Generalización del

teorema de Pitágoras:

El teorema del Coseno

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO A LO LARGO DE SU HISTORIA

Por aproximación geométrica de Euclides

Por expresión algebraica

Por la potencia de un punto con respecto a un círculo

Por el cálculo vectorial

Bibliografía y sitios consultados

• Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas. Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»

Euclides, Elementos.

Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y JB la altura respecto al lado AC, la notación moderna permite formular el enunciado así:

Fig. - Triángulo ABC con altura JB.

Además:Sea c el lado opuesto al ángulo obtuso y a, b los lados del ángulo obtuso.Si trazamos una altura correspondiente a uno de los lados del triángulo que es lado del ángulo obtuso, ésta corta a la prolongación de dicho lado en el punto J.Por Pitágoras. AB2=AJ2 + JB2, pero AB=c, BJ= k, CJ= n, AJ= b+nk2= a2 – n2

Reemplazando:

c2=(b +n)2 + (a2 – n2)

c2= b2 + 2bn + n2 + a2 – n2

c2= b2 + a2 + 2bn

• Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra. Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno . Eso permitió a Ghiyath al-Kashi matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.

Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas

introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el

teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.

• Definición: En todo triángulo el cuadrado de la longitud uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellas, por el coseno del ángulo que forman dichos lados.

Sea ABC un triángulo cualquiera: a2=b2+c2-2bc.cosA

b2=a2+c2-2ac.cosB

c2=a2+b2-2ab.cosC

A

C B

b c

a

Demostraremos este teorema en triángulos oblicuángulos (acutángulos y obtusángulos) y rectángulos.

CASO1: Sea ABC un triángulo acutángulo:

c

A

B

a

b

Chb

Demostración:Trazando la altura de ABC respecto de AC quedan determinados dos triángulos rectángulos ABH Y BHC.Por el teorema de Pitágoras sabemos que: c2= hb 2 + m2 y a2= hb

2+n2 de donde hb2=c2-m2=a2-n2

Pero n=b-m por lo tanto c2-m2=a2-(b-m)2

c2-m2=a2-b2+2bm-m2

c2= a2-b2 +2bm c2= a2-b2 +2b(c.cosA) por ser m= c.cos Ac2= a2-b2 +2bc.cosA

Luego a2 = b2 + c2 -2bc.cos A

H mn

Análogamente para b2 y c2

CASO2: Sea ABC un triángulo rectángulo en A:

C

c

b

a

A

B

Demostración:

Conocemos por el teorema de Pitágoras que a2 =b2 + c2

Esto no es más de lo que estamos trabajando ya que al anularse -2bc.cos A, por ser A=90º, podemos decir que:

Para los lados b y c sí podemos usar el teorema del coseno ya que sus ángulos opuestos son agudos pero resulta más sencillo trabajarlo directamente con el Teorema de Pitágoras donde b2 = a2 - c2 y c2 = a2 - b2

en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

CASO3: Sea ABC un triángulo obtusángulo en A.

a

C

A B

hc

b

H

Demostración:

Al trazar la altura hc respecto al lado AB quedan determinados los triángulos rectángulos HCB y HCA.

Por el Teorema de Pitágoras : b2 = hc

2 + m2 siendo m = HA

a2 = hc2 + (m+c)2

Por lo tanto: b2 - m2= a2 – (m+c)2 b2 – m2 = a2 – m2 - 2cm - c2

b2 + 2c(-b.cos A) + c2 = a2 por ser m= -b.cosA , A: ángulo obtuso b2 – 2bc.cos A + c2 = a2

Luego, aa2 2 = b= b2 2 + c+ c2 2 -2bc.cos A -2bc.cos A

Pero a2=b2+c2 + 2bc.cos A ya que cos A < 0 cuando 90º < A <180ºPara demostrar b2 y c2 usamos el mismo criterio que en el caso 1 debido a que los ángulos B y C son agudos.

c

Cos(180º - A) =m b

Cos 180º .cos A + sen 180º . Sen A = m por el coseno de la resta b

-1. cos A =m b

-b.cos A = m

De observar los tres casos demostrados podemos resumir:

- si A < 90º a2 = b2 + c2 ± 2bc.cos A + si A > 90º 2bc.cos A = 0 si A =90º

agudo *El cuadrado de un lado opuesto a un ángulo obtuso de un triángulo

oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos más

doble del producto de las longitudes de estos por el coseno del ángulo que forman.

