at00065503 01 t01 pdmat1bachcc · 70 solucionario © grupo editorial bruño, s.l. 1 los números...

BLOQUE I

Aritmética y álgebra1. Los números reales2. Álgebra

70 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

1 Los números reales

! Piensa y calcula

Calcula mentalmente el volumen de un cubo de arista 2 m y escribe el valor exacto de la arista de uncubo de volumen 2 m3

Solución:V = 23 = 8 m3 a = 3!—

2 m

1. Números racionales e irracionales

1. Clasifica los siguientes números como racionales o irra-cionales:a) 5/3 b) " c) d) 1,23456…

2. Escribe cinco números racionales.

3. Escribe cinco números irracionales.

4. Escribe tres números racionales comprendidos entre 1/3y 1/2

5. Representa gráficamente, de forma exacta:a) b)

6. Representa gráficamente, de forma aproximada:a) b) e c) d)

7. Calcula:

a) 3 – + b) – ·

c) : ( – 7) d) ( – 2 + )38

56

43

85

43

56

23

54

56

23

Solución:a)

b)

c)

d)

5!3003!25!19

Solución:a)

b)

!13!10

Solución:5 3 11–, –,–12 8 24

Solución:

!—2, – !—

3, 5!—7, ", e

Solución:2 4 19, – 5, –, ––, ––3 7 8

Solución:a) Racional. b) Irracional.c) Irracional. d) Irracional.

!2

" Aplica la teoría

10 2 4

10 1013

3

10 2 4

1313

23

3

0 1 2 3 4 5

4,36

0 1 2 3 4 5

2,72

0 1 2 3 4 5

2,92

0 1 2 3 4 5

3,13

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES 71

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

8. Halla de forma exacta la diagonal de un cuadrado de la-do 1 cm y escribe qué tipo de número es.

9. Un rectángulo mide de largo x y de alto 1; por un ladole cortamos un cuadrado de lado 1, y se obtiene un rec-tángulo semejante.a) ¿Cuánto mide x?b) ¿Qué número conocido es x?c) ¿x es racional o irracional?

Solución:

x 1 1 + !—5 1 – !—

5a) – = ––– # x = ––––, x = ––––1 x – 1 2 2

1 – !—5La solución negativa x = –––– no tiene sentido.

21 + !—

5La solución es x = ––––2

b) Es el número áureo de oro.c) Es irracional.

Solución:

!—2 cm Es un número irracional.

Solución:a)19/6 b) 25/36 c) – 20/81 d) – 19/18

x 1

1 1

x – 1

! Piensa y calcula

Representa en la recta real, de forma aproximada, los números y = 2,64575131…

Solución:

!734

2. La recta real

0 1

3/4 !7

10. Representa en la recta real los siguientes pares de nú-meros y calcula la distancia que hay entre ellos.a) –3 y 2 b) –2,5 y 3,7

11. Escribe en forma de desigualdad y representa gráfica-mente los siguientes intervalos, y clasifícalos:

a) [2, 5) b) (–2, 1) c) (–3, +@) d) (– @, 3]

Solución:a) {x $ !; 2 Ì x < 5}

Intervalo semiabierto o semicerrado.b) {x $ !; – 2 < x < 1}

Intervalo abierto.c) {x $ !; x > – 3}

Semirrecta, intervalo abierto.d) {x $ !; x Ì 3}

Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado.

Solución:a)

d(– 3, 2) = |2 – (– 3)| = 5b)

d(– 2,5; 3,7) = |3,7 – (– 2,5)| = 6,2

" Aplica la teoría

0 1

2– 3

0 1

3,7– 2,5

0 1

52

0 1

1– 2

0 1

– 3

0 1

3– @

15. Añade tres términos en cada una de las sucesiones si-guientes:a) 3, 7, 11, 15, … b) 5, 10, 20, 40, …c) 1, 4, 9, 16, 25, … d) 1, – 3, 5, – 7, 9, …

16. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientessucesiones:a) an = 2n b) an = 2n + 3

c) an = (– 1)n (n + 1) d) an = 3( )n

Solución:a) 2, 4, 8, 16b) 5, 7, 9, 11c) – 2, 3, – 4, 5

3 3 3 3d) –, –, –,–2 4 8 16

12

Solución:a) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …b) 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …d) 1, – 3, 5, – 7, 9, – 11, 13, – 15, …

" Aplica la teoría

72 SOLUCIONARIO

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rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

12. Escribe los intervalos que se representan en los si-guientes dibujos:a)

b)

13. Representa gráficamente los siguientes entornos:a) E(4, 1) b) E*(–3, 2) c) E*(2, 3) d) E(–2, 3)

14. Escribe los entornos que se representan en los siguientesdibujos:a)

b)

c)

d)

Solución:a) E(1, 4) b) E*(0, 3) c) E(– 3, 2) d) E*(3, 3)

Solución:a)

b)

c)

d)

Solución:a) (– @, –1) b) [1, 5]

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

– 5 0 1

– 2

– 1 0 1 5

2

– 5 – 1 0 1

– 3

0 1 3 5

4

! Piensa y calcula

Escribe tres términos más en las siguientes sucesiones:a) 2, 6, 10, 14, … b) 1, 2, 4, 8, … c) 3, – 3, 3, – 3, … d) 1, 1, 2, 3, 5, …

Solución:a) 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, … b) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … c) 3, – 3, 3, – 3, 3, – 3, 3, … d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

3. Sucesiones de números reales


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17. Halla el término general de las siguientes sucesiones:a) 2, 4, 6, 8, 10, …b) 1, 4, 9, 16, 25, …

18. Representa los primeros términos de las siguientes su-cesiones e indica el valor al que tienden:

a) an = b) an = n2

c) an = d) an = (– 1)n n

c)

2n + 1lím –––– = 2n%+@ n

d)

No existe el lím (–1)nnn%+@

Los valores de la sucesión oscilan de negativo a positi-vo en cada término haciéndose cada vez más grandesen valor absoluto.

