calor keith

7/25/2019 Calor Keith

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CAPTULO 9

Transferencia de calorpor radiacin

Conceptos y anlisis que se aprendern

La transferencia de calor por radiacin es diferente de la de conveccin yconduccin debido a que el potencial impulsor no es la temperatura, sinola temperatura absoluta elevada a la cuarta potencia. Adems, el calor sepuede transportar por radiacin sin que intervenga un medio. En conse-cuencia, la integracin de la transferencia de calor por radiacin en unanlisis trmico global presenta retos considerables, incluyendo la necesidad de establecer cuidadosamente condiciones de frontera y suposicionesindispensables para su inclusin apropiada en el circuito trmico de unsistema. Al estudiar este captulo aprender:

Cmo expresar la dependencia de la potencia emisora monocromtica deun cuerpo negro sobre la longitud de onda y la temperatura absoluta.

Cmo expresar la relacin entre la intensidad de radiacin y la potenciaemisora.

Cmo emplear las propiedades de la radiacin como la emisividadabsorbencia y transmisividad en el anlisis de transferencia de calorincluyendo su dependencia en la longitud de onda.

Cmo definir y utilizar suposiciones de cuerpo negro y cuerpo gris.

Cmo evaluar un factor de forma de la radiacin para la transferenciade calor radiactiva entre superficies diferentes.

Cmo establecer un circuito equivalente para la radiacin en recintoque consisten en varias superficies.

Cmo utilizar MATLAB para resolver problemas de transferencia de calopor radiacin.

Cmo evaluar problemas trmicos cuando la radiacin se combina conconveccin y conduccin.

Cmo modelar los fundamentos de la radiacin en medios gaseosos.

Satlite orbitando en el espa-cio con sus paneles solares yradiadores de rechazo de calordesplegados. El sistema degeneracin de energa en elsatlite recibe energa solar porradiacin y rechaza calor dedesperdicio por radiacin en ellado oscuro.Fuente: Fotografa cortesa de la NASA.


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9.1 Radiacin trmicaCuando un cuerpo se coloca en un recinto cerrado cuyas paredes estn a una tempe-

ratura menor que la del cuerpo, la temperatura del cuerpo disminuir aun si el recintoest evacuado. El proceso mediante el cual el calor se transfiere de un cuerpo pormedio de su temperatura, sin la intervencin de algn medio, se denomina radiacintrmica. En este captulo se estudian las caractersticas de la radiacin trmica y delintercambio por radiacin, es decir, la transferencia de calor por radiacin.

El mecanismo fsico de la radiacin an no se comprende por completo. Laenerga radiante en ocasiones se considera como transportada por ondas electro-magnticas, en otras como transportada por fotones. Ninguno de estos puntos devista describe en su totalidad la naturaleza de todos los fenmenos observados.Sin embargo, se sabe que la radiacin viaja a la velocidad de la luz c, que es iguala 3 *108m/s en el vaco. Esta velocidad es igual al producto de la frecuencia porla longitud de onda de la radiacin, o

donde

v = frecuencia, s-1

l = longitud de onda, m

c = lv

La unidad de la longitud de onda es el metro, pero suele ser ms conveniente utili-zar el micrmetro (mm), igual a 10-6m [1 mm =104 (angstroms) o 3.94 *10-5in(pulgadas)]. En las publicaciones de ingeniera, tambin se utiliza la micra (igual aun micrmetro) que se denota por el smbolo m.

Desde el punto de vista de la teora electromagntica, las ondas viajan a lavelocidad de la luz, en tanto que desde el punto de vista cuntico, la energa setransporta por fotones que viajan a esa velocidad. Si bien todos los fotones tienen lamisma velocidad, siempre existe una distribucin de energa entre ellos. La energaasociada con un fotn, e

p, est dada por e

p= hv,donde hes la constante de Planck,

igual a 6.625 *10-34Js y nes la frecuencia de la radiacin en s-1. El espectro de laenerga tambin se puede describir en trminos de la longitud de onda de la radia-cin, l, que est relacionada con la velocidad de propagacin y la frecuencia pormedio de l=c/n.

Los fenmenos de la radiacin suelen clasificarse por su longitud de onda carac-terstica (figura 9.1). Los fenmenos electromagnticos comprenden muchos tipos deradiacin, de rayos gamma y rayos X de longitud de onda corta, hasta las ondasde radio de longitud de onda larga. La longitud de onda de la radiacin depende decmo se produce la radiacin. Por ejemplo, un metal bombardeado por electronesde alta frecuencia emite rayos X, en tanto que ciertos cristales se pueden excitar paraque emitan ondas de radio de longitud de onda larga. La radiacin trmicase definecomo energa radiante emitida por un medio a causa de su temperatura. En otraspalabras, la emisin de la radiacin trmica se rige por la temperatura del cuerpoemisor. El intervalo de la longitud de onda por radiacin trmica se encuentraaproximadamente entre 0.1 y 100 mm. Este intervalo suele subdividirse en ultravio-leta, visible e infrarrojo, como se muestra en la figura 9.1.

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542 Captulo 9 Transferencia de calor por radiacin

La radiacin trmica siempre comprende un intervalo de longitudes de onda. Lacantidad de radiacin emitida por longitud de onda unitaria se denomina radiacinmonocromtica; vara con la longitud de onda y la palabra espectralse utiliza paradescribir esta dependencia. La distribucin espectral depende de la temperatura y delas caractersticas superficiales del cuerpo emisor. El Sol, con una temperatura superfi-cial efectiva de aproximadamente 5 800 K (10 400 R), emite la mayora de su energaen longitudes de onda menores que 3 mm, en tanto que la Tierra, a una temperatura de

aproximadamente 290 K (520 R), emite ms de 99% de su radiacin a longitudesde onda mayores que 3 mm. Esta diferencia en los intervalos espectrales calienta elinterior de un invernadero incluso cuando el aire exterior est fro debido a queel vidrio deja pasar la radiacin a la longitud de onda del Sol, pero casi es opaco a laradiacin en el intervalo de longitud de onda emitido por el interior del invernadero.As pues, la mayora de la energa solar que entra a un invernadero queda atrapada ensu interior. En aos recientes, la combustin de combustibles fsiles ha aumentado lacantidad de dixido de carbono en la atmsfera. Como el dixido de carbono absorberadiacin del espectro solar, se escapa menos energa. Esto ocasiona el calentamientoglobal, que tambin se denomina efecto invernadero.

Longitud de onda,l(m)

1 1 m 1 km

Ondasde radio

Energaelctrica

876543210-1-2-3-4-5- 6-7-8-9-10-11-12-13-1410

10-7

a)

b)

1015 1014 1013

10-6 10-5 10-4

Frecuencia,v(s-1)

Frecuencia, v(s-1)

Longitud de onda, l(m)

1234567891022 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 1110

Ondas hertzianasRadiacintrmica

VisibleRayos X

Rayosgamma

Ultravioleta Infrarrojolejano

Visible

Violeta

ndigo

Azul

Verde

Amarillo

Naranja

Rojo

Infrarrojointermedio

Infrarrojocercano

Rayoscsmicos

1 m

FIGURA 9.1 a) Espectro electromagntico. b) Parte de la radiacin trmica

del espectro electromagntico.


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9.2 Radiacin de un cuerpo negro 543

Cuarta reflexin yabsorcin parcial

Tercera reflexin yabsorcin parcial

Irradiacin G

Recinto cerrado

isotrmico

Primera reflexin yabsorcin parcial

Segunda reflexin yabsorcin parcial

FIGURA 9.2 Diagrama esquemtico de la cavidad de un cuerpo negro.

9.2 Radiacin de un cuerpo negroUn cuerpo negro, o radiador ideal, es un cuerpo que emite y absorbe a cualquier tem-peratura la cantidad mxima posible de radiacin a cualquier longitud de onda dada.Un radiador ideal es un concepto terico que establece un lmite superior para la emi-

sin de radiacin de acuerdo con la segunda ley de la termodinmica. Es un estndarcon el que se comparan las caractersticas de radiacin de otros medios.Para fines de laboratorio, un cuerpo negro se puede aproximar mediante una

cavidad, como una esfera hueca, cuyas paredes interiores se mantienen a una tem-peratura uniforme T. Si hay un agujero pequeo en la pared, cualquier radiacin queentre a travs de l se absorbe y se refleja parcialmente en las superficies interiores. Laradiacin reflejada, como se muestra en el esquema de la figura 9.2, no escapar inme-diatamente de la cavidad, sino que primero chocar repetidamente contra la superficieinterior. Cada vez que choca, una parte de ella se absorbe; cuando el haz de radiacinoriginal finalmente llega al agujero de nuevo y escapa, se ha debilitado tanto por lareflexin repetida que la energa saliente de la cavidad es insignificante. Esto es cierto

sin importar la superficie y la composicin de la pared de la cavidad. Por tanto, unagujero pequeo en las paredes que rodean una cavidad grande acta como un cuerponegro debido a que prcticamente toda la radiacin incidente en el agujero se absorbedentro de la cavidad.

Del mismo modo, la radiacin emitida por la superficie interior de una cavidadse absorbe y se refleja muchas veces hasta que llena la cavidad uniformemente. Si uncuerpo negro a la misma temperatura que la superficie interior se coloca en la cavi-dad, recibe radiacin uniformemente; es decir, es irradiada isotrpicamente. El cuerponegro absorbe toda la radiacin incidente y puesto que el sistema que consiste en elcuerpo negro y de la cavidad est a temperatura uniforme, la tasa de emisin de laradiacin por el cuerpo debe ser igual a su tasa de irradiacin (de lo contrario habra unatransferencia neta de energa como calor entre dos cuerpos a la misma temperatura enun sistema aislado, una violacin obvia de la segunda ley de la termodinmica). Si G

b

denota la tasa a la que la energa radiante de las paredes de la cavidad incide sobre elcuerpo negro, es decir, la irradiacin del cuerpo negro, yE

bes la tasa a la que el cuerpo

negro emite energa, se obtiene por tanto Gb=E

b. Esto significa que la irradiacin en

una cavidad cuyas paredes estn a una temperatura Tes igual a la potencia emisora


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de un cuerpo negro a la misma temperatura. Un agujero pequeo en la pared de unacavidad no perturbar de manera apreciable esta condicin y por tanto la radiacinque escape por l tendr caractersticas de cuerpo negro. Como esta radiacin es inde-pendiente de la naturaleza de la superficie, se deduce que la potencia emisora de uncuerpo negro slo depende de su temperatura.

