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Editorial Universidad Manuela Beltrán

Introducción a la Electrodinámica

2018

Introducción a la Electrodinámica

Autor

Carlos G. Tarazona

Edición Editorial Universidad Manuela Beltrán Autor Carlos G. Tarazona

Doctor, Magister y especialista en física teórica de la Universidad Nacional de Colombia. Mi interés principal se centra en la teoría

cuántica de campos aplicada a partículas cargadas y neutras, particularmente en interacciones con neutrinos mediante factores de forma electromagnéticos. El análisis de violaciones de las simetrías C, CP y CPT en neutrinos y física más allá del modelo estándar, en particular con modelos de dos dobletes Higgs y materia oscura. Con publicaciones en revistas reconocidas y experiencia docente de más de 15 años en el área de la física y matemáticas. Disfruto de la enseñanza de la física y en las clases hago particular énfasis en las relaciones de la física teoría con el universo que nos rodea. Sánchez Monroy, José Antonio, editor. i. Izquierdo Peña, Daniel Ricardo, editor. ii. Fonseca Moreno, Diego Fernando, editor. Iii Diagramación: Carlos G. Tarazona Diseño de portada: Carlos G. Tarazona Publicado en noviembre de 2018 Formato digital PDF (Portable Document Format) Editorial Universidad Manuela Beltrán Avenida Circunvalar Nº 60-00 Bogotá – Colombia Tel. (57-1) 5460600

Carlos G. Tarazona, Introducción a la Electrodinámica, Bogotá, UMB

© Carlos G. Tarazona

© Universidad Manuela Beltrán Bogotá, Colombia

http:// www.umb.edu.co Queda prohibida la reproducción total o parcial de este libro por

cualquier proceso gráfico o fónico, particularmente por fotocopia, Ley 23 de 1982

Tarazona, Carlos G. Introducción a la Electrodinámica. Carlos G. Tarazona - Bogotá: Universidad Manuela Beltrán, 2018. 431 p.: ilustraciones, tablas, gráficas; [versión electrónica] Incluye bibliografía ISBN: 978-958-5467-44-6 1. Electrodinámica 2. Electrostática 3. Ondas electromagnéticas. i. Sánchez Monroy, José Antonio, editor. ii. Izquierdo Peña, Daniel Ricardo, editor. iii. Fonseca Moreno, Diego Fernando, editor. 537.6 cd 21 ed. CO-BoFUM

Catalogación en la Publicación – Universidad Manuela Beltrán.

Autoridades Administrativas

Gerente Juan Carlos Beltrán Gómez

Secretario General Juan Carlos Tafur Herrera

Autoridades Académicas

Rectora Alejandra Acosta Henríquez

Vicerrector de Investigaciones Fredy Alberto Sanz Ramirez

Vicerrectora Académica Claudia Milena Cómbita Lopez

Vicerrector de Calidad Hugo Herley Malaver Guzmán

ISBN: 978-958-5467-44-6

Este libro esta dedicado a mi hija Maria Alejandra, la cuales la razon para respirar cada dıa

... Cuando ensenamos o cuando criamos a nuestroshijos, siempre buscamos esa perfeccion, ese ideal deser superior ... debes de ser el mejor de la clase, el maslisto, el mas juicioso, el mas, el mas, el mas ... Pero paramuchos seres humanos ser superior es ser tan normalescomo lo somos la gran mayoria. Aunque eso signifiqueser mundanos, superfluos, mezquinos, egoıstas, o lo quees lo mismo ”normales”.

Cada uno de nosotros tiene por potencial por descubriry es el deber de padres y maestros ayudar a descubrirese potencial. Gracias Mary por ensenarmelo, Te amo hija!

A la memoria del maestro Rodolfo Alexander DiazSanchez, a quien la fuerza lo llamo muy temprano y dejoun vacıo inmenso.

Contenido

Contenido VIII

Prefacio 3

I Introduccion Matematica 5

1. Sistema de coordenadas 7

1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Algebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2. Vectores en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Coordenadas cartesianas o rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Sistema de coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Sistema de coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Calculo vectorial 19

2.0.1. Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.0.2. Campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Derivacion de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2. Operador divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III

IV CONTENIDO

2.1.4. Rotacional de una funcion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.5. Operador nabla en diferentes sistemas coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Coordenadas curvilıneas generalizadas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1. Gradiente en coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2. Divergencia en coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3. Rotacional en coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4. Laplaciano en coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3. Integracion de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1. Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.2. Campos vectoriales conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.3. Teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.4. Teorema de la divergencia o teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . 52

2.3.5. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4. Funcion delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5. Variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.1. Representacion grafica (vectorial) de los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

II Electrostatica 65

3. Electrostatica 67

3.1. Fuerza electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2. Campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4. Potencial electrostatico, trabajo y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.1. Potencial electrostatico para distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . 96

CONTENIDO V

4. Ecuaciones de Poisson y de Laplace 117

4.1. Ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2. Unicidad del potencial - condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3. Ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.3.1. Ecuacion de Laplace en una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.3.2. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3.3. Ecuacion de Laplace en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.4. Ecuacion de Laplace en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5. Ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.5.1. Solucion en polinomios generalizados de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5. Expansion multipolar 165

5.1. Expansion multipolar en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2. Expansion multipolar en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6. Electrostatica de medios materiales 173

6.1. Corriente electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.1.1. Corriente de conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.2. Resistividad y resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.3. Materiales dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.3.1. Momentos dipolares inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.3.2. Momentos dipolares permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.3.3. Vector de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.3.4. Campo electrico en un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.3.5. Susceptibilidad electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.3.6. Condiciones de frontera en la interfase entre dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.4. Conductores electrostaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

VI CONTENIDO

6.4.1. Carga inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7. Metodo de imagenes 203

7.1. Metodo de imagenes para distribuciones puntuales de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.2. Metodo de imagenes para distribuciones puntuales de carga y medios dielectricos . . . . . . . . 206

III Magnetostatica 223

8. Magnetostatica 225

8.1. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2. Ley de Gauss para magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.3. Fuerzas sobre corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.3.1. Fuerza magnetica entre espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.3.2. Fuerza magnetica entre conductores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.4. Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

8.5. Ley de induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.5.1. Corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8.6. Potencial vectorial magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

9. Campos magneticos en la materia 275

9.1. Hipotesis de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

9.1.1. Paramagnetismo pκm ą 0, µr À 1q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

9.1.2. Diamagnetismo pκm ă 0, µr À 1q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.1.3. Ferromagnetismo pκm " 0, µr " 1q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.1.4. Histeresis magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

9.2. Densidades de corriente de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

9.2.1. Potencial escalar magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

CONTENIDO VII

IV Ecuaciones de Maxwell y leyes de conservacion 287

10. Ecuaciones de Maxwell 289

10.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

11. Leyes de conservacion 293

11.1. Conservacion de la carga electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

11.2. Conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.3. Conservacion del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

11.3.1. Presion por radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

V Ondas electromagneticas 309

12. Ondas electromagneticas 311

12.1. Ondas electromagneticas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

12.2. Ondas electromagneticas en medios dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

12.3. Ondas electromagneticas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

12.4. Dispersion y absorcion de ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

12.5. Polarizacion de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

12.6. Reflexion y transmision en medios dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

12.6.1. Condiciones de contorno entre medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

12.6.2. Reflexion y transmision con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

12.6.3. Reflexion y transmision con incidencia oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

12.6.4. Reflexion total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

12.7. Radiacion Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

13. Potenciales y campos variables en el tiempo 351

13.1. Transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

13.1.1. Gauge de Coulomb o transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

VIII CONTENIDO

13.1.2. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

13.2. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

13.3. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

13.4. Potenciales de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

13.5. Campos electrico y magnetico asociados a cargas puntuales moviles . . . . . . . . . . . . . . . . 371

14. Radiacion 387

14.1. Radiacion emitida a bajas velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

14.2. Radiacion emitida por una carga con velocidad y aceleracion colineales . . . . . . . . . . . . . . . 391

14.2.1. Radiacion emitida por una carga con velocidad y aceleracion en angulos diferentes . . . 397

14.3. Radiacion por cargas en movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

14.4. Radiacion de dipolo electrico oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

14.5. Radiacion de dipolo magnetico oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Indice alfabetico 414

Bibliografıa 417

Lista de Tablas

2-1. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas. 42

2-2. Diferenciales de lınea para coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas. . . . . . . . . . . . . . 42

2-3. Diferenciales de area para coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas. . . . . . . . . . . . . . 43

2-4. Diferenciales de volumen para coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas. . . . . . . . . . . 43

3-1. Primeros polinomios de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4-1. Primeros polinomios de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4-2. Primeros polinomios generalizados de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4-3. Primeros terminos de los armonicos esfericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6-1. Constante dielectrica para diferentes materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9-1. Algunos valores de la susceptibilidad magnetica para materiales paramagneticos a T “ 20˝C. . . 279

9-2. Algunos valores de la susceptibilidad magnetica para materiales diamagneticos a T “ 0˝C. . . . 279

9-3. Algunos valores de la susceptibilidad magnetica y la temperatura de Curie. . . . . . . . . . . . . 280

1

2 LISTA DE TABLAS

Prefacio

Este libro nace inicialmente como notas de uso personal para abordar el curso de campos electromagneticosen el 2013, tomando como referencia los textos clasicos en un curso de electrodinamica. Sin embargo, con elpaso de los semestres las notas fueron adquiriendo una mejor forma, una identidad propia y bajo la estructuraactual considero que este libro puede ser utilizado como un texto de referencia para un curso de camposelectromagneticos o de electrodinamica.

El libro contiene algunas contribuciones originales en algunos temas, en la seleccion y el ordenamiento deestos; Lo cual refleja, los intereses propios y la forma en la cual considero debe estar orientada la presentacionde dicho curso. Tambien se solucionan paso a paso mas de 170 problemas de diferentes grados de dificultad,esto hace del texto una fuente de apoyo en el proceso de construir soluciones por cuenta propia.

El libro es auto contenido, por lo tanto, el primer capıtulo consta de una breve introduccion matematica, clavepara muchos estudiantes en el seguimiento de los temas abordados en el libro. Este capıtulo, aunque no cuentacon la profundidad, ni con la rigurosidad matematica necesaria, pretende aportar las ideas suficientes parapoder seguir los contenidos fısicos del libro.

Cabe resaltar el trabajo de revision en la parte matematica del Ph.D. Juan Gabriel Triana Laverde el cual sinningun interes particular realizo una gran revision. Ası mismo los editores del libro en su totalidad: el Ph.D.Jose Antonio Sanchez Monroy, el MSc. Daniel Ricardo Izquierdo Pena y el MSc. Diego Fernando FonsecaMoreno. Con los cuales despues de muchas discusiones se logro el objetivo de generar un libro interesante.

Agradezco a la facultad de ciencias basicas, sede Bogota, de la Universidad Manuela Beltran, quien con suapoyo desde el area de investigaciones propicio la publicacion de este libro.

Por ultimo pero no menos importante, mi mas sincero agradecimiento a todas las personas que de una u otramanera me ayudaron a llegar a buen puerto con este libro, apoyandome ya sea con su tiempo, su paciencia osu amor. Este libro es solo el comienzo de un viaje en la necesaria divulgacion del conocimiento y una muypequena contribucion a la ciencia de este paıs.

Espero el libro sea del agrado del lector como lo fue para mi el escribirlo.

3

4 LISTA DE TABLAS

Parte I

Introduccion Matematica

5

Capıtulo 1

Sistema de coordenadas

Numeros naturales: Es cualquiera de los numeros que usamos para contar unidades discretas como lo sonlos enteros positivos N “ t1, 2, 3, 4, ...u, es empleado en las operaciones elementales de calculo, como vemosempieza del uno ya que el cero no es considerado un numero natural, aunque sobre la inclusion del cero nohay un consenso. De dos numeros vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente osucesor, esto implica por lo tanto, que el conjunto de los numeros naturales es ordenado e infinito. Los naturalesconjuntamente con los numeros negativos, conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante Z.

Numeros racionales: Estos coinciden con los decimales periodicos y aquellos decimales con un numero finitode dıgitos si son definidos como p

q para todo p y q que pertenecen a los naturales, con q ‰ 0. El conjunto delos numeros racionales se denota por Q y los cuales pueden tener una escritura decimal que solo puede ser detres tipos: Exacta, periodica pura o periodica mixta.

Numeros irracionales: Corresponden a los numeros decimales infinitos que no son periodicos. Algunos ejem-plos son: π, e,

?2

Numeros reales: Los podemos definir como la union de los racionales e irracionales. El conjunto de los numerosreales se denota por R.

Numeros complejos: Se representan como la suma de un numero real y un numero imaginario (que es unmultiplo real de la unidad imaginaria piq). El conjunto de los numeros complejos se denota por C y analizare-mos mas de ellos en la seccion 2.5.

1.1. Vectores

El estudio de los vectores da una muestra importante del rol de las matematicas en la fısica, debido a que,al utilizar notacion vectorial, las ecuaciones fısicas se hacen mas sencillas y compactas. Para ello necesitamosun sistema de coordenadas, con un origen dado y en el cual se pueda representar cada punto del espacioconsiderado.

De esta forma podemos definir la recta, el plano y el espacio tridimensional.

7

8 1 Sistema de coordenadas

1. La recta real se denota por R1 ” R, en la cual a cada numero real le corresponde un punto de la recta, ya cada punto de la recta le corresponde un numero real. Ası entonces un numero b se ubica a b unidadesa la derecha del origen, mientras que ´b se ubica a b unidades a la izquierda del origen.

2. Para ubicar puntos en un espacio de dos dimensiones se requieren dos coordenadas. De tal forma que elconjunto de todos los pares ordenados px, yq : x, y P R se denota R2.

3. Analogamente, el conjunto de todas las ternas ordenadas px, y, zq : x, y, z P R se denota R3.

Definicion 1. Vector: Los vectores podemos analizarlos desde el punto de vista geometrico y analıtico. Desde el punto devista geometrico definimos un vector como un segmento de lınea dirigido, para lo cual representamos un vector con unaflecha. Desde el punto de vista analıtico definimos un vector especificando su direccion y su longitud

Algunas propiedades importantes son:

Si tenemos dos vectores ~a y~b, los cuales tienen la misma longitud y la misma direccion entonces estosvectores son iguales~a “~b.

La longitud de un vector~a se denomina magnitud o norma y puede ser representada como: |~a|, ~a o |a|.Para este texto adoptaremos la convencion |a|.

Teorema 1. Si un vector~a es distinto de cero, podemos definir vector unitario a como

a “~a|a|

(1-1)

y por lo tanto, a tiene la misma direccion que el vector~a pero de magnitud uno.

1.1.1. Algebra de vectores

Teorema 2. Si tenemos un vector~a y~b diferentes de cero, se tiene

Si multiplicamos un vector~a por un escalar α ą 0 entonces el vector resultante ~c “ α~a va en la misma direccionque~a

Si multiplicamos un vector~a por un escalar α ă 0 entonces el vector resultante~c “ α~a va en direccion contraria a~a

La adicion y resta de vectores se puede desarrollar de forma grafica como la que se puede apreciar en la figura1-1

con relacion al grafico anterior podemos ver que la regla de adicion y resta de vectores graficamente se basaen colocar la cola de ~B en la cabeza de ~A manteniendo la magnitud y direccion de los vectores y por lo tanto,el vector resultante sera el vector desde la cola de ~A hasta la cabeza de ~B.

1.1 Vectores 9

Figura 1-1: Partiendo de los vectores ~A y ~B podemos realizar diversas operaciones

Teorema 3. Sean~a,~b y~c vectores cualesquiera, con α y β escalares entonces

~a`~b “~b`~a ÝÑ Ley conmutativa~a`

´

~b`~c¯

“

´

~a`~b¯

`~c ÝÑ Ley asociativa

α pβ~aq “ pαβq~apα` βq~a “ α~a` β~aα´

~a`~b¯

“ α~a` α~b

,

/

.

/

-

ÝÑ Ley distributiva

α~a “ 0 ðñ~a “ 00~a “ 0

*

ÝÑ Propiedad del elemento cero

1~a “~a ÝÑ Propiedad del elemento identidad|α~a| “ |α| |~a|

(1-2)

Definicion 2. Producto interno o producto punto: El producto punto denotado como~a ¨~b es un numero y se define como:

~a ¨~b “ |~a|ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇcos φ (1-3)

Corolario 4. Si φ es el angulo que hay entre~a y~b vectores diferentes de cero, entonces:

cos φ “~a ¨~b

|~a|ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

El producto punto tambien se puede denotar comoA

~a,~bE

o como a ¨ b y su significado no varıa.

Figura 1-2: Producto punto entre vectores. Como vemos |~a| cos φ es la proyeccion escalar de~a en~b.

Algunas propiedades para el producto interno son:

~a ¨~a “ |~a|2 y sera cero, si y solo si~a “ 0

α´

~a ¨~b¯

“~a ¨´

α~b¯

“ pα~aq ¨~b


~a ¨´

~b`~c¯

“~a ¨~b`~a ¨~c y´

~a`~b¯

¨~c “~a ¨~c`~b ¨~c

~a ¨~b “~b ¨~a

Corolario 5. Desigualdad triangular: Para cualesquiera dos vectores~a y~b

ˇ

ˇ

~a`~bˇ

ˇ

ˇď |~a| `

ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ(1-4)

Corolario 6. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: Para cualesquiera dos vectores~a y~b

ˇ

ˇ

~a ¨~bˇ

ˇ

ˇď |~a|

ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ(1-5)

la igualdad se da, si y solo si,~a es multiplo escalar de~b o uno de los vectores es cero.

Definicion 3. Vector proyeccion: Para cualesquiera dos vectores~a y~b, se define la proyeccion de~a a lo largo de~b como

Proy~b~a “~a ¨~bˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

2~b “

~a ¨~bˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

loomoon

escalar

~bˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

loomoon

vector

de lo anterior, tenemos que el vector proyeccion sera cero si |~a| “ 0 oˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ“ 0, o que~a y~b sean perpendiculares

´

~a K~b¯

.

Teorema 7. Teorema del coseno: Para cualesquiera tres vectores~a,~b y~c, definimos~c “~a`~b entonces

~c ¨~c “´

~a`~b¯

¨

´

~a`~b¯

y su magnitud sera

|~c|2 “ |~a|2 `ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

2` 2 |~a| |~b| cos φ (1-6)

El teorema anterior es una generalizacion del teorema de Pitagoras y relaciona un lado de un triangulo concualquiera con los otros dos y el coseno del angulo formado por estos dos lados, como lo vemos en la figura1-3

Figura 1-3: Representacion de un triangulo de lados |~a| ,ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇy |~c| y angulos θ, φ y α.

Teorema 8. Producto cruz o producto vectorial:

1.1 Vectores 11

Figura 1-4: Paralelepıpedo determinado por el producto cruz.

Sean~a y~b vectores linealmente independientes~c “~aˆ~b (1-7)

donde el vector~c es perpendicular al plano generado por los vectores~a y~b como lo podemos ver en la figura 1-4

ˇ

ˇ

~aˆ~bˇ

ˇ

ˇ“ |~a|

ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇsin φ (1-8)

donde φ P p0, πq es el angulo entre los vectores~a y~b, por lo tanto,ˇ

ˇ

~aˆ~bˇ

ˇ

ˇes el area del paralelogramo determinado por

los vectores~a y~b.

Propiedades del producto vectorial: Sean~a,~b y~c vectores y α un escalar, entonces:

~aˆ~b “ ´´

~bˆ~a¯

~aˆ~a “ 0

~aˆ~b “ 0 si y solo si~a y~b son linealmente dependientes´

~a`~b¯

ˆ~c “~aˆ~c`~bˆ~c

~aˆ´

~bˆ~c¯

“ p~a ¨~cq~b´´

~a ¨~b¯

~c

pα~aq ˆ~b “ α´

~aˆ~b¯

“~aˆ´

α~b¯

´

~aˆ~b¯

¨~c “~a ¨´

~bˆ~c¯

ˇ

ˇ

~aˆ~bˇ

ˇ

ˇ

2“ |a|2 |b|2 ´

´

~a ¨~b¯2

1.1.2. Vectores en R3

Las condiciones para usar un sistema u otro de coordenadas esta supeditado a la geometrıa del problema aconsiderar. Un ejemplo de este hecho es el siguiente.


Ejemplo 1. Si tenemos un cuerpo que se mueve en lınea recta en el espacio y el tiempo, el cual esta sometido a una fuerza~F, por la segunda ley de Newton en coordenadas cartesianas, lo podemos escribir como un vector de R3

~F “ m~a

Fx ı` Fy ` Fz k “ max ı`may `maz k

como veremos mas adelante, descomponer un vector en sus componentes nos permitira resolver mas facilmente muchostipos de problemas.

1.2. Coordenadas cartesianas o rectangulares

La posicion de cualquier punto P en el espacio, se puede especificar mediante tres numeros px, y, zq los cualesson las proyecciones sobre los ejes XYZ. Podemos definir los vectores base, los cuales son los vectores unitarioscomo:

ı “ p1, 0, 0q ; “ p0, 1, 0q ; k “ p0, 0, 1q

como se muestra en la figura 1-5

Figura 1-5: Representacion de un sistema cartesiano en tres dimensiones con sus vectores unitarios y los angu-los directores.

estos vectores conforman una base para el espacio R3, razon por la cual todo vector en este espacio puedeexpresarse como combinacion de estos 3 vectores como

~a “ ax ı` ay ` az k

Los vectores unitarios cumplen que

ı ¨ “ ı ¨ k “ ¨ k “ 0,ı ¨ ı “ ¨ “ k ¨ k “ 1,

1.2 Coordenadas cartesianas o rectangulares 13

ıˆ “ k ; kˆ ı “ ; ˆ k “ ı

el lector puede verificar estas propiedades.

Problema 1. Determine si el producto cruz es conmutativo.

Solucion 1. Para determinar la conmutatividad del producto cruz podemos hacerlo partiendo del calculo de los productosıˆ y ˆ ı y luego extrapolarlo a los productos restantes. Por lo tanto, de la ecuacion (1-7)

ıˆ “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k1 0 00 1 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ k ; ˆ ı “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0 1 01 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´k

como vemos ıˆ ‰ ˆ ı, de hecho ıˆ “ ´p ˆ ıq. Esto nos lleva a concluir la no conmutatividad del producto vectorial.

Problema 2. Sea~a “ p4,´3, 2q y~b “ p1, 2,´2q. Calcule~a`~b; 3~a´ 2~b; ~a ¨~b

Solucion 2. Tenemos que

~a`~b “ p4,´3, 2q ` p1, 2,´2q “ p5,´1, 0q ,

3~a´ 2~b “ 3 p4,´3, 2q ´ 2 p1, 2,´2q “ p10,´13, 10q ,

~a ¨~b “ 4 p1q ` p´3q 2` 2 p´2q “ ´6.

Para un vector~r se pueden definir los angulos directores, los cuales podemos notar como: α, β y γ

x “ r cos α

y “ r cos β

z “ r cos γ

ası entonces

r2 “ x2 ` y2 ` z2 “ r2´

cos2 α` cos2 β` cos2 γ¯

lo cual implica que cos2 α ` cos2 β ` cos2 γ “ 1, i.e. la suma de los cuadrados de los cosenos directores delvector de posicion valen 1.

Para un vector arbitrario~a “ ax ı` ay ` az k como el que se muestra en la figura 1-5 tenemos que

a “~a|a|“

1|a|

´

ax ı` ay ` az k¯

“

´

cos αı` cos β` cos γk¯

.

Problema 3. Calcule los cosenos directores del vector~a “ p4,´3, 2q


|a| “b

42 ` p´3q2 ` 22 “?

29

por lo tanto

a “~a|a|“

1?

29p4,´3, 2q ñ cos α “

4?

29, cos β “

´3?

29y cos γ “

2?

29.

Problema 4. Supongamos que las componentes del vector~a son positivas y que α “ 60˝ y β “ 45˝. Calcule el valor deγ.


Solucion 4. Dado que cos α “ 12 y cos β “

?2

2 entonces

cos2 α` cos2 β` cos2 γ “ 1ˆ

12

˙2`

˜?2

2

¸2

` cos2 γ “ 1

ñ cos γ “

g

f

f

e1´ˆ

12

˙2´

˜?2

2

¸2

“

c

14

γ “ arc cos12“

13

π ” 60˝.

Problema 5. Calcule el angulo entre los vectores~a “ p4,´3, 2q y~b “ p1, 2,´2q

Solucion 5. Partiendo de la ecuacion (1-3)

|~a| “

b

42 ` p´3q2 ` 22 “?

29ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ“

b

12 ` 22 ` p´2q2 “ 3

~a ¨~b “ 4 p1q ` p´3q 2` 2 p´2q “ ´6

entonces

cos θ “~a ¨~b

|~a|ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

“´6

3?

29“´2?

29ñ cos´1

ˆ

´2?

29

˙

“ 1.951 3 ” 111.8˝

Si tenemos dos vectores~a y~b el terminoˇ

ˇ

~aˆ~bˇ

ˇ

ˇes el area del paralelogramo que tiene a como lados adyacentes

~A y ~B.

Problema 6. Demuestre la ecuacion (1-8).

Solucion 6. Dado queˇ

ˇ

~aˆ~bˇ

ˇ

ˇ“ |~a|

ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇsin θ

|~a|ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇsin θ “ |~a|

ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

a

1´ cos2 θ

“ |~a|ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

g

f

f

f

f

e

1´

´

~a ¨~b¯2

|~a|2ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

2

“

c

|~a|2ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

2´

´

~a ¨~b¯2

“

c

´

a2x ` a2

y ` a2z

¯´

b2x ` b2

y ` b2z

¯

´`

axbx ` ayby ` azbz˘2

“

d

a2xb2

x ` a2xb2

y ` a2xb2

z ` a2yb2

x ` a2yb2

y ` a2yb2

z ` a2zb2

x ` a2zb2

y ` a2zb2

z´a2

xb2x ´ 2axaybxby ´ 2axazbxbz ´ a2

yb2y ´ 2ayazbybz ´ a2

zb2z

“

b

A2yB2

z ´ 2Ay AzByBz ` A2z B2

y ` A2xB2

z ´ 2Ax AzBxBz ` A2z B2

x ` A2xB2

y ´ 2Ax AyBxBy ` A2yB2

x

“

b

`

AyBz ´ AzBy˘2` pAxBz ´ AzBxq

2``

AxBy ´ AyBx˘2

“

ˇ

ˇ

~aˆ~bˇ

ˇ

ˇ.

Problema 7. Calcule el producto cruz entre~a “ p4,´3, 2q y~b “ p1, 2,´2q.

1.2 Coordenadas cartesianas o rectangulares 15


~aˆ~b “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k4 ´3 21 2 ´2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ p6´ 4q ı´ p´8´ 2q ` p8` 3q k “ 2ı` 10 ` 11k.

Problema 8. Calcule el valor de β, teniendo en cuenta que~a “ 2ı´ 6 ` 10k y~b “ ı` β` 5k tienen el mismo vectorunitario.

Solucion 8. Si ambos vectores tienen el mismo vector unitario entonces deben ser iguales componente a componente conlo cual

|~a| “b

22 ` p´6q2 ` 102 “ 2?

35 ñ a “~a|~a|“

1?

35ı´

3?

35`

5?

35k

mientras que

ˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ“

b

12 ` β2 ` 52 “

b

β2 ` 26 ñ b “~bˇ

ˇ~bˇ

ˇ

ˇ

“1

a

β2 ` 26ı`

βa

β2 ` 26`

5a

β2 ` 26k

por lo tanto, igualando las componentes en tenemos

´ 3?35

“β?

β2`26´

´ 3?35

¯2“

ˆ

β?β2`26

˙2

935 “

β2

β2`269`

β2 ` 26˘

“ 35β2

ñ β “b

23426 “ 3.

Problema 9. Dados los vectores

~a “ αı` ` 4k~b “ 3ı` β` 6k

~c “ 5ı´ 2 ` γk

calcule los valores para α, β y γ de tal forma que los vectores sean mutuamente ortogonales.

Solucion 9. Para calcular los valores de α, β y γ debemos tener en cuenta~a ¨~b “ 0 si son ortogonales. Construiremosentonces un sistema de 3 ecuaciones debido a que tenemos 3 incognitas

~a ¨~b “ 3α` β` 24 “ 0~b ¨~c “ 15´ 2β` 6γ “ 0

~a ¨~c “ 5α´ 2` 4γ “ 0

reescribiremos el sistema como»

–

3 1 00 ´2 65 0 4

fi

fl

»

–

α

β

γ

fi

fl “

»

–

´24´15

2

fi

fl

y cuya solucion sera»

–

α

β

γ

fi

fl “

»

–

44´156´ 109

2

fi

fl .


Problema 10. Calcule el trabajo que la fuerza ~F “´

5ı` 2 ` 6k¯

N efectua cuando su punto de aplicacion cambia deP p1,´1, 2qm a Q p4, 3,´1qm.

Solucion 10. Tenemos que la variacion de la distancia es ÝÑPQ “ p4, 3,´1q ´ p1,´1, 2q “´

3ı` 4 ´ 3k¯

m y dado que

el trabajo realizado por un fuerza constante lo podemos escribir como W “ ~F ¨4~S tenemos

W “ ~F ¨4~S “´

5ı` 2 ` 6k¯

¨

´

3ı` 4 ´ 3k¯

“ 15` 8´ 18 “ 5J.

Problema 11. Se aplica una fuerza vertical de 50N al ex-tremo de una palanca de 1m de longitud unida a un eje enel punto P como se ilustra en la figura 1-6. Calcule el torqueproducido teniendo en cuenta que β “ 60.

Figura 1-6:

Solucion 11. Para calcular el torque debemos tener en cuenta que ~τ “ ÝÑr ˆ ~F . Dado que β “ 60° ” 13 π y que~r “ ÝÑPQ

tenemosÝÑPQ “ cos

π

3` sin

π

3k

entonces

~τ “ÝÑPQˆ ~F “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0 cos π

3 sin π3

0 0 ´50

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´50 cosπ

3ı “ ´25ı.

1.3. Sistema de coordenadas cilındricas

Como vemos en la figura 1-7, la posicion de un punto P en coordenadas cilındricas se especifica mediante 3cantidades pρ, ϕ, zq donde ρ es la proyeccion del vector de posicion~r sobre el plano XY, ϕ es el angulo queforma dicha proyeccion con el eje X positivo y z es la distancia del plano XY al punto P..

La relacion entre la base en coordenadas cilındricas y la base usual en coordenadas cartesianas la podemosmediante

¨

˝

ρ

ϕ

k

˛

‚“

¨

˝

cos ϕ sin ϕ 0´ sin ϕ cos ϕ 0

0 0 1

˛

‚

¨

˝

ı

k

˛

‚

las cuales cumplen las siguientes propiedades de ortonormalidad

ρ ¨ ρ “ ϕ ¨ ϕ “ k ¨ k “ 1

ρ ¨ ϕ “ ϕ ¨ ρ “ ϕ ¨ k “ k ¨ ϕ “ k ¨ ρ “ ρ ¨ k “ 0

1.4 Sistema de coordenadas esfericas 17

Figura 1-7: Representacion de las coordenadas cilındricas.

mientras que la relacion entre las coordenadas es

x “ ρ cos ϕ ; y “ ρ sin ϕ ; z “ z ; tan ϕ “yx

donde ρ2 “ x2 ` y2. (1-9)

Problema 12. Encuentre una ecuacion en coordenadas cilındricas para las siguientes ecuaciones cartesianas z2 “ x2 ´

y2 y z2 “ x2 ` y2.

Solucion 12. Partiendo de la ecuacion (1-9) tenemos

z2 “ x2 ´ y2 “ ρ2´

cos2 ϕ´ sin2 ϕ¯

“ ρ2 cos 2ϕ ñ z “ ρa

cos 2ϕ

z2 “ x2 ´ y2 “ ρ2´

cos2 ϕ` sin2 ϕ¯

“ ρ2 ñ z “ ρ.

Problema 13. Convierta el punto en el espacio´

12 ,?

32 , 5

¯

a coordenadas cilındricas.


ρ2 “ x2 ` y2 “

ˆ

12

˙2`

ˆ

?3

2

˙2

“ 1

tan φ “yx“

?3

212“?

3 ñ arctan?

3 “13

π

por lo tanto, las coordenadas cilındricas son´

1, 13 π, 5

¯

.

1.4. Sistema de coordenadas esfericas

Como vemos en la figura 1-8, la posicion de un punto P se especifica mediante tres cantidades pr, θ, ϕq donder es la distancia de P al origen, θ es el angulo que forma~r con el eje X positivo y ϕ es el angulo entre el eje Xpositivo y la proyeccion de r sobre XY.


Figura 1-8: Representacion de las coordenadas esfericas.

La relacion entre una base en coordenadas esfericas y la base usual en coordenadas cartesianas la podemosmediante

¨

˝

rθ

ϕ

˛

‚“

¨

˝

sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ

cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ ´ sin θ

´ sin ϕ cos ϕ 1

˛

‚

¨

˝

ı

k

˛

‚ (1-10)

donde tenemos que nuevamente se cumplen las condiciones de ortonormalidad

r ¨ r “ θ ¨ θ “ ϕ ¨ ϕ “ 1

r ¨ θ “ θ ¨ r “ θ ¨ ϕ “ ϕ ¨ θ “ ϕ ¨ r “ r ¨ φ “ 0

La relacion entre las coordenadas esfericas y cartesianas son las siguientes

x “ r sin θ cos ϕ ; y “ r sin θ sin ϕ ; z “ r cos θ ; r2 “ x2 ` y2 ` z2 (1-11)

Problema 14. Si suponemos que las coordenadas esfericas del punto P son`

4, π3 , π

6

˘

, encuentre las coordenadas carte-sianas y cilındricas para este.

Solucion 14. Tenemos que ρ “ 4, θ “ π3 y ϕ “ π

6 por lo tanto

x “ r sin θ cos ϕ “ 4 sinπ

3cos

π

6“ 3

y “ r sin θ sin ϕ “ 4 sinπ

3sin

π

6“?

3

z “ r cos θ “ 4 cosπ

3“ 2

por lo tanto, en coordenadas cartesianas tenemos`

3,?

3, 2˘

.

Mientras en coordenadas cilındricas

ρ “

b

x2 ` y2 “

b

12 `?

32“ 2

tan θ “yx“

?3

1“?

3 ñ arctan?

3 “13

π

ası entonces las coordenadas cilındricas son´

2, 13 π, 2

?3¯

.

Capıtulo 2

Calculo vectorial

Se dice que en una region del espacio existe un campo, cuando a cada punto de esa region se le puede asignarun valor unico de determinada magnitud. En el caso de que la magnitud sea un escalar se dira que el campoes escalar, por el contrario, si la magnitud es de caracter vectorial diremos que se trata de un campo vectorial.

2.0.1. Campo escalar

Analıticamente un campo escalar es una funcion U : Rn Ñ R que asigna a cada valor de~r un unico valor Up~rq.Geometricamente un campo escalar se representa mediante las superficies isoescalares (superficies en las queel valor Up~rq se mantiene constante). Dependiendo de la magnitud de la que se trate las superficies isoescalarestomaran un nombre u otro (isotermas, isobaras, etc.).

Figura 2-1: Imagen del campo escalar f px, yq “a

x2 ` y2.

Debido a la definicion de campo escalar dos superficies isoescalares nunca pueden cortarse. Ejemplos de cam-pos escalares son: la energıa, la temperatura, distancia, masa, potencia, potencial electrico, flujo magnetico,

19

20 2 Calculo vectorial

corriente electrica, etc.

2.0.2. Campo vectorial

Analıticamente un campo vectorial es una funcion ~A : Rm Ñ Rn que asigna a cada valor de~r un unico valor~Ap~rq. La representacion geometrica de los campos vectoriales se realiza mediante las lıneas vectoriales, demodo que el campo es tangente a la lınea vectorial en todo punto.

Figura 2-2: Imagen del campo vectorial ~Fpx, yq “ sin xı` cos y .

Debido a la definicion de campo vectorial dos lıneas vectoriales nunca pueden cortarse. Ejemplos de camposvectoriales son: posicion, velocidad, aceleracion, fuerza, momento lineal, momento angular, campo electrico,campo magnetico, etc.

2.1. Derivacion de funciones vectoriales

Una funcion vectorial ~F “ p f1, . . . , fnq es diferenciable si cada una de las componentes es continua y derivable.Esto implica que existen derivadas parciales en la vecindad de cualquier punto y la continuidad en esta.

En funcion de las propiedades de las derivadas de una funcion podemos clasificar estas en clases diferencia-bles. De tal manera, que el numero de la clase corresponde a la existencia en ese orden de sus derivadas

Una funcion es de clase C1, si sus derivadas parciales a primer orden son continuas. Estas funciones sedenominan diferenciables continuas.

Una funcion es de clase Cn, con n ě 1 y constante, si sus derivadas parciales de orden n son continuas.Estas funciones se denominan diferenciables finitas.

Una funcion es denominada continuamente diferenciable si es de clase Cn, para todo n. Este tipo de fun-ciones tambien se denominan clase C8.

2.1 Derivacion de funciones vectoriales 21

Si suponemos que tenemos una funcion ~F psq, la cual depende de un parametro real s y queremos analizar elcambio de la funcion con respecto a s tenemos

dds~F psq “ lım

∆sÑ0

˜

~F ps` ∆sq ´ ~F psq∆s

¸

(2-1)

de tal forma que en un sistema de referencia cartesiano podemos escribir

dds~F psq “

dds

Fx psq ı`dds

Fy psq `dds

Fz psq k

Algunas propiedades relevantes son:

dds

´

~A` ~B¯

“dds

~A`dds~B

dds

´

~A ¨ ~B¯

“ ~A ¨dds~B` ~B ¨

dds

~A

dds

´

m~A¯

“ mdds

~A

dds

´

~Aˆ ~B¯

“ ~Aˆˆ

dds~B˙

`

ˆ

dds

~A˙

ˆ ~B

con m constante. Es importante mantener el orden de las derivadas en el caso de la derivada del productovectorial ya que este es anticonmutativo, como se vio en la seccion anterior.

Problema 15. Para una funcion vectorial dada por~r ptq “ cos tı` sin t ` 2tk. Calcular~r1 ptq , r2 ptq , ~r1 ptq ¨~r2 ptq y~r1 ptq ˆ~r2 ptq.


~r1 ptq “ ´ sin tı` cos t ` 2k

~r2 ptq “ ´ cos tı´ sin t

~r1 ptq ¨~r2 ptq “

´

´ sin tı` cos t ` 2k¯

¨ p´ cos tı´ sin t q “ sin t cos t´ cos t sin t “ 0

~r1 ptq ˆ~r2 ptq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´ sin t cos t 2´ cos t ´ sin t 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ p0 cos t´ p´2 sin tqq ı´ p´0 sin t´ p´2 cos tqq `´

sin2 t´´

´ cos2 t¯¯

k

“ 2 sin tı´ 2 cos t ` k.

2.1.1. Operador gradiente

El operador gradiente de un campo escalar es un campo vectorial cuya componente en cualquier direccion esla derivada del escalar en esa direccion.

El operador gradiente lo podemos escribir como ∇ (nabla). El cual podemos escribir en coordenadas cartesia-nas como

∇ ” B

Bxı`

B

By`

B

Bzk (2-2)


de tal forma que si f “ f px, y, zq es una funcion escalar de variables reales, entonces

∇ f “B fBx

ı`B fBy

`B fBz

k (2-3)

por lo tanto, el gradiente de una funcion escalar es una funcion vectorial.

Cuando aplicamos el gradiente a una funcion escalar, tenemos que el gradiente es siempre normal a la super-ficie, de tal forma que al evaluar ∇ f en un punto dado el vector obtenido resulta ser paralelo a la superficie.

De forma general la derivada direccional de la funcion f en la direccion~s se denota como dds f y la manera de

calcularla es por medio de la ecuaciondds

f “ ∇ f ¨ s (2-4)

donde s es el vector unitario en la direccion de~s.

Problema 16. Determine el vector normal a la superficie 3x2 ` y2 ´ 2z “ 1 en el punto p1, 1, 1q.


∇ f “B

Bx

´

3x2 ` y2 ´ 2z¯

ı`B

By

´

3x2 ` y2 ´ 2z¯

`B

Bz

´

3x2 ` y2 ´ 2z¯

k

“ 6xı` 2y ´ 2k

ñ ∇ f |p1,1,1q “ 6ı` 2 ´ 2k

el cual es el vector normal a la superficie.

Problema 17. Determine la derivada direccional de la funcion f px, y, zq “ x2y` 3z en el punto p1, 2, 0q en la direcciondel vector ı´ 4k.


∇ f “B

Bx

´

x2y` 3z¯

ı`B

By

´

x2y` 3z¯

`B

Bz

´

x2y` 3z¯

k

“ 2xyı` x2 ` 3k

ñ ∇ f |p1,2,0q “ 4ı` ` 3k

de otra parte tenemos

s “1?

17

´

ı´ 4k¯

ası entoncesd fds“ ∇ f |p1,2,0q ¨ s “

1?

17p4´ 12q “ ´

8?

17.

Problema 18. Dada la funcion f “ 1r , donde~r “ xı` y ` zk. Calcule el ∇ f .

Solucion 18. Debido a que~r “ xı` y ` zk entonces |~r| “a

x2 ` y2 ` z2 y por lo tanto

∇ f “ ∇ˆ

1r

˙

“ ∇˜

1a

x2 ` y2 ` z2

¸

“B

Bx

˜

1a

x2 ` y2 ` z2

¸

ı`B

By

˜

1a

x2 ` y2 ` z2

¸

`B

Bz

˜

1a

x2 ` y2 ` z2

¸

k

“ ´12

´

x2 ` y2 ` z2¯´ 3

2 2xı´12

´

x2 ` y2 ` z2¯´ 3

2 2y ´12

´

x2 ` y2 ` z2¯´ 3

2 2zk

“ ´

´

x2 ` y2 ` z2¯´ 3

2´

xı` y ` zk¯

“ ´~rr3 , (2-5)


otra forma de escribir el resultado anterior es ´ ~r|~r|3

, es importante tener en cuenta que a lo largo del libro lo usaremos

indistintamente.

Problema 19. Calcule ∇ˆ

1|~r ~r1|2

˙

haciendo la derivada sobre las coordenadas no primadas.

Solucion 19. Dado que la derivada se realiza sobre las coordenadas no primadas tenemos

∇ˆ

1|~r ~r1|2

˙

“

´

BBx ı` B

By ` BBz k

¯

ˆ

1px´x1q2`pyý1q2`pz´z1q2

˙

“ ´2px´x1qı`2pyý1q `2pz´z1qk´

px´x1q2`pyý1q2`pz´z1q2¯2

“ ´2 ~r ~r1

|~r ~r1|4.

(2-6)

2.1.2. Operador divergencia

Si tenemos una funcion vectorial ~F en coordenadas cartesianas tal que

~F “ Fx ı` Fy ` Fz k

donde Fx, Fy y Fz son funciones de variable real y dominio reales, es posible obtener una funcion escalar dadapor

∇ ¨ ~F “

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

´

Fx ı` Fy ` Fz k¯

“BFx

Bx`BFy

By`BFz

Bz(2-7)

lo cual define la divergencia en coordenadas cartesianas.

En fısica, la divergencia de una funcion vectorial esta asociada con algun tipo de flujo: masa, lıneas de campoelectrico, lıneas de campo magnetico, etc. en particular si ~F es una funcion vectorial tal que ∇ ¨ ~F “ 0 decimosque ~F es solenoidal1.

Problema 20. Para ~F “ x2zı´ 2y3z2 ` xy2zk, calcule ∇ ¨ ~F en el punto p1,´1, 1q

Solucion 20. De la ecuacion (2-7)

∇ ¨ ~F “

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

´

x2zı´ 2y3z2 ` xy2zk¯

“

ˆ

B

Bxx2z´

B

By2y3z2 `

B

Bzxy2z

˙

“ 2xz´ 6y2z2 ` xy2ˇ

ˇ

ˇ

p1,´1,1q“ ´3

Algunas propiedades de la divergencia son:

∇ ¨´

~A` ~B¯

“ ∇ ¨ ~A`∇ ¨ ~B

∇ ¨´

f~F¯

“ ∇ f ¨ ~F` f´

∇ ¨ ~F¯

1Por definicion un campo vectorial es solenoidal (tambien conocido como un campo vectorial incompresible) si el campo vectorial ~Ftiene divergencia cero en todos los puntos del campo


Problema 21. Demostrar la ultima propiedad enunciada ∇ ¨´

f~F¯

“ ∇ f ¨ ~F` f´

∇ ¨ ~F¯

.

Solucion 21. Expandiendo termino a termino

∇ ¨´

f~F¯

“ ∇ ¨´

f~F¯

“

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

´

f Fx ı` f Fy ` f Fz k¯

“B

Bxf Fx `

B

Byf Fy `

B

Bzf Fz

“B fBx

Fx `BFx

Bxf `

B fBy

Fy `BFy

Byf `

B fBz

Fz `BFz

Bzf

“B fBx

Fx `B fBy

Fy `B fBz

Fz `BFx

Bxf `

BFy

Byf `

BFz

Bzf

“

ˆ

B fBx

ı`B fBy

`B fBz

k˙

¨

´

Fx ı` Fy ` Fz k¯

` fˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

´

Fx ı` Fy ` Fz k¯

“ ∇ f ¨ ~F` f´

∇ ¨ ~F¯

.

Problema 22. Determine el valor de la constante a de forma que la funcion vectorial ~F “ px` 3yq ı ` py´ 2zq `

px` azq k sea solenoidal.

Solucion 22. Para calcular el valor de a hacemos

∇ ¨ ~F “

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

´

px` 3yq ı` py´ 2zq ` px` azq k¯

“

ˆ

B

Bxpx` 3yq `

B

Bypy´ 2zq `

B

Bzpx` azq

˙

“ 1` 1` a

y debido a que debe ser solenoidal entonces

∇ ¨ ~F “ 0

1` 1` a “ 0

a “ ´2

Problema 23. Calcule ~m ¨∇ ~rr3 .

Solucion 23. Expandiendo cada uno de los terminos tenemos

~m ¨∇ ~rr3 “

´

mx ı`my `mz k¯

¨

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

xı` y ` zk`

x2 ` y2 ` z2˘

32

“

´

mxBBx `my

BBy `mz

BBz

¯

xı`y `zk

px2`y2`z2q32

podemos comenzar a resolver agrupando los terminos que depende de ıˆ

mxB

Bx`my

B

By`mz

B

Bz

˙

xı`

x2 ` y2 ` z2˘

32

ası las derivadas seran

mxBBx

ˆ

xı`

x2 ` y2 ` z2˘´32

˙

“ mx ıˆ

`

x2 ` y2 ` z2˘´32 ` x

`

´ 32

˘

2x`

x2 ` y2 ` z2˘´52

˙

myBBy

ˆ

xı`

x2 ` y2 ` z2˘´32

˙

“ my ıˆ

x`

´ 32

˘

2y`

x2 ` y2 ` z2˘´52

˙

mzBBz

ˆ

xı`

x2 ` y2 ` z2˘´32

˙

“ mz ıˆ

x`

´ 32

˘

2z`

x2 ` y2 ` z2˘´52

˙


sumando los terminos anteriores tenemos

~m ¨∇ ~rr3

ˇ

ˇ

ˇ

ı“

mx ı

px2`y2`z2q32´

3x2mx ı

px2`y2`z2q52´

3yxmy ı

px2`y2`z2q52´

3zxmz ı

px2`y2`z2q52

“mx ı

px2`y2`z2q32´

3xpxmx`ymy`zmzqı

px2`y2`z2q52

“mx ır3 ´

3xp~m ~rqır5

por analogıa los terminos en y k son~m ¨∇ ~r

r3

ˇ

ˇ

ˇ

“

my

r3 ´3yp~m ~rq

r5

~m ¨∇ ~rr3

ˇ

ˇ

ˇ

k“

mz kr3 ´

3zp~m ~rqkr5

por lo tanto

~m ¨∇ ~rr3 “

mx ır3 ´

3xp~m ~rqır5 `

my

r3 ´3yp~m ~rq

r5 `mz kr3 ´

3zp~m ~rqkr5

“mx ır3 `

my

r3 `mz kr3 ´

3xp~m ~rqır5 ´

3yp~m ~rq r5 ´

3zp~m ~rqkr5

“ ~mr3 ´

3~rp~m ~rqr5

(2-8)

2.1.3. Operador laplaciano

El laplaciano es un operador diferencial de segundo orden, el cual se denota como∇2 (en algunos textos como4), definido de tal forma que cuando actua sobre funciones escalares lo podemos escribir como

∇2 f px, y, zq “ˆ

B2 fBx2 `

B2 fBy2 `

B2 fBz2

˙

en coordenadas cartesianas.

Problema 24. Calcule ∇ ¨∇ f .

Solucion 24. Para calcular la divergencia del gradiente de una funcion escalar f tenemos

∇ ¨∇ f “

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

ˆ

B fBx

ı`B fBy

`B fBz

k˙

“B

BxB fBx`B

ByB fBy`B

BzB fBz

“

ˆ

B2

Bx2 `B2

By2 `B2

Bz2

˙

f “ ∇2 f

la ecuacion ∇2 f “ 0 se llama ecuacion de Laplace.

Cuando el laplaciano actua sobre funciones vectoriales ~F tenemos que

∇2~F “ ∇2Fx ı`∇2Fy `∇2Fz k

“

ˆ

B2

Bx2 Fx `B2

By2 Fx `B2

Bz2 Fx

˙

ı`ˆ

B2

Bx2 Fy `B2

By2 Fy `B2

Bz2 Fy

˙

`

ˆ

B2

Bx2 Fz `B2

By2 Fz `B2

Bz2 Fz

˙

k.

Problema 25. Calcule el laplaciano de f “ 1r teniendo en cuenta que~r “ xı` y ` zk.

Solucion 25. De la definicion de~r tenemos que |~r| “a

x2 ` y2 ` z2 y por lo tanto debemos calcular

∇2 f “ˆ

B2

Bx2 `B2

By2 `B2

Bz2

˙

˜

1a

x2 ` y2 ` z2

¸


dada la simetrıa de las ecuaciones podemos resolver una de ellas y extrapolar para las demas coordenadas

B2

Bx2

´

x2 ` y2 ` z2¯´ 1

2“ ´

B

Bx12

2x´

x2 ` y2 ` z2¯´ 3

2“ ´

´

x2 ` y2 ` z2¯´ 3

2`

32

2x2´

x2 ` y2 ` z2¯´ 5

2

“´`

x2 ` y2 ` z2˘` 3x2

`

x2 ` y2 ` z2˘

52

“´`

´2x2 ` y2 ` z2˘

`

x2 ` y2 ` z2˘

52

ası entonces

∇2 f “

ˆ

B2

Bx2 `B2

By2 `B2

Bz2

˙

˜

1a

x2 ` y2 ` z2

¸

“´`

´2x2 ` y2 ` z2˘

`

x2 ` y2 ` z2˘

52

´

`

x2 ´ 2y2 ` z2˘

`

x2 ` y2 ` z2˘

52´

`

x2 ` y2 ´ 2z2˘

`

x2 ` y2 ` z2˘

52

“´`

´2x2 ` y2 ` z2˘´`

x2 ´ 2y2 ` z2˘´`

x2 ` y2 ´ 2z2˘

`

x2 ` y2 ` z2˘

52

“ 0

en consecuencia f “ 1r es una solucion de la ecuacion de Laplace.

Problema 26. Sea f px, y, zq “ x3 ´ 3xy2 ` e2z calcule su laplaciano.


B

Bx

ˆ

B fBx

˙

“B

Bx

ˆ

B

Bxx3 ´ 3xy2 ` e2z

˙

“ 6x

B

By

ˆ

B fBy

˙

“B

By

ˆ

B

By

´

x3 ´ 3xy2 ` e2z¯

˙

“ ´6x

B

Bz

ˆ

B fBz

˙

“B

Bz

ˆ

B

Bz

´

x3 ´ 3xy2 ` e2z¯

˙

“ 4e2z

por lo tanto

∇2 f px, y, zq “B

Bx

ˆ

B fBx

˙

`B

By

ˆ

B fBy

˙

`B

Bz

ˆ

B fBz

˙

“ 4e2z.

Si el laplaciano de una funcion escalar es ∇2 f “ 0 decimos que la funcion es armonica

Problema 27. Determine al valor de a para que la funcion escalar f px, y, zq “ px` 3yq2`px` 2y´ azq2 sea armonica

Solucion 27. Para determinar el valor de a, debemos de calcular

B

Bx

ˆ

B fBx

˙

“B

Bx

ˆ

B

Bx

´

px` 3yq2 ` px` 2y´ azq2¯

˙

“ 4

B

By

ˆ

B fBy

˙

“B

By

ˆ

B

By

´


˙

“ 26

B

Bz

ˆ

B fBz

˙

“B

Bz

ˆ

B

Bz

´


˙

“ 2a2

entonces

∇2 f px, y, zq “B

Bx

ˆ

B fBx

˙

`B

By

ˆ

B fBy

˙

`B

Bz

ˆ

B fBz

˙

“ 4` 26` 2a2

30` 2a2 “ 0 ñ a “ ˘i?

15.


2.1.4. Rotacional de una funcion vectorial

Si F : A Ñ R3 es un campo vectorial de clase C1 definido en un abierto A de R3, se define el rotacional delcampo ~F “ Fx ı` Fy ` Fz k, denotado por ∇ˆ ~F , como

∇ˆ ~F “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

Fx Fy Fz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

ByFz ´

B

BzFy

˙

ı´ˆ

B

BxFz ´

B

BzFx

˙

`

ˆ

B

BxFy ´

B

ByFx

˙

k

lo cual define el rotacional en coordenadas cartesianas.

El rotacional en fısica esta asociado con la circulacion del campo vectorial correspondiente y por lo tanto, uncampo ~F se denomina irrotacional si

∇ˆ ~F “ 0

lo cual es muy importante en las funciones denominadas conservativas ( o campos conservativos ).

Problema 28. Calcule el rotacional de ~A “ ex sin yı´ ex cos y en el punto p0, 0, 1q.


∇ˆ ~A “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

ex sin y éx cos y 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

By0´

B

Bzpéx cos yq

˙

ı´ˆ

B

Bx0´

B

Bzex sin y

˙

`

ˆ

B

Bxpéx cos yq ´

B

Byex sin y

˙

k

“ ´2ex cos ykˇ

ˇ

ˇ

p0,0,1q“ ´2e0 cos 0k “ ´2k.

Problema 29. Si ~A “ x2yı´ 2xz ` 2yzk, calcule ∇ˆ∇ˆ ~A.

Solucion 29. El primer rotacional sera

∇ˆ ~A “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

x2y ´2xz 2yz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

By2yz´

B

Bzp´2xzq

˙

ı´ˆ

B

Bx2yz´

B

Bzx2y

˙

`

ˆ

B

Bxp´2xzq ´

B

Byx2y

˙

k

“ p2z` 2xq ı`´

´2z´ x2¯

k

mientras que

∇ˆ∇ˆ ~A “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

2z` 2x 0 ´2z´ x2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

By

´

´2z´ x2¯

´B

Bz0˙

ı´ˆ

B

Bx

´

´2z´ x2¯

´B

Bzp2z` 2xq

˙

`

ˆ

B

Bx0´

B

Byp2z` 2xq

˙

k

“ p2x` 2q .

Problema 30. Demostrar que ∇ˆ´

∇ˆ ~E¯

“ ´∇2~E`∇´

∇ ¨ ~E¯

.


Solucion 30. Haciendo la expansion del termino ∇ˆ´

∇ˆ ~E¯

tenemos

∇ˆ´

∇ˆ ~E¯

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

Ex Ey Ez

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ∇ˆˆˆ

B

ByEz ´

B

BzEy

˙

ı´ˆ

B

BxEz ´

B

BzEx

˙

`

ˆ

B

BxEy ´

B

ByEx

˙

k˙

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

BBy Ez ´

BBz Ey

BBz Ex ´

BBx Ez

BBx Ey ´

BBy Ex

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

By

ˆ

B

BxEy ´

B

ByEx

˙

´B

Bz

ˆ

B

BzEx ´

B

BxEz

˙˙

ı´ˆ

B

Bx

ˆ

B

BxEy ´

B

ByEx

˙

´B

Bz

ˆ

B

ByEz ´

B

BzEy

˙˙

`

ˆ

B

Bx

ˆ

B

BzEx ´

B

BxEz

˙

´B

By

ˆ

B

ByEz ´

B

BzEy

˙˙

k

“

˜

B2Ey

ByBx´B2Ex

By2 ´B2Ex

Bz2 `B2Ez

BzBx

¸

ı´

˜

B2Ey

Bx2 ´B2Ex

BxBy´B2Ez

BzBy`B2Ey

Bz2

¸

`

˜

B2Ex

BxBz´B2Ez

Bx2 ´B2Ez

By2 `B2Ey

ByBz

¸

k

“

ˆ

´B2Ex

By2 ´B2Ex

Bz2

˙

ı´

˜

B2Ey

Bx2 `B2Ey

Bz2

¸

`

ˆ

´B2Ez

Bx2 ´B2Ez

By2

˙

k

`

˜

B2Ey

ByBx`B2Ez

BzBx

¸

ı`ˆ

B2Ex

BxBy`B2Ez

BzBy

˙

`

˜

B2Ex

BxBz`B2Ey

ByBz

¸

k

si sumamos y restamos un termino con una derivada en segundo orden con la idea de completar las derivadas para cadauno de los vectores unitarios tenemos

“

ˆ

´B2Ex

Bx2 ´B2Ex

By2 ´B2Ex

Bz2

˙

ı`

˜

´B2Ey

Bx2 ´B2Ey

By2 ´B2Ey

Bz2

¸

`

ˆ

´B2Ez

Bx2 ´B2Ez

By2 ´B2Ez

Bz2

˙

k

`

˜

B2Ex

Bx2 `B2Ey

ByBx`B2Ez

BzBx

¸

ı`

˜

B2Ex

BxBy`B2Ey

By2 `B2Ez

BzBy

¸

`

˜

B2Ex

BxBz`B2Ey

ByBz`B2Ez

Bz2

¸

k

“ ´

ˆ

B2

Bx2 `B2

By2 ´B2

Bz2

˙

´

Ex ı` Ey ` Ez k¯

` ıB

Bx

ˆ

BEx

Bx`BEy

By`BEz

Bz

˙

` B

By

ˆ

BEx

Bx`BEy

By`BEz

Bz

˙

`kB

Bz

ˆ

BEx

Bx`BEy

By`BEz

Bz

˙

“ ´∇2~E`∇´

∇ ¨ ~E¯

. (2-9)

Problema 31. Dado que ~v “ ~ωˆ~r, demostrar que ~ω “ 12∇ˆ~v siendo ~ω un vector constante.



∇ˆ~v “ ∇ˆ ~ωˆ~r “ ∇ˆ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kω1 ω2 ω3x y z

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ∇ˆ´

pω2z´ω3yq ı´ pω1z´ω3xq ` pω1y´ω2xq k¯

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

pω2z´ω3yq pω3x´ω1zq pω1y´ω2xq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

Bypω1y´ω2xq ´

B

Bzpω3x´ω1zq

˙

ı´ˆ

B

Bxpω1y´ω2xq ´

B

Bzpω2z´ω3yq

˙

`

ˆ

B

Bxpω3x´ω1zq ´

B

Bypω2z´ω3yq

˙

k

“ pω1 `ω1q ı´ p´ω2 ´ω2q ` pω3 `ω3q k “ 2´

ω1 ı`ω2 `ω3k¯

“ 2~ω

en consecuencia ∇ˆ~v “ 2~ω y por lo tanto ~ω “ 12∇ˆ~v.

Problema 32. Partiendo de las ecuaciones de Maxwell (estas son las ecuaciones de Maxwell microscopicas en ausenciade cargas electricas, las cuales seran analizadas en la seccion 10.1)

∇ ¨ ~E “ 0

∇ ¨ ~B “ 0

∇ˆ ~E “ ´B~BBt

∇ˆ ~B “B~EBt

demostrar que ~E y ~B satisfacen la ecuacion de onda ∇2u “ B2uBt2 .

Solucion 32. Partiendo de

∇ˆ ~E “ ´B~BBtñ ∇ˆ

´

∇ˆ ~E¯

“ ∇ˆ˜

´B~BBt

¸

“ ´B

Bt

´

∇ˆ ~B¯

“ ´B

Bt

˜

B~EBt

¸

“ ´B2~EBt2

si tenemos en cuenta lo que demostrado en la ecuacion (2-9), para nuestro caso particular tenemos

∇ˆ´

∇ˆ ~E¯

“ ´∇2~E`∇´

∇ ¨ ~E¯

“ ´∇2~E “ ´B2~EBt2

ñ ∇2~E “B2~EBt2

Ahora para el campo magnetico (~B) tenemos

∇ˆ ~B “B~EBtñ ∇ˆ

´

∇ˆ ~B¯

“ ∇ˆ B~EBt“B

Bt∇ˆ ~E “ ´

B

Bt

˜

B~BBt

¸

“ ´B2~BBt2

por analogıa a lo que demostramos en la ecuacion (2-9) podemos escribir ∇ˆ´

∇ˆ ~B¯

“ ´∇2~B`∇´

∇ ¨ ~B¯

y por lotanto

∇ˆ´

∇ˆ ~B¯

“ ´∇2~B`∇´

∇ ¨ ~B¯

“ ´∇2~B “ ´B2~BBt2

ñ ∇2~B “B2~BBt2


en consecuencia, ~E y ~B satisfacen la ecuacion de onda.

Problema 33. Si tenemos en cuenta que ~r es el vector posicion, escrito en coordenadas cartesianas. Demuestre que∇ ¨~r “ 3, ∇ˆ~r “ 0 y dado que~r es una funcion irrotacional debe de existir una funcion escalar φ, tal que ∇φ “ ~rencuentre dicha funcion.

Solucion 33. El vector posicion escrito en coordenadas rectangulares es~r “ xı` y ` zk por lo tanto

∇ ¨~r “ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

´

xı` y ` zk¯

“B

Bxx`

B

Byy`

B

Bzz “ 3 (2-10)

ası mismo

∇ˆ~r “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

x y z

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ıˆ

B

Byz´

B

Bzy˙

´

ˆ

B

Bxz´

B

Bzx˙

` kˆ

B

Bxy´

B

Byx˙

“ 0

dado que~r es una funcion irrotacional, existe una funcion escalar φ tal que ∇φ “~r, por lo tanto

~rż

~r0

∇φ ¨ d~l “ φ p~rq ´ φ p~r0q

despejando obtenemos

φ p~rq “ φ p~r0q `

~rż

~r0

~r ¨ d~l

teniendo en cuenta que elemento de lınea esta dado por d~l “ dxı` dy ` dzk, entonces

φ p~rq “ φ p~r0q `

xż

x0

yż

y0

zż

z0

´

xı` y ` zk¯

¨

´

dxı` dy ` dzk¯

“ φ p~r0q `

xż

x0

xdx`

yż

y0

ydy`

zż

z0

zdz

“ φ p~r0q `x2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x

x0

`y2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

y

y0

`z2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z

z0

“ φ p~r0q `x2 ` y2 ` z2

2´

x20 ` y2

0 ` z20

2

“ φ p~r0q `r2 ´ r2

02

.

Problema 34. Si~r “ xı` y ` zk y ~T “ 2zyı` xy2 ` x2yzk. Calcule p~r ¨∇q~T , ∇ ¨´

~r´

~r ¨ ~T¯¯

y ∇ˆ´

~Tˆ~r¯

.

Solucion 34. Expandiendo

p~r ¨∇q~T “

”´

xı` y ` zk¯

¨

´

BBx ı` B

By ` BBz k

¯ı´

2zyı` xy2 ` x2yzk¯

“

´

x BBx ` y B

By ` z BBz

¯´


“ x BBx

´


` y BBy

´


` z BBz

´


“ x´

y2 ` 2xyzk¯

` y´

2zı` 2xy ` x2zk¯

` z´

2yı` x2yk¯

“ xy2 ` 2x2yzk` 2yzı` 2xy2 ` x2yzk` 2zyı` x2yzk“ 4zyı` 3xy2 ` 4x2yzk


mientas que para

∇ ¨´

~r´

~r ¨ ~T¯¯

“

´

BBx ı` B

By ` BBz k

¯

¨

´´

xı` y ` zk¯´´

xı` y ` zk¯

¨

´

2zyı` xy2 ` x2yzk¯¯¯

“

´

BBx ı` B

By ` BBz k

¯

¨

´´

xı` y ` zk¯

`

2xzy` xy3 ` x2yz2˘¯

“

´

BBx ı` B

By ` BBz k

¯

¨``

2x2zy` x2y3 ` x3yz2˘ ı``

2xzy2 ` xy4 ` x2y2z2˘

``

2xz2y` zxy3 ` x2yz3˘ k¯

“ BBx

`

2x2zy` x2y3 ` x3yz2˘` BBy

`

2xzy2 ` xy4 ` x2y2z2˘` BBz

`

2xz2y` zxy3 ` x2yz3˘

“ 4xzy` 2xy3 ` 3x2yz2 ` 4xzy` 4xy3 ` 2x2yz2 ` 4xzy` xy3 ` 3x2yz2

“ 12xzy` 7xy3 ` 8x2yz2

finalmente∇ˆ p~rˆ Tq “ ∇ˆ

´

~Tˆ~r¯

“ ∇ˆ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k2zy xy2 x2yz

x y z

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ∇ˆ´

`

xy2z´ x2y2z˘

ı´`

2z2y´ x3yz˘

``

2zy2 ´ x2y2˘ k¯

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

xy2z´ x2y2z ´2z2y` x3yz 2zy2 ´ x2y2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“`

8zy´ 2x2y´ x3y˘

ı` `

3xy2 ´ x2y2˘` k`

5x2yz´ 2xyz˘

.

2.1.5. Operador nabla en diferentes sistemas coordenados

Hasta ahora hemos definido el operador nabla en coordenadas cartesianas, sin embargo, es necesario definirlopara coordenadas cilındricas y esfericas

En coordenadas cartesianas es∇ “ B

Bxı`

B

By`

B

Bzk (2-11)

En coordenadas cilındricas es∇ “ B

Bρρ`

1ρ

B

Bϕϕ`

B

Bzz (2-12)

En coordenadas esfericas es∇ “ B

Brr`

1rB

Bθθ `

1r sin θ

B

Bϕϕ (2-13)

Se deja como ejercicio al lector verificar las relaciones anteriores.

Si partimos de α, β escalares, f , g funciones escalares y ~F , ~G funciones vectoriales. Podemos postular algunaspropiedades importantes que muestran la lınealidad de los operadores nabla

∇ pα f ` βgq “ α∇ f ` β∇g .

∇ ¨´

α~F` β~G¯

“ α∇ ¨ ~F` β∇ ¨ ~G .

∇ˆ´

α~F` β~G¯

“ α∇ˆ ~F` β∇ˆ ~G .


∇ p f gq “ f∇g` g∇ f .

∇´

~F ¨ ~G¯

“

´

~F ¨∇¯

~G` ~Fˆ´

∇ˆ ~G¯

`

´

~G ¨∇¯

~F` ~Gˆ´

∇ˆ ~F¯

.

∇ ¨´

f~F¯

“ ~F ¨∇ f ` f ∇ ¨ ~F .

∇ˆ´

f~F¯

“ ∇ f ˆ ~F´ f ∇ˆ F .

2.2. Coordenadas curvilıneas generalizadas ortogonales

Las coordenadas cartesianas en R3 se pueden ver como un sistema de tres familias de superficies en el espacio.De tal forma, que cualquier punto P se puede describir como la interseccion de tres superficies:

Planos con x “ cte que son paralelos a yz.

Planos con y “ cte que son paralelos a xz.

Planos con z “ cte que son paralelos a xy.

Sin embargo, esta no es la unica forma para describir un punto P por medio de coordenadas ortogonales. Porlo tanto, podemos partir del sistema cartesiano a un nuevo sistema ortogonal.

De forma general cualquier punto P puede ser descrito por P`

u1, u2, u3˘ en donde ui pi “ 1, 2, 3q describensuperficies con u1 “ cte, u2 “ cte y u3 “ cte, en cada caso.

Sea~rptq una curva en el espacio, de tal forma que describe la trayectoria de una partıcula en nuestro sistemade coordenadas ortogonal. Para calcular la longitud de un arco debemos conocer

ˇ

ˇ

ˇ

d~rptqdt

ˇ

ˇ

ˇ, ya que la longitud del

arco que une~rpaq con~rpbq esta dada por

bż

a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

d~rptqdt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dt “

bż

a

d

ˆ

du1

dt

˙2

`

ˆ

du2

dt

˙2

`

ˆ

du3

dt

˙2

looooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon

ds

dt

por lo tanto, el elemento de camino es

d~r “B~rBu1 du1 `

B~rBu2 du2 `

B~rBu3 du3 “

3ÿ

i“1

B~rBui dui. (2-14)

La longitud al cuadrado del elemento de camino ds2 sera

ds2 “ d~r ¨ d~r “3ÿ

j“1

3ÿ

i“1

B~rBuj duj B~r

Bui dui (2-15)

de forma general podemos decir que B~rBui es un vector tangente a ui en el punto P y por lo tanto definir

B~rBui “~ai

2.2 Coordenadas curvilıneas generalizadas ortogonales 33

bajo la definicion anterior, la ecuacion (2-15) la podemos escribir como

ds2 “

3ÿ

j“1

3ÿ

i“1

B~rBuj duj B~r

Bui dui “

3ÿ

j“1

3ÿ

i“1

~aj ¨~aidujdui “

3ÿ

j“1

3ÿ

i“1

gijdujdui (2-16)

donde gij son las componentes del tensor metrico2, el cual en el caso de un sistema de coordenadas cartesianolo podemos representar como

gij “

¨

˝

1 0 00 1 00 0 1

˛

‚

como vemos, el tensor metrico es una matriz diagonal debido a que esta definido a partir de vectores baseortogonales, i.e.~aj ¨~ai “ 0 para todo i ‰ j y~aj ¨~ai “ 1 para todo i “ j.

Ası entonces, la ecuacion (2-15) la podemos escribir como

ds2 “ g11

´

du1¯2` g22

´

du2¯2` g33

´

du3¯2

(2-17)

o de forma mas general comodsi “ hidui

dondehi “

?g11

los terminos hi se denominan factores de escala, debido a que dan la proporcion entre lo que varıa una coorde-nada y el desplazamiento que produce esta variacion. Para determinar los factores de escala, debemos partirde la definicion de distancia entre dos puntos en un sistema coordenado cartesiano, la cual se define a partirdel teorema de Pitagoras como

∆s2 “ px1 ´ x0q2` py1 ´ y0q

2` pz1 ´ z0q

2

escribiendo lo anterior en terminos de la ecuacion (2-16) y teniendo en cuenta que los valores de los factores deescala para coordenadas cartesianas son hi “ 1 (para i “ 1, 2, 3), lo cual nos lleva a que la distancia mas cortaentre dos puntos es una lınea recta. Remplazando en la ecuacion (2-17) obtenemos

ds2 “

3ÿ

k“1

dxkdxk. (2-18)

Si queremos realizar lo anterior de forma general

dxk “

3ÿ

i“1

Bxk

Bui dui (2-19)

y en consecuencia

ds2 “

3ÿ

k“1

˜

3ÿ

i“1

Bxk

Bui dui

¸

¨

˝

3ÿ

j“1

Bxk

Buj duj

˛

‚ (2-20)

al ser las funciones continuas podemos reescribir las sumatorias como

ds2 “

3ÿ

i“1

3ÿ

j“1

˜

3ÿ

k“1

Bxk

BuiBxk

Buj

¸

duiduj (2-21)

2Es un tensor que permite definir cantidades fundamentales como longitud, volumen y angulo para un sistema coordenado en unespacio localmente euclidiano, generando invariantes.


si comparamos el resultado de la ecuacion anterior con la ecuacion (2-16) podemos inferir que

gij “

3ÿ

k“1

Bxk

BuiBxk

Buj

dado que estamos interesados en conocer los elementos diagonales del tensor metrico, debido a que ellosnos dan informacion sobre los factores de escala. Esto debido a que los sistemas que estamos analizando sonortogonales y por lo tanto, los elementos fuera de la diagonal seran cero. Esto es

gii “

3ÿ

k“1

˜

Bxk

Bui

¸2

. (2-22)

Por otro lado, si tenemos en cuenta la grafica 2-3 los elementos de area los podemos escribir como

Figura 2-3: Areas y volumen diferenciales en un sistema de coordenadas curvilıneas generalizadas.

dSij “ hihjduiduj (2-23)

mientras que el elemento de volumen es

dV “ h1h2h3du1du2du3. (2-24)

2.2.1. Gradiente en coordenadas curvilıneas

En un sistema de coordenadas curvilıneas ortogonales, los vectores unitarios e de la representacion tienen lasiguiente propiedad

ei ¨ ej “ 0 para todo i ‰ j y ei ¨ ej “ 1 para todo i “ j


Si tenemos en cuenta que un vector tangente en P a la lınea u1 (para la cual u2 y u3 son constantes) es B~rBu1

entonces el vector unitario tangente en la direccion y con la misma direccion es

e1 “

B~rBu1ˇ

ˇ

ˇ

B~rBu1

ˇ

ˇ

ˇ

ñB~rBu1 “ h1 e1

en donde definimos h1 “ˇ

ˇ

ˇ

B~rBu1

ˇ

ˇ

ˇ. De forma general tenemos

B~rBui “ hi ei (2-25)

un aspecto importante que podemos ver de la relacion anterior, es que los factores de escala son los que obligana los vectores base a ser unitarios.

Para el calculo del gradiente en coordenadas curvilıneas partimos de una funcion escalar f tal que

∇ f “ f1 e1 ` f2 e2 ` f3 e3

donde fi son coeficientes a determinar. Teniendo en cuenta las ecuaciones (2-14) y (2-25)

d~r “B~rBu1 du1 `

B~rBu2 du2 `

B~rBu3 du3 “ h1 e1du1 ` h2 e2du2 ` h3 e3du3

y partiendo de que d fd~r “ ∇ f tenemos

d f “ ∇ f ¨ d~r “ p f1 e1 ` f2 e2 ` f3 e3q ¨´

h1 e1du1 ` h2 e2du2 ` h3 e3du3¯

“ h1 f1du1 ` h2 f2du2 ` h3 f3du3 (2-26)

ası mismod f “

B fBu1 du1 `

B fBu2 du2 `

B fBu3 du3 (2-27)

si igualamos las ecuaciones (2-26) y (2-27) obtenemos

h1 f1du1 “B fBu1 du1; h2 f2du2 “

B fBu2 du2; h3 f3du3 “

B fBu3 du3

f1 “1h1

B fBu1 ; f2 “

1h2

B fBu2 ; f3 “

1h3

B fBu3

en consecuencia∇ f “

1h1

B fBu1 e1 `

1h2

B fBu2 e2 `

1h3

B fBu3 e3

y por lo tanto, el gradiente de forma general lo podemos escribir como

∇ “ 1h1

B

Bu1 e1 `1h2

B

Bu2 e2 `1h3

B

Bu3 e3. (2-28)

2.2.2. Divergencia en coordenadas curvilıneas

Si ~F es una funcion vectorial la cual la podemos escribir como

~F “ F1 e1 ` F2 e2 ` F3 e3


por lo tanto, la divergencia de ~F estara dada por la expresion

∇ ¨ ~F “ ∇ ¨ pF1 e1 ` F2 e2 ` F3 e3q “ ∇ ¨ pF1 e1q `∇ ¨ pF2 e2q `∇ ¨ pF3 e3q

debemos reescribir el termino anterior, para lo cual debemos tener en cuenta el resultado del siguiente proble-ma

Problema 35. Demostrar que e1 “ h2h3∇u2 ˆ∇u3. Ayuda: Tenga en cuenta que ∇ui “eihi

.

Solucion 35. Partiendo de ∇u1 “e1h1

, ∇u2 “ e2h2

y ∇u3 “e3h3

tenemos

∇u2 ˆ∇u3 “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

e1 e2 e30 1

h20

0 0 1h3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“e1

h2h3ñ e1 “ h2h3∇u2 ˆ∇u3

Remplazando el resultado anterior obtenemos

∇ ¨ pF1 e1q “ ∇ ¨´

F1h2h3

´

∇u2 ˆ∇u3¯¯

(2-29)

teniendo en cuenta que ∇ ¨´

f~F¯

“ ~F ¨∇ f ` f ∇ ¨ ~F y comparandola con la ecuacion (2-29) identificamos la

funcion escalar f “ F1h2h3, mientras que la funcion vectorial sera F “ ∇u2 ˆ∇u3. Remplazando obtenemos

∇ ¨´

F1h2h3

´

∇u2 ˆ∇u3¯¯

“

´

∇u2 ˆ∇u3¯

¨∇F1h2h3 ` F1h2h3∇ ¨´

∇u2 ˆ∇u3¯

“e1

h2h3¨∇F1h2h3 ` F1h2h3∇ ¨

ˆ

e1

h2h3

˙

“e1

h2h3¨

ˆ

e1

h1

BF1

Bu1 h2h3 `e2

h2

BF1

Bu2 h2h3 `e3

h3

BF1

Bu3 h2h3

˙

` F1h2h3

*

0

∇ ¨ˆ

e1

h2h3

˙

“1

h1h2h3

BF1

Bu1 h2h3

por lo tanto

∇ ¨ pF1 e1q “1

h1h2h3

BF1

Bu1 h2h3,

∇ ¨ pF2 e2q “1

h1h2h3

BF2

Bu2 h1h3,

∇ ¨ pF3 e3q “1

h1h2h3

BF3

Bu3 h1h2.

Al escribir lo anterior en una sola expresion obtenemos la forma general de la divergencia en coordenadascurvilıneas generalizadas

∇ ¨ ~F “ 1h1h2h3

ˆ

BF1

Bu1 h2h3 `BF2

Bu2 h1h3 `BF3

Bu3 h1h2

˙

. (2-30)

2.2.3. Rotacional en coordenadas curvilıneas

Partiendo de una funcion vectorial ~F tenemos

∇ˆ ~F “ ∇ˆ pF1 e1 ` F2 e2 ` F3 e3q “ ∇ˆ pF1 e1q `∇ˆ pF2 e2q `∇ˆ pF3 e3q


si calculamos∇ˆ pF1 e1q por simetrıa en la ecuacion, podremos determinar la forma de los terminos restantes.

Teniendo en cuenta la propiedad ∇ˆ´

f~F¯

“ ∇ f ˆ ~F´ f ∇ˆ F y al compararla con la ecuacion ∇ˆ pF1 e1q,

identificamos la funcion escalar f “ F1, mientras que la funcion vectorial sera ~F “ e1, donde e1 “ h1∇u1. Porlo tanto

∇ˆ pF1 e1q “ ∇F1 ˆ e1 ´ F1∇ˆ e1

“ ∇F1 ˆ h1∇u1 ´ F1∇ˆ e1

“ h1

∇F1hkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkj

ˆ

e1

h1

BF1

Bu1 è2

h2

BF1

Bu2 è3

h3

BF1

Bu3

˙

ê1

h1´ F1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

e1 e2 e31h1

BBu1

1h2

BBu2

1h3

BBu3

1 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ h1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

e1 e2 e31h1

BF1Bu1

1h2

BF1Bu2

1h3

BF1Bu3

1h1

0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´ 0

“

ˆ

1h1h3

B

Bu3 F1h1

˙

e2 ´

ˆ

1h1h2

B

Bu2 F1h1

˙

e3

por lo tanto

∇ˆ pF1 e1q “

ˆ

1h1h3

B

Bu3 F1h1

˙

e2 ´

ˆ

1h1h2

B

Bu2 F1h1

˙

e3

∇ˆ pF2 e2q “

ˆ

1h1h2

B

Bu1 F2h2

˙

e3 ´

ˆ

1h2h3

B

Bu3 F2h2

˙

e1

∇ˆ pF3 e3q “

ˆ

1h2h3

B

Bu2 F3h3

˙

e1 ´

ˆ

1h3h1

B

Bu1 F3h3

˙

e2

por lo tanto, el rotacional en coordenadas curvilıneas generalizadas es

∇ˆ ~F “ ∇ˆ pF1 e1q `∇ˆ pF2 e2q `∇ˆ pF3 e3q

“

ˆ

1h1h3

B

Bu3 F1h1

˙

e2 ´

ˆ

1h1h2

B

Bu2 F1h1

˙

e3 `

ˆ

1h1h2

B

Bu1 F2h2

˙

e3 ´

ˆ

1h2h3

B

Bu3 F2h2

˙

e1

`

ˆ

1h2h3

B

Bu2 F3h3

˙

e1 ´

ˆ

1h3h1

B

Bu1 F3h3

˙

e2 (2-31)

“1

h2h3

ˆ

B

Bu2 F3h3 ´B

Bu3 F2h2

˙

e1 ´1

h3h1

ˆ

B

Bu1 F3h3 ´B

Bu3 F1h1

˙

e2 `1

h1h2

ˆ

B

Bu1 F2h2 ´B

Bu2 F1h1

˙

e3.

2.2.4. Laplaciano en coordenadas curvilıneas

Partiendo de la definicion del laplaciano ∇2 f “ ∇ ¨∇ f , tenemos que la divergencia en coordenadas cur-vilıneas es (2-30)

∇ ¨ ~F “ 1h1h2h3

ˆ

BF1

Bu1 h2h3 `BF2

Bu2 h1h3 `BF3

Bu3 h1h2

˙

mientras que el gradiente es (2-28)

∇ f “e1

h1

B fBu1 `

e2

h2

B fBu2 `

e3

h3

B fBu3


Procedemos ahora identificar los terminos de la funcion vectorial en funcion de los terminos del gradientecomo F1 “

1h1

B fBu1 , F2 “

1h2

B fBu2 y F3 “

1h3

B fBu3 .

Por lo tanto, al remplazar obtenemos

∇ ¨∇ f “1

h1h2h3

„

B

Bu1

ˆ

h2h3

h1

B fBu1

˙

`B

Bu2

ˆ

h1h3

h2

B fBu2

˙

`B

Bu3

ˆ

h1h2

h3

B fBu3

˙

(2-32)

Problema 36. Partiendo de las ecuaciones (2-28), (2-30), (2-31) y (2-32). Calcule el gradiente, la divergencia, el rotacio-nal y el laplaciano en coordenadas cilındricas. Tenga en cuenta las ecuaciones (1-9)

u1 “ ρ ; u2 “ ϕ ; u3 “ zx “ x1 “ ρ cos ϕ ; y “ x2 “ ρ sin ϕ ; z “ x3 “ z


gii “ h2i “

3ÿ

k“1

˜

Bxk

Bui

¸2

tenemos

g11 “ h21 “

ˆ

Bx1

Bu1

˙2

`

ˆ

Bx2

Bu1

˙2

`

ˆ

Bx3

Bu1

˙2

“

ˆ

B

Bρρ cos ϕ

˙2`

ˆ

B

Bρρ sin ϕ

˙2`

ˆ

B

Bρz˙2

“ cos2 ϕ` sin2 ϕ` 0 “ 1

g22 “ h22 “

ˆ

Bx1

Bu2

˙2

`

ˆ

Bx2

Bu2

˙2

`

ˆ

Bx3

Bu2

˙2

“

ˆ

B

Bϕρ cos ϕ

˙2`

ˆ

B

Bϕρ sin ϕ

˙2`

ˆ

B

Bϕz˙2

“ p´ρ sin ϕq2 ` pρ cos ϕq2 ` 0

“ ρ2´

cos2 ϕ` sin2 ϕ¯

“ ρ2

g33 “ h23 “

ˆ

Bx1

Bu3

˙2

`

ˆ

Bx2

Bu3

˙2

`

ˆ

Bx3

Bu3

˙2

“

ˆ

B

Bzρ cos ϕ

˙2`

ˆ

B

Bzρ sin ϕ

˙2`

ˆ

B

Bzz˙2

“ 1

por lo tanto

h1 “ 1 ; h2 “ ρ ; h3 “ 1 (2-33)


remplazando en las ecuaciones (2-28), (2-30), (2-31) y (2-32). Obtenemos

∇ f “1h1

B

Bu1 e1 `1h2

B

Bu2 e2 `1h3

B

Bu3 e3 “B fBρ

ρ`1ρ

B fBϕ

ϕ`B fBz

k

∇ ¨ ~F “1

h1h2h3

ˆ

BF1

Bu1 h2h3 `BF2

Bu2 h1h3 `BF3

Bu3 h1h2

˙

“1ρ

ˆ

B

Bρ

`

ρFρ

˘

`B

Bϕ

`

Fϕ

˘

`B

BzpρFzq

˙

“1ρ

B

Bρ

`

ρFρ

˘

`1ρ

B

Bϕ

`

Fϕ

˘

`B

BzpFzq

∇ˆ ~F “1

h2h3

ˆ

B

Bu2 F3h3 ´B

Bu3 F2h2

˙

e1 ´1

h3h1

ˆ

B

Bu1 F3h3 ´B

Bu3 F1h1

˙

e2 `1

h1h2

ˆ

B

Bu1 F2h2 ´B

Bu2 F1h1

˙

e3

“1ρ

ˆ

B

BϕFz ´

B

BzFϕρ

˙

ρ´

ˆ

B

BρFz ´

B

BzFρ

˙

ϕ`1ρ

ˆ

B

Bρ

`

Fϕρ˘

´B

BϕFρ

˙

k

“1ρ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ρ ϕ kBBρ

BBϕ

BBz

Fρ ρFϕ Fz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

∇2 f “1

h1h2h3

„

B

Bu1

ˆ

h2h3

h1

B fBu1

˙

`B

Bu2

ˆ

h1h3

h2

B fBu2

˙

`B

Bu3

ˆ

h1h2

h3

B fBu3

˙

“1ρ

ˆ

B

Bρ

ˆ

ρB fBρ

˙

`B

Bϕ

ˆ

1ρ

B fBϕ

˙

`B

Bz

ˆ

ρB fBz

˙˙

“1ρ

B

Bρ

ˆ

ρB fBρ

˙

`1ρ2B2 fBϕ2 `

B2 fBz2 .

Problema 37. Partiendo de las ecuaciones (2-28), (2-30), (2-31) y (2-32). Calcule el gradiente, la divergencia, el rotacio-nal y el laplaciano en coordenadas esfericas. Tenga en cuenta las ecuaciones (1-11)

u1 “ r ; u2 “ θ ; u3 “ ϕ

x “ x1 “ r sin θ cos ϕ ; y “ x2 “ r sin θ sin ϕ ; z “ x3 “ r cos θ

Solucion 37. Partiendo de la ecuacion 2-22

gij “ h2i “

3ÿ

k“1

˜

Bxk

Bui

¸2

tenemos

g11 “ h21 “

ˆ

Bx1

Bu1

˙2

`

ˆ

Bx2

Bu1

˙2

`

ˆ

Bx3

Bu1

˙2

“

ˆ

B

Brr sin θ cos ϕ

˙2`

ˆ

B

Brr sin ϕ sin θ

˙2`

ˆ

B

Brr cos θ

˙2

“ sin2 θ´

cos2 ϕ` sin2 ϕ¯

` cos2 θ “ 1

g22 “ h22 “

ˆ

Bx1

Bu2

˙2

`

ˆ

Bx2

Bu2

˙2

`

ˆ

Bx3

Bu2

˙2

“

ˆ

B

Bθr sin θ cos ϕ

˙2`

ˆ

B

Bθr sin ϕ sin θ

˙2`

ˆ

B

Bθr cos θ

˙2

“ pr cos θ cos ϕq2 ` pr sin ϕ cos θq2 ` p´r sin θq2

“ r2 cos2 θ´

cos2 ϕ` sin2 ϕ¯

` r2 sin2 θ “ r2


g33 “ h23 “

ˆ

Bx1

Bu3

˙2

`

ˆ

Bx2

Bu3

˙2

`

ˆ

Bx3

Bu3

˙2

“

ˆ

B

Bϕr sin θ cos ϕ

˙2`

ˆ

B

Bϕr sin ϕ sin θ

˙2`

ˆ

B

Bϕr cos θ

˙2

“ p´r sin θ sin ϕq2 ` pr cos ϕ sin θq2 ` 0

“ r2 sin2 θ´

cos2 ϕ` sin2 ϕ¯2“ r2 sin2 θ

por lo tanto

h1 “ 1 ; h2 “ r ; h3 “ r sin θ (2-34)

remplazando en las ecuaciones (2-28), (2-30), (2-31) y (2-32). Obtenemos

∇ f “1h1

B

Bu1 e1 `1h2

B

Bu2 e2 `1h3

B

Bu3 e3 “B fBr

r`1rB fBθ

θ `1

r sin θ

B fBϕ

ϕ

∇ ¨ ~F “1

h1h2h3

ˆ

BF1

Bu1 h2h3 `BF2

Bu2 h1h3 `BF3

Bu3 h1h2

˙

“1

r2 sin θ

ˆ

B

Br

´

Frr2 sin θ¯

`B

BθpFθr sin θq `

B

Bϕ

`

Fϕr˘

˙

“1

r2 sin θ

ˆ

sin θB

Br

´

Frr2¯

` rB

BθpFθ sin θq ` r

BFϕ

Bϕ

˙

∇ˆ ~F “e1

h2h3

ˆ

B

Bu2 F3h3 ´B

Bu3 F2h2

˙

`e2

h1h3

ˆ

B

Bu3 F1h1 ´B

Bu1 F3h3

˙

`e3

h1h2

ˆ

B

Bu1 F2h2 ´B

Bu2 F1h1

˙

“1

r sin θ

ˆ

B

Bθ

`

sin θFϕ

˘

´B

BϕpFθq

˙

r´1

r sin θ

ˆ

B

Br`

r sin θFϕ

˘

´B

BϕFr

˙

θ `1r

ˆ

B

BrprFθq ´

B

BθFr

˙

ϕ

“1

r2 sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

Fr rFθ r sin θFϕ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

∇2 f “1

h1h2h3

„

B

Bu1

ˆ

h2h3

h1

B fBu1

˙

`B

Bu2

ˆ

h1h3

h2

B fBu2

˙

`B

Bu3

ˆ

h1h2

h3

B fBu3

˙

“1

r2 sin θ

„

B

Br

ˆ

r2 sin θB fBr

˙

`B

Bθ

ˆ

sin θB fBθ

˙

`B

Bϕ

ˆ

1sin θ

B fBϕ

˙

“1

r2 sin θ

„

sin θB

Br

ˆ

r2 B fBr

˙

`B

Bθ

ˆ

sin θB fBθ

˙

`1

sin θ

B2 fBϕ2

.

Problema 38. El sistema de coordenadas bipolar3 se define como

x “a sinh γ

cosh γ´ cos η

y “a sin η

cosh γ´ cos η

donde η P r0, 2πq y γ P p´8,8q. Calcule los factores de escala, el (2-28), (2-30) y (2-32).

3Las aplicaciones de las coordenadas bipolares se encuentran en la solucion de la ecuacion de Laplace o la ecuacion de Helmholtz. Unejemplo tıpico serıa el campo electrico que rodea dos conductores paralelos cilındricos.


Solucion 38. Partiendo de gii “ h2i “

2ř

k“1

´

Bxk

Bui

¯2tenemos

g11 “ h21 “

ˆ

Bx1

Bu1

˙2

`

ˆ

Bx2

Bu1

˙2

“

ˆ

B

Bγ

a sinh γ

cosh γ´ cos η

˙2`

ˆ

B

Bγ

a sin η

cosh γ´ cos η

˙2

“

˜

a cosh γ pcosh γ´ cos ηq ´ sinh γ pa sinh γq

pcosh γ´ cos ηq2

¸2

`

˜

á sinh γ sin η

pcosh γ´ cos ηq2

¸2

“

´

a cosh2 γ´ a cos η cosh γ´ a sinh2 γ¯2

pcosh γ´ cos ηq4`pá sinh γ sin ηq2

pcosh γ´ cos ηq4

“

a2

˜

cosh4 γ´ 2 cosh3 γ cos η ´ 2 cosh2 γ sinh2 γ` cosh2 γ cos2 η ` 2 cosh γ sinh2 γ cos η

` sinh4 γ` sinh2 γ sin2 η

¸

pcosh γ´ cos ηq4

“

a2

¨

˝

cosh2 γ´

1` sinh2 γ¯

´ 2 cosh γ cos η´

1` sinh2 γ¯

´ 2 cosh2 γ sinh2 γ` cosh2 γ cos2 η

`2 cosh γ sinh2 γ cos η ` sinh2 γ´

cosh2 γ´ 1¯

` sinh2 γ`

1´ cos2 η˘

˛

‚

pcosh γ´ cos ηq4

“a2´

cosh2 γ´ 2 cosh γ cos η `´

cosh2 γ´ sinh2 γ¯

cos2 η¯

pcosh γ´ cos ηq4“

a2´

cosh2 γ´ 2 cosh γ cos η ` cos2 η¯

pcosh γ´ cos ηq4

“a2 pcosh γ´ cos ηq2

pcosh γ´ cos ηq4“

a2

pcosh γ´ cos ηq2

usamos que BBγ sinh γ “ cosh γ , B

Bγ cosh γ “ sinh γ y cosh2 γ´ sinh2 γ “ 1.

g22 “ h22 “

ˆ

Bx1

Bu2

˙2

`

ˆ

Bx2

Bu2

˙2

“

ˆ

B

Bη

a sinh γ

cosh γ´ cos η

˙2`

ˆ

B

Bη

a sin η

cosh γ´ cos η

˙2

“

˜

á sinh γ sin η

pcosh γ´ cos ηq2

¸2

`

˜

a cos η pcosh γ´ cos ηq ´ a sin2 η

pcosh γ´ cos ηq2

¸2

“a2 sinh2 γ sin2 η

pcosh γ´ cos ηq4`

a2´

cos2 η cosh2 γ´ 2 cos η cosh γ` 1¯

pcosh γ´ cos ηq4

“ a2

˜

sinh2 γ sin2 η ` cos2 η cosh2 γ´ 2 cos η cosh γ` 1

pcosh γ´ cos ηq4

¸

“ a2

¨

˝

sinh2 γ`

1´ cos2 η˘

` cos2 η cosh2 γ´ 2 cos η cosh γ`´


pcosh γ´ cos ηq4

˛

‚

“ a2

¨

˝

sinh2 γ` cos2 η´


´ 2 cos η cosh γ`´


pcosh γ´ cos ηq4

˛

‚

“ a2

˜

cos2 η ´ 2 cos η cosh γ` cosh2 γ

pcosh γ´ cos ηq4

¸

“ a2 pcos η ´ cosh γq2

pcosh γ´ cos ηq4


donde BBη cos η “ ´ sin η y B

Bη sin η “ cos η.

Por lo tantoh1 “

acosh γ´ cos η

; h2 “a

cosh γ´ cos η(2-35)

remplazando en las ecuaciones (2-28), (2-30) y (2-32). Obtenemos

∇ f “1h1

B

Bu1 e1 `1h2

B

Bu2 e2 “cosh γ´ cos η

aB fBγ

γ`cosh γ´ cos η

aB fBη

η

∇ ¨ ~F “1

h1h2

ˆ

BF1

Bu1 h2 `BF2

Bu2 h1

˙

“cosh γ´ cos η

a

ˆ

BFγ

Bγ`BFη

Bη

˙

∇2 f “1

h1h2

„

B

Bu1

ˆ

h2

h1

B fBu1

˙

`B

Bu2

ˆ

h1

h2

B fBu2

˙

“

ˆ

cosh γ´ cos η

a

˙2 ˆB

Bγ

ˆ

B fBγ

˙

`B

Bη

ˆ

B fBη

˙˙

“

ˆ

cosh γ´ cos η

a

˙2 ˆB2 fBγ2 `

B2 fBη2

˙

.

Podemos resumir lo anterior en la siguiente tabla

Cartesianas Cilındricas Esfericas

∇ f B fBx ı` B f

By `B fBz k B f

Bρ ρ` 1ρB fBϕ ϕ`

B fBz k B f

Br r` 1rB fBθ θ ` 1

r sin θB fBϕ ϕ

∇ ¨ ~F BFxBx ı` BFy

By ` BFzBz k 1

ρBBρ

`

ρFρ

˘

` 1ρBBϕ

`

Fϕ

˘

` BBz pFzq

1r2 sin θ

´

sin θ BBr`

Frr2˘` r BBθ pFθ sin θq ` r BFϕ

Bϕ

¯

∇ˆ ~F

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

Fx Fy Fz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1ρ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ρ ϕ kBBρ

BBϕ

BBz

Fρ ρFϕ Fz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1r2 sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

Fr rFθ r sin θFϕ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

∇2 f B2 fBx2 ı` B2 f

By2 `B2 fBz2 k 1

ρBBρ

´

ρB fBρ

¯

` 1ρ2B2 fBϕ2 `

B2 fBz2

1r2 sin θ

”

sin θ BBr

´

r2 B fBr

¯

` BBθ

´

sin θB fBθ

¯

` 1sin θ

B2 fBϕ2

ı

Tabla 2-1: Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

2.3. Integracion de funciones vectoriales

Para abordar el tema de integracion, debemos tener en cuenta como se escriben los diferenciales de lınea,superficie y volumen.

El diferencial de lınea escrito en terminos de los factores de escala es

d~l “ e1

´

h1du1¯

` e2

´

h2du2¯

` e3

´

h3du3¯

(2-36)

y dado que los factores de escala para coordenadas cartesianas son h1,2,3 “ 1, para cilındricas h1,3 “ 1 , h2 “ ρ

y para esfericas h1 “ 1 , h2 “ r , h3 “ r sin θ tenemos

Diferencial de lınea/Coordenadas Cartesianas Cilındricas Esfericas

d~l ıdx` dy` kdz ρdρ` ϕ pρdϕq ` kdz rdr` θ prdθq ` ϕ pr sin θdϕq

Tabla 2-2: Diferenciales de lınea para coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

Los diferenciales de area van a depender de los planos que se quieran analizar y de forma general lo podemosescribir como

d~S “ ei ˆ ejhiduihjduj

2.3 Integracion de funciones vectoriales 43

lo cual nos permite construir la siguiente tabla

Diferencial de area/Coordenadas Cartesianas Cilındricas Esfericas

d~S “ e2 ˆ e3h2du2h3du3 d~Sx“cte “ dy dz ı d~Sρ“cte “ ρdϕ dz ρ d~Sr“cte “ r2 sin θ dθ dϕ rd~S “ e3 ˆ e1h3du3h1du1 d~Sy“cte “ dz dx d~Sϕ“cte “ dρ dz ϕ d~Sθ“cte “ r sin θ dr dϕ θ

d~S “ e1 ˆ e2h1du1h2du2 d~Sz“cte “ dx dy k d~Sz“cte “ ρdρ dϕ k d~Sϕ“cte “ r dr dθ ϕ

Tabla 2-3: Diferenciales de area para coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

Finalmente, el diferencial de volumen lo podemos escribir como

dV “ h1h2h3du1du2du3 (2-37)

y por lo tanto

Diferencial de volumen/Coordenadas Cartesianas Cilındricas Esfericas

dV dx dy dz ρ dρ dθ dz r2 sin θ dr dθ dφ

Tabla 2-4: Diferenciales de volumen para coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

Problema 39. Calcule el area de la region en el plano XYacotada por las graficas x “ y2 , x` y “ 2 y y “ 0. Comose ilustra en la figura 2-4.

Figura 2-4:

Solucion 39. Para calcular el area de la region es necesario conocer en que punto se cortan las curvas x “ y2 y x` y “ 2,para ello las igualamos

x “ y2 “ 2´ y ñ y2 ` y´ 2 “ 0

es necesario ahora calcular las raıces de la relacion anterior, para lo cual usamos la formula general para la obtencion deraıces

´b˘?

b2 ´ 4ac2a

“´1˘

a

12 ´ 4 p1q p´2q2 p1q

“´1˘ 3

2como vemos las dos raıces seran 1 y ´ 2

A “

1ż

0

2´yż

y2

dy dx “

1ż

0

dy x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2´y

y2

“

1ż

0

´

2´ y´ y2¯

dy “ ´13

y3 ´12

y2 ` 2yˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0“

76

.

Problema 40. Demuestre que es posible escribir

~A¨ż

V

~rJidV “ ´12

ÿ

i,j

εijk Aj

ż

V

´

~rˆ~J¯

kdV (2-38)

donde εijk es el tensor de Levi-Civita4.

4El tensor de Levi-Civita esta definido como εijk “

$

&

%

1 pi, j, kq p1, 2, 3q , p3, 1, 2q , p2, 3, 1q orden par´1 pi, j, kq p1, 3, 2q , p3, 2, 1q , p2, 1, 3q orden impar0 i “ j o j “ k o i “ k para ındices repetidos


Solucion 40. Dado que al vector ~A lo podemos escribir como ~A “ř

j Aj ej remplazando obtenemos

~A¨ż

V

~rJidV “ÿ

j

Aj ej ¨

ż

V

~rJidV “ÿ

j

Aj

ż

V

xj JidV

podemos escribir este termino como

ÿ

j

Aj

ż

V

xj JidV “12

ÿ

j

Aj

ż

V

xj JidV `12

ÿ

j

Aj

ż

V

xj JidV

debemos ahora reescribir el segundo termino, para lo cual podemos partir de la propiedadż

V

´

f p~rq~J ¨∇g p~rq ` g p~rq~J ¨∇ f p~rq¯

dV “ 0

donde f p~rq, g p~rq son funciones cualesquiera y ∇ ¨~J p~rq “ 0. Ası entonces, si tomamos f p~rq “ 1, g p~rq “ xi entoncesż

V

´


dV “

ż

V

´

~J ¨∇xi ` xi~J ¨∇ p1q¯

dV

“

ż

V

´

~J ¨ ei

¯

dV

ñ

ż

V

JidV “ 0

(2-39)

si ahora tomamos f p~rq “ xi, g p~rq “ xj entonces

ż

V

´


dV “

ż

V

´

xi~J ¨∇xj ` xj~J ¨∇xi

¯

dV “ 0

“

ż

V

´

xi~J ¨ ej ` xj~J ¨ ei

¯

dV “0

“

ż

V

`

xi Jj ` xj Ji˘

dV “0

ñ

ż

V

xi JjdV “ ´

ż

V

xj JidV

(2-40)

remplazando esta ultima relacion en la suma tenemos

ÿ

j

Aj

ż

V

xj JidV “12

ÿ

j

Aj

ż

V

xj JidV `12

ÿ

j

Aj

ż

V

xj JidV

“12

ÿ

j

Aj

ż

V

xj JidV ´12

ÿ

j

Aj

ż

V

xi JjdV

“ ´12

ÿ

j

Aj

ż

V

`

xi Jj ´ xj Ji˘

dV

“ ´12

ÿ

i,j

εijk Aj

ż

V

´

~rˆ~J¯

kdV

donde tuvimos en cuenta que´

~aˆ~b¯

k“ř

i,j εijkaibj. Quedando demostrado.


2.3.1. Integrales de lınea

En general el calculo de una integral de lınea es equivalente al calculo de una integral definida, teniendo encuenta que el camino de integracion debe de ser una curva o caminopcq en el espacio. Este camino puede serabierto si los puntos lımites son diferentes o cerrado si los lımites de la integral son iguales y la longitud del

camino es diferente de cero. Estas integrales pueden ser representadas respectivamente comoż

cf px, y, zq dS y

ű

c f px, y, zq dS .

Es importante anotar, que en muchos casos es mas sencillo escribir un camino en terminos de varios caminos,es decir

ż

c

f dS “ż

c1

f dS`ż

c2

f dS

en donde se dividio el camino c en dos caminos c1 y c2, de tal forma que c “ c1 Y c2.

Problema 41. Calcule el trabajo efectuado por la fuerza ~F prq “ xı`y ´?

x2`y2¯3 sobre un punto que se mueve desde el punto

p´1,´1q hasta el punto p1, 1q por los caminos: p´1,´1q Ñ p´1, 1q Ñ p1, 1q, por el camino p´1,´1q Ñ p1,´1q Ñp1, 1q y por la lınea recta que uno los puntos p´1,´1q Ñ p1, 1q .

Solucion 41. Dado que

W “

p1,1qż

p´1,´1q

~F ¨ d~r “

p1,1qż

p´1,´1q

xı` y ´

a

x2 ` y2¯3 ¨ pdxı` dy q “

p1,1qż

p´1,´1q

x´

a

x2 ` y2¯3 dx`

p1,1qż

p´1,´1q

y´

a

x2 ` y2¯3 dy

debemos de analizar cada uno de los caminos.

Para el primer camino p´1,´1q Ñ p´1, 1q Ñ p1, 1q. Evaluaremos cada uno de los segmentos, para el segmentop´1,´1q Ñ p´1, 1q, vemos que x “ ´1, mientras que para p´1, 1q Ñ p1, 1q tenemos y “ 1, por lo tanto

W1 “

1ż

´1,y“1

x´?

x2`y2¯3 dx`

1ż

´1,x“´1

y´?

x2`y2¯3 dy

“

1ż

´1,y“1

xp?

x2`1q3 dx`

1ż

´1,x“´1

y´?

1`y2¯3 dy

“ ´ 1?x2`1

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1´ 1?

y2`1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1

“

ˆ

´1?

2`

1?

2

˙

´

ˆ

1?

2´

1?

2

˙

“ 0

El segundo camino iremos por p´1,´1q Ñ p1,´1q Ñ p1, 1q, para el segmento p´1,´1q Ñ p1,´1q, vemos que y “ ´1,


mientras que para p1,´1q Ñ p1, 1q x “ 1, ası entonces

W2 “

1ż

´1,y“´1

x´?

x2`y2¯3 dx`

1ż

´1,x“1

y´?

x2`y2¯3 dy

“

1ż

´1,y“´1

xp?

x2`1q3 dx`

1ż

´1,x“1

y´?

1`y2¯3 dy

“ ´ 1?x2`1

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1´ 1?

y2`1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1

“

ˆ

´1?

2`

1?

2

˙

´

ˆ

1?

2´

1?

2

˙

“ 0

Para el tercer camino es una lınea recta y “ mx` b cuya pendiente es

m “y2 ´ y1

x2 ´ x1“

1´ p´1q1´ p´1q

“ 1

mientras que b “ 0, por lo tanto, la ecuacion de la recta es y “ x y dy “ dx

W3 “

p1,1qż

p´1,´1q

x´?

x2`y2¯3 dx`

p1,1qż

p´1,´1q

y´?

x2`y2¯3 dy

“

1ż

´1

xp?

x2`x2q3 dx`

1ż

´1

y´?

y2`y2¯3 dy

“ 1p?

2q3

¨

˝

1ż

´1

1x2 dx`

1ż

´1

1y2 dy

˛

‚“ ´ 1p?

2q3

ˆ

1x

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1` 1

y

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1

˙

“ ´ 1p?

2q3

´

11 ´

1´1 `

11 ´

1´1

¯

“ ´ 2?2

.

Problema 42. Evalueş

C xy dx` x2dy por los siguientes caminos:

1. El camino consta de 2 segmentos rectos que van de p2, 1q Ñ p4, 1q y de p4, 1q Ñ p4, 5q .

2. El camino consta de 1 segmento recto que va de p2, 1q Ñ p4, 5q.

Solucion 42. Para el primer caso partimos de

C1 : y “ 1; 2 ď x ď 4

C2 : x “ 4; 1 ď y ď 5

para la curva C1ż

C1

xy dx` x2dy “

4ż

2,y“1

x p1q dx` x2

0dy “

12

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

2“

12p16´ 4q “ 6,

mientras que para C2ż

C2

xy dx` x2dy “

5ż

1,y“4

4y>0

dx ` 42dy “ 16y|51 “ 64,

por lo tanto, la integral de lınea esż

C

xy dx` x2dy “ 64` 6 “ 70


Para el segundo caso, la curva es una lınea recta y debemos calcular dicha ecuacion, para lo cual calculamos la pendientey la coordenada al origen

m “y2 ´ y1

x2 ´ x1“

5´ 14´ 2

“ 2

mientras que

y “ mx` b

1 “ 2 p2q ` b ñ b “ ´3

por lo tanto, la ecuacion de la recta queda como y “ 2x´ 3 y dy “ 2dx, remplazando sobre la integral tenemos

ż

C1

´

xy dx` x2dy¯

“

4ż

2

´

x p2x´ 3q dx` x2 p2 dxq¯

“

4ż

2

´

4x2 ´ 3x¯

dx “4x3

3´

3x2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

2“

1703

.

Problema 43. Calcule el trabajo hecho por la Ley de gravitacion universal5

~F px, y, zq “ GMm|r|3

~r

cuando una masa m se mueve a lo largo del eje x del punto P “ p1, 0, 0q a Q “ p2, 0, 0q.

Solucion 43. En coordenadas cartesiana la fuerza gravitacional la podemos expresar como

~F px, y, zq “ ´GMm

`

x2 ` y2 ` z2˘

32

´

xı` y ` zk¯

teniendo en cuenta que el trabajo se define como dW “ ~F ¨ d~r entonces

W “

Pż

Q

~F ¨ d~r “ ´

p1,0,0qż

p2,0,0q

GMm

`

x2 ` y2 ` z2˘

32

´

xı` y ` zk¯

¨

´

dxı` dy ` dzk¯

como vemos el desplazamiento de la masa solo se realiza para x que varıa en el intervalo 1 ď x ď 2 mientras quey “ z “ 0

W “ ´GMm

2ż

1

1x2 dx “ GMm

1x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

1“ GMm

ˆ

12´ 1

˙

“ ´GMm

2.

Problema 44. Calcular el trabajo hecho por una fuerza ~F “`

2ey ı` yx ˘

N para mover un objeto a lo largo de una lınearecta desde P “ p0, 0, 0qm hasta Q “ p2, 1, 0qm.

Solucion 44. De la definicion de trabajo

W “

Bż

A

´

2ey ı`yx

¯

¨

´

dxı` dy ` dzk¯

“

Bż

A

´

2eydx`yx

dy¯

dado que el movimiento se realiza solamente en el plano XY podemos parametrizar la curva. La cual es una lınea rectacuya pendiente es

m “y2 ´ y1

x2 ´ x1“

1´ 02´ 0

“12

5La ley de la gravitacion universal predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas M y m separados una distancia r, dondeG es la constante de gravitacion universal.


mientras que

y “ mx` b

1 “12p2q ` b ñ b “ 0

por lo tanto, la ecuacion de la recta es y “ x2 y dy “ dx

2 . Lo cual nos deja la integral como

W “Bş

A

`

2eydx` yx dy

˘

“2ş

02e

x2 dx`

1ş

0

y2y dy “ 4ex2

ˇ

ˇ

ˇ

2

0` 1

2 yˇ

ˇ

ˇ

1

0“ 4e´ 4` 1

2 “ 4e´ 72 “ 7.373J

2.3.2. Campos vectoriales conservativos

Teorema 9. Sea A un intervalo o conjunto abierto de Rn y ~F : A Ñ Rn un campo vectorial continuo. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. ~F es un campo gradiente, es decir, existe una funcion potencial f : A Ñ R de clase C1 tal que ~F “ ∇ f .

2.¿

C

~F ¨ d~s “ 0 para todo camino cerrado C.

3. Siż

C

~F ¨ d~s es independiente del camino C, ademas que ~F es de clase C1 y A es un abierto convexo, los ıtems

anteriores son equivalentes al siguiente ıtem.

4. Para cada i, j “ t1, 2, 3, ..., nu las derivadas parciales cruzadas respecto a cada variable son iguales

BFiBxj

“BFj

Bxi. (2-41)

Por lo tanto, un campo ~F que cumpla una de las propiedades anteriores (y por lo tanto todas) se dice que es un campoconservativo.

En terminos fısicos, si una partıcula recorre una trayectoria cerrada y esta inmersa en un campo de fuerzaconservativo, el trabajo efectuado sera cero si no hay perdidas de energıa de ningun tipo (friccion, disipacionde calor, etc.). Este resultado es una consecuencia directa de la ley de conservacion de la energıa.

Otro aspecto interesante del teorema anterior es que dado que ~F “ ∇ f , si queremos analizar el potencial en dospuntos diferentes uno de los cuales podemos hacer cero por comodidad; tenemos que el potencial en cualquierpunto es igual al trabajo necesario para ir a un punto de potencial cero a un punto diferente de cero. Este hechoes muy claro en mecanica clasica al calcular el trabajo como una variacion de la energıa cinetica debido a unafuerza, o el trabajo como una variacion del potencial gravitacional debido a la fuerza de gravedad.

Problema 45. Si ~F px, yq “`

xy2 ` y3˘ ı``

3xy2 ` x2y´ 4˘

determine siş

c~F ¨ d~r es independiente de la trayectoria

y calculep1,3qż

p0,1q

~F ¨ d~r.



BFiBxj

“ BBy

`

xy2 ` y3˘ “ 3y2 ` 2xyBFjBxi

“ BBx

`

3xy2 ` x2y´ 4˘

“ 3y2 ` 2xy

debido a que las derivadas parciales cruzadas respecto a cada variable son iguales, podemos afirmar que ~F es un campoconservativo. Por lo tanto, la integral es independiente de la trayectoria y existira una funcion potencial f tal que

fx “ xy2 ` y3

fy “ 3xy2 ` x2y

integrando fx con respecto a x obtenemos

f px, yq “ż

´

xy2 ` y3¯

dx “x2y2

2` y3x` C pyq

derivando la expresion anterior con respecto a y, y comparandola con fy obtenemos

B f px, yqBy

“B

By

ˆ

x2y2

2` y3x` C pyq

˙

“ yx2 ` 3y2x` C1 pyq “ 3xy2 ` x2y´ 4

ñ C1 pyq “ ´4

integrando ahora el resultado anterior con respecto a y

C pyq “ ´4y` c

por lo tanto, la funcion que necesitamos es

f px, yq “x2y2

2` y3x´ 4y` c

teniendo en cuenta que ~F “ ∇ f

p1,3qż

p0,1q

´

xy2 ` y3¯

dx`´

3xy2 ` x2y´ 4¯

dy “

p1,3qż

p0,1q

dˆ

x2y2

2` y3x´ 4y

˙

“x2y2

2` y3x´ 4y

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

p1,3q

p0,1q

“

ˆ

1232

2` 331´ 4 p3q

˙

´

´

02 ` 130` 4 p1q¯

“312

.

Problema 46. Determine siBż

A

ˆ

e3xy3

3dx` e3xy2

dy˙

es independiente de la trayectoria.


BFiBxj

ñBFxBy “

BBy

´

e3xy3

3

¯

“ e3xy2

BFjBxi

ñBFyBx “

BBx

´

e3xy2¯

“ 3y2e3xy2

dado que BFxBy ‰

BFyBx entonces ~F no es independiente de la trayectoria.

Problema 47. Si ~F px, y, zq “ ´ kr r, demuestre que ~F px, y, zq es un campo vectorial conservativo y determine la funcion

potencial de ~F px, y, zq.


Solucion 47. Dado que

~F px, y, zq “ ´kr

r “ ´k~rr2 “ ´k

xı` y ` zkx2 ` y2 ` z2

donde r “a

x2 ` y2 ` z2. Para demostrar que ~F px, y, zq es un campo vectorial conservativo, debemos demostrar queş

c~F ¨ d~r es independiente de la trayectoria, para lo cual tenemos en cuenta que ~F px, y, zq “ ∇ f px, y, zq, ası entonces

fx “ ´kx

x2 ` y2 ` z2

fy “ ´ky

x2 ` y2 ` z2

fz “ ´kz

x2 ` y2 ` z2

integrando fx con respecto a x tenemos

f px, y, zq “ ´ż

kx

x2 ` y2 ` z2 dx “ ´12

k ln´

x2 ` y2 ` z2¯

` g py, zq (2-42)

derivando ahora la ecuacion anterior con respecto a y e igualandolo a fy

BBy

´

´ 12 k ln

`

x2 ` y2 ` z2˘` g py, zq¯

“ ´k yx2`y2`z2

´k yx2`y2`z2 `

Bgpy,zqBy “ ´k y

x2`y2`z2

ñBgpy,zqBy “ 0

lo cual implica que g py, zq no depende de y, siendo funcion de g pzq.

Si derivamos ahora la ecuacion (2-42) parcialmente con respecto a z e igualamos a fz

BBz

´

´ 12 k ln

`

x2 ` y2 ` z2˘` g pzq¯

“ ´k zx2`y2`z2

´k zx2`y2`z2 `

BgpzqBz “ ´k y

x2`y2`z2

ñBgpzqBz “ 0

por lo tanto g pzq “ c. Con lo cual, remplazando en la ecuacion (2-42) obtenemos

f px, y, zq “ ´12

k ln´

x2 ` y2 ` z2¯

` c “ ´12

k ln r2 ` c.

Para demostrar que es conservativo podemos hacerlo calculando ~F px, y, zq “ ∇ f px, y, zq

∇ f px, y, zq “ BBx

´

´ 12 k ln

`

x2 ` y2 ` z2˘` c¯

ı` BBy

´

´ 12 k ln

`

x2 ` y2 ` z2˘` c¯

` BBz

´

´ 12 k ln

`

x2 ` y2 ` z2˘` c¯

k

“ ´kx

x2 ` y2 ` z2 ı´ ky

x2 ` y2 ` z2 ´ kz

x2 ` y2 ` z2 k

“ ´kxı` y ` zkx2 ` y2 ` z2 “ ´k

~rr2 “ ´

kr

r “ ~F px, y, zq

quedando demostrado.

2.3.3. Teorema de Green en el plano

El teorema de Green relaciona la integral de lınea de un campo vectorial sobre una curva plana, con unaintegral doble sobre la region que encierra la curva. Lo cual nos da la posibilidad de elegir entre integrar el


campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre laregion que delimita la curva.

Teorema 10. Sea C una curva cerrada suave en el plano R2, D la union de la region interior a C con la propia curva Cy F pP, Qq : D Ñ R2 un campo vectorial de clase C1. Tenemos que

ĳ

R

ˆ

BQBx´BPBy

˙

dx dy “¿

c

pPdx`Qdyq . (2-43)

Problema 48. Calcule mediante el teorema de Green la integralż

c

´

xy2 ` y3¯

dx`´

3xy2 ` x2y´ 4¯

dy

donde c es la curva cerrada que consta de las graficas y “ x3 y y “ x entre los puntos p0, 0q y p1, 1q.

Solucion 48. Empleando el teorema de Green (2-43) podemos identificar P px, yq “ xy2` y3 y Q px, yq “ 3xy2` x2y´4 por lo tanto

ĳ

R

ˆ

BQBx´BPBy

˙

dx dy “

ĳ

R

ˆ

B

Bx

´

3xy2 ` x2y´ 4¯

´B

By

´

xy2 ` y3¯

˙

dx dy

“

ĳ

R

´

3y2 ` 2xy´ 2xy´ 3y2¯

dx dy

“ 0.

Problema 49. Calcule mediante el teorema de Greenż

c

5xy dx` x3dy

donde c es la curva cerrada que consta de las graficas y “ x3 y y “ x entre los puntos p0, 0q y p1, 1q.

Solucion 49. Del teorema de Green (2-43)¿

c

5xy dx` x3dy “

ĳ

R

ˆ

B

Bx

´

x3¯

´B

Byp5xyq

˙

dy dx

“

ĳ

R

´

3x2 ´ 5x¯

dy dx

“

1ż

0

´

3x2y´ 5xy¯ˇ

ˇ

ˇ

1

0dx “

1ż

0

´

3x2 ´ 5x¯

dx

“

ˆ

x3 ´52

x2˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0dx “ ´

32

.

Problema 50. Calcule mediante el teorema de Green la formula del area de un circulo.