Solución:a)

1lím – = 0n%+@ n

b)

lím n2 = + @n%+@

2n + 1n

1n

Solución:a) an = 2n b) an = n2

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

! Piensa y calcula

Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:a) = x b) = 10 c) = 2 d) = x

Solución:a) x = 2 b) x = 10 000 c) x = 5 d) x = ± 3

4!81x!324!x3!8

4. Radicales y operaciones

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19. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los si-guientes radicales:

a) b) c) d)

20. Escribe en forma de radical las siguientes potencias:a) 73/4 b) 5–1/4 c) 3–5/7 d) 21/3

21. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:

a) b) c) d)

22. Extrae mentalmente todos los factores que se puedaen los siguientes radicales:a) b) c) d)

23. Suma los siguientes radicales:a) 5 – 3 + b) 4 + – 2

24. Opera los siguientes radicales:a) · b) · c) : d) :

25. Las expresiones que están como potencia pásalas a ra-dical y las que están como radical pásalas a potencia:

a) ( )2 b) c) d) ( )2

26. Expresa con un solo radical las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

27. Racionaliza las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

28. Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden5 m, 4 m y 3 m

Solución:

!—52 +—42 + 32 = 5 !—

2 = 7,07 m

Solución:5 !—

3 75!—132

a) –– b) –––3 13

5 (!—7 – !—

3 )c) ––––– d) 7 – 4 !—

34

2 – !32 + !3

5!

—7 + !

—3

75!133

5!3

Solución:

a) 4!—5 b) !—

2

c) 6!—7 d) 12!—

5

3!4!—5!3!

—7

3!!—8!!

—5

Solución:

a) 5!—

72 b) (3!—6 )5

c) (4!—5 )3 d)

7!—52

7!54!533!655!7

Solución:

a) 2 3!—30 b) 2 5!—16

c) 3!—2 d) 5!—3/4

5!165!123!63!12

5!645!83!123!20

Solución:

a) 7 !—2 b) 7 3!—

5

3!1353!6253!40!98!50!18

Solución:

a) 3 !—2 b) 2 !—

5

c) 3 !—3 d) 6 !—

2

!72!27!20!18

Solución:a) 52/7 b) 11– 5/6

c) 31/5 d) 2– 1/3

13!2

5!316!115

7!52

Solución:1 1a) 4!—

73 b) –– c) –– d) 3!—2

4!—5

7!—35

Solución:a) ± 2 b) – 5c) No tiene solución real. d) 2

5!32!–253!–125

4!16

" Aplica la teoría


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29. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:a) 26 = x b) x5 = 32 c) 2x = 128d) 106 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000

30. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:a) log2 32 b) log3 1 c) log5 1/25 d) log 100

31. Calcula mentalmente la parte entera de los siguienteslogaritmos:a) log2 50 b) log3 36c) log5 98,75 d) log 5 678,24

32. Utilizando la calculadora,halla los siguientes logaritmos:a) log 725,263 b) log 0,00356c) L 24,6845 d) L 0,000765

33. Sabiendo que log 2 = 0,3010 y aplicando las propieda-des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmossin utilizar la calculadora:a) log 4 b) log 5 c) log 8 d) log

34. Utilizando la calculadora y las propiedades de los loga-ritmos, halla:a) log 2,517 b) log 0,0234–25

c) log d) log

35. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de ba-se, halla los siguientes logaritmos y redondea los resul-tados a cuatro decimales:a) log2 51,27 b) log3 8,431c) log5 0,034 d) log7 1 000

Solución:a) 5,6800b) 1,9406c) – 2,1010d) 3,5499

Solución:a) 6,7650b) 40,7696c) 0,3879d) – 0,1676

6!0,09875!87,012

Solución:a) log 4 = log 22 = 2 log 2 = 0,6020b) log 5 = log 10/2 = 1 – log 2 = 0,6990c) log 8 = log 23 = 3 log 2 = 0,9030

1 1d) log !—5 = – log 5 = – 0,699 = 0,3495

2 2

!5

Solución:a) 2,8605b) – 2,4486c) 3,2062d) – 7,1756

Solución:a) 5 b) 3c) 2 d) 3

Solución:a) 5 b) 0c) – 2 d) 2

Solución:a) x = 64 b) x = 2c) x = 7 d) x = 1 000 000e) x = 10 f) x = 3

" Aplica la teoría

! Piensa y calcula

Halla el valor de x en los siguientes casos:a) 23 = x b) x3 = 125 c) 2x = 32 d) 103 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000 000

Solución:a) x = 8 b) x = 5 c) x = 5 d) x = 1 000 e) x = 10 f) x = 6

5. Logaritmos

76 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas1. Números racionales e irracionales

36. Clasifica los siguientes números como racionales o irra-cionales:

a) b) c) e d)

37. Escribe tres números racionales comprendidos entre

y

38. Representa gráficamente de forma exacta:

a) b)

39. Representa gráficamente de forma aproximada:

a) b) "

c) d)

40. Calcula:

a) + 2 – b) – ·

c) : ( – 5 + ) d) ( – 3 + )

41. Halla de forma exacta la arista de un cubo de volumen 5 cm3 y escribe qué tipo de número es.

2. La recta real

42. Representa en la recta real los siguientes pares de nú-meros y calcula la distancia que hay entre ellos.a) –5 y –2 b) –2,4 y 3,5

43. Escribe en forma de desigualdad y representa gráfica-mente los siguientes intervalos, y clasifícalos:a) (–1, 3] b) [–2, 1]c) [2, + @) d) (–@, –1)

Solución:a) {x $ !; – 1 < x Ì 3}

Intervalo semiabierto o semicerrado.b) {x $ !; – 2 Ì x Ì 1}

Intervalo cerrado.c) {x $ !; x & 2}

Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado.d) {x $ !; x < – 1}

Semirrecta, intervalo abierto.