9.2.1 Leyes que rigen un cuerpo negroLa emisin de energa radiante espectral por tiempo unitario y rea unitaria de uncuerpo negro a una longitud de onda l en el intervalo de longitud de onda dl sedenotar porE

bdl. La cantidadE

blsuele denominarsepotencia emisora monocro-

mtica de un cuerpo negro. En 1900 Max Planck dedujo mediante su teora cunticauna relacin que muestra cmo se distribuye la potencia emisora de un cuerpo negroentre las diferentes longitudes de onda. De acuerdo con la ley de Planck, un radiadorideal a temperatura Temite radiacin de acuerdo con la relacin [1]:

Ebl(T) = C1

l5(eC1

>lT - 1)

(9.1)

donde

= 1.4388 * 10-2m K (2.5896 * 104m R)C2 = segunda constante de radiacin

= 3.7415 * 10-16W m2(1.1870 * 108Btu>m4>h ft2)C1 = primera constante de radiacinT= temperatura absoluta del cuerpo, K (grados R= 460 + F)

l = longitud de onda, m (m)

absoluta T, W/m3(Btu>h ft2m)Ebl = potencia emisora monocromtica de un cuerpo negro a temperatura

En la figura 9.3 se representa el trazo de la potencia emisora monocromtica deun cuerpo negro a diversas temperaturas como una funcin de la longitud de onda.Observe que a temperaturas menores que 5 800 K la emisin de la energa radiante esapreciable entre 0.2 y casi 50 mm. La longitud de onda a la que la potencia emisoramonocromtica es un mximo,E

bl(l

mx, T ) disminuye al aumentar la temperatura.

La relacin entre la longitud de onda lmx

a la queEbl

es un mximo y la tempe-ratura absoluta se denomina ley del desplazamiento de Wien[1]. Que se puede dedu-cir a partir de la ley de Planck satisfaciendo la condicin para un mximo de E

bl, o

dEbl

dl=

d

dl

c

C1

l5(eC2

>lT

- 1)

dT=const

= 0

El resultado de esta operacin es

lmx T= 2.898 * 10-3

mK (5216.4mR) (9.2)

El intervalo visible de las longitudes de onda, que se muestra como una bandasombreada en la figura 9.3, se extiende sobre una regin angosta de casi 0.4a 0.7 mm. Slo una cantidad muy pequea de la energa total queda compren-dida en este intervalo de longitudes de onda a temperaturas menores que 800 K.Sin embargo, a temperaturas mayores la cantidad de energa radiante dentro delintervalo visible aumenta y con la vista humana se comienza a detectar la radiacin.


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Longitud de onda, , m

Potenciaemisoraespectral,

Eb,W

/m2m

mxT= 2898 m K

109

108

107

106

105

104

103

102

101

100

101

102

103

1040.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4 6 10 20 40 60 100

50K

100K

300K

800K

2000

K

1000

K

5800

K

Regin espectral visible

FIGURA 9.3 Potencia emisora monocromtica de un cuerpo negro.

La sensacin producida en la retina y trasmitida al nervio ptico depende de latemperatura, un fenmeno que an se utiliza para estimar las temperaturas demetales durante un tratamiento trmico. A aproximadamente 800 K, una cantidadde energa radiante suficiente para su observacin se emite a longitudes de ondaentre 0.6 y 0.7 mm, y un objeto a esa temperatura resplandece con un color rojomate. Conforme la temperatura se aumenta an ms, el color cambia a un rojo yamarillo brillante, que a aproximadamente 1 500 K se convierte casi en un colorblanco. Al mismo tiempo, la brillantez tambin aumenta debido a que ms y msde la radiacin total queda comprendida dentro del intervalo visible.

Recuerde del captulo 1 que la emisin total de la radiacin por rea superficialunitaria, por tiempo unitario de un cuerpo negro, est relacionada con la cuarta

potencia de la temperatura absoluta de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann

Eb(T) = qr

A= sT4 (9.3)

donde A=rea del cuerpo negro emitiendo la radiacin, m2(ft2)

T=temperatura absoluta del reaAen K (R)

s=constante de Stefan-Boltzmann =5.670 *10-8W/m2K4(0.1714 *10-8Btu/h ft2R4)


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La potencia emisora total dada por la ecuacin (9.3) representa la radiacin trmica totalemitida sobre todo el espectro de longitudes de onda. A una temperatura dada T, el reabajo una curva como la que se muestra en la figura 9.3 esE

b. La potencia emisora total

y la potencia emisora monocromtica estn relacionadas por

L

q

0

Ebl dl = sT4 = Eb (9.4)

DespejandoEblde la ecuacin (9.1) y efectuando la integracin indicada antes se

tiene que la constante de Stefan-Boltzmann s y las constantes C1 y C

2 en la ley

de Planck estn relacionadas por

s =a pC2b4C1

15 = 5.670 * 10-8 W/m2K4 (9.5)

La ley de Stefan-Boltzmann muestra que en la mayora de las circunstancias losefectos de la radiacin son insignificantes a bajas temperaturas, debido al valorpequeo de s. A temperatura ambiente ('300 K) la potencia emisora total de unasuperficie negra es aproximadamente de 460 W/m2. Este valor es slo de aproxima-damente un dcimo del flujo trmico transferido de una superficie a un fluido porconveccin, incluso cuando el coeficiente de transferencia de calor por convecciny la diferencia de temperatura sean valores razonablemente bajos de 100 W/m2K y50 K, respectivamente. Por tanto, a bajas temperaturas con frecuencia se puedenignorar los efectos de la radiacin; sin embargo, a temperaturas altas se deben incluirlos efectos de la radiacin debido a que la potencia emisora aumenta con la cuartapotencia de la temperatura absoluta.

9.2.2 Funciones de radiacin y emisin de bandaEn los clculos ingenieriles que comprenden superficies reales a menudo es impor-tante conocer la energa radiada a una longitud de onda especfica o en una bandafinita entre longitudes de onda especficasl

1yl

2, es decir, Jl1l2Ebl(T) dl. Los clculos

numricos para esos casos se facilitan utilizando lasfunciones de radiacin[2]. Ladeduccin de estas funciones y su aplicacin se ilustran a continuacin.

A cualquier temperatura dada, la potencia emisora monocromtica es un mximoa la longitud de onda l

mx = 2.898 * 10-3/T, de acuerdo con la ecuacin (9.2).

Sustituyendo lmx

en la ecuacin (9.1) se obtiene la potencia emisora monocromticaa temperatura T,E

blmx(T), o

Eblmx (T) = C1T

5

(0.002898)

5

(eC2

>0.002898 -

1)

= 12.87 * 10-6T5W/m3 (9.6)

Si se divide la potencia emisora monocromtica de un cuerpo negro,Ebl

(T), entre supotencia emisora mxima a la misma temperatura,E

blmx(T), se obtiene la relacin

adimensional

Ebl(T)

Eblmx (T)=a 2.898 * 10-3

lTb5a e4.965 - 1

e0.014388>lT - 1 b (9.7)

donde lest en micrmetros y Ten Kelvine.


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Observe que el lado derecho de la ecuacin (9.7) es una funcin nica del pro-ducto lT. Para determinar la potencia emisora monocromtica E

blpara un cuerpo

negro a valores dados de ly T, se evalaEbl

/Eblmx

de la ecuacin (9.7) yEblmx

dela ecuacin (9.6) y se multiplican.

EJEMPLO 9.1 Determine: a) la longitud de onda a la que la potencia emisora monocromtica de unfilamento de tungsteno a 1 400 K es un mximo, b) la potencia emisora monocrom-tica a esa longitud de onda y c) la potencia emisora monocromtica a 5 mm.

SOLUCIN De la ecuacin (9.2), la longitud de onda a la que la potencia emisora es unmximo es

lmx = 2.898 * 10-3>1400 = 2.07 * 10-6 m

De la ecuacin (9.6) en ,T= 1400K

Eblmx = 12.87 * 10-6 * (1400)5 = 6.92 * 1010W/m3

Para l=5 mm, mT=5 *1 400 =7.0 * 103mK; sustituyendo este valor en la ecua-cin (9.7) se obtiene

Ebl(1400)

Eblmx (1400)=a2.898 * 10-3

7.0 * 10-3b5a e4.965 - 1

e0.014388>lT

- 1b

= (0.1216)a e4.965 - 1

e2.055 - 1b = 0.254

Por tanto,Ebl

a 5 mm es 25.4% del valor mximo Eblmx

, o 1.758 *1010 W/m3.

Con frecuencia es necesario determinar la fraccin de la emisin total de uncuerpo negro en una banda especial entre longitudes de onda l

1y l

2. Para obtener la

emisin en una banda, como se muestra en la figura 9.4 mediante el rea sombreada,primero se debe calcular E

b(0 -l

1, T ), la emisin de cuerpo negro en el intervalo

de 0 a l1en T, o

L

l1

0Ebl(T) dl = Eb(0 - l1, T) (9.8)

Esta expresin se puede escribir en forma adimensional como una funcin slo delT, el producto de la longitud de onda y la temperatura.

Eb(0 - l1T)

sT4 = L

l1T

0Ebl

sT5 d(lT) (9.9)

De acuerdo con las ecuaciones (9.6) y (9.7), el integrando en la ecuacin (9.9) esuna funcin slo de lTy por tanto, la ecuacin (9.9) se puede integrar entre lmites


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especificados. La fraccin de la emisin total de cuerpo negro entre 0 y un valor dadode lse presenta en la figura 9.5 y en la tabla 9.1 como una funcin universal de lT.

Para determinar la cantidad de radiacin emitida en la banda entre l1y l2parauna superficie negra a temperatura T, se evala la diferencia entre las dos integralessiguientes:

Ll2

0Ebl(T) dl- L

l1

0Ebl(T) dl = Eb(0 - l2T) - Eb(0 - l1T) (9.10)

El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.

T 103, m K

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

4 8 12 16 20

Eb

(0-

T)/T4

FIGURA 9.5 Relacin de la emisin decuerpo negro entre 0 y lcon la emisintotal, E

b(0 -lT)/sT4contra lT.

Longitud de onda,

Eb

Eb(0 2,T) Eb(0 1,T)

T

1 2

FIGURA 9.4 Banda de radiaciny funcin de radiacin.


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TABLA 9.1 Funciones de radiacin de un cuerpo negro

lT(mK: 103)Eb(0 LT)

ST4 lT(mK: 103)Eb(0 LT)

ST4

0.2

0.40.60.81.01.21.41.61.82.0

0.1008972.4 0.1402682.6 0.1831352.8 0.2279083.0 0.2732523.2 0.3181243.4 0.3617603.6 0.4036333.8 0.4434114.0 0.4809074.2 0.5160464.4 0.5488304.6 0.5793164.8 0.6075975.0 0.6337865.2 0.658011

5.4 0.6804025.6 0.7010905.8 0.7202036.0 0.737864

0.667347 * 10-10.393449 * 10-10.197204 * 10-10.779084 * 10-20.213431 * 10-20.320780 * 10-30.164351 * 10-40.929299 * 10-70.186468 * 1

-110.341796 * 10-26 6.2 0.754187

6.4 0.7692346.6 0.7832486.8 0.7961807.0 0.8081607.2 0.8192707.4 0.8295807.6 0.8391577.8 0.8480608.0 0.8563448.5 0.8746669.0 0.8900909.5 0.903147

10.0 0.91426310.5 0.92377511.0 0.93195611.5 0.93902712 0.94516713 0.95521014 0.96297015 0.96905616 0.97389018 0.98093920 0.98568325 0.99229930 0.995427

40 0.99805750 0.99904575 0.999807

100 1.000000

2.2

EJEMPLO 9.2 El cristal de slice transmite 92% de la radiacin incidente en el intervalo de longi-tud de onda entre 0.35 y 2.7 mm y es opaco a longitudes de onda ms largas y mscortas. Estime el porcentaje de radiacin solar que transmitir el cristal. Se puedesuponer que el Sol irradia como un cuerpo negro a 5 800 K.

