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CICLO PRE-UNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-I SEMINARIO Nº 01

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRIA

1. Indique el valor de verdad.

I. Todos los polígonos son conjuntos no convexos

II. Alguna diferencia de dos regiones cuadrangulares no convexas es un conjunto convexo

III. Algunas regiones triangulares en las que se omite el circuncentro son conjuntos convexos

A)VVV B)VVF C)VFV D) FVV E) FFV

2. Indique el valor de verdad:

I. El exterior de un plano es un conjunto II. Una recta L de un plano H separa a

este plano en dos conjuntos H1 y H2

tales que 1 2H H

III. Una región cuadrada, sin dos vértices es un conjunto convexo.

A) FFF B) FVF C) FFV D) VFF E) VVF

3. Indique el valor de verdad:

I. Una región triangular, dos de cuyos lados se han omitido es un conjunto convexo

II. Todos los ángulos son conjuntos no convexos

III. La reunión de dos semirectas opuestas que tienen el mismo origen es un conjunto convexo

A) VVF B) VFF C) FFV D) FVF E) FFF

4. Indique el valor de verdad: I. La intersección de dos semicírculos

siempre es un conjunto convexo II. Una región pentagonal sin dos

vértices siempre es un conjunto no convexo

III. Una región triangular sin una altura es un conjunto no convexo

A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FVF

5. Indique el valor de verdad: I. La reunión de dos semiplanos es un

conjunto convexo II. La intersección de una región

cuadrangular de lados congruentes es siempre un conjunto convexo

III. Dos rectas secantes pueden determinar coplanarmente en un circulo como mínimo un conjunto convexo

A) FVF B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF

6. Indique el valor de verdad : I. El máximo y mínimo número de

conjuntos convexos que se obtienen al intersectar tres circunferencias son 6 y 2

II. Una región poligonal equilátera es un conjunto convexo

III. Tres puntos determinan un conjunto convexo

A) VFF B) VFV C) FVF D) FVV E) VVF

7. Indique el valor de verdad : I. Alguna unión de tres regiones

poligonales no convexas es un conjunto convexo

II. Una región triangular es la intersección de tres conjuntos convexos determinados por los puntos interiores de los ángulos del triángulo

III. La intersección de un conjunto convexo con uno no convexo es un conjunto no convexo

A) VFV B) VVV C) FVV D) FVF E) VVF

8. Indique el valor de verdad :

I. Si M es una región triangular y N es el

ortocentro del triángulo, entonces M–N es un conjunto no convexo

II. La intersección de 3 planos es un conjunto convexo

III. La intersección de dos sectores circulares es un conjunto convexo

A) VVV B) FVF C) VFV D) VFF E) FVV



9. Indique el valor de verdad : I. La semirrecta es un conjunto no

convexo II. Si la intersección de dos conjuntos es

un conjunto no convexo, entonces ninguno de los dos conjuntos es conjunto convexo

III. El exterior de un plano es un conjunto convexo

A) VVV B) VFV C) FVF D) VVF E) FFF

10. Es verdad: I. Toda región triangular es un

conjunto convexo II. El interior de un ángulo es un

conjunto convexo III. La intersección de dos conjuntos

no convexos es un conjunto no convexo

A) I y II B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) I, II y III

11. Dadas las siguientes proposiciones.

¿Cuáles son verdaderas? I. Si al círculo se le extrae un punto

cualquiera entonces siempre queda un conjunto no convexo

II. Si A es un conjunto convexo y B es un conjunto no convexo entonces A – B es un conjunto no convexo

III. Todos los ángulos son conjuntos no convexos

A) Sólo I B) Sólo II C) I, II y III D) Sólo III E) I y II

12. Indique el valor de verdad :

I. La diagonal de un cuadrado divide a su interior en dos regiones

II. Si C es una región circular y T un triángulo tal que TC entonces C–T es una región convexa.

III.Sea L una recta y T un triángulo contenidos en un plano P tal que L T , entonces L y T

determinan una partición de P de 5 elementos.

A) VVV B) VFF C) FVV D) FFV E) FFF

13. De las proposiciones: I. Sean T1 y T2 las regiones

triángulos ABC y ABD; entonces (T1 T2) es un conjunto convexo

II. La intersección de un círculo y un cuadrado, siempre es un conjunto convexo

III. Si la reunión de dos conjuntos de puntos es un conjunto convexo, entonces al menor uno de éstos es un conjunto convexo

¿Cuáles son verdaderas? A) I, II y III B) I y III C) II y III D) Sólo II E) Ninguna

14. Indique el valor de verdad de : I. Ninguna intersección de dos

conjuntos no convexos es un conjunto convexo

II. Alguna reunión de dos conjuntos no convexos es un conjunto convexo

III. Toda diferencia de dos conjuntos no convexos es un conjunto no convexo.

A) VVF B) FVF C)VVF D) FFF E) VVV

15. En la figura, la mABC=40. Calcule Xº.

A) 40 B) 45 C) 50 D) 60 E) 65

B

A C

Xº

º º



16. En un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B, E es el excentro

relativo a AC se traza BM EA . Si BM=2u. Calcule AE (en u)

A) 2 2 B) 2 2 2 C) 4

D) 4 2 E) 4 2 2

17. En un triángulo ABC, las bisectrices:

interior de A y exterior de C, se intersecan en E; las bisectrices de los ángulo ABC y AEC, se intersecan en Q

y determinan los puntos F y J en AC . Demostrar que el triángulo FQJ es isósceles.

18. En el triángulo ABC (AB=BC), D AB

y DE es perpendicular a

AC E en AC . La prolongación de DE

intercepta a un rayo CX que forma con CA un ángulo congruente con el ángulo BCA, en el punto F. Si AD=a y CF=b, calcule BD.

A) a b

2

B)

2b a

2

C)

2a b

2

D) b a

2

E) b 2a

19. En un triángulo ABC, AB=3, AC=11. Si

m ABC 90 . Halle BC, si es el mayor número entero posible. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

20. En el triángulo ABC (recto en B), R, S

y T son puntos de AC , AB y BC respectivamente, tales que : m STB m ACB y m SRA 2m ACB . Si RS=3 y ST=4, halle AC. A) 10 B)11 C)9

D)8 E) 12

21. En el exterior de un triángulo ABC y

relativo al lado BC se ubica el punto P

tal que AB=BC=AP. Si mABC=36 y

mPAC=12, calcule mAPC. A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

22. En el gráfico, halle X en función de A.

A) A

153

B) A

455

C) A

454

D) A

454

E) 45 A

23. En un triángulo PQR se trazan las

bisectrices interiores QE, RF, se

ubica el punto S exterior y relativo a

QR tal que la m QFS 3m SFR, m RES 3m QES, Calcule la

m QPR. Si además m QPR m FSE 180

A) 100 B) 110 C) 90 D) 80 E) 60

24. En un triángulo ABC se traza la bisectriz BD de manera que AB=DC si m BAC=2m BCA entonces la m ABD es: A) 60 B) 45 C) 36 D) 30 E) 22,5

B

F

C

E

D

A

a I

a

b b

X



25. En un triángulo rectángulo ABC, se ubica un punto F interior tal que: AB=BC=FC y m BAF=15°. Halle : m FCA A) 7,5 B) 15 C) 22,5 D) 30 E) 36

26. En un triángulo ABC, mBAC=3mBCA y BC=15. Halle el menor valor entero que puede asumir

AB A) 9 B) 5 C) 8 D) 6 E) 7

27. Se tienen los triángulos ABC y

AMN,donde M AC y B AN, además

MBC NBC; BMN NMC Si

m BAC . Halle la medida del ángulo que determinan las bisectrices exteriores de los ángulos N y C.

A) 904

B) 135

4

C) 125

2

D) 902

E) 135

4

28. Sobre el lado AB de un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se construye un triángulo equilátero ABE, de modo que los puntos E y C se encuentran en el mismo semiplano con respecto a

AB . Si m ABC =20, entonces la m AEC es: A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

29. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), E es un punto exterior relativo a

lado BC . Si m EAC m BCA m ECB 15 , y

AB=K. Halle CE

A) K

3 B)

K

2 C)

K 2

2

D) K 2 E) K 3

30. En un triángulo ABC, recto en B, la

mediatriz de AC intersecta en D a BC . Si

DC=2(BD). Halle la mACB. A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 E) 30

31. En un triángulo equilátero ABC, se ubican

los puntos P en AB y Q en BC de modo

que AP BQ. Halle la medida del ángulo

que determinan AQ y CP.

A) 15 B) 20 C) 30 D) 45 E) 60

32. En un triángulo ABC, se trazan los

segmentos BE y BF en el exterior tales

que ABE CBF y BA=BE, BC=BF; si m ABE= 46, calcule la medida del

ángulo obtuso determinado por AF y CE .

A) 128 B) 132 C) 140 D) 142 E) 134

33. En un triángulo ABC, F es un punto

interior al triángulo, si m BAF=18, m FAC=27, m ACF=45 y AF=BC. Calcule la mFBC. A) 18 B) 27 C) 45 D) 36 E) 54

34. Sea el triángulo ABC con AE y CF

trazados en el exterior estando E y F en el

mismo semiplano con respecto a AC . Si

mBAE = mBCF=90, AE=AB,

BC=CF, EG y FH perpendiculares a la

recta AC G y H AC , GE=7u y

FH=10u, Calcule AC. (en u) A) 15 B) 17 C) 18 D) 16 E) 14

35. En el interior de un triángulo ABC se

ubica un punto P de tal manera que : AB=PC, AP=8, m BAP=m ACP . Halle AC. A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 24



36. En un triángulo equilátero ABC se

trazan las cevianas interiores BL y CN

tal que dichas cevianas interiores determinan un ángulo cuya medida es 60. Si BN=3 y LC=7, calcule AB. A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10

37. En un triángulo ABC, AB= 2.5, BC=8.5, se traza la mediana BM, de tal manera que BM pertenece a los naturales. Halle el menor valor de BM. A) 3 B) 6 C) 4 D) 7 E) 5

38. En un triángulo ABC se traza la

mediana BM, tal que

m MBC 2m MCB , si m BAM 30, calcule mBCM. A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

39. En un triángulo ABC, se traza las

cevianas BD y BE tal que

m BAC 2m EBC, AB=DC=AE,

BD=BE. Halle la mBAC. A) 30 B) 45 C) 60 D) 72 E) 85

40. Se tiene el grafico TAF

1

m TAF m ATF 90,2

1

m TSA m TAS m ATS2

AT=FS. Halle la m AFS .

A) 5 B) 9 C) 15 D) 30 E) 45

41. En un triangulo rectángulo ABC, se traza la ceviana AD, de tal manera que m DAC 2m BAD. Si m BED m DFC 90°, DF=7u. Halle

BE E AD y F AC .

A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4

42. En un triángulo ABC. ,se traza BH

AH BC H AC ,

m ABH m HBC m BAC.

5 3 2

Calcule la mBAC. A) 25 B) 28 C) 30 D) 36 E) 45

43. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto M tal que: AB=AM=MC.

Si m BCM 3 , m CAM 2 y m ABC 13 . Calcule . A) 5 B) 6 C) 10 D) 12 E) 15

44. En un triángulo rectángulo ABC donde

la mB = 90, se ubica un punto M en su interior de manera que: AM BC ,

BM MC y la mMAC= mMCB.

Halle mAMB. A) 80 B) 75 C) 90 D) 120 E) 85

45. Si AQ = BC. Calcule: x

A) 5 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

Xº

54º 24º F

A

S T A

B

C Q



46. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, las bisectrices de los ángulos ABH y HBC intersectando al lado AC en los puntos M y N respectivamente. Si: AB=8u, BC=15u. Halle MN ( en u) A) 3,5 B) 4 C) ,5 D) 6 E) 5,5

47. En un triángulo ABC, se traza la

bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo C se intersectan en E, las bisectrices de los ángulos ABC y AEC se intersectan en

Q e intersecan al lado AC en M y N. Si MN=8cm. Calcule MQ (en cm). A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12


bisectriz exterior BM M AC , L es

mediatriz de BM tal que L BC: P .

Si mBAC=40. Halle mCMP A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60


mediana BM, la m ABM 2m MBC y BC=2BM. Halle la medida del ángulo ABM. A) 60 B) 30 C) 72 D) 36 E) 45

50. En un triángulo ABC isósceles AB=BC se trazan las bisectrices interiores del ángulo A y exterior del ángulo C intersectándose en P, luego se traza

PH perpendicular a BC . Si BH=3 cm.

Halle AC (en cm) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

51. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior del ángulo C y la bisectriz exterior del ángulo A intersectándose en el punto M, por donde se traza una paralela al lado AC intersectando a la bisectriz interior del ángulo A en el punto N y a los lados AB y BC en los puntos P y Q respectivamente. Si: AP=5u, QC=7u. Halle MN. (en u) A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

52. En un triángulo ABC, se trazan las

alturas BE y AF que se intersecan en

H; sean M y N los puntos medios de

AC y BC, las mediatrices de AC y BC se intersecan en O. Demostrar que: BH=2(OM)

53. El ángulo exterior B de un triángulo

ABC mide 50, si las mediatrices de

AB y BC cortan a AC en P y Q. Halle

la mPBQ A) 70 B) 75 C) 80 D) 85 E) 90

54. En un triángulo ABC recto en B, en la

mediatriz de AC se ubica el punto E

exterior al triángulo, se traza EF BC ,

F BC , BF=6u y FC=2u. Si M es el

punto medio de AC y AM=ME.

Calcule AB (en u)

A) 4 B) 4 2 C) 3 6

D) 4 3 E) 8

55. En un triángulo ABC (recto en B),

AE y CF son bisectrices y EM y FN

son perpendiculares a AC

M y N en AC . Si AB=c, BC=a,

AC=b, calcule MN. A) c+a–2b B) c+a–b C) c+b–a D) a+b–c E) c+2a–b



56. En el triángulo ABC, AB=BC, AD es

bisectriz interior y en el triángulo ADC

se traza la bisectriz DM (interior) y

DN(exterior) con N en AC . Si AD=5u, calcule MN (en u) A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) 11

57. En un triángulo ABC, AB <BC, AB=K1,

la recta mediatriz de AC intersecta a

la bisectriz exterior del ángulo B en T.

Se traza TH perpendicular a la

prolongación de AB si BH=K2. Halle BC.

A) 3K1+K2 B)K1+ 2K

2 C) K1+2K2

D) 2K1+K2 E) K1+K2

58. En un triángulo rectángulo ABC

m B 90 , se traza la ceviana AM

tal que MC=2BM. Si m MAC=30.

Halle mBAM. A) 26 B) 30 C) 45 D) 60 E) 37

59. Tres puntos A, B y C son puntos consecutivos de una recta, se construyen los triángulos equiláteros AEB y BFC, siendo E y F puntos de un mismo semiplano respecto de AC. Sean M y N puntos medios de

AF y EC , demostrar que MBN es un triángulo equilátero.

60. Dado un triángulo rectángulo ABC,

recto en B, se construye el triángulo equilátero BFC, sean M y N puntos

medios de AC y BF . Demostrar que:

AFMN

2

61. En un triángulo isósceles ABC,

AB=BC, mB=20, se traza la mediatriz

L de AB y F un punto exterior al

triángulo tal que F L . Si mFCB=30. Calcule la m CBF

A) 20 B) 25 C) 30 D) 32 E) 36

62. En un triángulo rectángulo ABC, en

AC y BC se ubican los puntos D y E respectivamente, de manera que la

mEAB = 1

2mEAC, además que la

m AED m BCA. Si EB=10 cm.

Calcule DE (en cm) A) 15 B) 17 C) 18 D) 20 E) 22

63. Sean los triángulos rectángulos ABC y

ADC (AD=DC) rectos en B y D respectivamente, contenidos en semiplanos distintos con respecto a

AC . Si AB=3u, se traza DH

perpendicular a BC . Calcule DH (en u) A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 4,5

64. En un triángulo isósceles ABC (AB=AC), la m A=80. En el interior del triángulo se ubica el punto M, tal que mMBC=30 y mMCB=10. Halle la mAMC: A) 30 B) 45 C) 60 D) 70 E) 75

65. En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, donde P BC y E AC , se tiene que la m APE m C , m PAC 2m PAB. y BP = 4cm. Halle PE.( en cm) A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12



66. En un triángulo ABC se traza la ceviana

BQ tal que AQ BC , m ABQ=90 y

mBAC=3x, m BCA 2x. Halle x.

A) 15 B) 18 C) 30 D) 45 E) 60

67. En un triángulo ABC recto en A, donde

AB=8u, se traza la mediana BD de manera que la

1

m ABD 45 m BCA.2

Calcule

BC.(en u) A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 36

68. En un polígono regular ABCDEF……

AE y BF determinan un ángulo de

medida 160. Halle el número de lados de dicho polígono regular. A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20

69. ¿Cuántos polígonos equiángulos

convexos existen de modo que la medida de su ángulo interno en grados sexagesimales esta representado por un número entero? A) 20 B)21 C)22 D)23 E)24

70. Se tienen dos polígonos regulares cuyos

números de diagonales se diferencia en 342 y cuyas medidas de sus ángulos centrales están en la relación como 2 es a 3. Halle la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

71. En un polígono regular, al disminuir en 10

la medida de cada ángulo interior, resulta otro polígono regular que tiene 81 diagonales menos. Halle la medida del ángulo exterior del primer polígono.

A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30

72. Si el número de lados de un polígono regular se incrementa en a, la medida

del ángulo exterior se reduce en 33a

4

grados. Calcule la suma de los números de lados inicial y final del polígono citado.

A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 18

73. Si: a+b+c+d = 3x e+f+g= 5x h+i+j = 4x Halle: x

A) 60 B) 40 C) 45 D) 50 E) 70

74. En un polígono regular ABCDEF……

de n lados, la mACE=135. Calcule el número de diagonales medias. A) 78 B)91 C) 105 D) 120 E) 136

75. En un polígono regular ABCDEF …. de

n lados, halle la medida del ángulo que

determinan AC y BD

A) 30° B)180

n C)

180(n 2)

n

D) 360

n E)

90 (n 2)

n

j° i°

h°

g°

f°

e° d° c°

b°

a°



76. En un polígono convexo de n lados, halle el número de diagonales medias sin considerar aquellas que unen los puntos medios de lados consecutivos del polígono.

A) n

2 B)

n(n 2)

3

C) n(n 1)

2

D)

n(n 3)

2

E) n(n 1)

2

77. Halle el número de lados de dos

polígonos regulares, siendo la diferencia del número de lados 2 y la diferencia de las medidas de los ángulos exteriores 6 A) 4 y 6 B) 5 y 7 C) 6 y 8 D) 7 y 9 E) 10 y 12

78. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es el doble del número de diagonales de otro polígono que tiene tres lados menos. A) Cuadrado B) Hexágono C) Octágono D) Decágono E) Dodecágono

79. Al multiplicar por K el número de lados de un polígono convexo, su número de diagonales queda multiplicado por 6K. Halle el número de diagonales de dicho polígono.

A) 10 B) 30 C) 60 D) 80 E) 90

80. En un polígono regular, al disminuir en10

a la medida del ángulo interior, se obtiene la medida del ángulo interior de otro polígono regular cuyo número de lados es

2

3 del número de lados del polígono

inicial. Halle el número de lados del polígono inicial.

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

81. Si se aumenta en 10, el número de lados n de un polígono regular, su ángulo interior se incrementa en 3°. Halle la suma de las medidas de los ángulos interiores de la estrella formada al prolongar los lados del polígono original. A) 4650 B) 4680 C) 4710 D) 4800 E) 5000

82. Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide (P+15) veces el valor del ángulo exterior; y además se sabe que el número de diagonales es 135P. A) 10 B) 18 C) 36 D) 90 E) 125

83. Las medidas de los ángulos interiores de un pentágono convexo está en progresión aritmética. Si la razón de la progresión es el mayor valor entero. Calcule la medida del menor ángulo del pentágono. A) 31 B) 32 C) 36 D) 38 E) 43

84. Halle el mínimo valor entero de la medida del menor de los ángulos internos de un pentágono que está en progresión aritmética. A) 1 B) 2 C) 37 D) 38 E) 45

85. En un polígono convexo de n lados par, al aumentar el número de lados en 4, el número de diagonales trazadas desde vértices no consecutivos aumenta en 33. Halle el número total de segmentos trazados desde los puntos medios no consecutivos. A) 88 B) 96 C) 92 D) 94 E) 104



86. En un polígono convexo de n lados (n>4), las prolongaciones de los lados determinan un conjunto de ángulos. Si la razón entre la suma de medidas de dichos ángulos y la suma de medidas de los ángulos

internos del polígono dado es 67

,

halle el número de diagonales del polígono. A) 65 B) 77 C) 90 D) 104 E) 119

87. Desde (n–5) lados consecutivos de un polígono de n lados se trazan (6n+5) diagonales medias. Calcule el número total de diagonales de este polígono. A) 65 B) 77 C) 90 D) 104 E) 119

88. Desde (n–4) vértices consecutivos de un polígono convexo de n lados, se trazan (4n+3) diagonales. Calcule n. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

89. Desde n

2 vértices consecutivos de

un polígono convexo de n lados se

trazan (2n

44 ) diagonales. Halle el

número de diagonales medias del polígono. A) 36 B) 45 C) 55 D) 66 E) 78

90. En un polígono regular ABCD …….,

las prolongaciones de AB y ED

determinan un ángulo de medida 126. Halle cuántas diagonales se pueden trazar desde 8 vértices consecutivos. A) 108 B) 100 C) 106 D) 112 E) 110

91. En la figura M, N y F son puntos medios de los lados del triángulo ABC, ME=a, FD=b, NL=c. Calcule BQ

A) a +b+c B) a+b – c C) a –b+c D) 2a–b–c E) 2 a+b – c

92. En un cuadrilátero FGST la m TFS m GSF m FTS 15 , la

mFGT=90. Calcule la mGFS. A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 35 E) 45

93. En un cuadrilátero convexo ABCD, la m ABC=m ADC=90. Si AD=DC,

AB=a, BC=b, DH es perpendicular a

BC (HBC ). Halle DH. A) a+b B) 2a–b C) 2b–a

D) a b

2

E)

a b

4

94. En un cuadrilátero ABCD:

AB=CB=BD, m BAD 3 m BCD 2 y

m ADC 3

m ABC 2

. Halle m D m B .

A) 10 B) 30 C) 45 D) 60 E) 72

95. Se tiene el cuadrilátero ABCD, de diagonales perpendiculares, si la m BAC 20 , la m DAC 10 , la

m BCA 50 . Halle la mBDC. A) 60 B) 50 C) 30 D) 40 E) 45

L

N M

B

A

D

C

E

F

Q



96. En un cuadrilátero ABCD se cumple

que AB AD , la m BAD 60 , m CAD 14 , m BCA 30 , halle la

m BDC . A) 90 B) 88 C) 92 D) 86 E) 94

97. En un cuadrilátero convexo ABCD se

cumple AB BC , AC AD ,

m CBD m BAC m CAD

9 2 6

.

