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Banda prohibida de energa en el silicio - L. Sigauta y P. Knoblauchb- UBA 2001 1
Determinacin de la banda prohibida de energa en el silicio
Lorena Sigauta
y Pablo Knoblauchb
Laboratorio 5 Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos Aires
Octubre de 2001
La existencia de un rango prohibido de energa (band-gap) entre las bandas devalencia y de conduccin es esencial para la explicacin de las caractersticaselctricas de los semiconductores.
Este es un simple experimento para determinar el band-gap a temperatura 0K, de un
cristal de silicio con impurezas de boro, de caras paralelas y de forma arbitraria. Sebasa en la dependencia de la resistividad del Si con la temperatura, dando resultados
satisfactorios. Para la determinacin de la resistividad se utilizan el mtodo de lascuatro puntas y se anulan los potenciales de contacto.
I. Introduccin
Una caracterstica notable de algunosmateriales es que tienen una alta resistividadelctrica y que al aumentar la temperatura la
misma decrece, a diferencia de lo que seobserva en los metales. Estos materiales son
llamados semiconductores y se puedenestudiar sobre la base de la teora de bandas.
Teora de bandas1
En 1930, se desarroll la teora de lasbandas de energa de los slidos. En vez de
considerar niveles discretos de energa en uncristal, dado su gran nmero, se consideraron
bandas de energa. Los diversos niveles de
valencia conforman la banda de valencia ylos primeros niveles de excitacin estnenglobados en la banda de conduccin.
Ambas bandas estn separadas por unintervalo de energa prohibida (llamadoBand-gap) que corresponde a la energa quedebe recibir un electrn de la banda de
valencia para pasar a la banda de conduccin.En los materiales aisladores, el intervalo esgrande, mientras que en los semiconductores
es relativamente estrecho. En los conductores
las bandas de valencia y de conduccin sesolapan en la realidad (fig 1).
Figura 1:ancho relativo de las bandas prohibidasde energa en los aisladores, semiconductores y
conductores.
La capa de valencia de un tomo de
silicio contiene cuatro electrones de valencia.Cuando se encuentra en su forma cristalina,
los electrones de valencia de un tomo sealinean con los electrones de valencia de lostomos adyacentes formando enlaces
covalentes (pares de electrones compartidos).A bajas temperaturas, esta
disposicin forma una estructuracompletamente rgida, ya que todos los
electrones de valencia estn ligados en losenlaces covalentes. Por lo tanto, mientras quelos enlaces permanezcan intactos el silicio se
comporta como un aislante.
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Al aumentar la temperatura la
resistencia hmica del material disminuye. Elaumento de temperatura comunica a algunos
electrones la energa suficiente para saltar a labanda de conduccin, donde se comportancomo portadores de corriente al estar bajo la
influencia de un campo elctrico. Pero a su
vez, el electrn que pas de banda deja un
nivel vaco lo que permite que los electronesde la banda de valencia se aceleren, se generaentonces otro tipo de portador de corriente: el
hueco, que tiene igual carga que el electrnpero opuesta, ver figura 2.
Figura 2: representacin esquemtica de un
cristal de Si puro, en dos dimensiones, ilustrandolos enlaces covalentes entre tomos. En verde la
ruptura de un enlace covalente que produce un
electrn y un hueco.
Obsrvese que los huecos sedesplazan en la banda de valencia y ante la
presencia de un campo elctrico sonarrastrados hacia el terminal negativo;
mientras que los electrones se mueven en labanda de conduccin y son atrados por elterminal positivo.
Este tipo de conduccin, que implicala generacin de pares electrn-hueco, se
denomina conduccin intrnseca y es amenudo indeseable.
La conductividad del silicio
aumentar si aumenta el nmero deportadores. Se podra controlar la
conductividad del silicio rompiendo enlaces
covalentes pero se debera suministrar grancantidad de energa para romperlos y se
generara ambos tipos de portadores.
Otra manera de aumentar la
conductividad del silicio es el agregado deimpurezas. Por un proceso de dopaje, se
introduce en muy poca cantidad (1 tomo deimpureza por 10
7 tomos de silicio), algn
tipo de tomo pentavalente (cinco electrones
de valencia) como el arsnico el fsforo o
antinomio. Cada tomo de arsnico, por
ejemplo, estar rodeado por cuatro de silicioy formar cuatro enlaces covalentesquedndole un electrn de valencia
dbilmente ligado al arsnico (fig. 3-a). Lasventajas de este mtodo son que se requiere
muy poca energa para desplazar al quintoelectrn de valencia a la banda de
conduccin, y por otro lado, que no segenerar ningn hueco en la banda de
valencia, obteniendo as un solo tipo de
portador. Este silicio rico en electrones sellama de tipo N y las impurezas
pentavalentes, tomos donadores. Lapresencia de estos tomos donadores tienen elefecto de crear una estrecha banda de energa
permitida debajo de la banda de conduccin,ver figura 3-b.
