basespara aplicaciones electromagnéticas ymecánicas · ley de coulomb ley de inducción de ......
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1
ECE –Modelo de Ingeniería
Bases para AplicacionesElectromagnéticas y Mecánicas
Horst Eckardt, AIAS
Traducción: Ing. Alex Hill, ET3M, www.et3m.net
Version 2.21, 27.7.2008
2
Ecuaciones de Campo ECE
• Ecuaciones de campo en su forma tensorial
• Donde– F: tensor de campo electromagnético, su dual de Hodge, ver
más adelante– J: densidad de corriente de carga– j: „densidad de corriente homogénea“ „corriente magnética“– a: índice de polarización– µ,ν: índices del espaciotiempo (t,x,y,z)
νµνµ
νµνµ
µ
εaa
aa
JF
jF
0
0
~
1
=∂
=∂
3
Propiedades de Ecuaciones de Campo
• J no es necesariamente corriente externa; se define por entero por propiedades del espaciotiempo
• j sólo ocurre si el electromagnetismo estáinfluido por la gravitación, de lo contrario =0
• El Índice de Polarización „a“ puede omitirse si el espacio tangente se define igual al espacio de la variedad base (asumido a partir de aquí)
4
Tensor de Campo Electromagnético
• F y F~ son tensores antisimétricos, relacionados con componentes vectoriales de campos electromagnéticos.
−
−
−
−−−
=
0
0
0
0
123
132
231
321
cBcBE
cBcBE
cBcBE
EEE
F µν
−
−
−
−−−
=
0
0
0
0
~
123
132
231
321
EEcB
EEcB
EEcB
cBcBcB
F µν
5
Ecuaciones de Campo ECE –Forma Vectorial
Ecuaciones „Materiales“
HB
ED
0
0
µµ
εε
r
r
=
= Desplazamiento Dieléctrico
Inducción Magnética
Ley de Ampère-Maxwell1
Ley de Coulomb
Ley de Inducción de Faraday
Ley de Gauss
02
0
0
'0
e
e
eheh
eheh
tc
't
JE
B
E
jjB
E
B
µ
ερ
µ
ρρµ
=∂∂
−×∇
=⋅∇
==∂∂
+×∇
==⋅∇
Ley de Ampère-Maxwell1
Ley de Coulomb
Ley de Inducción de Faraday
Ley de Gauss
02
0
0
'0
e
e
eheh
eheh
tc
't
JE
B
E
jjB
E
B
µ
ερ
µ
ρρµ
=∂∂
−×∇
=⋅∇
==∂∂
+×∇
==⋅∇
6
AωAB
ωAA
E
×−×∇=
Φ+−Φ∇−∂∂
−= 0ωt
Relaciones Campo-Potencial
Conexiones entre Potenciales y Espín
A: Potencial vectorial
Φ: Potencial escalar
ω: Conexión vector-espín
ω0: Conexión escalar-espín
7
m
A
m
C
mA
N
m
sVT
m
V
==
⋅=
⋅==
=
][,][
][
][
2
2
HD
B
E
m
Vs
V
=
=Φ
][
][
A
m
1
s
1
=
=
][
][ 0
ω
ω
Unidades Físicas
Densidad de Carga/Corriente Densidad „Magnética“/Corriente
ms
A
m
A
eh
eh
=
=
][
][2
j
ρ
)/(/][
/][
22
3
smCmA
mC
e
e
==
=
J
ρ
2
3
]'[
]'[
m
V
m
Vs
eh
eh
=
=
j
ρ
8
Ecuaciones de Campo ECE en términos de Potencial
e
e
ttttttc
t
tt
Jω
ωAAA
AωAA
ωAA
AωA
ωωA
Aω
00
02
2
2
0
0
0
1
)()(
Ley de Ampère-Maxwell:
)()(
Ley de Coulomb:
0)()(
Ley de Inducción de Faraday:
0)(
Ley de Gauss:
µω
ω
ερ
ω
ω
=
Φ
∂∂
−∂Φ∂
−∂Φ∂
∇+∂
∂+
∂∂
+∂∂
+
××∇−∆−⋅∇∇
=Φ⋅∇+∆Φ−⋅∇−∂∂⋅∇−
=∂∂
×−×∂∂
−Φ×∇+×∇−
=×⋅∇
e
e
ttttttc
t
tt
Jω
ωAAA
AωAA
ωAA
AωA
ωωA
Aω
00
02
2
2
0
0
0
1
)()(
Ley de Ampère-Maxwell:
)()(
Ley de Coulomb:
0)()(
Ley de Inducción de Faraday:
0)(
Ley de Gauss:
µω
ω
ερ
ω
ω
=
Φ
∂∂
−∂Φ∂
−∂Φ∂
∇+∂
∂+
∂∂
+∂∂
+
××∇−∆−⋅∇∇
=Φ⋅∇+∆Φ−⋅∇−∂∂⋅∇−
=∂∂
×−×∂∂
−Φ×∇+×∇−
=×⋅∇
9
Ecuaciones de Campo ECE –Caso Estático
e
e
JAωAA
ωA
ωA
Aω
0
0
0
0
)()(
Ley de Ampère-Maxwell:
)()(
Ley de Coulomb:
0)()(
Ley de Inducción de Faraday:
0)(
Ley de Gauss:
µ
ερ
ω
ω
=××∇−∆−⋅∇∇
=Φ⋅∇+∆Φ−⋅∇−
=Φ×∇+×∇−
=×⋅∇
e
e
JAωAA
ωA
ωA
Aω
0
0
0
0
)()(
Ley de Ampère-Maxwell:
)()(
Ley de Coulomb:
0)()(
Ley de Inducción de Faraday:
0)(
Ley de Gauss:
µ
ερ
ω
ω
=××∇−∆−⋅∇∇
=Φ⋅∇+∆Φ−⋅∇−
=Φ×∇+×∇−
=×⋅∇
10
Ecuaciones de Campo ECE–Caso Eléctrico Puro
e
e
tttcJ
ωω
ω
ω
02
0
1
Ley de Ampère-Maxwell:
)(
Ley de Coulomb:
0)(
Ley de Inducción de Faraday:
Ley de Gauss:
µ
ερ
=
Φ∂∂
−∂Φ∂
−∂Φ∂
∇
=Φ⋅∇+∆Φ−
=Φ×∇
−−−
e
e
tttcJ
ωω
ω
ω
02
0
1
Ley de Ampère-Maxwell:
)(
Ley de Coulomb:
0)(
Ley de Inducción de Faraday:
Ley de Gauss:
µ
ερ
=
Φ∂∂
−∂Φ∂
−∂Φ∂
∇
=Φ⋅∇+∆Φ−
=Φ×∇
−−−
11
Ecuaciones de Campo ECE –Caso Magnético Puro
e
e
tttc
t
tt
JAAA
AωAA
AA
AωA
ωA
Aω
00
02
2
2
0
0
0
1
)()(
Ley de Ampère-Maxwell:
)(
Ley de Coulomb:
0
Ley de Inducción de Faraday :
0)(
Ley de Gauss:
µω
ω
ερ
ω
ω
=
∂
∂+
∂∂
+∂∂
+
××∇−∆−⋅∇∇
=⋅∇−∂∂⋅∇−
=∂∂
×−×∂∂
−×∇−
=×⋅∇
e
e
tttc
t
tt
JAAA
AωAA
AA
AωA
ωA
Aω
00
02
2
2
0
0
0
1
)()(
Ley de Ampère-Maxwell:
)(
Ley de Coulomb:
0
Ley de Inducción de Faraday :
0)(
Ley de Gauss:
µω
ω
ερ
ω
ω
=
∂
∂+
∂∂
+∂∂
+
××∇−∆−⋅∇∇
=⋅∇−∂∂⋅∇−
=∂∂
×−×∂∂
−×∇−
=×⋅∇
12
Propiedades de las Ecuaciones deECE
• Las ecuaciones de ECE en representación potencial determinan un sistema de ecuaciones bien definido (8 ecuaciones con 8 incógnitas)
• Hay mucho más estructura en ECE que en teoría tradicional (Maxwell-Heaviside)
• No hay libertad de gauge en teoría de ECE• En representación de potencial, la Ley de Gauss
y de Faraday no tienen sentido en teoría tradicional (ver campos sombreados)
• Las estructuras resonantes (oscilaciones autoreforzantes) son posibles en las leyes deCoulomb y Ampère-Maxwell
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Ejemplos de Conexión de Espín Vectorial
Solenoide toroidal:ω = cte
Solenoide lineal:ω = 0
La conexión de espín vectorial ω representa la rotación del plano del potencial A
A
B
ω
B
A
14
Ecuaciones de Campo ECE de la Dinámica
En el modelo tradicional sólo se conoce la Ley de Newton.