Halle mBDC A) 42 B) 48 C) 52 D) 36 E) 44

98. En un cuadrilátero convexo se

cumple que BC CD,

m BCA 2m CBD y AB BD .

Halle el menor valor entero de m ABD , si m BDC 34 . A) 48 B) 50 C) 36 D) 45 E) 24

99. En un cuadrilátero RTSF la

m TRS m FRS 12 , m TSR 39 , m RSD 18 , se

ubica en RS el punto H de modo que m THS 90 , HS=2u. Calcule FS

(en u) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

100. Decir cuales son verdaderos I. Si las diagonales de un

cuadrilátero son perpendiculares y congruentes el cuadrilátero es un cuadrado.

II. Si las diagonales de un trapecio son congruentes el trapecio es isósceles

III. Las bisectrices interiores de un romboide determina un rectángulo

A) I, II B) I, III C)II, III D) Solo I E) I, II, III

101. Exteriormente a un triángulo acutángulo ABC se dibujan

cuadrados de lados AB, BC y AC

cuyos centros son D, E y F respectivamente. Si DE=6 cm. Halle BF (en cm). A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

102. Se tiene un triángulo ABC, se construyen los cuadrados ABEF, BCLJ y ACPQ exteriores al triángulo y de centros O1, O2 y O3 respectivamente. Demostrar que :

1 2 3O O BO y 1 2 3O O BO

103. En un cuadrado ABCD en su interior

se ubica el punto F tal que: AB=BF, mAFD = 75, calcule la mFBD. A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

104. En la figura se muestra dos pentágonos regulares. Halle X.

A) 60 B) 72 C) 75 D) 78 E) 80

105. Sea el paralelogramo ABCD: AB=2X–Y, BC=3X+Y2, CD=X+Y y AD=X+2Y2. Halle el perímetro. A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104

X



106. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden a y b (a>b); se trazan las bisectrices exteriores, formándose un nuevo cuadrilátero. Halle la longitud de una de las diagonales del nuevo cuadrilátero.

A) a b

2

B) a+b C) 2(a+b)

D) a+2b E) a b 2

107. En un paralelogramo ABCD, M es

punto medio de

AB y DH MC H MC , P y Q son

puntos medios de AD y DH . Si

BC= 36u.. Halle PQ. (en u) A) 16 B) 18 C) 20 D) 17.5 E) 17

108. En un trapecio las diagonales miden 8cm y 12 cm. Calcule el máximo valor entero de la mediana. (en cm) A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

109. En un trapecio rectángulo ABCD (ángulos rectos en A y D) las bisectrices interiores de B y C interceptan en E. Desde E se traza

EF perpendicular a AD F en AD ; si

la mediana mide 10u y BC mide 17, halle EF. (en u) A) 1,2 B) 1,8 C) 1,6 D) 1,5 E) 2

110. Se tiene un trapecio ABCD en el cual las bisectrices interiores de B y C se interceptan en P. Las bisectrices exteriores de los mismos ángulos se interceptan en Q. Halle PQ (en u) si

las bases AB y CD miden 4 y 10u

respectivamente BP // AD

A) 5,0 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7,0

111. En la siguiente figura RSTV es paralelogramo y ARS y STB son triángulos equiláteros. Calcule m AVB .

A) 45 B) 75 C) 60 D) 53 E)72

S T

R

A V

B


CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA - 13 -

TRIGONOMETRÍA

01. Si se sabe que 25 grados de un sistema N equivalen a 30º, determine una fórmula de conversión entre el sistema N y el sistema radial.

A) N R

150

B) N R

180 25

C) N R

30

D) N R

150 2

E) N R

180 2

02. Si rad32

o aºb’c’’ son la medida de un

mismo ángulo, expresar en radianes la siguiente medida (a + b – c)º.

A) 3

B)

4

C)

10

D) 12

E)

15

03. Si 27º27’ < > g m

3A 5B , halle el valor de: 2A + B. A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

04. Si un ángulo mide

' "aºa' a'a''

a' a''

y se

puede expresar como xº y’ z’’, entonces al transformar a radianes (x + 2y + z)º se obtiene.

A) rad30

B) rad

60

C)

2rad

35

D) 2

rad41

E) rad

35

05. Si g g

m

wº 10 w 9º

18' 50

, entonces el valor

de w es: A) 16,4 B) 24,7 C) 37,5 D) 43,6 E) 58,8

06. De la figura mostrada, calcule 375a

4b

A) 5

6 B)

4

6 C) –1

D) –4

6 E) –

5

6

07. En la figura mostrada OD es un rayo móvil, contenido en el plano que

contiene los rayos fijos OA y OB . Sean

y las medidas sexagesimal y centesimal variables según la variación

del rayo OD . Luego la alternativa incorrecta es:

225º

A) º – g = 135º

B) 10 – 9 = 1350

C) ( + 45)9 = ( + 400)10

D) ( – 45)10 = ( + 100)9

E) 10 + 9 = 1350

b” am

0

g º

B

A

D



08. Se mide un ángulo en los tres sistemas

de medición angular convencional, tal que se cumple la siguiente ecuación:

23 3 33S 100C R 26 0,1

400

, halle

S + C. A) 144 B) 148 C) 152 D) 156 E) 160

09. El suplemento de un ángulo es

134.874º, si dicho ángulo es representado en el sistema centesimal

como AgBm. Determine A + B. A) 181 B) 64 C) 59 D) 54 E) 49

10. Si S y C son el número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo y además:

C S x SC

C S 3

Calcule el valor de x para que dicho

ángulo mida 0,125 rad.

A) 1

5 B)

2

5 C)

3

5

D) 4

5 E) 1

11. Sean S, C y R los números que

representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente si se cumple:

2 2S C(C S) S(C S) ,halle 10

E R9

A) 384

B)

3840

C)

3420

D) 3220

E)

3110

12. Los ángulos A y B son suplementarios

y miden xº y (10 + x)g respectivamente.

Halle la medida en radianes de uno de los ángulos.

A) 6

B)

5

C)

4

D) 3

E)

2

13. Si S, C y R son los números que representan las medidas de un mismo ángulo, en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente; halle la medida del ángulo en radianes, si se cumple:

2 2

2 2

C CS 2S 19R

2S CS C

A) 7

B)

2

7

C)

3

7

D) 4

7

E)

5

7

14. De la figura, determine el valor de la

expresión: E = 114 – A) 120 B) 180 C) 240 D) 300 E) 360

15. La mitad del número que expresa su medida en grados sexagesimales de un ángulo excede en 52 a cinco veces el número que expresa su medida en radianes. Halle el número que expresa su medida en grados centesimales

considerando aproximadamente igual a 22/7. A) 120 B) 140 C) 150 D) 170 E) 200

( – 4)º

(– )g

’



16. Siendo R el número de radianes (R >1) de un ángulo que cumpla la siguiente igualdad:

1

R 1 2R 1

Halle la medida de dicho ángulo en el sistema sexagesimal.

A) 90

B)180

C) 360

D) 180

E) 360

17. Calcule R en radianes si se cumple:

22 2 2

2

S C R S1

12R S C R(S C R)

2 2C R

1 1S C R S C R

Donde S, C y R son las medidas usuales del mismo ángulo

A) 120

B)

60

C)

40

D) 30

E)

5

120

18. Determine la medida de un ángulo en

radianes, sabiendo que es la menor posible, si se cumple la relación :

2 2a 10ab bC S

ab

; a, b 0 donde

C y S son los números que representan al ángulo en los sistemas centesimales y sexagesimales, respectivamente.

A) 5

B)

2

5

C)

3

5

D) 4

5

E)

3

10

19. Si S, C y R son las medidas

(en grados sexagesimales, grados centesimales y radianes) del ángulo central del sector circular AOB y COD donde,

AB CDL C, L S y

AC = BD = 2R, entonces la medida de

, en radianes, es:

A) 5

B)

10

C)

5

D) 10

E) 1

20. En la figura mostrada, OC = OD = r,

OA = OB = R, mCOD = 1 radián, halle

perímetro del trapecio circulark

perímetro del sec tor circular COD

A) 2

3 B) 1 C)

4

3

D) 3 2 1

3

E) 2

21. De la figura mostrada, determine el

valor de: ay by

Max bz

A) 1

2 B) 1 C) 2

D) 1

3 E) 3

A

B

C

D

0

B

A

D

C

0 S S

x

a

z y

b



22. Se tienen tres poleas de radio 1u, 2u y 3u respectivamente en un mismo plano, cuyos centros forman un triángulo equilátero cuya longitud es 29u. Además dichas poleas se encuentran conectadas por una faja. Si la polea de radio 3u da 3 vueltas, halle la suma de los ángulos girados por las otras poleas.

A) 18 rad B) 9 rad C) 12 rad

D) 24 rad E) 27 rad

23. En la figura mostrada, determine el perímetro de la región sombreada ABCD.

A) R

6

B)

R

3

C)

5R

6

D) 5R

3

E)

7R

6

24. Dos ruedas de radios R y r (R > r)

recorren la misma longitud L. Si la diferencia del número de vueltas de la menor y la mayor es L/8r. Calcule

2r 1 Rr4

MRr

A) –1 B) 4

C) 0

D) 1

2 E) 2

25. Si r = 4u y R = 8u, calcule el ángulo

que barre la rueda de radio R cuando la rueda de radio r barre un ángulo de 5

rad3

.

A) 5rad B) 10

rad3

C)

5rad

6

D) 5

rad12

E)

5rad

18

26. Se tiene un sistema de engranajes

como el mostrado en la figura. Los centros de las ruedas se encuentran en líneas rectas (de A a B, de B a C y de C a D). Solo se tienen ruedas de diámetros 10 cm y 5 cm. Si la rueda A

gira un ángulo de rad4

. Se pide

determinar cuánto gira la rueda D (en radianes).

A) 2

B)

8

C)

4

D) 16

E)

27. En la figura mostrada, el elemento

circular 2, rueda por sobre el plano inclinado (sin resbalar) a razón de 10 RPM. El elemento circular 1, puede girar, pero no desplazarse ambos elementos circulares tienen enrollado un mismo cable que los conecta. Si r2 = 3r1, halle la velocidad de giro del elemento circular 1, en RPM.

R

A

B

D

C

R

rº

A

B

D

C

/4



A) 10 B) 30 C) 60 D) 90 E) 120 28. Una bicicleta en un circuito circular

recorre un ángulo central del circuito

igual a 2

rad3

y su rueda barre un

ángulo de 64 rad. Calcule cuál es el radio del circuito en m si el radio de la rueda es de 0,125 m. A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

29. Dos ruedas cuyos radios miden 15m y 3m recorren espacios iguales ¿cuánto debe medir el radio de una tercera rueda, para que recorriendo el doble del espacio de las anteriores realice como número de vueltas, cinco veces la diferencia de las otras dos. A) 1m B) 1,25 m C) 1,5 m D) 1,75 m E) 2m

30. En la figura mostrada; AOB, BMC y CND son sectores circulares, tales

que MC OB

DN2 4

; OA = OB,

OM = MB, MN = NC. Si mAOB =

mBMC = 30º; mDNC = 2mAOB; y

la longitud de los arcos ABCD es 3

metros; halle (en cm) la medida de

OA .

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 31. Un rollo de papel, cuyo diámetro

exterior es 30cm; tiene 500 vueltas, fuertemente enrolladas en un cilindro de 10cm de diámetro. Calcule la longitud (en metros) que tiene el papel.

A) 120 B) 200 C) 150

D) 100 E) 90

32. En la figura mostrada, mABC = 80º; halle aproximadamente la distancia (en metros) recorrida por el centro de la rueda en ir desde el punto A hasta el punto C. El radio de la rueda mide 15

cm

, y en el tramo AB la rueda da

seis vueltas y en el tramo BC da cuatro vueltas.

A) 3,08 B) 3,24 C) 3,66 D) 3,98 E) 4,02

r2

r1

A

BB

C

N

M

O

D

B

A

C



33. Sean los sectores circulares AOB y COD. Si la región AOB tiene un área de Au2 y la región ACDB tiene de área 2Au2. Halle el área (en u2) de la región

AOB, si OA = 3u y la longitud de CD

es 8u. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

34. Calcule el área de la superficie sombreada, si A es el centro del sector circular BAE y ABCD es un rectángulo.

A) 1

4 3 36

B) 1

2 3 33

C) 1

3 2 36

D) 1

3 2 26

E) 1

2 3 26

35. Del gráfico mostrado, el área de la

región sombreada es igual al área de la región no sombreada, además la

longitud del arco AB es 4u. Halle la

longitud del arco DC (en u).

A) 3 2 B) 4 2 C) 6

D) 6 2 E) 8

36. Un sector circular de ángulo central radianes tiene un área igual a la de un triángulo rectángulo isósceles. Si sus perímetros son también iguales,

calcule: 4

E

A) 4 + 2 2 B) 2 + 4 2

C) 6 - 2 2 D) 4 – 2 2

E) 6 + 2 2

37. En una semicircunferencia AOB de centro O se traza el sector circular BOC con un ángulo central de 120º y considerando como centro B se traza

otro sector circular CBD (D en AB ). Halle el área de la región ACD si AO = 2 cm.

A) 23 cm3

B) 23 cm

3

C) 23 cm12

D) 22

3 cm3

E) 23 3 cm

38. AOB y COD son sectores circulares. Si OC = CB, el área de la región COD es

1u2 y m1

CD2

u. Entonces el perímetro

del sector COD es al perímetro de sector AOB como:

A) 17

36 B)

15

36 C)

1

2

D) 3

7 E)

5

11

B C

2

E

1

D A

A

0

B

C

D

C 0

D

A

B

2



39. En el gráfico mostrado las áreas de las regiones sombreadas son S1 y S2 y

cumplen S1 + S2 = 15 u2. Calcule el área de la región no sombreada (en u2). Si AB = BC = CD = DC = 3u.

A) 3 B) 6 C) 9

D) 12 E) 12 40. En la figura mostrada, COA y

FOD son sectores circulares;

OD = 1u; DA = 2u; m(AB) = 6u;

mEOD = 2mFOE. Calcule (en u2) el área de la región sombreada.

A) 7

2 B) 4 C)

9

2

D) 5 E) 6 41. Determine el área máxima, en m2, de

un sector circular cuyo perímetro es 20m. A) 2m2 B) 4m2 C) 8m2 D) 16m2 E) 25m2

42. Si cos(x + 20º) = sen(3x + 10º);

x 0º; 26º] entonces al calcular el valor de F = sec4x + 4sen22x – tg3x, se obtiene: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

43. Con ayuda de la figura mostrada

calcule: sec x tgx

Qctgx csc x

A) 15

2 B)

3

10 C) 6

D) – 6 E) –15

2

44. Si 2 0; /2 y tg(2) = 12/5,

entonces tg, es:

A) 1

3 B)

2

3 C)

4

3

D) 5

13 E)

12

13

45. Si 0 < x < 4

; además 8 sen2x = 1,

entonces al calcular:

F = sen(45º + x) + 7 ctg(45º – x) se obtiene:

A) 9

17 B)

7

3 C)

7

4

D) 9

4 E)

15

4

46. Se tiene un triángulo ABC, en el cual

se trazan las alturas AD y CF

cortándose en el punto H, de modo que AH = 3HD, halle tgB.tgC. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

S2 S1

A B

C D C

0 E

F

D

A

C

B

n – 1 2n + 1

x

2n



47. De la figura mostrada mABC = 90º,

mABD = , AB = x, BC = P; BD = q. Calcule x.

A) pqcos

p qsen

B)

pqsen

q pcos

C) pqcos

q psen

D)

pqcos

q psen

E) pq

psen qcos

48. Halle x–1 de la figura, si ABCD es un rectángulo

3

A) 11

9 B)

13

9 C)

15

9

D) 17

9 E)

19

9

49. De la figura mostrada, calcule tg, si AM = MC

A) 1

3 B)

2

3 C)

3

2

D) 3 E) 4

3

50. En la figura mostrada ABCD es un

cuadrado y ME CE . Halle el valor de: M = tgx – 2tg(x – y)

A) 1

2 B) 1 C)

3

2

D) 2 E) 5

2

51. En la figura si: AB = BC = AC = 4u y

CD = 6u, halle tg.

A) 3 3

2 B)

3 3

5 C)

3 3

7

D) 3

7 E)

3

5

52. Encuentre el área del rectángulo más

grande que se pueda inscribir en una circunferencia dada con radio R.

Considere sen2 = 2sen cos. A) R2 B) 3R2/2 C) 2R2

D) 3 R2 E) 5R2/2

B

D A C

1

3

1

37º

M

y

A P E

B C

x

B

C

D

A

x

B

C A M



53. En la figura, se tiene que ABCD es un cuadrado. Determine el valor de

E = ctg + ctg, M punto medio de CD

A) 1

2 B)

1

3 C)

1

6

D) 5

6 E) 5

54. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en A), determine: E = (b2 + c2) sen(B – C) – (b2 – c2) sen(B + C)

sug….cos2 = cos2 – sen2 A) 2b2 B) 2 C) 1 D) 2c2 E) 0

55. En la figura mostrada, las áreas de las regiones planas BDC, DFE y ABDF

son iguales, mBCD = . Determine

cos.

A) 2 1 B) 5 1 C) 2 1

D) 3 1 E) 3 1

56. En la figura, el cuadrado ABCD contiene al cuadrante ABC. Si

EB = 1

4

CE, halle 41sen.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

57. De la figura BD DC , halle ctgy

A) 2ctgz – ctgx B) 2ctgz + 2tgx C) 2tgz – tgx D) 2tgz + tgx E) 2tgz + 3tgx 58. En la figura mostrada, halle la medida

de BD en metros, si AB = (3 + 4 3 )m.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

D C

B

A F E

D A

C E B

D

C

B A 37º

30º

B C

A D

M

C

D

B A

y

z

x



59. Calcule el valor aproximado de

W 7ctg41º 50

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

60. De la figura mostrada si; AB = 2u,

DE = 2BC, halle tg, sabiendo además que AE es de longitud mínima

A) 3

4 B)

3

3 C)

3

2

D) 3

1 E) 3 3

61. En la figura BM es mediana.

Determinar sec2.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

62. Los triángulos ABC y ADC tienen un

lado común AC . Si se sabe que

BE = DE = AC

2, DC = m, mDAC = y

mBCA = ; se le pide determinar la distancia entre los puntos B y D.

A) m

2csc sen( + )

B) m

2sec sen( + )

C) m csc cos( + )

D) m sec cos( + )

E) m csc sen( + )

63. En la figura mostrada, AD = 12u, BD = 8u, 3(AB) = 4(BC); mBCD = 90º;

mCBD = . Halle el valor numérico

de F = 6 23 tg – 8 2 cos.

A) 20 B) 30 C) 40 D) 45 E) 50

64. En el triángulo ABC, si mBAD =

mBCA = , m DAC = y AB = a, determine DC.

M

B

A

15º 30º

C

B

D

A E C

D

C A B

A

B D

C

E A D

B C



A) a [tg + tg( + )]

B) a[tg – tg( + )]

C) a [tg( + ) + ctg( + )]

D) a[ctg – ctg( + )]

E) a[ctg( + ) – ctg]

65. Con ayuda de la figura mostrada si

AB = 3BC, calcule E = tg + 1, M

punto medio de AD .

A) 1

6 B)

1

3 C)

1

2

D) 2

3 E)

7

6

66. En la siguiente figura, halle cos,

sabiendo que : AB = AP = 2 2 mt

AD = DC = 6 2

A) 6 2

4

B)

6 2

4

C)

3

2

D) 1

2 E)

5 1

4

67. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en B) se traza la bisectriz AD relativa al

lado BC . Si AD = m, halle tg A

4 en

función de los lados del triángulo.

A) 2m

(a b)(a c) B)

ac

(b c)(m c)

C) ab

(b c)(m c) D)

2m

(m c)(b c)

E) ab

(a c)(m c)

68. Desde el pie de un poste, se observa

la parte más alta de un campanario con ángulo de 45º; si desde la parte superior del poste, que tiene 9m de altura, el ángulo de elevación es altura de 30º. ¿Cuál es la altura del campanario?

A) 9 3

2 B)

7 2

1 2 C)

5 3

2

D) 9 3

3 1 E)

9 3

3 1

69. Un hombre mide 1,70m de estatura y

observa su sombra a las 4 de la tarde. Asumiendo que amanece a las 6.00 am y que el sol hace un semicírculo sobre el hombre ¿cuánto mide su sombra? A) 1,54m B) 1,67m C) 2,00m D) 2,55m E) 2,94m

70. Un soldado, tirado en el suelo observa un pedestal de 12m de altura, este sostiene un monumento de 13m de altura. ¿A qué distancia (en m) del pedestal se debe colocar el soldado para ver el pedestal y el monumento con ángulos de observación iguales? A) 40m B) 50m C) 60m D) 64m E) 72m

B A

P

D C

A B

C D

M



71. Dos botes son observados desde lo

alto de un faro en la misma dirección y en el mismo plano vertical que contiene al faro. El bote más cercano

se observa con ángulo de depresión º y el otro con ángulo de depresión de 37º. Si la altura del faro es de 25m, ambos botes están separados por 20m y el faro esta a 15m sobre el

nivel del mar, halle el valor de tg.

A) 4

5 B)

5

4 C)

6

5

D) 5

6 E)

7

6

72. Desde la parte superior de un edificio

de 17.3 metros de altura se observa un auto que se aleja primero con una depresión angular de 75º y después de 15 segundos con una depresión angular de 15º. Halle la velocidad del auto en metros por segundo. A) 2 m/s B) 4 m/s C) 5 m/s D) 6 m/s E) 8 m/s

73. Un árbol quebrado por el viento forma de un triángulo rectángulo con el suelo. ¿Cuál era la altura del árbol, si la parte que ha caído hacia el suelo forma con este un ángulo de 30º y la parte que ha quedado en pie tiene una altura de 20m? A) 35m B) 40m C) 45m D) 50m E) 60m

74. Una torre de 15m de altura está en el borde de un acantilado. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del acantilado, las elevaciones angulares de las partes superior e inferior de la torre, se

observa que son y , siendo

tg = 1,26 y tg = 1,185. Hállese la altura del acantilado. A) 227m B) 237m C) 247m D) 257m E) 273m

75. Si sen()= – sen(), cos() – sen()=

sen – cos() y sen() + cos() =

m – sen(). Halle tg2().