Solucion 50. Podemos suponer inicialmente que f px, yq “ 0 y g px, yq “ x, al remplazar esto en el teorema de Green(2-43) obtenemos

ĳ

R

dx dy “¿

c

xdy (2-44)

si ahora suponemos que f px, yq “ ´y y g px, yq “ 0 y nuevamente empleamos el teorema de Greenĳ

R

dx dy “¿

c

´ydx (2-45)


debido a que en los dos casos anteriores hemos considerado la misma trayectoria de integracion y por lo tanto, la region noha cambiado, esto implica que

ĳ

R

dx dy “ A

Si sumamos las integrales (2-44) y (2-45) por los dos caminos tenemos¿

c

xdy`¿

c

´ydx “ 2A (2-46)

si suponemos que la curva c es una circunferencia de radio r y empleando coordenadas polares

x “ r cos θ ñ dx “ ´r sin θdθ

y “ r sin θ ñ dy “ r cos θdθ

remplazando lo anterior en la integral (2-46)¿

c

xdy`¿

c

´ydx “

¿

c

pr cos θ pr cos θdθq ´ r sin θ p´r sin θdθqq

“

¿

c

´

r2 cos2 θdθ ` r2 sin2 θdθ¯

“ r2ż 2π

0dθ “ 2πr2 “ 2A

y por lo tanto, el area del circulo seraA “ πr2.

2.3.4. Teorema de la divergencia o teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky

Teorema 11. Sea V el volumen acotado por la superficie cerrada, S “ BV su borde orientado hacia la direccion normalexterior y ~F : V Ñ R3 un campo vectorial de clase C1 entonces

¿

sup

~F ¨ d~S “ż

V

∇ ¨ ~FdV (2-47)

Las siguientes condiciones son equivalentes:

∇ ¨ ~F “ 0 en todo lugar.ż

~F ¨ d~S es independiente de la superficie o para cualquier lınea limite.

ż

~F ¨ d~S “ 0 para cualquier superficie cerrada.

~F es el rotacional de algun vector ~F “ ∇ˆ ~A.

Es importante tener en cuenta que el campo vectorial ~A no es unico, debido a que le podemos sumar el gra-diente de una funcion escalar sin afectar el rotacional, ya que el rotacional de un gradiente es cero.


Problema 51. A partir de la forma diferencial de la ley de Gauss

∇ ¨ ~E “ ρ

ε0

donde ~E es el campo electrico, ρ es la densidad volumetrica de carga y ε0 es la permitividad electrica en el vacıo. Calculeel campo electrico producido por una carga puntual.

Solucion 51. Empleando el teorema de la divergencia (2-47) sobre la forma diferencial de la ley de Gaussż

V

∇ ¨ ~EdV “

ż

V

ρ

ε0dV

¿

sup

~E ¨ d~S “ρVε0“

Qε0

(2-48)

dado que ρV “ Q, el terminoű

sup~E ¨ d~S representa que el flujo electrico a traves de la superficie cerrada, el cual es

proporcional a la magnitud de la fuente del campo electrico (carga electrica) que hay en el interior de la superficie.

Si suponemos que la superficie gaussiana es una esfera centrada en la carga electrica (debido a que de esta forma el campoelectrico posee la misma magnitud en todo punto sobre la superficie de la esfera) de radio r , donde ~E y d~S son paralelos.Remplazando por el diferencial d~Sr“cte de la tabla (2-4) obtenemos

¿

sup

Er ¨ d~Sr“cte “ E¿

sup

dS “ ~E

θ“πż

θ“0

φ“2πż

φ“0

r2 sin θ dθ dφ “ E4πr2 (2-49)

igualando los resultados de las ecuaciones (2-48) y (2-49) tenemos

E4πr2 “Qε0

ñ E “Q

4πr2ε0“ k

Qr2

donde k “ 14πε0

.

Problema 52. Compruebe el teorema de la divergenciausando la funcion

~F “ y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk

y un cubo unitario situado con uno de sus vertices en el ori-gen como lo vemos en la figura 2-5.

Figura 2-5:


Solucion 52. Partiendo del teorema de la divergencia (2-47)¿

sup

~F ¨ d~S “ż

V

∇ ¨ ~FdV

solucionares primero el lado derecho, para lo cual calcularemos la divergencia de ~F

∇ ¨ ~F “ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

´

y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk¯

“ 2 px` yq

y por lo tanto

ż

V

∇ ¨ ~FdV “

1ż

0

1ż

0

1ż

0

2 px` yq dz dx dy “ 2

1ż

0

1ż

0

px` yq z|10 dx dy “ 2

1ż

0

ˆ

x2

2` yx

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0dy

“ 2

1ż

0

ˆ

12` y

˙

dy “ 2ˆ

12

y`y2

2

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0“ 2

ˆ

12`

12

˙

“ 2.

Para hallar la solucion del lado izquierdo, debemos de evaluar las integrales de superficie para cada uno de los lados delcubo. Ası entonces:

Para la cara piq tenemos

¿

~F ¨ d~S “

1ż

0

1ż

0

´

y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk¯

¨ ıdy dz “

1ż

0

1ż

0

y2dy dz “

1ż

0

y3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0dz “

1ż

0

13

dz “13

zˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0“

13

Para la cara piiq

¿

~F ¨ d~S “

1ż

0

1ż

0

´

y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk¯

¨ p´ıq dy dz “ ´

1ż

0

1ż

0

y2dy dz “ ´

1ż

0

y3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0dz

“ ´

1ż

0

13

dz “ ´13

zˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0“ ´

13

Para la cara piiiq, donde y “ 1

¿

~F ¨ d~S “

1ż

0

1ż

0

´

y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk¯

¨ dx dz “

1ż

0

1ż

0

´

2x` z2¯

dx dz

“

1ż

0

´

x2 ` xz2¯ˇ

ˇ

ˇ

1

0dz “

1ż

0

´

1` z2¯

dz “ z`z3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0“

43

Para la cara pivq, donde y “ 0

¿

~F ¨ d~S “

1ż

0

1ż

0

´

y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk¯

¨ p´ q dx dz “ ´

1ż

0

1ż

0

z2dx dz

“ ´

1ż

0

xz2ˇ

ˇ

ˇ

1

0dz “ ´

1ż

0

z2 dz “ ´z3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0“ ´

13


Para la cara pivq, donde z “ 1

¿

~F ¨ d~S “

1ż

0

1ż

0

´

y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk¯

¨ kdx dy “

1ż

0

1ż

0

2ydx dy

“

1ż

0

2yx|10 dy “

1ż

0

2y dy “ y2ˇ

ˇ

ˇ

1

0“ 1

Para la cara pviq, donde z “ 0

¿

~F ¨ d~S “

1ż

0

1ż

0

´

y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk¯

¨

´

´k¯

dx dy “ 0.

Sumando las contribuciones de cada una de las caras obtenemos¿

sup

~F ¨ d~S “13´

13`

43´

13` 1` 0 “ 2


Problema 53. Calcule el flujo del vector

~F px, y, zq “1

4π

a~rr3

a traves de una esfera de radio R centrada en el origen y donde a es una constante

Solucion 53. El flujo a traves de la superficie esferica sera

ű

sup~F ¨ d~S “

¿

sup

ˆ

14π

a~rr3

˙

¨ d~Sr“cte

“1

4π

θ“πż

θ“0

φ“2πż

φ“0

ˆ

a~rr3

˙

¨~rr

r2 sin θ dθ dφ

“a

4π

θ“πż

θ“0

φ“2πż

φ“0

r4

r4 sin θ dθ dφ

“a

4πp4πq

“ a.

2.3.5. Teorema de Stokes

Teorema 12. La integral cerrada de lınea del campo vectorial ~F a lo largo de una curva cerrada c en R puede hacersecomo una integral de superficie del rotacional del campo ~F sobre cualquier superficie S acotada por la curva c

¿

c

~F ¨ d~r “ż

sup

´

∇ˆ ~F ¨ n¯

dS (2-50)


Una consecuencia importante del teorema de Stokes nos dice que un campo vectorial es conservativo si surotacional es cero, lo cual es equivalente a decir

~F es conservativo si y solo si ∇ˆ ~F “~0

adicionalmente estos tipos de campos conservativos, pueden ser siempre derivados desde un potencial escalar.Es decir, existe una funcion escalar φ p~rq de tal forma que ~F “ ´∇φ p~rq y por lo tanto

∇ˆ ~F “ ∇ˆ p´∇φ p~rqq “~0

Otro aspecto interesante del teorema de Stokes es que la magnitud de ∇ˆ ~F ¨ ndS se maximiza cuando n “∇ˆ~F|∇ˆ~F|

y por lo tanto, el efecto de rotacion de ~F es mayor alrededor del eje paralelo a n, por ello el ∇ˆ ~F se

suele denotar vector de vorticidad (cuantificacion de la rotacion de un fluido).

Problema 54. Un lıquido es agitado en un recipiente cilındrico de radio 2 sobre el plano xy, de manera que su movimientose describe por el campo de velocidades

~F px, y, zq “ ýb

x2 ` y2 ı` xb

x2 ` y2

calculeş

sup

´

∇ˆ ~F ¨ n¯

dS donde S es la superficie superior del recipiente cilındrico.

Solucion 54. El rotacional de ~F sera

∇ˆ ~F “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

ýa

x2 ` y2 xa

x2 ` y2 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

´B

Bzxb

x2 ` y2˙

ı´ˆ

´B

Bz

ˆ

ýb

x2 ` y2˙˙

`

ˆ

B

Bxxb

x2 ` y2 ´B

By

ˆ

ýb

x2 ` y2˙˙

k

“

˜

2x2 ` y2a

x2 ` y2`

x2 ` 2y2a

x2 ` y2

¸

k “ 3b

x2 ` y2k

dado que n “ k, debido a que estemos interesados en la superficie superior del recipiente cilındrico, podemos calcular lasintegral de superficie teniendo en cuenta la tabla 2-3

ż

sup

´

∇ˆ ~F ¨ n¯

dS “

ż

sup

3b

x2 ` y2k ¨ d~Sz“cte “

2πż

0

rż

0

3r r dr dϕ “

2πż

0

rż

0

3r2 dr dϕ

“

2πż

0

r3ˇ

ˇ

ˇ

2

0dϕ “

2πż

0

8 dϕ “ 16π.

Problema 55. Calcule la integral

I “¿

C

~V ¨ d~r

donde ~V “ yı` xz3 ´ xy3k y C es la circunferencia descrita por la ecuacion x2 ` y2 “ 4 en el plano z “ ´3.

Solucion 55. Como vemos el vector normal a la superficie que acota C es n “ k, por lo tanto, unicamente la componentek del rotacional debe ser tenida en cuenta en la integracion

∇ˆ ~Vˇ

ˇ

ˇ

k“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

y xz3 ´xy3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

k

“

ˆ

B

Bxxz3 ´

B

Byy˙

k “´

z3 ´ 1¯

k “ ´28k


para la tapa del cilindro de la tabla 2-3 tenemos d~Sz“cte “ r dr dϕ k

I “¿

c

~V ¨ d~r “ ´28ż

sup

´

∇ˆ ~V¯

¨ d~Sz“cte “ ´28

2πż

0

rż

0

r dr dϕ “ ´28πr2 “ ´112π

donde hemos usado que x2 ` y2 “ 4 es un cırculo de radio 2.

Problema 56. Si ~F “`

2xz` 3y2˘ ` 4yz2k, compruebeel teorema de Stokes para la superficie mostrada en la figura.2-6.

Figura 2-6:

Solucion 56. Para comprobar el teorema de Stokes (2-50)¿

c

~F ¨ d~r “ż

sup

´

∇ˆ ~F ¨ n¯

dS

partiremos del lado derecho de la ecuacion calculando el rotacional

∇ˆ ~F “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

0 2xz` 3y2 4yz2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

By

´

4yz2¯

´B

Bz

´

2xz` 3y2¯

˙

ı´ˆ

B

Bx

´

4yz2¯

´B

Bz0˙

`

ˆ

B

Bx

´

2xz` 3y2¯

´B

By0˙

k

“

´

4z2 ´ 2x¯

ı` 2zk

como vemos en la tabla 2-3 d~Sx“cte “ dy dz ı entonces

ż

´

∇ˆ ~F¯

¨ d~Sx“cte “

1ż

0

1ż

0

´´

4z2 ´ 2x¯

ı` 2zk¯

¨ dy dzı “

1ż

0

1ż

0

4z2dy dz “

1ż

0

4z2dz “43

donde hemos tenido en cuenta que x “ 0, debido a que el area de interes esta en el plano YZ .

Para finalizar la demostracion debemos calcular el termino del lado izquierdo del teorema de Stokesű

c~F ¨ d~r y para ello

debemos calcular cuatro integrales de lınea

x “ 0, z “ 0 ñ ~F ¨ d~l “ 3y2dy ñş

~F ¨ d~l “ş1

0 3y2dy “ y3ˇ

ˇ

10 “ 1

x “ 0, y “ 1 ñ ~F ¨ d~l “ 4yz2dz ñş

~F ¨ d~l “ş1

0 4z2dz “ 43 z3

ˇ

ˇ

ˇ

1

0“ 4

3

x “ 0, z “ 1 ñ ~F ¨ d~l “ 3y2dy ñş

~F ¨ d~l “ş0

1 3y2dy “ y3ˇ

ˇ

01 “ ´1

x “ 0, y “ 0 ñ ~F ¨ d~l “ 0 ñş

~F ¨ d~l “ş1

0 0 dz “ 0


Sumando las contribuciones de cada uno de los caminos¿

c

~F ¨ d~r “ 1`43´ 1` 0 “

43

ası entoncesż

´

∇ˆ ~F¯

¨ d~r “¿

~F ¨ d~l “43


2.4. Funcion delta de Dirac

Para abordar la funcion de Dirac, lo haremos desde la delta de Kronecker.

Si tenemos una secuencia de numeros pa1, a2, a3, ..., anq podemos seleccionar solo uno de ellos en una suma pormedio de la delta de Kronecker

ÿ

j“1

δijaj “ ai

la delta de Kronecker cumple con la propiedad de simetrıa δij “ δji y esta normalizadař

j δij “ 1 para todovalor de i.

Si ahora consideramos el caso continuo, en el cual tenemos una funcion f pxq la cual continua en x “ x0 espodemos usar una ((funcion))6 δ px´ x0q tal que

8ż

´8

f pxq δ px´ x0q dx “ f px0q (2-51)

mientras que para intervalos definidos tenemos

bż

c

f pxq δ px´ x0q dx “"

f px0q si x0 P pb, cq0 si x0 R rb, cs

a la funcion delta de Dirac, podemos imponerle las propiedades de normalizacion

8ż

´8

δ px´ x0q dx “ 1

y de simetrıaδ px´ x0q “ δ px0 ´ xq .

Como podemos ver, la delta de Dirac no es una funcion en el sentido convencional como lo expreso Paul Dirac,si no mas bien una funcion impropia7.

δ pxq “"

`8 si x “ 00 si x ‰ 0

6Para hacernos una idea de su utilizacion podemos aproximar como una funcion delta el momento que se hace contacto con la pelotaen un juego de beisbol. Sin embargo, las aplicaciones de la funcion delta de Dirac van desde la teorıa de senales, la mecanica cuantica, elcalculo de la densidad de energıa, aplicaciones en electrostatica, etc.

7P.A.M. Dirac, The Principies of Quantum Mechanics, (1934), 4th ed. (Rev.), Oxford at the Clarendon Press (1958)

2.4 Funcion delta de Dirac 59

de hecho, en muchos textos de considera que la funcion delta de Dirac representa una distribucion, sin embar-go, considero que esto proviene mas de un analisis matematico que fısico.

Usando coordenadas cartesianas y esfericas podemos escribir la propiedad de normalizacion como:

2πż

0

πż

0

8ż

0

δ p~rq r2dr sin θdθ dϕ “

8ż

0

8ż

´8

8ż

´8

δ pxq δ pyq δ pzq dx dy dz “ 1

lo anterior nos permite escribir la densidad de una carga puntual (ubicada en ~r0) como una densidad vo-lumetrica equivalente

ρ p~rq “ qδ px´ x0q δ py´ y0q δ pz´ z0q “ qδp3q p~r´~r0q (2-52)

donde δp3q es la funcion delta tridimensional, mientras que la carga la podemos expresar como

q “ż

ρ p~rq dV “

ż

qδp3q p~r´~r0q d~r

es claro que la funcion ρ p~rq cumple todas las propiedades de una carga puntual en el punto~r0.

Algunas propiedades de la funcion delta de Dirac son las siguientes:

8ż

´8

δ px´ aq dx “ 1

8ż

´8

f pxq ∇δ p~r´~r0q dV “ ´ ∇ f |~r“~r0

δ paxq “1|a|

δ pxq

δ p~r´~r0q “ δ p~r0 ´~rq

xδ pxq “ 0

δ´

x2 ´ e2¯

“1

2 |e|rδ px` eq ` δ px´ eqs

La funcion delta de Dirac no tiene sentido por sı sola, sino unicamente dentro de una integral. Por ejemplo

bż

c

f pxq δ paxq dx “1|a|

bż

c

f pxq δ pxq dx

Problema 57. Calcule las siguientes integrales aq3ş

0x3δ px´ 2q dx, bq

8ş

´8

ln px` 3q δ px` 2q dx, cq2ş

´2ep2x`3qδ p3xq dx

y dq2ş

´2

`

2x2 ` 2x` 2˘

δ p3xq dx.

Solucion 57. Para paq tenemos que 2 P p0, 3q por lo tanto

3ż

0

x3δ px´ 2q dx “ 23 “ 8,


para pbq, ´2 P p8,´8q y8ż

´8

ln px` 3q δ px` 2q dx “ ln p´2` 3q “ ln 1 “ 0,

para pcq, 0 P p´2, 1q

1ż

´2

ep2x`3qδ p3xq dx “1|3|

1ż

´2

ep2x`3qδ pxq dx “1|3|

ep2p0q`3q “e3

|3|“ 6.69518,

mientras que para la ultima integral

2ż

´2

´

2x2 ` 2x` 2¯

δ p´9xq dx “1|´9|

2ż

´2

´

2x2 ` 2x` 2¯

δ pxq dx “29

.

Problema 58. Demuestre que

∇ ¨˜

~r´~r1

|~r´~r1|3

¸

“ 4πδ`

~r´~r1˘

.

Solucion 58. Podemos definir ~R “~r´~r1 “ Xı`Y ` Zk por lo tanto

∇ ¨˜

~r´~r1

|~r´~r1|3

¸

“ ∇ ¨˜

~RR3

¸

“1

R3∇ ¨ ~R` ~R ¨∇ˆ

1R3

˙

“1

R3

ˆ

B

BXı`

B

BY`

B

BZk˙

¨

´

Xı`Y ` Zk¯

`

´

Xı`Y ` Zk¯

¨

´

BBX ı` B

BY ` BBZ k

¯

ˆ

1

pX2`Y2`Z2q32

˙

“1

R3

ˆ

B

BXX`

B

BYY`

B

BZZ˙

`

´

Xı`Y ` Zk¯

¨

¨

˝

´3Xı´ 3Y `´3Zk`

X2 `Y2 ` Z2˘

52

˛

‚

“3

R3 ´3R2

R5

“ 0

como vemos, para ~R ‰ 0 es ∇ ¨ˆ

~r ~r1

|~r ~r1|3

˙

“ 0. Pero cuando ~R “ 0 lo cual implica que~r “~r18 se presenta una indeter-

minacion en la solucion, para resolver esta indeterminacion en la solucion podemos emplear el teorema de la divergenciaconsiderando una pequena esfera de radio R, por lo tanto

ż

V

∇ ¨´

~RR3

¯

dV “

¿

S

´

~RR3

¯

¨ ndA

“

¿

S

´

~RR3

¯

¨~RR dA

“

2πż

0

πż

0

´

R2

R4

¯

R2 sin θ dθ dφ

“ 4π

8En el caso en el cual~r “~r1el punto de observacion esta exactamente sobre las cargas que generan el campo.

2.5 Variable compleja 61

donde tomamos n “ ~RR .

Dado que tenemos comportamientos diferentes para ~R “ 0 y para ~R ‰ 0, podemos emplear funciones delta de Diracż

V

∇ ¨´

~RR3

¯

dV “

ż

V

4πδ´

~R¯

dV

“ 4π

ż

V

δ´

~R¯

dV

ñ

ż

V

´

∇ ¨´

~RR3

¯

´ 4πδ´

~R¯¯

dV “ 0

ñ ∇ ¨´

~RR3

¯

“ 4πδ´

~R¯

lo cual es equivalente a escribir

∇ ¨˜

~r´~r1

|~r´~r1|3

¸

“ 4πδ`

~r´~r1˘

(2-53)


2.5. Variable compleja

Los numeros complejos y las funciones complejas tiene gran utilidad en la fısica como se vera en el desarrollodel libro. El conjunto de numeros complejos C se define como una cantidad compleja, denotada por z, se puederepresentar por una expresion de la forma:

z “ x` iy (2-54)

donde i es la unidad compleja definida a traves de i2 “ ´1 , mientras que x, y son numeros reales. Podemosdenotar la parte real de z como < pzq “ x, mientras que la parte imaginaria de z como = pzq “ y. Si = pzq “ 0entonces z es un numero real, por otro lado, si < pzq “ 0 entonces z es un imaginario puro si y “ 0.

Otra posibilidad para la definicion de i es por medio de la pareja ordenada p0, 1q, lo cual se manifestara conclaridad al considerar la representacion grafica de los numeros complejos.

Dos numeros complejos z1 “ x1 ` iy1 y z2 “ x2 ` iy2 son iguales si se cumple que z1 “ z2 lo cual implica quex1 “ x2 y y1 “ y2.

Podemos definir la suma y multiplicacion de numeros complejos como:

Sean z1y z2 cantidades complejas, se define la suma entre complejos como

z1 ` z2 “ px1 ` iy1q ` px2 ` iy2q “ px1 ` x2q ` ipy1 ` y2q

Y la multiplicacion como

z1z2 “ px1 ` iy1qpx2 ` iy2q “ px1x2 ´ y1y2q ` ipy1x2 ` y2x1q

2.5.1. Representacion grafica (vectorial) de los numeros complejos

Empleando un sistema de referencia cartesiano en donde las abscisas corresponden al eje real y las ordenadasa la parte imaginaria, una cantidad compleja se representa graficamente


Figura 2-7: Representacion grafica de un numero complejo.

|z| se denomina el modulo de z, y se expresa como:

|z| “b

p< pzqq2 ` p= pzqq2 (2-55)

Al hacer uso de las coordenadas polares pr, θq la representacion polar de un numero complejo la podemosescribir como

z “ r pcos θ ` i sin θq (2-56)

donde r2 “ x2 ` y2 y

tan θ “= pzq< pzq . (2-57)

El angulo θ de denomina el argumento de z, y para ´π ă θ ă π se le llama el valor principal.

Recordando la formula de Eulereiθ “ cos θ ` i sin θ (2-58)

la representacion polar de un numero complejo lo podemos hacer como

z “ reiθ (2-59)

con base en la relacion anterior tenemos que le modulo de |z| “ r, mientras que la fase estara dada por eiθ . Esde aclarar que la fase no se determina unıvocamente, para n entero.

eiθ “ eiθpθ`2nπq

sin embargo, es posible exigir 0 ď θ ď 2π.

Podemos definir el complejo conjugado o conjugado z˚como

z˚ “ x´ iy “ re´iθ (2-60)

ası, el modulo de z, tambien lo podemos escribir como

zz˚ “ px` iyqpx´ iyq “ x2 ` y2 “ |z|2 . (2-61)

Partiendo de la representacion polar de un numero complejo z1,2 “ r1,2 pcos θ1,2 ` i sin θ1,2q, podemos definirel producto de dos numeros complejos

2.5 Variable compleja 63

z1z2 “ r1 pcos θ1 ` i sin θ1q r2 pcos θ2 ` i sin θ2q “ r1r2 pcos pθ1 ` θ2q ` i sin pθ1 ` θ2qq “ r1r2eipθ1`θ2q

extrapolando el resultado anterior tenemos

z1z2....zn “ r1r2...rneipθ1`θ2`...`θnq

si z1 “ z2 “ ... “ zn “ z obtenemos una aplicacion de la formula de Moivre

zn “ rneinθ “ rn pcos nθ ` i sin nθq

a pesar de haber tomado n entero en el desarrollo anterior, la expresion es valida para n ă 0 o fraccionado.

El teorema fundamental del algebra establece que todo polinomio de grado n posee n raıces, las cuales puedenser reales o complejas. Por lo tanto, la raız n-esima de un numero complejo sera

z1n “ r

1n e

iθn

Vamos ahora a calcular la magnitud temporal para cantidades complejas, para lo cual podemos partir de lasfunciones complejas

F p~r, tq “ F0ei´

~k ~r´ωt¯

G p~r, tq “ G0ei´

~k ~r´ωt¯

teniendo en cuenta que F0 “ f0eiδ f y G0 “ g0eiδg , podemos escribir la parte real como

f p~r, tq “ f0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ f

¯

g p~r, tq “ g0 cos´

~k ¨~r´ωt` δg

¯

por lo tanto, la media temporal del producto f p~r, tq g p~r, tq la podemos calcular como

x f p~r, tq g p~r, tqy “A

f0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ f

¯

g0 cos´

~k ¨~r´ωt` δg

¯E

(2-62)

teniendo en cuenta que en un periodo pTq

@

cos2 θ ptqD

“ 1T

Tż

0

cos2 θ ptq dt “ 12 ñ

@

sin2 θ ptqD

“ 1´@

cos2 θ ptqD

“ 12 (2-63)

entonces

xcos θ ptq sin θ ptqy “ 1T

Tż

0

cos θ ptq sin θ ptq dt

si definimos u “ sin2 θ ptq ñ du “ 2 sin θ ptq cos θ ptq dθptqdt dt “ 2ω sin θ ptq cos θ ptq dt remplazando en la ecua-

cion anterior

xcos θ ptq sin θ ptqy “ 1T

Tż

0

cos θ ptq sin θ ptq dt “ 1T

u2ż

u1

du2ω “

1T

u2ω

ˇ

ˇ

u2u1“ 1

2ωT`

sin2 θ pTq ´ sin2 θ p0q˘

“ 0 (2-64)

donde se tuvo en cuenta que seno es una funcion periodica y por ello sin2 θ pTq “ sin2 θ p0q.


Teniendo en cuenta que podemos expandir cos pa` bq “ cos a cos b´ sin a sin b, expandimos el termino (2-62)

x f p~r, tq g p~r, tqy “

A

f0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ f

¯

g0 cos´

~k ¨~r´ωt` δg

¯E

“ f0g0

A´

cos´

~k ¨~r´ωt¯

cos δ f ´ sin´

~k ¨~r´ωt¯

sin δ f

¯´

cos´

~k ¨~r´ωt¯

cos δg ´ sin´

~k ¨~r´ωt¯

sin δg

¯E

“ f0g0

A

cos2´

~k ¨~r´ωt¯

cos δ f cos δg ´ cos´

~k ¨~r´ωt¯

cos δ f sin´

~k ¨~r´ωt¯

sin δg

´ sin´

~k ¨~r´ωt¯

sin δ f cos´

~k ¨~r´ωt¯

cos δg ´ sin2´

~k ¨~r´ωt¯

sin δ f sin δg

E

“ f0g0

´A

cos2´

~k ¨~r´ωt¯E

cos δ f cos δg ´ 2A

cos´

~k ¨~r´ωt¯

sin´

~k ¨~r´ωt¯E

sin δg cos δ f

`

A

sin2´

~k ¨~r´ωt¯E

sin δ f sin δg

¯

“f0g0

2

´

cos δ f cos δg ` sin δ f sin δg

¯

“f0g0

2 cos´

δ f ´ δg

¯

donde remplazamos los resultados de las ecuaciones (2-63) y (2-64).

Teniendo en cuenta queF0G˚0 “ f0eiδ f g0e´iδg “ f0g0eipδ f´δgq

podemos escribir la parte real del resultado anterior como

< pF0G˚0 q “ f0g0 cos´

δ f ´ δg

¯

por lo tanto

x f p~r, tq g p~r, tqy “12< pF0G˚0 q

lo cual implica que la amplitud de funciones complejas la podemos escribir como la media temporal de unproducto de funciones reales. Otro hecho interesante es que el resultado de la ecuacion anterior no cambia sihacemos el complejo conjugado de F0

x f p~r, tq g p~r, tqy “12< pF0G˚0 q “

12< pF˚0 G0q (2-65)

en consecuencia, el promedio del producto de funciones reales esta dada por la parte real del producto de dosfunciones complejas, tomando el complejo conjugado de una de estas. Este hecho sera muy importante en elcalculo del vector de Poynting para materiales dielectricos en la seccion 12.2.

Parte II

Electrostatica

65

Capıtulo 3

Electrostatica

3.1. Fuerza electrica

Para poder abordar el estudio de la electrostatica es necesario partir de los fenomenos electricos estacionarios(cargas electricas estaticas) y para lo cual partimos de dos tipos de cargas (positivas y negativas), las cuales soncantidades algebraicas reales positivas o negativas. Debido a los experimentos que se realizaron, se denominocarga positiva a la electrizacion que adquiere el vidrio frotado con seda, mientras que se denomino negativa ala electrizacion adquirida por frotacion del ambar. De los experimentos tambien se determino que las cargasdel mismo signo se repelen, mientras que de signo contrario se atraen.

La carga electrica es una propiedad intrınseca de la materia y por lo tanto no existe carga electrica sin un cuerpomasivo. Como sabemos actualmente la carga electrica esta cuantizada con el valor de la carga del electron. Lacarga del electron tiene un valor aproximado de 1.6021766208ˆ 10´19C1. Otro aspecto muy importante quediscutiremos ampliamente mas adelante es que la carga electrica neta de un sistema aislado se conserva (estetema lo trataremos en la seccion 11.1).

Otro aspecto interesante de la carga electrica, es considerar la interaccion de partıculas cargadas como debidoa fuerzas (masas-fuerza gravitacional, cargas-fuerza electrica) las cuales actuan en funcion de la distancia. Sinembargo, es mejor pensar en regiones del espacio en el cual el campo generado por las masas o las cargas sesiente.

El campo como lo hemos expuesto en el capıtulo anterior, asigna a una region del espacio un valor unicode determinada magnitud, en el caso de ser un escalar sera un campo escalar (ej. potencial electrico) y si lamagnitud es de caracter vectorial tenemos un campo vectorial (ej. fuerza electrica, campo electrico, campomagnetico, etc.). De hecho, las interacciones electromagneticas se transmiten a traves de estos campos a lavelocidad de la luz.

Partiendo entonces del caso electrostatico (independiente del tiempo) podemos definir la fuerza electrica entredos cargas q y Q, la cual viene dada por la ley de Coulomb como

~FqÑQ “ kqQr2

qQrqQ “ k

qQ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3(3-1)

1CODATA Value: elementary charge https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?e

67

68 3 Electrostatica

donde k es la constante de Coulomb, rqQ es la distancia entre las cargas, la cual la podemos escribir comoˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ donde~r y~r1 hace referencia a las posiciones de las cargas con respecto a algun sistema de referenciainercial como lo vemos en la figura 3-1

Figura 3-1: Representacion geometrica de la fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales q y Q. Las flechasverdes representan la fuerza de atraccion para cargas q y Q de signo contrario, mientras que las flechas rojasrepresentan la fuerza de repulsion entre cargas del mismo signo.

En sistema internacional (SI) la carga es una unidad independiente (coulomb) en cuyo caso la constante k “8.987ˆ 109N ¨m2 ¨ C´2, ası mismo se define la constante

k “1

4πε0(3-2)

con ε0 “ 8.854ˆ 10´12C2 ¨ N´1 ¨m´2 la cual se define como la permitividad del vacıo.

Es necesario aclarar que el valor de k depende directamente del medio en el cual estan las cargas, debido a quek9 1

ε y el valor de la permitividad a su vez, esta relacionado a la forma en como el campo electrico afecta y esafectado para cada medio en particular. Profundizaremos en este aspecto en la seccion 6.3.

De la ley de Coulomb tenemos algunos aspectos importantes:

Es una fuerza central, es decir actua a lo largo de la lınea que une las cargas.

Obedece la ley de accion y reaccion, lo cual implica que si tenemos dos cargas positivas la fuerza quesiente q1 debido a q2 cumple que ~F1Ñ2 “ ´~F2Ñ1

Obedece la segunda ley de Newton, cumpliendo el principio de superposicion.

La forma de la fuerza electrica se diferencia de forma sustancial de la fuerza gravitacional, debido a queesta ultima es unicamente atractiva.

Si tenemos mas de dos cargas la fuerza electrica resultante sobre una carga Q debido a multiples cargas qn bienlocalizadas la podemos expresar como

~F p~rq “ kQq1

`

~r´~r11˘

ˇ

ˇ~r´~r11ˇ

ˇ

3 ` kQq2

`

~r´~r12˘

ˇ

ˇ~r´~r12ˇ

ˇ

3 ` ...` kQqn

`

~r´~r1n˘

|~r´~r1n|3 “ kQ

nÿ

i“1

qi`

~r´~r1i˘

ˇ

ˇ~r´~r1iˇ

ˇ

3 (3-3)

3.1 Fuerza electrica 69

donde n es el numero de cargas adicionales a la carga electrica Q.

Si consideramos distribuciones continuas de carga, la fuerza entre una carga Q y las diferentes distribucionesde carga nos da tres casos posibles:

Si tenemos una densidad volumetrica de carga ρ`

~r1˘

en cierto volumen V, entonces la expresion de lafuerza sera

~F p~rq “ kQż

ρ`

~r1˘

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV (3-4)

Si tenemos una densidad superficial de carga σ`

~r1˘

en un area A, entonces la expresion de la fuerza sera

~F p~rq “ kQż

σ`

~r1˘

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dA (3-5)

Si tenemos una densidad lineal de carga λ`

~r1˘

en una longitud l, entonces la expresion de la fuerza sera

~F p~rq “ kQż

λ`

~r1˘

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dl (3-6)

Problema 59. Dos cargas q1 y q2 positivas, se encuentranfijas sobre el eje x situadas a una distancia d una de la otra,como se ilustra en la figura 3-2. Calcule donde se debe colocaruna carga q´ de tal forma que el sistema quede en equilibrio.Tenga en cuenta que el valor de carga neto de todas las cargases el mismo. Figura 3-2:

Solucion 59. Por simetrıa debemos esperar que el punto donde se debe colocar la carga q´ este entre las cargas. Estopara poder encontrar un balance entre las fuerzas sobre la carga negativa. De hecho, si colocamos la carga negativa fuerade la region entre las cargas, podemos ver que la carga negativa se aproximarıa mas a una carga positiva que la otra y porlo tanto el sistema nunca estarıa en equilibrio.

Dado que la carga q´ debe estar en equilibrio, la suma de fuerzas sobre ella debe ser cero ~Fq´q1 `~Fq´q2 “ 0

~Fq´q1 `~Fq´q2 “ 0

´kq´q1

x2 ı` kq´q2

pd´ xq2ı “ 0

´kq2

x2 ı` kq2

pd´ xq2ı “ 0

´pd´ xq2 ` x2

x2 pd´ xq2“ 0

´d2 ` 2dx´ x2 ` x2 “ 0

´d pd´ 2xq “ 0 ñ x “d2

por lo tanto, el punto donde se debe colocar la carga negativa es el punto medio entre las cargas positivas.

70 3 Electrostatica

Problema 60. Para el siguiente sistema ilustrado en la figu-ra 3-3, determine la posicion de la masa m para que la barramovil permanezca horizontalmente, desprecie la masa de labarra y de cada una de las cargas

Figura 3-3:

Solucion 60. Para que la barra se encuentre en equilibrio (posicion horizontal) los torques generados ~τ “~rˆ ~F por lasfuerzas deben de anularse, lo cual equivale a escribir que

ř

τ “ 0.

Para calcular los torques presentes en el sistema. Comenzaremos calculando la fuerza electrica entre las cargas y debido aque las cargas negativas estan fijasn

~F3q´q “ kp3q´q q

d2 p´ q “ ´k3q2

d2

~Fq´q “ kpq´q q

d2 p´ q “ ´kq2

d2

mientras que ~Fm “ ´mg . Podemos ver que el vector ~r es perpendicular a todas las fuerzas electricas involucradas~F3q´q , ~Fq´q y ~Fm. Debido a lo cual solo obtenemos contribucion del torque en la direccion k

~τ3q´q “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´ L

2 0 0

0 ´k 3q2

d2 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“L2

k3q2

d2 k

~τq´q “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kL2 0 0

0 ´k q2

d2 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´L2

kq2

d2 k

~τm “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kx 0 00 ´mg 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´xmgk

~τm “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kx 0 00 ´mg 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´xmgk

sumando cada uno de los torques e igualando a cero

~τ3q´q `~τq´q `~τm “ 0

L2

k3q2

d2 k´L2

kq2

d2 k´ xmgk “ 0

Ld2 kq2 “ xmg

ñ x “Ld2

kq2

mg

siendo esta la distancia para que el sistema se encuentre en equilibrio.


Problema 61. La separacion de solidos por medio defenomenos electrostaticos se realiza cuando se separan loscomponentes al pasar a traves de un campo electrico unifor-me, como se ilustra en la figura 3-4. Si suponemos que laspartıculas caen con velocidad inicial cero. Calcule las coorde-nadas en x y y en funcion del tiempo ignorando las fuerzasentre partıculas.

Figura 3-4:

Solucion 61. La sumatoria de la fuerzas en la direccion ı esÿ

Fx “ Fe “ max

qEx “ md2xdt2

ñd2xdt2 “

qm

Ex

para resolver la ecuacion anterior debemos integrarla, teniendo en cuenta que en x p0q “ 0xż

0

ddt

ˆ

dx ptqdt

˙

dt “

tż

0

qm

Ex dt

dx ptqdt

“qm

Ex t` a

integrando nuevamentexż

0

ˆ

dx ptqdt

˙

dt “

tż

0

´ qm

Ex t` a¯

dt

x ptq “q

2mExt2 ` at` b

Mientras que en la direccion tenemosÿ

Fy “ Fg “ may

´mg “ md2ydt2

ñd2ydt2 “ g

realizando el mismo proceso que en el caso anterior obtenemos

y ptq “ ´g2

t2 ` ct` d.

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales podemos calcular las constantes a, b, c y d, por lo tanto

x p0q “q

2m~Ex p0q2 ` a p0q ` b “ 0 ñ b “ 0

y p0q “ ´g2p0q2 ` c p0q ` d “ 0 ñ d “ 0

72 3 Electrostatica

y dado que parten del reposo las partıculas su velocidad inicial sera cero

dx ptqdt

“ddt

´ q2m

~Ext2 ` at¯

“qm~Ext` a

ˇ

ˇ

ˇ

t“0“ 0 ñ a “ 0

dy ptqdt

“ddt

´

´g2

t2 ` ct¯

“ ´2gt` c|t“0 “ 0 ñ c “ 0

Ası entonces, las ecuaciones de movimiento en funcion del tiempo para la caıda de las partıculas cargadas son:

x ptq “q

2m~Ext2

y ptq “ ´g2

t2.

Problema 62. Considere un cable finito de longitud l conuna carga Q distribuida de forma uniforme a lo largo de este.Calcule la fuerza sobre una carga q para cualquier posicionde esta y para el caso particular en la cual esta en x “ x0`

l2 .

Tome de referencia la figura 3-5.

Figura 3-5:

Solucion 62. Debido a que el problema involucra una lınea de carga, podemos partir de la ecuacion (3-6)

~F p~rq “ kqż

λ`

~r1˘

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dl (3-7)

para nuestro caso en particular las posiciones de las cargas son

~r “ xı` y , para q

~r1 “ x1 ı, para dQ

por lo tanto

~r´~r1 “`

x´ x1˘

ı` y ñˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “

b

px´ x1q2 ` y2

y dado que

λ “Ql“

dQdx1

ñ dQ “ λdx1

debemos sustituir las relaciones anteriores en la integral (3-7)

~F p~rq “ kq

x0`lż

x0

λ

`

x´ x1˘

ı` y ´

px´ x1q2 ` y2¯

32

dx1 “ λkq

»

—

—

–

ı

x0`lż

x0

`

x´ x1˘

´

px´ x1q2 ` y2¯

32

dx1 `

x0`lż

x0

y´

px´ x1q2 ` y2¯

32

dx1

fi

ffi

ffi

fl


para resolver las integrales realizamos la sustitucion X “ x1´ x (para evitarnos un signo negativo en el numerador), porlo tanto dX “ dx1.

Comenzaremos con la integral en la direccion

x0`lż

x0

y dx1´

px´ x1q2 ` y2¯

32“

x0`lż

x0

y dX´

p´Xq2 ` y2¯

32“

x0`lż

x0

y dX`

X2 ` y2˘

32

la integral de esta forma la podemos resolver usando la sustitucion

X “ y tan θ ñ dX “ y sec2 θ dθ

remplazando

x0`lż

x0

y dX`

X2 ` y2˘

32“

θ2ż

θ1

y2 sec2 θ dθ`

y2 tan2 θ ` y2˘

32“

θ2ż

θ1

y2 sec2 θ dθ

y3`

tan2 θ ` 1˘

32“

1y

θ2ż

θ1

sec2 θ dθ

sec3 θ“

1y

θ2ż

θ1

cos θdθ “1y

sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ2

θ1

(3-8)

donde hemos tenido en cuenta que tan2 θ ` 1 “ sec2 θ y 1sec θ “ cos θ, como vemos es necesario reescribir los lımites de

las integrales, teniendo en cuenta la sustitucion X “ x1 ´ x, por ello

para el lımite inferior x11 “ x0 ñ X1 “ x0 ´ x

para el lımite superior x12 “ x0 ` l ñ X2 “ x0 ` l ´ x

de la segunda sustitucion

tan θ “Xyñ sin θ “

Xa

X2 ` y2

remplazando las condiciones anteriores

X1 “ x0 ´ x ñ sin θ1 “x0 ´ x

b

px0 ´ xq2 ` y2

X2 “ x0 ` l ´ x ñ sin θ2 “x0 ` l ´ x

b

px0 ` l ´ xq2 ` y2

por lo tanto, remplazando en la ecuacion (3-8)

x0`lż

x0

y dx1´

px´ x1q2 ` y2¯

32“

1y

sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ2

θ1

“1y

»

–

x0 ` l ´ xb

px0 ` l ´ xq2 ` y2´

x0 ´ xb

px0 ´ xq2 ` y2

fi

fl .

Para la integral en la direccion x podemos usar las mismas sustituciones, con la primera sustitucion tenemos

x0`lż

x0

`

x´ x1˘

dx1´

px´ x1q2 ` y2¯

32“

x0`lż

x0

´X dX´

p´Xq2 ` y2¯

32“ ´

x0`lż

x0

X dX`

X2 ` y2˘

32

usando la sustitucion trigonometrica que se utilizo en la direccion

´

x0`lż

x0

X dX`

X2 ` y2˘

32“ ´

θ2ż

θ1

y tan θ y sec2 θ dθ

y3`

tan2 θ ` 1˘

32“ ´

1y

θ2ż

θ1

tan θ dθ

sec θ“ ´

1y

θ2ż

θ1

sin θ dθ “1y

cos θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ2

θ1

74 3 Electrostatica

cos θ lo podemos escribir como

para el lımite inferior X1 “ x0 ´ x ñ cos θ1 “y

b

px0 ´ xq2 ` y2

para el lımite superior X2 “ x0 ` l ´ x ñ cos θ2 “y

b

px0 ` l ´ xq2 ` y2

remplazando los lımites tenemos

x0`lż

x0

`

x´ x1˘

dx1´

px´ x1q2 ` y2¯

32

“1y

cos θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ2

θ1

“1y

»

–

yb

px0 ` l ´ xq2 ` y2´

yb

px0 ´ xq2 ` y2

fi

fl

“

»

–

1b

px0 ` l ´ xq2 ` y2´

1b

px0 ´ xq2 ` y2

fi

fl

por lo tanto, la fuerza entre la carga q y Q en cualquier punto del espacio para nuestra distribucion de cargas es

~F p~rq “ λkq

x0`lż

x0

`

x´ x1˘

´

px´ x1q2 ` y2¯

32

dx1 ı` λkq

x0`lż

x0

y´

px´ x1q2 ` y2¯

32

dx1

“ λkq

»

–

¨

˝

1b

px0 ` l ´ xq2 ` y2´

1b

px0 ´ xq2 ` y2

˛

‚ı`1y

¨

˝

x0 ` l ´ xb

px0 ` l ´ xq2 ` y2´

x0 ´ xb

px0 ´ xq2 ` y2

˛

‚

fi

fl .

Para analizar el caso particular x “ x0 `l2 , debemos remplazar esta condicion en el resultado anterior

~F p~rqˇ

ˇ

ˇ

x“x0`l2

“ λkq

»

—

—

–

1c

´

x0 ` l ´´

x0 `l2

¯¯2` y2

´1

c

´

x0 ´´

x0 `l2

¯¯2` y2

fi

ffi

ffi

fl

ı

`λkq1y

»

—

—

–

x0 ` l ´´

x0 `l2

¯

c

´

x0 ` l ´´

x0 `l2

¯¯2` y2

´x0 ´

´

x0 `l2

¯

c

´

x0 ´´

x0 `l2

¯¯2` y2

fi

ffi

ffi

fl

“ λkq p0q ı` λkq1y

¨

˝

lb

l2

4 ` y2

˛

‚

“ kqQ

¨

˝

l

yb

l2

4 ` y2

˛

‚

este era un resultado esperado, ya que debido a la simetrıa del problema las componentes de la fuerza en direccion ı debenhacerse cero. Ya que cualquier contribucion del lado derecho se cancelara con su contraparte izquierda al otro lado del ejede simetrıa (parte media del cable). Obteniendose finalmente, solo una componente neta en la direccion .


Problema 63. Sobre un recipiente circular de radio r se co-locan dos cargas iguales positivas q y de masa m, como semuestra en la figura 3-6. Calcule el valor de la carga q paraque el sistema permanezca en equilibrio.

Figura 3-6:

Solucion 63. Las fuerzas que actuan sobre cada carga en este ejemplo son tres: la fuerza electrica ~Fe, la fuerza gravitacio-nal ~Fg y la fuerza que ejerce la superficie ~N. Dado que los lados del triangulo formado con el radio del recipiente circularson iguales, el angulo en cada uno de los vertices, sera π

3 . Por lo tanto

ÿ

Fx “ Nx ´ Fe “ N cosπ

3´ k

q2

r2 “ 0 (3-9)ÿ

Fy “ Nx ´ Fg “ N sinπ

3´mg “ 0 (3-10)

despejando N de la ecuacion (3-10)N “

mgsin π

3

remplazando lo anterior la ecuacion (3-9) tenemos

N cosπ

3´ k

q2

r2 “ 0

kq2

r2 “ mgcos π

3sin π

3

ñ q “

d

r2mgk

cos π3

sin π3“ r

g

f

f

e

mgk

12

12

?3“ r

c

mg?

3k

Problema 64. Dos bloques metalicos identicos de masa m seencuentran en reposo, unidos por un resorte de longitud L0,con constante kr. Sobre una mesa sin friccion. Posteriormen-te cada uno de los bloques se cargan con una carga q, debidoa lo cual los bloque ahora se encuentran a una distancia L.Calcule el valor de la carga para que el sistema se encuentreen equilibrio, como se muestra en la figura 3-7. Figura 3-7:

Solucion 64. Las fuerzas que actuan sobre el sistema son

ÿ

Fx “ Fr ´ Fe “ kr pL´ L0q ´ kq2

L2 “ 0ÿ

Fy “ N ´ Fg “ N ´mg “ 0

donde pL´ L0q es la elongacion del resorte.

De la primera ecuacion tenemos

kr pL´ L0q “ kq2

L2 ñ q “ L

c

kr pL´ L0q

kel cual es el valor de carga electrica para que las masas se encuentren a una distancia L.

76 3 Electrostatica

3.2. Campo electrico

La ley de Coulomb tambien puede pensarse como la interaccion de q2 con el campo electrico generado por q1,definido como ~F2 “ q2~E1 y por lo tanto, el campo de la carga q1 es

~E1 ”~Fq1Ñq2

q2“ k

q1 p~r2 ´~r1q

|~r2 ´~r1|3

Podemos ver que el campo ası definido solo depende de la fuente y no de la carga de prueba2 (por convencionsiempre se toman positivas), la cual en este caso serıa la carga q2.

Al igual que la fuerza electrica, el campo electrico generado por una carga puntual estatica es conservativo envirtud de la naturaleza central de la fuerza y de su independencia temporal. Y debido a que la superposicionde campos conservativos genera otro campo conservativo, tenemos que cualquier campo electrico generadopor una distribucion estatica de cargas (continuas o discretas) es conservativo.

Esto nos conduce al principio de superposicion en el cual el campo en un punto P, debido a una distribucionde cargas discretas, es la contribucion del campo de cada una de las cargas presentes en el sistema

~E p~rq “ knÿ

i“1

qi`

~r´~r1i˘

ˇ

ˇ~r´~r1iˇ

ˇ

3 (3-11)

donde~r es el lugar donde calculamos el efecto del campo producido por las cargas las cuales estan ubicadasen~r1, como se representa en la figura 3-8

Figura 3-8: Campo electrico en el punto P debido a una distribucion discreta de cargas.

Si consideramos distribuciones continuas de carga ”continuas” hace referencia a que la distancia entre elec-trones y/o protones es muchısimo menor que la distancia al punto de analisis) estas pueden ser: linealesλ “

ql ñ dq “ λdl, superficiales σ “

qA ñ dq “ σdA o volumetricas ρ “

qV ñ dq “ ρdV (es posible tener

densidades mixtas).

Por lo tanto, haciendo una extension del principio de superposicion, el campo electrico lo podemos escribir

2La carga de prueba se considera como una carga infinitesimal. Ya que si las cargas que generan el campo pueden moverse libremente,la introduccion de carga puede generar movimientos en las cargas antes presentes, que cambien el valor del campo en la posicion en lacual esta ahora la carga de prueba.

3.2 Campo electrico 77

como

~E p~rq “ kż dq

`

~r1˘ `

~r´~r1˘

|~r´~r1|3(3-12)

equivalente a

~E p~rq “ kż

ρ`

~r1˘ `

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV (3-13)

donde el volumen de integracion sera todo el espacio para el cual la densidad de carga sea diferente de cero.

Problema 65. Calcule el campo y la fuerza electrica sobrela carga q`, si la longitud de los lados del triangulo formadopor las cargas es a, como se ilustra en la figura 3-9. Tenga encuenta que |q`| “ |q´| “ q.

Figura 3-9:

Solucion 65. De la ecuacion (3-11) tenemos que ~Eq` p~rq se debe a la contribucion de las cargas 2q` y q´. Por lo tanto,

es necesario calcular la posicion de cada una de las cargas. Para q` tenemos que~rq` “ a sin π3 “ a

?3

2 k, para la carga2q` sera~r12q` “ ´

a2 y para q´ la posicion es~r1q´ “

a2 , ası entonces

~Eq` p~rq “ k2ÿ

i“1

qi`

~r´~r1i˘

ˇ

ˇ~r´~r1iˇ

ˇ

3

“ k

¨

˚

˝

2q`´

~rq` ´~r12q`

¯

ˇ

ˇ

~rq` ´~r12q`

ˇ

ˇ

ˇ

3 `

q´´

~rq` ´~r1q´

¯

ˇ

ˇ

~rq` ´~r1q´ˇ

ˇ

ˇ

3

˛

‹

‚

“ k

¨

˚

˚

˚

˚

˝

2q´

a?

32 k´

`

´ a2 ˘

¯

ˆ

´

a?

32

¯2`` a

2

˘2˙

32´

q´

a?

32 k´ a

2 ¯

ˆ

´

a?

32

¯2`` a

2

˘2˙

32

˛

‹

‹

‹

‹

‚

“ kqa

¨

˚

˚

˚

˚

˝

2?

32 k` ´

?3

2 k` 12

ˆ

´

a?

32

¯2`` a

2

˘2˙

32

˛

‹

‹

‹

‹

‚

“ kqa

˜

?3

2 k` 32

a3

¸

“ kq

2a2

´?3k` 3

¯

(3-14)

y la fuerza sobre esta carga es

~Fq` p~rq “ q`~Eq` p~rq “ kq2

2a2

´?3k` 3

¯

78 3 Electrostatica

Problema 66. Tres cargas puntuales de q1 “ 3µC, q2 “ 5µC y q3 “ 7µC estan localizadas en los puntos p1, 2, 3q , p3, 4, 1qy p0, 0, 0q respectivamente. Calcule la fuerza y el campo electrico para una carga Q “ 1µC, la cual esta localizada en elpunto p1, 0, 2q.


~F p~rq “ kQ3ÿ

i“1

qi p~r´~riq

|~r´~ri|3

“ kQ

˜

q1 p~r´~r1q

|~r´~r1|3 `

q2 p~r´~r2q

|~r´~r2|3 `

q3 p~r´~r3q

|~r´~r3|3

¸

“ 8.987ˆ 109N ¨m2 ¨ C´2´

1ˆ 10´6C¯

¨

˚

˚

˚

˝

3ˆ 10´6C pp1, 0, 2q ´ p1, 2, 3qqˆ

b

p1´ 1q2 ` p0´ 2q2 ` p2´ 3q2˙3`

5ˆ 10´6C pp1, 0, 2q ´ p3, 4, 1qqˆ

b

p1´ 3q2 ` p0´ 4q2 ` p2´ 1q2˙3 `

7ˆ 10´6C pp1, 0, 2q ´ p0, 0, 0qqˆ

b

p1´ 0q2 ` p0´ 0q2 ` p2´ 0q2˙3

˛

‹

‹

‹

‚

“`

4.6929, ´6.6907, 9.3090˘

ˆ 10´3N.

y el campo electrico

~E p~rq “~F p~rq

Q

“1

1ˆ 10´6C`

4.692 9, ´6.690 7, 9.309 0˘

ˆ 10´3N

“`

4.692 9, ´6.690 7, 9.309˘

ˆ 103N ¨ C´1.

Problema 67. Dipolo electrico: Dos cargas q` y q´ se en-cuentran separadas una distancia d, como se muestra en lafigura 3-10. Calcule el campo electrico en el punto P, tenien-do en cuenta que |q`| “ |q´| “ q, analice su resultadocuando d ! z.

Figura 3-10:

Solucion 67. Para calcular el campo electrico en el punto P, es necesario calcular la posicion de cada una de las cargas.


Para q` Ñ~r1q` “d2 ı y para q` Ñ~r1q´ “ ´

d2 ı, entonces

~Eq` p~rq “ k2ÿ

i“1

qi`

~r´~r1i˘

ˇ

ˇ~r´~r1iˇ

ˇ

3

“ k

¨

˚

˝

q`´

~r´~r1q`¯

ˇ

ˇ

~r´~r1q`ˇ

ˇ

ˇ

3 `

q´´

~r´~r1q´¯

ˇ

ˇ

~r´~r1q´ˇ

ˇ

ˇ

3

˛

‹

‚

“ k

¨

˚

˚

˚

˚

˝

q´

zk´ d2 ¯

ˆ

z2 `´

d2

¯2˙

32´

q´

zk` d2 ¯

ˆ

z2 `´

d2

¯2˙

32

˛

‹

‹

‹

‹

‚

“ ´kqd

ˆ

z2 `´

d2

¯2˙

32

.

Si consideramos que d ! z tenemos que z2 "´

d2

¯2y por lo tanto, z2 `

´

d2

¯2ÝÑ z2. Esta condicion sobre la configura-

cion del sistema nos lleva a expresar el campo electrico del dipolo como

~E p~rq “ ´kqdz3

podemos apreciar que el campo del dipolo electrico varia de la forma 1r3 , mientras que para las otras configuraciones

analizadas varia de la forma 1r2 , lo cual muestra que el campo se atenua mucho mas rapido para configuraciones dipolares.

Este tema lo abordaremos a mayor profundidad en la seccion 6.3.

Problema 68. Este problema es una generalizacion del an-terior. Calcule el campo de un dipolo electrico si tanto las car-gas, como el punto donde queremos calcular el campo estanubicadas en cualquier punto del espacio como se ilustra en lafigura 3-23. Tenga en cuenta que el modulo de las cargas esel mismo y estan separadas una distancia d.

Figura 3-11: Dipolo electrico

Solucion 68. El campo generado en la posicion~r sera: la suma vectorial de los campos producidos por la carga q` situadaen~r` y el producido por la carga q´ situada en~r´. Empleando el principio de superposicion

~E p~rq “ k2ÿ

i“1

qi p~r´~riq

|~r´~ri|3 “ k

q` p~r´~r`q|~r´~r`|3

` kq´ p~r´~r´q|~r´~r´|3

de la imagen 3-23 podemos ver~r` ´ ~d “~r´, por lo tanto,~r` “~r´ ` ~d donde ~d esta orientado de la carga negativa a la

80 3 Electrostatica

carga positiva

~E p~rq “ kq

¨

˚

˝

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

3 ´~r´~r´|~r´~r´|3

˛

‹

‚

(3-15)

la relacion anterior no es facilmente simplificable y por ello es conveniente reescribirla.

Dado que d es mucho menor que~r´~r´ podemos hacer una expansion sobre ~r ~r´´~dˇ

ˇ

~r ~r´´~dˇ

ˇ

ˇ

3 y en particular sobre el termino

1ˇ

ˇ

~r ~r´´~dˇ

ˇ

ˇ

3 “

ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

´3. Para lo cual podemos asociar~r´~r´ ´ ~d “ p~r´~r´q ´ ~d y expandir

ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

´3“

´

|~r´~r´|2 ´ 2 p~r´~r´q ¨ ~d` d2¯´ 3

2“

˜

|~r´~r´|2˜

1´2 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

`d2

|~r´~r´|2

¸¸´ 32

“ |~r´~r´|´3

˜

1´2 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

`d2

|~r´~r´|2

¸´ 32

como vemos el termino del parentesis es de la forma p1` xqn donde x es menor que 1 (debido a que hemos consideradoque d !~r´~r´) y podemos expandirlo en una serie de Taylor3, tomando solo los terminos lineales en d, ya que terminosrestantes contribuiran muy poco en el calculo

˜

1´2 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

`d2

|~r´~r´|2

¸´ 32

« 1`32

˜

2 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸

“ 1`3 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

ñ

ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

´3« |~r´~r´|´3

˜

1`3 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸

por lo tanto

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

3 “~r´~r´

ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

3 ´~d

ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

3

«~r´~r´|~r´~r´|3

˜

1`3 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸

´~d

|~r´~r´|3

˜

1`3 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸

«~r´~r´|~r´~r´|3

˜

1`3 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸

´~d

|~r´~r´|3

3La forma mas general de una expansion en series de Taylor la podemos escribir como

f pxq “8ÿ

n“0

1n!

dn f pxqdxn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x“x0

px´ x0qn“ f px0q ` f 1 px0q px´ x0q ` f 2 px0q

px´ x0q2

2` ..

para funciones binomiales f pxq “ p1` xqk la serie de Taylor en torno a x0 “ 0 la podemos escribir como

p1` xqk “

8ÿ

n“0

xn

n!dn

dxn p1` xqkˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x“x0

“10!

x0 p1` xqkˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0`

x1

1!k p1` xqk

ˇ

ˇ

ˇ

0`

x2

2!k pk´ 1q p1` xqk´2

ˇ

ˇ

ˇ

0` ...

“ 1` kx` k pk´ 1qx2

2` ...`

k!pk´ nq!

xn

n!` ... (3-16)


donde despreciamos el termino en d2. Remplazando lo anterior en la ecuacion (3-15) obtenemos

~E p~rq « kq

˜

~r´~r´|~r´~r´|3

˜

1`3 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸

´~d

|~r´~r´|3´

~r´~r´|~r´~r´|3

¸

« kq

˜

~r´~r´|~r´~r´|3

`3 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|5

p~r´~r´q ´~d

|~r´~r´|3´

~r´~r´|~r´~r´|3

¸

« kq

˜

3 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|5

p~r´~r´q ´~d

|~r´~r´|3

¸

definiendo el momento de dipolo como~p “ |q| ~d (3-17)

la relacion anterior finalmente la podemos escribir

~E p~rq « k

˜

3 p~r´~r´q ¨~p|~r´~r´|5

p~r´~r´q ´~p

|~r´~r´|3

¸

(3-18)

al igual que en el problema anterior, el campo depende de la forma 1r3 .

Problema 69. Considere sobre el problema anterior, pero colocando el dipolo en el origen orientado en la direccion z.

Solucion 69. Al colocar el dipolo en el origen, podemos hacer~r´ “ 0 y por ello el vector ~d estara en la direccion k.Remplazando esto en la ecuacion (3-18)

~E p~rq « k

˜

3 p~r´~r´q ¨~p|~r´~r´|5

p~r´~r´q ´~p

|~r´~r´|3

¸

« kˆ

3~r ¨~pr5 ~r´

~pr3

˙

« kp

˜

3~r ¨ kr5 ~r´

kr3

¸

teniendo en cuenta que rr “~r

~E p~rq « kp

˜

3rr ¨ kr5 rr´

kr3

¸

“ kp

˜

3r ¨ kr3 r´

kr3

¸

.

Si ahora consideramos que el plano de observacion es perpendicular a k, esto implica que r ¨ k “ |r|ˇ

ˇ

ˇkˇ

ˇ

ˇcos π

2 “ 0 y por lotanto

~E p~rq « ´kpkr3

la cual es la forma de expresar el campo de un dipolo electrico sobre su eje.

Problema 70. Calcule el torque sobre un dipolo electrico elcual esta inmerso en un campo electrico, como se muestra enla figura 3-12.

Figura 3-12: Dipolo inmerso en un campo electrico

82 3 Electrostatica

Solucion 70. Para calcular el torque sobre el dipolo, lo haremos inicialmente calculandolo en el sistema de referencia Osituado en el punto medio entre las cargas, el cual sera el punto de pivote en el caso de que la magnitud de las cargas seala misma (estamos despreciando la fuerza gravitacional debido a que su contribucion en muy pequena).

El torque sobre la carga positiva y negativa respectivamente es

~τ` “ ~r` ˆ ~F

~τ´ “ ~r´ ˆ ~F

por lo tanto~τO “ ~τ` `~τ´ “~r` ˆ ~F `~r´ ˆ ~F

dado que consideramos el torque en el punto medio entre las cargas, entonces ~r` “ ~r´. Teniendo en cuenta, que elmodulo de las cargas es el mismo, el modulo de la fuerza tambien lo sera. Esto es ~F “ ´~F 4

~τO “~r` ˆ ~F ` p ~r`q ˆ´

´~F¯

“ 2~r` ˆ ~F

teniendo en cuenta que ~d “ 2~r`, ~p “ q~d y que ~F “ q~E

~τO “ ~dˆ q~E “ ~pˆ ~E. (3-19)

El torque como lo hemos analizado hasta ahora, serıa el que se generarıa por un campo electrico homogeneo, el cual haceque el dipolo gire alrededor de su centro de masa. Sin embargo, cuando el campo no es homogeneo, la fuerza electrica sobrelas cargas del dipolo no son exactamente iguales (incluso si este es muy pequeno). Por ello debemos calcular el torque total,para lo cual es necesario calcular la fuerza total sobre el dipolo

~F “ ~F ` ~F “ q~E` `´

´q~E´¯

“ q´

~E` ´ ~E´¯

si consideramos que el centro del dipolo esta situado en una posicion~r en relacion a un sistema de referencia O1 y dadoque el campo es funcion de la posicion, podemos escribir el campo en este muevo marco de referencia como

~F “ q´

~E` ´ ~E´¯

“ q”

~E` p~r`~r`q ´ ~E´ p~r`~r´qı

(3-20)

donde ~r´ ! ~r y~r` ! ~r. Expandiendo el campo como una serie de Taylor5 sobre la posicion ~r y teniendo en cuentasolamente los terminos lineales en~r´ y~r` obtenemos

~E` p~r`~r`q “ ~E p~rq `~r`∇ ¨ ~E p~rq~E´ p~r`~r´q “ ~E p~rq `~r´∇ ¨ ~E p~rq

por lo tanto, remplazando lo anterior en la ecuacion (3-20)

~F “ q”

~E` p~r`~r`q ´ ~E´ p~r`~r´qı

“ q”´

~E p~rq `~r`∇ ¨ ~E p~rq¯

´

´

~E p~rq `~r´∇ ¨ ~E p~rq¯ı

“ q”

~r`∇ ¨ ~E p~rq ´~r´∇ ¨ ~E p~rqı

“ q p~r` ´~r´q∇ ¨ ~E p~rq“ q~d∇ ¨ ~E p~rq“ ~p∇ ¨ ~E p~rq

4Un analisis equivalente se puede realizar por la convencion de suma de torques, si la rotacion de realiza en sentido horario el momentose considera negativo, mientras que si el giro es antihorario el momento se considera positivo.

5Para una funcion ~F con mas de una variable independiente, esto es ~F p~r`~aq. La expansion de Taylor de forma vectorial la podemosescribir como

~F p~r`~aq “8ÿ

n“0

1n!

´

~a ¨ ~∇¯n

~F p~rq


donde tuvimos en cuenta que~r` “ ~r´ “~d2 y por ello~r` ´~r´ “ ~d. Ası entonces, el torque con respecto a O1 sera

~τO1 “~rˆ ~F “~rˆ´

~p∇ ¨ ~E p~rq¯

Finalmente, el torque total sera~τT “ ~τO `~τO1 “ ~pˆ ~E`~rˆ

´

~p∇ ¨ ~E p~rq¯

podemos ver del resultado anterior que si el campo es homogeneo∇ ¨ ~E p~rq “ 0 y por lo tanto, el torque sera independientedel origen, al igual que si~r “ 0 independientemente de si el campo no es homogeneo. Podemos ver adicionalmente, que eltorque generado por el campo electrico externo hace que el dipolo gire y oriente su momento dipolar en el mismo sentidoque el del campo externo.

Problema 71. Calcule el campo electrico creado por un seg-mento rectilıneo de longitud L, con una densidad lineal decarga λ a una distancia z, como se ilustra en la figura 3-13.

Figura 3-13:

Solucion 71. Para calcular el campo electrico en el punto P, debemos tener en cuenta que~r “ zk,~r1 “ xı y dq “ λdx.Remplazando en la ecuacion (3-12) tenemos

~E p~rq “ kż dq

`

~r1˘ `

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

“ k

Lż

0

λdx´

zk´ xı¯

`

x2 ` z2˘

32

“ kλ

»

–

Lż

0

zdx`

x2 ` z2˘

32

k´ k

Lż

0

xdx`

x2 ` z2˘

32

ı

fi

fl

“ kλ

«

xz?

x2 ` z2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

L

0k`

1?

x2 ` z2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

L

0ı

ff

“ kλ

„

Lz?

L2 ` z2k`

ˆ

1?

L2 ` z2´

1z

˙

ı

“ kλ

z

„ˆ

z?

L2 ` z2´ 1

˙

ı`L

?L2 ` z2

k

si consideramos el caso en el cual z " L el termino?

L2 ` z2 “ z, con lo cual

~E p~rq “ lımz"L

kλ

z

„ˆ

z?

L2 ` z2´ 1

˙

ı`L

?L2 ` z2

k

“ kλ

z

«

*0

´zz´ 1

¯

ı`Lz

k

ff

“ kλLz2 k “ k

Qz2 k

el cual es el campo de una carga puntual.

84 3 Electrostatica

3.3. Ley de Gauss

Para aborda la ley de Gauss primero analizaremos brevemente el flujo electrico ΦE o como tambien se le conoceflujo electrostatico. Por definicion el flujo electrico parte de las cargas positivas y termina en las negativas, sinembargo, si no hay cargas negativas las lineas de campo de las cargas positivas tienden al infinito.

El flujo electrico es una cantidad escalar que expresa la medida del campo electrico que atraviesa una determi-nada superficie. Lo cual es equivalente a la medida del numero de lıneas de campo electrico que penetran unasuperficie, por ello

ΦE “ ~E p~rq ¨ ~S p~rq (3-21)

donde ~S p~rq representa superficies planas, equivalentes al area de la superficie que atraviesan las lıneas decampo electrico.

La ley de Gauss se basa en tres suposiciones fundamentales: La ley del inverso cuadrado del campo de cargaspuntuales, el principio de superposicion y la naturaleza central de la fuerza.

Para comprender y plantear la ley de Gauss lo haremos calculando el campo producido por una carga puntualq la cual se encuentra en O1 como se muestra en la figura 3-14 .La carga q puede o no estar encerrada, por unasuperficie cerrada S cuya forma es arbitraria.

Figura 3-14: Campo electrico producido por una carga q respecto a un sistema de referencia O1, generando undiferencial de angulo solido dΩ subtendido por una superficie d~S. Donde θ es el angulo que mide la inclinaciondel diferencial d~S con respecto a~r´~r1.

Partiendo de la ecuacion (3-21), podemos escribir un diferencial del flujo electrostatico del campo ~E p~rq sobreun diferencial de superficie d~S p~rq como

dΦE “ ~E p~rq ¨ d~S p~rq “ kq`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3¨ d~S p~rq

donde~r1 define la posicion de la carga que genera el campo con respecto a O. Integrando sobre una superficie

3.3 Ley de Gauss 85

cerrada S tenemos¿

~E p~rq ¨ d~S p~rq “ kq¿

`

~r´~r1˘

¨ d~S p~rq

|~r´~r1|3. (3-22)

Para realizar la integral podemos ver que el integrando define el diferencial de angulo solido6 dΩ, subtendidopor el area d~S p~rq tomando como vertice el punto O1, esto es

¿

dΩ “

¿

`

~r´~r1˘

¨ d~S p~rq

|~r´~r1|3(3-23)

al realizar la integral debemos contemplar dos casos¿

dΩ “

"

4π si O1esta dentro de S0 si O esta fuera de S

esto nos permite escribir la ecuacion (3-22) en terminos de la delta de Dirac como¿

~E ¨ d~S “ kq¿

dΩ “ 4πkqż

δ`

~r´~r1˘

dV “ 4πkqenc

"

1 si O1 esta dentro de S0 si O esta fuera de S

(3-24)

donde qenc hace referencia a la carga que esta siendo encerrada por la superficie S. De hecho, si consideramosque la carga esta encerrada y teniendo en cuenta que 4πk “ 4π 1

4πε0“ 1

ε0, podemos escribir la relacion anterior

como¿

~E ¨ d~S “qenc

ε0(3-25)

la cual constituye la forma integral de la ley de Gauss. Un aspecto importante de esta ecuacion, es que depen-diendo de la distribucion de carga es conveniente uno u otro tipo de superficie gaussiana

´

d~S¯

, asociada a unsistema de coordenadas:

Para esferas cargadas se usan esferas gaussianas concentricas y coordenadas esfericas.

Para cilindros cargados se usan cilindros gaussianos coaxiales y coordenadas cilındricas.

Para planos y cajas cargadas se usan cajas rectangulares gaussianas y coordenadas rectangulares.

Para elipses cargadas se usan elipsoides gaussianos concentricos y coordenadas elıpticas.

3.3.1. Ley de Gauss en forma diferencial

Partiendo de la ecuacion (3-24) y escribiendo la carga encerrada como la integral volumetrica de la densidadde volumen

¿

~E ¨ d~S “ 4πkqenc “ 4πkż

ρ p~rq dV (3-26)

esto siempre es posible, incluso si tenemos densidades lineales, superficiales o puntuales de carga. Ya quesiempre es posible construir densidades volumetricas equivalentes. Partiendo del teorema de la divergencia2.3.4 tenemos que

¿

~E ¨ d~S “ż

´

∇ ¨ ~E¯

dV (3-27)

6Se define el angulo solido bajo el cual se ve una superficie desde el punto O1 como el area de la proyeccion conica de dicha superficiesobre una esfera de radio unidad centrada en O1. Por convenio, se dice que el angulo solido es positivo si desde el punto O1 se observauna superficie concava, y negativo si se observa una superficie convexa.

Dado que hemos considerado una circunferencia de radio unidad, el angulo solido bajo el cual se ve una superficie cerrada desde unpunto O1 situado en el interior de la misma es 4πr2 “ 4π.

86 3 Electrostatica

igualando las ecuaciones (3-26) y (3-27)

ż

´

∇ ¨ ~E¯

dV “ 4πkż

ρ p~rq dV

teniendo en cuenta que 4πk “ 1ε0

y dado a que hemos considerado un volumen arbitrario

∇ ¨ ~E “ 4πkρ p~rq “ρ p~rq

ε0. (3-28)

Como podemos ver de las ecuaciones (3-25) y (3-28), el campo electrico depende linealmente de la magnitudde la carga que lo genera y por lo tanto, entre mayor es el valor de la carga, mayor sera la densidad de lıneasde campo. Adicionalmente, todas las cargas electricas producen campos electricos y debido a que∇ ¨ ~E ‰ 0 laslıneas de campo electrico son divergentes entre ellas, lo cual no dependera del medio en el que se encuentrenlas cargas.

Problema 72. Suponga que el campo electrico en alguna region tiene la forma ~E “ br13 r en coordenadas esfericas, donde

b tiene unidades de”

N ¨ C´1 ¨m´13

ı

. Calcule la densidad de carga ρ y la carga total contenida en una esfera de radio Rcentrada en el origen.

Solucion 72. Partiendo de la tabla 2-1 y teniendo en cuenta que el campo solo tiene componente radial

∇ ¨ ~E “1

r2 sin θ

¨

˚

˚

˝

sin θB

Br

´

Err2¯

`

:0rB

BθpEθ sin θq ` r

7

0BEϕ

Bϕ

˛

‹

‹

‚

“1r2B

Br

´

br13 r2

¯

“ b1r2B

Br

´

r73

¯

“73

br´23

teniendo en cuenta que

∇ ¨ ~E “ ρ p~rqε0

ñ ρ p~rq “ ε0∇ ¨ ~E “ ε0

ˆ

73

br´23

˙

teniendo en cuenta la tabla 2-3, la carga total contenida en una esfera de radio R sera

¿

~E ¨ d~S “qenc

ε0

despejando

qenc “ ε0

¿

~E ¨ d~S “ ε0

¿

bR13 r ¨ R2 sin θ dθ dϕ r “ ε0bR

73 4π “

bk

R73

queda para el lector comprobar las unidades de cada uno de los terminos calculados.

Problema 73. Un cilindro cargado tiene una densidad de carga proporcional a la distancia como ρ “ 1b r

32 donde b tiene

unidades de”

C´1 ¨m92

ı

. Calcule el campo en el interior del cilindro de longitud L y radio R.

Solucion 73. Partiendo del elemento de volumen en coordenadas cilındricas de la tabla 2-4, podemos calcular la carga

Q “

ż

ρ p~rq dV “

Rż

0

2πż

0

Lż

0

r32

bpr dr dθdzq “

1b

Rż

0

2πż

0

Lż

0

r52 drdθdz “

2r72

7b

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

R

0

θ|2π0 z|L0 “

˜

2R72

7b

¸

2π pLq “4π

7bR

72 L

3.3 Ley de Gauss 87

teniendo en cuenta la tabla 2-3 y remplazando sobre la ecuacion (3-25)

¿

~E ¨ d~S “Qenc

ε02πż

0

Lż

0

Er ¨ Rdϕ dz r “1ε0

ˆ

4π

7bR

72 L

˙

E p2πRLq “4π

7bε0R

72 L

E “2

7bε0R

52

queda para el lector nuevamente comprobar las unidades de cada uno de los terminos calculados.

Problema 74. Calcule: (a) El campo electrico debido a unplano infinito cargado positivo con densidad uniforme σ. (b)El campo electrico para una placa conductora infinita de granespesor y con densidad superficial σ, como se ilustra en lafigura 3-15. Finalmente, compare ambos resultados Figura 3-15: (a) Campo electrico cerca de un

plano cargado infinito cargado uniformemente.(b) Campo electrico cerca de una placa conduc-tora infinita de espesor gran espesor.

Solucion 74. Como podemos ver de la imagen 3-15(a), el campo electrico va en la direccion˘ . Como superficie gaussianaescogeremos un cilindro, de tal forma que la normal de las tapas esta en ˘ y en el plano XZ el cuerpo del cilindro

¿

S

~E ¨ d~S “

¿

S1

~E ¨ d~S`¿

S2

~E ¨ d~S`¿

S3

~E ¨ d~S “qε0

“

¿

S1

E ¨ dS `

¿

S2

~E ¨ d~S`¿

S3

E p´ q ¨ dS p´ q “qε0

“ ES1 cos 0` ES2 cosπ

2` ES3 cos 0 “

σSε0

“ 2ES “σSε0

ñ Eplano “σ

2ε0(3-29)

donde tomamos que la superficie de las tapas son exactamente iguales, cabe notar que podrıamos haber tomado unacaja como superficie gaussiana, pero el numero de integrales a resolver aumentaba a seis, sin que esto anadiese mejorcomprension a la fısica del problema. De ahı la importancia de tomar una superficie gaussiana adecuada a cada problema.

Si consideramos ahora la imagen 3-15(b). Al ser la placa conductora de gran espesor, las cargas se desplazaran hacia lasuperficie. Al igual que en el caso anterior consideraremos un cilindro como superficie gaussiana, pero ahora una de las

88 3 Electrostatica

tapas del cilindro se encuentra dentro de la placa y por lo tanto, no hay contribucion al campo sobre esta superficie¿

S

~E ¨ d~S “

¿

S1

~E ¨ d~S`¿

S2

~E ¨ d~S`¿

S3

~E ¨ d~S “qε0

“ ES cos 0 “σSε0

ñ Eplaca “σ

ε0. (3-30)

Ambos resultados son muy utiles y los utilizaremos mas adelante.

Problema 75. Una esfera hueca de radio interno ra y de radio externo rb tiene una densidad de carga

ρ “br2

en la region ra ă r ă rb, donde b tiene unidades de“

C ¨m´1‰. Calcule el campo en las tres regiones r ă ra, en la regionra ă r ă rb y para r ą rb.

Solucion 75. Para r ă ra¿

~E ¨ d~S “Qenc

ε0“

0ε0

ñ ~Erăra “ 0

en la region ra ă r ă rb

1ε0

ż

ρ p~rq dV “1ε0

¡

br2

´

r2 sin θdrdθdϕ¯

“bε0

2πż

0

πż

0

rbż

ra

sin θdrdθdϕ “ ´bε0

r|rbra

cos θ|π0 ϕ|2π0 “

4πbε0

prb ´ raq

dado que

1ε0

ż

ρ p~rq dV “

¿

~E ¨ d~S

4πbε0

prb ´ raq “ E´

4πr2¯

ñ ~Eraărărb “bε0

ˆ

rb ´ ra

r2

˙

r

mientras que para r ą rb

1ε0

ż

ρ p~rq dV “1ε0

¡

br2

´

r2 sin θdrdθdϕ¯

“bε0

2πż

0

πż

0

rż

rb

sin θdrdθdϕ “4πbε0

pr´ rbq

dado que

1ε0

ż

ρ p~rq dV “

¿

~E ¨ d~S

4πbε0

pr´ rbq “ E´

4πr2¯

ñ ~Erąrb “bε0

ˆ

r´ rbr2

˙

r.

Problema 76. Demuestre que el rotacional del campo electrico de una carga es cero para el caso de distribuciones estaticasde carga, mediante el teorema de Stokes.

3.3 Ley de Gauss 89

Solucion 76. Del teorema de Stokes (2-50) tenemos¿

c

~E ¨ d~r “ż

sup

´

∇ˆ ~E¯

¨ d~S

dado que el campo generado por una carga puntual es

~E p~rq “ kq`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

suponiendo que la carga esta en el origen~r1 “ 0, podemos escribir el campo como

~E p~rq “ kqr2 r

teniendo en cuenta d~r “ rdr` θ prdθq ` φ pr sin θdφq, entonces

¿

c

~E ¨ d~r “

rbż

ra

kqr2 r ¨

`

rdr` θ prdθq ` φ pr sin θdφq˘

“

rbż

ra

kqr2 dr “ ´ k

qr

ˇ

ˇ

ˇ

rb

ra“ kq

ˆ

1ra´

1rb

˙

.

Si consideramos que estamos en una trayectoria cerrada (esto implica que ra “ rb) tenemos queű

c~E ¨ d~r “ 0. Por lo tanto,

dado que la superficie que encierra la carga es diferente de cero entonces ∇ˆ ~E “ 0 quedando demostrado.

Problema 77. En ausencia de fuentes de campo magnetico determine ¿cual de las siguientes ecuaciones no representaun campo electrico y por que?

~E1 “ k´

xyı` 2xz ` 3xzk¯

~E2 “ k´

y2 ı`´

2xy` z2¯

` 2yzk¯

Solucion 77. La mejor forma de saber si las relaciones anteriores representan un campo electrico, es calculando el rota-cional del campo, el cual debe ser cero si no estamos considerando fuentes de campo magnetico, por lo tanto

∇ˆ ~E1 “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

xy 2xz 3xz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

By3xz´

B

Bz2xz

˙

ı´ˆ

B

Bx3xz´

B

Bzxy˙

`

ˆ

B

Bx2xz´

B

Byxy˙

k

“ ´2xı´ 3z ` k p2z´ xq ‰ 0

por lo tanto, la relacion ~E1 no representa un campo electrico. Para el campo ~E2

∇ˆ ~E2 “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

y2 2xy` z2 2yz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

By2yz´

B

Bz

´

2xy` z2¯

˙

ı´ˆ

B

Bx2yz´

B

Bzy2˙

`

ˆ

B

Bx

´

2xy` z2¯

´B

Byy2˙

k

“ p2z´ 2zq ı´ p0q ` p2y´ 2yq k “ 0

siendo entonces ~E2 representativo de un campo electrico.

90 3 Electrostatica

3.4. Potencial electrostatico, trabajo y energıa

Como hemos visto hasta ahora hemos calculado el campo electrico a partir la fuerza electrica y mediante laley de Gauss. Sin embargo, serıa mucho mas sencillo poder calcular el campo electrico a partir de una relacionescalar debido a la facilidad en el calculo y dado que el campo electrico es un campo conservativo. Podemosencontrar una funcion escalar denominada potencial electrostatico que nos facilite el trabajo de calcular el cam-po electrico. Otra razon de tener una relacion escalar, como el potencial electrostatico es debido a las llamadassuperficies equipotenciales para las cuales el valor numerico de la funcion que representa el campo electricoes constante.

En consecuencia, lo primero que debemos determinar es si la fuerza electrica es una fuerza conservativa, paralo cual es necesario que el rotacional de la fuerza sea cero.

Problema 78. Demostrar que la fuerza electrica es una fuerza conservativa.

Solucion 78. Partiendo de la definicion de fuerza electrica, debemos calcular su rotacional

∇ˆ ~F p~rq “ ∇ˆ kqQ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“ kqQ∇ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

expandiendo~r y~r1 tenemos

~r “ xı` y ` zk

~r1 “ x1 ı` y1 ` z1k`

~r´~r1˘

“`

x´ x1˘

ı``

y´ y1˘

``

z´ z1˘

kˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “

b

px´ x1q2 ` py´ y1q2 ` pz´ z1q2

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

3“

´

`

x´ x1˘2``

y´ y1˘2``

z´ z1˘2¯

32

por facilidad en el calculo, podemos definir X “`

x´ x1˘

, Y “`

y´ y1˘

y Z “`

z´ z1˘

y por lo tanto

∇ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBX

BBY

BBZ

X

pX2`Y2`Z2q32

Y

pX2`Y2`Z2q32

Z

pX2`Y2`Z2q32

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

¨

˝

B

BYZ

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32´B

BZY

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚ı´

¨

˝

B

BXZ

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32´B

BZX

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚

`

¨

˝

B

BXY

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32´B

BYX

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚k

“

¨

˝´3YZ

`

X2 `Y2 ` Z2˘

52` 3Z

Y`

X2 `Y2 ` Z2˘

52

˛

‚ı´

¨

˝´3XZ

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32` 3Z

X`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚

`

¨

˝´3XY

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32` 3Y

X`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚k

“ 0

3.4 Potencial electrostatico, trabajo y energıa 91

en consecuencia, la fuerza electrica es una fuerza conservativa

∇ˆ ~F p~rq “ kqQ∇ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|“ 0.

Si partimos de la definicion de trabajo

W “

ż

C

~F ¨ d~l

considerando un elemento de lınea en coordenadas esfericas, dado el caracter radial7 de la fuerza electrica

W “

ż

C

~F ¨ d~l “ż

C

kqQr2 r ¨

`

drr` rdθθ ` r sin θdφφ˘

“ kqQ

r fż

ri

1r2 dr “ ´kqQ

1r

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r f

ri

“ ´kqQ

˜

1r f´

1ri

¸

(3-31)

ası entonces, el trabajo es independiente del camino recorrido por la carga y solo depende de la posicion inicialy la posicion final. Como ya se demostro que la fuerza electrica es conservativa, es posible definir una energıapotencial electrica asociada a esta

W “ ´∆U “ ´

´

U f ´Ui

¯

“ ´kqQ

˜

1r f´

1ri

¸

.

Otra forma de calcular el trabajo realizado sobre una carga puntual q, es llevarla con velocidad constante desdea hasta b en presencia de un campo electrico

WaÑb “

bż

a

~Fext ¨ d~r “ q

bż

a

~E ¨ d~r “ ´q

bż

a

∇φ ¨ d~r “ ´q

bż

a

dφ “ ´q pφ pbq ´ φ paqq (3-32)

donde tuvimos en cuenta que ~E “ ´∇φ. Dividiendo por la carga tenemos

WaÑbq

“ ´pφ pbq ´ φ paqq “

bż

a

~E ¨ d~r

el resultado anterior implica que el campo electrico es un campo conservativo y por lo tanto¿

C

~E ¨ d~r “ 0

este hecho, era de esperarse debido a que el potencial escalar proviene del gradiente de un campo vectorial.Utilizando el teorema de Stokes (2-50) obtenemos

¿

c

~E ¨ d~r “

ż

sup

´

∇ˆ ~E ¨ n¯

dS

ñ ∇ˆ ~E “ 0.

(3-33)

este resultado es cierto, si solo tenemos en cuenta cargas estacionarias, ya que si consideramos campos magneti-cos que varıan en el tiempo debemos cambiar la relacion anterior como lo veremos en las secciones 8.5 y 10.1.

7Las fuerzas radiales o centrales, son fuerzas conservativas en las cuales la direccion del vector se orienta siempre hacia un mismopunto fijo. El caracter radial, significa que va en la direccion del radio de giro hacia el interior (centrıpeta) o hacia el exterior (centrıfuga),es decir que es perpendicular a la trayectoria de un cuerpo que esta girando

92 3 Electrostatica

Podemos ver adicionalmente, que al sumarle una constante al potencial electrostatico se reproduce el campoelectrico sin cambio. Esto es, si tenemos un potencial electrostatico φ p~rq, el campo sera

~E p~rq “ ´∇φ p~rq (3-34)

y al plantear otro potencial φ´ p~rq “ φ p~rq ` C, donde C es una constante

~E p~rq “ ´∇φ´ p~rq “ ´∇ pφ p~rq ` Cq “ ´∇φ p~rq

obteniendo el mismo campo8. Esto permite cierta arbitrariedad en la definicion del potencial, la cual puedesolucionarse si fijamos el valor del potencial en un punto dado o hacemos el potencial cero en el infinito.

Problema 79. Calcule el potencial electrostatico de forma general para una distribucion de carga localizada partiendo dela relacion

~E “ ´∇φ.

Solucion 79. Multiplicando el termino ~E “ ´∇φ a ambos lados por el elemento de lınea

~E ¨ d~l “ ´∇φ ¨ d~l

´~E ¨ d~l “

ˆ

Bφ

Bxı`

Bφ

By`

Bφ

Bzk˙

¨

´

dxı` dy ` dzk¯

´~E ¨ d~l “ dφ

podemos resolver la integral sobre el potencial, tomando solo los puntos iniciales y finales

~rż

~rre f

dφ “ ´

~rż

~rre f

~E ¨ d~l

φ p~rq ´ φ´

~rre f

¯

“ ´

~rż

~rre f

~E ¨ d~l

φ p~rq “ φ´

~rre f

¯

´

~rż

~rre f

~E ¨ d~l (3-35)

si colocamos el punto de referencia en el infinito, podemos definir el potencial en ese lugar sera cero. Esto hace que laecuacion anterior la podamos escribir como

φ p~rq “ ´

~rż

8

~E ¨ d~l (3-36)

Es interesante anotar que la escogencia de φ p8q “ 0 es posible en distribuciones localizadas de carga, debidoa que al estar confinadas en una region del espacio, si nos alejamos mucho podremos ver la distribucion decarga como una carga puntual. Y mucho mas de la distancia a la cual vemos la configuracion de carga como unpunto, podremos definir el cero de potencial. Sin embargo, para distribuciones de carga no localizadas como loserıa un plano infinito, la escogencia del cero de potencial en el infinito no podrıa llevarse acabo y tendrıamosdivergencias en el potencial.

8A este tipo de transformaciones del campo se le suele llamar tambien transformaciones Gauge o de calibracion y como vemos, tantoel campo electrostatico, como el trabajo son invariantes Gauge


Si queremos calcular el trabajo necesario para formar una distribucion estatica de cargas puntuales, podemoshacerlo trayendo una a una las cargas desde un punto de referencia donde el potencial sea cero hasta un puntodeterminado~r

W8Ñr “ ´pφ p8q ´ φ p~rqq “ qφ p~rq “ U p~rq

ası entonces, el trabajo necesario para traer la primera carga es W1 “ 0 , ya que no hay cargas que produzcafuerzas, ni campos. Al traer la segunda carga desde el infinito esta se mueve en el potencial φ1 p~rq generadopor la primera carga. Por lo tanto, el trabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una posicion~r2es

W2 “ q2φ1 “ kq1q2

r12

para la tercera carga debido a las cargas anteriores el trabajo sera

W3 “ q3 pφ1 ` φ2q “ kq3

ˆ

q1

r13`

q2

r23

˙

“ kˆ

q1q3

r13`

q2q3

r23

˙

considerando una cuarta carga

W4 “ q3 pφ1 ` φ2 ` φ3q “ kˆ

q1q4

r14`

q2q4

r24`

q3q4

r34

˙

.

Si suponemos que el sistema contiene solamente cuatro cargas, el trabajo total sera

WT “ W1 `W2 `W3 `W4

“ k´

q1q2r12`

q1q3r13`

q2q3r23`

q1q4r14`

q2q4r24`

q3q4r34

¯

“ k´

q1q2r12`

q1q3r13`

q1q4r14`

q2q3r23`

q2q4r24`

q3q4r34

¯

con base en lo anterior, si queremos pasar de nuestro sistema de cuatro cargas a un sistema con n cargas, eltrabajo total lo podemos escribir como

WT “

n´1ÿ

i“1

nÿ

jąi

kqiqj

ˇ

ˇ~ri ´~rjˇ

ˇ

“ ∆U

reescribiendo la ecuacion anterior tenemos

WT “ ∆U “12

nÿ

i“1

nÿ

j“1j‰i

kqiqj

ˇ

ˇ~ri ´~rjˇ

ˇ

debido a que estamos haciendo el conteo doble vez de los terminos i “ j es necesario multiplicar por 12 .

Separando el conteo para las dos cargas tenemos

U “12

nÿ

i“1

qi

nÿ

j“1j‰i

kqj

ˇ

ˇ~ri ´~rjˇ

ˇ

dado que el potencial generado en la posicion~r por las cargas qj situadas en~rj es

φ p~rq “nÿ

j“1

kqj

ˇ

ˇ~r´~rjˇ

ˇ

(3-37)

94 3 Electrostatica

entoncesnÿ

j“1j‰i

kqj

ˇ

ˇ~ri ´~rjˇ

ˇ

“ φi p~riq

finalmente, obtenemos

U “12

nÿ

i“1

qi

nÿ

j“1j‰i

kqj

ˇ

ˇ~ri ´~rjˇ

ˇ

“12

nÿ

i“1

qiφi p~riq . (3-38)

Problema 80. Calcule el potencial para cada una de las car-gas, la energıa potencial electrostatica total del sistema quese ilustra en la figura 3-16. Tenga en cuenta que la distanciaentre cada una de las cargas es a.

Figura 3-16:

Solucion 80. Dado que tenemos un triangulo equilatero, cada uno de los angulos internos del triangulo sera π3 y por lo

tanto la posicion de la carga q` es~rq` “ a sin`

π3

˘

k. Partiendo de la definicion del potencial para distribuciones discretasde carga

φ p~rq “ knÿ

i“1

qiˇ

ˇ~r´~r1iˇ

ˇ

el potencial sobre la posicion de la carga q` se debe a la contribucion de las cargas 2q` y q´ esto es

φq p~rq “ k

¨

˚

˚

˝

2q´

`

a sin`

π3

˘˘2`` a

2

˘2¯

12´

q´

`

a sin`

π3

˘˘2`` a

2

˘2¯

12

˛

‹

‹

‚

“ kq

¨

˚

˚

˚

˚

˝

1ˆ

´

a?

32

¯2`` a

2

˘2˙

12

˛

‹

‹

‹

‹

‚

“kqa

para la posicion de la carga 2q`

φ2q p~rq “ k

¨

˚

˚

˚

˚

˝

´q`

a2˘

12`

qˆ

` a2

˘2`

´

a?

32

¯2˙

12

˛

‹

‹

‹

‹

‚

“ kqˆ

´1a3 `

1a3

˙

“ 0

y para la posicion de la carga q´

φ´q p~rq “ k

¨

˚

˚

˚

˚

˝

2q`

a2˘

12`

qˆ

` a2

˘2`

´

a?

32

¯2˙

12

˛

‹

‹

‹

‹

‚

“ kqˆ

2a`

1a

˙

“ 3kqa

.


La energıa electrostatica la podemos calcular teniendo en cuenta la ecuacion (3-38)

U “12

nÿ

i“1

qiφi p~riq

“12`

qφ`q p~rq ` 2qφ2q p~rq ` p´qq φ´q p~rq˘

“12

ˆ

qkqa` 2q p0q ` p´qq k

3qa

˙

“ ´kq2

a

o de la ecuacion (3-31)

U “ kÿ qiqj

rij

“ kˆ

2q pqqa

`2q p´qq

a`

q p´qqa

˙

“ ´kq2

a.

Problema 81. Tres cargas se situan en las esquinas de uncuadrado de lado a como se ilustra en la imagen 3-17. Calculeel trabajo para traer la carga q` colocandola en la esquinanumero 3, y el trabajo para ensamblar la configuracion entera(las cuatro cargas).

Figura 3-17:

Solucion 81. Tenemos que el potencial y el trabajo para colocar la carga `q en el punto 3 sera

φ “ kÿ qi

rij“ k

ˆ

´qa`

q?

2a`´qa

˙

“ kqa

ˆ

1?

2´ 2

˙

ñ W3 “ qφ “ qˆ

kqa

ˆ

1?

2´ 2

˙˙

“ kq2

a

ˆ

1?

2´ 2

˙

mientras que el trabajo para montar todo el ensamble sera

W “ kÿ qiqj

rij

“ kˆ

q1q1

r11`

q1q2

r12`

q1q3

r13`

q1q4

r14`

q2q3

r23`

q2q4

r24`

q3q4

r34

˙

“ kˆ

0´q2

a`

q2?

2a´

q2

a´

q2

a`

q2?

2a´

q2

a

˙

“ kˆ

2q2?

2a´ 4

q2

a

˙

“ k2q2

a

ˆ

1?

2´ 2

˙

.

96 3 Electrostatica

3.4.1. Potencial electrostatico para distribuciones continuas de carga

Para formar distribuciones volumetricas podemos hacerlo trayendo elementos diferenciales de carga desde elinfinito. La naturaleza conservativa de las interacciones electrostaticas nos garantiza que la energıa total finalde la distribucion sera independiente del orden en que se traigan las cargas.

Si suponemos que en cierta etapa del proceso de ((armado de la carga)) hemos acumulado una cantidad decarga dq1 en un volumen dV p~rq

dq1 “ ρ1 p~rq dV p~rq

donde ρ1 p~rq “ αρ p~rq es la densidad de carga en~r en esa etapa del proceso y 0 ď α ď 1 (α es independiente dela posicion). Si ahora traemos desde el infinito un elemento de carga

dq p~rq “ pdαq ρ p~rq dV p~rq (3-39)

hasta el elemento de volumen dV p~rq, la nueva carga presente sera

dq2 p~rq “ αρ p~rq dV p~rq ` dαρ p~rq dV p~rq “ pα` dαq ρ p~rq dV p~rq

para calcular el trabajo realizado al traer el nuevo diferencial de carga, es necesario que calcular el potencialdebido al proceso de construccion de carga, para lo cual usaremos la ecuacion de Poisson9

∇2φ p~rq “ ´ρ

ε0

multiplicando por un constante α obtenemos

∇2 pαφ p~rqq “ ´αρ

ε0(3-40)

dado que αρ p~rq “ ρ1 p~rq implica un cambio en la densidad de carga, es de esperarse que el potencial tambiencambie a un φ1 p~rq

∇2φ1 p~rq “ ´ρ1

ε0“ ´

αρ

ε0(3-41)

igualando las ecuaciones (3-40) y (3-41), obtenemos la relacion del potencial en funcion del incremento de carga

φ1 p~rq “ αφ p~rq (3-42)

Teniendo en cuenta la ecuacion (3-32), podemos ver que el trabajo realizado para traer el elemento de carga dqes

dW “ φ1 p~rq dq (3-43)

remplazando las ecuaciones (3-42) y (3-39) en la ecuacion (3-43) tenemos

dW “ φ1 p~rq dq “ αφ p~rq ppdαq ρ p~rq dV p~rqq “ αdα ρ p~rq φ p~rq dV p~rq

debido a que necesitamos seguir trayendo elementos diferenciales de carga dq p~rq para completar la carga qrealizaremos primero la integral en α

W “

1ż

0

α dα

ż

V

ρ p~rq φ p~rq dV p~rq “12

ż

V

ρ p~rq φ p~rq dV (3-44)

9La ecuacion de Poisson nos permite calcular del potencial electrico a partir de la densidad de carga en un punto del espacio. Sinembargo, ahora mismo solo nos interesa la relacion como tal, en el capitulo 4.1 analizaremos mejor la ecuacion de Poisson.


es importante darnos cuenta de que la integral de volumen debe realizarse donde hay carga. Sin embargo, sila integral se realiza sobre todo el espacio, las regiones donde no hay carga no van a contribuir. Al tener encuenta todo el espacio, el potencial electrostatico es

φ p~rq “ż

ρ`

~r1˘

dV1

|~r´~r1|(3-45)

de modo que al remplazar en la ecuacion (3-44) obtenemos

Uint “12

ĳ

ρ p~rq ρ`

~r1˘

dV dV1

|~r´~r1|

podemos darnos de cuenta que este metodo de calculo esta asociando la energıa electrostatica directamente alas cargas, como si la energıa residiera en las cargas ya que en los sitios de ρ “ 0 no hay contribucion a Uint.

Un desarrollo adicional permite asociar la energıa con el campo electrostatico, como si la energıa residiera enel campo, esto es

Uint “12

ż

V

ρ p~rq φ p~rq dV “12

ż

V

ε0∇ ¨ ~E p~rq φ p~rq dV (3-46)

donde hemos tenido en cuenta la ley de Gauss en forma diferencial ∇ ¨ ~E p~rq= ρε0

.

Debido a que la divergencia del producto de un campo escalar y un campo vectorial es analoga a la de laderivada de un producto

∇ ¨´

~E p~rq φ p~rq¯

“ ~E p~rq ¨ p∇φ p~rqq ` φ p~rq´

∇ ¨ ~E p~rq¯

ñ φ p~rq´

∇ ¨ ~E p~rq¯

“ ´~E p~rq ¨ p∇φ p~rqq `∇ ¨´

~E p~rq φ p~rq¯

reescribimos la integral (3-46) como

Uint “ε0

2

ż

V

´

∇ ¨ ~E p~rq¯

φ p~rq dV

“ε0

2

ż

V

”

´~E p~rq ¨ p∇φ p~rqq `∇ ¨´

~E p~rq φ p~rq¯ı

dV

“ ´ε0

2

ż

V

~E p~rq ¨ p∇φ p~rqq dV `ε0

2

ż

V

∇ ¨´

~E p~rq φ p~rq¯

dV

para la primera integral tendremos en cuenta que ~E p~rq “ ´∇φ p~rq, mientras que para la segunda integralconvertiremos la integral de volumen en una integral de superficie mediante el teorema de la divergencia

¿

sup

~F ¨ d~S “ż

V

∇ ¨ ~FdV

en consecuencia

Uint “ε0

2

ż

V

~E p~rq ¨ p∇φ p~rqq dV `ε0

2

ż

V

∇ ¨´

~E p~rq φ p~rq¯

dV

“ε0

2

ż

V

~E p~rq ¨ ~E p~rq dV `ε0

2

¿

sup

φ p~rq~E p~rq ¨ d~S

“ε0

2

ż

V

E p~rq2 dV `ε0

2

ż

S

φ p~rq~E p~rq ¨ ndS

98 3 Electrostatica

la ecuacion anterior es valida para cualquier volumen siempre y cuando toda la carga este contenida en dichovolumen. Para resolver la ultima integral podemos hacerlo teniendo en cuenta como se comporta cada unode los terminos en funcion de la distancia. El campo electrico depende con la distancia de la forma E p~rq9 1

r2 ,el potencial de la forma φ p~rq9 1

r y la superficie S9r2 de modo que todo el integrando se comporta como1r3 r2 ” 1

r , y al tener en cuenta un volumen que tienda a infinito la segunda integral tendera a cero, esto debidoa que ambas integrales estan relacionadas. Por lo tanto la energıa interna la podemos escribir como

Uint “ε0

2

ż

V

E p~rq2 dV (3-47)

bajo la relacion anterior, podemos definir la densidad de energıa del campo electrostatico pεq

ε “ε0

2E p~rq2 ñ U “

ż

ε dV

Finalmente, podemos concluir que la energıa potencial electrostatica esta asociada a la configuracion particularde un sistema de cargas puntuales, mas que asociada en particular a las cargas o los campos.

Problema 82. Calcule la energıa electrostatica en la superficie de un cascaron esferico de radio R, uniformemente cargadoy con carga total q.

Solucion 82. Calcularemos la energıa por dos metodos diferentes para demostrar la equivalencia de los resultados. Desdela ecuacion (3-44) tenemos

W “12

ż

V


ż

V

ρ p~rq´

kqR

¯

dV “12

kqR

ż

V

ρ p~rq dV “ kq2

2R

es importante notar que al realizar la integral, la hacemos sobre el volumen que encierra la densidad de carga y por elloobtenemos la carga total encerrada.

La otra forma en que resolveremos este problema, consiste en partir directamente del campo electrico del cascaron, el cuales cero en el interior y fuera de este es

~E p~rq “ kqr2 r ñ E2 “ k2 q2

r4

al remplazar en la ecuacion (3-47) obtenemos

Uint “ε0

2

ż

V

E2dV “ε0

2

ż

V

ˆ

k2 q2

r4

˙

dV

“ k2 q2ε0

2

2πż

0

πż

0

8ż

R

ˆ

1r4

˙

´

r2 sin θdr dθ dφ¯

“ k2 q2ε0

21r

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8

Rcos θ|π0 φ|2π

0

“ k2 q24πε0

21R“ k

q2

2R.

Por lo tanto, los dos metodos del calculo de la energıa son completamente equivalentes.

Problema 83. Calcule la energıa de un condensador de placas paralelas, el cual tiene una distancia de separacion d entrelas placas.


Solucion 83. Tenemos varias formas diferentes para calcular la energıa del condensador:

Calculo desde la fuerza electrica: Dado que el campo en una placa es

E “σ

2ε0

la fuerza sobre una carga sera

F “ qE “ σAˆ

σ

2ε0

˙

“Aσ2

2ε0

y por lo tanto, el trabajo es

W “ ~F ¨ d~s “ˆ

Aσ2

2ε0

˙

d “Adσ2

2ε0“ Uint.

Calculo desde el campo electrico: El campo en un condensador de placas paralelas es cero en las regiones fuera delcondensador y E “ σ

ε0en el interior

Uint “ε0

2

ż

V

E2dV “ε0

2

ż

V

ˆ

σ

ε0

˙2dV “

ε0

2

ˆ

σ

ε0

˙2Ad “

12

σ2 Adε0

.

Calculo desde el potencia electrico: El potencial en la region interior del condensador es φ “ σε0

d entonces

Uint “12

ż

V


ż

ρ p~rqˆ

σ

ε0d˙

dA “12

σdε0

ż

ρ p~rq dA “12

σdε0

Q “12

σ2 Adε0

donde tuvimos en cuenta que Q “ σA .

Calculo desde la capacitancia10: La energıa de un condensador de placas paralelas es

Uint “12

Cφ2

donde C denota la capacitancia

C “qφ“

σAσε0

d“

σAσε0

d“

σAε0

σd“

Aε0

d

la cual como vemos no depende de la carga, sino de la geometrıa del condensador. Ası entonces

Uint “12

Aε0

d

ˆ

σ

ε0d˙2“

12

Aε0

d

˜

σ2

ε20

d2

¸

“12

Aσ2dε0

.

Resulta muy ilustrativo calcular la energıa interna de multiples formas, ya que muestra la equivalencia de las formas decalculo.

Problema 84. Dos cascarones esfericos concentricos de radios ra y rb tienen una carga distribuida uniformemente q y´qrespectivamente. Calcule la energıa para construir dicha configuracion.

Solucion 84. Tenemos de forma general que

W “ε0

2

ż

E2dV

el campo electrico es ~E “ k qr2 r entre ra ă r ă rb y cero en cualquier otro lugar del espacio, remplazando tenemos

W “ε0

2

ż

E2dV “ε0

2

2πż

0

πż

0

rbż

ra

´

kqr2

¯2r2 sin θdr dθ dφ “

4πε0

2k2q2

rbż

ra

drr2 “ ´k

q2

21r

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

rb

ra

“ kq2

2

ˆ

1ra´

1rb

˙

.

10Debemos recordar que la capacitancia o la capacidad electrica, es la propiedad que tiene un arreglo para mantener carga electrica, lacual tambien es una medida de la cantidad de energıa electrica almacenada para una determinada diferencia de potencial electrostatica.

100 3 Electrostatica

Partiendo de la ecuacion (3-36)

φ p~rq “ ´

~rż

8

~E ¨ d~l (3-48)

y teniendo en cuenta que el potencial no es un observable fısico, sino que el observable real es la diferencia depotencial. Es importante considerar un punto de referencia

φ p~rq “ ´

rż

O

~E p~rq ¨ d~l (3-49)

donde O es algun punto de referencia. Esto nos permite plantearnos la diferencia de potencial entre dos puntosa y b como

φ pbq ´ φ paq “ ´

bż

O

~E p~rq ¨ d~l ´

¨

˝´

aż

O

~E p~rq ¨ d~l

˛

‚

“ ´

bż

O

~E p~rq ¨ d~l `

aż

O

~E p~rq ¨ d~l

“ ´

bż

O

~E p~rq ¨ d~l ´

Oż

a

~E p~rq ¨ d~l “ ´

bż

a

~E p~rq ¨ d~l. (3-50)

Problema 85. Calcule el potencial para un cascaron esfericode carga Q en todo el espacio, como el que se ilustra en lafigura 3-18, y grafique el potencial en funcion de la distancia.

Figura 3-18:

Solucion 85. El campo electrico en cualquier punto del espacio debido al cascaron es

~E “

#

k Qr2 r para r ą R

0 para r ă R


partiendo de la ecuacion (3-35) para r ą R tenemos

φ p~rq|rąR “ φ´

~rre f

¯

´

rż

8

~E ¨ d~l

“ 0´

rż

8

kQr2 r ¨

`


“ ´

rż

8

kQr2 dr “ k

Qr

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r

8

“ kQˆ

1r´

18

˙

“ kQr

(3-51)

como lo habıamos discutido anteriormente. Dado que el cascaron esta confinado a una region del espacio, podemosalejarnos lo suficiente para ver el cascaron sera como una carga puntual y ası poder definir el potencial de referenciaφ´

~rre f

¯

“ 0 mas alla de dicho punto.

Para calcular el potencial en la parte interna del cascaron r ď R, debemos plantear un potencial de referencia y dado queel unico valor que conocemos del potencial es el valor de este sobre la superficie

φ prq|r“R “ kQR

este sera nuestro valor de referencia y remplazando en la ecuacion (3-35)

φ p~rq|răR “ φ´

~rre f

¯

´

rż

O

~E ¨ d~l “ kQR´

rż

O

0hkkikkj

~E ¨ d~l “ kQR´ 0 “ k

QR

(3-52)

por lo tanto, el potencial dentro del cascaron es constante.

Figura 3-19: Grafico del potencial electrostatico contra la distancia para una cascaron esferico.

Para obtener la forma del potencial electrostatico para configuraciones continuas de carga, partiremos de la


definicion del campo electrico de la ecuacion (3-12)

~E p~rq “ kż dq

`

~r1˘ `

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

dado que

´∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

“~r´~r1

|~r´~r1|3(3-53)

podemos reescribir la ecuacion de campo electrico como

~E p~rq “ ´kż

dq`

~r1˘

∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

ya que el operador nabla ∇ opera sobre la variable~r pero no sobre~r1(debido a que la posicion de la carga estarepresentada por~r1 mientras que la posicion donde queremos calcular el campo es el punto~r) podemos sacarel operador nabla de la integral

~E p~rq “ ´∇ż

k

˜

dq`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

lo cual nos permite escribir~E p~rq “ ´∇φ p~rq (3-54)

donde

φ p~rq “ kż dq

`

~r1˘

|~r´~r1|. (3-55)

Problema 86. Calcule el potencial en todo punto del espa-cio, debido a una carga electrica colocada en z “ a, como seilustra en la figura 3-20. La solucion debe estar expresada enterminos de los polinomios de Legendre.

Figura 3-20:

Solucion 86. El potencial de una carga aislada es

φ p~rq “ kq

|~r´~r1|


x “ r sin θ cos ϕ

y “ r sin θ sin ϕ

z “ r cos θ

entonces la posicion de la carga y del punto P lo podemos escribir como

~r1 “ ak

~r “ r sin θ cos ϕı` r sin θ sin ϕ` r cos θk


por lo tanto

~r´~r1 “ r sin θ cos ϕı` r sin θ sin ϕ` pr cos θ ´ aq kˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “

b

pr sin θ cos ϕq2 ` pr sin θ sin ϕq2 ` pr cos θ ´ aq2

“

b

r2 sin2 θ`

cos2 ϕ` sin2 ϕ˘

` a2 ´ 2a cos θ ` r2 cos2 θ

“

b

r2`

sin2 θ ` cos2 θ˘

` a2 ´ 2ar cos θ

“a

r2 ` a2 ´ 2ar cos θ

si suponemos que r ă |a|, lo anterior lo podemos escribir como

1r2“

1|~r´~r1|

“1

?r2 ` a2 ´ 2ar cos θ

“

1a

1a

b

r2

a2 `a2

a2 ´2ara2 cos θ

“1a

ˆ

1`´ r

a

¯2´

2ra

cos θ

˙´ 12

el termino anterior podemos expandirlo como se realizo en (3) obteniendo

ˆ

1`´ r

a

¯2´

2ra

cos θ

˙´ 12“ 1´

12

ˆ

´ ra

¯2´

2ra

cos θ

˙

´12

ˆ

´12´ 1

˙

12

ˆ

´ ra

¯2´

2ra

cos θ

˙2` ...

“ 1`ra

cos θ ´r2

2a2 `38

ˆ

1a4 r4 ´

4a3 r3 cos θ `

4a2 r2 cos2 θ

˙

` ...

“ 1`ra

cos θ ´r2

2a2 `3

2a2 r2 cos2 θ ´3

2a3 r3 cos θ `3

8a4 r4 ` ...

“ 1`ra

cos θ `r2

a2

ˆ

32

cos2 θ ´12

˙

´3

2a3 r3 cos θ `3

8a4 r4 ` ... (3-56)

si tenemos en cuenta que los polinomios de Legendre, lo cuales aparecen como solucion de la ecuacion de Laplace enproblemas en coordenadas esfericas, donde los terminos Pl pcos θq son:

l Pl pcos θq

0 11 cos θ

2 12

`

3 cos2 θ ´ 1˘

3 12 cos θ

`

5 cos2 θ ´ 3˘

Tabla 3-1: Primeros polinomios de Legendre.

Con base en la tabla anterior podemos escribir la ecuacion (3-56) en terminos de los polinomios de Legendre como

1r2“

1a

ˆ

1`´ r

a

¯2´

2ra

cos θ

˙´ 12“

1a

8ÿ

0

Pl pcos θq´ r

a

¯l(3-57)

y por lo tanto, el potencial sera

φ p~rqră|a| “ kq

|~r´~r1|“ k

qa

8ÿ

0

Pl pcos θq´ r

a

¯l(3-58)

Si suponemos que r ą a

1r2“

1|~r´~r1|

“1

?r2 ` a2 ´ 2ar cos θ

“

1r

1r

b

r2

r2 `a2

r2 ´2arr2 cos θ

“1r

ˆ

1`´ a

r

¯2´

2ar

cos θ

˙´ 12


expandiendo este termino como lo hicimos anteriormente para obtener la ecuacion (3-57) obtenemos

1r2“

1r

ˆ

1`´ a

r

¯2´

2ar

cos θ

˙´ 12“

1r

8ÿ

0

Pl pcos θq´ a

r

¯l

ası entonces el potencial sera

φ p~rqrąa “ kq

|~r´~r1|“ k

qr

8ÿ

0

Pl pcos θq´ a

r

¯l.

Problema 87. Calcule de forma directa el potencial de uncascaron esferico de radio R en el exterior, como el que seilustra en la figura 3-21.

Figura 3-21:

Solucion 87. Al tener un cascaron realmente tenemos es una densidad superficial de carga, por lo tanto, la ecuacion(3-55) la escribimos como

φ p~rq “ kż

A

σ`

~r1˘

dA|~r´~r1|

debido a la simetrıa del problema, plantearemos la solucion en coordenadas esfericas,

~r “ rk

~r1 “ R sin θ cos ϕı` R sin θ sin ϕ` R cos θk

por lo tanto

~r´~r1 “ ´R sin θ cos ϕı´ R sin θ sin ϕ` pr´ R cos θq kˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “

b

pR sin θ cos ϕq2 ` pR sin θ sin ϕq2 ` pr´ R cos θq2

“

b

R2 sin2 θ`

cos2 ϕ` sin2 ϕ˘

` r2 ´ 2r cos θ ` R2 cos2 θ

“

b

R2`

sin2 θ ` cos2 θ˘

` r2 ´ 2rR cos θ

“a

R2 ` r2 ´ 2rR cos θ

y teniendo en cuenta que el elemento dA hace referencia al elemento de superficie, de la tabla 2-3 tenemos

dAR“cte “ R2 sin θ dθ dϕ r


Al remplazar lo anterior en la ecuacion del potencial

φ p~rq “ kż

A

σ`

~r1˘

dA|~r´~r1|

“ kσ

πż

0

2πż

0

R2 sin θ dθ dϕ?


“ kσ

πż

0

R2 sin θ dθ?

R2 ` r2 ´ 2rR cos θϕ|2π

0

“ kσ2π

πż

0

R2 sin θ dθ?


para resolver esta integral planteamos la sustitucion

u “ R2 ` r2 ´ 2rR cos θ

du “ ´2rR p´ sin θq dθ ñ sin θdθ “du

2rR

por lo tanto

φ p~rq “ kσ2π

πż

0

R2 sin θ dθ?


“ kσ2πR2πż

0

12rR

u´12 du

“ kσπR

ru

12

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

“ kσπR

r

a

R2 ` r2 ´ 2rR cos θˇ

ˇ

ˇ

π

0

“ k2σπR

r

´

a

R2 ` r2 ´ 2rR cos π´a

R2 ` r2 ´ 2rR cos 0¯

“ k2σπR

r

ˆ

b

pr` Rq2 ´b

pr´ Rq2˙

Un aspecto interesante al factorizar el termino?

R2 ` r2 ´ 2rR, es que podemos hacerlo de dos formas completamente

equivalentes, comob

pR´ rq2 yb

pr´ Rq2, lo cual en primera instancia podrıa llevarnos a soluciones diferentes. Sinembargo, debemos tener en cuenta que lo que estamos haciendo realmente es calculando un valor absoluto, por lo tanto,para el caso de

r ą R ñ

$

&

%

b

pR´ rq2 ñ r´ Rb

pr´ Rq2 ñ r´ R


con lo cual

φ p~rq|rąR “ k2σπR

r

ˆ

b

pr` Rq2 ´b

pr´ Rq2˙

“ k2σπR

rpr` R´ r` Rq

“ k4σπR2

r

“ kQr

donde al tener una densidad superficial de carga uniforme tenemos que

σ “QA“

Q4πR2 ñ Q “ σ4πR2

.

Mientras que si

r ă R ñ

$

&

%

b

pR´ rq2 ñ R´ rb

pr´ Rq2 ñ R´ r

entonces

φ p~rq|răR “ k2σπR

r

ˆ

b

pr` Rq2 ´b

pr´ Rq2˙

“ k2σπR

rpr` R´ R` rq

“ 4πRkσ

“ 4πRkˆ

Q4πR2

˙

“QR

k

ambos resultados fueron los que ya habıamos obtenido, pero calculados a partir del campo electrico en las ecuaciones (3-51)y (3-52).

Problema 88. Calcule el potencial en el punto P, debido auna lınea finita de carga bajo la configuracion mostrada en lafigura 3-22.

Figura 3-22:

Solucion 88. Teniendo en cuenta que la carga electrica de la lınea finita la podemos escribir como q “ λL, entonces

dq “ λd` “ λdx

mientras que~r “ zk y~r1 “ xı, por elloˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “?

z2 ` x2 , remplazando en la ecuacion (3-55)

φ p~rq “ kż

dq|~r´~r1|

“ k

Lż

0

λdx?

x2 ` z2“ kλ

Lż

0

dx?

x2 ` z2


utilizando una tabla de integrales encontramos queş dx?

x2`a2 “ ln´

2x` 2?

x2 ` a2¯

, por lo tanto

φ “ kλ ln´

2x` 2a

x2 ` z2¯ˇ

ˇ

ˇ

L

0

“ kλ”

lnp2L` 2a

L2 ` z2q ´ ln 2zı

“ kqL

ln

˜

L`?

L2 ` z2

z

¸

.

Problema 89. Un atomo de hidrogeno esta compuesto por un proton y un electron, los cuales estan aproximadamentea una distancia de 0.529ˆ 10´10m. Calcule: (a) La ecuacion del campo electrico. (b) El valor del potencial al cual elelectron esta sujeto y la energıa potencial del sistema en electronvoltios. (c) La relacion de la fuerza electrica y la fuerzagravitacional para dicho sistema. (d) La velocidad promedio del electron alrededor del proton. Tenga en cuenta que me “

9.1ˆ 10´31Kg, mp “ 1.67ˆ 10´27Kg y la constante de gravitacion universal es G “ 6.67ˆ 10´11N ¨ Kg´2 ¨m2.

Solucion 89. (a) El potencial generado por un proton a una distancia r lo podemos escribir como

φ p~rq “ ker

por lo tanto, el campo electrico generado por el proton sera

~E p~rq “ ´∇φ p~rq “ ´ke∇ˆ

1r

˙

“ ´keˆ

´~rr3

˙

“ ke~rr3

donde tuvimos en cuenta el resultado de la ecuacion (2-5).

(b) Si la distancia entre el proton y el electron es aproximadamente 0.529ˆ 10´10m, el valor del potencial al cual estasometido el electron sera

φ p~rq “ ker“ 8.987ˆ 109N ¨ C´2 ¨m2

ˆ

1.602ˆ 10´19C0.529ˆ 10´10m

˙

“ 27.21N ¨m ¨ C´1 “ 27.21V

mientras que la energıa potencial

U p~rq “ qφ p~rq “ p´eq φ p~rq“

`

´1.602ˆ 10´19C˘

27.21N ¨m ¨ C´1 “ ´4.361ˆ 10´18N ¨m “ ´4.348ˆ 10´18 J

si tenemos en cuenta que 1eV “ 1.602ˆ 10´19 J, la energıa en unidades de electronvoltios sera

U “ ´4.342ˆ 10´18 J “ ´4.348ˆ 10´18 Jˆ

1eV1.602ˆ 10´19 J

˙

“ ´27.21eV.