Solución:a)

d(– 5, – 2) = |– 2 – (– 5)| = 3b)

d(– 2,4; 3,5) = |3,5 – (– 2,4)| = 5,9

Solución:3!—

5 cm es un número irracional.

Solución:a) 47/24 b) – 1/24 c) – 9/52 d) – 85/72

136

18

53

12

16

34

76

34

56

512

38

Solución:a)

b)

c)

d)

5!1003!50

!13

Solución:a)

b)

!34!5

Solución:1 9 11–,–,–2 20 20

35

25

Solución:a) Irracional. b) Racional.c) Irracional. d) Racional.

!2537!3

10 2 4

12

3

55

10 2 4

3

53 5 6

34

34

0 1 2 3 4 5

3,61

0 1 2 3 4 5

3,14

0 1 2 3 4 5

3,68

0 1 2 3 4 5

2,51

0 1

– 2– 5

0 1

3,5– 2,4

0 1

3– 1

0 1

1– 2

0 1

2

0 1

– 1


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toria

l Bru

ño, S

.L.

44. Escribe los intervalos que se representan en los siguien-tes dibujos y clasifícalos:a)

b)

c)

d)

45. Representa gráficamente los siguientes entornos:a) E*(3, 2) b) E(–1, 3)c) E(1, 2) d) E*(–2, 1)

46. Escribe los entornos que se representan en los siguien-tes dibujos:a)

b)

c)

d)

3. Sucesiones de números reales

47. Añade tres términos en cada una de las sucesiones si-guientes:

a) , , , , … b) 5, –7, 9, –11, 13, …

c) 3, 1, –1, –3, –5, … d) 2, 5, 10, 17, …

48. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientessucesiones:

a) an = 5 +

b) an = 2n + 1c) an = (–1)n n(n + 1)

d) an =

49. Halla el término general de las siguientes sucesiones:a) 1, 3, 5, 7, 9, …

b) , , , , …

50. Representa los primeros términos de las siguientes su-cesiones e indica el valor al que tienden:

a) an = 2 + b) an = 1 + 2n – n2

c) an = d) an = 3 + (–1)n

Solución:a)

1lím (2 + –) = 2n%+@ n

1n

n + 1n2

14

1n

Solución:a) an = 2n – 1

1b) an = ––3n – 1

111

18

15

12

Solución:a) 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001; …b) 3, 5, 7, 9, …c) – 2, 6, – 12, 20, …

1 1 3d) ––, –, –, 1, …2 3 4

2n – 3n + 1

110n

Solución:1 1 1 1 1 1 1a) –, –, –, –, –, –, –, …2 3 4 5 6 7 8

b) 5, – 7, 9, – 11, 13, – 15, 17, – 19, …c) 3, 1, – 1, – 3, – 5, – 7, – 9, – 11, …d) 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, …

15

14

13

12

Solución:a) E(2, 3) b) E*(1, 4) c) E*(– 3, 2) d) E(3, 3)

Solución:a)

b)

c)

d)

Solución:a) (– 3, + @) semirrecta, intervalo abierto.b) (– 3, 4) intervalo abierto.c) (– @, 4] semirrecta, intervalo semiabierto o semice-

rrado.d) [– 4, – 1) intervalo semiabierto o semicerrado.

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

03 5

1

– 4 0– 1

1 2

– 1 011 3

– 3 – 1 0– 2

1

Y

X

78 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas

4. Radicales y operaciones

51. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los si-guientes radicales:a) b) c) d)

52. Escribe en forma de radical las siguientes potencias:a) 5–2/3 b) 31/5 c) 23/4 d) 7–1/5

53. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:

a) b) c) d)

54. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda enlos siguientes radicales:

a) b) c) d)

55. Suma los siguientes radicales:

a) 4 – 2 –

b) 5 + 2 – 3

56. Multiplica los siguientes radicales:

a) · b) ·

57. Divide los siguientes radicales:

a) : b) :

58. Transforma los radicales siguientes. Los que están comopotencia pásalos a radical y los que están como radicalpásalos a potencia:

a) ( )2 b) c) d) ( )5

59. Expresa en forma de un solo radical las siguientes ex-presiones:

a) b) c) d)


a) b)

c) d)

Solución:2 !—

7 37!—

55 27 + 10 !—2a) –– b) ––– c) !—

5 + !—2 d) ––––––

7 5 23

5 + !25 – !2

3

!—5 – !

—2

37!52

2!7

Solución:

a) 4!—3 b) 2 c) 6!—

5 d) 12!—7

4!3!—7!3!

—5

3!!—64!!