A) 2

1

m B)

1

m C)

2

2

1 m

m

D) 1

m E)

3

1

m

76. Del gráfico mostrado halle:

F = 25[sen(–) + cos(–)] + 24 tg(–) A) –38 B) – 24 C) – 21 D) 21 E) 38

77. Si sen = 1

3 IIC, halle el valor

de: M = tg – sec.

A) 2 B) 2

2 C) – 2

D) –2

2 E) 1

78. Si sec = – 5 y tg > 0, halle

2(tg + ctg). A) 3 B) – 4 C) 4 D) – 5 E) 5

79. Si se cumple:

cos3() – 27 sen3() = 0; IIC.

Calcule: 2 3

Psen( ) 2cos( )

A) 10

6 B)

3 10

4 C)

10

4

D) 10

5 E)

3 10

2

(–7; –24)

y

x



80. Si cos = – cos, tg = tg(–),

sen() = 1/3, halle el valor de

2 2 (sec – ctg). A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

81. En la figura mostrada se tiene al

ángulo en posición normal. Calcule el valor numérico de:

F = 2 tg + 6 10 (sen + cos)

A) – 6 B) 6 C) 12 D) 18 E) 20

82. Si 0º < < 360º; 0º < < 360º;

3sen 1 cos tg

4

, calcule

J 2sen( ) cos2

.

A) –1 B) 0 C) – 2

2

D) 1 E) 2 83. Del gráfico mostrado halle:

S = sen + tg.

A) –7

5 B) –

5

7 C) –

2

5

D) 5

7 E)

6

5

84. De la figura, si AM = MB, halle

E = sec csc – sen.

A) 160

61 B) –

160

61 C)

161

60

D) –161

60 E) 161

85. De la figura mostrada, P = (–16; –12).

Halle: W = tg – 3 ctg, CQ paralelo al eje y.

A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) – 2 86. De la figura mostrada, AO = OB;

C = (9; – 6) y G es el baricentro del triángulo ABC. Calcule:

sec senw

csc cos

y = – 3x

y

x

P(–3, –4)

y

x

Q(5, –3)

A (–8, 0)

y

x 0

M

y

x 0

R C

P

B (0, – 6)

Q



A) – 1/2 B) – 2/3 C) – 3/4 D) – 4/5 E) – 5/6 87. En la figura, halle el radio de la

circunferencia con centro en B, en

términos de m y .

A)

mtg

1 tg

B)

m(1 tg )

tg

C)

mtg

1 tg

D)

m(tg 1)

m 1

E) tg .(m 1)

m

88. En la figura mostrada las coordenadas

del punto A son (–2; 3). Calcule el valor numérico de:

F = 6 tg() – 13 cos2()

A) – 26 B) – 13 C) – 5 D) 5 E) 13

89. De la figura: A = (0; 4) B = (8; 5) C = (7; 0) G : baricentro, de la región triangular

ABC. Halle tg(). A) – 5/3 B) – 3/5 C) – 3/4 D) – 4/3 E) – 2

90. En la figura mostrada, AN = 3NB y las coordenadas del punto N son (a, 0). Si el valor del área del triángulo OAB es

a2, halle tg().

A) –3

2 B) –

2

3 C)

1

3

D) 2

3 E)

3

2

0

y

x

B

A C

G

(m; 0)

y

x

B

y

x

A

0

y A

N

B

x

G

y

x

B

C

A

0



91. De la figura, si tg = – 5

12 y

sen = – 10

13, halle un valor aproximado

de tg.

A) 0,492 B) 0,429 C) 0,942 D) 0,246 E) 0,294 92. Dada la circunferencia, cuyo centro (P)

se encuentra en el eje x. Si OA = 3HA, se le pide que determine

tg.

A) – 3 B) – 2 C) – 2

3

D) – 2

2 E) –

3

3

93. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en B), si: AC = 2AO

BC = 2CD y mBDC = 90º. Se pide

determinar tg.

A) 2 B) 2

2 C) 3

D) 3

3 E)

3

2

94. En la figura mostrada OPQ es un

triángulo rectángulo (recto en P) y M es

punto medio. Determine ctg tg

Ectg

A) 1 B) – 1 C) 2 D) –2 E) 3

95. De la figura mostrada, halle ctg, si:

DP PC .

y

x

y

0 x

P H A

0

y

x

B

A C

D

P

M

Q O

y

D

P

0

B

A

C

C



A) – 2

3 B)

2

3 C)

3

2

D) – 3

2 E) –1

96. Si f(x) = ctg cosx, – 3

x4 4

,

halle la variación de f.

A) ctg1; +

B) – ; ctg1]

C) [ctg1; + D) [0; ctg1]

E) 0; ctg1]

97. Si y son dos ángulos coterminales y pertenecen al IIIC, entonces al simplificar:

sen sen tgE

cos .cos tg

, se obtiene:

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

98. Se tiene un ángulo en posición normal que verifica las siguientes condiciones:

i. cos= –cos

ii. tg = tg

iii. sen = 5

3

Halle M = 5 cos + 9cos

A) –11 B) –10 C) – 9 D) – 8 E) – 6

99. Halle el signo de la expresión E, en los

cuatro cuadrantes:

(1 cos sen sen cos )sen cosE

(1 cos sen sen cos )

A) +; +; +; + B) –; –; –; – C) –; +; –; + D) +; –; +; – E) +; +; –; –

100. En la circunferencia trigonométrica mostrada, halle la distancia entre los

puntos P y Q. (m ABP = ).

A) cos B) sen

C) cos2 + sen2 D) sen + cos

E) 2 101. En la circunferencia trigonométrica

mostrada, mAP , mAQ , luego el

área de la región triangular OPQ, es:

A) sen

3 2

B) sen

2 2

C) sen

2 D)

sen

2 2

E) 2sen( – )

102. Dado que:

(2cos – 1)(cosx – senx) = senx + cosx y

es del IVC, entonces podemos afirmar que x pertenece:

A) solo al IC B) solo al IIC C) solo al IIIC D) solo al IVC E) Al IIC ó IVC

y

0 x

Q

A

P

B

y

0 x

Q

A

P

B



103. En la circunferencia trigonométrica que se muestra, halle el área de la región triangular OA’T, en u2.

A) 1

2 B)

1

2sen C)

1

2tg

D) sen E) tg 104. En la circunferencia trigonométrica

mostrada mAP , mAQ 2 , halle el

área de la región triangular OPQ. Dato:

sen( – ) = sen cos – sen cos.

A) cos B) sen C) cos2

D) (1/2)cos E) (1/2)sen

105. En la circunferencia trigonométrica

mostrada, mOAB . Determine el área de la región triangular ABC.

A) cos B) – sen C) – cos

D) – cos E) –sen – cos

106. En la circunferencia trigonométrica

adjunto m(AB'P) , se pide, hallar el

área de la región triangular PQA’.

A) sen + tg B) 0,5(sen + tg)

C) sen + sec D)0,5(sen+sec)

E) sec + tg

T

y

0 x

A’ y

0’ x

A

D

C

B

B

0

B’

A Q

P

A’

y

0 x

A

Q

P



107. En la circunferencia trigonométrica, mostrada, halle el área del cuadrilátero mostrado.

A) 0,5(tg + csc + 2)

B) 0,5(csc – tg – ctg

C) 0,5(tg + ctg – csc)

D) 0,5(–sen – cos + tg)

E) 0,5(sen + cos – ctg)

108. Analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

I. sen30º < sen(/6)

II. cos(cosx) cosx, x R

III. cscx > ctgx A) VVV B) VFF C) FFV D) VFV E) FFF

109. Calcule el área de la región

triangular sombreada: PA’T, la circunferencia es la trigonométrica.

A) 0,5tg B) 0,5(cos + sen + 1)

C) 0,5(cos + tg) D) –0,5 tg

E) –0,5(cos – tg) 110. En la circunferencia trigonométrica

calcule el valor del área de la región

sombreada. Si mAP = , mPTA= 90º

A) 2 2

B)

2 4

C) sen

2

D) sen2 4

E) sen

2 2

111. Si 4

, calcule:

csc 73 .ctg 65 .ctg 4172 2 2

F35

cos .sen 27 .tg 1112 2 2

A) – 8 2 B) – 4 2 C) – 2 2

D) 2 2 E) 2 112. Si:

sen = – 3

5 IIIC

cos = – 5

13 IIC

y

0

P

A

T

x

S

y

0 A

P

x A’

T

y

0

P

A

T

x

B



Calcule:

sen 3 cos sec2 2

F3

ctg tg csc2

A) 11

120 B)

31

120 C)

33

140

D) 41

120 E)

51

140

113. Al simplificar:

tg 99 x .cos 37 x .sec(90 x)2

F

ctg 91 x .sen 40 x2

Se obtiene:

A) – senx B) – secx C) – tgx D) – ctgx E) – cosx

114. Reducir:

sen3130º.tg2680º.cos3550º.ctg3280ºF

cos2630º.sen2290º.sen1710º.sec 2400º

A) 2

2 B)

3

2 C) –

3

2

D) – 1

2 E) –1

115. Si : x + y = Reducir: F = sen(cosx) +sen(cosy) A) senx B) seny C) cosx D) cosy E) 0

116. Según el gráfico mostrado calcule:

sen xtg x2

F

cos x ctg x4 4

A) –2 B) –3

2 C) 0

D) 2 E) 3 117. Al simplificar:

cos( x) ctg(180 x) sen(360º x)

Fcos(180º x) sen( x)

se obtiene: A) – cscx B) cscx C) – secx D) secx E) – ctgx 118. Si los ángulos internos de un

triángulo ABC están en progresión aritmética. (A < B < C) reducir:

sen(A 2C 3B) cos(B 2A 3C)

Fsen(B C) cos(B C)

A) –2 B) – 1

2 C) 0

D) 1

2 E) 1

119. Si a = sen2004º y b = cos2004º;

entonces a

b es:

A) ctg24º B) tg42º C) tg14º D) ctg66º E) tg34º

120. Reducir F = tg(2A + B) ctg(A – C)

donde A y B son los ángulos de un triángulo.

A) 1

2 B) –1 C) 1

D) tg2B E) ctg2B


CEPRE-UNI QUÍMICA - 32 -

QUÍMICA 01. Respecto a los conceptos de materia,

indique verdadero (V) o falso (F). I. La materia es todo aquello que

posee masa, ocupa un lugar en el espacio, impresiona nuestros sentidos y es susceptible de transformaciones.

II. La energía es la forma más sutil de materia.

III. La cantidad de materia y energía en el universo es constante.

A) VVF B) VFV C) FVV D) VVV E) FFV

02. Indique cuál de las siguientes

especies no constituye una forma de materia sustancial. A) El humo de un cigarrillo encendido. B) El aire que respiramos. C) El aroma de una taza de café D) La tinta de las letras de este

seminario. E) Calor de fusión del agua.

03. Entre las siguientes especies ¿cuál es

la porción de la materia más pequeña? A) Azúcar en polvo. B) Molécula de agua. C) Protón. D) Gota de agua. E) Átomo de hidrógeno.

04. Indique el tipo de materia, señalando si son elementos (E), compuestos (C) o mezclas (M), para los siguientes ejemplos: I. Grafito. II. Granito. III. Agua. IV. Agua de manantial. V. Vino blanco. A) ECMMC B) MMECM C) EMCMM D) EECMM E) ECMEM

05. Un estudiante observador se da

cuenta que en la congeladora del refrigerador de su casa se forma hielo (proceso llamado frost) aun cuando no se ha puesto en contacto con agua líquida, llegando a la conclusión que el hielo formado proviene del vapor de agua de humedad del ambiente, significando esto que en la congeladora sucede una: A) Vaporización B) Solidificación C) Sublimación D) Deposición E) Fusión

06. Respecto a los cambios de estados de agregación para el enfriamiento de una sustancia gaseosa en el siguiente orden: I, II y III A) Fusión, evaporación, sublimación. B) Fusión, sublimación, evaporación. C) Licuación, solidificación, sublima-

ción inversa (deposición). D) Licuación, fusión, sublimación

inversa. E) Evaporación, solidificación

sublimación.

07. De la siguiente lista, indique el número de sustancias y mezclas respectivamente: Grafito; gas natural; mercurio; agua pesada. GLP; bronce; ácido muriático; diamante. Metano; amoniaco; n-hexano; gasolina. A) 5 y 7 B) 7 y 5 C) 6 y 6 D) 8 y 4 E) 4 y 8

GAS LÍQUIDO SÓLIDO

(III)

(I) (II)



08. Identifique correctamente como sustancia (S) o mezcla (M) lo siguiente: I. Agua oxigenada. II. Oro de 24 kilates. III. 3HNO acuoso.

IV. Ozono.

A) SMSS B) MSMS C) SSMS D) MMMS E) MSSM

09. Señale la alternativa que contiene a una mezcla, una sustancia compuesta y un elemento, en ese orden. A) Aire, ácido sulfúrico, agua

destilada. B) Oro de 18 kilates, cloruro de sodio,

ozono. C) Agua destilada, dióxido de

carbono, cobre. D) Agua potable, grafito, cloro. E) Diamante, glucosa, aluminio.

10. Se tiene una suspensión de arena en una solución acuosa de sal ( )NaCl .

Indique la secuencia de métodos que se debe aplicar para separar la sal de los otros componentes. A) Destilación – tamizado. B) Filtración – decantación. C) Filtración – evaporación. D) Destilación – filtración. E) Decantación – centrifugación.

11. ¿Cuáles son las características

asociadas a las sustancias en general? I. Composición variable. II. Propiedades independientes de los

componentes de origen. III. Punto de fusión constante. IV. Composición definida. V. Mezcla homogénea.

A) II, III y IV B) II, III, IV y V C) I, II, III y IV D) II y III E) II y IV

12. A continuación se proponen algunas variedades de materia: aire, oro 18

kilates, agua potable, 2 3(s)Na CO ,

suspensión de harina en agua,

( )acNaCl , plata, 12 22 11(ac)C H O , ( )sKCl ,

Pt. ¿Cuántas de las variedades de materia son sustancias simples? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. Identifique como propiedad física (F) y química (Q) según corresponda: La gasolina combustiona vigoro-samente en presencia de oxígeno gaseoso. Está formada por una mezcla de hidrocarburos, los cuales presentan temperatura de ebullición en el rango de 40 a 200 ºC, aproximadamente. En este intervalo de temperatura están algunos componentes que son volátiles. A) FQF B) FFF C) QFF D) QQF E) QQQ

14. Considere el proceso en el que se enciende una cocina a “gas” (GLP) para preparar alimentos y responda verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones: I. El GLP se encuentra en estado

líquido en el balón, pero se gasifica al pasar a la presión atmosférica. Este es un cambio físico.

II. Con el oxígeno del aire y por medio de una chispa, se inicia la combustión de los componentes del GLP (propano y butano). Este es un cambio químico.

III. La cocción de los alimentos es un cambio físico.

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF



15. Indique cuántas propiedades físicas y químicas respectivamente han sido mencionadas en el siguiente texto. El nitrógeno produce óxidos, NO y

2NO . Ambos compuestos son muy

reactivos. Los compuestos NO y 2NO

reaccionan con otros compuestos volátiles contribuyendo a la formación de ozono.

El 2NO produce nieblas marrones y

de color rojizas como parte del smog.

El NO y 2NO se generan en los

motores y en hornos donde se realiza la combustión. A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 4 y 0 D) 2 y 2 E) 0 y 4

16. Indique verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones: I. Los valores de una propiedad física

de los componentes de una mezcla pueden sumarse para obtener el valor de la propiedad para la mezcla.

II. Para medir una propiedad química de una sustancia, ésta debe de algún modo transformarse.

III. El calor de vaporización es una propiedad física; mientras que la energía de reacción es una propiedad química.

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF

17. De las siguientes propiedades de la materia, indique las propiedades que son extensivas: I. Punto de ebullición. II. Volumen. III. Peso. IV. Densidad. A) Sólo I B) Sólo II C) II y III D) Sólo III E) III y IV

18. Indique cuántas propiedades intensivas han sido mencionadas: Generalmente los metales son sólidos cristalinos que se caracterizan porque

sus unidades estructurales están ordenadas en forma regular, tienen un orden continuo. Dentro de sus características más importantes podemos mencionar: poseen brillo; tienen alta conductividad eléctrica y térmica. Además, pueden ser transformados a láminas debido a su maleabilidad. Generalmente presen-tan alta densidad. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

19. Indique con verdadero (V) o falso (F) a cada proposición según corresponda: I. El valor de una propiedad intensiva

de una mezcla generalmente puede obtenerse sumando el valor de esta propiedad para cada componente de la mezcla.

II. Una propiedad extensiva puede emplearse para identificar una sustancia.

III. Una propiedad química puede emplearse para identificar una sustancia.

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFV

20. Luego de una reacción nuclear se

obtuvo una cantidad de energía

equivalente a 139 10´ joule de energía. Sabiendo que se partió de 0,5 kg de uranio, determine que porcentaje se transforma en energía. A) 0,1% B) 1% C) 100% D) 0,2% E) 0,15%

21. En una reacción nuclear se establece que una masa equivalente a 2 uma se convierte en energía. Calcule esta energía en kJ.

241uma 1,66 10 g

-= ´

A) 10

1,494 10-

´ B) 14

2,06 10-

´

C) 13

2,988 10-

´ D) 17

2,06 10-

´

E) 6

3,18 10-

´



22. Indique verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones: I. El núcleo atómico tiene elevada

densidad. II. Los protones y electrones están

ubicados en el núcleo atómico. III. Para un mismo elemento la masa

del anión es mayor que la del catión.

IV. Para todos los núclidos de los elementos químicos el número de masa es mayor que el número atómico.

A) FVVF B) FFVV C) VVFF D) VVVF E) VFVF

23. El número de neutrones de un átomo excede en 5 unidades al número atómico. Halle el número de electrones del ion bipositivo, sabiendo que su número de masa es 65. A) 30 B) 28 C) 32 D) 26 E) 24

24. Respecto al catión del cromo, 55 324Cr .

+Se puede afirmar lo siguiente:

I. Tiene 24 partículas con carga positiva.

II. En el núcleo se hallan 31 partículas neutras.

III. El número de nucleones es 52. A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FFF

25. Las especies A1–, B3– , C4+ tienen en conjunto 102 electrones. ¿Cuántos electrones en conjunto tendrán las especies A1+, B, C2– A) 99 B) 101 C) 102 D) 103 E) 100

26. Completar el siguiente cuadro:

A Z N p+ e– especie

a 30 26 Fe

b 56 Fe3+

c 15 7 N3–

d 45 35 Br

e 4 2 He2+

27. La suma de los números de masa de 2 isótopos es 21 y la suma de los neutrones de ambos isótopos es 11. Determine la carga eléctrica negativa absoluta en 20 átomos del isótopo liviano. Dato:

19Carga de un electrón 1,6 10 C

-= - ´

A) 19

1,6 10-

´ C B) 17

1,6 10 C-

´

C) 18

2,6 10 C-

´ D) 20

1,5 10 C-

´

E) 18

2,1 10 C-

´

28. Respecto a los isótopos señale las

proposiciones correctas: I. Alrededor de 20 elementos, tienen

isótopos naturales. II. Los isótopos presentan las mismas

propiedades químicas. III. Los elementos como el fluor, sodio,

aluminio y fósforo no presentan isótopos.

A) VVV B) VVF C) FVV D) FVF E) FFF

29. Si se tienen las siguientes especies atómicas

I. 63 229Cu

+ ; II.

56 326Fe

+

Señale las proposiciones correctas. i. El número de electrones de la

especie (I) es mayor que la especie (II).

ii. El número de nucleones neutros de (II) es menor que de (I)

iii. El número de partículas subatómicas de (I) y (II) son 90 y 79 respectivamente.

A) VVV B) VVF C) FVV D) FVF E) FFF



30. Respecto a las partículas subatómicas señale las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I. En cualquier átomo neutro se

cumple que el número de electrones y protones son iguales.

II. El protio es el único isótopo natural que carece de neutrones en su núcleo.

III. El electrón que existe en el átomo de hidrógeno tiene menos masa que cualquier electrón del átomo de oxígeno.

A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF

31. El cloro tiene dos isótopos:

( )35C 34,969 umal y el

( )3C 36,966 uma

+l . Si las abun-

dancias relativas son 75,53% y 24,47% respectivamente. Calcule la masa atómica, promedio del cloro. A) 28,00 B) 34,01 C) 35,46 D) 36,47 E) 38,92

32. Señale como verdadero (V) o falso (F) según corresponde: I. La mayoría de los elementos tiene

una sola masa isotópica relativa. II. Si la masa relativa de un isótopo es

23,98, entonces un átomo de este isótopo tiene una masa de 23,98 u.

III. La masa isotópica relativa es una cantidad adimensional.

A) FFF B) FVV C) FVF D) VFF E) VVV

33. El silicio tiene tres isótopos:

( )28

Si 27,97693 u , ( )29

Si 28,97649 u y

( )30

Si 29,97376 u . Si la abundancia

relativa del 28

Si es del 92,21%,

¿cuáles son los porcentajes de abundancia de los otros dos isótopos?

rA : Si = 28,0855 A) 5,04% y 2,75% B) 3,27% y 4,52% C) 7,01% y 0,78% D) 4,71% y 3,08% E) 6,45% y 1,34%

34. Los resultados de un espectrómetro de masa, midieron las masas isotópicas relativas del neón que se halla en el aire atmosférico, los cuales se dan a continuación: 20

Ne:19,992 ; 21

Ne:20,994 y 22

Ne:21,991

Si la masa atómica promedio es de 20,180 y el porcentaje de abundancia del isótopo más liviano es de 90,48, determine la abundancia de los otros dos. A) 0,15 ; 9,37 B) 0,30 ; 9,22 C) 0,23 ; 9,29 D) 0,50 ; 9,02 E) 0,65 ; 8,87

35. Calcule el número de moles de

2 3Na CO que se podrían formar a

partir de A10 N átomos de Na.

Dato: NA : número de Avogadro A) 10 B) 20 C) 2,5 D) 15 E) 5

36. Determinar el número de protones que hay en 14 moles de alcohol etílico

2 5C H OH .

Dato: Z : C 6 ; H 1; O 8= = =

A) A26 N B) A14 N C) A9 N

D) A364 N E) A46 N

37. Indique con verdadero (V) o falso (F)

las proposiciones siguientes: I. La masa del neutrón es mayor que

la del protón. II. La masa de un átomo de oxígeno

es 23

2,656 10 g-

´ .



III. La masa de una molécula de

oxígeno es 23

5,312 10 g-

´ .

IV. Por cada 80 g de hidrógeno

contenido en el 2 4H SO está

presente 2,56 kg de oxígeno.

