calculo espacios conexos

6

Espacios conexos

En este capıtulo estudiamos los espacios conexos y su relacion con otras propieda-des ya estudiadas. Despues de presentar unos resultados de los espacios conexos,estudiamos los subespacios conexos de la recta real. A continuacion relacionamosconexion y continuidad y estudiamos la conexion de los productos cartesianos.Estudiamos las componentes conexas y finalizamos el capıtulo con la conexionpor caminos, que implica la conexion ordinaria.

La definicion de conexion para un espacio metrico es muy natural. Ası, se diceque un espacio puede ser “separado” (no conexo), si es posible “dividirlo” endos conjuntos abiertos con interseccion vacıa. En caso contrario, diremos que elespacio es conexo.

Se pretenden alcanzar las siguientes competencias especıficas:

Utilizar los conceptos basicos asociados a la nocion de espacio metrico.

Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topologıa metrica.

Identificar los subconjuntos conexos de la recta real y, en general, de losespacios euclıdeos.

Relacionar los conceptos de conexion y continuidad en un espacio metrico.

Se desarrollaran los contenidos siguientes:

Espacios metricos conexos. Propiedades.

151

152 6.1. Conjuntos separados

Los subespacios conexos de la recta real.

Conexion y continuidad.

Componentes conexas.

Conexion por caminos.

6.1. Conjuntos separados

Definicion 6.1.1. Dado un espacio metrico (X, d) y dos subconjuntosA,B ⊂ X ,diremos que A y B estan separados si A ∩B = A ∩B = ∅.

Es evidente que si A y B estan separados, entonces son disjuntos. Sin embargo,el recıproco no es cierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos.

Ejemplos

Ej.6.1. En R con la topologıa usual, los intervalos (0, 1) y (1, 2) estan separados,pero los intervalos (0, 1) y [1, 2) no lo estan, a pesar de que son disjuntos,pues (0, 1) = [0, 1] y [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}.

Ej.6.2. En (R2, d2) el exterior de la bola abierta de centro el origen de coorde-nadas y radio 1

ExtB((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}

y la propia bola abierta

Figura 6.1 – ExtB((0, 0), 1) y B((0, 0), 1) estan separados.

B((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}

estan separados puesto que

ExtB((0, 0), 1) = {(x, y) : x2 + y2 ≥ 1} y

Topologıa de Espacios Metricos Pedro Jose Herrero Pineyro

6. Espacios conexos 153

B((0, 0), 1) = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}

y es evidente que que

ExtB((0, 0), 1) ∩B((0, 0), 1) = ExtB((0, 0), 1) ∩B((0, 0), 1) = ∅

(vease la Figura 6.1).

Ej.6.3. En R con la topologıa usual, los conjuntosQ y R−Q no estan separados,pues Q = R ⊃ R−Q.

Ej.6.4. Los conjuntos A = {(0, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1} y

B = {(1/n, y)) : n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1}

no estan separados, pues todos los puntos de A son adherentes a B (veasela Figura 6.2).

Figura 6.2 – Subconjuntos de R2 no separados.

6.2. Espacios conexos

Definicion 6.2.1. Diremos que un espacio metrico (X, d) es conexo si X no esunion de dos subconjuntos no vacıos y separados. En caso contrario diremos queX es no conexo.

Proposicion 6.2.2. Sea (X, d) un espacio metrico y A,B ⊂ X dos subconjuntosdisjuntos tales que X = A ∪B. Son equivalentes:

(a) X es no conexo (A y B estan separados).

(b) A y B son cerrados.

OCW-Universidad de Murcia Pedro Jose Herrero Pineyro

154 6.2. Espacios conexos

(c) A y B son abiertos.

DEMOSTRACION. -

“(a)⇒(b)“ Supongamos que los conjutos A y B estan separados, es decir, queA ∩B = A ∩B = ∅ y veamos que A es cerrado. Podemos poner

A = A ∩X = A ∩ (A ∪B) = (A ∩A) ∪ (A ∩B) = A ∪∅ = A.

Por tanto, A es cerrado. Analogamente se prueba que B tambien es cerrado.

”(b)⇒(c)” Suponemos ahora que A y B son cerrados. Como A ∪ B = X yA∩B = ∅ entonces A = Bc y B = Ac. Por tanto, A y B son abiertos (pues soncomplementarios de cerrados).

