Teorema del cosenoDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.1

Fig. 1 - Notación más habitual de un triángulo.

Contenido

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1 Historia 2 El teorema y sus aplicaciones 3 Demostraciones

o 3.1 Por desglose de áreas o 3.2 Por el teorema de Pitágoras o 3.3 Por la potencia de un punto con respecto a un círculo o 3.4 Por el cálculo vectorial

4 Generalización en geometrías no euclídeas o 4.1 Geometría esférica o 4.2 Geometría hiperbólica

5 Generalización en el espacio euclídeo 6 Véase también 7 Referencias 8 Bibliografía

[editar] Historia

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III   a.   C. , contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.2 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»

Euclides, Elementos.3

Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani 4 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.5 6 Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,7 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.8

Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.9

[editar] El teorema y sus aplicaciones

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo

es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar

el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:

.

los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:

.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'

.

[editar] Demostraciones

[editar] Por desglose de áreas

Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.

Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que

a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c. ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de

90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).

Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos

La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:

En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha. En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos

congruentes al ABC. En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.

Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que

, equivalente al Teorema del coseno.

Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.

La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra

En verde a², b² la izquierda y c² a la derecha. En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión

completa es positiva. En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.

Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da , como queríamos demostrar.

[editar] Por el teorema de Pitágoras

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos

Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:

(left)

Pero, la longitud h también se calcula así:

(left)

Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

Por la definición de coseno, se tiene:

y por lo tanto:

Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:

con lo que concluye la prueba del primer caso.

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente c2 = h2 + u2 pero en este caso h2 = a2 − (b + u)2. Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2

+ a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:

.

De la definición de coseno, se tiene y por tanto:

.

Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente

.

Esto concluye la demostración.

Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

[editar] Por la potencia de un punto con respecto a un círculo

Fig. 6 - Demostración del teorema del coseno utilizando la potencia de un punto con respecto a un círculo.

Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al círculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitágoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo. LA potencia del punto A con respecto a dicho círculo es

.

Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que

.

Además, CK= -2a cos(γ) (ver el apéndice) por lo que

.

Igualando las expresiones obtenidas se obtiene nuevamente c²=a²+b²-2ab cos(γ).

Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.

[editar] Por el cálculo vectorial

Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas líneas:

[editar] Generalización en geometrías no euclídeas

Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensiones reducidas a, b y c ; ángulos α, β y γ.

Para una superficie no euclídea de curvatura K, señalamos con R el radio de curvatura. Este verifica

.

Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:

,

,

.

En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de circunferencia maximal 10 [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).

[editar] Geometría esférica

Artículo principal: Geometría esférica

Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del triángulo, es decir cuando

,

esta expresión se simplifica para dar la versión euclídea del teorema del coseno. Para

hacerlo, : , etc.

Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos:

[editar] Geometría hiperbólica

Artículo principal: Geometría hiperbólica

En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe

.

Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados

, etc.,

, etc.

[editar] Generalización en el espacio euclídeo

Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras y ángulos.

Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 del espacio euclídeo, siendo:

la cara opuesta al vértice ; la superficie de ;

el plano que contiene a la cara ;

el ángulo diedral .

(La figura 8, contigua, presenta la notación de los vértices, caras y ángulos del tetraedro).

Entonces, las superficies y ángulos verifican:

.

2ab+a.b(.b)= AC*AS"

Seno (trigonometría)De Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):

En matemáticas el seno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada,

siendo una de las funciones trascendentes. La abreviatura proviene del latín sĭnus.

Contenido

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1 Etimología 2 Con números complejos 3 Como serie de Taylor 4 Representación gráfica 5 Seno de una suma o una resta de ángulos

o 5.1 Seno de la suma de dos ángulos o 5.2 Seno de la diferencia de dos ángulos o 5.3 Forma resumida

6 Seno de un ángulo doble 7 Derivada del seno 8 Relación entre el seno y el coseno 9 El seno en programación 10 Notas 11 Véase también 12 Enlaces externos

[editar] Etimología

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550   d.   C. ) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá shia (en inglés ardha-jya),1 siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y shiá: ‘cuerda’). Por simplicidad; el término se terminó apocopando como shiá. Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba (pronunciado shiba, lo más parecido al sánscrito). Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’). A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».2

Según otra explicación,[cita requerida] la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

[editar] Con números complejos

También se puede definir de la forma:

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.