A) VFVF B) FFVV C) VVVV D) VVVF E) VVFF

38. La masa molecular de un hidrocarburo está entre 40 y 45. Determine la posible fórmula de dicho compuesto.

Dato: rA : C 12 ; H 1= =

A) 2 6C H B) 2 18C H C) 3 8C H

D) 2 8C H E) 2 20C H

39. Indique que proposición(es) es(son)

correcta(s): I. Los núclidos inestables pueden

presentar desintegración , desin-

tegración y desintegración ; según sea el caso específico habrá

emisión o , seguida a veces por

la emisión . II. En el proceso de desintegración

espontánea, nada se hizo para iniciarla y nada podrá hacerse para controlarla.

III. Rutherford sugirió en 1919 que una partícula con suficiente energía cinética podría penetrar un núcleo, generando un nuevo núcleo con número atómico y número de masa mayor; un ejemplo podría

ser: ( )14 1 177 1 8N ; H Oa .

A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III

40. Indique si es correcto (V) el proceso

de decaimiento radiactivo; en caso contrario indique como (F), según los casos que se indican.

I. 235 1 23692 0 92U n U+ ®

144 89 156 36 0Ba Kr 3 n® + +

II. 235 1 23692 0 92U n U+ ®

140 94 154 38 0Xe Sr 2 n® + +

III. 140 14054 55Xe Cs

- -b b¾ ¾® ¾ ¾®

140 140 14056 57 58Ba La Ce

- -b b¾ ¾® ¾ ¾®

A) VVF B) VFV C) FVV D) VVV E) FFV

41. Diga que proceso radiactivo, de los que se indican, corresponden a una transmutación artificial:

I. 234 23490 91Th Pa

-® + b

II. 238 23492 90U Tha¾¾®

III. 3 22 1He H p 18,3MeV+ ® a + +

IV. 209 64 272 183 28 111 0Bi Ni X n+ ® +

A) I y II B) I, II y III C) III y IV D) II y IV E) I, II, III y IV

42. Una onda electromagnética, en cierto material, tiene una frecuencia de

111,70 10 Hz´ y una rapidez de

propagación de 8

2,40 10 m/s´ ; ¿cuál

es la longitud de onda?

A) 141,2 m B) 1412 m

C) 14,12 m D) 1488 nm E) 14,88 nm

43. En la siguiente figura ésta representa

una onda electromagnética. ¿Calcule la energía de media mol de fotones, en kJ de esta onda? A) 16,46 kJ B) 164,4 kJ C) 1646 kJ D) 328,8 kJ E) 3292 kJ

2000 nm



44. Señale como verdadero (V) o falso (F) a cada proposición: I. En una REM la perturbación es

perpendicular al eje de desplazamiento de la onda.

II. La REM cambia su velocidad al pasar de un medio de menor densidad hacia otro de mayor densidad.

III. La difracción es una manifestación del carácter ondulatorio de la REM.

A) VFV B) VVV C) FFV D) VVF E) FFF

45. Identifique como verdadero (V) o falso (F) las proposiciones siguientes: I. La refracción y la reflexión

demuestran el carácter ondulatorio de la luz.

II. Los espectros de líneas son una demostración del carácter corpuscular de la luz.

III. El carácter corpuscular de la luz fue deducido por Tomás Young (1802).

A) VVV B) VFV C) VVF D) VFF E) FFF

46. Identifique la especie que no produce espectro continuo o de bandas:

A) ( )Fe l

B) Fe(s) incandescente.

C) ( )gFe

D) Ni(s) incandescente

E) ( )Cu l

47. Indique en qué caso se absorbe o

emite mayor energía, cuando el electrón del átomo de hidrógeno salta del nivel: I. n 1= a n 3= II. n 2= a n 4= III. n 3= a n 1= IV. n 5= a n 3= A) I y III B) II y IV C) I y II D) II y III E) III y IV

48. En una serie del espectro de emisión del átomo de hidrógeno, una de las líneas es de color rojo cuya longitud de onda es 656,3 nm. Si en esta serie se considera que el electrón salta desde niveles superiores hasta n 2= , ¿desde qué nivel de energía habrá saltado el electrón para que se produzca la línea roja del espectro? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

49. Determine la longitud de onda (en Å) asociada a un electrón del átomo de hidrógeno, en función del radio de Bohr (a0), cuando se encuentra en el segundo nivel estacionario de energía. Dato: Radio de Bohr (a0) = 0,53 Å

A) 0

2 ap B) 0

3 ap C) 0

4 ap

D) 0

5 ap E) 0

6 ap

50. Respecto a la serie de líneas

espectrales del hidrógeno, señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. En la serie de Balmer todas las

líneas espectrales corresponden a la serie visible.

II. En la serie de Paschen 1n 4= y

2n 5,6,7,....=

III. En la serie de Lyman la longitud de

onda () de la primera línea de Lyman es mayor que la longitud de

onda () de la primera línea de Balmer, para el átomo de hidrógeno.

A) FFF B) FVV C) FFV D) VVV E) FVF

51. Un electrón emite 22,3 Kcal/mol en un proceso de desexcitación. Considerando el modelo de Bohr, ¿a que nivel energético descendió si se



encontraba en una órbita de radio

13,22 Å? ( )0E 313,6Kcal/mol= -

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

52. Indique las proposiciones correctas: I. El modelo atómico de Bohr solo es

aplicable al átomo de hidrógeno y a especies isoelectrónicas a él.

II. El modelo de Bohr solo explica el espectro sencillo del hidrógeno.

III. El modelo de Bohr toma en cuenta el concepto de onda-partícula de De Broglie.

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) II y III E) I, II y III

53. Señale que proposiciones son incorrectas. I. La ecuación de onda desarrollada

por Schrödinger permite obtener las funciones de onda.

II. Al resolverse la ecuación de Dirac, se introdujo el cuarto número cuántico.

III. En la teoría atómica moderna se descartan las órbitas y se introduce el concepto de orbital que involucra conceptos de probabilidad.

A) VVF B) FVV C) VFV D) FFF E) VVV

54. Indique si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F): I. El modelo atómico actual es un

modelo mecano – cuántico. II. Los espectros discontinuos son

una evidencia experimental para energías cuantificadas de los electrones en los átomos.

III. Una región de probabilidad cero para contener electrones, es llamado un nodo.

A) VVV B) VVF C) VFV D) FFV E) FFF

55. Indique la(s) proposición(es) correcta(s): I. La ecuación de Schrödinger toma

en cuenta el principio de incertidumbre.

II. El principio de incertidumbre es la base de la mecánica – cuántica.

III. La idea de orbital deriva del principio de incertidumbre.

A) Sólo I B) Sólo II C) I y III D) II y III E) I, II y III

56. Indique si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. La ecuación de De Broglie,

h/mvl = , para una partícula en movimiento, calcula la longitud de onda correspondiente al movimiento ondulatorio de dicha partícula.

II. Cuanto mayor sea la masa de una partícula en movimiento, mayor será su carácter ondulatorio.

III. El carácter ondulatorio de los electrones se comprueba en los patrones de difracción de electrones.

A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFV

57. Indique el conjunto de números

cuánticos n, l , ml

, s

m que sí es

posible para un electrón en un átomo.

A) 2, 2, 0, 1

2+ B) 3, 2, +2,

1

2-

C) 3, 3, –4 , 1

2- D) 5, 4, – 5,

1

2+

E) 4, 2, +3, 1

2+



58. Uno de los posibles valores de los

números cuánticos n, l , ml,

sm para

un electrón en la subcapa 3p son:

A) 3, 1, – 1, 1

2+ B) 3, – 1, +1,

1

2-

C) 2, 1, –1 , 1

2+ D) 3, 0, 0,

1

2+

E) 2, 1, –1, 1

2-

59. Uno de los posibles valores de los

números cuánticos n, l , ml y

sm para

un electrón en la subcapa 4d son:

A) 3 , 2 , 0, 1

2+ B) 3 , 2 , – 1 ,

1

2-

C) 4 , 2 , 0, 1

2+ D) 3 , 0 , 0,

1

2-

E) 4 , 1 , –1 , 1

2-

60. ¿Cuántos orbitales pueden existir en

el tercer nivel energético de un átomo polielectrónico? A) 4 B) 16 C) 8 D) 9 E) 18

61. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El principio de AUFBAU se cumple

para todos los átomos sin excepción.

II. El principio de AUFBAU se rige gracias a la energía relativa creciente de los subniveles de los elementos.

III. Según el principio de AUFBAU, los electrones irán ocupando los niveles y subniveles según su energía relativa decreciente.

A) VVV B) VFV C) VVF D) FVF E) FFF

62. Indique en cuál de las siguientes proposiciones, se cumple la regla de Hund, para los átomos en estado basal:

I. [ ]16x y z

S Ne3s 3p 3p 3p

- ¯ - ¯ - ¯=

II. [ ]26Fe Ar4s 3d 3d 3d 3d 3d

- ¯ - - - - - ¯=

III. [ ]23 V Ar4s 3d 3d 3d 3d 3d

- - - - -=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I, II y III

63. Indique cuál(es) de las siguientes

proposiciones no se verifica el principio de exclusión de Pauli.

I. [ ]11Na Ne3s

-=

II. [ ]17x y z

C Ne3s 3p 3p 3p

- - - ¯ - ¯ -=l

III. [ ]7x y z

N He2s 2p 2p 2p

- ¯ - - -=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I, II y III

64. Un elemento presenta la siguiente terminación de su configuración

electrónica

x y z3s 3p 3p 3p

- ¯ - -. Indique

verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones. I. El elemento es diamagnético. II. Posee cuatro electrones de

valencia. III. La configuración electrónica es

incorrecta. A) VVV B) FVV C) VFV D) FVF E) FFV

65. ¿Cuáles de las configuraciones electrónicas son correctas?

I. 26Fe : [ ]2 6

Ar 4s 3d

II. 24Cr : [ ]2 4

Ar 4s 3d

III. 29Cu : [ ]1 10

Ar 4s 3d

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) II y III



Sn Sn

Sn

Sn

N

O

S

Sn

E E E

E E

66. ¿Cuáles de las siguientes configuraciones son falsas?

I. 29

Cu+

: 10

Ar 3dé ùë û

II. 3

26Fe

+ :

1 7Ar 4s 3dé ùë û

III. 21

Sc+

: 2

Ar 4sé ùë û

A) II y III B) Sólo III C) I y II D) Sólo I E) I y III

67. ¿Cuáles de las configuraciones es la correcta?

I. 4

46Pd+

: [ ]6

Kr 4d

II. 3

22Ti+

: [ ]1

Ar 4s

III. 2

48Cd+

: [ ]0 10

Kr 5s 4d

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I y III

68. ¿Cuáles de las siguientes especies químicas no cumplen la regla de la configuración electrónica?

I. 47 Ag

II. 42Mo

III. 28Ni

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III

69. Indique con verdadero (V) o falso (F) las relaciones siguientes:

I. 16

8O y

17

8O : Isótopos.

II. 3

13Al

+y

10Ne: Isoelectrónicos.

III. 2

23V

+ y

21Sc : Isoelectrónicos.

A) FFV B) FVV C) VVV D) VVF E) VFF

70. ¿Cuáles de las especies químicas dadas son paramagnéticas?

I. 3

26Fe+

II. 18 Ar

III. 7N

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I y III

71. Indique qué especie química es diamagnética:

I. 26Fe

II. 30 Zn

III. 80Hg

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) II y III E) I, II y III

72. Determine la notación de Lewis para el átomo de estaño (Sn) donde su número atómico es 50. Dar la respuesta en su estado basal.

A) B) C) D) E)

73. ¿Cuáles de las notaciones de Lewis

es correcta?

I. 7N :

II. 8O :

III. 16S :

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) II y III

74. Determine la notación de Lewis para un elemento cuyo número de nucleones neutros es 45 y su número de masa es 80.

A) B) C) D) E)


CEPRE-UNI FÍSICA - 42 -

FÍSICA

01. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, encontrar la expresión dimensional de A.

( ) ( )2 1/cosx yWp cos Amg W p v

q× q + = × ×

siendo: W = peso ; m = masa ; g = aceleración; v = velocidad;

= (/3) rad; p = 4,44 m2 kg/s

A) L5 M2 T–4 B) L3 M4 T–5

C) L4 M3 T–6 D) L3 M3 T–5

E) L5 M3 T–4

02. La ecuación ( ) sen30ºv A sen Bt Ct= +

es dimensionalmente homogénea, en donde v = velocidad y t = tiempo. Determinar la expresión dimensional

de AB

C.

A) T2 L–1 B) T–1/2 C) T L–3 D) L2 T–1 E) L2 T– 3/2

03. Una cuerda se mantiene horizontal mediante una fuerza F. Si se le hace oscilar verticalmente, se encuentra que el periodo de oscilación T depende de su longitud (l), de su

masa por unidad de longitud (), y de la fuerza F aplicada. Entonces T es directamente proporcional a:

A) l –1 (/F)1/2 B) l (F/)1/2

C) (l/F)1/2 D) l (F/)–1/2

E) l(F)–1/2

04. La ecuación de la energía mecánica de un objeto que cuelga de un resorte está dado por:

E = 2 2Av Bx Ch+ + donde: v = velocidad instantánea. h = su altura respecto al suelo. x = es el estiramiento del resorte.

Determine las dimensiones de A.B.C A) M3 L T–4 B) M3 L3 L–4

C) M L3 T–2 D) M2 L2 T–2

E) M3 L T–1

05. Si las ecuaciones A B C D+ = + y 2A 3H 4C 5E xF+ = + + son dimen-

sionalmente correctas, 2 2AB 6 kg m=

y (F/C) 4 m;= determine las

dimensiones de x. A) * B) L2 C) L–1 D) L–2 E) ML

06. Sea la cantidad física expresada en unidades de joule por kilogramo kelvin. Su expresión dimensional es:

A) L2 T–2 –1 B) M2 L2 T–2

C) M2 L2 T–2–1 D) L2 T–2

E) L–2 T2

07. La ecuación ( )2

b/h ahr = + es

dimensionalmente homogénea. Si se mide en kg/m3 y h se mide en metros, ¿cuál es la expresión dimensional de a/b? A) L B) L2 C) L3 D) L–3 E) L–2

08. La ecuación de estado para un gas de Van der Waals está dado por:

( )( )2

aP v b RT

v+ - =

donde P : presión absoluta del gas,

Vv

n= : volumen molar

3m

mol

æ ö÷ç ÷ç ÷è ø

, a y b

constantes que dependen del tipo de gas, R: constante universal y T: temperatura absoluta del gas. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. [ ] [ ]a b=

II. [ ] [ ]2ab RTv=

III. [ ] 3 1b L N-=

A) FFF B) FFV C) FVV

D) VFF E) VVF



09. Hallar la ecuación de la recta en el plano xy, que pasa por el punto (4 ,1) y que tenga pendiente m 0,75= .

A) 3x 4y 8 B) 8x 3y 4

C) 4y 3x 8 D) 4x 8y 3

E) 3x 4y 8

10. Las rectas 1R y 2R tienen

pendientes 1m 1/ 3= y 2m 1/ 2= - ,

respectivamente. Hallar las

coordenadas ( )x,y del punto P.

A) 0,87 ; 4,35 B) 0,78 ; 3,45

C) 4,35 ; 0,87 D) 3,45 ; 0,78

E) 1,56 ; 3,90

11. Halle la recta que corta al eje x a tres unidades, en el sentido +x del origen de coordenadas y que sea paralela a

y x5

2 3+ = .

A) 2

y 2 x3

B) 3

y x 22

C) 3

y x 22

D) 3

x y 52

E) 2

y 2 x3

12. Dada la gráfica, determine el valor

de y cuando x 20= (considere que el vértice está en el origen).

A) 10 B) 8 C) 12 D) 6 E) 4

13. Hallar la distancia (en m) desde el origen de coordenadas al vértice de la

parábola: 2y x 4x 8= - + , donde x, y

están en m.

A) 5 B) 2 5 C) 3 5

D) 4 5 E) 5 5

14. Una parábola tiene su eje paralelo al eje y, si su vértice es el punto (8, 10) y pasa por el punto (10, 18), determine el valor de y cuando x 0= . A) 98 B) 138 C) 158 D) 178 E) 58

15. Halle la ecuación de una recta de pendiente 6 y que pasa por el vértice de una parábola de ecuación

2y 2x 12x 17= + + .

A) y 6x 17 B) y 6x 18

C) 1

y x 196

D) y 6x 20

E) y 6x 19

16. Determine la ecuación de la recta,

que se muestra en la figura: A) y x 2

B) y x 3

C) y x 5

D) y 0,8x 3

E) y 0,4x 3

y(m)

x (m)

3 R2

0

R1

P

x

Parábola

0

0,3

y

15

5

x 0

y

1 5

–4

L



17. ¿Cuál es el módulo de la resultante de todos los vectores graficados? Se sabe que el cuadrado tiene 10 u de

lado.

A) 30 2 u B) 50 2 u

C) 30 u D) 20 u

E) 5 2 u

18. Hallar el módulo de x y+

A) 2 2 1 a B) 2 2 1 a

C) 2 1 a D) 2 1 a

E) a

19. Determinar una expresión vectorial

para x en función de los vectores A y

B , sabiendo que PQRS es un cuadrado.

A) x 3 / 5 A 3B

B) x 2 / 5 A 2B

C) x 1/ 5 A B

D) x 2 / 5 A 3B

E) x 4 / 5 A 2B

20. Si R A B C D,= + + +ur ur ur ur ur

determine el

módulo del vector R 2D-ur ur

A) 7.2 B) 6.7 C) 5 D) 2.2 E) 0

21. Determine el módulo del vector

resultante del sistema mostrado si “M”: punto medio, “O”: centro de la

circunferencia y a 4=r

A) 5 B) 6 C) 2 5

D) 3 5 E) 3 6

45º

x

y

a cuarto de

circunferencia

R Q

S P

xr

Bur

Aur

Dur

Cur

Bur

Aur

3

4 6

br

ar

dr

O

37º

53º

M

cr



22. La figura muestra 6 vectores: Aur

, Bur

,

Cur

, Dur

, Eur

y Fr

.

Halle S A B 2C D E F= - + + + +ur ur ur ur ur ur r

.

A) 2Aur

B) 2Bur

C) C D+ur ur

D) Eur

E) Our

23. Señale la veracidad (V) o falsedad

(F) de las siguientes proposiciones: I. La suma vectorial de los

componentes de un vector da como resultado dicho vector.

II. Un vector puede tener componentes en cualquier dirección.

III. El vector unitario de un vector necesariamente tiene la misma dirección y sentido que el vector.

A) VVV B) FVF C) FFV D) FVV E) FFF

24. En la figura se muestra los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados U y V del plano.

Si la componente ortogonal de Aur

sobre uno de los ejes tiene 32

unidades, halle el vector Aur

.

A) 32u 32v+$ $ B) 3,2u 40v+$ $

C) 42u 40v+$ $ D) 25 u 25v+$ $

E) 25 u 40v+$ $

25. En la figura se muestran los vectores de magnitudes indicadas. Hallar el módulo del vector resultante.

A) 20 B) 32 C) 48 D) 52 E) 60

26. Tres vectores A , Bur

y Cur

tienen componentes x e y como se muestra en la tabla. Calcular el ángulo que

forma el vector 3A 2B C- +ur ur ur

con el eje x.

Aur

Bur

Cur

x 3 4 – 1

y 1 – 2 1

A) 0 B) /4p C) / 3 D) / 2 E)

27. Si S A B= +ur ur ur

, donde Aur

y Bur

son vectores unitários, identifique la veracidad (V) o falsedad (F), de lãs proposiciones siguientes:

I. El módulo de Sur

satisface: 0 S 2£ £ .

II. Sur

también puede ser unitario.

III. Si 60ºa = es el ángulo entre Aur

y

Bur

, luego S 3=ur

A) VVV B) FVV C) VFF D) FFF E) VVF

Fr

Eur

Bur

Aur

Dur

Cur

37º Aur

37º

v$

u$

V

U

y

x

z

37º 37º

20

20 j$

20

20 20

37º 37º



28. Para el conjunto de vectores dados, determine el vector unitario del vector

resultante. Si: A B C / 3= =ur ur ur

A) ( )i j+$ $ B) i 3 j+$ $

C) ( )i 3 j /2+$ $ D) ( )i j 3-$ $

E) ( )i j / 3+$ $

29. Si se cumple que: A B C O+ + =ur ur ur ur

, determine el vector unitario del vector C.

A) ( )i 3j / 5+$ $ B) ( )i 3 j / 10- +$ $

C) ( )i j / 2+$ $ D) ( )2i 3j / 5+$ $

E) i 2 2 j+$ $

30. Determine el vector unitario del

vector resultante.

A) ( )i j / 2- +$ $ B) ( )i j / 2-$ $

C) i- $ D) k$

E) j- $

31. Dados los vectores Aur

y Bur

en la figura que se muestra, halle el vector unitario que tiene la dirección y

sentido del vector ( )A B-ur ur

A) ( )2i j

2+$ $ B) ( )2

i j2

-$ $

C) ( )2i j

2- +$ $ D)

3 1i j

2 2+$ $

E) 3 1

i j2 2

-$ $

32. Hallar el vector unitario que

corresponde a la resultante de los vectores mostrados en la figura.

A) 3 j k+$ $ B) ( )1i 3k

3+$ $

C) j 3k+$ $ D) ( )13 j k

2+$ $

E) ( )13 j 3k

6+$ $

j$

Aur

Bur

Cur

i$

Aur

Bur

j$

i$

y 5

5

5

x

z

y

z a

a a

a

a

a

x

y

30º

Bur

30º

Aur



33. Hallar el ángulo para que el módulo de la suma de los vectores sea mínimo.

A) 10º B) 20º C) 15º D) 15º E) 30º

34. Si la resultante de los 3 vectores

mostrados es nula, hallar F.

A) 10 3 B) 12 3 C) 14 3

D) 16 3 E) 2 3

35. Se sabe que al sumar las tres

fuerzas que se indican con una cuarta fuerza, se obtiene una fuerza resultante de módulo 50 N y que forma 53º con el semieje +x. Determine la cuarta fuerza (en N)

A) 20i 60j+$ $ B) 28i 56j- +$ $

C) 20i 40j+$ $ D) 38i 66j- +$ $

E) 50i 28j-$ $

36. Con referencia a los vectores que se muestran en la figura, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?

I. A B C D 3B/2+ + + =ur ur ur ur ur

II. 3A D C+ =ur ur ur

III. A B C D 0+ + - =ur ur ur ur

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Todas E) Ninguna.