SOLUCIN Para el intervalo de longitud de onda dentro del cual el cristal es transparente,T=2 030 mm K en el lmite inferior y 15 660mm K en el lmite superior. De la tabla 9.1se obtiene


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L2030

0Ebldl

Lq

0Ebldl

= 6.7%

y

L15660

0Ebldl

Lq

0Ebldl

= 97.0%

Por tanto, 90.3% de la energa radiante total incidente sobre el cristal procedente delSol se encuentra en el intervalo de longitud de onda entre 0.35 y 2.7 mm y 83.1%de la radiacin solar se transmite a travs del cristal.

9.2.3 Intensidad de radiacinHasta este punto en nuestro anlisis slo se ha considerado la cantidad total deradiacin que emite una superficie, es decir, la potencia emisora. Sin embargo, elconcepto es inadecuado para un anlisis de transferencia de calor cuando se quieredeterminar la cantidad de radiacin que pasa en una direccin dada y la intercep-tada por algn otro cuerpo. La cantidad de radiacin que pasa en una direccindada se describe en trminos de la intensidad de radiacin, I. Antes de definir laintensidad de radiacin, se deben tener medidas de la direccin y del espacio hacia

el cual irradia un cuerpo. Como se muestra en la figura 9.6a), un ngulo planodiferencial da se define como la relacin de un elemento de longitud de arco dlen un crculo con el radio rde ese crculo. De manera similar, un ngulo slidodiferencial dv, segn se define en la figura 9.6b), es la relacin del elemento derea dA

nen una esfera con el cuadrado del radio de la esfera, o

dv = dAn

r2 (9.11)

La unidad del ngulo slido es el estereorradin(sr).

r r

a) b)

dl

dl

rd

dAn

dAnr2

d

FIGURA 9.6 a) ngulo plano diferencial y b) ngulo slidodiferencial.


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n

nguloslido d

Intensidad de radiacinI(,)

dAn

rea emisoradA1

FIGURA 9.7 Diagrama esquemtico queilustra la intensidad de radiacin.

La tasa de flujo trmico por radiacin por rea superficial unitaria emanandode un cuerpo y que pasa en una direccin dada se puede medir determinando laradiacin a travs de un elemento en la superficie de un hemisferio construidoalrededor de la superficie radiante. Si el radio de este hemisferio es igual a launidad, el hemisferio tiene un rea superficial de 2py subtiende un ngulo slidode 2pestereorradianes, o sr, con respecto a un punto en el centro de su base. El

rea superficial en ese hemisferio con un radio de la unidad tiene el mismo valornumrico que el denominado ngulo slidovmedido desde el elemento superfi-cial radiante. El ngulo slido se puede utilizar para definir simultneamente, ladireccin y el espacio hacia el que la radiacin de un cuerpo se propaga.

La intensidad de radiacin I(u, f) es la energa emitida por rea unitaria desuperficie emisora proyectada en la direccin u, f por tiempo unitario hacia unngulo slido dv centrado en una direccin que se puede definir en trminosdel ngulo cenital uy del ngulo azimutal fen el sistema coordenado esfrico quese muestra en la figura 9.7. El rea diferencial dA

nen la figura 9.7 es perpendicu-

lar a la direccin (u, f). Pero para una superficie esfrica, dAn=r dursen dfy

por tanto

dv= sen u du df (9.12)

Con las definiciones anteriores, la intensidad de radiacinI(u, f) es la tasa a la quela radiacin se emite en la direccin (u, f) por rea unitaria de la superficie emisoranormal a esta direccin, por ngulo slido unitario centrado con respecto a (u, f).

Como el rea de emisin proyectada de la figura 9.7 es dA1cos u, obtenemos

Ib(u,f), para la intensidad de una superficie oscura

Ib(u,f) = dqr

dA1cos udv(W/m2sr) (9.13)

donde dqres la tasa a la que la radiacin emitida de dA1pasa a travs de dAn.


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EJEMPLO 9.3 Una superficie negra plana de reaA1=10 cm2emite 1000 W>m2sr en la direccin

normal. Una superficie pequeaA2que tiene la misma rea queA

1se coloca relativa

aA1como se muestra en la figura 9.8, a una distancia de 0.5 m. Determine el ngulo

slido subtendido porA2y la tasa a la queA

2es irradiada porA

1.

SOLUCIN Como A1 es negra, es un emisor difuso y su intensidad Ib es independiente de ladireccin. Adems, puesto que las dos reas son muy pequeas, se pueden aproxi-mar como reas superficiales diferenciales y el ngulo slido se puede calcular conla ecuacin (9.11) o dv

2-1=dA

n,2>r2.

El rea dAn,2es la proyeccin de A

2en la direccin normala la radiacin inci-

dente de dA1, o d

An,2=dA

2cos u

2, donde u

2es el ngulo entre la normal n

2y el rayo de

radiacin que conecta dA1y dA

2, es decir, u

2=30. Por tanto

dv2-1 =A2cos u2

r2 =

10-3m2cos 30

(0.5m)2 = 0.00346sr

La irradiacin deA2porA1, qr,1:2, es

qr,1 2 = I1A1cos u1 dv2-1

=a1000 Wm2srb(10-3m2)( cos 60)(0.00346sr) = 0.00173Wn1normal aA1

A1= 10 cm2

1= 60

n2A2= 10 cm2

0.5 m

2= 30

FIGURA 9.8 Bosquejo que ilustra la relacinentre A1y A2del ejemplo 9.3.

9.2.4 Relacin entre intensidad y potencia emisoraPara relacionar la intensidad de radiacin con la potencia emisora, simplemente sedetermina la energa de una superficie que irradia hacia dentro de un recinto cerradohemisfrico colocado sobre ella, como se muestra en la figura 9.9. Como el hemis-ferio interceptar todos los rayos radiantes que emanan de la superficie, la cantidadtotal de radiacin que pasa a travs de la superficie hemisfrica es igual a la potenciaemisora. De acuerdo con la ecuacin (9.13), la tasa de radiacin emitida de dA

1que

pasa a travs de dAnes


15/85


dqr

dA1= Ib(u,f) cos u dv

(9.14)

Sustituyendo la ecuacin (9.12) para el ngulo slido dve integrando sobre todoel hemisferio se obtiene la tasa total de emisin radiante por rea unitaria, que sedenomina potencia emisora:

aqAbr= L2p0 Lp/20 Ib(u, f) cos usen udud (9.15)Para integrar la ecuacin (9.15) se debe conocer la variacin de la intensidad conuy f. Como se explicar con ms detalles en la seccin siguiente, la intensidadde superficies reales no presenta una variacin apreciable con f, pero vara conu. Aunque esta variacin se puede tomar en cuenta, para la mayora de clculosingenieriles se puede suponer que la superficie es difusa y que la intensidades uniforme en todas las direcciones angulares. La radiacin de cuerpo negro enrealidad es perfectamente difusa y la radiacin de superficies rugosas industriales seaproxima a la de caractersticas difusas. Si la intensidad de una superficie es indepen-diente de la direccin, se dice que se ajusta a la ley de los cosenos de Lambert. Parauna superficie negra, la integracin de la ecuacin (9.15) produce lapotencia emiso-ra del cuerpo negro E

b.

aqAb

r

= Eb = pIb (9.16)

As pues, para una superficie negra, la potencia emisora es igual a ppor la inten-sidad. La misma relacin entre la potencia emisora y la intensidad es vlida paracualquier superficie que se ajuste a la ley de los cosenos de Lambert.

0 < 2

0 /2

d

d

dA1

dAn

n

r

FIGURA 9.9 Radiacin de un rea diferencialdA1hacia un hemisferio circundante centrada

en dA1.


16/85


El concepto de intensidad tambin se puede aplicar a la radiacin total sobretodo el espectro de longitud de onda as como a radiacin monocromtica. La rela-cin entre la intensidad total y la monocromtica I

les simplemente

I(f, u) = Lq

0Il(f,u) dl (9.17)

Si una superficie irradia difusamente, tambin es evidente que

El = pIl (9.18)

ya queIles uniforme en todas las direcciones.

9.2.5 IrradiacinPara efectuar un balance de calor en un cuerpo, no slo se tiene que conocer la radia-cin que emana, sino tambin la radiacin incidente sobre su superficie. Esta radiacinse origina de la emisin y reflexin que ocurre en otras superficies y en general tendruna distribucin direccional y espectral especfica. Como se muestra en la figura 9.10,

la radiacin incidente se puede caracterizar en trminos de la intensidad espectralincidente,I

l,i, definida como la tasa a la que la energa radiante a longitud de onda l

choca desde la direccin (u, f) por rea unitaria de la superficie normal interceptoranormal a esta direccin, por ngulo slido unitario con respecto a la direccin (u, f),por intervalo de longitud de onda unitario dl en l. El trmino irradiacin denotala radiacin incidente de todas las direcciones sobre una superficie. La irradiacinespectral, G

l(W/m2mm) se define como la tasa a la que la radiacin monocromtica a

longitud de onda lincide sobre un superficie por rea unitaria de esa superficie, o

Gl = L2p

0 Lp/2

0Il,i(l, u, f) cos usen u du df (9.19a)

donde sen ududfes el ngulo slido unitario. Observe que el factor cos use ori-gina del hecho de que G

les un flujo basado en el rea superficial real, en tanto que

Il,ise define en trminos del rea proyectada. La irradiacin total representa la tasa

n

Radiacin

incidenteI,i

dA1d

FIGURA 9.10 Radiacin incidentesobre un rea diferencial dA

1en un

sistema coordenado esfrico.


17/85

9.3 Propiedades de radiacin 555

de radiacin incidente por rea unitaria desde todas las direcciones sobre todas laslongitudes de onda y est dada por

G = Lq

0Gl(l)dl = L

q

0 L2p

0 Lp/2

0Il,i(l, u, f) cos usenu dudfdl (9.19b)

Si la radiacin incidente es difusa, es decir, si el rea interceptora se irradia difusa-

mente eIl,ies independiente de la direccin, se deduce que

G = pIi (9.20)

9.3 Propiedades de radiacinLa mayora de las superficies con las que se trata en la prctica de la ingeniera no secomportan como cuerpos negros. Para caracterizar las propiedades de radiacin desuperficies que no son negras, se utilizan cantidades adimensionales como la emisivi-dad, la absorbencia y la transmisividad de una superficie real para relacionar las capa-

cidades de emisin, absorcin y transmisin de una superficie real con las de un cuerponegro. Las propiedades de radiacin de superficies reales son funciones de la longitudde onda, de la temperatura y de la direccin. Las propiedades que describen cmo secomporta una superficie como una funcin de la longitud de onda se denominan pro-piedades monocromticas o espectrales y las propiedades que describen la distribucinde la radiacin con direccin angular se denominan propiedades direccionales. Paraefectuar un clculo de transferencia de calor preciso, se deben conocer las propiedadesrelativas de la superficie emisora as como las de otras superficies con las que ocurre elintercambio de radiacin.