—3

Solución:

a) 3!—

52 b) (5!—7 )2 c) (7!—

3 )5 d) 11!—135

11!137!355!723!5

Solución:

a) 5!—8 b) 6!—2/3

6!366!245!55!40

Solución:

a) 2 4!—90 b) 27!—

24

7!1287!164!244!60

Solución:

a) 3 !—3 b) 3!—

2

3!2503!543!16

!75!12!27

Solución:

a) 4 !—2 b) 3 !—

5 c) 5 !—2 d) 5 !—

3

!75!50!45!32

Solución:a) 73/5 b) 11– 1/4 c) 51/3 d) 3– 5/7

17!35

3!514!11

5!73

Solución:1 1a) –– b) 5!—

3 c) 4!—23 d) ––

3!—52 5!—

7

Solución:a) ± 5 b) No tiene solución real. c) – 2 d) 3

5!2437!–1284!–814!625

b)

1lím (1 + 2n – – n2) = – @n%+@ 4

c)

n + 1lím ––– = 0n%+@ n2

d)

1lím (3 + (–1)n– ) = 3n%+@ n

Y

X

Y

X

Y

X


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5. Logaritmos

61. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:a) 33 = x b) x3 = 125 c) 3x = 81d) 103 = x e) x2 = 100 f) 10x = 1 000 000

62. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log2 1 b) log3 c) log5 25 d) log 0,0001

63. Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes lo-garitmos:a) log2 27 b) log3 52,6c) log5 18,27 d) log 78,24

64. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmosy redondea los resultados a cuatro decimales:

a) log 86,233 b) log 0,0874c) L 765,023 d) L 0,01234

65. Utilizando la calculadora y las propiedades de los loga-ritmos, halla los siguientes logaritmos y redondea los re-sultados a cuatro decimales:a) log 5,712 b) log 0,567–15

c) log d) log

66. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de ba-se, halla los siguientes logaritmos y redondea los resul-tados a cuatro decimales:a) log2 7,3456 b) log3 45,987c) log5 0,3054 d) log7 0,056712

Solución:a) 2,8769 b) 3,4847c) – 0,7370 d) – 1,4748

Solución:a) 9,0705 b) 3,6963c) 0,6348 d) – 0,3517

7!0,003454!345,98

Solución:a) 1,9357 b) – 1,0585c) 6,6399 d) – 4,3949

Solución:a) 4 b) 3 c) 1 d) 1

Solución:a) 0 b) – 2 c) 2 d) – 4

19

Solución:a) x = 27 b) x = 5 c) x = 4d) x = 1 000 e) x = ± 10 f) x = 6

Para ampliar67. ¿Qué números enteros tienen inverso entero?

68. Halla el opuesto y el inverso de:

a) b) –5

69. Clasifica los siguientes números como racionales o irra-cionales:

a) 5 – b) – c) " + e d)

70. Escribe en forma de intervalo las siguientes desigual-dades:a) 2 Ì x Ì 5 b) x > 3 c) –3 < x Ì 2 d) x < 4

71. Escribe en forma de entorno las siguientes desigual-dades:a) |x – 2| < 3 b) |x| < 2,5c) |x + 3| < 2 d) |x + 1| < 3,2

72. Representa gráficamente los conjuntos dados por las si-guientes expresiones:a) |x| = 3 b) |x| < 3 c) |x| Ì 3 d) |x| > 3

Solución:a) E(2, 3) b) E(0; 2,5)c) E(– 3, 2) d) E(– 1; 3,2)

Solución:a) [2, 5] b) (3, + @)c) (– 3, 2] d) (– @, 4)

Solución:a) Irracional. b) Racional.c) Irracional. d) Racional.

3!– 6435

37!3

Solución:a) El opuesto es – 2/3 y el inverso es 3/2b) El opuesto es 5 y el inverso es – 1/5

23

Solución:El 1 y el – 1; cada uno es inverso de sí mismo.

80. Halla de forma exacta la longitud de una circunferenciade diámetro 1 m. ¿Qué clase de número es?

81. La siguiente figura se co-noce con el nombre de tan-gram chino. Si el lado delcuadrado mide 1 m, hallael área de cada una de lasfiguras que lo componen.

82. Escribe el menor intervalo abierto,cuyos extremos seannúmeros enteros, que contenga al número "

83. La longitud de una finca rectangular es 15 m y el perí-metro es inferior a 50 m. ¿Qué valores puede tomar elancho de la finca?

Solución:(3, 4)

Solución:A = B = 1/4 m2

C = F = 1/16 m2

D = E = G = 1/8 m2

Solución:L = " mEs un número irracional.

80 SOLUCIONARIO

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73. Suma los siguientes radicales:

a) 3a – 5 + 7a

b) 7 + 5 – 2


a) b) c) d)

75. Calcula, aplicando la fórmula de cambio de base, los si-guientes logaritmos y redondea el resultado a cuatro de-cimales:a) log1/2 15,87 b) log1/3 345,769c) log1/5 0,0006 d) log0,1 0,005439

Con calculadora

76. Halla con la calculadora el valor de los siguientes núme-ros redondeando a 5 cifras:

a) " b) e c) ' = d)

77. Halla el valor de los siguientes resultados y redondea elresultado a cinco decimales:a) 1,0000011 000 000 b) 0,9999991 000 000

78. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos;redondea los resultados a cuatro decimales:a) log " b) log e c) L " d) L 10

79. Utilizando la calculadora, halla:a) "" b) ee c) "e d) e"

Solución:a) 36,4622 b) 15,1543 c) 22,4592 d) 23,1407

Solución:a) 0,4971 b) 0,4343 c) 1,1447 d) 2,3026

Solución:a) 2,71828 b) 0,36788

Solución:a) 3,14159 b) 2,71828 c) 1,61803 d) 1,25850

7!51 + !52

Solución:a) – 3,9882 b) – 5,3211 c) 4,6094 d) 2,2645

Solución:b

7!—a5 a + !—

ab a2 + 2a !—b + ba) !—

a b) ––– c) –––– d) –––––––a a – b a2 – b

a + !ba – !b

!a!

—a – !

