en cuenta que 2 = + y por

las fórmulas que nos dan las razones trigonométricas de la suma

de dos ángulos.

Ejercicio Calcula las razones trigonométricas fundamentales de 120˚ a partir de las de 60˚.

2 2

2

(2 ) 2 cos

cos(2 ) cos

2(2 )

1

sen sen

sen

tgtg

tg

25


5senx y que

2x

, calcula, sin hallar previamente el valor

de x :

a) cos x

b) 2sen x

c) ( )6

sen x

d) cos( )3

x

e) ( )4

tg x

Ejercicio Sabemos que 3

cos4

x

y que 0senx .Sin hallar previamente el valor de x ,

calcula:

a) cos( )x

b) cos2x

c) ( )2

sen x

d) ( )tg x

26

Ejercicio Prueba que 2

cos( ) cos( ) cos3 3

x x x

Ejercicio Prueba que cos cos( ) ( ) cossen sen

Ejercicio Prueba que 2 2 1 cos

2 2 1 cos

sen sen

sen sen

Ejercicio Prueba que cos

cos 2 1 2cos

x senxx sen x

x senx

27

Ejercicio Simplifica las expresiones:

a) 2 2( 1) costg x x

b)cot

cos

sen g

tg ec

c) 2

2

1 cos

sen

d) 2

2

1

1

tg x

tg x

28

2.4 .Las funciones arco seno, arco coseno y arco tangente.

Si 1

2sen , ¿quién es ? Es decir, ¿qué ángulos tienen como seno el número

1

2?

=30˚ pero ¡ojo! no es el único sino también 30˚+360˚, y también 30˚+2·360˚, y también

30˚+3·360˚, y también 30˚-1·360˚, y también 30˚-2·360˚,…En general, 30˚+k·360˚ con kZ .

ya que 1

1502

sen , es decir, 150˚ Pero también puede ser 150˚

es un ángulo con seno 1

2. Como antes, también 150˚+360˚ tiene seno

1

2 ,y también

150˚+2·360˚, y también 150˚+3·360˚, y también 150˚-1·360˚, y también 150˚-2·360˚,…En

general, 150˚+k·360˚ con kZ .

La función arcsen busca los ángulos cuyo seno es un cierto número dado. Así,

30 360 con 1 1

o bien2 2

150 360 con

k k

sen arcsen

k k

Z

Z

En la calculadora, para hallar el ángulo cuyo seno es un cierto número se utiliza la tecla 1sin

que suele corresponder a la secuencia shift sin

Ej.

315 360 con 2 2

o bien2 2

225 360 con

k k

sen arcsen

k k

Z

Z

29

La función arccos busca los ángulos cuyo coseno es un cierto número dado.

En la calculadora, para hallar el ángulo cuyo coseno es un cierto número se utiliza la tecla

1sco que suele corresponder a la secuencia shift cos

Ej.

60 360 con 1 1

cos arccos o bien2 2

300 360 con

k k

k k

Z

Z

Ej.

135 360 con 2 2

cos arccos o bien2 2

225 360 con

k k

k k

Z

Z

La función arctg busca los ángulos cuya tangente es un cierto número dado.

En la calculadora, para hallar el ángulo cuya tangente es un cierto número se utiliza la tecla 1tg que suele corresponder a la secuencia shift tg

Ej.

45 360 con

1 arc 1 o bien

225 360 con

k k

tg tg

k k

Z

Z

Ej.

280,49 360 con

5,4 arc ( 5,4) o bien

100,49 360 con

k k

tg tg

k k

Z

Z

Ejercicio Escribe todos los ángulos 0 ,360 que verifican:

a) cos 0

b) 1sen

c) 3

cos2

d) 3sen

e) 1

2sen

f) cos 1

g) 3tg

h) 0tg

31

Ejercicio Escribe todos los ángulos que verifican:

a) 0sen

b) cos 1

c) 2

2sen

d) cos 2

e) 1sen

f) 3

4tg

g) 1tg

h) cossen

32

2.5 . Ecuaciones trigonométricas.

Ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que aparecen funciones trigonométricas

actuando sobre un ángulo incógnita que, como en todas las ecuaciones, hay que despejar.

Ej. 3x senx

Ej. 22 2cos 0sen x x

Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar todos los valores de los ángulos que la

satisfacen. Las soluciones que se obtengan deben ser comprobadas sobre la ecuación inicial, pues

es frecuente que aparezcan soluciones extrañas.