Tomando en cuenta las propiedades espectrales y direccionales de todas las super-ficies, incluso si se conocen, resulta en anlisis complejos y complicados que se pueden

resolver slo con ayuda de una computadora. Sin embargo, los clculos en ingenieracon una precisin aceptable suelen realizarse mediante una aproximacin simplificada,utilizando un solo valor de las propiedades de radiacin promediado sobre la direcciny el intervalo de longitud de onda de inters. Las propiedades de radiacin que sepromedian sobre todas las longitudes de onda y direcciones se denominan propieda-des totales. Si bien aqu utilizaremos casi exclusivamente propiedades de radiacintotales, es importante estar consciente de las caractersticas espectrales y direccionalesde superficies a fin de tomarlas en cuenta en problemas en los que estas variaciones sonsignificativas. En esta seccin, se analizarn las propiedades de radiacin en orden decomplejidad creciente, comenzando con las propiedades totales, seguidas de las propie-dades espectrales y por ltimo de las propiedades direccionales.

9.3.1 Propiedades de radiacinPara la mayora de los clculos en ingeniera, las propiedades de radiacin totalessegn su definicin en esta subseccin son suficientemente precisas. La definicinde las propiedades de radiacin totales se ilustra en la figura 9.11. Cuando la radia-cin es incidente sobre una superficie a una tasa G, una parte de la irradiacin totalse absorbe en el material, una parte se refleja de la superficie y el resto se transmitea travs del cuerpo. La absortividad, reflectividad y transmisividad describen cmose distribuye la irradiacin total.


18/85


La absortividadade una superficie es la fraccin de la irradiacin total absor-bida por el cuerpo. La reflectividadrde una superficie se define como la fraccinde la irradiacin que se refleja de la superficie. La transmisividadtde un cuerpo esla fraccin de la radiacin incidente que se transmite. Si se efecta un balance deenerga en una superficie, como se ilustra en la figura 9.11, se obtiene

aG + rG + tG = G (9.21)

De la ecuacin (9.21), es evidente que la suma de la absortividad, reflectividad ytransmisividad debe ser igual a la unidad:

a + r+ t = 1 (9.22)

Si un cuerpo es opaco no transmite radiacin incidente, es decir, t=0. Para uncuerpo opaco, la ecuacin (9.22) se reduce a

a + r= 1 (9.23)

Si una superficie tambin es un reflector perfecto, del cual toda la radiacin se refleja,res igual a la unidad y la transmisividad as como la absortividad son cero. Un buenespejo se aproxima a una reflectividad de 1. Como ya se mencion, un cuerpo negroabsorbe toda la radiacin y por tanto tiene una absortividad igual a la unidad y unareflectividad igual a cero.

Otra propiedad de radiacin total importante de superficies reales es la emisivi-dad. La emisividadde una superficie, e, se define como la radiacin total dividida entrela radiacin total que se emitira por un cuerpo negro a la misma temperatura, o

e = E(T)

Eb(T) =

E(T)

sT4 (9.24)

Como un cuerpo negro emite la radiacin mxima posible a una temperatura dada,la emisividad de una superficie siempre se encuentra entre cero y la unidad. Perocuando una superficie es negra,E(T) =E

b(T) y eb=a

b=1.0.

Radiacin reflejada

Radiacin absorbida

Radiacin transmitida

Radiacin incidente

FIGURA 9.11 Diagrama esquemticoque ilustra la radiacin incidente,reflejada y absorbida en trminos delas propiedades de radiacin totales.


19/85


Recinto cerrado isotrmico a temperatura T

Potencia emisora

monocromtica

E

Irradiacin

monocromtica

G

Cuerpo a temperatura T y

propiedades y e

T,, e

FIGURA 9.12 Radiacin emitiday recibida a longitud de onda lpor un cuerpo en un recinto cerradoisotrmico a temperatura T.

9.3.2 Propiedades de radiacin monocromticay ley de KirchhoffLas propiedades de radiacin totales se pueden obtener a partir de las propiedadesmonocromticas, que se aplican slo con una longitud de onda individual. Si sedesignaE

lcomo la potencia emisora monocromtica de una superficie arbitraria, la

emisividad hemisfrica monocromtica de la superficie, el, est dada por

el = El(T)

Ebl(T) (9.25)

En otras palabras, eles la fraccin de la radiacin de cuerpo negro emitida por la

superficie a longitud de onda l. De manera similar, la absortividad monocromticahemisfrica de una superficie, a

l, se define como la fraccin de la irradiacin total

a longitud de onda lque se absorbe por la superficie,

al =Gl,absorbida(T)

Gl(T) (9.26)

Un balance de energa en una base monocromtica, similar a la ecuacin (9.22),produce

al + rl + tl = 1 (9.27)

Una relacin importante entre ely a

lse puede obtener con la ley de radiacin

de Kirchhoff, que en esencia establece que la emisividad monocromtica es igual ala absortividad monocromtica para cualquier superficie. Una deduccin rigurosa deesta ley la present Planck [1], pero las caractersticas esenciales se pueden ilustrarde manera ms simple a partir de la consideracin siguiente. Suponga que se colocaun cuerpo pequeo dentro de un recinto cerrado negro cuyas paredes estn fijas a tem-peratura T(consulte la figura 9.12). Despus de que se establece el equilibrio trmico,

el cuerpo debe alcanzar la temperatura de las paredes. De acuerdo con la segunda ley


20/85


de la termodinmica, el cuerpo debe, en estas condiciones, emitir a cada longitud deonda tanta radiacin como la que absorbe. Si la radiacin monocromtica por tiempounitario, por rea unitaria incidente sobre el cuerpo es G

bl, la condicin de equilibrio

se expresa mediante

El = alGbl (9.28)

o

El

al= Gbl (9.29)

Pero como la radiacin incidente depende slo de la temperatura del recinto, sera lamisma en cualquier otro cuerpo en equilibrio trmico con el recinto, independientede la absorbencia de la superficie del cuerpo. Por tanto, se puede concluir que la rela-cin de la potencia emisora monocromtica a la absortividad a cualquier longitudde onda dada es la misma para todos los cuerpos en equilibrio trmico. Puesto quela absortividad siempre debe ser menor que la unidad y puede ser igual a uno slopara un absorbedor perfecto, es decir, un cuerpo negro, la ecuacin (9.29) muestra

tambin que a cualquier temperatura, la potencia emisora es un mximo para uncuerpo negro. Por tanto, cuando a

l=1, E

l=E

bly G

bl=E

blen la ecuacin (9.29).

RemplazandoElpor e

lE

blen la ecuacin (9.28) da

elEbl = alGbl = alEbl

que muestra que a cualquier longitud de onda la temperatura T,

el(l, T)= al(l, T) (9.30)

como se plante al inicio.Aunque la relacin anterior se dedujo ante la condicin de que el cuerpo est

en equilibrio con sus alrededores, en realidad en una relacin general que se aplicaante cualesquiera condiciones debido a que a

ly e

lson propiedades superficiales que

dependen nicamente de la condicin de la superficie y su temperatura. Por tanto, sepuede concluir que a menos que cambios en temperatura causen una alteracin fsicaen las caractersticas superficiales, la absortividad monocromtica hemisfrica es iguala la emisividad monocromtica de una superficie.

La emisividad hemisfrica total para una superficie no negra se obtiene con lasecuaciones (9.4) y (9.25). Al combinar estas dos relaciones, se determina que a unatemperatura Tdada la emitancia hemisfrica total es

e(T) = E(T)Eb(T)

=

L

q

0

el(l)Ebl(l, T) dl

Lq

0Ebl(l, T) dl

(9.31)

Esta relacin muestra que cuando la emisividad monocromtica de una superficie esuna funcin de la longitud de onda, variar con la temperatura de la superficie, aunquela emisividad monocromtica es nicamente una propiedad de superficie. La razn deesta variacin es que el porcentaje de la radiacin total que queda comprendida dentrode una banda de longitud de onda dada depende de la temperatura de la superficieemisora.


21/85


EJEMPLO 9.4 La emisividad hemisfrica de una pintura de aluminio es aproximadamente de 0.4a longitudes de onda menores que 3 mm y de 0.8 a longitudes de onda ms largas,como se muestra en la figura 9.13. Determine la emisividad total de esta superficiea una temperatura ambiente de 27 C y a una temperatura de 527 C. Por qu sondiferentes los dos valores?

SOLUCIN A temperatura ambiente el producto lTal que cambia la emisividad es igual a3 mm *(27 +273) K =900 mm K, en tanto que a la temperatura elevada lT=2 700 mm K. De la tabla 9.1 se obtiene

Eb(0: lT)

sT4 0.0001 para lT= 900mm K

Eb(0: lT)

sT4 = 0.140 para lT= 2400mm K

Por tanto, la emisividad a 27 C es en esencia igual a 0.8, en tanto que a 527 C la

ecuacin (9.31) da

= (0.4)(0.14) + (0.8)(086) = 0.744

e =L

l1

0el(l)Ebl(lT) dl + L

q

li

el(l)Ebl(lT) dl

Lq

0Ebl(lT) dl

La razn de la diferencia en la emisividad total es que a la temperatura mayor, elporcentaje de la potencia emisora total en la regin de baja emitancia de la pintura esapreciable, en tanto que a la temperatura menor prcticamente toda la radiacin se emite

a longitudes de onda mayores que 3 mm.

0.8

0.4

3.0

0

, m

FIGURA 9.13 Emisividad espectral de la pintura del ejemplo 9.4.

De manera similar, la absortividad totalde una superficie se puede obtener apartir de definiciones bsicas. Considere una superficie a temperatura Tsometidaa radiacin incidente de una fuente a T* dada por

G = Lq

0Gl(l*, T*)dl (9.32)


22/85


donde el asterisco se utiliza para denotar las condiciones de la fuente. Si la varia-cin de la absortividad monocromtica con la longitud de onda de la superficiereceptora est dada por a

l(l), la absorbencia total es

a(l*, T*) =L

q

0al(l)Gl(l*, T*) dl

Lq

0Gl(l*, T*) dl

(9.33)

Observe que la absortividad total de una superficie depende de la temperatura y delas caractersticas espectrales de la radiacin incidente. Por tanto, aunque la relacinel=a

lsiempre es vlida, los valores totales de la absortividad y de la emisividad

son, en general, diferentes de superficies reales.

9.3.3 Cuerpos grisesLos cuerpos grises son superficies con emisividades monocromticas cuyos valoresson independientes de la longitud de onda. Si bien las superficies reales no cum-plen exactamente con esta especificacin, con frecuencia es posible elegir valorespromedio adecuados para la emisividad y la absortividad,

_

e y__

a, para hacer lasuposicin de cuerpo gris aceptable para un anlisis en ingeniera. Para un cuerpocompletamente gris, con el subndicegdenotando gris,

el = eq= aq= al = eg= ag

La potencia emisoraEgest dada por

Eg= egsT (9.34)

As pues, si se conoce la emisividad de un cuerpo gris a una longitud de onda, la

emisividad total y la absortividad total tambin se conocen, adems, los valorestotales de la absortividad y la emisividad son iguales an si el cuerpo no est enequilibrio trmico con sus alrededores. Sin embargo, en la prctica la eleccin devalores promedio adecuados debe reflejar las condiciones de la fuente para la absor-tividad y la temperatura promedios de la superficie del cuerpo que recibe y emiteradiacin para la eleccin de la emisividad promedio. Una superficie que se idealizacomo si tuviera propiedades uniformes, pero cuya emisividad promedio no es iguala la absortividad promedio, se denomina cuerpo selectivamente gris.