37. La figura muestra un trapecio M, N

son puntos medios de las diagonales; respectivamente, identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones:

I. B A= lur ur

, donde 0l >

II. ( )X A B /2= +ur ur

III. ( )X B A /2= -ur ur ur

y

x

10º 50º

a

a

a

y

x

a

20º 70º

Fr

12

24

y

x – 4 45º

3

4

–4

–7

3F 20 2 N=r

2F 60N=r

1F 50 N=r

Cur

Aur

Dur

Bur



A) FFF

B) FFV

C) VFV

D) FVF

E) VVF

38. Los lados de un paralelepípedo

oblicuo tiene lados dados por los

vectores: A i=ur

$ ; B i j= +ur

$ $ y C i j k= + +ur

$ $ $ .

Halle el valor de la expresión:

( )V A B C.= ´ ×ur ur ur

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

39. En un sistema de coordenadas x, y,

z, rectangulares, se dan los vectores:

A 0,8i 0,6j= +ur

$ $ y B 3i 4j= - +ur

$ $ . Indique

verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

I. Solo Aur

es vector unitario.

II. La magnitud de A B´ur ur

es 4,8.

III. El producto A B´ur ur

es 5 k$

A) VVV B) FVV C) VFV D) VVF E) FFF

40. Dados los vectores: A 2i 3j= +ur

$ $ ;

B i 2j= -ur

$ $ determine A B

A B

´

×

ur ur

ur ur

A) 1,75 k B) 0,68 k C) 1,75 k

D) 1,92 k E) 1,92 k

41. Indique cuál de las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. Se llama rapidez media al módulo

o magnitud de la velocidad media. II. Se llama distancia al módulo del

desplazamiento. III. La velocidad media siempre es

tangente a la trayectoria. A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV E) FFF

42. Dada las siguientes proposiciones:

I. La velocidad media es paralela al desplazamiento.

II. Si la velocidad media es constante para todo intervalo de tiempo entonces es tangente a la trayectoria.

III. La aceleración instantánea es siempre perpendicular a la velocidad instantánea.

¿Cuáles son verdaderas? A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III

43. Una partícula se mueve a lo largo del eje x, con velocidad

( )2v t 2t 1 i m/s= + +r

$ , t es tiempo en s.

Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. v 3i m/s=r

$ , es la velocidad

instantánea en t 1s= .

II. La velocidad media mvr

entre t 0 s= y t 1= se puede evaluar

como mv(1) v(0)

v2

+=

r rr

III. La aceleración media mar

entre

t 0 s= y t 1= s es dada por

mv(1) v(0)

a1 0

-=

-

r rr

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFV

M

Aur

Bur

N

Xur

Aur

Bur

Cur



44. Un móvil realiza la trayectoria mostrada en la figura si en el tiempo t 4 s= se encuentra en el punto P.

Determine (en m/s) la velocidad media para todo el recorrido, si en t 0 s=

parte del origen O.

A) 2 i 2 j+$ $ B) 3 i 2 j+$ $

C) 2 i 3 j+$ $ D) 2 i 3 j-$ $

E) 2 i 3 j- +$ $

45. La figura muestra un cubo de 10 m

de arista una partícula sigue la trayectoria ABCDE empleando 10 s. Determine su velocidad media y su rapidez media (en m/s)

A) i j+$ $ ; 2 B) 2 i j+$ $ ; 6

C) i 2 j+$ $ ; 4 D) i j- +$ $ ; 4

E) i j-$ $ ; 8

46. La gráfica representa la velocidad vs el tiempo en el MRUV de una partícula. Indique la(s) proposición(es) correcta(s): I. En t 4 s= la aceleración es nula.

II. El módulo del desplazamiento entre t 2 s= y t 6 s= es 15 m si

parte del origen en t 0 s= .

III. La longitud recorrida entre t 2 s= y

t 6 s= es 30 m.

A) Sólo II B) II y III C) I y II D) Sólo III E) Sólo I

47. Un submarino se sumerge con rapidez constante, emitiendo pulsos sonoros cada 63 s; los pulsos, reflejados del fondo se detectan cada 62 s. La velocidad del sonido en el agua es 1250 m/s. ¿Con qué velocidad va sumergiéndose el submarino? (en m/s) A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

48. Desde las posiciones 1r 6 i m=r

$ y

2r 2 jm=r

$ parten dos automóviles con

velocidades 1vr

y 2vr

constantes. Si

1v 4 j m/ s=r

$ , hallar 2vr

para que los

vehículos se encuentren en el punto

localizado con ( )r 6i 8j m= +r

$ $ .

A) ( )3 i j+$ $ B) ( )3 2 i j+$ $

C) ( )2 i 2j+$ $ D) ( )2 2 i 2j+$ $

E) ( )3i 2j

2+$ $

x(m) 4

4

12

y(m)

P

8 0

y 0

A

x

z

B

C D

E

4

10

v(m/s)

8 0

–10

t(s)



49. Un peatón recorre 23 km en 7 h. Los ocho primeros kilómetros con una rapidez superior en 1km/h a la

rapidez del resto del recorrido. Calcule la rapidez constante con la que recorrió el primer tramo (en km/h). A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

50. En la figura se muestran las gráficas para la posición versus el tiempo de dos móviles. Determine el instante de tiempo (en s) en que se encuentran. A) 4 B) 6 C) 5 D) 8 E) 2

51. Una partícula se desplaza de A a B

con velocidad 1V 3i m / s , en B se

detiene 0,5 s y luego se desplaza de B a C con MRU. ¿Con qué velocidad debe ir de B a C si la velocidad media (en m/s) de todo su movimiento desde

A hasta C es 2i 2j m/ s ?

A) 12i B) 18i C) 12i 2j

D) 12j E) 18j

52. La posición x(m) de una partícula en

función del tiempo t(s) para un MR,

está dada por 2x(t) 2t 5t 3.= - + - De

las siguientes proposiciones, ¿cuántas son correctas?. Si t 0 s³ .

I. Las condiciones iniciales son:

0x 3 m= - y 0v 2 m/s= - .

II. La aceleración vale 22 m/ s-

III. En t 2,5 s , v 0= =

IV. El móvil invierte el sentido de su movimiento.

A) ninguna B) una C) dos D) tres E) todas

53. Dos automóviles están separados una distancia d entre si. Parten simultáneamente viajando en el mismo sentido con aceleraciones constantes. El auto posterior parte con

0v d/ 2 m/ s= y aceleración 1a ,

después que este último ha recorrido una distancia de 4d el auto posterior lo alcanza en t 2 s= , hallar la relación

2 1a /a .

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

54. Dos móviles parten desde el mismo

punto, simultáneamente en la misma dirección y sentido. El móvil “A” lo hace con una velocidad constante de 20 m/ s el móvil “B” parte del reposo.

¿Qué aceleración (en m/s2) deberá tener el móvil B para alcanzar al otro en 10 s? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

55. Una partícula que parte desde

0x 4 m= en el instante 0t 2 s= , se

mueve a lo largo del eje X con velocidad constante. Si en el instante t 3 s= , x 8 m= , entonces la gráfica v

vs t apropiada es: A) B)

–6

18

x(m)

A

10 2 B

t(s)

A B

C

6 m

6 m

y

x

v(m/s)

t(s)

4

0

v(m/s)

t(s)

4

0 2



C) D)

E)

56. Una partícula describe una trayectoria rectilínea cuya posición varía según la gráfica mostrada. Determine la longitud (en m) recorrida en el intervalo de 0 a 10 s.

A) 200 B) 180 C) 120 D) 100 E) 80

57. En el gráfico la posición x en función

del tiempo de una partícula que se mueve en el eje x con MRUV. Calcule la posición de la partícula cuando t 10 s= .

A) 0,5

B) 1,5

C) 2,5

D) 5,5

E) 7,5

58. En la figura se muestra el comportamiento de la velocidad (V) de una partícula en función del tiempo t. Considerando que la partícula se mueve en el eje x.

Indique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera (V) o falsa (F) I. El desplazamiento realizado por la

partícula es 18 i$ m entre (0 y 5 s)

II. En el instante t 2 s= su rapidez es

5 m/s.

III. En el intervalo de [ ]0 ; 4 s la

rapidez media es 3,75 m/s. A) VVV B) VFV C) FVF D) FVV E) FFV

59. La figura muestra la posición en

función del tiempo de dos partículas que se mueven a lo largo del eje x. Respecto del gráfico, indique que afirmaciones son falsas (F) o correctas (V): I. Las dos partículas parten

simultáneamente. II. La velocidad de A es igual a la

velocidad de B para t 2,5 s> .

III. La velocidad de A es constante en todo momento.

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVF E) FFF

v(m/s)

t(s)

4

0 2

v(m/s)

t(s)

4

0 2

v(m/s)

–4

0 2

t(s)

x(m)

2 t(s)

0

40

4 6 8

10

–40

x(m)

t(s) 4 0

– 2

8

V (m/s)

2 t(s) 0

2 3 5

–3

5

x(m)

2,5 t(s)

0

2 A

5

5

6,5 B



60. Dos móviles A y B parten simultáneamente en el instante t 0 s= siendo sus posiciones

iniciales: Ax 5 m= y Bx 11m ,=

respectivamente. Calcular luego de qué tiempo (en s) se encuentran ambos móviles si se desplazan horizontalmente y cuyas gráficas v–t son las que se muestran.

A) 4,5 B) 3,5 C) 3,0 D) 2,5 E) 7,5

61. La figura muestra la posición de una

partícula versus el tiempo. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La velocidad media entre t 2 s= y

t 4 s= es: mV i m/ s=ur

$

II. El desplazamiento entre t 2 s= y

t 3 s= es: x i mD =r

$ .

III. La posición en el instante de

tiempo t 1 s= es: x 3i m=r

$ .

A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FFF

62. Respecto al movimiento de caída libre, indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Se deja caer una bola de acero y

una pelota simultáneamente y desde una misma altura, impacta en el piso primero la bola de acero y luego la pelota.

II. Cuando se deja caer una partícula desde cierta altura, la distancia que recorre es directamente proporcional al tiempo al cuadrado.

III. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez v desde el borde un barranco y simultáneamente una segunda piedra es lanzada verticalmente hacia abajo con la misma rapidez v, la segunda piedra llega al fondo del barranco con mayor velocidad que la primera.

A) VVV B) FVF C) VFV D) FFV E) FFF

63. Un cuerpo es soltado desde una altura “H” sobre la superficie terrestre, se observa que en el último segundo de su caída recorre 3H/4. Halle “H” (en m) (g = 10 m/s2). A) 15 B) 20 C) 25 D) 45 E) 80

64. Desde el piso se lanza 2 pelotitas hacia arriba, la primera a 30 m/s y la segunda 2 segundos después pero a 40 m/s, ¿qué distancia las separa cuando la primera llega a su altura

máxima? Usar 2g 10 m/ s= .

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

65. Hallar la rapidez (en m/s) con la que debe lanzarse una piedra verticalmente hacia abajo para que se desplace 100 m durante el cuarto segundo de su movimiento. A) 25 B) 35 C) 45 D) 55 E) 65

VA (m/s)

t(s) 0 6

3

9

VB (m/s)

t(s) 0 12

5

8

x(m)

t(s)

2

6

4

4



66. Un helicóptero parte de Tierra ascendiendo verticalmente con una velocidad constante de 5 m/s, si al piloto se le cae una moneda 4 s después de iniciado el ascenso, calcule (en m/s) la magnitud de la velocidad de la moneda al impactar con el suelo. Despreciar la resistencia del aire sobre la moneda,

2g 10 m/ s= .

A) 42,4 B) 32,5 C) 20,6 D) 15,4 E) 12,4

67. Del borde de la azotea de un edificio de 100 m de altura en t 0 s= se lanza

un proyectil verticalmente hacia arriba y demora 10 s en llegar a la superficie

de la base del edificio. Determine la velocidad media (en m/s) del proyectil entre el instante t 2 s= y el instante

t 8 s= . Asuma 2g 10 j m/ s= - $ .

A) 20 j- $ B) 10 j- $ C) 0 j$

D) 10 j$ E) 20 j$

68. La recta de la gráfica es la

trayectoria de una partícula en movimiento. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La partícula se mueve con

velocidad constante. II. El movimiento es bidimensional. III. La pendiente de la recta es igual a

la velocidad de la partícula.

A) FFF B) VVF C) FVF D) VFV E) VVV

69. Respecto del movimiento

bidimensional con aceleración constante, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. v , para cualquier t , tiene la misma dirección y sentido.

II. v

t

es constante para todo t

III. t 0

vlim

t

es constante.

A) I y II B) II y III C) I y III D) todas E) ninguna

70. Un móvil inicia su movimiento con

una velocidad 0v 20 i m/ s ,=r

$

sometido a una aceleración

( ) 2a 6i 8j m / s= - -r

$ $ . Hallar, aproxima-

damente, su rapidez (en m/s) luego de

que se haya desplazado ( )17 i 4 j m-$ $ .

A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22

71. Una partícula realiza un movimiento

en un plano con una velocidad inicial

0v 2i j m/ s= -r

$ $ y 2a 2i 2j m/s= +r

$ $ . Si

en el instante inicial la partícula está

en el punto ( )3, 6 m.- Halle después

de cuanto tiempo (en s) la partícula cruza el eje x y cual es su posición (en m) en ese instante.

A) 2 ; 18i- $ B) 0,3 ; 1,8i$

C) 3 ; 18i 2j+$ $ D) 3 ; 18i$

E) 2 ; 18i 2j- -$ $

72. Una partícula parte en t 0= , desde

la posición 0r 4i m= - $ y con una

velocidad 0v 2i 2j m/ s= +r

$ $ si su

aceleración es 2a 2i 5j m/ s .= +r

$ $

Determine su posición (en m) en el instante t 2 s= .

A) 2i 18j+$ $ B) 4i 14j+$ $

C) 5i 12j+$ $ D) 6i 20j+$ $

E) 3i 10j+$ $

y(m)

x(m)



73. Una partícula parte del reposo, en t 0 s ,= desde el origen de

coordenadas con una aceleración

( ) 2a 6i 8j m / s .= +$ $ Indicar las propo-

siciones verdaderas (V) o falsas (F) I. Entre t 0= y t 4 s= la rapidez

media de la partícula es

( )13i 9j m / s+$ $ .

II. La partícula describe una trayectoria parabólica.

III. El desplazamiento de la partícula hasta el instante t 5 s= , es

( )21i 12j+$ $ m.

A) FVF B) VFF C) VVF D) FFF E) FFV

74. Dos proyectiles se disparan como indica la figura, determine la velocidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. Si A Bv v= , el proyectil B

permanece más tiempo en movimiento.

II. Si A B A Bv v y H , H= son las

alturas máximas, entonces

( )A BH 16/ 9 H= .

III. Si A Bv v= los dos proyectiles

logran el mismo rango. A) FVF B) VFV C) FFF D) FVV E) VVV

75. Dos partículas A y B se lanzan

simultáneamente con la misma rapidez cuyas velocidades en ese instante forman ángulos de 55º y 35º respectivamente con respecto a la horizontal. Determine la relación entre sus alcances horizontales.

( )2g 10 m/ s=

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 1/2

76. Un proyectil en determinada posición

tiene una velocidad

( )v 20i 30j m / s= +r

$ $ . Si la distancia,

desde esta posición hasta la posición en que alcanza la misma rapidez, es la mitad de su alcance máximo, halle la altura máxima alcanzada por el proyectil medida desde el punto de lanzamiento. Exprese su respuesta en m. A) 45 B) 90 C) 120 D) 180 E) 240

77. Un proyectil es lanzado con una

velocidad igual a ( )3i 4j m / s+$ $ , indique

la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. En el punto más alto de su

movimiento, la velocidad es igual a

3i m/ s$ .

II. La máxima altura que alcanza el proyectil es 0,8 m.

III. La velocidad en el instante t 2 s=

es 3i 16j m/ s-$ $

A) VVV B) VVF C) VFF D) FVV E) FFF

VB

VA

O

37º

37º



78. Se lanza un proyectil desde la

posición mostrada con una velocidad

( )v 20i 20j m / s.= +r

$ $ Determine el

tiempo (en s) de vuelo hasta que impacta con el plano inclinado.

( )2g 10 m/ s=

A) 6 B) 8 C) 9 D) 7 E) 5

79. Un móvil con MCU, en 0t 0 s= , su

posición angular es 0 / 6q = p rad; en

1t 3 s= , 1 2 /3q = p rad. Cuando

alcanza q = p rad inicia un MCUV con

2

rad

6 s

pa = - . Indicar cuál de las

siguientes proposiciones es correcta:

I. Para 0 t 5 s£ £ , rad/ s6

pw= .

II. En t 6 s= el móvil se detiene e

inicia el retorno. III. El desplazamiento angular hasta

t 6 s= es 13

rad12

pDq= .

IV. En t 8 s= su velocidad angular

instantánea es rad

5 s

pw= -

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) Todas E) III y IV

80. En un movimiento circular la

expresión 0 fm 2

w + ww =

ur urur

es válida:

I. Sólo cuando aur

es variable y diferente de cero.

II. Solo cuando aur

es constante pero diferente de cero.

III. Solo cuando aur

es constante incluyendo el cero.

A) VVV B) VVF C) VFV D) FFV E) FFF

81. La posición de una partícula que se desplaza en una trayectoria circular está dada por la ecuación

( )t / 2 radq= p + p , señale la veracidad

(V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. En t 0 s= la partícula se

encuentra en el punto P. II. Cuando t 1 s= la partícula se

encuentra en el punto S. III. La velocidad angular media entre

t 5 s= en rad/ sp .

A) FFF B) VVV C) FVV D) FFV E) FFF

82. El movimiento se transmite por contacto sin deslizamiento entre A y B, cuyos radios son de 40 cm y 30 cm respectivamente, si la rapidez de P que se encuentra a 35 cm de 0, es de 70 cm/s, calcula la rapidez de Q (en cm/s) que se encuentra a 20 cm de O2. A) 35 B) 43,3 C) 53,3 D) 42,5 E) 27,7

x

y

o

Q

P

S

o1

P

A

o2

Q

B

v

37º

y

x



83. Dos partículas que ejecutan MCUs se encuentra 10 segundos después del instante que se muestra en la

figura. Si 1

rad/ sw = p , hallar

( )2

en rad/ sw .

A) 17

18

p B)

18

19

p

C) 19

20

p D)

20

21

p

E) 21

22

p

84. Dos móviles parten simultáneamente

con MCU en condiciones que muestra el gráfico. Determine el ángulo (en rad) que debe desplazarse (1) para alcanzar a (2) por primera vez.

3,14

A) 3,3 B) 4,4 C) 5,5 D) 6,6 E) 7,7

85. El movimiento de A se transmite a B por una correa, tal como se muestra. Calcule la rapidez del punto P (en cm/s), se sabe que la frecuencia de A es 5 Hz, los radios de A y B de 5 cm y 10 cm respectivamente. El punto P dista 8 cm del centro.

A) 60 B) 50 C) 40

D) 20 E) 15

86. Una partícula con MCUV duplica su velocidad angular luego de dar 3 vueltas en un tiempo de 10 s. Determine el módulo de su aceleración angular (en rad/s2).

A) 3,3 B) 0,4 C) 0,02

D) 0,04 E) 0,08

87. Una polea gira un ángulo de 6,4 rad. Si su rapidez angular inicial es 0,6 rad/s que se incrementa a 2,2 rad/s en un tiempo t. Calcular la aceleración angular de la polea en rad/s2. A) 0,2 B) 0,35 C) 0,55 D) 1,3 E) 2,85

88. La figura muestra la gráfica vs t para una partícula con movimiento circular. Halle el desplazamiento angular (en rad) entre t = 2 s y t = 10 s. A) 16 B) 23 C) 33 D) 40 E) 46

89. Una partícula que realiza MCUV parte del reposo. Si en t 1 s= ha

recorrido una longitud igual a dos veces el radio de la trayectoria. Calcular la rapidez angular en rad/s a los 5 segundos después de iniciado el movimiento. A) 10 B) 5 C) 15 D) 20 E) 4

2w

1w

2

y

x

2v ( 4i 3j) m/s

1v 6j m/s

1

A

P

B

( )rad/ sw

t(s)

10

– 6

2

10



90. Si una partícula en MCUV en una trayectoria de 20 m de radio tiene

( )V t 1 s 9i 12j= = +ur

$ $m/s y

( )V t 6 s 20i 15j= = - -ur

$ $ m/s, entonces

el ángulo que forma la velocidad y la aceleración en t = 6 s, aproximadamente es: A) 0º B) 37º C) 53º D) 75,4º E) 86,3º

91. Señale la veracidad (V) o falsedad

(F) de las siguientes proposiciones: I. La aceleración tangencial es nula

cuando la rapidez es constante. II. En el M.C.U. la aceleración normal

es constante. III. En el M.C.U.V. la magnitud de la

aceleración tangencial es constante.

A) VVV B) VFV C) VFF D) FFF E) VFV

92. Un ciclista se traslada por una pista circular de radio 2 m. Si en cierto instante su rapidez es de 1 m/s, alcanzando 2 m/s 1/4 de vuelta

después, halle T

a y N

a (en m/s2)

cuando v 1 m/ s= , si realiza MCUV.

A) 3 1

;2 4p

B) 1 3

;4 2p

C) 3 1

;2 2p

D) 3 1

;4 2p

E) 3 1

;2p

93. Hallar la aceleración angular (en

rad/s2) con la que una partícula debe iniciar su MCUV, para que luego de 10 segundos sus aceleraciones tangencial y centrípeta sean de igual magnitud.

A) 1

5 B)

1

10 C)

1

25

D) 1

50 E)

1

100

94. Una partícula realiza un movimiento circular uniformemente acelerado con aceleración tangencial de módulo

2

ta 2 m/ s= . Si la magnitud de la

aceleración normal en el instante t 0 s= fue de 1 m/s2, halle la

magnitud (en m/s2) de la aceleración normal, cuando el desplazamiento angular sea de 3 radiantes. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

95. Un móvil parte del reposo iniciando

un MCUV de radio 6

R m .=p

Si

22rad/ s

3

-pa = ; halle el módulo de la

aceleración total del móvil después de 1 segundo (en m/s2) y el ángulo que hace con la aceleración normal (en gramos sexagesimales). A) 3,9 ; 15 B) 4,3 ; 18,5 C) 6,4 ; 20 D) 9,3 ; 25,5 E) 12,4 ; 30

96. Se lanza un proyectil desde la superficie terrestre con una velocidad

( )v 60i 80j m / s= +r

$ $ . Determine las

magnitudes de las aceleraciones normal y tangencial (en m/s2) luego de 8 s. A) 5 y 6 B) 6 y 8 C) 10 y 10 D) 10 y 0 E) 0 y 10


CEPRE-UNI ARITMÉTICA - 58 -

ARITMÉTICA

01. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. MA > MG > MH II. Si MA=MH entonces MA=MG=MH

III. MG2 = MA MH A) VVV B) VVF C) VFF D) FVF E) FFF

02. Si la razón aritmética de 2 números

es 32. Calcular su media armónica si la diferencia entre su media aritmética y geométrica es 8. A) 2,5 B) 2,7 C) 3,5 D) 4,8 E) 7,2

03. Si para 2 números se cumple que

MA/MH es igual a 16/15. Hallar su MG sabiendo que la diferencia de cuadrados de dichos números es 144.