(c) Para calcular la relacion entre fuerza electrica y fuerza gravitacional tenemos

Fe

FG“

k qpqer2

G mpmer2

“

8.98ˆ 109N ¨ C´2 ¨m2 p1.6ˆ10´19Cq2

p0.529ˆ10´10mq2

6.67ˆ 10´11N ¨ Kg´2 ¨m2 p9.1ˆ10´31Kgqp1.67ˆ10´27Kgq

p0.529ˆ10´10mq2

“8.19ˆ 10´8N3.60ˆ 10´47N

“ 2.27ˆ 1039

como podemos ver, solo es relevante la fuerza electrica y por lo tanto, es la unica fuerza necesaria para realizar el calculode la velocidad del electron.

(d) De la segunda ley de Newton tenemos

Fe “ mea “ mv2

rñ v “

c

r Fe

me“

d

`

0.529ˆ 10´10m˘

8.221ˆ 10´8kg ¨m ¨ s´2

9.11ˆ 10´31kg“ 2.185ˆ 106m ¨ s´1.


Problema 90. Calcule el potencial electrostatico y a partirde este resultado, calcule el campo electrico para el sistemaque se ilustra en la figura 3-23. Demuestre que el resultadodel campo es el mismo que ya se obtuvo en la ecuacion (3-18). Tenga en cuenta que el modulo de las cargas es el mismoy estas estan separadas una distancia d, la cual es mucho maspequena que el punto donde se evalua el potencial.

Figura 3-23: Dipolo electrico

Solucion 90. Sumando los potenciales de cada una de las cargas tenemos

φ p~rq “ k2ÿ

i“0

qi|~r´~ri|

“ kq

|~r´~r`|´ k

q|~r´~r´|

dado que~r` “~r´ ` ~d, el potencial lo podemos escribir como

φ p~rq “ kq

¨

˝

1ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

´1

|~r´~r´|

˛

‚ (3-59)

la relacion anterior no es facilmente simplificable, resultando necesario reescribirla. Para ello tendremos en cuenta que

d !~r´~r´ y haciendo la expansion sobre 1ˇ

ˇ

~r ~r´´~dˇ

ˇ

ˇ

“

ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

´1obtenemos

ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

´1“

´

|~r´~r´|2 ´ 2 p~r´~r´q ¨ ~d` d2¯´ 1

2“

˜

|~r´~r´|2˜

1´2 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

`d2

|~r´~r´|2

¸¸´ 12

“ |~r´~r´|´1

˜

1´2 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

`d2

|~r´~r´|2

¸´ 12

dado que la forma en el parentesis es de la forma p1` xqn donde x es menor que 1 (debido a que d !~r´~r´). Expandiendoeste termino como una serie de Taylor, teniendo en cuenta la ecuacion (3-57) y tomando solamente los terminos linealesen ~d, tenemos

¨

˚

˚

˚

˝

1´2 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

`d2

|~r´~r´|2loooomoooon

0

˛

‹

‹

‹

‚

´ 12

« 1`12

˜

2 p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸

“ 1`p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

ñ

ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

´1« |~r´~r´|´1

˜

1`p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸


remplazando en la ecuacion (3-59)

φ p~rq “ kq

¨

˝

1ˇ

ˇ

~r´~r´ ´ ~dˇ

ˇ

ˇ

´1

|~r´~r´|

˛

‚

« kq

˜

1|~r´~r´|

˜

1`p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

¸

´1

|~r´~r´|

¸

« kq1

|~r´~r´|

˜

1`p~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|2

´ 1

¸

« kqp~r´~r´q ¨ ~d|~r´~r´|3

« k~p ¨ p~r´~r´q|~r´~r´|3

. (3-60)

Para calcular el campo electrico debemos calcular el gradiente del potencial del dipolo electrico

~E p~rq “ ´∇φ p~rq “ ´ˆ

B

Bxı`

B

Bx`

B

Bxk˙

k~p ¨ p~r´~r´q|~r´~r´|3

“ ´k1

|~r´~r´|3

ˆ

B

Bxı`

B

Bx`

B

Bxk˙

~p ¨ p~r´~r´q ´ k~p ¨ p~r´~r´qˆ

B

Bxı`

B

Bx`

B

Bxk˙

1

|~r´~r´|3

“ ´k1

ˇ

ˇX2 `Y2 ` Z2ˇ

ˇ

3

ˆ

B

BXı`

B

BY`

B

BZk˙

~p ¨´

Xı`Y ` Zk¯

´k~p ¨´

Xı`Y ` Zk¯

ˆ

B

BXı`

B

BY`

B

BZk˙

1ˇ

ˇX2 `Y2 ` Z2ˇ

ˇ

3 (3-61)

donde hicimos~r´~r´ “ Xı`Y ` Zk. Debemos ahora realizar cada una de las operacionesˆ

B

BXı`

B

BY`

B

BZk˙

~p ¨´

Xı`Y ` Zk¯

“

ˆ

B

BXı`

B

BY`

B

BZk˙

´

pxXı` pyY ` pzZk¯

“

´

px ı` py ` pz k¯

“ ~p (3-62)

mientras queˆ

B

BXı`

B

BY`

B

BZk˙

1ˇ

ˇX2 `Y2 ` Z2ˇ

ˇ

3 “ ´32

„

´

X2 `Y2 ` Z2¯´ 5

2 2Xı`´

X2 `Y2 ` Z2¯´ 5

2 2Y

`

´

X2 `Y2 ` Z2¯´ 5

2 2Zk

“ ´3„

´

X2 `Y2 ` Z2¯´ 5

2´

Xı`Y ` Zk¯

“ ´3 |~r´~r´|´5p~r´~r´q

“ ´3~r´~r´|~r´~r´|5

(3-63)

remplazando lo obtenido en las ecuaciones (3-62) y (3-63), en la ecuacion (3-61) obtenemos

~E p~rq “ ´k~p

|~r´~r´|3` 3k

~p ¨ p~r´~r´q|~r´~r´|5

p~r´~r´q (3-64)

el cual, fue el resultado que se obtuvo mediante calculo directo del campo en la ecuacion (3-18).


Problema 91. Calcule el potencial electrostatico y el cam-po electrico para un cable bifilara, el cual consta de dos hi-los paralelos infinitos cargados con una densidad de cargaλ2 “ ´λ, λ1 “ λ y los cuales estan situados a una distan-cia 2a, como se muestra en la figura 3-24. Calcule el torqueproducido teniendo en cuenta que β “ 60.

aUn cable bifilar es una lınea de transmision de dos conductoresparalelos, cuya distancia de separacion es constante debido al mate-rial dielectrico que los separa.

Figura 3-24:

Solucion 91. Aplicando la ley de Gauss sobre la primera lınea de carga, tomaremos una superficie gaussiana cilındricaż

~E2 ¨ d~S “qε0

E2 p2πr2lq “ ´λlε0ñ E2 “ ´

λ

2πε0r2

mientras que para la otra lınea de cargaż

~E1 ¨ d~S “qε0

E1 p2πr1lq “λlε0ñ E1 “

λ

2πε0r1

dado que

φ p~rq “ ´ż

~E p~rq ¨ d~l

el potencial para cada uno de los alambres cargados es

φ2 p~rq “

ż

λ

2πε0r2dr “

λ

2πε0ln r2 ` C2

φ1 p~rq “ ´

ż

λ

2πε0r1dr “ ´

λ

2πε0ln r1 ` C1

debido a que el potencial en cualquier punto, es la suma de los potenciales de cada uno de los alambres

φ p~rq “ φ p~r2q ` φ p~r1q “λ

2πε0ln r2 ` C2 ´

λ

2πε0ln r1 ` C1

“λ

2πε0lnˆ

r2

r1

˙

` C

donde tuvimos en cuenta que la suma de constantes es una nueva constante. Para calcular el valor de C, podemos tomarun punto P donde~r2 “~r1 dado que sabemos en en ese punto el potencial sera cero

φ|r2“r1“

λ

2πε0lnˆ

r2

r1

˙

` C

0 “λ

2πε0ln p1q ` C

“ 0` C ñ C “ 0

finalmente obtenemos

φ p~rq “λ

2πε0lnˆ

r1

r2

˙

“λ

2πε0ln

¨

˝

b

px` aq2 ` y2b

px´ aq2 ` y2

˛

‚“λ

4πε0ln

˜

px` aq2 ` y2

px´ aq2 ` y2

¸

“ kλ ln

˜

px` aq2 ` y2

px´ aq2 ` y2

¸

.


Problema 92. Calcule el campo debido a los siguientes potenciales

φ p~rq “ b sin´

x2 ` y2 ` z2¯

12

φ p~rq “ bρ pz` 1q2 tan φ

φ p~rq “ beár2sin θ cos φ

donde a y b son constantes, que hacen que el potencial tenga las unidades adecuadas. Queda para el lector determinar lasunidades de dichas constantes para cada uno de los potenciales.

Solucion 92. Dado que ~E p~rq “ ´∇φ p~rq y teniendo en cuenta la tabla 2-1. Para el caso cartesiano

~E p~rq “ ´

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

b sinb

x2 ` y2 ` z2

“ ´b

˜

x cosa

x2 ` y2 ` z2a

x2 ` y2 ` z2ı`

y cosa

x2 ` y2 ` z2a

x2 ` y2 ` z2`

z cosa

x2 ` y2 ` z2a

x2 ` y2 ` z2k

¸

“ ´bcos

a

x2 ` y2 ` z2a

x2 ` y2 ` z2

´

xı` y ` zk¯

para el segundo caso que esta en coordenadas cilındricas

~E p~rq “ ´

ˆ

B

Bρρ`

1ρ

B

Bφφ`

B

Bzk˙

bρ pz` 1q2 tan φ

“ ´bˆ

tan φ pz` 1q2 ρ`1ρ

ρ´

tan2 φ` 1¯

pz` 1q2 φ` 2ρ ptan φq pz` 1q k˙

“ ´b pz` 1q2ˆ

tan φρ`´

tan2 φ` 1¯

φ`2ρ

z` 1tan φk

˙

y finalmente, para el caso en coordenadas esfericas

~E p~rq “ ´

ˆ

B

Brr`

1rB

Bθθ `

1r sin θ

B

Bφφ

˙

beár2sin θ cos φ

“ ´bˆ

´2areár2sin θ cos φr`

1r

eár2cos θ cos φθ `

1r sin θ

´

éár2sin θ sin φ

¯

φ

˙

“b eár2

r

´

2ar2 sin θ cos φr´ cos θ cos φθ ` sin φφ¯

.

Problema 93. Si el potencial en el vacıo esφ p~rq “ bx2y pz` 3mq

donde b “ 1 y tiene unidades de“

V ¨m´4‰. Calcule el campo en el punto p3, 4,´6qm y la carga en un cubo centrado enel origen de lados 1m donde 0 ă x, y, z ă 1.

Solucion 93. Debido a que ~E p~rq “ ´∇φ p~rq

~E p~rq “ ´

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

bx2y pz` 3mq

“ ´b´

2xy pz` 3mq ı` x2 pz` 3mq ` x2yk¯

en el punto p3, 4,´6qm tenemos

~E p~rqˇ

ˇ

ˇ

p3,4,´6qm“ ´b

´

2xy pz` 3mq ı` x2 pz` 3mq ` x2yk¯ˇ

ˇ

ˇ

p3,4,´6qm

“ ´V ¨m´4´

2 p3mq 4m p´6m` 3mq ı` p3mq2 p´6m` 3mq ` p3mq2 4mk¯

“

´

72ı` 27 ´ 36k¯

V ¨m´1.


Para calcular la carga dentro del cubo partimos de la ecuacion (3-28)

∇ ¨ ~E “ ρ

ε0ñ ρ “ ε0∇ ¨ ~E

y por lo tanto

ρ “ ´ε0

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

b´

2xy pz` 3mq ı` x2 pz` 3mq ` x2yk¯

“ ´ε02by pz` 3mq

ahora podemos calcular la carga encerrada en el volumen del cubo de lados 1m, centrada en el origen

Q “

ż

V

ρ dV “

1ż

0

1ż

0

1ż

0

´2bε0y pz` 3mq dx dy dz

“ ´2bε0

1ż

0

1ż

0

y pz` 3mq x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

dy dz rms “ ´2bε0

1ż

0

y2

2pz` 3mq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

dz rms

“ ´bε0z2

2` 3mz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

”

m3ı

“ ´72

bε0

”

m5ı

“ ´30.989ˆ 10´12C

donde tuvimos en cuenta que V “ J ¨ C´1 “ N ¨m ¨ C´1 y que

bε0

”

m5ı

“ N ¨m ¨ C´1 ¨m´4´

C2 ¨ N´1 ¨m´2¯

m5 “ C.

Problema 94. Si tenemos una distribucion esferica de carga la forma

ρ “

"

bρ0`

a2 ´ r2˘ r ă a0 r ą a

donde b tiene unidades de“

m´2‰ y a es el radio de la esfera. Calcule el ~E p~rq y el φ p~rq para r ě a, r ď a, la carga total yel valor maximo del campo.

Solucion 94. Comenzaremos calculando la carga para r ě a

Q “

ż

V

ρ dV “

aż

0

2πż

0

πż

0

bρ0

´

a2 ´ r2¯

r2 sin θdθdϕdr

“ ´bρ0

aż

0

2πż

0

´

a2 ´ r2¯

r2 cos θˇ

ˇ

ˇ

π

0dϕdr

“ 2bρ0

aż

0

2πż

0

´

a2 ´ r2¯

r2dϕdr

“ 2bρ0

aż

0

´

a2 ´ r2¯

r2 ϕˇ

ˇ

ˇ

2π

0dr

“ 4πbρ0

aż

0

´

a2 ´ r2¯

r2dr

“ 4πbρ0

ˆ

a2r3

3´

r5

5

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

0

“ 4πbρ0

ˆ

a5

3´

a5

5

˙

“815

πbρ0a5.


De la ley de Gauss tenemos

ż

~E p~rq ¨ d~S “Qinε0

2πż

0

πż

0

E p~rq r ¨ r2 sin θdθdϕr “1ε0

815

πbρ0a5

E p~rq 4πr2 “8

15ε0πbρ0a5

ñ ~E p~rq “2b

15ε0r2 ρ0a5r

para calcular el potencial electrostatico, debemos recordar que el elemento de lınea en coordenadas esfericas es d~l “drr` rdθθ ` r sin θdϕϕ

φ p~rq “ ´

ż

~E p~rq ¨ d~l

“ ´

ż

2b15ε0r2 ρ0a5r ¨

`

dr r` r dθ θ ` r sin θ dϕ ϕ˘

“ ´

ż

2b15ε0r2 ρ0a5dr

“2b15

a5

ε0rρ0 ` C

dado que la densidad de carga esta confinada a una region del espacio, podemos alejarnos lo suficiente para poder definirel potencial de referencia lım

rÑ8φ p~rq “ 0, esto nos permite calcular el valor de C

lımrÑ8

φ p~rq “ lımrÑ8

2b15

a5

rε0ρ0 ` C

0 “ 0` Cñ C “ 0

por lo tanto, el potencial para r ě a tenemos

φ p~rq “2b15

a5

ε0rρ0

Para evaluar el campo para r ď a debemos de calcular nuevamente la carga encerrada

Q “

ż

V

ρ dV “

rż

0

2πż

0

πż

0

bρ0

´

a2 ´ r2¯

r2 sin θdθdϕdr

“ ´bρ0

rż

0

2πż

0

´

a2 ´ r2¯

r2 cos θˇ

ˇ

ˇ

π

0dϕdr “ 2bρ0

rż

0

2πż

0

´

a2 ´ r2¯

r2dϕdr

“ 2bρ0

rż

0

´

a2 ´ r2¯

r2 ϕˇ

ˇ

ˇ

2π

0dr “ 4πbρ0

rż

0

´

a2 ´ r2¯

r2dr

“ 4πbρ0

ˆ

a2r3

3´

r5

5

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r

0

“ 4πbρ0

ˆ

a2r3

3´

r5

5

˙


mientras que el campoż

~E p~rq ¨ d~S “Qinε0

2πż

0

πż

0

E p~rq r ¨ r2 sin θdθdϕr “1ε0

4πbρ0

ˆ

a2r3

3´

r5

5

˙

E p~rq 4πr2 “4πbρ0

ε0

ˆ

a2r3

3´

r5

5

˙

ñ ~E p~rq “bρ0

ε0

ˆ

a2r3´

r3

5

˙

r

y el potencial

φ p~rq “ ´

ż

~E p~rq ¨ d~l

“ ´

ż

bρ0

ε0

ˆ

13

a2r´15

r3˙

r ¨`

dr r` r dθ θ ` r sin θ dϕ ϕ˘

“ ´bρ0

ε0

żˆ

13

a2r´15

r3˙

dr

“ ´bρ0

ε0

ˆ

a2r2

6´

r4

20

˙

` C

debemos calcular el valor de C, para lo cual tenemos que el potencial debe el mismo en r “ a para r ě a y r ď a,

φ p~rq|r“a “ φ p~rq|r“a

2b15

a5

ε0rρ0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r“a“ ´

bρ0

ε0

ˆ

a2r2

6´

r4

20

˙

` Cˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r“a

2b15

a5

ε0aρ0 “ ´

bρ0

ε0

ˆ

a2a2

6´

a4

20

˙

` C

bρ0

ε0

215

a4 “ ´bρ0

ε0

ˆ

a4

6´

a4

20

˙

` C

bρ0

ε0

ˆ

215

a4 `a4

6´

a4

20

˙

“ C

ñ C “a4

4bρ0

ε0

por lo tanto, el potencial para r ď a

φ p~rq “ ´bρ0

ε0

ˆ

a2r2

6´

r4

20

˙

`a4

4bρ0

ε0.

La carga total sera

QT “8

15πbρ0a5

el cual es el valor obtenido para r ě a, debido a que estamos encerrando toda la carga desde afuera. Este mismo valor esposible obtenerlo si consideramos la carga en el caso a ď r y hacemos r Ñ a

Q|aďr “ 4πbρ0

ˆ

a2r3

3´

r5

5

˙

lımrÑa

Q|aďr “ lımrÑa

4πbρ0

ˆ

a2r3

3´

r5

5

˙

“ 4πbρ0

ˆ

13

a2a3 ´15

a5˙

“815

πbρ0a5.


Para calcular el valor maximo del campo debemos calcular la derivada de la funcion e igualarla a cero, luego calcular lasegunda derivada para mirar si este es un maximo o un mınimo

B~E p~rqBr

“B

Brbρ0

ε0

ˆ

a2r3´

r3

5

˙

“bρ0

ε0

ˆ

a2

3´

3r2

5

˙

“ 0

ñ r “

c

59

a “?

53

a

la segunda derivada esB

Brbρ0

ε0

ˆ

13

a2 ´35

r2˙

“ ´65

bρ0

ε0rˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r“?

53 a“ ´

65

bρ0

ε0

?5

3a ă 0

por lo tanto, al ser menor que cero tenemos un maximo relativo y por lo tanto al remplazar en el calculo del campo

~E p~rqmax “bρ0

ε0

ˆ

13

a2r´15

r3˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r“?

5 a3

“bρ0

ε0

˜

13

a2ˆ

?5

3a˙

´15

ˆ

?5

3a˙3¸

“2?

527

bρ0

ε0a3.

Capıtulo 4

Ecuaciones de Poisson y de Laplace

4.1. Ecuacion de Poisson

Hasta el momento, hemos calculado el potencial o el campo electrico desde distribuciones de cargas conocidas.Sin embargo, en muchos casos solo tenemos conocimiento parcial de las distribuciones de carga y conocemosel valor del campo o del potencial en regiones limitadas en la frontera de la region que estamos estudiando.Debido a esto es necesario estudiar las ecuaciones de Poisson (cuando tenemos distribuciones de cargas libres)y Laplace (cuando no tenemos distribuciones de cargas libres). Las cuales pueden darnos una solucion com-pleta y sino, bastante aproximada ya sea analıtica o numerica del potencial bajo condiciones de conocimientoincompleto.

Si tomamos el laplaciano del potencial electrostatico de la ecuacion (3-55) tenemos

∇2φ p~rq “ k∇2ż

˜

dq`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

“ kż

dq`

~r1˘

∇2ˆ

1|~r´~r1|

˙

dado que

∇2ˆ

1|~r´~r1|

˙

“ ´4πδ`

~r´~r1˘

(4-1)

podemos reescribir el laplaciano como

∇2φ p~rq “ ´4πkż

dq p~rq δ`

~r´~r1˘

“ ´4πkż

ρ p~rq δ`

~r´~r1˘

dV1

“ ´4πkρ p~rq

obteniendo finalmente

∇2φ p~rq “ ´4πkρ p~rq “ ´ρ p~rq

ε0(4-2)

La relacion (4-2), se denomina ecuacion de Poisson para el potencial escalar; la cual, tambien se puede obtener

117

118 4 Ecuaciones de Poisson y de Laplace

de la ley de Gauss en forma diferencial

∇ ¨ ~E “ρ p~rq

ε0

∇ ¨ p´∇φq “ρ p~rq

ε0

∇2φ p~rq “ ´ρ p~rq

ε0

Un aspecto interesante, es que, si tenemos multiples fuentes de campo, el potencial generado sera la suma delas soluciones de las ecuaciones de Poisson. Esto es, si suponemos que φ1 p~rq es el potencial generado por unafuente ρ1 p~rq y φ2 p~rq es el potencial generado por una fuente ρ2 p~rq tal que

∇2φ1 p~rq “ ´ρ1 p~rq

ε

∇2φ2 p~rq “ ´ρ2 p~rq

ε

entonces∇2φ1 p~rq `∇2φ2 p~rq “ ∇2 pφ1 p~rq ` φ2 p~rqq “ ´

1εpρ1 p~rq ` ρ2 p~rqq

una consecuencia directa esta linealidad es que cualquier fuente, podra construirse mediante la suma de lascontribuciones de fuentes puntuales.

Problema 95. Dos placas metalicas, paralelas e infinitasestan separadas una distancia d, ambas placas se encuentrana un potencial cero y hay una distribucion de carga unifor-me ρ entre ellas, como se ilustra en la figura 4-1. Calculela posicion y los valores maximos del campo electrico y delpotencial.

Figura 4-1:

Solucion 95. Debido a que las placas son infinitas, solo tendremos una variacion sobre el eje y. Partiendo de la ecuacion(4-2)

∇2φ “d2φ pyq

dy2 “ ´ρ

ε

debemos entonces calcular las integrales y utilizar las condiciones de contornoż

ddy

ˆ

dφ

dy

˙

dy “ ´

ż

ρ

εdy

dφ

dy“ ´

ρ

εy` C1

żˆ

dφ

dy

˙

dy “

ż

´

´ρ

εy` C1

¯

dy

φ pyq “ ´ρ

2εy2 ` C1y` C2

teniendo en cuenta que φ p0q “ φ pdq “ 0 entonces podemos determinar las constantes

φ p0q “ ´ρ

2ε02 ` C10` C2 “ 0 ñ C2 “ 0

φ pdq “ ´ρ

2εd2 ` C1d “ 0 ñ C1 “

ρd2ε

4.1 Ecuacion de Poisson 119

por lo tanto

φ pyq “ ´ρ

2εy2 `

ρd2ε

y “ρ

2ε

´

d y´ y2¯

. (4-3)

Teniendo en cuenta que ~E p~rq “ ´∇φ p~rq obtenemos

~E pyq “ ´Bφ pyqBx

ı´Bφ pyqBy

“ ´B

By

´ ρ

2ε

´

d y´ y2¯¯

“ ´ρ

2εpd´ 2yq

“ρ

2εp2y´ dq . (4-4)

Para hallar los maximos debemos de calcular la primera y la segunda derivada, para el caso del potencial partimos de laecuacion (4-3)

ddy

φ pyq “d

dy

´ ρ

2ε

´

d y´ y2¯¯

“12ε

ρ pd´ 2yq “ 0

ñ y “d2

de la segunda derivadad

dy

ˆ

12ε

ρ pd´ 2yq˙

“ ´1ε

ρ

al ser la segunda derivada negativa, el maximo del potencial esta en y “ d2 . Remplazando y “ d

2 en la ecuacion (4-3)

φ pyq|max “ρ

2ε

´

d y´ y2¯ˇ

ˇ

ˇ

max“

ρ

2ε

˜

dˆ

d2

˙

´

ˆ

d2

˙2¸

“d2 ρ

8ε.

Para calcular el maximo del campo electrico partimos de la ecuacion (4-4)

ddy

~E pyq “d

dy

´ ρ

2εp2y´ dq

¯

“ ´1ε

ρ

por lo tanto, no tenemos un maximo local y el maximo del campo estara en y “ 0 y y “ dˇ

ˇ

ˇ

~E pyqˇ

ˇ

ˇ

maxy“0“

ˇ

ˇ

ˇ

ρ

2εp2 p0q ´ dq

ˇ

ˇ

ˇ“

ρd2ε

ˇ

ˇ

ˇ

~E pyqˇ

ˇ

ˇ

maxy“d“

ˇ

ˇ

ˇ

ρ

2εp2 pdq ´ dq

ˇ

ˇ

ˇ“

ρd2ε

siendo ambos maximos iguales.

Problema 96. Dos esferas metalicas concentricas de radioR y 2R se encuentran a potencial cero y en el espacio entrelas ellas, hay una distribucion de carga

ρ p~rq “ ρ0

ˆ

1`R2

r2

˙

siendo r la distancia al centro de las esferas, como se ilustraen la figura 4-2. Calcule el potencial y el campo electrico.

Figura 4-2:


Solucion 96. Teniendo en cuenta la simetrıa del problema, partiremos de la ecuacion de Poisson (4-2), empleando ellaplaciano de la tabla 2-1 escrito en coordenadas esfericas

∇2φ p~rq “ ´ρ p~rq

ε1

r2 sin θ

„

sin θB

Br

ˆ

r2 Bφ p~rqBr

˙

`B

Bθ

ˆ

sin θBφ p~rqBθ

˙

`1

sin θ

B2φ p~rqBϕ2

“ ´ρ0

ε

ˆ

1`R2

r2

˙

1r2B

Br

ˆ

r2 Bφ p~rqBr

˙

“ ´ρ0

ε

ˆ

1`R2

r2

˙

B

Br

ˆ

r2 Bφ p~rqBr

˙

“ ´ρ0

ε

´

r2 ` R2¯

calculando las integrales

ż

ddr

ˆ

r2 dφ p~rqdr

˙

dr “ ´

ż

ρ0

ε

´

r2 ` R2¯

dr

r2 dφ p~rqdr

“ ´ρ0

ε

ˆ

r3

3` R2r

˙

` C1

dφ p~rqdr

“ ´ρ0

ε

ˆ

r3`

R2

r

˙

`C1

r2ż

dφ p~rqdr

dr “ ´

żˆ

ρ0

ε

ˆ

r3`

R2

r

˙

`C1

r2

˙

dr

φ p~rq “ ´ρ0

ε

ˆ

r2

6` R2 ln r

˙

Ć1

r` C2

utilizando las condiciones de contorno φ pRq “ φ p2Rq “ 0, en la ecuacion del potencial, obtendremos un sistema de dosecuaciones

φ p~rq|r“R “ ´ρ0

ε

ˆ

R2

6` R2 ln R

˙

Ć1

R` C2

φ p~rq|r“2R “ ´ρ0

ε

˜

p2Rq2

6` R2 ln 2R

¸

Ć1

2R` C2

restando ambas soluciones obtenemos

φ p~rq|r“R ´ φ p~rq|r“2R “ ´ρ0

ε

ˆ

R2

6` R2 ln R

˙

Ć1

R` C2 `

ρ0

ε

ˆ

4R2

6` R2 ln 2R

˙

`C1

2R´ C2

0 “ρ0

ε

ˆ

4R2

6´

R2

6` R2 ln 2R´ R2 ln R

˙

Ć1

2R

C1 “2R3ρ0

ε

ˆ

12` ln 2R´ ln R

˙

C1 “ρ0

εR3 p1` 2 ln 2q

remplazando C1 en φ p~rq|r“R

4.2 Unicidad del potencial - condiciones de Dirichlet y Neumann 121

φ p~rq|r“R “ ´ρ0

ε

ˆ

R2

6` R2 ln R

˙

´1R

ρ0

εR3 p1` 2 ln 2q ` C2

0 “ ´ρ0

εR2

ˆ

16` ln R

˙

´ρ0

εR2 p1` 2 ln 2q ` C2

0 “ ´ρ0

εR2

ˆ

16` ln R` 1` 2 ln 2

˙

` C2

C2 “ρ0

εR2

ˆ

76` ln R` 2 ln 2

˙

por lo tanto

φ p~rq “ ´ρ0

ε

ˆ

r2

6` R2 ln r

˙

´1r

ρ0

εR3 p1` 2 ln 2q `

ρ0

εR2

ˆ

76` ln R` 2 ln 2

˙

(4-5)

Teniendo en cuenta que ~E p~rq “ ´∇φ p~rq y de la 2-1 obtenemos

~E p~rq “ ´

ˆ

B

Brr`

1rB

Bθθ `

1r sin θ

B

Bϕϕ

˙„

´ρ0

ε

ˆ

r2

6` R2 ln r

˙

´1r

ρ0

εR3 p1` 2 ln 2q `

ρ0

εR2

ˆ

76` ln R` 2 ln 2

˙

“ ´B

Br

„

´ρ0

ε

ˆ

r2

6` R2 ln r

˙

´1r

ρ0

εR3 p1` 2 ln 2q `

ρ0

εR2

ˆ

76` ln R` 2 ln 2

˙

r

“ρ0

ε

ˆ

r3`

R2

r

˙

´1r2

ρ0

εR3 p1` 2 ln 2q r.

“ρ0

ε

ˆ

r3`

R2

r´

R3

r2 ´ 2R3

r2 ln 2˙

r. (4-6)

4.2. Unicidad del potencial - condiciones de Dirichlet y Neumann

La solucion de las ecuaciones diferenciales parciales como las debidas a la ecuacion de Laplace o de Poisson,requieren de condiciones de frontera para ser soluciones unicas. Si definimos una superficie cerrada S quedelimita a un volumen V , y ademas conocemos la densidad de carga volumetrica dentro de dicho volumen.Tendremos dos tipos de condiciones de frontera

1. Frontera de Dirichlet (o de primer tipo): En el caso electrostatico, si se conoce el potencial electrostaticoen todos los puntos de la superficie

φS

queda unıvocamente determinado el potencial en todos los puntos al interior y exterior de la superficie.

2. Frontera de Neumann (o de segundo tipo): En el caso electrostatico, sı conocemos los valores de la deri-vada del potencial en la direccion normal a la superficie, en todos los puntos de la superficie. El potencialquedara unıvocamente determinado en los puntos al interior y exterior de la superficie, salvo una cons-tante

´~E ¨ n “ ∇φ ¨ n “Bφ

Bn

Si suponemos por un momento que un problema tuviera dos soluciones, esto implicarıa que la solucion tendrıacomportamientos diferentes para las mismas condiciones y por lo tanto, no podrıamos distinguir cual serıa la


correcta. Es por ello, que la unicidad de la solucion es una condicion que se debe exigir con el fin de obtenerun comportamiento correcto de la solucion.

La unicidad de la solucion la demostraremos por contradiccion. Si suponemos que existen dos soluciones φ1 yφ2 que satisfacen la ecuacion de Poisson (la ecuacion de Laplace podemos considerarla un caso particular dela ecuacion de Poisson), las cuales cumplen las mismas condiciones de frontera.

1. Para Dirichlet : φ1|S “ φ2|S “ φS

2. Para Neumann:Bφ1

Bn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

S“Bφ2

Bn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

S“BφSBn

al ser lineal la ecuacion de Poisson , es posible definir la funcion φ0 “ φ2 ´ φ1, por lo tanto

∇2φ0 “ ∇2φ2 ´∇2φ1 “ ´ρ

ε0`

ρ

ε0“ 0

dado que

1. φ0|S “ φ2|S ´ φ1|S “ 0

2.Bφ0

Bn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

S“Bφ2

Bn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

S´Bφ1

Bn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

S“ 0

partiendo de la primera identidad de Greenż

V

´

ξ∇2 ϕ`∇ξ ¨∇ϕ¯

dV “

¿

s

ϕ∇ξ ¨ n dS

y remplazando ϕ “ ξ “ φ0 obtenemos

ż

V

¨

˚

˝

φ0∇2φ0loomoon

0

` |∇φt|2

˛

‹

‚

dV “

¿

s

φ0∇φ0 ¨ ndS

debido a que ∇φ0 ¨ n “Bφ0

Bn, la integral nos queda como

ż

|∇φ0|2 dV “

¿

s

φ0Bφ0

BndS

y ya que la integral de superficie es cero tanto para condicion de Dirichlet pφ0 “ 0q, como la de Neumannˆ

Bφ0

Bn

˙

, tenemosż

|∇φ0|2 dV “ 0 ñ ∇φ0 “ 0

lo cual implica que φ0 “ φ2 ´ φ1 “ cte en todo el volumen.

De las condiciones tenemos

1. Para Dirichlet: φ2|S “ φ1|S ñ φ0 “ 0 “ cte. Por tanto φ0 “ 0 y la solucion es unica.

4.3 Ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas 123

2. Para Neumann:Bφ0

Bn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

S“ 0 “

B pφ2 ´ φ1qSBn

ñ φ2 ´ φ1 “ cte.

Es importante recalcar que el teorema de unicidad, es un teorema matematico valido para funciones escalarescualesquiera que cumplan con la ecuacion de Poisson.

4.3. Ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas

Partiendo de la ecuacion de Poisson (4-2)

∇2φ p~rq “ ´1ε0

ρ p~rq (4-7)

podemos calcular el potencial en regiones donde ρ p~rq “ 0, lo cual no implica que ρ “ 0 en todo el espacio,ya que esto implicarıa que φ p~rq “ 0 o por lo menos es un valor constante. Por lo tanto, al trabajar con laecuacion de Laplace, podemos pensar que esta es una reduccion de la ecuacion de Poisson cuando no existendensidades de cargas libres

∇2φ p~rq “ 0. (4-8)

Esta ecuacion aparece en varias ramas de la fısica como la fısica gravitacional, el magnetismo, la termodinamicaentre otras.

4.3.1. Ecuacion de Laplace en una dimension

Si suponemos que el potencial φ p~rq depende solo de la variable x, la ecuacion de Laplace sera

d2φ

dx2 “ 0

para resolver la ecuacion anterior debemos integrar dos veces

xż

x0

ddx

ˆ

dX pxqdx

˙

dx “

xż

x0

0 dx

dX pxqdx

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x

x0

“ 0

ddx

X pxq ´d

dxX px0q “ 0

si hacemos ddx X px0q “ b0 dado que es una constante, entonces

xż

A0

dX pxqdx

dx “

xż

A0

b0 dx

X pxq ´ X pA0q “ b0x´ b0 A0

ñ X pxq “ b0x´ b0 A0 ` X pA0q “ b0x` a0 (4-9)


donde hemos definido a0 “ X pA0q´ b0 A0. Otra forma equivalente de escribir la solucion anterior comunmen-te utilizada, es

φ pxq “ mx` b

la cual es la ecuacion de una lınea recta, con m y b, constantes a determinar de las condiciones iniciales.

4.3.2. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones

Si la ecuacion de Laplace depende de dos variables, esta puede ser escrita en coordenadas cartesianas comoˆ

B2

Bx2 `B2

By2

˙

φ px, yq “´

B2x ` B

2y

¯

φ px, yq “ 0 (4-10)

la cual es una ecuacion diferencial parcial. Para resolverla usaremos el metodo de separacion de variablesφ px, yq “ X pxqY pyq. Esto implica que la solucion sera el producto de dos funciones, una para cada variableindependiente

ˆ

B2

Bx2 `B2

By2

˙

φ px, yq “

ˆ

B2

Bx2 `B2

By2

˙

X pxqY pyq

“ Y pyqB2X pxqBx2 ` X pxq

B2Y pyqBy2 ` X pxq

B2Y pyqBx2 `Y pyq

B2X pxqBy2

dividiendo la ecuacion anterior por X pxqY pyq y separando por variables obtenemos

1X pxq

d2X pxqdx2 `

1Y pyq

d2Y pyqdy2 “ 0 ñ

1Y pyq

d2Y pyqdy2 “ ´

1X pxq

d2X pxqdx2

como el primer sumando solo depende de x y el segundo solo de y, entonces cada sumando debe ser igual auna constante

1X pxq

d2X pxqdx2 “ ´α2 ñ

d2X pxqdx2 ` α2X pxq “ 0 (4-11)

1Y pyq

d2Y pyqdy2 “ α2 ñ

d2Y pyqdy2 ´ α2Y pyq “ 0

Es importante resaltar que la asignacion de ˘α, es arbitraria (pudo haberse hecho al contrario). Pero dado queα es en general un numero complejo no tendremos problema. Dado que la ecuacion (4-11) esta compuesta porecuaciones diferenciales de segundo orden de coeficientes constantes podemos plantear la solucion de la forma

X pxq “ Aemx ; Y pyq “ Aemy (4-12)

al remplazar la ecuacion (4-12) en la ecuacion (4-11), obtenemos la denominada ecuacion caracterıstica o auxi-liar. La ecuacion caracterıstica para X pxq es

d2

dx2 Aemx ` α2 Aemx “ 0

m2 ` α2 “ 0ñ m “ ˘iα

para α ‰ 0 (diferente de la solucion trivial) la solucion sera

X pxq “ Aeiαx ` Be´iαx


Teniendo en cuenta la relacion de Euler (2-58), podemos reescribir la solucion como

X pxq “ Aeiαx ` Be´iαx

“ A pcos αx` i sin αxq ` B pcos p´αxq ` i sin p´αxqq

“ A cos αx` iA sin αx` B cos αx´ iB sin αx

“ pA` Bq cos αx` i pA´ Bq sin αx

“ a cos αx` b sin αx

donde definimos a “ A` B y b “ pA´ Bq i. Para la segunda ecuacion caracterıstica tenemos

d2

dy2 Aemy ´ α2 Aemy “ 0

m2 ´ α2 “ 0ñ m “ ˘α

para α ‰ 0, la solucion esY pyq “ Ceαy `De´αy

partiendo de la definicion de las funciones hiperbolicas

cosh θ “eθ ` e´θ

2; sinh θ “

eθ ´ e´θ

2(4-13)

despejando los terminos eθ y e´θ para poder remplazar en la solucion de Y pyq

eθ “ cosh θ ` sinh θ ; e´θ “ cosh θ ´ sinh θ (4-14)

por lo tanto

Y pyq “ Ceαy `De´αy

“ C pcosh αy` sinh αyq `D pcosh αy´ sinh αyq

“ pC`Dq cosh αy` pC´Dq sinh αy

“ c cosh αy` d sinh αy (4-15)

donde definimos c “ C`D y d “ C´D.

Ası entonces, φ px, yq “ X pxqY pyq para α ‰ 0 lo podemos escribir como

φ px, yq|α‰0 “ X pxqY pyq “ pa cos αx` b sin αxq pc cosh αy` d sinh αyq

Las soluciones con α “ 0 para X pxq y Y pyq, seran equivalentes a la obtenida en la ecuacion (4-9), esto es

X pxq “ b0x` a0

Y pyq “ d0y` c0

en consecuencia, para α “ 0

φ px, yq|α“0 “ X pxqY pyq “ pb0x` a0q pd0y` c0q “ d0xy` c0y` b0x` a0

Finalmente, la solucion mas general posible sera la superposicion de las soluciones φ px, yq|α‰0 y φ px, yq|α“0

φ px, yq “ φ px, yq|α‰0 ` φ px, yq|α“0 “ pa cos αx` b sin αxq pc cosh αy` d sinh αyq ` d0xy` c0y` b0x` a0(4-16)


donde las constantes a determinar estan dadas por las condiciones de frontera. Las soluciones para α “ 0, ypara α ‰ 0 son aparentemente excluyentes, de modo que no tendrıa sentido incluir los dos tipos de solucionesen una sola expresion. Sin embargo, si rotulamos estas soluciones como φα px, yq donde α ě 0, una superpo-sicion de ellas es tambien solucion. Como veremos mas adelante, la superposicion es obligatoria si queremostener en cuenta todas las condiciones de frontera.

Problema 97. Calcule el potencial electrostatico en la region bi-dimensional representada en la figura 4-3. Tenga en cuenta queφ p0, yq “ φ pL, yq “ 0, φ px, 0q “ φ0 y que φ px, yq “ 0, para0 ď x ď L y y Ñ8.

Figura 4-3:

Solucion 97. Si queremos resolver la ecuacion de Laplace para el pozo bidimensional, debemos analizar cada una de lasfronteras y con ello calcular cada una de las constantes de la solucion general de la ecuacion de Laplace (4-16)

1. Para φ p0, yq “ 0 tenemos

φ p0, yq “ pa cos α0` b sin α0q pc cosh αy` d sinh αyq ` d00y` c0y` b00` a0 “ 0

φ p0, yq “ a pc cosh αy` d sinh αyq ` c0y` a0 “ 0

lo cual se cumple si a0 “ a “ c0 “ 0. Por lo tanto, la solucion general nos queda como

φ px, yq “ b sin αx pc cosh αy` d sinh αyq ` d0xy` b0x

“ sin αx pC cosh αy`D sinh αyq ` d0xy` b0x

donde C “ bc y D “ bd son las nuevas constantes

2. Para φ pL, yq “ 0 entonces

φ pL, yq “ sin αL pC cosh αy`D sinh αyq ` d0yL` b0L “ 0

por lo tanto, para que φ pL, yq “ 0 sea cero se debe cumplir que d0 “ 0 y b0 “ 0. Adicionalmente sin αL debe sercero y para ello, es preciso que el angulo sea un multiplo entero de π

αL “ nπ

αn “nπ

L

por lo tanto, tenemos valores positivos para α los cuales dependen de n, donde n es un entero diferente de cero. Estonos lleva a que la solucion mas general es una superposicion de estos modos (linealidad en accion), quedando laecuacion como

φn px, yq “ sin αx pC cosh αy`D sinh αyq “ sinnπ

Lx´

Cn coshnπ

Ly`Dn sinh

nπ

Ly¯


3. Si reescribimos la solucion anterior, en terminos de funciones exponenciales asociadas a las funciones hiperbolicas

φn px, yq “ sinnπ

Lx´

Cn coshnπ

Ly`Dn sinh

nπ

Ly¯

“ sinnπ

Lxˆ

Cneαny ` e´αny

2`Dn

eαny ´ e´αny

2

˙

“ sinnπ

Lxˆ

Cn `Dn

2eαny `

Cn ´Dn

2e´αny

˙

“ sinnπ

Lx`

Aneαny ` Bne´αny˘

donde hemos definido An “Cn `Dn

2y Bn “

Cn ´Dn

2. Empleando la condicion de frontera φ px, yq “ 0 para

0 ď x ď L y y Ñ 8. Podemos ver que cuando y Ñ 8, la exponencial positiva diverge, mientras que la negativatiende a cero. Por lo tanto, el termino An se debe anular. Quedamos solamente con el termino

φn px, yq “ Bn sinnπx

Le´

nπL y

ası entonces, la solucion mas general que cumple con las condiciones de contorno la podemos escribir como

φ px, yq “

8ÿ

n“1

φn px, yq “8ÿ

n“1

Bn sinnπx

Le´

nπL y

4. Para la ultima condicion φ px, 0q “ φ0 al remplazar sobre la ecuacion anterior tenemos

φ px, 0q “

8ÿ

n“1

Bn sinnπx

Le´

nπL 0 “ φ0

“

8ÿ

n“1

Bn sinnπx

L“ φ0 (4-17)

al examinar la ecuacion anterior, podemos ver que aun no tenemos la forma de los terminos Bn. Sin embargo,podemos ver que es una serie de Fourier en senos, las cuales son funciones definidas en el intervalo 0 ď x ď π.Esta puede ser escrita como

f`

x1˘

“

8ÿ

n“1

bn sin nx1 (4-18)

siendo los coeficientes

bn “2π

πż

0

f`

x1˘

sin nx1dx1 (4-19)

en nuestro caso la funcion esta definida en el intervalo 0 ď x ď L; por lo tanto, si comparamos las ecuaciones (4-17)y (4-18) tenemos que

x1 “πxLñ dx1 “

π

Ldx

mientras que los lımites integrales seran

x1 “ 0 ñ x “ 0

x1 “ π ñ x “ L

ası entonces, la integral (4-19) la podemos escribir como

Bn “2π

Lż

0

φ pxq sinnπx

L

´π

Ldx

¯

“2L

Lż

0

φ pxq sinnπx

Ldx


dado que φ px, 0q “ φ0, tenemos

Bn “2L

Lż

0

φ0 sinnπx

Ldx

“ ´2φ0

LL

nπcos

nπxL

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

L

0

“ ´2φ0

L

ˆ

Lnπ

cos nπ´L

nπ

˙

“2φ0

nπp1´ cos nπq

de la ecuacion anterior vemos que si n es par el coseno vale 1 y si es impar vale ´1, por ende

Bn “

#

0 si n es par4φ0nπ si n es impar

la solucion general para el potencial sera entonces

φ px, yq “

8ÿ

n“1

Bn sinnπx

Le´

nπL y

“

8ÿ

n“impar

4φ0

nπsin

nπxL

eńπL y

“4φ0

π

8ÿ

n“impar

1n

sinnπx

Le´

nπL y

“4φ0

π

8ÿ

n“0

1p2n` 1q

sinp2n` 1qπx

Le´

p2n`1qπL y. (4-20)

Esta solucion implica la necesidad de calcular muchos terminos para obtener una solucion adecuada (en funcion de laconvergencia de la solucion). Por ello, llevaremos esta solucion en series a funciones conocidas, partiendo de la relacion deEuler (2-58), donde las partes real e imaginaria son

<`

eiθ˘ “ cos θ ; =`

eiθ˘ “ sin θ

podemos reescribir la solucion de potencial como

φ px, yq “4φ0

π

8ÿ

n“impar

1n

sinnπx

Le´

nπL y

“4φ0

π

8ÿ

n“impar

1n=´

ei nπxL

¯

eńπL y

“4φ0

π=

¨

˝

8ÿ

n“impar

1n

ei nπL pxìyq

˛

‚

“4φ0

π=

¨

˝

8ÿ

n“impar

Xn

n

˛

‚ (4-21)

donde hemos definido X “ ei πL pxìyq.


Teniendo en cuenta que una serie geometrica la podemos escribir como

8ÿ

n“0

Xn “1

1´ X

integrando a ambos lados

Xż

0

8ÿ

n“0

XndX “

Xż

0

11´ X

dX

8ÿ

n“0

Xż

0

XndX “ ´ ln p1´ Xq

8ÿ

n“1

Xn

ndX “ ´ ln p1´ Xq

vamos a retirar los terminos impares de la serie anterior, para lo cual podemos usar que

ln p1` Xq “8ÿ

n“1

p´1qn`1 Xn

n“ X´

X2

2`

X3

3´

X4

4` ...

restando las series ln p1` Xq y ln p1´ Xq obtenemos

ln p1` Xq ´ ln p1´ Xq “

8ÿ

n“1

p´1qn`1 Xn

n`

8ÿ

n“1

Xn

n

lnˆ

1` X1´ X

˙

“

8ÿ

n“1

´

p´1qn`1` 1

¯

Xn

n

podemos ver que cuando n es par, la sumatoria se anula ya que p´1qn`1` 1 “ 0, mientras que cuando n es impar

p´1qn`1` 1 “ 2, por lo tanto

lnˆ

1` X1´ X

˙

“ 28ÿ

n“1n“impar

Xn

n

en consecuencia8ÿ

n“1n“impar

Xn

n“

12

lnˆ

1` X1´ X

˙

Basandonos en este resultado, el potencial (4-21) lo podemos escribir como

φ px, yq “4φ0

π=

¨

˝

8ÿ

n“impar

Xn

n

˛

‚“2φ0

π=ˆ

lnˆ

1` X1´ X

˙˙

debemos ahora para determinar el logaritmo de un numero complejo.

Si representamos X “ a` ib, lo podemos escribir de forma polar (2-59)

X “ |X| eiθ

por lo tantoln X “ ln

´

|X| eiθ¯

“ ln |X| ` ln eiθ “ ln |X| ` iθ


vemos que la parte imaginaria de un numero complejo es el argumento del numero. Por lo tanto, debemos calcular elargumento del ln

´

1`X1´X

¯

, el cual esta dado por (2-57)

tan θ “= pXq< pXq

para calcular la parte real e imaginaria de 1`X1´X , multiplicamos por el complejo conjugado (2-60) del denominador

1` X1´ X

“1` X1´ X

ˆ

1´ X˚

1´ X˚

˙

“1` X´ X˚ ´ |X|2

|1´ X|2

donde

X´ X˚ “ a` ib´ pa` ibq˚ “ a` ib´ pa´ ibq “ 2ib “ 2i= pXq

en consecuencia

1` X1´ X

“1` 2i= pXq ´ |X|2

|1´ X|2

de forma que las partes real e imaginaria respectivamente son

<ˆ

1` X1´ X

˙

“1´ |X|2

|1´ X|2

=ˆ

1` X1´ X

˙

“2= pXq|1´ X|2

Si denotamos β como el argumento de 1`X1´X

tan β “=´

1`X1´X

¯

<´

1`X1´X

¯ “

2=pXq|1´X|2

1´|X|2

|1´X|2

“2i= pXq1´ |X|2

(4-22)

dado que X “ ei πL px`iyq tenemos

X “ ei πL px`iyq “ e´

πL yei π

L x “ e´πL y cos

π

Lx` ie´

πL y sin

π

Lx

donde las partes real e imaginaria son

< pXq “ e´πL y cos π

L x ; = pXq “ e´πL y sin π

L x. (4-23)

Debido a que el modulo de un numero complejo esta dado por la ecuacion (2-55), entonces

|X|2 “ˆ

c

e´2πL y cos2 π

Lx` e´

2πL y sin2 π

Lx˙2

“ e´2πL y (4-24)


despejando β de la ecuacion (4-22) y remplazando (4-23), (4-24)

β “ arctan

˜

2= pXq1´ |X|2

¸

“ arctan

˜

2e´πL y sin π

L x

1´ e´2πL y

¸

“ arctan

¨

˝

2 sin πL x

´

1´ e´2πL y

¯

eπL y

˛

‚

“ arctanˆ

2 sin πL x

eπL y ´ e´

πL y

˙

“ arctanˆ

2 sin πL x

2 sinh πL y

˙

.

Finalmente, obtenemos una funcion que remplaza nuestra solucion en series de la ecuacion (4-20)

φ px, yq “2φ0π =

´

ln´

1`X1´X

¯¯

“2φ0

πarctan

ˆ

sin πL x

sinh πL y

˙

. (4-25)

Problema 98. Verifique las condiciones de frontera del problema anterior, para la solucion dada por la ecuacion (4-25).

Solucion 98. Dado que las condiciones de frontera son φ p0, yq “ φ pL, yq “ 0, φ px, 0q “ φ0 y que φ px, yq “ 0, para0 ď x ď L y y Ñ8. Remplazando las dos primeras obtenemos

φ px, yq|x“0 “2φ0

πarctan

ˆ

sin πL x

sinh πL y

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x“0“

2φ0

πarctan

ˆ

sin πL 0

sinh πL y

˙

“ 0

φ px, yq|x“L “2φ0

πarctan

ˆ

sin πL x

sinh πL y

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x“L“

2φ0

πarctan

ˆ

sin πL L

sinh πL y

˙

“ 0

para 0 ď x ď L y y Ñ8, la funcion seno hiperbolico diverge, el potencial se anula

φ px, yq|yÑ8 “2φ0

πarctan

ˆ

sin πL x

sinh πL y

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

yÑ8“

2φ0

πarctan

ˆ

2 sin πL x

2 sinh8

˙

“2φ0

πarctan 0 “ 0

finalmente para φ px, 0q, tenemos que cuando y “ 0 el sinh “ 0 y por lo tanto, la funcion tiende a infinito. Sin embargo,eso mismo sucede cuando tenemos arctan

´

2 sin πL x

2 sinh 0

¯

“ arctan8 “ arctan´

p2n`1qπ2

¯

. Tomando n “ 0

φ px, 0q “2φ0

πarctan

ˆ

2 sin πL x

2 sinh 0

˙

“2φ0

πarctan8 “

2φ0

π

π

2“ φ0.

Problema 99. Calcule el campo electrico para el problema del pozo, partiendo de la solucion (4-25) y grafique dichafuncion con un potencial de 100V y para L “ 1m para 0 ď x, y ď 1

Solucion 99. El campo electrico lo podemos obtener a partir de

~E p~rq “ ´∇φ p~rq “ ´ıBφ p~rqBx

´ Bφ p~rqBy


por lo tanto, para la componente en x tenemos1

~Ex “ ´Bφ p~rqBx

“ ´2φ0

π

Bφ

Bx

ˆ

arctanˆ

sin πL x

sinh πL y

˙˙

“ ´2φ0

π

πL

´

cos πL x

sinh πL y

¯

1`´

sin πL x

sinh πL y

¯2

“ ´2φ0

L

cos πL x

sinh πL y

sinh2 πL y`sin2 π

L xsinh2 π

L y

“ ´2φ0

Lcos π

L x sinh2 πL y

sinh πL y

´

sinh2 πL y` sin2 π

L x¯ “ ´

2φ0

Lcos π

L x sinh πL y


L x

mientras que para la componente en y

~Ey “ ´Bφ p~rqBy

“ ´2φ0

π

Bφ

By

ˆ

arctanˆ

sin πL x

sinh πL y

˙˙

“2φ0

π

πL

ˆ

sin πL x cosh π

L ysinh2 π

L y

˙

1`´

sin πL x

sinh πL y

¯2

“2φ0

L

ˆ

sin πL x cosh π

L ysinh2 π

L y

˙

sinh2 πL y`sin2 π

L xsinh2 π

L y

“2φ0

Lsin π

L x cosh πL y


L x

por lo tanto, el campo electrico total sera

~E p~rq “2φ0

L´


L x¯

´

´ cosπ

Lx sinh

π

Lyı` sin

π

Lx cosh

π

Ly ¯

la grafica con las condiciones impuestas es

Figura 4-4: Lineas de potencial electrico para el caso del pozo bidimensional, ilustrado en la figura 4-3.

1La forma general de la derivada de arctan puq esd

dxarctan puq “

u1

1` u2


4.3.3. Ecuacion de Laplace en tres dimensiones

La ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas es

ˆ

B2

Bx2 `B2

By2 `B2

Bz2

˙

φ px, y, zq “´

B2x ` B

2y ` B

2z

¯

φ px, y, zq “ 0 (4-26)

Para resolver la ecuacion anterior podemos realizar separacion de variables φ px, y, zq “ X pxqY pyqZ pzq, comose realizo en el caso de dos dimensiones. Esto implica que la solucion sera el producto de tres funciones, unapara cada variable independiente

´

B2x ` B

2y ` B

2z

¯

φ px, y, zq “ Y pyqZ pzqB2X pxqBx2 ` X pxqZ pzq

B2Y pyqBx2 ` X pxqY pyq

B2Z pzqBx2

`Y pyqZ pzqB2X pxqBy2 ` X pxqZ pzq

B2Y pyqBy2 ` X pxqY pyq

B2Z pzqBy2

`Y pyqZ pzqB2X pxqBz2 ` X pxqZ pzq

B2Y pyqBz2 ` X pxqY pyq

B2Z pzqBz2

dado que cada una de las funciones X pxq , Y pyq y Z pzq dependen de una sola variable simplificamos la relacionanterior como

´

B2x ` B

2y ` B

2z

¯

φ px, y, zq “ Y pyqZ pzqB2X pxqBx2 ` X pxqZ pzq

B2Y pyqBy2 ` X pxqY pyq

B2Z pzqBz2 “ 0

dividiendo por X pxqY pyqZ pzq, para poder hacer separacion de variables obtenemos

1X pxq

B2X pxqBx2 `

1Y pyq

B2Y pyqBy2 `

1Z pzq

B2Z pzqBz2 “ 0

separando podemos escribir

1X pxq

B2X pxqBx2 `

1Y pyq

B2Y pyqBy2 “ ´

1Z pzq

B2Z pzqBz2 (4-27)

1X pxq

B2X pxqBx2 `

1Y pyq

B2Y pyqBy2 “ ´k2 (4-28)

´1

Z pzqB2Z pzqBz2 “ ´k2 (4-29)

de la ecuacion (4-27) tenemos que el lado izquierdo de la ecuacion depende de x y y, mientras que el ladoderecho solo de z. Lo cual solo podrıa cumplirse si cada lado de la ecuacion es igual a una constante k, la cualdebe cumplir la condicion

´

B2x ` B

2y ` B

2z

¯

φ px, yq “ 0.

Comenzamos por resolver la ecuacion (4-29)

´1

Z pzqB2Z pzqBz2 “ ´k2 ñ

B2Z pzqBz2 ´ k2Z pzq “ 0

como se realizo en la seccion anterior, es posible plantear una solucion de la forma

Z pzq “ Aemz


la ecuacion caracterıstica cuando k ‰ 0 sera

m2 ´ k2 “ 0 ñ m “ ˘k

por lo tanto, la solucion esZ pzq “ Fekz ` Ge´kz

si tenemos en cuenta las ecuaciones (4-13), (4-14) y (4-15), podemos escribir la solucion anterior

Z pzq “ Fekz ` ge´kz “ f cosh kz` g sinh kz (4-30)

donde f “ F` G y g “ F´ G.

Para el caso de la solucion trivial (k “ 0q, realizamos el mismo proceso que realizamos en la seccion (4.3.1) yobtenemos

Z pzq “ g0z` f0. (4-31)

Es necesario ahora resolver la ecuacion

1X pxq

B2X pxqBx2 `

1Y pyq

B2Y pyqBy2 “ ´k2

1X pxq

B2X pxqBx2 “ ´k2 ´

1Y pyq

B2Y pyqBy2

ñ1

X pxqB2X pxqBx2 “ ´l2 (4-32)

ñ ´k2 ´1

Y pyqB2Y pyqBy2 “ ´l2 (4-33)

para resolver la ecuacion (4-32), la podemos escribir como

B2X pxqBx2 ` l2X pxq “ 0

si planteamos la solucion de la formaX pxq “ Aemx

la ecuacion caracterıstica seram2 ` l2 “ 0 ñ m “ ˘il

y por lo tanto, la solucion en el caso l ‰ 0 es

X pxq “ Aeilx ` Be´ilx

teniendo en cuenta la relacion de Euler (2-58), podemos reescribir la solucion como

X pxq “ Aeilx ` Be´ilx “ a cos lx` b sin lx (4-34)

donde a “ A` B y b “ pA´ Bq i, al igual que en el caso de la solucion en dos dimensiones. Para el caso del “ 0 realizamos el mismo proceso que realizamos en la seccion (4.3.1)

X pxq “ a0 ` b0x. (4-35)


Finalmente, para el caso de Y pyq tenemos

´k2 ´1

Y pyqB2Y pyqBy2 “ ´l2

B2Y pyqBy2 `

´

k2 ´ l2¯

Y pyq “ 0

definiendo λ2 “ k2 ´ l2, podemos plantear la solucion de la forma

Y pyq “ Ceλy

donde la ecuacion caracterıstica seram2 “ ´λ2 ñ m “ ˘iλ

y por lo tanto, la solucion en el caso λ ‰ 0 es

Y pyq “ Ceiλy `Deíλy

podemos reescribir la solucion teniendo en cuenta la ecuacion (2-58), como

Y pyq “ Ceiλy `Deíλy “ c cos λy` d sin λy (4-36)

donde c “ C`D y d “ pC´Dq i. Para el caso de λ “ 0, realizamos el mismo procedimiento que se hizo en laseccion (4.3.1) y obtenemos

Y pyq “ c0 ` d0y. (4-37)

Teniendo en cuenta que λ2 “ k2 ´ l2, donde k es la solucion de z, l es la solucion en x y λ es la solucion en y.La solucion de forma general es la combinacion de las soluciones para cada una de las ecuaciones X pxq , Y pyqy Z pzq. Por lo tanto, debemos examinar cada uno de los casos:

Cuando k “ l “ λ “ 0, debemos tener en cuenta las soluciones (4-35), (4-37) y (4-31)

φ px, y, zq0,0 “ pa0,0 ` b0,0xq pc0,0 ` d0,0yq p f0,0 ` g0,0zq

Cuando l “ 0 y k ‰ 0 entonces λ2 “ k2 y por lo tanto λ “ ˘k ası entonces la solucion esta dada por(4-35), (4-36) y (4-30)

φ px, y, zqk,0 “`

ak,0 ` bk,0x˘ `

ck,0 cos λy` dk,0 sin λy˘ `

fk,0 cosh kz` gk,0 sinh kz˘

“`

ak,0 ` bk,0x˘ `

ck,0 cos ky` dk,0 sin ky˘ `


Cuando k “ 0 y l ‰ 0 tenemos que λ2 “ ´l2 y λ “ ˘il tenemos (4-34), (4-36) y (4-31)

φ px, y, zq0,l “`

a0,l cos lx` b0,l sin lx˘

´

c0,leiλy ` d0,leíλy¯

`

g0,lz` f0,l˘

“`


´

c0,lely ` d0,le´ly¯

`

g0,lz` f0,l˘

Cuando k “ l ‰ 0 y λ “ 0 empleamos las soluciones (4-34), (4-37) y (4-30)

φ px, y, zqk,k “`

ak,k cos lx` bk,k sin lx˘ `

ck,k ` dk,ky˘

´

fk,kekz ` gk,ke´kz¯

“`

ak,k cos kx` bk,k sin kx˘ `

ck,k ` dk,ky˘

´



Finalmente, cuando k, l, λ ‰ 0 la solucion sera (4-34), (4-36) y (4-30)

φ px, y, zqk,l “`

ak,l cos lx` bk,l sin lx˘ `

ck,l cos λy` dk,l sin λy˘

´

fk,lekz ` gk,le´kz¯

Por lo tanto, la solucion mas general posible sera la suma de cada una de las soluciones de las diferentescombinaciones de las constantes

φ px, y, zq “ φ px, y, zq0,0 ` φ px, y, zqk,0 ` φ px, y, zq0,l ` φ px, y, zqk,k ` φ px, y, zqk,l

la cual podemos escribirla de forma explıcita como

φ px, y, zq “ pa0,0 ` b0,0xq pc0,0 ` d0,0yq p f0,0 ` g0,0zq

``

ak,0 ` bk,0x˘ `

ck,0 cos ky` dk,0 sin ky˘ `


``


´


`

g0,lz` f0,l˘

``

ak,k cos kx` bk,k sin kx˘ `

ck,k ` dk,ky˘

´


``

ak,l cos lx` bk,l sin lx˘ `


´


(4-38)

Problema 100. Una aproximacion simple a un microondas es con-siderar una caja conductora con forma de paralelepıpedo de ladosα, β y γ, la cual delimita un volumen sin cargas libres, como seilustra en la figura 4-5. Teniendo en cuenta las siguientes condi-ciones de frontera

φ p0, y, zq “ 0 ; φ px, 0, zq “ 0;φ px, y, 0q “ 0 ; φ pα, y, zq “ 0;φ px, β, zq “ 0 ; φ px, y, γq “ φ px, yq “ φ0,

calcule el potencial dentro de la caja.

Figura 4-5:

Solucion 100. Podemos usar la ecuacion de Laplace debido a que no hay cargas libres en el volumen que estamos consi-derando. Con la primera condicion φ p0, y, zq “ 0 y remplazando en la solucion mas general (4-38) tenemos

φ p0, y, zq “ a0,0 pc0,0 ` d0,0yq p f0,0 ` g0,0zq ` ak,0`

ck,0 cos ky` dk,0 sin ky˘

´

fk,0ekz ` gk,0e´kz¯

`a0,l

´


`

g0,lz` f0,l˘

` ak,k`

ck,k ` dk,ky˘

´


`ak,l`


´


“ 0

para que esto sea cierto, es preciso que para cualquier valor de k y l tengamos que ak,l “ 0, esto es a0,0 “ ak,0 “ a0,l “

ak,k “ ak,l “ 0. Por lo tanto, la solucion (4-38) queda como

φ px, y, zq “ b0,0x pc0,0 ` d0,0yq p f0,0 ` g0,0zq ` bk,0x`

ck,0 cos ky` dk,0 sin ky˘

´


`b0,l sin lx´


`

g0,lz` f0,l˘

` bk,k sin kx`

ck,k ` dk,ky˘

´


`bk,l sin lx`


´



tomando la condicion φ px, 0, zq “ 0

φ px, 0, zq “ b0,0x pc0,0q p f0,0 ` g0,0zq ` bk,0x`

ck,0˘

´


`b0,l sin lx`

c0,l ` d0,l˘ `

g0,lz` f0,l˘

` bk,k sin kx`

ck,k˘

´


`bk,l sin lx`

ck,l˘

´


“ 0

para que esto se cumpla, es preciso que c0,0 “ ck,0 “ ck,k “ ck,l “ 0 y que en el termino b0,l sin lx`

c0,l ` d0,l˘ `

g0,lz` f0,l˘

se cumpla que c0,l “ ´d0,l . Ya que si hicieramos b0,l “ 0 para cualquier valor de k y l, obtendrıamos la solucion trivial.Nuestra solucion toma ahora la forma

φ px, y, zq “ b0,0xd0,0y p f0,0 ` g0,0zq ` bk,0xdk,0 sin pkyq´


`b0,lc0,l sin plxq´

ely ´ e´ly¯

`

g0,lz` f0,l˘

` bk,kdk,ky sin pkxq´


`bk,ldk,l sin plxq sin pλyq´


debido al numero de constantes que tenemos podemos definir la multiplicacion de constantes como una constante. Para locual solo adoptaremos la constante b para no incrementar el numero de letras y dado que ely ´ e´ly “ sinh ly tenemos

φ px, y, zq “ b0,0xy p f0,0 ` g0,0zq ` bk,0x sin pkyq´


`b0,l sin plxq sinh plyq`

g0,lz` f0,l˘

` bk,ky sin pkxq´


`bk,l sin plxq sin pλyq´


.

Considerando la condicion φ px, β, zq “ 0

φ px, β, zq “ b0,0xβ p f0,0 ` g0,0zq ` bk,0x sin pkβq´


`b0,l sin plxq sinh plβq`

g0,lz` f0,l˘

` bk,kβ sin pkxq´


`bk,l sin plxq sin pλβq´


“ 0

para que se cumpla esta condicion, es necesario que b0,0 “ b0,l “ bk,k “ 0. Para el termino bk,0x sin kβ´


podemos tomar bk,0 “ 0 o sin kβ “ 0 y escogeremos bk,0 “ 0. Para el termino bk,l sin lx sin λβ´


po-demos tomar bk,l “ 0 o sin λβ “ 0. Sin embargo, hacer bk,l “ 0 para cualquier valor de k y l, nos llevarıa la soluciontrivial. Por lo tanto, tomaremos sin λβ “ 0 y para ello, es necesario que el angulo sea un multiplo entero de π

λβ “ nπ

λn “nπ

β(4-39)

Ası entonces, la solucion toma la forma

φ px, y, zq “ bk,l sin plxq sinˆ

nπ

βy˙

´


remplazando la condicion φ pα, y, zq “ 0

φ pα, y, zq “ bk,l sin lα sinnπ

βy´


“ 0,


para que se cumpla es necesario que sin lα “ 0 y por lo tanto, que el angulo sea un multiplo entero de π

lα “ mπ

lm “mπ

α(4-40)

en consecuenciaφ pα, y, zq “ bk,l sin

mπ

αx sin

nπ

βy´


.

Si consideramos ahora φ px, y, 0q “ 0

φ px, y, 0q “ bk,l sinmπ

αx sin

nπ

βy´

fk,lek0 ` gk,le´k0¯

“ 0

“ bk,l sinmπ

αx sin

nπ

βy`

fk,l ` gk,l˘

esto solo se cumple si fk,l “ ´gk,l , remplazando

φ pα, y, zq “ bk,l fk,l sinmπ

αx sin

nπ

βy´

ekz ´ e´kz¯

“ ak,l sinmπ

αx sin

nπ

βy sinh kz

donde tuvimos en cuenta que sinh kz “ 12

´

ekz ´ e´kz¯

y definimos 2bk,l fk,l “ ak,l .

Dado que λ2 “ k2 ´ l2, podemos despejar k y remplazar (4-39) y (4-40)

k2 “ λ2 ` l2

“

ˆ

nπ

β

˙2`

´mπ

α

¯2

ñ km,n “

d

ˆ

nπ

β

˙2`

´mπ

α

¯2,

de esta forma, podemos escribir la solucion como

φ px, y, zq “8ÿ

m“1

8ÿ

n“1

am,n sinmπ

αx sin

nπ

βy sinh km,nz

Tomando finalmente la condicion φ px, y, γq “ φ px, yq “ φ0

φ px, y, γq “8ÿ

m“1

8ÿ

n“1

am,n sinmπ

αx sin

nπ

βy sinh km,nγ “ φ0

debemos usar expansiones en series de Fourier para calcular el termino am,n.

De forma general

f`

x1, y1˘

“

8ÿ

m“1

8ÿ

n“1

bm,n sin mx1 sin ny1

por lo tanto

bm,n “4

π2

πż

0

πż

0

f`

x1, y1˘

sin mx1 sin ny1dy1dx1

4.4 Ecuacion de Laplace en coordenadas polares 139

Si consideramos, el cambio de variable

x1 “π

αx ñ

"

x1 “ 0 Ñ x “ 0x1 “ π Ñ x “ α

ñ dx1 “π

αdx

y1 “π

βy ñ

"

y1 “ 0 Ñ y “ 0y1 “ π Ñ y “ β

ñ dy1 “π

βdy

dado que f`

x1, y1˘

“ φ px, yq “ φ0 y bm,n “ am,n sinh km,nγ, tenemos

bm,n “4

π2

πż

0

πż

0

f`

x1, y1˘

sin mx1 sin ny1dy1dx1

am,n “4

π2 sinh km,nγ

αż

0

βż

0

φ px, yq sinmπ

αx sin

nπ

βyˆ

π

βdy˙

´π

αdx

¯

“4φ0

αβ sinh km,nγ

αż

0

βż

0

sinmπ

αx sin

nπ

βy dy dx

“4φ0

αβ sinh km,nγ

αż

0

sinmπ

αx dx

´ cos nπyβ

nπβ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

β

0

“4φ0

αβ sinh km,nγ

αż

0

sinmπ

αx dx

β

nπp´ cos nπ` 1q

“4φ0 p1´ cos nπq

αnπ sinh km,nγ

´ cos mπxα

mπα

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

α

0

“4φ0 p1´ cos nπq

αnπ sinh km,nγ

α

mπp´ cos mπ` 1q

“4φ0 p1´ cos nπq p1´ cos mπq

mnπ2 sinh km,nγ

de la relacion anterior podemos ver que para valores de m y n pares tenemos am,n “ 0, tomando entonces solamentevalores impares

a2m`1,2n`1 “4φ0 p1´ p´1qq p1´ p´1qq

p2m` 1q p2n` 1qπ2 sinh k2m`1,2n`1γ“

16φ0

p2m` 1q p2n` 1qπ2 sinh k2m`1,2n`1γ

por lo tanto, la solucion general es

φ px, y, zq “8ÿ

m“1

8ÿ

n“1

ˆ

16φ0 sinh k2m`1,2n`1zp2m` 1q p2n` 1qπ2 sinh k2m`1,2n`1γ

˙

sinp2m` 1qπ

αx sin

p2n` 1qπ

βy.

4.4. Ecuacion de Laplace en coordenadas polares

La ecuacion de Laplace en coordenadas polares se escribe como

∇2φ pρ, θq “1ρ

B

Bρ

ˆ

ρBφ pρ, θq

Bρ

˙

`1ρ2

ˆ

B2φ pρ, θq

Bθ2

˙

“ 0


podemos plantear la solucion por el metodo de separacion de variables, al igual que en el caso de coordenadascartesianas, de la forma

φ pρ, θq “ R pρqΘ pθq (4-41)

remplazando tenemos1ρ

ddρ

ˆ

ρdR pρq

dρ

˙

Θ pθq `R pρq

ρ2

ˆ

d2Θ pθqdθ2

˙

“ 0

multiplicando a ambos lados por ρ2

R pρqΘ pθq , para poder emplear el metodo de separacion de variables

ρ

R pρqd

dρ

ˆ

ρdR pρq

dρ

˙

`1

Θ pθq

ˆ

d2Θ pθqdθ2

˙

“ 0

1Θ pθq

ˆ

d2Θ pθqdθ2

˙

“ ´ρ

R pρqd

dρ

ˆ

ρdR pρq

dρ

˙

de modo que cada uno de ellos debe ser una constante

1Θ pθq

ˆ

d2Θ pθqdθ2

˙

“ ´ν2 (4-42)

ρ

R pρqd

dρ

ˆ

ρdR pρq

dρ

˙

“ ν2. (4-43)

Es importante resaltar que la asignacion de˘ν2 es completamente arbitraria (se pudo haber hecho al contrario),dado que ν es en general un numero complejo. Si suponemos ν2 ‰ 0, podemos plantear una solucion de laforma

Θ pθq “ Aepθ

remplazando esta solucion en la ecuacion (4-42)

d2

dθ2

´

Aepθ¯

` ν2´

Aepθ¯

“ 0

p2 ` ν2 “ 0 ñ p “ ˘iν

y la solucion seraΘ pθq “ Aeiνθ ` Be´iνθ .

Debido que θ solo puede tener valores entre 0 ď θ ď 2π. Teniendo en cuenta la relacion de Euler (2-58) y launicidad de la solucion, tenemos que

e˘iνθˇ

ˇ

ˇ

0“ e˘iνθ

ˇ

ˇ

ˇ

2π

e˘iνp0q “ e˘iνp2πq

1 “ cos 2πν` i sin 2πν

esto implica que ν solo puede tomar valores enteros y por lo tanto la solucion la podemos reescribir como

Θ pθq “ Aνeiνθ ` Bνe´iνθ

“ Aν pcos νθ ` i sin νθq ` Bν pcos p´νθq ` i sin p´νθqq

“ Aν cos νθ ` iAν sin νθ ` Bν cos νθ ´ iBν sin νθ

“ pAν ` Bνq cos νθ ` i pAν ´ Bνq sin νθ

“ Aν cos νθ ` Bν sin νθ (4-44)


donde hemos redefinido Aν “ A` Bν y Bν “ pAν ´ Bνq i. Es necesario ahora solucionar la ecuacion en R pρq(4-43)

ρd

dρ

ˆ

ρdR pρq

dρ

˙

´ R pρq ν2 “ 0

ρdR pρq

dρ` ρ2 d2R pρq

dρ2 ´ R pρq ν2 “ 0 (4-45)

esta es una ecuacion de Cauchy-Euler, la cual es homogenea en ρ y puede resolverse por medio de la sustitucion

ρ “ eγ ñ γ “ ln ρ ñdγ

dρ“

1ρ

si tenemos en cuenta que ahora ρ es funcion de γ, lo cual equivale a escribir R pρq “ R pρ pγqq y empleando laregla de la cadena

dR pρqdρ

“dγ

dρ

dR pρ pγqqdγ

“1ρ

dR pρ pγqqdγ

(4-46)

para la derivada de segundo orden

d2R pρ pγqqdρ2 “

ddρ

ˆ

dR pρ pγqqdρ

˙

“d

dρ

ˆ

1ρ

dR pρ pγqqdγ

˙

“ ´1ρ2

dR pρ pγqqdγ

`1ρ

ddρ

ˆ

dR pρ pγqqdγ

˙

“ ´1ρ2

dR pρ pγqqdγ

`1ρ

dγ

dρ

ddγ

ˆ

dR pρ pγqqdγ

˙

“1ρ2

ˆ

d2R pρ pγqqdγ2 ´

dR pρ pγqqdγ

˙

(4-47)

reemplazando las ecuaciones (4-46) y (4-47) en (4-45) obtenemos

ρdR pρq

dρ` ρ2 d2R pρq

dρ2 ´ R pρq ν2 “ 0

ρ

ˆ

1ρ

dR pρ pγqqdγ

˙

` ρ2„

1ρ2

ˆ

d2R pρ pγqqdγ2 ´

dR pρ pγqqdγ

˙

´ R pρ pγqq ν2 “

d2R pρ pγqqdγ2 ´ R pρ pγqq ν2 “

para esta ecuacion, podemos plantear una solucion de la forma R pρ pγqq “ Aemγ, obteniendo la ecuacioncaracterıstica

´

d2 Aemγ

dγ2

¯

´ Aemγν2 “ 0

m2 ´ ν2 “ 0 ñ m “ ˘ν

por lo tanto,R pρ pγqq “ Ceνγ `De´νγ “ C peγq

ν`D peγq

´ν

dado que habıamos definido eγ “ ρ, podemos reescribir la solucion anterior como

R pρq “ Cνρν `Dνρ´ν. (4-48)

Remplazando lo obtenido en las ecuaciones (4-44) y (4-48) en la ecuacion (4-41) obtenemos

φ pρ, θq “ pAν cos νθ ` Bν sin νθq`

Cνρν `Dνρ´ν˘

. (4-49)


Para ν2 “ 0, tenemos el sistema de ecuaciones

1Θ pθq

ˆ

d2Θ pθqdθ2

˙

“ 0

ρ

R pρqd

dρ

ˆ

ρdR pρq

dρ

˙

“ 0

la ecuacion diferencial para Θ pθq nos lleva a

d2Θ pθqdθ2 “ 0

θż

θ0

ddθ

ˆ

dΘ pθqdθ

˙

dθ “ 0

dΘ pθqdθ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ

θ0

“dΘ pθq

dθ´

dΘ pθ0q

dθlooomooon

B0

dado que B0 es una constante, y despejando para integrar nuevamente

θż

θ0

dΘ pθqdθ

dθ “

θż

θ0

B0dθ

Θ pθq ´Θ pθ0q “ B0θ ´ B0θ0

ñ Θ pθq “ B0θ ´ B0θ0 `Θ pθ0q “ B0θ ` A0 (4-50)

donde hemos definido A0 “ Θ pθ0q ´ B0θ0.

Para R pρq tenemos que

ρż

d0

ddρ

ˆ

ρdR pρq

dρ

˙

dρ “

ρż

d0

0 dρ

ρdR pρq

dρ´ d0

dR pd0q

dρloooomoooon

D0

“ 0

despejando dRpρqdρ e integrando nuevamente

ρż

ρ0

dR pρqdρ

dρ “

ρż

ρ0

D0

ρdρ

R pρq ´ R pρ0q “ D0 lnˆ

ρ

ρ0

˙

R pρq “ R pρ0qloomoon

C0

`D0 lnˆ

ρ

ρ0

˙

.

Por lo tanto, la solucion general para ν “ 0 es

φ pρ, θq “ pA0 ` B0θq

ˆ

C0 `D0 lnˆ

ρ

ρ0

˙˙

(4-51)


Las soluciones para ν “ 0 (4-51) y para ν ‰ 0 (4-49) son aparentemente excluyentes, de modo que no tendrıasentido incluir los dos tipos de soluciones en una sola expresion. Sin embargo, una superposicion de solucioneses tambien solucion y en muchos casos la superposicion es necesaria para poder cumplir las condiciones defrontera. Ası entonces, la solucion mas general posible es


ˆ

C0 `D0 lnˆ

ρ

ρ0

˙˙

`ÿ

ν‰0

pAν cos νθ ` Bν sin νθq`


. (4-52)

Es importante aclarar, que los valores permitidos de ν (sobre los cuales se hace la suma discreta o continua)van a depender de cada tipo de problema.

Problema 101. Calcule el potencial definido por dos planos con-ductores como se muestra en la figura 4-6 , los cuales son manteni-dos a un potencial fijo φ0 “ V0 y φ1 “ V1. Calcule a) El potencialelectrostatico. b) Si φ0 “ φ1 “ V0 calcule nuevamente el poten-cial, el campo electrico y la densidad de carga para valores muyproximos al origen.

Figura 4-6:

Solucion 101. Para el punto (a), las condiciones de frontera del problema son

φ pρ, 0q “ V0 ; φ pρ, αq “ V1

partiendo de la forma general de solucion (4-52)


ˆ

C0 `D0 lnˆ

ρ

ρ0

˙˙

`ÿ

ν‰0

pAν cos νθ ` Bν sin νθq`


y teniendo en cuenta que ρ “ 0 es parte de la solucion, entonces D0 y Dν tambien deben de ser cero ya que los terminosln´

ρρ0

¯ˇ

ˇ

ˇ

ρ“0y ρ´ν

ˇ

ˇ

ρ“0 son divergentes. Y aunque el campo electrico puede diverger, el potencial debe permanecer acotado.

Si tenemos en cuenta que la multiplicacion de constantes es una constante, podemos reescribir la solucion general como

φ pρ, θq “ A0 ` B0θ `ÿ

ν‰0

pAν cos νθ ` Bν sin νθqCνρν

aplicando la condicion de frontera φ pρ, 0q “ V0

A0 ` B00`ÿ

ν‰0

pAν cos ν0` Bν sin ν0q ρν “ V0

A0 `ÿ

ν‰0

Aνρν “ V0

para que esta condicion sea satisfecha A0 “ V0 y Aν “ 0. Por lo tanto, la solucion toma la forma

φ pρ, θq “ V0 ` B0θ `ÿ

ν‰0

Bνρν sin νϕ.

Es importante darnos cuenta que de no haber incluido las soluciones para ν “ 0 y ν ‰ 0 simultaneamente como soluciongeneral, no habrıamos podido satisfacer esta condicion de frontera y con ello no habrıamos encontrado una solucion alproblema.


Aplicando la segunda condicion de frontera

φ pρ, αq “ V1

V0 ` B0α`ÿ

ν‰0

Bνρν sin να “ V1

tenemosV0 ` B0α “ V1

ñ B0 “V1´V0

α

mientras queÿ

ν‰0

Bνρν sin να “ 0

para que esta condicion se cumpla tenemos dos opciones: Bν “ 0 o sin να “ 0. Si tomamos Bν “ 0 el potencial seraφ pρ, θq “ V0 `

´

V1´V0α

¯

θ. Sin embargo, esta solucion aunque cumple las condiciones de frontera, no soluciona elproblema. Por lo tanto, tomaremos sin να “ 0, lo cual solo se cumple para valores enteros del angulo

να “ nπ ñ νn “nπ

α

de modo que la solucion al potencial quedara como

φ pρ, θq “ V0 `

ˆ

V1 ´V0

α

˙

θ `ÿ

n“1

Bnρnπα sin

nπ

αθ. (4-53)

Podemos ver que en la sumatoria partimos desde n “ 1. Esto debido a dos hechos: i) ν “ 0 ya habıa sido incluida en lasolucion. ii) Al tomar n “ 0, la sumatoria se hace cero debido a que sin 0 “ 0.

b) Dado que las paredes se encuentran al mismo potencial V1 “ V0 y que el potencial calculado en la ecuacion (4-53) sehizo de forma completamente general, el potencial para esta nueva condicion es

φ pρ, θq “ V0 `ÿ

n“1

Bnρnπα sin

nπ

αθ

debido a que estamos interesados en conocer el potencial en regiones muy proximas al origen, lo cual equivale a calcularlopara ρ ! 1 y dado que la solucion depende de la forma ρ

nπα . Podemos ver que solamente van a contribuir los primeros

terminos de la serie, ya que para ordenes superiores la serie tiende a cero. Tomando solamente los dos primeros terminostenemos

φ pρ, θq » V0 ` B1ρπα sin

π

αθ. (4-54)

donde B1 es una constante a determinar. Por lo tanto, le campo electrico sera

~E pρ, θq “ ´∇φ pρ, θq

“ ´

ˆ

B

Bρρ`

1ρ

B

Bθθ

˙

´

V0 ` B1ρπα sin

π

αθ¯

“ ´B

Bρ

´

B1ρπα sin

π

αθ¯

ρ´1ρ

B

Bθ

´

B1ρπα sin

π

αθ¯

θ

“ ´π

αB1ρ

πα´1 sin

π

αθρ´ ρ´1 π

αB1ρ

πα cos

π

αθθ

“ ´π

αB1ρ

πα´1

ˆ

sinπθ

αρ` cos

πθ

αθ

˙

(4-55)

para calcular la densidad de carga debemos tener en cuenta el resultado obtenido en la ecuacion (3-30)

~E “σ

ε0n

4.5 Ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas 145

por lo tanto, despejando la densidad superficial de carga tenemos

~E ¨ n “σ

ε0n ¨ n ñ σ “ ε0~E ¨ n

donde n en el vector normal de las superficies de los planos conductores que delimitan a la region de evaluacion. Por ello,para θ “ 0, el vector normal apunta hacia afuera del plano, en direccion sera θ y por lo tanto, la densidad superficial es

σ pρ, 0q “ ε0

ˆ

´π

αB1ρ

πα´1

ˆ

sinπθ

αρ` cos

πθ

αθ

˙˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ“0¨ θ

“ ´ε0π

αB1ρ

πα´1

mientras que para θ “ α el vector normal sera ´θ

σ pρ, αq “ ε0

ˆ

´π

αB1ρ

πα´1

ˆ

sinπθ

αρ` cos

πθ

αθ

˙˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ“α

¨ ´θ

“ ε0π

αB1ρ

πα´1 cos π

“ ´ε0π

αB1ρ

πα´1

podemos ver que en ambos casos las densidades son las mismas, debido a que consideramos que los potenciales de las placasson iguales.

Analizaremos ahora el comportamiento de σ para diferentes valores de α, cuando ρ Ñ 0 (es decir en las puntas):

Para πα ´ 1 ą 0 y con ρ pequeno, la densidad tiende a cero, lo cual implica que no hay acumulacion de carga en las

puntas, especialmente si α pequeno.

Para α “ π2 tenemos que |σ| “ 2ε0B1ρ y por lo tanto, la densidad de carga disminuye al acercarse a la punta

pρ « 0q.

Para α “ π tenemos que |σ| “ ε0B1 y por lo tanto, la densidad de carga es independiente de ρ, lo cual era deesperarse ya que tenemos un plano infinito.

Como vemos del problema anterior, la carga tiende a acumularse en las puntas, estas acumulaciones de cargavan a producir campos muy intensos y seran el principio del pararrayos.

4.5. Ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas

La ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas la podemos escribir teniendo en cuenta la tabla 2-1 como

∇2φ “1rB2

Br2 prφq `1

r2 sin θ

B

Bθ

ˆ

sin θBφ

Bθ

˙

`1

r2 sin2 θ

B2φ

Bϕ2

para resolverla, plantearemos una solucion de la forma

φ pr, θ, ϕq “R prq

rΘ pθqΨ pϕq


reemplazando la solucion propuesta, obtenemos

∇2φ “ 1rB2

Br2

´

r Rprqr Θ pθqΨ pϕq

¯

` 1r2 sin θ

BBθ

´

sin θ BBθ

´

Rprqr Θ pθqΨ

¯

pϕq¯

` 1r2 sin2 θ

B2

Bϕ2

´

Rprqr Θ pθqΨ pϕq

¯

“ΘpθqΨpϕq

rB2

Br2 R prq ` RprqΨpϕqr3 sin θ

BBθ

´

sin θ BBθ Θ pθq

¯

`RprqΘpθqr3 sin2 θ

B2

Bϕ2 Ψ pϕq

multiplicando porr3 sin2 θ

R prqΘ pθqΨ pϕq

para poder realizar el proceso de separacion de variables, obtenemos

r3 sin2 θ

R prqΘ pθqΨ pϕq

ˆ

Θ pθqΨ pϕqr

B2

Br2 R prq `R prqΨ pϕq

r3 sin θ

B

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

`R prqΘ pθq

r3 sin2 θ

B2

Bϕ2 Ψ pϕq˙

“ 0

r2 sin2 θ

R prqB2

Br2 R prq `sin θ

Θ pθqB

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

`1

Ψ pϕqB2

Bϕ2 Ψ pϕq “ 0

organizando los terminos

r2 sin2 θ

R prqB2

Br2 R prq `sin θ

Θ pθqB

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

“ ´1

Ψ pϕqB2

Bϕ2 Ψ pϕq

como podemos ver, el lado derecho depende de r y θ, mientras que el lado izquierdo depende de ϕ. Estarelacion solo puede satisfacerse si ambos costados son iguales a la misma constante

r2 sin2 θ

R prqB2

Br2 R prq `sin θ

Θ pθqB

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

“ m2 (4-56)

´1

Ψ pϕqB2

Bϕ2 Ψ pϕq “ m2 (4-57)

podemos plantear una solucion de la forma

Ψ pϕq “ Aepϕ,

remplazando esta solucion en la ecuacion (4-57)

B2

Bϕ2 Aepϕ `m2 Aepϕ “ 0

p2 `m2 “ 0 ñ p “ ˘im

dado que el dominio de ϕ es r0, 2πs, implica volver al mismo lugar desde donde se comenzo; por lo tanto, pormotivos de unicidad de la solucion, esta debe ser igual al volver al mismo punto (dar una vuelta completa)

e˘imϕˇ

ˇ

ˇ

0“ e˘imϕ

ˇ

ˇ

ˇ

2π

1 “ e˘im2π

1 “ cos 2πm˘ i sin 2πm

vemos que m debe de ser un numero entero y las soluciones seran de la forma

Ψ pϕq|m‰0 “ Ameimϕ ` Bme´imϕ (4-58)


mientras que para m “ 0, la solucion sera equivalente a la obtenida en la ecuacion (4-9)

´1

Ψ pϕqB2

Bϕ2 Ψ pϕq “ 0

Ψ pϕq|m“0 “ a0 ` b0 ϕ

al aplicar la unicidad para esta solucion

a0 ` b0 ϕ|0 “ a0 ` b0 ϕ|2π

a0 “ a0 ` b02π

0 “ b02π ñ b0 “ 0

y por lo tantoΨ pϕq|m“0 “ a0.

Debemos ahora realizar el proceso de separacion de variables en el termino (4-56) y para ello lo multiplicamospor 1

sin2 θ

1sin2 θ

«

r2 sin2 θ

R prqB2

Br2 R prq `sin θ

Θ pθqB

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

ff

“ m2 1sin2 θ

r2

R prqB2

Br2 R prq “m2

sin2 θ´

1Θ pθq sin θ

B

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

la relacion anterior solo puede satisfacerse si ambos costados son iguales a la misma constante. Como constantede separacion escogeremos l pl ` 1q donde l es un entero, por razones que luego analizaremos

r2

R prqB2

Br2 R prq “ l pl ` 1q (4-59)

m2

sin2 θ´

1Θ pθq sin θ

B

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

“ l pl ` 1q (4-60)

La ecuacion (4-59) la podemos escribir como

r2 B2

Br2 R prq ´ l pl ` 1qR prq “ 0 (4-61)

a esta ecuacion se le denomina ecuacion de Cauchy-Euler y la podemos resolver realizando la sustitucion

r “ et ñ t “ ln r (4-62)

empleando la regla de la cadena tenemos

dRdr“

dtdr

dRdt“

ddrpln rq

dRdt“

1r

dRdt

mientras que

d2

dr2 R prq “ddr

ˆ

dRdr

˙

“ddr

ˆ

1r

dRdt

˙

“ ´1r2

dRdt`

1r

ddr

ˆ

dRdt

˙

“ ´1r2

dRdt`

1r

dtdr

ddt

ˆ

dRdt

˙

“ ´1r2

dRdt`

1r

ddt

dtdr

ˆ

dRdr

˙

“ ´1r2

dRdt`

1r

ddt

ˆ

1r

dRdt

˙

“ ´1r2

dRdt`

1r2

d2Rdt2

“1r2

ˆ

d2Rdt2 ´

dRdt

˙


remplazando lo anterior en la ecuacion (4-61), obtenemos

r2 B2

Br2 R prq ´ l pl ` 1qR prq “ 0

r2 1r2

ˆ

d2R prqdt2 ´

dR prqdt

˙

´ l pl ` 1qR prq “ 0

d2R prqdt2 ´

dR prqdt

´ l pl ` 1qR prq “ 0

si suponemos una solucion de la formaR ptq “ Aept

la ecuacion caracterıstica sera

d2

dt2 Aept ´ddt

Aept ´ l pl ` 1q Aept “ 0

Ap2ept ´ Apept ´ l pl ` 1q Aept “ 0

p2 ´ p´ l pl ` 1q “ 0

dado que la ecuacion tiene la forma ax2 ` bx ` c “ 0, las raıces podemos calcularlas empleando la solucionpara la ecuacion cuadratica

p “´b˘

?b2 ´ 4ac

2a“

1˘a

1` 4l pl ` 1q2

“1˘

?1` 4l2 ` 4l

2“

1˘b

p2l ` 1q2

2“

1˘ p2l ` 1q2

por lo tanto, las dos raıces son

p “1˘ p2l ` 1q

2“

"

´ll ` 1

y las soluciones seran de la formaR ptq “ Cepl`1qt `De´lt

de la ecuacion (4-62), tenemos que r “ et, remplazando

R prq “ Clrl`1 `Dlr´l . (4-63)

La solucion cuando l “ 0, sera equivalente a la obtenida en la ecuacion (4-9)

r2

R prqB2

Br2 R prq “ 0

ñ R prq|l“0 “ d0 ` c0r

sin embargo, este resultado lo podrıamos haber obtenido directamente de la solucion (4-63), al tomar l “ 0

R ptq “ Clrl`1 `Dlr´l

R prq|l“0 “ C0r1 `D0r0 “ c0r` d0.

Para calcular Θ pθq, partimos de la ecuacion (4-60), la cual multiplicaremos por Θ pθq

Θ pθq„

m2

sin2 θ´

1Θ pθq sin θ

B

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

“ l pl ` 1qΘ pθq

1sin θ

B

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

`

ˆ

l pl ` 1q ´m2

sin2 θ

˙

Θ pθq “ 0 (4-64)


si realizamos la sustitucion

x “ cos θ ñdxdθ“ ´ sin θ

entonces

ddθ“

ddx

dxdθ“ ´ sin θ

ddx

y dado que sin2 θ “ 1´ cos2 θ “ 1´ x2, al sustituir esto en la ecuacion (4-64) tenemos

1sin θ

B

Bθ

ˆ

sin θB

BθΘ pθq

˙

`

ˆ

l pl ` 1q ´m2

sin2 θ

˙

Θ pθq “ 0

1sin θ

ˆ

´ sin θd

dx

˙ˆ

sin θ

ˆ

´ sin θd

dx

˙

Θ pθq˙

`

ˆ

l pl ` 1q ´m2

1´ x2

˙

Θ pθq “ 0

ddx

ˆ

sin2 θdΘ pxq

dx

˙

`

ˆ

l pl ` 1q ´m2

1´ x2

˙

Θ pxq “ 0

ddx

ˆ

´

1´ x2¯ dΘ pxq

dx

˙

`

ˆ

l pl ` 1q ´m2

1´ x2

˙

Θ pxq “ 0

´

1´ x2¯ d2Θ pxq

dx2 ´ 2xdΘ pxq

dx`

ˆ

l pl ` 1q ´m2

1´ x2

˙

Θ pxq “ 0. (4-65)

esta ultima relacion la podemos escribir como

´

1´ x2¯ d2P pxq

dx2 ´ 2xdP pxq

dx`

ˆ

l pl ` 1q ´m2

1´ x2

˙

P pxq “ 0 (4-66)

la cual se conoce como ecuacion diferencial generalizada de Legendre, donde m es un entero (de la solucion deΨ pϕq), l es un entero no negativo y |m| ď l. Dado que la ecuacion (4-66) no depende del signo de m, podemosasumir que 0 ď m ď l.

Si suponemos que P pxq es de la forma

P pxq “ K´

1´ x2¯

m2 C pxq (4-67)

donde K “ cte, entonces

ddx

K´

1´ x2¯

m2 C pxq “ ´mxK

´

1´ x2¯

m2 ´1

C pxq ` K´

1´ x2¯

m2 dC pxq

dx

por lo tanto

d2

dx2 K`

1´ x2˘m2 C pxq “ 2mx2K

`m2 ´ 1

˘ `

1´ x2˘m2 ´2 C pxq ´mK

`

1´ x2˘m2 ´1 C pxq ´mxK

`

1´ x2˘m2 ´1 dCpxq

dx

´mxK`


dx ` K`

1´ x2˘m2 d2Cpxq

dx2

“ 2mx2K`m

2 ´ 1˘ `

1´ x2˘m2 ´2 C pxq ´mK

`

1´ x2˘m2 ´1 C pxq ´ 2mxK

`


dx

`K`

1´ x2˘m2 d2Cpxq

dx2


remplazando estas derivadas en la funcion generalizada de Legendre obtenemos

`

1´ x2˘ d2

dx2 K`

1´ x2˘m2 C pxq ´ 2x d

dx K`

1´ x2˘m2 C pxq `

´

l pl ` 1q ´ m2

1´x2

¯

K`

1´ x2˘m2 C pxq “ 0

`

1´ x2˘´

2mx2K`m

2 ´ 1˘ `

1´ x2˘m2 ´2 C pxq ´mK

`

1´ x2˘m2 ´1 C pxq ´ 2mxK

`


dx

¯

``

1´ x2˘K`

1´ x2˘m2 d2Cpxq

dx2 ´ 2x´

´mxK`

1´ x2˘m2 ´1 C pxq ` K

`

1´ x2˘m2 dCpxq

dx

¯

`

´

l pl ` 1q ´ m2

1´x2

¯

K`

1´ x2˘m2 C pxq “ 0

K`

1´ x2˘ `1´ x2˘m2 d2Cpxq

dx2 ´ 2x pm` 1qK`

1´ x2˘m2 dCpxq

dx `m2x2 11´x2 K

`

1´ x2˘m2 C pxq`

´

l pl ` 1q ´ m2

1´x2 ´m¯

K`

1´ x2˘m2 C pxq “ 0

`

1´ x2˘ d2Cpxqdx2 ´ 2x pm` 1q dCpxq

dx `m2x2 11´x2 C pxq `

´

l pl ` 1q ´ m2

1´x2 ´m¯

C pxq “ 0`


dx ` pl pl ` 1q ´m pm` 1qqC pxq “ 0`


dx ` pl ´mq pl `m` 1qC pxq “ 0(4-68)

para el ultimo paso realizamos la factorizacion

l pl ` 1q ´m pm` 1q “ l2 ` l ´m2 ´m “

´

l2 ´m2¯

` pl ´mq “ pl `mq pl ´mq ` pl ´mq “ pl `m` 1q pl ´mq

obteniendo ası la forma mas habitual de presentacion de la ecuacion generalizada de Legendre2.

Si suponemos que la funcion C pxq es de la forma

C pxq “ KdmPl pxq

dxm

al diferenciar la ecuacion de Legendre m-veces obtenemos

´

1´ x2¯ d2

dx2

„

dmPl pxqdxm

´ 2x pm` 1qd

dx

„

dmPl pxqdxm

` pl ´mq pl `m` 1q„

dmPl pxqdxm

“ 0

por lo tanto, la forma general de solucion seran las llamadas funciones asociadas de Legendre, las cuales sonsoluciones de la ecuacion diferencial generalizada de Legendre

Pl,m pxq “ p´1qm´

1´ x2¯

m2 dm

dxm Pl pxq (4-70)

para m “ 0 las funciones asociadas de Legendre se reducen a los polinomios de Legendre

P0l pxq “ Pl pxq

si suponemos esta solucion como una serie de potencias, escrita de la forma

P pxq “8ÿ

n“0

anxn (4-71)

2Si hacemos m “ 0 en la ecuacion (4-68), obtendremos la ecuacion ordinaria de Legendre

´

1´ x2¯ d2Pl pxq

dx2 ´ 2xdPl pxq

dx` l pl` 1q Pl pxq “ 0 (4-69)


diferenciando y remplazando en la ecuacion ordinaria de Legendre obtenemos`

1´ x2˘ d2Ppxqdx2 ´ 2x dPpxq

dx ` l pl ` 1q P pxq “ 0`

1´ x2˘ d2

dx2

8ÿ

n“0

anxn ´ 2x ddx

8ÿ

n“0

anxn ` l pl ` 1q8ÿ

n“0

anxn “

`

1´ x2˘8ÿ

n“2

n pn´ 1q anxn´2 ´ 2x8ÿ

n“1

nanxn´1 ` l pl ` 1q8ÿ

n“0

anxn “

8ÿ

n“2

n pn´ 1q anxn´2 ´

8ÿ

n“2

n pn´ 1q anxn ´ 28ÿ

n“1

nanxn ` l pl ` 1q8ÿ

n“0

anxn “

(4-72)

para poder simplificar en terminos de la sumatoria, es necesario que cada una de las sumas tenga la mismapotencia de x y que los contadores de las sumatorias sean iguales, para lo cual hacemos

l pl ` 1q8ÿ

n“0

anxn “ l pl ` 1q a0 ` l pl ` 1q a1x` l pl ` 1q8ÿ

n“2

anxn

28ÿ

n“1

nanxn “ 2a1x` 28ÿ

n“2

nanxn

para el terminoř8

n“2 n pn´ 1q anxn´2, podemos definir xn´2 “ xm donde m “ n´ 2 ñ n “ m` 2, lo cual haceque la sumatoria la podamos escribir como

8ÿ

n“2

n pn´ 1q anxn´2 “

8ÿ

m“0

pm` 2q pm` 1q am`2xm

y dado que tanto m como n son indices mudos, podemos reescribir la sumatoria como8ÿ

n“0

pn` 2q pn` 1q an`2xn

debido a que necesitamos que los contadores sean iguales, debemos reescribir la expresion anterior8ÿ

n“0

pn` 2q pn` 1q an`2xn “ 2 p1q a2 ` 3 p2q a3x`8ÿ

n“2


“ 2a2 ` 6a3x`8ÿ

n“2


Remplazando lo anterior en la ecuacion (4-72)8ÿ

n“2

n pn´ 1q anxn´2 ´

8ÿ

n“2

n pn´ 1q anxn ´ 28ÿ

n“1

nanxn ` l pl ` 1q8ÿ

n“0

anxn “ 0

2a2 ` 6a3x`8ÿ

n“2

pn` 2q pn` 1q an`2xn ´

8ÿ

n“2

n pn´ 1q anxn ´ 2a1x´ 28ÿ

n“2

nanxn ` l pl ` 1q a0

`l pl ` 1q a1x` l pl ` 1q8ÿ

n“2

anxn “ 0

8ÿ

n“2

ppn` 2q pn` 1q an`2 ´ rn pn´ 1q an ` 2nan ´ l pl ` 1qs anq xn ` 2a2 ` l pl ` 1q a0

`p6a3 `´2a1 ` l pl ` 1q a1q x “ 0

dado que la suma es igual a cero, implica que las sumas parciales deben tambien ser cero, por lo tanto

2a2 ` l pl ` 1q a0 “ 0 ñ a2 “ ´lpl`1qa0

26a3 `´2a1 ` l pl ` 1q a1 “ 0 ñ a3 “

r2´lpl`1qsa16

pn` 2q pn` 1q an`2 ´ rn pn´ 1q ` 2n´ l pl ` 1qs an “ 0 ñ an`2 “rnpn`1q´lpl`1qsanpn`2qpn`1q


como podemos ver, las relaciones anteriores son equivalentes y representan una relacion de recurrencia. Unaspecto importante de lo que hemos hecho es que estamos limitados al intervalo r´1, 1s, esto debido a quex “ cos θ. Ası entonces, los valores maximos posibles son x “ ´1 para θ “ π y x “ 1 para θ “ 0. Por lo tanto,si escribimos la serie como

8ÿ

n“0

anxn “

Nÿ

n“0

anxn ` aN`1xN`1 ` aN`1xN`2 ` aN`1xN`3 ` ...

“

Nÿ

n“0

anxn ` aN`1xN`1 `1` x` x2 ` x3 ` ...˘

“

Nÿ

n“0

anxn ` aN`1xN`18ÿ

m“0

xm

La primera serie como vemos es finita y para |x| ă 1 es convergente. Sin embargo, la serie diverge si x “ 1 yse hace cero para x “ ´1. Por lo cual, debemos quedamos solo con la parte finita del polinomio, la cual debeser ser normalizada para que valgan 1 en x “ 1. Mientras que la segunda serie es divergente al ser una serieinfinita y por lo tanto, no tomaremos en cuenta este termino.

La forma general de estos polinomios de Legendre o funciones de Legendre de primera especie esta dada porla formula de Rodrigues

Pl pxq “1

2l l!dl

dxl

´

x2 ´ 1¯l“ Pl pcos θq (4-73)

es importante aclarar, que esta formula se obtiene haciendo m “ 0, lo cual implica simetrıa axial.

Los primeros polinomios de Legendre de forma explıcita son:

l Pl pxq Pl pcos θq

0 1200!

d0

dx0

`

x2 ´ 1˘0“ 1 1

1 1211!

ddx

`

x2 ´ 1˘

“ x cos θ

2 1222!

d2

dx2

`

x2 ´ 1˘2“ 1

2

`

3x2 ´ 1˘ 1

2

`

3 cos2 θ ´ 1˘

3 12 x

`

5x2 ´ 3˘ 1

2 cos θ`

5 cos2 θ ´ 3˘

4 18

`

35x4 ´ 30x2 ` 3˘ 1

8

`

35 cos4 θ ´ 30 cos2 θ ` 3˘

Tabla 4-1: Primeros polinomios de Legendre.

Algunas propiedades importantes de estos polinomios son:

Pl p1q “ 1

Pl p´1q “ p´1ql

P1l p1q “12 l pl ` 1q donde P1l p1q “

dPlpxqdx

ˇ

ˇ

ˇ

x“1

P1l p´1q “ p´1ql´1 12 l pl ` 1q

Un aspecto importante es que estos polinomios forman un conjunto ortogonal y completo en el intervalor´1, 1s. De ta forma que las relaciones de ortogonalidad y completez de los polinomios las podemos escribir


Figura 4-7: Primeros polinomios de Legendre en el intervalo r´1, 1s.

como

1ż

´1

Pl pxq Pl1 pxq dx “2

2l ` 1δll1 “

πż

0

Pl pcos θq Pl1 pcos θq sin θ dθ (4-74)

12

8ÿ

l“0

p2l ` 1q Pl pxq Pl`

x1˘

“ δ`

x´ x1˘

“12

8ÿ

l“0

p2l ` 1q Pl pcos θq Pl`

cos θ1˘

“ δ`

cos θ ´ cos θ1˘

. (4-75)

Debido a la ortogonalidad de los polinomios de Legendre, es posible expandir cualquier funcion f pxq en unaserie de Legendre de la forma

f pxq “8ÿ

l“0

Al Pl pxq

para obtener los coeficientes Al , multiplicamos la ecuacion anterior por Pl1 pxq e integramos en el intervalor´1, 1s

1ż

´1

f pxq Pl1 pxq dx “

1ż

´1

8ÿ

l“0

Al Pl pxq Pl1 pxq dx “8ÿ

l“0

Al

1ż

´1

Pl pxq Pl1 pxq dx “8ÿ

l“0

Al2

2l ` 1δll1

ñ Al “2l ` 1

2

1ż

´1

f pxq Pl pxq dx (4-76)

el calculo de estos terminos es muy importante en la solucion de problemas como lo veremos mas adelante.Finalmente, la forma general de la solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas con m “ 0 es

φ pr, θ, ϕq|l,0 “R prq

rΘ pθqΨ pϕq “ pa0 ` b0 ϕq

8ÿ

l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq . (4-77)

como lo habıamos mencionado anteriormente, esta solucion solo puede ser empleada en sistemas que presen-ten simetrıa axial, lo cual abarca esferas, hemisferios, discos, anillos, entre otros.

Problema 102. Una esfera de radio R tiene un potencial φ0 en la superficie. Calcule el potencial y el campo electrico pordentro y por fuera de la esfera.


Solucion 102. Debido a que tenemos simetrıa con cualquier eje que pase por el centro de la esfera, podemos considerarm “ 0 y utilizar la ecuacion (4-77). Comenzaremos calculando el potencial en el interior de la esfera, para lo cual tomamosr ă R.

Debido a la unicidad el potencial, este debe ser el mismo para ϕ “ 0 y ϕ “ 2π, por lo tanto

φl,0 pr, θ, ϕqˇ

ˇ

ϕ“0 “ φl,0 pr, θ, ϕqˇ

ˇ

ϕ“2π

pa0 ` b00q8ř

l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq “ pa0 ` b02πq8ř

l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq

ñ b0 “ 0

con lo cual, la solucion no depende de ϕ. Dado que la multiplicacion de constantes es una nueva constante podemosescribir la solucion como

φl,0 pr, θ, ϕq “8ÿ

l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq .

Al examinar el comportamiento del termino Dlr´pl`1q, vemos que este termino sera divergente para l ě 0 cuando r “ 0,razon por la cual los coeficientes Dl deben de ser cero. Con ello la ecuacion se reduce a


l“0

Clrl Pl pcos θq

Aplicando la condicion del potencial φ pR, θ, ϕq “ φ0 tenemos

φ pR, θ, ϕq “ φ0 “

8ÿ

l“0

Cl Rl Pl pcos θq

en virtud de la ecuacion (4-76) obtenemos1ż

´1

φ0Pl1 pxq dx “

1ż

´1

8ÿ

l“0

Cl Rl Pl pxq Pl1 pxq dx

ñ Cl “2l ` 12Rl

1ż

´1

φ0Pl pxq dx

calculando los primeros terminos de Cl

C0 “2 p0q ` 1

2R0 φ0

1ż

´1

P0 pxq dx “φ0

2

1ż

´1

dx “φ0

2xˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1“ φ0

C1 “2 p1q ` 1

2R1 φ0

1ż

´1

P1 pxq dx “φ0

2

1ż

´1

x dx “φ0

2x2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1“ 0

C2 “2 p2q ` 1

2R2 φ0

1ż

´1

P2 pxq dx “φ0

2

1ż

´1

12

´

3x2 ´ 1¯

dx “φ0

212

x´

x2 ´ 1¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1“ 0

de hecho, para valores mayores a 2, los terminos Cl siguen siendo cero (queda para el lector comprobar esta afirmacion).Por lo tanto, para r ď R el potencial es

φl,0 pr, θ, ϕqˇ

ˇ

rďR “

8ÿ

l“0

Cl Rl Pl pcos θq “ φ0 (4-78)


y por lo tanto, el potencial dentro de la esfera es constante, como lo habıamos calculado en la ecuacion (3-52).

Para el caso de r ą R nuevamente partimos de ecuacion (4-77) y al igual que en el caso para r ă R, el potencial debe serel mismo en ϕ “ 0 y ϕ “ 2π.Siendo b0 “ 0 y por lo tanto, la solucion fuera de la esfera tampoco depende de ϕ. Esto nospermite escribir el potencial como


l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq

al examinar el comportamiento del termino Clrl , este diverge para l ě 0 cuando r Ñ8, razon por la cual los coeficientesCl deben de ser cero. De tal forma que nos quedamos con los terminos

φl,0 pr, θ, ϕq “

8ÿ

l“0

Dlr´pl`1qPl pxq .

Aplicando la condicion del potencial φ pR, θ, ϕq “ φ0 tenemos

φl,0 pR, θ, ϕq “8ÿ

l“0

Dl R´pl`1qPl pxq “ φ0

teniendo en cuenta la ecuacion (4-76) obtenemos

1ż

´1

φ0Pl1 pxq dx “

1ż

´1

8ÿ

l“0

Dl R´pl`1qPl pxq Pl1 pxq dx

ñ Dl “p2l ` 1qRpl`1q

2

1ż

´1

φ0Pl pxq dx

realizando las primeras integrales

D0 “p2 p0q ` 1qR0`1

2φ0

1ż

´1

dx “φ0R

2xˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1“ φ0R

D1 “p2 p1q ` 1qR1`1

2φ0

1ż

´1

x dx “3R2φ0

2x2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1“ 0

D2 “p2 p2q ` 1qR2`1

2φ0

1ż

´1

12

´

3x2 ´ 1¯

dx “5R3φ0

212

x´

x2 ´ 1¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1“ 0

para valores mayores a 2, los terminos Dl siguen siendo cero (queda para el lector comprobar esta afirmacion). Por lotanto, teniendo en cuenta la tabla 4-1 el potencial para r ě R es

φl,0 pr, θ, ϕq “ Dlr´pl`1qPl pcos θqˇ

ˇ

ˇ

l“0“ D0r´p0`1qP0 pcos θq “ φ0R r´1P0 pcos θq “

φ0Rr

.

Debido a que no podemos tener discontinuidades en el potencial, debemos comprobar que tanto la solucion interna, comola externa en r “ R son iguales

φl,0 pR, θ, ϕqˇ

ˇ

rěR “φ0R

r

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r“R“ φ0 “ φl,0 pR, θ, ϕq

ˇ

ˇ

rďR


El campo fuera del cascaron esferico para r ě R es

~E pr, θ, ϕq “ ´∇ φl,0 pR, θ, ϕqˇ

ˇ

rěR “ ´

ˆ

rB

Br` θ

1rB

Bθ` φ

1r sin θ

B

Bφ

˙

φ0Rr“

φ0Rr2 r

el cual es el campo electrico de una carga puntual con Q “ 4πε0φ0R. Mientras que para la parte interior del cascaron

~E pr, θ, ϕq “ ´∇ φl,0 pR, θ, ϕqˇ

ˇ

rďR “ ´

ˆ

rB

Br` θ

1rB

Bθ` φ

1r sin θ

B

Bφ

˙

φ0 “ 0.

Problema 103. Calcule el potencial y el campo electrico fuera de una esfera conductora de radio R, descargada y aislada,la cual esta inmersa en un campo electrico uniforme ~E p~rq “ E0k. Calcule tambien la carga inducida por polo

Solucion 103. Para resolver este problema debemos de analizar las condiciones propias del problema. Si tenemos encuenta que no hay carga en el interior de la esfera y que esta se encuentra descargada es natural considerar que el potencialen la superficie de la esfera debera ser cero. Al tener en cuenta que el campo externo es constante, podemos calcular elpotencial antes de colocar la esfera

~E p~rq “ ´∇φ p~rqE0k “ ´

´

BφBx ı` Bφ

By `BφBz k

¯

ñ É0 “BφBz

´zş

0E0dz “

φş

φ0

dφ

É0z` φ0 “ φ

Otro aspecto importante es que el campo electrico producira un movimiento de cargas en el cascaron esferico, de talmanera que las cargas negativas se aglomeraran en la direccion ´k, mientras que las positivas lo hacen en la direccion k,generando una distribucion no homogenea de carga.

Al tratarse de una esfera podemos considerar m “ 0 y utilizar la ecuacion (4-77). Debido a la unicidad el potencial, estedebe ser el mismo ϕ “ 0 y ϕ “ 2π. Debido a lo cual, como se realizo en el problema anterior, la solucion no depende de ϕ

y dado que la multiplicacion de constantes es una nueva constante tenemos


l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq (4-79)

Teniendo en cuenta que cuando r " R, el potencial debe ser el potencial sin la esfera y escribiendo z en coordenadasesfericas

φl,0 pr, θ, ϕqˇ

ˇ

r"R “ É0z` φ0 “ É0r cos θ ` φ0 (4-80)

debemos ahora expandir los terminos de la ecuacion (4-79) para poderlos igualar a la ecuacion (4-80)

φl,0 pr, θ, ϕq “8ř

l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq

“

´

C0r0 `D0r´p0`1q¯

P0 pcos θq `´

C1r1 `D1r´p1`1q¯

P1 pcos θq

`

´

C2r2 `D2r´p2`1q¯

P2 pcos θq ` ...

“ C0 `D0r ` C1r cos θ ` D1

r2 cos θ ` C2r2 12

`

3 cos2 θ ´ 1˘

`D2r3

12

`

3 cos2 θ ´ 1˘

` ...

(4-81)

donde tuvimos en cuenta los valores de los polinomios de Legendre de la tabla 4-1. Para igualar este resultado con elobtenido en la ecuacion (4-80) debemos tener en cuenta que si r " R los terminos de la forma 1

r tienden a cero y por lotanto

É0r cos θ ` φ0 “ C0 ` C1r cos θ ` C2r2 12

`

3 cos2 θ ´ 1˘

` ...ñ C0 “ φ0 ; C1 “ É0 ; Cl “ 0 para l ě 2


de tal forma que el potencial queda

φl,0 pr, θ, ϕq “ φ0 `D0r ´ E0r cos θ ` D1

r2 cos θ ` D2r3

12

`

3 cos2 θ ´ 1˘

` ...

“ φ0 `D0r `

´

D1r2 ´ E0r

¯

cos θ ` D2r3

12

`

3 cos2 θ ´ 1˘

` ...

dado que el potencial en la superficie es cero

φl,0 pR, θ, ϕq “ 0 “ φ0 `D0R `

´

D1R2 ´ E0R

¯

cos θ ` D2R3

12

`

3 cos2 θ ´ 1˘

` ...

ñ φ0 “ 0 ; D0R “ 0 ñ D0 “ 0 ; D1

R2 ´ E0R “ 0 ñ D1 “ E0R3 ; Dl “ 0 para l ě 2

quedando la ecuacion como

φl,0 pr, θ, ϕq “

´

E0R3

r2 ´ E0r¯

cos θ “ E0R3

r2 cos θ ´ E0r cos θ.

Como podemos apreciar, el segundo termino proviene del potencial generado por el campo electrico externo (4-80), mien-tras que el primer termino se debe al potencial generado por cargas electricas inducidas en la esfera, el cual lo podemosescribir como

φes f era “E0R3

r2 cos θ “E0R3

r3 r cos θ (4-82)

si este termino lo comparamos con el resultado obtenido en el calculo del potencial electrostatico de un dipolo electricorealizado anteriormente (3-60), cuyo resultado fue

φ p~rq “ k~p ¨ p~r´~r´q|~r´~r´|3

donde ~p “ q~d y d es la distancia entre las cargas, si hacemos~r´ “ 0, lo cual equivale a ubicar el dipolo sobre el eje z ,obtenemos

φ p~rq “ k~p ¨~rr3 “ k

pr3 r cos θ

comparando este resultado con el obtenido en la ecuacion (4-82) tenemos

E0R3

r3 r cos θ “ k pr3 r cos θ

ñ kp “ E0R3

ñ ~p “ 4πε0E0R3k

lo cual nos permite escribir la ecuacion (4-82) como

φes f era “E0R3

r3 r cos θ “ k~p ¨~rr3

y por lo tanto

φl,0 pr, θ, ϕq “ k~p ~rr3 ´ E0r cos θ “ k~p ¨~rr3 ´ ~E ¨~r. (4-83)

Para calcular el campo electrico partimos del resultado anterior

~E pr, θ, ϕq “ ´∇φ pr, θ, ϕq

“ ´

´

r BBr `

θrBBθ `

φr sin θ

BBφ

¯´

E0R3

r2 cos θ ´ E0r cos θ¯

“ ´r BBr

´

E0R3


´ θrBBθ

´

E0R3


“ E0

´

2R3

r3 ` 1¯

cos θr` E0

´

R3

r3 ´ 1¯

sin θθ


La carga inducida por polo, la podemos calcular teniendo en cuenta el resultado de la densidad de carga inducida en unaplaca (3-30)

~E “σ

ε0ı

donde ı es la direccion normal al plano. Para nuestro problema actual, la direccion normal a la superficie sera r, por lotanto, la densidad en la superficie es

σ pr, θ, ϕq|r“R “ ε0 ~E pR, θ, ϕqˇ

ˇ

ˇ

r“R¨ r

“ ε0

”

E0

´

2R3

R3 ` 1¯

cos θ r` E0

´

R3

R3 ´ 1¯

sin θ θı

¨ r

“ 3ε0E0 cos θ

para hallar la carga inducida por polo debemos de realizar la integral del resultado anterior en el hemisferio superior de laesfera. Para ello debemos tener en cuenta que 0 ď θ ď π

2 , 0 ď ϕ ď 2π y la tabla 2-3

qsup pr, θ, ϕq “

π2ż

0

2πż

0

σ pr, θ, ϕqR2 sin θdθ dϕ

“

π2ż

0

2πż

0

3ε0E0R2 cos θ sin θ dθ dϕ

“ 6πε0E0R2

π2ż

0

cos θ sin θ dθ

“ 6πε0E0R2

π2ż

0

u du

“ 6πε0E0R2 sin2 θ2

ˇ

ˇ

ˇ

π2

0“ 3πε0E0R2

donde usamos la sustitucion u “ sin θ ñ du “ cos θdθ. Mientras que para el hemisferio inferior debemos tener encuenta que π

2 ď θ ď π , 0 ď ϕ ď 2π , obteniendose qin f pr, θ, ϕq “ ´3πε0E0R2 (se deja al lector realizar esta integral).