“(c)⇒(a)“ Supongamos que A y B son abiertos disjuntos tales que A ∪ B = X .Procediendo como en la implicacion anterior podemos probar que A y B soncerrados (pues son complementarios de abiertos). Entonces A∩B = A∩B = ∅y A ∩B = A ∩B = ∅, luego A y B estan separados.

La conexion se puede formular de otro modo, como muestra el siguiente corolariocuya demostracion es consecuencia de la Proposicion 6.2.2.

Corolario 6.2.3. Un espacio metrico (X, d) es conexo si, y solo si, los unicossubconjuntos que son, a la vez, abiertos y cerrados son X y ∅.

DEMOSTRACION. -

Si A ⊂ X , A 6= X , abierto y cerrado, entonces Ac tambien es abierto y cerrado,y X = A ∪Ac, con lo que X serıa no conexo.

La Proposicion 6.2.2 nos permite introducir un nuevo concepto.

Definicion 6.2.4. Sea X un espacio metrico. Una separacion de X es un parA,B de abiertos (o cerrados) disjuntos no triviales de X cuya union es X .

6.2.1. Subespacios conexos.

Definicion 6.2.5. Sea un espacio metrico (X, d) y un subconjunto S ⊂ X . Di-remos que S es un subespacio conexo o un subconjunto conexo si (S, dS) esconexo.

Proposicion 6.2.6. Un subconjunto S de un espacio metrico (X, d) es conexo si,y solo si, no existen dos subconjuntos A,B ⊂ X separados tales que A∪B = S.

DEMOSTRACION. Es una consecuencia inmediata de la definicion de topologıarelativa y la Proposicion 6.2.2.



Ejemplos

Ej.6.5. Sea Y el subespacio [−1, 0) ∪ (0, 1] de la recta real R. Los conjuntos[−1, 0) y (0, 1] son no vacıos y abiertos en Y (aunque no en R); de esta for-ma, constituyen una separacion de Y . Por otra parte, observese que ningunode estos conjuntos contiene puntos de acumulacion del otro.

Ej.6.6. SeaX el subespacio [−1, 1] de la recta real. Los conjuntos [−1, 0] y (0, 1]son disjuntos y no vacıos pero no forman una separacion de X ya que elprimer conjunto no es abierto en X . Por otro lado, observese que el primerconjunto contiene un punto de acumulacion, el 0, del segundo. De hecho,probaremos enseguida que no existe una separacion del espacio [−1, 1].

Ej.6.7. El conjunto de los numeros racionalesQ no es conexo. Es mas, los unicossubespacios conexos de Q son los conjuntos unipuntuales: si Y es un sub-espacio de Q conteniendo dos puntos p y q, es posible elegir un numeroirracional a entre p y q y escribir Y como la union de los abiertos

Y ∩ (−∞, a) e Y ∩ (a,+∞).

Ejercicios y Problemas

P.6.1 Sean A, B y C tres subconjuntos de un espacio metrico. Demuestre:

(a) Si A y B estan separados y C ⊂ A, entonces C y B estan separados.

(b) Si C y A estan separados y C y B tambien estan separados, entoncesC y A ∩B estan separados.

(c) Si A y B estan separados, entonces A ∩ C y B ∩ C estan separados.[I] [R]

P.6.2 Demuestre que un espacio discreto con mas de un punto, es no conexo.

P.6.3 Demuestre que si A y B son dos subconjuntos disjuntos de un espaciometrico y ambos son abiertos o ambos son cerrados, entonces estan separa-dos. [I] [R]

P.6.4 Sea (X, d) un espacio metrico y A,B ⊂ X separados. Pruebe:

(a) Si A ∪B es abierto, entonces A y B son abiertos.

(b) Si A ∪B es cerrado, entonces A y B son cerrados. [I] [R]

P.6.5 Demuestre que si A es un subconjunto conexo de un espacio metrico,entonces A es infinito.


http://ocw.um.es/ciencias/topologia-de-espacios-metricos/ejercicios-proyectos-y-casos-1/prob-cap-6.pdf






156 6.2. Espacios conexos

P.6.6 ¿Es conexa la interseccion de dos subconjuntos conexos? En caso afirma-tivo demuestrelo y en caso negativo encuentre un contraejemplo.

6.2.2. Conjuntos conexos.

Lema 6.2.7. Sea (X, d) un espacio metrico y sea S ⊂ X un subconjunto conexo.Si A,B ⊂ X son una separacion de X , entonces bien S ⊂ A, bien S ⊂ B.