A) 2 5 B) 3 5 C) 2 10

D) 2 15 E) 3 15

04. El cociente de dos números es 9. Si

la diferencia entre la MA y MG de los dos números es 8, hallar la MH de los dos números. A) 8 B) 4 C) 7,2 D) 9 E) 12

05. Un atleta corre 100 m planos y

demora 9,01 seg a favor del viento. Luego corre la misma distancia pero en contra del viento en 10,1 s, luego la velocidad promedio (m/s). A) 9,92 B) 10,14 C) 10,24 D) 10,46 E) 11,20

06. La media armónica y media

aritmética de dos números enteros es 10 y 6,4. El error que se comete al tomar el promedio aritmético como promedio geométrico (número entero), es: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

07. La media geométrica y la media aritmética de dos números pares positivos, se diferencian en uno. Si la suma de dichos números es menor que 11, luego la diferencia de ellos es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

08. Calcular el valor de N, donde:

N = ABC AB

DE

, si se conoce que:

A es media diferencia de B y C B es tercera proporcional de 4 y 12 C es cuarta diferencial de A, D y 6 D es media proporcional de 6 y 24 E es cuarta proporcional de 30, 5 y A. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

09. La razón aritmética de la razón

aritmética y la razón geométrica de dos números enteros positivos es 2,2. Calcular la suma de dichos números si esta es la menor posible y la razón geométrica menor que la unidad. A) 24 B) 27 C) 29 D) 32 E) 33

10. En una proporción geométrica

discreta, el producto de los antecedentes es 560, luego la suma de los cuadrados de los términos de la proporción es: A) 1 258 B) 1 460 C) 1 580 D) 1 582 E) 1 586

11. En una proporción se cumple que la

suma de los términos medios es 19 y la de los extremos 21. Si la suma de los cuadrados de sus términos es 442. Hallar la diferencia de los términos extremos. A) 8 B) 9 C) 12 D) 13 E) 15



12. La cuarta proporcional de tres números a, b y c proporcionales a 6, 9 y 15 es 270. La media geométrica de b y (a + 2c) es: A) 36 B) 108 C) 180 D) 216 E) 225

13. La razón de una proporción

geométrica es igual a la media proporcional y la suma de los cuatro términos es 361. Determine la diferencia de los extremos. A) 312 B) 318 C) 320 D) 323 E) 324

14. En una proporción geométrica se cumple que la suma de los términos de la primera razón es 45, la de la segunda es 15 y la de los consecuentes es 16. Entonces, la suma de las cifras del primer antecedente es. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

15. Una proporción geométrica continua de términos enteros positivos y razón entera, es tal que la suma de sus términos es 36. ¿Cuántas proporciones con éstas características existen? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

16. Si a b

;b c a+b+c=28 y

1 1 1 7

a b c 16 .

Calcular la MG de a y c. A) 8 B) 12 C) 6 D) 4 E) 3

17. Sean a, b, c, d son números

naturales tal que: 1<a<b<c<d; a c

b d

y a c 40

.b d bc Hallar el máximo valor

de d. A) 44 B) 45 C) 46 D) 47 E) 48

18. Si a b

b c , además:

4 4 4

4 4 4

a b c 1

256a b c

Calcular b A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

19. Sean a, b y c enteros positivos tales que forman una proporción geométrica continua cuya suma de términos es 32. Hallar la diferencia de los extremos. Si a, b y c son diferentes entre si; además b>c. A) 3 B) 4 C) 6

D) 10 E) 16

20. En una proporción geométrica discreta, el producto de los antecedentes es 108 y su diferencia es igual al doble del menor de los antecedentes. Si la suma de los 4 términos de la proporción es 144. Hallar el menor de los consecuentes. A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 E) 36

21. Cuatro números enteros positivos a, b, c, d están relacionados en la siguiente forma:

2 2

2

a b a b b a 5d;

b a b c b a 3c

Entonces a + b + c + d es a: A) 49 B) 60 C) 67 D) 69 E) 72

22. Si a, b y d son números positivos tal

que: 3

a c

b d y

3 3

3

a 16 c

db 54

Hallar 2 2 / 3

2 2

2b d

2a c

A) 2,25 B) 2,35 C) 2,45 D) 2,55 E) 2,65



23. Tres números que están en progresión aritmética, aumentados en 3, 4 y 9 son proporcionales a 10, 25 y 50. El mayor número es: A) 9 B) 10 C) 11 D) 20 E) 33

24. En un conjunto de tres razones geométricas continuas equivalentes la suma de las inversas de los antecedentes es 13/54, además la suma de los consecuentes es 26. Hallar la diferencia de los extremos. A) 15 B) 16 C) 36 D) 48 E) 52

25. Si: a c e

3b d f , entonces el valor

de

E = 3 3 3 4 4 4

3 3 3 4 4 4

3a 5e 7c c a e

3b 5f 7d d b f

es:

A) 81 B) 92 C) 98 D) 104 E) 108

26. Si a c e

2b d f , la suma de las

cifras de E = 3 3 3

4 4 4

a b c d e f

b d f

es:

A) 6 B) 7 C) 8 D) 16 E) 17

27. Si a b c

n! (n 1)! (n 2)!

y

a + b + c = 5 887; a, b, c

Hallar la suma de cifras de a b c A) 43 B) 44 C) 45 D) 46 E) 47

28. Si M = a b c d e f

b b d d f f

luego: 2 2 2

a c e

b d f

es:

A) 3M2 B) 5M2 C) 7M2

D) 9M2 E) 12M2

29. Calcular el mayor término de un conjunto de razones geométricas equivalentes continuas, si la suma de los 6 términos es 156 y la razón es un entero. A) 9 B) 27 C) 72 D) 81 E) 93

30. Se tiene un conjunto de cuatro razones geométricas equivalentes, en el cual la suma de los cuadrados de los antecedentes es 6 321; además la suma de los términos de cada razón son: 18; 45; 54; 72 respectivamente. Calcular la suma de los consecuentes. A) 42 B) 48 C) 50 D) 52 E) 82

31. Si a b a 5 3 b

b 3 a 10 a b 4

Hallar el valor de la razón aritmética de a y b A) 7 B) 8 C) 11 D) 14 E) 15

32. Si a b c

b c d ;

a c a b c

b d b 5d

y

b + c2 = 192. Hallar a A) 128 B) 184 C) 192 D) 256 E) 512

33. Cuatro razones geométricas iguales

y continuas cumplen que la suma de sus términos diferentes excede a la suma de los extremos en 310. Halle la diferencia de los extremos, si la razón es entera. A) 1 224 B) 1 236 C) 1 248 D) 1 250 E) 1 254

34. Si a b c d

;10 8 4 2

a b c d .

Hallar a – b + c – d. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6



35. Si 2 2 2 2

a b c d

48 108 192 300 , además

a3+b3+c3+d3 = 14 336 y a, b, c, d son enteros positivos, luego:

S = a 2 b 3 c 4 d 5

a 2 b 3 c 4 d 5

es:

A) 5

3 B)

16

5 C)

19

4

D) 20

3 E)

23

3

36. Si 1 2 n

1 2 n

a a ... a

b b ... b

+ 1 2 n

1 2 n

a a ... a

b b ... b

= 34

Además: 1 2 n

2 2 n

a a a...

b b b

Luego: 2 2 21 2 n

2 2 21 2 n

a b ... a

b b ... b

es:

A) 0,5 B) 1 C) 2 D) 2,5 E) 3,0

37. En un conjunto de razones iguales

los consecuentes son 1, 2, 3, 4, … además el producto de sus antecedentes es 645 120, luego el número de razones como mínimo que se puede obtener, si su constante de proporcionalidad es un número entero positivo es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

38. Hallar los valores de a y b que hagan

constante a la expresión siguiente:

E = (a 2)x (2a 3b 4)y a b 4 z

3x 5y 7z

Dar como respuesta E A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

39. Juan planta rosas más rápidamente que Luís en la proporción de 5 a 4. Cuando Luís planta z rosas en una hora, Juan planta cuatro adicionales. En 6 horas Luís plantaría: A) 64 B) 76 C) 86 D) 96 E) 124

40. Lo que cobra y lo que gasta Luís diariamente suman 95 y además están en la relación de 2 es a 3. Para que la relación sea de 3 a 4, el gasto debe disminuir en:

A) 5 B) 19

3 C)

29

3

D) 11 E) 13

41. La edad de un hijo es a la edad de su padre como 3 es a 5, dentro de 30 años, la relación de sus edades será como 5 a 7. La edad del hijo hace ocho años fue: A) 31 B) 33 C) 35 D) 37 E) 41

42. Luís nació 6 años antes que Manuel y hace n años sus edades eran como 1

3 de la diferencia de sus edades es a

1 y dentro de n años la relación de sus edades será como 2/3 de la diferencia de edades es la mitad de dicha diferencia. El valor de n es: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 12

43. En un mapa cuya escala es 1:100, se grafica el recorrido de un barco. El barco parte de un puerto A en el Océano Pacífico hasta otro B distanciado a 1 500 km en dirección N50°W, luego va a otro puerto C situado a 2 000 km en dirección S50°E, entonces la distancia de A hasta C en el mapa en centímetros es: A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 26

44. Una persona quiere pasar por la aduana 68 cajas de cigarros y como no tiene dinero suficiente decide pagar con 8 de éstos y recibe de vuelto S/.60, más si solo pagara con S/.4, tendría que adicionar S/. 276. ¿Cuánto cuesta una caja de cigarros? A) 75 B) 84 C) 90 D) 100 E) 120



45. En una reunión social se observó que el número de varones que no bailan es al número de varones asistentes como 3 es a 10. Si todas las mujeres están bailando y son 20 más que los varones que no bailan. Hallar la diferencia del número de varones y mujeres. A) 13 B) 15 C) 17 D) 20 E) 22

46. En una fiesta los varones y las mujeres asistentes están en la relación de 3 a 1. Después de transcurridas 2 horas se retiran 20 parejas y ocurre que la nueva relación de varones a mujeres es de 5 a 1, entonces cuando transcurran 2 horas más se retiran x parejas más y la relación es de 6 a 1, el valor de x es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10

47. Al recorrer una distancia de 5 000 m,

“A” le saca a “B” una ventaja de 500 m. Si al recorrer 24 000 m ambos llegan al mismo tiempo, habiendo partido B con 5 minutos de anticipación, ¿cuál es la velocidad de A en m/min? A) 580,0 B) 513,5 C) 533,3 D) 565,3 E) 635,4

48. En un concierto musical, en la zona VIP, cuya capacidad era para 620 personas se observa lo siguiente: Por cada 2 varones, había 5 damas y por cada 3 damas había dos asientos vacíos. Si el costo de la entrada era de $ 60, hallar la suma de las cifras de la recaudación obtenida en dicha zona. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

49. Un automovilista parte de un punto A al mismo tiempo que un ciclista sale de un punto B, distante en 40 km del punto A. Ambos recorren el camino ABC en el mismo sentido, con velocidades iniciales que son entre si como 5 es a 1; pero una vez que el automovilista alcanza al ciclista, la razón de las nuevas velocidades es 15

6. Calcular la distancia del punto A

al punto en el cual el ciclista está atrasado 12 km. A) 48 B) 52 C) 54 D) 58 E) 60

50. Un automóvil viaja de una ciudad a

otra distantes 510 km, el viaje lo realiza en tres tramos siendo sus velocidades constantes proporcionales a 3; 2 y 5 y los tiempos empleados fueron proporcionales a 7, 10 y 2. El segundo tramo tiene una distancia en km de: A) 200 B) 210 C) 220 D) 230 E) 240

51. Cinco personas acordaron pagar una

deuda de esta curiosa forma: El primero la media armónica de lo que paga el segundo y el cuarto. El quinto dos décimos de la deuda, el segundo la razón geométrica del producto de los dos últimos y el doble del tercero, el cuarto la séptima parte, el tercero la razón aritmética de los dos últimos y si faltase para cancelar la deuda lo haría el primero. Si éste aportó 14 763 adicionales, ¿cuántos soles menos que el primero pagó el segundo? A) 8 778 B) 8 885 C) 8 958 D) 9 752 E) 9 846



52. Una pareja de esposos se conocieron hace 9 años, desde aquel entonces a la actualidad la relación de

sus edades ha variado en 1

21

unidades, además según lo planificado, su primer hijo lo tendrán dentro de un año y cuando éste cumpla la mayoría de edad, la relación de sus edades desde que se conocieron habrá disminuido en 2/23 unidades. La suma de las cifras de la edad de la esposa cuando tuvo su primer hijo es: A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

53. Si 8 bolitas de 0,4 mm de radio pesan 256 gramos. ¿Cuál será el peso de 12 bolitas de 0,4 mm de radio con 7 bolitas del mismo material que los anteriores, pero con radio de 0,6 mm? A) 960 B) 1 000 C) 1 020 D) 1 140 E) 1 180

54. Indicar el valor de verdad: I. Si A IP B, entonces sus

magnitudes correspondientes se ubican como puntos en el sistema de coordenadas cartesianas a lo largo de una hipérbola equilátera, que se ubica en el primer cuadrante.

II. Si A DP B2 entonces B IP 1

A

III. A DP B (C se mantiene constante) y C DP B (A se mantiene constante) entonces A IP C (B se mantiene constante)

A) VFF B) VFV C) FFV D) FVV E) FFF

55. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Si la magnitud A es IP a la magnitud B y ésta es IP a otra

magnitud C entonces A y C son IP

II. Dos magnitudes son DP si su gráfica es una recta.

III. El valor de la constante de proporcionalidad para dos magnitudes DP está dada por el valor de la pendiente de la recta que se obtiene al graficar su relación de proporcionalidad.

A) FFF B) FFV C) FVF D) FVV E) VVV

56. Indicar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Si un móvil se desplaza a

velocidad constante y registramos las magnitudes espacio y tiempo entonces espacio DP tiempo.

II. Al registrar las medidas del lado y área de diversos cuadrados podemos decir lado DP área.

III. Al registrar las medidas de la longitud y diámetro de diversas circunferencias podemos afirmar longitud DP diámetro.

IV. Si cada día se evapora la mitad del contenido de agua de un estanque entonces días transcurridos IP volumen.

A) VFFV B) VFVF C) VFVV D) FFVV E) FVVV

57. Si A DP B2 y por otro lado B IP C. Por cuánto se multiplica A cuando C disminuye 3/4 de su valor. A) 4 B) 8 C) 16 D) 20 E) 32

58. La magnitud A varía DP con B e IP con C. Cuando A es 2/3, B es 9/14 y C

es 2

B3

, calcule B, cuando A = 4 3 y

C = 75

A) 16 B) 20 C) 30 D) 42 E) 135



59. Sabiendo que la magnitud A es DP al cuadrado de la magnitud B, determinar en qué fracción de su valor aumentó A si B aumenta en la mitad de su valor.

A) 1

4 B)

1

2 C)

3

4

D) 3

2 E)

5

4

60. Una magnitud A varía proporcionalmente con B2 y es inversamente proporcional con la magnitud C. A sí mismo B varía

proporcionalmente con D y la magnitud C varía inversamente con la magnitud E. Si cuando A = 40, D = 2 y E = 5. Hallar A cuando DE = 20 A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100

61. Si f es una función de proporcionalidad directa y g es una función de proporcionalidad inversa, donde:

f(1) + g(1) = 51 f(3) + g(4) = 150,25

El valor de E = f(5) g(5) es: A) 50 B) 525 C) 750 D) 1 025 E) 1 250

62. Si f es una función de proporcionalidad directa y g es una función de proporcionalidad inversa, donde: f(1) + g(1) = 39; f(6) + g(6) = 24, f(b) = 3g(b), entonces el valor de E = f(3) + g(3) + b, es: A) 19 B) 25 C) 26 D) 27 E) 29

63. En la tabla, el valor de a es:

A 8 12 a 9

B 2 3 32 4

C 4 4 1 3

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

64. Del gráfico calcula b1 + b2 + b3

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

65. El área sombreada es 48 u2. El valor de (x + y + z) es:

A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

66. Se tiene el gráfico

Donde el área triángulo rectángulo OAB es 37,5 entonces a+b+c es:

A) 8,1 B) 79

3 C)

85

9

D) 11 E) 12,3

2

Q

R

P b1

b2

b3

B

4 6 8 0

Hipérbola Equilátera

2

AB A

z 4 x

A1

B

8 B

y

16

9

B

PQ

a

Q

b 5 c O

P1

Q

P

A



67. Para las magnitudes M y N se tiene

que en el intervalo 0; a] presentan proporcionalidad inversa y en [a; u] proporcionalidad directa. Si P = (2, 7), entonces el punto Q es:

A) 7 5

2;5

B)5

5;5

C) 1

5;7

D) 7 5

2 5;5

E) 2 5; 7

68. Se tienen dos isotermas (PV = K) el

valor de n de la curva AB es:

A) 1,5 B) 3,0 C) 3,5 D) 4,0 E) 4,2

69. Una esfera tiene un radio de a centímetros y su volumen es N litros; otra esfera de a decímetros de radio tiene un volumen de N + K litros, entonces K es: A) 99 N B) 199 N C) 399 N D) 499 N E) 999 N

70. Un diamante de n quilates cuesta M soles. ¿Cuántos soles cuesta un diamante de 3n quilates si un quilate es 0,25 gramos y el precio es DP al cuadrado del peso? A) 4 M B) 6 M C) 7M D) 9 M E) 16 M

71. Un depósito cónico de 5 dm de radio está lleno con agua; se desea desalojar un determinado volumen y para esto se hace un agujero en el vértice del depósito y se cierra cuando el radio del nuevo volumen cónico es de 3 dm. Si, el volumen cónico de agua es proporcional al cubo de la profundidad, luego el porcentaje del volumen desalojado fue del: A) 21,6 B) 30,2 C) 35,8 D) 76,6 E) 78,4

72. El número de artículos producidos por un obrero es DP a su salario por hora e IP a la raíz cuadrada del número de horas que trabaja. Si trabajando 4 horas diarias y ganando 600 soles por hora produce 60 artículos. ¿Cuánto más produce si trabaja 9 horas diarias y gana 1 200 soles por hora? A) 10 B) 20 C) 22 D) 25 E) 28

73. Sabemos que el caudal es la constante de proporcionalidad para el área de la sección transversal de una tubería y la velocidad del agua que circula a través de ella y éstas magnitudes son inversamente proporcionales en una tubería de 2 sectores: uno más angosto que el otro. Si los radios están en la relación de 3 a 4 y la velocidad en el sector de radio menor es de 16 m/s, hallar la velocidad en el otro sector en m/s. A) 8 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15

b

R 7

N

2 a 8 0

S

Q

P

M

2

4

P (presión)

b 5 c 0

B

A M

N

Pvn

V (Volumen)



74. En un edificio el volumen de agua que se lleva a un cierto piso es IP a Tn, donde T es el tiempo que demora en llegar el agua al piso n. Si cuando se lleva 80 litros al segundo piso la demora es de 4 segundos. ¿Qué tiempo demorará en llevar 5 litros al cuarto piso? A) 4,0 B) 4,5 C) 5,0 D) 6,0 E) 8,0

75. El costo C de un artículo es igual a la suma de los gastos G en materias primas y salarios S. El gasto en materias primas es IP a la cantidad de maquinarias Q que se tiene y el salario es DP al número de horas H trabajadas por día. Si Q = 2 y H = 6, entonces C = 12. Si Q = 4 y H = 9, entonces C = 16. Si C = 23 y Q = 6, hallar H. A) 13,4 B) 13,5 C) 13,6 D) 13,8 E) 13,96

76. El alargamiento que sufre una barra es proporcional a su longitud y a la fuerza que se aplica, e IP a su sección transversal y rigidez. Si a una barra de acero de un metro de longitud y 50 mm2 de sección se le aplica 2 500 Nt, Sufre un alargamiento de 10–1 mm. Determine el alargamiento en mm que ocasiona 800 Nt aplicado a una barra de aluminio de 75 cm de longitud y 16 mm2 de sección, sabiendo que la rigidez del aluminio es 50% menos que la del acero. A) 0,12 B) 0,15 C) 0,16 D) 0,18 E) 0,20

77. Para pintar un cubo de 5 cm de arista se gastó 3 soles, y para pintar un cubo de x cm de arista se gastó 27 soles. Hallar la suma de las cifras de x.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

78. En un prado hay un pequeño corral cuyas dimensiones son de 3 por 4 metros. Si en la esquina de este corral se ata un buey con una cuerda de 3 m, el animal puede alimentarse durante 27 horas del pasto que está a su alcance. ¿Cuántos metros más debe tener la cuerda, para que el alimento le pueda alcanzar para 53 horas más? A) 1,88 B) 1,96 C) 2,00 D) 2,12 E) 2,16

79. Una vaca atada a una cuerda

demora 5 horas en comer toda la hierba que está a su alcance. Si la cuerda se acorta en 1/5 de su longitud, se demoraría en horas: A) 2,0 B) 2,5 C) 3,0 D) 3,3 E) 4,2

80. Una gallina y media pone huevo y

medio en un día y medio. ¿cuántos huevos pondrán tres gallinas en tres días? A) Absurdo B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

81. Un obrero emplea n minutos en

realizar una parte de la obra igual a 1/3 de la obra que aún le falta, y descansa tantos minutos como los que había trabajado, luego reanuda su labor duplicando su rendimiento y así termina toda la obra. ¿Cuántos minutos empleó en toda la obra incluyendo el descanso? A) 4 n B) 5,5 n C) 3,5 n D) 5 n E) 4,5 n



82. Un grupo A, formado por 80 obreros, en 9 días de trabajo hicieron 5/22 de la obra. ¿Cuántos obreros tendrán que contratarse adicionalmente de un grupo B para terminar el resto de la obra en los 15 días siguientes?; Si lo que hace un obrero del grupo B en 5 horas lo hace un obrero del grupo A en 1 hora. A) 410 B) 412 C) 414 D) 416 E) 418

83. Si Juan puede hacer una obra en 2 horas y Juan con Pedro los dos juntos pueden hacer el doble de la obra inicial en 5/3 horas. ¿En qué tiempo haría Pedro la nueva obra?

