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Monopolos Magnéticos

Mariano Echeverría

16 de junio de 2013

Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 1 / 24

Inicios del Magnetismo

Figura : Lodestone, piedra magnetizada

Tales de Mileto en el siglo VI AC observó que tales piedras se atraían entresí y el hierro (acción a distancia)



Figura : Primeras Brújulas

South Pointer: primeras brújulas en China para la navegación y lograr laarmonía

Brújula portuguesa del siglo XV, navegación de Colón.



Figura : Movimiento Perpetuo y Magnetismo, Epistola de Magnete, PeterPeregrinus 1269

Propone la idea de que un imán posee polos y las reglas de interacción entre ellos.Propone una máquina de movimiento perpetuo que funcionaría usando una ruedadentada que serían atraídos y repelidos constantemente por los polos del imán(modelo para entender el movimiento de los planetas)Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 4 / 24

De Magnete

Figura : Portada del libro De Magnete, William Gilbert, Edición 1628

Ridiculiza varias de las creencias medievales sobre los poderes de losimanes, e.g, detección del adulterio y poderes curativos por la ausenciade evidencia empírica


Seis Partes De Magnete

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"

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1 Resumen histórico del magnetismo y las teorías sobre el magnetismoterrestre

2 Diferencias entre la electricidad y el magnetismo, argumentos contra elmovimiento perpetuo

3 Experimentos terrella

4 Declinación (variación entre el norte geográfico y el magnético)

5 Diseño de Instrumentos Magnéticos

6 Teoría magnética del movimiento estelar y terrestre


De Magnete y la Terella

Figura : Terella de William Gilbert

Propuso que la Tierra actúa como un gran imán con dos polos

Contrastó los efectos magnéticos con los eléctricos conocidos para laépoca (división electricidad-magnetismo)


Efluvio Espiral

Figura : Efluvio Espiral, Descartes, 1643

Concibió un vórtice de fluido de materia alrededor de cada imán, demanera que saliera por un polo y regresara por el otro.

Actuaría sobre el hierro por virtud de una resistencia especial delmovimiento que poseen tales sustancias (acción por contacto)


Acción a Distancia

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1 Fuerza Gravitacional de Newton: De la forma 1

r2 para la atracciónentre masas

2 Fuerza de Coulomb: De la forma 1

r2 para la atracción-repulsión entrecargas eléctricas

3 Fuerza de Michell-Colomb: De la forma 1

r2 para la atracción-repulsiónentre “polos” magnéticos


Magnetismo y Electricidad

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Experimento de Oersted (1820) : una corriente eléctrica afecta a unabrújula

Experimento de Ampère (1826) : dos cables con corrientes eléctricasdeberían ser capaces de repelerse o atraerse tal como lo hacen losimanes. Magnetismo como corrientes amperianas.

Experimento de Faraday (1831): un imán produce una corriente.Motor homopolar.


Faraday y las Líneas de Campo

Visualizar el espacio permeado por campos (acción local)

Las interacciones (fuerzas) son mediadas por los campos y no ocurreninstantáneamente

Visualizar el campo a través de las líneas de campo, es decir, líneasque cuya dirección tangente señala la dirección del campo

Comparar el campo electromagnético como una forma de fluido


Ecuaciones de Maxwell en el Vacío y Dualidad

%

&

'

(

! · B = 0 !" E +!B

!t= 0 (1)

! · E = 0 !" B #!E

!t= 0 (2)

)*

+,E = B B = #E (3)


Ecuaciones de Maxwell y Dualidad

%

&

'

(

! · B = 0 !" E +!B

!t= 0 (4)

! · E = "e !" B #!E

!t= je (5)

%

&

'

(

! · B = "m !" E +!B

!t= #jm (6)

! · E = "e !" B #!E

!t= je (7)

)*

+,E = B B = #E "e = "m "m = #"e j̄e = jm j̄m = #je (8)


Potencial Vectorial y Escalar

Para las ecuaciones de Maxwell sin monopolos magnéticos se puedetomar

-.