DEMOSTRACION. -

Supongamos, por reduccion al absurdo, que S ∩ A 6= ∅ y S ∩B 6= ∅; entonces,como A ∪B = X , tenemos

S = (S ∩A) ∪ (S ∩B).

Por tanto S ∩A y S ∩B son abiertos disjuntos en S, no vacıos y verificando

(S ∩A) ∩ (S ∩B) = ∅,

con lo cual ambos conjuntos constituyen una separacion de S, en contra de que Ses conexo.

Teorema 6.2.8. La union de una coleccion de subespacios conexos de X quetienen un punto en comun es conexa.

DEMOSTRACION. -

Sea {Ai}i∈I una coleccion de subespacios conexos de un espacio X y sea p unpunto de

⋂i∈I Ai. Probemos que el espacio Y =

⋃i∈I Ai es conexo. Supongamos

que Y = C ∪D es una separacion de Y . El punto p esta, o bien en C, o bien enD, pero no en ambos; supongamos que p ∈ C. Como cada Ai es conexo y p ∈ C,segun el Lema 6.2.7 anterior, Ai ⊂ C. Por tanto,

⋃i∈I Ai ⊂ C, contradiciendo el

hecho de que D era no vacıo.

Teorema 6.2.9. La union de una coleccion de subespacios conexos de X talesque no estan separados dos a dos es conexa.

DEMOSTRACION. -

Supongamos que {Ai}i∈I es una familia de subconjuntos conexos de X no se-parados dos a dos, y supongamos que su union A = ∪i∈IAi es no conexo; en-tonces segun el Corolario 6.2.3, existe B ( A no vacıo que es abierto y cerradoen (A, dA).

Como B 6= ∅, existe x ∈ B ⊂ A y como B 6= A, existe y ∈ A, y /∈ B.Por tanto, para ciertos ındices ix, iy ∈ I tenemos x ∈ Aix e y ∈ Aiy . Entonces



B∩Aix 6= ∅ es abierto y cerrado en (Aix , dix) que es conexo por hipotesis, luegoB ∩Aix = Aix lo que implica que Aix ⊂ B.

De la misma forma (A−B) ∩ Aiy 6= ∅ es abierto y cerrado en (Aiy , diy), luego(A−B) ∩Aiy = Aiy , lo que implica que Aiy ⊂ B −A.

Pero A y A − B estan separados en (A, dA), pues son dos abiertos y cerradosno vacıos cuya union es A, lo que lleva consigo que Aix y Aiy tambien estanseparados, en contra de la hipotesis, lo que concluye la prueba.

La demostracion del siguiente corolario es consecuencia del Teorema 6.2.9 y sele propone como ejercicio.

Corolario 6.2.10. Sea (X, d) un espacio metrico y {Ai}i∈I una familia de sub-conjuntos conexos no vacıos de X tales que Ai ∩Aj 6= ∅ para cada par i, j ∈ I .Entonces A = ∪i∈IAi es conexo.

Teorema 6.2.11. Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces se verifican:

(a) Si H ⊂ X es un subconjunto conexo y S ⊂ X tal que H ⊂ S ⊂ H ,entonces S es conexo.

(b) Si S es un subconjunto conexo de X , entonces S es conexo.

DEMOSTRACION. -

(a) Si x ∈ H , entonces H ∪ {x} es conexo puesto que H y {x} son conexos noseparados (H ∩ {x} = {x}). Entonces podemos poner S =

⋃x∈S(H ∪ {x}) y,

teniendo en cuenta que H ⊂ S ⊂ H , S es union de conexos no disjuntos, lo queimplica que S es conexo.

(b) Es una consecuencia inmediata de (a).


P.6.7 Sea {An}n∈N una sucesion de subespacios conexos de X que verificanAn ∩An+1 6= ∅ para cada n. Demuestre que

⋃n∈NAn es conexo. [I] [R]

P.6.8 Sean {Aα}α∈J una coleccion de subespacios conexos de X y A un sub-espacio conexo de X . Demuestre que si A∩Aα 6= ∅ para todo α, entoncesA ∪

(⋃α∈J Aα

)es conexo.

P.6.9 Sea (X, d) un espacio metrico y A,B ⊂ X una separacion de X , es decirX = A ∪B y A y B estan separados. Demuestre que si S ⊂ X es conexo,entonces esta contenido unicamente, o bien en A, o bien en B.




158 6.3. Conexos en R.

6.3. Conexos en R.

Teorema 6.3.1. Un subconjunto S R, con la distancia usual, es conexo si, ysolo si, es un intervalo o un conjunto unitario.