Para resolver una ecuación trigonométrica daremos los siguientes pasos:

I. Expresar mediante transformaciones convenientes todas las razones trigonométricas

en función de un mismo ángulo.

Ej.

2

2 cos 3

2 cos cos 3

2 cos 3 Asi tengo todo en funcion del angulo .

sen x x

senx x x

senx x x

II. Expresar todo en función de una misma razón trigonométrica (normalmente en

función del seno, coseno o tangente). Debo evitar, siempre y cuando sea posible, la presencia

de raíces.

Ej.

2 2 2 2

2

cos 1 cos 1

2

2 cos 3

2 (1 x)=3

sen x x x sen x

senx x

senx sen

III. Mediante incógnitas auxiliares llegamos a ecuaciones que ya sabemos resolver.

Ej. 22 cos 3cos 2x x

Observa que en esta ecuación se tiene todo en función del ángulo x y ya todo también en

función de la razón trigonométrica cos x . Hacemos el cambio de variable cos x t . Nos queda:

2

2

2

2 3 2

2 3 2 0

3 5 2 1

3 3 4 2 ( 2) 3 9 16 3 5 4 4 2

3 5 82 2 4 42

4 4

t t

t t

t

33

Si

60 360 con 1 1 1

cos arccos o bien2 2 2

300 360 con

k k

t x x

k k

Z

Z

Si 2 cos 2t x No tiene solución porque la función coseno está acotada entre -1 y 1.

Ejercicio Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) 22 1 0sen x

b) cos2 1 cosx x

c) 22 cos 1x senx

d) 23 3 0tg x tgx

e) 1

cos6 3 2

sen x x

f) 2 cossen x x

g) cos 30 x senx

35

2.6. Resolución de triángulos cualesquiera.

En un triángulo rectángulo, el

teorema de Pitágoras establece la

relación entre las longitudes de sus

lados, la complementariedad relaciona

sus ángulos, y las razones

trigonométricas relacionan los ángulos

con las longitudes de los lados.

En los triángulos no rectángulos

(acutángulos y obtusángulos) también

existen diversas relaciones entre los

ángulos y las longitudes de los lados. De

estas relaciones, las más importantes

son: el teorema de los senos y el

teorema del coseno.

TEN EN CUENTA:

La suma de los ángulos de un

triángulo es de 180˚.

En todo triángulo el ángulo

mayor tiene enfrente el lado

mayor y el ángulo menor

tiene enfrente el lado menor.

Un lado de un triángulo

siempre es menor que la suma

de los otros dos lados y

mayor que su diferencia.

TEOREMA DE LOS SENOS

En un triángulo cualquiera de lados , , ,a b c y de ángulos ˆ ˆˆ, , ,A B C se cumplen las siguientes

igualdades:

ˆ ˆ ˆb c

senBsenA senC

a

El teorema da lugar a tres igualdades:

ˆ ˆ

b

senBsenA

a

ˆ ˆ

c

senA senC

a

ˆ ˆ

b c

senB senC

36

TEOREMA DEL COSENO

El teorema de Pitágoras relaciona los cuadrados de los tres lados de un triángulo

rectángulo. Ahora bien, ¿y si el triángulo no es rectángulo?

En un triángulo cualquiera de lados , , ,a b c y de ángulos ˆ ˆˆ, , ,A B C se cumple que:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

ˆ2 cos

ˆ2 cos

ˆ2 cos

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b C

Ejercicio 1 Resuelve los siguientes triángulos:

a) ˆ, 10ˆ6 m., 45 5Ca B

b) ,ˆ4 cm., 30 5 cm.ba B

c) 15 cm., b 22 cm., c 17 cm. a

d) ˆ, 3010 m., b 7 m. Ca

e) ˆ40 cm., b 60 cm., 42a A

Ejercicio 2 Dos amigos están en una playa a 150 m de distancia y en el mismo plano vertical

que una cometa que se encuentra volando entre ambos. En un momento dado, uno la ve con

un ángulo de elevación de 50˚ y el otro con un ángulo de 38˚.

¿Qué distancia hay de cada uno de ellos a la cometa?

Ejercicio 3 En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m

de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve la

portería?

Ejercicio 4 Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80 km. Las visuales desde el

avión a A y a B forman ángulos de 29˚ y 43˚ con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura

está el avión?

trigonometrÍa -...

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