Figura 3: a) la introduccin de un tomo
pentavalente en el cristal de Si produce un
electrn dbilmente ligado sin que aparezca unhueco. b) los iones donadores crean un nivel de
energa desde el cual los electrones se excitan con
mayor facilidad a la banda de conduccin.
De la misma forma, si se dopa alsilicio con un material trivalente como elindio, el aluminio o el galio, es posiblegenerar silicio tipo P, rico en huecos. En este
caso la impureza, llamada tomos aceptores,
tiene un enlace covalente incompleto, o sea
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pne efn +=
un hueco (fig.4-a). Aqu tenemos abundancia
de cargas libres positivas, de ah se llama tipoP. La presencia de los tomos aceptores
tienen el efecto de crear un estrecho nivel deenerga permitida justamente por encima dela banda de valencia (fig. 4-b).
Figura 4: a) la introduccin de un tomo
trivalente en el cristal de Si genera un hueco. b)los iones aceptores crean un nivel de energa que
puede ser alcanzado con mayor facilidad por los
electrones de la banda de valencia.
II. Desarrollo terico
La conductividad de un material conun solo tipo de portadores de carga puedeexpresarse como:
Donde, q es la carga de los portadores, sumovilidad y n la densidad de los mismos. Lamovilidad se define como el cociente entre lavelocidad media de los portadores y el campo
elctrico que los acelera.Como vimos en la seccin anterior,
un semiconductor posee dos tipos deportadores de carga, los positivos (huecos) y
los negativos (electrones libres). En particularel silicio tiene tres tipos de huecos portadores,
adems de los electrones, por lo tanto en estecaso la conductividad se escribe como:
(1)
Donde e es la carga de los portadores, efes
un promedio pesado de la movilidad de los
tres tipos de huecos y p la densidad de los
mismos.Para esta experiencia se utiliz silicio
hiperpuro con impurezas de boro que estrivalente. A temperatura ambiente, lamuestra es de tipo p, o sea la densidad de
huecos es mayor a la de electrones por lo quela variacin de conductividad se debe
principalmente a la variacin de la movilidad
de los huecos, esta es la llamada zonaextrnseca. Pero a medida que se eleva la
temperatura los electrones van adquiriendo laenerga necesaria para pasar a la banda de
conduccin, lo que hace que las densidadesde los distintos portadores se vayanequiparando. Esta zona se denomina
intrnsecay en el silicio comienza a partir delos 200K aproximadamente
2. En esta regin
puede probarse que3:
(2)
Como adems el grado de impurezas
en la red no es muy alto (aprox. 1 tomo de B
por cada 10
13
de Si), la movilidad a altastemperaturas (superiores a 400K) estar
principalmente determinada por la dispersin
de los portadores de carga debido aoscilaciones acsticas de la red (scattering
por fonones acsticos), por lo tanto en estecaso:
(3)
Combinando las ecuaciones 1, 2 y 3
se obtiene:
(4)
Donde K vara con la temperatura pero sepuede considerar constante frente a la
variacin del factor exponencial, siempre y
cuando Eg>>kBT.
En principio, si se linealiza la
ecuacin 4 y se grafica en la zona intrnseca,se obtendra una recta con pendiente igual alvalor del band-gap.
nq=
kTEgeTpn223
kTEgKe2
=
23, Tefn
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III. Procedimiento Experimental
Para medir la conductividad de una
muestra de Silicio hiperpuro con impurezasde Boro (aprox. 1 tomo de B por cada 1013
de Si) de geometra plano-paralela, utilizamosel mtodo denominado cuatro puntas: seinyecta una corriente por dos electrodos y se
mide la diferencia de potencial entre los otros
dos. En nuestro caso utilizamos una fuenteregulada de tensin.
Primero, colocamos la muestra conlos contactos hechos en tungsteno (a altastemperatura mantiene su elasticidad) sobre un
portamuestras de acero aislado de la muestra
con lminas de mica. Luego, este dispositivolo introdujimos dentro de un horno elctrico,
para trabajar en un rango de temperaturasmayores a 400K (zona intrnseca delmaterial). La temperatura la controlamos con
un termostato y la medimos con unatermocupla, ver figura 1.
Figura 5: Arriba, esquema del
dispositivo. A la derecha,
muestra con los terminales.