DEMOSTRACION. -

”⇒” Supongamos que S es conexo. Si S es unitario no hay nada que probar.Supongamos entonces que ni es unitario ni es un intervalo; entonces segun elLema 4.4.1 existen x, y ∈ S tales que [x, y] no esta contenido en S, es decir,existe z ∈ (x, y) tal que z /∈ S. Consideremos los conjuntos

A = (−∞, z) ∩ S y B = (z,+∞) ∩ S.

Entonces A y B estan separados y S = A ∪B, en contra de que S es conexo.

”⇐” Si S es unitario no hay nada que probar. Supongamos entonces que S es unintervalo y que es no conexo. Esto quiere decir que existen A,B ⊂ R no vacıos yseparados tales que S = A ∪ B. Sean x ∈ A, y ∈ B y supongamos que x < y.Como S es un intervalo, el Lema 4.4.1 implica [x, y] ⊂ S.

Consideremos el conjunto C = [x, y]∩A, que es no vacıo (x ∈ A) y esta acotadosuperiormente por y; por tanto, existe α = supC.

Tenemos entonces que x ≤ α ≤ y, es decir, α ∈ [x, y] ⊂ S. Luego, o bienα ∈ A, o bien α ∈ B, pero no a los dos. Supongamos que α ∈ A, esto implicaque α < y. ComoA es abierto en S, por definicion de topologıa relativa existiraGabierto en R tal que A = G ∩ S. Luego α ∈ G, de modo que existe ε > 0 tal que(α− ε, α+ ε) ⊂ G. Ademas, α < y, de modo que podemos tomar ε > 0 tal queα+ ε < y, luego α+ ε ∈ S y, por tanto, α+ ε ∈ G∩ S = A, en contra de que αes supremo. De forma analoga se ve que α no puede estar en B.

Corolario 6.3.2. R con la topologıa usual es un espacio conexo.

DEMOSTRACION. Es una aplicacion directa del Teorema 6.3.1 anterior.

Ejemplos

Ej.6.8. Q no es conexo puesto que no es un intervalo. Ya habıamos visto que Qes no conexo en el Ejemplo Ej.6.7. utilizando otros argumentos.

Ej.6.9. A partir del Corolario 6.3.2, concluimos que en (R, | |), los unicos con-juntos abiertos y cerrados a la vez son R y ∅.



6.4. Conexion y continuidad.

Teorema 6.4.1. Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos, f : X → Y unaaplicacion continua y S ⊂ X un subconjunto conexo en X . Entonces f(S) esconexo en Y .

DEMOSTRACION. -

Supongamos que f(S) es no conexo, entonces existen A,B ⊂ Y no vacıos yseparados tales que f(S) = A ∪ B. Como f : S → f(S) es continua y A y Bson abiertos y cerrados en f(S) con la topologıa relativa, tendremos que f−1(A) yf−1(B) seran abiertos y cerrados en S con la distancia dS inducida por d. Ademasson no vacıos, disjuntos y cumplen

S = f−1(f(S)) = f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B),

con lo que S serıa no conexo, en contra de la hipotesis.

La conexion es una propiedad topologica.

Corolario 6.4.2. Sean (X, d) y (Y, d′) dos espacios metricos homeomorfos. En-tonces X es conexo si, y solo si, Y es conexo.

DEMOSTRACION. Se trata de una aplicacion directa del Teorema 6.4.1 anterior.

Los dos Problemas siguientes P.6.10 y P.6.11 corresponden a dos importantesproposiciones a las que debe prestar especial atencion y cuya sencilla demostracion,a partir del Teorema 6.4.1, se le propone como ejercicio.


P.6.10 Un espacio metrico (X, d) es conexo si, y solo si, cualquier aplicacioncontinua entre X y el espacio discreto {0, 1} es constante, es decir, o bienf(x) = 0 para todo x ∈ X , o bien f(x) = 1 para todo x ∈ X .

P.6.11 Si (X, d) es un espacio metrico no conexo, entonces existe una apli-cacion f : X → {0, 1} continua y no constante.

P.6.12 Demuestre que si (X, d) es conexo y f : (X, d) → (R, du) es una apli-cacion continua, entonces f(X) es un intervalo.


160 6.4. Conexion y continuidad.

Teorema 6.4.3 (del valor intermedio). Un espacio metrico (X, d) es conexo si, ysolo si, cada aplicacion continua f : X → R cumple que si x, y ∈ X y c ∈ R estal que f(x) ≤ c ≤ f(y), entonces existe z ∈ X tal que f(z) = c.