EJEMPLO 9.5 La pintura de aluminio del ejemplo 9.4 se utiliza para cubrir la superficie de uncuerpo que se mantiene a 27 C. En una instalacin, este cuerpo es irradiado por elSol, en otra por una fuente a 527 C. Calcule la absortividad efectiva de la superficiepara las dos condiciones, suponiendo que el Sol es un cuerpo negro a 5 800 K.

SOLUCIN Para el caso de irradiacin solar, de la tabla 9.1 se obtiene para lT=3 mm *5 800K=17 400 mmK=17.4 *10-3mK que:

Eb(0: lT)

sT4 = 0.98


23/85


Esto significa que 98% de la radiacin solar queda comprendida por debajo de 3 mmy la absortividad efectiva es, de acuerdo con la ecuacin (9.33),

a(lSol, TSol)=aL3mm0 a(l)Gl(ls, Ts) dl +Lq3mma(l)Gl(ls,Ts) dlb>Lq0 Gl(ls,Ts) dl

=

(0.4)(0.98)+

(0.8)(0.02)=

0.408Para la segunda condicin con la fuente a 527 C (800 K), la absortividad se puedecalcular de una manera similar. Sin embargo, el clculo es el mismo que para laemisividad a 800 K del ejemplo 9.4 ya que e

l=a

ly

_

e=__

aen equilibrio. De aqu,__

a=0.744 para una fuente a 800 K.

Los dos ejemplos anteriores ilustran los lmites de las suposiciones de cuerpo gris.Aunque puede ser aceptable tratar la superficie pintada con aluminio como totalmen-te gris con

__

a=_

e=(0.8 +0.744)/2 = 0.77 promedio para intercambio de radiacinentre ella y una fuente a 800 K o menos, para intercambio de radiacin entre la superfi-

cie pintada con aluminio y el Sol una aproximacin como esa conducira a un error degravedad. La superficie en el ltimo caso se tendra que tratar como selectivamente griscon los valores promediados para

__

ay_

eiguales a 0.408 y 0.80, respectivamente.

9.3.4 Caractersticas de superficies realesLa radiacin de superficies reales difiere en varios aspectos de la radiacin de un cuerponegro o de un cuerpo gris. Cualquier superficie real irradia menos que un cuerpo negro ala misma temperatura. Las superficies grises irradian una fraccin constante e

g de la

potencia emisora monocromtica de una superficie negra a la misma temperatura Tsobretodo el espectro; las superficies reales irradian una fraccin e

la cualquier longitud de

onda, pero esta fraccin no es constante y vara con la longitud de onda. En la figura 9.14

se muestra una comparacin de la emisin espectral de superficies negras, grises y reales.Las superficies grises y negras irradian difusamente y la forma de la curva espectrorradio-mtrica para una superficie gris es similar a la de una superficie negra a la misma tempe-ratura, con la altura reducida proporcionalmente por el valor numrico de la emisividad.

La emisin espectral de la superficie real, que se muestra por la lnea ondulada enla figura 9.14, difiere en detalle de la emisin espectral de cuerpo gris, pero para el finde anlisis de las dos puede ser suficientemente similar en promedio para caracterizar lasuperficie como aproximadamente gris con e

g=0.6. La potencia emisora est dada por

la ecuacin (9.34): Ereal egsT

4

Sin embargo, observe que en la figura 9.14 se comparan la potencia emisora de la

superficie real con el de una superficie gris con eg=0.6 a una temperatura de 2 000 K.A longitudes de onda mayores que 1.5 mm el ajuste es muy bueno, pero a longitudesde onda menores que 1.5 mm la emisividad de la superficie real es slo de aproxima-damente 50% de la correspondiente al cuerpo gris. Para temperaturas menores que2 000 K, la diferencia no introducir un error de gravedad debido a que la mayora dela emisin radiante ocurre a longitudes de onda mayores que 1.5 mm. Sin embargo, atemperaturas mayores puede ser necesario aproximar la superficie real con un valorde emisividad menor que 0.6 para l61.5 mm. Para la absortividad de radiacin solar,que queda comprendida en su mayora por debajo de 2.0 mm un valor ms cercano a0.3 sera una buena aproximacin.


24/85


EJEMPLO 9.6 La emisividad hemisfrica espectral de una superficie pintada se muestra en la figura9.15. Utilizando una aproximacin gris selectiva, calcule: a) la emisividad efecti-

va en todo el espectro, b) la potencia emisora a 1 000 K y c) el porcentaje de radia-cin solar que absorbera esta superficie. Suponga que la radiacin solar correspondea una fuente de cuerpo negro a 5 800 K.

6

Longitud de onda, , m

Potenciaemisoramonocromtica,

E

543210

Cuerpo negro(= = 1)

T= 2 000 K

Cuerpo gris(= = 0.6)

Superficie real

FIGURA 9.14 Comparacin entre la emisinmonocromtica hemisfrica de una superficienegra, gris (e

g=0.6) y real.

1.0

0.5

0 1.0

Superficie real

Emisividadespectralhemisfrica,

Aproximacin gris

2.0 3.0

Longitud de onda, m

4.0 5.0 6.0 7.0

1 2

FIGURA 9.15 Emisividad espectral hemisfrica de la superficie del ejemplo 9.6.


25/85


SOLUCIN Las caractersticas de superficie real se aproximarn mediante un modelo gris de tresbandas. A valores menores que 2.0 mm la emisividad es 0.3, entre 2.0 y 4.0 mm laemisividad es aproximadamente de 0.9 y a valores mayores que 4.0 mm la emisivi-dad es aproximadamente de 0.5.

a) La emisividad efectiva en todo el espectro es

+ e3 c Eb(0:q) - Eb(0: l2T)

sT4 d

= e1 c Eb(0: l1T)sT4

d + e2 c Eb(0: l2T) - Eb(0: l1T)sT4

deq=

Lq

0elEbldl

Lq

0Ebl dl

De los datos, l1T=2 *10-3

mK y l2T=4 *10-3

mK. Evaluando la emisin decuerpo negro en las tres bandas de acuerdo con la tabla 9.1 se obtiene,

= 0.0200 + 0.373 + 0.255 = 0.6485

eq= (0.3)(0.0667) + 0.9(0.4809 - 0.0667) + 0.5(1.0 - 0.4809)

b) Entonces la potencia emisora es

= 3.67 * 104

W/m2

E= eqsT4 = (0.6485)(5.67 * 10-8)(1000)4

La potencia emisora de una superficie negra a 1 000 K es, por comparacin, 5.67 *104

W/m2.

c) Para calcular la absortividad solar promedio se utiliza la ecuacin (9.33):

aqs =L

q

0alGl

*dl

Lq

0Gl

*dl

De acuerdo con la ley de Kirchhoff, al=e

ly por tanto

aqs =

e1L2mm

0Gl

*dl

sT4 +

e2L4mm

2mmGl

* dl

sT4 +

e3Lq

4mmGl

*dl

sT4

Suponiendo que el Sol irradia como un cuerpo negro a 5 800 K, de la tabla 9.1 seobtiene,

= 0.332

aqs = (0.3)(0.941) + 0.9(0.990 - 0.94) + 0.5(1.0 - 0.99)

Por tanto, se absorbera aproximadamente 33% de la radiacin solar. Observe quela relacin de la emisividad a 1 000 K con la absorbencia de una fuente a 5 800 Kes casi igual a 2.


26/85


TABLA 9.2 Emisividades hemisfricas de varias superficies

Longitud de onda y temperatura promedio

0.6 Mm 9.3 Mm 5.4 Mm 3.6 Mm 1.8 Mm solarMaterial 310 K 530 K 800 K 1 700 K '6 000 K

MetalesAluminiopulido '0.04 0.05 0.08 '0.19 '0.3

oxidado 0.11 '0.12 0.18intemperizado 24-ST 0.4 0.32 0.27techumbre superficial 0.22

anodizado (a 1 000 F) 0.94 0.42 0.60 0.34Latnpulido 0.10 0.10oxidado 0.61

Cromopulido '0.08 '0.17 0.26 '0.40 0.49

Cobrepulido 0.04 0.05 '0.18 '0.17oxidado 0.87 0.83 0.77

Hierropulido 0.06 0.08 0.13 0.25 0.45

fundicin, oxidado 0.63 0.66 0.76galvanizado, nuevo 0.23 0.42 0.66

galvanizado, sucio 0.28 0.90 0.89 placa de acero, rugosa 0.94 0.97 0.98

xido 0.96 0.85 0.74 fundido 0.3-0.4Magnesio 0.07 0.13 0.18 0.24 0.30

Filamento de molibdeno '0.09 '0.15 '0.2b

Platapulida 0.01 0.02 0.03 0.11

Acero inoxidable18-8, pulido 0.15 0.18 0.2218-8, intemperizado 0.85 0.85 0.85

Tubo de acero, oxidado 0.94

Tungsteno, filamento 0.03 '0.18 0.35c

Zincpulido 0.02 0.03 0.04 0.06 0.46

lmina galvanizada '0.25Materiales de construccin

y de aislamientoPapel de asbesto 0.93 0.93Asfalto 0.93 0.9 0.93

Ladrillorojo 0.93 0.7

(Contina)

Por conveniencia, las emisividades hemisfricas de un grupo seleccionado desuperficies industriales importantes a temperaturas diferentes se resumen en la tabla9.2. Gubareff y colaboradores [8] compilaron una tabulacin ms completa de pro-piedades de radiacin medidas experimentalmente para muchas superficies.


27/85


arcilla refractaria 0.9 '0.7 '0.75slice 0.9 '0.75 0.84magnesita refractaria 0.9 '0.4

Esmalte, blanco 0.9Mrmol, blanco 0.95 0.93 0.47

Papel, blanco 0.95 0.82 0.25 0.28 Yeso 0.91Tablero para techo 0.93Acero esmaltado, blanco 0.65 0.47

Cemento de asbesto, rojo 0.67 0.66PinturasLaca aluminizada 0.65 0.65Pinturas crema 0.95 0.88 0.70 0.42 0.35

Laca, negra 0.96 0.98Pintura de humo negro 0.96 0.97 0.97 0.97

Pintura roja 0.96 0.74 Pintura amarilla 0.95 0.5 0.30

Pinturas de aceite(todos los colores) '0.94 '0.9

Blanco de cinc (ZnO) 0.95 0.91 0.18DiversosHielo '0.97dAgua '0.96Carbncarbn-T, 0.9% ceniza 0.82 0.80 0.79filamento '0.72 0.53

Madera '0.93Vidrio 0.90 (Baja)

aComo la emisividad a una longitud de onda dada es igual a la absortividad a esa longitud de onda, los valores en esta tabla se puedenutilizar para aproximar la absortividad de radiacin de una fuente a la temperatura listada. Por ejemplo, el aluminio pulido absorber30% de radiacin solar incidente.bA 3 000 K.cA 3 600 K.dA 273 K.Fuente: Fischenden y Saunders [3], Hamilton y Morgan [4], Kreith y Black [5], Schmidt y Furthman [6], McAdams [7] y Gubareff ycolaboradores [8].

TABLA 9.2 (Continuacin)

En la figura 9.16 se muestra la emisividad monocromtica medida (o absortividad)de algunos conductores elctricos como una funcin de la longitud de onda [9]. Lassuperficies pulidas de metales tienen emisividades bajas pero, como se muestra en la

figura 9.17, la presencia de una capa de xido puede incrementar de manera apreciablela emisividad. La emisividad monocromtica de un conductor elctrico (por ejemplo,consulte las curvas para Al o Cu en la figura 9.16) aumenta al disminuir la longitud deonda. En consecuencia, de acuerdo con la ecuacin (9.31), la emisividad total de losconductores elctricos aumenta al aumentar la temperatura, como se ilustra en la figura9.18 para varios metales y un dielctrico.

Como grupo, los no conductores elctricos presentan una tendencia opuesta ypor lo general tienen valores altos de emisividad infrarroja. En la figura 9.19 se ilus-tra la variacin de la emisividad monocromtica de varios no conductores elctricoscon la longitud de onda.


28/85


10

a: Aluminio pulidob: Aluminio anodizadoc: Cobre pulido

0.8

0.6

0.4

0.2

0

a

b

c

0.5 1 2 3 4 5

Longitud de onda,

=

6 7 8 9 m

FIGURA 9.16 Variacin de la absortividad monocromtica(o emisividad) con la longitud de onda para tres conductoreselctricos a temperatura ambiente.

1.0

0.8

0.6

xido negro

Muy oxidado

Ligeramente oxidado

Emisividadtotalhemisfrica,(T)

Pulido (puro)

0.4

0.2

00 200 400 600

Temperatura, T, F

800 1 000

FIGURA 9.17 Efecto de un recubrimiento de xidoen la emisividad total hemisfrica del cobre.Fuente: Datos de Gubareff y colaboradores [8].

Para clculos de transferencia de calor se desea tener una emisividad o absortivi-dad promedio en la banda de longitud de onda a la que la masa de la radiacin se emiteo absorbe. La banda de longitud de onda de inters depende de la temperatura delcuerpo del cual se origina la radiacin, como se destac en la seccin 9.1. Si se conocela distribucin de la emisividad monocromtica, la emisividad total se puede calcularcon la ecuacin (9.31) y la absortividad total se puede calcular con la ecuacin (9.33)si tambin se especifican la temperatura y las caractersticas espectrales de la fuente.


29/85


0.8

0.6

0.4

0.2

00 200 400 600

Temperatura,T, F

Grafito

MagnesioInconel pulido X

Tungsteno

Oro pulido

800 1000

xidod

em

agnesio

Emisividadtotalhem

isfrica,(T)

FIGURA 9.18 Efecto de la temperatura en la emisividad

total hemisfrica de varios metales y un dielctrico.Fuente: Datos de Gubareff y colaboradores [8].

10

Yeso para enlucir

Losetas blancas

Arcilla refractaria, blanca

0.6

0.4

0.2

00.5 1 2 3 4 5

Longitud de onda,

=

6 7 8 9 m

FIGURA 9.19 Variacin de la absortividad monocromtica (o emisividad)con la longitud de onda para tres no conductores elctricos.Fuente: De acuerdo con Sieber [9].

Sieber [9] evalu la absortividad total de las superficies de varios materiales comouna funcin de la temperatura de la fuente, con las superficies receptoras a temperaturaambiente y el emisor un cuerpo negro. Sus resultados se muestran en la figura 9.20,donde la ordenada es la absortividad total para radiacin normal a la superficie y laabscisa es la temperatura de la fuente. Se observa que la absortividad del aluminio,comn de buenos conductores, aumenta al aumentar la temperatura de la fuente, entanto que la absortividad de no conductores presenta una tendencia opuesta.


30/85


1.0

0.8

0.6

0.4

Temperatura de la fuente, T, R

0.2

0600

(1) Arcilla refractaria blanca(2) Asbestos(3) Corcho

(4) Madera(5) Porcelana(6) Concreto

(7) Tejas americanas para techos(8) Aluminio(9) Grafito

1 000 4 0002 000 10 000

7

9

6

5

2

3

8 1

4

a

FIGURA 9.20 Variacin de la absortividad totalcon la temperatura de la fuente para variosmateriales a temperatura ambiente.Fuente: De acuerdo con Sieber [9].

En la figura 9.21 se ilustra que la emisividad de superficies reales tambines una funcin de la direccin. La emisividad direccional e(u, f) se define comola intensidad de radiacin emitida de una superficie en la direccin u, fdivididaentre la intensidad de cuerpo negro:

e(u,f) = I(u,f)

Ib (9.35)

Con referencia a la ecuacin (9.25), la emisividad hemisfrica monocromtica sedefine mediante la relacin

el = El

Ebl=L

2p

f=0Lp>2

u=0Il(u, f) sen ucos ududf

pIbl (9.36)

pero como ya se mencion, la variacin de la emisividad con el ngulo azimutal fsuele ser insignificante. Si la emisividad es una funcin slo del ngulo de elevacin

u, la ecuacin (9.36) se puede integrar sobre el ngulo fy simplificarse a

el =

2pLp>2

u=0Il(u) sen ucos udu

pIb (9.37)

SustituyendoIl/I

bde la ecuacin (9.35) se obtiene

el = 2Lp>2

u=0el(u) sen ucos u du (9.38)


31/85


FIGURA 9.21 Variacin de la emisividad direccional con el ngulo deelevacin para varios no conductores elctricos.

EJEMPLO 9.7 La emisividad direccional de una superficie oxidada a 800 K se puede aproximarmediante

e(u) = 0.70 cos u

Determine: a) la emisividad perpendicular a la superficie, b) la emisividad hemisf-rica y c) la potencia emisora radiante si la superficie es de 5 *10 cm.

SOLUCIN a) e(0), la emisividad para u=0 o cos u=1, es 0.70.b) La emisividad hemisfrica se obtiene efectuando la integracin indicada por la

ecuacin (9.38):

eq= 2Lp>2

00.70 cos2 usen u du = - a1.4

3b cos 3u `

0

p>2

Sustituyendo los lmites anteriores da 0.467. Observe que la relacin e(0)/_

e=1.5.c) La potencia emisora es

=

1390W

= eqAsT4 = (0.467)(5 * 10-3 m2)(5.67 * 10-8 W/m2 K4)(1800K)4

Las grficas polares en la figura 9.21 y en la figura 9.22 ilustran la emisividaddireccional para algunos no conductores y conductores elctricos, respectivamente.En estas grficas ues el ngulo entre la normal a la superficie y la direccin del hazradiante emitido desde la superficie. Para superficies cuya intensidad de radiacinsigue la ley de los cosenos de Lambert y depende slo del rea proyectada, las curvasde emisividad seran semicrculos. En la figura 9.21 se muestra que para no conducto-res como madera, papel y pelculas de xido, la emisividad disminuye a valores grandes


32/85


del ngulo de emisin u, en tanto que para metales pulidos se observa una tendenciaopuesta (consulte la figura 9.22). Por ejemplo, la emisividad del cromo pulido, que seutiliza mucho como blindaje contra radiacin, es tan bajo como 0.06 en la direccin

normal, pero aumenta a 0.14 cuando se observa desde un ngulo ude 80. Se disponede muy pocos datos experimentales sobre la variacin direccional de la emisividad yhasta que se cuente con ms informacin, una aproximacin satisfactoria para clculosingenieriles es suponer para superficies metlicas pulidas un valor medio de

_

e>en=1.2

y para superficies no metlicas_

e>en= 0.96, donde ees la emisividad promedio a tra-

vs de un ngulo slido hemisfrico de 2pestereorradianes y enes la emisividad en

la direccin de la normal a la superficie.

Reflectividad y transmisividad Cuando una superficie no absorbe toda la radia-cin incidente, la parte no absorbida se transmitir o bien se reflejar. La mayora delos slidos son opacos y no transmiten radiacin. Por tanto, la parte de la radiacinque no se absorbe se refleja de regreso hacia el espacio hemisfrico. Se puede carac-terizar por la reflectividad hemisfrica monocromtica r

ldefinida como

rl =energa radiante reflejada por tiempo-rea-longitud de onda unitarias

Gl (9.39)

o por la reflectividad total r, definida como

r=energa radiante reflejada por tiempo-rea unitarios

Lq

0Gldl

(9.40)

Para materiales no transmisores, las relaciones

rl = 1 - al (9.41)

y

r= 1 - a

obviamente deben ser vlidas en cada longitud de onda y en todo el espectro, res-pectivamente.

FIGURA 9.22 Variacin de la emisividad direccional con el ngulo de elevacinde varios metales.


33/85

9.4 Factor de forma en la radiacin 571

Distribucin igualo intensidad reflejada

Intensidadincidente

Intensidadincidente

Intensidadreflejada

n

b)a)

FIGURA 9.23 Diagrama

esquemtico que ilustrala reflexin a) difusa yb) especular.

Para el caso ms general de un material que absorbe, refleja y transmite par-cialmente radiacin incidente sobre su superficie, se define t

l como la fraccin

transmitida a longitud de onda ly tcomo la fraccin de la radiacin incidente totalque se transmite. Con referencia a la figura 9.11, la relacin monocromtica es

rl + al + tl = 1 (9.42)

en tanto que la relacin total entre reflectividad, absortividad y transmisividad est

dada por la ecuacin (9.22). El vidrio, la sal de roca y otros cristales inorgnicos sonejemplos de los pocos slidos que, a menos que sean muy gruesos, son hasta ciertogrado transparentes a la radiacin de ciertas longitudes de onda. Muchos lquidos ytodos los gases tambin son transparentes.

Existen dos tipos bsicos de reflexiones de radiacin: especulary difusa. Si elngulo de reflexin es igual al ngulo de incidencia, la reflexin se denomina es-pecular. Por otro lado, cuando un haz incidente se refleja uniformemente en todaslas direcciones, la reflexin se denomina difusa. Ninguna superficie real es especularo difusa. En general, la reflexin de superficies muy pulidas y lisas se aproxima alas caractersticas especulares, en tanto que la reflexin de superficies industrialesrugosas se aproxima a caractersticas difusas. Un espejo ordinario refleja especu-

larmente en el intervalo de longitud de onda visible pero no necesariamente sobre elintervalo de longitud de onda ms grande de la radiacin trmica.En la figura 9.23 se ilustra de manera esquemtica, el comportamiento de reflec-

tores difusos y especulares. Para clculos ingenieriles, las superficies industrialmentechapeadas, maquinadas o pintadas se pueden tratar como si fueran difusas, de acuerdocon experimentos de Schonhorst y Viskanta [11]. Sparrow y Cess [12], Siegel y Howe[13] y Hering y Smith [14] presentan mtodos para tratar problemas con superficiesque son parcialmente especulares y parcialmente difusas.

9.4 Factor de forma en la radiacinEn la mayora de los problemas prcticos que comprenden radiacin, la intensi-dad de radiacin trmica que pasa entre las superficies no se afecta de maneraapreciable por la presencia de medios interventores debido a que, a menos quela temperatura sea tan elevada para causar ionizacin o disociacin, los gasesmonoatmicos y la mayora de los biatmicos as como el aire son transparentes.Adems, como la mayora de las superficies industriales se pueden tratar comoemisores y reflectores difusos de radiacin en un anlisis de transferencia decalor, un problema clave al calcula la transferencia de calor por radiacin entresuperficies es determinar la fraccin de la radiacin difusa total saliente de una


34/85


r

A1

dA1

dA2

A2

2

1

FIGURA 9.24 Nomenclatura para la deduccindel factor de forma geomtrico.

superficie e interceptada por otra y viceversa. La fraccin de radiacin distri-buida difusamente que sale de una superficie A

i y llega a una superficie A

j se

denomina factor de forma de radiacin Fi-j

. El primer subndice adjunto al factorde forma de radiacin denota la superficie de la cual emana la radiacin, en tantoque el segundo subndice denota la superficie que recibe la radiacin. El factor deforma con frecuencia se denomina factor de configuracin ofactor de vista.

Considere dos superficies negrasA1yA2, como se muestra en la figura 9.24. Laradiacin que emana deA

1y llega aA

2es

q1:2 = Eb1A1F1-2 (9.43)

y la radiacin que emana deA2y llega aA

1es

q2:1 = Eb2A2F2-1 (9.44)

Puesto que las dos superficies son negras, toda la radiacin incidente se absorber yla tasa neta de intercambio de energa, q

1L2, es

q1L 2 = Eb1A1F1-2 - Eb2A2F2-1 (9.45)

Si las dos superficies estn a la misma temperatura, Eb1=Eb2entonces no puedehaber flujo neto de calor entre ellas. Por tanto, q

1L2= 0 y como ni las reas ni los

factores de forma son funciones de la temperatura:

A1F1-2 = A2F2-1 (9.46)

La ecuacin (9.46) se conoce como teorema de reciprocidad. Entonces, la tasa detransferencia neta entre cualesquiera dos superficies negras,A

1yA

2, se puede escri-

bir en dos formas:

q1L 2 = A1F1-2(Eb1 - Eb2) = A2F2-1(Eb1 - Eb2) (9.47)

Al examinar la ecuacin (9.47) se revela que la tasa de flujo neta de calor entre dos

cuerpos negros se puede determinar evaluando la radiacin desde cualquiera de lassuperficies hacia la otra superficie y remplazando su potencia emisora por la dife-rencia entre las potencias emisivas de las dos superficies. Como el resultado finales independiente de la eleccin de la superficie emisora, se selecciona la superficiecuyo factor de forma se pueda determinar con ms facilidad. Por ejemplo, el fac-tor de forma F

1-2 para cualquier superficie A

1 completamente encerrada por otra


35/85


superficie es igual a la unidad. Sin embargo, en general la determinacin de un factorde forma para cualquier configuracin geomtrica, excepto para la ms simple, esmuy compleja.

Para determinar la fraccin de la energa que emana de la superficie A1 que

incide sobre la superficieA2, considere primero las dos reas diferenciales dA

1y dA

2.

Si la distancia entre ellas es r, entonces dq1:2

, la tasa a la que la radiacin de dA1

recibe dA2, est dada, de acuerdo con la ecuacin (9.13), por

dq1:2 = I1 cos u1 dA1 dv1-2 (9.48)

donde

con respecto al punto central de dA2

dv1-2 = ngulo slido subtendido por el rea receptora dA2

dA1cos u1 = proyeccin del elemento de rea dA1vista desde dA2

I1 = intensidad de radiacin dedA1

El ngulo subtendido dv1-2

es igual al rea proyectada de la superficie receptora enla direccin de la radiacin incidente dividida entre el cuadrado de la distancia entredA

1y dA2, o, utilizando la nomenclatura de la figura 9.24:

dv1-2 = cos u2dA2

r2 (9.49)

Sustituyendo el valor de dv1-2

eI1de las ecuaciones (9.49) y (9.16), respectivamente

en la ecuacin (9.48) se obtiene

dq1:2 = Eb1 dA1a cos u1cos u2dA2pr2

b (9.50)donde el trmino entre parntesis es igual a la fraccin de la radiacin total emitida

de dA1que es interceptada por dA2. Por analoga, la fraccin de la radiacin totalemitida de dA

2que incide sobre dA

1es

dq2:1 = Eb2dA2a cos u2cos u1 dA1pr2

b (9.51)de manera que la tasa total de transferencia de calor entre dA

1y dA

2es

dq1L 2 = (Eb1 - Eb2)cos u1cos u2dA1dA2

pr2 (9.52)

Para determinar q1L2

, la tasa neta de radiacin entre las superficies completas A1y

A2, se puede integrar la fraccin en la ecuacin anterior sobre las dos superficiesy obtener

q1L 2 = (Eb1 - Eb2)LA1LA2cos u1 cos u2 dA1 dA2

pr2 (9.53)

La integral doble est escrita de manera conveniente en notacin abreviadacomo A

1F

1-2o A

2F

2-1, donde F

1-2se denomina factor de forma evaluado con base

en el reaA1yF

2-1se denomina factor de forma evaluado con base enA

2. El mtodo

de evaluacin de la integral doble se ilustra en el ejemplo siguiente.


36/85


EJEMPLO 9.8 Determine el factor de forma geomtrico para un disco muy pequeoA1y un disco

grande paraleloA2ubicado a una distanciaLdirectamente arriba del ms pequeo,

como se muestra en la figura 9.25.

SOLUCIN De la ecuacin (9.53) el factor de forma geomtrico es

A1F1-2 = LA1LA2cos u1cos u2

pr2dA2 dA1

pero comoA1es muy pequea, el factor de forma est dado por

A1F1-2 =A1p

LA2cos u1cos u2

r2dA2

De la figura 9.25, cos u1=cos u

2=L>r, r= _____r2+L2y dA2=rdfdr. Sustituyendo

estas relaciones, se obtiene

A1F1-2 = A1p

La

0L2p

0 L

2

(r2 + L2)2rdpdf

que se puede integrar directamente y obtener:

A1F1-2 = A1a

2

a2 + L2 = A2F2-1

2a

d

dA2 =dd

d

12

A2

A1

Lr

FIGURA 9.25 Nomenclatura para evaluar el factor

de forma entre los dos discos del ejemplo 9.8.

El ejemplo 9.8 ilustra que la determinacin de un factor de forma evaluando laintegral doble de la ecuacin (9.53) en general es muy tediosa. Por fortuna, se hanevaluado los factores de forma para una gran variedad de configuraciones geomtri-cas y la mayora de ellos se encuentra en las referencias [3-7]. En la tabla 9.3 y enlas figuras 9.26 a 9.30 se resume un grupo seleccionado de inters prctico.


37/85


dA

D

L2

L1

D/L2,proporcindimensional

D/L1, proporcin dimensional

3.0

3.5

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.50

0

0.10

0.1

2

0.140

.160

.18

0.200.2

20.24

0.08

0.06

0.05

0.04

0.03

L1y L2son los lados de un rectngulo;

Des la distancia de dAal rectngulo

FdAA=0.02

FIGURA 9.26 Factor de forma de un elemento de superficie dAy unasuperficie rectangular Aparalela a l.Fuente: De Hottel [15], con permiso.

TABLA 9.3 Factores de forma geomtricos para utilizarse en las ecuaciones (9.47) y (9.55)

Superficies entre las que seintercambia radiacin Factor de forma, F1-21. Planos paralelos infinitos.2. Cuerpo A

1completamente encerrado por otro cuerpo, A2.

El cuerpo A1no puede ver una parte de s mismo.3. Elemento de superficie dA(A1) y superficie rectangular

(A2) arriba y paralelo a l, con una esquina del rectngulo

contenida normal a dA.4. Elemento dA(A1) paralelo a un disco circular (A2)

con su centro directamente arriba de dA.(Consulte el ejemplo 9.8.)

5. Dos cuadrados, rectngulos o discos paralelose iguales, de ancho o dimetro D, separadosuna distancia L.

6. Dos discos paralelos de dimetro desigual,separados una distancia Lcon centros en la mismanormal a sus planos, el disco menor A

1de radio a,

el disco mayor de radio b.7. Dos rectngulos en planos perpendicularescon un lado comn.

8. Radiacin entre un plano infinito A1y una o dos filas

de tubos infinitos paralelos en un plano paralelo A2

si la nica otra superficie es una superficierefractaria detrs de los tubos.

11

Consulte la figura 9.26

Consulte la figura 9.28 o la figura 9.29



a2

(a2 + L2)

1

2a2[L2 + a2 + b2 - 3(L2 + a2 + b2)2 - 4a2b2]


38/85


0.4

0.6

0.8

A2

A1

y

D

1.0

0.2

0.06

0.08

0.1

0.04

y/D

F12

x/D

0.02

0.01

0.1 0.2 0.6 0.8 10.4 2 4 6 8 10

x10

54

2

1.5

1

0.8

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

FIGURA 9.28 Factor de forma de rectngulos directamenteopuestos.

La escala cambia aqu

Y = 0.1

0.30.4

0.60.81.0

1.5

2.0

3.04.06.0

8.0

0.2

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

00 1.0 2.0 3.0 4.0

Proporcin dimensional,Z

Factordeforma

,F1

2

6 8

Asntotas

A1= rea sobre la que se basa laecuacin de transferencia de calor

Y = y/xZ = z/x

10

x

A

z

y

FIGURA 9.27 Factor de forma de rectngulos adyacentes en planos perpendicularescompartiendo un borde comn.Fuente: De Hottel [15], con permiso.


39/85


1.0

0.88

76

5

4 3 2 1

0.6

0.4

0.2

00 1 2

Proporcin dimensional,

1, 2, 3 y 4: radiacin directa entre los planos, F

1 y 5: discos 2 y 6: cuadrados

3 y 7: 2:1 rectngulos 4 y 8: rectngulos largos, angostos

Radiacin entre planos paralelos, directamente opuestos:

lado o dimetro ms pequeo distancia entre planos

3 4 5 6 7

5, 6, 7 y 8: planos conectados por paredes no conductoras pero reirradiantes, F

Factordeform

aF

oF

FIGURA 9.29 Factores de forma de cuadrados rectngulos y discos igualesy paralelos.Fuente: De Hottel [15], con permiso. Consulte la ecuacin (9.65) para la definicin de

_

F.

o

t

a

l

t

o

o

n

e

r

o

w

e

n

o

n

l

y

o

n

p

r

s

Totalhaciaunafilacuandoslohayuna

1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

3

Relacin, distancia centro a centro

Refractaria no conductora

Tota

l to

nd ro

w

La ordenada es la fraccin de calorirradiado del planoA1hacia un nmeroinfinito de filas de tubos o hacia unplano que remplaza a los tubos

Plano irradiante,A1

dimetro del tubo

4 5 6 7

F1

1,

Factordecomparacincondosplanosparalelos

l

o

t

a

l

t

o

b

o

t

h

r

o

w

s

Totalhacialasdosfilas

T

o

t

a

l

t

o

s

t

r

o

w

TotalhacialaprimerafilaTotal hacia la segundafila

FIGURA 9.30 Factor de forma de un plano y una o dos filas de tubos paralelosa l.Fuente: De Hottel [15], con permiso.


40/85


b

a

d

c

1

2

L1

F12= [(ad + cb) (ab+ cd)] / 2L1

FIGURA 9.31 Diagrama esquemtico que ilustra el mtodode la cuerda cruzada.

2 m

1 m

rea de la ventanaA1rea de la mesaA2

a, b

d

c

5 m

FIGURA 9.32 Ventana y mesa del ejemplo 9.9.

Los factores de forma para superficies que son bidimensionales, infinitamente

largas en una direccin y caracterizadas por secciones transversales normales a ladireccin infinita se pueden determinar mediante un procedimiento simple denomi-nado mtodo de la cuerda cruzada. En la figura 9.31 se muestran dos superficies quesatisfacen las restricciones geomtricas para el mtodo de la cuerda cruzada. Hottely Sarofim [16] demostraron que el factor de forma F

1 -2es igual a la suma de las

longitudes de las cuerdas cruzadas colocadas entre los extremos de las dos superfi-cies menos la suma de las longitudes de las cuerdas no cruzadas divididas entre eldoble de la longitudL

1. En forma de ecuacin,

F1-2 =(ad+ cb) - (ad+ cd)

2L1 (9.54)

EJEMPLO 9.9 Una ventana tiene una abertura de 1 m de altura y 5 m de longitud. Bajo la ventana,como se muestra en la figura 9.32, se encuentra una mesa de trabajo de 2 m deancho. Determine el factor de forma ente la ventana y la mesa.


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A3

A1

A2

FIGURA 9.33 Esquema queilustra el lgebra para el factorde forma.

SOLUCIN Suponga que la ventana y la mesa son suficientemente largas para que se puedanaproximar como superficies infinitamente largas. Entonces se puede utilizar el mtodode la cuerda cruzada y como para este caso los puntos ay bson los mismos, se tiene

cd= L3 = 15m

ad= L2 = 1m

cb = L1 = 2m

ab = 0

y

F1-2 =12(1 + 2 - 15) = 0.382

El clculo de los factores de forma para superficies arbitrarias en tres dimensiones esmuy complejo y por tanto se efecta numricamente. En muchos problemas de intersprctico, puede haber objetos entre dos superficies de inters que bloqueen parcialmentela vista de una de las superficies a la otra. Esta situacin complica an ms el clculode los factores de forma. Emery y colaboradores [17] analizaron y compararon variosmtodos numricos para el clculo del factor de forma entre superficies arbitrarias.

9.4.1 lgebra para el factor de formaLos factores de forma bsicos de las grficas en las figuras 9.26 a 9.30 se puedenutilizar para obtener factores de forma para una clase mayor de geometras que sepueden construir a partir de las curvas elementales. Este proceso se conoce comolgebra para el factor de forma y se apoya en el principio de conservacin de la ener-ga. Suponga que se quiere determinar el factor de forma de la superficieA

1para las

reas combinadasA2 +A3como se muestra en la figura 9.33. Se puede escribir F1:(2+3) = F1-2 + F1-3 (9.55)

Es decir, el factor de forma total es igual a la suma de sus partes. Rescribiendo laecuacin (9.55) como

A1F1-2,3= A1F1-2 + A1F1-3


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y utilizando las relaciones de reciprocidad:

A1F1-3 = A3F3-1

A1F1-2 = A2F2-1

A1F1-2,3 = (A2 + A3)F2,3-1

se obtiene

(A2 + A3)F2,3-1 = A2F2-1 + A3F3-1 (9.56)

Esta relacin simple se puede utilizar para evaluar el factor de formaF1 -2

en trmi-nos de los factores de forma para rectngulos perpendiculares con un borde comndados en la figura 9.27. Se pueden obtener otras combinaciones de una manera simi-lar. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento de evaluacin numrica divididoentre 100.

EJEMPLO 9.10 Suponga que un arquitecto quiere evaluar el porcentaje de luz diurna que entraa travs de una ventana de una tienda A1 que incide sobre el rea del piso A

4

ubicada relativa a A1, como se muestra en la figura 9.34. Suponiendo que la luz

a travs de la ventana es difusa, evale el factor deforma F1 -4

que es igual a esteporcentaje dividido entre 100.

SOLUCIN Sea A5=A

1+A

2y A

6=A

3+A

4. Utilizando el lgebra para el factor de forma y

aplicando la ecuacin 9.55 y la ecuacin 9.56 da

F2-6 = F2-3 + F2-4

A5F5-3 = A2F2-3 + A1F1-3

A5F5-6 = A2F2-3 + A2F2-4 + A1F1-3 + A1F1-4

rea de la ventanaA1

6 ft

4 ft

6 ft 4 ft

20 ft

A2

FIGURA 9.34 Bosquejo delejemplo 9.10.


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9.5 Recintos con superficies negras 581

Combinando las tres ecuaciones anteriores y despejandoF1-4

se obtiene

F1-4 =1

A1(A5F5-6 - A2F2-6 - A5F5-3 + A2F2-3)

Los factores de forma para el lado derecho de esta ecuacin estn trazados en lafigura 9.27. Los valores son:

F2-3 = 0.19

F5-3 = 0.08

F2-6 = 0.32

F5-6 = 0.19

Por tanto,

= 0.097

F1-4 =1

60(100 * 0.19 - 40 * 0.32 - 100 * 0.08 + 40 * 0.19)

As pues, slo aproximadamente 10% de la luz que pasa a travs de la ventana inci-dir sobre el rea del pisoA

4.

9.5 Recintos con superficies negrasPara determinar la transferencia neta de calor por radiacin hacia o desde unasuperficie, se necesita tomar en cuenta la radiacin proveniente de todas las direc-ciones. Este procedimiento se facilita trazando figurativamente un recinto alrededor

de la superficie y especificando las caractersticas de radiacin de cada superficie.Las superficies que comprenden el recinto para una superficie dada ison todas lassuperficies que un observador parado en la superficie ien el espacio circundantepuede ver. El recinto no necesariamente debe consistir slo en superficies slidas,sino que puede incluir espacios abiertos denotados como ventanas. A cada ven-tana abierta se le puede asignar una temperatura de cuerpo negro equivalente corres-pondiente a la radiacin entrante. Si no entra radiacin, una ventana acta como uncuerpo negro a temperatura cero, que absorbe toda la radiacin saliente y no emiteni refleja radiacin.

La tasa neta de prdida de radiacin de una superficie comnAien un recinto

(consulte la figura 9.35) que consiste en Nsuperficies negras es igual a la dife-

rencia entre la radiacin emitida y la radiacin absorbida, o qiL recinto= Ai(Ebi - Gi) (9.57)

donde Gies la radiacin incidente sobre la superficie ipor tiempo unitario y rea

unitaria, denominada irradiacin.La radiacin incidente sobreA

iproviene de las otrasNsuperficies en el recinto.

En una superficie comnj, la radiacin incidente en iesEbjA

jF

j-i. Sumando las con-

tribuciones de todas lasNsuperficies da

AiGi = Eb1A1F1- i + Eb2A2F2- i + + EbNANFN- i


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que se puede escribir en forma concisa como:

AiGi = aN

j=1EbjAjFj- i (9.58)

Utilizando la ley de reciprocidad, AiF

i-j=A

jF

j-iy sustituyendo G

ide la ecuacin

(9.57) en la ecuacin (9.58) se obtiene para la tasa neta de prdida de calor porradiacin de cualquier superficie en un recinto de superficies negras

qiL recinto= Ai

aEbi - a

N

j=

1

EbjFi-j

b (9.59)

Un enfoque alterno para resolver el problema consiste en la extensin de las ecuacio-nes (9.43) y (9.44). Como la energa radiante saliente de cualquier superficie idebeincidir sobre lasNsuperficies que forman el recinto,

aN

j=1Fi-j = 1.0 (9.60)

La ecuacin (9.60) incluye un trminoFi-i

, que no es cero cuando una superficie escncava tal que parte de la radiacin que sale de la superficie iincidir directamenteen ella. Por tanto, la potencia emisora total deA

ise distribuye entre lasNsuperficies

de acuerdo con

AiEbi = aN

j=1EbiAiFi-j (9.61)

Sustituyendo el valor deAiE

bide la ecuacin (9.61) en la ecuacin (9.59) se obtiene

la tasa neta de prdida de calor de la superficie ien la forma

qiL recinto= aN

j= i

(Ebi - Ebj)AiFi-j (9.62)

Por tanto, la prdida neta de calor se puede calcular sumando las diferencias en lapotencia emisora y multiplicando cada una por el factor de forma de rea apropiado.

El rea de la superficie isima emiteAiEbi y tiene una prdida neta de

Ai Ebi EbiFi j

j=1

N

qNi= EbNANFN i

qji= EbjAjFj i q1i= Eb1A1F1i

FIGURA 9.35 Diagrama esquemtico del recinto de Nsuperficiesnegras con cantidades de energa incidentes en y saliendo de lasuperficie i.


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9.5 Recintos con superficies negras 583

b)a)

Eb2

Eb1

Eb3

Eb4

R=A1F12

1

R=A1F14

1

R=A2F23

1

R=A3F34

1A1F13

1A2F24

1

Eb2

Eb3R=

A1F12

1

Eb1

R=A1F13

1

R=A2F23

1

FIGURA 9.36 Circuitosequivalentes para radia-cin en recintos decuerpo negro compuestosde a) tres y b) cuatrosuperficies.

Al examinar la ecuacin (9.62) se revela que tambin existe una analoga entreel flujo de calor y el flujo de corriente elctrica. Si la potencia emisora de cuerponegroE

bse considera que acta como un potencial y el factor de forma de reaA

iF

i-j

como la conductancia entre dos nodos a potenciales EbiyE

bj, entonces el flujo neto

de calor resultante es anlogo al flujo de corriente elctrica en un circuito anlogo.Ejemplos de circuitos de recintos de cuerpo negro compuestos de tres y cuatro

superficies de transferencia de calor a temperaturas dadas se muestran en las figuras9.36a) y b), respectivamente.

En problemas de ingeniera, existen situaciones cuando no se prescribe la tem-peratura, sino el flujo de calor para una o ms superficies en un recinto. En esoscasos, las temperaturas de estas superficies se desconocen. Para el caso en que la tasaneta de transferencia de calor por radiacin q

r,kde una superficieA

kse prescribe en

tanto que la temperatura se especifica para todas las otras superficies del recinto, laecuacin (9.59) se puede reacomodar para despejar T

k. ComoE

bk=sT

k4, se obtiene

Tk=

a

N

jZk

sTj4Fk-j + (qr>A)k

s(1 - Fk-k) 1>4

(9.63)

dondej=kse excluye especficamente de la sumatoria. Una vez que Tkse conoce,

las tasas de transferencia de calor en todas las otras superficies se pueden obtenercon la ecuacin (9.62).

De inters especial es el caso de una superficie sin flujo o adiabti

calor keith

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