A) 20

7 B)

24

7 C)

29

7

D) 34

7 E)

36

7

84. Treinta obreros trabajando 6 horas por día, durante 16 días,

pueden hacer una zanja de 2 m 4 m

1,5 m. z obreros trabajando 12 horas por día durante 9 días hacen

una zanja de 1,5 m 2 m 9 m. Hallar z. A) 36 B) 42 C) 48 D) 54 E) 60

85. Cuatro obreros pueden hacer una

obra en 40 días. Después de 10 días de trabajo se retira 1 obrero. ¿Con cuántos días de retrazo se entregó la obra? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

86. Un pintor cobra N soles por pintar, pasando 2 manos de pintura, un círculo de r metros. ¿cuántos soles debe cobrar por pintar, pasando 3 manos de pintura, un círculo de 2 r metros? El costo incluye mano de obra y la pintura.

A) 6 N B) 3 N C) 9 N D) 8 N E) 10 N

87. Un grupo de 20 obreros han hecho 2/5 de la obra en 24 días. Luego se retiran 4 de ellos y terminan los restantes lo que falta en 30 días. ¿En que porcentaje deberán aumentar su eficiencia los obreros restantes? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

88. Un grupo de exploradores pueden

realizar una prospección en un terreno de 350 hectáreas en 14 días de 8 horas de trabajo. Si el personal aumenta su eficiencia en 50%. ¿Cuántos días de 6 horas de trabajo sería necesario para realizar dicha exploración en un terreno de 750 hectáreas que es dos veces más dificultoso? A) 53,3 B) 54 C) 60 D) 72 E) 80

89. Cincuenta obreros pueden hacer

150 m de un cerco perimétrico trabajando 40 días en jornadas de 9 horas diarias. ¿Cuánto tardarían si se aumenta 100 obreros 50% más eficientes que los anteriores para hacer 600 m de otro cerco perimétrico cuyo grado de dificultad es el triple del anterior en jornadas de 8 horas diarias? A) 105 B) 115 C) 125 D) 135 E) 150

90. Dieciocho obreros que laboran 10

horas diarias deben entregar una obra en un plazo dado, pero en los últimos 2 días todos deben quedarse n horas de sobre tiempo por que uno de los obreros faltó 3 días y otro de ellos faltó 4 días. Calcular n aproximadamente. A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 3 E) 3,5



91. Un grupo de 10 alumnos resuelve en 5 horas una tarea consistente en 20 problemas de igual dificultad. Otra tarea consiste en resolver 8 problemas cuya dificultad es el doble de las anteriores. Si no se presentaron dos integrantes del grupo, entonces los restantes alumnos terminarán la segunda tarea en: A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

92. Una vaca y un caballo tardan 20 y 15

días para comer todo el pasto de un pastizal de similar extensión. ¿Cuánto tiempo tardarán en comer todo el pasto ambos la vaca y el caballo?

A) 58

7 B)

59

7 C)

60

7

D) 61

7 E)

62

7

93. En un camal hay 35 vacas con

alimentos para A días, si luego del primer día se sacrifica una vaca diaria para comercializar la carne en el mercado, entonces los alimentos alcanzan para 6 días más. Hallar A. A) 5 B) 14 C) 15 D) 17 E) 22

94. Un grupo de 24 obreros han hecho

en 11 días una parte de una obra, y a partir de ese día se aumentó 8 obreros cada día y la obra se terminó cuatro días después. ¿Qué porcentaje de la obra se hizo en los primeros 11 días? A) 40 B) 48 C) 56 D) 60 E) 64

95. En un tractor, la longitud de la

circunferencia de las ruedas traseras son los 7/5 de la longitud de las circunferencias de las ruedas delanteras. Cuando una de ellas ha dado 468 vueltas más que la otra, el tractor ha recorrido 4 095 metros. La

longitud de la circunferencia de una de las ruedas es: A) 2,0 B) 2,5 C) 2,8 D) 3,0 E) 3,2

96. Veinticinco obreros hacen 5/8 de una obra en 10 días. A partir de ese momento se contratan n obreros más cada día, terminándose 2 días antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros si hubieran continuado solos. El valor de n es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

97. Un albañil y un ayudante pueden hacer una obra en 12 días trabajando 8 horas diarias. Sabiendo que el trabajo de 3 ayudantes equivale al trabajo de 2 albañiles; el número de horas diarias que deben trabajar 2 albañiles y un ayudante para hacer el doble de obra en 8 días es: A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

98. Una persona puede realizar 1/3 de una labor en 4 días, otra persona hace lo que falta en 1 día. Si el primero aumenta su eficiencia al doble, el tiempo en que acabarían la labor juntos será:

A) 1 B) 11

5 C) 2

D) 21

5 E) 3

1

2

99. Veinte obreros pueden hacer una obra en 60 días, se desea hacer los 7

80 partes de la obra para ello se

despide un obrero cada día a partir del segundo día ¿En cuántos días se hará dicho avance? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9



100. Seis obreros debían hacer un pozo de forma cilíndrica durante 18 días trabajando 8 horas diarias. Antes de iniciar el décimo día de la jornada observa que han hecho el trabajo con las mismas dimensiones pero en forma cónica, luego el contratista dispone aumentar el número de obreros pero doblemente más eficientes, trabajando junto con los anteriores 1 hora más por día para terminar la obra en 3 días antes de lo que se proyectó. Luego la cantidad de obreros que aumentaron es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

101. Se tienen dos cuadrillas de obreros.

Si 6 obreros de la primera cuadrilla pueden realizar una obra en 8 días a razón de 5 horas por día y la misma obra la pueden realizar 8 obreros de la segunda cuadrilla en 5 días, trabajando a razón de 12 horas por día. ¿En cuántos días harían la obra 3 obreros de la primera cuadrilla y 6 obreros de la segunda, trabajando 8 horas por día? A) 3 B) 5 C) 6 D) 25 E) 30

102. Veintitrés obreros pueden hacer una obra en 29 días, a 8 h/d. Luego de 13 días, 14 de estos obreros aumentan su eficiencia en 50% solo durante 6 días; después de esto se incorpora un obrero con igual eficiencia que los obreros iniciales. Trabajando todos 6 días pero 2 horas menos por día. Si se acordó trabajar 5 h/d. ¿Cuántos obreros de doble eficiencia se debe contratar para terminar la obra en el plazo fijado? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

103. Un tubo de plomo de 658,88 m se dividió en dos partes desiguales. Después se necesita que estas partes fueran iguales y de tamaño conveniente, por lo que de la primera

se acortó 1

5 de su longitud, y de la

segunda los 2

9. Hallar la suma de las

cifras de la parte menor inicial. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

104. Al repartir una cantidad DP a , y se observó que el tercero recibió 3000 dólares más que el primero y el segundo recibió 1000 dólares más que el primero. La suma de las edades de los hermanos es 160 siendo la edad del primero el mayor número entero posible. Hallar la suma de las cifras de la cantidad que se repartió. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

105. Se dividen N en tres partes de modo que sus cuadrados son DP a 0,2; 0,5 y 0,4 e IP a 3; 6/5 y 8/3. Si la mayor parte se divide en 2 partes que sean DP a los valores de las otras dos partes. Calcular una de éstas dos partes en tanto por ciento de N A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 51



106. Si se calcula un reparto en forma DP a los cuadrados de las edades de 3 hermanos, las cuales son proporcionales a 1, 2 y 3 entonces:

A) El mayor recibirá 8 veces lo que recibe el menor.

B) El mayor recibirá 180% de lo que reciben los otros dos juntos.

C) El menor recibirá el 50% de lo que recibe el segundo.

D) El segundo recibe (4/9)% de lo que recibe el mayor.

E) El mayor recibe 9/13 del total.

107. Dos hermanos se han repartido una herencia en forma inversamente proporcional a ciertos números, uno de los cuales es n% del otro. Uno de los hermanos recibió el 40% de la herencia. ¿En qué porcentaje aumentaría este monto si el reparto se hiciera en forma directa proporcional a los mismos números? A) 25 B) 36 C) 37 D) 42 E) 50

108. Se reparte una cantidad de manera DP a los n primeros enteros positivos,

observándose que entre la primera y última parte en conjunto ascienden a la vigésimo quinta parte del total. El número de partes en que se repartió es: A) 45 B) 44 C) 48 D) 50 E) 64

109. Un grupo de obreros compuesto por 20 varones, 15 mujeres y 10 niños, ha ganado S/.12 665, en los lavaderos de oro del departamento de Madre de Dios. Ellos desean repartir la ganancia de acuerdo a la siguiente regla estipulada al comienzo de las operaciones: Lo que gana una mujer es a lo que gana un varón como 3 es a 4; mientras que lo que gana un niño es a lo que gana una mujer como 4 es

a 5. Hallar la suma de las cifras de lo que gana un niño. A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12

110. Dos agricultores riegan sus terrenos de 800 y 1000 m2 con bombas cuyas eficiencias están en la relación de 1 a 2 respectivamente. Como no pueden terminar el riego de sus terrenos, contratan a otro agricultor, cuya bomba de riego es tres veces la eficiencia de la primera, cobrándoles 180 dólares. ¿Qué tanto por ciento aportó el segundo?

A) 40, 6 B) 41,3 C) 42, 6

D) 44, 4 E) 55, 5

111. Entre dos pueblos A y B, alquilan un

prado por S/. 49 800 anuales. Los 2 pueblos tienen derecho al pastoreo de 350 y 280 cabezas de ganado vacuno respectivamente. Los pueblos distan del prado 1 500 m y 2 400 m respectivamente. La cantidad que le corresponde abonar a cada pueblo está en razón directa del número de cabezas de ganado y en razón inversa de la distancia entre el pueblo y el prado. El pueblo que más aporta, abona: A) 16 600 B) 33 200 C) 36 000 D) 36 800 E) 36 900

112. Andrés y Edwin se asociaron y

formaron un negocio que duró 2 años, el primero aportó al inicio S/. 2 000, 8 meses después S/. 1 500 más, el segundo S/. 5 000 al inicio, luego de 5 meses retira S/. 1 000 y 2 meses después aumentó S/. 500. Si el negocio se liquidó con S/. 21 780. ¿Cuánto de utilidad le corresponde a Edwin? A) 1 800 B) 4 140 C) 8 640 D) 13 140 E) 18 640



113. Tres socios forman una empresa el primero da la idea y por tal motivo se llevará el 5% de la utilidad de la empresa, el segundo socio aporta $10 000 y trabajará como gerente y debido a su trabajo ganará el 10% de la utilidad total aparte de lo que le corresponde y el tercero aportó $20000. ¿Cuánto ganó el que aportó la idea, si el tercero ganó $18600 más que el él?, dar la respuesta en dólares. A) 1 800 B) 1 900 C) 2 000 D) 2 400 E) 2 500

114. Cierta compañía empezó con un

socio y aceptó un socio más en cada mes el cual aportaba el mismo capital que el fundador. El socio fundador debe recibir el n% de la utilidad total, antes de cualquier reparto, por el mérito de ser el de la iniciativa. Si a los 12 meses de iniciada la empresa se realiza un reparto de las ganancias ¿en qué proporción estará lo que reciben el primero y el penúltimo de los socios no fundadores? A) 11,0 B) 11,2 C) 11,4 D) 11,5 E) 11,9

115. Una cierta compañía fue disuelta, por lo que los tres socios retiraron entre aporte y ganancia: el primero $90 630; el segundo, $38 637 y el tercero $11 403. Si la ganancia fue de 15 630, hallar la suma de las cifras de las ganancias del tercero. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 21

116. Un empresario inició un negocio con

8 000 dólares, cuatro meses después acepta un socio con 12 000 dólares de aporte y dos meses después ingresó un tercer socio con 10 000 dólares de capital. El negocio se liquidó a los 2 años de iniciado y el primero recibió 15 200 dólares menos que los otros

dos juntos. ¿Cuál es la ganancia del primer socio aproximadamente? A) 850 B) 860 C) 870 D) 947 E) 1 000

117. Tres socios aportan capitales durante un año de la siguiente manera: el primero el doble que el segundo y este en la proporción de 3 a 2 con el tercero. A los 5 meses el primero retira su capital, tres meses después se retira el segundo y el tercero liquida el negocio repartiendo las utilidades. Si el primero se hubiese quedado un mes más hubiera retirado 68 dólares más. ¿Qué utilidad recibió el segundo socio? A) 348 B) 350 C) 467,5 D) 374 E) 1122

118. Un padre reparte canicas en partes proporcionales a las edades de sus hijos, de la siguiente manera: al primero le da 32; al segundo le da 24, pero antes de darle a los otros, se da cuenta que tiene 20 canicas más de las que pensó, entonces le da 4 más al primero, algunos más al segundo y los restantes a los otros hijos. ¿Cuántas canicas en total tenía el padre? A) 120 B) 160 C) 180 D) 200 E) 240

119. A forma una empresa con un capital

de S/.9 000, al mes acepta un socio B el cual aporta S/. 6 000. El socio A será el gerente de la compañía y por esta razón recibirá el 20% de la utilidad total. Si la empresa se liquida a los 10 meses de su fundación, ¿con qué cantidad de dinero se retira A, si la diferencia de las ganancias totales de los 2 socios fue de S/. 4 000? A) 12 000 B) 15 000 C) 16 000 D) 18 000 E) 20 000



120. Tres personas: A, B y C forman un negocio aportando S/.15 000,

S/.20000 y S/.30000 respectivamente, al cabo de un año A y B retiran S/.10000 yS/.15000 respectivamente, si el negocio se liquidó después de 2 años de funcionamiento recibiendo el socio A S/.1 100 de ganancia menos, que lo que hubiera recibido si no retiraba parte de su dinero, hallar la ganancia de B. A) 2 500 B) 6 000 C) 6 500 D) 7 000 E) 7 200

121. Varios propietarios se asocian para

la explotación de una patente. El primero que es el propietario de la patente cede su explotación con la condición de percibir el 30% del beneficio. El segundo aporta 5/24 de los fondo necesarios. El tercero 4 000 soles menos pero realizará funciones de gerente mediante una remuneración complementaria del 10% de los beneficios. El cuarto aporta 4 000 soles menos que el tercero y así sucesivamente, hasta el último. Si las aportaciones hubieran sido iguales a las más elevada, el total del capital disponible aumentaría 1/4 de su valor. ¿Cuánto aportó el cuarto socio? A) 54 000 B) 56 000 C) 62 000 B) 64 000 E) 68 000

122. En una muestra donde hay x

bacterias, realizamos lo siguiente: I. Dividimos la muestra en m partes y

tomamos p de ellas, luego, el

resultado es el p

100%m del total.

II. Dividimos la muestra en n partes iguales y tomamos m de ellas, luego, el resultado es el n por m del total.

III. Dividimos en n partes iguales y tomamos m de ellas, entonces el resultado es el m por n del total.

IV. Si 5 bacterias representan 25 ppm, luego el total es 200 000 bacterias.

Entonces el valor de verdad de cada proposición respectivamente es: A) VFVV B) FFVV C) VVVV D) FVVV E) FFFV

123. Un adicto al cigarro ha fumado durante un año un promedio de 2½ cajetillas diarias, de 20 cigarros cada una. Cada cigarro mide 10 cm, de los cuales el 20% es el filtro, y de la longitud neta, el fumador ha desechado en promedio, el 12,5%. Calcule la longitud de cigarro que fumará (en kilómetros) si mantiene esta adición durante 50 años (considere el máximo de años bisiestos). A) 51,3 B) 61,7 C) 63,9 D) 65,0 E) 67,0

124. Se dispone de varios triángulos equiláteros congruentes de la siguiente manera: la primera fila, 1 triangulo; la segunda, 2 triángulos; la tercera, 3 triángulos y así sucesivamente hasta que la última fila tiene 20 triángulos, todos unidos, formando en conjunto otro triángulo equilátero. Halle el porcentaje que representa la parte vacía del triángulo mayor

A) 44,8 B) 45,8 C) 47,5 D) 48,6 E) 49,8

125. Un artículo se vendió con factura a

S/. 142,80 y se ganó S/. 15. ¿Cuánto se ganaría si se vendiera con factura a S/.154,70? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26



126. Si el costo de un producto aumenta 25%, pero el precio de venta se mantiene, la ganancia se reduce en

33, 3 %. ¿Qué porcentaje del precio

de venta se ganaba inicialmente? A) 25,6 B) 30,0 C) 40,0 D) 42,9 E) 50,0

127. Si el número total de artículos aumenta en 20% y el precio de cada artículo disminuye en 20%, ¿qué se puede afirmar acera del precio total? A) No se altera B) Aumenta 4% C) Disminuye 4% D) Aumenta 8% E) Disminuye 8%

128. Se vende un producto en 500 soles

ganando el 25% del costo, pero por el incremento de impuestos el costo del artículo aumenta en un 5%. Para seguir ganando el mismo tanto por ciento, ¿a como se debe vender el artículo? A) 510 B) 515 C) 520 D) 525 E) 530

129. Un vendedor decide aumentar en x%

el precio de un artículo, pero al momento de venderlo realiza una rebaja del y%, notando ahora que el precio es igual al inicial. Entonces decide rematarlo, para lo cual realiza dos descuentos sucesivos del x% y

del y%. Si sabex y

y5 5

son

números enteros consecutivos, hallar el porcentaje equivalente de descuento. A) 30 B) 34 C) 38 D) 40 E) 44

130. El costo de fabricación de un artículo

es de S/. 400. El fabricante lo vende al comerciante ganando un x% y éste al consumidor con una ganancia del 2x% sobre su precio de compra. Si el

consumidor paga 750 por el artículo. ¿Cuánto gana el fabricante? A) 75 B) 80 C) 90 D) 96 E) 100

131. Se vende un artículo con un

descuento del 20%, ganando el 30% del costo, si sus gastos representan el 10% de su costo. Si el precio fijado excede en S/.114 a la ganancia, el precio de venta es: A) 57 B) 64 C) 85 D) 93 E) 104

132. Se vende un carro en S/. 7 200. Si el

precio de costo representa la suma del 125% de la ganancia más el 60% del precio de venta, ¿cuál es la ganancia, en soles? A) 1 280 C) 1 290 C) 1 300 D) 1 310 E) 1 320

133. Al precio fijado de un artículo se le

hizo un descuento de 16,6% y se

ganó S/.20, si se le hubiera hecho un descuento del 10% se ganaría S/.28. ¿A cuánto se debe fijar el precio de venta para que al hacerle un descuento del 20% se gane S/.40? A) 150 B) 160 C) 165 D) 168 E) 170

134. Una persona quiere comprar un

artículo, el minorista le ofrece con un descuento del 10%, el mayorista le ofrece dicho artículo con un descuento del 20% del precio que le ofrece el minorista, si va a la fabrica, en ésta le ofrece un descuento del 20% del precio que le ofrece el mayorista. Si al final lo compra a S/.576 de la fábrica. Calcule el precio inicial del minorista. A) 518,4 B) 624,0 C) 728,0 D) 888,0 E) 1 000,0



135. En la venta de un artículo la ganancia neta es el 5% del precio fijado, el descuento es el 10% del precio de costo y los gastos representan el 40% de la ganancia bruta. Calcular el precio de venta, si los gastos y el descuento suman 112 soles. A) 830 B) 880 C) 890 D) 920 E) 940

136. Una persona compró 200 objetos A y los vendió ganando el 10%, con el importe de la venta compró 80 objetos B y los vendió ganando el 15%, con el importe de ésta última venta compró 828 objetos al precio de S/.99 la docena. ¿Cuánto costó cada objeto A? A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

137. Para fijar el precio de un artículo un

comerciante aumentó su costo en el 65% y al venderlo a un cliente le hizo una rebaja del 20% del precio fijado. ¿Qué porcentaje del costo resultó ganando? A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36

138. José va al mercado mayorista y compra cierto artículo con una rebaja del 25% del precio de lista del mayorista. Cuando José vende dicho artículo lo hace, con un descuento del 20% del precio que fijo para su venta al público y todavía está ganando el 10% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio que fijó José para la venta del artículo representa el precio de lista del comerciante? A) 80 B) 92 C) 95 D) 96 E) 98

139. Un comerciante compró sacos de arroz y los vende perdiendo el 50% del costo. Luego invierte el total comprando sacos de azúcar y los vende ganando el b% del costo y nuevamente gasta todo el dinero en frijoles que luego los vende perdiendo el 50% del costo. Finalmente con el dinero que le queda compra nuevamente arroz que lo vende ganando el b% del costo. Hallar el valor de b, sabiendo que la primera ganancia es igual a la última pérdida. A) 90 B) 100 C) 120 D) 140 E) 150

140. Se compra cierta máquina que

cuesta 80 000 soles y que puede trabajar 300 días al año. Pero se quiere ganar anualmente el 5% del costo de la maquinaria actualizado y pierde 5000 soles anuales por concepto de depreciación, ¿cuál debe ser el presupuesto diario del trabajo de la máquina el 2do año?

A) 242.85 B) 245,83 C) 248,86

D) 250,72 E) 251,83


CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 75 -

ÁLGEBRA

01. Si los monomios ;a a bx ;b b cx

c a cx tienen grado 10; determine

el grado del monomio:

( , , ) . .a bb a ccM x y z x y z

A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30

02. Determine la suma de los coeficientes del siguiente trinomio

P(x; y)=(m – 3)x9–m+mxm–2 ym/3+y17–2m

A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2

03. Indique uno de los grados absolutos

que puede tomar el polinomio:

P(x; y) = 5xn–2 +8

16 ny + 9xy5–n

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

04. Determine el grado absoluto del polinomio:

P(x; y) = 6 33 102

3

m n m m nx y x y xm n n

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

05. Si 58( ) ( 1) 1

1

a a bf x b x xa

291

2x a a

b

, es una expresión

cuya equivalencia es un polinomio, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos. I. GR(f) = 180 II. El término constante es la mitad del

grado. III. La suma de coeficientes de f(x) es:

101. A) I, II y III B) solo I C) solo II D) solo III E) I y III

06. Se define el polinomio

P(x; y) = 22 xa+b–4 ya+b+3 + x2a+b–3 ya+b+1

+ x2a+b–2 ya+b+2 de grado absoluto 41, y la diferencia de los grados relativos a x e y es 2. Determine el valor de

1a bE

b a

.

A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10

07. Sea P(x; y) el polinomio dado por:

P(x; y) = 2x2a–6 y5 – 3xa+2 . ya–4 +

x3 y2a–7 – xa–5 ya–9. Calcule el grado absoluto mínimo que puede tomar P(x; y) A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 17

08. Sea el polinomio:P(x; y) = 4x2n–6 y5 an–1 – 12xn+2 an–4 yn–4 + 6xn–5 yn–7 bn+1 + 2x9–n bn a y b constantes no nulas, cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos? I. El mínimo valor de n es 8. II. El máximo valor de n es 9 III. El mínimo grado absoluto que

puede tomar P(x; y) es 13. A) solo I B) II y III C) I y II D) solo III E) I y III

09. El polinomio

P(x) = (9x8 – 7)n(2x2 + 3x3–1)n–2(x9+3) tiene como grado 47, entonces se puede afirmar que: 5 ( )coef principal deP x es:

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 27



10. Se definen los polinomios: P(x; y) = xmyn–1 + xm–1 y2n Q(x; y) = xm–1 yn+2 – xm yn–2

R(x; y) = P(x; y).Q(x; y) Además en el polinomio R se cumple que GRx = GRy, GA = 14. Determine el grado del polinomio

S(x; y) = P(x; y) – Q(x; y). A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

11. Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos:

I. P(x) = 6x3 + 5x2 + 6 x + 1 es un polinomio ordenado.

II. Q(x) = 1 + x2 – x + 3x3 es un polinomio ordenado.

III. H(x;y) = x3y + xy3 + x2y2 es un polinomio homogéneo.

A) I, II y III B) I y III C) II y III D) I y II E) solo III

12. Si el polinomio:

P(x; y) = 2–1(a + b) 2a +nx –

2b +12y +

3–1(a – b)2b +nx ny es homogéneo.

Determine el producto de sus coeficientes.

A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) 3

13. Si se cumple que : A(x – 1)(x – 3) + B(x – 1)(x + 5)+

C(x – 3) (x + 5) 10x2 – 44x + 58,

para cada x R, cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos.

I. A + B + C = 10 II. A = B2 + C2 – 3BC. III. A > C > B

A) I y II B) II y III C) I y III D) solo II E) solo III

14. ¿Cuántos términos posee el

polinomio homogéneo P(x; y) = xm +

xm–2 y2 + xm–4 y4 +….. para que sea de grado 40 respecto a la variable “y”

A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

15. Sea P(x;y; z) un polinomio

homogéneo de grado 3 que cumple P(1; 2; –1) = 4. Determine el valor de P(– 4; – 8; 4).

A) –256 B) –128 C) –32 D) –16 E) 64

16. Si el polinomio: P(x;y) = nxm(m–1).

y – (x3)m–1 ym + 4n -4mx y , m; n N es

homogéneo, determine P(1; 2). A) –12 B) – 4 C) 6 D) 14 E) 28

17. Si el polinomio P(x) = x2a+1 + 2xb+3 +

3xc+2 + …. es completo y ordenado decrecientemente y posee “2c” términos, determine el valor de a + b + c.

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

18. Determine el valor de 2B + 3C, si se cumple:

2 2

6 Ax B C

x E(2x 1)(3x 1) x D

A) 6

11 B)

18

11 C) 2

D) 3 E) 6

19. Si el polinomio P(x; y; z) = ax2a+2b–c +

by2b+2c–a +cz2c+2a–b es homogéneo,

determine el valor de n n

n

(a b) (b c)T

(c a)

, n N (N es el

conjunto de los naturales), a 0. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

20. Si 2 2

ab 5

5a b

; determine el valor

de

8 8a b

Eb a

A) 44 B) 45 C) 46 D) 47 E) 48



21. Sea a > 0, si se cumple que: (a4 + a–4 – 5) / (a2 + a–2) = 6, determine

a + a–1.

A) 2 B) 3 C) 7 D) 12 E) 18

22. Si el polinomio P(x) = (ab–ac – n2)x2 + (bc – ba – 2n)x + (ca – bc – 1) es idénticamente nulo, determine el

valor de 1 2 1

Ea b c

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

23. Determine el valor de:

3 3 3(a b) (b c) (c a)T

(a b)(a c)(b c)

, siendo

a b c. A) –3 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

24. Si a2 + b2 + c2 = 2 (a + b + c)(1 + ab + ac + bc) = 32, determine: a + b + c

A) 2 B) 3 32 C) 4

D) 16 E) 64

25. Determine E = (a + b)2(b + c – a)(a + c – b) + (a – b)2(a + b + c)(a + b – c). A) –5abc3 B) –2ab C) abc D) 2abc4 E) 4abc2


2 2 2 2

3mx nx 3my nyE

ny nx 3my 3mx

, si x – y = 2n

x y2

m n m n

A) 1

m B)

1

2m C)

1

2n

D) 1

m n E) 0

27. Sea Pn(x; y; z) = xn + yn + zn

Si: P1(x; y; z) = 3 P2(x; y; z) = 3

2

P3(x; y; z) = 9 Calcule el valor de J = 3 P1(xy; yz; zx) – P1(x;0;0) P1(0;y;0) P1(0;0;z) A) 0 B) 2 C) 5 D) 6 E) 7

28. Un polinomio de grado (n + 1) cuyo 1er coeficiente es la unidad, es

divisible entre (xn + 2). Si el resto de dividirlo separadamente entre (x – 1) y (x + 2) son respectivamente 12 y 258. Determine el valor de n.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

29. Determine n en la división:

[nxn–1 + (2n–1)xn–2 + (3n–2)xn–3 + … +

(n2 – n+1)] (nx – 1). Si nueve veces la suma de los coeficientes del cociente entero es igual a cuatro veces el resto de la misma. A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 13

30. En la división por Horner se tiene

1 3 a 2 P – b 2 3 1 7 7

Determine el valor de a + b + p A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

31. Si el esquema:

a a b a b a b b c c b c c c2

b b c



representa la división de dos polinomios en x por el método de William Horner, indique el resto. A) x + 2 B) 3x + 2 C) 2x + 1 D) 4x + 7 E) 7x + 11

32. Al dividir x3 + y3 – 3xy + 1 entre

x + y + 1 se obtiene un cociente q(x; y) que al igualarlo a cero se obtiene:

A) x = 0, y > 0 B) x < 0, y = 0 C) x + y = 0 D) x = y = 1 E) x > 0, y = 0

33. Para que la división de x19 – nx + k

entre x2 – 2x + 1 sea exacta,

entonces el valor de n 19

tk 1

es:

A) 1 B) 2 C) 4 D) 19 E) 38

34. Un polinomio de grado n en la

variable x es divisible entre (xn–1+xn–2 + 1) y tiene por término independiente 2. Además dicho polinomio disminuido en 9 es divisible entre x – 1 y disminuido en 388 es divisible entre x – 2. Calcule el grado del polinomio.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

35. Se tiene un polinomio P(x) de tercer grado tal que si se divide P(x) entre x2 – x + 1 el residuo es 4x – 4, Si se divide P(x) entre x2 + 4x el residuo es x + 1. Determine el residuo de dividir P(x) entre (x – 1)(x + 1).

A) 23 104

x21 21

B) 22 93

x21 21

C) 23 107

x21 21

D) 22 100

x21 21

E) 22 124

x23 21

36. Determine la relación entre q y r; si la siguiente división es exacta:

5

2

x 5qx 4r

x c

A) r2 = q3 B) r4 = q5 C) r5 = q4 D) r6 = q5 E) r3 = q7

37. Si al dividir 5x3 + 6x4 – 1 entre x + 3x2 – 2 se obtiene un resto de la forma mx + n, determine el valor de m – n.

A) – 4 B) –1 C) 0 D) 4 E) 5

38. Determine la suma de coeficientes del polinomio cociente que se obtiene de la siguiente división:

(x – 3)7 + (x – 2)5 + 2x – 1 ÷ x2 – 5x + 6

A) – 69 B) – 65 C) – 63 D) 63 E) 69

39. Determine el residuo de dividir (x–2)1999 +(x–1)1998+7 entre (x–2)(x–1)

A) 3 B) 2x – 1 C) 3x + 2 D) 2x – 4 E) 2x + 4

40. Al dividir el polinomio: P(x) = 2x5 – 3x4 – x3 + 1 entre

x3 + x2 + bx + b, se obtiene de resto R(x). Determine el resto de dividir dicho resto entre x + 1.

A) – 6 B) – 3 C) – 1 D) 1 E) 4

41. Determine la suma de los coeficientes del residuo al dividir

(x2 + x + 1)5(x –1)20 por (x – 1)19(x2 + x – 1)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 32 E) 64

42. Si n Z+; determine el resto de la

siguiente división : 3n 2

2

(x 1) x

(x 1) x

A) 0 B) x C) x + 1 D) –x + 1 E) – x



43. Determine el resto al dividir 119

2

2x 1

x x 1

A) x – 3 B) 4 – 2x C) 3 – 2x D) 2x – 3 E) 3 – x

44. Calcule el residuo de la división

4n 7 2n 5

2

x (x 1) 3

x x 1

(n entero positivo)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) xn + 3

45. Determine el residuo de dividir (x182 + 182) entre x3 + x2 + x + 1.

A) 183 B) x2 + 182 C) x2 + 183 D) x2 + 192 E) x2 + 193

46. Al dividir un polinomio P(x) entre x+3 se obtuvo por resto –5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Determine el residuo de dividir p(x) entre x – 1.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

47. Un polinomio de sexto grado tiene raíz cúbica exacta. Es divisible por x – 1 pero al dividirlo entre x + 1 da como resto 216. Su gráfica corta al eje de las ordenadas en (0,8). Determine la suma de coeficientes del polinomio.

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

48. Un polinomio P es tal que es divisible por (xn-1 + 1) tiene por término independiente –3 y por grado n, determine n si se sabe que al dividirlo separadamente entre (x – 1) y (x – 3) los restos obtenidos son –2 y 732 respectivamente.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

49. Un polinomio de tercer grado, cuyo primer coeficiente es la unidad, es divisible por (x – 2) y por (x + 1), al dividirlo por (x – 3) da de resto 20 ¿Qué resto daría dicho polinomio al dividirlo entre (x + 3)?

A) –10 B) 0 C) 6 D) 8 E) 12

50. Un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible separadamente por: (x2+1) y (x2 + 2x + 2). Si se divide: P(x) por (x3 – 1) se obtiene por residuo 6x2 + 6x + 8. Luego el término independiente de P(x) es:

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

51. Un polinomio P(x) de cuarto grado cuyo coeficiente del término de mayor grado es 3, es divisible por (x2 – 9) y por (x – 1). Si al dividir P(x) entre (x – 2) se obtiene como residuo – 50, determine el residuo de la división de P(x) entre (x + 1).

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

52. Si el polinomio 2x5+x4 + ax2 + bx + c

es divisible por x4 – 1, determine el

valor de a b

Ea b

.

A) –3

2 B) – 1 C) –

2

3

D) 2

3 E)

3

2

53. Si se dividen respectivamente los

polinomios: P(x) y S(x) entre (x2 + 2) y x2 – 1, los residuos hallados son: –19x–1 y 10x + 2 siendo:

P(x) = bx3 + cx2 + dx + e S(x) = (e + 8)x3 + dx2 + cx + (b – 9) Halle el residuo de dividir: [P(x) + S(x)] ÷ [x2 – 3x + 1] A) –160x – 1 B) 160x – 57 C) 57x – 160 D) –160x + 1 E) –157x + 160



54. Un polinomio P(x) es divisible por tres factores cuadráticos sin término lineal la suma de sus coeficientes es 24, el término independiente es 6, la suma de los términos independiente de sus factores es 6, además es mónico. De el valor de P(2), sabiendo

que a, b, c N, son los términos independiente de cada factor cuadrático.

A) 164 B) 180 C) 190 D) 200 E) 210

55. Un polinomio P(x) de 2do grado y coeficiente principal 1 al ser dividido entre x + 3 da como resultando un cociente Q(x) y un resto 12. Si se divide P(x) entre el mismo cociente, aumentado en 4, la división resulta exacta. Determine el residuo de dividor P(x) entre x – 5.

A) 12 B) 13 C) 17 D) 20 E) 21

56. Determine el número de términos del siguiente producto. (x20m + x19m + x18m + … xm + 1) (x20m – x19m + x18m –… – xm + 1).

A) 21 B) 22 C) 27 D) 36 E) 42

57. Determine el número de términos en el desarrollo del cociente notable:

5m 10 5m 50

2n 9 2n 5

x y

x y

; m, n N , m < 32

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

58. Si el tercer término del cociente

notable 2n n

2

x y

x y

es x16 y4, determine

el número de términos. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

59. Sabiendo que n2 – 31n + 234 = 0, halle el número de términos de la

siguiente división exacta.n 1 n

2

x y y

xy y

A) 11 B) 12 C) 13 D) 17 E) 18

60. Determine el valor numérico del

término central del cociente notable originado al dividir:

100 100

2 2

(x y) (x y)

8xy(x y )

; para x = 3,

y = 2 2 A) 1 B) 2 C) 100 D) 200 E) 1000

61. Determine el término común que presentan los desarrollos de los cocientes notables:

150 200 204 136

6 8 6 4

x y x y;

x y x y

A) x60 y112 B) x78 y81 C) x90 y72

D) x120 y52 E) x114 y56

62. Del cociente notable que se genera

de

n 2a 40 b 72

a b

x y

x y

, el noveno

término es: x40 yC; b < 9, además el

número de términos del C.N. es 17,

determine 8(a n)(b c)

Tbc

A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) 12

63. Luego de simplificar y ejecutar la división algebraica en:

10[(x33 – y99/2)2 + (x33 + y99/2)2] ÷ [(x + y3/2)2 + (x – y3/2)2] ; y > 0, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos:

I. No es una división exacta. II. El cociente es un polinomio P(x;y)

de grado 64. III. El término central del cociente es

10x32 y48.



A) solo III B) solo II C) solo I D) I y III E) II y III

64. Los trinomios 2x2 + ax + 6 y 2x2 + bx + 3 admiten un factor común de la forma 2x + c. Determine el valor de E = (a – b)c.

A) –3 B) –2 C) 2 D) 3 E) 6

65. Al factorizar en Z el polinomio P(x) = x3 + 2x2 – 2x – 1 el número de factores obtenidos, es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

66. Determine un factor de P(x) = x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 A) x2 – x + 1 B) x3 – x + 1 C) x3 + x2 + 1 D) x3 + x + 1 E) x3 + x2 + x + 1

67. Factorice e indique un factor primo del polinomio. P(a; b; c)=a(b – c)2+b(c–a)2+c(a – b)2 + 8abc.

A) a2 + b2 + c2 B) a + b + c C) a – b D) a + b E) ab + ac + bc

68. Se define el polinomio: P(x; y; z) = x4y3 + xz3 + z3y + x3y4 + x3y3z + z4, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos I. P(x; y; z) es divisible por x + y + z II. Un divisor de P(x; y; z) es x2 + y2. III. P(x; y; z) es divisible entre xy + z ó

x + yz. A) I y II B) II y III C) I y III D) solo I E) solo II

69. Indique el término independiente de uno de los factores primos del polinomio:

p(x; y) = (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 31 A) 2 B) 7 C) 8 D) 3 E) 39

70. Determine uno de los factores primos del polinomio:

P(x; y; z) = x4 – y4 – z4 – 2x2yz – y2z2 A) x2 – y2 + z2 – yz B) x2 + y2 + z2 – yz C) x2 + y2 + z2 + yz D) x2 + xyz + y2 E) x2 + y2 + z2 – xyz

71. Factorice P(x;y;z)= 5(x+y)2 – (x+z)2 – 5(y – z)2 e indique uno de sus factores primos.

A) (2x + 5y – 3z) B) (x + y – z) C) (2x – y + z) D) (x – 3y) E) (x – z)

72. Si P(x) = x3 + x2 + x +

Q(x) = x3 + x2 + x +

MCD(P, Q) = x2 – 2x + 1

MCM(x) : MCM (– 4) = –75

Determine: + A) –105 B) – 110 C) –210 D) – 305 E) – 470

73. Si el M.C.M de dos polinomios P, Q, tal que:

P(x) = (x – 2)(x3 + x2 + 3x + 3) Q(x) = (x2 + 1)(x3 + 3x2 + 3x + 9) Es de la forma: (ax – 2)(x2 + b)(x + 1) (dx + 3)(cx2 + 1), entonces T = a.b.c.d es: A) – 4 B) – 3 C) 3 D) 6 E) 9

74. Halle el resto que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de:

x4 – 5 + 6x2 + 4x3 – 12x A) –13x + 12 B) – 6x – 16 C) 13x – 12 D) – 16x –6 E) 5x

75. Determine la suma de los coeficientes de la raíz cuadrada de

P(x) = x6 + 2x4 + 2x3 + x2 + 2x + 1 admitiendo que P(x) tiene raíz cuadrada exacta. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7



76. Determine (a + b) si la raíz cuadrada del polinomio ax4 + (3a – 5)x3 + (a + 3b)x2 + 94x + 43 deja como residuo: 10x + 7.

A) 12 B) 28 C) 48 D) 53 E) 75

77. En relación a la radicación: 4 3 2256x 32x 33x 11x 4 , indique

cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. La raíz cuadrada es: 16x2+ x + 1. II. La suma de coeficientes del

residuo es 12. III. La suma de los términos lineales

de la raíz cuadrada y el residuo es 10x.

A) solo II B) solo III C) solo I D) I y III E) I, II y III

78. Si el polinomio P(x) = 1 + x + 9x2 +

x3 + 16x4 posee raíz cuadrada

exacta, determine el valor de E = .. A) –16 B) – 8 C) 0 D) 8 E) 16

79. Si el radical doble:

y 1 x

4x 5y 2y ; x, y Q+.

Se transforma en radicales simples, determine la condición que relaciona a x e y.

A) x = 0, 4y B) y 0,1x C) x = 2y

D) x 3 y E) x = 0,3y

80. Simplifique:

1T 3 2 10

15 3 2 10 2 3

A) – 15 – 2 3 B) – 15 + 2 3

C) –2 15 + 2 3 D) –2 15 – 3

E) – 15 – 3

81. Si A es una expresión definida por:

3

1A ,

2 3 5 2 2 3 3 5 5

entonces al racionalizar y simplificar A, el denominador resultante, es:

A) 12 B) 15 C) 18 D) 32 E) 42

82. Racionalice:

3 3 3

3E

a b b c c a

de cómo respuesta el número de factores lineales que se obtiene en su denominador.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

83. El factor racionalizante para hacer racional el denominador de:

15 15

a

x y; es:

A) 15 14 13 12 2 1415 15 15x x y x y ... y

B) 15 15x y

C) 15 15x y

D) 15 15 15x xy y

E) 15 12 11 10 215 15x x y x y

84. Si el radical doble

ax by xy(ab c) se expresa

como una suma de radicales simples,

determine el valor de ab

Ec

.

A) 1

3 B)

1

2 C) 1

D) 2 E) 3

85. Simplifique

4 4T 27 3 6 4 3

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 3 E) 3 3



86. Halle la raíz cuadrada de:

2 22 1

x 1 2 x x x 6 x 12

Siendo x > 3

A) x 3 x 2 B) x 3 x 2

C) x 2 x 3 D) x 2 x 3

E) x 2 x 3


3 8

126

2 1 3 2 2E

2 1. 5 2 7

A) –10 B) – 2 C) – 1 D) 0 E) 1

88. Efectuar:

1 1 3 2

J2 32 2 3 2 2 3

A) –6

3 B) –

3

3 C) –

6

6

D) 3 2 E) 3

2

89. El valor de: 8 12

2 3 1 2 3 1

es:

A) 2 2 2 3 9 B) 2 2 3 –10

C) 2 2 2 3 9 D) 2 2 2 3 9

E) 5 2 5 6 2

90. Después de racionalizar la expresión

42 8T

2 2 2 3 5

, se obtiene.

A) 5 1

2

B) 5 1 C)

5 1

2

D) 5 1 E) 2 5 1

91. Racionalizar: 3 3

4E

9 3 1

A) 3 3 1 B) 3 3 2 C) 3 3 3

D) 3 3 4 E) 12

92. Sean

p(x) : x2 + x + 1 > 2x x < – x2

q(x) : x2 – 3x > 0 x < 1

x

obtenga el valor de verdad de las proposiciones siguientes:

I. p(0) q(0)

II. p(1) q (–1)

III. [p(–1) q(1)] p(–1/2) A) VFV B) VVF C) VVV D) FVV E) VFF 93. Si f es una función lógica definida

mediante:

10 si x es verdadero

f(x) 2 si x es una proposición abierta

5 si x es falso

Determine el valor de: f(aº = 1) + f(b2 0) + f(c = 1) + f(1 = 2).

f(0 = – 0)

A) – 56 B) – 46 C) –36 D) – 30 E) – 20

94. Si p, q, r, t y u son proposiciones

lógicas, tal que (p r) (q p) es falsa. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. (q p) (t )

II. (t t) (p q)

III. (p r) t A) VVF B) FFF C) VFV D) FVF E) VFF

95. Sean p, q, r, s, t proposiciones

lógicas simples y se cumple:

( p q) (p r) (s t)(s t) entonces, simplifique:

[(p r) (s t)] (q t)

A) s t B) t C) s D) t E) s

96. Si [(pq) q] [( p r ) q] es falsa, determine el valor de verdad de:

I. [r (p q)] p

II. [(p q) r] t



III. (p q) r A) VFV B) VVF C) FFF D) FVV E) VVV

97. Se definen los operadores y mediante:

p q p q

p q p q Determine a qué es equivalente

T = ((q) p) ((p) q).

A) p B) q C) p q D) V E) F

98. Si p q es falsa y r (p q) es falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. (p q) r

II. r (p q)

III. (p q) r A) FVF B) FFV C) VVV D) FFF E) VVF

99. Se define p q (p q) (q p) Simplifique:

[( p q) q] [p (q p)]

A) p B) q C) p

D) q E) V

100. Simplifique:

T = p # ( p v q) si:

p q p # q

VV VF FV FF

F V F F

A) p B) q C) p q

D) p q E) p q

101. Determine la forma más simple de

T = p(pq) si:

p q p q

V V F F

V F V F

F F F V

A) p q B) p q C) p q

D) p q E) p q

102. Si p q = p q, entonces el

equivalente de: (pp) {(pq)

(pp)} es:

A) V B) pq C) q

D) F E) p

103. Si # es un operador lógico definido

por: p # q (p q) (p q), entonces p # q es equivalente a:

A) tautología B) contradicción C) p

D) p q E) q

104. De la simplificación de la siguiente proposición:

[p (q r)] {[p (q r)]

[p (q r)]} se puede afirmar que: A) Es equivalente a p. B) Es equivalente a r. C) Es equivalente a q. D) Es una contradicción. E) Es una tautología.

105. Simplifique la fórmula lógica

[(p q) (p q)] ( p q)

A) p q B) q p C) p D) q E) V

106. Simplifique la fórmula lógica:

p {[(p q) q] [( p q) p]}

A) p B) q C) p q

D) p q E) p q

107. Simplifique la fórmula lógica

(p q) {(p q) (p q)} (p q)

A) p q B) p q C) p q

D) q p E) p q

108. Simplifique la siguiente proposición:

[q (p q)] [(p q) p]

A) p q B) p q C) (p q)

D) (p q) E) p q

M A 50 cm

boletin 1 uni

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