DEMOSTRACION. -

”⇒” Si X es conexo, entonces f(X) es conexo en R y, por tanto, es un intervalo,de modo que contiene todos los puntos intermedios.

”⇐” Supongamos queX es no conexo, entoncesX = A∪B conA yB no vacıosy separados. Consideramos una funcion g : X → {0, 1} continua tal y como laproporciona el Problema P.6.11 y tal que g(A) = {0} y g(B) = {1}.Sea la inclusion i : {0, 1} −→ R, que es continua (observe que la distanciausual de R induce sobre {0, 1} la distancia discreta y revise el Problema P.3.1),y consideremos la composicion h = i ◦ g : X −→ R que, al ser composicionde funciones continuas, tambien es continua. Entonces h no cumple las hipotesis,pues 0 < 1/2 < 1 y, sin embargo, no hay ningun punto de X cuya imagen por hsea distinta de 0 o de 1, en contra de la hipotesis.

6.4.1. Espacios producto.

Teorema 6.4.4. Sean (X, d) e (Y, d′) dos espacios metricos conexos. Entonces elproducto X × Y es conexo. (Con cualquiera de las distancias d1, d2 o d∞ delEjemplo Ej.1.9.).

DEMOSTRACION. -

Tomemos un punto (a, b) ∈ X×Y . La “rebanada horizontal”X×{b} es conexa,ya que es homeomorfa a X , y tambien lo es cada “rebanada vertical” {x} × Ypara cada x ∈ X ya que estas son homeomorfas a Y (vease el Problema P.3.9).

Por otra parte, para cada x ∈ X la interseccion de los conjuntosX×{b} y {x}×Yes no vacıa, en concreto es precisamente (X × {b})∩ ({x} × Y ) = {(x, b)}. Portanto, el conjunto (X × {b})∪ ({x} × Y ) es conexo por ser union de conexos nodisjuntos (vease la Figura 6.3).

Entonces la union ⋃x∈X{(X × {b}) ∪ ({x} × Y )}

de todos estos conjuntos es precisamente X×Y y es conexo pues todos tienen encomun al conjunto X × {b} (vease de nuevo la Figura 6.3).

Corolario 6.4.5. El producto cartesiano de una cantidad finita de espacios metri-cos conexos, es un espacio conexo.



Figura 6.3 – Conexion en el espacio producto.

DEMOSTRACION. La prueba para cualquier coleccion finita de espacios conexospuede realizarse por induccion, utilizando el hecho (¿facilmente demostrable?) deque X1 × · · · ×Xn es homeomorfo a (X1 × · · · ×Xn−1)×Xn.

Ejemplos

Ej.6.10. Rn con cualquiera de las distancias d1, d2 o d∞ es conexo.

6.5. Componentes conexas

Definicion 6.5.1. Sea (X, d) un espacio metrico y C ⊂ X un subconjunto, di-remos que C es una componente conexa de X si C es conexo y no hay ningunsubconjunto conexo y propio de X que contenga a C.

Observacion 6.5.2. -

(a) Obviamente si X es conexo, tiene una unica componente conexa que coin-cide con todo el espacio.

(b) Cualquier espacio, conexo o no, tiene componentes conexas no vacıas.

Definicion 6.5.3. Sea (X, d) un espacio metrico. Se llama componente conexaC(x) de un punto x ∈ Xa la union de todos los subconjuntos conexos de X quecontienen al punto x.

Observacion 6.5.4. Es obvio que C(x) es el mayor conjunto conexo que contienea x y que C(x) es la componente conexa de X que contiene a dicho punto.


162 6.6. Conexion por caminos (o arcos).

Teorema 6.5.5. Sea (X, d) un espacio metrico. Entonces las componentes conexasde X constituyen una particion de X , es decir son disjuntas entre sı y la union detodas ellas es X .

DEMOSTRACION. - Sean x, y ∈ X veamos que si C(x) y C(y) son sus com-ponentes conexas respectivas, entonces o bien coinciden ,C(x) = C(y), o bienC(x) ∩ C(y) = ∅. En efecto, supongamos que C(x) ∩ C(y) 6= ∅, entonces setrata de dos conjuntos conexos no separados, lo que significa que C(x)∪C(y) esconexo, pero la componente conexa es el mayor conexo que contiene al punto, demodo que C(x) = C(x) ∪C(y) = C(y). Por otra parte, es evidente que la unionde todas las componentes conexas es todo X .