•Según este teorema, dadas las medidas de los tres lados de un triángulo se pueden reconocer si es acutángulo, rectángulo u obtusángulo sin construirlo, comprobando si el cuadrado del lado mayor es menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos.

Ejemplos:

•Si los lados de un triángulo vienen dados por la terna ( 3,4,5) se trata de un triángulo rectángulo, pues 32+42 = 52

•Si los lados vienen dados por la terna (3,5,7) se trata de un triángulo obtusángulo, pues 32 +52 = 34 < 72

•Si la terna de los lados es (7,8,10) el triángulo es acutángulo, pues 72 + 82 = 113 > 102

Por la potencia de un punto con respecto a un círculo:

Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante es una constante. CASO1: si P=C es exterior a la circunferencia y ambas rectas son secantes entonces el triángulo ABC es obtusángulo

Sea b el lado opuesto al ángulo obtuso y a, c los lados del ángulo obtuso.Si trazamos una altura correspondiente a uno de los lados del triángulo que es lado del ángulo obtuso, corta a la prolongación de dicho lado en el punto H.Por definición de potencia tenemos:CB * CD = CF * CGpero CB= a, CF= b-c, CG=b+c, además el triángulo BDA es isósceles por ser BA=AD

radios de la misma circunferencia y la altura es mediatriz de dicho triángulo, entonces BD= 2 BH. Reemplazando a (a+ 2 BH)= (b-c)* (b+c) a2 + 2aBH = b2 – c2

a2 + c2 + 2 aBH = b2 (1)

Luego:

Cos(180º - α) =BH c

Cos 180º .cos α + sen 180º . Sen α = BH por el coseno de la resta c

-1. cos α =BH c

-c.cos α = BH

Y reemplazando en (1):

a2 + c2 - 2 a.c.cos α = b2

CASO2: si P es exterior a la circunferencia y una recta es secante y otra es tangente entonces el triángulo ABC es rectángulo.

Sea b el lado opuesto al ángulo recto y a, c los lados del ángulo recto. La altura correspondiente a uno de los lados del triángulo que es lado del ángulo recto, coincide con el lado c.Por definición de potencia tenemos:CB2= CE * CD (1)pero CB= a, CE= b-c, CD=b+cReemplazando en (1): a2 = (b-c)*(b+c) a2 = b2 –c2

a2 +c2 = b2

Caso particular del teorema de Pitágoras.

CASO3: si P es interior a la circunferencia y ambas rectas son secantes entonces el triángulo ABC es acutángulo.

Sea b el lado opuesto al ángulo agudo y a, c los lados del ángulo agudo. Por definición de potencia tenemos:CG . (- CB) = CD . (-CE)pero CG= BG- a, CB= a, CD=c-b, CE= c+bReemplazando: (BG-a).(-a) = (c-b).(b+c) a2 - a.BG = -(c2 - b2) a2 – a.BG = - c2 + b2

pero BC = 2c cos a a2 + c2 – 2.a.c cos a =b2

Una demostración vectorial del teorema del coseno:

Consideremos un triángulo cualquiera ABC en el que a + b = c y las longitudes de los lados de dicho triángulo son los módulos de los vectores a, b y c.Multiplicando escalarmente a por sí mismo tenemos: aa = (c - b)(c - b) = bb + cc - 2 bc = = |b| 2 + |c| 2 - 2 |b||c| cos (b, c) Es decir |a| 2 = |b| 2 + |c| 2 - 2 |b||c| cos (b, c)

Bibliografía:

PEDRO PUIG ADAMS “ Curso de Geometría métrica” tomo I. Editorial: Edición Madrid. 1980

http://www.arrakis.es/~mcj/notas011.htm

BOYER:”Historia de la matemática”. Editorial Alianza. 1996.

http://www.sectormatematica.cl/proyectos/coseno.htm

http://www.zonavirtual.org/EscenasInteractivas/paginas/Teorema_Coseno.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno