calculo vectorial. 7 def. mezcla - 2

CALCULO VECTORIAL

Ampliación de las Aplicaciones Mezcla y Aleación

César Saal Riqueros

1. Se tiene aceite de 4,50 u.m y 8 u.m. el litro. Determinar, vectorialmente, la

proporción en que se les debe mezclar para que el precio medio sea de 6 u.m.

Nota. Entenderemos por precio medio como precio de un litro de la mezcla.

Estrategia de solución.

En estos problemas de mezcla elegiremos como vectores “representativos” a

los precios unitarios de los ingredientes que intervienen.

Solución

Sean los vectores “representativos”:

Aceite de 4, 50 u.m el litro: Un litro de aceite cuesta 4, 50 u.m

Aceite de 8, 00 u.m el litro: Un litro de aceite cuesta 8 u.m

Mezcla de aceites: Un litro de aceite de la mezcla cuesta 6 u.m

Supongamos que del aceite de 4, 50 u.m intervenga “a” litros y que del segun-

do aceite intervenga “b” litros, luego efectuamos el bosquejo:

Reemplazando en el dato (1) se tiene:

Igualando. 6a + 6b = 4,5a + 8b 1, 50a = 2b a / b = 4 / 3.

Los aceites se deben mezclar en la proporción de 4 a 3.

b

A

B

O

a a + b

Cantidad

Dinero ( u.m.)

Deducimos: … (1)Para la mezcla:

Para aceite de 4, 50 el litro:

Para aceite de 8, 00 el litro:

2. Plantear vectorialmente: ¿cuántos kilogramos de maní de 1, 20 u.m. el kg se

debe mezclar con maní de 2, 00 u.m. el kg para obtener 120 kg, él cual se

debe vender a 1, 40 u.m el kg, de modo que no se produzca perdida ni ganan-

cia?

Solución


Primer ingrediente: Un kg de maní cuesta 1, 20 u.m

Segundo ingrediente: Un kg de maní cuesta 2, 00 u.m

Mezcla de ingredientes: Un kg de maní cuesta 1, 40 u.m

Supongamos que del primer ingrediente intervenga a kg, entonces del segundo

habrá (120 – a) kg.

Efectuamos el bosquejo:

Reemplazando en (1):

168 = 240 – 0, 80a a = 90

Finalmente, se debe mezclar 90 kg de maní de 1, 20 u.m. el kg con 30 kg de

maní de 2, 00 u.m el kg.

3. Se ha mezclado 60 kg. de un cierto ingrediente, de 5 u.m. el kilogramo, con

otro cuyo peso representa el 25% del peso total, y se ha obtenido una mezcla

con precio medio de 4, 75 u.m el kilogramo.

Determinar vectorialmente el precio del kilogramo del segundo ingrediente.

Dinero ( u.m.)

120 - a

A

B

O

a Cantidad

120

Deducimos: …… (1)

Para la mezcla:

Para primer ingrediente:

Para segundo ingrediente:

Solución


Primer ingrediente: Un kg cuesta 5 u.m

Segundo ingrediente: Un kg cuesta p u.m

Mezcla de ingredientes: Un kg de la mezcla cuesta 4, 75 u.m

Del primer ingrediente interviene 60 kg, supongamos que del segundo inter-

venga a kg, entonces por dato, se tiene a = 25%(60 + a) de donde

a = 20 kg. y el total será (60 + 20) = 80 kg.


Finalmente, el precio del kilogramo del segundo ingrediente es 4 u.m .

4. Se tiene tres tipos de alcohol: de 40º, 30º y 20º, donde los volúmenes de al-

cohol de 20º y 40º están en la relación de 1 a 5. Determinar vectorialmente el

número de litros de alcohol de 30º necesarios para que los 80 litros de la mez-

cla resultante sean de 35º.

Estrategia de solución

Construiremos los vectores representativos en base al grado alcohólico.

Solución


Para alcohol de 40º: Un litro de alcohol tiene grado 40.


80

Dinero ( u.m.)

20

A

B

O

60 Cantidad


Para la mezcla:

Para primer ingrediente:

Para segundo ingrediente:


Para la mezcla de 35º: Un litro de alcohol tiene grado 35.

Supongamos que del tercer ingrediente intervengan a litros, entonces del pri-

mero habrá 5a litros y del segundo (80 – 6a) litros.

Efectuando un bosquejo:


El número de litros de alcohol de 30º es (80 – 6a) = 20

5. Un litro de mezcla formado por 75% de alcohol y 25% de agua pesa 960 g.

Sabiendo que el litro de agua pesa 1 Kg., se pide determinar vectorialmente el

peso de un litro de la mezcla que contiene 48% de alcohol y 52% de agua ( no

considere la contracción de la mezcla).

Estrategia de solución

Observamos que tenemos dos tipos de mezcla. Para cada una de ellas elegire-

mos como vectores “representativos” a los pesos unitarios de los ingredientes

que intervienen.

Solución

Primera mezcla


Primer ingrediente, agua: Un litro de agua pesa 1 000 g.

Cantidad

a

80 - 6a

Grado (º)

C

80 - a

A

B

O

5a 80

Deducimos: … (1)

Para la mezcla:

Pa

ra alcohol de 40º:

Para alcohol de 30º:

Para alcohol de 20º:

Segundo ingrediente, alcohol: Un litro de alcohol pesa p g.

Primera mezcla: Un litro de la primera mezcla pesa 960 g.

En esta primera mezcla, de alcohol interviene 3/ 4 litros, mientras que de agua

interviene 1/ 4 litros.



960 = 250 + 3p/4 p = 710.4/3 gramos.

Afirmamos que un litro de alcohol pesa 710.4/ 3 gramos..

Segunda mezcla


Primer ingrediente, agua: Un litro de agua pesa 1 000 g.

Seg. ingrediente, alcohol: Un litro de alcohol pesa g.

Mezcla de ingredientes: Un litro de la segunda mezcla pesa p g.

En la esta mezcla, de alcohol interviene 0, 48 litros, mientras que de agua in-

terviene 0, 52 litros.


1

Peso (gramos)

3/4

A

B

O

1/4 V (litros)

Peso (gramos)

A

B


Para la mezcla:

Para primer ingrediente, agua:

Para segundo ingrediente, alcohol:


Para la mezcla:

Para primer ingrediente, agua:

Para segundo ingrediente, alcohol:


p = 974, 4 gramos.

Finalmente afirmamos que el peso de un litro de la segunda mezcla es

974, 4 gramos

6. Se tienen dos mezclas alcohólicas: la primera formada por 300 litros de al-

cohol y 100 litros de agua; la segunda, de 200 litros de alcohol y 120 litros de

agua. Vectorialmente, ¿Cuántos litros deben intervenir de la primera para mez-

clarlos con cierta cantidad de la segunda y así obtener 80 litros de alcohol de

72,5º?

Solución

El grado alcohólico de la primera mezcla es 300/400 = 0,75 = 75º; mientras que

el de la segunda es 200/320 = 0,625 = 62,5º.

Los vectores “representativos” son:

Primera mezcla: Un litro de alcohol del primero tiene 75º.

Seg. mezcla: Un litro de alcohol del segundo tiene 62,5º.

Mezcla final: Un litro de alcohol de la mezcla tiene 72,5º.

Supongamos que de la primera mezcla intervenga a litros, entonces de la se-

gunda habrá (80 – a) litros, efectuando un bosquejo:

V (litros)

80 -a

1

0, 48

O

0, 52

80

A

B

O

a

Cantidad

Grado (º) Deducimos: …… (1)

Para la mezcla:

Para mezcla de 75º:

Para mezcla de 62,5º


Luego de la primera mezcla deben intervenir 64 litros.

7. Se realiza una mezcla de vinos de 70 u.m. el litro y de 60 u.m el litro, con

agua. La mezcla tiene un precio de 50 u.m. el litro.

Se sabe que la cantidad de agua es el doble de la cantidad de vino de 60 u.m.,

determinar vectorialmente la razón geométrica de las cantidades de los vinos

presentes.

Solución


Primer vino: Un litro cuesta 70 u.m

Segundo vino: Un litro cuesta 60 u.m

Agua: Un litro cuesta 0 u.m

Mezcla de ingredientes: Un litro de la mezcla cuesta 50 u.m

Supongamos que del primer vino interviene a litros, del segundo b litros y de

agua 2b litros



50 a+ 150 b = 70a+ 60b 90b = 20a a/b = 9/2

Dinero ( u.m.)

C

A

B

O

a Cantidad

a + b

b

2b

a + 3b

Deducimos: ..(1)

Para la mezcla:

Para primer vino:

Para segundo vino:

Para agua:

Finalmente la razón geométrica de las cantidades de los vinos presentes es de

9 a 2

8. Se desea obtener una mezcla de 130 litros disponiendo para ello de tres ti-

pos de vino: de 4, 10 y 15 u.m el litro y de una cierta cantidad de agua.

Al efectuar la mezcla se observa que por cada 2 litros de vino de 4 u.m se em-

plea 3 litros de vino de 10 u.m.. Además se emplea un litro de agua por cada

10 litros de los dos últimos vinos.

Si toda la mezcla se vende en 1950 u.m., ganándose en ello 520 u.m., determi-

nar vectorialmente el número de litros del vino más caro que se emplea en este

proceso.

Solución


Primer ingrediente: Un litro de vino cuesta 4 u.m

Segundo ingrediente: Un litro de vino cuesta 10 u.m

Tercer ingrediente: Un litro de vino cuesta 15 u.m

Cuarto ingrediente (agua): Un litro de agua, cuesta 0 u.m

Supongamos que del primer vino intervenga 2n litros, entonces del segundo

habrá 3n litros. Por otro lado, si de agua interviene a litros, entonces del tercero

habrá (10a – 3n) litros.

Como toda la mezcla se vende en 1950 u.m ganándose en ello 520 um, enton-

ces el precio de un litro de la mezcla será (1950 – 520) /130 = 11, con lo cual

tenemos que el vector representativo de la mezcla es


10a - 3n

Dinero ( u.m.)

D

C

A

B

a


Para la mezcla:

Primer ingrediente:

Segundo ingrediente:

Tercer ing.:

Cuarto ingrediente:

Reemplazando en (1) se tiene:

Pero por dato el total de litros es 130, luego 11a + 2n = 130 a = n = 10.

Finalmente el número de litros del vino más caro es 10a – 3n = 70 u.m.

9. Un vendedor desea mezclar 100 litros de vino que cuesta 2 u.m. el litro, con

otro volumen de 20 litros que cuesta 1, 50 u.m. el litro. Si en el proceso se sufre

una merma del 10%, entonces se ve obligado a vender la mezcla con un recar-

go del 20%. Si al final realiza un descuento del 10%, determinar vectorialmente

el precio de un litro de esta mezcla, incluido el impuesto general a las ventas

del19%.

Solución

Calcularemos el precio medio de la mezcla resultante (precio de costo unitario),

para lo cual sean los vectores “representativos”:

Primer vino: Un litro cuesta 2 u.m

Segundo vino: Un litro cuesta 1, 50 u.m

Vector merma:

Mezcla de ingredientes: Un litro de la mezcla cuesta p u.m

3n

11a +2n 5n O

2n 10a + 2n Cantidad

130

Del primer vino interviene 100 litros, mientras del segundo 20 litros

Como la merma ha sido del 10%, la cantidad final de vino será 90% de la canti-

dad inicial; es decir: 90%(100 + 20) = 108 litros



108 p = 230 p = 2, 13 u.m.

Tenemos que el precio de costo de un litro de la mezcla es 2, 13 u.m.

Como piden el precio final de un litro de la mezcla, todos los cálculos los efec-

tuamos tomando como base a un litro de mezcla.


y al impuesto del 19%, los cuales pasamos a bosquejar:

1

Cantidad

Costo

Precio finalG

31

2, 13

D

O

Dinero ( u.m.)

120

12

20

A

B

O

100

108

C

Cantidades

F

E

Precios

1

Deducimos: …(1)

Para la mezcla:

Para primer vino:

Para segundo vino:

Para la merma (disminuye la cantidad):

Igualando: Precio final = 2, 737476

Luego el precio de un litro es 2, 737476

10. Se mezclan dos clases de café en la proporción de 2 a 3 y la mezcla se

vende con el 10% de ganancia sobre el precio de compra. Después se mezclan

en la proporción de 3 a 2 y se vende con el 20% de ganancia sobre el precio de

compra, siendo el precio de venta igual en los dos casos. Determinar vectorial-

mente la razón geométrica de los precios de compra de los dos ingredientes.

Solución

Primera mezcla


para lo cual sean los vectores “representativos”:

Primer café: Un kg cuesta a u.m

Segundo café: Un kg cuesta b u.m

Mezcla de ingredientes: Un kg de la mezcla cuesta p1 u.m

Del primer café interviene 2k kg, mientras del segundo interviene 3k kg.



5k p1 = 2ka + 3kb

Segunda mezcla

5k

Dinero ( u.m.)

3k

A

B

O

2kCantidad

Deducimos: .. (1)

Para la mezcla:

Para primer café:

Para segundo café:


para lo cual mantenemos los mismos vectores “representativos”, excepto para

la mezcla donde consideraremos como precio medio unitario p2 : .

Ahora del primer café interviene 3q kg, mientras del segundo interviene 2q kg.



5q p2 = 3qa + 2qb

A continuación calculamos los precios unitarios de venta, para lo cual conside-

ramos los vectores “representativos”:

Primera mezcla: Un kg cuesta

Segunda mezcla: Un kg cuesta

Efectuamos un bosquejo:

5q

Dinero ( u.m.)

2q

A

B

O

3qCantidad

Precios ( u.m.)

AB

Tenemos:

a/b = 9/14

La relación geométrica de los precios es 9/14


Para la mezcla:

Para primer café:

Para segundo café:

11. Se desea reducir la ley de una barra de oro de 0, 96 a 0, 90. Plantear vecto-

rialmente: ¿Qué cantidad de cobre debe fundirse con cada kilogramo de dicha

barra?

Estrategia de solución.

Los vectores “representativos” estarán expresados en términos de las masas

del metal fino que interviene.

Solución


Barra inicial: Un kg de la barra contiene 0,960 kg de oro.

Cobre: Un kg de cobre contiene 0 kg de oro

Barra final: Un kg de la barra contiene 0,900 kg de oro

Sabemos que de la primera barra interviene 1kg, supongamos que de cobre

intervenga p kg, luego efectuamos el bosquejo:

O

120%O 110% %

A B

p

1 1 + pMasa total (kg)

Masa de oro Deducimos: …… (1)

Para la aleación: barra final:

Para barra inicial:

Para cobre:


Luego debe fundirse 66 2/3 g de cobre con cada kilogramo de la barra inicial.

12. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg de cobre. Determinar vecto-

rialmente la cantidad necesaria de plata (pura) que es preciso agregar a este

lingote para fabricar monedas de plata de 5 u.m., cuya ley es de 0, 900.

Solución

Para la primera aleación. Determinaremos la ley de esta aleación.


Plata pura: Un kg de plata contiene 1kg de plata.

Cobre: Un kg de cobre contiene 0 kg de plata.

Aleación: Un kg de aleación contiene Lm kg de plata



Luego la ley de esta aleación es 0, 625

Para la segunda aleación (aleación pedida)


Primera aleac.: Un kg de aleación contiene 0, 625 kg de plata

Plata pura: Un kg de plata (pura) contiene 1 kg de plata ( pura)

Masa total (kg)

3

A B

O

5 8

Masa de plata

Deducimos: …(1)

Para la aleación:

Para plata pura:

Para cobre:

Aleac. pedida: Un kg de aleación contiene 0, 900 kg de plata

Observamos que de la primera aleación interviene 8 kg, supongamos que de

plata (pura) intervenga p kg., luego efectuamos un bosquejo:


Afirmamos que se debe agregar 22 kg. de plata pura.

13. Determinar vectorialmente la ley de una aleación de oro y cobre de densi-

dad 14; sabiendo que la densidad de oro es 19 y la del cobre es 9 (las densida-

des están expresadas en g/cm3).

Solución


Para oro: Un cm3 de oro contiene una masa de 19 g de oro

Para cobre: Un cm3 de cobre tiene con 9 g de cobre.

Para aleación: Un cm3 de aleación contiene 14 g de oro y cobre.

Determinemos los volúmenes de oro y cobre que deben intervenir, para esto

supongamos que intervienen a y b unidades de cada uno de ellos, luego

efectuamos el bosquejo:

p

Masa de cada metal (g.)

p

A

B

O

8 8 + p Masa total (kg)

Masa de plata

B

Deducimos: … (2)

Para la aleación pedida:

Para primera aleación:

Pa

ra plata (pura):

Deducimos: … (1)


Para oro:


Afirmamos que los volúmenes de oro y cobre que debe intervenir de ambos

metales, es el mismo.

Por otro lado, siendo la masa de oro que interviene 19a y la de cobre 9b; ten-

dremos que la ley de la aleación es L = 19 a/(19a + 9b) = 19/28= 0, 6786.

14. Se funde 450 g de una aleación de oro de 16 quilates con otra aleación que

contiene 320 g de oro puro y 30 g de cobre. Determinar la ley (en quilates) de

la aleación resultante.

Solución

La ley de la segunda aleación, en quilates, viene dada por


Primera: Un gramo de la primera contiene 16/24 g de oro

Segunda: Un gramo de la segunda tiene g de oro

Resultante: Un gramo de la aleación contiene q/24 gramos de

oro, donde hemos supuesto que q es la ley de esta segunda aleación en quila-

tes. Efectuamos el bosquejo:

O

A

b

a a + bVol. (cm3)

A

B

Masa de cada aleación (g.)

Deducimos: … (1)


Para oro:

Deducimos: …(1)

Para la aleación final:

Para la primera aleación:

Para la segunda aleación:


800q/24 = 14 880/24 q = 18, 6 quilates

Afirmamos que la ley de la aleación resultante es 18, 6 quilates.

15. Se desea hacer una joya de oro y cobre en la cual al fundir los metales hay

mermas del 20% y 10% respectivamente. Determinar vectorialmente la canti-

dad de oro que se debe utilizar para obtener 57, 6 g de una aleación de 18 qui-

lates.

Solución


Para oro (puro): Un gramo de oro contiene 24/24 g de oro.

Para cobre: Un gramo tiene ley 0 quilates

Para aleación: Un gramo de la aleación tiene 18/24 g de oro

Sea a y b las cantidades de oro y cobre (en gramos) que se van a fundir.



Masa total (g.)

O

350

450 800

Vol. (cm3)

B

A

CD

Oa

b

80%a80%a + 90%b

Masa metal fino (g.) …… (1)

Para oro:

Para cobre:

= 90%b

Para aleación:

90%b

Se deduce: 14, 4a + 16, 2b = 19, 2a….(1)

Por dato: 0,8a + 0,9 b = 57, 6… (2)

De (19 y (2) se tiene: a = 54 y b = 16

Afirmamos que la cantidad de oro que se debe utilizar es 54 gramos

calculo vectorial. 7 def. mezcla - 2

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