Como en ocasiones anteriores, los Problemas siguientes recogen importantes re-sultados sobre componentes conexas, cuya demostracion se le propone como ejer-cicio. Debe prestarles la necesaria atencion.


P.6.13 Sea (X, d) un espacio metrico. Demuestre que cada subconjunto conexode X esta contenido en una unica componente conexa.

P.6.14 Cada subconjunto conexo de un espacio metrico que es a la vez abiertoy cerrado, es una componente conexa.

P.6.15 Cada componente conexa de un espacio metrico es un cerrado.

P.6.16 Considere en (R, | |), el conjunto C = {0} ∪ {1/n : n ∈ N} con la dis-tancia inducida por la usual. Pruebe que {0} es una componente conexa deC y concluya que las componentes conexas no son, necesariamente abier-tos.

6.6. Conexion por caminos (o arcos).

La conexion de los intervalos en R nos conduce a la condicion de que cualquierpar de puntos de X pueda unirse mediante un camino o un arco en X . Y esto noslleva a la conexion por caminos (tambien llamada conexion por arcos).

Definicion 6.6.1. Sea (X, d) un espacio metrico y dos puntos x, y ∈ X:

Un camino o un arco en X , que une el punto x con el punto y, es unaaplicacion continua f : [a, b] −→ X , donde [a, b] ⊂ R es intervalo cerradocon la distancia usual, tal que f(a) = x y f(b) = y.



Un espacio X se dice que es conexo por caminos o conexo por arcos sicada par de puntos de X se pueden unir mediante un camino en X .

Observacion 6.6.2. Dado que cualquier intervalo cerrado [a, b] es homeomorfoal intervalo [0, 1] (vease el Problema P.3.8). Por composicion, la definicion decamino se puede establecer diciendo que la aplicacion continua esta definida enel intervalo [0, 1]; de hecho en numerosas ocasiones, y por comodidad, ası loharemos.

Ejemplos

Ej.6.11. Si f : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que une x e y, entonces La apli-cacion f : [0, 1] −→ (X, d) definida como f(t) = f(1 − t), es un caminoque une y con x (digamos, que cambia el sentido del camino).

Ej.6.12. Si f : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que va del punto x al punto y yg : [0, 1] −→ (X, d) es un camino que une y con z, definimos la aplicacion

(f ∗ g)(t) =

{f(2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2

g(2t− 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.

f ∗g es un camino (es continua) que une x con z siguiendo el camino que vade x a y y, a continuacion de forma continua, el que une y con z. El caminof ∗ g recibe el nombre de yuxtaposicion de f y g.

Ej.6.13. La bola cerrada de radio unidad, centrada en cualquier punto de Rn, esdecir

Bn = B(x, 1) = {x ∈ Rn : ‖x‖2 ≤ 1},

donde ‖x‖2 = ‖(x1, . . . , xn)‖2 = (x21 + · · ·+ x2n)1/2 es la norma euclıdea(vease el Ejemplo Ej.1.41.), es conexa por caminos. En efecto, dados dospuntos x, y ∈ Bn, el segmento f : [0, 1]→ Rn definido por

f(t) = (1− t)x+ ty

es continuo y esta contenido en Bn ya que

‖f(t)‖2 = ‖(1− t)x+ ty‖2 ≤ (1− t)‖x‖2 + t‖y‖2 ≤ 1.

Ej.6.14. Rn con la distancia usual es conexo por caminos.

Teorema 6.6.3. Todo espacio metrico conexo por caminos es tambien conexo.



DEMOSTRACION. -

Supongamos que X un espacio conexo por caminos pero no conexo. Por tantoexisten dos conjuntos no vacıos {A,B ⊂ X} que constituyen es una separaciondeX , es decirX = A∪B yA yB estan separados. Sea f : [0, 1]→ X un caminoen X . Como [0, 1] es conexo y f es continua, por el Teorema 6.4.1, el conjuntof([0, 1]) es conexo y, en consecuencia, debe estar contenido enteramente o bienen A, o bien en B (vease el Problema P.6.9). Por tanto, no existen caminos en Xque unan puntos de A con puntos de B lo cual es contrario con el hecho de queX sea conexo por caminos.

Teorema 6.6.4. Sea (X, d) un espacio metrico conexo por caminos, e (Y, d′) unespacio metrico. Si f : X −→ Y es una aplicacion continua, entonces f(X) esconexo por caminos.

DEMOSTRACION. - Si y1, y2 ∈ f(X), entonces f−1(y1), f−1(y2) ∈ X y comoX es conexo por caminos, existe g[0, 1] −→ X continua tal que g(0) = f−1(y1)y g(1) = f−1(y2). Entonces f ◦ g es un camino que conecta y1 con y2.

El recıproco del Teorema 6.6.3 anterior no es cierto en general, es decir, un espacioconexo no es necesariamente conexo por caminos; ası lo muestra el siguienteejemplo.

Ejemplos

Ej.6.15. Sean los subconjuntos de R2 siguientes:

A = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}, Bn = {( 1

n, y) : 0 ≤ y ≤ 1} para cada n ∈ N.

Consideremos el punto P (0, 1) y el conjunto

C = A ∪ (∪n∈NBn) ∪ {p}

dotado con la topologıa inducida por la usual de R2 y cuya representaciongrafica puede ver el la Figura 6.4. Entonces X es conexo pero no es conexopor caminos.

(1)X es conexo. En efecto, tantoA como cada uno de losBn es conexo porcaminos puesto que se trata segmentos y, por tanto segun el Teorema 6.6.3tambien son conexos. Ademas, para cada n ∈ N, A ∩ Bn = {(1/n, 0)},lo que implica que el conjunto A ∪ (∪n∈NBn) es union de conexos noseparados, y por tanto es conexo. Por ultimo P es un punto adherente aA ∪ (∪n∈NBn) ya que para todo ε > 0 existe n ∈ N con 1/n < ε porlo que, (1/n, 1) ∈ B(P, ε), entonces, segun el Teorema 6.2.11 (a), C esconexo.



Figura 6.4 – El Conjunto C es conexo pero no es conexo por caminos.

(2) C es no conexo por caminos. Para demostrar esto vamos a comprobarque cualquier camino f : [a, b] → C que comience en P , cumple quef(t) = P para todo t ∈ [a, b] y, por tanto, no existe ningun camino queuna P con otro punto de C. Esto ultimo sera consecuencia, a su vez, de quef−1(P ) es abierto y cerrado en [a, b] que es conexo, con lo cual tendremosque f−1(P ) = [a, b].

Como f es una aplicacion continua y {P} es un conjunto cerrado, f−1(P )es cerrado. Vamos a ver que f−1(P ) tambien es abierto. Consideremos unabola abierta centrada en P en el subespacioC. Esta bola sera la interseccionde una bola en R2 con C,B(P, r)∩C; y tomemos r < 1, de manera que nocorte al eje de abscisas. Sea un punto x0 ∈ f−1(B(P, r)∩C), entonces co-mo consecuencia de la continuidad de f , existe, en [a, b], una bola centradaen x0, B(x0, δ) = (x0 − δ, x0 + δ), tal que f(B(x0, δ)) ⊂ (B(P, r) ∩ C).Como B(x0, δ) es un intervalo, es conexo y, por tanto, f(B(x0, δ)) tam-bien lo es, por lo que no puede contener ningun punto distinto de P . De locontrario, si existe (1/m, s) ∈ (B(P, r)∩C) (0 < s ≤ 1), tomamos α ∈ Rtal que se cumpla 1/(m+ 1) < α < 1/m con lo que tenemos que

(−∞, α)× R y (α,+∞)× R

son dos abiertos disjuntos en R2, por lo que

[(−∞, α)× R] ∩ (B(P, r) ∩ C) y [(α,+∞)× R] ∩ (B(P, r) ∩ C)

constituyen una separacion de (B(P, r) ∩C. Como f(B(x0, δ)) es conexoy contiene a P , se tiene que

f(B(x0, δ)) ⊂ [(−∞, α)× R] ∩ (B(P, r) ∩ C),



por lo que no contiene a

(1

m, s) ∈ [(α,+∞)× R] ∩ (B(P, r) ∩ C)

y, por tanto, f(B(x0, δ)) = {P} lo que significa B(x0, δ) ⊂ f−1(P ) yf−1(P ) es abierto, que es lo que querıamos demostrar.

Ej.6.16. El espacio euclıdeo agujereado es Rn − {0}, con la distancia usual in-ducida; donde 0 es el origen en Rn. Si n > 1, este espacio es conexo porcaminos (y por tanto conexo): dados x, y ∈ Rn − {0} , podemos unir x e ymediante el segmento que ambos determinan, si este segmento no pasa porel origen. En caso de que ası ocurriera, podemos elegir otro punto z que noeste contenido en la recta que determinan x e y y a continuacion considerarel “segmento quebrado” que determinan x, z e y y ya tenemos un caminoque une los puntos x e y.