—b

b7!a2

a!a

Solución:

a) 26a2!—2a b) (14x2 + 15x – 8)3!—2x2

3!128x23!54x53!16x8

!50a3!18a5!8a3

Solución:a)

b)

c)

d)

03– 3

1

03– 3

1

03– 3

1

03– 3

1

Problemas

A

E

F G

B CD


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84. Calcula las siguientes potencias redondeando los resulta-dos a cinco decimales. ¿A qué número real muy conocidose aproximan los valores que se van obteniendo?a) 1,110 b) 1,01100

c) 1,0011 000 d) 1,000110 000

e) 1,00001100 000 f) 1,0000011 000 000

85. Halla la fórmula del área de un triángulo equilátero cuyolado mide a cm

86. Halla la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide x m

87. Demuestra que el producto de dos números irracionalesno es siempre irracional, resolviendo el siguiente con-traejemplo: halla un número irracional que al multiplicar-lo por el número irracional – sea racional.

88. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos seannúmeros enteros, que contenga a log 525

89. De dos números se sabe que log x + log y = 0. ¿Qué re-lación hay entre x e y?

90. Sabiendo que log 5 = 0,6990 y aplicando las propiedadesde los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin uti-lizar la calculadora:

a) log 2 b) log 25c) log 4 d) log

91. Una célula se reproduce por bipartición cada hora.¿Cuán-tos días tardará en sobrepasar el billón?

92. Un coche deportivo cuesta 70 000 ! y se devalúa cadaaño un 15 %. ¿Cuántos años tardará en valer menos de10 000 !?

Para profundizar

93. Sabiendo que los triángulos ABC y ADE son semejantes,calcula el valor de x. ¿Qué número conocido es x? ¿Esracional o irracional?

Solución:70 000 · 0,85x = 10 0007 · 0,85x = 1log 7 + x log 0,85 = 0x log 0,85 = – log 7

log 7x = –––– = 11,97log 0,85

Tardará casi 12 años.

Solución:2x = 1012

x log 2 = 1212x = –– = 39,86

log 2Tardará casi 2 días.

Solución:10a) log 2 = log – = 1 – log 5 = 0,30105

b) log 25 = log 52 = 2 log 5 = 1,3980c) log 4 = log 22 = 2 log 2 = 0,6020

log 5d) log !—5 = –– = 0,3495

2

!5

Solución:log xy = log 1

1xy = 1 ( y = –x

Es decir, son inversos.

Solución:(2, 3)

Solución:(!—

5 – !—2 )(!—

5 + !—2 ) = 5 – 2 = 3

!2!5

Solución:

d = x !—2 m

Solución:a2

Área = – !—3 cm2

4

Solución:a) 2,59374 b) 2,70481 c) 2,71692d) 2,71815 e) 2,71827 f) 2,71828Se aproximan hacia el número e

Solución:2x + 30 Ì 50 # 0 < x Ì 10

A

B

D

x

E

1

1

x – 1

C

82 SOLUCIONARIO

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94. Los números racionales son densos.Veamos dos formasde demostrarlo:a) Halla la media aritmética entre 2/3 y 4/5, comprueba

que es racional y que está en el intervalo (2/3, 4/5)b) Halla el número que se obtiene al sumar entre sí los

numeradores y los denominadores de 2/3 y 4/5, com-prueba que es racional y que está en el intervalo (2/3,4/5)

95. Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número e

96. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos seannúmeros enteros,que contenga al número áureo,o de oro:

' =

97. La masa de la Tierra es 5,98 · 1024 kg, y la del Sol,1,98 · 1030 kg. ¿Cuántas veces es mayor la masa del Solque la de la Tierra?

98. Halla la fórmula del área delsiguiente tetraedro regular,cuya arista mide a cm

99. Halla la fórmula del área del siguiente octaedro regular,cuya arista mide a cm

100. Halla la fórmula del área del siguiente icosaedro regular,cuya arista mide a cm

101. Halla el volumen de un tetraedro cuya arista mide a cm

102. Halla el volumen de un octaedro cuya arista mide a cm

103. Un papel A0 mide 1 m2, y cuando se corta a la mitad daorigen a un A1 que tiene la particularidad de que es se-mejante al anterior.

a) Calcula de forma exacta la longitud y la anchura de unpapel de formato A0

Solución:

a3!—2V = ––

3

Solución:

a3!—2V = ––

12

Solución:

A = 5a2!—3

Solución:

A = 2a2!—3

Solución:

A = a2!—3

Solución:1,98 · 1030 : (5,98 · 1024) = 331 103,68 veces

Solución:(1, 2)

1 + !52

Solución:[2, 3]

Solución:a) 2/3 = 0,6666666666 b) 2/3 = 0,6666666666

11/15 = 0,7333333333 6/8 = 3/4 = 0,754/5 = 0,8 4/5 = 0,8

Solución:x 1 1 + !—

5 1 – !—5– = –– # x = –––, x = –––

1 x – 1 2 21 – !—

5La solución negativa x = ––– no sirve.2

1 + !—5La solución es x = –––

2Es el número áureo o de oro.Es irracional.

a

a

a

x

y y

x–2


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b) Un A2 es la mitad de un A1, un A3 es la mitad de unA2,y un A4 es la mitad de un A3.Calcula de forma apro-ximada hasta los milímetros las dimensiones de un A4(el A4 es el sustituto del folio, por la semejanza entretodos los A…; esta semejanza permite hacer fotoco-pias reduciendo o ampliando y manteniendo las pro-porciones del texto y/o dibujo y los márgenes).