/0B = !" A E = #!##

!A

!t(9)

Escribe los campos de esta forma hace que se satisfaganautomáticamente dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell

No hay una única pareja de potenciales A,# que sirven, de hecho1

2

3

4Simetría Gauge:

A #$ A +!f # #$ ##!f

!t(10)


Monopolos Magnéticos y Mecánica Cuántica

En principio no hay ninguna contradicción con la electrodinámicaclásica el postular monopolos

Sin embargo, si B se escribe como !" A entonces se obtieneautomáticamente que ! · B = 0

En la Mecánica Cuántica la ecuación de Schrödinger se expresautilizando el potencial vectorial directamente

i!!$

!t=

1

2m(i"!+ qA)2 $(x , y , z , t) (11)

Esto sugiere que en la Mecánica Cuántica sería imposible tenermonopolos magnéticos, sin embargo, ¡Dirac encontró una forma deevitar tal conclusión!


Monopolos Magnéticos y el Dirac String

Considere un monopolo magnético de carga g , es decir,

B =g

"2e! (12)

Figura : Esfera y coordenada esféricas



No existe un campo vectorial A sobre R3 \ {(0, 0, 0)} de modo queB = !" A pues por Stokesˆ ˆ

S

B · dS =

ˆ ˆ

S+(!" A) ·dS+

ˆ ˆ

S!

(!" A) ·dS =

˛

A ·d r#

˛

A ·d r = 0

(13)

mientras que un cálculo sencillo (Ley de Gauss para monopolos)mostraría que

ˆ ˆ

B · dS = 4%g (14)

De hecho, hay requisitos topológicos para garantizar la existencia deun potencial vectorial: el primer y segundo grupo fundamental delespacio debe ser trivial, es decir, todos los lazos y todas las esferasdeben poder encongerse a un punto



Considerar U!= R3 \ eje z positivo. Existe un potencial vectorial A

!

A!(",&, ') = #

g

" sin&(1 + cos&) e" (15)

Considerar U+ = R3 \ eje z negativo. Existe un potencial vectorial A+

A+ (",&, ') =g

" sin&(1 + cos&) e" (16)

Tales potenciales presentan singularidades sobre una cuerda, de ahí elnombre Dirac String.


Cuantización de la Carga

Fuera del eje z se tiene

A+ # A!=

2g

" sin&e" = ! (2g') (17)

y por la libertad gauge se consideran equivalentes.

Si se toma una partícula de carga q que está bajo la influencia delcampo magnético del monopolo, entonces

$+ = e i(2gq")$!

(18)

donde $+,$!son las soluciones respectivas a la ecuación de

Schrödinger. Como difieren en una fase, describen el mismo estado.


Cuantización de la Carga

Si se realiza una rotación, es decir, ' #$ ' + 2% la relación entre lasfunciones de onda deberían preservarse, es decir, como

$+ = e i(2gq")$!

(19)

debe tenerse que

$+ = e i(2gq("+2#))$!= e i(2gq")e i(4gq#)$

!(20)

Esto implica quee i(4qg#) = 1 (21)

obteniendo la cuantización de Dirac

qg =n

2n entero (22)


Características de los Monopolos Magnéticos

La existencia de un monopolo magnético en todo el universo implicaríala cuantización de la carga eléctrica

Tal cuantización se puede obtener de la cuantización del momentoangular o bien de pedir que en el experimento Aharonov-Bohm nohubiera patrón de interferencia (tomando el string como un solenoideinfinito)

Las cargas son inversamente proporcionales y el acoplamiento entremonopolos magnéticos sería cerca de 104 más intenso que el de lascargas eléctricas

Recuperaría la simetría de las ecuaciones de Maxwell


Monopolos Magnéticos en las Teorías Modernas

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Aparecen como predicciones en las Teorías de Gran Unificación(GUT), por ejemplo, los monopolos de t’Hooft Polyakov

Aparecen por razones topológicas (topological charges)

Aparecen en Teoría de Cuerdas, Kalb-Rammond Field

La dualidad de Montonen-Olive es una simetría que generaliza lassimetrías de las ecuaciones de Maxwell que involucra un intercambiode los papeles de las cargas eléctricas y magnéticas


Estatus Actual de los Monopolos Magnéticos

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Intentar crearlos en aceleradores de partículas

Detectarlos en rayos cósmicos

Debido al fuerte acoplamiento, serían fáciles de detectar

MoEDAL: Monopoles and Exotic Detectors at the LHC

MACRO: Monopoles, Astrophysics and Cosmic Ray Laboratory

Monopolos Magnéticos Artificiales(http://www.thp.uni-koeln.de/rosch/Research.html)


http://www.thp.uni-koeln.de/rosch/Research.html

Muchas Gracias


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