[editar] Como serie de Taylor

El seno como Serie de Taylor en torno a x = 0 es:

[editar] Representación gráfica

[editar] Seno de una suma o una resta de ángulos

[editar] Seno de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonometrica se define a partir del coseno de la diferencia de dos ángulos

Se sabe que las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir

Distribuyo el menos y asocio de una manera distinta

Aplico la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia de dos ángulos, entonces

Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonométrica del ángulo completario, queda

[editar] Seno de la diferencia de dos ángulos

obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

[editar] Forma resumida

[editar] Seno de un ángulo doble

Tenemos que

Hagamos entonces

[editar] Derivada del seno

Según la definición de derivada:

lo que es

Entonces, usando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos, se tiene que

Factorizando

Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene

Como:

esto es así ya que

reemplazando para θ = h y φ = 0 Se tiene que:

y utilizando el límite conocido: Se obtiene que el primer término es 0, entonces

Como:

Por ello puede simplificarse, y se tiene que

[editar] Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada un cuadrante a la izquierda, por lo que puede deducirse el coseno con la siguiente expresión:

cos(x)= sin(x + 90)

[editar] El seno en programación

Normalmente todos los lenguajes de programación proveen una función seno. Y también es lo normal en todos los lenguajes, que el ángulo que recibe la función debe pasarse en radianes.

Esto es importante tenerlo en cuenta ya que si no podrían derivarse errores por este concepto. Del mismo modo las calculadoras suelen aceptar el valor en grados o radianes, siendo necesario para ello (realizar dicho cálculo correctamente) activar un botón selector del tipo de grados (sexagesimales, centesimales o radianes) que se desea usar.

ejemplos: seno de 45 grados = 0,7071 seno de 45 radianes = 0,8509

Obsérvese como la escasa diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, por tanto, cuando sea conveniente pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número π

Rad = Deg * π/180 Deg = Rad * 180/π

TangenteDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

En matemáticas, la palabra tangente hace referencia a dos significados diferentes, pero etimológicamente relacionados: recta tangente y tangente de un ángulo.

En geometría, una recta tangente es aquella que solo tiene un punto en común con una curva, es decir la toca en un solo punto, que se llama punto de tangencia. La recta tangente indica la pendiente de la curva en el punto de tangencia.

En trigonometría, la tangente de un ángulo es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo: es el valor numérico resultante de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente a dicho ángulo.

Contenido

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1 Geometría en el plano o 1.1 Tangente a una curva o 1.2 Circunferencias tangentes o 1.3 Circunferencia tangente a una recta

2 Plano tangente 3 Trigonometría 4 Véase también 5 Enlaces externos

editar] Geometría en el plano

Partiendo del plano geométrico, podemos considerar los siguientes casos de tangencia:

[editar] Tangente a una curva

Artículo principal: Recta tangente

La tangente es la posición límite de la recta o el límite del cono métrico (M) (llamada cuerda de la curva), cuando A es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto M (A se desplaza sucesivamente por M1, M2, M3, M4 ...)

Si C representa una función f o bien h que representa la cotangente de A. (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)

, donde a es la abscisa de A y x la de M.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición: f '(a), el número derivado de f en a.

La ecuación de la tangente es Ta: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangente TA que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta

normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas cartesianas, viene dada por .

Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a), siempre que f'(a) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las secciones cónicas, como por ejemplo: para determinar el foco de una parábola.

[editar] Circunferencias tangentes

Artículo principal: Tangencias

Dada una circunferencia de centro y radio , es tangente en un punto a otra

circunferencia de centro y radio si el los dos centros de las circunferencias y el punto de tangencia están sobre la misma recta, y el punto de tangencia es la intersección de las dos circunferencias.

Así partiendo de una circunferencia y un punto P, de la misma, trazando una recta que pase por el centro de la circunferencia y el punto P, cualquier circunferencia con centro en esta recta, que pase por P, será tangente a la circunferencia dada en ese punto.

[editar] Circunferencia tangente a una recta

Dada una recta r y un punto P de la misma, trazando la perpendicular a la recta r por P, cualquier circunferencia con centro en esta perpendicular que pase por P es tangente a r en el punto P.

Por el razonamiento inverso podemos trazar la recta tangente a una circunferencia en un punto P dado. Su ecuación se llama ecuación de la desdoblada.

[editar] Plano tangente

Artículo principal: Espacio tangente

En geometría diferencial, espacio tangente es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto. Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.

Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de al lado. Empecemos suponiendo que tenemos una curva en la variedad M que pasa por alguna posición elegida cualquiera: . Es decir un mapeo

diferenciable que satisface y . Resulta que el conjunto de todos estos vectores forman el espacio tangente de x en M.

[editar] Trigonometría

Artículo principal: Tangente (trigonometría)

En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

siendo a el cateto opuesto, y b el cateto adyacente Equivale también al valor: