cambio en los coeficientes tecnológicos
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Trabajo donde se exponen el tema Cambio en los coeficientes tecnológicos.TRANSCRIPT
CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS
UNA NUEVA VARIABLE
UNA NUEVA RESTRICCIÓN
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
JULIETH CASTILLO LÓPEZ
ALINA MILANÉS IZQUIERDO
DOCENTE: PRUDENCIA MEDINA MONTERROSA
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS NOCTURNO
SÉPTIMO NIVEL
CARTAGENA DE INDIAS
2012
INTRODUCCIÓN
La solución óptima de una programación lineal se basa en una toma instantánea de las condiciones
que prevalecen en el momento de formular y resolver el modelo. En el mundo real, los ambientes de
decisión rara vez permanecen estáticos, es esencial determinar cómo cambia la solución óptima
cuando cambian los parámetros del modelo. Eso es lo que hace el análisis de sensibilidad.
El análisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de Programación Lineal, tiene por objetivo
identificas el impacto que resulta en los resultados del problema original, luego de determinadas
variaciones en los parámetros, variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el
problema nuevamente.
Es decir, ya sea si resolvemos nuestro modelo gráficamente o utilizando el Método Simplex, lo que
se busca es que estas variaciones o sensibilidad hagan uso de la solución y valor óptimo actual, sin
tener la necesidad de resolver para cada variación un nuevo problema. En especial nos
concentraremos en el análisis de sensibilidad o postoptimal que hace uso de la tabla final del Método
Simplex.
CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS
Unos de los puntos que hay que tener en cuenta cuando se va a analizar el cambio en los
coeficientes tecnológicos, es si los cambios ocurren en las variables básicas o en las no básicas, ya
que dependiendo de ello, se afecta o no la solución óptima que se tenga. Por ejemplo, si el cambio
se realiza a una variable no básica, seguramente al calcular su nuevo costo de oportunidad puede
resultar atractivo producir o no, ya que de obtenerse un costo de oportunidad positivo, el tablero que
hasta ese momento era óptimo, deja de serlo y se obtendría a través del cambio en los coeficientes
tecnológicos, una nueva solución.
Los coeficientes tecnológicos forman parte de los vectores asociados a las diferentes variables,
vectores Pi. Como la repercusión, según se trate de una variable básica o no básica, puede ser muy
distinta, se estudiarán los dos casos por separado.
VARIACIÓN EN UN COEFICIENTE TECNOLÓGICO DE UNA VARIABLE BÁSICA
Los cambios en un vector básico afectan tanto a las condiciones e optimalidad, como a las de
factibilidad, dado que el vector Pj pertenece a la matriz B, y por tanto, sus modificaciones pueden
afectar sustancialmente al problema actual.
Los cambios pueden ser múltiples, desde hacer que la matriz inicial B sea una matriz singular, y, por
tanto, sin inversa, hasta que las modificaciones de ésta mantengan la factibilidad y la optimalidad de
la solución actual. En el caso de que la matriz original B devenga de una matriz singular, ya no se
tiene procedimiento para poder continuar y la alternativa en este caso es reiniciar el problema de su
origen.
En el caso de que la matriz B siga siendo regular, y por tanto, sea posible obtener B-1, pueden darse
los casos siguientes:
- La solución actual sigue siendo factible y óptima:
XB = B-1 * B ≥ 0
WJ = CJ – (CBB-1PJ) ≤ 0
- La solución se mantiene como factible, pero deja de ser óptima; en este caso es posible seguir
iterando a través del método simplex, hasta encontrar la solución óptima.
XB = B-1 * B ≥ 0
WJ = CJ (CB B-1 PJ) > 0
- La solución es infactible, pero se verifica la condición de optimalidad; por tanto, la alternativa es
seguir el proceso explicado para esta situación, es decir, pasar al dual (factible pero no óptimo) y
seguir iterando por la vía del dual hasta encontrar la solución óptima, y una vez alcanzada esta
solución, regresar al programa primal para poder determinar su solución óptima.
XB = B-1 * B < 0
WJ = CJ – (CB B-1 PJ) ≤ 0
- Cuando la solución actual se convierte en infactible, y, además, no verifica las condiciones de
optimalidad, la alternativa más conveniente es iniciar nuevamente el proceso de obtención de la
solución.
XB = B-1 * B < 0
WJ = CJ – (CB B-1 PJ) > 0
VARIACIÓN EN UN COEFICIENTE TECNOLÓGICO DE UNA VARIABLE NO BÁSICA
El cambio en un coeficiente aij, afecta el vector PJ, y, por tanto, al correspondiente vector
transformado en la tabla óptima, dado que Pj’ = B-1 * Pj. Los cambios afectan a los rendimientos
indirectos de esta variable y por consiguiente a los rendimientos marginales, es decir, a la condición
de optimalidad:
Wj = cj – (cB B-1 Pj)
a. Si Wj es menor que cero, la solución actual seguirá siendo óptima.
b. Si Wj es cero, quiere decir que la solución actual es óptima, pero ya no es única, sino que existe
una solución alternativa a ésta.
c. Si Wj es mayor a cero, la solución actual deja de ser óptima y se deberá seguir iterando hasta
encontrar una nueva solución óptima.
Otra forma de investigar el efecto de los cambios en los coeficientes de la función objetivo, es
calcular el intervalo para el que cada coeficiente individual mantenga la solución óptima actual. Esto
se hace reemplazando el CJ actual con CJ + DJ, donde DJ representa la cantidad (positiva o
negativa) de cambio.
ADICIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE
En el estudio y análisis de modelos matemáticos, como los que se ha visto en la asignatura
Investigación de Operaciones, puede ocurrir que después de obtenerse una solución al modelo, se
dan cuenta que se dejó de incluir un producto que, por las características que posea, va a originar
cambios en los resultados de la solución del problema inicial. Para esto, debemos evaluar si la
nueva variable es un aporte significativo a los resultados del modelo original.
Se puede observar cómo la introducción de nuevas variables crea nuevos vectores y, por tanto,
nuevos Cj – Zj, que pueden ser calculados por:
Cj – Zj = Cj – CB tB-1 Pj
Y nuevas columnas en las tablas del simplex, que pueden ser obtenidas por:
J = B-1 Pj
De esta forma, el método a seguir es inmediato, dado que si el nuevo término C j – Zj es negativo, la
variable introducida no modifica la estructura del problema. La nueva variable no ha de entrar en la
base, con lo que su nivel de utilización es cero.
Pero si Cj – Zj es positivo, entonces se introduce Pj en la base y se obtiene su nivel de utilización.
En el caso de Cj – Zj nulo, supone que la introducción de nueva variable no va a suponer cambio
alguno en Z0, y puede considerarse entonces como que no supone cambio en la estructura del
problema. La incorporación de una nueva variable al problema original produce un aumento de la
dimensionalidad de la tabla por la vía de las columnas. Para ver si esa adición altera la solución
actualmente óptima, hay que comprobar la condición de optimalidad de esa variable, ya que el
aumento de las columnas no afecta la condición de factibilidad de la tabla. La nueva variable
añadida Xk, llevará asociado su coeficiente en la función objetivo (Ck), y su vector de coeficientes
técnicos (Pk), y habremos de calcular su rendimiento marginal.
Si este rendimiento marginal es menor que cero, la solución actual se mantiene como óptima. Si se
anula el rendimiento marginal, significa que hay soluciones alternativas a la actual, pero con el
mismo valor de la función objetivo. En el supuesto que dicho rendimiento marginal sea positivo,
hemos de introducir la nueva variable en la tabla como variable básica y seguir iterando hasta
encontrar la nueva solución óptima. La tabla es óptima cundo todos los rendimientos marginales de
las variables no básicas son negativos.
INCLUSIÓN DE UNA NUEVA RESTRICCIÓN
Para saber si la actual solución y valor óptimo se mantendrá luego de incorporar una nueva
restricción al problema, se debe evaluar la solución actual y verificar si satisface la nueva restricción.
En caso afirmativo, la actual solución también lo será del problema con la nueva restricción; en caso
contrario, se incorpora la nueva restricción a la tabla final del simplex del escenario base.
En forma intuitiva, la adición sólo es deseable si es rentable, esto es, si mejora el valor óptimo de la
función objetivo. Como esa nueva actividad no es todavía parte de la solución, se puede considerar
como una variable no básica. Eso quiere decir que los valores duales asociados con la solución
actual permanecen invariables.
La introducción de una nueva restricción al problema original conlleva un aumento de la
dimensionalidad de la tabla por la vía de las filas, así como un aumento del número de variables
básicas. Por tanto, el aumento del número de filas no afecta a la condición de optimalidad, pero sí a
la de factibilidad. En términos de representación gráfica, las nuevas restricciones afectan al poliedro
que forman las restricciones de manera que éste se puede ver reducido o no, y, en consecuencia, la
actual solución, dejar de pertenecer al nuevo conjunto convexo.
Para analizar si las nuevas restricciones afectan a la solución actual, procederemos de la siguiente
manera:
Para la nueva restricción:
Se añade la correspondiente variable de holgura para convertirla en una igualdad, es decir:
Sustituyendo los valores de las variables Xj por sus valores en la solución óptima, podremos
determinar el valor de la variable Sk.
1. Si Skb > 0, la actual solución verifica la restricción, y, por tanto, continúa siendo óptima.
Únicamente se necesita una nueva variable básica que será.
2. Si Sk. = 0, la solución sigue siendo óptima, pero degenerada, ya que la nueva variable básica es
nula.
3. En caso de que Skb < 0, la solución actual no verifica la nueva restricción, y, por tanto, es infactible
para el nuevo problema, lo cual se puede resolver restituyendo la factibilidad por la vía del dual, es
decir, planteamos el programa dual asociado y para este programa la nueva restricción equivale a
introducir una variable adicional, para lo cual se procede con añadir nuevas variables. Una vez
alcanzada la solución óptima, y factible del dual, se tendrán que deshacer las transformaciones
realizadas, cociendo de nuevo al programa primal.
EJERCICIOS
Ejercicio No. 1
En el siguiente modelo, las variables de decisión corresponden a cuatro productos que se programa
producir; las restricciones corresponden a las disponibilidades de los recursos así: Horas hombre,
tiempo (horas) máquinas y disponibilidad monetaria en miles, para el presente período.
Zmax = 4000X1 + 6000X2 + 3000X3 + 1000X4
s.a.:
1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 550
4X1 + X2 + 2X3 + X4 ≤ 700
2X1 + 3X2 + X3 + 2X4 ≤ 200
X1, X2, X3, X4 ≥ 0
Último tablero simplex:
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 4000 6000 3000 1000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 0.05 0 1 0.5 0.3 0 - 0.2 125
S2 0 3.25 0 0 - 0.5 - 0.5 1 0 425
X2 6000 0.65 1 0 0.5 - 0.1 0 0.4 25
Zj 4050 6000 3000 4500 300 0 1800
Cj - Zj - 50 0 0 - 3500 - 300 0 - 1800 525000
0.3 0 - 0.2 550 125
- 0.5 1 0 700 425
- 0.1 0 0.4 200 25
1. ¿Si B1 se aumenta hasta un valor de 750, qué efecto produce en la solución? Establezca la nueva
solución.
125 + (0.3) Δ1 ≥ 0 → 0.3 Δ1 ≥ - 125 → Δ1 = - 416.67
425 + (- 0.5) Δ1 ≥ 0 → - 0.5 Δ1 ≥ - 425 → Δ1 = 850
25 + (- 0.1) Δ1 ≥ 0 → - 0.1 Δ1 ≥ - 25 → Δ1 = 250
- 416.67 ≤ Δ1 ≤ 250
(700 – 416.67) (700 – 250)
283.33 ≤ Δ1 ≤ 950
La solución continúa siendo factible, ya que 750 está dentro del intervalo de utilidad. La nueva
solución es:
0.3 0 - 0.2 750 185 X3
- 0.5 1 0 700 325 S2
- 0.1 0 0.4 200 5 X2
Zmax = 4000(0) + 6000(5) + 3000(185) + 1000(0) = $585.000
2. ¿Qué tan grande debe ser C1 antes de que cambie el vector solución?
C1 → Δ1 ≤ 50
Para que siga siendo no básica, es decir, que cambie y sólo puede llegar a 4050, si se pasa de este
valor la solución cambia.
¿Cuál es el intervalo de variación para el producto 3?
C3 = 3000 → C’3 = 3000 + Δ3
- 50 + 0.05 Δ3 ≥ 0 → 0.05 Δ3 → 50 → Δ3 = - 1000
- 3500 + 0.5 Δ3 ≥ 0 → 0.5 Δ3 → 3500 → Δ3 = - 7000
- 300 + 0.3 Δ3 ≥ 0 → 0.3 Δ3 → 300 → Δ3 = - 1000
- 1800 + (- 0.2 9 Δ3 ≥ 0 → - 0.2 Δ3 → 1800 → Δ3 = 9000
- 1000 ≤ Δ3 ≤ 9000
(3000 – 1000) ≤ Δ3 ≤ (3000 + 9000)
2000 ≤ Δ3 ≤ 12000
3. Cómo se afecta la solución actual si se fabrica un nuevo producto cuya utilidad es $5.000 y los
coeficientes tecnológicos son (1, 3, 2) respectivamente.
- 300 0 - 1800 (1, 3, 2) + 5000 = 1100
0.3 0 - 0.2 1 - 0.1
- 0.5 1 0 3 2.5
- 0.1 0 0.4 2 0.7
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3
BASE Cj 4000 6000 3000 1000 5000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 0.05 0 1 0.5 - 0.1 0.3 0 - 0.2 125
S2 0 3.25 0 0 - 0.5 2.5 - 0.5 1 0 425
X2 6000 0.65 1 0 0.5 0.7 - 0.1 0 0.4 25
Zj 4050 6000 3000 4500 3900 300 0 1800
Cj - Zj - 50 0 0 - 3500 1100 - 300 0 - 1800 525000
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3
BASE Cj 4000 6000 3000 1000 5000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 1/7 1/7 1 4/7 0 2/7 0 - 1/7 128.57
S2 0 13/14 - 25/7 0 - 16/7 0 - 1/7 1 - 10/7 335.72
X5 6000 13/14 10/7 0 5/7 1 - 1/7 0 4/7 35.71
Zj 5071.43 7571.43 3000 5285.71 5000 142.86 0 2428.57
Cj - Zj - 1071.43 - 1571.43 0 - 4285.71 0 - 142.86 0 - 2428.57 564260
Con la fabricación del nuevo producto, aumenta la utilidad en $39.260, pasa de $525.000 a
$564.260.
4. Cómo se afecta la solución actual si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambian a (1.2,
2, 1.5). Interprete la solución.
- 300 0 - 1800 (1.2, 2, 1.5) + 4000 = 940
0.3 0 - 0.2 1.2 1.6
- 0.5 1 0 2 1.4
- 0.1 0 0.4 1.5 0.48
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 4000 6000 3000 1000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 0.06 0 1 0.5 0.3 0 - 0.2 125
S2 0 1.4 0 0 - 0.5 - 0.5 1 0 425
X2 6000 0.48 1 0 0.5 - 0.1 0 0.4 25
Zj 3060 6000 3000 4500 300 0 1800
Cj - Zj 940 0 0 - 3500 - 300 0 - 1800 525000
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 4000 6000 3000 1000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 0 - 1/8 1 7/16 5/16 0 - 1/4 121.87
S2 0 0 - 35/12 0 - 47/24 - 5/24 1 - 7/6 352.09
X1 4000 1 25/12 0 25/24 - 5/24 0 5/6 52.08
Zj 4000 7958.33 3000 5479.17 104.17 0 2583.33
Cj - Zj 0 - 1958.33 0 - 4479.17 - 104.17 0 - 2583.33 573930
Si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambian, modifica la solución óptima inicial
aumentando la utilidad en $48.930 en la nueva solución, pasando de $525.000 a $573.930.
Ejercicio No. 2
En el siguiente modelo, las variables de decisión corresponden a cuatro productos que se programa
producir; las restricciones corresponden a las disponibilidades de los recursos así: Horas hombre,
tiempo (horas) máquinas y disponibilidad monetaria en miles, para el presente período.
Zmax = 2500X1 + 5000X2 + 3000X3 + 2000X4
s.a.:
1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 550
4X1 + X2 + 2X3 + X4 ≤ 700
X1 + 3X2 + X3 + 2X4 ≤ 200
X1, X2, X3, X4 ≥ 0
Último tablero simplex:
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 2500 5000 3000 2000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 0 - 1 1 0 0.4 0 - 0.6 100
S2 0 0 - 13 0 - 7 0.8 1 - 5.2 100
X1 2500 1 4 0 2 - 0.4 0 1.6 100
Zj 2500 7000 3000 5000 200 0 2200
Cj - Zj 0 - 2000 0 - 3000 - 200 0 - 2200 550000
Para hallar coeficientes X1
0.4 0 - 0.6 1.5 0
0.8 1 - 5.2 4 0
- 0.4 0 1.6 1 1
Para hallar solución
0.4 0 - 0.6 550 100
0.8 1 - 5.2 700 100
- 0.4 0 1.6 200 100
1. ¿Qué pasa con la solución actual si la utilidad del producto 3 aumenta en 300? Interprete la
solución del problema primo.
Para X3 C3 = 3000
- 200 + (- 0.4) Δ3 ≥ 0 → - 0.4 Δ3 ≥ 200 → Δ3 = - 500
- 2200 + 0.6 Δ3 ≥ 0 → 0.6 Δ3 ≥ 2200 → Δ3 = 3666.67
- 500 + (- 0.1) Δ1 ≥ 0 → - 0.1 Δ1 ≥ - 25 → Δ1 = 250
- 500 ≤ Δ3 ≤ 3666.67
(3000 – 500) (3000 + 3666.67)
2500 ≤ Δ3 ≤ 6666.67
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 2500 5000 3300 2000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3300 0 - 1 1 0 0.4 0 - 0.6 100
S2 0 0 - 13 0 - 7 0.8 1 - 5.2 100
X1 2500 1 4 0 2 - 0.4 0 1.6 100
Zj 2500 6700 3300 5000 320 0 2020
Cj - Zj 0 - 1700 0 - 3000 - 320 0 - 2020 580000
X1 = 100 Unidades del producto 1 se programarían a producir
X2 = 0
X3 = 100 Unidades del producto 3 se programarían a producir
X4 = 0
S1 = 0
S2 = 100 Horas máquina disponible
S3 = 0
Zmax = $580.000
En la solución actual la utilidad aumenta en $30.000
2. ¿Qué pasa con la solución actual si la disponibilidad del recurso 1 cambia a 250? Establezca el
intervalo de solución. Interprete la nueva solución.
b1 = 550 b’1 = 250
100 + 0.4 Δ1 ≥ 0 → 0.4 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = - 250
100 + 0.8 Δ1 ≥ 0 → 0.8 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = - 125
100 + (- 0.4) Δ1 ≥ 0 → - 0.4 Δ1 ≥ - 100 → Δ1 = 250
- 125 ≤ Δ1 ≤ 250
(550 – 125) (550 + 250)
425 ≤ Δ1 ≤ 800
La solución no es factible porque los 250 no están dentro del intervalo de variación.
3. ¿Qué pasa con la solución actual si los coeficientes tecnológicos del producto 1 cambia a (1, 4,
1).
- 200 0 - 2200 (1, 4, 1) + 2500 = 100
0.4 0 - 0.6 1 - 0.2
0.8 1 - 5.2 4 - 0.4
- 0.4 0 1.6 1 1.2
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 2500 5000 3000 2000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 - 0.2 - 1 1 0 0.4 0 - 0.6 100
S2 0 - 0.4 - 13 0 - 7 0.8 1 - 5.2 100
X1 2500 1.2 4 0 2 - 0.4 0 1.6 100
Zj 2400 7000 3000 5000 200 0 2200
Cj - Zj 100 - 2000 0 - 3000 - 200 0 - 2200 550000
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 2500 5000 3000 2000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 0 - 0.33 1 0.33 0.33 0 - 0.33 1116.67
S2 0 0 - 11.67 0 - 6.33 0.67 1 - 4.67 133.33
X1 2500 1 3.33 0 1.67 - 0.33 0 1.33 83.33
Zj 2500 7333.33 3000 5166.67 166.67 0 2333.33
Cj - Zj 0 - 2333.33 0 - 3166.67 - 166.67 0 - 2333.33 558333.33
La solución actual cambia, incrementándose la utilidad en $8.333,33, pasando de $550.000 a
$558.333,33.
4. La empresa quiere producir un nuevo producto con una utilidad de $4000 y unos coeficientes de
(2, 3, 1). ¿Conviene o no?
- 200 0 - 2200 (2, 3, 1) + 4000 = 1400
0.4 0 - 0.6 2 0.2
0.8 1 - 5.2 3 - 0.6
- 0.4 0 1.6 1 0.8
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3
BASE Cj 2500 5000 3000 2000 4000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 0 - 1 1 0 0.2 0.4 0 - 0.6 100
S2 0 0 - 13 0 - 7 - 0.6 0.8 1 - 5.2 100
X1 2500 1 4 0 2 0.8 - 0.4 0 1.6 100
Zj 2500 7000 3000 5000 2600 200 0 2200
Cj - Zj 0 - 2000 0 - 3000 1400 - 200 0 - 2200 550000
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3
BASE Cj 2500 5000 3000 2000 4000 0 0 0 SOLUCIÓN
X3 3000 - 0.25 - 2 1 - 0.5 0 0.5 0 - 1 75
S2 0 0.75 - 10 0 - 5.5 0 0.5 1 - 4 175
X5 4000 1.25 5 0 2.5 1 - 0.5 0 2 125
Zj 4250 14000 3000 8500 4000 - 500 0 5000
Cj - Zj - 1750 - 9000 0 - 6500 0 500 0 - 5000 725.000
X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3
BASE Cj 2500 5000 3000 2000 4000 0 0 0 SOLUCIÓN
S1 0 - 1 - 4 2 - 1 0 1 0 - 2 150
S2 0 1 - 8 - 1 - 5 0 0 1 - 3 100
X5 4000 1 3 1 2 1 0 0 1 200
Zj 4000 12000 4000 8000 4000 0 0 4000
Cj - Zj - 1500 - 7000 - 1000 - 6000 0 0 0 - 4000 800.000
Si resulta conveniente producir el nuevo producto, pues la utilidad aumenta en $250.000, pasando
de $550.000 a $800.000.
Ejercicio No. 3
X1 = Unidades del producto 1 a producir / día
X2 = Unidades del producto 2 a producir / día
X3 = Unidades del producto 3 a producir / día
Zmax = 800X1 + 1200X2 + 1000X3 $/día
s.a.:
3X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 60 Unidades / día
9X1 + 4X2 + 16X3 ≤ 242 Horas / día
X1 + 4X2 + 6X3 ≤ 125 Horas / día
X1, X2, X3 ≥ 0
Último tablero simplex maximización:
X1 X2 X3 S1 S2 S3
BASE Cj 800 1200 1000 0 0 0 SOLUCIÓN
X2 1200 1/4 1 0 2/7 - 1/28 0 8.5
X3 1000 1/2 0 1 - 1/14 1/14 0 13
S3 0 1 0 0 - 5/7 - 2/7 1 13
Zj 800 1200 1000 271.43 28.57 0
Cj - Zj 0 0 0 - 271.43 - 28.57 0 23200
2/7 - 1/28 0 60 8.5
- 1/14 1/14 0 242 13
- 5/7 - 2/7 1 125 13
1. ¿Cómo se afecta la solución actual si se fabrica un nuevo producto cuya utilidad es 1300 y los
coeficientes tecnológicos son (1, 6, 3)?.
- 271.43 -28.57 0 (1, 6, 3) + 1300 = 857.15
2/7 - 1/28 0 1 1/14
- 1/14 1/14 0 6 5/14
- 5/7 - 2/7 1 3 4/7
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 800 1200 1000 1300 0 0 0 SOLUCIÓN
X2 1200 1/4 1 0 1/14 2/7 - 1/28 0 8.5
X3 1000 1/2 0 1 5/14 - 1/14 1/14 0 13
S3 0 1 0 0 4/7 - 5/7 - 2/7 1 13
Zj 800 1200 1000 448.85 271.43 28.57 0
Cj - Zj 0 0 0 857.15 - 271.43 - 28.57 0 23200
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 800 1200 1000 1300 0 0 0 SOLUCIÓN
X2 1200 0.13 1 0 0 3/8 0 - 1/8 6.88
X3 1200 - 0.13 0 1 0 3/8 1/14 - 5.8 4.88
X4 1300 1.75 0 0 1 - 1.25 - 0.5 1.75 22.75
Zj 2300 1200 1000 1300 - 800 - 400 1500
Cj - Zj - 1500 0 0 0 800 400 1500 42700
X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3
BASE Cj 800 1200 1000 1300 0 0 0 SOLUCIÓN
X2 1200 0.25 1 - 1 0 0 - 0.25 0.5 2
S1 0 - 1/3 0 2.67 0 0 2/3 - 1.67 13
X4 1300 1.33 0 3.33 1 0 1/3 - 1/3 39
Zj 2033 1200 3133 1300 0 133.33 166.6
Cj - Zj - 1233 0 - 2133 0 0 - 133.33 - 166.6 53100
Es conveniente producir el nuevo producto, pues cambia la solución, aumentando la utilidad en
$29.900, pasando de $23.200 a $53.100.
2. ¿Cómo se afecta la solución actual se la disponibilidad del recurso 1 disminuye en 20 horas?
Hallar el intervalo de variación. Interprete la solución.
b1 = 60 b’1 = 40
8.5 + 2/7 Δ1 ≥ 0 → 2/7 Δ1 ≥ - 8.5 → Δ1 = - 29.75
13 + (- 1/14) Δ1 ≥ 0 → - 1/14 Δ1 ≥ - 13 → Δ1 = 182
13 + (- 5/7) Δ1 ≥ 0 → - 5/7 Δ1 ≥ - 13 → Δ1 = 18.2
- 29.75 ≤ Δ1 ≤ 18.2
(60 – 29.5) (60 + 18.2)
30.25 ≤ Δ1 ≤ 78.2
La solución actual sigue siendo factible, pues la disminución a 40 unidades sigue dentro del intervalo
de utilidad. La nueva solución quedaría así:
2/7 - 1/28 0 40 2.78 X2
- 1/14 1/14 0 242 13 X3
- 5/7 - 2/7 1 125 13 S3
Zmax = 800 (0) + 1200 (2.78) + 1000 (13) = 16336
3. ¿Qué pasaría con la solución actual si la utilidad del producto aumenta en $300? Establezca el
intervalo de variación, interprete la nueva solución, si existe.
C1 = 800 C’1 = 1100
Δ1 < 0 Variación para que la solución siga siendo óptima
C1 ≤ 800 Utilidad para que la solución actual cambie, por lo tanto, al incrementarse en $300, la
variable X1 se vuelve óptima y se sigue el tablero.
X1 X2 X3 S1 S2 S3
BASE Cj 1100 1200 1000 0 0 0 SOLUCIÓN
X2 1200 1/4 1 0 2/7 - 1/28 0 8.5
X3 1000 1/2 0 1 - 1/14 1/14 0 13
S3 0 1 0 0 - 5/7 - 2/7 1 13
Zj 800 1200 1000 271.43 28.57 0
Cj - Zj 300 0 0 - 271.43 - 28.57 0 23200
X1 X2 X3 S1 S2 S3
BASE Cj 1100 1200 1000 0 0 0 SOLUCIÓN
X2 1200 0 1 0 1/2 0 1/4 2
X3 1000 0 0 1 2/7 1/5 - 1/2 6.5
X1 1100 1 0 0 - 0.714 - 0.286 1 13
Zj 1100 1200 1000 57.142 - 57.142 300
Cj - Zj 0 0 0 - 57.142 57.142 - 300 25150
X1 X2 X3 S1 S2 S3
BASE Cj 1100 1200 1000 0 0 0 SOLUCIÓN
X2 1200 0 1 0 1/2 0 - 1/4 2
S2 0 0 0 5 1.43 1 - 2.5 32.5
X1 1100 1 0 1.43 - 0.3 0 0.285 22.29
Zj 1100 1200 1573 270 0 13.5
Cj - Zj 0 0 - 573 - 270 0 - 13.5 26919
La utilidad aumenta en $3.719, pasando de $23.200 a $26.919.
BIBLIOGRAFÍA
TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Séptima edición. Pearson Education. México: 2004.
http://programacionlineal.net/sensibilidad.html