Podemos ver que la distribucion de carga positiva y negativa en cada uno de los hemisferios, son los que generan el terminode dipolo en la solucion del potencial, siendo la carga total inducida en la esfera

qtotal pr, θ, ϕq “ qsup pr, θ, ϕq ` qin f pr, θ, ϕq “ 0 “

πż

0

2πż

0

σ pr, θ, ϕq sin θdθ dϕ.

Figura 4-8: a) Potencial y lineas de campo electrico para una esfera conductora inmersa en un campo electrico constante,b) Densidad de carga imagen generada en cada uno de los polos debido al campo exterior.


Problema 104. Calcule el potencial dentro y fuera de un cascaron esferico de radio R, para el cual el hemisferio superioresta a un potencial φ0, mientras que el hemisferio inferior a un potencial ´φ0.

Solucion 104. Debido a la simetrıa esferica del problema, consideraremos m “ 0 y utilizar la ecuacion (4-77). Teniendoen cuenta la unicidad del potencial, vemos que la solucion no depende de ϕ y dado que la multiplicacion de constantes esuna nueva constante podemos escribir la solucion como


l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq .

Al examinar el comportamiento del termino Dlr´pl`1q, vemos que este termino sera divergente para l ě 0 cuando r “ 0,razon por la cual los coeficientes Dl deben de ser cero. Con ello la ecuacion se reduce a


l“0

Clrl Pl pcos θq

donde

φ pR, θ, ϕq “

#

φ0 0 ď θ ď π2

´φ0π2 ď θ ď π

y por lo tanto


l“0

Cl Rl Pl pcos θq

en virtud de la ecuacion (4-76) tenemos que

Cl “2l ` 12Rl

1ż

´1

φ pR, xq Pl pxq dx

al plantear los polinomios de Legendre como Pl pxq y no como Pl pcos θq, estamos buscando sencillez en el proceso deintegracion. Por ello escribimos tambien el potencial en la superficie como

φ pR, xq “

#

φ0 0 ď x ď 1 ” 0 ď θ ď π2

´φ0 ´1 ď x ď 0 ” π2 ď θ ď π

(4-84)

calcularemos los primeros valores de Cl

C0 “2 p0q ` 1

2R0

1ż

´1

φ pR, xq P0 pxq dx “12

¨

˝

1ż

0

φ0dx´

0ż

´1

φ0dx

˛

‚“φ0

2xˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0´

φ0

2xˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1“ 0

C1 “2 p1q ` 1

2R1

1ż

´1


2R

¨

˝

1ż

0

φ0xdx´

0ż

´1

φ0xdx

˛

‚“3φ0

2R

˜

x2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0´

x2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

¸

“3φ0

2R

C2 “2 p2q ` 1

2R2

1ż

´1


2R2

¨

˝

1ż

0

φ012

´

3x2 ´ 1¯

dx´

0ż

´1

φ012

´

3x2 ´ 1¯

dx

˛

‚

“5φ0

4R2

ˆ

x3 ´ xˇ

ˇ

ˇ

1

0´ x3 ´ x

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

˙

“ 0


C3 “2 p3q ` 1

2R3

1ż

´1


2R3

¨

˝

1ż

0

φ012

´

5x3 ´ 3x¯

dx´

0ż

´1

φ012

´

5x3 ´ 3x¯

dx

˛

‚

“7φ0

4R3

˜

54

x4 ´32

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0´

54

x4 ´32

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

¸

“7φ0

4R3

ˆ

54´

32`

54´

32

˙

“ ´7φ0

8R3

C4 “2 p4q ` 1

2R4

1ż

´1


2R4

¨

˝

1ż

0

φ018

´

35x4 ´ 30x2 ` 3¯

dx´

0ż

´1

φ018

´

35x4 ´ 30x2 ` 3¯

dx

˛

‚

“9φ0

16R4

ˆ

7x5 ´ 10x3 ` 3xˇ

ˇ

ˇ

1

0´ 7x5 ´ 10x3 ` 3x

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

˙

“ 0

C5 “2 p5q ` 1

2R5

1ż

´1


2R5

¨

˝

1ż

0

φ018

´

63x5 ´ 70x3 ` 15x¯

dx´

0ż

´1

φ018

´

63x5 ´ 70x3 ` 15x¯

dx

˛

‚

“11φ0

16R5

˜

636

x6 ´704

x4 `152

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0´

636

x6 ´704

x4 `152

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

¸

“11φ0

16R5 .

Como podemos ver los terminos C-pares son cero3, por lo tanto, el potencial para la region r ă R nos queda como

φl,0 pR, θ, ϕq “8ř

l“0Clrl Pl pcos θq

“ C1r1P1 pcos θq ` C3r3P3 pcos θq ` C5r5P5 pcos θq ` ...“

3φ02R rP1 pcos θq ´

7φ08R3 r3P3 pcos θq `

11φ016R5 r5P5 pcos θq ` ...

“φ02

´

3` r

R˘

P1 pcos θq ´ 74

` rR˘3 P3 pcos θq ` 11

8

` rR˘5 P5 pcos θq ` ...

¯

(4-85)

a medida que tomamos mas terminos en la suma vemos que estos no son relevantes dado que son de la forma` r

R˘2n`1 y

para n grandes las contribuciones seran muy pequenas y por lo tanto pueden ser despreciadas.

Para regiones r ą R utilizamos nuevamente la ecuacion (4-77) y teniendo en cuenta que absorbemos ϕ en las otrasconstantes tenemos


l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq

podemos ver que cuando r Ñ 8, los terminos Cl “ 0 o de lo contrario tendrıamos una divergencia en el lımrÑ8

Clrl .Debemos ahora calcular los terminos Dl utilizando la ecuacion (4-84) obtenemos


l“0

Dl R´pl`1qPl pcos θq

y en virtud de la ecuacion (4-76) tenemos

Dl “2l ` 1

2Rpl`1q

1ż

´1

φ pR, xq Pl pxq dx

ası, los primeros valores de Dl seran

D0 “2 p0q ` 1

2Rp0`1q

1ż

´1


R

¨

˝

1ż

0

φ0dx´

0ż

´1

φ0dx

˛

‚“φ0

2R´

x|10 ´ x|0´1

¯

“ 0

3Esto debido a que una funcion impar por una funcion par, da como resultado una funcion impar y la integral de una funcion impar escero en un intervalo simetrico. Ası entonces los terminos C-pares son cero, ya que para estos el polinomio de Legendre es una funcion par.


D1 “2 p1q ` 1

2Rp1`1q

1ż

´1


R2

¨

˝

1ż

0

φ0xdx´

0ż

´1

φ0xdx

˛

‚“3φ0

2R2

˜

x2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0´

x2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

¸

“3φ0

2R2

D2 “2 p2q ` 1

2Rp2`1q

1ż

´1


R3

¨

˝

1ż

0

φ012

´

3x2 ´ 1¯

dx´

0ż

´1

φ012

´

3x2 ´ 1¯

dx

˛

‚

“5φ0

4R3

ˆ

x3 ´ xˇ

ˇ

ˇ

1

0´ x3 ´ x

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

˙

“ 0

D3 “2 p3q ` 1

2Rp3`1q

1ż

´1


R4

¨

˝

1ż

0

φ012

´

5x3 ´ 3x¯

dx´

0ż

´1

φ012

´

5x3 ´ 3x¯

dx

˛

‚

“7φ0

4R4

˜

54

x4 ´32

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0´

54

x4 ´32

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

¸

“7φ0

4R4

ˆ

54´

32`

54´

32

˙

“ ´7φ0

8R4

D4 “2 p4q ` 1

2Rp4`1q

1ż

´1


R5

¨

˝

1ż

0

φ018

´

35x4 ´ 30x2 ` 3¯

dx´

0ż

´1

φ018

´

35x4 ´ 30x2 ` 3¯

dx

˛

‚

“9φ0

16R5

ˆ

7x5 ´ 10x3 ` 3xˇ

ˇ

ˇ

1

0´ 7x5 ´ 10x3 ` 3x

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

˙

“ 0

D5 “2 p5q ` 1

2R5 Rp5`1q1ż

´1

φ pR, xq P0 pxq dx

“112

R6

¨

˝

1ż

0

φ018

´

63x5 ´ 70x3 ` 15x¯

dx´

0ż

´1

φ018

´

63x5 ´ 70x3 ` 15x¯

dx

˛

‚

“11φ0

16R6

˜

636

x6 ´704

x4 `152

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0´

636

x6 ´704

x4 `152

x2ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1

¸

“11φ0

16R5 .

Como podemos ver los terminos D-pares son cero, por la misma razon que los terminos C-pares fueron cero. Por lo tanto,el potencial para la region r ą R nos queda como

φl,0 pR, θ, ϕq “8ř

l“0Dlr´pl`1qPl pcos θq

“ D1r´2P1 pcos θq `D3r´4P3 pcos θq `D5r´6P5 pcos θq ` ...

“3φ0

2

´

Rr

¯2P1 pcos θq ´

7φ08

´

Rr

¯4P3 pcos θq `

11φ016

´

Rr

¯6P5 pcos θq ` ...

“φ02

ˆ

3´

Rr

¯2P1 pcos θq ´ 7

4

´

Rr

¯4P3 pcos θq ` 11

8

´

Rr

¯6P5 pcos θq ` ...

˙

.

(4-86)

Podemos apreciar que la diferencia en las ecuaciones (4-85) y (4-86) radica en que para r ă R las potencias de r van de la

forma` r

R˘l , mientras que para r ą R las potencias estan dadas por

´

Rr

¯l`1. Esto debido a que se trata de un resultado

general en coordenadas esfericas, lo cual nos permite cambiar facilmente entre regiones con solo este tipo de cambio.


4.5.1. Solucion en polinomios generalizados de Legendre

La solucion general de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas nos dio como resultado la ecuacion(4-65)

´

1´ x2¯ d2Θ pxq

dx2 ´ 2xdΘ pxq

dx`

ˆ

l pl ` 1q ´m2

1´ x2

˙

Θ pxq “ 0

y en la seccion anterior la resolvimos considerando m ‰ 0. En este apartado ampliaremos la solucion de laecuacion anterior, la cual son los polinomios generalizados de Legendre Pl,m pcos θq ” Pl,m pxq, los cuales estanrelacionados con Pl pxq por medio de la ecuacion (4-70)

Pl,m pxq “ p´1qm´

1´ x2¯

m2 dm

dxm Pl pxq .

La formula de Rodrigues para este caso es

Pl,m pxq “ p´1qm`

1´ x2˘m2

2l l!dl`m

dxl`m

´

x2 ´ 1¯l

(4-87)

con 0 ď m ď l. Los primeros polinomios generalizados de Legendre de forma explıcita son

l, m Pl,m pxq Pl,m pcos θq

0, 0 p´1q0 p1´x2q

02

200!d0`0

dx0`0

`

x2 ´ 1˘0“ 1 1

1, 0 p´1q0 p1´x2q

02

211!d1`0

dx1`0

`

x2 ´ 1˘1“ x cos θ

1, 1 p´1q1 p1´x2q

12

211!d1`1

dx1`1

`

x2 ´ 1˘1“ ´

?1´ x2 ´ sin θ

1,´1 p´1q1 p1´x2q

12

211!d1`1

dx1`1

`

x2 ´ 1˘1“ 1

2

?1´ x2 1

2 sin θ

2, 0 12

`

3x2 ´ 1˘ 1

2

`

3 cos2 θ ´ 1˘

2, 1 ´3x?

1´ x2 ´3 cos θ sin θ

2,´1 12 x?

1´ x2 12 cos θ sin θ

2, 2 3`

1´ x2˘ 3 sin2 θ

2,´2 18

`

1´ x2˘ 18 sin2 θ

Tabla 4-2: Primeros polinomios generalizados de Legendre.

Dado que m ‰ 0, las soluciones para Ψ pϕq y R prq son respectivamente

Ψ pϕq “ Ameimϕ ` Bme´imϕ

R prq “ Clrl `Dlr´l

y la solucion general sera

φ pr, θ, ϕq|l,m “R prq

rΘ pθqΨ pϕq “

´

Ameimϕ ` Bme´imϕ¯

8ÿ

l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl,m pcos θq .

Un aspecto interesante es que podemos reunir los terminos angulares en una funcion compleja denominadaarmonicos esfericos Yl,m pθ, ϕq

Yl,m pθ, ϕq “

d

ˆ

2l ` 14π

˙

pl ´mq!pl `mq!

Pl,m pcos θq eimϕ (4-88)


l, m Yl,m pθ, ϕq

0, 0 1?4π

1, 0b

34π cos θ

1, 1 ´

b

38π sin θeiϕ

1,´1b

38π sin θe´iϕ

2, 0 12

b

54π

`

3 cos2 θ ´ 1˘

2, 1 ´

b

158π cos θ sin θeiϕ

2,´1b

158π cos θ sin θe´iϕ

2, 2 14

b

152π sin2 θe2iϕ

2,´2 14

b

152π sin2 θe´2iϕ

Tabla 4-3: Primeros terminos de los armonicos esfericos.

y cuyos primeros terminos aparecen en la tabla 4-3.

Podemos ver que cuando θ “ 0 y m ‰ 0, los terminos Yl,m p0, ϕq “ 0, mientras que para m “ 0 tenemos

Yl,0 pθ, ϕq “

d

ˆ

2l ` 14π

˙

pl ´ 0q!pl ` 0q!

Pl,0 pcos θq eip0qϕ “

d

ˆ

2l ` 14π

˙

Pl pcos θq

lo cual implica que para Pl p1q “c

´

2l`14π

¯

. De tal forma que la solucion general toma la forma

φ pr, θ, ϕq “

´

Cl,mrl `Dl,mr´pl`1q¯

Yl,m pθ, ϕq “8ř

l“0

m“lř

m“´l

´

Cl,mrl `Dl,mr´pl`1q¯

Yl,m pθ, ϕq (4-89)

donde ´l ď m ď l. Ası como sucede con los polinomios de Legendre, tambien tenemos relaciones de ortogo-nalidad y completez para los armonicos esfericos

ż

Ylm pθ, ϕqY˚l1m1 pθ, ϕq dΩ “ δll1δmm1 ,

8ÿ

l“0

lÿ

m“´l

Ylm pθ, ϕqY˚lm`

θ1, ϕ1˘

“ δ`

ϕ´ ϕ1˘

δ`

cos θ ´ cos θ1˘

donde dΩ ” sin θdθdϕ es el elemento de angulo solido4. Debido a la ortogonalidad de los armonicos esfericos,podemos expandir cualquier funcion f pθ, ϕq en terminos de estos, de tal manera que

f pθ, ϕq “8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

Al,mYl,m pθ, ϕq

y donde los coeficientes Al,m se calculan como

Al,m “

πż

0

2πż

0

f pθ, ϕqY˚l,m pθ, ϕq sin θdθdϕ.

4ż

E

dΩ “

2πż

ϕ“0

πż

θ“0

sin θdθdϕ “ 4π , siendo E una esfera de radio unitario


Un aspecto importante en la solucion de problemas de electrodinamica que posean simetrıa esferica, es poderexpandir la funcion 1

|~r ~r1| en polinomios de Legendre como

1|~r´~r1|

“1

rą

8ÿ

l“0

ˆ

rărą

˙lPl pcos θq (4-90)

donde ră es el menor entre~r y~r1, mientras que rą es el mas grande de los dos. Por lo tanto, podemos escribirla relacion anterior en terminos de los armonicos esfericos como

1|~r´~r1|

“4π

rą

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

ˆ

rărą

˙lYlm pθ, ϕqY˚lm

`

θ1, ϕ1˘

. (4-91)

Capıtulo 5

Expansion multipolar

Cuando tenemos una distribucion localizada de cargas, para puntos muy lejanos a la distribucion, el campoobservado es semejante al de una carga puntual. Sin embargo, si la carga neta de la distribucion es cero (comosabemos la materia por lo general es neutra), esto no implica que el potencial sea cero en todos los puntos delespacio, debido a que una distribucion asimetrica de cargas puede producir potenciales diferente de cero enciertos puntos del espacio.

Por lo tanto, si no conocemos la distribucion de cargas es claro que la aplicacion del principio de superposicionno es posible. Debido a ello es necesario desarrollar un metodo aproximado para campos lejanos en casosen los cuales la distribucion de carga no es conocida. Este modelo es bastante util para estudiar las fuerzasintermoleculares, modelos electrostaticos, estructuras cristalograficas, entre otros.

Para el libro desarrollaremos la expansion multipolar en coordenadas cartesianas y en coordenadas esfericas.

5.1. Expansion multipolar en coordenadas cartesianas

El potencial para una distribucion localizada de cargas lo hemos escrito de forma general como

φ p~rq “ kż

ρ`

~r1˘

dV1

|~r´~r1|(5-1)

donde ~r1 es la posicion de las cargas y ~r la posicion donde deseamos conocer el potencial. Como vemos, elvalor del potencial esta fuertemente influenciado por el lugar donde se encuentran las cargas. Si suponemosque r " r1, el potencial puede ser expandido en series de potencias de r1

r y de esta manera asegurar que laconvergencia sera mas rapida en una serie de Taylor

1|~r ~r1|

“ˇ

ˇ~r ~r1ˇ

ˇ

´1“

ˇ

ˇ

ˇ

a

p~r ~r1q ¨ p~r ~r1qˇ

ˇ

ˇ

´1“

´

r2 ` r12 ´ 2~r ~r1¯´ 1

2

“

«

r2

˜

1`ˆ

r1

r

˙2

´ 2~r ~r1

r2

¸ff´ 12

“1r

„

1`ˆ

r12

r2 ´ 2~r ~r1

r2

˙´ 12

165

166 5 Expansion multipolar

realizando una expansion en series de Taylor1 de la forma

p1` xq´12 “ 1´

12

x`38

x2 ´516

x3 `O´

x4¯

podemos definir x “ r12r2 ´ 2~r ~r

1

r2 y dado que~r ~r1 “ rr1 cos θ, donde θ es el angulo entre~r y~r1, entonces

1|~r ~r1|

“1r

„

1`ˆ

r12

r2 ´ 2~r ~r1

r2

˙´ 12

“1r

«

1´12

ˆ

r12

r2 ´ 2~r ~r1

r2

˙

`38

ˆ

r12

r2 ´ 2~r ~r1

r2

˙2

´516

ˆ

r12

r2 ´ 2~r ~r1

r2

˙3

` . . .

ff

“1r

«

1´12

ˆ

r12

r2 ´ 2rr1 cos θ

r2

˙

`38

˜

r14

r4 ´ 4r12

r2~r ~r1

r2 ` 4

`

~r ~r1˘2

r4

¸

´516

˜

r16

r6 ´ 6r14

r4~r ~r1

r2 ` 12r12

r2

`

~r ~r1˘2

r4

´8

`

~r ~r1˘3

r6

¸

` . . .

ff

“1r

«

1´12

ˆ

r12

r2 ´ 2r1

rcos θ

˙

`38

˜

r14

r4 ´ 4r12

r2rr1 cos θ

r2 ` 4

`

rr1 cos θ˘2

r4

¸

´5

16

ˆ

r16

r6 ´ 6r14

r4rr1 cos θ

r2

`12r12

r2

`

rr1 cos θ˘2

r4 ´ 8

`

rr1 cos θ˘3

r6

¸

` . . .

ff

“1r

«

1´12

r12

r2 `r1

rcos θ `

38

r14

r4 ´32

r13

r3 cos θ `32

r12

r2 cos2 θ ´5

16r16

r6 `158

r14

r4rr1 cos θ

r2 ´154

r12

r2

`

rr1 cos θ˘2

r4

`52

`

rr1 cos θ˘3

r6 ` . . .

ff

“1r

„

1`r1

rcos θ `

32

r12

r2 cos2 θ ´12

r12

r2 `52

r13

r3 cos3 θ ´32

r13

r3 cos θ `38

r14

r4 ´154

r14

r4 cos2 θ `158

r15

r5 cos θ

´5

16r16

r6 ` . . .

“1r

«

1`ˆ

r1

r

˙

cos θ `

ˆ

r1

r

˙2 ˆ3 cos2 θ ´ 12

˙

`

ˆ

r1

r

˙3 ˆ5 cos3 θ ´ 3 cos θ

2

˙

`38

r14

r4 ´154

r14

r4 cos2 θ

`158

r15

r5 cos θ ´516

r16

r6 ` . . .

si analizamos los terminos que acompanan las potencias de´

r1r

¯

, vemos que estos son los polinomios deLegendre, lo cual ademas de sorprende, nos ayuda a simplificar mucho las cosas, ya que podemos escribir

1|~r ~r1|

“1r

8ÿ

n“0

ˆ

r1

r

˙n

Pn pcos θq

1La forma mas general de una expansion en series de Taylor la podemos escribir como f pxq “8ř

n“0

1n!

dn f pxqdxn

ˇ

ˇ

ˇ

x“x0px´ x0q

n“ f px0q `

f 1 px0q px´ x0q ` f 2 px0qpx´x0q

2

2 ` ...

5.1 Expansion multipolar en coordenadas cartesianas 167

si remplazamos la ecuacion anterior en la ecuacion del potencial (5-1)

φ p~rq “ kż

ρp~r1qdV1

|~r ~r1|

“ kż

1r

8ÿ

n“0

´

r1r

¯nPn pcos θq ρ

`

~r1˘

dV1

“ k8ÿ

n“0

1rn`1

ż

r1nPn pcos θq ρ`

~r1˘

dV1

“ kr

ż

ρ`

~r1˘

dV1 ` kr2

ż

r1 cos θρ`

~r1˘

dV1 ` kr3

ż

r12´

3 cos2 θ´12

¯

ρ`

~r1˘

dV1 ` kr4

ż

r13´

5 cos3 θ´3 cos θ2

¯

ρ`

~r1˘

dV1 ` ...

Un aspecto interesante, es que la evaluacion del potencial solo depende de la distribucion de carga, mas nodel punto de evaluacion del potencial. La relacion anterior podemos escribirla en forma vectorial, para lo cualdebemos tener en cuenta que r1 cos θ “ r ¨~r1 “ ~r ~r1

r y por lo tanto

φ p~rq “kr

ż

ρ`

~r1˘

dV1 `kr2

ż

r1 cos θρ`

~r1˘

dV1 `kr3

ż

r12ˆ

3 cos2 θ ´ 12

˙

ρ`

~r1˘

dV1

`kr4

ż

r13ˆ

5 cos3 θ ´ 3 cos θ

2

˙

ρ`

~r1˘

dV1 ` ...

“kr

ż

ρ`

~r1˘

dV1 `kr2

ż

~r ¨~r1

rρ`

~r1˘

dV1 `kr3

ż

ρ`

~r1˘

˜

3`

~r ~r1˘2´ r12r2

2r2

¸

dV1

`kr4

ż

¨

˚

˝

5´

~r ~r1r

¯3´ 3r12

´

~r ~r1r

¯

2

˛

‹

‚

ρ`

~r1˘

dV1 ` . . .

“kr

ż

ρ`

~r1˘

dV1 ` k~rr3 ¨

ż

~r1ρ`

~r1˘

dV1 `k

2r5~r ¨ˆż

ρ`

~r1˘

´

3~r1~r1 ´ Ir12¯

dV1˙

~r

`k

2r7

ż

´

5`

~r ¨~r1˘3´ 3r14

`

~r ¨~r1˘

¯

ρ`

~r1˘

dV1 ` . . .

Podemos reescribir la relacion anterior de forma mas compacta como

φ p~rq “ kqr` k

p~p ¨~rqr3 `

k2r5~r ¨Q ~r` . . . (5-2)

donde

q “ż

ρ`

~r1˘

dV1 se define como momento de monopolo electrico, el cual tiene un caracter escalar. Este

termino puede asociarse a una carga puntual centrada en el origen o equivalentemente a una esferacentrada en el origen. Si la carga total es cero, este no sera el termino dominante y si lo seran las demascontribuciones multipolares.

~p “ż

~r1ρ`

~r1˘

dV1 ñ pi “

ż

ρ`

r1˘

x1idV1es el momento de dipolo electrico el cual estara determinado por

la geometrıa de la distribucion (tamano, forma y densidad), al igual que sucede con los demas terminosmultipolares. Como vemos el termino de dipolo electrico tiene caracter vectorial.

Q“

ż

ρ`

~r1˘ `

3~r1~r1 ´ Ir12˘

dV1 ñ Qij “

ż

ρ`

~r1˘

´

3x1ix1j ´ r12δij

¯

dV1 se define como el momento de cuadru-

polo electrico, siendo la suma de dos dipolos electricos y tiene un caracter tensorial. Siendo este un tensorde segundo rango, simetrico y de traza nula.


Problema 105. Calcule el potencial a segundo orden en la expan-sion multipolar de la distribucion de cargas de la figura 5-1 parar " a.

Figura 5-1:

Solucion 105. Partiendo de la forma discreta del potencial de la ecuacion (3-37). Debemos de calcular las posiciones delas cargas, de la figura 5-1 tenemos~r “ y ` zk,~r13q “ ak,~r1´2q “ a p´ q,~r1q “ a

´

´k¯

y~r1´2q “ a . Remplazando en elpotencial obtenemos

φ p~rq “ k4ÿ

i“1

qiˇ

ˇ~r´~r1iˇ

ˇ

“ kq

¨

˝

3ˇ

ˇ

~r´ akˇ

ˇ

ˇ

´2

|~r` a |`

1ˇ

ˇ

~r` akˇ

ˇ

ˇ

´2

|~r´ a |

˛

‚

“ kq

¨

˝

3b

y2 ` pz´ aq2´

2b

py` aq2 ` z2`

1b

y2 ` pz` aq2´

2b

py` aq2 ` z2

˛

‚

si tomamos el lımite cuando r " a, el potencial sera cero debido a que las diferentes contribuciones de carga se cancelanentre si. Por lo tanto, la unica opcion para calcular el potencial en esta region sera realizar una expansion multipolar.

Para ello escribiremos que el momento dipolar como

~p “ 3qak` qa´

´k¯

´ 2qa ´ 2qa p´ q “ 2qak

teniendo en cuenta el cambio de representacion para coordenadas cartesianas y esfericas de la ecuacion (1-10)

¨

˝

rθ

φ

˛

‚“

¨

˝

sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ

cos θ cos φ cos θ sin φ ´ sin θ

´ sin φ cos φ 1

˛

‚

¨

˝

ı

k

˛

‚

podemos ahora remplazar el momento dipolar y r, en la expansion multipolar de la ecuacion (5-2)

φ pr, θq “ kqr` k

p~p ¨~rqr3 `

k2r5~r ¨Q ~r` . . .

“ 0` k2qak ¨ rr

r3 ` ...

“ 0` k2qak ¨

´

sin θ cos φı` sin θ sin φ` cos θk¯

r2 ` ...

“ k2qa cos θ

r2 ` ...

5.2 Expansion multipolar en coordenadas esfericas 169

5.2. Expansion multipolar en coordenadas esfericas

Problema 106. Teniendo en cuenta la configuracion de cargas dela figura 5-2 , las cuales estan ubicadas en z “ ˘a con carga q yuna carga ´2q en el origen. Calcule el potencial electrostatico pormedio de una expansion multipolar en armonicos esfericos, parar ą a y r ă a y el termino cuadrupolar para r ą a cuando a Ñ 0.

Figura 5-2:

Solucion 106. Debido a que tenemos una configuracion discreta y localizada de cargas, es necesario determinar lasposiciones de las cargas, lo cual lo realizaremos en coordenada esfericas

~r1 θ ϕ

qÒ ak 0 0´2q 0 0 0qÓ ´ak π 0

Partiendo de la ecuacion (3-37), el potencial lo podemos escribir como

φ p~rq “3ÿ

i“1

qiˇ

ˇ~r´~r1iˇ

ˇ

“ kq

¨

˝

1ˇ

ˇ

~r´~r1Ò

ˇ

ˇ

ˇ

´2r`

1ˇ

ˇ

~r´~r1Ó

ˇ

ˇ

ˇ

˛

‚

teniendo en cuenta la ecuacion (4-91)

1|~r´~r1|

“4π

rą

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

ˆ

rărą

˙lY˚l,m

`

θ1, ϕ1˘

Yl,m pθ, ϕq

podemos escribir el potencial de forma general como

φ p~rq “ kq

˜

4π

rą

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

ˆ

rărą

˙lY˚l,m

`

0, ϕÒ˘

Yl,m pθ, ϕq ´2r`

4π

rą

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

ˆ

rărą

˙lY˚l,m

`

π, ϕÓ˘

Yl,m pθ, ϕq

¸

la solucion para el caso r ą a, implica que tomemos ră “ a y rą “ r, por lo tanto

φ p~rq “ kq

˜

4π

r

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

´ ar

¯lY˚l,m

`

0, ϕÒ˘

Yl,m pθ, ϕq ´2r`

4π

r

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

´ ar

¯lY˚l,m

`

π, ϕÓ˘

Yl,m pθ, ϕq

¸

cuando θ “ 0 y m ‰ 0, los armonicos esfericos son cero como ya lo habıamos analizado en la seccion 4.5.1, mientras quepara m “ 0 tenemos

Yl,0 pθ, ϕq “

d

ˆ

2l ` 14π

˙

Pl pcos θq

como vemos Yl,0 pθ, ϕq tiene solo componentes reales y por lo tanto es igual a su complejo conjugado

Y˚l,0 p0, ϕq “

d

ˆ

2l ` 14π

˙

Pl pcos 0q “

d

ˆ

2l ` 14π

˙

.


Para θ “ π tenemos

Y˚l,0 pπ, ϕq “

d

ˆ

2l ` 14π

˙

Pl pcos πq “

d

ˆ

2l ` 14π

˙

Pl p´1q “ p´1qld

ˆ

2l ` 14π

˙

lo cual nos permite escribir el potencial como

φ p~rq “ kq

˜

4π

r

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

´ ar

¯lY˚l,m

`

0, ϕÒ˘

Yl,m pθ, ϕq ´2r`

4π

r

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

´ ar

¯lY˚l,m

`

π, ϕÓ˘

Yl,m pθ, ϕq

¸

“ kq

˜

4π

r

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

´ ar

¯ld

ˆ

2l ` 14π

˙

d

ˆ

2l ` 14π

˙

Pl pcos θq ´2r`

`4π

r

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

´ ar

¯lp´1ql

d

ˆ

2l ` 14π

˙

d

ˆ

2l ` 14π

˙

Pl pcos θq

¸

“ 4πkqr

˜

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

´ ar

¯lˆ

2l ` 14π

˙

Pl pcos θq `8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

12l ` 1

´ ar

¯lp´1ql

ˆ

2l ` 14π

˙

Pl pcos θq

¸

´ k2qr

“ kqr

8ÿ

l“0

m“lÿ

m“´l

´

1` p´1ql¯´ a

r

¯lPl pcos θq ´ k

2qr

podemos ver que si l es impar 1` p´1ql “ 0, mientras que si l es par 1` p´1ql “ 2 y por lo tanto el potencial quedacomo

φ p~rq|rąa “ k2qr

8ÿ

l“0

´ ar

¯2lP2l pcos θq ´ k

2qr

. (5-3)

Para el caso de r ă a podemos escribir la relacion anterior como

φ p~rq|răa “ k2qa

´ ar

¯

8ÿ

l“0

´ ar

¯2lP2l pcos θq ´ k

2qa

´ ar

¯

“ k2qa

8ÿ

l“0

´ ar

¯2l`1P2l pcos θq ´ k

2qa

´ ar

¯

“ k2qa

8ÿ

l“0

´ ra

¯2lPl pcos θq ´ k

2qa

donde tuvimos en cuenta, en el ultimo renglon que

´ ra

¯lÐÑ

´ ar

¯l`1ñ

#

` ar˘

ÝÑ` r

a˘0“ 1

` ar˘2l`1

ÝÑ` r

a˘2l

Para calcular el termino cuadrupolar Q para r ą a cuando a Ñ 0, es necesario expandir el potencial (5-3) teniendo encuenta la tabla 4-1

φ p~rq “ k 2qr

8ř

l“0

` ar˘2l P2l pcos θq ´ k 2q

r

“ k 2qr

´

` ar˘2p0q P2p0q pcos θq `

` ar˘2 P2 pcos θq `

` ar˘4 P4 pcos θq ` ...

¯

´ k 2qr

“ k 2qr

´

1`` a

r˘2 1

2

`

3 cos2 θ ´ 1˘

`` a

r˘4 1

8

`

35 cos4 θ ´ 30 cos2 θ ` 3˘

` ...¯

´ k 2qr

“ k 2qr ´ k 2q

r ` kq a2

r3

`

3 cos2 θ ´ 1˘

` kq a4

4r5

`

35 cos4 θ ´ 30 cos2 θ ` 3˘

` ...

“ k Q

r3

”

`

3 cos2 θ ´ 1˘

` a2

4r2

`

35 cos4 θ ´ 30 cos2 θ ` 3˘

` ...ı

5.2 Expansion multipolar en coordenadas esfericas 171

donde tomamos el termino cuadrupolar como Q “ qa2. Si tomamos el limite cuando a tiende a cero en la ecuacion anteriortenemos

φcuadrupolar p~rq “ lımaÑ0

φ p~rq

“ lımaÑ0

kQ

r3

„

´

3 cos2 θ ´ 1¯

`a2

4r2

´

35 cos4 θ ´ 30 cos2 θ ` 3¯

` ...

“ kQ

r3

„

lımaÑ0

´

3 cos2 θ ´ 1¯

` lımaÑ0

a2

4r2

´

35 cos4 θ ´ 30 cos2 θ ` 3¯

` ...

“ kQ

r3

´

3 cos2 θ ´ 1¯

.

Podemos ver un aspecto interesante del resultado anterior y es el hecho que el termino cuadrupolar es proporcional a 1r3 , el

dipolar es proporcional a 1r2 y el potencial es proporcional a 1

r . Este hecho es caracterıstico en las expansiones multipolaresen coordenadas esfericas y permite discriminar los tipos de terminos presentes en la expansion.

Capıtulo 6

Electrostatica de medios materiales

La gran mayorıa de materiales pertenecen a dos grandes grupos, caracterizados por sus propiedades electricas:conductores y aislantes (o dielectricos).

6.1. Corriente electrica

Corriente electrica se puede definir como el flujo neto de carga perpendicular a cualquier area en el tiempo.

I “∆Q∆t

” I “dQdt“ Ampere “ rAs “

”

C ¨ s´1ı

(6-1)

y la podemos escribir en funcion de la velocidad de arrastre de las cargas moviles. Segun como se produzca lacorriente existen tres tipos de densidad de corriente:

Densidad de corriente de conveccion.

Densidad de corriente de conduccion.

Densidad de corriente de desplazamiento.

Sin embargo, la corriente de conveccion solo se presenta como una de las formas de transferencia de calor enmedios materiales. Mientras que la corriente de desplazamiento sera analizada en la seccion 8.5.1.

6.1.1. Corriente de conduccion

Si tenemos un conductor el cual lo sometemos a una diferencia de potencial4V, esto creara un campo electricoen el interior el cual ejercera fuerza sobre los electrones de conduccion del material, haciendo que estos semuevan. Si suponemos que tenemos n cargas negativas moviendose con una velocidad ~v en un tiempo ∆tentonces la distancia que recorren dichas cargas sera x “ |~v|∆t.

173

174 6 Electrostatica de medios materiales

Figura 6-1: Representacion del movimiento de cargas en un conductor.

Si consideramos que las cargas se mueven en un cilindro de seccion transversal A como se ilustra en la figura6-1, podemos considerar el volumen de un cilindro Vc “ A |~v|∆t por lo tanto, la carga que fluye en el cilindrosera

∆Q “ nqA |~v|∆t

ası entoncesI “

∆Q∆t

“ nqA |~v| (6-2)

Pudiendo definir la densidad de corriente como

~J “nÿ

i“1

niqi~vi (6-3)

La corriente de conduccion requieren de un conductor el cual se caracterice por tener gran cantidad de electro-nes libres, los cuales debido al campo aplicado producen carga con libertad de desplazamiento. Si queremoscalcular la velocidad de estos electrones, debemos tener en cuenta que los electrones no estan en el vacio y porello presentaran constantes colisiones con la red atomica, esto implica que su camino libre medio1 pτq se veraafectado. Considerando la segunda ley de Newton tenemos

~F “ m~a

é~E “d~pdt“

m~vτ

ñ é~Eτ

m“ ~v

es claro que hemos considerado una velocidad promedio y por lo tanto no se esta haciendo un calculo sobrecada una de las cargas. La densidad de carga la podemos escribir como

ρ “ ńe

y por lo tanto la densidad de corriente de conduccion sera

~J “ ρ~v “ pńeq

˜

é~Eτ

m

¸

“ne2~Eτ

m“ σ~E

donde definimos σ “ ne2τm como la conductividad del conductor.

1Intervalo de tiempo entre colisiones

6.2 Resistividad y resistencia 175

Si en un conductor el cual tiene una gran cantidad de cargas libres aplicamos un campo electrico, se presentaraun desplazamiento de cargas produciendo una carga superficial inducida y por lo tanto un campo inducidointerno. Este tiende a anular el campo externo, de tal forma que en un conductor perfecto no tenemos camposelectrostaticos al interior del conductor, como lo representamos en la figura (6-2).

Figura 6-2: Representacion del campo electrico en el interior de un conductor en presencia de un campo electri-co externo.

En un conductor todos los puntos estan al mismo potencial, lo cual se conoce como cuerpo equipotencial.

Problema 107. Un conductor de cobre de seccion transversal cuadrada de 1mm de lado, transporta una corriente de20A, si la densidad de e´ libres es 8ˆ 1028 e´ por m3. Calcule la densidad de corriente y la velocidad de las cargas.


J “IA“

20Ap1ˆ 10´3mq2

“ 20ˆ 106 A ¨m´2

y la velocidad sera

J “ nqv

ñ v “J

nq“

20ˆ 106 A ¨m´2

8ˆ 1028m´3`

1.6021ˆ 10´19C˘ “ 1.5604ˆ 10´3 C ¨m ¨ s´1

C“ 1.5604ˆ 10´3m ¨ s´1.

Problema 108. Calcule cuantos electrones fluyen a traves de una bombilla por segundo, si la corriente es de 0.75A


I “Qtñ Q “ I t “ 0.75A p1sq “ 0.75C

dado que la magnitud de la carga del electron es e “ 1.6ˆ 10´19C entonces el numero de electrones N sera

1e Ñ 1.6021ˆ 10´19CN Ñ 0.75C

ñ N “0.75C p1eq

1.6021ˆ 10´19C“ 4.6813ˆ 1018e.

6.2. Resistividad y resistencia

Experimentalmente se ha comprobado que en casi todo material conductor, incluidos metales y gases ioniza-dos, cuando la temperatura es constante, la corriente es proporcional al campo electrico, con la misma direcciony sentido, y nula cuando no existe. Lo cual lo podemos representar como

~J “1ρ~E (6-4)


donde definimos ρ como la resistividad ρ, esto implica que a mayor resistividad, mayor debe ser campo electri-co, para mantener la misma densidad de corriente.

Cuando la resistividad es funcion de la temperatura, la podemos expresar como

ρT “ ρ0 r1` αpT´ T0qs

donde ρ0 es la resistividad a una temperatura T0, ρT es la resistividad a una temperatura T y α es el coefi-ciente de temperatura de resistividad . Podemos ver que a medida que aumenta la temperatura aumenta laresistividad, esto debido a que el camino libre medio disminuye como consecuencia de un mayor numero dechoques.

Podemos definir la conductividad como σ “ 1ρ por lo tanto

~J “ σ~E

la cual es una de las formas de escribir la ley de Ohm. Si tenemos que la diferencia de potencial ∆V “ V2 ´V1entre los extremos de un conductor generara en el cable una corriente electrica y recordando la relacion entrepotencial y campo electrico tenemos

∆V “ ´

2ż

1

~E ¨ d~l

V2 ´V1 “ ´

2ż

1

ρ~J ¨ d~l

V1 ´V2 “

2ż

1

ρJ AA dl

V1 ´V2 “ I

2ż

1

ρA dl

donde tuvimos en cuenta que~J ¨ d~l “ J dl cos 0 “ J dl, JA “ I y definimos la resistencia del conductor como

R “

2ż

1

ρ

Adl

obteniendo la relacionV “ IR (6-5)

la cual es la forma familiar de la ley de Ohm, la cual establece que la diferencia de potencial (caıda de voltaje) entredos puntos en un cable conductor es proporcional a la corriente que pasa por este. Donde la resistencia es una constantede proporcionalidad y una propiedad caracterıstica de cada conductor la cual depende de la resistividad delmaterial, de su temperatura, de su forma y dimensiones.

Si la resistencia y la seccion no varıan a lo largo del cable como es habitual

R “ρ

AL. (6-6)

Problema 109. Un alambre de cobre de calibre 12 es el tıpico tipo de alambre residencial, el cual tiene un area transversal3.31ˆ 10´6m2. Calcule la velocidad de arrastre de los electrones y la densidad de carga de electrones libres, si por el cablepasa una corriente de 10A. Suponga que cada atomo de cobre contribuye a la corriente con un electron libre, tenga encuenta que la densidad del cobre es ρCu “ 8.95g ¨ cm´3 y la masa molar del cobre es 63.5g ¨mol´1.


Solucion 109. Debido a que cada atomo de Cu aporta un electron, es necesario conocer el numero de atomos por mol.Para lo cual es necesario calcular el volumen molar Vm a partir de la masa molar M

ρ “MVm

ñ Vm “Mρ“

63.5g ¨mol´1

8.95g ¨ cm´3´

100cm1m

¯3 “ 7.095ˆ 10´6m3 ¨mol´1

teniendo en cuenta que un mol de cualquier sustancia contiene 6.022ˆ 1023 partıculas, el numero de electrones disponi-bles (portadores de carga) sera el mismo numero de atomos

n “NAVm

“6.022ˆ 1023mol´1

7.095ˆ 10´6m3 ¨mol´1 “ 8.487 7ˆ 1028m´3

por lo tanto, la velocidad de arrastre sera

v “J

nq“

InqA

“10C ¨ s´1

8.487 7ˆ 1028m´3`

1.602ˆ 10´19C˘

3.31ˆ 10´6m2 “ 2.224 7ˆ 10´4m ¨ s´1

y la densidad de electrones libres

ρ “ ne “ 8.487ˆ 1028m´3´

´1.602ˆ 10´19C¯

“ ´1.358ˆ 1010 Cm3 .

Problema 110. Calcule E y ∆V entre 2 puntos separados 100m. Tenga en cuenta que la resistividad del cobre es ρ “

1.72ˆ 10´8Ω ¨m, J “ 20ˆ 106 A ¨m´2 y el cable es cuadrado de lado 1mm.


E “ ρJ “ 1.72ˆ 10´8Ω ¨m´

20ˆ 106 A ¨m´2¯

“ 0.344V ¨m´1

yV “ E` “ 0.344V ¨m´1 p100mq “ 34.4V.

La resistencia en un tramo de 100m sera

R “VI“

VJ A

“34.4V

20ˆ 106 A ¨m´2`

1ˆ 10´3m˘2 “ 1.72Ω

resultado equivalente a calcularlo como

R “ρ`

A“

1.72ˆ 10´8Ω ¨m p100mq`

1ˆ 10´3m˘

2 “ 1.72Ω.

Problema 111. Un cable que tiene una resistencia de 5Ω se pasa por una extrusora (maquina para moldear una masametalica) de tal forma que sale 3 veces mas largo que su medida original. Calcule la nueva resistencia.

Solucion 111. Para resolver este problema debemos partir de la ecuacion (6-6), teniendo en cuenta que para podercalcular la nueva resistencia, es necesario conocer la resistividad la cual no cambiara despues de pasar el cable por laextrusora. Por lo tanto

R0 “ρ`0

A0ñ ρ “

R0 A0

`0

dado que L “ 3`0 debemos de calcular el cambio en el area. Dado que el volumen al comienzo y al final es el mismo

A0`0 “ AL “ A3`0 ñ A “A0`0

3`0“

A0

3

y por lo tanto

R “ρLA“

R0 A0`0

3`0A03

“ 9R0 “ 9 p5Ωq “ 45Ω.


Problema 112. El espacio entre dos cilindros coaxiales de radios ra y rb esta ocupado por un material de resistividad ρ.Calcule la resistencia.

Solucion 112. Partiendo de la ecuacion (6-6) tenemos que

dR “ρdrA“

ρdr2πr`

ñ R “ρ

2π`

rbż

ra

drr“

ρ

2π`lnˆ

rbra

˙

.

Problema 113. Si ~J “ ar3

`

2 cos θ r` sin θ θ˘

donde a “ 1A ¨m. Calcule la corriente que pasa por un cascaron semi-esferico de 20cm de radio.

Solucion 113. Dado que la corriente la podemos escribir como

I “ż

~J ¨ d~S

donde el elemento de superficie de la esfera es d~S “ r2 sin θ dφ dθ r, tenemos que

I “

ż

ar3

`

2 cos θ r` sin θ θ˘

¨ r2 sin θ dφ dθ r

“ a

2πż

φ“0

π2ż

θ“0

1r3 2 cos θ r2 sin θ dθ dφ

“ a

π2ż

θ“0

1r

2 cos θ sin θ dθ φ|2π0

“4πa

rsin2 θ

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π2

0

“4πa

r

˜

sin2 π2

2´

sin2 02

¸

“2πa

rsin2 π

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r“0.2m“ 31.416A.

Cuando las cargas de conduccion son aceleradas por un campo electrico, estas continuamente obtienen energıadel campo. De hecho, este aumento de energıa implica que el camino libre medio disminuye y parte de laenergıa cinetica de los electrones se transferira al material por las continuas colisiones con los nucleos atomicosy como consecuencia de esta perdida de energıa cinetica, habra un aumento de la temperatura en el propiocable, el cual sino se encuentra aislado termicamente . Este fenomeno se denomina efecto de Joule.

El trabajo realizado por un campo electrico ~E para mover la carga qi una distancia4li es

4Wi “ qi~E ¨4~lipor lo tanto, la potencia para esta carga sera

Pi “ lım4tÑ0

4Wi4t

“qi~E ¨4~li4t

“ qi~E ¨~vi

debido a que la velocidad de los portadores de carga la podemos escribir como~vi “4~li4t . Por lo tanto la potencia

debida a todos los portadores de carga en un volumen dV es

dP “nÿ

i“1

Pi “ ~E ¨

˜

nÿ

i“1

niqi~vi

¸

dV “ ~E ¨~JdV


donde ni es el numero de cargas por unidad de volumen y tuvimos en cuenta la ecuacion (6-3). Pudiendodefinir la densidad de potencia como

dPdV

“ ~E ¨~J.

Para un volumen macroscopico V, la potencia electrica total debida al campo electrico y transformada en calores

P “ż

V

~E ¨~JdV

si consideramos un conductor con seccion transversal constante, i.e. dV “ dS dl y dado que el campo y ladensidad de corriente van en la misma direccion

P “ż

V

~E ¨~J dV “

ż

S

ż

L

E dl J dS “ ´pV2 ´V1q I “ 4V I

donde I es la corriente en el conductor y V1´V2 “ 4V es la diferencia de potencial entre puntos del conductor.Utilizando nuevamente la Ley de Ohm tambien podemos escribir la relacion anterior como

P “ I2R “∆V2

R(6-7)

la cual representa el calor disipado por la resistencia por unidad de tiempo.

Problema 114. Dado que cualquier fuente tiene una resistenciainterna, escriba la ecuacion de la potencia para el circuito de la fi-gura 6-3 y calcule para que valor de resistencia externa R se obtienela potencia maxima.

Figura 6-3:

Solucion 114. Para calcular la potencia debemos tener en cuenta que

V ´ Ir “ IR

donde r es la resistencia interna, entonces

I “V

R` rpor lo tanto

P “ I2R “ˆ

VR` r

˙2R “

V2RpR` rq2

ahora es necesario derivar la ecuacion anterior en funcion de la resistencia externa

ddRP “ d

dRV2R

pR` rq2“ ´V2 R´ r

pR` rq3

la ecuacion anterior tendra un maximo cuando esta sea igual a cero

´V2 R´ rpR` rq3

“ 0 ñ R “ r


con la segunda derivada podemos saber si este es un maximo o un mınimo, para lo cual derivamos nuevamente

ddR

˜

´V2 R´ rpR` rq3

¸

“ 2V2 R´ 2rpR` rq4

remplazando el valor cero obtenido de la primera derivada tenemos

2V2 R´ 2rpR` rq4

“ 2V2 r´ 2rpr` rq4

“ ´1

8r3 V2

por lo tanto, al ser la segunda derivada negativa para R “ r sabemos que tenemos un maximo de la funcion en R “ r yeste sera el valor para el cual tenemos una potencia maxima.

6.3. Materiales dielectricos

En los dielectricos no existen portadores de carga que puedan moverse con facilidad a lo largo de todo el mate-rial, mas bien cada electron esta ligado a un nucleo especıfico con fuertes interacciones de enlace. Sin embargo,si aplicamos campos electricos suficientemente intensos, estos pueden ionizar el material produciendo rupturadielectrica, lo cual es equivalente a un corto circuito. Pero para la mayorıa de campos tıpicos en la naturalezaeste fenomeno no se presenta.

Los dielectricos pueden dividirse en dos clases: Polares (dipolares) y no polares (neutros), esta diferenciaciones muy importante dado que no solamente da cuenta de las propiedades electricas de un compuesto, sinoque tambien da cuenta de propiedades fisicoquımicas. De hecho las fuerzas de interaccion entre las cargas deatomos o grupos de atomos o iones esta relacionado con la resistencia mecanica de un compuesto.

Al aplicar un campo electrico en materiales dielectricos no hay un desplazamiento macroscopico de carga,pero si existen desplazamientos de cargas a nivel atomico y molecular, los cuales pueden ser espontaneos opor presencia de campos electricos externos. En el primer caso hablamos de polarizabilidad permanente y enel segundo caso hablamos de polarizacion inducida.

6.3.1. Momentos dipolares inducidos

Si consideramos un atomo de hidrogeno, la nube electronica tendra una simetrıa esferica y su centro de gra-vedad estara sobre proton. Pero si aplicamos un campo electrico externo podemos ver que la nube electronica,sufre un desplazamiento en la direccion contraria al campo de tal manera que su centro de gravedad se des-plaza ligeramente con respecto al nucleo en una cantidad ∆z adquiriendo una forma elipsoidal y un momentodipolar denominado polarizacion electronica o atomica la cual denotamos como ~p

~p “ α~E, (6-8)

como vemos en la figura 6-4, la polarizacion atomica tendra la misma direccion del campo electrico externo,donde el termino α de denomina polarizabilidad atomica.

Problema 115. Un modelo sencillo para el atomo consiste en un nucleo puntual con carga rodeado por una nubeelectronica esferica. Si suponemos que el atomo se encuentra inmerso en un campo electrico E. Calcule la polarizabili-dad de un atomo de hidrogeno, teniendo en cuenta que la densidad de la nube electronica de acuerdo con la mecanica

6.3 Materiales dielectricos 181

Figura 6-4: Representacion basica de la polarizacion de un atomo debido a la accion de un campo electricoexterno.

cuantica en su estado base2 la podemos escribir como

ρ prq “q

πa3 e´2ra

donde q es la carga del electron, a es el radio de Bohr y d el desplazamiento de la nube electronica.

Solucion 115. Para calcular el campo electrico primero debemos de calcular la carga encerrada, para ello debemos teneren cuenta los diferenciales de la tabla 2-4

qenc “

ż

ρ prq dV “

2πż

0

πż

0

rż

0

qπa3 e´

2ra`

r2 sin θdrdθdϕ˘

“q

πa3 4π

rż

0

e´2ra r2dr

para realizar esta integral debemos hacerlo por partes

u “ r2

dv “ e´2ra dr

ñdu “ 2r dr

v “ ´ 12 ae´

2ra

ası entonces

qenc “q

πa3 4π

rż

0

e´2ra r2dr “

4qa3

¨

˝´r2 12

ae´2ra `

rż

0

12

ae´2ra 2rdr

˛

‚

nuevamente empleamos la integracion por partes

u “ rdv “ e´

2ra dr

ñdu “ dr

v “ ´ 12 ae´

2ra

2El estado base o estado fundamental de un sistema mecanico cuantico es el estado de energıa mas bajo posible.


obteniendo

qenc “4qa3

¨

˝´r2 12

ae´2ra `

rż

0

12

ae´2ra 2rdr

˛

‚

“4qa3

¨

˝´r2 12

ae´2ra ` a

¨

˝´r12

ae´2ra `

rż

0

12

ae´2ra dr

˛

‚

˛

‚

“4qa3

ˆ

´r2 12

ae´2ra ` a

ˆ

´r12

ae´2ra ´

14

a2e´2ra

˙˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r

0

“4qa3

12

ae´2ra

ˆ

´r2 ´ ra´12

a2˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r

0

“ ´4qa3

„

12

ae´2ra

ˆ

r2 ` ra`12

a2˙

´14

a3

“ ´q„

e´2ra

ˆ

2r2

a2 ` 2ra` 1

˙

´ 1

por lo tanto, el campo de la nube electronica es

~Ee p~rq “ kqenc

d2 r “ kqd2

„

1´ e´2ra

ˆ

2r2

a2 ` 2ra` 1

˙

r

Debido a la presencia del campo externo E, el nucleo se desplazara ligeramente a la derecha, mientras que la nube electroni-ca a la izquierda. El equilibrio ocurrira entonces cuando el nucleo es desplazado a una distancia d del centro de la esfera yse equilibra con el campo de nube electronica Ee. Ası entonces, para un desplazamiento d de la nube electronica E “ Eetenemos

Ee prq|r“d “ kqenc

d2 “ kqd2

„

1´ e´2da

ˆ

2d2

a2 ` 2da` 1

˙

dado que d! a expandimos en series de potencias el termino exponencial e´2da hasta tercer orden, dado que los demas

terminos van a contribuir muy poco

e´2da “ 1´

ˆ

2da

˙

`12

ˆ

2da

˙2´

13!

ˆ

2da

˙3` ... “ 1´

2da` 2

ˆ

da

˙2´

43

ˆ

da

˙3` ...

remplazando la expansion anterior en el campo tenemos

Ee prq|r“d “ k qd2

”

1´ e´2da

´

2 d2

a2 ` 2 da ` 1

¯ı

“ k qd2

„

1´ˆ

1´ 2da ` 2

´

da

¯2´ 4

3

´

da

¯3` ...

˙

´

1` 2 da ` 2 d2

a2

¯

“ k qd2

„

1´ˆ

1´ 2da ` 2

´

da

¯2´ 4

3

´

da

¯3` 2 d

a ´ 4´

da

¯2` 4

´

da

¯3´ 8

3

´

da

¯4` 2

´

da

¯2

´4´

da

¯3` 4

´

da

¯4´ 8

3

´

da

¯5˙

“ k qd2

„

1´ 1` 2da ´ 2

´

da

¯2` 4

3

´

da

¯3´ 2 d

a ` 4´

da

¯2´ 4

´

da

¯3` 8

3

´

da

¯4´ 2 d2

a2 ` 4´

da

¯3

´4´

da

¯4` 8

3

´

da

¯5

“ k qd2

„

43

´

da

¯3´ 4

3

´

da

¯4` 8

3

´

da

¯5` ...

al tomar la contribucion solamente hasta tercer orden

Ee prq|r“d “ kqd2

43

ˆ

da

˙3“

14πε0

4qd3a3 “

13πε0a3 p


y al comparar este resultado con la ecuacion (6-8) podemos identificar

α “ 3πε0a3.

Podemos reescribir el resultado anterior como

α “ 3πε0a3 “32

ε0vatomo

y por lo tanto, el termino de polarizabilidad atomica en una primera aproximacion esta relacionado con elvolumen del atomo vatomo, mejores analisis muestran que α dependera de la estructura de cada atomo.

Del calculo anterior es evidente que para moleculas simetricas son no polares dado que d “ 0 y por lo tanto~p “ 0. De forma que las moleculas monoatomicas pHe, Ne, Ar , Kr, Xeq y las moleculas compuestas por dosatomos iguales unidos entre si por un un enlace covalente no polar3 pH2, N2, Cl2, etc.q.

Para determinar la polarizacion de una molecula es necesario no solamente tener en cuenta la formula quımicade la molecula, sino tambien la distribucion espacial de las cargas. Por ejemplo, la molecula de anhıdridocarbonico CO2 tiene una estructura simetrica con respecto al carbono y debido a ello esta molecula es nopolar, sin embargo, al colocar la molecula en un campo electrico externo la polarizabilidad de la moleculaes 4.5ˆ 10´40C2 ¨m ¨ N´1 para campos aplicados a lo largo de la cadena, mientras que si se aplica de formaperpendicular a esta es 2ˆ 10´40C2 ¨m ¨ N´1.

De hecho, todos los hidrocarburos son sustancias no polares o poco polares, como lo es la molecula de metanoCH4 la cual tiene forma de tetraedro con el carbono en el centro y los atomos de hidrogeno en los vertices.Para este caso la polarizabilidad de la molecula es α “ 32.7ˆ 10´30m3, la cual es diferente a la suma de laspolarizabilidades individuales de la molecula la cual es αT “ 4.338ˆ 10´30m3.

6.3.2. Momentos dipolares permanentes

Una molecula es polar, cuando incluso en ausencia de un campo electrico externo se presenta un dipolo electri-co. A diferencia de las moleculas no polares las cuales son simetricas, las polares son asimetricas. Este tipode moleculas presentan enlaces covalentes polares4 o tambien llamados heteropolares y se forman cuandodos atomos no metalicos de diferentes electronegatividades se unen compartiendo sus electrones, pero la nu-be electronica de uno de ellos se desplazada hacia el atomo de mayor electronegatividad, originando en lamolecula una region positiva y otra negativa.

Un ejemplo de este tipo de moleculas es la molecula diatomica de yoduro de potasio KI, la cual tiene un mo-mento dipolar electrico de 23ˆ 10´30C ¨m y en la cual la nube se desplaza parcialmente hacia el potasio. Otroejemplo es el de la molecula de agua H2O para la cual la nube se desplaza parcialmente hacia el atomo deoxıgeno, esta molecula tiene una polarizabilidad de 6.127ˆ 10´30C ¨m, y es por ello que el agua exhibe propie-dades solventes. Ası mismo, si cambiamos hidrogenos de una molecula de metano por cloros CH3Cl, CH2Cl2y CHCl3, esta se tornara asimetrica exhibiendo propiedades polares 6.2 ˆ 10´30C ¨ m, 5.17 ˆ 10´30C ¨ m y3.8ˆ 10´30C ¨m respectivamente, pero al sustituir todos los hidrogenos por cloros esta molecular sera no polardebido a la simetrıa.

3Un enlace covalente no polar se forma cuando se comparten los electrones del ultimo nivel entre atomos de un mismo elemento nometal y entre distintos elementos no metales. No son buenos conductores de la electricidad ni del calor, con baja solubilidad en agua.

4Entre las propiedades de las sustancias con enlace covalente polar tenemos que son solubles en solventes polares, presentan granactividad quımica y en soluciones acuosas son conductores, entre otras caracterısticas.


Un aspecto importante es que la polarizacion debida a un campo externo es un ((fenomeno de masas)), mientrasque la polarizacion de un compuesto debido a sus moleculas polares es aleatorio.

6.3.3. Vector de polarizacion

El vector de polarizacion o tambien llamado vector intensidad de polarizacion ~P p~rq, caracteriza el fenomenode polarizacion del dielectrico el cual esta inmerso en un campo electrico externo. Ya que en ausencia de uncampo externo la suma de las cargas de los elementos constitutivos del dielectrico seran cero y los momentosdipolares (caso de moleculas polares, ya que en caso de moleculas no polares el momento dipolar es cero) alestar desordenados se anulan estadısticamente.

Por lo tanto, si colocamos el dielectrico en un campo electrico externo tendremos cierta ordenacion en la dis-posicion de las cargas de las moleculas del dielectrico. Esto causara la separacion de sus portadores de carga yla reorientacion de sus dipolos permanentes, obteniendose un momento dipolar neto diferente de cero lo cuallo podemos escribir como

∆~p “ÿ

i

~pi

Ası entonces, definimos el vector de polarizacion como

~P p~rq “1V

ÿ

i

~pi “

„

Cm2

lo cual describe el momento de dipolo promedio por unidad de volumen. Es importante tener en cuenta queel vector de polarizacion incluye la contribucion tanto de la reorientacion de los dipolos permanentes, comode la creacion de dipolos inducidos por la redistribucion de carga. Para un medio lineal e isotropo definimos

~P “ χeε0~E (6-9)

donde se define χe como la susceptibilidad electrica. Mientas que para dielectricos no lineales (a los cualespertenecen los materiales ferroelectricos) no existe proporcionalidad ente ~P y ~E. Algunas caracterısticas deestos materiales son:

Dependencia de los parametros dielectricos en funcion de la temperatura.

La polarizacion espontanea sin campos electricos externos.

Muchos de estos materiales tienen valores muy grandes de permitividad.

Histeresis5 al actuar una diferencia de potencial alterna.

Podemos ahora definir algunas caracterısticas de los dielectricos en funcion del medio:

Es lineal si la polarizacion ~P es proporcional al ~E. Esto es, Pi es combinacion lineal de las componentesdel campo polarizador.

5La histeresis es la tendencia de un material a conservar una de sus propiedades, en ausencia del estımulo que la ha generado.


Es isotropo si ~P es paralelo al ~E para cualquier direccion del campo, de tal forma que las propiedades delmedio no dependen de la direccion. Por lo tanto, el material sera anisotropico si no hay alineacion de losdipolos con el campo y la respuesta del dielectrico dependera de la orientacion del campo.

Es homogeneo si el medio responde igualmente en todos los puntos, por lo tanto, si ~P es funcion de laposicion el material es inhomogeneo.

Es necesario aclarar que la anisotropıa no implica falta de homogeneidad, dado que un medio tanto isotropoy anisotropo puede ser homogeneo y no homogeneo.

6.3.4. Campo electrico en un dielectrico

Si consideramos un material dielectrico, este material puede ser dividido en volumenes ∆V, en cada uno deestos volumenes tenemos una densidad volumetrica de carga y un vector de polarizacion (3-60) debido amoleculas del dielectrico

∆φ p~rq “ kq

|~r´~r1|` k

~p ¨`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“ k

ρ`

~r1˘

∆V|~r´~r1|

` k~P∆V ¨

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“ k

˜

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|`

~P ¨`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

∆V

escribiendo la ecuacion anterior de forma diferencial obtenemos

φ p~rq “ kż

V

˜

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|`

~P`

~r1˘

¨`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

dV (6-10)

dado que∇´

1|~r ~r1|

¯

“ ´ ~r ~r1

|~r ~r1|3

∇1´

1|~r ~r1|

¯

“ ~r ~r1

|~r ~r1|3

,

.

-

ñ ∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

“ ´∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

reescribimos la ecuacion (6-10) como

φ p~rq “ kż

V

˜

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|` ~P

`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

¸

dV (6-11)

partiendo de la derivada de un producto para reescribir el termino anterior

∇1 ¨˜

~P`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

“ ~P`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

`1

|~r´~r1|∇1 ¨ ~P

`

~r1˘

ż

V

∇1 ¨˜

~P`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

dV “

ż

V

~P`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV `ż

V

∇1 ¨ ~P`

~r1˘

dV|~r´~r1|

ż

V

~P`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV “

ż

V

∇1 ¨˜

~P`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

dV ´ż

V

∇1 ¨ ~P`

~r1˘

dV|~r´~r1|

empleando el teorema de la divergenciaż

V

∇ ¨ ~BdV “

¿

S

~B ¨ ndA obtenemos

ż

V

~P`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV “

¿

S

~P`

~r1˘

¨ n|~r´~r1|

dA´ż

V

∇1 ¨ ~P`

~r1˘

dV|~r´~r1|


donde S es la superficie que delimita el volumen V. Remplazando lo anterior en la ecuacion (6-11) tenemos

φ p~rq “ kż

V

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|dV ` k

¿

S

~P`

~r1˘

¨ n|~r´~r1|

dA´ kż

V

∇1 ¨ ~P`

~r1˘

dV|~r´~r1|

analizando dimensionalmente la ecuacion anterior, vemos que ~P ““

C ¨m´2‰ y por lo tanto ~P`

~r1˘

¨ n ““

C ¨m´2‰, mientras que∇1 ¨ ~P`

~r1˘

““

C ¨m´3‰. Esto nos permite definir una densidad superficial y volumetricade polarizacion respectivamente.

La densidad volumetrica de polarizacion estara dada por

ρP`

~r1˘

“ ´∇1 ¨ ~P`

~r1˘

(6-12)

la cual estara asociada a la homogeneidad de polarizacion dentro del volumen que consideramos. Mientrasque la densidad superficial de polarizacion estara dada por

σP`

~r1˘

“ ~P`

~r1˘

¨ n (6-13)

y esta asociada a la componente de polarizacion, la cual esta orientada en la direccion normal a la superficie.Es importante notar que esta densidad superficial existe solamente en las superficies que forman el contornodel dielectrico, de tal forma que el vector de area puede tener un angulo con respecto al vector de polarizacion.

Las densidades de cargas de polarizacion son cargas ligadas, debido a que no se pueden mover a traves delmaterial, solo se reorientan (movimientos a escala molecular). De hecho, si la suma de las cargas ligadas en undielectrico antes de ser sometido a un campo electrico es constante (pudiendo ser cero), este valor debe ser elmismo al someter el dielectrico al campo.

Podemos entonces escribir el potencial como

φ p~rq “ kż

V

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|dV ` k

¿

S

σP`

~r1˘

|~r´~r1|dA` k

ż

V

ρP`

~r1˘

dV|~r´~r1|

(6-14)

sin embargo, si suponemos que el dielectrico ocupa todo el espacio no tendremos una superficie y por lo tanto,

k¿

S

σPp~r1q|~r ~r1| dA “ 0, quedando la ecuacion como

φ p~rq “ kż

V

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|dV ` k

ż

V

ρP`

~r1˘

dV|~r´~r1|

“ kż

V

ρ`

~r1˘

` ρP`

~r1˘

|~r´~r1|dV

el primer termino es la ecuacion del potencial electrico en el vacıo.

Teniendo en cuenta la ley de Gauss y que ~E p~rq “ ´∇φ p~rq, podemos reescribir la ecuacion anterior

∇ ¨ ~E p~rq “ ρ p~rq ` ρP p~rqε0

“ρ p~rq ´∇ ¨ ~P p~rq

ε0

por lo tantoρ p~rq “ ε0∇ ¨ ~E p~rq `∇ ¨ ~P p~rq “ ∇ ¨

´

ε0~E p~rq ` ~P p~rq¯

“ ∇ ¨ ~D p~rq

donde definimos ~D p~rq como el vector de desplazamiento electrico

~D p~rq “ ε0~E p~rq ` ~P p~rq (6-15)


podemos ver que ~D p~rq tiene las mismas unidades del vector de polarizacion“

C ¨m´2‰ y debido a que estaasociado con el campo electrico, esta relacion es valida en cualquier medio. En particular, si ~P p~rq “ 0 dela ecuacion (6-15) obtenemos ~D p~rq “ ε0~E p~rq. De forma general podemos escribir el vector desplazamientoelectrico como

~D p~rq “ ε~E p~rq (6-16)

donde ε es la permitividad electrica del medio.

El vector desplazamiento electrico ~D p~rq fısicamente toma nuestra ignorancia sobre el campo electrico y loreemplaza por un promedio estadıstico. Dado que si conocieramos en detalle como se distribuyen todas lascargas libres y ligadas en el material, conocerıamos completamente el ~E p~rq y la introduccion de ~D p~rq no serıa enprincipio necesaria. La definicion de ~D p~rq tambien asume que solo hay contribucion dipolar, si introducimosotras contribuciones multipolares, su definicion serıa mas compleja. Sin embargo, la aproximacion dipolaresta justificada por el hecho de que las moleculas se comportan muy bien como dipolos puntuales a escalamacroscopica.

Si queremos calcular la carga de polarizacion, podemos partir de la primera ecuacion de Maxwell de formaintegral

¿

SG

~E p~rq ¨ ndA “Q`QP

ε(6-17)

donde SG la superficie gaussiana en un dielectrico, con cargas situadas dentro de dicho volumen, Q es la carganeta real sobre la superficie gaussiana y QP es la carga total de polarizacion dentro de la superficie SG, comose ilustra en la figura 6-5.

Figura 6-5: Superficie gaussiana encerrando a un dielectrico.

La carga total de polarizacion empleando el teorema de divergencia la podemos la podemos escribir como

QP “

ż

V

ρPdV “ ´

ż

V

∇ ¨ ~P dV “ ´

¿

SG

~P p~rq ¨ ndA


al remplazar lo anterior en la ley de Gauss de forma integral tenemos

ε

¿

SG

~E p~rq ¨ ndA “ Q`QP

ε

¿

SG

~E p~rq ¨ ndA “ Q´¿

SG

~P p~rq ¨ ndA

ñ Q “ ε

¿

SG

~E p~rq ¨ ndA`¿

SG

~P p~rq ¨ ndA “¿

SG

´

ε~E p~rq ` ~P p~rq¯

¨ ndA

dado que ~D p~rq “ ε0~E p~rq ` ~P p~rq la ecuacion anterior queda

Q “

¿

SG

~D p~rq ¨ ndA

la cual es la ley de Gauss escrita en terminos del vector desplazamiento electrico. Un aspecto importante es quela suma de las contribuciones de densidades de polarizacion deben anularse si el dielectrico inicialmente tenıacarga cero. Esto lo podemos demostrar teniendo en cuenta los terminos relacionados a la carga de polarizacionen la ecuacion (6-14)

QP “

ż

V

ρPdV `¿

SG

σPdA

“ ´

ż

V

∇ ¨ ~PdV `¿

SG

~P p~rq ¨ ndA

“ ´

¿

SG

~P p~rq ¨ ndA`¿

SG

~P p~rq ¨ ndA

“ 0.

6.3.5. Susceptibilidad electrica

Para un medio lineal e isotropo definimos~P “ χeε0~E (6-18)

donde se define χe como la susceptibilidad electrica. Esta es una cantidad adimensional que depende de latemperatura, de la estructura atomica, y molecular del material y sera funcion de la posicion cuando el medioes inhomogeneo. Teniendo en cuenta que podemos escribir el vector de polarizacion mediante el vector dedesplazamiento electrico como

~P “ ~D´ ~D0 (6-19)

entonces~D “ ε0~E` ~P “ ε0~E` χeε0~E “ ε0 p1` χeq~E “ ε~E (6-20)

donde ε “ ε0 p1` χeq se conoce como permitividad del dielectrico, podemos ver adicionalmente que la permi-tividad de cualquier sustancia es mayor a la permitividad del vacıo ε0.

Podemos ahora definir una constante adimensional, la cual denominamos constante dielectrica pεrq como

εr “ε

ε0“

ε0 p1` χeq

ε0“ 1` χe


Material εr

Aceite mineral 2.7Aceite 2.8

Agua destilada 80Caucho 2.1´ 2.8

Aire 1.00058986˘ 0.00000050PVC 30´ 40

Tierra humeda 10´ 30

Tabla 6-1: Constante dielectrica para diferentes materiales.

en el vacıo εr “ 1, lo cual implica que en ese caso χe “ 0, de hecho, el valor de χe siempre sera un valor positivoo a lo sumo cero.

Para medios no lineales, anisotropos e inhomogeneos se puede escribir la polarizacion como

Pi “

3ÿ

j“1

aij p~rq Ej `

3ÿ

i,j“1

bijk p~rq EjEk ` . . . (6-21)

los coeficientes aij y bijk son tensores de segundo y tercer rango respectivamente6, cuyos terminos estan deter-minados por las propiedades del material.

6.3.6. Condiciones de frontera en la interfase entre dielectricos

Para analizar las condiciones de frontera en la interfase entre dielectricos lineales podemos hacerlo teniendo encuenta el vector de desplazamiento electrico. Para lo cual consideraremos una superficie gaussiana cilındricade la figura 6-6

Figura 6-6: Superficie gaussiana cilındrica en la interfase de dos medios dielectricos diferentes

6Un tensor de rango dos tiene 9 elementos`

n2˘, mientras que un tensor de rango tres tiene 27 elementos`

n3˘.


de esta superficie cilındrica tenemos¿

SG

~D ¨ ndA “ż

A1

~D1 ¨ n1dA1 `

ż

A2

~D2 ¨ n2dA2 `

ż

AL

~DL ¨ nLdAL “ qenc

si tenemos en cuenta que el area lateral AL la podemos hacer tender a cero, haciendo L muy pequeno, sola-mente las dos primeras integrales contribuiran. Dado que n1 “ ´n2, y haciendo que las areas sean igualesA1 “ A2 “ A

ż

A1

~D1 ¨ n1dA1 ´

ż

A2

~D2 ¨ n2dA2 “

ż

A2

´

~D1 ´ ~D2

¯

¨ n2dA

teniendo en cuenta que4L Ñ 0, podemos escribir la carga encerrada como

qenc “

ż

A2

σdA

es importante decir en este punto que estamos asumiendo que la carga no ocupa un volumen, sino que estaconcentrada en la propia superficie dado que4L Ñ 0, ası entonces

¿

SG

~D ¨ ndA “

ż

A2

´

~D1 ´ ~D2

¯

¨ n2dA “ qenc “

ż

A2

σdA

ñ

´

~D1 ´ ~D2

¯

¨ n2 “ σ

(6-22)

podemos ver que hay una discontinuidad en la componente normal del vector desplazamiento electrico enla interfase y la magnitud del salto sera la densidad de carga superficial en la superficie de union entre losdielectricos. De hecho, si no hay carga superficial la componente normal del vector de desplazamiento electricoes continua.

Podemos ver adicionalmente que, para un medio lineal, homogeneo e isotropico, la densidad de carga vo-lumetrica de polarizacion ρp es proporcional a la carga libre ρ, por lo tanto

ρp “ ´∇ ¨ ~P “ ´∇ ¨´

χeε0~E¯

“ ´χeε0∇ ¨ ~E “ ´χeε0ρ

ε“ ´

ˆ

χe

1` χe

˙

ρ (6-23)

donde empleamos que εε0“ 1` χe. Esta ecuacion es interesante, ya que si la densidad de carga libre es cero, la

densidad de carga de polarizacion sera estrictamente superficial. Otro aspecto interesante es que no hay unaproporcionalidad analoga entre las densidades σ y σp debido a que χe es diferente a cada lado de la frontera.

Problema 116. Calcule la densidad de carga de polarizacion y elcampo electrico dentro de una esfera dielectrica descargada sobreel eje z, la cual tiene radio R, permisividad ε y una polarizacionuniforme ~P orientada en el sentido positivo del eje z, como se ilustraen la figura 6-7.

Figura 6-7:


Solucion 116. La densidad volumetrica de polarizacion la podemos calcular como

ρP “ ´∇ ¨ ~P “ ´ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨ ~Pk “ 0

esto debido a que el vector de polarizacion es constante y por lo tanto su divergencia debe de ser nula. Ası mismo

σP|r“R “ Pk ¨ n

reescribiendo la relacion anterior en coordenadas esfericas´

k “ cos θr´ sin θθ¯

, tenemos

σP|r“R “ P`

cos θr´ sin θθ˘

¨ r “ P cos θ

por lo tanto

QPS “

¿

SG

σP|r“R dA “

πż

0

2πż

0

P cos θR2 sin θdθdϕ “ PR2πż

0

cos θ sin θdθ ϕ|2π0 “ PR22π

πż

0

cos θ sin θdθ.

Calcularemos ahora el potencial electrico, para luego calcular el campo electrico. Para ello partimos de la ecuacion (6-14)

φ p~rq “ kż

V

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|dV ` k

¿

S

σP`

~r1˘

|~r´~r1|dA` k

ż

V

ρP`

~r1˘

dV|~r´~r1|

donde

~r “ zk

~r1 “ R sin θ1 cos ϕ1 ı` R sin θ1 sin ϕ1 ` R cos θ1k

~r´~r1 “ ´R sin θ1 cos ϕ1 ı´ R sin θ1 sin ϕ1 ``

z´ R cos θ1˘

kˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “

b

R2 sin2 θ1`

cos2 ϕ1 ` sin2 ϕ1˘

` pz´ R cos θ1q2

“

b

R2`

sin2 θ1 ` cos2 θ1˘

` z2 ´ 2zR cos θ1

“a

R2 ` z2 ´ 2zR cos θ1

remplazando en la ecuacion del potencial tenemos

φ p~rq “ kż

V

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|dV ` k

¿

S

σP`

~r1˘

|~r´~r1|dA` k

ż

V

ρP`

~r1˘

dV|~r´~r1|

“ kż

V

0 dV ` k

πż

0

2πż

0

P cos θ1R2 sin θ1dθ1dϕ1?

R2 ` z2 ´ 2zR cos θ1`

ż

V

0 dV|~r´~r1|

“ kPR2πż

0

cos θ1 sin θ1dθ1?

R2 ` z2 ´ 2zR cos θ1ϕ|2π

0

“ kPR22π

πż

0


R2 ` z2 ´ 2zR cos θ1

para realizar esta ultima integral, podemos emplear la sustitucion

u “ R2 ` z2 ´ 2zR cos θ1 ñ cos θ1 “R2 ` z2 ´ u

2zR

du “ 2zR sin θ1dθ1 ñ sin θ1dθ1 “du

2zR


remplazando

φ p~rq “ k2πPR2πż

0


R2 ` z2 ´ 2zR cos θ1“ 2πkPR2

πż

0

R2`z2´u2zR

´

du2zR

¯

?u

“ kπP2z2

πż

0

`

R2 ` z2 ´ u˘

du?

u“ k

πP2z2

¨

˝

´

R2 ` z2¯

πż

0

du?

u´

πż

0

?u du

˛

‚

“ kπP2z2

ˆ

´

R2 ` z2¯

2?

uˇ

ˇ

π0 ´

23

u32

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

˙

“ kπP2z2

˜

´

R2 ` z2¯

2a

R2 ` z2 ´ 2zR cos θ1ˇ

ˇ

ˇ

π

0´

23

´

R2 ` z2 ´ 2zR cos θ1¯

32ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

¸

“ kπPz2

„

´

R2 ` z2¯´

a

R2 ` z2 ` 2zR´a

R2 ` z2 ´ 2zR¯

´13

ˆ

´

R2 ` z2 ` 2zR¯

32´

´

R2 ` z2 ´ 2zR¯

32˙

“ kπPz2

ˆ

´

R2 ` z2¯

ˆ

b

pR` zq2 ´b

pR´ zq2˙

´13

´

pR` zq2¯

32`

13

´

pR´ zq2¯

32˙

“

ˆ

14πε

˙

πPz2

ˆ

´

R2 ` z2¯

pR` z´ R` zq ´13pR` zq3 `

13pR´ zq3

˙

si expandimos los terminos dentro del parentesis´

R2 ` z2¯

pR` z´ R` zq ´13pR` zq3 `

13pR´ zq3

“

´

R2 ` z2¯

2z´13

´

R3 ` 3R2z` 3Rz2 ` z3¯

`13

´

R3 ´ 3R2z` 3Rz2 ´ z3¯

“ R22z` 2z3 ´13

R3 ´ R2z´ Rz2 ´13

z3 `13

R3 ´ R2z` Rz2 ´13

z3

“ R22z` 2z3 ´ 2R2z´23

z3

“43

z3

por lo tanto

φ pzq “ˆ

14πε

˙

πPz2

43

z3 “Pz3ε

. (6-24)

Finalmente el campo electrico lo podemos escribir como

~E pzq “ ´∇φ pzq “ ´ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

Pz3ε“ ´

P3ε

k

en consecuencia, el campo producido por la esfera es proporcional al vector de polarizacion y en sentido contrario a ladireccion de este.

Problema 117. Calcule ~E p~rq y φ p~rq dentro y fuera de una esferadielectrica de radio R con permitividad ε2, la cual inicialmente seencontraba aislada y descargada, y luego es colocada en una regionde permitividad ε1 bajo la influencia de un campo electrico externo~E0k, como se ilustra en la figura 6-8.

Figura 6-8:


Solucion 117. Por facilidad en la solucion, es conveniente escoger el centro de la esfera como el origen de coordenadas;podemos notar tambien que la esfera no perturbara el campo en regiones distantes, i.e. r Ñ 8, y por lo tanto, para estospuntos solo tendremos ~E “ ~E0k. Ası entonces, el potencial asociado a esta distancia sera

φ px, y, zq “ ´ż

~E ¨ d~l “ ´ż

E0 dz “ É0z` φ0

por la simetrıa del problema lo mas conveniente es usar coordenadas esfericas, por lo tanto, teniendo en cuenta quez “ r cos θ

φ pr, θ, ϕq “ É0z` φ0 “ É0r cos θ ` φ0 (6-25)

Partiendo de la solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas (4-77), esto es

φl,0 pr, θ, ϕq “ pa0 ` b0 ϕq8ÿ

l“0

´

Clrl `Dlr´pl`1q¯

Pl pcos θq

en este problema tendremos dos valores diferentes del potencial, uno dentro y otro fuera de la esfera. Adicionalmentepor simetrıa se debe cumplir que b0 ϕ “ 0 para que el potencial sea univoco, lo cual trae como consecuencia que b0 “

0. Debemos ahora determinar el valor de las constantes restantes de la solucion general, para ello podemos utilizar laexpansion de la ecuacion (4-81)

φl,0 pr, θ, ϕq “ C0 `D0r´1 `´

C1r`D1r´2¯

cos θ `´

C2r2 `D2r´3¯ 1

2

´

3 cos2 θ ´ 1¯

` ...

de la ecuacion anterior tenemos que el termino D0r´1 corresponde al potencial de una carga puntual, el cual debe sercero debido a que no tenemos cargas puntuales en el problema. Tambien deben de anularse los terminos de orden n ě 2,debido a que estos representan momentos multipolares superiores al dipolo. Ası que finalmente, solo el termino asociado almomento dipolar prevalece debido a que esta asociado a la polarizacion electrica que aparece en la esfera debida al campoexterno, i.e.

φl,0 pr, θ, ϕq “ C0 ` C1r cos θ `D1r´2 cos θ `12

C2r2´

3 cos2 θ ´ 1¯

` ...

igualando la solucion anterior con el potencial para el exterior obtenido en la ecuacion (6-25)

É0r cos θ ` φ0 “ C0 ` C1r cos θ `D1r´2 cos θ `12

C2r2´

3 cos2 θ ´ 1¯

` ...

por lo tanto

C0 “ φ0

C1r cos θ “ É0r cos θ

12

C2r2´

3 cos2 θ ´ 1¯

“ 0

quedando el potencial fuera de la esfera

φl,0E pr, θ, ϕq “ φ0 ´ E0r cos θ `D1r´2 cos θ. (6-26)

Para calcular el potencial por dentro de la esfera nuevamente emplearemos la expansion de la ecuacion (4-81), para lo cualpodemos escribir

φl,0I pr, θ, ϕq “ A0 ` B0r´1 `´

A1r` B1r´2¯

cos θ `´

A2r2 ` B2r´3¯ 1

2

´

3 cos2 θ ´ 1¯

` ...

dado que dentro de la esfera no tenemos cargas, no hay dipolos, ni momentos dipolares de orden superior. Todos losterminos que contengan potencias negativas de r se deben anular para que no existan divergencias en r “ 0

φl,0I pr, θ, ϕq “ A0 ` A1r cos θ `12

A2r2´

3 cos2 θ ´ 1¯

` ...


debido a que no podemos tener discontinuidades en el potencial en la frontera de los dielectricos, en r “ R debe tener elmismo valor, por lo tanto

φl,0E pr “ R, θq “ φl,0I pr “ R, θq

φ0 ´ E0R cos θ `D1R´2 cos θ “ A0 ` A1R cos θ `12

A2R2´

3 cos2 θ ´ 1¯

` ...

lo cual implica que

A0 “ φ0

A1R cos θ “ É0R cos θ `D1R´2 cos θ

12

A2R2´

3 cos2 θ ´ 1¯

“ 0

por lo tanto, An “ 0 para n ě 2. Adicionalmente tenemos que el termino φ0 aparece en el calculo dentro y fuera dela esfera, y dado que el potencial lo escribimos con referencia a un punto, podemos hacer φ0 “ 0 sin perdida alguna degeneralidad, para el termino restante tenemos

A1R cos θ “ É0R cos θ `D1R´2 cos θ

A1R “ É0R`D1R´2

D1 “ E0R3 ` A1R3 (6-27)

en consecuencia, el potencial en el interior de la esfera es

φl,0I pr, θ, ϕq “ A1r cos θ (6-28)

mientras que el potencial en el exterior sera

φl,0E pr, θ, ϕq “ É0r cos θ `D1r´2 cos θ. (6-29)

Para calcular D1, debemos hacerlo desde el analisis de los campos, para lo cual partimos de la relacion ~E “ ´∇φ

~EE “ ´∇φl,0E pr, θq “ ´

ˆ

B

Brr`

1rB

Bθθ `

1r sin θ

B

Bφφ

˙

´

É0r cos θ `D1r´2 cos θ¯

“

ˆ

E0 `2D1

r3

˙

cos θr`ˆ

D1

r3 ´ E0

˙

sin θθ (6-30)

mientras que el campo dentro de la esfera sera

~EI “ ´∇φl,0I pr, θ, ϕq “ ´

ˆ

B

Brr`

1rB

Bθθ `

1r sin θ

B

Bφφ

˙

A1r cos θ “ Á1 cos θr` A1 sin θθ. (6-31)

Debido a que la componente tangencial de los campos en la frontera entre dos medios dielectricos debe cumplir

~EE ¨ d~l “ ~EI ¨ d~l

donde d~l es un elemento de arco sobre la superficie de la esfera d~l “ rdθθ ` r sin θdφφ entonces´´

E0 `2D1R3

¯

cos θr`´

D1R3 ´ E0

¯

sin θθ¯

¨`

Rdθθ ` R sin θdφφ˘

“`

A1 sin θθ ´ A1 cos θr˘

¨`

Rdθθ ` R sin θdφφ˘

ˆ

D1

R3 ´ E0

˙

R sin θdθ “ A1R sin θ dθ

D1

R3 ´ E0 “ A1

ñ D1 “ E0R3 ` A1R3 (6-32)


este resultado que habıamos obtenido anteriormente en la ecuacion (6-27). Lo cual demuestra la equivalencia de la condi-cion de continuidad del potencial sobre la superficie y la condicion de contorno del campo electrico tangente a la superficie.

Dado que el vector de desplazamiento lo podemos escribir como

~D “ ε~E

para la parte exterior de la esfera tenemos

~DE “ ε1

ˆ

E0 `2D1

r3

˙

cos θr` ε1

ˆ

D1

r3 ´ E0

˙

sin θθ

mientras que en el interior de la esfera

~DI “ ´ε2 A1 cos θr` ε2 A1 sin θθ.

Aplicando la condicion de la componente normal a la superficie

~DE ¨ n2 “ ~DI ¨ n1

entoncesˆ

ε1

ˆ

E0 `2D1

R3

˙

cos θr` ε1

ˆ

D1

R3 ´ E0

˙

sin θθ

˙

¨ r “`

´ε2 A1 cos θr` ε2 A1 sin θθ˘

¨ r

ε1

ˆ

E0 `2D1

R3

˙

cos θ “ ´ε2 A1 cos θ

ε1

ˆ

E0 `2D1

R3

˙

“ ´ε2 A1

ñ D1 “12

ˆ

´ε2

ε1A1 ´ E0

˙

R3

igualando el termino D1 la ecuacion anterior con el resultado obtenido en la ecuacion (6-32), podemos despejar A1

12

ˆ

´ε2

ε1A1 ´ E0

˙

R3 “ E0R3 ` A1R3

12

ˆ

´ε2

ε1A1 ´ E0

˙

“ E0 ` A1

´ε2

ε1A1 ´ 2A1 “ 3E0

ˆ

ε2 ` 2ε1

ε1

˙

A1 “ ´3E0

ñ A1 “´3ε1E0

ε2 ` 2ε1

por lo tanto D1 sera

D1 “ E0R3 ` A1R3 “ E0R3 `´3ε1E0

ε2 ` 2ε1R3 “ R3E0

ε2 ´ ε1

2ε1 ` ε2

Lo anterior nos permite escribir los potenciales completos. Remplazando el termino anterior en la ecuacion del potencialexterno (6-29)

φl,0E pr, θ, ϕq “ ´E0r cos θ `D1r´2 cos θ “ ´E0r cos θ `R3E0

r2ε2 ´ ε1

2ε1 ` ε2cos θ


mientras que el potencial interno de la ecuacion (6-28) es

φl,0I pr, θ, ϕq “ A1r cos θ “´3ε1

ε2 ` 2ε1E0r cos θ

para el campo electrico en el exterior de la esfera (6-30)

~EE “

ˆ

E0 `2D1

r3

˙

cos θr`ˆ

D1

r3 ´ E0

˙

sin θθ

“

˜

E0 `2R3E0

ε2´ε12ε1`ε2

r3

¸

cos θr`

˜

R3E0ε2´ε1

2ε1`ε2

r3 ´ E0

¸

sin θθ

“ E0

ˆ

1` 2ε2 ´ ε1

2ε1 ` ε2

R3

r3

˙

cos θr` E0

ˆ

ε2 ´ ε1

2ε1 ` ε2

R3

r3 ´ 1˙

sin θθ

mientras que el campo dentro de la esfera (6-31) sera

~EI “ ´A1 cos θr` A1 sin θθ “3ε1

ε2 ` 2ε1E0

`

cos θr´ A1 sin θθ˘

.

Problema 118. Un condensador esferico de radios a y c tiene de-positadas sobre sus placas cargas `Q y ´Q, entre los conductoreshay dos dielectricos ε1 y ε2, cuya superficie de separacion es unasuperficie esferica de radio b. Calcule el potencial, el campo en todopunto, como se ilustra en la figura 6-9.

Figura 6-9:

Solucion 118. Para la zona exterior al condensador esferico, esto es r ą c tenemos que la carga total encerrada seraQT “ `Q´Q “ 0, con lo cual el campo en el exterior es ~Eext p~rq “ 0. Para el potencial en el exterior tenemos

φext p~rq “ φ´

~rre f erencia

¯

´

rż

8

~E ¨ d~l “ 0´

rż

8

kQr2 r ¨

`


“ ´

rż

8

kQr2 dr “ 0

donde el potencial de referencia lo tomamos en el infinito, punto en el cual este vale cero.

Para la capa de dielectrico ε2 comenzaremos calculando el vector de desplazamiento electrico¿

SG

~D2 p~rq ¨ ndA “ Q ñ ~D2 p~rq “Q

4πr2

y por lo tanto~E2 p~rq “

Q4πε2r2

mientras que el potencial sera

φ2 p~rq “ ´ż

~E2dr “ ´ż

Q4πε2r2 “

Q4πε2r

` C2. (6-33)


Para la capa de dielectrico ε1 el vector de desplazamiento electrico es¿

SG

~D1 p~rq ¨ ndA “ Q ñ ~D1 p~rq “Q

4πr2

el campo~E1 p~rq “

Q4πε1r2

y el potencial electrostatico

φ1 p~rq “ ´ż

~E1dr “ ´ż

Q4πε1r2 “

Q4πε1r

` C1. (6-34)

Para evaluar las constantes C1 y C2, lo haremos analizando el potencial en las fronteras, esto debido a las condiciones decontinuidad en el potencial. La primera hace referencia al potencial en el exterior y la siguiente a las fronteras entre losdielectricos

φ2 p~rq|r“c “ 0

φ1 p~rq|r“b “ φ2 p~rq|r“b

remplazando la primera condicion en la ecuacion (6-33)

φ2 p~rq|r“c “Q

4πε2c` C2 “ 0 ñ C2 “ ´

Q4πε2c

obteniendo

φ2 p~rq “Q

4πε2r´

Q4πε2c

“Q

4πε2

ˆ

1r´

1c

˙

mientras que aplicando la segunda condicion de frontera en la ecuacion (6-34)

φ1 p~rq|r“b “ φ2 p~rq|r“bQ

4πε1b` C1 “

Q4πε2

ˆ

1b´

1c

˙

ñ C1 “Q

4πε2

ˆ

1b´

1c

˙

´Q

4πε1b

ası entonces, el potencial φ1 es

φ1 p~rq “Q

4πε1r` C1

“Q

4πε1r`

Q4πε2

ˆ

1b´

1c

˙

´Q

4πε1b

“Q4π

„

1ε1

ˆ

1r´

1b

˙

`1ε2

ˆ

1b´

1c

˙

Finalmente, en el interior la esfera interior r ă a tenemos

Q “

¿

SG

~D3 p~rq ¨ ndA “ 0

y por lo tanto, ~Eint p~rq “ 0. El potencial en esta region lo calcularemos teniendo en cuenta que el potencial de referenciaes φ1 p~rq evaluado en r “ a

φ1 p~rq|r“a “Q4π

„

1ε1

ˆ

1a´

1b

˙

`1ε2

ˆ

1b´

1c

˙


por lo tanto

φint prq “ φ´

~rre f erencia

¯

´

aż

0

~E ¨ d~l “Q4π

„

1ε1

ˆ

1a´

1b

˙

`1ε2

ˆ

1b´

1c

˙

´

aż

O

0hkkikkj

~E ¨ d~l

“Q4π

„

1ε1

ˆ

1a´

1b

˙

`1ε2

ˆ

1b´

1c

˙

.

6.4. Conductores electrostaticos

Los materiales que tienen partıculas cargadas en su interior, que pueden moverse a traves del material ba-jo la influencia de un campo electrico externo se denominan portadores de carga. Los portadores de carga sonelectrones e iones en gases y lıquidos, electrones en solidos cristalinos (semiconductores y metales) y pares deelectrones en superconductores. Siendo la conductividad la propiedad fısica utilizada para medir la facilidadde movimiento de la carga. Segun el comportamiento electrico, los materiales se pueden dividir en conducto-res, semiconductores y aislantes (o dielectricos).

Aunque no existen conductores ideales, existen materiales que se comportan aproximadamente como tales; enese sentido los portadores se pueden tratar en buena aproximacion como un gas interactuante dentro de uncontenedor y por lo tanto, los portadores de carga podemos considerarlos como partıculas libres (donde libreimplica que no estan unidos a un atomo en particular) que portan la carga electrica (electrones y los iones) ylos cuales no interactuan con los atomos o moleculas del material, excepto en cercanıas a la superficie (puestoque los portadores no son libres de abandonar el material). De hecho, en conductores solidos la conduccionse da usualmente por electrones con interaccion despreciable con la red cristalina, mientras que en lıquidoslos portadores son generalmente iones. La conductividad de los metales generalmente aumenta con una dis-minucion de la temperatura, por ello a temperaturas cercanas al cero absoluto pT » 0Kq, algunos conductorespresentan una conductividad infinita y se denominan superconductores.

En el caso de los aislantes tenemos que los electrones estan unidos a atomos en particular y como consecuencia,no existen portadores de carga que puedan moverse con facilidad a lo largo de todo el material.

Si consideramos el caso electrostatico, es importante aclarar que campo electrico en el interior del conductorsera cero. Esto debido a que si existiera un campo esto implicarıa que las cargas podrıan moverse y se romperıala condicion electrostatica. Por lo tanto, al ser la densidad de carga en el interior de un conductor y al aplicarla ley de Gauss obtenemos que el campo electrostatico en el interior sera cero. Esto nos lleva a considerarun conductor como una equipotencial, lo cual implica que si tenemos dos puntos a y b en la superficie delconductor entonces

φ pbq ´ φ paq “ ´

bż

a

~E ¨ d~l “ 0

por lo tanto φ pbq “ φ paq siendo equipotencial.

6.4.1. Carga inducida

Si colocamos una carga `q cerca de un conductor descargado, existira un desplazamiento de cargas sobre elconductor de tal forma que, aunque se conserva que la carga total del conductor descargado es cero, habra unacarga inducida como lo podemos ver en la figura 6-10 y en consecuencia, una fuerza neta de atraccion.

6.4 Conductores electrostaticos 199

Figura 6-10: Representacion de la carga inducida producida por una carga `q.

Si rodeamos por una superficie gaussiana SG cualquiera de los dos ejemplos de la figura 6-10, tenemos quela carga total encerrada sera `q en ambos casos y por lo tanto el campo que rodea fuera de cada uno de losarreglos sera

~E p~rq “ kqr2 r

Un analisis un poco mas elaborado, es considerar que al comienzo el conductor esta en su estado de mınimaenergıa (en ausencia del campo), la introduccion del campo electrico debido a la presencia de una carga electri-ca, hace que la energıa potencial se modifique dejando al sistema fuera de la configuracion de mınimo local.Para que el sistema regrese a una configuracion de mınima de energıa, se debe generar una redistribucion dela carga en el conductor, permitiendo emular esta distribucion como una carga inducida. Aunque el conductorsea neutro como sucede en la mayorıa de los casos, pueden existir acumulaciones de carga locales por efectode campos externos, la carga neta sigue siendo cero, pero se produce igualmente el campo inducido que anulael campo interior.

Problema 119. Una esfera metalica de radio R con carga q, es ro-deada por un delgado cascaron esferico concentrico de radio internora y radio externo rb, como se ilustra en la figura 6-11. Calcule ladensidad de carga superficial en R, ra y rb , ası como el potencialen el centro usando el infinito como punto de referencia. Si la su-perficie externa se toca con un cable el cual esta conectado a tierracomo cambian las respuestas anteriores.

Figura 6-11:

Solucion 119. Dado que tenemos una superficie esferica, la densidad superficial de carga la podemos escribir como

σ “qA“

q4πr2 ñ q “ 4πr2σ


por lo tanto, la densidad de carga superficial para cada una de las superficies sera

ER “ kq

R2 “ k4πR2σR

R2 ñ σR “q

4πR2

Era “ kqr2

a“ k

´`

4πr2aσra

˘

r2a

ñ σra “´q

4πr2a

Erb “ kqr2

b“ k

4πr2bσrb

r2b

ñ σrb “q

4πr2b

para el calculo del potencial tenemos que

φ p~rq “ ´

0ż

8

~E ¨ d~l “ ´

rbż

8

~E ¨ d~l ´

raż

rb

~E ¨ d~l ´

Rż

ra

~E ¨ d~l ´

0ż

R

~E ¨ d~l

“ ´

rbż

8

kqr2 dr´

raż

rb

0 ¨ d~l ´

Rż

ra

kqr2 dr´

0ż

R

0 ¨ d~l

“ kq

˜

1r

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

rb

8

`1r

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

R

ra

¸

“ kqˆ

1rb`

1R´

1ra

˙

sı tocamos con un cable conectado a tierra el cascaron esferico perderemos la carga superficial, esto es σb “ 0, haciendoque el nuevo potencial sea entonces

φ p~rq “ ´

0ż

8

~E ¨ d~l “ ´

rbż

8

~E ¨ d~l ´

raż

rb

~E ¨ d~l ´

Rż

ra

~E ¨ d~l ´

0ż

R

~E ¨ d~l

“ ´

rbż

8

0 ¨ d~l ´

raż

rb

0 ¨ d~l ´

Rż

ra

kqr2 dr´

0ż

R

0 ¨ d~l

“ kq1r

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

R

ra

“ kqˆ

1R´

1ra

˙

.

Problema 120. Dos cavidades esfericas, de radios ra y rb, se rea-lizan en el interior de una esfera neutra de radio R. En el centro decada cavidad se coloca una carga puntual qa y qb respectivamente,como se ilustra en la figura 6-12. Calcule la densidad de carga su-perficial σa, σb y σR, el campo fuera del conductor, el campo dentrode cada cavidad y la fuerza sobre qa y qb.

Figura 6-12:

Solucion 120. Partiendo de la definicion del campo electrico, calcularemos la densidad de carga superficial para cada

6.4 Conductores electrostaticos 201

caso

Era “ kqa

r2a“ k

4πr2aσra

r2a

ñ σra “qa

4πr2a

Erb “ kqb

r2b“ k

4πr2bσrb

r2b

ñ σrb “qb

4πr2b

ER “ kqa ` qb

R2 “ k4πR2σR

R2 ñ σR “qa ` qb4πR2

el campo fuera del conductor sera¿

~E ¨ d~S “qinε0

E´

4πr2¯

r “qa ` qb

ε0

ñ ~E p~rq “1

4πε0

qa ` qbr2 r “ k

qa ` qbr2 r

mientras que el campo dentro de cada cavidad es¿

~E ¨ d~S “qa

ε0

~E´

4πr2¯

r “qa

ε0ñ ~E “ k

qa

r2 r para r menor que ra

y¿

~E ¨ d~S “qbε0

~E´

4πr2¯

r “qbε0ñ ~E “ k

qbr2 r para r menor que rb

Finalmente, la fuerza entre las cargas es cero, debido a que el campo en el interior del conductor es cero.

Capıtulo 7

Metodo de imagenes

El ası llamado metodo de imagenes es una tecnica muy usada cuanto se tienen configuraciones de carga ycondiciones de frontera complejas. Dadas unas condiciones de frontera, el metodo de las imagenes consisteen encontrar una distribucion de cargas virtuales exteriores (interiores) que puedan emular las condiciones defrontera, sin alterar la distribucion interior (exterior). Matematicamente, esto se justifica por el teorema de laexistencia y unicidad para la ecuacion de Laplace. De hecho, sı una funcion satisface la ecuacion de Laplace ylas condiciones de contorno del problema especıfico, la funcion obtenida es unica. Por lo tanto, si tenemos unadistribucion de cargas que reproduce el potencial del problema inicial, la solucion se puede calcular utilizandoesta distribucion de carga ficticia, ya que la solucion es la misma.

Para implementar el metodo de las imagenes debemos tener en cuenta

La carga o las cargas imagen deben de colocarse en la region conductora o dielectrica.

Se debe de cumplir que el potencial en la superficie conductora o la frontera dielectrica debe ser cero oconstante.

La ventaja de este metodo es que al introducir las cargas imagen, las condiciones de frontera dejan de serrelevantes en el problema y en su lugar debe solucionarse un problema mas sencillo, que implica aplicar elprincipio de superposicion entre las cargas interiores (reales) y exteriores (imagenes).

7.1. Metodo de imagenes para distribuciones puntuales de carga

Problema 121. Calcule el campo y el potencial en el punto P parauna carga Q a una distancia h de un plano conductor cargado deextension infinita, ubicado en el plano XY, el cual esta a potencialcero como se muestra en la figura 7-1. Ası mismo, calcule el valorde la carga virtual.

Figura 7-1:

203

204 7 Metodo de imagenes

Solucion 121. Como podemos ver en la figura 7-2, cambiamos el plano por una carga virtual, inicialmente supondremosque es de signo opuesto de la carga real y luego demostraremos que ese es efectivamente el signo de la carga virtual.

Vamos a suponer que la carga virtual esta ubicada en un punto~r1´ “ ´h1k al otro lado del plano. La ubicacion de la cargavirtual debe ser tal, que cumpla las condiciones de frontera sobre el plano XY. Para calcular el potencial en cualquierpunto del espacio usamos el principio de superposicion, teniendo en cuenta que~r “ xı` y ` zk y~r1` “ hk, tenemos

φ p~rq “ φ` p~rq ` φ´ p~rq “ kq`

ˇ

ˇ~r´~r1`ˇ

ˇ

´ kq´

ˇ

ˇ~r´~r1´ˇ

ˇ

“ k

»

—

—

–

q`”

x2 ` y2 ` pz´ hq2ı

12´

q´”

x2 ` y2 ` pz` h1q2ı

12

fi

ffi

ffi

fl

si suponemos inicialmente que el plano esta a un potencial cero, podemos entonces calcular el valor de h1

φ p0q “ φ` p0q ` φ´ p0q

0 “ k

»

–

q`”

02`02`p0´hq2ı

12´

q´”

02`02`p0`h1q2ı

12

fi

fl

ñ h “ h1

Procedemos ahora a calcular el campo electrico en cualquier punto del espacio

~E p~rq “ ~E` p~rq ` ~E´ p~rq “ kq`

`

~r´~r1`˘

ˇ

ˇ~r´~r1`ˇ

ˇ

3 ´ kq´

`

~r´~r1´˘

ˇ

ˇ~r´~r1´ˇ

ˇ

3

“ k

»

—

—

–

q`´

xı` y ` pz´ hq k¯

”

x2 ` y2 ` pz´ hq2ı

32´

q´´

xı` y ` pz` hq k¯

”

x2 ` y2 ` pz` hq2ı

32

fi

ffi

ffi

fl

(7-1)

Figura 7-2: Solucion por medio del metodo de imagenes de una carga positiva frente a un plano conductor.

Para calcular el valor de la carga inducida, es necesario calcular el campo producido en la superficie del conductor. Par-tiendo de la ley de Gauss

ż

s

~E ¨ d~S “1ε0

ż

s

σdS ñ ~E “σ

ε0n

7.1 Metodo de imagenes para distribuciones puntuales de carga 205

por lo tanto, la densidad de carga

~E ¨ n “σ

ε0n ¨ n

ñ σ “ ε0~E ¨ n

remplazando la ecuacion (7-1) en la ecuacion de la densidad de carga, y teniendo en cuenta que el plano esta en z “ 0,tenemos

σ “ ε0 ~E ¨ nˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ε0 k

¨

˚

˚

˝

q`´

xı` y ` pz´ hq k¯

”

x2 ` y2 ` pz´ hq2ı

32´

q´´

xı` y ` pz` hq k¯

”

x2 ` y2 ` pz` hq2ı

32

˛

‹

‹

‚

¨ k

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ kε0

¨

˚

˚

˝

q` pz´ hq”

x2 ` y2 ` pz´ hq2ı

32´

q´ pz` hq”

x2 ` y2 ` pz` hq2ı

32

˛

‹

‹

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ kε0

¨

˝

´2qh`

x2 ` y2 ` h2˘

32

˛

‚

donde supusimos inicialmente que la carga es la misma. Por lo tanto, la carga inducida en el plano sera

Q “

ż

σdA “

8ż

´8

8ż

´8

kε0

¨

˝

´2qh`

x2 ` y2 ` h2˘

32

˛

‚dx dy

por facilidad en el calculo podemos escribir la integral en coordenadas cilındricas, de tal forma que x2` y2` h2 “ ρ2` h2

y donde dx dy “ ρ dρ dθ lo cual nos lleva a escribir la integral como

Q “

8ż

´8

8ż

´8

kε0

¨

˝

´2qh`

x2 ` y2 ` h2˘

32

˛

‚dx dy “ ´kε02qh

8ż

0

2πż

0

ρ`

ρ2 ` h2˘

32

dρ dθ

“ ´kε02qh

8ż

0

ρ θ`

ρ2 ` h2˘

32

dρ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2π

0

“ ´kε02qh2π

8ż

0

ρ`

ρ2 ` h2˘

32

dρ

“ ´kε02qh2π ´1

a

h2 ` ρ2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8

0

“ ´kε02qh2π

ˆ

´1

?h2 `82

`1

?h2 ` 02

˙

“ ´kε02qh2π1h“ ´q

y por lo tanto vemos que la carga inducida sobre el conductor es igual a la de la carga imagen.


7.2. Metodo de imagenes para distribuciones puntuales de carga y me-dios dielectricos

Problema 122. Calcule el potencial en cualquier punto del espa-cio y el valor de las cargas imagen, debido a una carga q que secoloca en el punto p0, 0, dq, teniendo en cuenta que para z ą 0 te-nemos una permitividad ε1, mientras que para el plano z ă 0 lapermitividad es ε2, como se ilustra en la figura 7-3.

Figura 7-3:

Solucion 122. Tenemos que el potencial φ pρ, φ, zq esta compuesto por la suma de las soluciones parciales provenientes dela sustitucion del dielectrico por cargas equivalentes. Para que esto sea posible, es necesario que el potencial en la superficiede separacion entre los medios dielectricos, coincidan con las superficies equipotenciales para la nueva distribucion decargas. Por ello, sustituimos el sistema original, por la suma de los dos siguientes:

Sustituimos el dielectrico ε2 por el dielectrico ε1, colocando en su lugar una carga q1 a una distancia ´d, del planoz “ 0.

Sustituimos el dielectrico ε1 por el dielectrico ε2, colocando en lugar del dielectrico ε1 una carga q2 a una distanciad, del plano z “ 0.

Figura 7-4: Solucion por medio del metodo de imagenes para una carga q que se coloca en el punto p0, 0, dq enun medio de permitividad ε1, mientras que para el plano z ă 0 la permitividad es ε2.

Para z ą 0 y z ă 0 tenemos las siguientes condiciones:

Para el campo electricoε1∇ ¨ ~E “ 4πρ para z ą 0

ε2∇ ¨ ~E “ 0 para z ă 0∇ˆ ~E “ 0 Todo lugar

Para el potencial electrostatico∇2φ pρ, φ, zq “ ´ 4πρ

ε1para z ą 0

∇2φ pρ, φ, zq “ 0 para z ă 0

7.2 Metodo de imagenes para distribuciones puntuales de carga y medios dielectricos 207

Debido a la posicion de la carga en coordenadas cartesianas p0, 0, dq, este problema tiene simetrıa cilındrica sobre el eje zy por lo tanto no necesitamos tener en cuenta el angulo, como podemos apreciar de la figura 7-4

φ pρ, ϕ, zq “ φ pρ, zq

si tomamos un punto P1 pρ, zq en el plano superior y calculamos el potencial para este, el efecto del dielectrico ε2 puedeser simulado por una carga q1 en p0, 0,´dq, donde~r “ ρρ` zk,~r1q “ dk y~r1q1 “ ´dk . Por lo tanto, el potencial debido alas cargas en la region I sera

φI pρ, zq “1

4πε1

qˇ

ˇ

~r´~r1qˇ

ˇ

ˇ

`1

4πε1

q1ˇ

ˇ

~r´~r1q1ˇ

ˇ

ˇ

“1

4πε1

¨

˝

qb

ρ2 ` pz´ dq2`

q1b

ρ2 ` pz` dq2

˛

‚

mientras que para la region I I, la carga q2 esta ubicada en p0, 0, dq y~r1q2 “ dk

φI I pρ, zq “1

4πε2

q2ˇ

ˇ

~r´~r1q2ˇ

ˇ

ˇ

“1

4πε2

q2b

ρ2 ` pz´ dq2.

El nuevo sistema debe ser tal, que cumpla que la componente tangencial del campo electrico y la componente normal delvector de desplazamiento electrico, sean continuas en la frontera de los medios dielectricos

EIρ pz “ 0q “ EI Iρ pz “ 0q

DIz pz “ 0q “ DI Iz pz “ 0q

dado que ~E “ ´∇φ, entonces

BφI pρ, zqBρ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“

BφI I pρ, zqBρ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

14πε1

B

Bρ

¨

˝

qb

ρ2 ` pz´ dq2`

q1b

ρ2 ` pd` zq2

˛

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“1

4πε2

B

Bρ

q2b

ρ2 ` pz´ dq2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

´1

4πε1ρ

q1`

d2 ´ 2dz` z2 ` ρ2˘32 ` q

`

d2 ` 2dz` z2 ` ρ2˘32

`

d2 ´ 2dz` z2 ` ρ2˘

32`

d2 ` 2dz` z2 ` ρ2˘

32

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´1

4πε2

q2ρ`

d2 ´ 2dz` z2 ` ρ2˘

32

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

1ε1

ρq1`

d2 ` ρ2˘32 ` q

`

d2 ` ρ2˘32

`

d2 ` ρ2˘

32`

d2 ` ρ2˘

32

“1ε2

q2ρ`

d2 ` ρ2˘

32

ε2`

q` q1˘

“ ε1q2. (7-2)

Para el vector de desplazamiento electrico ~D, tenemos

ε1BφI pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ε2

BφI I pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

B

Bz

¨

˝

qb

ρ2 ` pz´ dq2`

q1b

ρ3 ` pd` zq2

˛

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“B

Bzq2

b

ρ2 ` pz´ dq2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

(7-3)


derivando el termino izquierdo

B

Bz

¨

˝

qb

ρ2 ` pz´ dq2`

q1b

ρ2 ` pd` zq2

˛

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´

d q1`

d2 ´ 2dz` z2 ` ρ2˘32 ` zq1

`

d2 ´ 2dz` z2 ` ρ2˘32 ´ d q

`

d2 ` 2dz` z2 ` ρ2˘32

`qz`

d2 ` 2dz` z2 ` ρ2˘32

`

d2 ´ 2dz` z2 ` ρ2˘

32`

d2 ` 2dz` z2 ` ρ2˘

32

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´d q1

`

d2 ` ρ2˘32 ´ d q

`

d2 ` ρ2˘32

`

d2 ` ρ2˘

32`

d2 ` ρ2˘

32

“´d q1 ` d q`

d2 ` ρ2˘

32

derivando el termino derecho de la ecuacion (7-3)

B

Bzq2

b

ρ2 ` pz´ dq2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“d q2 ´ q2 z

`

d2 ´ 2dz` z2 ` ρ2˘

32

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“d q2

`

d2 ` ρ2˘

32

remplazando en la ecuacion (7-3) los resultados anteriores

Bφ1 pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“

Bφ2 pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

´d q1 ` d q`

d2 ` ρ2˘

32

“d q2

`

d2 ` ρ2˘

32

q´ q1 “ q2

remplazando el resultado anterior en la ecuacion (7-2) tenemos

ε1q2 “ ε2`

q` q1˘

ε1`

q´ q1˘

“ ε2q` ε2q1

pε1 ´ ε2q q “ pε2 ` ε1q q1

q1 “ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1q

mientras que para la carga q2

ε1q2 “ ε2`

q` q1˘

ε1q2 “ ε2`

q``

q´ q2˘˘

ε1q2 “ 2ε2q´ ε2q2

pε1 ` ε2q q2 “ 2ε2q

q2 “2ε2

ε1 ` ε2q

de tal forma que el potencial en la region I pz ą 0q, al remplazar los valores calculados para la carga q1 sera

φI pρ, zq “1

4πε1

¨

˝

qb

ρ2 ` pz´ dq2`

q1b

ρ2 ` pd` zq2

˛

‚“q

4πε1

¨

˝

1b

ρ2 ` pz´ dq2`

ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1

1b

ρ2 ` pd` zq2

˛

‚


mientras que para la region I I pz ă 0q tenemos

φI I pρ, zq “1

4πε2

q2b

ρ2 ` pz´ dq2“

2q4π pε1 ` ε2q

1b

ρ2 ` pz´ dq2.

Algunos aspectos interesantes que podemos ver son los siguientes:

La carga q2 tiene el mismo signo que q.

Para ε1 “ ε2 tenemos que

q1 “ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1q “ 0

q2 “2ε2

ε1 ` ε2q “ q

y por lo tanto

φI “q

4πε1

¨

˝

1b

ρ2 ` pz´ dq2`

ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1

1b

ρ2 ` pd` zq2

˛

‚“q

4πε1

1b

ρ2 ` pz´ dq2

φI I “2q

4π pε1 ` ε2q

1b

ρ2 ` pz´ dq2“

q4πε1

1b

ρ2 ` pd` zq2

graficamente podemos representar este resultado en la figura 7-5´bq.

Para ε1 ă ε2 tenemos que

q1 “ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1q ñ q1 ă 0

el potencial y el campo electrico para este caso, los podemos representar en la figura 7-5´aq.

Para ε1 ą ε2 tenemos que

q1 “ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1q ñ q1 ą 0

el potencial y el campo electrico para este caso, los podemos representar en la figura 7-5´cq.

Figura 7-5: Imagenes de las lineas de campo electrico para una carga puntual real, colocada en el medio 1 y lascurvas de potencial en ambos medios. Para los casos aq ε1 ă ε2, bq ε1 “ ε2 y cq ε1 ą ε2.


Problema 123. Si se colocan tres planos paralelos con permitivi-dades ε1, ε2 y ε3. Calcule el potencial en cualquier punto del espacioy el valor de las cargas imagen al colocar una carga q, a una distan-cia d del medio con permitividad ε2, como se muestra en la figura7-6.

Figura 7-6:

Solucion 123. El potencial en cada region estara compuesto por la suma de las soluciones parciales para cada una de lasregiones z ą 0, 0 ă z ă ć y ć ă z bajo las siguientes condiciones del campo electrico

ε1∇ ¨ ~E “ 4πρ z ą 0ε2∇ ¨ ~E “ 0 0 ă z ă ćε3∇ ¨ ~E “ 0 ć ă z∇ˆ ~E “ 0 Todo lugar

.

ρ “ qδ pz´ dq δ pxq δ pyq

Mientras que las condiciones con respecto al potencial seran

∇2φ pρ, zq “ ´ 4πρε1

z ą 0∇2φ pρ, zq “ 0 0 ă z ă ć∇2φ pρ, zq “ 0 ć ă z

,

debido a la posicion de la carga en coordenadas cartesianas p0, 0, dq, este problema tiene simetrıa cilındrica sobre el eje z ypor lo tanto no necesitarıamos considerar el angulo

φ pρ, ϕ, zq “ φ pρ, zq .

Partiendo de la figura 7-7 y teniendo en cuenta lo realizado en el problema anterior, la carga inducida sobre el segundomedio dielectrico, debido a la carga real que se encuentra en el primer medio sera

q1 “ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1q

q2 “2ε2

ε1 ` ε2q (7-4)

debemos ahora calcular los valores de las cargas qp3,4,5,6,7,8q, teniendo en cuenta lo presentado en la figura 7-7, el potencialpara la region con permitividad ε1 se representa en la figura 7-7-a), donde~r “ ρρ` zk,~r1q “ pd` cq k,~r1q1 “ pc´ dq k,

~r1q3 “ pć` dq k y~r1q4 “ ´pd` cq k . Por lo tanto, el potencial debido a las cargas en la region 1 sera

φ1 pρ, zq “ 14πε1

¨

˝

q|~r ~r1q|

`q1

ˇ

ˇ

ˇ~r ~r1q1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`q3

ˇ

ˇ

~r ~r1q3

ˇ

ˇ

ˇ

`q4

ˇ

ˇ

ˇ~r ~r1q4

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

˛

‚

“ 14πε1

˜

qb

ρ2`pz´dćq2`

ε1´ε2ε2`ε1

qb

ρ2`pzć`dq2`

q3b

ρ2`pz`c´dq2`

q4b

ρ2`pz`c`dq2

¸


Figura 7-7: Solucion por medio del metodo de imagenes para una carga q que se coloca en el punto p0, 0, d` cqen un medio de permitividad ε1, sobre otras capas de permitividad ε2 y ε3.

mientras que para la region 3 de la figura 7-7-b) tenemos~r1q5 “ pc` dq k y~r1q6 “ pc´ dq k


˜

q5ˇ

ˇ

~r ~r1q5

ˇ

ˇ

ˇ

`q6

ˇ

ˇ

~r ~r1q6

ˇ

ˇ

ˇ

¸

“ 14πε3

˜

q5b

ρ2`pzć´dq2`

q6b

ρ2`pzć`dq2

¸

.