Equivalente de Ley de Ampère-Maxwell)(1
(Eciación de Poisson) Ley de Newton4
Ley Gravito-magnética01
Equivalente de la Ley de Gauss(04
0
0
m
m
mh
mh
tc
G
tc
G
Jg
h
g
jh
g
h
α
ρπ
α
ρπ
=∂∂
−×∇
=⋅∇
==∂∂
+×∇
==⋅∇
Equivalente de Ley de Ampère-Maxwell)(1
(Eciación de Poisson) Ley de Newton4
Ley Gravito-magnética01
Equivalente de la Ley de Gauss(04
0
0
m
m
mh
mh
tc
G
tc
G
Jg
h
g
jh
g
h
α
ρπ
α
ρπ
=∂∂
−×∇
=⋅∇
==∂∂
+×∇
==⋅∇
15
Campos, Corrientes y Constantes
g: aceleración de la gravedad h: campo gravito-magnético
ρm: densidad de masa ρmh: dens.de masa gravito-magn.
Jm: corriente de masa jmh: dens. de corr. gravito-magn.
Campos y Corrientes
Constantes
G: Constante gravitacional de Newton
α0=4πG/c: nueva constante física, por verif. experimentalmente
c: veloc. de la luz en el vacío, requerida p/unidad fís. correctas
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Ecuaciones de Fuerza
F [N] Fuerza
M [Nm] Momento torsional
T [1/m] Torsión
g, h [m/s2] Aceleración
m [kg] Masa
v [m/s] Velocidad de Masa
E0=mc2 [J] Energy de reposo
Ω [1/s] Vector eje rotación
L [Nms] Momento angular
Cantidades físicas y unidades
Ley de Momento Torsional
Ley de Fuerza de Lorentz
Ley de Fuerza Torsional
Ley de Fuerza Newtoniana
L
0
LΩL
M
hvF
TF
gF
×−∂∂
=
×=
=
=
t
mc
E
m
Ley de Momento Torsional
Ley de Fuerza de Lorentz
Ley de Fuerza Torsional
Ley de Fuerza Newtoniana
L
0
LΩL
M
hvF
TF
gF
×−∂∂
=
×=
=
=
t
mc
E
m
17
QωQh
ωQQ
g
×−×∇=
Φ+−Φ∇−∂∂
−=
cc
t0ω
Relaciones Campo-Potencial
Potenciales y Conexiones de Espín
Q=cq: Potencial vectorial
Φ: Potencial escalar
ω: Conexión de espín vectorial
ω0: Conexión de espín escalar
18
2
2
][
][
s
m
s
m
=
=
h
g
skg
m
skg
mG
2
0
2
3
][
][
=
=
αm
1
s
1
=
=
][
][ 0
ω
ω
Unidades Físicas
Densidad/Corriente Másica Densidad/Corriente„Gravito-magnética“
sm
kgj
m
kg
m
mh
2
3
][
][
=
=ρ
sm
kgJ
m
kg
m
m
2
3
][
][
=
=ρ
s
m
s
m
=
=Φ
][
][2
2
Q
Campos Potenciales Conexiones de Espín Constantes
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Propiedades de las Ecuaciones ECE de Dinámica
• Totalmente análogo al caso electrodinámico• En mecánica clásica sólo se conoce la ley de Newton• La ley gravito-magnética sólo se conoce en forma
experimental (experimento de ESA)• Hay 2 campos de aceleración, g y h, pero hoy día sólo
se conoce a g
• h es un campo de momento angular y se mide en m/s2
(unidades elegidas igual que g)• Resonancia de conexión de espín es posible como en el
caso electromagnético• La corriente gravito-magnética sólo ocurre en caso de
acoplamiento entre movimiento traslacional y rotacional
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Ejemplos de Dinámica ECE
Realización de campo gravito-magnéticoh por un cilindro másico en rotación(ley de Ampere-Maxwell)
rotation
h
Detección de campo h porfuerza de Lorentz mecánicaFL
v: velocidad de masa m
h
FL
v
21
Polarización y Magnetización
Electromagnetismo
P: Polarización
M: Magnetización
Dinámica
pm: polarización másica
mm:magnetización másica
2
0
2
0
][
][
s
mm
mhh
s
mp
pgg
m
m
m
m
=
+=
=
+=
m
AM
MHB
m
CP
PED
=
+=
=
+=
][
)(
][
0
2
0
µ
ε
Nota: Las definiciones de pm y mm, comparadas con g y h, difieren de la
analogía electrodinámica respecto de constantes y unidades.
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Ecuaciones de Campo para Materia Polarizable/MagnetizableElectromagnetismo
D: desplazamiento eléctrico
H: campo magnético (puro)
Dinámica
gP: desplazamiento mecánico
h0: campo gravito-magnético (puro)
e
e
t
t
JD
H
D
BE
B
=∂∂
−×∇
=⋅∇
=∂∂
+×∇
=⋅∇
ρ
0
0
m
m
ctc
G
tc
Jg
h
g
hg
h
G41
4
01
0
00
0
π
ρπ
=∂∂
−×∇
=⋅∇
=∂∂
+×∇
=⋅∇