104. Sabiendo que log 3 = 0,4771 y aplicando las propiedadesde los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin uti-lizar la calculadora:a) log 30 b) log 900

c) log d) log

105. Sabiendo que log 45 = 1,6532 y aplicando las propieda-des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sinutilizar la calculadora:a) log 4,5 b) log 450

c) log d) log

Solución:a) log 4,5 = 0,6532b) log 450 = 2,6532c) log !—45 = 0,8266

3,6532d) log 3!—4 500 = –– = 1,21773

3!4 500!45

Solución:a) log 30 = log 3 · 10 = log 3 + log 10 = 1,4771

b) log 900 = log 32 · 100 = 2 log 3 + log 100 = 2,9542log 3c) log !—1/3 = ––– = – 0,2386

2log (33 ·10) 3 log 3 + log 10d) log 5!—270 = –––– = –––––– = 0,4863

5 5

5!270!1/3

Solución:a)

x y x2– = – ( – = y2y x/2 2Además: xy = 1 # y = 1/xx2 1– = – ( x4 = 22 x2

x = 4!—2, y = 1/4!—

2

b) 297 mm ) 210 mm

y

x

y

x/2

86 SOLUCIONARIO

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2 Álgebra

1. Ecuaciones de 1er y 2° grado

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) – + 2 = 2x +

b) – + 10 = 3x – –

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x2 + x – 6 = 0 b) x2 – 10x + 25 = 0c) 6x2 + 5x – 4 = 0 d) 2x2 + 7x – 15 = 0

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3x2 – 12 = 0 b) 2x2 + 6x = 0 c) 4x2 – 9 = 0 d) 5x2 + 7x = 0

4. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla cuántas raí-ces tienen:a) 2x2 – 7x – 15 = 0 b) 4x2 + 12x + 9 = 0c) x2 – 4x + 13 = 0 d) 6x2 – 7x + 3 = 0

5. Halla la descomposición factorial de los siguientes tri-nomios de 2º grado:

a) x2 + 5x – 14 b) 6x2 – x – 2

c) 3x2 – 10x + 3 d) 5x2 + 24x – 5

6. Halla un número sabiendo que dicho número más su mi-tad y menos su sexta parte es igual a16

Solución:x + x/2 – x/6 = 16x = 12

Solución:

a) (x – 2)(x + 7)

b) 6(x – 2/3)(x + 1/2)

c) 3(x – 3)(x – 1/3)

d) 5(x + 5)(x – 1/5)

Solución:a) ! = 169 > 0Tiene dos raíces reales y distintas.b) ! = 0Tiene una sola raíz real, que es doble.c) ! = – 36 < 0No tiene raíces reales.d) ! = – 23 < 0No tiene raíces reales.

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 2 b) x1 = 0, x2 = – 3c) x1 = 3/2, x2 = – 3/2 d) x1 = 0, x2 = – 7/5

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 3 b) x1 = x2 = 5c) x1 = 1/2, x2 = – 4/3 d) x1 = 3/2, x2 = – 5

Solución:a) x = 1/2 b) x = 5

52

5x – 24

5x + 36

4x – 312

18

6x + 58

3x – 14

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:a) x + 3 = 5 b) 3x = 12 c) x2 = 25 d) x(x – 7) = 0 e) 5x2 = 0 f) |x| = 7

Solución:a) x = 2 b) x = 4 c) x = ± 5 d) x = 0, x = 7 e) x = 0 f) x = ± 7

TEMA 2. ÁLGEBRA 87

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" Piensa y calcula

Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces:a) x2 + 5x b) x2 + 2x + 1 c) x2 – 6x + 9 d) x2 – 16

Solución:a) x(x + 5) ! x1 = 0, x2 = – 5 b) (x + 1)2 ! x1 = x2 = – 1c) (x – 3)2 ! x1 = x2 = 3 d) (x + 4)(x – 4) ! x1 = – 4, x2 = 4

7. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:

a) x2 + 3x b) x2 – 4

c) x2 – 2x + 1 d) x2 + 4x + 4

8. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y hallasus raíces:

a) x3 – 4x

b) x3 + 2x2 + x

c) x4 – 25x2

d) x3 – 6x2 + 9x

9. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:

a) x3 – 4x2 – 11x + 30

b) x3 – x2 – 8x + 12


a) x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4

b) x5 – 2x4 – 2x3 + 4x2 + x – 2


a) 6x3 – 7x2 – 14x + 8

b) 5x4 – 33x3 + 66x2 – 28x – 24

12. Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces:

a) x1 = 1, x2 = 2

b) x1 = 3/5, x2 = 0

c) x1 = 2, x2 = –1, x3 = 3

d) x1 = 0, x2 = x3 = 1, x4 = 3

Solución:a) (x – 1)(x – 2) = x2 – 3x + 2b) 5x(x – 3/5) = 5x2 – 3xc) (x – 2)(x + 1)(x – 3) = x3 – 4x2 + x + 6d) x(x – 1)2(x – 3) = x4 – 5x3 + 7x2 – 3x

Solución:a) 6(x – 2)(x – 1/2)(x + 4/3)

x1 = 2, x2 = 1/2, x3 = – 4/3b) 5(x – 2)2(x – 3)(x + 2/5)

x1 = x2 = 2, x3 = 3, x4 = – 2/5

Solución:a) (x – 1)2(x + 2)2

x1 = x2 = 1, x3 = x4 = – 2b) (x – 1)2(x + 1)2(x – 2)

x1 = x2 = 1, x3 = x4 = – 1, x5 = 2

Solución:

a) (x – 2)(x + 3)(x – 5)

x1 = 2, x2 = – 3, x3 = 5

b) (x + 3)(x – 2)2

x1 = – 3, x2 = x3 = 2

Solución:

a) x(x + 2)(x – 2) ! x1 = 0, x2 = – 2, x3 = 2

b) x(x + 1)2 ! x1 = 0, x2 = x3 = – 1

c) x2(x + 5)(x – 5) ! x1 = x2 = 0, x3 = –5, x4 = 5

d) x(x – 3)2 ! x1 = 0, x2 = x3 = 3

Solución:

a) x(x + 3) b) (x + 2)(x – 2)

c) (x – 1)2 d) (x + 2)2

! Aplica la teoría

2. Factorización de polinomios

88 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Factoriza mentalmente el numerador y el denominador, y simplifica la fracción algebraica

Solución:x(x + 1) x—= —(x + 1)2 x + 1

x2 + xx2 + 2x + 1

13. Descompón mentalmente en factores el numerador yel denominador,y simplifica las siguientes fracciones al-gebraicas:

a)

b)

14. Completa:

a) =

b) =

15. Calcula:

a) +

b) –

16. Efectúa:

a) ·

b) ·

17. Calcula:

a) :

b) :

18. Opera y simplifica:

a) ( – ) :

b) ( + )( : )Solución:

x2 – 7x + 10a) ——2(x + 1)

(x + 4)2b) —x(x2 – 9)

1x + 4

1x

1x – 3

1x2 – 9

2x2 – 4x + 4

1x – 2

2x + 1

Solución:x – 4a) —x – 2

6b) —x – 1

x2 – 13x2 + 3

2x + 2x2 + 1

x2 – 4x2 – 16

x + 2x + 4

Solución:x2

a) ——x2 – 3x + 2

x2 + 2b) ——x2 – 2x – 3

x2 + 2x2 – 9

x + 3x + 1

x2

x2 – 4x + 2x – 1

Solución:3x + 1a) —x2 – 1– x2 + 3x + 2b) ——

x2 – 4

x + 1x + 2

2xx2 – 4

1x + 1

2x – 1

Solución:a) 2x2 – 5x – 3b) 2x2 + 7x + 5

…2x + 5

x2 – 1x – 1

2x + 1…

x + 3x2 – 9

Solución:x(x + 1) xa) —= —2(x + 1) 2

(x + 1)2 x + 1b) —— = —(x + 1)(x – 1) x – 1

x2 + 2x + 1x2 – 1

x2 + x2x + 2

! Aplica la teoría

3. Fracciones algebraicas

TEMA 2. ÁLGEBRA 89

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" Piensa y calcula

Observando la representación gráfica, calcula las soluciones del sistema:

Solución:x1 = – 4, y1 = 2 x2 = – 1, y2 = – 1

Y

Xy = x + 4x + 22

y = – x – 2

"#$

y = –x – 2y = x2 + 4x + 2

19. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x4 – 10x2 + 9 = 0 b) x4 – 3x2 – 4 = 0c) x6 – 9x3 + 8 = 0 d) x6 + 7x3 – 8 = 0

20. Resuelve las ecuaciones racionales:

a) – 5 = b) =

c) – = – d) + = –

21. Resuelve las ecuaciones irracionales:

a) 3x + = 4x + 1

b) 3 – x + = x + 8

c) – = 2

d) = 5 –

22. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibleso incompatibles:

23. Halla un número sabiendo que dicho número más suinverso es igual a 26/5

24. Halla un número, sabiendo que el número menos laraíz cuadrada, de dicho número al cuadrado menos7 unidades, es igual a uno.

Solución:x – %—x2 – 7 = 1x = 4

Solución:x + 1/x = 26/5 ! x = 5, x = 1/5

Solución:a) x1 = 4, y1 = 2; x2 = – 4, y2 = – 2

Sistema compatible.b) x1 = 3, y1 = – 4; x2 = – 2, y2 = 6

Sistema compatible.

"#$

2x + y = 2y = x2 – 3x – 4

b)"#$

x – 2y = 0x2 + y2 = 20

a)

Solución:a) x = 2 b) x = –1 c) x = 5 d) x = 3

%x – 2%5x + 1

%x – 1%2x + 6

%3x + 12

%17 – 4x

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 1/4 b) x1 = 1, x2 = – 4/3c) x1 = 3, x2 = – 1/4 d) x1 = 1/3, x2 = 6/7

15

xx – 2

3x – 1x + 2

23

3x – 1x + 1

x + 1x

4x – 3x – 2

x – 2x

5x – 4x + 1

2x + 3x – 1

Solución:a) x1 = 1, x2 = – 1, x3 = 3, x4 = – 3b) x1 = 2, x2 = – 2c) x1 = 1, x2 = 2d) x1 = 1, x2 = – 2

! Aplica la teoría

4. Aplicaciones de las ecuaciones de 2° grado

90 SOLUCIONARIO

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.L.

" Piensa y calcula

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:a) 2x = 8 b) 2x = 1/8 c) 2x = 1 d) 2x = 2 e) log5 x = 3 f) log5 x = – 3 g) log5 x = 0 h) log5 x = 1

Solución:a) x = 3 b) x = – 3 c) x = 0 d) x = 1 e) x = 125 f) x = 1/125 g) x = 1 h) x = 5

25. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y lo-garítmicas:a) 2x + 2x + 1 = 24 b) 9x – 10 · 3x + 9 = 0c) 5x – 2 – 3x + 1 = 0 d) log (x + 3) + log x = 1

26. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y lo-garítmicas:a) 4 log x + 1 = log 16 + log 5xb) 4x – 10 · 2x + 16 = 0c) 5x – 1 + 5x + 5x + 1 = 31d) 6x – 3 – 5x + 4 = 0

27. Resuelve los sistemas:

a)

b)

28. En la fórmula del capital final, en el interés compuesto C = c(1 + r)t,donde C es el capital final,c el capital inicial,r el tanto por uno y t el número de años. Calcula el nú-mero de años que tienen que transcurrir para que un ca-pital de 10000 !colocado al 5 % se transforme en 15000!