Utilizando el principio de superposicion podemos partir el problema anterior en dos problemas independientes, de tal formaque se cumpla que la componente tangencial del campo electrico y la componente normal del vector de desplazamientoelectrico sean continuas en la frontera de los medios dielectricos, esto es

E1ρ pρ, zqˇ

ˇ

z“0 “ E3ρ pρ, zqˇ

ˇ

z“0

ε1Bφ1 pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ε3

Bφ3 pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

dado que ~E “ ´∇φ, calcularemos el campo para E1ρ pρ, zqˇ

ˇ

z“0 “Bφ1pρ,zqBρ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0, por lo tanto

Bφ1pρ,zqBρ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ 1

4πε1BBρ

˜

qb

ρ2`pz´dćq2`

ε1´ε2ε2`ε1

qb

ρ2`pzć`dq2`

q3b

ρ2`pz`c´dq2`

q4b

ρ2`pz`c`dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14πε1

¨

˝

qρ´

ρ2`pz´dćq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

qρ´

ρ2`pzć`dq2¯32 `

q3ρ´

ρ2`pz`c´dq2¯32 `

q4ρ´

ρ2`pz`c`dq2¯32

˛

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14πε1

¨

˝

qρ´

ρ2`p´dćq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

qρ´

ρ2`pć`dq2¯32 `

q3ρ´

ρ2`pc´dq2¯32 `

q4ρ´

ρ2`pc`dq2¯32

˛

‚


mientras que

E3ρ pρ, zqˇ

ˇ

z“0 “Bφ3pρ,zqBρ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ 14πε3

BBρ

˜

q5b

ρ2`pzć´dq2`

q6b

ρ2`pzć`dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14πε3

ˆ

q5ρ

ppć´d`zq2`ρ2q32 `

q6ρ

ppć`d`zq2`ρ2q32

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14πε3

ˆ

q5ρ

ppć´dq2`ρ2q32 `

q6ρ

ppć`dq2`ρ2q32

˙

igualando las relaciones anteriores y simplificando tenemos

Bφ1pρ,zqBρ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“

Bφ3pρ,zqBρ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

1ε1

¨

˝

q´

ρ2`pd`cq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

q´

ρ2`pdćq2¯32 `

q3´

ρ2`pc´dq2¯32 `

q4´

ρ2`pc`dq2¯32

˛

‚ “ 1ε3

ˆ

q5

ppc`dq2`ρ2q32 `

q6

ppdćq2`ρ2q32

˙

1ε1

¨

˝

q`q4´

ρ2`pd`cq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

q`q3

´

ρ2`pdćq2¯32

˛

‚ “ 1ε3

ˆ

q5

ppc`dq2`ρ2q32 `

q6

ppdćq2`ρ2q32

˙

1ε1

q`q4´

ρ2`pd`cq2¯32 ´

1ε3

q5

ppc`dq2`ρ2q32 `

1ε1

ε1´ε2ε2`ε1

q`q3

´

ρ2`pdćq2¯32 ´

1ε3

q6

ppdćq2`ρ2q32 “ 0

por lo tanto1ε1

q`q4´

ρ2`pd`cq2¯32 ´

1ε3

q5

ppc`dq2`ρ2q32 “ 0 ñ ε3

`

q` q4˘ “ ε1q5

1ε1

ε1´ε2ε2`ε1

q`q3

´

ρ2`pdćq2¯32 ´

1ε3

q6

ppdćq2`ρ2q32 “ 0 ñ ε1q6 “ ε3

´

ε1´ε2ε2`ε1

q` q3¯

.(7-5)

Mientras que para la componente normal del vector desplazamiento electrico

ε1Bφ1 pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ε3

Bφ3 pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

tenemos

ε1Bφ1pρ,zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ε1

14πε1

BBz

˜

qb

ρ2`pz´dćq2`

ε1´ε2ε2`ε1

qb

ρ2`pzć`dq2`

q3b

ρ2`pz`c´dq2`

q4b

ρ2`pz`c`dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14π

¨

˝

qpz´dćq´

ρ2`pz´dćq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

qpz`dćq´

ρ2`pzć`dq2¯32 `

q3pz´d`cq´

ρ2`pz`c´dq2¯32 `

q4pz`d`cq´

ρ2`pz`c`dq2¯32

˛

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14π

¨

˝

´qpd`cq´

ρ2`pd`cq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

qpdćq´

ρ2`pc´dq2¯32 `

q3pc´dq´

ρ2`pc´dq2¯32 `

q4pd`cq´

ρ2`pc`dq2¯32

˛

‚

y

ε3Bφ3pρ,zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ε3

14πε3

BBz

˜

q5b

ρ2`pzć´dq2`

q6b

ρ2`pzć`dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14π

ˆ

q5pz´dćqppć´d`zq2`ρ2q

32 `q6pzć`dq

ppć`d`zq2`ρ2q32

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14π

¨

˝

´q5pd`cq´

pc`dq2`ρ2¯32 `

q6pć`dq´

pć`dq2`ρ2¯32

˛

‚


igualando tenemos

ε1Bφ1pρ,zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ε3

Bφ3pρ,zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

z“0¨

˝

´qpd`cq´

ρ2`pd`cq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

qpdćq´

ρ2`pc´dq2¯32 `

q3pc´dq´

ρ2`pc´dq2¯32 `

q4pd`cq´

ρ2`pc`dq2¯32

˛

‚ “´q5pd`cq

´

pc`dq2`ρ2¯32 `

q6pć`dq´

pć`dq2`ρ2¯32

´qpd`cq`q4pd`cq´

ρ2`pd`cq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

qpdćq´q3pdćq´

ρ2`pc´dq2¯32 “

´q5pd`cq´

pc`dq2`ρ2¯32 `

q6pć`dq´

pć`dq2`ρ2¯32

´qpd`cq`q4pd`cq´

ρ2`pd`cq2¯32 `

ε1´ε2ε2`ε1

qpdćq´q3pdćq´

ρ2`pc´dq2¯32 `

q5pd`cq´

pc`dq2`ρ2¯32 ´

q6pć`dq´

pć`dq2`ρ2¯32 “ 0

por lo tanto´qpd`cq`q4pd`cq´

ρ2`pd`cq2¯32 `

q5pd`cq´

pc`dq2`ρ2¯32 “ 0 ñ q´ q4 “ q5

ε1´ε2ε2`ε1

qpdćq´q3pdćq´

ρ2`pc´dq2¯32 ´

q6pdćq´

pć`dq2`ρ2¯32 “ 0 ñ

ε1´ε2ε2`ε1

q´ q3 “ q6.(7-6)

Remplazado el resultado de la ecuacion (7-6) en la ecuacion (7-5)

ε3`

q` q4˘ “ ε1q5

ε3`

q` q4˘ “ ε1`

q´ q4˘

q pε3 ´ ε1q “ ´q4 pε1 ` ε3q

ñ q4 “qpε1´ε3q

pε1`ε3q

(7-7)

en consecuenciaq5 “ q´ q4 “ q´

q pε1 ´ ε3q

pε1 ` ε3q“

q pε1 ` ε3q ´ q pε1 ´ ε3q

pε1 ` ε3q“

2qε3

pε1 ` ε3q(7-8)

mientras queε1q6 “ ε3

´

ε1´ε2ε2`ε1

q` q3¯

ε1

´

ε1´ε2ε2`ε1

q´ q3¯

“ ε3

´

ε1´ε2ε2`ε1

q` q3¯

´

ε1pε1´ε2q´ε3pε1´ε2qε2`ε1

¯

q “ pε3 ` ε1q q3

ñ q3 “ qpε1´ε3qpε1´ε2q

ε2`ε1ε3`ε1

“ q pε1´ε3qpε1´ε2q

pε2`ε1qpε3`ε1q

(7-9)

y en consecuencia

q6 “ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1q´ q3 “

ε1 ´ ε2

ε2 ` ε1q´ q

pε1 ´ ε3q pε1 ´ ε2q

pε2 ` ε1q pε3 ` ε1q“ q

2ε3 pε1 ´ ε2q

pε2 ` ε1q pε3 ` ε1q. (7-10)

El potencial para la region con permitividad ε2 se representa en la figura 7-7-c), donde~r “ ρρ` zk,~r1q2 “ pc` dq k y

~r1q7 “ ´pc` dq k, por lo tanto, el potencial debido a las cargas en la region 2 sera


˜

q2ˇ

ˇ

~r ~r1q2

ˇ

ˇ

ˇ

`q7

ˇ

ˇ

~r ~r1q7

ˇ

ˇ

ˇ

¸

“ 14πε2

˜

2ε2ε1`ε2

qb

ρ2`pz´dćq2`

q7b

ρ2`pz`c`dq2

¸

donde tuvimos en cuenta la ecuacion (7-4). Mientras que para la region 3 de la figura 7-7-d) tenemos~r1q8 “ pd` cq k


q8ˇ

ˇ

~r ~r1q8

ˇ

ˇ

ˇ

“ 14πε3

q8b

ρ2`pzć´dq2.


Utilizando nuevamente el hecho de que la componente tangencial del campo electrico y la componente normal del vectorde desplazamiento electrico sean continuas en la frontera de los medios dielectricos, tenemos

E2ρ pρ, zqˇ

ˇ


ˇ

z“0

ε2Bφ2 pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ε3

Bφ3 pρ, zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

por lo tanto

E2ρ pρ, zqˇ

ˇ


ˇ

z“0

14πε2

BBρ

˜

2ε2ε1`ε2

qb

ρ2`pz´dćq2`

q7b

ρ2`pz`c`dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ 14πε3

BBρ

˜

q8b

ρ2`pzć´dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

´ 14πε2

¨

˝

2ε2ε1`ε2

qρ´

ρ2`pz´dćq2¯32 `

q7ρ´

ρ2`pz`c`dq2¯32

˛

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ´ 14πε3

˜

q8ρb

ρ2`pzć´dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

´ 1ε2

¨

˝

2ε2ε1`ε2

qρ´

ρ2`pd`cq2¯32 `

q7ρ´

ρ2`pc`dq2¯32

˛

‚ “ ´ 1ε3

˜

q8ρb

ρ2`pc`dq2

¸

ñ q8 “ε3ε2

´

2ε2ε1`ε2

q` q7¯

(7-11)

Mientras que para la componente normal del vector desplazamiento electrico

ε2Bφ2pρ,zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ε3

Bφ3pρ,zqBz

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

ε21

4πε2BBz

˜

2ε2ε1`ε2

qb

ρ2`pz´dćq2`

q7b

ρ2`pz`c`dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“ ε31

4πε3BBz

˜

q8b

ρ2`pzć´dq2

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0¨

˝

2ε2ε1`ε2

qpz´dćq´

ρ2`pz´dćq2¯32 `

q7pz`c`dq´

ρ2`pz`d`cq2¯32

˛

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“

¨

˝

q8pz´dćq´

ρ2`pz´dćq2¯32

˛

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“02ε2

ε1`ε2

´qpd`cq´

ρ2`pd`cq2¯32 `

q7pc`dq´

ρ2`pd`cq2¯32 “

´q8pd`cq´

ρ2`pd`cq2¯32

2ε2ε1`ε2

q´ q7 “ q8 (7-12)

remplazando lo obtenido en la ecuacion (7-12) en la ecuacion (7-11) tenemos

q8 “ε3ε2

´

2ε2ε1`ε2

q` q7¯

2ε2ε1`ε2

q´ q7 “2ε3

ε1`ε2q` ε3

ε2q7

´

2ε2ε1`ε2

´2ε3

ε1`ε2

¯

q “

´

1` ε3ε2

¯

q7

2pε2´ε3qε1`ε2

q “

´

ε2`ε3ε2

¯

q7

ñ q7 “

2pε2´ε3qε1`ε2

q´

ε2`ε3ε2

¯ “ q 2pε2´ε3qε2pε2`ε3qpε1`ε2q

(7-13)

por lo tanto

q8 “2ε2

ε1`ε2q´ q7 “ q

´

2ε2pε2`ε3q´2pε2´ε3qε2pε2`ε3qpε1`ε2q

¯

“ q 4ε2ε3pε2`ε3qpε1`ε2q

. (7-14)

Finalmente, los potenciales para cada region implican remplazar los valores de carga para cada caso, por lo tanto, para la


region 1 de las ecuaciones (7-4,7-9 y 7-7) tenemos


¨

˝

q|~r ~r1q|

`q1

ˇ

ˇ

ˇ~r ~r1q1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`q3

ˇ

ˇ

~r ~r1q3

ˇ

ˇ

ˇ

`q4

ˇ

ˇ

ˇ~r ~r1q4

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

˛

‚

“ 14πε1

˜

qb

ρ2`pz´dćq2`

ε1´ε2ε2`ε1

qb

ρ2`pzć`dq2`pε1´ε3qpε1´ε2q

pε2`ε1qpε3`ε1q

qb

ρ2`pz`c´dq2`pε1´ε3q

pε1`ε3q

qb

ρ2`pz`c`dq2

¸

mientras que para la region 2 de la ecuacion (7-13)


˜

q2ˇ

ˇ

~r ~r1q2

ˇ

ˇ

ˇ

`q7

ˇ

ˇ

~r ~r1q7

ˇ

ˇ

ˇ

¸

“ 14πε2

˜

2ε2ε1`ε2

qb

ρ2`pz´dćq2`

2pε2´ε3qε2pε2`ε3qpε1`ε2q

qb

ρ2`pz`c`dq2

¸

y para la region 3, debemos tener en cuenta los resultados de las ecuaciones (7-8,7-10 y 7-14)


˜

q5ˇ

ˇ

~r ~r1q5

ˇ

ˇ

ˇ

`q6

ˇ

ˇ

~r ~r1q6

ˇ

ˇ

ˇ

`q8

ˇ

ˇ

~r ~r1q8

ˇ

ˇ

ˇ

¸

“ 14πε3

˜

2ε3pε1`ε3q

qb

ρ2`pzć´dq2`

2ε3pε1´ε2q

pε2`ε1qpε3`ε1q

qb

ρ2`pzć`dq2`

4ε2ε3pε2`ε3qpε1`ε2q

qb

ρ2`pzć´dq2

¸

.

Problema 124. Calcule el potencial fuera de una esfera conducto-ra de radio R la cual se encuentra a tierra, si en el exterior a esta,se coloca una carga puntual Q a una distancia D, como se ilustraen la figura 7-8.

Figura 7-8:

Solucion 124. Tenemos que por simetrıa la carga imagen pqq debe estar en la lınea que une a la carga real con el centrode la esfera, a una distancia pdq del eje de coordenadas el cual se encuentra en el centro de la esfera. La carga imagendebe estar en el interior de la esfera, siendo esta carga imagen de signo opuesto a la carga real para que sea posible unacancelacion del potencial en r “ R. El potencial de forma general lo podemos escribir como

φ p~rq “ kQ

ˇ

ˇ~r´~r12ˇ

ˇ

` kq

ˇ

ˇ~r´~r11ˇ

ˇ

(7-15)

debido a la simetrıa esferica del problema colocaremos la carga en la direccion k por sencillez en el calculo. Reescribiendolas posiciones tenemos

~r11 “ dk

~r12 “ Dk

~r “ r sin θ cos φı` r sin θ sin φ` r cos θk


por lo tanto

~r´~r11 “ r sin θ cos φı` r sin θ sin φ` pr cos θ ´ dq kˇ

ˇ~r´~r11ˇ

ˇ “

b

r2 sin2 θ`

cos2 φ` sin2 φ˘

` pr cos θ ´ dq2

“

b

r2`

sin2 θ ` cos2 θ˘

` d2 ´ 2rd cos θ

“a

r2 ` d2 ´ 2rd cos θ

mientras que

~r´~r12 “ r sin θ cos φı` r sin θ sin φ` pr cos θ ´Dq kˇ

ˇ~r´~r12ˇ

ˇ “a

r2 `D2 ´ 2rD cos θ

quedando el potencial como

φ p~rq “ kQ

?r2 `D2 ´ 2rD cos θ

` kq

?r2 ` d2 ´ 2rd cos θ

podemos reescribir los terminos como

´

R2 ` d2 ´ 2Rd cos θ¯

“

´

~R´ ~d¯

¨

´

~R´ ~d¯

´

R2 `D2 ´ 2RD cos θ¯

“

´

~R´ ~D¯

¨

´

~R´ ~D¯

obteniendo

φ p~rq “ kQ

c

´

~R´ ~D¯

¨

´

~R´ ~D¯

` kq

c

´

~R´ ~d¯

¨

´

~R´ ~d¯

Para r “ R el potencial es cero debido a que estamos la superficie de la esfera, por lo tanto

φ p~rq|r“R “ k Qb

p~R´~Dq¨p~R´~Dq` k q

c

´

~R´~d¯

¨

´

~R´~d¯

“ 0

ñQ

b

p~R´~Dq¨p~R´~Dq“ ´

qc

´

~R´~d¯

¨

´

~R´~d¯

elevando al cuadrado en ambos lados para quitar las raıces

Q2´

~R´ ~d¯

¨

´

~R´ ~d¯

“ q2´

~R´ ~D¯

¨

´

~R´ ~D¯

Q2´

R2 ` d2 ´ 2~R ¨ ~d¯

“ q2´

R2 `D2 ´ 2~R ¨ ~D¯

´

Q2 ´ q2¯

R2 `Q2d2 ´ q2D2 ´ 2~R ¨´

Q2~d´ q2~D¯

“ 0 (7-16)

para que la relacion anterior sea nula es necesario que el termino 2~R ¨´

Q2~d´ q2~D¯

sea cero, dado que ~R puede tomar

cualquier valor, el cero en la expresion debe provenir del termino Q2~d ´ q2~D “ 0 y dado que los vectores ~d y ~D sonparalelos, obtenemos

q2 “Q2dD

(7-17)


al remplazar este valor en la ecuacion (7-16) tenemos´

Q2 ´ q2¯

R2 `Q2d2 ´ q2D2 ´ 2~R ¨´

Q2~d´ q2~D¯

“ 0ˆ

Q2 ´Q2dD

˙

R2 `Q2d2 ´Q2dD

D2 ´ 2~R ¨ˆ

Q2~d´Q2dD

~D˙

“

ˆ

1´dD

˙

R2 ` d2 ´dD

D2 “

pD´ dqR2 ` d2D´ dD2 “

pD´ dqR2 ´ dD pD´ dq “

pD´ dq´

R2 ´ dD¯

“

el analizar la relacion anterior tenemos que pD´ dq ‰ 0, debido a que R se encuentra en el exterior de la esfera y d en laparte interna de esta. Esto es D ą R ą d y por lo tanto la unica opcion para hacer nulo este termino es que R2´ dD “ 0,esto es

d “R2

D(7-18)

al remplazar el resultado anterior en la ecuacion (7-17) obtenemos

q2 “Q2dD

“Q2

DR2

D

tomando raız en ambos costados

|q| “ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

QRD

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ñ q “ ´QRD

(7-19)

el signo negativo lo colocamos por analogıa al calculo que se realizo con el plano, en el cual encontramos que la cargaimagen era de signo contrario a la carga real. Por lo tanto, el potencial fuera de la esfera lo obtenemos remplazando elresultado anterior en la ecuacion (7-15)

φ p~rq|rěR “ kQ

ˇ

ˇ

~r´ ~Dˇ

ˇ

ˇ

´ kQR

Dˇ

ˇ

~r´ R2

D~DD

ˇ

ˇ

ˇ

“ kQ

ˇ

ˇ

~r´ ~Dˇ

ˇ

ˇ

´ kQR

Dˇ

ˇ

~r´ R2

D2~Dˇ

ˇ

ˇ

(7-20)

y dado que ~d y ~D son paralelos, todo lo podemos dejar en terminos de ~D.

De lo anterior podemos resaltar varios aspectos interesantes:

De la ecuacion (7-19) vemos que a medida que nos acercamos con la carga real a la superficie, la magnitud de lacarga imagen aumenta. Siendo iguales en magnitud cuando la carga real se encuentra sobre la superficie de la esfera.

q “ ´QRD

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

D“R“ ´Q

De la ecuacion (7-18) observamos que medida que nos acercamos con la carga real a la superficie, la distancia dela carga imagen a la superficie de la esfera se hace equidistante a la carga real, si tomamos D “ R` ε donde ε essuficientemente pequeno, entonces la distancia entre la imagen y el plano es

R´ d “ R´R2

D“ R

ˆ

1´R

R` ε

˙

“ R

˜

1´R

R`

1` εR˘

¸

» R”

1´´

1´ε

R

¯ı

» R´ ε

R

¯

“ ε

Los resultados anteriores ponen en evidencia que al acercarnos a la esfera, la carga ve la superficie esferica como si fueseun plano infinito.


Problema 125. Calcule el potencial dentro y fuera de una esferadielectrica de radio R con constante dielectrica ε2, si hay una car-ga puntual en el exterior de la esfera en un medio con constantedielectrica ε1 a una distancia d, como se ilustra en la figura 7-9.

Figura 7-9:

Solucion 125. Debido a que tenemos simetrıa con cualquier eje que pase por el centro de la esfera la solucion no dependerade ϕ. Por lo tanto, debido a la simetrıa azimutal tenemos que m “ 0 y la solucion al problema solo involucrara lospolinomios ordinarios de Legendre.

Para resolver este problema debemos tener en cuenta que cuando se coloca una carga frente a un plano dielectrico segeneran 2 cargas imagen, una de las cuales esta dentro de la segunda region y hace parte la solucion a la primera region,mientras que la segunda carga imagen se encuentra en la primera region y hace parte de la solucion en la segunda region,como se ilustra en la figura 7-4. Por lo tanto, podemos suponer que se generaran dos cargas imagen en el problemaestamos analizando. Tendremos en cuenta adicionalmente el resultado de la ecuacion (7-18) del problema anterior, para elcual obtuvimos que la posicion de la carga imagen dentro de la esfera es R2

d , debido a las similitudes de los problemas.

El potencial en el exterior de la esfera siguiendo el principio de superposicion estara compuesto por: el potencial de la cargapuntual y el potencial generado por la carga imagen que se encuentra dentro de la esfera, teniendo en cuenta que~r1q “ dk

y~r1q1 “R2

d k, el potencial lo podemos escribir como

φ p~rq|ext “1

4πε1

¨

˝

qˇ

ˇ

~r´~r1qˇ

ˇ

ˇ

`q1

ˇ

ˇ

~r´~r1q1ˇ

ˇ

ˇ

˛

‚“1

4πε1

¨

˝

qˇ

ˇ

~r´ dkˇ

ˇ

ˇ

`q1

ˇ

ˇ

~r´ R2

d kˇ

ˇ

ˇ

˛

‚. (7-21)

Teniendo en cuenta la ecuacion (4-90) podemos expandir la funcion 1|~r ~r1| en polinomios de Legendre como

1|~r´~r1|

“1

rą

8ÿ

l“0

ˆ

rărą

˙lPl pcos θq

donde ră es el mas pequeno entre~r y~r1. Ası entonces, la ecuacion (7-21) la podemos escribir para el caso de r ą d como

φ p~rq|ext “ 14πε1

˜

q|~r´dk|

`q1

ˇ

ˇ

~r´ R2d k

ˇ

ˇ

ˇ

¸

“ 14πε1

˜

q 1r

8ÿ

l“0

´

dr

¯lPl pcos θq ` q1 1r

8ÿ

l“0

ˆ

R2dr

˙l

Pl pcos θq

¸

“ 14πε1

˜

q8ÿ

l“0

dl

rl`1 Pl pcos θq ` q1ÿ B

Br

8

l“0R2l

dlrl`1 Pl pcos θq

¸

“ 14πε1

8ÿ

l“0

Pl pcos θq 1rl`1

´

qdl ` q1 R2l

dl

¯


mientras que para r ă d como


˜

q|~r´dk|

`q1

ˇ

ˇ

~r´ R2d k

ˇ

ˇ

ˇ

¸

“ 14πε1

˜

q 1d

8ÿ

l“0

` rd˘l Pl pcos θq ` q1 1r

8ÿ

l“0

ˆ

R2dr

˙l

Pl pcos θq

¸

“ 14πε1

˜

q8ÿ

l“0

rl

dl`1 Pl pcos θq ` q18ÿ

l“0

R2l

dl rl`1 Pl pcos θq

¸

“ 14πε1

8ÿ

l“0

Pl pcos θq´

q rl

dl`1 ` q1 R2l

dlrl`1

¯

donde tuvimos en cuenta que al ser d ą r entonces 1r ą

1d .

Vamos ahora a resolver por el potencial dentro de la esfera, en la cual no hay cargas. Por lo tanto, el potencial en el interiorviene dado por la carga de imagen q2, la cual esta fuera de la esfera en~r1q2 “ dk y simula los efectos del material dielectrico.Ası entonces, teniendo en cuenta que el punto donde queremos evaluar el potencial r ă r1q2 nos permite escribir este como

φ p~rq|int “ 14πε2

˜

q2ˇ

ˇ

~r ~r1q2ˇ

ˇ

ˇ

¸

“ 14πε2

ˆ

q2

|~r´dk|

˙

“ 14πε2

˜

q2 1d

8ÿ

l“0

` rd˘l Pl pcos θq

¸

“ 14πε2

8ÿ

l“0

q2 rl

dl`1 Pl pcos θq .

Debemos ahora aplicar las condiciones de frontera para determinar los valores de las cargas imagen, para esto debemosevaluar la componente normal del vector desplazamiento electrico, la cual debe ser continua a lo largo de la frontera r “ R

´

~D2 p~rq ´ ~D1 p~rq¯

¨~n12 “ σ

debido a que no hay densidad de carga libre en la superficie de la esfera, podemos escribir la relacion anterior como

´

~D2 p~rq ´ ~D1 p~rq¯

¨~n12 “ 0´

ε2~E2 p~rq ´ ε1~E1 p~rq¯

¨~n12 “ 0´

ε2~Eint p~rq ´ ε1~Eext p~rq¯

¨ r “ 0

ε2Bφintp~rqBr “ ε1

Bφextp~rqBr

ε2BBr

˜

14πε2

8ÿ

l“0

q2 rl

dl`1 Pl pcos θq

¸

“ ε1BBr

˜

14πε1

8ÿ

l“0

Pl pcos θq´

q rl

dl`1 ` q1 R2l

dlrl`1

¯

¸

8ÿ

l“0

q2 lrl´1

dl`1 Pl pcos θq “

8ÿ

l“0

Pl pcos θq´

q lrl´1

dl`1 ´ q1 pl ` 1q R2l

dlrl`2

¯

q2 lrl´1

dl`1

ˇ

ˇ

ˇ

r“R“ q lrl´1

dl`1 ´ q1 pl ` 1q R2l

dlrl`2

ˇ

ˇ

ˇ

r“Rq2 lRl´1

dl`1 “ q lRl´1

dl`1 ´ q1 pl ` 1q Rl´2

dl

´

dd

¯

RR

q2 lRl´1

dl`1 “ q lRl´1

dl`1 ´ q1 pl ` 1q Rl´1

dl`1dR

q2l “ ql ´ q1 pl ` 1q dR

(7-22)

Mientras que para la componente tangencial del campo electrico, la cual tambien debe ser continua a lo largo de la frontera


r “ R´

~E2 p~rq ´ ~E1 p~rq¯

ˆ~n12 “ 0Bφintp~rqBθ “

Bφextp~rqBθ

BBθ

˜

14πε2

8ÿ

l“0

q2 rl

dl`1 Pl pcos θq

¸

“ BBθ

˜

14πε1

8ÿ

l“0

Pl pcos θq´

q rl

dl`1 ` q1 R2l

dlrl`1

¯

¸

1ε2

8ÿ

l“0

q2 rl

dl`1BBθ Pl pcos θq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r“R

“ 1ε1

8ÿ

l“0

BBθ Pl pcos θq

´

q rl

dl`1 ` q1 R2l

dlrl`1

¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r“R1ε2

q2 Rl

dl`1 “ 1ε1

´

q Rl

dl`1 ` q1 Rl´1

dl

´

dd

¯

RR

¯

q2 “ε2ε1

´

q` q1 dR

¯

.

(7-23)

remplazando la ecuacion (7-23) en la ecuacion (7-22) obtenemos

q2l “ ql ´ q1 pl ` 1q dR

ε2ε1

´

q` q1 dR

¯

l “ ql ´ q1 pl ` 1q dR

ε2ql ` ε2q1 dR l “ ε1ql ´ ε1q1 pl ` 1q d

R

ql pε1 ´ ε2q “ q1”

pε1 ` ε2qdR l ` ε1

dR

ı

ñ q1 “ q lRpε1´ε2qdrpε1`ε2ql`ε1s

y por lo tanto

q2 “ε2ε1

´

q` q1 dR

¯

“ q ε2ε1

´

1` lpε1´ε2q

pε1`ε2ql`ε1

¯

“ q ε2ε1

´

pε1`ε2ql`ε1`lpε1´ε2q

pε1`ε2ql`ε1

¯

“ q ε2p1`2lqpε1`ε2ql`ε1

.

De tal forma que el potencial para cada una de las regiones sera:

Para r ą d


8ÿ

l“0

Pl pcos θq 1rl`1

´

qdl ` q1 R2l

dl

¯

“ 14πε1

8ÿ

l“0

Pl pcos θq 1rl`1

´

qdl `´

q lRpε1´ε2qdrpε1`ε2ql`ε1s

¯

R2l

dl

¯

“q

4πε1

8ÿ

l“0

Pl pcos θq dl

rl`1

´

1` lpε1´ε2q

rpε1`ε2ql`ε1sR2l`1

dl`11dl

¯

“q

4πε1d

8ÿ

l“0

Pl pcos θq´

dr

¯l`1ˆ

1` lpε1´ε2q

rpε1`ε2ql`ε1s

´

Rd

¯2l`1˙

Para r ă d


8ÿ

l“0

Pl pcos θq´

q rl

dl`1 ` q1 R2l

dlrl`1

¯

“ 14πε1

8ÿ

l“0

Pl pcos θq´

q rl

dl`1 `

´

q lRpε1´ε2qdrpε1`ε2ql`ε1s

¯

R2l

dlrl`1

¯

“q

4πε1d

8ÿ

l“0

Pl pcos θq 1dl

´

rl `´

lpε1´ε2q

rpε1`ε2ql`ε1s

¯

R2l`1

rl`1

¯


Para la parte interna de la esfera dielectrica

φ p~rq|int “ 14πε2

8ÿ

l“0

q2 rl

dl`1 Pl pcos θq

“ 14πε2

8ÿ

l“0

q ε2p1`2lqpε1`ε2ql`ε1

rl

dl`1 Pl pcos θq

“q

4πε2d

8ÿ

l“0

ε2p1`2lqpε1`ε2ql`ε1

` rd˘l Pl pcos θq .

Parte III

Magnetostatica

223

Capıtulo 8

Magnetostatica

Cuando una carga electrica se mueve en un campo magnetico externo ~B p~rq, existe una fuerza magnetica ~FBque actua sobre la partıcula cargada, la cual la podemos escribir como

~FB p~rq “ q~v p~rq ˆ ~B p~rq (8-1)

donde la unidad del campo magnetico en el sistema internacional es rTs ““

N ¨ A´1 ¨m´1‰ ““

N ¨ s ¨ C´1 ¨m´1‰ “

104Gauss.

Si queremos calcular el trabajo hecho por la fuerza magnetica tenemos que

dWB “ ~FB ¨ d~ “ d~ ¨ q´

~vˆ ~B¯

“ dtd~

dt¨ q

´

~vˆ ~B¯

“ dt ~v ¨ q´

~vˆ ~B¯

aplicando la identidad vectorial ~a ¨~bˆ~c “ ~b ¨~cˆ~a “ ~c ¨~aˆ~b, identificamos ~a “ ~vdt,~b “ q~v y ~c “ ~B. Por lotanto

dt ~v ¨ q´

~vˆ ~B¯

“ q~v ¨ ~Bˆ~v dt “ ~B ¨~vdtˆ q~v

pero, dado que el producto cruz entre vectores paralelos o anti-paralelos es cero p~vˆ~v “ 0, ~vˆ p´~vq “ 0q,obtenemos

dWB “ 0 (8-2)

esto implica que la fuerza magnetica asociada a un campo magnetico estable no realiza trabajo, lo cual equivalea decir que la fuerza magnetica no puede transmitir energıa a un sistema de cargas en movimiento, y por lotanto, cuando una partıcula cargada se mueve a traves de un campo magnetico, esta solo puede modificarla direccion de la velocidad pero no puede cambiar la magnitud de la velocidad y en consecuencia tampocopuede variar su energıa cinetica.

Si tenemos una partıcula cargada que se mueve en un lugar del espacio donde tenemos ~E p~rq y ~B p~rq, la fuerzatotal considerando el principio de superposicion la podemos escribir

~Ftotal p~rq “ q~E p~rq ` q~v p~rq ˆ ~B p~rq (8-3)

225

226 8 Magnetostatica

esta relacion se denomina fuerza de Lorentz, de la relacion anterior podemos ver que ~Ftotal p~rq es paralela a ~E p~rq,mientras que ~Ftotal p~rq es perpendicular al ~B p~rq.

Uno de los casos mas sencillos de analizar y de gran utilidad, es el de una partıcula cargada con velocidad ~v lacual se mueve en direccion perpendicular a un ~B p~rq uniforme, de tal forma que

~FB “ q~vˆ ~Bó

FB “ qvB sin 0 “ qvB

dado que la fuerza en nuestro caso es siempre perpendicular a la velocidad, y que el electron se mueve convelocidad constante este experimentara continuamente un cambio en la direccion de la velocidad y ası entoncesla trayectoria que describe la partıcula sera un circulo. Y dado que la velocidad cambia, existe por tanto unaaceleracion. La cual se conoce como aceleracion centrıpeta, la cual se representada por un vector dirigido haciael centro de la circunferencia. Esto se encuentra representado en la figura 8-1, debido a que ~FB es perpendiculara ~v y a ~B y teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, aplicada al movimiento circular

Figura 8-1: Movimiento de un electron inmerso en un campo magnetico constante.

F “ qvB “ mv2

r

ñ B “mvrq

donde r es el radio de la trayectoria curva. La frecuencia de resonancia del ciclotron para el caso no relativistav ! c, donde c es la velocidad de la luz. Dado que la velocidad angular se define como ω “ v

r , podemosescribir la ecuacion anterior como

B “mvrq“

mq

ω ñ ω “qBm

la frecuencia correspondiente a esta velocidad angular

f “ω

2π“

qB2πm

se denomina frecuencia de resonancia del ciclotron y es el valor de frecuencia que se debe usar en el campoelectrico oscilante, para lograr la sincronıa con las partıculas cargadas para que estas sean aceleradas. Comovemos esta frecuencia no depende de la velocidad de la partıcula cargada, ni de su radio de trayectoria.

8.1 Ley de Biot-Savart 227

Problema 126. Un ion positivo con una sola carga tiene una masa de 3.20ˆ 10´26kg, despues de haber sido aceleradodesde el reposo a traves de una diferencia de potencial de 1000V el ion entra en una region donde el campo magnetico esde 0.92T siguiendo una direccion perpendicular al campo, calcule el radio de su trayectoria

Solucion 126. Empleando el principio de conservacion de la energıa

EK “ U12

mv2 “ q p∆Vq

ñ v “

c

2q p∆Vqm

“

d

2`

1.602ˆ 10´19C˘ `

1000J ¨ C´1˘

3.20ˆ 10´26kg“ 1.0006ˆ 105m ¨ s´1

la fuerza magnetica produce una fuerza centrıpeta de tal forma que

qvB sin θ “ mv2

r

ñ r “mv

qB sin θ“

3.20ˆ 10´26kg`

1.0006ˆ 105m ¨ s´1˘

1.602ˆ 10´19C`

0.92N ¨ A´1 ¨m´1˘ “

3.2ˆ 10´26kg`

1.0006ˆ 105m ¨ s´1˘

1.602ˆ 10´19C`

0.92kg ¨m ¨ s´2 ¨ s ¨ C´1 ¨m´1˘

“ 2.1725ˆ 10´2m.

8.1. Ley de Biot-Savart

Las caracterısticas y las ecuaciones del campo magnetico se descubrieron experimentalmente al igual quesucedio con el campo electrico. Partiendo de la definicion el campo ~B producido por una sola carga puntualtenemos

~B “µ0

4π

q~vˆ rr2 (8-4)

donde µ0 se define como la permeabilidad magnetica del vacıo. Mientras que el campo electrico generado poruna carga es

~E “1

4πε0

qr2 r.

Si comparamos las dos ecuaciones anteriores, vemos que las lıneas de campo electrico irradian de la carga,mientras que las lıneas de campo magnetico son cırculos en planos perpendiculares a ~v. En unidades SI tene-mos que

µ0

4π“ 1ˆ 10´7T ¨m ¨ A´1

mientras que1

4πε0“ 8.9875ˆ 109N ¨m2 ¨ C´2

si dividimos las relaciones anteriores obtenemos

14πε0

µ04π

“8.9875ˆ 109N ¨m2 ¨ C´2

1ˆ 10´7N ¨ s2 ¨ C´2 “ 8.9875ˆ 1016m2 ¨ s´2

y al tomar la raız cuadrada del resultado obtenemos la velocidad de la luz en el vacıo

c “ 2.9979ˆ 108m ¨ s´1. (8-5)


Definicion 4. (Antigua definicion) Un Ampere o amperio, es la corriente invariable que si esta presente en dos conduc-tores paralelos de longitud infinita y separados por una distancia de un metro en el vacıo, produce sobre cada conductoruna fuerza de exactamente 2ˆ 10´7N por metro de longitud.

Definicion 5. (Nueva definicion 2019) Un Ampere se define fijando el valor numerico de la carga elemental del electron,la cual es exactamente 1.602176565p35q ˆ 10´19 cuando es expresado en la unidad A ¨ s1. Esto es equivalente a decir queun Ampere es aproximadamente igual a 6.241509ˆ 1018 electrones moviendose por segundo, siendo el inverso de estenumero, el valor de la carga elemental del electron en coulombs.

Como podemos ver, el amperio bajo la nueva definicion no depende de las definiciones del kilogramo y delmetro, las cuales estaban presentes en la definicion anterior, aunque sigue siendo una definicion en funciondel tiempo (segundo).

Definicion 6. Un coulomb se puede definir como la cantidad de carga que atraviesa en un segundo una seccion de uncircuito en el que hay una corriente constante de un Ampere.

Procedemos ahora a calcular el campo magnetico en un punto cualquiera debido a la corriente que pasa porun conductor, para lo cual es necesario analizar el campo producido por una carga y realizar la suma vectorial.Si tenemos un numero n de cargas que pasan en un volumen

V “ Ad`

donde A es el segmento de area transversal, tenemos que

dQ “ nqAd`

si remplazamos lo anterior en la ecuacion (8-4) obtenemos

d~B p~rq “µ0

4π

dQ ~vˆ rr2 “

µ0

4π

nqAd` ~vˆ rr2 (8-6)

donde ~v ahora lo denominamos velocidad de arrastre y la cual seria la velocidad promedio de las cargas en elconductor. De la ecuacion (6-2) la corriente electrica es

I “ nqAv

al remplazar lo anterior en la ecuacion (8-6)

d~B p~rq “µ0

4πI

d~ ˆ rr2

por lo tanto, podemos escribir la Ley de Biot-Savart como

~B p~rq “µ0

4π

ż

Id~ ˆ r

r2 . (8-7)

Continuando con la convencion ya establecida a lo largo del texto donde:~r es el punto donde deseamos calcularel campo magnetico y~r1 es la posicion de las corrientes que generan el campo magnetico tenemos

~B p~rq “µ0

4π

ż

Id~ ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3(8-8)

1https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si brochure draft ch123.pdf


la cual tambien la podemos escribir como

~B p~rq “µ0

4π

ż

V

~J`

r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV (8-9)

donde~J`

r1˘

es la densidad de corriente estacionaria y para este caso independiente del tiempo.

Podemos ver que las ecuaciones anteriores del campo magnetico tienen una estructura muy parecida al campoelectrico generado por una densidad de carga

~E p~rq “ kż

ρ`

~r1˘ `

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

ambas ecuaciones dependen del inverso del cuadrado de la distancia. Sin embargo, la mayor diferencia es enel producto vectorial que aparece en la expresion del campo magnetico lo cual le confiere un caracter muydiferente al campo electrico.

Problema 127. Calcule el campo magnetico producido por unconductor rectilıneo largo L, el cual transporta una corriente I ladireccion ı, como se ve en la figura 8-2.

Figura 8-2:

Solucion 127. Para calcular el campo magnetico partiremos de la ecuacion (8-8) y para ello debemos de identificar cadauno de los terminos presentes en la ecuacion

d` “ dxı~r “ xı` y

~r1 “ x1 ı

remplazando en la ecuacion (8-8) tenemos

~B “µ0

4π

ż

Id~ ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“

µ0

4π

ż

Idxıˆ

``

x´ x1˘

ı` y ˘

´

px´ x1q2 ` y2¯

32

dado que

d~ ˆ~r “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kdx 0 0

`

x´ x1˘

y 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ y dxk

de tal forma que

~B “µ0 I4π

x0`lż

x0

y dyk´

px´ x1q2 ` y2¯

32“

µ0 Iy4π

k

x0`lż

x0

dx´

px´ x1q2 ` y2¯

32“ ´

µ0 Iy4π

k

x0`lż

x0

dX`

X2 ` y2˘

32


donde hicimosX “ x´ x1 ; dX “ ´dx

planteamos ahora la sustitucion X “ y tan θ ñ dX “ y sec2 θ dθ, por lo tanto

~B “ ´µ0 I4π

yk

θ2ż

θ1

y sec2 θ dθ`

y2 tan2 θ ` y2˘

32“ ´

µ0 I4π

yk

θ2ż

θ1

y sec2 θ dθ

y3`

tan2 θ ` 1˘

32

“ ´µ0 I4πy

k

θ2ż

θ1

sec2 θ dθ

sec3 θ“ ´

µ0 I4πy

k

θ2ż

θ1

cos θ dθ

“ ´µ0 I4πy

k sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ2

θ1

(8-10)

si tenemos en cuenta que X “ y tan θ, entonces sin θ “ X?X2`y2 . Esto nos lleva a

sin θ1 “X1

b

X21`y2

“x´x0

b

px´x0q2`y2

sin θ2 “X2

b

X22`y2

“x´x0´l

b

px´x0´lq2`y2

remplazado las relaciones anteriores obtenemos que el campo sera

~B “ ´µ0 I4πy

k psin θ2 ´ sin θ1q “µ0 I4πy

k

¨

˝

x´ x0b

px´ x0q2` y2

´x´ x0 ´ l

b

px´ x0 ´ lq2 ` y2

˛

‚ (8-11)

podemos analizar dos casos interesantes del resultado anterior. Si l Ñ 8 lo cual implica que tenemos un conductorsemi-infinito

lımlÑ8

~B “ lımlÑ8

µ0 I4πy

k

¨

˝

x´ x0b

px´ x0q2` y2

´x´ x0 ´ l

b

px´ x0 ´ lq2 ` y2

˛

‚

“µ0 I4πy k

˜

x´x0b

px´x0q2`y2

´ ´ll

¸

“µ0 I4πy k

˜

x´x0b

px´x0q2`y2

` 1

¸

otro caso es cuando x0 Ñ ´8. lo cual equivale a tener un conductor infinito

lım|x0|Ñ8

~B “ lım|x0|Ñ8

µ0 I4πy

k

¨

˝

x´ x0b

px´ x0q2` y2

` 1

˛

‚

“µ0 I4πy k

´

|x0|

|x0|` 1

¯

“µ0 I2πy k

donde y es la distancia del conductor hasta el punto donde quedemos calcular el campo magnetico. Ası entonces todoslos puntos en un radio y tienen el mismo ~B debido a la simetrıa axial. Si hubieramos utilizado coordenadas cilındricas,colocando el hilo en el eje z, con la corriente circulando en direccion k, verıamos que el campo magnetico de un hilo infinitopodrıa ser escrito como

~B “µ0 I2πρ

θ (8-12)

de esta ultima relacion podemos ver mas claramente que el campo magnetico describe circunferencias alrededor del hilo,cuya intensidad depende de la corriente que pasa por el hilo y es inversamente proporcional a distancia.


Problema 128. Calcular el campo magnetico en el eje de una es-pira circular de corriente de radio R que se ilustra en la figura 8-3.

Figura 8-3:

Solucion 128. Partiremos de la ecuacion (8-8), debemos identificar los terminos d~ ,~r1 y~r

d~ “ Rdθ θ

~r “ zk

~r1 “ x1 ı` y1 “ R cos θ ı` R sin θ

ñ ~r´~r1 “ zk´ R cos θ ı´ R sin θ

ñˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “a

z2 ` R2

dado que en la base de coordenadas cilındricas θ “ ´ sin θ ı` cos θ , el producto cruz nos queda como

d~ ˆ`

~r´~r1˘

“ Rdθ θ ˆ´

zk´ R cos θ ı´ R sin θ ¯

“ Rdθ pcos θ ´ sin θ ıq ˆ´

zk´ R cos θ ı´ R sin θ ¯

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´Rdθ sin θ Rdθ cos θ 0´R cos θ ´R sin θ z

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ pzRdθ cos θq ı´ p´zRdθ sin θq `´

R2dθ sin2 θ ` R2dθ cos2 θ¯

k

“ Rdθ´

z cos θ ı` z sin θ ` Rk¯

remplazando en la ecuacion (8-8), tenemos

d~B “µ0

4πId~ ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“

µ0

4πI

Rdθ´


`

z2 ` R2˘

32

por lo tanto

ż

espira

d~B “

2πż

0

µ0

4πI

Rdθ´


`

z2 ` R2˘

32

“µ0 IR

4π`

z2 ` R2˘

32

2πż

0

dθ´



al integrar la funcion vectorial por simetrıa debemos esperar que las componentes del campo magnetico x y y se anulen

~Bx “µ0 IRz

4π`

z2 ` R2˘

32

2πż

0

dθ cos θ “µ0 IRz

4π`

z2 ` R2˘

32

sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2π

0

“ 0

~By “µ0 IRz

4π`

z2 ` R2˘

32

2πż

0

dθ sin θ “ ´µ0 IRz

4π`

z2 ` R2˘

32

cos θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2π

0

“ 0

~Bz “µ0 IR2

4π`

z2 ` R2˘

32

2πż

0

dθR “µ0 IR2

4π`

z2 ` R2˘

32

θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2π

0

“ ´µ0 IR2

2`

z2 ` R2˘

32

k

por lo tanto

~B “µ0 IR2

2`

z2 ` R2˘

32

k. (8-13)

Del resultado anterior podemos extraer dos casos interesantes: si queremos calcular el campo magnetico en el eje de laespira, hacemos z “ 0, obteniendo

~B “µ0 I2R

k. (8-14)

Para el caso particular en el cual z " R vamos a reescribir el denominador en la ecuacion (8-13) como

1`

z2 ` R2˘

32“

1´

z2´

1` R2

z2

¯¯32“

1z3

ˆ

1`R2

z2

˙´ 32

teniendo en cuenta la expansion en series de Taylor de la ecuacion (8-38) y haciendo la expansion alrededor de R obtenemos

ˆ

1`R2

z2

˙´ 32

“ 1´32

R2

z2 `158

R4

z4 `O´

R5¯

tomando los dos primeros terminos de la expansion

~B “µ0 IR2

2z3

ˆ

1´32

R2

z2

˙

k,

y dado que z " R obtenemos

~B “µ0 IR2

2z3 k.

Podemos definir el momento dipolar magnetico como

~m “ µ “ I ~A (8-15)

en el caso particular de una espira circular tenemos µ “ I`

πR2˘, lo cual nos permite reescribir el campo magnetico como

~B “µ0

2π

~mz3

podemos ver tiene una estructura muy similar al momento de un dipolo electrico

~E “ k~py3

donde~p “ q~d y d es la distancia de separacion entre las cargas. Como podemos apreciar, los dos campos estan multiplicadospor una termino constante y presentan una dependencia con la distancia de la forma 1

r3 para los dos campos.


Problema 129. Un conductor de forma cuadrada cuyos lados mi-den a “ 1m transporta una I “ 10A como se ilustra en la figura8-4 , calcule la magnitud y direccion del ~B en el centro del cua-drado. Calcule nuevamente el campo magnetico en el centro, si elcuadrado se transforma en un circulo y determine bajo que confi-guracion el campo magnetico en el centro es mayor.

Figura 8-4:

Solucion 129. Partiendo de los resultados obtenidos para un conductor finito de la ecuacion (8-11) y teniendo en cuentala figura 8-4 identificamos x0 “ 0, y “ a

2 , l “ a, x “ a2 y al remplazar obtenemos

~B “µ0 I4πy

k

¨

˝

x´ x0b

px´ x0q2` y2

´x´ x0 ´ l

b

px´ x0 ´ lq2 ` y2

˛

‚

“µ0 I4π a

2k

¨

˝

a2 ´ 0

b

` a2 ´ 0

˘2`` a

2

˘2´

a2 ´ 0´ a

b

` a2 ´ 0´ a

˘2`` a

2

˘2

˛

‚

“µ0 I2πa

k

¨

˝

a2

b

2` a

2

˘2`

a2

b

2` a

2

˘2

˛

‚

“

?2µ0 I

2πak

si ahora tenemos en cuenta las siguientes secciones del conductor, por simetrıa la contribucion total sera cuatro veces lacontribucion que acabamos de calcular, por lo tanto

~B˝ “ 4

˜?2µ0 I

2πak

¸

“2?

2µ0 Iπa

k “2?

2`

4πˆ 10´7T ¨m ¨ A´1˘ 10Aπ p1mq

k “ 1.131 4ˆ 10´5Tk.

Al convertir el conductor cuadrado en un conductor circular, tenemos que

4a “ 2πr ñ r “2aπ

remplazarlo el resultado anterior en la ecuacion del campo magnetico en el centro de una espira circular (8-14)

~B© “µ0 I2r

k “µ0 I

2` 2a

π

˘ k “

`

4πˆ 10´7T ¨m ¨ A´1˘ 10A´

4mπ

¯ k “ 9.869 6ˆ 10´6Tk

al comparar los resultados anteriores tenemos que ~B˝ ą ~B©.


Problema 130. Una bobina de Helmholtz, consiste en un arreglode dos bobinas paralelas con el mismo radio y el mismo numerode espiras por las cuales pasa una corriente I, como se ve en lafigura 8-5. Calcule el punto donde el campo magnetico es uniforme,constante y el valor del campo en dicho punto.

Figura 8-5:

Solucion 130. Podemos partir de la solucion obtenida anteriormente en la ecuacion (8-13), la cual fue obtenida con laespira en z “ 0. Por lo tanto, para una bobina tendremos N (numero de espiras) veces el campo magnetico de una espira,para la bobina que se encuentra en el origen de coordenadas tenemos

~B1 “Nµ0 IR2

2`

z2 ` R2˘

32

k (8-16)

mientras que para la bobina situada en el punto z “ a

~B2 “Nµ0 IR2

2´

pa´ zq2 ` R2¯

32

k. (8-17)

El campo total sera la suma vectorial de los 2 campos

~B “ ~B1 ` ~B2 “Nµ0 IR2

2´

pa´ zq2 ` R2¯

32

k`Nµ0 IR2

2`

z2 ` R2˘

32

k

“Nµ0 IR2k

2

¨

˚

˚

˝

1`

z2 ` R2˘

32`

1´

pa´ zq2 ` R2¯

32

˛

‹

‹

‚

para encontrar puntos en los cuales el campo magnetico es uniforme y constante es preciso que por lo menos las primerasdos derivadas del campo en alguna region sean nulas2. Ası entonces, si la primera y segunda derivada se anulan este seconsidera un punto de inflexion, lo cual implica que en dicho punto tendrıamos un valor constante del campo.

Calculando la primera derivada para obtener los puntos crıticos de la funcion obtenemos

d~Bdz“

Nµ0 IR2k2

ddz

¨

˚

˚

˝

1`

z2 ` R2˘

32`

1´

pa´ zq2 ` R2¯

32

˛

‹

‹

‚

“3Nµ0 IR2k

2

¨

˚

˚

˝

´z

`

R2 ` z2˘

52`

a´ z´

pa´ zq2 ` R2¯

52

˛

‹

‹

‚

2La primera derivada nos da los puntos crıticos de la funcion, mientras que la segunda nos da las concavidades de esta


igualando a cero tenemos

´z

`

R2 ` z2˘

52`

a´ z´

pa´ zq2 ` R2¯

52

“ 0

´z´

pa´ zq2 ` R2¯

52` pa´ zq

`

R2 ` z2˘52

`

R2 ` z2˘

52´

pa´ zq2 ` R2¯

52

“ 0

´z´

pa´ zq2 ` R2¯

52` pa´ zq

´

R2 ` z2¯

52“ 0

la solucion de la ecuacion anterior tiene multiples raıces (dadas por el orden de z), sin embargo solo tomaremos la massencilla de estas z “ a

2 .

Realizando la segunda derivada

d2~Bdz2 “

3Nµ0 IR2k2

ddz

ˆ

´z´

R2 ` z2¯´ 5

2` pa´ zq

´

pa´ zq2 ` R2¯´ 5

2˙

“3Nµ0 IR2k

2

„

z 52

`

R2 ` z2˘´72 p2zq ´

`

R2 ` z2˘´52 ` 5

2 pa´ zq´

pa´ zq2 ` R2¯´ 7

2 2 pa´ zq

´

´

pa´ zq2 ` R2¯´ 5

2

“3Nµ0 IR2k

2

»

—

—

–

5z2

`

R2 ` z2˘

72´

1`

R2 ` z2˘

52`

5 pa´ zq2´

pa´ zq2 ` R2¯

72´

1´

pa´ zq2 ` R2¯

52

fi

ffi

ffi

fl

“ ´3Nµ0 IR2k

2

»

—

—

–

R2 ´ 4z2

`

R2 ` z2˘

72`

R2 ´ 4 pa´ zq2´

R2 ` pa´ zq2¯

72

fi

ffi

ffi

fl

evaluando la derivada en el punto crıtico z “ a2 tenemos

d2~Bdz2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“ a2

“ ´3Nµ0 IR2k

2

¨

˚

˚

˝

R2 ´ 4` a

2

˘2

´

R2 `` a

2

˘2¯

72`

R2 ´ 4`

a´` a

2

˘˘2

´

R2 ``

a´` a

2

˘˘2¯

72

˛

‹

‹

‚

“ ´3Nµ0 IR2k

2

¨

˚

˚

˝

2R2 ´ a2

´

R2 `` a

2

˘2¯

72

˛

‹

‹

‚

“ 0

“ ´3Nµ0 IR2k

¨

˚

˚

˝

R2 ´ a2

´

R2 `` a

2

˘2¯

72

˛

‹

‹

‚

“ 0

ñ a “ R

por lo tanto, para que la segunda derivada sea cero z “ R2 , lo cual implica que la distancia entre las bobinas debe de ser


igual al radio de estas. Podemos ahora calcular el valor del campo magnetico en este punto

~Bˇ

ˇ

ˇ

z“ R2

“Nµ0 IR2k

2

¨

˚

˚

˝

1`

z2 ` R2˘

32`

1´

pa´ zq2 ` R2¯

32

˛

‹

‹

‚

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“ R2

“Nµ0 IR2k

2

¨

˚

˚

˚

˚

˝

1ˆ

´

R2

¯2` R2

˙32`

1ˆ

´

R´ R2

¯2` R2

˙32

˛

‹

‹

‹

‹

‚

“Nµ0 IR2k

2

¨

˚

˚

˝

2´

5R2

4

¯32

˛

‹

‹

‚

“

ˆ

45

˙32 Nµ0 I

Rk

para comprobar de forma efectiva que este punto es homogeneo se puede realizar una expansion en series de Taylor y mirarel comportamiento de las derivadas superiores en el punto z “ R

2 .

Problema 131. Una esfera de radio R maciza, no conductora estaenvuelta por un alambre sobre toda su superficie como se muestraen la figura 8-6, cada una de las espiras esta muy cerca una de laotra, siendo los planos de cada una de las espiras paralelos entresi. Calcule el campo magnetico en el centro de la esfera si por elalambre tenemos una corriente I.

Figura 8-6:

Solucion 131. Para calcular el campo debemos de sumar las contribuciones de cada una de las espiras, para ello tomare-mos de referencia la figura 8-7, para lo cual podemos ver que

Figura 8-7: Contribucion de una espira en el eje.


r “ R sin θ

por lo tanto, el campo magnetico por una espira generado en z1 “ 0 lo podemos escribir como

~B “µ0 Ir2

21

`

z2 ` r2˘

32

k

para cualquier espira se tiene

~B “µ0 Ir2

21

´

pz´ z1q2 ` r2¯

32

k

si tenemos en cuenta que z1 “ R cos θ y z “ 0, la ecuacion del campo la podemos reescribir como

~B “µ0 IR2 sin2 θ

21

´

p0´ R cos θq2 ` R2 sin2 θ¯

32

k

“µ0 IR2 sin2 θ

21

`

R2˘

32

k

“µ0 I sin2 θ

21R

k

dado que estamos haciendo el calculo para una espira debemos multiplicar por N para obtener la contribucion de todas lasespiras y hacer la integral sobre toda la esfera, para lo cual debemos darnos cuenta que el numero de espiras por unidadde arco sera N

πR . Por lo tanto, en un elemento de longitud de arco existen NπR pR dθq espiras, con lo cual, la corriente por

longitud de arco sera Nπ I dθ. Lo anterior nos permite escribir el campo magnetico como

~B “

πż

0

µ0

´

Nπ Idθ

¯

sin2 θ

21R

k “µ0NI2πR

k

πż

0

sin2 θdθ

para resolver esta integral tendremos en cuenta que

cos 2θ “ cos2 θ ´ sin2 θ “´

1´ sin2 θ¯

´ sin2 θ “ 1´ 2 sin2 θ

ñ sin2 θ “1´ cos 2θ

2con lo cual, el campo magnetico en el centro de la esfera sera

~B “µ0NI2πR

k

πż

0

ˆ

1´ cos 2θ

2

˙

dθ “µ0NI4πR

kˆ

θ ´sin 2θ

2

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0“

µ0NI4πR

k pπq “µ0NI

4Rk.

Problema 132. Calcule el campo magnetico en el centro de undisco, el cual esta cargado uniformemente y gira con una velocidadangular ω, como se ilustra en la figura 8-8.

Figura 8-8:


Solucion 132. El disco cargado al girar genera una corriente y por lo tanto, el campo magnetico producido por la rotacionproducira un campo magnetico perpendicular al plano de rotacion del disco, lo cual lo podemos verificar empleando la reglade la derecha. Partiendo de la ley de Biot-Savart

~B p~rq “µ0

4π

ż

Id~ ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

donde

d~ “ r1dθθ “ r1dθ p´ sin θ ı` cos θ q “ ´r1 sin θ dθ ı` r1 cos θ dθ

~r “ 0

~r1 “ r1 pcos θ ı` sin θ q

el producto vectorial

d~ ˆ`

~r´~r1˘

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´r1dθ sin θ r1dθ cos θ 0´r1 cos θ ´r1 sin θ 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ k`

´r1dθ sin θ`

´r1 sin θ˘

´ r1dθ cos θ`

´r1 cos θ˘˘

“ k´

r12dθ sin2 θ ` r12dθ cos2 θ¯

“ k´

r12dθ¯

El termino de corriente, lo podemos calcular analizando la variacion de la carga con respecto al tiempo. Considerando quela distribucion de carga es homogenea tenemos

QπR2 “

dQdA

ñ dQ “Q

πR2 r1dr1dθ

donde tuvimos en cuenta que dA “ r1dr1dθ. Dado que

I “dQdt“

ddt

ˆ

QπR2 r1dr1dθ

˙

“Q

πR2 r1dr1dθ

dt“

Qω

πR2 r1dr1

donde tuvimos en cuenta que ω “ dθdt . Remplazando los resultados anteriores en ley de Biot-Savart

ż

disco

d~B “µ0

4π

ż

discoI

d~ ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

~B “ kµ0

4π

Rż

0

2πż

0

´

QωπR2 r1dr1

¯

`

r12dθ˘

r13

“ kµ0

4π

Qω

πR2

Rż

0

2πż

0

dr1dθ

“µ0

4π

Qω

πR2 p2πRq k

“µ0Qω

2πRk.

8.2 Ley de Gauss para magnetostatica 239

8.2. Ley de Gauss para magnetostatica

Recordando la ecuacion de Gauss para electrostatica¿

S

~E p~rq ¨~ndA “qinterna

ε0

la cual relaciona el flujo de campo electrico producido por una carga dentro de una superficie cerrada. Esposible suponer que, en orden de conservar la simetrıa de las ecuaciones, deberıa existir una relacion como laanterior para el campo magnetico, la cual podrıamos escribir como

¿

S

~B p~rq ¨~ndA “ µ0QM

sin embargo, como sabemos no existe carga magnetica, lo cual implica que no existen los monopolos magneti-cos, esto implica que los campos son de caracter dipolar (Dipolos magneticos), y en consecuencia la ley deGauss para el campo magnetico sera

¿

S

~B p~rq ¨~ndA “ 0.

Otra forma de analizar lo anterior, es teniendo en cuenta que las lıneas de campo electrico comienzan o ter-minan en cargas electricas. Mientras que las lıneas de campo magnetico forman lıneas cerradas. Por lo tanto,si tomamos una superficie cerrada arbitraria las lıneas de flujo que entran seran las mismas lıneas que salen,matematicamente esto implica que

∇ ¨ ~B p~rq “ 0

El flujo magnetico se define como

ΦM “

¿

S

~B p~rq ¨~ndA (8-18)

donde la unidad en sistema internacional en S.I. se denomina weber Wb ““

T ¨m2‰.

Problema 133. Demostrar que ∇ ¨ ~B p~rq “ 0 a partir de la ecuacion de Biot-Savart (8-9).

~B p~rq “µ0

4π

ż

V

~J`

r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

teniendo en cuenta que~J`

r1˘

es la densidad de corriente estacionaria y para el caso independiente del tiempo.

Solucion 133. Partiendo de la ecuacion de Biot-Savart

∇ ¨ ~B p~rq “ ∇ ¨

¨

˝

µ0

4π

ż

V

~J`

r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

˛

‚“µ0

4π∇ ¨

ż

V

~J`

r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

y empleando la identidad ∇ ¨´

~Aˆ ~B¯

“

´

∇ˆ ~A¯

¨ ~B´ ~A ¨´

∇ˆ ~B¯

podemos escribir la ecuacion anterior como

∇ ¨˜

~J`

r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

“ ∇ˆ~J`

r1˘

¨

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3´~J

`

r1˘

¨

˜

∇ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸


dado que el operador ∇ solo opera en ~r y debido a que ~J`

r1˘

no es una funcion de ~r el primer termino desaparece. Si

adicionalmente tenemos en cuenta que ∇´

1|~r ~r1|

¯

“ ´ ~r ~r1

|~r ~r1|3entonces

∇ ¨˜

~J`

r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

“ ~J`

r1˘

¨

ˆ

∇ˆ∇ˆ

1|~r´~r1|

˙˙

teniendo en cuenta que para cualquier funcion escalar ∇ˆ∇Φ “ 0

~J`

r1˘

¨

ˆ

∇ˆ∇ˆ

1|~r´~r1|

˙˙

“ 0 “ ∇ ¨˜

~J`

r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

ñ ∇ ¨ ~B “ µ0

4π

ż

V

0 dV “ 0

y usando el teorema de la divergencia tenemosż

V

∇ ¨ ~B p~rq dV “

¿

S

~B p~rq ¨ n dA

ñ

¿

S

~B p~rq ¨ n dA “ 0


Podemos ahora definir el potencial vectorial magnetico ~A p~rq, como un termino analogo al potencial elec-trostatico φ p~rq. Sin embargo, como vemos el potencial vectorial magnetico es un vector, mientras que el po-tencial electrostatico es escalar, esto es debido a que las fuentes de los potenciales son la densidad de corriente~J p~rq y la densidad de carga ρ p~rq respectivamente.

Otra diferencia importante es que φ p~rq esta asociado con el campo electrico, el cual es un campo conservativo.Mientras que el potencial vectorial esta asociado con el campo magnetico, el cual es un campo no conservativoy por lo tanto, no puede ser derivado de un potencial escalar debido a que las lıneas del campo magnetico soncerradas.

Definimos~B p~rq “ ∇ˆ ~A p~rq , (8-19)

donde

~A p~rq “µ0

4π

ż

˜

~J`

r1˘

|~r´~r1|

¸

dV1

por lo tanto∇ ¨ ~B p~rq “ ∇ ¨

´

∇ˆ ~A p~rq¯

“ 0

debido a que la divergencia del rotacional de cualquier funcion vectorial es cero, si dicha funcion vectorial esde clase C2.

8.3. Fuerzas sobre corrientes

Dado que conocemos la fuerza magnetica sobre una carga puntual en movimiento, podemos extrapolar estaidea para cargas que se mueven en un alambre por el cual circula una corriente I en presencia de un campo

8.3 Fuerzas sobre corrientes 241

magnetico. La variacion del elemento de volumen en el cual las cargas que se mueven dentro del alambre lopodemos escribir como

dV “ A d`

si asumimos que las cargas dentro del conductor se desplazan una distancia d~ , en un tiempo dt, podemosescribir la velocidad promedio de las cargas como

~v “d~

dt

teniendo en cuenta que la densidad de carga en el alambre en el volumen dV es ρ entonces

dq “ ρ dV “ ρA d`

por lo tanto, al remplazar sobre la ecuacion de la fuerza magnetica (8-1) tenemos

d~FB “ dq´

~vˆ ~B¯

“ ρA d`

˜

d~

dtˆ ~B

¸

“ ρAd`dt

´

d~ ˆ ~B¯

y dado que I “ ρA d`dt “

dqdt , obtenemos

d~FB “ I´

d~ ˆ ~B¯

. (8-20)

Podemos ver de la ecuacion anterior que d~F representa la fuerza que actua sobre un elemento de carga dq,dentro de un segmento conductor de longitud d~ , esto nos lleva a escribir la relacion anterior como

~FB “ Iż

d~ ˆ ~B

si el campo magnetico es de magnitud y direccion uniforme en todas las partes del conductor podemos escribir

~FB “ I~ ˆ ~B.

Sin embargo, si la trayectoria de la corriente es cerrada, la suma vectorial de los elementos d` es cero (debidoa que es un polıgono cerrado) y por lo tanto FB “ 0. Es necesario aclarar que, aunque la fuerza se reduzca acero la fuerza resultante sobre la espira de corriente puede dar lugar a un momento de rotacion neto sobre laespira.

Problema 134. Calcule la magnitud y la direccion de la fuerza enun conductor cerrado de radio R y perımetro 2`, el cual se colocaen un campo magnetico ~B “ B , como se ilustra en la figura 8-9.

Figura 8-9:

Solucion 134. Para calcular la fuerza sobre el conductor cerrado, debemos de sumar dos contribuciones: la provenientedel segmento recto y la del segmento curvo. Para la seccion recta de alambre tenemos que d~ “ dxı, por lo tanto, la fuerzamagnetica estara en direccion

d~ ˆ ~B “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kdx 0 00 B 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ B dx k


y

~FB1 “ I

`2ż

´ `2

d~ ˆ ~B “ I

`2ż

´ `2

B dx k “ IBk x|`2´ `

2“ IB`k “ 2IBRk

donde tuvimos en cuenta que ` “ 2R. Para la seccion curva tenemos que d~ “ dxı` dy y por lo tanto, es convenienterealizar el cambio de variable

x “ R cos θ ñ dx “ ´R sin θ dθ

y “ R sin θ ñ dy “ R cos θ dθ

de tal forma que

d~ ˆ ~B “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´R sin θ dθ R cos θ dθ 0

0 B 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´B R sin θ dθ k

ası entonces

~FB2 “ Iż

d~ ˆ ~B “ I

πż

0

´B R sin θ dθ k “ ´IRB ´ cos θ|π0 k “ IBRk pcos π´ cos 0q “ ´2IBRk

La fuerza sobre el conductor cerrado sera la suma de las contribuciones anteriores

~FB “ ~FB1 `~FB2 “ 2IRBk´ 2IRBk “ 0

comprobando que la fuerza magnetica neta actuando en cualquier superficie cerrada en un campo magnetico uniforme escero.

Problema 135. Un cubo de 40cm de lado, tienen 4 segmentos rec-tos de alambre, los cuales forman un lazo cerrado con una corrientede 5A, como se muestra en la figura 8-10 . Si el campo magneticoesta en la direccion y tiene una magnitud B “ 0.02T. Calcule lamagnitud y direccion de la fuerza magnetica en cada segmento, asıcomo la fuerza total.

Figura 8-10:

Solucion 135. Cada uno de los segmentos los podemos representar como

ab Ñ ´0.4m

bc Ñ 0.4mk

cd Ñ p´0.4ı` 0.4 qm

da Ñ

´

´0.4k` 0.4ı¯

m


dado que el campo magnetico ~B “ 0.02N ¨ A´1 ¨m´1 , para cada uno de los segmentos tenemos

~FBab “ I~ ˆ ~B “ 5A

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0 ´0.4 00 0.02 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 0

~FBbc “ I~ bc ˆ ~B “ 5A

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0 0 0.40 0.02 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 5A´

´0.4m´

0.02N ¨ A´1 ¨m´1¯¯

ı “ ´0.04Nı

~FBcd “ I~ cd ˆ ~B “ 5A

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´0.4 0.4 0

0 0.02 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 5A´

´0.4m´

0.02N ¨ A´1 ¨m´1¯¯

k “ ´0.04Nk

~FBda “ I~ da ˆ ~B “ I

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0.4 0 ´0.40 0.02 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´5A´

´0.4m´

0.02N ¨ A´1 ¨m´1¯¯

ı` 5A´

0.4m´

0.02N ¨ A´1 ¨m´1¯¯

k

“ 0.04Nı` 0.04Nk.

Al sumar las diferentes contribuciones, lo cual implica calcular la fuerza sobre el conductor cerrado tenemos

~FB “ ~FBab `~FBbc `

~FBcd `~FBda “ 0´ 0.04Nı´ 0.04Nk` 0.04Nı` 0.04Nk “ 0.

Problema 136. Calcular el torque (momento de una fuerza)sobre un lazo de corriente cuadrado de lados a y b, el cualesta inmerso en un campo magnetico uniforme ~B “ Bı comoel que se muestra en la figura 8-11.

Figura 8-11:

Solucion 136. Dado que la corriente fluye en un circuito cerrado, la fuerza resultante sobre la espira es cero. La fuerzapara las secciones de alambre 1 y 3 es

~FB1 “ I~ 1 ˆ ~B “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´b 0 0B 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 0 ; ~FB3 “ I~ 3 ˆ ~B “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kb 0 0B 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 0

mientras que para las secciones de alambre 2 y 4

~FB2 “ I~ 2 ˆ ~B “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0 ´a 0B 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ aIBk ; ~FB4 “ I~ 4 ˆ ~B “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0 a 0B 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´aIBk

como vemos la fuerza se anulo por pares, siendo la fuerza resultante cero.

Dado que la espira esta inclinada forma un angulo θ con el eje x, como vemos en la figura 8-11, tendremos un momento


de rotacion cuyo brazo de rotacion sera b2

~τtotal “

4ÿ

i“1

~rˆ ~FBi

“ 0`

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´ b

2 sin θ 0 b2 cos θ

0 0 aIB

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

` 0`

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kb2 sin θ 0 ´ b

2 cos θ

0 0 ´aIB

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´

ˆ

´b2

sin θaIB˙

´

ˆ

´b2

sin θaIB˙

“ abIB sin θ

“ IAB sin θ

donde A “ ab es el area de la espira, este hecho nos permite extrapolar el resultado a espiras de cualquier forma. Comopodemos ver el torque sera maximo cuando el ~B sea perpendicular a la normal de la superficie esto es θ “ π

2 y cero paraθ “ 0, esto equivale a decir que ~B es paralelo a la normal del plano. En consecuencia, otra forma de escribir lo anterior es

~τ “ I ~Aˆ ~B.

de la definicion del momento dipolar magnetico de la ecuacion (8-15) podemos reescribir el termino anterior como

~τ “ ~µˆ ~B

mientras que la energıa potencial de un sistema constituido por un dipolo magnetico estara dada por

U “ ´~µ ¨ ~B

como vemos, la expresion anterior tiene un mınimo cuando ~µ y ~B van en la misma direccion y un maximo cuando ~µ y ~Bvan en direcciones contrarias.

Problema 137. Una bobina circular de 0.05m de radio, tiene 30 vueltas y se encuentra inmersa en un campo B “ 1.2T,perpendicular al plano de la espira, la cual transporta I “ 5A, Calcule µ, Γ y U.

Solucion 137. El area de cada una de las espiras es

A “ πr2 “ πp0.05mq2 “ 7.854ˆ 10´3m2

el momento magnetico total sera

µT “ NIA “ 30 p5Aq 7.854ˆ 10´3m2 “ 1.1781A ¨m2

dado que el angulo entre el campo y el plano de la espira es π2 , el torque sera

τ “ NIBA sin θ

“ 30 p5Aq 1.2T´

7.854ˆ 10´3m2¯

sinπ

2“ 1.4137A ¨ T ¨m2

“ 1.4137A ¨´

N ¨ A´1 ¨m´1¯

¨m2

“ 1.4137N ¨m.

Mientras que la energıa potencial inicial es

U1 “ ´~µ ¨ ~B “ ´´

1.1781A ¨m2¯

1.2T´

cosπ

2

¯

“ 0

y la energıa potencial final

U2 “ ´´

1.1781A ¨m2¯

1.2T “ ´1.4137A ¨ T ¨m2 “ ´1.4137A ¨´

N ¨ A´1 ¨m´1¯

¨m2 “ ´1.4137J.


Problema 138. Una espira rectangular de ancho a y de longitudb esta localizada cerca de un alambre largo que lleva una corrienteI, como se ilustra en la figura 8-12 , si la distancia entre el alambrey el lado mas cercano es c. Calcule el flujo magnetico a traves de laespira.

Figura 8-12:

Solucion 138. Dado que el campo magnetico para un alambre de corriente (8-12) es

~B “µ0 I2πr

r

mientras que el elemento d~A “ dAr “ bdrr, por lo tanto el flujo magnetico (8-18) sera

ΦB “

¿

~B ¨ d~A “¿

µ0 I2πr

bdr “µ0 Ib2π

a`cż

c

drr“

µ0 Ib2π

ln rˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a`c

c“

µ0 Ib2π

lnˆ

a` cc

˙

“µ0 Ib2π

ln´

1`ac

¯

podemos ver que si alejamos la espira del cable, haciendo c " a

ΦB “µ0 Ib2π

ln´

1`ac

¯

“µ0 Ib2π

ln p1` 0q “ 0.

8.3.1. Fuerza magnetica entre espiras

Como hemos calculado, la fuerza magnetica que actua sobre una espira es

~FB1 “ I1

¿

c1

d~ 1 ˆ ~B p~rq (8-21)

en donde ~B p~rq es el campo magnetico externo a la espira. Si suponemos que nuestra espira esta inmersa en elcampo producido por otra espira de corriente I2, el campo magnetico generado por esta corriente lo podemosescribir como

~B p~rq “µ0

4π

¿

c2

I2d~ 2 ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3(8-22)

sustituyendo la ecuacion (8-22) en la ecuacion (8-21) tenemos

~FB1 “ I1

¿

c1

d~ 1 ˆµ0

4π

¿

c2

I2d~ 2 ˆ p~r1 ´~r2q

|~r1 ´~r2|3

“µ0 I1 I2

4π

¿

c1

¿

c2

d~ 1 ˆ d~ 2 ˆ p~r1 ´~r2q

|~r1 ´~r2|3


si tenemos en cuenta que ~A ˆ ~B ˆ ~C “

´

~A ¨ ~C¯

~B ´´

~A ¨ ~B¯

~C podemos identificar ~A “ d~ 1, ~B “ d~ 2 y ~C “

~r1 ´~r2, remplazando en la ecuacion anterior

~FB1 “µ0 I1 I2

4π

¿

c1

¿

c2

d~ 1 ˆ d~ 2 ˆ p~r1 ´~r2q

|~r1 ´~r2|3

“µ0 I1 I2

4π

¿

c1

¿

c2

´

d~ 1 ¨ p~r1 ´~r2q¯

d~ 2 ´´

d~ 1 ¨ d~ 2

¯

p~r1 ´~r2q

|~r1 ´~r2|3

“µ0 I1 I2

4π

»

–

¿

c1

¿

c2

˜

d~ 1 ¨p~r1 ´~r2q

|~r1 ´~r2|3

¸

d~ 2 ´

¿

c1

¿

c2

p~r1 ´~r2q

|~r1 ´~r2|3

´

d~ 1 ¨ d~ 2

¯

fi

fl

como ya fue demostrado∇´

1|~r ~r1|

¯

“ ´ ~r ~r1

|~r ~r1|3y teniendo en cuenta que cualquier funcion escalar la podemos

escribir como dΦ “ ∇Φ ¨ d~ podemos reescribir la primera integral como

¿

c1

¿

c2

˜

d~ 1 ¨p~r1 ´~r2q

|~r1 ´~r2|3

¸

d~ 2 “ ´

¿

c1

¿

c2

dˆ

1|~r1 ´~r2|

˙

d~ 2 “ ´

¿

c2

1|~r1 ´~r2|

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

~r1

~r1

d~ 2 “ 0

y por lo tanto

~FB1 “ ´µ0 I1 I2

4π

¿

c1

¿

c2

p~r1 ´~r2q

|~r1 ´~r2|3

´

d~ 1 ¨ d~ 2

¯

podemos ver que la fuerza sera simetrica si cambiamos los ındices 1 por 2, lo cual implica por la tercera ley deNewton que

~FB2 “µ0 I2 I1

4π

¿

c2

¿

c1

p~r2 ´~r1q

|~r2 ´~r1|3

´

d~ 2 ¨ d~ 1

¯

.

8.3.2. Fuerza magnetica entre conductores paralelos

Si tenemos dos conductores por los cuales circula una corriente, cada conductor estara en el campo magneticocreado por el otro y por lo tanto ambos experimentaran una fuerza magnetica.

Figura 8-13: Fuerza magnetica entre dos conductores paralelos.

Como podemos ver de la figura 8-13 que la lınea de corriente 1 se encuentra a una distancia a de la linea decorriente 2, encontrandose ambas sobre el plano yz. Partiendo de la ecuacion del campo magnetico para una


lınea de corriente (8-12)~B1 “

µ0 I1

2πρθ

o lo que es equivalente a escribir para este caso

~B1 “ ´µ0 I1

2πaı

teniendo en cuenta que d~ 2 “ dzk y de la ecuacion (8-20) obtenemos

d~FB2 “ I2

´

d~ 2 ˆ ~B1

¯

ñd~FB2

dz“ ´I2

ˆ

kˆµ0 I1

2πaı˙

“µ0 I1 I2

2πa

la cual representa la fuerza por unidad de longitud. Para lıneas de corrientes fijas y infinitas podemos escribirla relacion anterior como

~FB2

L“

µ0 I1 I2

2πa (8-23)

y en el caso particular de dos corrientes iguales, la magnitud de la fuerza entre las lıneas de corriente sera

FB`“

µ0 I1 I2

2πa.

Por la regla de mano derecha, si las dos corrientes van en la misma direccion hay una fuerza opuesta sobre los conductores,por lo tanto los conductores se atraen mutuamente, pero si se invierte la direccion de una de las corrientes entonces lafuerza se invertirıa y los conductores se repelen.

Problema 139. Dos conductores paralelos separados 10cm y delongitud 1m llevan una corriente en la misma direccion de I1 “ 5Ay I2 “ 8A respectivamente, como se muestra en la figura 8-14.Calcule la fuerza ejercida sobre cada uno de los cables.

Figura 8-14:

Solucion 139. El campo magnetico producido por la lınea de corriente uno es

~B1 “µ0 I1

2πrk “

4πˆ 10´7T ¨m ¨ A´15A2π p0.10mq

k “ 1ˆ 10´5Tk

por lo tanto, la fuerza sobre el cable 2 es

~FB2 “ I2~ ˆ ~B1 “ 8A

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k1m 0 00 0 1ˆ 10´5T

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´8ˆ 10´5N .

Para el otro cable tenemos

~B2 “µ0 I2

2πrp´kq “ ´

4πˆ 10´7T ¨m ¨ A´18A2π p0.10mq

k “ ´1.6ˆ 10´5Tk


y

~FB1 “ I1~ ˆ ~B2 “ 5A

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k1m 0 00 0 ´1.6ˆ 10´5T

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 8ˆ 10´5T

como vemos la magnitud de las fuerzas son igualesˇ

ˇ

ˇ

~FB2

ˇ

ˇ

ˇ“

ˇ

ˇ

ˇ

~FB1

ˇ

ˇ

ˇy de hecho, la fuerza entre ambas lıneas es de caracter

atractivo como lo habıamos enunciado anteriormente.

Problema 140. Una espira rectangular de ancho a “ 0.15m yde longitud b “ 0.45m, por la cual circula una corriente I2 “

10A, se coloca cerca de un cable que transporta una corriente I1 “

5A, como se ilustra en la figura 8-15 . Calcule la magnitud y ladireccion de la fuerza neta sobre espira.

Figura 8-15:

Solucion 140. Debemos calcular la fuerza sobre cada una de las secciones de la espira rectangular, comenzando con laseccion 2 del cable, para ello partimos del campo magnetico producido por el cable de corriente I1

~B1 “ ´µ0 I1

2πrk

ası entonces, la fuerza sobre la seccion 2 teniendo en cuenta que d~ 2 “ drı sera

d~FB2 “ I2d~ 2 ˆ ~B1 “µ0 I1 I2

2πr

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k1 0 00 0 ´1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dr

~FB2 “µ0 I1 I2

2π

a`cż

c

drr

“µ0 I1 I2

2πpln pa` cq ´ ln cq “

µ0 I1 I2

2πlnˆ

a` cc

˙

para la seccion 4 tenemos que d~ 4 “ ´drı

d~FB4 “ I2d~ 4 ˆ ~B1 “µ0 I1 I2

2πr

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k´1 0 00 0 ´1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dr

~FB4 “ ´µ0 I1 I2

2π

a`cż

c

drr

“ ´µ0 I1 I2

2πpln pc` aq ´ ln cq “ ´

µ0 I1 I2

2πlnˆ

a` cc

˙

como vemos, la fuerza para las secciones ~FB2 y ~FB4 son iguales en magnitud y opuestas en direccion produciendo lacancelacion entre ellas.


Procederemos ahora a calcular la fuerza sobre las secciones 1 y 3

~FB1 `~FB3 “ I2d~ 1 ˆ ~B1 ` I2d~ 3 ˆ ~B1

“µ0 I1 I2b

2πc

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0 1 00 0 ´1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`µ0 I1 I2b

2π pa` cq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı k0 ´1 00 0 ´1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´µ0 I1 I2b

2πcı`

µ0 I1 I2b2π pa` cq

ı

“µ0 I1 I2b

2π

ˆ

´1c`

1a` c

˙

ı

“ ´µ0 I1 I2`

2π

ˆ

ac pa` cq

˙

ı

remplazando los datos del problema obtenemos

~FB “ ´p4πˆ 10´7T ¨m ¨ A´1q5A p10Aq 0.45m

2π

ˆ

0.15m0.1m p0.15m` 0.1mq

˙

ı “ ´2.735ˆ 10´5Nı.

Problema 141. Si tenemos dos cables paralelos con una den-sidad lineal de masa µ “ 40 g

m , los cuales estan soportadospor cuerdas de 6cm de longitud, ambos cables llevan la mis-ma corriente I y se repelen formando un angulo de θ “ 4

45 π,como se ilustra en la figura 8-16. Calcule la direccion de lascorrientes y la magnitud de esta.

Figura 8-16:

Solucion 141. Lo primero que debemos hacer es calcular la separacion del cable al eje

sinˆ

θ

2

˙

“b

6ˆ 10´2mñ b “ 6ˆ 10´2m sin

˜

445 π

2

¸

“ 8.350 4ˆ 10´3m

debido a que los cables se repelen las direcciones de las corrientes son opuestas. Para calcular el valor de la corrientedebemos analizar el diagrama de fuerzas de la figura 8-16, esto es

ÿ

Fy “ mg´ T cosθ

2“ 0 (8-24)

ÿ

Fy “ ´FB ` T sinθ

2“ 0 (8-25)

de la ecuacion (8-24) despejamos la tension de la cuerda T “ mgcos θ

2, para poder remplazar este resultado en la ecuacion

(8-25) y poder calcular la corriente. Teniendo en cuenta la relacion para fuerza magnetica entre corrientes de la ecuacion(8-23)

´FB ` T sinθ

2“ 0

´µ0 I2`

2πr`

mgcos θ

2

sinθ

2“ 0 ñ I “

d

2πrmg tan θ2

µ0`


remplazando

I “

d

µ2πrg tan θ2

µ0

“

g

f

f

e

´

0.04 kgm

¯

2π p2q 8.350 4ˆ 10´3m´

9.8 ms2

¯

tan 245 π

4πˆ 10´7T ¨m ¨ A´1

“ 67.826A

donde tuvimos en cuenta que µ “ m` , r “ 2b y 1T “

“

1N ¨ A´1 ¨m´1‰.

8.4. Ley de Ampere

Podemos encontrar la ley de Ampere a partir del calculo del rotacional del ~B p~rq que obtuvimos en la ley deBiot-Savart (8-8)

∇ˆ ~B p~rq “ ∇ˆ

¨

˝

µ0

4π

ż

V

~J`

~r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

˛

‚“µ0

4π

ż

V

∇ˆ~J`

~r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

teniendo en cuenta que ∇ˆ´

~Aˆ ~B¯

“

´

∇ ¨ ~B¯

~A´´

∇ ¨ ~A¯

~B`´

~B ¨∇¯

~A´´

~A ¨∇¯

~B, podemos reescribir

el termino dentro de la integral identificando ~A “ ~J`

~r1˘

y ~B “ p~r ~r1q|~r ~r1|3

como

∇ˆ~J`

~r1˘

ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

“

˜

∇ ¨`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

~J`

~r1˘

´

´

∇ ¨~J`

~r1˘

¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`

˜

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3¨∇

¸

~J`

~r1˘

´

´

~J`

~r1˘

¨∇¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

ya que ~J`

~r1˘

no es funcion de~r, sus derivadas son cero y por lo tanto, el segundo y tercer termino se anulan,quedando solamente

∇ˆ~J`

~r1˘

ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“

˜

∇ ¨`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

~J`

~r1˘

´

´

~J`

~r1˘

¨∇¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3(8-26)

podemos simplificar el primer termino de la ecuacion (8-26) teniendo en cuenta que

∇ ¨`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“ 4πδ

`

~r´~r1˘

mientras que para el segundo termino de la ecuacion (8-26) debemos tener en cuenta la relacion para ∇ enfuncion de~r y~r1, en la cual ∇ “ ´∇1, remplazando lo anterior en la ecuacion (8-26) obtenemos

∇ˆ~J`

~r1˘

ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“ 4πδ

`

~r´~r1˘

~J`

~r1˘

`

´

~J`

~r1˘

¨∇1¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

para poder simplificar esta ecuacion debemos usar el teorema de la divergenciaż

V

´

∇ ¨ ~C` ~C ¨∇¯

~B dV “

¿

S

~B´

~C ¨ d~S¯

y por ello es necesario introducir el termino ∇1 ¨~J`

~r1˘ p~r ~r1q|~r ~r1|3

el cual para el caso nuestro es cero,

8.4 Ley de Ampere 251

debido a que en magnetostatica ∇1 ¨~J`

~r1˘

“ 0 como lo demostraremos en la ecuacion de continuidad de lacarga electrica para corrientes estacionarias (11-3), ası entonces

∇ˆ ~B p~rq “µ0

4π

ż

V

˜

4πδ`

~r´~r1˘

~J`

~r1˘

`

´

~J`

~r1˘

¨∇1¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`∇1 ¨~J

`

~r1˘

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

dV

“µ0

4π

ż

V

4πδ`

~r´~r1˘

~J`

~r1˘

dV `µ0

4π

ż

V

˜

´

~J`

~r1˘

¨∇1¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`∇1 ¨~J

`

~r1˘

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

dV

de la primera integral tenemosµ0

4π

ż

V

4πδ`

~r´~r1˘

~J`

~r1˘

dV “ µ0~J p~rq

mientras que para la segunda integralż

V

˜

´

~J`

~r1˘

¨∇1¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`∇1 ¨~J

`

~r1˘

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

dV “

¿

S

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3´

~J`

~r1˘

¨ d~S¯

si consideramos todo el espacio vemos que en la frontera la corriente sera cero, esto debido a que todas lascorrientes se encuentran en el interior del volumen delimitado por la superficie y por lo tanto, la segundaintegral sera cero.

Obteniendo finalmente la ley de Ampere∇ˆ ~B p~rq “ µ0~J p~rq (8-27)

la cual podemos escribir de forma integral comoż

S

´

∇ˆ ~B p~rq¯

¨ d~S “ż

S

µ0~J p~rq ¨ d~S

empleando el teorema de Stokes3 podemos reescribir la integral anterior como¿

C

~B p~rq ¨ d~ “ µ0 Ic

donde Ic sera la corriente encerrada.

Problema 142. Un alambre largo transporta una corriente I lacual esta uniformemente distribuida a traves de la seccion trans-versal del alambre, como se ilustra en la figura 8-17. Calcule elcampo magnetico dentro y fuera del alambre si este tiene un radioR.

Figura 8-17:3La integral cerrada de lınea del campo vectorial ~F a lo largo de c puede hacerse como una integral de superficie del rotacional del

campo ~F sobre cualquier superficie S acotada por la curva c¿

c

~F ¨ d~r “ż

sup

´

∇ˆ ~F ¨ n¯

dS


Solucion 142. Para r ě R

¿

C

~B ¨ d~ “ µ0 Ic

B¿

C

d` “ Bp2πrq “ µ0 I ñ B “µ0 I2πr

“

ˆ

µ0 I2π

˙

1r

(8-28)

este resultado ya lo habıamos obtenido empleando la ley de Biot-Savart (8-12). Sin embargo, debido a la simetrıa delproblema el calculo ahora fue muy sencillo.

Para r ă R la corriente que pasa por el circulo r ă R sera menor que la corriente que circula a traves del radio R. Perodado que la corriente es uniforme, existe una relacion entre las corrientes y las areas, mediada por la densidad de corriente.Para un circulo r ă R la densidad de corriente la podemos escribir como J “ I1

πr2 y dado que esta es constante

J “I1

πr2 “I

πR2 ñ I1 “r2

R2 I

por lo tanto

¿

C

~B ¨ d~ “ µ0 I1

B p2πrq “ µ0

ˆ

r2

R2

˙

I ñ B “µ0

2πr

ˆ

r2

R2

˙

I “ˆ

µ0 I2πR2

˙

r

si graficamos lo anterior tendremos

Figura 8-18: Grafica del campo magnetico en funcion del radio. Como vemos para valores de r ă R crece de forma lineal(R “ 1), mientras que para r ě R decrece de la forma 1

r .

8.4 Ley de Ampere 253

Problema 143. Cuatro conductores largos y paralelos transportancorrientes iguales de 5A, las corrientes A y B entran a la pagina,mientras que las corrientes C y D salen de la pagina como se ilus-tra en la figura 8-19. Calcule el campo en el punto p, el cual seencuentra en la mitad de cuadrado formado por los conductores.

Figura 8-19:

Solucion 143. De la ecuacion (8-28) cada cable produce un campo

B “µ0 I2πr

donde a “b

p0.1mq2 ` p0.1mq2 “ 0.1414m remplazando tenemos

B “4πˆ 10´7T ¨m ¨ A´1 p5Aq

2πp0.1414mq“ 7.07213ˆ 10´6T “ 7.07µT

en el punto p el campo producido por los cuatro cables sera la contribucion de cada una de las direcciones del campo porcada uno de los cables, la corriente A produce en el punto p un campo en una direccion tangente de 5π

4 , mientras que lacorriente B crea un campo en una direccion tangente de 7π

4 , la corriente C produce un campo en una direccion tangentede 7π

4 , mientras que la corriente D produce un campo en una direccion tangente de 5π4 .

De esta forma vemos que las contribuciones totales del campo total en la direccion ı se cancelan entre ellas, mientras quelas contribuciones en la direccion ´ se suman

~B “ ´4p7.07213ˆ 10´6Tq sin´π

4

¯

“ ´2.0003ˆ 10´5T “ ´20µT

Problema 144. Calcule el campo producido por un solenoide muylargo, como se ilustra en la figura 8-20 .

Figura 8-20:

Solucion 144. Para analizar el campo del solenoide podemos hacerlo realizando un corte sobre este y tomando la curvacerrada abcd, para lo cual la integral de lınea de ~B incluye un segmento axial ab, dos radiales bc y da , finalmente un


segmento fuera del solenoide cd

¿

C

~B ¨ d~ “

bż

a

~B ¨ d~ `

cż

b

~B ¨ d~ `

dż

c

~B ¨ d~ `

aż

d

~B ¨ d~

“ B``

cż

b

~B K d~ `

dż

c

~B ¨ d~ `

aż

d

~B K d~

“ B`

donde ~B K d~ significa que son perpendiculares entre ellos y por lo tanto el producto punto es cero. La integraldş

c~B ¨ d~

es cero debido a que en el exterior al solenoide el campo magnetico es cero. Dado que tenemos N espiras, cada una de lascuales transporta una corriente I, la corriente total encerrada por el rectangulo abcd sera NI y esto es

B` “ µ0NI ñ B “µ0NI`

“ B “ µ0nI

donde definimos n “ N` como el numero de espiras por unidad de longitud.

Problema 145. Calcule el campo magnetico de un solenoide toroi-dal para las regiones 1, 2 y 3, las cuales se representan en la figura8-21.

Figura 8-21:

Solucion 145. Vamos a analizar el solenoide toroidal por medio de tres diferentes curvas. Para la curva 1 tenemos¿

C

~B ¨ d~ “ µ0 I “ 0

debido a que la corriente encerrada es cero. Para la curva 3 tenemos tanto corrientes que entran Ie, como corrientes quesalen Is de la pagina, de tal forma que

¿

C

~B ¨ d~ “ µ0 Ic “ µ0 pIe ` Isq “ 0

debido a que las corrientes se suman en parejas y estas son iguales y opuestas Ie “ ´Is.

Finalmente, para la curva 2 tenemos N es el numero de vueltas del alambre¿

C

~B ¨ d~ “ B p2πrq “ µ0NI

el cual como podemos ver en la figura 8-21 pasa N veces a traves del area encerrada, por lo tanto

B “µ0NI2πr

8.5 Ley de induccion de Faraday 255

podemos ver que ~B no es uniforme debido a que los radios son distintos, pero si consideramos que el radio del toroide esmucho mayor que su espesor podemos escribir n “ N

2πr como el numero de vueltas por unidad de longitud, escribiendo elcampo como

B “ µ0nI.

Problema 146. Demuestre que en un medio homogeneo e isotropico el campo magnetico satisface la ecuacion de Laplace

∇2~B “ 0

Solucion 146. Partiendo de la ley de Ampere∇ˆ~B “ µ0~J y utilizando la identidad∇ˆ∇ˆ ~A “ ∇´

∇ ¨ ~A¯

´∇2 ~Atenemos

∇ˆ∇ˆ ~B “ ∇´

∇ ¨ ~B¯

´∇2~B “ µ0∇ˆ~J

debido a que no existen los monopolos magneticos, esto es ∇ ¨ ~B “ 0, solo nos quedamos con

´∇2~B “ µ0∇ˆ~J

teniendo en cuenta que~J “ σ~E, podemos escribir la ecuacion anterior como

´∇2~B “ µ0∇ˆ σ~E

y al recordar la segunda ley de Maxwell para el caso de cargas estaticas ∇ˆ ~E “ 0, obtenemos finalmente

∇2~B “ 0.

8.5. Ley de induccion de Faraday

Tenemos hasta ahora para el campo electrico que ∇ ¨ ~E “ ρε y ∇ˆ ~E “ 0, lo cual hace que el campo electrico

sea un campo central y por lo tanto conservativo. Sin embargo, experimentos como los de Faraday mostraronque los campos electricos pueden ser creados (en ausencia de cargas electricas netas) por campos magneticosvariables en el tiempo. Sin embargo, las lıneas de campos electrico obtenidas de esta forma se cierran sobre simismas

´

∇ˆ ~E ‰ 0¯

lo cual hace de este nuevo campo uno no conservativo.

Si tenemos una varilla conductora como la que se ilustra en la figura 8-22 de longitud ` y moviendose convelocidad constante ~v en un campo magnetico uniforme ~B entrante a la pagina y perpendicular al conductor,de tal forma que los electrones dentro del conductor experimentaran una fuerza hacia el extremo inferior delconductor debido a que

~FB “ q~vˆ ~B “ ´qvıˆ B´

´k¯

“ ´qvB

produciendo un movimiento de las cargas negativas generando una redistribucion de estas, quedando la cargapositiva al extremo contrario generando lo cual generara un campo electrico equivalente4 al campo de undipolo electrico. Las cargas se redistribuiran en el conductor hasta que de nuevo se alcance una condicionestacionaria (el ~FE creado cancelara el efecto del ~FB en el interior del conductor y no habra desplazamiento decargas). Al alcanzar esta condicion estacionaria tendremos que en el interior del conductor

qE “ qvB ñ E “ vB

para este momento el movimiento de los electrones solo se debera a movimiento termico aleatorio.

4Decimos en este caso que es equivalente ya que las cargas no se encuentran en los extremos de la varilla, sino que las cargas seencuentran distribuidas en los extremos de esta.


Figura 8-22: Representacion de las fuerzas dentro de una varilla conductora moviendose con velocidad cons-tante ~v en un campo magnetico uniforme ~B.

Si ahora analizamos lo anterior desde el punto de vista de un observador O1 el cual se mueve con la espira. Yteniendo en cuenta el principio de relatividad para el cual todos los observadores deben de ver la misma fısicay por lo tanto, el observador en movimiento tambien observara una polarizacion.

Sin embargo, para O1 las cargas no estan inicialmente en movimiento y por tanto cualquiera que sea el campomagnetico que el mida, no puede ser responsable por el desplazamiento que produce la redistribucion de car-gas. Ası entonces, para este observador es necesario que exista un campo electrico inicial para poder observarel equivalente al dipolo electrico que ve el observador O, con miras a mantener el principio de la relatividadintacto.

Si consideramos que el observador O1 observa los campos ~E1 y ~B1, tenemos que el campo ~B1 no influye sobrelas cargas del conductor ya que estas estan en reposo. Pero el campo electrico debe producir una polarizacionque a su vez produzca un campo electrico inducido. Este campo inducido es tal que cancela al campo electrico~E1 en el interior del conductor, como sucede dentro de conductores en presencia de campos electrostaticosexternos. Ası entonces, El observador O1 ve un campo total que es cero en el interior del conductor (pero no enel exterior) y que corresponde a la superposicion de ~E1 y el campo inducido por la redistribucion de carga.

Si tenemos un conductor por el cual circula una corriente I en la direccion ´ y queremos calcular el trabajoque se realizarıa sobre una carga q al interior de una espira rectangular, la cual se aleja de la bobina con unavelocidad ~v “ vı, como se ilustra en la figura 8-23, debemos primero calcular la fuerza sobre cada uno de loselementos del alambre

~FB “ q~vˆ ~B “ ´q

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kv 0 00 0 B

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ qvB

para calcular el trabajo total, debemos calcularlo sobre cada uno de los segmentos de longitud `

W “

ż

~FB ¨ d~ “ qv ¨

ˆ

´

ż

B d`1 ı´ż

B2 d`2 `

ż

B d`3 ı`ż

B4 d`4

˙

“ qv pB4 ´ B2q `

como vemos, solo el segmento mas cercano y mas lejano contribuyen. Por lo tanto, el trabajo por unidad de


Figura 8-23: Imagen de una espira moviendose en el campo magnetico generado por un hilo conductor.

carga en la espira lo podemos escribir como

E “ 1q

ż

~FB ¨ d~

donde E se denomina fuerza electromotriz o fem, este termino es equivalente a la diferencia de potencial paramover una carga en un circuito p4V “ IRq. Para el caso de la espira de la figura 8-23 la fem sera

E “ 1q

ż

~FB ¨ d~ “qv pB4 ´ B2q `

q“ v pB4 ´ B2q `

calcularemos ahora la velocidad de variacion del flujo de campo magnetico traves de la espira, para ello vemosque en un tiempo dt la espira de mueve una distancia v dt, adicionalmente podemos ver de la figura 8-23 queel flujo que se gana por la derecha se pierde por la izquierda por ello debemos incluir un signo negativo

dΦB “ ´v pB4 ´ B2q `dt

relacionando las dos ultimas ecuaciones obtenemos

E “ ´dΦBdt

(8-29)

donde podemos escribir el flujo magnetico como

ΦB ptq “ż

S

~B ¨ d~A.

Esta ultima relacion es una forma equivalente de calcular la fem inducida la cual puede ser usada para unaespira de cualquier forma. Lo anterior implica que podemos tener una fem inducida producida de variasformas o la combinacion de estas:

Una variacion del ~B con respecto al tiempo.

Una variacion del area con respecto al tiempo.

Una variacion del angulo entre ~B y ~A con respecto al tiempo.


De lo anterior obtenemos la ley de Lenz, la cual dice que la fuerza electromotriz inducida se opone al cambio en elflujo del campo magnetico sobre la espira.

E “ż

C

~E ¨ d~ “ ´ddt

ż

S

~B ¨ d~S “ ´dΦdt

(8-30)

En los analisis anteriores tuvimos en cuenta un conductor cerrado, a traves del cual pasaba un flujo magnetico.Sin embargo, podemos considerar lazos imaginarios por los cuales pasa un flujo de campo magnetico, estaabstraccion adicional nos lleva entonces a la ley de induccion de Faraday, en la cual la fuerza electromotrizsolo depende de la velocidad de variacion del flujo de ~B.

Problema 147. Calcule la potencia necesaria para mover una ba-rra conductora como se ilustra en la figura 8-24 , la cual se deslizasobre dos rieles conductores bajo la accion de una fuerza aplicada~Faplic y donde R representa la resistencia electrica en todo el circui-to.

Figura 8-24:

Solucion 147. Debido al movimiento de la barra, se inducira una corriente en sentido contrario a las manecillas del relojen la espira. Por lo tanto, el flujo magnetico sera

ΦM “

ż

~B ¨ d~A “ B`x

teniendo en cuenta que el area cambia en funcion del tiempo, empleamos la ecuacion (8-29) para calcular la fem inducida

E “ ´dΦMdt

“ ´ddtpB`xq “ ´B`

dxdt“ ´B`v

y la corriente inducida sera

I “|E |R“

B`vR

.

La potencia necesaria para mover la barra sera proporcional a la fuerza aplicada

Faplic “ I`B (8-31)

por lo tanto

P “ Fv “ I`Bv “ˆ

B`vR

˙

`Bv “pB`vq2

R“E2

R. (8-32)


Problema 148. Una espira rectangular de ancho a, largo b y re-sistencia R, se aleja con una velocidad~v de un cable que transportauna corriente I1, como se ilustra en la figura 8-25. Calcule la co-rriente en la espira a una distancia r del cable.

Figura 8-25:


E “ ´ ddt

ż

S

~B ¨ d~S “ ´ddt

ż

S

´µ0 I2πx

k ¨ b dxk

“ddt

¨

˝

µ0 Ib2π

r`aż

r

dxx

˛

‚

“µ0 Ib2π

ddtpln pr` aq ´ ln rq

“µ0 Ib2π

ˆ

1a` r

ddtpr` aq ´

1r

ddt

r˙

“µ0 Ib2π

ˆ

va` r

´vr

˙

“µ0 Ib2π

ˆ

vr´ av´ rvpa` rq r

˙

“ ´µ0 Ib2π

avpa` rq r

por lo tanto, la corriente en funcion de la distancia sera

I2 p~rq “ER“ ´

µ0 Ib2πR

avpa` rq r

.

Problema 149. Calcule la fem inducida entre los dos extremos deuna barra conductora de longitud `, la cual esta girando con unavelocidad angular constante ω, con el pivote en uno de sus extre-mos y donde el campo magnetico esta dirigido perpendicularmenteal plano de rotacion, como se muestra en la figura 8-26.

Figura 8-26:

Solucion 149. Debido a que la barra esta girando, tomaremos un diferencial dr sobre la varilla para calcular como varia


el area en esta

dE “ ´dΦMdt

“ ´ddt

ż

~B ¨ ~A “ ´Bż

0

1dtpdx drq “ ´B

ż

0

v dr

dado que v “ ωr remplazando tenemos

E “ ´Bż

0

v dr “ ´Bż

0

ωr dr “ ´Bωr2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`

0“ ´Bω

`2

2.

Problema 150. Una espira rectangular de lados a y b y resisten-cia R, se coloca de tal forma que su area perpendicular al campomagnetico ~B el cual es constante y uniforme, como se muestra enla figura 8-27 , la espira gira con una velocidad angular ω. Calculela fem inducida sobre la espira.

Figura 8-27:

Solucion 150. Partiendo de la ley de Faraday (8-29)

E “ ´dΦMdt

“ ´ddt

ż

~B ¨ ndA

y dado que la espira gira, el vector normal a la superficie de la espira n tambien lo hace, esto hace que el angulo entre elcampo y el vector normal cambie en el tiempo, esto es ~B ¨ n “ B cos θ, donde θ “ ωt, remplazando esto obtenemos

E “ ´ ddt

ż

S

B dA cos ωt “ ´ddt

B cos ωtż

S

dA “ ´ddtpBab cos ωtq “ Babω sin ωt.

Podemos ver que el valor maximo de la fem sera cuando ωt “ ˘n π2 con n impar, y sera cero para valores de n par. Mientras

que flujo es maximo cuando ωt “ ˘n π2 con n par. Finalmente, la corriente inducida estara dada por la expresion

I “ER“

Babω sin ωtR

. (8-33)

Problema 151. Un toroide metalico se coloca en el plano xy, elcual tiene un radio interno Rint, radio externo Rext y radio me-dio Rm. Con un radio de cilindro Rc, una resistividad ρelec y conuna densidad del material ρmat, como se ilustra en la figura 8-28. Calcule la resistencia, corriente, potencia disipada, la variacionde temperatura en el tiempo debido al efecto Joulea, si el toroide seencuentra inmerso en un campo magnetico ~B ptq “ B0 cos ωt k.

aEl efecto Joule es un fenomeno irreversible en el cual cuando por unconductor circula corriente electrica, parte de la energıa cinetica de los elec-trones se transforma en calor debido a los choques aleatorios que se sucedencon los atomos del material conductor, produciendo ası un aumento de latemperatura en el conductor. Figura 8-28:


Solucion 151. El termino de resistencia del toroide, lo podemos calcular teniendo en cuenta la relacion entre resistenciay resistividad de la ecuacion (6-6)

R “ ρeleclA“ ρelec

2πRm

πR2c“ ρelec

2Rm

R2c

.

Para calcular la corriente debemos calcular el termino de campo electrico de la ecuacion (8-30), ya que debido al campomagnetico, tendremos un campo electrico inducido con forma de cırculos concentricos al eje z, esto debido a la simetrıacilındrica del problema

ż

C

~E ¨ d~ “ ´ddt

ż

S

~B ¨ d~S

2πż

0

Eθ ¨ ρdθθ “ ´ddt

ρż

0

2πż

0

B0 cos ωt k ¨ ρdρ dθk

Eρ2π “ ´ddt

ˆ

B0 cos ωtρ2

22π

˙

“ ωB0ρ2π sin ωt

ñ ~E “ωB0ρ sin ωt

2θ

Para calcular la corriente, partiremos de calculo del flujo de corriente (6-4)

~E “ ρelec~J

ñ ~J “~E

ρelec“

ωB0ρ sin ωt2ρelec

θ

dado que dI “ ~J ¨ d~A, y teniendo en cuenta un corte del toroide, podemos reescribir el termino ρ tenemos

ρ “ Rm ` ρ1 cos β

y por lo tanto

I “ ~J ¨ d~A “

Rcż

0

2πż

0

ωB0 sin ωt2ρelec

`

Rm ` ρ1 cos β˘

θ ¨ ρ1dρ1 dβθ

“

Rcż

0

2πż

0

ωB0 sin ωt2ρelec

Rmρ1dρ1 dβ`

Rcż

0

2πż

0

ωB0 sin ωt2ρelec

ρ12 cos βdρ1 dβ

“ωB0Rm sin ωt

2ρelec

ρ12

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Rc

02π`

ωB0 sin ωt2ρelec

ρ12

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Rc

0sin β|2π

0

“ωπB0RmR2

c sin ωt2ρelec

teniendo en cuenta que R “ ρelec2RmR2

cdebemos despejar el termino R2

c para remplazarlo en el termino de corriente

R2c “ ρelec

2Rm

R

por lo tanto

I “ωπB0Rm sin ωt

2ρelec

ˆ

ρelec2Rm

R

˙

“ωπB0R2

m sin ωtR

.


De tal forma que la potencia disipada en la resistencia es

P ptq “ RI2 “ Rˆ

ωπB0R2m sin ωt

R

˙2

“ω2π2B2

0R4m sin2 ωt

R.

Finalmente, para calcular la variacion de la temperatura con respecto al tiempo dTdt , tenemos en cuenta que

δQ “ McdT

donde δQ es la variacion de calor5, M es la masa del cuerpo y c es el calor especifico del material con el cual esta hecho eltoroide. Derivando la relacion anterior con respecto al tiempo y asumiendo que toda la potencia disipada se convierte encalor

δQdt“ P ptq “ Mc

dTdtñ

dTdt“P ptqMc

“ω2π2B2

0R4m sin2 ωt

McRde esta ecuacion solo nos falta calcular la masa del toroide, para lo cual partimos de que el volumen es

V “ A` “ πR2c p2πRmq “ 2π2R2

c Rm

por lo tanto

M “ ρV “ 2ρπ2R2c Rm “ 2ρπ2

ˆ

ρelec2Rm

R

˙

Rm “ ρelec4ρπ2R2

mR

y remplazando el termino anterior en la variacion de temperatura tenemos

dTdt“

ω2π2B20R4

m sin2 ωtMcR

“ω2π2B2

0R4m sin2 ωt

ρelec4ρπ2R2

mR cR

“ω2B2

0R2m sin2 ωt

4ρρelecc.

8.5.1. Corriente de desplazamiento

De la ley de Biot-Savart tenemos

d~B p~rq “µ0

4πI

d~ ˆ rr2

en esta ecuacion el termino de corriente proviene de electrones que se mueven en un cable debido a unadiferencia de potencial. Sin embargo, esta no es la unica corriente que existe. Para analizar esto podemosdenotar I como Ic como corriente de conduccion, la cual es la corriente que conocemos hasta el momento. Eneste sentido, tenemos un aspecto muy interesante en el caso de un condensador en su fase de descarga. Ya que,aunque tenemos una corriente sobre el circuito, no hay una corriente de conduccion entre ambas placas delcondensador (de haberla implicarıa que el condensador presento ruptura dielectrica). A este tipo de corrientese le denomina corriente de desplazamiento.

Podemos partir para el analisis de una corriente de desplazamiento a traves del campo electrico en un conden-sador de placas paralelas

~E “σ

ε0n “

Qε0 A

n

en la fase de descarga en un intervalo dt, la carga Q disminuye en un valor dQ “ I dt, es de esperar quetambien cambie el campo electrico

d~E “dQε0 A

n “I dtε0 A

n

ñd~Edt“

Iε0 A

n

5δQ es una diferencial inexacta, ya que no puede interpretarse como una variacion del calor debido a que no puede definirse unafuncion Q.


podemos definir el termino densidad de corriente desplazamiento como

~JD “IA

n “ ε0d~Edt

y por lo tanto, la corriente de desplazamiento sera

ID “

ż

S

~JD ¨ d~A “ ε0

ż

S

d~Edt¨ ndA. (8-34)

De tal forma que podemos escribir la forma general de Biot-Savart como

d~B “µ0

4πpIc ` IDq

d~ ˆ rr2

mientras que incluir el termino de corriente de conduccion a la ley de Ampere nos permite obtener ley deAmpere-Maxwell 8-34

¿

C

~B ¨ d~S “ µ0 pIc ` IDq “ µ0

ż

S

~J ¨ ndA` µ0ε0

ż

S

d~Edt¨ ndA. (8-35)

Problema 152. Si tenemos un condensador de placas paralelas,cuyas placas son circulares de radio R, las cuales estan separadasuna distancia `, como se ilustra en la figura 8-29. Calcule el campomagnetico en el interior de las placas.

Figura 8-29:

Solucion 152. Partiendo del campo electrico en el interior de un condensador

~E “σ

ε0n

la corriente de desplazamiento sera

ID “ ε0

ż

S

B~EBt¨ d~A “ ε0

ż

S

1ε0

Bσ

Btn ¨ ndA “

Bσ

Bt

ż

S

dA “Bσ

Btπρ2

teniendo en cuenta la ley de Ampere-Maxwell, entre las placas del condensador Ic “ 0, por lo tanto

¿

C

~B ¨ d~S “ µ0ε0

ż

S

d~Edt¨ ndA


dado que ~B “ Bθ y d~ “ ρdθθ entonces¿

C

~B ¨ d~S “ µ0ε0ş

Sd~Edt ¨ ndA

¿

C

Bθ ¨ ρdθθ “ µ0Bσ

Btπρ2

Bρ

2πż

0

dθ “ µ0πρ2 Bσ

Bt

ñ B “µ0πρ

2Bσ

Bt

lo cual implica, que el campo en el eje es cero y aumenta linealmente con la distancia hasta ρ “ R.

Problema 153. Una carga electrica q se mueve con una veloci-dad ~v por el eje de una espira de carga Q y de radio R, la cual seencuentra en reposo en el plano XY. Calcule el campo magneticoy la corriente de desplazamiento por el area definida por el anillo,cuando la carga esta a una distancia~r como se ve en la figura 8-30.

Figura 8-30:

Solucion 153. De la figura 8-30 identificamos~r “ ρρ` zk y~r1 “ z1k, por lo tanto, el campo electrico producido por lacarga es

~E p~rq “ kq

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“ kq

ρρ``

z´ z1˘

k´

ρ2 ` pz´ z1q2¯

32

en particular, para el centro del anillo, esto es z “ 0, el campo sera

~E p~rq “ kqρρ´ z1k

`

ρ2 ` z12˘

32

y por lo tantoż

anillo

~E ¨ d~A “

Rż

0

2πż

0

kqρρ´ z1k

`

ρ2 ` z12˘

32¨ ρ dρ dϕk

“ ´

Rż

0

2πż

0

kqz1

`

ρ2 ` z12˘

32

ρ dρ dϕ

“ ´p2πq kq

Rż

0

z1`

ρ2 ` z12˘

32

ρ dρ


para realizar la integral sobre ρ debemos realizar la sustitucion ρ “ z1 tan β, de tal forma que dρ “ z1 sec2 β dβ, mientrasque los lımites de integracion quedan como

cos β “z1

`

ρ2 ` z12˘

12ñ

$

&

%

ρ1 “ 0 ñ cos β1 “ 1

ρ2 “ R ñ cos β2 “z1

pR2`z12q12

ası entonces la integral sera

ż

anillo

~E ¨ d~A “ ´p2πq kq

Rż

0

z1 k

pρ2`z12q32

ρ dρ

“ ´2πkq

β2ż

β1

z1`

z1 tan β˘

z1 sec2 β dβ`

z12 tan2 β` z12˘

32

“ ´2πkq

β2ż

β1

z13 tan β sec2 β dβ`

z12 sec2 β˘

32

“ ´2πkqz13β2ż

β1

tan β sec2 β dβ

z13 sec3 β

“ ´2πkq

β2ż

β1

sin β dβ

“ 2πkq cos β|β2β1

“ 2πkq pcos β2 ´ cos β1q

“ 2πkq

¨

˝

z1`

R2 ` z12˘

12´ 1

˛

‚

“2π

4πε0q

¨

˝

z1`

R2 ` z12˘

12´ 1

˛

‚


ID “ ε0

ż

S

B~EBt¨ d~A

“ ε0B

Bt

ż

S

~E ¨ d~A

“ ε0q

2ε0

B

Bt

¨

˝

z1`

R2 ` z12˘

12´ 1

˛

‚

“q2B

Bt

ˆ

z1´

R2 ` z12¯´ 1

2´ 1

˙

“q2

ˆ

Bz1

Bt

´

R2 ` z12¯´ 1

2´

12

z1´

R2 ` z12¯´ 3

2 2z1Bz1

Bt

˙


dado que Bz1Bt es la velocidad de la carga, entonces

ID “q2

ˆ

~v´

R2 ` z12¯´ 1

2´ z12

´

R2 ` z12¯´ 3

2~v˙

“q2

¨

˝

~v`

R2 ` z12˘

12´

z12~v`

R2 ` z12˘

32

˛

‚

“q~v

2`

R2 ` z12˘

12

´´

R2 ` z12¯

´ z12¯

“q~vR2

2`

R2 ` z12˘

12

empleando la ecuacion de Ampere-Maxwell (8-34), teniendo en cuenta que ~B “ Bθ y d~ “ Rdθθ

¿

C

~B ¨ d~S “ µ0 pIc ` IDq

2π¿

0

Bθ ¨ Rdθθ “ µ0q~vR2

2`

R2 ` z12˘

12

BR

2π¿

0

dθ “ µ0q~vR2

2`

R2 ` z12˘

12

BR2π “ µ0q~vR2

2`

R2 ` z12˘

12

θ

~B “µ0

4π

q~vR`

R2 ` z12˘

12

θ

el cual como vemos tiene la misma estructura del campo magnetico de un anillo, como lo calculamos en la ecuacion (8-13).

8.6. Potencial vectorial magnetico

Al comparar las ecuaciones para la electrostatica y para la magnetostatica, la principal diferencia radica en queno existe la carga magnetica y por lo tanto

∇ ¨ ~B “ 0

si tenemos en cuenta que ∇ ¨∇ˆ ~A “ 0, es posible definir

~B “ ∇ˆ ~A (8-36)

donde definimos ~A como el potencial vectorial magnetico. De hecho, esta definicion nos permite escribir

∇ˆ ~B “ ∇ˆ´

∇ˆ ~A¯

“ ∇´

∇ ¨ ~A¯

´∇2 ~A “ µ0~J

En este punto debemos hacer un analisis importante. Si recordamos la forma en la cual se definio el campoelectrico en funcion del potencial electrostatico

φ p~rq Ñ ~E p~rq “ ´∇φ p~rq

8.6 Potencial vectorial magnetico 267

esta definicion presentaba cierta ambiguedad, ya que si al potencial le sumabamos cualquier funcion cuyogradiente fuese cero (una constante) el campo electrico permanecıa inalterado

φ p~rq “ φ p~rq ` C Ñ ~E p~rq “ ´∇ pφ p~rq ` Cq “ ~E p~rq “ ´∇φ p~rq

De la misma forma podemos adicionar una funcion al potencial vectorial ~A cuyo rotacional sea cero (unafuncion de ese tipo seria el gradiente de una funcion escalar) de tal forma que permanezca inalterado ~B

~A “ ~A`∇λ

Debemos ahora obtener una expresion explicita para el potencial vectorial magnetico, para lo cual podemospartir de la ley de Biot-Savart (8-8)

~B “µ0

4π

ż

Id~ ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

“µ0

4π

ż ~J`

~r1˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

“µ0

4π

ż

~J`

~r1˘

ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

donde usamos que Id~ “ pJdAq d~ “ ~JdAd` “ ~JdV , si ahora tenemos en cuenta que ∇´

1|~r ~r1|

¯

“ ´p~r ~r1q|~r ~r1|3

podemos escribir la ecuacion anterior como

~B “µ0

4π

ż

~J`

~r1˘

ˆ

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV “ ´

µ0

4π

ż

~J`

~r1˘

ˆ∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV

en virtud de la identidad ∇ˆ´

f~F¯

“ ∇ f ˆ ~F` f∇ˆ ~F tenemos

∇ˆ˜

~J`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

“ ∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

ˆ~J`

~r1˘

`1

|~r´~r1|∇ˆ~J

`

~r1˘

∇ˆ˜

~J`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

“ ~J`

~r1˘

ˆ∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

`1

|~r´~r1|∇ˆ~J

`

~r1˘

ñ ~J`

~r1˘

ˆ∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

“1

|~r´~r1|∇ˆ~J

`

~r1˘

´∇ˆ˜

~J`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

analizando el termino ∇ˆ~J`

~r1˘

este sera cero debido a que ~J`

~r1˘

esta asociada a un camino. Por lo tanto, alremplazar en el campo magnetico tenemos

~B “ ´µ0

4π

ż

~J`

~r1˘

ˆ∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV

“ ´µ0

4π

ż

˜

´∇ˆ˜

~J`

~r1˘

|~r´~r1|

¸¸

dV

“µ0

4π

ż

∇ˆ˜

~J`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

dV

“ ∇ˆ µ0

4π

ż

˜

~J`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

dV

podemos identificar entonces

~A “µ0

4π

ż ~J`

~r1˘

|~r´~r1|dV (8-37)


podemos ver que la estructura matematica del potencial vectorial magnetico es muy similar al potencial elec-trostatico 3-55

φ p~rq “ kż dq

`

~r1˘

|~r´~r1|“ k

ż

ρ`

~r1˘

|~r´~r1|dV

y al igual que con el potencial electrostatico, el potencial vectorial magnetico facilita la solucion en algunoscasos, sobre todo los relacionados con radiacion electromagnetica.