Medimos la cada de tensin entredos terminales y la corriente que circula entrelos otros dos para diferentes temperaturas
dentro de un rango de 425K a 620K.Con estos valores, obtenemos la
resistencia entre los electrodos (fig 5,derecha) de la siguiente forma:
RAD,CB= VCB/IAD y RBD,AC = VAC/IBD
Y con esto, podemos calcular numricamente
la resistividad (que es la inversa de laconductividad) utilizando la expresin4:
(5)
Donde d es el espesor de la muestra y es la
resistividad.Pero hay que tener una consideracin
importante: los potenciales termoelctricos y
de contacto (VTyC). Para medir el valor real detensin sobre la muestra (VMuestra), hay que
promediar los valores de tensin obtenidospor los multmetros (VMult) en uno y otro
sentido de la corriente aplicada, o sea:
VMult(I) = VMuestra+ VTyC
VMult(-I) = -VMuestra + VTyC
Para anular el efecto de los potenciales VTyC,restando las ecuaciones anteriores:
VMuestra= [VMult(I) VMult(-I)]/2
IV. Anlisis de los Resultados
Una vez que hallamos el valor
numrico de la resistividad5, resolviendo la
ec. 5, calculamos la conductividad ( =
1/). Luego, graficamos ln() en funcin de
1/2kBT. El resultado se muestra en la figura 6.
Figura 6: Grfico del ln() vs 1/2kBT
1ee !d"R
!
d"R DABC,CBAD,
=+
-14 -13 -12 -11 -10 -9
-14 -13 -12 -11 -10 -9
-3
-2
-1
0
1
2
3
ln()
-1/2kBT
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Ajustamos los datos de la figura 6 por
una recta de la forma. y = A + B*x. Losvalores de las constantes son:
A = (13,3 0,2)
B = (1,153 0,015)
Para todos nuestros clculosconsideramos que el Band-Gap no vara con
la Temperatura. Pero si suponemos que
Eg= Eg(0) T
donde Eg(0) es la extrapolacin de la banda
de energa a temperatura cero y una
constante independiente de la temperatura,reemplazamos en la ec. 4 y tomamos el
logaritmo natural, obtenemos:
ln() = [ ln(K) + /2kB] Eg(0)/2kBT
Esto nos dice que la pendiente de la recta es
el Band-gap de energa a temperatura cero.
Eg(0) = (1,153 0,015) eV
V. Conclusiones
El valor calculado del band-gap a
temperatura cero es muy prximo al valorencontrado en la bibliografa: Eg (0) = 1,17eV2.
Vemos en la figura 6 que se verifica
la relacin lineal entre el ln() y 1/2kBT.Descartamos los datos de temperaturas
menores a 425K (que se apartan del rgimenlineal), ya que no pertenecen a la zona
intrnseca del semiconductor.
En cuanto al desarrollo experimental,se decidi que la adquisicin de datos en
forma manual era la ms confiable. Cabedestacar la importancia del termostato, ya que
permiti mantener una temperaturaaproximadamente constante al realizar todaslas mediciones necesarias para calcular laresistividad.
Otro mtodo para determinar el valorde band-gap en los semiconductores esmediante la utilizacin de transistores de
germanio o silicio6. En este caso las
mediciones se realizan a temperaturasinferiores a la ambiental (300K aprox.)
llegando a la temperatura del nitrgenolquido (77K aprox.) por lo cual requiere dela preparacin de diferentes baos trmicos.
Por otra parte, el mtodo utilizado en
esta experiencia es muy sencillo, no requiere
de elementos sofisticados y es un buenejemplo para ilustrar la teora de bandas en
los semiconductores.
1 recopilacin basada en los libros: P. Cutler,
Anlisis de circuitos con semiconductores,
McGraw-Hill, (1978), cap. 1; E. M. Purcell,
Electricidad y magnetismo, segunda edicin,
berkeley physics course-volumen 2, editorial
revert, (1988), p 139-1432 Ashcroft y Mermin , Solid State Physics,
international edition, Saunders College
Publishing, (1976), el valor se encuentra en la
tabla 28.1, p. 566.3 Ch. Kittel, Introduccin a la fsica del estado
slido, tercera edicin, editorial Revert, (1998).
Cap 8, en especial p. 242-246.4Se utiliz la tcnica de van der Pauw para medir
la resistividad. Para mayor informacin:
L. J. Van der Pauw, A method of measuring
specific resistivity and hall effect of discs of
arbitrary shape, Philips Res. Rep. 13, 1-9(1958).
D. K. De Vries y A. D. Wieck, Potencial
distribution in de van der Pauw technique,Am.
J. Phys. 63(1995), p.1074.5 Para efectuar el clculo numrico se utiliz el
Maple.6 Para mayor informacin de los experimentosbuscar en:
P. Collings, Simple measurement of the bandgap in silicon and germanium, Am. J. Phys. 48
(1980), p. 197.
L. Kirkup y F. Placido, Undergraduate
experiment: determination of the band gap in
silicon and germanium, Am. J. Phys. 54 (1986),p. 918.