Sin embargo, si n = 1, entonces R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0,+∞) no esconexo, pues esta union es una separacion de R− {0}.

Ej.6.17. A partir del Ejemplo Ej.6.16. anterior, podemos concluir que R y R2,con las distancias usuales, no son homeomorfos. En efecto si existiera unhomeomorfismo f : R2 −→ R; y f(0, 0) = a; entonces la restriccion de fa R2 − {(0, 0)}, serıa un homeomorfismo entre este conjunto y R − {a},pero R2 − {(0, 0)} es conexo y, sin embargo R − {a} no lo es, en contradel Corolario 6.4.2.

Ej.6.18. La esfera unidad Sn−1 en Rn, o (n− 1)-esfera es la frontera de la bolade centro el origen y radio 1

Sn−1 = {x ∈ Rn : ‖x‖ = 1}.

Si n > 1, la (n − 1)-esfera Sn−1 es conexa por caminos ya que la apli-cacion g : (Rn − {0}) −→ Sn−1 definida por g(x) = x/‖x‖ es continua ysobreyectiva; y segun el Teorema 6.6.4, conexo por caminos.


P.6.17 Estudie si son homeomorfos la recta real y la circunferencia, con la dis-tancia usual. [I]

P.6.18 Sean An = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, , y = x/n} para cada n ∈ N; yB = {(x, 0) ∈ R2 : 1/2 ≤ x ≤ 1}.




(a) Haga una representacion grafica del conjunto A = ∪n∈NAn y estudiesi es conexo por caminos y/o conexo.

(b) Idem para el conjunto A ∪B. [I]

P.6.19 Sea (X, d) un espacio metrico, M ⊂ X un subconjunto conexo y unaaplicacion continua f : M → R.

(a) Pruebe que si a ∈ M y α ∈ R es tal que f(a) < α entonces existeU ∈ Ua tal que f(x) < α para todo x ∈M ∩ U .

(b) Supongamos que para todo entornoU ∈ Ua existen x, y ∈ U∩M talesque f(x) y f(y) son de signos opuestos; demuestre que f(a) = 0.

(c) Pruebe que si para a, b ∈ M , f(a) y f(b) tienen signos opuestos,existe c ∈M tal que f(c) = 0. [I] [R]

P.6.20 SeaX un espacio metrico yA ⊂ X un subconjunto. Demuestre que todosubconjunto conexo P ⊂ X que corte a A y Ac, tambien corta a la fronterade A. [I] [R]

P.6.21 Sea X un espacio metrico, A,B ⊂ X dos cerrados tales que A ∩ B yA ∪ B son conexos. Pruebe que, entonces, A y B son conexos. Busque uncontraejemplo en R, con la topologıa usual, mostrando que la exigencia deque A y B sean cerrados es necesaria. [I] [R]

P.6.22 Sean A un subconjunto propio de X y B un subconjunto propio de Y .Si X e Y son conexos, demuestre que el conjunto (X × Y ) − (A×B) esconexo. [I] [R]

P.6.23 Un espacio metrico (X, d) es totalmente disconexo si para cada par depuntos distintos x, y ∈ X existen dos subconjuntos G,H ⊂ X separados,tales que x ∈ G e y ∈ H .

(a) Demuestre que el conjuntoQ de los numeros racionales con la distan-cia inducida por la usual de R, es totalmente disconexo.

(b) Demuestre que las componentes conexas de un espacio totalmente dis-conexo son los conjuntos unipuntuales.

P.6.24 (Teorema del punto fijo). Sea f : [0, 1] −→ [0, 1] una aplicacion con-tinua. Demuestre que existe x0 ∈ [0, 1] tal que f(x0) = x0. [R]

P.6.25 (Teorema de Bolzano) Sea f : [a, b] −→ R continua, de manera quef(a) · f(b) < 0. demuestre que existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

P.6.26 Si (X, d) es un espacio metrico, demuestre que X es conexo si, y solosi, para todo A X no vacıo, se cumple que Fr(A) 6= ∅. [I]














P.6.27 Sea (R2, du) y consideremos el conjunto

A = ((0, 1)× (0, 1)) ∪ {(0, q) : q ∈ Q, 0 ≤ q ≤ 1}.

¿Es A conexo? Justifique la respuesta.


Apendices

169

calculo espacios conexos

Documents