La relacion del potencial vectorial magnetico la podemos escribir para el caso de superficies y lıneas de co-rriente como:

~A “µ0

4π

ż

σ~v1 dA|~r´~r1|

“µ0

4π

ż

I d~

|~r´~r1|3

Problema 154. Calcule el campo magnetico a traves del potencialvectorial magnetico por dentro y por fuera de una esfera con den-sidad de carga superficial uniforme σ la cual esta girando con unavelocidad angular ω, como se ilustra en la figura 8-31 .

Figura 8-31:

Solucion 154. Tenemos que la rotacion de la esfera producira un campo magnetico, la cual podemos calcular como

~A p~rq “µ0

4π

ż

σ~v1 dA1

|~r´~r1|

debido a la simetrıa del problema podemos escribir todo en coordenadas esfericas

dA1 “ R2 sin θ dθ1 dϕ1

~r “ rk

~r1 “ R sin θ1 cos ϕ1 ı` R sin θ1 sin ϕ1 ` R cos θ1k

donde del elemento de superficie dA proviene de lo realizado en tabla 2-1, por lo tanto

~r´~r1 “ ´R sin θ1 cos ϕ1 ı´ R sin θ1 sin ϕ1 ``

r´ R cos θ1˘

kˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “

b

pR sin θ1 cos ϕ1q2 ` pR sin θ1 sin ϕ1q2 ` pr´ R cos θ1q2

“

b

R2 sin2 θ`


` r2 ´ 2r cos θ1 ` R2 cos2 θ1

“

b

R2`

sin2 θ1 ` cos2 θ1˘

` r2 ´ 2rR cos θ1

“a

R2 ` r2 ´ 2rR cos θ1


si tenemos en cuenta que la velocidad del punto~r1al moverse en una trayectoria circular lo escribimos como

~v “ ~ωˆ~r1

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kω sin α 0 ω cos α

R sin θ1 cos ϕ1 R sin θ1 sin ϕ1 R cos θ1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´ıω cos αR sin θ1 sin ϕ1 ´ `

ω sin αR cos θ1 ´ω cos αR sin θ1 cos ϕ1˘

` kω sin αR sin θ1 sin ϕ1

“ ´ωR´

ı cos α sin θ1 sin ϕ1 ` `

sin α cos θ1 ´ cos α sin θ1 cos ϕ1˘

´ k sin α sin θ1 sin ϕ1¯

por lo tanto, al remplazar lo anterior en la ecuacion del potencial vectorial magnetico tenemos

~A p~rq “µ0

4π

ż

σ~v1 dA|~r´~r1|

“ ´µ0

4π

πż

0

2πż

0

ωRσ

»

–

´

ı cos α sin θ1 sin ϕ1 ` `

sin α cos θ1 ´ cos α sin θ1 cos ϕ1˘

´ k sin α sin θ1 sin ϕ1¯

?R2 ` r2 ´ 2rR cos θ1

fi

fl

R2 sin θ1dθ1dϕ1

si tenemos en cuenta que2πş

0cos ϕ1dϕ1 “ 0 y

2πş

0sin ϕ1dϕ1 “ 0, solo nos queda el termino

~A p~rq “ ´µ0σωR sin α

4π

πż

0

2πż

0

cos θ1R2 sin θ1dθ1dϕ1?


“ ´µ0σωR sin α

4π

πż

0

cos θ1R2 sin θ1dθ1?

R2 ` r2 ´ 2rR cos θ1ϕ1ˇ

ˇ

2π0

“ ´µ0σωR3 sin α

2

πż

0



para resolver esta integral planteamos la sustitucion u “ cos θ1 ñ du “ ´ sin θ1dθ1

πż

0


R2 ` r2 ´ 2rR cos θ1“

πż

0

u du?

R2 ` r2 ´ 2rRu

“2`

´2rRu´ 2`

R2 ` r2˘˘?

R2 ` r2 ´ 2rRu

3 p´2rRq2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

“2`

´2rR cos θ1 ´ 2`

R2 ` r2˘˘?


3 p´2rRq2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

“2`

2rR´ 2`

R2 ` r2˘˘?

R2 ` r2 ` 2rR

3 p´2rRq2´

2`

´2rR´ 2`

R2 ` r2˘˘?

R2 ` r2 ´ 2rR

3 p´2rRq2

“

`

rR´ R2 ´ r2˘ pR` rq3r2R2 `

`

rR` R2 ` r2˘ pR´ rq3r2R2

“1

3r2R2

´´

rR´ R2 ´ r2¯

pR` rq `´

rR` R2 ` r2¯

|R´ r|¯

donde usamos queş x dx?

a`bx“

2pbx´2aq?

a`bx3b2 y a “ R2 ` r2, b “ ´2rR. Es importante notar que el termino |R´ r| es

un valor absoluto, debido a que la distancia entre dos puntos se define como una cantidad positiva.

Por lo tanto

~A p~rq “ ´µ0σωR3 sin α

2

ˆ

13r2R2

´´

rR´ R2 ´ r2¯

pR` rq `´

rR` R2 ` r2¯

|R´ r|¯

˙


dado que ~ωˆ~r “ ´ωr sin α entonces

~A p~rq “µ0σR3~ωˆ~r

2

ˆ

13r3R2

´´

rR´ R2 ´ r2¯

pR` rq `´

rR` R2 ` r2¯

|R´ r|¯

˙

si consideramos el caso en que r ě R el valor absoluto lo debemos escribir como |R´ r| “ ´ pR´ rq “ ´R` r dado que|R´ r| ă 0, por lo tanto

~A p~rq “µ0σR3~ωˆ~r

2

´

13r3R2

``

rR´ R2 ´ r2˘ pR` rq ``

rR` R2 ` r2˘ p´R` rq˘

¯

“µ0σR3~ωˆ~r

2

´

13r3R2

`

rR2 ´ R3 ´ r2R` r2R´ R2r´ r3 ´ rR2 ´ R3 ´ r2R` r2R` R2r` r3˘¯

“µ0σR3~ωˆ~r

2

´

13r3R2

`

´2R3˘¯

“µ0σR4~ωˆ~r

3r3

mientras que para el caso de r ď R tenemos

~A p~rq “µ0σR3~ω ~r

2

´

13r3R2

``

rR´ R2 ´ r2˘ pR` rq ``

rR` R2 ` r2˘ pR` rq˘

¯

“µ0σR3~ω ~r

2

´

13r3R2

`

rR2 ´ R3 ´ r2R` r2R´ R2r´ r3 ` rR2 ` R3 ` r2R` r2R` R2r` r3˘¯

“µ0σR3~ω ~r

2

´

13r3R2

`

2rR2 ` 2r2R˘

¯

“µ0σR~ω ~r

3

para calcular el campo magnetico desde el potencial vectorial magnetico, reescribimos ~A en coordenadas esfericas, teniendoen cuenta que ~ωˆ~r “ ωr sin θϕ

~A p~rq “

#

µ0σR4~ω ~r3r3 “

µ0σR4ω sin θ3r2 ϕ r ě R

µ0σR~ω ~r3 “

µ0σRωr sin θ3 ϕ r ď R

finalmente, podemos calcular el campo magnetico en el interior r ď R teniendo en cuenta que

~B “ ∇ˆ ~A

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

0 0 r sin θ´

µ0σRωr sin θ3

¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ BBθ

´

µ0σRωr2 sin2 θ3

¯

r´ BBr

´

µ0σRωr2 sin2 θ3

¯

rθ

“ 23 µ0ωr2Rσ sin θ cos θr´ 2

3 µ0ωr2Rσ sin2 θθ

“ 23 µ0ωr2Rσ sin θ

`


“ 23 µ0ωr2Rσ sin θk

como vemos el campo magnetico en el interior es constante. Mientras que para el exterior es

~B “ ∇ˆ ~A

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

0 0 r sin θ´

µ0σR4ω sin θ

3r2

¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ BBθ

´

µ0σR4ω sin2 θ3r

¯

r´ BBr

´

µ0σR4ω sin2 θ3r

¯

rθ

“2µ0σR4ω sin θ cos θ

3r r` µ0σR4ω sin2 θ

3r2 θ

“µ0σR4ω sin θ

3r

´

2 cos θr` sin θr θ

¯

.


Problema 155. Calcule el potencial vectorial magnetico y el cam-po magnetico para un dipolo magnetico para el sistema que semuestra en la figura, en un punto muy lejano a donde existen lascorrientes, como se ilustra en la figura 8-32.

Figura 8-32:

Solucion 155. Partiendo de la ecuacion para potencial vectorial magnetico (8-37)

~A “µ0

4π

ż ~J`

~r1˘

|~r´~r1|dV

dado que~r1 !~r podemos reescribir el termino del denominador y expandirlo en series de Taylor como6

1|~r´~r1|

“1

?r2 ´ 2~r ¨~r1 `~r12

“1r

´

1´ 2~r ~r1

r2 `~r12r2

¯´ 12

“1r

´

1´ 12

´

´2~r ~r1

r2 `~r12r2

¯

` ...¯

“1r` ~r ~r1

r3 `~r12r3 ` ...

dado que solo nos interesan terminos que vayan hasta segundo orden al remplazar sobre el potencial vectorial tenemos

~A “µ0

4π

ż

V

~J`

~r1˘

|~r´~r1|dV

“µ0

4π

ż

V

~J`

~r1˘

ˆ

1r`~r ¨~r1

r3

˙

dV

“µ0

4π

ż

V

~J`

~r1˘

rdV `

µ0

4π

ż

V

~J`

~r1˘~r ¨~r1

r3 dV

“µ0

4πr

ż

V

~J`

~r1˘

dV `µ0

4πr3

ż

V

~J`

~r1˘

~r ¨~r1dV

en el ultimo renglon tuvimos en cuenta que estamos integrando sobre las coordenadas primadas. Si ahora tenemos encuenta el resultado de la ecuacion (2-39) en la cual demostramos que

ż

V

~Ji`

~r1˘

dV “ 0

6La expansion en series de Taylor en torno a x0 “ 0 de la funcion binomial f pxq “ p1` xqk es

p1` xqk “

8ÿ

n“0

xn

n!dn

dxn p1` xqkˇ

ˇ

ˇ

ˇ

x“x0

“10!

x0 p1` xqkˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0`

x1

1!k p1` xqk

ˇ

ˇ

ˇ

0`

x2

2!k pk´ 1q p1` xqk´2

ˇ

ˇ

ˇ

0` ...

“ 1` kx` k pk´ 1qx2

2` ...`

k!pk´ nq!

xn

n!` ... (8-38)


y que esta relacionada directamente con la ausencia de monopolos magneticos. Para analizar la segunda integral partimosde la ecuacion (2-38)

~A¨ż

V

~rJidV “ ´12

ÿ

i,j

εijk Aj

ż

V

´

~rˆ~J¯

kdV

lo cual implica que

Ai “µ0

4πr3

ż

V

~Ji`

~r1˘

~r ¨~r1dV

“µ0~r

4πr3 ¨

ż

V

~r1~Ji`

~r1˘

dV

“ ´12

ÿ

i,j

εijkµ0xj

4πr3

ż

V

´

~rˆ~J¯

kdV

“ ´µ0

4πr3

ÿ

i,j

εijkxj

¨

˝

12

ż

V

´

~rˆ~J¯

kdV

˛

‚

“ ´µ0

4πr3

ÿ

i,j

εijkxjmk

donde tuvimos en cuenta que el momento magnetico lo podemos escribir como

~m “ IA “I2

¿

C

~rˆ d~l “12

ż

V

~rˆ~J dV

si usamos que´

~aˆ~b¯

k“ř

i,j εijkaibj, podemos reescribir Ai como

Ai “ ´µ0

4πr3

ÿ

i,j

εijkxjmk “ ´µ0

4πr3 p~rˆ ~mqi

y por lo tanto, el potencial vectorial magnetico para un dipolo magnetico es

~A “µ0

4πr3 p~mˆ~rq “µ0

4π

ˆ

~mˆ~rr3

˙

(8-39)

Para calcular ahora el campo magnetico podemos partir de ~B “ ∇ˆ ~A, pero debemos antes recordar la identidad vectorial

∇ˆ´

~Aˆ ~B¯

“

´

∇ ¨ ~B¯

~A´´

∇ ¨ ~A¯

~B`´

~B ¨∇¯

~A´´

~A ¨∇¯

~B

por lo tanto~B “ ∇ˆ ~A

“ ∇ˆ µ04π

´

~mˆ ~rr3

¯

“µ04π∇ˆ

´

~mˆ ~rr3

¯

“µ04π

´´

∇ ¨ ~rr3

¯

~m´ p∇ ¨ ~mq ~rr3 `

´

~rr3 ¨∇

¯

~m´ p~m ¨∇q ~rr3

¯

teniendo en cuenta que ~m no es funcion de la posicion entonces

~B “µ04π

´´

∇ ¨ ~rr3

¯

~m´ p~m ¨∇q ~rr3

¯

dado que ∇ ¨ p~r ~r1q|~r ~r1|3

“ 4πδ`

~r´~r1˘

y en nuestro caso el dipolo magnetico esta en ~r1 “ 0 entonces ∇ ¨ ~rr3 “ 0, solo

debemos trabajar con el termino

~B “ ´µ0

4π~m ¨∇ ~r

r3 “ ´µ0

4π

ˆ

~mr3 ´

3~r p~m ¨~rqr5

˙

“µ0

4π

ˆ

3~r p~m ¨~rqr5 ´

~mr3

˙

(8-40)


donde tuvimos en cuenta lo realizado en la ecuacion (2-8).

De forma general si el dipolo magnetico esta en~r1 ‰ 0 entonces

~B p~rq “µ0

4π

˜

3`

~r´~r1˘ `

~m ¨`

~r´~r1˘˘

|~r´~r1|5´

~m|~r´~r1|3

¸

(8-41)

el cual es muy parecido en su estructura al obtenido en el calculo de un dipolo electrico (3-64)

~E p~rq “ k

˜

3~p ¨ p~r´~r´q|~r´~r´|5

p~r´~r´q ´~p

|~r´~r´|3

¸

.

Problema 156. El campo magnetico en la superficie de la tierra es aproximadamente p0.25´ 0.65qGauss. Si considera-mos que en el polo norte magnetico7 el campo magnetico es 0.65G y la tierra tiene un radio ecuatorial de 6.3781ˆ 106m.Calcule el momento de dipolo magnetico de la tierra en el polo norte y la corriente suponiendo una espira de radio terrestre.

Solucion 156. Partiendo de~B “

µ0

4π

ˆ

3~r p~m ¨~rqr5 ´

~mr3

˙

debemos despejar m para lo cual

B “µ0

4π

ˆ

3r pmr cos θq

r5 ´mr3

˙

“µ0

4π

ˆ

3 cos θ

r3 ´1r3

˙

m

ñ m “4πr3B

µ0 p3 cos θ ´ 1q“p6.3781ˆ106mq

30.65G 1T1ˆ104G

1ˆ10´7T¨A´1¨mp3 cos 11π180´1q

“ 8.6.715ˆ 1022 A ¨m2

y por lo tanto la corriente de una espira del radio de la tierra seria

I “mA“

8.6.715ˆ 1022 A ¨m2

π`

6.3781ˆ 106m˘2 “ 4.81141ˆ 108 A.

Un artıculo muy interesante que aborda este tema es Lopsided Growth of Earth’s Inner Core, Science 21 May 2010: Vol.328, Issue 5981, pp. 1014-1017 DOI: 10.1126/science.1186212.

7La diferencia entre el polo magnetico y el polo norte (eje de rotacion de la tierra) es aproximadamente 11°

Capıtulo 9

Campos magneticos en la materia

Como lo sabemos cualquier elemento de materia se compone por atomos y estos estan compuestos por elec-trones que orbitan alrededor del nucleo constituido por protones y neutrones. Estos electrones producirıan uncampo magnetico debido a corrientes microscopicas como se ilustra de forma sencilla y didactica1 en la figura9-1

Figura 9-1: Equivalencia en la creacion de campos magneticos para diferentes escenarios de cargas en movi-miento.

Para analizar el efecto del campo magnetico externo en un atomo de forma clasica, partiremos del atomo massencillo, el cual es el atomo de hidrogeno. Si suponemos que el electron describe una trayectoria circular deradio R, podemos emplear la ecuacion de la fuerza de Lorentz (8-3)

~Ftotal p~rq “ q~E p~rq ` q~v p~rq ˆ ~B p~rq

mev2

R“ e

´

ke

R2

¯

` 0

ñv2

Rme “ k

e2

R2

donde ~E p~rq es el campo electrico donde esta inmerso el electron, el cual es el campo electrico generado por elproton.

Si ahora colocamos un campo magnetico perpendicular al plano de la orbita del electron la fuerza total nos1Para analizar el comportamiento de un electron en un atomo es necesario recurrir a la mecanica cuantica, lo cual esta completamente

fuera del alcance de este texto. Sin embargo, podemos decir que el comportamiento de un electron en un atomo se describe por orbitales,los cuales son mas una distribucion de probabilidad que una orbita definida como lo representamos en la figura 9-1 la cual es solo unaaproximacion didactica de lo que sucede en un atomo.

275

276 9 Campos magneticos en la materia

queda como~Ftotal p~rq “ q~E p~rq ` q~v p~rq ˆ ~B p~rq

mev12

R“ e

´

ke

R2

¯

` ev1B

mev12

R“ me

v2

R` ev1B

me

R

´

v12 ´ v2¯

“ ev1B`

v1 ` v˘ `

v1 ´ v˘

“Rme

ev1B`

v1 ´ v˘

“R

pv1 ` vqmeev1B

es importante resaltar que el campo magnetico no esta cambiando la velocidad del electron ya que el campomagnetico no realiza trabajo, la velocidad cambia debido al campo electrico exclusivamente. Si definimos ∆v “v1 ´ v y consideramos que ∆v es muy pequena, lo cual implica que v1 ` v es aproximadamente 2v1entonces

∆v “eBR2me

.

Dado que el movimiento del electron es circular, tenemos que

ω “ 2π fvR

“2π

Tñ T “ 2πR

v

por lo tanto

I “dqdt“ ´

eT“ ´

e2πR

v“ ´

ev2πR

estas corrientes microscopicas generaran dipolos magneticos microscopicos, remplazando lo anterior en laecuacion (8-15) obtenemos

~m “ I ~A “ ´ev

2πR

´

πR2¯

k “ ´12

evRk

al introducir este sistema en un campo magnetico, el dipolo magnetico sera

4~m “ ´12

eR∆vk “ ´12

eRˆ

eBR2me

˙

k “ ´e2BR2

4mek

un aspecto interesante del resultado anterior es que la direccion del dipolo magnetico es contrario a la direcciondel campo magnetico.

9.1. Hipotesis de Ampere

Como podemos recordar del caso electrostatico, en el cual al someter un dielectrico a un campo electricoexterno ~Eext, el resultado era un campo de polarizacion del dielectrico ~E1 y por lo tanto, el campo resultanteera

~E “ ~Eext ` ~E1.

Esto mismo sucedera para el caso de una substancia magnetica que se encuentre inmersa en un campo magneti-co ~Bext, de tal forma, que la substancia magnetica adquirira un estado especial el cual se denomina estado demagnetizacion ~B1

~B “ ~Bext ` ~B1

9.1 Hipotesis de Ampere 277

un aspecto interesante es que ~Bext es creado por densidades de corriente macroscopicas~J f , termino que agrupa

las densidades de corriente libres o de conduccion~Jcond, de polarizacion B~PBt y de desplazamiento B~E

Bt . Mientrasque ~B1 se debe a densidades de corrientes microscopicas creadas por las moleculas de la substancia magnetica(efectos atomicos) ~Jm. Estas corrientes microscopicas en algunos textos denominadas corrientes amperianas, fuela hipotesis de Ampere y la cual en su momento resulto bastante revolucionaria, dado que no se tenıan losconceptos contemporaneos de atomos y moleculas, y lo que sugerıa Ampere era que el magnetismo de lamateria provenıa de corrientes atomicas circulares (esto fue expuesto de forma muy sencilla en la seccionanterior). De forma tal que la ley de Ampere con medios magneticos la podemos escribir como

¿

C

~B ¨ d~S “ µ0

ż

S

~J f ¨ ndA` µ0

ż

S

~Jm ¨ ndA.

Sin embargo, el calculo de las corrientes atomicas es complicado, debido a que dependen del punto de referen-cia y que es imposible analizar atomo a atomo. Por lo tanto, es mas sencillo analizar el promedio de muchosatomos. Para ello es conveniente emplear el vector magnetizacion, el cual tiene un rol analogo al vector de po-larizacion en electrostatica y por ello podemos pensar en un material magnetizable en funcion de sus dipolosmagneticos.

Definimos el vector de magnetizacion, el cual es por lo general funcion de la posicion como

~M “1V

nÿ

i

~mi “d~mdV

donde ~m es el momento dipolar magnetico y tendra unidades de“

A ¨m´1‰. Otra forma de definir la magneti-zacion es

~M “κm

µ~B “ κm~H

donde κm se denomina susceptibilidad magnetica volumetrica del medio y da cuenta de la sensibilidad delmaterial al campo magnetico, mientras que ~H se define como la intensidad del campo magnetico (en algunostextos lo denominan vector de excitacion magnetica del medio magnetico), esto es

~B “ µ~H, (9-1)

donde µ es la permeabilidad magnetica del medio en el punto dado. Por lo tanto, el termino ~H se introducepara describir la influencia del campo magnetico en el medio. Ası entonces podemos escribir

~J f “1µ

´

∇ˆ ~B¯

“ ∇ˆ ~H,

de forma que en medios materiales tenemos

~Jm “ ∇ˆ ~M,

donde ~Jm es la densidad de corriente volumetrica latente o densidad de corriente volumetrica de magnetiza-cion, por lo tanto

∇ˆ˜

~Bµ0

¸

“ ~J f `~Jm “ ~J,

ası entonces~B “ µ0

´

~H ` ~M¯

,

la cual es una relacion valida para cualquier tipo de material incluso anisotropicos como los cristales, paramateriales lineales e isotropos tenemos

~B “ µ0

´

~H `κm~H¯

“ µ0 p1`κmq ~H “ µ~H,


podemos escribir~B “ µ0µr ~H,

donde µr es la permeabilidad relativa del material, la cual es una relacion valida para todo tipo de materialesy ası

µr “ 1`κm “µ

µ0.

La magnetizacion o la no-magnetizacion de un material se determina mediante las cantidades κm y µr . Asıentonces, un material es no magnetico si κm “ 0, lo cual es equivalente a decir que µr “ 1 y sera consideradomagnetico si κm ‰ 0. La forma en que responden los cuerpos a un campo magneticos nos lleva a tres grandestipos de materiales:

Paramagneticos

Diamagneticos

Ferromagneticos

Los dos primeros tienen usualmente una respuesta lineal y no dependen de la historia del material, mientrasque para los materiales ferromagneticos la respuesta es no lineal y dependen de la historia del material.

9.1.1. Paramagnetismo pκm ą 0, µr À 1q

Esta presente en materiales cuyos atomos o moleculas tienen momento magnetico y el cual es generado porlos electrones de las capas mas externas del atomo2. Estos momentos magneticos estan completamente endesorden debido al movimiento termico en el material.

Al aplicar un campo magnetico externo, el angulo promedio entre los momentos magneticos y la direccion del~B depende de la energıa potencial de los momentos en el campo y la energıa termica. El torque generado porun dipolo magnetico viene dado por3

~τ “ ~mˆ ~B,

esta forma funcional del torque es identica a la que se encontro para el caso electrostatico (3-19), donde ~τ “~pˆ~E. Al igual que en el caso electrostatico, este torque es de tipo restaurador, de modo que tiende a alinear a laespira en la direccion paralela al campo ~B. Aunque la alineacion no sera perfecta debido a los efectos termicosy a las interacciones con atomos vecinos.

Sin embargo, la mayor contribucion al ~Pm proviene del momento dipolar intrınseco (momento magnetico deespın ~µs), y dado que el principio de exclusion de Pauli en mecanica cuantica “organiza” a los electrones enpares con valor opuesto de ~µs. Existe una cancelacion de estos torques a menos que el numero de electronessea impar y por lo tanto, el fenomeno del paramagnetismo se observa generalmente en atomos con numeroimpar de electrones. La susceptibilidad magnetica depende de la ley de Curie como

κm “ cσ

T(9-2)

2Se podrıa decir que el electron como partıcula no produce una corriente estacionaria. Sin embargo, si reemplazamos esta vision porla de una nube electronica podemos ver al electron como una esfera rotante de carga de alta frecuencia. Y por tanto puede en promediomantener una corriente estacionaria.

3Cuando los materiales alınean en promedio sus momentos dipolares en la direccion paralela al campo tenemos materiales para-magneticos.


donde σ es la densidad del material y T es la temperatura absoluta. Algunos valores de la susceptibilidadmagnetica para materiales paramagneticos a T “ 20˝C, como se presentan en la tabla 9-1

Material κm

O2 1.8ˆ 10´8

Pt 2.7ˆ 10´5

Al 2.1ˆ 10´5

Tabla 9-1: Algunos valores de la susceptibilidad magnetica para materiales paramagneticos a T “ 20˝C.

Es importante anotar, que el estado en el cual todos los momentos poseen el menor angulo posible con respectoal ~B se denomina saturacion magnetica.

9.1.2. Diamagnetismo pκm ă 0, µr À 1q

Se presenta en materiales cuyos campos magneticos debido a los movimientos electronicos de orbitacion yrotacion se anulan entre sı. Y por lo tanto, el momento magnetico permanente o intrınseco es cero para cadaatomo. A temperaturas cercanas a 0K para materiales superconductores, tenemos que κm “ ´1 ” µr “ 1y ~B “ 0 y en consecuencia los superconductores no pueden tener campos magneticos. Algunos ejemplos demateriales diamagneticos son: el agua, el bismuto metalico, el hidrogeno, gases nobles, el cloruro de sodio, elcobre, el oro, el silicio, el germanio, el grafito, el bronce y el azufre, como se presentan en la tabla 9-2

Material κm

H2 ´2.3ˆ 10´9

H2O ´1.2ˆ 10´5

N2 ´0.7ˆ 10´8

Ag ´2.5ˆ 10´5

Tabla 9-2: Algunos valores de la susceptibilidad magnetica para materiales diamagneticos a T “ 0˝C.

El fenomeno de induccion sobre la espira microscopica que tiene lugar en el diamagnetismo es menor enmagnitud que el que se obtiene para materiales paramagneticos. Sin embargo, el paramagnetismo se ve usual-mente muy apantallado en atomos con numero par de electrones como lo expresamos anteriormente y paratales casos es el diamagnetismo el fenomeno relevante.

Los fenomenos diamagnetico y paramagnetico, son mucho mas debiles y por tanto la materia ordinaria noproduce un fenomeno de imanacion apreciable macroscopicamente, salvo con instrumentos muy sensibles.

9.1.3. Ferromagnetismo pκm " 0, µr " 1q

Este fenomeno al igual que el paramagnetismo, se debe a la alineacion de espines en electrones desapareados.Pero la diferencia es que existen fuertes correlaciones entre los momentos magneticos vecinos de manera queun dipolo tiende a alinearse paralelamente a sus vecinos.

El origen de esta correlacion se debe a la mecanica cuantica. Sin embargo, esta alineacion solo ocurre en pe-quenas regiones conocidas como dominios magneticos, pero dado que los dominios estan orientados de formaaleatoria el efecto macroscopico generado de estos campos es cero. Sin embargo, si colocamos una pieza de


este tipo de material en un campo magnetico intenso, se generara un torque que tendera a alinear a los dipolosa lo largo del campo magnetico, pese a la resistencia al cambio debido a las fuertes correlaciones del dominio.

Otro aspecto interesante, es que en la frontera entre dos dominios hay tensiones entre los dipolos de uno u otrodominio debido a que estan orientados de forma diferente, y el torque tiende a favorecer al lado de la fronteraen donde los dipolos tienen una direccion mas cercana a la del campo. De modo que se modifican las fronterasde los dominios tal que crecen los dominios paralelos al campo en tanto que los otros decrecen. De hecho,cuando el campo es muy intenso podemos tener un solo dominio en el material, llegando a la saturacion. Elfenomeno de orientacion de dominio no es completamente reversible, ya que, si cesa el campo externo, serecupera parte de la aleatoriedad de los dominios, pero hay una clara preponderancia de los dominios en ladireccion del campo externo haciendo que el objeto permanezca magnetizado.

Un material ferromagnetico puede perder la orientacion de sus dominios y convertirse en un material para-magnetico, si la temperatura del material sube por encima de la temperatura de Curie la cual depende de cadamaterial como lo vemos en la tabla 9-3, un aspecto interesante es que la temperatura de Curie es menor que latemperatura de fusion, la cual depende de acoplamiento ferromagnetico entre los atomos.

κm “ cσ

T´ Tc(9-3)

Material κm Temperatura de Curie Tc p°Cq Temperatura de fusion Tf p°CqFe 1ˆ 106 774 1539Co 1ˆ 106 1131 1084Ni 1ˆ 106 372 1455

Tabla 9-3: Algunos valores de la susceptibilidad magnetica y la temperatura de Curie.

Las propiedades magneticas de los materiales ferromagneticos dependeran de la composicion del material,que sea una sustancia policristalina4 o un monocristal y del tratamiento termico y magnetico al que se ha so-metido el material. Sin embargo, hay dos clases generales de materiales ferromagneticos : duros y suaves. Losmateriales ferromagneticos duros pueden mantener su magnetizacion aunque no haya corriente magnetiza-ble, un ejemplo de este tipo de imanes, es el iman de neodimio el cual esta constituido por una aleacion deneodimio, hierro y boro (Nd2Fe14B) con una magnetizacion cercana a 1T y una temperatura de Curie de apro-ximadamente 350˝C, este es el iman actualmente de mayor potencia fabricado. Mientras que los materialessuaves pierden casi toda su magnetizacion si no hay corriente magnetizable. Es de aclarar que el termino duroo suave no hace ninguna referencia a su maleabilidad.

9.1.4. Histeresis magnetica

Un efecto importante en los materiales ferromagneticos es la histeresis magnetica, la cual consiste en queel campo magnetico no solo depende del valor de la excitacion magnetica del campo magnetizador en unmomento dado, sino tambien de la excitacion que hubo anteriormente. Una aplicacion de este hecho es elalmacenamiento de informacion en los discos duros, ya que el campo magnetico induce una magnetizacion,que se codifica como un 0 o un 1 en las regiones del disco. Esta codificacion permanece en ausencia de campo,y puede ser leıda posteriormente, pero tambien puede ser invertida aplicando un campo en sentido contrario.

4Un material policristalino es un agregado de pequenos cristales de cualquier sustancia, cuyas propiedades depende de su tamano,orientacion cristalografica y estructura entre otras caracterısticas.


La histeresis se produce al someter al nucleo o a la sustancia ferromagnetica a un campo magnetico alterno,debido a este campo magnetico los dipolos atomicos del material giraran para orientarse segun el sentido delcampo magnetico. Al decrecer la intensidad del campo magnetico muchos de los dipolos atomicos recuperansu posicion inicial, sin embargo, otros no llegan a alcanzarla debido a efectos de friccion, conservando enmayor o menor grado parte de su orientacion forzada, haciendo que tengamos un magnetismo remanente, elcual se manifiesta como induccion magnetica.

Figura 9-2: Magnetizacion en funcion de la excitacion magnetica para un medio ferromagnetico dentro de untoroide. La lınea roja representa la magnetizacion de un material duro, la lınea azul representa un materialblando y la lınea verde la primera magnetizacion del material.

Si tenemos en cuenta que~B “ µ0

´

~H ` ~M¯

haremos el analisis de la magnetizacion en funcion de la intensidad magnetica, para ello, consideraremos unabobina toroidal, la cual tiene un nucleo con una sustancia ferromagnetica y analizaremos la dependencia dela magnetizacion ~M de la muestra toroidal respecto a la excitacion magnetica del medio ~H. Si suponemos quela sustancia ferromagnetica no esta inicialmente imantada y que H “ 0, estaremos en el punto O como seilustra en la figura 9-2, en el cual H “ M “ 0, si aumenta H debido al aumento de la corriente en la bobina,los momentos atomicos en la sustancia ferromagnetica se comenzaran a alinear con el campo provocando elaumento de M, el cual es inicialmente lineal, pero luego cambia en la medida que se llega a la magnetizacionde saturacion Ms (punto A) el cual consiste en la alineacion de todos los dipolos de la sustancia en la direccionde ~H. Si a partir de ese punto se reduce el campo H estaremos en la trayectoria AB y al llegar al punto B,tenemos que aunque H “ 0, gran parte de los dipolos mantienen su alineacion denominada magnetizacionremanente Mr y lo que tenemos ahora en la sustancia ferromagnetica es un iman permanente.

Si invertimos el sentido de la corriente, tendremos una inversion en la direccion de ~H, llegando hasta el puntoC, el cual se denomina campo coercitivo Mc en el cual la magnetizacion de la sustancia ferromagnetica se hacecero luego de que la muestra ha sido magnetizada hasta saturacion. De tal forma que para valores mayoresde ~H la magnetizacion se hace negativa llegando al punto D el cual es opuesto al punto A. Si nuevamente seaumenta ~H haremos la trayectoria DEFA.

Las perdidas por histeresis representan una perdida de energıa que se manifiesta en forma de calor en lasustancia ferromagnetica y esto hace que se reduzca el rendimiento del dispositivo. Con el fin de reducir almaximo estas perdidas, los nucleos se construyen de materiales magneticos de caracterısticas especiales, comopor ejemplo acero y silicio. Un aspecto interesante es que la perdida de potencia es directamente proporcional


al area de la curva de histeresis.

9.2. Densidades de corriente de magnetizacion

Partiendo de la definicion del potencial vectorial magnetico (8-37), podemos incluir el termino debido a lamagnetizacion

~A`

~r1˘

“µ0

4π

ż ~J`

~r1˘

|~r´~r1|dV “

µ0

4π

ż

«

~J f`

~r1˘

|~r´~r1|`

~Mˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

ff

dV

si tenemos en cuenta que ∇´

1|~r ~r1|

¯

“ ´ ~r ~r1

|~r ~r1|3y que ∇1

´

1|~r ~r1|

¯

“ ~r ~r1

|~r ~r1|3podemos remplazar esto en la

relacion anterior

~A`

~r1˘

“µ0

4π

ż

«

~J f`

~r1˘

|~r´~r1|`

~Mˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

ff

dV “µ0

4π

ż

«

~J f`

~r1˘

|~r´~r1|` ~Mˆ∇1

ˆ

1|~r´~r1|

˙

ff

dV (9-4)

dado que ∇ˆ´

f~F¯

“ ∇ f ˆ ~F` f ∇ˆ ~F y por lo tanto

∇1 ˆ´

~M|~r ~r1|

¯

“ ∇1´

1|~r ~r1|

¯

ˆ ~M`

´

1|~r ~r1|

¯

∇1 ˆ ~M

ñ ~Mˆ∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

“ ´∇1 ˆ˜

~M|~r´~r1|

¸

`∇1 ˆ ~M|~r´~r1|

debemos integrar ahora sobre el volumen, para ello recordando el teorema de Stokes¿

sup

nˆ ~FdS “ż

V

´

∇ˆ ~F¨¯

dV

ż

V

~Mˆ∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV “

ż

V

∇1 ˆ ~M|~r´~r1|

dV ´ż

V

∇1 ˆ˜

~M|~r´~r1|

¸

dV

“

ż

V

∇1 ˆ ~M|~r´~r1|

dV ´¿

sup

nˆ

˜

~M|~r´~r1|

¸

dS

“

ż

V

∇1 ˆ ~M|~r´~r1|

dV `¿

sup

˜

~Mˆ n|~r´~r1|

¸

dS

donde S es la superficie que encierra el volumen V. Remplazando lo anterior en la ecuacion del potencialvectorial magnetico (9-4) tenemos

~A`

~r1˘

“µ0

4π

ż

«

~J f`

~r1˘

|~r´~r1|` ~Mˆ∇1

ˆ

1|~r´~r1|

˙

ff

dV

“µ0

4π

ż

V

~J f`

~r1˘

|~r´~r1|dV `

µ0

4π

ż

V

∇1 ˆ ~M|~r´~r1|

dV `µ0

4π

¿

sup

˜

~Mˆ n|~r´~r1|

¸

dS,

de forma que, podemos definir dos nuevos terminos

~JM “ ∇1 ˆ ~M Ñ Densidad de corriente volumetrica de magnetizacion~JS “ ~Mˆ n Ñ Densidad de corriente superficial de magnetizacion

(9-5)

y por lo tanto

~A`

~r1˘

“µ0

4π

ż

V

~J f`

~r1˘

|~r´~r1|dV `

µ0

4π

ż

V

~JM|~r´~r1|

dV `µ0

4π

¿

sup

~JS|~r´~r1|

dS (9-6)

9.2 Densidades de corriente de magnetizacion 283

si consideramos que tomamos todo el volumen, lo cual implica que este tiende a infinito, la integral de super-ficie se hace cero y por lo tanto solo quedamos con

~A`

~r1˘

“µ0

4π

ż

V

˜

~J f`

~r1˘

|~r´~r1|`

~JM|~r´~r1|

¸

dV.

Si tenemos en cuenta la ecuacion de Ampere-Maxwell, debemos entonces incluir el nuevo termino provenientede la densidad de corriente de magnetizacion

∇ˆ ~B “ µ0~J ` µ0ε0B~EBt “ µ0

´

~Jcond `~JM `B~PBt

¯

` µ0ε0B~EBt

de forma que, al incluir todos estos terminos, estamos suponiendo que el medio magnetizable, tambien es unmaterial dielectrico y conductor. Por facilidad podemos considerar que los campos varıan lentamente en eltiempo de tal forma que los terminos de la forma B

Bt son despreciables con respecto a los demas terminos

∇ˆ ~B “ µ0

´

~Jcond `~JM

¯

“ µ0

´

~Jcond `∇ˆ ~M¯

ñ ∇ˆ´

~B´ µ0 ~M¯

“ µ0~Jcond

∇ˆ ~H “ ~Jcond

donde hemos definido

~H “~Bµ0´ ~M (9-7)

Problema 157. Una esfera de radio R de material magnetico, esta magnetizada uniformemente en la direccion ~M “ Mk,calcule las densidades de corriente de magnetizacion.

Solucion 157. Partiendo de la ecuacion (9-5), la densidad volumetrica de magnetizacion es

~JM “ ∇ˆ ~M “ ∇ˆMkñ ~JM “ 0

debido a que M es una constante. Mientras que para el caso de la densidad de corriente superficial de magnetizaciontenemos~JS “ ~Mˆ n donde el vector normal sera k “ cos θr´ sin θθ, por lo tanto

~JS “ ~Mˆ n “ Mkˆ r“ M

`


ˆ r

“ M

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r θ ϕ

cos θ ´ sin θ 01 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ M sin θϕ.

9.2.1. Potencial escalar magnetico

Para analizar el potencial escalar magnetico podemos partir de la ecuacion (9-7) ~H “~Bµ0´ ~M, y debido a que

el potencial magnetico esta definido solamente en regiones del espacio donde no hay corrientes ~J “ 0, la leyde Ampere queda como

∇ˆ ~H “ 0

dado que ∇ ˆ ∇ f “ 0, podemos definir ~H “ ´∇φM, donde φM sera el potencial escalar magnetico. Enparticular, en medios lineales, isotropos y homogeneos, tenemos

∇ ¨ ~B “ ∇ ¨´

µ~H¯

“ µ∇ ¨ p´∇φMq “ ´µ∇2φM “ 0


ası,

∇2φM “ 0.

Al cumplir el potencial escalar magnetico la ecuacion de Laplace, podemos emplear los mismos procedimien-tos en la solucion empleados en el capıtulo 4. sin embargo, una diferencia importante con el potencial elec-trostatico, es que el potencial escalar magnetico es netamente una herramienta matematica y por lo tanto, nodebe cumplir las condiciones de unicidad tan importantes en la solucion de problemas electrostaticos.

Para medios no isotropos, no lineales y no homogeneos podemos emplear el concepto de potencial escalarmagnetico, siempre y cuando como ya lo hemos expresado, no existan las distribuciones de corriente en laregion de interes, pero si su magnetizacion

∇ ¨ ~B “ ∇ ¨ µ´

~H ` ~M¯

“ µ∇ ¨´

´∇φM ` ~M¯

“ ´µ∇2φM ` µ∇ ¨ ~Mñ ∇2φM “ ∇ ¨ ~M “ ´ρM

donde ρM se define como una densidad volumetrica de “carga” de magnetizacion, es importante anotar queeste termino es solo una herramienta matematica al igual que el potencial escalar magnetico y por lo tantono estamos postulando carga magnetica. La “carga” de magnetizacion podemos calcularla como teniendo encuenta el teorema de la divergencia

ż

ρMdV “ ´

ż

∇ ¨ ~M dV “ ´

ż

~M ¨ ndS “ ´ż

σMdS

donde hemos definido σM “ ~M ¨ n como una “carga” superficial de magnetizacion, y por lo tanto

ż

ρMdV `ż

σMdS “ 0.

La solucion a la ecuacion de Poisson

∇2φM “ ´ρM

en analogıa al caso electrostatico

φM “

ż

ρM|~r´~r1|

dV1 `ż

σM|~r´~r1|

dS1 “ ´ż ∇1 ¨ ~M

`

~r1˘

|~r´~r1|dV1 `

ż ~M`

~r1˘

¨ n1

|~r´~r1|dS1

donde la integral volumetrica corresponde a la solucion homogenea, en tanto que la integral de superficie esla solucion inhomogenea. Reescribiendo la relacion anterior tenemos

φM “ ´

ż ∇1 ¨ ~M`

~r1˘

|~r´~r1|dV1 `

ż ~M`

~r1˘

¨ n1

|~r´~r1|dS1

“ ´

ż

∇1 ¨˜

~M`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

dV1 `ż

~M`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV1 `ż ~M

`

~r1˘

¨ n1

|~r´~r1|dS1

empleando el teorema de la divergencia en el terminoż

V

∇1 ¨˜

~M`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

dV1 “¿

sup

˜

~M`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

¨ ndS y rempla-

9.2 Densidades de corriente de magnetizacion 285

zando obtenemos

φM “ ´

ż

∇1 ¨˜

~M`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

dV1 `ż

~M`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV1 `ż ~M

`

~r1˘

¨ n1

|~r´~r1|dS1

“ ´

¿

sup

˜

~M`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

¨ ndS`ż

~M`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV1 `ż ~M

`

~r1˘

¨ n1

|~r´~r1|dS1

“

ż

~M`

~r1˘

¨∇1ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV1

“ ´

ż

~M`

~r1˘

¨∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV1

“ ´∇ ¨ż

˜

~M`

~r1˘

|~r´~r1|

¸

dV1

si suponemos que~r "~r1 el termino anterior lo podemos escribir como

φM « ´∇ˆ

1~r

˙

¨

ż

~M`

~r1˘

dV1 “~m ¨~rr3 ,

donde ~m es el momento magnetico total. Podemos ver que este resultado es equivalente al potencial escalar deun dipolo electrico el cual es φ p~rq “ k~p ~rr3 , donde ~p es el momento dipolar electrico.

Problema 158. Demuestre que el potencial escalar magnetico para un dipolo magnetico esta dado por

φM “1

4π

~m ¨~rr3 .

Solucion 158. Para demostrar que este termino corresponde al potencial escalar magnetico para un dipolo magnetico;podemos calcular el campo magnetico a partir del potencial escalar y compararlo con el resultado (8-40). Partiendo de ladefinicion ~H “ ´∇φM y dado que ~B “ µ~H entonces

~B “ µ~H

“ ´µ∇ˆ

14π

~m ¨~rr3

˙

“ ´µ

4π

ˆ

1r3∇ p~m ¨~rq ` p~m ¨~rq∇

ˆ

1r3

˙˙

“ ´µ

4π

ˆ

1r3 pp~m ¨∇q~r` ~mˆ p∇ˆ~rq ` p~r ¨∇q ~m`~rˆ p∇ˆ ~mqq ` p~m ¨~rq∇

ˆ

1r3

˙˙

donde tuvimos en cuenta que ∇´

~F ¨ ~G¯

“

´

~F ¨∇¯

~G` ~Fˆ´

∇ˆ ~G¯

`

´

~G ¨∇¯

~F` ~Gˆ´

∇ˆ ~F¯

y dado que ~m nodepende de~r entonces todas las derivadas de ~m seran cero y dado que ∇ˆ~r “ 0, al remplazar en la ecuacion anteriorobtenemos

~B “ ´µ

4π

ˆ

1r3 p~m ¨∇q~r` p~m ¨~rq∇

ˆ

1r3

˙˙

(9-8)


p~m ¨∇q~r “

ˆ

´

mx ı`my `mz k¯

¨

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙˙

´

xı` y ` zk¯

“

ˆ

mxB

Bx`my

B

By`mz

B

Bz

˙

´

xı` y ` zk¯

“ mx ı`my `mz k


remplazando este resultado en la ecuacion (9-8)

~B “ ´µ

4π

ˆ

1r3 p~m ¨∇q~r` p~m ¨~rq∇

ˆ

1r3

˙˙

“ ´µ

4π

ˆ

~mr3 ` p~m ¨~rq

ˆ

´3~rr5

˙˙

“µ

4π

ˆ

3 p~m ¨~rq~rr5 ´

~mr3

˙

el cual es el campo magnetico obtenido en (8-40).

Parte IV

Ecuaciones de Maxwell y leyes deconservacion

287

Capıtulo 10

Ecuaciones de Maxwell

10.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacıo

Las ecuaciones de Maxwell son una forma simplificada de resumir todo el electromagnetismo. De forma inte-gral y diferencial las ecuaciones de Maxwell en el vacıo (lo que equivale a decir que no hay cargas electricas nicorrientes electricas en esa region del espacio), se pueden escribir como:

¿

S

~E ¨ d~A “ 0 Ley de Gauss electrostatica ∇ ¨ ~E “ 0,

¿

S

~B ¨ d~A “ 0 Ley de Gauss para magnetostatica ∇ ¨ ~B “ 0,

¿

~E ¨ d~ “ ´dΦM

dtLey de Faraday ∇ˆ ~E “ ´B~B

Bt ,¿

C

~B ¨ d~ “ ε0µ0dΦEdt

Ley de Ampere-Maxwell ∇ˆ ~B “ µ0ε0B~EBt .

Mientras que si tenemos fuentes de carga y de corriente las ecuaciones de Maxwell seran:¿

S

~E ¨ d~A “qinε0

Ley de Gauss electrostatica ∇ ¨ ~E “ ρε0

,

¿

S

~B ¨ d~A “ 0 Ley de Gauss para magnetostatica ∇ ¨ ~B “ 0,

¿

~E ¨ d~ “ ´dΦM

dtLey de Faraday ∇ˆ ~E “ ´B~B

Bt ,¿

C

~B ¨ d~ “ µ0 I ` ε0µ0dΦEdt

Ley de Ampere-Maxwell ∇ˆ ~B “ µ0~J ` µ0ε0B~EBt .

Un complemento de las relaciones anteriores es la ecuacion de continuidad

Bρ

Bt`∇ ¨~J “ 0 (10-1)

la cual es deducible de las ecuaciones de Maxwell gracias a la inclusion de la corriente de desplazamiento.

289

290 10 Ecuaciones de Maxwell

Es importante tener en cuenta que un campo vectorial esta completamente especificado si se conoce la diver-gencia, el rotacional y las condiciones de frontera. Por ello las ecuaciones de Maxwell determinan completa-mente la dinamica de los campos si se conocen las condiciones de frontera. Aunque es mas facil conocer lascondiciones de frontera de los potenciales vectorial y escalar, por lo cual escribir las ecuaciones de Maxwell enterminos de ~A y φ suelen ser mas util.

Otro aspecto interesante es la hermosa simetrıa que tienen las ecuaciones de Maxwell en ausencia de fuentespJ “ ρ “ 0q entre los terminos de campo electrico y campo magnetico. Sin embargo, al momento de introducirfuentes las ecuaciones de Maxwell estas ya no son simetricas, esto se debe a la ausencia de cargas magneticasy corrientes generadas por dichas cargas. Un analisis basico de las ecuaciones de Maxwell es el siguiente:

La ley de Gauss para el campo electrico es fundamentalmente la ley de Coulomb mas el principio desuperposicion y nos revela la existencia de cargas electricas en el sentido de que las lıneas de campocomienzan o terminan en tales cargas. Esta ley es valida ya sea para campos estaticos o dinamicos.

La ley de Gauss para el magnetismo nos revela la ausencia de carga magnetica lo cual es equivalente ala ausencia de monopolos magneticos. Debido a que las lıneas de campo magnetico se cierran siempresobre si mismas.

La ley de Faraday implica que un campo electrico puede ser inducido por la variacion en el tiempo deun campo magnetico. Adicionalmente, que un cambio de flujo sobre un lazo cerrado produce una fuerzaelectromotriz que se opone a dicho cambio, de modo que el signo menos es mucho mas que una meraconvencion, ya que si el signo fuera positivo tendrıamos crecimiento indefinido del flujo.

La ley de Ampere-Maxwell nos indica que un campo magnetico es inducido por corrientes y/o porcampos electricos que varıan en el tiempo. Un termino importante es el de la corriente de desplazamientoB~EBt , el cual hace que las ecuaciones de Maxwell sean compatibles con la ecuacion de continuidad. Estaecuacion tiene otros aspectos importantes:

• La derivada temporal del campo electrico no tiene signo menos en la ley de Ampere-Maxwell, debi-do a que la “fuerza magnetomotriz” que se introducirıa en la formulacion integral no puede realizartrabajo y por tanto no compromete la estabilidad de la materia.

• El campo electrico se puede separar en dos terminos ~E “ ~Eind ` ~Egen donde ~Eind es el campo indu-cido por la variacion temporal del campo magnetico, este campo es transversal ya que ∇ ¨ ~Eind “ 0,mientras que ~Egen es el campo generado por las cargas y es un campo longitudinal ya que∇ˆ~Egen “

0. En consecuencia, la ley de Gauss electrostatica y la ley de Faraday se podrıan escribir en terminosdel campo ~Egen y ~Eind respectivamente.

• Mientras que el campo magnetico es puramente inducido y transversal dado que no tenemos un~Bgen.

Finalmente, si tenemos cargas estacionarias tenemos campos electrostaticos, con corrientes estacionarias tene-mos campos magnetostaticos y si tenemos corrientes variables en el tiempo tendremos campos electromagneti-cos.

Problema 159. Un campo inducido esta expresado de la forma

~E p~r, tq “1

4π

ż

V

`

~r´~r1˘

ˆ9~B`

~r1, t˘

|~r´~r1|3dV (10-2)

donde 9~B “ B~BBt verifique si la ley de Gauss y la ley de Ampere son respetadas por el campo anterior.

10.1 Ecuaciones de Maxwell en el vacıo 291

Solucion 159. Debido a que no tenemos cargas libres, el campo electrico inducido sera∇ ¨ ~E “ 0 y por lo tanto debemosde calcular

∇ ¨ ~E p~r, tq “ ∇ ¨

¨

˝

14π

ż

V

`

~r´~r1˘

ˆ9~B`

~r1, t˘

|~r´~r1|3dV

˛

‚“1

4π

ż

V

∇ ¨`

~r´~r1˘

ˆ9~B`

~r1, t˘

|~r´~r1|3dV

teniendo en cuenta la identidad ∇ ¨´

~Aˆ ~B¯

“

´

∇ˆ ~A¯

¨ ~B´ ~A ¨´

∇ˆ ~B¯

y remplazando sobre el termino anterior

∇ ¨˜

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3ˆ

9~B`

~r1, t˘

¸

“

˜

∇ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

¨9~B`

~r1, t˘

´

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3¨

´

∇ˆ 9~B`

~r1, t˘

¯

dado que 9~B`

~r1, t˘

depende de~r1, esto implica que es independiente de~r y por lo tanto ∇ˆ 9~B`

~r1, t˘

“ 0. Mientras quepara el termino

∇ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBX

BBY

BBZ

X

pX2`Y2`Z2q32

Y

pX2`Y2`Z2q32

Z

pX2`Y2`Z2q32

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ı

¨

˝

B

BYZ

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32´B

BZY

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚´

¨

˝

B

BXZ

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32´B

BZX

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚

`k

¨

˝

B

BXY

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32´B

BYX

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚

“ ı

¨

˝´3YZ

`

X2 `Y2 ` Z2˘

52` 3Z

Y`

X2 `Y2 ` Z2˘

52

˛

‚´

¨

˝´3XZ

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32` 3Z

X`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚

`k

¨

˝´3XY

`

X2 `Y2 ` Z2˘

32` 3Y

X`

X2 `Y2 ` Z2˘

32

˛

‚“ 0

donde tomamos X “`

x´ x1˘

, Y “`

y´ y1˘

y Z “`

z´ z1˘

. Por lo tanto, al remplazar los resultados anterioresobtenemos

∇ ¨˜

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3ˆ

9~B`

~r1, t˘

¸

“ 0

de tal forma que∇ ¨ ~E p~r, tq “ 0

quedando demostrado que la ecuacion (10-2) satisface la ley de Gauss.

Para el caso de la ley de Faraday

∇ˆ ~E`B~BBt“ 0

debemos calcular el rotacional del campo electrico

∇ˆ ~E p~r, tq “ ∇ˆ

¨

˝

14π

ż

V

`

~r´~r1˘

ˆ9~B`

~r1, t˘

|~r´~r1|3dV

˛

‚“1

4π

ż

V

∇ˆ`

~r´~r1˘

ˆ9~B`

~r1, t˘

|~r´~r1|3dV

292 10 Ecuaciones de Maxwell

haciendo uso de la identidad ∇ˆ´

~Aˆ ~B¯

“

´

∇ ¨ ~B¯

~A´´

∇ ¨ ~A¯

~B`´

~B ¨∇¯

~A´´

~A ¨∇¯

~B y remplazando en laecuacion anterior

∇ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3ˆ

9~B`

~r1, t˘

“

´

∇ ¨ 9~B`

~r1, t˘

¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3´

˜

∇ ¨`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

¸

9~B`

~r1, t˘

`

´

9~B`

~r1, t˘

¨∇¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3´

˜

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3¨∇

¸

9~B`

~r1, t˘

dado que

∇ ¨ 9~B`

~r1, t˘

“ ∇ 9~B`

~r1, t˘

“ 0

y debido a que los terminos del campo magnetico depende solo de~r1 el segundo termino sera

∇ ¨`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3“ 4πδ

`

~r´~r1˘

,

de manera que

∇ˆ ~E p~r, tq “1

4π

ż

V

«

´4πδ`

~r´~r1˘ 9~B

`

~r1, t˘

`

´

9~B`

~r1, t˘

¨∇¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3

ff

dV

“

ż

V

´δ`

~r´~r1˘ 9~B

`

~r1, t˘

dV `1

4π

ż

V

´

9~B`

~r1, t˘

¨∇¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV.

Para el primer termino de la ecuacion anterior debemos recordar las propiedades de la funcion delta de Dirac δ`

~r´~r1˘ 9~B

`

~r1, t˘

“

9~B p~r, tq, mientras que para el segundo termino debemos utilizar la identidadż

V

´

~C ¨∇`∇ ¨ ~C¯

~B dV “

¿

S

~B´

~C ¨ n¯

dA ”ż

V

´

~C ¨∇¯

~B dV “

¿

S

~B´

~C ¨ n¯

dA´ż

V

´

∇ ¨ ~C¯

~B dV

por lo tanto

ż

V

´

9~B`

~r1, t˘

¨∇¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV “

¿

S

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3´

9~B`

~r1, t˘

¨ n¯

dA´ż

V

´

∇ ¨ 9~B`

~r1, t˘

¯

`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV

de la ley de Gauss para el magnetismo sabemos que ∇ ¨ 9~B`

~r1, t˘

“ 0, entonces

∇ ¨ ~B “ 0 ñB

Bt

´

∇ ¨ ~B¯

“

ˆ

∇ ¨ BBt~B˙

“ ∇ ¨ 9~B “B

Btp0q “ 0.

Para los terminos restantes, tenemos que los cocientes de las integrales son de orden tres y debido a que los terminos delcampo magnetico son de orden uno, los terminos de orden tres van a cero mucho mas rapido que los terminos de area yvolumen que aparecen en las integrales y en consecuencia estos terminos van a cero. De tal forma que

∇ˆ ~E p~r, tq “9~B p~r, tq

∇ˆ ~E p~r, tq `B

Bt~B p~r, tq “ 0

demostrando que la ecuacion (10-2) satisface la ley de Faraday.

Capıtulo 11

Leyes de conservacion

Como hemos visto las ecuaciones de Maxwell describen la dinamica de los campos electricos y magneticosgenerados por cargas y corrientes, mas no el movimiento de una carga o distribuciones de estas en un campoelectromagnetico. Y como demostraremos en el proximo capıtulo las ecuaciones de Maxwell van a describir lageneracion y la propagacion de ondas tanto en el vacıo como en medios.

En este capıtulo analizaremos la conservacion de la carga electrica, la energıa, del momento lineal, del momen-to angular y la cuantizacion de la carga, los cuales son principios fundamentales de la electrodinamica.

11.1. Conservacion de la carga electrica

En los capıtulos anteriores solo se ha considerado sistemas con cargas estaticas con distribuciones conocidas,o que sin conocer la distribucion de cargas, podıamos calcular el campo electrico en un lugar del espacio.Consideraremos ahora cargas las cuales se trasladan en el espacio

Qlibre p~r, tq “ż

V

ρlibre p~r, tq dV.

cuando las cargas se desplazan en el espacio aparece directamente el termino de corriente electrica, el cual serala variacion de carga con respecto al tiempo pasando por una superficie imaginaria.

Ilibre p~r, tq “dQlibre p~r, tq

dt“

ż

V

Bρlibre p~r, tqBt

dV (11-1)

por lo tanto, una corriente implica que las cargas electricas estan en movimiento relativo (con una velocidad~v)a un observador el cual esta en un sistema de referencia en reposo. Dado que la carga no se crea ni se destruye.La carga que sale o entra en una region cerrada, se manifiesta como una disminucion o aumento de la cargaen el interior. De lo contrario, se estarıa creando o destruyendo carga neta de manera espontanea. Teniendo encuenta que la corriente que sale, la podemos representar por medio de la expresion

I p~r, tq “ż

S

~J p~r, tq ¨ d~S

293

294 11 Leyes de conservacion

esta, debe ser igual a la disminucion de carga en el interior por unidad de tiempoż

S

~J p~r, tq ¨ d~S “ ´dQlibre

dt“ ´

ddt

ż

V

ρlibre p~r, tq dV (11-2)

donde el signo negativo se puede entender teniendo en cuenta que cuando la carga sale, el signo de la integralde superficie es positivo, lo cual implica que la carga en el interior debe disminuir y por lo tanto su derivadadebe ser negativa. Ası mismo, cuando la carga entra, el signo de la integral de superficie es negativo, lo cualimplica que la carga en el interior debe aumentar y por lo tanto su derivada debe ser positiva. Teniendo encuenta el teorema de la divergencia

ż

S

~J p~r, tq ¨ d~S “ż

V

∇ ¨~J p~r, tq dV

y remplazando en la ecuacion (11-2) se encuentraż

V

∇ ¨~J p~r, tq dV “ ´ddt

ż

V

ρlibre p~r, tq dV

ż

V

∇ ¨~J p~r, tq dV `ddt

ż

V

ρlibre p~r, tq dV “ 0

ż

V

„

∇ ¨~J p~r, tq `ddt

ρlibre p~r, tq

dV “ 0

dado que la relacion anterior es valida para cualquier volumen arbitrario, se puede concluir que

∇ ¨~J p~r, tq `BρlibreBt

“ 0 (11-3)

ecuacion conocida como ecuacion de conservacion de la carga electrica.

11.2. Conservacion de la energıa

Es un hecho que la energıa de la materia no se conserva de la forma en la cual la calculamos en la mecanica,un ejemplo sencillo de este hecho se produce cuando un objeto radia luz y por ello pierde energıa. Esto noslleva a completar la teorıa de la conservacion de energıa estudiando la energıa asociada con la luz o en generala cualquier tipo de campo electromagnetico.

Para conocer la variacion de la energıa de un sistema con cargas y corrientes debemos calcular el trabajorealizado por el campo electromagnetico sobre un elemento infinitesimal de carga dq, y en una trayectoriainfinitesimal d~=~vdt, para lo cual podemos partir de la fuerza de Lorentz y de la definicion de trabajo.

dW “ ~FL ¨ d ˜

“ q~E ¨ d~ ` q´

~vˆ ~B¯

¨ d~

“ q~E ¨~vdt` q´

~vˆ ~B¯

¨~vdt

“ ρdV~E ¨~vdt“ ~J ¨ ~E dV dt

donde tuvimos en cuenta que~J “ ρ~v y´

~vˆ ~B¯

¨~v “ 0 debido a que~vˆ~B K ~v como ya se habıa demostrado enla ecuacion (8-2). Por lo tanto, la potencia suministrada por el campo para una distribucion de cargas confinada

11.2 Conservacion de la energıa 295

en un volumen V esdWdt

“ ~J ¨ ~E dV ñ P “ż

V

~J ¨ ~E dV. (11-4)

Si tenemos en cuenta la ley de Ampere-Maxwell escrita como

∇ˆ ~B “ µ0~J ` µ0ε0B~EBtñ ~J “

1µ0∇ˆ ~B´ ε0

B~EBt

remplazando esto en la ecuacion (11-4)

dWdt

“ ~J ¨ ~E dV “

˜

1µ0∇ˆ ~B´ ε0

B~EBt

¸

¨ ~E dV

teniendo en cuenta la identidad

∇ ¨´

~Aˆ ~B¯

“ ~B ¨´

∇ˆ ~A¯

´ ~A ¨´

∇ˆ ~B¯

ñ ~A ¨´

∇ˆ ~B¯

“ ~B ¨´

∇ˆ ~A¯

´∇ ¨´

~Aˆ ~B¯

identificamos ~A “ ~E y ~B “ ~B, ası entonces

dWdt

“

˜

1µ0∇ˆ ~B´ ε0

B~EBt

¸

¨ ~E dV

“1

µ0

´

∇ˆ ~B¯

¨ ~E dV ´ ε0B~EBt¨ ~E dV

“1

µ0~B ¨

´

∇ˆ ~E¯

dV ´1

µ0∇ ¨

´

~Eˆ ~B¯

dV ´ ε0B~EBt¨ ~E dV

“ ´1

µ0~B ¨B~BBt

dV ´1

µ0∇ ¨

´

~Eˆ ~B¯

dV ´ ε0B~EBt¨ ~E dV

“ ´1

µ0

12B

Bt

´

~B ¨ ~B¯

dV ´ ε012B

Bt

´

~E ¨ ~E¯

dV ´1

µ0∇ ¨

´

~Eˆ ~B¯

dV

“ ´12B

Bt

ˆ

1µ0

~B2 ` ε0~E2˙

dV ´1

µ0∇ ¨

´

~Eˆ ~B¯

dV

(11-5)

donde tuvimos en cuenta que ∇ˆ ~E “ ´B~BBt

y dado que

B

Bt

´

~B ¨ ~B¯

“ ~B ¨B~BBt`B~BBt¨ ~B “ 2~B ¨

B~BBt

ñ ~B ¨B~BBt“

12B

Bt

´

~B ¨ ~B¯

y de la misma forma para el campo electrico. Dado que la ecuacion (11-5) es igual a~J ¨ ~E dV entonces

~J ¨ ~E dV “ ´12B

Bt

ˆ

1µ0

~B2 ` ε0~E2˙

dV ´1

µ0∇ ¨

´

~Eˆ ~B¯

dV

~J ¨ ~E “ ´12B

Bt

ˆ

1µ0

~B2 ` ε0~E2˙

´1

µ0∇ ¨

´

~Eˆ ~B¯

.

Procedemos ahora a definir la densidad de energıa almacenada en los campos electromagneticos como

ucampos “12

ˆ

1µ0

~B2 ` ε0~E2˙

, (11-6)


donde la densidad de energıa para el campo magnetico y electrico son respectivamente

uB “1

2µ0~B2

uE “ε0

2~E2

definimos el vector de Poynting como~S “

1µ0

´

~Eˆ ~B¯

(11-7)


´~J ¨ ~E “Bucampos

Bt`∇ ¨ ~S (11-8)

la relacion anterior es una ecuacion de continuidad con fuentes inhomogenea. Si la comparamos con la ecua-cion de conservacion de la carga ∇ ¨ J p~r, tq ` Bρlibre

Bt “ 0, el vector de Poynting es analogo a la densidad decorriente, mientas que densidad de energıa almacenada en los campos es analoga a la densidad de carga.

Recordando que la magnitud de la densidad de corriente representa la cantidad de carga por unidad de areapor unidad de tiempo que atraviesa una superficie, y que su direccion describe la direccion de propagacion delas cargas, podemos interpretar el vector de Poynting, como un vector que nos indica la rapidez y direccioncon la cual la energıa del campo se propaga en el espacio, o de forma equivalente, como la densidad de energıaque fluye por unidad de area y por unidad de tiempo. Debemos ahora analizar la naturaleza inhomogenea dela ecuacion (11-8), para ello integramos en el volumen

´

ż

~J ¨ ~E dV “

ż

Bucampos

BtdV `

ż

∇ ¨ ~S dV “B

Bt

ż

ucamposdV `¿

~S ¨ d~A

ñ ´

¿

~S ¨ d~A “ż

~J ¨ ~E dV `B

Bt

ż

ucamposdV(11-9)

la ecuacion anterior se conoce como teorema de Poynting y representa la ley de conservacion de la energıa enelectrodinamica . Para entender mejor este teorema analizaremos cada uno de sus componentes. El terminoű

~S d~A representa la energıa por unidad de tiempo que ingresa al volumen, el termino~J ¨ ~E “ ρ~E ¨~v representala densidad de potencia, este es conocido como densidad de potencia de Lorentz y es equivalente a la variacion

en el tiempo de la energıa mecanicadumecanica

dty como ya lo habıamos dicho

B

Btucampos representa la variacion

en el tiempo de la energıa almacenada asociada a los campos. Si definimos la densidad de energıa total como

u “ umecanica ` ucampos

podemos escribir el teorema de Poynting como

´

¿

~S ¨ d~A “

ż

dumecanicadt

dV `ddt

ż

ucampos dV

´

ż

V

∇ ¨ ~S dV “ddt

ż

V

u dV

ż

V

„

ddt

u`∇ ¨ ~S

dV “ 0

ñB

Btu`∇ ¨ ~S “ 0.

(11-10)

Hemos obtenido finalmente una ecuacion homogenea, como la que se obtiene en la conservacion de carga yla cual representa la conservacion de la energıa en electrodinamica. Por ultimo, vamos a calcular la potencia,para esto partimos de la ecuacion (11-4)

P “ż

V

~J ¨ ~E dV

11.3 Conservacion del momento lineal 297

y teniendo en cuenta el teorema de Poynting (11-9)

´

¿

~S ¨ d~A “ż

~J ¨ ~E dV `B

Bt

ż

ucampos dV ñ

ż

~J ¨ ~E dV “ ´

¿

~S ¨ d~A´B

Bt

ż

ucampos dV

entonces

P “ ´¿

~S ¨ d~A´B

Bt

ż

ucampos dV. (11-11)

11.3. Conservacion del momento lineal

Despues de obtener la ecuacion que representa la conservacion de la energıa (11-10), podemos plantearnos elanalisis de la conservacion del momento lineal para los campos electromagneticos, para ello partiremos de laecuacion de Lorentz

~F “ q~E` q~vˆ ~B “ż

V

´

ρ~E` ρ~vˆ ~B¯

dV “

ż

V

´

ρ~E`~J ˆ ~B¯

dV

donde usamos que ~J “ ρ~v. De la ley de Gauss y de la ecuacion de Ampere-Maxwell podemos despejar lasfuentes para remplazarlo en la relacion anterior, esto es

∇ ¨ ~E “ ρε0

ñ ρ “ ε0∇ ¨ ~E∇ˆ ~B “ µ0~J ` µ0ε0

B~EBt ñ ~J “ 1

µ0∇ˆ ~B´ ε0

B~EBt

remplazando tenemos

~F “

ż

V

´

ρ~E`~J ˆ ~B¯

dV

“

ż

V

”´

ε0∇ ¨ ~E¯

~E`´

1µ0∇ˆ ~B´ ε0

B~EBt

¯

ˆ ~Bı

dV

“

ż

V

”´

ε0∇ ¨ ~E¯

~E` 1µ0∇ˆ ~Bˆ ~B´ ε0

B~EBt ˆ

~Bı

dV

con esto, hemos eliminado las fuentes en la ecuacion de Lorentz. Reescribimos el ultimo termino como

B

Bt

´

~Eˆ ~B¯

“B~EBtˆ ~B` ~Eˆ

B~BBt

ñB~EBtˆ ~B “

B

Bt

´

~Eˆ ~B¯

´ ~EˆB~BBt

“B

Bt

´

~Eˆ ~B¯

´ ~Eˆ´

´∇ˆ ~E¯

“B

Bt

´

~Eˆ ~B¯

` ~Eˆ∇ˆ ~E

remplazando

~F “

ż

V

„

´

ε0∇ ¨ ~E¯

~E`1

µ0∇ˆ ~Bˆ ~B´ ε0

ˆ

B

Bt

´

~Eˆ ~B¯

` ~Eˆ∇ˆ ~E˙

dV

“

ż

V

„

´

ε0∇ ¨ ~E¯

~E´1

µ0~Bˆ∇ˆ ~B´ ε0~Eˆ∇ˆ ~E

dV ´ż

V

ε0B

Bt

´

~Eˆ ~B¯

dV


podemos sumar un cero, adicionando el termino 1µ0~B´

∇ ¨ ~B¯

“ 0 en la primera integral para hacerla comple-

tamente simetrica y teniendo en cuenta que ~S “ 1µ0

´

~Eˆ ~B¯

~F “

ż

V

„

´

ε0∇ ¨ ~E¯

~E´1

µ0~Bˆ∇ˆ ~B´ ε0~Eˆ∇ˆ ~E`

1µ0

~B´

∇ ¨ ~B¯

dV ´ż

V

ε0B

Bt

´

µ0~S¯

dV

“

ż

V

„

ε0

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

`1

µ0

”

~B´

∇ ¨ ~B¯

´ ~Bˆ∇ˆ ~Bı

dV ´ż

V

ε0µ0B~SBt

dV

teniendo en cuenta que la fuerza sobre las cargas esta relacionada con la variacion del momento mecanico olineal con respecto al tiempo

~F “d~Pmec

dt

y dado que c2 “ 1ε0µ0

podemos escribir el termino

ż

V

ε0µ0B~SBt

dV “1c2

ż

V

B

Bt~SdV “

B

Bt~Pelect

donde ~Pelect lo definimos como el momento lineal electromagnetico transportado por los campos1, mientrasque ~pelect sera la densidad volumetrica de momento lineal electromagnetico

~pelect “ ε0µ0~S “~Sc2 . (11-12)

De esta forma podemos dejar a un lado los terminos que dependen del tiempo de forma explıcita obteniendo

~F “

ż

V

„

ε0

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

`1

µ0

”

~B´

∇ ¨ ~B¯

´ ~Bˆ∇ˆ ~Bı

dV ´ż

V

ε0µ0B~SBt

dV

d~Pmec

dt`B~PelectBt

“

ż

V

„

ε0

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

`1

µ0

”

~B´

∇ ¨ ~B¯

´ ~Bˆ∇ˆ ~Bı

dV.

Si definimos ahora el momento lineal total ~P “ ~Pmec ` ~Pelect como la suma de las densidades de los momentosmecanicos y electromagneticos respectivamente, podemos reescribir la ecuacion anterior como

B~PBt“

ż

V

„

ε0

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

`1

µ0

”

~B´

∇ ¨ ~B¯

´ ~Bˆ∇ˆ ~Bı

dV (11-13)

debemos trabajar ahora sobre el termino dentro de la integral, para ello es necesario realizar las operacionescorrespondientes, en primera instancia lo haremos sobre el campo electrico, pero es claro que se aplica para elcampo magnetico sin restriccion alguna, ası entonces

´

∇ ¨ ~E¯

~E “

ˆ

BEx

Bx`BEy

By`BEz

Bz

˙

´

Ex ı` Ey ` Ez k¯

“

ˆ

BEx

Bx`BEy

By`BEz

Bz

˙

Ex ı`ˆ

BEx

Bx`BEy

By`BEz

Bz

˙

Ey `

ˆ

BEx

Bx`BEy

By`BEz

Bz

˙

Ez k

1Un punto interesante es queż

V

~SdV “ ~pelectc2 y dado que el vector de Poynting esta asociado a la energıa, la ecuacion anterior es

similar a la relacion relativista E “ mc2 , esta analogıa nos permite pensar en el primer termino del lado derecho como un termino demasa.


mientras que para

~Eˆ∇ˆ ~E “ ~Eˆ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

Ex Ey Ez

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ~Eˆ„ˆ

B

ByEz ´

B

BzEy

˙

ı´ˆ

B

BxEz ´

B

BzEx

˙

`

ˆ

B

BxEy ´

B

ByEx

˙

k

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kEx Ey Ez

BBy Ez ´

BBz Ey

BBz Ex ´

BBx Ez

BBx Ey ´

BBy Ex

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

„

Ey

ˆ

BEy

Bx´BEx

By

˙

´ Ez

ˆ

BEx

Bz´BEz

Bx

˙

ı´„

Ex

ˆ

BEy

Bx´BEx

By

˙

´ Ez

ˆ

BEz

By´BEy

Bz

˙

`

„

Ex

ˆ

BEx

Bz´BEz

Bx

˙

´ Ey

ˆ

BEz

By´BEy

Bz

˙

k

por facilidad en el analisis podemos tomar solamente las componentes en la direccion ı y extrapolar el resulta-do, esto es

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

ı“

ˆ

BEx

Bx`BEy

By`BEz

Bz

˙

Ex ´ Ey

ˆ

BEy

Bx´BEx

By

˙

` Ez

ˆ

BEx

Bz´BEz

Bx

˙

“BEx

BxEx `

BEy

ByEx `

BEz

BzEx ` Ey

BEx

By` Ez

BEx

Bz´ Ez

BEz

Bx´ Ey

BEy

Bx

“

ˆ

BEx

BxEx ´ Ez

BEz

Bx´ Ey

BEy

Bx

˙

`

ˆ

BEy

ByEx ` Ey

BEx

By

˙

`

ˆ

BEz

BzEx ` Ez

BEx

Bz

˙

vamos ahora a reescribir el termino anterior teniendo en cuenta que

B

Bx

´

E2x ` E2

y ` E2z

¯

“12

ExBEx

Bx`

12

EyBEy

Bx`

12

EzBEz

Bxñ

B

Bx

´

E2x

¯

´12B

Bx

´

E2x ` E2

y ` E2z

¯

“BEx

BxEx ´ Ez

BEz

Bx´ Ey

BEy

BxB

BxpExExq ´

12B

Bx

´

~E ¨ ~E¯

“BEx

BxEx ´ Ez

BEz

Bx´ Ey,

B

By`

ExEy˘

“BEx

ByEy ` Ex

BEy

By,

B

BzpExEzq “

BEx

BzEz ` Ex

BEz

Bz,

por lo tanto,

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

ı“

ˆ

BEx

BxEx ´ Ez

BEz

Bx´ Ey

BEy

Bx

˙

`

ˆ

BEy

ByEx ` Ey

BEx

By

˙

`

ˆ

BEz

BzEx ` Ez

BEx

Bz

˙

“B

BxpExExq ´

12B

Bx

´

~E ¨ ~E¯

`B

By`

ExEy˘

`B

BzpExEzq

“B

BxpExExq `

B

By`

ExEy˘

`B

BzpExEzq ´

12B

Bx

´

~E ¨ ~E¯

los primeros tres terminos podemos escribirlos empleando lo realizado en la seccion 2.2 como

3ÿ

k“1

B

Buk pExEkq “B

BxpExExq `

B

By`

ExEy˘

`B

BzpExEzq


donde u1 “ x, u2 “ y y u3 “ z. Para introducir el termino BBx

´

~E ¨ ~E¯

en la sumatoria debemos considerar la

funcion delta de Kronecker2, y por lo tanto”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

ı“

B

BxpExExq `

B

By`

ExEy˘

`B

BzpExEzq ´

12B

Bx

´

~E ¨ ~E¯

“

3ÿ

k“1

B

Buk

ˆ

ExEk ´12~E ¨ ~Eδx,k

˙

“

3ÿ

k“1

B

Buk

ˆ

ExEk ´12

δx,kE2˙

de forma general podemos escribirlo como

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

ei“

3ÿ

k“1

B

Buk

ˆ

EiEk ´12

δi,kE2˙

de la misma forma, para al campo magnetico se encuentra

”´

∇ ¨ ~B¯

~B´ ~Bˆ∇ˆ ~Bı

ei“

3ÿ

k“1

B

Buk

ˆ

BiBk ´12

δi,kB2˙

y la suma de los terminos anteriores es"

ε0

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

`1

µ0

”

~B´

∇ ¨ ~B¯

´ ~Bˆ∇ˆ ~Bı

*

ei

“ ε0

3ÿ

k“1

B

Buk

ˆ

EiEk ´12

δi,kE2˙

`1

µ0

3ÿ

k“1

B

Buk

ˆ

BiBk ´12

δi,kB2˙

“

3ÿ

k“1

B

Buk

„

ε0

ˆ

EiEk ´12

δi,kE2˙

`1

µ0

ˆ

BiBk ´12

δi,kB2˙

“

3ÿ

k“1

B

Buk Ti,k

(11-14)

donde definimos

Ti,k “ ε0

ˆ

EiEk ´12

δi,kE2˙

`1

µ0

ˆ

BiBk ´12

δi,kB2˙

(11-15)

dado que este objeto tiene dos indicies a diferencia de los vectores, se define como un tensor3, en este casotensor de Maxwell o tensor de tensiones de Maxwell, el cual se puede representar de dos formas equivalentesÐÑT o T. La divergencia paraÐÑT la podemos escribir como

´

∇ ¨ ÐÑT¯

ei“

3ÿ

k“1

B

Buk Ti,k

y por lo tanto la ecuacion (11-14) queda como"

ε0

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

`1

µ0

”

~B´

∇ ¨ ~B¯

´ ~Bˆ∇ˆ ~Bı

*

ei

“

´

∇ ¨ ÐÑT¯

ei

lo realizado anteriormente nos permite escribir el termino derecho de la ecuacion (11-13) comoż

V

ˆ

ε0

”´

∇ ¨ ~E¯

~E´ ~Eˆ∇ˆ ~Eı

`1

µ0

”

~B´

∇ ¨ ~B¯

´ ~Bˆ∇ˆ ~Bı

˙

dV “

ż

V

´

∇ ¨ ÐÑT¯

dV “

¿

S

ÐÑT ¨ d~A

2La funcion delta de Kronecker se define como δi,j “

"

1 si i “ j0 si i ‰ j

3Aca tenemos un aspecto muy interesante, dado que termino ~A~B no es un escalar ya que eso resultarıa de un producto de la forma~A ¨ ~B, tampoco es un vector, ya que este resultarıa de un producto de la forma ~Aˆ ~B. Este tipo de producto ~A~B de denomina productoexterno o producto tensorial y el resultado se denomina tensor de orden 2.


donde hemos empleamos el teorema de la divergencia, quedando finalmente la ecuacion (11-13) como

B~PBt“

¿

S

ÐÑT ¨ d~A (11-16)

la cual establece la ley de conservacion del momento lineal total del sistema. El tensor de tensiones de Maxwelltiene unidades de

“

N ¨m´2 ” Pa‰

y es empleado en la electrodinamica clasica para representar la interaccionentre las fuerzas electrica y magnetica con el impulso mecanico, mediante la densidad de corriente de momen-to lineal del campo electromagnetico. Un aspecto interesante de este tensor es su caracter vectorial 2a que lapresion no es un vector. En este tensor, las componentes diagonales representas las presiones, mientras que lascomponentes fuera de la diagonal representan los cizallamientos4.

Otra forma de escribir la ecuacion (11-16) se puede obtener escribiendo el momento total como la integral delas densidades de los momentos, y empleando el teorema de la divergencia en el tensor, esto es

B~PBt

“

¿

S

ÐÑT ¨ d~A

ddt

ż

V

~p dV “

ż

V

∇ ¨ ÐÑT dV

ddt

ż

V

~p dV ´ż

V

∇ ¨ ÐÑT dV “ 0

ż

V

ˆ

d~pdt´∇ ¨ ÐÑT

˙

dV “ 0.

Para que la relacion anterior sea valida, el termino dentro de la integral debe ser cero, lo cual nos permiteescribir la relacion anterior como

d~pdt´∇ ¨ ÐÑT “ 0 (11-17)

escrito de esta forma podemos ver el tensor de Maxwell ÐÑT , como un flujo de momento a traves de una su-perficie S, la cual delimita un volumen V, de tal forma que un termino de la forma Tij representara el flujo demomento en la direccion ı cruzando un elemento de superficie en la direccion .

Problema 160. Escriba en forma matricial cada una de las componentes del tensor de tensionesÐÑT y calcule la traza deltensor

Solucion 160. El tensor de Maxwell de forma explıcita lo escribimos como

ÐÑT “

¨

˝

Txx Txy TxzTyx Tyy TyzTzx Tzy Tzz

˛

‚

de la ecuacion (11-15) tenemos

Ti,k “ ε0

ˆ

EiEk ´12

δi,kE2˙

`1

µ0

ˆ

BiBk ´12

δi,kB2˙

“ ε0EiEk `1

µ0BiBk ´

12

δi,k

ˆ

ε0E2 `1

µ0B2˙

4Un cizallamiento es una deformacion lateral que se produce por una fuerza externa.


de forma explıcita

Txx “ ε0E2x `

1µ0

B2x ´

12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ 12 ε0

´

E2x ´ E2

y ´ E2z

¯

` 12µ0

´

B2x ´ B2

y ´ B2z

¯

,

Txy “ ε0ExEy `1

µ0BxBy,

Txz “ ε0ExEz `1

µ0BxBz,

Tyx “ ε0EyEx `1

µ0ByBx,

Tyy “ ε0E2y `

1µ0

B2y ´

12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ 12 ε0

´

E2y ´ E2

x ´ E2z

¯

` 12µ0

´

B2y ´ B2

x ´ B2z

¯

,

Tyz “ ε0EyEz `1

µ0ByBz,

Tzx “ ε0EzEx `1

µ0BzBx,

Tzy “ ε0EzEy `1

µ0BzBy,

Tzz “ ε0E2z `

1µ0

B2z ´

12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ 12 ε0

´

E2z ´ E2

x ´ E2y

¯

` 12µ0

´

B2z ´ B2

x ´ B2y

¯

,

quedando el tensor de la matriz11-18Maxwell como

ÐÑT “

¨

˚

˚

˝

12 ε0

´

E2x ´ E2

y ´ E2z

¯

` 12µ0

´

B2x ´ B2

y ´ B2z

¯

ε0ExEy `1

µ0BxBy

ε0ExEy `1

µ0BxBy

12 ε0

´

E2y ´ E2

x ´ E2z

¯

` 12µ0

´

B2y ´ B2

x ´ B2z

¯

ε0EyEx `1

µ0ByBx ε0EyEz `

1µ0

ByBz

ε0EyEx `1

µ0ByBx

ε0EyEz `1

µ0ByBz

12 ε0

´

E2z ´ E2

x ´ E2y

¯

` 12µ0

´

B2z ´ B2

x ´ B2y

¯

˛

‹

‹

‚

(11-18)

para calcular la traza del tensor (11-18) debemos sumar los elementos diagonales de la matriz

Tr´

ÐÑT¯

“ ´12

ˆ

ε0

´

E2x ` E2

y ` E2z

¯

`1

µ0

´

B2x ` B2

y ` B2z

¯

˙

“ ´ucampos.

Problema 161. Calcule la fuerza entre dos cargas puntuales q localizadas en z “ ˘d utilizando el tensor de tensionesde MaxwellÐÑT , considere como superficie de integracion el plano XY.

Solucion 161. Partiendo de la ecuacion de conservacion del momento lineal (11-16)

B~PBt“

¿

S

ÐÑT ¨ d~A

y teniendo en cuenta que el momento lineal total se expresa como

~P “ ~Pmec ` ~Pelect “

ż

~Fdt`1c2

ż

V

~SdV

vemos que el vector de Poynting ~S “ 1µ0

´

~Eˆ ~B¯

es cero debido a que las cargas se encuentran estaticas, y por lo tanto~B “ 0, quedando solo el termino del momento mecanico

B~PBt“

d~pmec

dt“ ~F “

¿

S

ÐÑT ¨ d~A.

Debemos calcular ahora el campo electrico generado por las cargas

~E “ kq

¨

˚

˝

~r` dkˇ

ˇ

~r` dkˇ

ˇ

ˇ

3 `~r´ dkˇ

ˇ

~r´ dkˇ

ˇ

ˇ

3

˛

‹

‚

“ kq

¨

˚

˚

˝

xı` y ` pz` dq k´

x2 ` y2 ` pz` dq2¯

32`

xı` y ` pz´ dq k´

x2 ` y2 ` pz´ dq2¯

32

˛

‹

‹

‚


dado que el plano de integracion es XY, esto implica que z “ 0, en consecuencia

~Eˇ

ˇ

ˇ

XY“ kq

¨

˝

xı` y ` dk`

x2 ` y2 ` d2˘

32`

xı` y ´ dk`

x2 ` y2 ` d2˘

32

˛

‚“ 2kq

¨

˝

xı` y `

x2 ` y2 ` d2˘

32

˛

‚ (11-19)

ya que solo son relevantes los terminos del tensor de tensiones que estan orientados en z, solo debemos tener en cuenta

ÐÑT ¨ d~Aˇ

ˇ

ˇ

z“ TzxdAx ` TzydAy ` TzzdAz

por lo tanto, la unica contribucion relevante es Tzz, la cual fue calculada en el problema anterior en la ecuacion (11-18)

Tzz “ε02

´

E2z ´ E2

x ´ E2y

¯

` 12µ0

´

B2z ´ B2

x ´ B2y

¯

“ε02

´

E2z ´ E2

x ´ E2y

¯

“ ´ε02

´

E2x ` E2

y

¯

“ ´ε02

ˆ

4k2q2ˆ

x2

px2`y2`d2q3

˙

` 4k2q2ˆ

y2

px2`y2`d2q3

˙˙

“ ´2ε0k2q2ˆ

x2`y2

px2`y2`d2q3

˙

donde tuvimos en cuenta que las contribuciones del campo magnetico son cero si este se evalua en z “ 0 y por ello elcampo no tiene contribucion en k como lo vemos en la ecuacion (11-19). Ası entonces

~Fˇ

ˇ

ˇ

z“ÐÑT ¨ d~A

ˇ

ˇ

ˇ

z“ TzzdAz

“

8ż

´8

8ż

´8

´2ε0k2q2

˜

x2 ` y2

`

x2 ` y2 ` d2˘3

¸

dx dy

“ ´2ε0k2q28ż

´8

8ż

´8

˜

x2 ` y2

`

x2 ` y2 ` d2˘3

¸

dx dy

para resolver esta integral, haremos por facilidad de calculo el cambio a coordenadas cilındricas, teniendo en cuenta queρ2 “ x2 ` y2 y dA “ ρ dρ dθ, la fuerza la podemos reescribir como

~Fˇ

ˇ

ˇ

z“ ´2ε0k2q2

2πż

0

8ż

0

˜

ρ2

`

ρ2 ` d2˘3

¸

ρ dρ dθ

“ ´2ε0k2q2 p2πq

8ż

0

˜

ρ2

`

ρ2 ` d2˘3

¸

ρ dρ

para resolver esta integral hacemos ρ “ d tan ξ ñ dρ “ d sec2 ξ dξ, con lo cual los nuevos lımites de la integral son


0 Ñ ξ “ 0 y para8Ñ ξ “ π2 , de tal forma que

~Fˇ

ˇ

ˇ

z“ ´4ε0k2q2π

8ż

0

˜

ρ3

`

ρ2 ` d2˘3

¸

dρ

“ ´kq2

π2ż

0

˜

d3 tan3 ξ`

d2 tan2 ξ ` d2˘3

¸

d sec2 ξ dξ

“ ´kq2

π2ż

0

d4 tan3 ξ sec2 ξ`

d2 sec2 ξ˘3 dξ

“ ´kq2

d2

π2ż

0

tan3 ξ

sec4 ξdξ

“ ´kq2

d2

π2ż

0

sin3 ξ cos ξdξ

donde tuvimos en cuenta que tan3 ξsec4 ξ

“sin3 ξcos3 ξ

cos4 ξ “ sin3 ξ cos ξ. Para resolver esta integral debemos hacer una nueva

sustitucion u “ sin4 ξ y por lo tanto du “ 4 sin3 ξ cos ξ dξ, ası entonces

~Fˇ

ˇ

ˇ

z“ ´

kq2

d2

π2ż

0

sin3 ξ cos ξdξ “ ´kq2

d2

u2ż

u1

du4“ ´

kq2

4d2 uˇ

ˇ

ˇ

ˇ

u2

u1

“ ´kq2

4d2 sin4 ξ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π2

0“ ´

kq2

4d2

este era el resultado esperado, dado que la distancia entre las cargas es 2d. Este resultado es ademas facilmente verificablecon ayuda de la ley de Coulomb.

Problema 162. Calcule el momento lineal y la potencia transmi-tida por un cable coaxial, de radio interno r1 y radio externo r2, loscuales tienen cargas Q1 y Q2 respectivamente, como se ilustra enla figura 11-1 . Tenga en cuenta que el medio entre ellos tiene unapermisividad ε0 y transporta una corriente I cuando es sometido auna diferencia de potencial 4φ, suponga que r1 es muy pequenopara considerar una densidad lineal de carga.

Figura 11-1:

Solucion 162. Para calcular la potencia transmitida debemos calcular el vector de Poynting dado por le ecuacion (11-18)

~S “1

µ0

´

~Eˆ ~B¯

teniendo en cuenta la ley de Gauss consideramos una superficie gaussiana compuesta por 3 superficies (2 tapas pA1, A2q

y superficie que envuelve el cilindro A3)¿

~E ¨ d~A “qenc

ε0ż

~Eρ ¨ d~A1k`ż

~Eρ ¨ d~A2

´

´k¯

`

ż

~Eρ ¨ d~A3ρ “qenc

ε0

E p2πρ`q “qenc

ε0

ñ ~E “qenc

2πρ`ε0ρ


ya que r1 es muy pequeno y dado que la densidad lineal de carga es λ “q` , tenemos

~E “λ

2πρε0ρ (11-20)

Dado que conocemos el potencial, debemos reescribir el campo en terminos del este, y por lo tanto

r2ż

r1

dφ “ ´

r2ż

r1

~E ¨ d~

φ pr2q ´ φ pr1q “ ´

r2ż

r1

λ

2πρε0ρ ¨

´

dρρ` ρdθθ ` dzk¯

“ ´λ

2πε0

r2ż

r1

dρ

ρ

“ ´λ

2πε0lnˆ

r2

r1

˙

para quitar el signo negativo en la diferencia potencial, escribimos lo anterior como

4φ “ φ pr1q ´ φ pr2q “λ

2πε0lnˆ

r2

r1

˙

remplazando esto en la ecuacion (11-20)

~E “λ

2πρε0ρ “

4φ

ρ ln´

r2r1

¯ ρ

donde tomamos en cuenta que λ2πε0

“4φ

ln´

r2r1

¯ . El campo magnetico dentro de un coaxial lo podemos calcular partiendo de

la ecuacion de Ampere

¿

~B ¨ d~ “ µ0 Ienc

ñ ~B “µ0 I2πρ

θ.

Ası, el vector de Poynting estara dado por

~S “1

µ0

´

~Eˆ ~B¯

“1

µ0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ρ ρθ k4φ

ρ ln´

r2r1

¯ 0 0

0 µ0 I2πρ 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“4φI

2πρ2 ln´

r2r1

¯ k.


La potencia que pasa a traves de una seccion recta la podemos calcular utilizando la ecuacion (11-11)

P “ ´¿

~S ¨ d~A´B

Bt

ż

ucamposdV “ ´

2πż

0

r2ż

r1

4φI

2πρ2 ln´

r2r1

¯ k ¨ ρdρdθk´B

Bt

ż

12

ˆ

1µ0

~B2 ` ε0~E2˙

dV

“ ´

r2ż

r1

4φI

2πρ ln´

r2r1

¯dρ2π

“ ´4φI

ln´

r2r1

¯

r2ż

r1

dρ

ρ

“ ´4φI

ln´

r2r1

¯ lnˆ

r2

r1

˙

“ ´4φ I

donde tuvimos en cuenta queB

Bt

ż

12

ˆ

1µ0

~B2 ` ε0~E2˙

dV “ 0 debido a que tanto ~B y ~E no varıan en el tiempo. Para

calcular el momento lineal tenemos en cuenta la ecuacion de densidad de momento lineal electromagnetico (11-12)

~pelect “ ε0µ0~S “ ε0µ04φI

2πρ2 ln´

r2r1

¯ k

por lo tanto, para obtener el momento lineal debemos hacer la integral sobre el volumen

~Pelect “

ż

V

ε0µ04φI

2πρ2 ln´

r2r1

¯ k dV

“

Lż

0

2πż

0

r2ż

r1

ε0µ04φI

2πρ2 ln´

r2r1

¯ kρdρdθdz

“ε0µ04φI

2π ln´

r2r1

¯ k

r2ż

r1

2πL1ρ

dρ

“ε0µ04φI L

ln´

r2r1

¯ lnˆ

r2

r1

˙

k

“ ε0µ04φI Lk.

Por ultimo, debemos comprobar si las unidades del resultado anterior son correctas, para lo cual tenemos en cuenta que4φI “

“

N ¨m ¨ s´1‰, mientras que ε0 “ N´1 ¨m´2 ¨ C2 y µ0 “ m ¨ kg ¨ C´2, ası entonces

ε0µ04φI L “”

N´1 ¨m´2 ¨ C2 ¨m ¨ kg ¨ C´2 ¨ N ¨m ¨ s´1 ¨mı

“

”

kg ¨m ¨ s´1ı

las cuales son las unidades del momento. Un aspecto interesante es que el momento lineal es diferente de cero, pero el cableno se esta moviendo, lo cual implica que este momento debe ser igual al momento lineal electromagnetico, de tal forma queel momento lineal total sea nulo.

11.3.1. Presion por radiacion

En la seccion anterior encontramos que¿

S

ÐÑT ¨ d~A es el flujo de momento lineal hacia adentro de una superficie

cerrada. Este flujo de momento lineal se traduce en una fuerza si la superficie es material, y por tanto en presion


sobre esta superficie. Por lo tanto, para un elemento diferencial de superficie d~A tenemos

d~F “ ´ÐÑT ¨ d~A “ ´ÐÑT ¨ ndA

ya que la componente de la fuerza normal a la superficie es el termino que contribuye a la presion, se tiene

n ¨ d~F “ ń ¨ ÐÑT ¨ ndA

ñ n ¨d~FdA

“ ń ¨ ÐÑT ¨ n “ P

donde n es la componente paralela a la superficie y paralela a la proyeccion de la fuerza sobre la superficie, lacual es equivalente a la fuerza de cizalladura.

Problema 163. Si tenemos una onda electromagnetica con componentes ~E “ E y ~B “ Bk y la cual incide perpendicu-larmente sobre una placa la cual esta en el plano YZ. Calcule la presion ejercida por la onda electromagnetica, teniendoen cuenta que

ˇ

ˇ

ˇ

~Eˇ

ˇ

ˇ“

ˇ

ˇ

ˇ

~Bˇ

ˇ

ˇy suponga unidades naturales c “ 1.

Solucion 163. Partiendo del tensor de tensiones de Maxwell

Ti,k “ ε0EiEk `1

µ0BiBk ´

12 δi,k

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

teniendo en cuenta que la magnitud de los campos es igual y dado que c2 “ 1ε0µ0

, al tomar c “ 1obtenemos ε0 “1

µ0

Txx “ ε0E2x `

1µ0

B2x ´

12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ ´ 12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ É2

Txy “ ε0ExEy `1

µ0BxBy “ 0

Txz “ ε0ExEz `1

µ0BxBz “ 0

Tyx “ ε0EyEx `1

µ0ByBx “ 0

Tyy “ ε0E2y `

1µ0

B2y ´

12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ ε0E2 ´ 12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ 0

Tyz “ ε0EyEz `1

µ0ByBz “ 0

Tzx “ ε0EzEx `1

µ0BzBx “ 0

Tzy “ ε0EzEy `1

µ0BzBy “ 0

Tzz “ ε0E2z `

1µ0

B2z ´

12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ 1µ0

B2 ´ 12

´

ε0E2 ` 1µ0

B2¯

“ 0

quedando el tensor de Maxwell como

ÐÑT “

¨

˝

É2 0 00 0 00 0 0

˛

‚ (11-21)

por lo tanto, la presion seraP “ ń ¨ ÐÑT ¨ n “ ı ¨

´

ıE2 ı¯

¨ ı “ E2.

Parte V

Ondas electromagneticas

309

Capıtulo 12

Ondas electromagneticas

Una de las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell es la existencia de ondas electromagneticas, las cualesson generadas por cargas oscilantes, de tal forma que el campo ~E y el campo ~B son ortogonales entre ellos y ala direccion de propagacion. Las ondas electromagneticas dependiendo de la frecuencia pueden manifestarsecomo: radiacion infrarroja y ultravioleta, luz visible, rayos X o microondas. Y las cuales a diferencia de otrostipos de onda, las ondas electromagneticas se puede propagar en el vacıo.

Partiremos de las ecuaciones de Maxwell en el vacıo y sin cargas electricas, para poder deducir la ecuacion quedescribe la dinamica de las ondas electromagneticas. Comencemos por la ley de Faraday



∇ˆ ~A¯

“ ∇´

∇ ¨ ~A¯

´∇2 ~A, tenemos que

∇ˆ´

∇ˆ ~E¯

“ ´∇ˆ´

B~BBt

¯

∇´

∇ ¨ ~E¯

´∇2~E “ ´ BBt

´

∇ˆ ~B¯

debido a la ausencia de cargas electricas, ∇ ¨ ~E “ 0 y dado que ∇ˆ ~B “ µ0ε0B~EBt . Podemos escribir la ecuacion

anterior como

∇2~E “B

Bt

˜

µ0ε0B~EBt

¸

ñ ∇2~E “ µ0ε0B2~EBt2 (12-1)

esta ultima ecuacion, representa la ecuacion de onda para el campo electrico y donde la velocidad de propa-gacion de la onda es

v “

d

1µ0ε0

“ c

donde c es la velocidad de la luz en el vacıo.

Un aspecto importante es que las ondas electromagneticas obedecen el principio de superposicion, ademastransportan energıa y cantidad de movimiento, y por lo tanto puede ejercer presion.

311

312 12 Ondas electromagneticas

Problema 164. Encuentre la ecuacion de onda para el campo magnetico, en el vacıo sin fuentes de carga, a partir de lasecuaciones de Maxwell.

Solucion 164. Para encontrar la ecuacion de onda para el campo magnetico, seguiremos un procedimiento equivalenteal que se realizo con el campo electrico, para lo cual tomaremos el rotacional de la ecuacion de Ampere-Maxwell

∇ˆ ~B “ µ0~J ` µ0ε0B~EBt

∇ˆ´

∇ˆ ~B¯

“ ∇ˆ˜

µ0ε0B~EBt

¸


∇ˆ ~A¯

“ ∇´

∇ ¨ ~A¯

´∇2 ~A entonces

∇´

∇ ¨ ~B¯

´∇2~B “ µ0ε0BBt

´

∇ˆ ~E¯

´∇2~B “ µ0ε0BBt

´

´B~BBt

¯

ñ ∇2~B “ µ0ε0B2~BBt2

donde tuvimos en cuenta que ∇ˆ ~E “ ´B~BBt y que ∇ ¨ ~B “ 0. Podemos ver que hemos obtenido la misma estructura de

la ecuacion de onda que la obtenida para el campo electrico y con la misma velocidad de propagacion

v “

d

1µ0ε0

Debido a la simetrıa en ausencia de cargas y corrientes libres, podemos escribir con facilidad la ecuacion deonda para los campos ~E y ~B como

ˆ

∇2 ´ µ0ε0B2

Bt2

˙

˜

~E p~r, tq~B p~r, tq

¸

“ 0 (12-2)

12.1. Ondas electromagneticas planas

Las ondas monocromaticas1 estan descritas por la frecuencia angular ω y por un vector de onda o vectornumero de onda~k el cual indica la direccion y el sentido de la propagacion, lo anterior lo podemos escribircomo

ω “ ~v ¨~k “ 2π f

para el caso de ondas electromagneticas en el vacıo la magnitud de la velocidad sera la velocidad de la luz enel vacıo. Otra forma de definir el vector numero de onda es

ˇ

ˇ~kˇ

ˇ

ˇ“

2π

λ

donde λ es la longitud de onda. Una solucion a la ecuacion de onda en coordenadas rectangulares la podemosescribir como

~E p~r, tq “ ~E0ei´

~k ~r´ωt¯

, (12-3)

~B p~r, tq “ ~B0ei´

~k ~r´ωt¯

1Una onda monocromatica es aquella que esta formada una sola longitud de onda.

12.1 Ondas electromagneticas planas 313

con ~E0 y ~B0 constantes complejas, de modo que un posible factor de fase constante se absorbe en este termino.Estas soluciones de tipo sinusoidal son de gran importancia ya que aunque no son las mas generales, cual-quier solucion de la ecuacion de onda es una superposicion de estas. Debido a que las soluciones escritasanteriormente corresponden a una unica frecuencia ω se denominan ondas monocromaticas.

Problema 165. Demuestre que la solucion ~E p~r, tq “ ~E0ei´

~k ~r´ωt¯

es solucion a la ecuacion de onda ∇2~E “ µ0ε0B2~EBt2 .

Solucion 165. Dado que v2 “ 1µ0ε0

, esto nos permite reescribir la ecuacion de onda comoˆ

∇2 ´1v2B2

Bt2

˙

~E0ei´

~k ~r´ωt¯

“ 0

considerando cada termino

∇2~E0ei´

~k ~r´ωt¯

“ ´k2~E0ei´

~k ~r´ωt¯

B2

Bt2~E0e

i´

~k ~r´ωt¯

“ ´ω2~E0ei´

~k ~r´ωt¯

remplazando en la ecuacion de onda´

∇2 ´ 1v2B2

Bt2

¯

~E0ei´

~k ~r´ωt¯

“ 0

´k2~E0ei´

~k ~r´ωt¯

´

ˆ

´ω2~E0ei´

~k ~r´ωt¯

˙

“ 0

´

´

k2 ´ ω2

v2

¯

~E0ei´

~k ~r´ωt¯

“ 0

teniendo en cuenta que ω “ kv tenemos

k2 ´ω2

v2 “ k2 ´pkvq2

v2 “ 0

y por lo tanto ~E p~r, tq “ ~E0ei´

~k ~r´ωt¯

es una solucion de la ecuacion de onda.

El frente de onda para un instante fijo de tiempo esta constituido por los puntos con la misma fase´

~k ¨~r´ωt¯

.

Si consideramos el tiempo fijo, lo que obtenemos es el conjunto de puntos tal que ~k ¨~r “ cte, donde cadavalor de la constante equivale a un frente de onda distinto. De hecho, la ecuacion~k ¨~r “ cte, con~k un vectorconstante, es la ecuacion de un plano perpendicular al vector~k, si esto no ocurre, el frente de onda cambia yya no tendrıamos en general un plano. Por tanto, la solucion (12-3) representa una onda plana viajando en ladireccion~k.

Un aspecto que debemos de tener en cuenta de las ecuaciones (12-3), es que a pesar de que son soluciones de laecuacion de onda, para que sean soluciones tambien de las ecuaciones de Maxwell deben cumplir condicionesadicionales relacionadas con las ecuaciones de la divergencia, las cuales son∇

´

∇ ¨ ~B¯

“ ∇´

∇ ¨ ~E¯

“ 0. Estas

condiciones son mas debiles que las condiciones ∇ ¨ ~B “ ∇ ¨ ~E “ 0.

Por lo tanto, la divergencia de la solucion de onda podrıa brindarnos informacion adicional

∇ ¨ ~E0ei´

~k ~r´ωt¯

“

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

¨

´

E0,x ı` E0,y ` E0,z k¯

eipkx x`kyy`kzz´ωtq “ 0

“

ˆ

E0,xB

Bx` E0,y

B

By` E0,z

B

Bz

˙

eipkx x`kyy`kzz´ωtq

“ i`

E0,xkx ` E0,yky ` E0,zkz˘


“ i~k ¨ ~E0ei´

~k ~r´ωt¯

ñ ~k ¨ ~E p~r, tq “ 0


y dada la forma de las soluciones, para la ∇ ¨ ~B p~r, tq obtenemos

~k ¨ ~B p~r, tq “ 0.

Este hecho implica que tanto ~E p~r, tq como ~B p~r, tq son perpendiculares a la direccion de propagacion, lo cualequivale a decir que tenemos una onda transversal. Tambien el rotacional nos dara informacion complemen-taria, en particular si tomamos la ecuacion de Faraday


obtenemos

∇ˆ ~E “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

E0,xeipkx x`kyy`kzz´ωtq E0,yeipkx x`kyy`kzz´ωtq E0,zeipkx x`kyy`kzz´ωtq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ıi´

kyE0,zeipkx x`kyy`kzz´ωtq ´ kzE0,yeipkx x`kyy`kzz´ωtq¯

´ i´

kxE0,zeipkx x`kyy`kzz´ωtq ´ kzE0,xeipkx x`kyy`kzz´ωtq¯

`ki´

kxE0,yeipkx x`kyy`kzz´ωtq ´ kyE0,xeipkx x`kyy`kzz´ωtq¯

“ i”

ı`

kyE0,z ´ kzE0,y˘

´ pkxE0,z ´ kzE0,xq ` k`

kxE0,y ´ kyE0,x˘

ı


la ecuacion anterior la podemos reescribir como

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kkx ky kz

E0,xeipkx x`kyy`kzz´ωtq E0,yeipkx x`kyy`kzz´ωtq E0,zeipkx x`kyy`kzz´ωtq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“~kˆ ~E

por lo tanto

∇ˆ ~E “ i~kˆ ~E

mientras que para el termino

B~BBt“B

Bt~B0eipkx x`kyy`kzz´ωtq “ ´iω~B0eipkx x`kyy`kzz´ωtq

por lo tanto


i~kˆ ~E “ ´

´

´iω~B¯

ñ ~B “ 1ω~kˆ ~E “ k

ω kˆ ~E.

(12-4)

Esto demuestra que el campo electrico y magnetico son perpendiculares a la direccion de propagacion de laonda, y ademas que los campos electrico y magnetico son perpendiculares entre ellos, como se ilustra en lafigura 12-1


Figura 12-1: Ejemplo de una onda plana linealmente polarizada que se propaga de izquierda a derecha.

Dado que

v “ω

k“

2π f2πλ

“ λ f “ c

en el caso del vacıo podemos escribir la ecuacion (12-4) como

~B “1c

kˆ ~E.

Si consideramos que tanto el campo electrico como magnetico oscilan con fases δ y α respectivamente, y con-siderando la direccion de polarizacion del campo electrico como n

~E p~r, tq “ E0ei´

~k ~r´ωt`δ¯

n

de modo que

~B p~r, tq “1c

kˆ ~E p~r, tq “1c

kˆ E0ei´

~k ~r´ωt`δ¯

n “E0e

i´

~k ~r´ωt`δ¯

ckˆ n,

de forma analoga


~k ~r´ωt`α¯

,

si α “ δ son iguales, decimos que ambas ondas estan en fase lo cual implica que

~B0ei´

~k ~r´ωt`δ¯

“E0e

i´

~k ~r´ωt`δ¯

ckˆ n

~B0 “E0

ckˆ n “

1c

kˆ ~E0

por lo tanto, el modulo de la relacion anterior sera

B “Ec

, (12-5)

esto indica que el campo magnetico es mucho menos ((intenso)) que el campo electrico en una onda electro-magnetica propagandose en vacıo. Aunque debemos decir que estamos comparando dos cantidades comple-tamente diferentes.

Partiendo de la densidad de energıa electromagnetica asociada a los campos, obtenida en la ecuacion (11-6) ysuponiendo que los campos electrico y magnetico estan en fase, podemos remplazar lo obtenido en la ecuacion


(12-5)

ucampos “ 12

´

1µ0~B2 ` ε0~E2

¯

“ 12

ˆ

1µ0

´

~Ec

¯2` ε0~E2

˙

“ 12

´

1µ0

`

µ0ε0E2˘` ε0~E2¯

“ ε0E2

como podemos ver del resultado anterior, tanto el campo electrico, como el magnetico contribuyen igualmanera a la densidad de energıa, es decir los dos transportan la misma energıa.

Dado que la solucion de la ecuacion de onda para ondas planas es ~E p~r, tq “ ~E0ei´

~k ~r´ωt`δ¯

, podemos escribirsu parte real teniendo en cuenta la ecuacion (2-58), como

~E p~r, tq “ ~E0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ¯

mientras que para el termino de campo magnetico

~B p~r, tq “ ~B0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ¯

“1c

kˆ ~E0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ¯

.

Por lo tanto, la densidad de energıa electromagnetica asociada a los campos en una solucion de onda plana es

ucampos “ ε0E2 “ ε0~E20 cos2

´

~k ¨~r´ωt` δ¯

,

mientras que la densidad de energıa transportada por la onda dada por el vector de Poynting (11-7) es

~S “ 1µ0

´

~Eˆ ~B¯

“ 1µ0

´

~E0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ¯

ˆ 1c kˆ ~E0 cos

´

~k ¨~r´ωt` δ¯¯

“ 1µ0c cos2

´

~k ¨~r´ωt` δ¯

~E0 ˆ kˆ ~E0

apoyandonos en la identidad ~Aˆ ~Bˆ ~C “´

~A ¨ ~C¯

~B´´

~A ¨ ~B¯

~C obtenemos

~E0 ˆ kˆ ~E0 “´

~E0 ¨ ~E0

¯

k´´

~E0 ¨ k¯

¨ ~E0 “ E20 k

y por lo tanto el vector de Poynting para la solucion de onda plana es

~S “1

µ0

´

~Eˆ ~B¯

“E2

0 kµ0c

cos2´

~k ¨~r´ωt` δ¯

“ucampos

ε0µ0ck “ c ucampos k.

La relacion anterior indica que la onda se propaga con la velocidad de la luz en la direccion definida porel vector k. Teniendo en cuenta que la onda electromagnetica tiene un momento lineal asociado dado por laecuacion (11-12)

~pelect “ ε0µ0~S

para la solucion de onda plana tenemos

~pelect “ ε0µ0~S “~Sc2 “

cucampos kc2 “

ucampos kc

“ε0E2

0c

cos2´

~k ¨~r´ωt` δ¯

k


Pasemos ahora a considerar los valores promedios de la densidad de energıa electromagnetica, del momentolineal y del vector de Poynting sobre un periodo en la oscilacion de la onda electromagnetica plana. Si tenemosen cuenta que ω “ 2π

T entonces

@

ucamposD

“1T

Tż

0

ucamposdt “ω

2π

2πωż

0

ε0E20 cos2

´

~k ¨~r´ωt` δ¯

dt

para resolver la integral planteamos la sustitucion x “~k ¨~r´ωt` δ ñ dx “ ´ωdt, mientras que los lımites deintegracion son

t “ 0 Ñ x1 “~k ¨~r` δ

t “ 2πω Ñ x2 “~k ¨~r´ω

` 2πω

˘

` δ “~k ¨~r´ 2π` δ “ x1 ´ 2π

por lo tanto

@

ucamposD

“ ´ω

2πε0E2

0

x2ż

x1

cos2 xdxω

“ ´1

2πε0E2

0

x2ż

x1

1` cos 2x2

dx

“ ´1

2πε0E2

0

¨

˝

x2ż

x1

12

dx`

x2ż

x1

cos 2x2

dx

˛

‚

“ ´

ˇ

ˇ

ˇ

12π ε0E2

0

´

x2 `

14 sin 2x

¯ˇ

ˇ

ˇ

x2

x1

“ ´ 12π ε0E2

0

´

x1´2π2 ` 1

4 sin 2 px1 ´ 2πq ´ x12 ´

14 sin 2x1

¯

“ ´ 12π ε0E2

0

´

´π` 14 psin 2x1 cos 4π´ cos 2x1 sin 4πq ´ 1

4 sin 2x1

¯

“ ´ 12π ε0E2

0

´

´π` 14 sin 2x1 ´

14 sin 2x1

¯

“ 12 ε0E2

0

(12-6)

donde tuvimos en cuenta que cos2 θ “ 1`cos 2θ2 .

Podemos ahora escribir el valor medio del vector de Poynting en una oscilacion comoA

~SE

“ c@

ucamposD

k “ε0c2

E20 k (12-7)

este valor medio a lo largo de un ciclo se denomina intensidad de onda I

I “ε0c2

E20

Mientras que la densidad media de momento lineal es

x~pelecty “

@

ucamposD

kc

“ε0

2cE2

0 k

podemos ahora calcular el momento lineal electromagnetico promedio transferido a un material. Para ellodebemos integrar en el volumen, el cual podemos suponer sin perdida de generalidad como un cubo

A

~Pelect

E

“ x~pelecty dV “ε0

2cE2

0 k pc dt dAq “ε0

2E2

0 dt dAk

con este resultado podemos entonces calcular la fuerza media

A

~FE

“

dA

~Pelect

E

dt“

ε0

2E2

0 dAk


y finalmente la presion ejercida por la radiacion denominada presion de radiacion es

Prad “xFydA

“ε0

2E2

0 “Ic

.

Problema 166. Verifique por sustitucion que las siguientes ecuaciones son soluciones en el vacıo, para el campo magneti-co y electrico.

~B “ ~B0 cos pkx´ωtq ,~E “ ~E0 cos pkx´ωtq

Solucion 166. Para verificar que estas ecuaciones son soluciones de la ecuacion de onda (12-2), debemos de realizar cadauna de las derivadas

B~EBx“ ´~E0k sin pkx´ωtq ñ

B2~EBx2 “ ´

~E0k2 cos pkx´ωtq

mientras que

B~EBt“ ~E0ω sin pkx´ωtq ñ

B2~EBt2 “ ´

~E0ω2 cos pkx´ωtq

de forma tal, que al sustituir en la ecuacion de onda

ˆ

∇2 ´ µ0ε0B2

Bt2

˙

˜


¸

“ 0

obtenemos

B2~EBx2 ´ µ0ε0

B2~EBt2 “ 0

´~E0k2 cos pkx´ωtq ´ µ0ε0

´

´~E0ω2 cos pkx´ωtq¯

“ 0

ñ k2 “ µ0ε0ω2

y dado que vp “ωk entonces

k2

ω2 “1v2

p“

1c2 “ µ0ε0

por lo tanto, se cumple que ~E “ E0 cos pkx´ωtq es solucion de la ecuacion de onda, de igual forma se realiza para el casodel campo magnetico.

Problema 167. Se tiene una onda monocromatica plana la cual se propaga en la direccion k, mientras que el campoelectrico y magnetico se propagan en direcciones ı y respectivamente. Calcule el tensor de tensiones y la presion porradiacion instantanea y promedio ejercida por la onda en una superficie perpendicular a la direccion de propagacion de laonda, por facilidad solo considere la parte real de la solucion en la ecuacion de onda plana.

Solucion 167. Tenemos que la parte real la podemos escribir como

~E p~r, tq “ E0x cos pkz´ωt` δq ı~B p~r, tq “ B0x cos pkz´ωt` δq

Partiendo de la definicion del tensor de tensiones y de su expansion dadas por las ecuaciones (11-17) y (11-18), debemos

12.2 Ondas electromagneticas en medios dielectricos 319

calcular cada una de las contribuciones

Txx “ 12 ε0

´

E2x ´ E2

y ´ E2z

¯

` 12µ0

´

B2x ´ B2

y ´ B2z

¯

“ 12

´

ε0E2x ´

1µ0

B2y

¯

“ 12

´

ε0E2x ´

1µ0

E2x

c2

¯

“ 12

´

ε0E2x ´

1µ0

ε0µ0E2x

¯

“ 0

Txy “ ε0ExEy `1

µ0BxBy “ 0

Txz “ ε0EyEx `1

µ0ByBx “ 0

Tyy “ 12 ε0

´

E2y ´ E2

x ´ E2z

¯

` 12µ0

´

B2y ´ B2

x ´ B2z

¯

“ 12

´

1µ0

B2y ´ ε0E2

x

¯

“ 12

´

1µ0

E2x

c2 ´ ε0E2x

¯

“ 12

´

1µ0

ε0µ0E2x ´ ε0E2

x

¯

“ 0

Tyz “ ε0EyEz `1

µ0ByBz “ 0

Tzz “ 12 ε0

´

E2z ´ E2

x ´ E2y

¯

` 12µ0

´

B2z ´ B2

x ´ B2y

¯

“ ´ 12

´

ε0E2x `

1µ0

B2y

¯

“ ´ 12

´

ε0E2x `

1µ0

E2x

c2

¯

“ ´ 12

´

ε0E2x `

1µ0

ε0µ0E2x

¯

“ ´ε0E2x

donde tuvimos en cuenta que c2 “ 1ε0µ0

, al tomar c “ 1, obtenemos ε0 “1

µ0. Por lo tanto el tensor de tensiones de

Maxwell quedara como

ÐÑT “

¨

˝

0 0 00 0 00 0 ´ε0E2

x

˛

‚.

Para calcular la presion por radiacion instantanea tenemos

Prad “ ´n ¨ ÐÑT ¨ n “ ´k ¨ ÐÑT ¨ k “ ´`

0 0 1˘

¨

˝

0 0 00 0 00 0 ´ε0E2

x

˛

‚

¨

˝

001

˛

‚“ ε0E2x

mientras que la presion por radiacion promedio en un ciclo sera

xPrady “ 1T

Tż

0

Praddt

“1T

Tż

0

ε0E2xdt

“1T

Tż

0

ε0E20x

cos2 pkz´ωt` δq dt

“ 12 ε0E2

0

donde empleamos el mismo procedimiento en la evaluacion de la integral, que el realizado en la ecuacion (12-6).

12.2. Ondas electromagneticas en medios dielectricos

Hasta ahora solo hemos considerado ondas electromagneticas en el vacıo y en ausencia de fuentes de carga yde corrientes libres. El proximo paso natural es considerar medios dielectricos lineales caracterizados por unapermisividad ε y una permeabilidad µ, para lo cual debemos recordar las definiciones (6-16) y (9-1)

~D p~rq “ ε~E p~rq~H p~rq “

~Bp~rqµ

(12-8)


de tal forma que podemos escribir las ecuaciones de Maxwell como

∇ ¨ ~D p~rq “ 0∇ ¨ ~B p~rq “ 0

∇ˆ ~E p~rq “ ´B~Bp~rqBt

∇ˆ ~H p~rq “B~Dp~rqBt

”

∇ ¨ ~E p~rq “ 0∇ ¨ ~B p~rq “ 0

∇ˆ ~E p~rq “ ´B~Bp~rqBt

∇ˆ ~B p~rq “ εµB~Ep~rqBt

(12-9)

la unica diferencia aparece en la ley de Ampere-Maxwell con respecto a las ecuaciones de Maxwell en el vacıo,debido a que la velocidad de propagacion de las ondas electromagneticas en medios dielectricos sera

v “

d

1εµ

, (12-10)

podemos relacionar la velocidad de propagacion en medios dielectricos, con la velocidad en el vacıo como

v “

d

1εµ“

d

1εµ

c

ε0µ0

ε0µ0“

c

ε0µ0

εµ

d

1ε0µ0

“ cc

ε0µ0

εµ. (12-11)

Ası mismo podemos definir

n “c

εµ

ε0µ0(12-12)

como el ındice de refraccion del material. Este numero es igual o mayor a uno, lo cual nos indica que lavelocidad de la luz en medios dielectricos es menor que la velocidad en el vacıo.

v “cn

(12-13)

En funcion de las soluciones obtenidas en la seccion anterior, podemos obtener las nuevas relaciones cambian-do solamente los valores de las permitividades y las permeabilidades, tomando solamente la parte real

~E p~r, tq “ ~E0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ¯

mientras que

~B p~r, tq “ ~B0 cos´

~k ¨~r´ωt¯

“1v

kˆ ~E0 cos´

~k ¨~r´ωt` δ¯

dado que ω “ kv tenemos

k “ω

v“

ωb

1εµ

“ω

b

1εµ

c

ε0µ0

ε0µ0“ ω

c

εµ

ε0µ0

?ε0µ0 “ ω

nc

. (12-14)

Por sencillez hemos venido analizando la solucion es una onda plana


~k ~r´ωt¯

~B p~r, tq “ ~E0ei´

~k ~r´ωt¯

si consideramos que~k, puede ser un vector complejo k “ k<` ik= donde la parte real sera k<, mientras la parteimaginaria es k=. El termino exponencial de la solucion de onda plana podemos reescribirlo como

ei´

~k ~r´ωt¯

“ eipkpk<`ik=q ~r´ωtq “ e´k= ~reipkk< ~r´ωtq

12.3 Ondas electromagneticas en medios conductores 321

podemos ver del termino anterior un termino oscilante que esta asociado a la parte real de~k y un termino deamortiguamiento asociado a la parte imaginaria de~k.

Dado quek ¨ k “

´

k< ` ik=¯

¨

´

k< ` ik=¯

“ k2< ` 2ik= ¨ k< ´ k2

= “ 1

de tal forma que k2< ´ k2

= “ 1 y k= ¨ k< “ 0, esto ultimo implica que k= K k<. Teniendo en cuenta quecosh2 θ ´ sinh2 θ “ 1 podemos escribir el vector numero de onda como

k “

k<hkkkikkkj

cosh2 θk` i

k=hkkkikkkj

sinh2 θ ı

dado que k ¨ ~E “ 0 y que podemos escribir el ~E “ E0

´

aı` b ` ck¯

, vamos a determinar las constantes comple-jas a, b y c, para ello

k ¨ ~E “´

cosh2 θk` i sinh2 θ ı¯

¨ E0

´

aı` b ` ck¯

“ c cosh θ ` ia sinh θ “ 0

para que se cumpla lo anterior c “ cosh θ y a “ i sinh θ.

Para calcular la densidad de energıa electromagnetica (11-6) para medios dielectricos , debemos partir de

B “Ev“?

ε0µ0E

por lo tantoucampos “ 1

2

´

1µ B2 ` εE2

¯

“ 12

´

~B ¨ ~H ` ~E ¨ ~D¯

de tal forma que el valor medio temporal lo podemos escribir como@

ucamposD

“ 12

A

~B ¨ ~H ` ~E ¨ ~DE

“ 12

´A

~E ¨ ~DE

`

A

~B ¨ ~HE¯

teniendo en cuenta la ecuacion (2-65) la relacion anterior la podemos escribir como@

ucamposD

“ 14<

´

~E ¨ ~D˚ ` ~B ¨ ~H˚¯

“ 14<

´

ε˚~E ¨ ~E˚ ` 1µ˚

~B ¨ ~B˚¯

(12-15)

Mientras que valor medio del vector de Poynting (11-7), quedara escrito comoA

~SE

“

A

~Eˆ ~HE

“12<´

~Eˆ ~H˚¯

“12<´

~E˚ ˆ ~H¯

. (12-16)

12.3. Ondas electromagneticas en medios conductores

En esta seccion analizaremos medios isotropos y homogeneos, los cuales ahora seran conductores. Este hechocambia las cosas, dado que ahora una onda electromagnetica que incide sobre un material conductor, produ-cira corrientes electricas debido a la atenuacion del campo electrico oscilante. Ası entonces, para materialesisotropos

~Jlibre “ σ~E

donde σ es la conductividad del material. Las ecuaciones de Maxwell ahora las escribimos como

∇ ¨ ~E “ρlibre

ε ,∇ ¨ ~B “ 0,∇ˆ ~E “ ´B

~BBt ,

∇ˆ ~B “ µσ~E` εµ B~EBt .


Si tenemos en cuenta la ecuacion de continuidad para las cargas y corrientes libres (10-1) para medios conduc-tores tenemos

BρlibreBt `∇ ¨~Jlibre “ 0BρlibreBt `∇ ¨ σ~E “ 0BρlibreBt ` σ

ρlibreε “ 0

donde hemos utilizado la ley de Gauss en el ultimo paso. Debemos ahora resolver esta ecuacion, para ellovamos a suponer que σ es constante, lo cual es consistente con la suposicion de homogeneidad del material.Podemos suponer que la densidad de carga es funcion de la posicion y del tiempo

ρ p~r, tq “ Ξ p~rq T ptq

y al remplazarlo en la ecuacion de continuidad obtenemos

BρlibreBt ` σ

ρlibreε “ 0

BBt Ξ p~rq T ptq ` σ

ε Ξ p~rq T ptq “ 0Ξ p~rq B

Bt T ptq ` σε Ξ p~rq T ptq “ 0

dTptqdt ` σ

ε T ptq “ 0

ñ

Tż

T0

dTptqTptq “ ´

tż

0

σε dt

ln TT0“ ´ σ

ε tT ptq “ T0e´

σε t

por lo tanto, la densidad de carga queda como

ρ p~r, tq “ Ξ p~rq T0e´σε t “ Ξ p~rq T0e´

tτ

donde hemos definido el tiempo caracterıstico como τ “ε

σ. Este hecho implica que aun en presencia de

campos dependientes del tiempo, la carga libre en el interior del conductor tiende a emigrar a la superficie deeste en un tiempo τ. Al considerar un conductor ideal σ Ñ 8, al tiempo que τ Ñ 02, de tal forma que τ es unindicador de que tan buen conductor es el material.

Si tenemos en cuenta que en conductores los tiempos de disipacion de carga son cortos, podemos reescribir laley de Gauss como

∇ ¨ ~E “ 0,

sin embargo, las demas ecuaciones permaneceran inalteradas. Si tomamos el rotacional de la ley de Faraday

∇ˆ∇ˆ ~E “ ´∇ˆ B~BBt

∇´

∇ ¨ ~E¯

´∇2~E “ ´B

Bt∇ˆ ~B

´∇2~E “ ´B

Bt

˜

µσ~E` εµB~EBt

¸

ñ ∇2~E´ µσB~EBt´ εµ

B2~EBt2 “ 0

(12-17)

donde tuvimos en cuenta que ∇ˆ´

∇ˆ ~A¯

“ ∇´

∇ ¨ ~A¯

´∇2 ~A. Como podemos ver en la ecuacion de onda

aparece una derivada temporal del campo electrico µσB~EBt

que no habıamos obtenido en la ecuacion (12-1).Este termino es equivalente a un factor de amortiguamiento.

2Es claro que las acciones instantaneas no existen en la naturaleza debido a los lımites relativistas. Adicionalmente el termino dedisipacion de la carga esta directamente relacionado con el camino libre medio (tiempo entre choques de las partıculas) y por lo tanto enconductores reales no puede ser cero.


De forma analoga podemos obtener la ecuacion de onda para campo magnetico partiendo de la ecuacion deAmpere-Maxwell

∇ˆ∇ˆ ~B “ ∇ˆ˜

µσ~E` εµB~EBt

¸

∇´

∇ ¨ ~B¯

´∇2~B “ µσ∇ˆ ~E` εµ∇ˆ B~EBt

´∇2~B “ ´µσB~BBt´ εµ

B2~BBt2

ñ ∇2~B´ µσB~BBt´ εµ

B2~BBt2 “ 0

teniendo en cuenta la solucion general de onda plana (12-3). Podemos considerar sin perdida de generalidadque la onda solamente se propaga en la direccion k, y suponiendo adicionalmente que el vector numero deonda es complejo tenemos

~E pz, tq “ ~E0ei´

rkz´ωt¯

~B pz, tq “ ~B0ei´

rkz´ωt¯

remplazando los campos en la ecuacion (12-17)

∇2~E´ µσB~EBt´ εµ

B2~EBt2 “ 0

∇2~E0ei´

rkz´ωt¯

´ µσB

Bt~E0e

i´

rkz´ωt¯

´ εµB2

Bt2~E0e

i´

rkz´ωt¯

“ 0

´rk2~E0ei´

rkz´ωt¯

` iωµσ~E0ei´

rkz´ωt¯

`ω2εµ~E0ei´

rkz´ωt¯

“ 0´rk2 ` iωµσ`ω2εµ “ 0

ñ rk2 “ ω2εµ` iωµσ

(12-18)

lo cual implica que el vector numero de onda efectivamente es complejo y lo podemos escribir como

rk “ k` iK

donde k y K son la parte real e imaginaria respectivamente. Por lo tanto al remplazar en nuestra ecuacion deonda tenemos

~E pz, tq “ ~E0eippk`iK qz´ωtq ñ ~E pz, tq “ ~E0e´K zeipkz´ωtq

~B pz, tq “ ~B0eippk`iK qz´ωtq ñ ~B pz, tq “ ~B0e´K zeipkz´ωtq (12-19)

podemos ver que ademas del termino oscilante ya conocido, tenemos un termino de amortiguamiento o deatenuacion, el cual proviene del termino µσ B

~EBt como lo habıamos visto en la ecuacion (12-17) y esta vinculado

con la parte compleja del vector numero de onda.

Debemos ahora calcular los valores de k y K , para lo cual partimos de la ecuacion (12-18)

iωµσ`ω2εµ “ rk2

“ pk` iK q pk` iK q

“ k2 ` 2ikK ´K 2

ñω2εµ “ k2 ´K 2

iωµσ “ 2ikK

lo cual implica que

K “ωµσ

2k


y al remplazar este resultado en la parte real

ω2εµ “ k2 ´K 2

ñ k2 “ K 2 `ω2εµ

k2 “ω2µ2σ2

4k2 `ω2εµ

4k4 ´ 4k2ω2εµ´ω2µ2σ2 “ 0

resolviendo la ecuacion cuadratica obtenemos

k2 “4ω2εµ˘

?42ω4ε2µ2`4p4qω2µ2σ2

8

“4ω2εµ˘4ωµ

?ω2ε2`σ2

8

“ω2εµ˘ω2µε

b

1` σ2ω2ε2

2

“ω2εµ

2

ˆ

1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

ñ k “ ˘ω

d

εµ2

ˆ

1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

(12-20)

mientras queω2εµ “ k2 ´K 2

ñ K 2 “ k2 ´ω2εµ

“ω2εµ

2

ˆ

1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

´ω2εµ

“ω2εµ

2

ˆ

´1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

ñ K “ ˘ω

d

εµ2

ˆ

´1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

(12-21)

un aspecto interesante es que si σ Ñ 0, lo cual implica que el material es aislante entonces K “ 0 y k “ ω?

εµ.Por lo tanto no hay amortiguamiento de la onda. Un aspecto util del termino de atenuacion, es que podemosdefinir la profundidad de penetracion de la onda, como la distancia a la cual se reduce la amplitud en un factorde e´1

d “1

K“

1ω

«

εµ

2

˜

´1˘

c

1`σ2

ω2ε2

¸ff´ 12

Teniendo en cuenta que las relaciones entre los vectores~k,~E y ~B, se deben mantener, y en particular que (12-4)

~B “kω

kˆ ~E

los campos ~E y ~B no oscilaran en fase, para analizar esto podemos escribir

rk “ˇ

ˇ

ˇ

rkˇ

ˇ

ˇeiφ “

a

k2 `K 2eiφ

donde?

k2 `K 2 “

g

f

f

e

˜

ω

d

εµ2

ˆ

1`b

1` σ2

ω2ε2

˙

¸2

`

˜

ω

d

εµ2

ˆ

´1`b

1` σ2

ω2ε2

˙

¸2

“

d

ˆ

ω2 εµ2

ˆ

1`b

1` σ2

ω2ε2

˙˙

`

ˆ

ω2 εµ2

ˆ

´1`b

1` σ2

ω2ε2

˙˙

“ ω

ˆ

εµb

1` σ2

ω2ε2

˙12


y extraer la fase del vector de onda complejo

tan φ “K

k“

ω

d

εµ2

ˆ

´1`b

1` σ2

ω2ε2

˙

ω

d

εµ2

ˆ

1`b

1` σ2

ω2ε2

˙

“

c

´1`b

1` σ2

ω2ε2

c

1`b

1` σ2

ω2ε2

podemos escribir de forma mas clara la relacion anterior teniendo en cuenta que

tan 2φ “2 tan φ

1´ tan2 φ

ası

tan 2φ “2 tan φ

1´tan2 φ“

2

c

´1`b

1` σ2ω2ε2

c

1`b

1` σ2ω2ε2

1´´1`

b

1` σ2ω2ε2

1`b

1` σ2ω2ε2

“

2

c

´1`b

1` σ2ω2ε2

c

1`b

1` σ2ω2ε2

1`b

1` σ2ω2ε2`1´

b

1` σ2ω2ε2

1`b

1` σ2ω2ε2

“

c

´1`b

1` σ2

ω2ε2

c

1`b

1` σ2

ω2ε2

˜

1`

c

1`σ2

ω2ε2

¸

“

g

f

f

e

˜

´1`

c

1`σ2

ω2ε2

¸˜

1`

c

1`σ2

ω2ε2

¸

“

d

ˆ

1`σ2

ω2ε2

˙

´ 1

“σ

ωε

por lo tanto

φ “12

arctan´ σ

ωε

¯

.

Dado que los campos no oscilan en fase, tendremos constantes diferentes para el campo electrico y magnetico,esto lo podemos escribir como

~E0 “ ~E0eiδE

~B0 “ ~B0eiδB

teniendo en cuenta que ~B0 “rkωrkˆ ~E0, podemos tomar el modulo para encontrar una relacion entre los campos

B0 “ kω E0

B0eiδB “|rk|eiφ

ω E0eiδE

“|rk|ω E0eipδE`φq

definiendo δB “ δE ` φ, ası entonces

B0 “|rk|ω E0 “

ω

ˆ

εµb

1` σ2ω2ε2

˙12

ω E0 “

ˆ

εµb

1` σ2

ω2ε2

˙12

E0


de lo anterior tenemos que el campo magnetico esta desfasado un angulo φ con respecto al campo electrico yhemos obtenido una relacion entre los campos para medios conductores. Si consideramos las partes reales delas soluciones (12-19)

~E pz, tq “ ~E0e´K z cos pkz´ωt` δEq ,~B pz, tq “ ~B0e´K z cos pkz´ωt` δE ` φq

y generalizando este resultado obtenemos

~E p~r, tq “ ~E0e´ ~K ~r cos´

~k ¨~r´ωt` δE

¯

,

~B p~r, tq “ ~B0e´ ~K ~r cos´

~k ¨~r´ωt` δE ` φ¯

.

Debido a que el campo tiene una dependencia temporal compleja de la forma eiωt tenemos que

B

Bt

˜


¸

“ ´iω

˜


¸

y al remplazar lo anterior en la ecuacion de Ampere-Maxwell

∇ˆ ~B “ µσ~E` εµ B~EBt

“ µσ~E´ iεµω~E“ µ

`

´ σiω ` ε

˘

´

´iω~E¯

“ µ´

iσω ` ε

¯

B~EBt

“ µε B~EBt

donde hemos definido ε como la permitividad compleja

ε “iσω` ε (12-22)

podemos ver que ∇ˆ ~B es equivalente al que obtuvimos para el caso de ondas electromagneticas en mediosdielectricos (12-9) y por lo tanto es posible adoptar los mismos resultados cambiando claro esta, el valor de lapermitividad real por la permitividad compleja ε Ñ ε. Bajo este analisis reescribimos la ecuacion (12-18) como

rk2 “ ω2εµ` iωµσ

“ ω2µ´

ε` iσω

¯

“ ω2µε

ñ rk “ ω?

µε

dado querk “

ω

v“ ω

?µε “ n

ω

c

donde hemos utilizado la relacion del numero de onda complejo con el ındice de refraccion de la ecuacion(12-14), el cual ahora tambien sera complejo. Un aspecto interesante de la ecuacion (12-18) es que la partereal proviene de la corriente de desplazamiento , mientras que la parte imaginaria proviene de la corriente deconduccion y esta es la que nos da la desviacion con respecto al caso con vector de onda real. Es por ello que el

parametro de analisis que usaremos, sera la razon entre ambos terminosωµσ

ω2εµ“

σ

ωε, con el cual distinguimos

dos casos:


1. Para el caso dondeσ

ωε! 1, corresponde a malos conductores debido a la baja conductividad, ası como

tambien a conductores expuestos a muy altas frecuencias. Para analizar el caso de malos conductorespartiremos de las ecuaciones para k y K (12-20,12-21)

k “ ω

d

εµ2

ˆ

1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

K “ ω

d

εµ2

ˆ

´1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

ÝÑσ

ωε ! 1k “ ω

?εµ

K “ 0

como podemos ver de los resultados anteriores, la atenuacion es pequena ya que nos acercamos al casoen el cual el vector numero de onda es real, esto implica que la fase φ entre los campos y B0 son

φ “ 12 arctan

`

σωε

˘

B0 “

ˆ

εµb

1` σ2

ω2ε2

˙12

E0

ÝÑσ

ωε ! 1φ “ 0

B0 “?

εµE0

de modo que los campos estan aproximadamente en fase.

2. Para el caso donde σωε " 1, corresponde a buenos conductores, ası como tambien a malos conductores a

muy bajas frecuencias, sin embargo, dado que las frecuencias usualmente son altas estamos en el regimende buenos conductores3.

k “ ω

d

εµ2

ˆ

1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

K “ ω

d

εµ2

ˆ

´1˘b

1` σ2

ω2ε2

˙

ÝÑσ

ωε " 1k “ ω

b

εµ2

b

σωε

K “ ωb

εµ2

b

σωε

ñ k “ K “

b

ωµσ2

esto implica queφ “ arctan K

k

B0 “

ˆ

εµb

1` σ2

ω2ε2

˙12

E0

ÝÑσ

ωε " 1φ “ π

4

B0 “?

εµb

σωε E0

Problema 168. Demuestre que la profundidad de penetracion para σωε ! 1 es 2

σ

b

εµ , mientras que σ

ωε " 1 es λ2π “

2πb

2ωµσ . A partir de estos resultados calcule la profundidad de penetracion en el agua para beber y el cobre teniendo

en cuenta los valores para la resistividad a una temperatura de 293.15K son respectivamente ρagua “ 1010Ω ¨ m yρCu “ 1.68ˆ 10´8Ω ¨m. Considere una frecuencia de f “ 2.45GHz (la cual corresponde a la frecuencia que opera unmicroondas), tenga en cuenta que la permitividad y la permeabilidad magnetica son respectivamente εagua “ 80.1ε0 ,εCu “ 2.8ε0 y µagua “ µCu “ 1.256ˆ 10´6T ¨ A´1 ¨m.

Solucion 168. Teniendo en cuenta que la profundidad de penetracion se define como

d “1

K

donde

K “ ω

g

f

f

e

εµ

2

˜

´1`

c

1`σ2

ω2ε2

¸

3En la mayorıa de los metales σε « 108 tal que la condicion se cumple para frecuencias debajo de 1017s´1, es decir de la region derayos X hacia abajo.


procedemos ahora a hacer una expansion binomial4 del termino

c

1`σ2

ω2ε2 « 1`12

σ2

ω2ε2 ´18

ˆ

σ2

ω2ε2

˙2

` ...

remplazando solo los terminos a primer orden en la expansion tenemos

K “ ω

d

εµ2

ˆ

´1`b

1` σ2

ω2ε2

˙

« ω

c

εµ2

´

´1` 1` 12

σ2

ω2ε2

¯

« ωb

εµ4

σ2

ω2ε2

« σ2

b

µε

y dado que

d “1

K«

1σ2

b

µε

“2σ

c

ε

µ

quedando demostrada la primera parte. Para el caso σωε " 1 debemos tener en cuenta que k “ K “

b

ωµσ2 , y dado que

k “2π

λñ λ “

2π

k“

2π

K“ 2πd

el resultado anterior implica que

d “λ

2π”

2π

K“

2πb

ωµσ2

“ 2π

d

2ωµσ

demostrando la segunda parte. Para calcular la profundidad de penetracion al agua y el cobre debemos analizar primerola relacion σ

ωε

σ

ωε

ˇ

ˇ

ˇ

agua“

1ρ p2π f q ε

“ 11010Ω¨mp2πp2.45ˆ109s´1qq80.1p8.85ˆ10´12C2¨N´1¨m´2q

“ 9.073ˆ 10´5

σ

ωε

ˇ

ˇ

ˇ

Cu“

1ρ p2π f q ε

“ 11.68ˆ10´8Ω¨mp2πp2.45ˆ109s´1qq2.8p8.85ˆ10´12C2¨N´1¨m´2q

“ 1.560ˆ 108

donde hemos tenido en cuenta que Ω “ kg ¨m2 ¨ s´1 ¨ C´2, en consecuencia para el agua la profundidad de penetracionsera

d “2σ

c

ε

µ“ 2ρ

c

ε

µ“ 2 p1010Ω ¨mq

d

80.1`

8.85ˆ 10´12C2 ¨ N´1 ¨m´2˘

1.256ˆ 10´6T ¨ A´1 ¨m“ 48.10m

mientras que para el caso del cobre tenemos

d “ 2π

d

2ωµσ

“ 2π

d

2ρ

ωµ“ 2π

d

2`

1.68ˆ 10´8Ω ¨m˘

2π`

2.45ˆ 109s´1˘

1.256ˆ 10´6T ¨ A´1 ¨m“ 8.28ˆ 10´6m

de este resultado podemos ver que los campos no penetran dentro del cobre, al igual que en los metales, y en consecuenciasolo tenemos que preocuparnos por los campos dentro de una cavidad y no dentro del metal o fuera de la cavidad.

4p1´ xq12 « 1` 1

2 x´ 18 x2 ` ...

12.4 Dispersion y absorcion de ondas electromagneticas 329

12.4. Dispersion y absorcion de ondas electromagneticas

Las ondas electromagneticas al propagarse pueden actuar sobre los constituyentes de un material, sean estosatomos, moleculas, iones o electrones libres o ligados al material. De forma tal que parte de la energıa de laonda al ser absorbida se transforma en otras formas de energıa ya sean estas rotacionales, vibracionales otraslacionales. Sin embargo, este hecho dependera en gran medida de la frecuencia de la onda y de los valoresde la permisividad y la permeabilidad del material.

Para estudiar dicho fenomeno, podemos plantear un modelo clasico, en el cual un electron esta unido a unresorte y representara los atomos o moleculas del medio y esta inmerso en un campo electromagnetico el cualproducira un termino de forzamiento. Si suponemos que la magnitud del campo electrico es mayor que la delcampo magnetico, podemos ignorar este ultimo. De tal forma que la sumatoria de fuerzas del sistema sera

ř

F “ Frestauradora ` Famortiguamiento ` Fexterna

“ ´kresortex´ b dxdt ´ eE0 cos ωt

donde Frestauradora es la fuerza ejercida por el resorte, Famortiguamiento es una fuerza amortiguamiento la cual esresponsable de la absorcion y disipacion de la energıa y que podemos suponer proporcional a la velocidad,donde b representa dicho termino de amortiguamiento. Finalmente tenemos la Fexterna que esta asociada alcampo electrico externo y que por facilidad la escribiremos como ~E pz, tq “ ~E0 cos ωt “ E0 cos ωt ı. Por lo tanto,la fuerza que sentira el electron sera e~E pz, tq. Es importante anotar que el analisis se hace para el electron delatomo, dado que estamos considerando que este es suficiente masivo para permanecer en reposo. Si tenemos

en cuenta que la frecuencia natural del sistema ω0 “

b

kresortem y que el termino de amortiguamiento lo podemos

escribir como b “ γm, entonces

m d2xdt2 “ ´kresortex´ b dx

dt ´ eE0 cos ωtm d2x

dt2 ` b dxdt ` kresortex “ éE0 cos ωt

d2xdt2 ` γ dx

dt `ω20x “ ´ e

m E0eíωt

como podemos ver, esta es la ecuacion de un oscilador armonico, amortiguado y forzado. La solucion de estaecuacion diferencial se compone de la suma de dos terminos: La solucion del estado transitorio, que dependede las condiciones iniciales, y la solucion del estado estacionario que es independiente de las condicionesiniciales y la cual determina el movimiento del sistema finalmente. En el estado estacionario podemos suponeruna solucion compleja de la forma

rx ptq “ rx0eíωt

para calcular el valor de la amplitud inicial debemos remplazar dicha solucion en la ecuacion diferencial

d2

dt2 rx0eíωt ` γ ddt rx0eíωt `ω2

0rx0eíωt “ ´ em E0eíωt

´ω2rx0eíωt ´ iγωrx0eíωt `ω2

0rx0eíωt “ ´ em E0eíωt

rx0`

´ω2 ´ iγω`ω20˘

“ ´ em E0

ñ rx0 “ é

mpω20´ω2íγωq

E0

y por lo tanto nuestra solucion escrita vectorialmente sera

~rx ptq “

em`

ω2 ` iγω´ω20˘

~E0eíωt.

El movimiento del electron da origen a un momento dipolar electrico dado por la parte real de la ecuacion

~rp ptq “ é~rx ptq “

e2

m`

ω20 ´ω2 ´ iγω

˘

~E0eíωt


mientras que el termino imaginario implica que ~rp ptq no esta en fase con ~E, donde el angulo sera la relacion

entre la parte real y compleja

δ “ arctanγω

ω20 ´ω2

el cual sera muy pequeno cuando ω ! ω0 y π cuando ω " ω0. Si consideramos que tenemos N electrones porunidad de volumen, es claro que no todos tendran los mismos valores γ y ω0. Por lo tanto, podemos definirun vector de polarizacion electrica inducida como

~rP ptq “

Ne2

m

ÿ

j

f j´

ω20j´ω2 ´ iγjω

¯

~E0e´iωt

donde f j es el numero de electrones con frecuencia ω0j y amortiguamiento γj en cada atomo o molecula.Procedemos ahora a definir la susceptibilidad electrica compleja partiendo de la relacion para medios lineales

~P “ ε0χe~E

de tal forma que la polarizacion compleja es proporcional al campo electrico complejo y una susceptibilidadelectrica compleja

~rP “ ε0 rχe

~rE

de forma que

rχe “Ne2

m

ÿ

j

f j´


¯ .

Teniendo en cuenta la proporcionalidad entre ~D y ~E, dada por la ecuacion (6-20) tenemos

~D “ ε0 p1` rχeq~E “ rε~E

por lo tanto, la constante dielectrica compleja del medio la podemos escribir como

rεr “rε

ε0“ 1` rχe “ 1`

Ne2

ε0m

ÿ

j

f j´


¯

como vemos la permisividad electrica del medio depende fuertemente de la frecuencia de la onda incidente,debido a que el termino de amortiguamiento por lo general es muy pequeno al compararlo con la frecuencianatural de resonancia. De modo que rχe sera real, con excepcion cuando ω0j « ω momento en el cual rχe escomplejo.

Para relacionar el indice de refraccion con la constante dielectrica, partimos de la ecuacion (12-12)

n “c

εµ

ε0µ0

si condideramos medios no magneticos, lo cual equivale a decir que µ0 « µ, tenemos

n “

g

f

f

e1`Ne2

ε0m

ÿ

j

f j´


¯

12.4 Dispersion y absorcion de ondas electromagneticas 331

y por lo tanto el indice de refraccion sera complejo. Dado que los terminos de la sumatoria para gases espequeno podemos hacer una expansion a primer orden de la raız para su analisis

rn “ 1` Ne2

2ε0mř

jf j

ˆ

ω20j´ω2íγjω

˙

“ 1` Ne2

2ε0mř

jf j

ω20j´ω2íγjω

ω20j´ω2ìγjω

ω20j´ω2ìγjω

“ 1` Ne2

2ε0mř

j

f j

ˆ

ω20j´ω2ìγjω

˙

ˆ

ω20j´ω2

˙2`γ2

j ω2

“ 1` Ne2

2ε0mř

j

f j

ˆ

ω20j´ω2

˙

ˆ

ω20j´ω2

˙2`γ2

j ω2` i Ne2

2ε0mř

jf jγjω

ˆ

ω20j´ω2

˙2`γ2

j ω2

“ n` iN

(12-23)

donde n y N son los terminos real y complejo respectivamente del indice de refraccion. Como podemos verde la ecuacion anterior, el termino imaginario esta asociado con la absorcion y por lo tanto definimos

α “ 2N “Ne2

ε0m

ÿ

j

f jγjω´

ω20j´ω2

¯2` γ2

j ω2(12-24)

Para ondas monocromaticas tenemosn “

cv

sin embargo, un aspecto importante es que las ondas monocromaticas puras no existen, incluso en los diodoslaser (en muchos libros se les consideran monocromaticos) su longitud de onda varia ası sea por nanometrosy por lo tanto, es mas comun hablar de velocidad de fase v f , la cual la definimos como

n “c

v fdonde v f “

ω

k(12-25)

dado que la velocidad de fase depende de la frecuencia, hablamos de medios dispersivos cuando las compo-nentes espectrales de onda que tienen diferentes velocidades de fase se dispersan5. Y como consecuencia laforma de la senal no se conserva debido a los cambios individuales en la fase. Solo cuando la dispersion delmedio es debil la deformacion sera insignificante.

En el caso de un conjunto de ondas, las cuales forman una onda policromatica definimos la velocidad de grupode la onda

vg “dω

dk(12-26)

de la ecuacion (12-25) tenemos

k “ω

cn

remplazando la relacion anterior en la ecuacion (12-26)

dkdω

“d

dω

´ω

cn¯

“nc`

ω

cdndω

“nc

ˆ

1`ω

ndndω

˙

“1v f

ˆ

1`ω

ndndω

˙

5Una imagen de esto, es la dispersion que sufre la luz a atravesar un prisma dispersivo, el cual hace que diferentes colores se refractenen diferentes angulos al dividir la luz blanca en un espectro.


por lo tanto

vg “dω

dk“ v f

ˆ

1`ω

ndndω

˙´1ñ vg “

v f´

1` ωn

dndω

¯

Si despreciamos el coeficiente de amortiguamiento y el indice de refraccion complejo de la ecuacion (12-23)obtenemos

n “ 1`Ne2

2ε0m

ÿ

j

f j

ω20j´ω2

,

si suponemos que estamos en una region lejos de la resonancia´

ω ă ω0j

¯

, podemos reescribir el termino deldenominador como

1ω2

0j´ω2

“1

ω20j

˜

1´ ω2

ω20j

¸ “1

ω20j

¨

˝1´ω2

ω20j

˛

‚

´1

«1

ω20j

¨

˝1`ω2

ω20j

˛

‚

por lo tanto, el indice de refraccion nos queda como

n “ 1`Ne2

2ε0m

ÿ

j

f j

ω20j

¨

˝1`ω2

ω20j

˛

‚“ 1`Ne2

2ε0m

ÿ

j

f j

ω20j

`Ne2ω2

2ε0m

ÿ

j

f j

ω40j

dado que en el vacıo tenemos c “ λ f “ λ2πω, por lo tanto ω “ cλ2π y al remplazar esto en la ecuacion anterior

obtenemos

n “ 1`Ne2

2ε0m

ÿ

j

f j

ω20j

`Ne2

2ε0mc2

λ24π2

ÿ

j

f j

ω40j

“ 1`Ne2

2ε0m

ÿ

j

f j

ω20j

ˆ

1`c2

λ24π2

˙

” 1` Aˆ

1`Bλ2

˙

(12-27)

esta relacion se conoce como formula de Cauchy donde A y B se denominan coeficiente de refraccion y disper-sion respectivamente6.

12.5. Polarizacion de ondas planas

Si partimos de la solucion de ondas planas (12-3)


~k ~r´ωt¯


~k ~r´ωt¯

6La forma mas general de la ecuacion de Cauchy es

n pλq “ A1 `B1

λ2 `C1

λ4 ` ...

donde A1, B1 y C1, etc., son coeficientes que estan determinados por las propiedades del material. Sin embargo una buena aproximaciones 12-27. 36 anos despues de la ecuacion de Cauchy, Wilhelm Sellmeier encontro una relacion tambien empırica, la cual se ajusta mejor elindice de refraccion en medidos fuera de la region visible

n2 pλq “ 1`ÿ

i

Bi

λ2 ´ Ci

donde los terminos Bi y Ci son constantes a determinar experimentalmente para tipo de medio.

12.5 Polarizacion de ondas planas 333

donde ~E0 y ~B0 son perpendiculares a la direccion de propagacion y por lo general complejas. Para este tipo depolarizacion los campos electrico y magnetico permanecen fijos en una sola direccion y solo pueden invertirsu direccion. Por ello se dice que las ondas estan polarizadas linealmente.

Si tenemos en cuenta que una solucion general solo necesita dos vectores linealmente independientes, paragenerar cualquier vector en el plano de polarizacion, podemos escribir

~E p~r, tq “ ~E1 p~r, tq ` ~E2 p~r, tq “ pe1E1 ` e2E2q ei´

~k ~r´ωt¯

donde E1 y E2 son cantidades complejas, si tienen la misma fase, tenemos ondas linealmente polarizadas lascuales podemos representar como en la figura 12-2 donde el angulo del vector de polarizacion y la amplituddel campo seran

Figura 12-2: Onda electromagnetica linealmente polarizada.

θ “ arctan E2E1

y E “b

E21 ` E2

2 .

Si ~E1 y ~E2 tienen diferente fase, esto es E1 “ E01eiα y E2 “ E02eiβ, tendremos diferentes formas de polarizacion

~E p~r, tq “`

e1E01eiα ` e2E02eiβ˘ ei´

~k ~r´ωt¯

“

´

e1E01 ` e2E02eipβ´αq¯

ei´

~k ~r´ωt¯

“`

e1E01 ` e2E02eiδ˘ ei´

~k ~r´ωt¯

donde δ “ β´ α, mientras que el angulo del vector de polarizacion y la amplitud del campo seran

θ “ arctan

˜

E02 cos´

~k ~r´ωt`δ¯

E01 cos´

~k ~r´ωt¯

¸

y E “c

E201 cos

´

~k ¨~r´ωt¯

` E202 cos

´

~k ¨~r´ωt` δ¯

.

Podemos ahora analizar algunos casos particulares con respecto a la diferencia de fase, si suponemos que e1 “ ıy que e2 “ (ondas polarizadas linealmente y perpendiculares entre sı) entonces

1. Si δ “ ˘nπ ñ eiδ “ e˘nπ “ cos nπ ˘ i sin nπ “ p´1qn y tomando la parte real de las componentes delcampo

Ex “ E01 cos pkz´ωtq

Ey “ p´1qn E02 cos pkz´ωt` δq


obteniendo de nuevo la polarizacion lineal, en la cual el modulo del campo es

E “b

E201 cos2 pkz´ωtq ` E2

02 cos2 pkz´ωt` δq,

si n “ 0, implica que las ondas estan en fase y el vector de polarizacion sera

θ “ arctanˆ

E02 cos pkz´ωt` δq

E01 cos pkz´ωtq

˙

.

2. Si δ “ ˘π2 ñ eiδ “ ˘i, el campo electrico estara dado por

~E p~r, tq “´

e1E01 ` e2E02eiδ¯

ei´

~k ~r´ωt¯

donde las componentes reales del campo son

Ex “ E01 cos pkz´ωtq ñE2

x

E201“ cos2 pkz´ωtq

Ey “ E02 cos pkz´ωt` δq “ E02 sin pkz´ωtq ñE2

y

E202“ sin2 pkz´ωtq

sumando tenemosE2

x

E201`

E2y

E202“ cos2 pkz´ωtq ` sin2 pkz´ωtq “ 1

este tipo de polarizacion se denomina polarizacion elıptica, para la cual si E01 “ E02 obtenemos la polari-zacion circular, como lo vemos en la figura 12-3. Un aspecto interesante respecto al signo de δ, es que sitomamos un punto fijo z “ z0, el modulo del campo es constante

Figura 12-3: Onda electromagnetica polarizada circularmente.

E “b

E2x ` E2

y “

b

E201 cos2 pkz´ωtq ` E2

01 sin2 pkz´ωtq “ |E01|

y por lo tanto se describe un cırculo con frecuencia angular ω. De hecho para δ “ π2 , el campo electrico

gira en sentido antihorario y por ello se define que la onda tiene helicidad positiva o dextrogira, ya quela proyeccion del momento cinetico sobre el eje de propagacion (eje z), es positiva, para verlo podemostomar z “ 0 sin perdida de generalidad

θ “ arctan

˜

E01 cos`

ωt` π2

˘

E01 cos pωtq

¸

“ arctanˆ

´E01 sin pωtqE01 cos pωtq

˙

“ ´ωt

12.6 Reflexion y transmision en medios dielectricos 335

Mientras que para δ “ ´π2 , el campo electrico gira en sentido (invierte su sentido de giro) de modo que

tendra helicidad negativa o levogira

θ “ arctan

˜

E01 cos`

ωt´ π2

˘

E01 cos pωtq

¸

“ arctanˆ

E01 sin pωtqE01 cos pωtq

˙

“ ωt.

12.6. Reflexion y transmision en medios dielectricos

Cuando una onda electromagnetica pasa de un medio a otro a traves de una interfase, su velocidad cambiapero la frecuencia es la misma7 y por lo tanto la longitud de onda tambien debe cambiar. De hecho, el com-portamiento de la onda estara sujeto a las condiciones de contorno de la interfase, dadas por las ecuaciones deMaxwell, ademas de mantener los principios de conservacion de la energıa y del momento lineal.

12.6.1. Condiciones de contorno entre medios materiales

Partiendo de las definiciones de los vectores desplazamiento electrico y intensidad del campo magnetico (6-16)y (6-16), podemos escribir las ecuaciones de Maxwell como

¿

S

~D ¨ d~A “ Qin,

¿

S

~B ¨ d~A “ 0,

ű

~E ¨ d~ “ ´ ddt

ż

S

~B ¨ d~A,

¿

C

~H ¨ d~ “

ż

S

~J ¨ d~A` ddt

ż

S

~D ¨ d~A.

(12-28)

Si consideramos un cilindro situado entre los dos medios dielectricos, esta estara compuesta por 3 superficiescon diferentes vectores normales asociados como lo vemos en la figura 12-4. Comenzaremos analizando elcomportamiento del campo magnetico, para lo cual partimos de

¿

S

~B ¨ d~A “¿

S

~B1 ¨ d~A1 `

¿

S

~B2 ¨ d~A2 `

¿

S

~B3 ¨ d~A3 “ 0

haciendo la longitud del cilindro tienda a cero, teniendo en cuenta que las areas de las tapas son iguales y queel vector normal entre las tapas es opuesto. La ecuacion anterior nos queda como

¿

S

~B1 ¨ d~A1 `

¿

S

~B2 ¨ d~A2 “ ´

¿

S

~B1 ¨ dA1n2 `

¿

S

~B2 ¨ dA2n2 ñ´

~B1 ´ ~B2

¯

¨ n2 “ 0 ñ ~B1 ¨ n2 “ ~B2 ¨ n2.

Para el campo electrico debemos recordar los resultados obtenidos en la ecuacion (6-22)´

~D1 ´ ~D2

¯

¨ n2 “ σ

7Se puede demostrar que si la frecuencia cambiara, habrıa una acumulacion (o perdida) indefinida de energıa en la interfase entre losdielectricos.


Figura 12-4: Cilindro en la interfase de dos medios dielectricos.

teniendo en cuenta que la componente normal del vector desplazamiento electrico no es en general conti-nua, excepto cuando no tenemos cargas en la interfase y dado que necesitamos asegurar la continuidad de lacomponente normal de ~D hacemos

´

~D1 ´ ~D2

¯

¨ n2 “ 0 ñ ~D1 ¨ n2 “ ~D2 ¨ n2.

Para determinar las condiciones de frontera restantes consideraremos una superficie rectangular de lados dl yancho L, como lo vemos en la figura 12-5. Teniendo en cuenta la ley de Faraday

Figura 12-5: Superficie rectangular en la interfase de dos medios dielectricos.

¿

~E ¨ d~ “ ´ ddt

ż

S

~B ¨ d~A

~E1 ¨ d~ 1 ` ~E2 ¨ d~ 2 `

Cż

B

~EBC ¨ d~ BC `

Aż

D

~EDA ¨ d~DA “ ´ ddt

ż

S

~B ¨ d~A

si hacemos que L Ñ 0 entonces lBC “ lDA “ 0 y teniendo en cuenta que d~ 1 “ ´d~ 2, solo nos quedamos con

~E1 ¨ d~ 1 ` ~E2 ¨ d~ 2 “ ´~E1 ¨ d~ 2 ` ~E2 ¨ d~ 2 “´

~E2 ´ ~E1

¯

¨ d~ 2 “ 0 ñ ~E2 ¨ d~ 2 “ ~E1 ¨ d~ 2


Finalmente de la ley de Ampere-Maxwell tenemos¿

C

~H ¨ d~ “

ż

S

~J ¨ d~A` ddt

ż

S

~D ¨ d~A

~H1 ¨ d~ 1 ` ~H2 ¨ d~ 2 `

Cż

B

~HBC ¨ d~ BC `

Aż

D

~HDA ¨ d~DA “

ż

S

~J ¨ d~A` ddt

ż

S

~D ¨ d~A

si nuevamente hacemos que L Ñ 0 entonces lBC “ lDA “ 0 y teniendo en cuenta que d~ 1 “ ´d~ 2, la ecuacionanterior nos quedamos como

~H1 ¨ d~ 1 ` ~H2 ¨ d~ 2 “ ´~H1 ¨ d~ 2 ` ~H2 ¨ d~ 2 “´

~H2 ´ ~H1

¯

¨ d~ 2 “

ż

S

~J ¨ d~A “ I (12-29)

dado que L Ñ 0 al resolver la integral de superficie, solo debemos tener en cuenta una densidad lineal decorriente, la cual podemos escribir como

Il “

Bż

A

~Jl ¨ kdl

donde k es el vector normal al rectangulo, por lo tanto k “ n2 ˆ l2 ñ l2 “ kˆ n2. De forma que la ecuacion(12-29) la podemos escribir como

´

~H2 ´ ~H1

¯

¨

´

kˆ n2

¯

dl2 “ ~Jl ¨ kdl2´

~H2 ´ ~H1

¯

¨

´

kˆ n2

¯

“ ~Jl ¨ k

teniendo en cuenta~a ¨~bˆ~c “~b ¨~cˆ~a “ ~c ¨~aˆ~b, podemos asociar~a “ ~H2 ´ ~H1, ~b “ k y~c “ n2, reescribiendola relacion anterior

´

~H2 ´ ~H1

¯

¨

´

kˆ n2

¯

“ ~Jl ¨ k´

n2 ˆ´

~H2 ´ ~H1

¯

´~Jl

¯

¨ k “ 0

ñ n2 ˆ´

~H2 ´ ~H1

¯

“ ~Jl

esto dado que k ‰ 0.

Finalmente las condiciones de contorno en la interfase provenientes de las ecuaciones de Maxwell seran´

~D1 ´ ~D2

¯

¨ n “ 0´

~B1 ´ ~B2

¯

¨ n “ 0´

~E2 ´ ~E1

¯

¨ d~ “ 0

nˆ´

~H2 ´ ~H1

¯

“ ~Jl

(12-30)

dado que los medios son lineales y no hay cargas libres, ni corrientes reales en la interfaz entre los dos medios,las condiciones anteriores pueden escribir como

ε1~E1 ¨ n “ ε2~E2 ¨ n~B1 ¨ n “ ~B2 ¨ n~E1 ¨ d~ “ ~E2 ¨ d~

nˆ~B1µ1

“ nˆ ~B2µ2

.

(12-31)


12.6.2. Reflexion y transmision con incidencia normal

Supongamos que el plano XY define la frontera entre dos medios dielectricos lineales, en cuya frontera no haycargas electricas o corrientes reales como lo vimos en la figura 12-5. Si una onda plana homogenea incidente sepropaga en la direccion k acercandose a la interfase en z “ 0. El campo electrico incidente lo podemos expresarcon sus extensiones complejas como

~EI pz, tq “ E0Ieipk1z´ωtq ı. (12-32)

Si tenemos el campo electrico y la direccion de propagacion, el campo magnetico queda determinado por laecuacion (12-4)

~BI pz, tq “1v

kˆ ~EI pz, tq “

ˇ

ˇ

ˇkˆ ~E0I

ˇ

ˇ

ˇ

v1eipk1z´ωtq “

E0Iv1

eipk1z´ωtq “ B0Ieipk1z´ωtq (12-33)

donde tuvimos en cuenta que k “ ωv y la velocidad de la luz en medios (12-11) es v “ c

b

µ0ε0µε . Como vemos la

velocidad depende directamente de las caracterısticas de los medios.

Cuando la onda incide sobre la superficie genera una onda que se refleja y otra que se transmite al otro medio.Para la onda reflejada debemos tener en cuenta que la rapidez de la onda reflejada es la misma que la incidentepuesto que estamos en el mismo medio y que ademas ω tambien es la misma, por lo tanto kR “ kI “ k1,entonces

~ER pz, tq “ E0Reip´k1z´ωtq ı,

~BR pz, tq “ É0Rv1

eip´k1z´ωtq . (12-34)

Es necesario aclarar que el signo negativo aparece debido al cambio de direccion de propagacion, la cual loestablece k. Sin embargo dado que ~E0I y ~E0R son complejos y en principio diferentes, sus diferencias de faseal ser en principio arbitrarias podrıan generar una inversion del campo cuando se refleja bajo las condicionesadecuadas. Mientras que la onda transmitida esta dada por

~ET pz, tq “ E0Teipk2z´ωtq ı,

~BT pz, tq “E0Tv2

eipk2z´ωtq . (12-35)

Dado que lo que nos interesa conocer como son los campos reflejados y transmitidos, debemos utilizar lacondicion de contorno del campo electrico de las relaciones (12-31) para z “ 0, esto es

~E1 ¨ d~ “ ~E2 ¨ d~

ó´

~EI pz “ 0, tq ` ~ER pz “ 0, tq¯

¨ d~ “ ~ET pz “ 0, tq ¨ d~`

E0Ieíωt ı` E0Reíωt ı˘

¨ pdxı` dy q “ E0Teíωt ı ¨ pdxı` dy q

E0I ` E0R “ E0T ,

(12-36)

donde hemos remplazado los terminos de campo electrico de las ecuaciones (12-32, 12-34 y 12-35) y simplifi-cado el termino exponencial. Teniendo en cuenta ahora la condicion para el campo magnetico de las relaciones


(12-31) en z “ 0nˆ

~B1µ1

“ nˆ ~B2µ2

ó

nˆ p~BIpz“0,tq`~BRpz“0,tqq

µ1“ nˆ

~BTpz“0,tqµ2

kˆ

´

E0Iv1

eíωt É0Rv1

eíωt ¯

µ1“ kˆ

E0Tv2

eíωt

µ2

´

´

E0Iv1´

E0Rv1

¯

µ1ı “ ´

E0Tv2µ2

ıE0I

v1µ1´

E0Rv1µ1

“E0Tv2µ2

E0I ´ E0R “v1µ1v2µ2

E0T “ αE0T

(12-37)

tuvimos en cuenta que kˆ “ ´ı y hemos definido8

α “v1µ1

v2µ2“

cv1µ1

cv2µ2“

n2µ1

n1µ2. (12-38)

Tenemos ahora un sistema de dos ecuaciones, lo cual nos permiten escribir las amplitudes reflejada (12-36) ytransmitida (12-37) en terminos de la incidente como

E0I ` E0R “ E0TE0I ´ E0R “ αE0T

ñ

#

E0R “ 1´α1`α E0I

E0T “ 21`α E0I

si α ă 1, el termino 1´α1`α es positivo con lo cual ~E0R “ E0R ı y ~E0I “ E0I ı estan en fase y solo difieren en su

magnitud. Si por el contrario α ą 1 se tiene

~E0R “ ´

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1´ α

1` α

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

~E0I

~E0R “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1´ α

1` α

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

eiπ~E0I

E0ReiδR “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1´ α

1` α

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

E0IeipδI`πq

luego δR “ δI ` π de modo que la onda reflejada tendrıa una fase opuesta con respecto a la fase incidente.Finalmente, si tenemos en cuenta valores de permeabilidad magnetica muy cercanos entre los medios el valorde α sera

α “v1

v2“

n2

n1

la cual se conoce como la ley de Snell9 y en este limite

E0R “ 1´α1`α E0I

E0T “ 21`α E0I

+

µ1 “ µ2ñ

#

E0R “v2´v1v2`v1

E0I “n1ń2n1`n2

E0I

E0T “2v2

v2`v1E0I “

2n1n1`n2

E0I

si v2 ą v1 lo cual es equivalente a decir que el medio 2 es mas denso que el medio 1, la fase del campo electricoE0R, E0I y E0T sera la misma. Si por el contrario v2 ă v1 la fase de E0I y E0T sera la misma, mientras que ~E0Rtendra fase opuesta.

8Se define el ındice de refraccion como el cociente de la velocidad de la luz en el vacıo c y la velocidad de la luz en el medio v, esto esn “ c

v .9La ley de Snell o Ley de Snell-Descartes o ley de refraccion, describe la relacion entre los angulos de incidencia y refraccion cuando

una onda electromagnetica atraviesa la frontera entre dos medios isotropicos diferentes

v1

v2“

n2

n1“

sin θ1

sin θ2


Debemos ahora analizar que sucede con la energıa de la onda incidente y como esta se reparte entre las ondasreflejada y transmitida. Para ello podemos partir del promedio temporal del vector de Poynting (12-16) yteniendo en cuenta los resultandos de las ecuaciones (12-32, 12-34 y 12-35) obtenemos

x~SIy “12<˜

~E0I ˆ~B˚0Iµ1

¸

“1

2µ1<˜

E0I ıˆ~E˚0Iv1

¸

“1

2µ1v1<´

|E0I |2¯

k “E2

0I2µ1v1

k (12-39)

para la onda reflejada

x~SRy “12<˜

~E0R ˆ~B˚0Rµ1

¸

“1

2µ1<˜

E0R ıˆ´~E˚0Rv1

¸

“ ´1

2µ1v1<´

|E0R|2¯

k “ É2

0R2µ1v1

k “ ´ˆ

1´ α

1` α

˙2 E20I

2µ1v1k

(12-40)mientras que para la onda transmitida

x~STy “12<˜

~E0T ˆ~B˚0Tµ2

¸

“1

2µ2<˜

E0T ıˆ~E˚0Tv2

¸

“1

2µ2v2<´

|E0T|2¯

k “E2

0T2µ2v2

k “ˆ

21` α

˙2 E20I

2µ2v2k.

(12-41)

Se define el coeficiente de reflexion pRq como la fraccion de energıa que se refleja por la interfase cuando la ondaincidente

R “x~SRy ¨ pńqx~SIy ¨ n

“

´

1´α1`α

¯2 E20I

2µ1v1k ¨

´

´k¯

E20I

2µ1v1k ¨ k

“

ˆ

1´ α

1` α

˙2(12-42)

mientras que el coeficiente de transmision pTq se define como la fraccion de energıa que se transmite por lainterfase cuando la onda incidente

T “x~STy ¨ pńqx~SIy ¨ n

“

´

21`α

¯2 E20I

2µ2v2k ¨ k

E20I

2µ1v1k ¨ k

“

ˆ

21` α

˙2 µ1v1

µ2v2“ α

ˆ

21` α

˙2. (12-43)

Si sumamos los coeficientes de reflexion y transmision obtenemos

S` T “ˆ

1´ α

1` α

˙2` α

ˆ

21` α

˙2“p1´ αq2 ` 4α

p1` αq2“p1` αq2

p1` αq2“ 1

cuyo resultado es el esperado, debido a la conservacion de la energıa.

12.6.3. Reflexion y transmision con incidencia oblicua

Tomemos el caso mas general como el que se muestra en la figura 12-6. Vemos que θI es el angulo de incidenciay definimos el plano de incidencia como el formado por el vector normal n al plano XZ y el vector~kI . Las ondasmonocromaticas que describen a las ondas incidente, reflejada y transmitida estan dadas por

~EI p~r, tq “ ~E0Iei´

~kI ~r´ωt¯

; ~BI p~r, tq “ kIˆ~E0Iv1

ei´

~kI ~r´ωt¯

~ER p~r, tq “ ~E0Rei´

~kR ~r´ωt¯

; ~BR p~r, tq “ kRˆ~E0Rv1

ei´

~kR ~r´ωt¯

~ET p~r, tq “ ~E0Tei´

~kT ~r´ωt¯

; ~BT p~r, tq “ kTˆ~E0Tv2

ei´

~kT ~r´ωt¯


Figura 12-6: Vectores de onda para la reflexion y la refraccion de una onda incidente oblicua en la interfase dedos medios dielectricos.

debido a que la frecuencia no cambia al cambiar de medio, tenemos que

kIv1 “ kRv1 “ kTv2 “ ω ñ kI “ kR “v2

v1kT “

n1

n2kT (12-44)

En el caso en el cual no tengamos cargas, ni corrientes libres superficiales en la interfase entre dos mediosdielectricos, las condiciones de frontera (12-31) implican que

AIei´

~kI ~r´ωt¯

` ARei´

~kR ~r´ωt¯

“ ATei´

~kT ~r´ωt¯

en z “ 0

donde los factores AI , AR y AT no dependen de la posicion, ni del tiempo, y son calculados en funcion de lascondiciones de contorno especificas. De igual forma tenemos que

x pkIqx ` y pkIqy~kI ¨~r

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ~kR ¨~r

ˇ

ˇ

ˇ

z“0“ ~kT ¨~r

ˇ

ˇ

ˇ

z“0ñ xkI x ` ykI y “ xkRx ` ykRy “ xkT x ` ykTy

para cualquier valor de x y y, esto implica que para

x “ 0 ñ ykI y “ ykRy “ ykTy ñ kI y “ kRy “ kTyy “ 0 ñ xkI x “ xkRx “ xkT x ñ kI x “ kRx “ kT x

y por lo tanto los vectores kI , kR y kT son coplanares y debido a esto estan en un mismo plano. Teniendo encuenta que por convencion~kI esta sobre el plano XZ, las componentes en Y seran nulas y por tanto todos losvectores de onda se encuentran en el plano XZ. A este plano tambien pertenece el vector normal a la superficie˘k. Si denotamos θ como el angulo entre~k y n, y considerando que sin θ “ kx

k , podemos escribir

kI sin θI “ kR sin θR “ kT sin θT (12-45)

donde θI , θR y θT estan definidos con respecto al vector n. Basandonos en los resultados de la ecuacion (12-44)

sin θI “ sin θR ñ θI “ θR (12-46)

y por lo tanto, el angulo de incidencia es igual al angulo de reflexion. Relacion que se conoce como la ley dereflexion.


Por otro lado, el angulo de transmision θT es mas conocido como angulo de refraccion. Teniendo en cuenta lasecuaciones (12-44) y (12-45) obtenemos

kI sin θI “ kT sin θT ñ

ˆ

n1

n2kT

˙

sin θI “ kT sin θT ñ n1 sin θI “ n2 sin θT (12-47)

la cual se conoce como ley de Snell o ley de refraccion.

Dado que una onda plana homogenea con polarizacion arbitraria se puede escribir como una superposicionde dos ondas polarizadas linealmente, analizaremos dos casos de polarizacion lineal:

Campo electrico paralelo al plano de incidencia.

Campo electrico perpendicular al plano de incidencia.

Campo electrico paralelo al plano de incidencia

Si consideramos que el campo electrico esta polarizado en un plano paralelo al plano de incidencia comolo podemos ver en la figura 12-7, en la cual el campo electrico esta en el plano XZ mientras que el campomagnetico esta orientado en .

Figura 12-7: Vectores de onda para la reflexion y la refraccion de una onda incidente oblicua en la interfase dedos medios dielectricos, con campo electrico paralelo al plano de incidencia.

Dado que solo necesitamos los coeficientes de los campos sin el termino exponencial, ya que todas las fases delas ondas son iguales. Podemos partir de las condiciones de frontera de la ecuacion (12-31)

ε1~E1 ¨ n “ ε2~E2 ¨ nó

ε1

´

~E0I ` ~E0R

¯

¨ k “ ε2~E0T ¨ k

ε1 p´E0I sin θI ` E0R sin θRq “ ´ε2E0T sin θT


de las ecuaciones (12-46) y (12-47), reescribimos la relacion anterior como

ε1 p´E0I sin θI ` E0R sin θIq “ ´ε2E0Tn1n2

sin θI

E0I ´ E0R “ε2ε1

n1n2

E0T “ αE0T(12-48)

donde hemos tenido en cuenta que ε “ 1v2µ

, n “ cv y la ecuacion (12-38)

ε2

ε1

n1

n2“

1v2

2µ2

cv1

1v2

1µ1

cv2

“v1µ1

v2µ2“ α.

Empleando la condicion de contorno del campo electrico de las relaciones (12-31) para z “ 0 tenemos

~E1 ¨ d~ “ ~E2 ¨ d~

ó´

~E0I ` ~E0R

¯

¨ pdxı` dy q “ ~E0T ¨ pdxı` dy q

E0I cos θI ` E0R cos θR “ E0T cos θT

E0I ` E0R “cos θTcos θI

E0T “ βE0T

(12-49)

donde empleamos que (12-46) y definimos

β “cos θTcos θI

. (12-50)

De los resultados anteriores, conformamos un sistema de dos ecuaciones (12-48) y (12-49)

E0I ´ E0R “ αE0TE0I ` E0R “ βE0T

ñ

$

&

%

E0T “

´

2α`β

¯

E0I

E0R “

´

β´αα`β

¯

E0I(12-51)

este conjunto de ecuaciones se conoces como ecuaciones de Fresnel para el caso de polarizacion en el plano deincidencia.

Teniendo en cuenta la grafica (onda oblicua dielectricos), los vectores de onda son:

~kI “ kI sin θI ı` kI cos θI k,~kR “ kR sin θR ı´ kR cos θR k, (12-52)~kT “ kT sin θT ı` kT cos θI k,

partiendo de las ecuaciones (12-39), (12-40) y (12-41) el vector de Poynting para las ondas incidente, reflejaday transmitida sera:

x~SIy “|E0I |

2

2µ1v1kI ,

x~SRy “|E0R|

2

2µ1v1kI ,

x~STy “|E0T |

2

2µ2v2kR,

mientras que los coeficientes de reflexion paralela R y transmision paralela T son

R “x~SRy ¨ p´nqx~SIy ¨ n

“

|E0R|2

2µ1v1kI ¨

´

´k¯

|E0I |2

2µ1v1kI ¨ k

“|E0R|

2 cos θR

|E0I |2 cos θI

“

´

β´αα`β

¯2|E0I |

2 cos θI

|E0I |2 cos θI

“

ˆ

β´ α

α` β

˙2, (12-53)


T “x~STy ¨ pńqx~SIy ¨ n

“

|E0T |2

2µ2v2kR ¨

´

´k¯

|E0I |2

2µ1v1kI ¨ k

“µ1v1 |E0T|

2 cos θT

µ2v2 |E0I |2 cos θI

“ α

´

2α`β

¯2|E0I |

2

|E0I |2 β “

4αβ

pα` βq2(12-54)

donde tuvimos en cuenta las ecuaciones (12-46), (12-38) , (12-50) y (12-51).

Debido a que la energıa por unidad de tiempo que incide sobre una porcion de area, debe ser igual a la energıapor unidad de tiempo que sale de esta porcion (repartida entre la onda reflejada y transmitida) y asumiendoque no hay absorcion en la superficie, entonces

R ` T “ˆ

β´ α

α` β

˙2`

4αβ

pα` βq2“

β2 ` α2 ´ 2αβ` 4αβ

pα` βq2“ 1

lo cual nuevamente expresa la conservacion de la energıa.

Campo electrico perpendicular al plano de incidencia.

Si consideramos que el campo electrico esta polarizado en un plano perpendicular al plano de incidenciacomo lo podemos ver en la figura 12-8, en la cual el campo electrico esta orientado en , mientras que loscampos magneticos estan en el plano XZ. Al igual que en el caso anterior, estamos interesados en calcular loscoeficientes de los campos. Partiendo de las condiciones de frontera de la ecuacion (12-31)

Figura 12-8: Vectores de onda para la reflexion y la refraccion de una onda incidente oblicua en la interfase dedos medios dielectricos, con campo electrico perpendicular al plano de incidencia.

~B1 ¨ n “ ~B2 ¨ nó

´

~B0I ` ~B0R

¯

¨ k “ ~B0T ¨ k´

kIˆ~E0Iv1

`kRˆ~E0R

v1

¯

¨ k “

´

kTˆ~E0Tv2

¯

¨ k

1v1

ˆ

~kIÊ0I kI

`~kRÊ0R

kR

˙

¨ k “ 1v2

ˆ

~kTÊ0T kT

˙

¨ k


donde tuvimos en cuenta la ecuacion (12-33). Teniendo en cuenta que los vectores de onda estan dados por(12-52) entonces

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kkI,T sin θI,T 0 kI,T cos θI,T

0 E0I,0T 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ É0I,0TkI,T cos θI,T ı` E0I,0TkI,T sin θI,T k

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kkR sin θR 0 ´kR cos θR

0 E0R 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ E0RkR cos θR ı` E0RkR sin θR k

remplazando y teniendo en cuenta que θI “ θR

1v1

ˆ

~kIÊ0I kI

`~kRÊ0R

kR

˙

¨ k “ 1v2

ˆ

~kTÊ0T kT

˙

¨ k

1v1

´

E0I kI sin θIkI

È0RkR sin θR

kR

¯

“ 1v2

E0TkT sin θTkT

E0I ` E0R “v1v2

sin θTsin θI

E0T

E0I ` E0R “ E0T

(12-55)

donde tuvimos en cuenta que v1v2

sin θTsin θI

“v1nIv2nT

“

cnI

nIc

nTnT“ 1. Empleando las condiciones de contorno (12-31)

nˆ~B1µ1

“ nˆ ~B2µ2

ó

kˆ´

~B0Iµ1`

~B0Rµ1

¯

“ kˆ~B0Tµ2

1µ1

kˆ´

kIˆ~E0Iv1

`kRˆ~E0R

v1

¯

“ 1µ2

kˆ kTˆ~E0Tv2

1µ1v1

kˆˆ

É0I kI cos θI ıÈ0I,0TkI,T sin θI,T kkI

È0RkR cos θR ıÈ0RkR sin θR k

kR

˙

“ 1µ2v2

kˆ É0TkT cos θT ıÈ0TkT sin θT kkT

1µ1v1

pÉ0I cos θI ` E0R cos θRq “ ´ 1µ2v2

E0T cos θT

basandonos en las ecuaciones (12-46) y (12-50) reescribimos la relacion anterior como

1µ1v1

pÉ0I cos θI ` E0R cos θRq “ ´ 1µ2v2

E0T cos θT

E0I ´ E0R “µ1v1µ2v2

E0Tcos θTcos θI

E0I ´ E0R “ αβE0T .

(12-56)

De los resultados anteriores, conformamos un sistema de dos ecuaciones (12-55) y (12-56)

E0I ` E0R “ E0TE0I ´ E0R “ αβE0T

ñ

$

&

%

E0T “

´

21`αβ

¯

E0I

E0R “

´

1´βα1`αβ

¯

E0I(12-57)

de las ecuaciones (12-39), (12-40) y (12-41) el vector de Poynting para las ondas incidente, reflejada y transmi-tida sera:

x~SIy “|E0I |

2

2µ1v1kI ,

x~SRy “|E0R|

2

2µ1v1kI ,

x~STy “|E0T |

2

2µ2v2kR,

mientras que los coeficientes de reflexion perpendicular RK y transmision perpendicular TK son

RK “x~SRy ¨ pńqx~SIy ¨ n

“

|E0R|2

2µ1v1kI ¨

´

´k¯

|E0I |2

2µ1v1kI ¨ k

“|E0R|

2 cos θR

|E0I |2 cos θI

“

´

1´βα1`αβ

¯2|E0I |

2 cos θI

|E0I |2 cos θI

“

ˆ

1´ βα

1` αβ

˙2, (12-58)


TK “x~STy ¨ p´nqx~SIy ¨ n

“

|E0T |2

2µ2v2kR ¨

´

´k¯

|E0I |2

2µ1v1kI ¨ k

“µ1v1 |E0T|

2 cos θT

µ2v2 |E0I |2 cos θI

“ α

´

21`αβ

¯2|E0I |

2

|E0I |2 β “

4αβ

p1` αβq2(12-59)

donde tuvimos en cuenta las ecuaciones (12-46), (12-38) , (12-50) y (12-51).

Sumando los terminos de reflexion y transmision paralelos tenemos

RK ` TK “ˆ

1´ βα

1` αβ

˙2`

4αβ

p1` αβq2“

1` β2α2 ´ 2αβ` 4αβ

p1` αβq2“ 1

lo cual expresa la conservacion de la energıa.

Si consideramos la interfase aire-agua, podemos comparar los coeficientes para reflexion y transmision tantoperpendiculares, como paralelos al plano de incidencia. Cuyos resultados aparecen en la grafica 12-9, en dondehemos definido

Rprom “RK`R

2 : Pprom “PK`P

2

Figura 12-9: Coeficientes para reflexion y transmision para la interfase aire-agua.

12.6.4. Reflexion total interna

Si tenemos una onda que va de un medio 1 a un medio 2 de tal forma que n2 ă n1, y aumentamos gradualmenteel angulo de incidencia, llegaremos a un punto en el cual la onda se refracta de tal modo que no es capaz deatravesar la superficie entre ambos medios reflejandose completamente.

Partiendo de la ecuacion (12-50)

β “cos θTcos θI

“

a

1´ sin2 θTcos θI

“

c

1´´

n1n2

¯2sin2 θI

cos θI

donde tuvimos en cuenta la ley de Snell (12-47), podemos ver que a medida que el angulo aumenta, el terminodentro de la raız cuadrada podrıa hacerse cero para un determinado valor de angulo, el cual podemos deno-minar angulo crıtico θc. Si suponemos que β “ 0

0 “

c

1´´

n1n2

¯2sin2 θc

cos θc“ 1´

ˆ

n1

n2

˙2sin2 θc ñ θc “ arcsin

ˆ

n2

n1

˙

(12-60)


esto sucede cuando θI “ θc, y usando la ley de Snell tenemos

n1 sin θc “ n2 sin θT

n1 sin´

arcsin´

n2n1

¯¯

“ n2 sin θT

n2 “ n2 sin θTñ sin θT “ 1

y por lo tanto θT “π2 .

Para analizar mejor la reflexion total interna, podemos partir de

cos θT “a

1´ sin2 θT “

c

1´´

n1n2

¯2sin2 θI “

c

1´´

1sin2 θc

¯

sin2 θI “

c

1´ sin2 θIsin2 θc

donde empleamos la ley de Snell, partiendo de la ecuacion (12-60), podemos reescribirla como

1 “ˆ

n1

n2

˙2sin2 θc ñ

ˆ

n1

n2

˙2“

1sin2 θc

(12-61)

esto con lleva a que si sin θIsin θc

ą 1, entonces θT debe es complejo. Si adicionalmente tenemos en cuenta que la leyde Snell la podemos escribir como

n1 sin θI “ n2 sin θT ñ

ˆ

n1

n2

˙2“

sin2 θT

sin2 θI(12-62)

entonces al igualar las ecuaciones (12-61) y (12-62) tenemosˆ

n1

n2

˙2“

1sin2 θc

“sin2 θT

sin2 θIñ sin2 θT “

sin2 θI

sin2 θc

y por lo tanto podemos escribir

cos θT “

d

1´sin2 θI

sin2 θc“

b

1´ sin2 θT “a

1´w2 “ iQ (12-63)

donde w “ sin θT , de modo que la onda transmitida la podemos escribir como


~kT ~r´ωt¯

de la figura 12-8 y las ecuaciones (12-52)

~kT ¨~r “ kT sin θT ı` kT cos θT k ¨´

xı` zk¯

“ xkT sin θT ` zkT cos θT

reemplazando en la onda transmitida obtenemos


~kT ~r´ωt¯

“ ~E0TeipxkT sin θT`zkT iQ´ωtq “ ~E0Te´zkT QeipxkT sin θT´ωtq

Esta expresion representa una onda que se propaga paralela a la interfase y la cual es atenuada. Dado que

v “ω

kñ v “

ω

kT sin θT“

ω

kTn1n2

sin θI

kx´ωt “ xkT sin θT ´ωt

kTxw`ωt “ kTwˆ

x`ωt

kTw

˙

“ kTw px` vtq

de lo cual se sigue que la velocidad de fase v sera

v “ω

kTw“

cn1 sin θI

.


Problema 169. Demuestre que para el caso de la reflexion total |E0R|2“ |E0I |

2


E0R “

ˆ

β´ α

α` β

˙

E0I

debemos reescribir β y α, en funcion de las ecuaciones (12-50) y (12-38) como

β “ cos θTcos θI

“iQ

cos θI; α “

n2µ1n1µ2

“µ1µ2

sin θc

para lo cual recurrimos a las ecuaciones (12-63) y (12-60) respectivamente. Remplazando obtenemos

E0R “

´

β´αα`β

¯

E0I

“

˜

iQcos θI

´µ1µ2

sin θcµ1µ2

sin θcìQ

cos θI

¸

E0I

“

˜

iQcos θI

´µ1µ2

sin θcµ1µ2

sin θcìQ

cos θI

¸˜

µ1µ2

sin θcíQ

cos θIµ1µ2

sin θcíQ

cos θI

¸

E0I

“

´

iQcos θI

´µ1µ2

sin θc

¯´

µ1µ2

sin θcíQ

cos θI

¯

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

E0I

“2iQ sin θc

cos θI

µ1µ2´

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

E0I

donde multiplicamos la ecuacion por el complejo conjugado del denominador (2-61). Debido a que queremos calcular laamplitud real debemos multiplicar todo el termino por el complejo conjugado

E0R “2iQ sin θc

cos θI

µ1µ2´

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

E0I

E0RE˚0R “

¨

˝

2iQ sin θccos θI

µ1µ2´

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

˛

‚

¨

˝

´2iQ sin θccos θI

µ1µ2´

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

˛

‚E0I E˚0I

|E0R|2“

ˆ

´

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

˙2`4Q2 sin2 θc

cos2 θI

´

µ1µ2

¯2

ˆ

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

˙2 |E0I |2

“

ˆ

´

µ1µ2

¯2sin2 θc

˙2´2Q2

´

µ1µ2

¯2 sin2 θccos2 θI

`

ˆ

Q2

cos2 θI

˙2`4Q2 sin2 θc

cos2 θI

´

µ1µ2

¯2

ˆ

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

˙2 |E0I |2

“

ˆ

´

µ1µ2

¯2sin2 θc

˙2`2Q2

´

µ1µ2

¯2 sin2 θccos2 θI

`

ˆ

Q2

cos2 θI

˙2

ˆ

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

˙2 |E0I |2

“

ˆ

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

˙2

ˆ

´

µ1µ2

¯2sin2 θc`

Q2

cos2 θI

˙2 |E0I |2

“ |E0I |2


12.7 Radiacion Cherenkov 349

12.7. Radiacion Cherenkov

Cuando se analizan las ondas de sonido la fuente de estas ondas, genera de forma ideal esferas de radios cre-cientes en el tiempo. Sin embargo, cuando la velocidad de la onda es mayor que la velocidad del sonido en elfluido, se genera una onda de choque como lo podemos apreciar en la figura 12-10. Al igual que sucede con

Figura 12-10: Comportamiento de las ondas sonoras en los cuatro casos caracterısticos del efecto Doppler, enrelacion con la velocidad del emisor respecto a la velocidad de propagacion del sonido en un fluido.

cualquier tipo de onda, una onda de choque transporta energıa. Sin embargo, genera un cambio abrupto, casidiscontinuo en la presion, la temperatura y la densidad del medio. Una pregunta que surge, es si existen ondasde choque para ondas electromagneticas. A ese respecto debemos decir que ninguna partıcula puede sobre-pasar la velocidad de la luz en el vacio, pero en medios materiales tenemos que este fenomeno de denominaradiacion de Cherenkov. Esta radiacion Cherenkov es producida mayoritariamente en la tierra por cascadasatmosfericas, las cuales pueden ser de dos clases:

Cascadas electromagneticas, inducidas por rayos gamma o leptones (generalmente electrones o positro-nes).

Cascadas hadronicas, iniciadas por la interaccion de un hadron cosmico de alta energıa (protones o pio-nes).

En el primer caso el rayo gamma primario que incide en la atmosfera al interactuar con el campo coulom-biano de los atomos del medio dielectrico que es la atmosfera, produce un par electron-positron (partıcula-antiparticula), estas partıculas sucesivamente, debida a radiacion de frenado o Bremsstrahlung producen otrosrayos gamma de alta energıa que producen mas pares en cadena, hasta que la energıa de la partıcula llega a sermenor a 80MeV, energıa a la cual se presentan otros procesos como el efecto Compton y el efecto fotoelectrico.

En el segundo caso, la partıcula hadronica de alta energıa interactua directamente con un nucleo del mediodielectrico que en este caso es la atmosfera produciendo varios iones y partıculas elementales entre los cualestenemos piones π0, π` y π´. De hecho los piones π0 decaen rapidamente a dos rayos gamas que produ-ciran cascadas electromagneticas como en el primer caso, mientras que los otros produciran piones produciranneutrinos y muones.

Debido a que un gran numero de las partıculas generadas en la cascada estan cargadas electricamente (exceptoneutrinos y π0), estas van a polarizar asimetricamente (pues viajan a una velocidad mayor que la de la luz enla atmosfera, pero sin superar la velocidad de la luz) las moleculas de nitrogeno y oxıgeno de la atmosfera(las cuales componen nuestro medio dielectrico), estas al despolarizarse espontaneamente, emiten la radiacionCherenkov que sera detectada por los telescopios Cherenkov. Las partıculas de las cascadas anteriormentedescritas debido a su elevada energıa, produciran destellos de radiacion de Cherenkov el cual dura entrep5´ 20q ns.


La radiacion Cherenkov tambien ha sido de gran utilidad en los detectores de neutrinos en agua pesada comoel que se tiene en el Super-Kamiokande, sin embargo, el proceso de cascada que se produce en estos detectores,es completamente diferente al comentado anteriormente debido a que este tipo de detectores se encuentranenterrados para evitar la interaccion con rayos cosmicos o otras fuentes de radiacion y solo es el choque directode un neutrino contra un lepton cargado y el movimiento de este ultimo debido al aumento de energıa, el queproducira la radiacion Cherenkov.

Capıtulo 13

Potenciales y campos variables en eltiempo

Hasta este momento hemos considerado que las densidades tanto de carga, como de corriente son funcionesdependientes exclusivamente de la posicion. Debemos explorar ahora el caso de densidades de carga de laforma ρ p~r, tq y densidades de corriente ~J p~r, tq, las cuales como vemos, son ahora funciones de la posicion ydel tiempo. Para analizar los cambios en la forma del campo electrico y magnetico lo haremos partiendo delpotencial electrostatico y del potencial vectorial magnetico. De la ley de Gauss para la magnetostatica tenemos

∇ ¨ ~B “ 0

y teniendo en cuenta la definicion del potencial vectorial magnetico ~B “ ∇ˆ ~A, tenemos que

∇ ¨ ~B “ ∇ ¨´

∇ˆ ~A¯

“ 0

por lo tanto si ~A depende del tiempo, el campo magnetico tambien sera una funcion del tiempo.

Para el campo electrico podemos partir de la ley de Faraday


∇ˆ ~E “ ´ BBt

´

∇ˆ ~A¯

∇ˆ ~E`∇ˆ B~ABt “ 0

∇ˆ´

~E` B~ABt

¯

“ 0

en donde el vector ~E ` B~ABt es un campo virtualmente conservativo (seccion 2.3.2). Teniendo en cuenta que

∇ˆ´

∇~F¯

“ 0, podemos definir un potencial escalar en terminos de ~A y φ como

~E`B~ABt“ ´∇φ

de tal manera que

~E “ ´∇φ´B~ABt

. (13-1)

351

352 13 Potenciales y campos variables en el tiempo

Si ~A no es funcion del tiempo o es constante en el tiempo, llegamos a la relacion obtenida en la ecuacion (3-34).Partiendo de la ley de Gauss electrostatica y remplazamos por la nueva definicion del campo electrico (13-1)

∇ ¨ ~E “ρε0

∇ ¨´

´∇φ´ B~ABt

¯

“

´∇2φ´∇ ¨´

B~ABt

¯

“

´∇2φ´ BBt

´

∇ ¨ ~A¯

“

la cual puede ser reescrita como

∇2φ`B

Bt

´

∇ ¨ ~A¯

“ ´ρ

ε0(13-2)

esta ecuacion es mas general que la ecuacion de Poisson (4-2) y como vemos, se reduce a ella para el casoelectrostatico. De la ley de Ampere-Maxwell tenemos


∇ˆ´

∇ˆ ~A¯

“ µ0~J ` µ0ε0BBt

´

´∇φ´ B~ABt

¯

remplazando en el termino anterior la identidad ∇ˆ´

∇ˆ ~F¯

“ ´∇2~F`∇´

∇ ¨ ~F¯

, obtenemos

∇ˆ´

∇ˆ ~A¯

“ µ0~J ` µ0ε0BBt

´

´∇φ´ B~ABt

¯

´∇2 ~A`∇´

∇ ¨ ~A¯

“ µ0~J ´ µ0ε0BBt∇φ´ µ0ε0

B2 ~ABt2

ñ ´µ0~J “ ∇2 ~A´∇´

∇ ¨ ~A¯

´∇´

µ0ε0BφBt

¯

´ µ0ε0B2 ~ABt2

“ ∇2 ~A´∇´

∇ ¨ ~A` µ0ε0BφBt

¯

´ µ0ε0B2 ~ABt2 .

(13-3)

Como podemos ver, las ecuaciones (13-2) y (13-3), agrupan toda la informacion fısica de las ecuaciones deMaxwell. Adicionalmente los terminos ~A y φ estan acoplados en ambas ecuaciones, el desacople de estas, sepuede lograr gracias a transformaciones gauge o transformaciones de calibracion.

13.1. Transformaciones gauge

Dado que existe cierta libertad para escoger la divergencia del potencial vectorial y que las ecuaciones (13-2) y(13-3) no definen unıvocamente ~A y φ. Podemos simplificar las ecuaciones mediante transformaciones gauge,para lo cual podemos considerar

~A1 “ ~A`∇Λ (13-4)

donde Λ es cualquier funcion clase C1 del espacio y el tiempo. Teniendo en cuenta que ~B “ ∇ˆ ~A podemosemplear ahora ~A1 por lo tanto

~B1 “ ∇ˆ ~A1

“ ∇ˆ´

~A`∇Λ¯

“ ∇ˆ ~A`∇ˆ∇Λ

“ ~B

13.1 Transformaciones gauge 353

por lo tanto, el campo magnetico permanece invariante bajo la transformacion de la ecuacion (13-4). Paraanalizar que ocurre con el campo electrico partiremos de la relacion ~E “ ´∇φ´ B~A

Bt , ası entonces

~E1 “ ´∇φ1 ´ B~A1Bt

“ ´∇φ1 ´ BBt

´

~A`∇Λ¯

“ ´∇φ1 ´ B~ABt ´∇

BΛBt

“ ´∇´

φ1 ` BΛBt

¯

´ B~ABt

si definimos

φ “ φ1 `BΛ

Bt(13-5)

obtenemos~E1 “ ´∇

´

φ1 ` BΛBt

¯

´ B~ABt

“ ´∇φ´ B~ABt

“ ~E.

Esto implica que el campo electrico tambien permanece invariante bajo la transformacion simultanea de loscampos ~A y φ de las ecuaciones (13-4) y (13-5). Esta arbitrariedad permitira que podamos hacer ciertas simpli-ficaciones en funcion de la eleccion de los diferentes gauges.

Problema 170. Dado los potenciales

φ p~r, tq “ ´k Qr

~A p~r, tq “ A0rθ

calcule el campo electrico, el campo magnetico y compruebe que se satisfacen las ecuaciones de Maxwell.

Solucion 170. Debido a la estructura de las ecuaciones debemos usar coordenadas esfericas para calcular los campos, porlo tanto

~E “ ´∇φ´B~ABt“ ´

ˆ

B

Brr`

1rB

Bθθ `

1r sin θ

B

Bϕϕ

˙ˆ

´kQr

˙

´B

Bt`

A0rθ˘

“ kQr2 r

mientras que para el campo magnetico

~B “ ∇ˆ ~A “1

r2 sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

0 A0r 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“1

r2 sin θr sin θ

ˆ

B

BrA0r

˙

ϕ “A0

rϕ.

Para determinar si se cumplen las ecuaciones de Maxwell, partimos de la definicion de la divergencia en coordenadasesfericas dada en la tabla 2-1

∇ ¨ ~F “ 1r2B

Br

´

Frr2¯

`1

r sin θ

B

BθpFθ sin θq `

1r sin θ

B

Bϕ

`

Fϕ

˘

remplazando en el la primera ecuacion de Maxwell

∇ ¨ ~E “ρ

ε01r2BBr

´´

k Qr2

¯

r2¯

` 1r sin θ

BBθ pp0q sin θq ` 1

r sin θBBφ p0q “

ρ

ε00 “

ρε0


tenemos que la densidad de carga debe ser cero para que se cumpla la relacion anterior. Mientras que la ley de Gauss paramagnetostatica obtenemos

∇ ¨ ~B “ 01r2BBr`

p0q r2˘` 1r sin θ

BBθ pp0q sin θq ` 1

r sin θBBφ

´

A0r

¯

“ 0

0 “ 0

cumpliendo la ley de Gauss para magnetostatica.

Remplazando en la ley de Faraday


1r2 sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

k Qr2 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´ BBt

´

A0r ϕ

¯

0 “ 0

por lo tanto, tambien se cumple la Ley de Faraday. Finalmente debemos comprobar que cumple la ley de Ampere-Maxwell


1r2 sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

0 0 A0r

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ µ0 p0q ` µ0ε0BBt

´

k Qr2 r

¯

1r2 sin θ

BBr

´

A0r

¯

“ 0

´ 1r2 sin θ

Ar2 ‰ 0

y como vemos no se cumple la ley de Ampere.

13.1.1. Gauge de Coulomb o transverso

El gauge de Coulomb consiste en la escogencia de la condicion

∇ ¨ ~A “ 0 (13-6)

la cual es una condicion implıcita de la magnetostatica, remplazando esta condicion en la ecuacion (13-2)

∇2φ` BBt

´

∇ ¨ ~A¯

“ ´ρε0

∇2φ “ ´ρε0

la cual es la forma mas general de ecuacion de Poisson y cuya solucion esta dada por

φ p~r, tq “ kż

V

ρ`

~r1, t˘

|~r´~r1|dV1. (13-7)

Podemos apreciar que el potencial escalar esta determinado de forma instantanea en cualquier lugar del espa-cio en el gauge de Coulomb. De tal manera, que si el electron que genera el potencial electrostatico se mueve,este cambio es instantaneo en el espacio. Esto sin embargo, contradice los postulados de la relatividad espa-cial, el cual no permite que la informacion pueda propagarse con una velocidad superior a la de la luz. Cabe

13.1 Transformaciones gauge 355

resaltar entonces que son los campos y no los potenciales los que tienen significado fısico, mas aun cuando lospotenciales como hemos visto en este capıtulo tienen cierta arbitrariedad en la definicion.

Mientras que al remplazar la condicion ∇ ¨ ~A “ 0, en la ecuacion (13-3) obtenemos

´µ0~J “ ∇2 ~A´∇´

∇ ¨ ~A¯

´∇´

µ0ε0BφBt

¯

´ µ0ε0B2 ~ABt2 “ ∇2 ~A´ µ0ε0∇

´

BφBt

¯

´ µ0ε0B2 ~ABt2 (13-8)

por lo tanto, para obtener la densidad de corriente debemos calcular el potencial escalar φ p~r, tq el cual es facilde calcular, pero como lo expresamos anteriormente presenta un problema de causalidad, mientras que elpotencial vectorial como sabemos es mucho mas complicado de calcular.

Dado que cualquier vector lo podemos descomponer en su componente longitudinal~Jl y transversal~Jt, pode-mos escribir la densidad de corriente como

~J “ ~Jl `~Jt

donde ∇ˆ~Jl “ 0, esto implica que ~Jl es irrotacional, mientras que ∇ ¨~Jt “ 0, y por ello ~Jt es solenoidal. Por lotanto

∇ˆ´

∇ˆ~Jl

¯

“ ∇´

∇ ¨~Jl

¯

´∇2~Jl

ñ ∇2~Jl “ ∇´

∇ ¨~Jl

¯

“ ∇´

∇ ¨~J¯

obteniendo una ecuacion de Poisson para~Jl , con una “densidad de carga” equivalente a

14π∇´

∇ ¨~J¯

de modo que la solucion es

~Jl “ ´1

4π

ż ∇1´

∇1 ¨~J¯

|~r´~r1|dV1 “ ´

14π∇ż

´

∇1 ¨~J¯

|~r´~r1|dV1. (13-9)

Mientras que para~Jt tenemos

∇ˆ´

∇ˆ~Jt

¯

“ ∇´

∇ ¨~Jt

¯

´∇2~Jt

ñ ∇2~Jt “ ´∇ˆ´

∇ˆ~Jt

¯

“ ´∇ˆ´

∇ˆ~J¯

obteniendo tambien una ecuacion de Poisson para~Jt, con una “densidad de carga” equivalente a

´1

4π∇ˆ

´

∇ˆ~J¯

de modo que la solucion sera

~Jt “ ´1

4π

ż ∇1 ˆ´

∇1 ˆ~J¯

|~r´~r1|dV1 “ ´

14π∇ˆ

¨

˝

ż

´

∇1 ˆ~J¯

|~r´~r1|dV1

˛

‚. (13-10)

Para calcular el potencial vectorial (13-8), podemos hacerlo analizando el termino

∇ˆ

Bφ p~r, tqBt

˙

“ ∇

¨

˝

B

Btkż

V

ρ`

~r1, t˘

|~r´~r1|dV1

˛

‚“ ∇

¨

˝kż

V

1|~r´~r1|

Bρ`

~r1, t˘

BtdV1

˛

‚,


de la ecuacion de continuidad (11-3) tenemos que BρlibreBt “ ´∇ ¨~J p~r, tq dV y por lo tanto la ecuacion anterior la

podemos escribir como

∇ˆ

Bφ p~r, tqBt

˙

“ ∇

¨

˝kż

V

1|~r´~r1|

Bρ`

~r1, t˘

BtdV1

˛

‚“ ´k∇

¨

˝

ż

V

dV1

|~r´~r1|∇ ¨~J

˛

‚“ k4π~Jl “~Jlε0

donde tuvimos en cuenta el resultado de la ecuacion (13-9). Por lo tanto la ecuacion (13-8) toma la forma

´µ0~J “ ∇2 ~A´ µ0ε0∇´

BφBt

¯

´ µ0ε0B2 ~ABt2

“ ∇2 ~A´ µ0ε0~Jlε0´ µ0ε0

B2 ~ABt2

“ ∇2 ~A´ µ0~Jl ´ µ0ε0B2 ~ABt2

ñ ´µ0~J ` µ0~Jl “ ∇2 ~A´ µ0ε0B2 ~ABt2

´µ0~Jt “ ∇2 ~A´ µ0ε0B2 ~ABt2 .

(13-11)

Como podemos ver, el potencial vectorial obedece una ecuacion de onda que solo esta determinada por laparte transversal de la densidad de corriente. Esta es la razon por la cual el gauge de Coulomb se denominatambien gauge transverso. Debemos analizar ahora que sucede con la componente longitudinal del potencialvectorial, para lo cual podemos escribir el potencial vectorial como

~A “ ~Al ` ~At

donde∇ˆ ~Al “ 0, esto implica que ~Al es irrotacional, mientras que∇ ¨ ~At “ 0 nos indica que ~At es solenoidal.Ası entonces, podemos escribir ~Al “ ´∇ς dado que cumple que∇ˆ ~Al “ ∇ˆ p´∇ςq “ 0 y ~At “ ∇ˆ~a dadoque cumple que ∇ ¨ ~At “ ∇ ¨ p∇ˆ~aq “ 0. Debido a la condicion (13-6)

∇ ¨ ~A “ 0∇ ¨ ~Al `∇ ¨ ~At “ 0

∇ ¨ p´∇ςq `∇ ¨ p∇ˆ~aq “ 0´∇2ς “ 0

la solucion trivial de esta ecuacion sera ς “ 0 en todo el espacio, lo cual implica que ~A “ ~At y remplazando enla ecuacion (13-11) obtenemos

´µ0~Jt “ ∇2 ~A´ µ0ε0B2 ~ABt2

“ ∇2 ~At ´ µ0ε0B2 ~AtBt2

confirmando que el potencial vectorial solo tiene componentes transversales.

13.1.2. Gauge de Lorentz

Otra forma de desacoplar las ecuaciones de los potenciales escalar y vectorial (13-2) y (13-3), se puede lograrmediante la siguiente definicion

∇ ¨ ~A` µ0ε0Bφ p~r, tqBt

“ 0 (13-12)

13.2 Potenciales retardados 357

por lo tanto, la ecuacion (13-2) queda como

∇2φ` BBt

´

∇ ¨ ~A¯

“ ´ρε0

∇2φ´ BBt

´

µ0ε0Bφp~r,tqBt

¯

“ ´ρε0

∇2φ´ µ0ε0B2φp~r,tqBt2 “ ´

ρε0

(13-13)

mientras que para la ecuacion (13-3), toma la forma

´µ0~J “ ∇2 ~A´∇´

∇ ¨ ~A` µ0ε0BφBt

¯

´ µ0ε0B2 ~ABt2

“ ∇2 ~A´∇´

´µ0ε0Bφp~r,tqBt ` µ0ε0

BφBt

¯

´ µ0ε0B2 ~ABt2

ñ ∇2 ~A´ µ0ε0B2 ~ABt2 “ ´µ0~J.

(13-14)

Como podemos ver las ecuaciones (13-13) y (13-14) estan desacopladas y los potenciales dependen solamentede sus propias fuentes, los cuales se propagan con la velocidad de la luz

´

c2 “ 1µ0ε0

¯

. Otra forma de escribirlas ecuaciones (13-13) y (13-14) es

∇2φ´ 1c2B2φp~r,tqBt2 “ ´

ρp~r,tqε0

∇2 ~A p~r, tq ´ µ0ε0B2 ~Ap~r,tqBt2 “ ´µ0~J p~r, tq

(13-15)

se puede hacer mediante la definicion del cuadrivector y del operador D’Alembertiano1, quedando como

l2 ~Aµ “ ´µ0~Jµ, (13-16)

donde ~Aµ “

´

φ, ~A¯

y~Jµ “

´

ρ,~J¯

. La ecuacion (13-16) ademas de ser elegante y sintetica, resume las ecuacionesde Maxwell y demuestra la invariancia de la electrodinamica frente a las transformaciones de Lorentz. Porultimo, podemos escribir la ecuacion de continuidad (11-3) como

∇µ ~Aµ “ 0

siendo esta la condicion de Lorentz (13-12) escrita en forma de cuadrivector.

13.2. Potenciales retardados

Para analizar el concepto de potencial retardado partiremos de la figura 13-1. Si consideramos una carga q lacual se mueve con velocidad constante~v y queremos calcular el campo en el punto~r. Debemos tener en cuenta

1Debido a los trabajos de muchos cientıficos y en particular a los trabajos de Lorentz, Einstein y Minkowski, se llego a que no existe eltiempo absoluto, y por lo tanto tenemos una medida de tiempo para cada observador, esto lleva a definir un vector de cuatro dimensiones,en donde las cuatro componentes representaban el instante en que sucedıa algo y las tres coordenadas espaciales donde ocurrıa

~Cµ “ pct, x, y, zq

Esto nos lleva necesariamente a definir el operador gradiente cuadridimensional como

∇µ “

ˆ

B

Bt,´∇

˙

“

ˆ

B

Bt,´

B

Bx,´

B

By,´B

Bz

˙

y el D’Alembertiano lo definimos como

l2 “ ∇2 ´ µ0ε0B2

Bt2 .


Figura 13-1: Imagen de una carga q desplazandose en el espacio con velocidad ~v.

que la informacion no viaja de forma instantanea, sino que esta viaja a la velocidad de la luz, recorriendo unadistancia

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ. Por lo tanto

t1 “

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

clos potenciales observados en el punto~r, no dependen de la fuente en el instante t, sino de un cierto tiempoanterior tr el cual denominaremos tiempo de retardo, tiempo en el cual los fotones “envıan la informacion”electromagnetica

tr “ t´ t1 “ t´

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

c(13-17)

de modo que para el caso de fuentes no estaticas el potencial tanto escalar, como vectorial en funcion de losresultados obtenidos en (13-7) y (8-37) los podemos escribir como

φ p~r, tq “ kż

V

ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV1,

~A p~r, tq “µ0

4π

ż ~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV1.

(13-18)

Podemos ver que las fuentes ρ`

~r1, tr˘

y ~J`

~r1, tr˘

son determinadas en el tiempo de retardo, y por lo tanto a lospotenciales se les denomina potenciales retardados. Hay que tener en cuenta que para el caso de multiplesfuentes, este tiempo de retardo sera tambien funcion de la posicion.

Un aspecto importante de estos potenciales retardados es que solo son validos en el gauge de Lorentz. Va-mos ahora demostrar que estos potenciales son solucion de las ecuaciones (13-15), en particular analizaremosprimero el caso del potencial escalar

∇2φ´ µ0ε0B2φ p~r, tqBt2 “ ´

ρ p~r, tqε0

para ello partimos del potencial escalar

φ p~r, tq “ kż

V

ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV (13-19)

teniendo en cuenta la identidad ∇ p f gq “ p∇ f q g` f p∇gq, podemos escribir

∇φ p~r, tq “ ∇

¨

˝kż

V

ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV

˛

‚“ kż

V

∇ρ`

~r1, tr˘ 1|~r´~r1|

dV ` kż

V

ρ`

~r1, tr˘

∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV (13-20)


el termino ∇ρ`

~r1, tr˘

lo podemos reescribir como

∇ρ`

~r1, tr˘

“ ∇ρ`

~r1, tr˘

“

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

ρ`

~r1, tr˘

“Bρ

`

~r1, tr˘

Btr

Btr

Bxı`

Bρ`

~r1, tr˘

Btr

Btr

By`

Bρ`

~r1, tr˘

Btr

Btr

Bzk

dado que~r y~r1 son independientes de t, como se puede ver en la ecuacion (13-17) entonces

B

Btr“BtBtr

B

Bt“B

Bt

por lo tanto

∇ρ`

~r1, tr˘

“Bρ

`

~r1, tr˘

Btr

Btr

Bxı`

Bρ`

~r1, tr˘

Btr

Btr

By`

Bρ`

~r1, tr˘

Btr

Btr

Bzk

“Bρ

`

~r1, tr˘

Bt

ˆ

B

Bxı`

B

By`

B

Bzk˙

tr

“ 9ρ`

~r1, tr˘

∇tr

donde 9ρ`

~r1, tr˘

denota diferenciacion con respecto al tiempo. Dado que tr es funcion de la posicion debemosde calcular el gradiente, ası entonces

∇tr “ ∇´

t´ |~r ~r1|c

¯

“ ´ 1c∇

`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

“ ´ 1c

´

BBx ı` B

By ` BBz k

¯´

`

x´ x1˘2``

y´ y1˘2``

z´ z1˘2¯

12

“ ´ 1c

´

`

x´ x1˘2``

y´ y1˘2``

z´ z1˘2¯´ 1

2´

`

x´ x1˘

ı``

y´ y1˘

``

z´ z1˘

k¯

“ ´ 1c~r ~r1|~r ~r1|

(13-21)

por lo tanto

∇ρ`

~r1, tr˘

“ 9ρ`

~r1, tr˘

∇tr “ ´9ρ`

~r1, tr˘

c~r´~r1

|~r´~r1|, (13-22)

teniendo en cuenta el resultado anterior y que∇´

1|~r ~r1|

¯

“ ´ ~r ~r1

|~r ~r1|3, podemos escribir la ecuacion (13-20) como

∇φ p~r, tq “ kż

V

∇ρ`

~r1, tr˘ 1|~r´~r1|

dV ` kż

V

ρ`

~r1, tr˘

∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

dV

“ ´kż

V

´9ρ`

~r1, tr˘

c~r´~r1

|~r´~r1|1

|~r´~r1|dV ´ k

ż

V

ρ`

~r1, tr˘ ~r´~r1

|~r´~r1|3dV

“ ´kż

V

˜

9ρ`

~r1, tr˘

c~r´~r1

|~r´~r1|2` ρ

`

~r1, tr˘ ~r´~r1

|~r´~r1|3

¸

dV.

(13-23)

Debemos ahora calcular ∇ ¨∇φ p~r, tq “ ∇2φ p~r, tq, para ello recordamos la identidad ∇´

f~F¯

“ p∇ f q~F `


f´

∇ ¨ ~F¯

y remplazando obtenemos

∇ ¨∇φ p~r, tq “ ´∇ ¨ kż

V

˜

9ρ`

~r1, tr˘

c~r´~r1

|~r´~r1|2` ρ

`

~r1, tr˘ ~r´~r1

|~r´~r1|3

¸

dV

“ ´kż

V

«

1c∇ 9ρ

`

~r1, tr˘

¨~r´~r1

|~r´~r1|2`

9ρ`

~r1, tr˘

c∇ ¨

˜

~r´~r1

|~r´~r1|2

¸

`∇ρ`

~r1, tr˘

¨~r´~r1

|~r´~r1|3

`ρ`

~r1, tr˘

∇ ¨˜

~r´~r1

|~r´~r1|3

¸ff

dV

donde

∇ 9ρ`

~r1, tr˘

“ ∇ 9ρ`

~r1, tr˘

“B 9ρ

`

~r1, tr˘

Btr

Btr

Bxı`

B 9ρ`

~r1, tr˘

Btr

Btr

By`

B 9ρ`

~r1, tr˘

Btr

Btr

Bzk

“B 9ρ

`

~r1, tr˘

Bt∇tr

“ ´:ρ`

~r1, tr˘ 1

c~r´~r1

|~r´~r1|

(13-24)

mientras que

∇ ¨ˆ

~r ~r1

|~r ~r1|2

˙

“ ∇ ¨ˆ

~r ~r1

|~r ~r1|2

˙

“ 1|~r ~r1|2

∇ ¨`

~r´~r1˘

``

~r´~r1˘

∇ ¨ˆ

1|~r ~r1|2

˙

“ 1|~r ~r1|2

3``

~r´~r1˘

ˆ

´2 ~r ~r1

|~r ~r1|4

˙

“ 3|~r ~r1|2

´ 2 |~r ~r1|2

|~r ~r1|4

“ 1|~r ~r1|2

(13-25)

para este ultimo paso tuvimos en cuenta los resultados obtenidos en las ecuaciones (2-10) y (2-6). Teniendoen cuenta los resultados obtenidos en las ecuaciones (13-22, 13-24, 13-25 y 2-53 ) reescribimos el termino ∇ ¨∇φ p~r, tq como

∇ ¨∇φ p~r, tq

“ ´kż

V

«

1c∇ 9ρ

`

~r1, tr˘

¨~r´~r1

|~r´~r1|2`

9ρ`

~r1, tr˘

c∇ ¨

˜

~r´~r1

|~r´~r1|2

¸

`∇ρ`

~r1, tr˘

¨~r´~r1

|~r´~r1|3` ρ

`

~r1, tr˘

∇ ¨˜

~r´~r1

|~r´~r1|3

¸ff

dV

“ ´kż

V

«

´1c

:ρ`

~r1, tr˘ 1

c~r´~r1

|~r´~r1|¨~r´~r1

|~r´~r1|2`

9ρ`

~r1, tr˘

c1

|~r´~r1|2´

9ρ`

~r1, tr˘

c~r´~r1

|~r´~r1|¨~r´~r1

|~r´~r1|3` ρ

`

~r1, tr˘

4πδ`

~r´~r1˘

ff

dV

“ ´kż

V

«

´1c

:ρ`

~r1, tr˘ 1

c

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

2

|~r´~r1|3`

1c

9ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|2´

9ρ`

~r1, tr˘

c

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

2

|~r´~r1|4` ρ

`

~r1, tr˘

4πδ`

~r´~r1˘

ff

dV

“ ´kż

V

«

´1c2

:ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|` ρ

`

~r1, tr˘

4πδ`

~r´~r1˘

ff

dV


reescribiendo∇2φ p~r, tq “ ∇ ¨∇φ p~r, tq

“kc2

ż

V

:ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV ´

14πε0

ż

V

ρ`

~r1, tr˘

4πδ`

~r´~r1˘

dV

“kc2

ż

V

B2

Bt2

˜

ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|

¸

dV ´1ε0

ż

V

ρ`

~r1, tr˘

δ`

~r´~r1˘

dV

“1c2B2φ p~r, tqBt2 ´

1ε0

ρ p~r, tq,

donde para la primera integral tuvimos en cuenta la definicion del potencial escalar de la ecuacion (13-19), delas propiedades de la funcion delta de Dirac tenemos que~r “~r1, por lo tanto

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “ 0 y tr “ t´ |~r ~r1|c “ t.

De tal manera que obtenemos finalmente

∇2φ p~r, tq ´1c2B2φ p~r, tqBt2 “ ´

1ε0

ρ p~r, tq .

Esta la misma ecuacion que obtuvimos mediante el gauge de Lorentz (13-15), comprobando entonces que laecuacion (13-18) para el potencial escalar, es solucion de la ecuacion diferencial.

Debemos finalmente demostrar que el potencial vectorial (13-18) es tambien solucion de la ecuacion (13-15).Una diferencia con el proceso que acabamos de llevar acabo con el potencial escalar, es que al realizar lasoperaciones nos parece el gradiente de un vector, la cual es una operacion no definida. Por lo tanto lo queharemos sera plantear un volumen el cual pueda ser divido en dos volumenes, de modo que

V “ V1 `V2,

donde V1 es una region muy pequena definida en torno a~r el cual es el punto de analisis del potencial vectorial,mientras que V2 sera la region restante. La razon de tener estos dos volumenes es poder simplificar el analisis.

El potencial por lo tanto lo podemos escribir como

~A “ ~A1 ` ~A2

partiendo de la ecuacion para el potencial vectorial (13-18) y teniendo en cuenta la definicion

~A1 p~r, tq “µ0

4π

ż ~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV1 “

µ0

4π

ż ~J´

~r1, t´ |~r ~r1|c

¯

|~r´~r1|dV1

dado que la region V1 es muy pequena los efectos de retardo seran igualmente muy pequenos. Por lo tanto, elpotencial vectorial para la region V1 lo podemos escribir como

~A1 p~r, tq “µ0

4π

ż ~J`

~r1, t˘

|~r´~r1|dV1

podemos ver que este resultado es la definicion del potencial vectorial para el caso estatico (8-37), el cualcumple la ecuacion de Poisson

∇2 ~A1 p~r, tq “ ´µ0~J p~r, tq . (13-26)

Para la segunda region por facilidad definimos R “ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ, por lo tanto

~A2 p~r, tq “µ0

4π

ż ~J´

~r1, t´ Rc

¯

RdV2

,


teniendo en cuenta que el potencial vectorial tiene unicamente caracter radial, el Laplaciano en coordenadasesfericas se reduce a ∇2

r “1rB2

Br2 prq. Debemos recordar que la derivada se realiza sobre ~r y no sobre ~r1, asıentonces

∇2 ~A2 p~r, tq “1RB2

BR2

¨

˝Rµ0

4π

ż ~J´

~r1, t´ Rc

¯

RdV2

˛

‚“µ0

4π

ż

1RB2

BR2~Jˆ

~r1, t´Rc

˙

dV2

comenzaremos calculando

B2

BR2~Jˆ

~r1, t´Rc

˙

“B

BR

¨

˝

B~J´

~r1, t´ Rc

¯

BtB

BR

ˆ

t´Rc

˙

˛

‚

“B

BR

ˆ

´1c

9~Jˆ

~r1, t´Rc

˙˙

“ ´1c

B9~J´

~r1, t´ Rc

¯

BtB

BR

ˆ

t´Rc

˙

“1c2

:~Jˆ

~r1, t´Rc

˙

por lo tanto, al remplazar en ∇2 ~A2 p~r, tq tenemos

∇2 ~A2 p~r, tq “µ0

4π

ż

1RB2

BR2~Jˆ

~r1, t´Rc

˙

dV2

“µ0

4π

ż

1R

1c2

:~Jˆ

~r1, t´Rc

˙

dV2

“µ0

4π

ż

1R

1c2

B2~J´

~r1, t´ Rc

¯

Bt2 dV2

“1c2B2

Bt2

¨

˝

µ0

4π

ż ~J´

~r1, t´ Rc

¯

RdV2

˛

‚

“1c2B2 ~A p~r, tqBt2

(13-27)

Dado que ~A p~r, tq “ ~A1 p~r, tq ` ~A2 p~r, tq tenemos

∇2 ~A p~r, tq “ ∇2 ~A2 p~r, tq `∇2 ~A2 p~r, tq “ ´µ0~J p~r, tq `1c2B2 ~A p~r, tqBt2


∇2 ~A p~r, tq ´1c2B2 ~A p~r, tqBt2 “ ´µ0~J p~r, tq .

Es posible plantearse que si existe el tiempo retardado, podrıamos tambien tener tiempo avanzado, para elloplanteamos

tr “ t`

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

c

y con ello tambien tendrıamos potenciales avanzados, los cuales tambien serian solucion a las ecuaciones(13-15) y son consistentes con las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, este tipo de potenciales avanzadosviolarıan el principio de causalidad dado que las fuentes ubicadas en el futuro afectarıan el pasado.


Problema 171. Un cable infinito electricamente neutro, transpor-ta una corriente I ptq “ αt, para t ě 0 y α constante, como semuestra en la figura 13-2. Calcule los potenciales y los campos.

Figura 13-2:

Solucion 171. Debido a que el cable es electricamente neutro entonces ρ`

~r1, tr˘

“ 0 y el potencial escalar sera cero

φ p~r, tq “ kż

V

ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV “ 0

para el potencial vectorial tenemos que d~l “ dz1k, ~r “ ρρ y ~r1 “ z1k, por facilidad denotamos R “ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ. Antesde comenzar el calculo debemos tener en cuenta, que no toda la corriente que transporta el alambre contribuye en elpunto P en el tiempo t, ya que hay una velocidad finita con la cual se transmite la informacion como lo hemos discutidoanteriormente, debido a lo cual es necesario determinar que parte del cable contribuye a el potencial vectorial en el puntoP

~A p~r, tq “µ0

4π

ż ~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dl “

µ0

4π

8ż

´8

I ptrq

Rdz1k (13-28)

teniendo en cuenta que tr “ t´ |~r ~r1|c y que tr ě 0 entonces

tr “ t´

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

c“ t´

Rc“ t´

a

ρ2 ` z12

cě 0 ñ ct ě

b

ρ2 ` z12,

por lo tanto

c2t2 ě ρ2 ` z12 ñ z12 ď c2t2 ´ ρ2

ñˇ

ˇz1ˇ

ˇ ďa

c2t2 ´ ρ2

lo cual implica que

´

b

c2t2 ´ ρ2 ď z1 ďb

c2t2 ´ ρ2,


esto nos permite escribir la integral (13-28) como

~A p~r, tq “µ0

4π

8ż

´8

I ptrq

Rdz1k

“µ0

4π

?c2t2´ρ2ż

´?

c2t2´ρ2

α

ˆ

t´?

ρ2`z12c

˙

a

ρ2 ` z12dz1k

“µ0αk4π

¨

˚

˚

˝

?c2t2´ρ2ż

´?

c2t2´ρ2

ta

ρ2 ` z12dz1 ´

?c2t2´ρ2ż

´?

c2t2´ρ2

dz1

c

˛

‹

‹

‚

(13-29)

la primera integral la podemos resolver haciendo la sustitucion

z1 “ ρ tan θ

dz1 “ ρ sec2 θ dθ

remplazando obtenemos2

?c2t2´ρ2ż

´?

c2t2´ρ2

ta

ρ2 ` z12dz1 “ 2t

?c2t2´ρ2ż

0

ρ sec2 θ dθb

ρ2 ` ρ2 tan2 θ

“ 2t

θ2ż

θ1

ρ sec2 θ dθ

ρ sec θ

“ 2t

θ2ż

θ1

sec θ dθ

“ 2t ln |sec θ ` tan θ||θ2θ1

“ 2t pln |sec θ2 ` tan θ2| ´ ln |sec θ1 ` tan θ1|q

Debemos ahora analizar los lımites de las integrales, y dado que

1` tan2 θ “ sec2 θ ñ sec θ “a

1` tan2 θ “

d

1`z12

ρ2

por lo tanto

sec θ “

d

1`z12

ρ2 ñ

$

&

%

z1 “ 0 ñ sec θ1 “ 1, tan θ1 “ 0

z1 “a

c2t2 ´ ρ2 ñ sec θ2 “

c

1` c2t2´ρ2

ρ2 “ ctρ , tan θ2 “

?c2t2´ρ2

ρ

de tal forma que?

c2t2´ρ2ż

´?

c2t2´ρ2

ta

ρ2 ` z12dz1 “ 2t pln |sec θ2 ` tan θ2| ´ ln |sec θ1 ` tan θ1|q

“ 2tˆ

lnˆ

ctρ `

?c2t2´ρ2

ρ

˙

´ ln p1` 0q˙

“ 2t lnˆ

ct`?

c2t2´ρ2

ρ

˙

.

(13-30)

2ş sec θ dθ “ ln |sec θ` tan θ| ` C


Para la segunda integral de la integral (13-29) tenemos

?c2t2´ρ2ż

´?

c2t2´ρ2

dz1

c“

1c

ˆ

b

c2t2 ´ ρ2 ´

ˆ

´

b

c2t2 ´ ρ2˙˙

“2a

c2t2 ´ ρ2

c. (13-31)

Remplazando los resultados obtenidos en las ecuaciones (13-30) y (13-31), en la ecuacion (13-29) obtenemos

~A p~r, tq “µ0αk4π

¨

˚

˚

˝

?c2t2´ρ2ż

´?

c2t2´ρ2

ta

ρ2 ` z12dz1 ´

?c2t2´ρ2ż

´?

c2t2´ρ2

dz1

c

˛

‹

‹

‚

“µ0αk4π

˜

2t ln

˜

ctà

c2t2 ´ ρ2

ρ

¸

´2a

c2t2 ´ ρ2

c

¸

“µ0α

2π

˜

t ln

˜

ctà

c2t2 ´ ρ2

ρ

¸

´

a

c2t2 ´ ρ2

c

¸

k.

por lo tanto el campo magnetico sera

~B “ ∇ˆ ~A

“µ0α

2π

1ρ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ρ ρθ kBBρ

BBθ

BBz

0 0 t ln

˜

ctà

c2t2 ´ ρ2

ρ

¸

´

a

c2t2 ´ ρ2

c

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ´µ0α

2πθ BBρ

˜

tln

˜

ctà

c2t2 ´ ρ2

ρ

¸

´

a

c2t2 ´ ρ2

c

¸

“ ´µ0α

2π

¨

˝t

¨

˝

ρ

ˆ

´ρ´2´

ct`?

c2t2´ρ2¯

` 1ρ

12 pc

2t2´ρ2q´ 1

2 p´2ρq

˙

ct`?

c2t2´ρ2

˛

‚´ 12c`

c2t2 ´ ρ2˘´12 p´2ρq

˛

‚θ

“µ0α

2π

˜

tρ `

tρ´

ct`?

c2t2´ρ2¯?

c2t2´ρ2´

ρ

c?

c2t2´ρ2

¸

θ

Para calcular el campo electrico debemos partir de la ecuacion (13-1)

~E “ ´∇φ´ B~ABt

“ ´µ0α

2π

B

Bt

˜

t ln

˜

ctà

c2t2 ´ ρ2

ρ

¸

´

a

c2t2 ´ ρ2

c

¸

k

“ ´µ0α

2π

˜

ln

˜

ctà

c2t2 ´ ρ2

ρ

¸

` t

˜

ρ

ctà

c2t2 ´ ρ2

¸

ˆ

c`12

´

c2t2 ´ ρ2¯´ 1

2 2tc2˙

´ 12c`

c2t2 ´ ρ2˘´12 2tc2

¸

k

“ ´µ0α

2π

¨

˚

˝

ln

˜

ctà

c2t2 ´ ρ2

ρ

¸

`

ct` t2c2?

c2t2´ρ2

ctà

c2t2 ´ ρ2´ tc?

c2t2´ρ2

˛

‹

‚

k

donde tuvimos en cuenta que ddx pln p f pxqqq “ 1

f pxqd

dx f pxq.


13.3. Ecuaciones de Jefimenko para los campos

Las ecuaciones de Jefimenko nos permiten calcular directamente los campos si conocemos completamente lasfuentes. Para realizar este calculo, partiremos de la definicion para los potenciales retardados (13-18)

φ p~r, tq “ kż

V

ρ`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV,

~A p~r, tq “µ0

4π

ż ~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV.

Para el campo electrico tenemos

~E “ ´∇φ´ B~ABt

“ kż

V

˜

9ρ`

~r1, tr˘

c~r´~r1

|~r´~r1|2` ρ

`

~r1, tr˘ ~r´~r1

|~r´~r1|3

¸

dV ´µ0

4π

ż 9~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV

“ kż

V

˜

9ρ`

~r1, tr˘

c~r´~r1

|~r´~r1|2` ρ

`

~r1, tr˘ ~r´~r1

|~r´~r1|3

¸

dV ´µ0ε0

4πε0

ż 9~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV

“ kż

V

¨

˝ρ`

~r1, tr˘ ~r´~r1

|~r´~r1|3`

9ρ`

~r1, tr˘

c~r´~r1

|~r´~r1|2´

1c2

ż 9~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|

˛

‚dV

(13-32)

donde tuvimos en cuenta el calculo del gradiente del potencial escalar (ecuacion 13-23) y que c “ 1?µ0ε0

.La ecuacion del campo electrico ası escrita (13-32), es la generalizacion del campo de Coulomb para camposdependientes del tiempo. Podemos ver que para cargas estaticas las dependencias temporales desaparecen yregresamos entonces al caso de campo electrico estatico (3-13).

Para calcular el campo magnetico partimos de la ecuacion

~B “ ∇ˆ ~A “ ∇ˆ˜

µ0

4π

ż ~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV

¸


f~F¯

“ p∇ f q ˆ ~F` f´

∇ˆ ~F¯

, podemos escribir la relacion anterior como

∇ˆ~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|“ ∇

ˆ

1|~r´~r1|

˙

ˆ~J`

~r1, tr˘

`

ˆ

1|~r´~r1|

˙

∇ˆ~J`

~r1, tr˘

, (13-33)

comenzaremos analizando el termino

∇ˆ~J`

~r1, tr˘

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

Jx Jy Jz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B Jz

By´B Jy

Bz

˙

ı´ˆ

B Jz

Bx´B Jx

Bz

˙

`

ˆ

B Jy

Bx´B Jx

By

˙

k (13-34)

la primera derivada la podemos escribir como

B Jz

By“B Jz

Btr

Btr

By“B Jz

BtBtBtr

Btr

By

dado que tr “ t´ |~r ~r1|c entonces

BtBtr

“ 1

13.3 Ecuaciones de Jefimenko para los campos 367

mientras que

Btr

By“B

By

˜

t´

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

c

¸

“ ´1cB

By`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

remplazando los resultados anteriores obtenemos

B Jz

By“B Jz

BtBtBtr

Btr

By“ ´ 9Jz p1q

1cB

By`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

“ ´9Jz

cB

By`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

.

Para el termino B JyBz podemos seguir un procedimiento completamente equivalente al que acabamos de realizar,

y por lo tanto, el termino completo en ı sera

ˆ

B Jz

By´B Jy

Bz

˙

ı “

˜

´9Jz

cB

By`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

`9Jy

cB

Bz`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

¸

ı “ ´1c

ˆ

9JzB

By`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

` 9JyB

Bz`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

˙

ı

mientras que para los terminos restantes de la ecuacion (13-34) tenemos

´

ˆ

B Jz

Bx´B Jx

Bz

˙

“1c

ˆ

9JzB

Bx`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

` 9JxB

Bz`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

˙

,ˆ

B Jy

Bx´B Jx

By

˙

k “ ´1c

ˆ

9JyB

Bx`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

` 9JxB

By`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

˙

k.

Analizando la estructura de los terminos anteriores podemos sintetizar los resultados como

∇ˆ~J`

~r1, tr˘

“

´

B JzBy ´

B JyBz

¯

ı´´

B JzBx ´

B JxBz

¯

`´

B JyBx ´

B JxBy

¯

k

“ ´ 1c

´

9JzBBy

`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

` 9JyBBz

`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

¯

ı`1c

ˆ

9JzB

Bx`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

` 9JxB

Bz`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

˙

´ 1c

´

9JyBBx

`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

` 9JxBBy

`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

¯

k

“ 1c

9~J ˆ∇`ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

˘

“ 1c

9~J ˆ´

~r ~r1|~r ~r1|

¯

donde utilizamos el resultado de la ecuacion (13-21). Recordando que

∇ˆ

1|~r´~r1|

˙

“ ´~r´~r1

|~r´~r1|3

y remplazar lo obtenido en la ecuacion (13-33) obtenemos

∇ˆ~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|“ ∇

ˆ

1|~r´~r1|

˙

ˆ~J`

~r1, tr˘

`

ˆ

1|~r´~r1|

˙

∇ˆ~J`

~r1, tr˘

“ ´~r´~r1

|~r´~r1|3ˆ~J

`

~r1, tr˘

`

ˆ

1|~r´~r1|

˙

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ

ˆ

~r´~r1

|~r´~r1|

˙

“ ~J`

~r1, tr˘

ˆ~r´~r1

|~r´~r1|3`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ

˜

~r´~r1

|~r´~r1|2

¸

“~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2


Por lo tanto, el campo magnetico quedara escrito como

~B p~r, tq “ ∇ˆ ~A p~r, tq

“µ0

4π

ż

∇ˆ~J`

~r1, tr˘

|~r´~r1|dV

“µ0

4π

ż

¨

˝

~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2

˛

‚dV

(13-35)

como vemos el primer termino corresponde a la ley de Biot-Savart (8-9), haciendo de la ecuacion anterior unageneralizacion a esta para el caso dependiente del tiempo.

En general estas ecuaciones son de utilidad limitada, ya que, por lo general es mas sencillo evaluar los po-tenciales retardados y diferenciarlos para obtener los campos. Sin embargo, lo realizado anteriormente nosmuestra que no solo debemos remplazar el tiempo por el tiempo retardado para obtener los campos, sino que

apareceran terminos adicionales que involucran a 9ρ y 9~J en las formas finales de los campos.

Con las ecuaciones de Jefimenko podemos examinar la validez de la aproximacion cuasi-estacionaria, para lacual, si suponemos que la densidad de corriente cambia lentamente podemos expandirla en series de Taylor,ignorando terminos a segundo orden. De tal forma que

~J`

~r1, tr˘

“ ~J`

~r1, t˘

` ptr ´ tq 9~J`

~r1, t˘

,

teniendo en cuenta que tr “ t´ |~r ~r1|c , entonces Bt

Btr“ 1 y por lo tanto

B~J`

~r1, tr˘

Bt“B~J

`

~r1, tr˘

Btr

Btr

Bt“B~J

`

~r1, tr˘

Btr

al remplazar lo anterior en la ecuacion del campo magnetico (13-35)

~B p~r, tq “µ0

4π

ż

¨

˝

~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2

˛

‚dV

“µ0

4π

ż

¨

˚

˝

´

~J`

~r1, t˘

` ptr ´ tq 9~J`

~r1, t˘

¯

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2

˛

‹

‚

dV

dado que tr ´ t “ ´ |~r ~r1|c , al remplazar obtenemos

~B p~r, tq “µ0

4π

ż

¨

˚

˝

´

~J`

~r1, t˘

` ptr ´ tq 9~J`

~r1, t˘

¯

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2

˛

‹

‚

dV

“µ0

4π

ż

¨

˚

˝

´

~J`

~r1, t˘

´|~r ~r1|

c9~J`

~r1, t˘

¯

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2

˛

‹

‚

dV

“µ0

4π

ż

¨

˝

~J`

~r1, t˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3´

1c

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

9~J`

~r1, t˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2

˛

‚dV

“µ0

4π

ż

¨

˝

~J`

~r1, t˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3´

1c

9~J`

~r1, t˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2`

1c

9~J`

~r1, tr˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|2

˛

‚dV

“µ0

4π

ż ~J`

~r1, t˘

ˆ`

~r´~r1˘

|~r´~r1|3dV.

13.4 Potenciales de Lienard-Wiechert 369

El analisis anterior demuestra que la aproximacion cuasi-estatica es valida en un rango amplio, ya que, aunqueen la construccion de la ley de Biot-Savart no se tuvo en cuenta el tiempo de retardo, ni tampoco la variacionde la densidad de corriente con respecto al tiempo, estos terminos se cancelan entre sı a primer orden.

13.4. Potenciales de Lienard-Wiechert

Lo realizado anteriormente es valido para potenciales y campos de distribuciones macroscopicas de cargas ycorrientes. Vamos ahora a analizar los potenciales para cargas puntuales. Para ello podemos considerar unapartıcula cargada Q moviendose en el espacio, cuya posicion retardada es~r1 ptrq y por lo tanto

~R “~r´~r1 ptrq “ c pt´ trq (13-36)

donde ~R es el vector que va desde la posicion retardada hasta el punto de evaluacion~r, como se muestra en lafigura 13-3. Es importante notar que el observador situado en~r en un tiempo t no puede ver la carga en dos

Figura 13-3: Imagen de una carga q desplazandose en el espacio con velocidad ~v.

lugares diferentes al mismo tiempo. Supongamos que hay dos puntos con tiempos retardados t1 y t2 tal que

R1 “ c pt´ t1q

R2 “ c pt´ t2q

*

ñ R1 ´ R2 “ c pt´ t1q ´ c pt´ t2q “ c pt2 ´ t1q

por lo tanto c “ R1´R2t2´t1

, es la velocidad promedio de la partıcula en la direccion de~r. Dado que ninguna cargapuede viajar a la velocidad de la luz solo un punto contribuye a los potenciales en un punto dado y por ellosolo ve una contribucion a la vez. Sin embargo, en el caso de las ondas de sonido debido al principio de super-posicion es posible escuchar a un objeto en dos lugares al tiempo, si una fuente sonora a cierta distancia delobservador emite un pulso y viaja a la velocidad del sonido en direccion al observador, y emite otro pulso justocuando llega al observador, este ultimo detectara ambos pulsos al mismo tiempo que provienen de diferenteslugares aunque hay una sola fuente. Partiendo del potencial retardado

φ p~r, tq “ kż

ρ`

~r1 ptq , tr˘

|~r´~r1 ptq|dV1 (13-37)

e integrando para obtener simplemente el potencial retardado de una carga puntual en la forma

φ p~r, tq “ kQ

|~r´~r1 ptrq|,


este resultado serıa analogo al caso estatico salvo por el hecho de que se incluye la posicion retardada de lacarga. Sin embargo, esto no es cierto, ya que de forma general cuando realizamos el calculo del potencial parauna carga puntual el denominador lo sacamos de la integral

φ p~r, tq “ k1R

ż

ρ`

~r1 ptq , tr˘

dV1

sin embargo, la integral ası escrita no representa la carga total de la partıcula, ya que para obtener la carga total,la densidad de carga debe de ser integrada sobre la distribucion completa en el mismo instante de tiempo ydebido al tiempo retardo

tr “ t´

ˇ

ˇ~r´~r1 ptrqˇ

ˇ

cdebemos evaluar ρ en tiempos distintos para diferentes partes de la configuracion. Si la configuracion se mue-ve, esto nos dara una imagen distorsionada de la carga total. Podrıa pensarse que este problema no aparecepara cargas puntuales debido a su falta de tamano. Sin embargo, no es ası, puesto que en el formalismo deMaxwell una carga puntual se debe ver como el lımite de una carga extendida cuando su tamano tiende a ce-ro. Para una carga con dimensiones que se mueva no importa cual sea su tamano, tendra un volumen aparenteV1 distinto al volumen real V de la carga. Este efecto es puramente geometrico3 y lo podemos escribir como

V1 “V

1´ R ¨~β, (13-38)

remplazando en la integral (13-37) y teniendo en cuenta que la densidad de carga la podemos escribir como

ρ`

~r1 ptq , tr˘

“ Qδ`

~r1 ptq ´~r1 ptrq˘

el potencial queda como

φ p~r, tq “ kż

ρ`

~r1 ptq , tr˘

|~r´~r1 ptrq|dV1 “ k

ż Qδ`


RdV

1´ R ¨~β“ k

QR´ ~R ¨~β

(13-39)

3Para analizar el cambio en el volumen, lo haremos partiendo del ejemplo de un tren que se aproxima. El observador vera que eltren que se aproxima tiene una longitud mayor de la que realmente tiene. Esto se debe a que la luz que el observador recibe de la partetrasera ha partido antes que la luz que recibe el observador simultaneamente de la locomotora, y en este tiempo anterior el tren estabamas lejos. Tomemos el origen en el punto en donde parte el rayo de la parte trasera, y el tiempo de partida de dicho rayo lo tomamostambien como t “ 0. Sean t y L1, el tiempo posterior y la posicion respectivamente en los cuales parte el rayo de la locomotora que llegarasimultaneamente al observador. Para que ambos rayos lleguen simultaneamente es necesario que el rayo de la parte trasera este pasandoen el tiempo t por la posicion L1. Si L es la longitud del tren, entonces en este tiempo el tren ha recorrido una distancia L1 ´ L por tanto eltiempo t sera

t “L1

c“

L1 ´ L~r ~r1

|~r ~r1|¨~v

siendo ~v la velocidad del tren comprendida entre los tiempos de partida de los rayos. La ultima igualdad nos conduce a

L1 “L

1´ ~r ~r1

|~r ~r1|¨ ~vc

“L

1´ R ¨~β

donde definimos R “ ~r ~r1

|~r ~r1|como el vector unitario desde el tren hacia el observador y ~β “ ~v

c . Por lo tanto, la longitud aparente del tren

es mayor que la longitud real L en un factor de´

1´ R ¨~β¯´1

. De igual manera, si el tren se aleja del observador, su longitud aparente es

menor por un factor de´

1` R ¨~β¯´1

.Si la longitud del tren es muy pequena respecto a la distancia al observador, podemos definir sin ambiguedad a este tiempo como el

tiempo retardado, ya que el retardo entre la partida de los dos rayos serıa mucho menor que el retardo para que estos rayos lleguenal observador y la velocidad esta entonces evaluada en el tiempo retardado. Para la carga puntual el calculo del volumen aparente esexacto dado que las dimensiones de la carga se hacen tender a cero y son entonces mucho menores que cualquier distancia al punto deevaluacion.

Es importante aclarar que este efecto no es un efecto relativista de la contraccion de Lorentz y por el contrario es mas parecido al efectoDoppler.

13.5 Campos electrico y magnetico asociados a cargas puntuales moviles 371

donde empleamos que ~R “ ~r ´~r1 ptrq y RR “ ~R. Adicionalmente hemos definido ~β “~vptrq

c y ~v ptrq comola velocidad de la partıcula en el tiempo retardado. Para calcular el potencial vectorial retardado debemoscalcular la densidad de corriente retardada, de manera que

dQ “ ρdV “ ρdAˇ

ˇ

ˇd~lˇ

ˇ

ˇñ

dQdt“ ρdA

ˇ

ˇ

ˇd~lˇ

ˇ

ˇ

dt“ ρdA v “ dI,

esto nos lleva a escribir la densidad de corriente como

J “dIdA

“ ρv ñ ~J`

~r1 ptq , tr˘

“ ρ`

~r1 ptq , tr˘

~v ptrq ,

remplazando lo anterior en el potencial vectorial tenemos

~A p~r, tq “µ0

4π

ż ~J`

~r1 ptq , tr˘

|~r´~r1 ptrq|dV1

“µ0

4π

ż

ρ`

~r1 ptq , tr˘

~v ptrq

RdV

1´ R ¨~β

“µ0

4π

ż Qδ`


~v ptrq

RdV

1´ R ¨~β

“µ0

4π

Q~v ptrq

R´ ~R ¨~β

“µ0ε0

4πε0

Q~v ptrq

R´ ~R ¨~β

“ k~v ptrq

c2Q

R´ ~R ¨~β

“~v ptrq

c2 φ p~r, tq

(13-40)

Las ecuaciones (13-39) y (13-40) se conocen como potenciales de Lienard-Wiechert para una carga en movi-miento.

13.5. Campos electrico y magnetico asociados a cargas puntuales moviles

Tenemos dos formas posibles para calcular los campos electricos y magneticos de una carga puntual en movi-miento arbitrario y como hemos visto en ambos casos, estas implican mucho trabajo en el proceso de calculo.Por un lado, tenemos las ecuaciones de Jefimenko cuyo resultado intermedio nos ofrece las ecuaciones deHeaviside-Feynman. La otra forma para calcular los campos asociados a cargas puntuales moviles, es partien-do de los potenciales de Lienard-Wiechert obtenidos en las ecuaciones (13-39) y (13-40), este sera el camino queseguiremos y para ello debemos comenzar calculando el campo electrico. Partiendo de la relacion

~E p~r, tq “ ´∇φ p~r, tq ´B~A p~r, tqBt

comenzaremos evaluando ∇φ p~r, tq, para ello utilizamos la ecuacion (13-39)

∇φ p~r, tq “ ∇ˆ

k QR´~R¨~β

˙

“ kQ∇ˆ

1R´~R¨~β

˙

“ ´kQ 1

pR´~R¨~βq2∇

´

R´ ~R ¨~β¯

“ ´kQ 1

pR´~R¨~βq2

´

∇R´∇´

~R ¨~β¯¯

.

(13-41)


Para el primer termino de la ecuacion anterior, hacemos uso de la ecuacion (13-36)

∇R “ c∇ pt´ trq “ ´c∇tr (13-42)

sin embargo, podemos escribir

∇R “ ∇a

~R ¨ ~R “1

2a

~R ¨ ~R∇´

~R ¨ ~R¯

e igualando las ecuaciones anteriores tenemos

1

2a

~R ¨ ~R∇´

~R ¨ ~R¯

“ ´c∇tr. (13-43)

Para resolver el termino ∇´

~R ¨ ~R¯

usamos la identidad

∇´

~F ¨ ~G¯

“

´

~F ¨∇¯

~G` ~Fˆ´

∇ˆ ~G¯

`

´

~G ¨∇¯

~F` ~Gˆ´

∇ˆ ~F¯

(13-44)

de tal forma∇´

~R ¨ ~R¯

“ ~Rˆ´

∇ˆ ~R¯

` ~Rˆ´

∇ˆ ~R¯

`

´

~R ¨∇¯

~R`´

~R ¨∇¯

~R

“ 2~Rˆ´

∇ˆ ~R¯

` 2´

~R ¨∇¯

~R(13-45)

dado que

´

~R ¨∇¯

~R “ ~R ¨∇`

~r´~r1 ptrq˘

“

´

~R ¨∇¯

~r´´

~R ¨∇¯

~r1 ptrq

“

´

RxBBx ` Ry

BBy ` Rz

BBz

¯´

xı` y ` zk¯

´

´

RxBBx ` Ry

BBy ` Rz

BBz

¯

~r1 ptrq

“

´

Rx ı` Ry ` Rz k¯

´

´

Rxd~r1ptrq

dtrBtrBx ` Ry

d~r1ptrqdtr

BtrBy ` Rz

d~r1ptrqdtr

BtrBz

¯

“ ~R´´

Rx~v ptrqBtrBx ` Ry~v ptrq

BtrBy ` Rz~v ptrq

BtrBz

¯

“ ~R´~v ptrq ~R ¨∇tr

(13-46)

debemos ahora evaluar ahora el termino ~Rˆ´

∇ˆ ~R¯

, para lo cual analizaremos primero ∇ˆ ~R

∇ˆ ~R “ ∇ˆ`

~r´~r1 ptrq˘

“:0∇ˆ~r ´∇ˆ~r1 ptrq “ ´∇ˆ~r1 ptrq

ası entonces

∇ˆ~r1 ptrq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

x1 ptrq y1 ptrq z1 ptrq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

´

BBy z1 ptrq ´

BBz y1 ptrq

¯

ı´´

BBx z1 ptrq ´

BBz x1 ptrq

¯

`´

BBx y1 ptrq ´

BBy x1 ptrq

¯

k

“

´

Bz1ptrqBtr

BtrBy ´

By1ptrqBtr

BtrBz

¯

ı´´

Bz1ptrqBtr

BtrBx ´

Bx1ptrqBtr

BtrBz

¯

`´

By1ptrqBtr

BtrBx ´

Bx1ptrqBtr

BtrBy

¯

k

“

´

vz ptrqBtrBy ´ vy ptrq

BtrBz

¯

ı´´

vz ptrqBtrBx ´ vx ptrq

BtrBz

¯

`´

vy ptrqBtrBx ´ vx ptrq

BtrBy

¯

k

“ ´~v ptrq ˆ∇tr,

por lo tanto

∇ˆ ~R “ ´∇ˆ~r1 ptrq “ ´~v ptrq ˆ∇tr ñ ∇ˆ~r1 ptrq “ ~v ptrq ˆ∇tr. (13-47)


Al remplazar lo obtenido en las ecuaciones (13-46) y (13-47), en la ecuacion (13-45) obtenemos

∇´

~R ¨ ~R¯

“ 2~Rˆ´

∇ˆ ~R¯

` 2´

~R ¨∇¯

~R

“ 2~Rˆ~v ptrq ˆ∇tr ` 2´

~R´~v ptrq ~R ¨∇tr

¯

“ 2´

~R ¨∇tr

¯

~v ptrq ´ 2´

~R ¨~v ptrq¯

∇tr ` 2~R´ 2~v ptrq ~R ¨∇tr

“ ´2´

~R ¨~v ptrq¯

∇tr ` 2~R,

donde se uso la propiedad del triple producto vectorial

~Aˆ´

~Bˆ ~C¯

“

´

~A ¨ ~C¯

~B´´

~A ¨ ~B¯

~C, (13-48)

remplazando el resultado anterior en la ecuacion (13-43) tenemos

1

2a

~R ¨ ~R∇´

~R ¨ ~R¯

“ ć∇tr

´~R ¨~v ptrq∇tr ` ~RR

“ ć∇tr

´R ¨~v ptrq∇tr ` R “ ć∇trR “

`

R ¨~v ptrq ´ c˘

∇tr

ñ ∇tr “R

R ¨~v ptrq ´ c“

RR ¨~v ptrq ´ c

RR“

~R~R ¨~v ptrq ´ Rc

“ ´1c

˜

~RR´ ~R ¨~β

¸

(13-49)

en donde~β “ ~vptrqc , partiendo de la ecuacion (13-42) y despejando el termino∇tr para igualarlo con el resultado

anterior

∇tr “ ´∇R

c “ ´ 1c

ˆ

~RR´~R¨~β

˙

ñ ∇R “ ~RR´~R¨~β

(13-50)

Para completar el analisis de ∇φ p~r, tq de la ecuacion (13-41), solo resta calcular el termino ∇´

~R ¨~β¯

, para ellonuevamente emplearemos la identidad de la ecuacion (13-44) y por lo tanto

∇´

~R ¨~β¯

“

´

~R ¨∇¯

~β` ~Rˆ´

∇ˆ~β¯

`

´

~β ¨∇¯

~R`~βˆ´

∇ˆ ~R¯

(13-51)

para el primer termino tenemos´

~R ¨∇¯

~β “

´

~R ¨∇¯ ~v ptrq

c“

1c

ˆ

RxB

Bx` Ry

B

By` Rz

B

Bz

˙

~v ptrq

“1c

ˆ

Rxd~v ptrq

dtr

Btr

Bx` Ry

d~v ptrq

dtr

Btr

By` Rz

d~v ptrq

dtr

Btr

Bz

˙

“ Rx~αBtr

Bx` Ry~α

Btr

By` Rz~α

Btr

Bz“ ~α~R ¨∇tr

“ ~α~R ¨

˜

´1c

˜

~RR´ ~R ¨~β

¸¸

“ ´~α

c

˜

R2

R´ ~R ¨~β

¸

(13-52)

donde tuvimos en cuenta el resultado de la ecuacion (13-49) y ademas definimos

~α “1c

d~v ptrq

dtr“~a ptrq

c(13-53)


siendo~a ptrq la aceleracion de la partıcula en el tiempo retardado, esto solamente para simplificar la escritura.

Para el termino ∇ˆ~β tenemos

∇ˆ~β “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı kBBx

BBy

BBz

βx βy βz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆ

B

Byβz ´

B

Bzβy

˙

ı´ˆ

B

Bxβz ´

B

Bzβx

˙

`

ˆ

B

Bxβy ´

B

Byβx

˙

k

“

ˆ

Bβz

Btr

Btr

By´Bβy

Btr

Btr

Bz

˙

ı´ˆ

Bβz

Btr

Btr

Bx´Bβx

Btr

Btr

Bz

˙

`

ˆ

Bβy

Btr

Btr

Bx´Bβx

Btr

Btr

By

˙

k

“

ˆ

αzBtr

By´ αy

Btr

Bz

˙

ı´ˆ

αzBtr

Bx´ αx

Btr

Bz

˙

`

ˆ

αyBtr

Bx´ αx

Btr

By

˙

k

“ ~αˆ∇tr

“ ~αˆ

˜

´1c

˜

~RR´ ~R ¨~β

¸¸

“1c

~αˆ ~RR´ ~R ¨~β

(13-54)

y por lo tanto

~Rˆ´

∇ˆ~β¯

“ ~Rˆ

˜

1c


¸

“1c

~Rˆ~αˆ ~RR´ ~R ¨~β

,

teniendo en cuenta la propiedad del triple producto vectorial de la ecuacion (13-48) y remplazando en larelacion anterior

~Rˆ´

∇ˆ~β¯

“1c

~Rˆ~αˆ ~RR´ ~R ¨~β

“1c

´

~R ¨ ~R¯

~α´´

~R ¨~α¯

~R

R´ ~R ¨~β“

1c

R2~α´´

~R ¨~α¯

~R

R´ ~R ¨~β. (13-55)

procedemos ahora a analizar el tercer termino de la ecuacion (13-51)´

~β ¨∇¯

~R “ ~β ¨∇`

~r´~r1 ptrq˘

“

´

~β ¨∇¯

~r´´

~β ¨∇¯

~r1 ptrq

“

ˆ

βxB

Bx` βy

B

By` βz ptrq

B

Bz

˙

´

xı` y ` zk¯

´

ˆ

βxB

Bx` βy

B

By` βz

B

Bz

˙

~r1 ptrq

“ βx ı` βy ` βz k´ˆ

βxd~r1 ptrq

dtr

Btr

Bx` βy

d~r1 ptrq

dtr

Btr

By` βz

d~r1 ptrq

dtr

Btr

Bz

˙

“ ~β´

ˆ

βx~v ptrqBtr

Bx` βy~v ptrq

Btr

By` βz~v ptrq

Btr

Bz

˙

“ ~β´~β~v ptrq ¨∇tr

“ ~β´~β~v ptrq ¨

˜

´1c

˜

~RR´ ~R ¨~β

¸¸

“ ~β`~β~β ¨ ~R

R´ ~R ¨~β

“~βR´~β~R ¨~β`~β~β ¨ ~R

R´ ~R ¨~β

“~βR

R´ ~R ¨~β

(13-56)

Finalmente, para el cuarto el termino de la ecuacion (13-51) debemos tener en cuenta el resultado obtenido en


la ecuacion (13-47)

~βˆ´

∇ˆ ~R¯

“ ~βˆ p~v ptrq ˆ∇trq

“ ~βˆ

˜

~v ptrq ˆ

˜

´1c

˜

~RR´ ~R ¨~β

¸¸¸

“ ´~βˆ1c

˜

~v ptrq ˆ ~RR´ ~R ¨~β

¸

“ ´~βˆ~βˆ ~RR´ ~R ¨~β

“ ´

´

~β ¨ ~R¯

~β´´

~β ¨~β¯

~R

R´ ~R ¨~β

“

β2~R´´

~β ¨ ~R¯

~β

R´ ~R ¨~β.

(13-57)

Remplazando los resultados obtenidos en las ecuaciones (13-52, 13-55, 13-56 y 13-57) en la ecuacion (13-51)obtenemos

∇´

~R ¨~β¯

“

´

~R ¨∇¯

~β` ~Rˆ´

∇ˆ~β¯

`

´

~β ¨∇¯

~R`~βˆ´

∇ˆ ~R¯

“ ´~α

c

˜

R2

R´ ~R ¨~β

¸

`1c

R2~α´´

~R ¨~α¯

~R

R´ ~R ¨~β`

~βRR´ ~R ¨~β

`

β2~R´´

~β ¨ ~R¯

~β

R´ ~R ¨~β

“´~α

c R2 ` 1c R2~α´ 1

c

´

~R ¨~α¯

~R`~βR` β2~R´´

~β ¨ ~R¯

~β

R´ ~R ¨~β

“

~βR` β2~R´´

~β ¨ ~R¯

~β´ 1c

´

~R ¨~α¯

~R

R´ ~R ¨~β.

(13-58)

Finalmente, el gradiente del potencial ∇φ p~r, tq (13-41) al tener en cuenta los resultados (13-50) y (13-58), lopodemos escribir como

∇φ p~r, tq “ ´kQ1

´

R´ ~R ¨~β¯2

´

∇R´∇´

~R ¨~β¯¯

“ ´kQ1

´

R´ ~R ¨~β¯2

¨

˝

~RR´ ~R ¨~β

´

~βR` β2~R´´

~β ¨ ~R¯

~β´ 1c~R ¨~α~R

R´ ~R ¨~β

˛

‚

“ ´kQ´

~R´~βR´ β2~R`´

~β ¨ ~R¯

~β` 1c~R ¨~α~R

¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

“ ´kQ´

`

1´ β2˘ ~R`´

~β ¨ ~R´ R¯

~β` 1c~R ¨~α~R

¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

(13-59)

Para terminar de calcular el campo electrico, es necesario determinar la derivada temporal de potencial vecto-


rial (13-40), esto es

B~A p~r, tqBt

“B

Bt

˜

µ0

4π

Q~v ptrq

R´ ~R ¨~β

¸

“Qµ0c

4π

B

Bt

˜

~β

R´ ~R ¨~β

¸

“Qµ0c

4π

¨

˚

˝

1

R´ ~R ¨~βB~β

Bt´

~β´

R´ ~R ¨~β¯2

˜

BRBt´B~RBt¨~β´ ~R ¨

B~β

Bt

¸

˛

‹

‚

(13-60)

como vemos, es necesario evaluar las derivadas temporales de ~β, ~R y R. Partiendo de la definicion de ~R “

~r´~r1 ptrq tenemosB~RBt“B

Bt`

~r´~r1 ptrq˘

“ ´B~r1 ptrq

Btr

Btr

Bt“ ´~v1 ptrq

Btr

Bt, (13-61)

ası mismoBRBt“B

Bt

a

~R ¨ ~R “1

2a

~R ¨ ~R

˜

B~RBt¨ ~R` ~R ¨

B~RBt

¸

“~RR¨B~RBt“ R ¨

B~RBt

,

remplazando la ecuacion (13-61) en la ecuacion anterior

BRBt

“ R ¨B~RBt“ R ¨

ˆ

´~v1 ptrqBtr

Bt

˙

“ ´R ¨~v1 ptrqBtr

Bt(13-62)

debemos ahora calcular BRBt , para lo cual, partimos de R “

ˇ

ˇ~r´~r1 ptrqˇ

ˇ “ c pt´ trq ası

BRBt“B

Btc pt´ trq “ c

ˆ

1´Btr

Bt

˙

. (13-63)

e igualando las ecuaciones (13-62) y (13-63) tenemos

cˆ

1´Btr

Bt

˙

“ ´R ¨~v1 ptrqBtr

Bt

1´Btr

Bt“ ´R ¨

~v1 ptrq

cBtr

Bt1 “

´

1´ R ¨~β¯

Btr

Btñ

Btr

Bt“

1

1´ R ¨~β

(13-64)

remplazando el resultado anterior en la ecuacion (13-61)

B~RBt“ ´~v1 ptrq

Btr

Bt“ ´

~v1 ptrq

1´ R ¨~β(13-65)

mientras que de (13-62)BRBt“ ´R ¨~v1 ptrq

Btr

Bt“ ´

R ¨~v1 ptrq

1´ R ¨~β. (13-66)

Finalmente, para el terminoB~β

Bt“

1cB~v ptrq

Btr

Btr

Bt“~α

Btr

Bt“

~α

1´ R ¨~β. (13-67)


Procedemos ahora a remplazar los resultados del calculo de las derivadas temporales de ~β, ~R y R, obtenido enlas ecuaciones (13-67, 13-65 y 13-66) en la ecuacion (13-60)

B~A p~r, tqBt

“Qµ0c

4π

¨

˚

˝

1

R´ ~R ¨~βB~β

Bt´

~β´

R´ ~R ¨~β¯2

˜

BRBt´B~RBt¨~β´ ~R ¨

B~β

Bt

¸

˛

‹

‚

“Qµ0c

4π

¨

˚

˝

1

R´ ~R ¨~β

˜

~α

1´ R ¨~β

¸

´~β

´

R´ ~R ¨~β¯2

˜

´R ¨~v1 ptrq

1´ R ¨~β`~v1 ptrq ¨~β

1´ R ¨~β´

˜

~R ¨~α1´ R ¨~β

¸¸

˛

‹

‚

“Qµ0c

4π

¨

˚

˝

1

R´ ~R ¨~β

˜

R~αR´ ~R ¨~β

¸

´~β

´

R´ ~R ¨~β¯2

˜

R~v1 ptrq ¨~β´ ~R ¨~v1 ptrq ´ R~R ¨~αR´ ~R ¨~β

¸

˛

‹

‚

“Qµ0c

4π

¨

˚

˝

R~α´

R´ ~R ¨~β¯2 ´

~βR~v1 ptrq ¨~β´~β~R ¨~v1 ptrq ´~βR~R ¨~α´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“Qµ0c

4π

¨

˚

˝

R~α´

R´ ~R ¨~β¯

´ R~v1 ptrq β2 `~β~R ¨~v1 ptrq `~βR~R ¨~α´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“Qµ0c

4π

¨

˚

˝

R2~α´ R~α~R ¨~β´ R~v1 ptrq β2 `~β~R ¨~v1 ptrq `~βR~R ¨~α´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

,

(13-68)teniendo en cuenta que estamos calculando el campo electrico, es conveniente reescribir el termino µ0c

4π enterminos de ε0, recordando que c2 “ 1

µ0ε0

µ0c4π

“1

4πε0c

remplazando

B~A p~r, tqBt

“Q

4πε0c

¨

˚

˝

R2~α´ R~α~R ¨~β´ R~v1 ptrq β2 `~β~R ¨~v1 ptrq `~βR~R ¨~α´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“ kQ

¨

˚

˝

1c R2~α´ 1

c R~α~R ¨~β´ R~ββ2 `~β~R ¨~β` 1c~βR~R ¨~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

(13-69)

Podemos finalmente calcular el campo electrico para una carga puntual en movimiento arbitrario, remplazan-


do lo obtenido en las ecuaciones (13-59) y (13-69)


“ kQ´

`

1´ β2˘ ~R`´

~β ¨ ~R´ R¯

~β` 1c~R ¨~α~R

¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 ´ kQ

¨

˚

˝

1c R2~α´ 1

c R~α~R ¨~β´ R~ββ2 `~β~R ¨~β` 1c~βR~R ¨~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“ kQ´ 1

c~βR~R ¨~α

´

`

1´ β2˘ ~R`´

~β ¨ ~R´ R¯

~β` 1c~R ¨~α~R´ 1

c R2~α` 1c R~α~R ¨~β` R~ββ2 ´~β~R ¨~β´ 1

c~βR~R ¨~α

¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

“ kQ´

`

1´ β2˘ ~R´ R~β` R~ββ2 ` 1c~R ¨~α~R´ 1

c~βR~R ¨~α`~β ¨ ~R~β´ 1

c R2~α` 1c R~α~R ¨~β´~β~R ¨~β

¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

“ kQ´

`

1´ β2˘ ~R´ R~β`

1´ β2˘` 1c~R ¨~α

´

~R´~βR¯

´ 1c~R ¨ ~R~α` 1

c R~α~R ¨~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

“ kQ´

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

` ~R ¨~α 1c

´

~R´~βR¯

´ ~R ¨´

~R´~βR¯

1c~α¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

“ kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 ` kQ

~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3 .

(13-70)

Un punto de analisis importante es ¿que pasa si la velocidad y la aceleracion de la carga es cero?

lım~β,~αÑ0

~E p~r, tq “ lım~β,~αÑ0

¨

˚

˝

kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 ` kQ

~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“ kQ~RR3

este es el resultado del campo electrico en el caso electrostatico. Por esta razon, el primer termino de la ecuacion(13-70) se denomina campo generalizado de Coulomb, y como vemos decae con el inverso al cuadrado dela distancia de la partıcula cargada. Mientras que para el segundo termino este decae con el inverso de ladistancia de la partıcula y por ello sera el dominante a grandes distancias y por lo tanto se le denomina campode radiaciones.

Debemos ahora determinar la forma del campo magnetico de una carga puntual en movimiento arbitrario atraves del potencial vectorial (13-40)


“ ∇ˆˆ

~v ptrq

c2 φ p~r, tq˙

“ ∇φ p~r, tq ˆ~v ptrq

c2 ´ φ p~r, tq∇ˆ ~v ptrq

c2

donde tuvimos en cuenta que ∇ ˆ´

f~F¯

“ ∇ f ˆ ~F ´ f ∇ ˆ F, remplazando lo obtenido en las ecuaciones


(13-59, 13-39 y 13-54) tenemos

~B p~r, tq “1c

ˆ

∇φ p~r, tq ˆ~v ptrq

c´ φ p~r, tq∇ˆ ~v ptrq

c

˙

“1c

¨

˚

˝

´kQ´

`

1´ β2˘ ~R`´

~β ¨ ~R´ R¯

~β` 1c~R ¨~α~R

¯

ˆ~β´

R´ ~R ¨~β¯3 ´ k

QR´ ~R ¨~β

˜

1c


¸

˛

‹

‚

“ ´kQc

¨

˚

˝

`

1´ β2˘´

~Rˆ~β¯

`

´

~β ¨ ~R´ R¯

~βˆ~β` 1c~R ¨~α

´

~Rˆ~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 ´

1c

~αˆ ~R´

R´ ~R ¨~β¯2

˛

‹

‚

“kQc

¨

˚

˝

`

1´ β2˘´

~βˆ ~R¯

` 1c~R ¨~α

´

~βˆ ~R¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 `

1c

~αˆ ~R´

R´ ~R ¨~β¯2

˛

‹

‚

(13-71)

donde remplazamos ~βˆ ~β “ 0. Como lo hicimos para el caso del campo electrico ¿que pasa si la velocidad yla aceleracion de la carga es cero?

lım~β,~αÑ0

~B p~r, tq “ lım~β,~αÑ0

¨

˚

˝

kQc

¨

˚

˝

`

1´ β2˘´

~βˆ ~R¯

` 1c~R ¨~α

´

~βˆ ~R¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 `

1c

~αˆ ~R´

R´ ~R ¨~β¯2

˛

‹

‚

˛

‹

‚

“ 0

este resultado corresponde al caso de una carga electrica estatica y por lo tanto el campo magnetico debeser cero. Para relacionar el campo magnetico con el campo electrico calcularemos el termino R ptrq ˆ ~E p~r, tq,partiendo de la ecuacion (13-70) tenemos

R ptrq ˆ ~E p~r, tq “ Rptrq ˆ

¨

˚

˝

kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 ` kQ

~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“ kQ

¨

˚

˝

`

1´ β2˘ R ptrq ˆ´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 `

R ptrq ˆ ~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

si tenemos en cuenta que R ptrq ˆ ~R “ 0 dado que son vectores paralelos y que podemos reescribir el tripleproducto cruz como

~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ1c~α “

ˆ

~R ¨1c~α

˙

´

~R´~βR¯

´

´

~R ¨´

~R´~βR¯¯ 1

c~α


remplazando obtenemos

R ptrq ˆ ~E p~r, tq “ kQ

¨

˚

˝

`

1´ β2˘ R ptrq ˆ´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 `

R ptrq ˆ ~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“ kQ

¨

˚

˝

`

1´ β2˘ R~βˆ R ptrq´

R´ ~R ¨~β¯3 `

R ptrq ˆ´´

~R ¨ 1c~α¯´

~R´~βR¯

´

´

~R ¨´

~R´~βR¯¯

1c~α¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“ kQ

¨

˚

˝

`

1´ β2˘~βˆ ~R ptrq´

R´ ~R ¨~β¯3 `

´

~R ¨ 1c~α¯´

R ptrq ˆ ~R´ R ptrq ˆ~βR¯

´

´

R2 ´ ~R ¨~βR¯

R ptrq ˆ1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“ kQ

¨

˚

˝

`

1´ β2˘~βˆ ~R ptrq´

R´ ~R ¨~β¯3 `

´

~R ¨ 1c~α¯´

~βˆ ~R ptrq¯

`

´

R´ ~R ¨~β¯

1c~αˆ

~R ptrq

´

R´ ~R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“ kQ

¨

˚

˝

`

1´ β2˘~βˆ ~R ptrq `´

~R ¨ 1c~α¯´

~βˆ ~R ptrq¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 `

1c~αˆ

~R ptrq´

R´ ~R ¨~β¯2

˛

‹

‚

,

por lo tanto al comparar la relacion anterior, con la ecuacion (13-71) obtenemos

~B p~r, tq “R ptrq ˆ ~E p~r, tq

c. (13-72)

por lo tanto, el campo magnetico es perpendicular al campo electrico y al vector posicion retardado. Podemosahora calcular la fuerza que una carga en movimiento hace sobre otra que tambien se mueve. Partiendo de lafuerza de Lorentz y teniendo en cuenta los resultados obtenidos en las ecuaciones (13-70) y (13-71)

~F p~r, tq “ q~E p~r, tq ` q~v p~rq ˆ ~B p~r, tq

“ qkQ´

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

` ~R ¨~α 1c

´

~R´~βR¯

´ ~R ¨´

~R´~βR¯

1c~α¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

`q~vq p~rq ˆkQc

¨

˚

˝

`

1´ β2˘´

~βˆ ~R¯

` 1c~R ¨~α

´

~βˆ ~R¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 `

1c

~αˆ ~R´

R´ ~R ¨~β¯2

˛

‹

‚

“ kqQ

»

—

–

´

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

` ~R ¨~α 1c

´

~R´~βR¯

´ ~R ¨´

~R´~βR¯

1c~α¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

`~vq p~rq ˆ

¨

˚

˝

`

1´ β2˘´

~βˆ ~R¯

` 1c~R ¨~α

´

~βˆ ~R¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 `

1c

~αˆ ~R´

R´ ~R ¨~β¯2

˛

‹

‚

fi

ffi

fl

(13-73)

donde q es la carga de prueba cuya velocidad es ~vq p~rq, mientras que las cantidades~α, ~β, ~R y R son terminosasociados a la carga Q, las cuales se evaluan en el tiempo retardado. Esta expresion, junto con el principio desuperposicion abarca completamente la electrodinamica clasica.


Problema 172. Calcule los potenciales de Lienard-Wiechert parauna partıcula de carga Q en movimiento rectilıneo uniforme la cualpasa por el origen en t “ 0, con velocidad ~v y demuestre que elcampo electrico y magnetico en este caso pueden escribirse como

~E p~r, tq “ kQ p1´β2q

p1´β2 sin2 θq32

~RptqR3ptq

~B p~r, tq “ kQ p1´β2q

cp1´β2 sin2 θq32

~βˆ~RptqR3ptq

para ello tenga en cuenta la imagen 13-4 y en funcion de los resul-tados para los campos, calcule la fuerza de Lorentz. Figura 13-4:

Solucion 172. Teniendo en cuenta los resultados anteriores, es necesario determinar el termino R´ ~R ¨~β, pero para ellodebemos de calcular primero tr, partiendo de R “

ˇ

ˇ~r´~r1 ptrqˇ

ˇ “ c pt´ trq y~r1 ptrq “ ~vtr “ ctr~β

R “ˇ

ˇ~r´~r1 ptrqˇ

ˇ “

c

´

~r´ ctr~β¯

¨

´

~r´ ctr~β¯

“ c pt´ trq

ñ r2 ´ 2ctr~β ¨~r` c2t2r β2 “ c2 pt´ trq

2

r2´2ctr~β ¨~r` c2t2r β2 “ c2t2 ´ 2c2trt` c2t2

rr2 ´ 2ctr~β ¨~r` c2t2

r β2 ´ c2t2 ` 2c2trt´ c2t2r “ 0

c2t2r

´

β2 ´ 1¯

` 2ctr

´

ct´~β ¨~r¯

` r2 ´ c2t2 “ 0

debemos ahora solucionar la ecuacion cuadratica para tr

tr “´b˘

?b2 ´ 4ac

2a

“

´2c´

ct´~β ¨~r¯

˘

c

4c2´

ct´~β ¨~r¯2´ 4c2

`

β2 ´ 1˘ `

r2 ´ c2t2˘

2c2`

β2 ´ 1˘

“

´2c´

ct´~β ¨~r¯

˘ 2c

c

´

ct´~β ¨~r¯2´`

β2 ´ 1˘ `

r2 ´ c2t2˘

2c2`

β2 ´ 1˘

“ćt`~β ~r˘

b

pct´~β ~rq2´pβ2´1qpr2ć2t2q

cpβ2´1q

para elegir el signo, debemos considerar el lımite cuando ~β Ñ 0, en cuyo caso la carga esta en reposo en el origen

lım~βÑ0

tr “ lım~βÑ0

¨

˚

˚

˝

ćt`~β ¨~r˘

c

´

ct´~β ¨~r¯2´`

β2 ´ 1˘ `

r2 ´ c2t2˘

c`

β2 ´ 1˘

˛

‹

‹

‚

“ćt˘

b

pctq2 ``

r2 ´ c2t2˘

ć“ t¯

rc

si tomamos el signo menos, tenemos el caso para el tiempo retardado t´ rc , mientras que la solucion t` r

c sera la solucion


para tiempo avanzado y sobre la cual no tenemos ningun interes. Teniendo en cuenta que

R´ ~R ¨~β “ c pt´ trq ´`

~r´~r1 ptrq˘

¨~β

“ ct´ ctr ´´

~r´ ctr~β¯

¨~β

“ ct´ctr ´~r ¨~β` ctrβ2

“ ct´~r ¨~β´ ctr`

1´ β2˘

“ ct´~r ¨~β´ c

¨

˚

˚

˝

´ct`~β ¨~r`

c

´

ct´~β ¨~r¯2´`

β2 ´ 1˘ `

r2 ´ c2t2˘

c`

β2 ´ 1˘

˛

‹

‹

‚

´

1´ β2¯

“ ct´~r ¨~β´ ct`~β ¨~r`

c

´

ct´~β ¨~r¯2´`

β2 ´ 1˘ `

r2 ´ c2t2˘

“

c

´

ct´~β ¨~r¯2´`

β2 ´ 1˘ `

r2 ´ c2t2˘

por lo tanto, al remplazar en las ecuaciones de los potenciales (13-39) y (13-40) obtenemos

φ p~r, tq “ kQ

R´ ~R ¨~β“ k

Qc

´

ct´~β ¨~r¯2´`

β2 ´ 1˘ `

r2 ´ c2t2˘

~A p~r, tq “ k~v ptrq

c2Q

R´ ~R ¨~β“ k

Q~β

c

c

´

ct´~β ¨~r¯2´`

β2 ´ 1˘ `

r2 ´ c2t2˘

para determinar la forma de los campos electrico (13-70) y magnetico (13-72) debemos tener en cuenta que~α “ 0, debidoa que la partıcula cargada se mueve con velocidad constante, ası entonces

~E p~r, tq “ kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 ` kQ

~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3 “ kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 (13-74)

lo que haremos ahora sera reescribir el termino ~R´ R~β, para lo cual tomaremos en cuenta la imagen 13-4 y de la cual

~R ptrq “ ~R ptq ` pt´ trq~v “ ~R ptq ` c pt´ trq~β “ ~R ptq ` R ptrq~β,

dado que R ptrq “ˇ

ˇ~r´~r1 ptrqˇ

ˇ “ c pt´ trq, tenemos

R ptrq ´ ~R ptrq ¨~β “

c

´

R ptrq ´ ~R ptrq ¨~β¯2

ó´

R ptrq ´ ~R ptrq ¨~β¯´

R ptrq ´ ~R ptrq ¨~β¯

“ R2 ptrq ´ 2R ptrq ~R ptrq ¨~β`´

~R ptrq ¨~β¯2

~R ptq ¨ ~R ptq “ R2 ptrq ´ 2R ptrq ~R ptrq ¨~β` R2 ptrq β2

R2 ptq “ R2 ptrq`

1` β2˘´ 2R ptrq ~R ptrq ¨~β

2R ptrq ~R ptrq ¨~β “ R2 ptrq`

1` β2˘´ R2 ptq

donde empleamos que ~R ptq “ ~R ptrq ´ R ptrq~β. Por lo tanto

´


“ R2 ptrq ´ 2R ptrq ~R ptrq ¨~β`´

~R ptrq ¨~β¯2

“ R2 ptrq ´`

R2 ptrq`

1` β2˘´ R2 ptq˘

`

´

~R ptrq ¨~β¯2

“ ´R2 ptrq β2 ` R2 ptq `´

~R ptrq ¨~β¯2

(13-75)


de la imagen 13-4 podemos observar que

sin θr “b

Rptrqñ b “ R ptrq

a

1´ cos2 θr

sin θ “ bRptq ñ b “ R ptq sin θ

igualando las ecuaciones anteriores y de la definicion del producto escalar ~R ptrq ¨~β “ R ptrq β cos θrñ cos θr “~Rptrq¨~βRptrqβ

tenemos

R ptrqa

1´ cos2 θr “ R ptq sin θ

R2 ptrq

˜

1´ˆ

~Rptrq¨~βRptrqβ

˙2¸

“ R2 ptq sin2 θ

R2 ptrq β2 ´´

~R ptrq ¨~β¯2

“ R2 ptq β2 sin2 θ

ñ

´

~R ptrq ¨~β¯2“ R2 ptrq β2 ´ R2 ptq β2 sin2 θ,

remplazando este resultado en la ecuacion (13-75)

´


“ ´R2 ptrq β2 ` R2 ptq `´

~R ptrq ¨~β¯2

“ ´R2 ptrq β2 ` R2 ptq ``

R2 ptrq β2 ´ R2 ptq β2 sin2 θ˘

“ R2 ptq ´ R2 ptq β2 sin2 θ

“ R2 ptq`

1´ β2 sin2 θ˘

ñ R ptrq ´ ~R ptrq ¨~β “ R ptqb

1´ β2 sin2 θ,

podemos remplazar este resultado en la ecuacion (13-74) y dado que ~R ptq “ ~R ptrq ´ R ptrq~β entonces

~E p~r, tq “ kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 “ kQ

`

1´ β2˘ ~R ptq

R3 ptq`

1´ β2 sin2 θ˘

32“ kQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

~R ptqR3 ptq

(13-76)

del resultado anterior vemos que el campo electrico apunta a lo largo de la trayectoria de la partıcula cargada. Mas aun,el campo depende del tiempo actual, no en el tiempo retardado, lo cual es muy interesante dado que la senal partio dela posicion retardada tr y actua entonces como si anticipara su posicion en el tiempo t. Debido al termino sin2 θ en eldenominador, el campo de una carga que se mueve muy rapidamente se comprime en la direccion perpendicular

`

θ “ π2

˘

al movimiento, ya que`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 π2

˘

32“

1a

1´ β2

mientras que adelante y atras (respectivamente 0, π) el campo electrico se reduce en un factor

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 p0, πq˘

32“ 1´ β2

con respecto al campo que se obtiene para una carga en reposo, como se ilustra en la figura 13-5 Para calcular el campomagnetico podemos partir de la ecuacion (13-72), si consideramos que

R ptrq “~R ptrq

R ptrq“

~R ptq ´ R ptrq~β

R ptrq“

~R ptqR ptrq

´~β


Figura 13-5: Campo electrico de una carga que se mueve a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, seobserva como la densidad de lıneas de campo aumenta en la direccion perpendicular de movimiento de lacarga.

al remplazar obtenemos


c

“1c

˜

~R ptqR ptrq

´~β

¸

ˆ kQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

~R ptqR3 ptq

“1c

kQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

˜

~R ptqR ptrq

ˆ~R ptqR3 ptq

´~βˆ~R ptqR3 ptq

¸

“ kQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

~R ptq ˆ~β

cR3 ptq

(13-77)

donde tuvimos en cuenta que ~R ptq ˆ ~R ptq “ 0. Las lıneas de campo magnetico circulan alrededor de la lınea de desplaza-miento de la carga como se ilustra en la figura 13-6. La fuerza de Lorentz la escribimos partiendo de la ecuacion (13-73)

Figura 13-6: Campo magnetico de una carga que se mueve a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, laslıneas de campo magnetico decrecen a medida que nos alejamos de la carga hacia adelante o hacia atras.


como~F p~r, tq “ q~E p~r, tq ` q~v p~rq ˆ ~B p~r, tq

“ qkQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

~R ptqR3 ptq

` q~vq p~rq ˆ kQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

~R ptq ˆ~β

cR3 ptq

“ kqQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

˜

~R ptqR3 ptq

`~βq p~rq ˆ ~R ptq ˆ~β

R3 ptq

¸

donde ~βq p~rq “~vqp~rq

c . Haremos un interesante analisis adicional para el caso en el cual la velocidad de la carga es muchomenor que la velocidad de la luz β ! 1, para ello partimos de las ecuaciones (13-76) y (13-77)

lım~βÑ0

~E p~r, tq “ lım~βÑ0

kQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

~R ptqR3 ptq

“ kQ~R ptqR3 ptq

lım~βÑ0

~B p~r, tq “ lım~βÑ0

kQ

`

1´ β2˘

`

1´ β2 sin2 θ˘

32

~R ptq ˆ~β

cR3 ptq“ kQ

~R ptq ˆ~β

cR3 ptq“ Q

µ0

4π

c~R ptq ˆ~β

R3 ptq

donde tuvimos en cuenta que µ0c4π “ 1

4πε0c . Como podemos ver, la primera es esencialmente el campo electrico de unacarga puntual, mientras que la segunda es la ley de Biot-Savart para una carga puntual lo cual es sorprendente ya quela ley de Biot-Savart solo es valida en principio para corrientes estacionarias y una carga puntual no forma una corrienteestacionaria.

Capıtulo 14

Radiacion

En este capıtulo analizaremos como las ondas electromagneticas son producidas por distribuciones de cargasy de corrientes. Partiremos de los campos de cargas puntuales con movimiento arbitrario de las ecuaciones(13-70) y (13-72)

~E p~r, tq “ kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 ` kQ

~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3 ,


c.

Teniendo en cuenta que el vector de Poynting representa el flujo de energıa (11-7)

~S “1

µ0

´

~Eˆ ~B¯

“1

µ0

˜

~EˆR ptrq ˆ ~E p~r, tq

c

¸

“1

cµ0

´

E2R ptrq ´´

~E p~r, tq ¨ R ptrq¯

~E p~r, tq¯

donde usamos la propiedad del triple producto vectorial ~A ˆ´

~Bˆ ~C¯

“

´

~A ¨ ~C¯

~B ´´

~A ¨ ~B¯

~C. Dado que

R ptrq es perpendicular a ~E p~r, tq el ultimo termino se hace cero, quedando solamente

~S “1

cµ0E2R ptrq . (14-1)

Recordando que el vector de Poynting se define como el flujo de energıa que fluye a traves de una unidad dearea perpendicular a la direccion de propagacion de la onda electromagnetica. Es util definir una cantidad quedefina la distribucion angular de la potencia radiada, para ello tenemos en cuenta que para una esfera de radior la potencia radiada sobre un elemento de la superficie esferica esta dado por

dP “ ~S ¨ d~A “ ~S ¨ nr2dΩ “ ~S ¨ rr2dΩ,

donde hemos asumido que las fuentes estan centradas en el origen y por tanto, la esfera tambien estarıa cen-trada en el origen. De manera que la potencia radiada por angulo solido la podemos expresar como

dP ptqdΩ

“ ~S ¨ R ptrqR2 ptrq “1

cµ0E2R ptrq ¨ R ptrqR2 ptrq “

1cµ0

E2R2 ptrq (14-2)

387

388 14 Radiacion

y en el tiempo retardado sera

P ptrq “dWdtr

“BWBt

BtBtr

“ P ptqBtBtr

,

teniendo en cuenta la ecuacion (13-64) podemos escribir la relacion anterior como

P ptrq “ P ptqBtr

Bt“

´

1´ R ¨~β¯

P ptq ,

esto nos permite escribir la ecuacion

dP ptrq

dΩ“

´

1´ R ¨~β¯

~S ¨ R ptrqR2 ptrq “1´ R ¨~β

cµ0E2R2 ptrq

ñ P “¿

S

dP ptrq

dΩdΩ “

¿

S

˜

1´ R ¨~βcµ0

¸

E2R2 ptrq dΩ(14-3)

donde dΩ “ sin θ dθdϕ. El termino dΩ tiene gran relevancia cuando las fuentes no tienen simetrıa esferica, locual causarıa que la radiacion no fuese isotropica ya que para ciertas regiones de angulo solido habrıa mayorpotencia disipada que para otras. Si tenemos en cuenta que la potencia radiada puede ser escrita como dP “~S ¨ d~A, al considerar superficies esfericas de radiacion, tendremos que el area de la esfera es 4πr2. Por ello, paraque exista radiacion, el vector de Poynting tiene que decrecer para valores grandes de r a un ritmo no mayorque 1

r2 , ya que si decreciera a un ritmo mayor, supongamos 1r3 entonces la potencia radiada decrecerıa como 1

ry en el lımite cuando r Ñ 8 la potencia serıa cero y por lo tanto no habrıa radiacion, pero experimentalmentesabemos que a grandes distancias observamos radiacion1.

Dado que los campos electrostaticos de cargas localizadas van de la forma 1r2 o incluso de la forma 1

r3 comoen el caso de distribuciones con carga neta igual a cero. Mientras que para campos magnetostaticos la leyde Biot-Savart nos muestra que estos se comportan de la forma 1

r2 o incluso tambien pueden decrecer masrapido. Basandonos en el analisis anterior tenemos que el vector de Poynting ~S decrecera al menos de la forma1r4 para configuraciones estacionarias y por lo tanto este tipo de fuentes tanto de campo electrostatico, comomagnetostatico no radıan. No obstante, las ecuaciones de Jefimenko (13-32) y (13-35) nos muestran que los

campos dependientes del tiempo incluyen terminos de la forma 9ρ y 9~J los cuales se comportan de la forma 1r ,

y son los directos responsables de la radiacion electromagnetica. En particular, al analizar la ecuacion (13-70)vemos que el primer termino es proporcional a la forma 1

r2 , mientras que el segundo es proporcional a 1r y por

ello este sera el termino que contribuya en los fenomenos de radiacion.

~E p~r, tq “ kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3

looooooooooooomooooooooooooon

„ 1r2

` kQ~Rˆ

´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

loooooooooooooomoooooooooooooon

„ 1r

(14-4)

1Un ejemplo de ello es la radiacion de sincrotron debida a la interaccion de la magnetosfera de jupiter con los vientos solares, la cualpuede ser vista desde la tierra y fue corroborada con la nave espacial Pioneer 10 en 1973.

14.1 Radiacion emitida a bajas velocidades 389

por facilidad podemos escribir el termino que contribuye como

~E p~r, tq “ kQ~Rˆ

´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

“ kQRRˆ

´

RR´~βR¯

ˆ 1c2~a

´

R´ RR ¨~β¯3

“ kQR2

c2

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯

R3´

1´ R ¨~β¯3

“kQc2

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯

R´

1´ R ¨~β¯3

(14-5)

Analizaremos ahora la potencia generada por cargas a diferentes velocidades.

14.1. Radiacion emitida a bajas velocidades

Para el caso de una partıcula cargada moviendose a bajas velocidades, lo cual equivale a decir que las veloci-dades seran mucho mas bajas que la velocidad de la luz, por lo tanto ~β Ñ 0. Partiendo de la ecuacion (13-70)tenemos

~E p~r, tq “ kQ

`

1´ β2˘´

~R´ R~β¯

´

R´ ~R ¨~β¯3 ` kQ

~Rˆ´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3 ñ ~E p~r, tq “ kQ

~Rˆ ~Rˆ 1c~α

R3

usando la propiedad del triple producto vectorial (13-64) y teniendo la ecuacion (13-53), de la cual ~α “ ~ac ,

podemos escribimos la ecuacion anterior como

~E p~r, tq “ kQ~Rˆ ~Rˆ 1

c~α

R3

“kQc

´

~R ¨~α¯

~R´´

~R ¨ ~R¯

~ac

R3

“kQc2

`

RR ¨~a˘

RR´ R2~aR3

“kQc2

`

R ¨~a˘

R´~aR

.

390 14 Radiacion

Para calcular el vector de Poynting debemos calcular

E2 p~r, tq “

˜

kQc2

`

R ¨~a˘

R´~aR

¸

¨

˜

kQc2

`

R ¨~a˘

R´~aR

¸

“k2Q2

c4R2

´

`

R ¨~a˘2´ 2~a ¨

`

R ¨~a˘

R` a2¯

“k2Q2

c4R2

´

`

R ¨~a˘2´ 2

`

R ¨~a˘2` a2

¯

“k2Q2

c4R2

´

a2 ´`

R ¨~a˘2¯

“k2Q2

c4R2

´

a2 ´ a2 cos2 θ¯

“k2Q2

c4R2 a2´

1´ cos2 θ¯

“k2Q2

c4R2 a2 sin2θ

“µ2

0ε20Q2

16π2ε20R2

a2 sin2 θ

“µ2

0Q2

16π2R2 a2 sin2 θ

donde tuvimos en cuenta que 1c4 “ µ2

0ε20, k “ 1

4πε0y que el angulo entre R y~a es θ. Ası entonces, el vector de

Poynting (14-1), para el caso de bajas velocidades lo podemos expresar como

~S “1

cµ0E2R ptrq

“1

cµ0

˜

µ20Q2

16π2R2 a2 sin2 θ

¸

R ptrq

“µ0Q2

16π2cR2 a2 sin2 θR ptrq

de la ecuacion anterior podemos ver que se genera radiacion en la direccion de movimiento y por lo tanto, ennuestro caso no hay radiacion en las direcciones adelante y atras, la cual tiene forma de toroide, como se ilustraen la figura 14-1

Figura 14-1: Patron de radiacion de un dipolo electrico, el cual se desplaza con una aceleracion~a.

14.2 Radiacion emitida por una carga con velocidad y aceleracion colineales 391

Mientras que la potencia radiada (14-3) es

P “

¿

S

ˆ

1cµ0

˙

E2R2 ptrq dΩ

“

2πż

0

πż

0

µ0Q2

16π2cR2 a2 sin2 θR2 ptrq sin θ dθdϕ

“µ0Q2a2

16π2cp2πq

πż

0

sin3 θ dθ

“µ0Q2a2

8πc

¨

˝

πż

0

sin θ`

1´ cos2 θ˘

dθ

˛

‚

“µ0Q2a2

8πc

¨

˝

πż

0

sin θdθ ´

πż

0

sin θ cos2 θdθ

˛

‚

“µ0Q2a2

8πc

´

´ cos θ|π0 `13 cos θ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

¯

“µ0Q2a2

8πc

ˆ

43

˙

“µ0Q2a2

6πc.

(14-6)

La relacion anterior corresponde a la formula de Larmor, la cual nos dice que la potencia radiada por una cargapuntual es proporcional al cuadrado de la aceleracion de la carga. Un aspecto interesante de este resultado esque aunque partimos de β Ñ 0, en realidad el resultado es correcto en primera aproximacion para el caso norelativista pβ ! cq.

14.2. Radiacion emitida por una carga con velocidad y aceleracion coli-neales

Para el caso en el cual la velocidad y aceleracion son colineales tenemos que ~βˆ~a “ 0, por lo tanto

~E p~r, tq “ kQ~Rˆ

´

~R´~βR¯

ˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

“ kQ~Rˆ ~Rˆ 1

c~α´

R´ ~R ¨~β¯3 ´ kQ

~Rˆ~βRˆ 1c~α

´

R´ ~R ¨~β¯3

“kQc2

´

~R ¨~a¯

~R´´

~R ¨ ~R¯

~ac

´

R´ ~R ¨~β¯3

“kQc2

`

RR ¨~a˘

RR´ R2~a

R3´

1´ R ¨~β¯3

“kQc2

`

R ¨~a˘

R´~a

R´

1´ R ¨~β¯3 .

392 14 Radiacion

donde hemos empleado la propiedad del triple producto vectorial (13-48). Mientras que el termino E2 p~r, tq es

E2 p~r, tq “

¨

˚

˝

kQc2

`

R ¨~a˘

R´~a

R´

1´ R ¨~β¯3

˛

‹

‚

¨

¨

˚

˝

kQc2

`

R ¨~a˘

R´~a

R´

1´ R ¨~β¯3

˛

‹

‚

“k2Q2

c4R2´

1´ R ¨~β¯6

´

`

R ¨~a˘2´ 2~a ¨

`

R ¨~a˘

R` a2¯

“k2Q2

c4R2´

1´ R ¨~β¯6

´

`

R ¨~a˘2´ 2

`

R ¨~a˘2` a2

¯

“k2Q2

c4R2´

1´ R ¨~β¯6

´

a2 ´`

R ¨~a˘2¯

“k2Q2

c4R2´

1´ R ¨~β¯6

´

a2 ´ a2 cos2 θ¯

“k2Q2

c4R2´

1´ R ¨~β¯6 a2

´

1´ cos2 θ¯

“k2Q2

c4R2´

1´ R ¨~β¯6 a2 sin2 θ

“µ2

0ε20Q2a2 sin2 θ

16π2ε20R2

´

1´ R ¨~β¯6

“µ2

0Q2a2 sin2 θ

16π2R2´

1´ R ¨~β¯6 ,

ası entones

~S “1

cµ0E2R ptrq

“1

cµ0

¨

˚

˝

µ20Q2a2 sin2 θ

16π2R2´

1´ R ¨~β¯6

˛

‹

‚

R ptrq

“µ0Q2a2 sin2 θ

16π2cR2´

1´ R ¨~β¯6 R ptrq

por lo tanto, partiendo de la ecuacion (14-3)

dPptrqdΩ “

´

1´ R ¨~β¯

~S ¨ R ptrqR2 ptrq

“

´

1´ R ¨~β¯

¨

˚

˝

µ0Q2a2 sin2 θ

16π2cR2´

1´ R ¨~β¯6 R ptrq

˛

‹

‚

¨ R ptrqR2 ptrq

“µ0Q2a2 sin2 θ

16π2c´

1´ R ¨~β¯5

(14-7)

del resultado anterior, podemos ver que la potencia de radiacion es nula para θ “ 0.

Problema 173. Calcule el angulo para el cual la potencia radiada es maxima.


Solucion 173. Para poder calcular el angulo para el cual la potencia radiada es maxima partiremos de la ecuacion (14-7)

dP ptrq

dΩ“

µ0Q2a2 sin2 θ

16π2c´

1´ R ¨~β¯5 “

µ0Q2a2

16π2csin2 θ

p1´ β cos θq5“

µ0Q2a2

16π2csin2 θ p1´ β cos θq´5

derivandola en funcion de θ e igualandola a cero para hallar el maximo, tenemos

ddθ

ˆ

dP ptrq

dΩ

˙

“ddθ

ˆ

µ0Q2a2


˙

“ 0

0 “µ0Q2a2

16π2c

˜

2 sin θ cos θ

p1´ β cos θq5´ sin2 θ

5β sin θ

p1´ β cos θq6

¸

0 “µ0Q2a2

16π2c

˜

2 sin θ cos θ p1´ β cos θq ´ 5β sin2 θ sin θ

p1´ β cos θq6

¸

para que la ecuacion anterior sea haga cero, se debe cumplir que

2 sin θ cos θ p1´ β cos θq ´ 5β sin2 θ sin θ “ 02 cos θ p1´ β cos θq ´ 5β sin2 θ “ 0

2 cos θ ´ 2β cos2 θ ´ 5β`

1´ cos2 θ˘

“ 03β cos2 θ ` 2 cos θ ´ 5β “ 0

la solucion de la ecuacion cuadratica anterior es

cos θmax “´2˘

a

4` 60β2

6β“´2˘ 2

a

1` 15β2

6β“´1˘

a

1` 15β2

3β

ñ θ “ arc cos´

13β

´

a

1` 15β2 ´ 1¯¯

un punto interesante aparece cuando β “ vc Ñ 1, lo cual implica que la carga es relativista y el angulo maximo sera cero.

Podemos reescribir la potencia por unidad de angulo solido, pero esta vez lo haremos partiendo de la defini-cion del factor de Lorentz2

γ “1

b

1´ v2

c2

“1

a

1´ β2

podemos escribir

β “

d

1´1

γ2 “a

1´ x2

donde definimos x2 “ 1γ2ñ x “ 1

γ . En el lımite relativista tendremos que el termino 1γ se hace muy pequeno.

Ası como tambien sucede con el angulo, por lo tanto para valores pequenos de θ tenemos que cos θ » 1´ θ2

2 la

2Debido a que estamos considerando velocidades cercanas a la velocidad de la luz, es conveniente tener en cuenta el factor de Lorentz(o factor gamma) el cual aparece de la teorıa especial de la relatividad, permitiendo escribir de forma mas sencilla las ecuaciones.

394 14 Radiacion

cual es la aproximacion de segundo orden. Por lo tanto la ecuacion (14-7) la podemos escribir como

dP ptrq

dΩ“

µ0Q2a2


»µ0Q2a2

16π2cθ2

´

1´?

1´ x2´

1´ θ2

2

¯¯5

»µ0Q2a2

16π2cθ2

´

1´´

1´ x2

2

¯´

1´ θ2

2

¯¯5

»µ0Q2a2

16π2cθ2

´

1´´

1´ x2

2 ´θ2

2 `x2θ2

4

¯¯5

»µ0Q2a2

16π2cθ2

´

1´ 1` x2

2 `θ2

2 ´x2θ2

4

¯5

»µ0Q2a2

16π2cθ2

´

x2

2 `θ2

2

¯5

»25µ0Q2a2

16π2cθ2

`

x2 ` θ2˘5

donde tuvimos en cuenta que x2θ2

4 “ 0 debido a que ambos terminos son muy pequenos. Simplificando yremplazando x2 “ 1

γ2 obtenemos

dP ptrq

dΩ»

25µ0Q2a2

16π2cθ2

`

x2 ` θ2˘5

»2µ0Q2a2

π2cθ2

´

1γ2 ` θ2

¯5

»2µ0Q2a2

π2cθ2

´

1`θ2γ2

γ2

¯5

»2µ0Q2a2

π2cθ2

1γ10

`

1` θ2γ2˘5

»2µ0Q2a2

π2cγ10θ2

`

1` θ2γ2˘5

de tal forma que el angulo para el cual la potencia radiada es maxima lo podemos calcular como

ddθ

ˆ

dP ptrq

dΩ

˙

“ddθ

˜

2µ0Q2a2

π2cγ10θ2

`

1` θ2γ2˘5

¸

“2µ0Q2a2γ10

π2cddθ

ˆ

θ2´

1` θ2γ2¯´5

˙

“2µ0Q2a2γ10

π2c

˜

2θ`

1` θ2γ2˘5 ´

5θ22θγ2

`

1` θ2γ2˘6

¸

“2µ0Q2a2γ10

π2c

˜

2θ`

1` θ2γ2˘´ 10θ3γ2

`

1` θ2γ2˘6

¸

“2µ0Q2a2γ10

π2c

˜

2θ ` 2θ3γ2 ´ 10θ3γ2

`

1` θ2γ2˘6

¸

“2µ0Q2a2γ10

π2c

˜

2θ ´ 8θ3γ2

`

1` θ2γ2˘6

¸

,


dado que estamos maximizando la potencia radiada, debemos igualar a cero el resultado anterior y por lotanto

2θ ´ 8θ3γ2 “ 01´ 4θ2γ2 “ 0

ñ θ2 “1

4γ2 ñ θmax “1

2γ.

Mientras que la potencia total radiada (14-3), teniendo en cuenta la ecuacion (14-7), sera

P “

¿

S

dP ptrq

dΩdΩ

“

πż

0

2πż

0

µ0Q2a2 sin2 θ

16π2c´

1´ R ¨~β¯5 sin θ dθdϕ

“µ0Q2a2

16π2cp2πq

πż

0

sin3 θ

p1´ β cos θq5dθ

“µ0Q2a2

8πc

πż

0

sin θ`

1´ cos2 θ˘

p1´ β cos θq5dθ,

para resolver esta integral podemos plantear la sustitucion

x “ cos θ ñ dx “ ´ sin θ dθ

θ “ 0θ “ π

*

ñ

"

x “ 1x “ ´1

quedando la integral como

P “µ0Q2a2

8πc

πż

0

sin θ`

1´ cos2 θ˘

p1´ β cos θq5dθ “

µ0Q2a2

8πc

´1ż

1

`

1´ x2˘

p1´ βxq5dx.

Para resolver esta integral, debemos plantear una nueva sustitucion

u “ 1´ βx ñ du “ ´βdxx1 “ 1

x2 “ ´1

*

ñ

"

u1 “ 1´ β

u2 “ 1` β

396 14 Radiacion

de tal forma que la integral se escribe como

P “µ0Q2a2

8πc

´1ż

1

`

1´ x2˘

p1´ βxq5dx

“ ´µ0Q2a2

8πc

1´βż

1`β

1´´

1´uβ

¯2

u5duβ

“ ´µ0Q2a2

8πc

1´βż

1`β

β2´1`2u´uβ2

2

u5duβ

“ ´µ0Q2a2

8πc

1´βż

1`β

β2 ´ 1` 2u´ u2

u5β3 du

“ ´µ0Q2a2

8πc

¨

˚

˝

1β

1´βż

1`β

1u5 du`

1β3

¨

˚

˝

´

1´βż

1`β

1u5 du`

1´βż

1`β

2u4 du´

1´βż

1`β

1u3 du

˛

‹

‚

˛

‹

‚

“ ´µ0Q2a2

8πc

ˆ

´1β

14u4 `

1β3

ˆ

14u4 ´

23u3 `

12u2

˙˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1´β

1`β

“ ´µ0Q2a2

8πc

ˆ

´1

4u4β`

3´ 8u` 6u2

12u4β3

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1´β

1`β

“µ0Q2a2

8πc3 pβ´ 1q pβ` 1q ` 8u´ 6u2

12u4β3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1´β

1`β

“µ0Q2a2

96πcβ3

˜

3 pβ´ 1q pβ` 1q ` 8 p1´ βq ´ 6 p1´ βq2

p1´ βq4´

3 pβ´ 1q pβ` 1q ` 8 p1` βq ´ 6 p1` βq2

p1` βq4

¸

“µ0Q2a2

96πcβ3

˜

´3 pβ` 1q ` 8´ 6 p1´ βq

p1´ βq3´

3 pβ´ 1q ` 8´ 6 p1` βq

p1` βq3

¸

“µ0Q2a2

96πcβ3

˜

3β´ 1

p1´ βq3`

3β` 1

p1` βq3

¸

“µ0Q2a2

96πcβ3

˜

p3β´ 1q p1` βq3 ` p3β` 1q p1´ βq3

`

1´ β2˘3

¸

“µ0Q2a2

96πcβ316β3

`

1´ β2˘3

“µ0Q2a2

6πc`

1´ β2˘3 ,

teniendo en cuenta que γ “ 1?1´β2 , la potencia queda finalmente como

P “µ0Q2a2

6πc`

1´ β2˘3 “

µ0Q2a2

6πcγ6. (14-8)

Un aspecto importante que podemos ver del resultado anterior es que el factor γ6 nos muestra que la potenciaradiada se incrementa rapidamente cuando la partıcula se acerca a la velocidad de la luz. Ası mismo, cuandola velocidad es pequena pβ ! cq llegamos al resultado de la ecuacion (14-6)

P “µ0Q2a2

6πc.


Otro aspecto interesante es que la potencia radiada depende de la aceleracion de la carga, por lo tanto no im-porta si la carga se acelera o se desacelera, en cualquiera de estos dos casos radiara. De hecho, la distribucion dela radiacion es la misma para la partıcula acelerada o desacelerada puesto que el termino de la aceleracion estaal cuadrado. Por ejemplo, cuando un electron de alta energıa golpea un blanco metalico o es deflectada por unnucleo atomico, este desacelera rapidamente, dando lugar a la llamada radiacion de frenado o bremsstrahlung,como lo podemos ver en la figura 14-2.

Figura 14-2: Ilustracion de la radiacion de frenado generando un rayo X.

14.2.1. Radiacion emitida por una carga con velocidad y aceleracion en angulos diferen-tes

Para el caso mas general debemos partir de la ecuacion (14-5) tomando solamente el termino que contribuye

~E p~r, tq “kQc2

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯

R´

1´ R ¨~β¯3

y remplazando esta relacion en la ecuacion de potencia radiada por angulo solido (14-3)

dP ptrq

dΩ“

1´ R ¨~βcµ0

E2R2 ptrq

“

´

1´ R ¨~β¯

cµ0

k2Q2

c4

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯2

R2´

1´ R ¨~β¯6 R2

“Q2

c5µ016π2ε20

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯2

´

1´ R ¨~β¯5

“Q2µ0

c16π2

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯2

´

1´ R ¨~β¯5

(14-9)

donde tuvimos en cuenta que~α “~ac

, ~β “~vc

y c4 “1

µ20ε2

0. Con algo mas de trabajo podemos, llegar finalmente

a la forma general para la potencia radiada

P “µ0Q2γ6

6πc

˜

a2 ´

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

~vˆ~ac

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2¸

398 14 Radiacion

esta expresion es considerada como la generalizacion de Lienard para la formula de Larmor, la cual se reducea esta ultima cuando v ! c.

14.3. Radiacion por cargas en movimiento circular uniforme

Uno de los casos mas importantes que involucran emision de radiacion es el caso de una carga describiendo unmovimiento circular uniforme (MCU). Un ejemplo de ello son los electrones orbitando alrededor de un nucleoo de las cargas aceleradas en un ciclotron, como lo vemos en la figura 14-3. Si suponemos que la carga describe

Figura 14-3: El movimiento relativista del electron produce un cambio en el patron de radiacion, denominadoradiacion se ciclotron.

una circunferencia de radio r, cuya velocidad la escribimos como ~β “ βk y la aceleracion~a “ aı.

La radiacion en el punto P la podemos escribir como

~R “ R sin θ cos ϕı` R sin θ sin ϕ` R cos θk

ñ R “ sin θ cos ϕı` sin θ sin ϕ` cos θk,

para calcular la potencia radiada a partir de la ecuacion (14-9)

dP ptrq

dΩ“

Q2µ0

c16π2

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯2

´

1´ R ¨~β¯5

primero resolvemos

´

R´~β¯

ˆ~a “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı ksin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ ´ β

a 0 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ p0q ı` a pcos θ ´ βq ´ a sin θ sin ϕk

14.3 Radiacion por cargas en movimiento circular uniforme 399

entonces

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ı ksin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ

0 a pcos θ ´ βq ´a sin θ sin ϕ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ p´ sin θ sin ϕa sin θ sin ϕ´ cos θa pcos θ ´ βqq ı` sin θ cos ϕ pa sin θ sin ϕq ` sin θ cos ϕa pcos θ ´ βq k

“ a”´

β cos θ ´ sin2 θ sin2 ϕ´ cos2 θ¯

ı` sin2 θ cos ϕ sin ϕ` psin θ cos ϕ cos θ ´ β sin θ cos ϕq kı

“ a”´

β cos θ ´ sin2 θ sin2 ϕ´´

1´ sin2 θ¯¯


“ a”´

β cos θ ´ sin2 θ´

sin2 ϕ´ 1¯

´ 1¯


“ a”´

sin2 θ cos2 ϕ´ p1´ β cos θq¯


,

por lo tanto

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯2

“ a2”´

sin2 θ cos2 ϕ´ p1´ β cos θq¯

ı` sin2 θ cos ϕ sin ϕ` psin θ cos ϕ cos θ ´ β sin θ cos ϕq kı2

“ a2ˆ

´

sin2 θ cos2 ϕ´ p1´ β cos θq¯2` sin4 θ cos2 ϕ sin2 ϕ` psin θ cos ϕ cos θ ´ β sin θ cos ϕq2

˙

“ a2´

sin4 θ cos4 ϕ´ 2 sin2 θ cos2 ϕ p1´ β cos θq ` p1´ β cos θq2 ` sin4 θ cos2 ϕ sin2 ϕ`

“ sin2 θ cos2 ϕ cos2 θ ´ 2β sin2 θ cos2 ϕ cos θ ` β2 sin2 θ cos2 ϕ¯

“ a2´

sin4 θ cos2 ϕ´

cos2 ϕ` sin2 ϕ¯

´ 2 sin2 θ cos2 ϕ` p1´ β cos θq2`

“ sin2 θ cos2 ϕ cos2 θ ` β2 sin2 θ cos2 ϕ¯

“ a2´

sin2 θ cos2 ϕ´

sin2 θ ` cos2 θ¯

´ 2 sin2 θ cos2 ϕ` p1´ β cos θq2 ` β2 sin2 θ cos2 ϕ¯

“ a2´

p1´ β cos θq2 ´ sin2 θ cos2 ϕ´

1´ β2¯¯

,

mientras que1´ R ¨~β “ 1´

´

sin θ cos ϕı` sin θ sin ϕ` cos θk¯

¨ βk “ 1´ β cos θ.

Remplazando los resultados anteriores en la ecuacion (14-9) obtenemos

dP ptrq

dΩ“

Q2µ0

c16π2

´

Rˆ´

R´~β¯

ˆ~a¯2

´

1´ R ¨~β¯5 “

Q2µ0a2

c16π2

´

p1´ β cos θq2 ´ sin2 θ cos2 ϕ`

1´ β2˘¯

p1´ β cos θq5,

podemos ver que cuando θ “ 0, la expresion anterior se reduce a

dP ptrq

dΩ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ“0“

Q2µ0a2

c16π21

p1´ β cos θq3

y por lo tanto, si β Ñ 0, tendremos valores maximos para la emision de radiacion siendo esta

dP ptrq

dΩ“

Q2µ0a2

c16π2 .

400 14 Radiacion

Si suponemos que la partıcula cargada es relativista, podemos calcular para que valores del cos θ la potenciaradiada se hace cero, esto es

lımvÑc

dP ptrq

dΩ“ lım

vÑc

¨

˝

Q2µ0a2

c16π2

´


1´ β2˘¯

p1´ β cos θq5

˛

‚“ 0

por lo tanto, el termino que debe hacerse cero es el numerador, expandiendo tenemos


1´ β2˘ “ 01´ 2β cos θ ` β2 cos2 θ ´

`

1´ cos2 θ˘ `

cos2 ϕ´ β2 cos2 ϕ˘

“

1´ 2β cos θ ` β2 cos2 θ ´ cos2 ϕ` β2 cos2 ϕ` cos2 θ cos2 ϕ´ β2 cos2 θ cos2 ϕ “

cos2 θ`

cos2 ϕ´ β2 cos2 ϕ` β2˘´ 2β cos θ ` cos2 ϕ`

β2 ´ 1˘

` 1 “

para determinar los ceros de la ecuacion anterior, debemos resolver la ecuacion cuadratica

cos θ “2β˘

b

4β2 ´ 4`

cos2 ϕ´ β2 cos2 ϕ` β2˘ `

cos2 ϕ`

β2 ´ 1˘

` 1˘

2`

cos2 ϕ´ β2 cos2 ϕ` β2˘

“

2β˘

d

4β2 ´ 4 cos4 ϕβ2 ` 4β4 cos4 ϕ´ 4β4 cos2 ϕ` 4 cos4 ϕ´ 4β2 cos4 ϕ

`4β2 cos2 ϕ´ 4 cos2 ϕ` 4β2 cos2 ϕ´ 4β2

2`


“2β˘

a

4β4 cos4 ϕ´ 4β4 cos2 ϕ´ 8β2 cos4 ϕ` 8β2 cos2 ϕ` 4 cos4 ϕ´ 4 cos2 ϕ

2`


“β˘

b

β4 cos2 ϕ`

cos2 ϕ´ 1˘

´ 2β2 cos2 ϕ`

cos2 ϕ´ 1˘

` cos2 ϕ`

cos2 ϕ´ 1˘

cos2 ϕ´ β2 cos2 ϕ` β2

“β˘ cos ϕ

b

´2β2 sin2 ϕ`

1` β2˘

` sin2 ϕ

cos2 ϕ´ β2 cos2 ϕ` β2

podemos ver que solo tendremos valores reales para ϕ “ 0, y dado que cos θ es un valor real

cos θ “β

1´ β2 ` β2 “ β.

Vamos ahora a analizar el lımite en el cual la partıcula cargada es ultra-relativista, esto es β Ñ 1

lım~βÑ1

dP ptrq

dΩ“

Q2µ0a2

c16π2

´


1´ β2˘¯

p1´ β cos θq5(14-10)

para ello utilizaremos las expansiones de los terminos cos θ y sin θ para angulos pequenos´

cos θ « 1´ θ2

2 y sin θ « 1¯

,

si ademas tenemos en cuenta que γ “ 1b

1´ v2c2

“ 1?1´β2 y que β “

b

1´ 1γ2 “

?1´ x2 donde x2 “ 1

γ2 , podemos

hacer la expansion β “?

1´ x2 « 1´ x2

2 ` .... Remplazando las expansiones anteriores en la ecuacion (14-10)obtenemos

dP ptrq

dΩ“

Q2µ0a2

c16π2

´


1´ β2˘¯

p1´ β cos θq5

“Q2µ0a2

c16π2

¨

˚

˝

1´

1´´

1´ x2

2

¯´

1´ θ2

2

¯¯3 ´θ2 cos2 ϕ 1

γ2

´

1´´

1´ x2

2

¯´

1´ θ2

2

¯¯5

˛

‹

‚

“Q2µ0a2

c16π2

¨

˚

˝

1´

1´ 1` x2

2 `θ2

2 ´x2θ2

4

¯3 ´1

γ2θ2 cos2 ϕ

´

1´ 1` x2

2 `θ2

2 ´x2θ2

4

¯5

˛

‹

‚

14.3 Radiacion por cargas en movimiento circular uniforme 401

teniendo en cuenta que estamos considerando la expansion solamente hasta segundo orden, obtenemos

dP ptrq

dΩ“

Q2µ0a2

c16π2

¨

˚

˝

1´

x2

2 `θ2

2

¯3 ´1

γ2θ2 cos2 ϕ´

x2

2 `θ2

2

¯5

˛

‹

‚

“Q2µ0a2

c16π2

¨

˚

˝

8´

1γ2 ` θ2

¯3 ´32γ2

θ2 cos2 ϕ´

1γ2 ` θ2

¯5

˛

‹

‚

“Q2µ0a2

c2π2

˜

γ6

`

1` θ2γ2˘3 ´

4γ2

γ10θ2 cos2 ϕ`

1` θ2γ2˘5

¸

ası entonces, la potencia quedara determinada por

P “

¿

S

dP ptrq

dΩdΩ

“

2πż

0

πż

0

Q2µ0a2

c2π2

˜

γ6

`

1` θ2γ2˘3 ´

4γ2

γ10θ2 cos2 ϕ`

1` θ2γ2˘5

¸

sin θ dθdϕ

“Q2µ0a2

c2π2

¨

˝

2πż

0

πż

0

γ6

`

1` θ2γ2˘3 sin θ dθdϕ´

2πż

0

πż

0

4γ2

γ10θ2 cos2 ϕ`

1` θ2γ2˘5 sin θ dθdϕ

˛

‚

“Q2µ0a2γ6

c2π2

¨

˝2π

πż

0

1`

1` θ2γ2˘3 sin θ dθ ´ π

πż

0

4γ2θ2

`

1` θ2γ2˘5 sin θ dθ

˛

‚

“Q2µ0a2γ6

c2π

¨

˝2

πż

0

1`

1` θ2γ2˘3 sin θ dθ ´

πż

0

4γ2θ2

`


˛

‚

donde tuvimos en cuenta que

2πż

0

cos2 ϕdϕ “

2πż

0

1` cos 2ϕ

2dϕ “

ϕ

2`

14

sin 2ϕ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2π

0“ π

teniendo en cuenta que para angulos pequenos sin θ » θ podemos escribir la integral como

P “Q2µ0a2γ6

c2π

¨

˝2

πż

0

1`


πż

0

4γ2θ2

`


˛

‚

«Q2µ0a2γ6

c2π

¨

˝2

πż

0

θ`

1` θ2γ2˘3 dθ ´

πż

0

4γ2θ3

`

1` θ2γ2˘5 dθ

˛

‚

para la resolver la primera integral empleamos la sustitucion x “ 1` θ2γ2 ñ dx “ 2θγ2dθ,

πż

0

θ`

1` θ2γ2˘3 dθ “

1`π2γ2ż

1

x´3 dx2γ2

“ ´1

2γ21

2x2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1`π2γ2

1

“1

4γ2

˜

1´1

`

1` π2γ2˘2

¸

402 14 Radiacion

mientras que para la integral restante, debemos recurrir a una tabla de integrales

πż

0

θ3

`

1` θ2γ2˘5 dθ “

´θ2 `1` θ2γ2˘´4

´6γ2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

`2

´6γ2

πż

0

θ`

1` θ2γ2˘5 dθ

“π2

6γ2`

1` π2γ2˘4 ´

13γ2

πż

0

θ`

1` θ2γ2˘5 dθ

recurriendo ahora a la sustitucion x “ 1` θ2γ2 ñ dx “ 2θγ2dθ la integral restante sera

πż

0

θ`

1` θ2γ2˘5 dθ “

1`π2γ2ż

1

x´5 dx2γ2

“ ´1

2γ21

4x4

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1`π2γ2

1

“1

8γ2

˜

1´1

`

1` π2γ2˘4

¸

remplazando los resultados anteriores tenemos

P “Q2µ0a2γ6

c2π

¨

˝2

πż

0

1`


πż

0

4γ2θ2

`


˛

‚

“Q2µ0a2γ6

c2π

˜

21

4γ2

˜

1´1

`

1` π2γ2˘2

¸

´ 4γ2

˜

π2

6γ2`

1` π2γ2˘4 ´

124γ4

˜

1´1

`

1` π2γ2˘4

¸¸¸

“Q2µ0a2γ6

c2π

˜

12γ2 ´

1

2γ2`

1` π2γ2˘2 ´

2π2

3`

1` π2γ2˘4 ´

1

6γ2`

1` π2γ2˘4 `

16γ2

¸

“Q2µ0a2γ6

c2π

˜

23γ2 ´

˜

3`

1` π2γ2˘2` 4π2γ2 ` 1

6γ2`

1` π2γ2˘4

¸¸

“Q2µ0a2γ4

c2π

˜

23´

˜

3`

1` π2γ2˘2` 4π2γ2 ` 1

6`

1` π2γ2˘4

¸¸

14.4. Radiacion de dipolo electrico oscilante

La radiacion de dipolo electrico y de dipolo magnetico son las dos configuraciones basicas en el estudio de laradiacion. Supongamos que tenemos un par de esferas metalicas pequenas y separadas una distancia d conec-tadas por un alambre muy delgado (en el cual la carga no se puede acumular, pero si circula una corriente),y en el tiempo t la carga de la esfera superior es Q ptq y la de la carga inferior es ´Q ptq. Si suponemos quela carga total del sistema fluye de una esfera a otra, de tal forma que la carga de ambas esferas siempre seraopuesta y de la misma magnitud (la carga neta del sistema es cero), como se ilustra en la figura 14-4.

Dado que la carga fluye entre las esferas, podemos conjeturar que las cargas oscilan en el tiempo de acuerdo ala ecuacion

Q ptq “ Q0 cos ωt (14-11)

14.4 Radiacion de dipolo electrico oscilante 403

Figura 14-4: Imagen de un dipolo electrico.

y por lo tanto el momento de dipolo electrico es

~p ptq “ Q ptq ~d “ p0 cos ωtk

donde p0 “ Q0d, donde p0 es el maximo valor del momento dipolar. Comenzaremos calculando los potencialesretardados, para ello partimos de la ecuacion del potencial escalar (13-39)

φ p~r, tq “ k QR´~R¨~β

,

dado que las cargas no estan en movimiento ~v “ 0, y por lo tanto ~β “ 0. De la figura 14-4 tenemos que

x “ r sin θ cos ϕ

y “ r sin θ sin ϕ

z “ r cos θ

por lo tanto

~r1˘ “ ˘d2

k,


definiendo

~R˘ “~r´~r1˘ “ r sin θ cos ϕı` r sin θ sin ϕ`

ˆ

r cos θ ¯d2

˙

k

R˘ “ˇ

ˇ~r´~r1˘ˇ

ˇ “

d

pr sin θ cos ϕq2 ` pr sin θ sin ϕq2 `

ˆ

r cos θ ¯d2

˙2

“

c

r2 sin2 θ`

cos2 ϕ` sin2 ϕ˘

`d2

4¯ rd cos θ ` r2 cos2 θ

“

c

r2`

sin2 θ ` cos2 θ˘

`d2

4¯ rd cos θ

“

c

r2 `d2

4¯ rd cos θ (14-12)

404 14 Radiacion

podemos escribir el potencial escalar como

φ p~r, tq “ k

¨

˝

Q0 cos´

ω´

t´ R`c

¯¯

R`´

Q0 cos´

ω´

t´ R´c

¯¯

R´

˛

‚. (14-13)

Teniendo en cuenta que para un dipolo electrico d ! r, podemos expandir la ecuacion (14-12) tomando sola-mente terminos a primer orden

R˘ “ r´

1` d2

4r2 ¯dr cos θ

¯12“ r

ˆ

1` 12

´

d2

4r2 ¯dr cos θ

¯

` 12

´

12 ´ 1

¯

12

´

d2

4r2 ´dr cos θ

¯2` ...

˙

» r´

1¯ d2r cos θ

¯

,

(14-14)ası mismo

1R˘

“1

b

r2 ` d2

4 ¯ rd cos θ“

1r

b

r2

r2 `d2

4r2 ¯rdr2 cos θ

“1r

ˆ

1`d2

4r2 ¯dr

cos θ

˙´ 12

expandiendo nuevamente encontramos

´

1` d2

4r2 ´dr cos θ

¯´ 12“ 1´ 1

2

´

d2

4r2 ¯dr cos θ

¯

´ 12

´

´ 12 ´ 1

¯

12

´

d2

4r2 ´dr cos θ

¯2` ... » 1˘ 1

2dr cos θ

por lo tanto

1R˘

“1r

ˆ

1`d2

4r2 ¯dr

cos θ

˙´ 12

“1r

ˆ

1˘d2r

cos θ

˙

. (14-15)

Teniendo en cuenta que en el potencial escalar (14-13) tenemos terminos de la forma cos´

ω´

t´ R˘c

¯¯

, debe-mos remplazar lo obtenido en la ecuacion (14-14)

cos´

ω´

t´ R˘c

¯¯

“ cosˆ

ω

ˆ

t´ rp1¯ d2r cos θqc

˙˙

“ cos´

ω`

t´ rc˘

˘ ωd2c cos θ

¯

“ cos`

ω`

t´ rc˘˘

cos´

ωd2c cos θ

¯

¯ sin`

ω`

t´ rc˘˘

sin´

ωd2c cos θ

¯

,

para simplificar la relacion anterior podemos considerar las esferas como cargas puntuales. Al hacerlo, tambiense debe cumplir que d sea mucho menor que la longitud de onda emitida,

c “ λ f ñ λ “cf“

2πcω

esto implica que el termino ωd2c “

2π f d2c “ πd

λ se hace muy pequeno dado que como hemos supuesto d ! λ, y

por lo tanto, el termino cos´

ωd2c cos θ

¯

» 1, mientras que para el termino sin´

ωd2c cos θ

¯

» ωd2c cos θ (haciendo

la aproximacion para angulos pequenos)

cos´

ω´

t´ R˘c

¯¯

“ cos`

ω`

t´ rc˘˘

cos´

ωd2c cos θ

¯

¯ sin`

ω`

t´ rc˘˘

sin´

ωd2c cos θ

¯

“ cos`

ω`

t´ rc˘˘

¯ sin`

ω`

t´ rc˘˘

ωd2c cos θ.

(14-16)


Remplazando lo obtenido en las ecuaciones (14-15 y 14-16) en la ecuacion (14-13) obtenemos

φ p~r, tq “ k

˜

Q0 cos´

ω´

t´R`

c

¯¯

R` ´Q0 cos

´

ω´

t´R´

c

¯¯

R´

¸

“ kQ0

!”

cos`

ω`

t´ rc˘˘

´ ωd2c cos θ sin

`

ω`

t´ rc˘˘

ı

1r

´

1` d2r cos θ

¯

´

”

cos`

ω`

t´ rc˘˘

` ωd2c cos θ sin

`

ω`

t´ rc˘˘

ı

1r

´

1´ d2r cos θ

¯)

“ kQ0

”

dr2 cos θ cos

`

ω`

t´ rc˘˘

´ 1r

ωdc cos θ sin

`

ω`

t´ rc˘˘

ı

“kQ0d cos θ

r

”

1r cos

`

ω`

t´ rc˘˘

´ ωc sin

`

ω`

t´ rc˘˘

ı

,

(14-17)

en el lımite estatico, esto es ω Ñ 0 la expresion anterior toma la forma

lımωÑ0

φ p~r, tq “ lımωÑ0

kQ0d cos θ

r

„

1r

cos´

ω´

t´rc

¯¯

´ω

csin

´

ω´

t´rc

¯¯

“ kp0 cos θ

r2

el cual es potencial electrostatico de un dipolo estacionario. Podemos ahora analizar los campos a grandesdistancias de la fuente, lo cual se denomina zona de radiacion. Para lo cual debemos analizar la condicion r " λ,esta aproximacion implica que 1

r !ωc , por lo tanto solo es necesario tener en cuenta el primer termino de la

ecuacion (14-17) y el potencial en la zona de radiacion se reduce a

φ p~r, tq “ ´kp0ω cos θ

rcsin

´

ω´

t´rc

¯¯

. (14-18)

Para calcular el potencial vectorial lo haremos a traves de la corriente que fluye en el alambre

I ptq “ddtpQ0 cos ωtq “ ´ωQ0 sin ωt, (14-19)

ası, el potencial vectorial en el tiempo retardado sera

~A p~r, tq “µ0

4π

ż

I|~r´~r1|

d~l “µ0

4π

d2ż

´ d2

´ωQ0 sin ω´

t´ Rc

¯

Rkdz

donde ~R “~r´~r1, teniendo en cuenta la figura 14-4 tenemos

~r1 “ zk


de manera que

R “ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “

b

pr sin θ cos ϕq2 ` pr sin θ sin ϕq2 ` pr cos θ ´ zq2

“

b

r2 sin2 θ`

cos2 ϕ` sin2 ϕ˘

` z2 ´ 2rz cos θ ` r2 cos2 θ

“

b

r2`

sin2 θ ` cos2 θ˘

` z2 ´ 2rz cos θ

“a

r2 ` z2 ´ 2rz cos θ

y dado que d ! r, consideraremos nuevamente solo terminos a primer orden

R “ r´

1` z2

r2 ´2zr cos θ

¯12“ r

ˆ

1` 12

´

z2

r2 ´2zr cos θ

¯

` 12

´

12 ´ 1

¯

12

´

z2

r2 ´2zr cos θ

¯2` ...

˙

» r`

1´ zr cos θ

˘

(14-20)

406 14 Radiacion

para

1R“

1?

r2 ` z2 ´ 2rz cos θ“

1r

ˆ

1`z2

r2 ´2zr

cos θ

˙´ 12

»1r

´

1`zr

cos θ¯

mientras que el termino

sin´

ω´

t´ Rc

¯¯

“ sinˆ

ω

ˆ

t´ rp1´ zr cos θqc

˙˙

“ sin`

ω`

t´ rc˘

` ωzc cos θ

˘

“ sin`

ω`

t´ rc˘˘

cos`

ωzc cos θ

˘

` cos`

ω`

t´ rc˘˘

sin`

ωzc cos θ

˘

.

dado que d ! λ y por ende |z| ! λ, entonces el termino ωzc “

2π f zc se hace muy pequeno, esto implica que el

termino cos`

ωzc cos θ

˘

» 1, mientras que el termino sin`

ωzc cos θ

˘

» ωzc cos θ (haciendo la aproximacion para

angulos pequenos), obteniendo

sin´

ω´

t´ Rc

¯¯

“ sin`

ω`

t´ rc˘˘

cos`

ωzc cos θ

˘

` cos`

ω`

t´ rc˘˘

sin`

ωzc cos θ

˘

» sin`

ω`

t´ rc˘˘

` ωzc cos θ cos

`

ω`

t´ rc˘˘

.

Remplazando en el potencial vectorial tenemos

~A p~r, tq “µ0

4π

d2ż

´ d2

´ωQ0 sin ω´

t´ Rc

¯

Rkdz

“ ´µ0

4π

d2ż

´ d2

ωQ0

”

sin´

ω´

t´rc

¯¯

`ωzc

cos θ cos´

ω´

t´rc

¯¯ı 1r

´

1`zr

cos θ¯

kdz

“ ´µ0ωQ0

4πrk

d2ż

´ d2

”

sin´

ω´

t´rc

¯¯

`ωzc

cos θ cos´

ω´

t´rc

¯¯

`zr

cos θ sin´

ω´

t´rc

¯¯

`ωzc

zr cos θ cos θ cos

`

ω`

t´ rc˘˘‰

dz

“ ´µ0ωQ0

4πrk„

sin´

ω´

t´rc

¯¯

z`ω

ccos θ cos

´

ω´

t´rc

¯¯ z2

2`

1r

cos θ sin´

ω´

t´rc

¯¯ z2

2

`ω

crcos2 θ cos

´

ω´

t´rc

¯¯ z3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

d2

´ d2

“ ´µ0ωQ0

4πrk„

sin´

ω´

t´rc

¯¯

d`ω

crcos2 θ cos

´

ω´

t´rc

¯¯ d3

12

en el lımite cuando d ! 2πcω la ecuacion anterior queda como

~A p~r, tq “ ´µ0ωQ0d

4πrsin

´

ω´

t´rc

¯¯

k “ ´µ0ωp0

4πrsin

´

ω´

t´rc

¯¯

k. (14-21)

Partiendo ahora de los resultados obtenidos para el potencial vectorial (14-21) y del potencial escalar (14-18),podemos calcular el campo electrico a traves de la ecuacion



de tal forma, que para el primer termino tenemos

∇φ p~r, tq “ ´

ˆ

B

Brr`

1rB

Bθθ `

1r sin θ

B

Bϕϕ

˙

kp0ω cos θ

rcsin

´

ω´

t´rc

¯¯

“ ´B

Brkp0ω cos θ

rcsin

´

ω´

t´rc

¯¯

r´1rB

Bθ

kp0ω cos θ

rcsin

´

ω´

t´rc

¯¯

θ

“ ´kp0ω cos θ

c

ˆ

´1r2 sin

´

ω´

t´rc

¯¯

´ω

rccos

´

ω´

t´rc

¯¯

˙

r`kp0ω sin θ

r2csin

´

ω´

t´rc

¯¯

θ

“kp0ω cos θ

cr

ˆ

1r

sin´

ω´

t´rc

¯¯

`ω

ccos

´

ω´

t´rc

¯¯

˙

r`kp0ω sin θ

r2csin

´

ω´

t´rc

¯¯

θ

dado que nuestra area de interes es r " cω , al remplazar en la relacion de arriba obtenemos

∇φ p~r, tq “kp0ω cos θ

cr

ˆ

1r

sin´

ω´

t´rc

¯¯

`ω

ccos

´

ω´

t´rc

¯¯

˙

r`kp0ω sin θ

r2csin

´

ω´

t´rc

¯¯

θ

»kp0ω2 cos θ

c2rcos

´

ω´

t´rc

¯¯

r

»µ0 p0ω2 cos θ

4πrcos

´

ω´

t´rc

¯¯

r(14-22)

donde tuvimos en cuenta que kc2 “

µ04π . Para el segundo termino del campo se tiene

B~A p~r, tqBt

“B

Bt

´

´µ0ωp0

4πrsin

´

ω´

t´rc

¯¯

k¯

“ ´µ0 p0ω2

4πrcos

´

ω´

t´rc

¯¯

`


, (14-23)

y remplazando los resultados (14-22) y (14-23) finalmente encontramos


“ ´µ0 p0ω2 cos θ

4πrcos

´

ω´

t´rc

¯¯

r`µ0 p0ω2

4πrcos

´

ω´

t´rc

¯¯

`


“ ´µ0 p0ω2 sin θ

4πrcos

´

ω´

t´rc

¯¯

θ.

(14-24)

Para calcular el campo magnetico partimos de


“1

r2 sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

´µ0ωp0

4πr sin`

ω`

t´ rc˘˘

cos θ r µ0ωp04πr sin

`

ω`

t´ rc˘˘

sin θ 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“1

r2 sin θ

ˆ

r sin θϕ

„

B

Br

´µ0ωp0

4πsin

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θ¯

´B

Bθ

´

´µ0ωp0

4πrsin

´

ω´

t´rc

¯¯

cos θ¯

˙

“1r

ϕ

„

´µ0ωp0 sin θ

4π

ω

ccos

´

ω´

t´rc

¯¯

´µ0ωp0

4πrsin

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θ

“ ´µ0ωp0 sin θ

r4π

ˆ

ω

ccos

´

ω´

t´rc

¯¯

`1r

sin´

ω´

t´rc

¯¯

˙

ϕ

dado que nuestra area de interes es r " cω , la expresion anterior se reduce a

~B p~r, tq “ ´µ0ω2 p0 sin θ

r4πccos

´

ω´

t´rc

¯¯

ϕ. (14-25)

Podemos ver de los resultados para el campo electrico (14-24) y el campo magnetico (14-25), que son perpendi-culares entre sı, al igual que con respecto a la direccion de propagacion, y representan ondas monocromaticas

408 14 Radiacion

de frecuencia ω viajando en direccion r a la velocidad de la luz. Ası mismo, el cociente entre las amplitudes delos campos es

E0

B0“

µ0 p0ω2 sin θ4πr

µ0ω2 p0 sin θr4πc

“ c

la cual es una propiedad para las ondas electromagneticas planas en el espacio vacıo tal como vimos en laecuacion (12-5). Aunque hemos considerado ondas esfericas en este capıtulo, si tenemos en cuenta valoressuficientemente grandes de r, los frentes de onda se pueden considerar aproximadamente planos en estasregiones.

La energıa radiada por un dipolo electrico oscilante esta determinada por el vector de Poynting (11-7). Asıentonces

~S “1

µ0

´

~Eˆ ~B¯

“1

µ0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕ

0 ´µ0 p0ω2 sin θ

4πr cos`

ω`

t´ rc˘˘

0

0 0 ´µ0ω2 p0 sin θ

r4πc cos`

ω`

t´ rc˘˘

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“1

µ0

µ0 p0ω2 sin θ

4πrcos

´

ω´

t´rc

¯¯

ˆ

µ0ω2 p0 sin θ

r4πccos

´

ω´

t´rc

¯¯

˙

r

“µ0 p2

0ω4 sin2 θ

16π2r2ccos2

´

ω´

t´rc

¯¯

r

por lo tanto, el promedio en el tiempo para un ciclo completo sera

x~Sy “µ0 p2

0ω4 sin2 θ

32π2r2cr.

En funcion de este resultado, podemos determinar la potencia media total radiada, la cual se calcula teniendoen cuenta la integral de superficie de la intensidad sobre la esfera de radio r y dado que d~S “ r2 sin θ dφ dθ rtenemos

xPy “

ż

x~Sy ¨ d~S

“

2πż

φ“0

πż

θ“0

µ0 p20ω4 sin2 θ

32π2r2cr ¨ r2 sin θ dθ dφr

“

2πż

φ“0

πż

θ“0

µ0 p20ω4

32π2csin3 θ dθ dφ

“µ0 p2

0ω4

16πc

πż

θ“0

sin3 θ dθ

“µ0 p2

0ω4

16πc

ˆ

43

˙

“µ0 p2

0ω4

12πc.

(14-26)

Hay varios aspectos interesantes con el resultado anterior: La potencia aumenta muy rapidamente con el au-mento de la frecuencia, xPy es independiente del radio de la esfera, lo cual es algo que se esperaba debido a laconservacion de la energıa. Finalmente, podemos ver que no hay radiacion a lo largo del eje del dipolo debidoal termino sin θ “ 0 y por ello el perfil de intensidad tendra la forma de toroide con valor maximo en el planoecuatorial como lo vimos en la figura 14-1.

14.5 Radiacion de dipolo magnetico oscilante 409

14.5. Radiacion de dipolo magnetico oscilante

Asumamos que tenemos un alambre circular de radio a, que yace en el plano XY y centrado en el origen, comose muestra en la figura 14-5, por el alambre circula una corriente alterna de la forma

Figura 14-5: Imagen del movimiento de un sistema masa-resorte

I ptq “ I0 cos ωt

lo cual constituye un modelo de dipolo magnetico oscilante que tiene un momento dado por la ecuacion (8-15)

~m “ I ptq ~A “ I0 cos ωt´

πb2k¯

“ m0 cos ωtk

donde hemos definido m0 “ πb2 I0. Si suponemos que la espira no tiene carga neta, el potencial escalar retar-dado sera cero, mientras que el potencial vectorial (13-18) sera

~A p~r, tq “µ0

4π

ż

I|~r´~r1|

d~l

donde~r “ r sin θ ` r cos θk y~r1 “ a cos ϕ1 ı` a sin ϕ1 , definimos

~R “~r´~r1 “ á cos ϕ1 ı``

r sin θ ´ a sin ϕ1˘

` r cos θk

R “ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ “

b

pá cos ϕ1q2 ` pr sin θ ´ a sin ϕ1q2 ` pr cos θq2

“

b

a2 cos2 ϕ1 ` r2 sin2 θ ´ 2ar sin θ sin ϕ1 ` a2 sin2 ϕ1 ` r2 cos2 θ

“

b

a2`


` r2`

sin2 θ ` cos2 θ˘

´ 2ar sin θ sin ϕ1

“

b

a2 ` r2 ´ 2ar sin θ sin ϕ1 (14-27)

“ r

c

1à2

r2 ´2ar

sin θ sin ϕ1, (14-28)

410 14 Radiacion

teniendo en cuenta que para un dipolo electrico a ! r, podemos expandir la ecuacion (14-28) tomando sola-mente terminos a primer orden

R “ r´

1` a2

r2 ´2ar sin θ sin ϕ1

¯12

“ rˆ

1` 12

´

a2


¯

` 12

´

12 ´ 1

¯

12

´

a2


¯2` ...

˙

» r`

1´ ar sin θ sin ϕ1

˘

(14-29)

ası mismo

1R“

1

rb

1` a2


“1r

ˆ

1`a2

r2 ´2ar

sin θ sin ϕ1˙´ 1

2

»1r

´

1`ar

sin θ sin ϕ1¯

.

Partiendo de la ecuacion para el tiempo retardado (13-17) tenemos

tr ´ t “ ´

ˇ

ˇ~r´~r1ˇ

ˇ

c“ t´

R ptrq

c

teniendo en cuenta que d~l “ a dϕ1 ϕ1 “ adϕ1`

´ sin ϕ1 ı` cos ϕ1 ˘

, habrıan dos contribuciones, pero la contribu-cion en por simetrıa se anula, esto debido a que elementos infinitesimales colocados simetricamente opuestossobre el eje X se cancelaran entre sı, mientras que en la direccion ı sera diferente de cero, esto nos permiteescribir

~A p~r, tq “µ0

4π

ż

I|~r´~r1|

d~l

“ ´µ0

4π

2πż

0

a I0 cos ω´

t´ Rptrqc

¯

a

a2 ` r2 ´ 2ar sin θ sin ϕ1sin ϕ1dϕ1 ı

“ ´µ04π

2πż

0

a I0 cos ω´

t´ Rptrqc

¯

rb

1` a2r2´2 a

r sin θ sin ϕ1sin ϕ1 dϕ1 ı

(14-30)

para solucionar la integral, debemos analizar el termino cos ω´

t´ Rptrqc

¯

, para ello tenemos en cuenta losresultados de la ecuacion (14-29)

cos ω´

t´ Rptrqc

¯

» cos`

ω`

t´ rc`

1´ ar sin θ sin ϕ1

˘˘˘

» cos`

ω`

t´ rc˘

` ωac sin θ sin ϕ1

˘

» cos`

ω`

t´ rc˘˘

cos`

ωac sin θ sin ϕ1

˘

´ sin`

ω`

t´ rc˘˘

sin`

ωac sin θ sin ϕ1

˘

si consideramos que el dipolo es mucho mas pequeno comparado con la longitud de onda radiada lo cualequivale a escribir a ! λ o a ! c

ω . Dado que para angulos pequenos cos ξ » 1 y sin ξ » ξ la relacion anterior lapodemos escribir como

cos ω´

t´ Rptrqc

¯

» cos`

ω`

t´ rc˘˘

cos`

ωac sin θ sin ϕ1

˘

´ sin`

ω`

t´ rc˘˘

sin`

ωac sin θ sin ϕ1

˘

» cos`

ω`

t´ rc˘˘

´ ωac sin

`

ω`

t´ rc˘˘

sin θ sin ϕ1



~A p~r, tq “ ´µ0

4π

2πż

0

a I0 cos ω´

t´ Rptrqc

¯

rb

1` a2

r2 ´ 2 ar sin θ sin ϕ1

sin ϕ1dϕ1 ı

» ´µ0a I0

4πrı

2πż

0

´

cos´

ω´

t´rc

¯¯

´ωac

sin´

ω´

t´rc

¯¯

sin θ sin ϕ1¯´

1`ar

sin θ sin ϕ1¯

sin ϕ1dϕ1

» ´µ0a I0

4πrı

2πż

0

!

cos´

ω´

t´rc

¯¯

´ωac

sin´

ω´

t´rc

¯¯

sin θ sin ϕ1 `ar

cos´

ω´

t´rc

¯¯

sin θ sin ϕ1

´ωa2

c rsin

´

ω´

t´rc

¯¯

sin2 θ sin2 ϕ1*

sin ϕ1dϕ1

» ´µ0a I0

4πrı

$

&

%

cos´

ω´

t´rc

¯¯

2πż

0

sin ϕ1dϕ1 `´ a

rcos

´

ω´

t´rc

¯¯

´ωac

sin´

ω´

t´rc

¯¯¯

sin θ

2πż

0

sin2 ϕ1dϕ1

,

.

-

» ´µ0a I0

4πrı

#

cos´

ω´

t´rc

¯¯

cos ϕ1ˇ

ˇ

ˇ

2π

0`

´ ar

cos´

ω´

t´rc

¯¯

´ωac

sin´

ω´

t´rc

¯¯¯

sin θϕ1

2´

14

sin 2ϕ1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2π

0

+

» ´µ0a2 I0π

4πr

ˆ

1r

cos´

ω´

t´rc

¯¯

´ω

csin

´

ω´

t´rc

¯¯

˙

sin θ ı

»µ0m0

4πr

ˆ

1r

cos´

ω´

t´rc

¯¯

´ω

csin

´

ω´

t´rc

¯¯

˙

sin θϕ

(14-31)donde tuvimos en cuenta que m0 “ πa2 I0 y que el termino ωa2

c r es muy pequeno pudiendo ser despreciado. Unaspecto importante del resultado anterior es que ı apunta en la direccion ϕ cuando estamos en un punto sobreel plano XY, teniendo en cuenta que la orientacion de este plano puede cambiarse sin afectar la geometrıa delproblema, podemos eliminar el signo negativo y usaremos la direccion ϕ en el resultado final.

En el lımite estatico, esto es, cuando ω Ñ 0 la ecuacion (14-31) la podemos escribir como

lımωÑ0

~A p~r, tq “µ0m0

4πr2 sin θϕ,

la cual representa el potencial vectorial de dipolo magnetico puntual estatico.

Otro punto interesante es el caso en el cual la fuente esta muy retirada, lo cual implica que la distancia al puntode analisis debe ser mucho mayor que la longitud de onda, esto es r " λ o r " c

ω , remplazando esta condicionen la ecuacion (14-31) obtenemos

lımr" c

ω

~A p~r, tq “µ0m0ω

4πr csin

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θϕ.

Vamos ahora calcular los campos electrico y magnetico, comenzando por el calculo del campo electrico

~E “ ´∇φ´B~ABt“B

Bt

´µ0m0ω

4πr csin

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θϕ¯

“µ0m0ω2

4πr ccos

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θϕ,

412 14 Radiacion

mientras que

~B “ ∇ˆ ~A “µ0m0ω

4πc1

r2 sin θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕBBr

BBθ

BBϕ

0 0 r sin θ´

1r sin

`

ω`

t´ rc˘˘

sin θ¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“µ0m0ω

4πc

˜

rr2 sin θ

sin´

ω´

t´rc

¯¯

B

Bθsin2 θ ´

θ

rB

Brsin

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θ

¸

“µ0m0ω

4πc

ˆ

12r2 sin

´

ω´

t´rc

¯¯

cos θr´ω

r ccos

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θθ

˙

considerando nuevamente r " cω , a primer orden el campo magnetico sera

~B “ ´µ0m0ω2

4πc2rcos

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θθ.

Como en el caso del dipolo electrico, los campos estan en fase, son mutuamente perpendiculares y a la direccionde propagacion r. De hecho, el cociente entre sus amplitudes es

~E~B“

µ0m0ω2

4πr c cos`

ω`

t´ rc˘˘

sin θµ0m0ω2

4πc2r cos`

ω`

t´ rc˘˘

sin θ“ c

sin embargo, en el caso del dipolo electrico puntual oscilante (14-24) el campo electrico estaba en direccion θ,mientras que el campo magnetico del dipolo electrico puntual oscilante (14-25) estaba en direccion ϕ, lo cuales opuesto al caso del dipolo magnetico oscilante.

Procedemos ahora a calcular la energıa radiada por un dipolo magnetico oscilante, la cual esta determinadapor el vector de Poynting (11-7).

~S “1

µ0

´

~Eˆ ~B¯

“1

µ0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r rθ r sin θϕ

0 0 µ0m0ω2

4πr c cos`

ω`

t´ rc˘˘

sin θ

0 ´µ0m0ω2

4πc2r cos`

ω`

t´ rc˘˘

sin θ 0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“1

µ0

µ0m0ω2

4πr ccos

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θ

ˆ

µ0m0ω2

4πc2rcos

´

ω´

t´rc

¯¯

sin θ

˙

r

“µ0m2

0ω4 sin2 θ

16π2r2c3 cos2´

ω´

t´rc

¯¯

r

por lo tanto, el promedio en el tiempo para un ciclo completo es

x~Sy “µ0m2

0ω4 sin2 θ

32π2r2c3 r.

En funcion de este resultado podemos calcular la potencia media total radiada, como la integral de superficie


de la intensidad sobre la esfera de radio r , donde d~S “ r2 sin θ dφ dθ r y por lo tanto

xPy “

ż

x~Sy ¨ d~S

“

2πż

φ“0

πż

θ“0

µ0m20ω4 sin2 θ

32π2r2c3 r ¨ r2 sin θ dθ dφr

“

2πż

φ“0

πż

θ“0

µ0m20ω4

32π2c3 sin3 θ dθ dφ

“µ0m2

0ω4

16πc3

πż

θ“0

sin3 θ dθ

“µ0m2

0ω4

16πc3

ˆ

43

˙

“µ0m2

0ω4

12πc3 .

(14-32)

Al igual que en el caso del dipolo electrico oscilante, la potencia aumenta muy rapidamente con el aumento dela frecuencia y el perfil de intensidad tendra la forma de toroide. Sin embargo, una diferencia importante conrespecto al dipolo electrico es que para dimensiones comparables entre ambos casos, la potencia radiada porel dipolo electrico es mucho mayor. Para corroborar esto, podemos calcular la relacion entre ambas potenciasdadas por las ecuaciones (14-26) y (14-32).

xPyelectricoxPymagnetico

“

µ0 p20ω4

12πcµ0m2

0ω4

12πc3

“p2

0c2

m20“

Q20d2c2

π2a4 I20

donde tuvimos en cuenta que m0 “ πa2 I0 y p0 “ Q0d. Dado que la amplitud de corriente se puede escribircomo I0 “ Q0ω, para hacer una comparacion adecuada entre los terminos debemos aproximar d » πa, por lotanto


“Q2

0d2c2

π2a4 I20“

Q20π2a2c2

π2a4Q20ω2

“c2

a2ω2

teniendo en cuenta la primera aproximacion que hicimos a ! cω entonces c

aω " 1 y al estar elevada al cuadradopodemos afirmar que


" 1

por lo tanto, la radiacion de dipolo electrico domina, a menos que el sistema no tenga en cuenta la contribucionelectrica como se hizo en el ejemplo del dipolo magnetico puntual oscilante, al asumir que el lazo cerrado eraneutro en todos sus puntos.

414 14 Radiacion

Indice alfabetico

Bobina de Helmholtz, 234

Campo electrico, 76carga puntual movil, 378del dipolo electrico, 78, 109del dipolo electrico generalizacion, 79esfera hueca, 88placa, 87plano, 87

Campo magnetico, 225carga puntual movil, 379conductor rectilıneo, 230disco cargado girando, 238esfera de corriente, 237espira circular de corriente, 232espira rectangular de corriente, 233

Campo vectorial conservativo, 48Capacitancia, 99Carga electrica, 67

inducida, 156, 198Carga imagen, 203

esfera conductora, 217esfera dielectrica, 220plano conductor, 205plano dielectrico, 208

Coeficiente de temperatura de resistividad, 176Coeficientes metricos, 35Condiciones

de Dirichlet, 121, 122de frontera, 189, 197de Neumann, 121–123

Conservacionde la carga electrica, 293de la energıa, 294del momento lineal, 297

Coordenadasbipolares, 40, 42cartesianas, 12

cilındricas, 16curvilıneas generalizadas, 32

divergencia, 36elemento de lınea, 42elemento de volumen, 34, 43elementos de area, 34, 43factores de escala, 33gradiente, 35laplaciano, 38rotacional, 37

esfericas, 17Corriente

de conduccion, 174de desplazamiento, 263, 326densidad, 174electrica, 174inducida, 258superficial de magnetizacion, 282volumetrica de magnetizacion, 282

Coulomb, 68Cuadrupolo electrico, 167, 171

Densidadde carga en medios conductores, 322

Diamagnetismo, 279

Ecuacionde onda

campo electrico, 311, 326campo magnetico, 312, 326

de Poisson, 117Jefimenko, 366Laplace

dos dimensiones, 124esfericas, 145polares, 139tres dimensiones, 133una dimension, 123

415

416 INDICE ALFABETICO

Energıa electrostatica, 91de un condensador, 98de una distribucion continua de cargas, 97de una distribucion discreta de cargas, 94

Energıa potencial dipolo magnetico, 244Expansion en series de Taylor, 80, 82Expansion multipolar

del potencial cartesianas, 167del potencial esfericas, 169

Formula deLarmor, 391Rodrigues, 152Euler, 62Moivre, 63

Ferromagnetismo, 279Fuerza

de Lorentz, 226, 385electrica, 67, 68, 76, 90electromotriz, 257entre cargas en movimiento, 380gravitacional, 107magnetica, 225, 241, 245, 247

Fuerza conservativa, 90Funcion

clase C1, 20clase C8, 20clase Cn, 20delta de Dirac, 58delta de Kronecker, 58

Histeresis magnetica, 280

Indice de refraccion del material, 320complejo, 331formula de Cauchy, 332

Leyde Ampere, 251de Ampere-Maxwell, 263de Biot-Savart, 227de conservacion de la energıa, 296de conservacion del momento lineal, 301de Coulomb, 68de Curie, 278de Faraday, 257de Gauss, 84de Gauss magnetostatica, 239de Lenz, 258de Ohm, 176de reflexion, 341

de Snell, 339

Metodo de imagenes, 203carga y esfera dielectrica, 218carga y esfera conductora, 215carga y medio dielectrico, 207, 209, 210carga y plano conductor, 204

Momento dipolar magnetico, 232, 277

Numeros, 7complejos, 61

Onda electromagneticadensidad de energıa, 316densidad de energıa transportada, 316en coordenadas rectangulares, 313fase del vector de onda complejo, 325fuerza media, 318momento lineal asociado, 316numero de onda, 312, 314numero de onda en medios dielectricos, 320,

323presion de radiacion, 318velocidad de la luz en medios dielectricos, 320velocidad en el vacıo, 311

Paramagnetismo, 278Permeabilidad

relativa del material, 278Potencia

carga puntual, 178disipada por una resistencia, 179radiada, 387

carga puntual, 392, 397carga puntual altas velocidades, 396carga puntual bajas velocidades, 391carga puntual con movimiento circular

uniforme, 402dipolo electrico oscilante, 408dipolo magnetico oscilante, 413

Potencialelectrostatico, 92, 352, 354

cable bifilar, 110de una distribucion discreta de cargas, 93dipolo electrico, 108distribucion continua de cargas, 97

escalar magnetico, 283, 351Lienard-Wiechert, 369

carga en movimiento, 371retardado, 357, 361, 366, 369

INDICE ALFABETICO 417

vectorial magnetico, 240, 266, 268, 352, 356,357

dipolo magnetico, 271esfera, 270

Principio de superposicion, 68, 76, 84, 204, 211, 225

Resistencia, 176Resistividad, 175, 176

Superficies equipotenciales, 90Susceptibilidad electrica, 188

Tensormetrico, 33de Levi-Civita, 43

Tensor de tensiones de Maxwell, 300Teorema

Gauss-Green-Ostrogradsky, 52Green, 50

Stokes, 55Tiempo

avanzado, 362retardado, 358

Torquedel dipolo electrico, 81

Vector, 8unitario, 8

Vector dedesplazamiento electrico, 186, 188–190excitacion magnetica, 277polarizacion, 184–186polarizacion electrica inducida, 330Poynting, 296, 298

Velocidadde fase, 331de grupo, 332

418 INDICE ALFABETICO

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