Solución:10000 · 1,05t = 15000t = 8,3 años

Solución:a) x = 1, y = 2 b) x = 10, y = 1

"#$

2 log x + log y = 2log xy = 1

"#$

2x + 3y = 112x + 1 – 3y – 1 = 1

Solución:a) x = 2 b) x1 = 3, x2 = 1c) x = 1 d) x = 64,79

Solución:a) x = 3 b) x1 = 0, x2 = 2c) x = 8,45 d) x = 2

! Aplica la teoría

5. Ecuaciones exponenciales, logarítmicas y sistemas

" Piensa y calcula

Observando la gráfica, halla los intervalos de los valores de x en los que la parábola y = x2 – 2x – 3 es positiva.

Solución:Positiva (+) : (– &, – 1) U (3, + &)

Y

X

y = x2 – 2x – 3

A(3, 0)B(–1, 0)

+ +

6. Inecuaciones polinómicas y racionales

TEMA 2. ÁLGEBRA 91

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29. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:a) x2 – 5x + 4 < 0 b) x2 + x + 2 > 0

c) x2 + 6x + 9 Ì 0 d) x3 – 2x2 – 5x + 6 ' 0

30. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a) < 0 b) > 0

c) Ì 0 d) Ó 0

31. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:

a) x3 – 3x – 2 > 0

b) x3 – 8x2 + 20x – 16 Ì 0

32. Dada la función f(x) = –x2 + 6x – 8, halla:

a) cuándo vale cero.

b) cuándo es positiva.

c) cuándo es negativa.

33. Dada la función f(x) = , halla:




Solución:a) x1 = 0, x2 = 1b) (– @, – 2) U (0, 1) U (2, +@)c) (– 2, 0) U (1, 2)

x2 – xx2 – 4

Solución:a) x1 = 2, x2 = 4b) (2, 4)c) (– @, 2) U (4, + @)

Solución:a)

(– 2, 3)

b)

(0, 1) U (3, + @)

c)

(– @, – 2) U [0, 2)

d)

(– @, – 3) U {1} U (2, + @)

x2 – 2x + 1x2 + x – 6

xx2 – 4

x2 – 3xx – 1

x + 2x – 3

Solución:a)

(1, 4)

b)

! = (– @, + @)

c)

x = – 3

d)

[– 2, 1] U [3, + @)

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Calcula mentalmente el valor de z en la 3ª ecuación. Sustituye ese valor en la 2ª ecuación y calcula mentalmente el valorde y. Sustituye el valor de z y de y en la 1ª ecuación, y calcula mentalmente el valor de x

Solución:z = 2 y = 4 x = – 2

"(#($

x + y – z = 0y + z = 6

3z = 6

7. Método de Gauss

0 1

41

0 1

0 1

– 3

0 1

– 2 1 3

0 1

3– 2

0 1

– 3 1 2

0 1

0 1 3

0 1

0– 2 2

Solución:a)

(2, + @)b)

(– @, 4]

0 1

2

0 1

4

92 SOLUCIONARIO

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34. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los sistemas:

a)

b)


a)

b)


37. Calcula tres números tales que la suma de los tres es 9.El mediano disminuido en una unidad es la tercera par-te de la suma del mayor y el menor. La diferencia entreel mayor y el menor excede en uno al mediano.

Solución:x: el número menor.y: el número mediano.z: el número mayor.

x + y + z = 9y – 1 = (x + z)/3z – x = y + 1

x = 1, y = 3, z = 5

Solución:a) x = 2, y = – 4, z = 3b) x = 1/2, y = – 3, z = 5

"(#($

4x – y – z = 02x + y + z = 36x – 2y – 3z = – 6

b)

"(#($

2x – y + z = 11x – y + 3z = 15

3x + 2y – 5z = – 17

a)

Solución:a) x = – 3, y = 4, z = 2b) x = 3, y = – 2, z = 1

"(#($

x + y – z = 02x – 3y + z = 13

–3x + 2y + 5z = –8

"(#($

2x – y + z = –8x + 3y – 2z = 5

2x + y + 3z = 4

Solución:a) x = 5, y = – 3, z = 2b) x = 3, y = – 2, z = 1

"(#($

x + y + z = 22x – y + 3z = 11x + 2y – z = –2

"(#($

2x + y – 3z = 1x – 2y + 4z = 19

3x + 4y – z = 1

! Aplica la teoría

"(#($

" Piensa y calcula

Halla mentalmente tres números enteros consecutivos menores que 7, de forma que sean los lados de un triángulo rectán-gulo.

Solución:

3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52

8. Resolución de problemas

TEMA 2. ÁLGEBRA 93

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38. Un segmento AB tiene de longitud 42 cm.Halla un pun-to P de dicho segmento de forma que el triángulo equi-látero construido sobre AP tenga el mismo perímetroque el cuadrado construido sobre PB.

39. Entre Sonia y Alba tienen 300 !. Alba tiene el triple dedinero que Sonia. ¿Cuánto dinero tiene cada una?

40. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados igualesmide 5 m más que el desigual. Si el perímetro mide 34 m,¿cuánto mide cada lado?

41. En un prado se quiere cercar una zona rectangular pa-ra que paste una cabra. Se tiene 24 m de valla y quere-mos que el área del recinto delimitado sea de 32 m2.Calcula las dimensiones de la zona vallada.

42. Los lados de un triángulo rectángulo son números quese diferencian en tres unidades. Calcula las longitudesde dichos lados.

43. Un piso tiene forma rectangular y su área es de 120 m2.Si el largo mide 2 m más que el ancho, ¿cuáles son lasdimensiones del piso?

Solución:

Ancho: xLargo: x + 2x(x + 2) = 120Si x = 10, el ancho es 10 m y el largo 12 mSi x = – 12, los lados son – 12 y 10, que no son valoresválidos.

Solución:

Cateto menor: xCateto mayor: x + 3Hipotenusa: x + 6x2 + (x + 3)2 = (x + 6)2

Si x = 9, los lados miden: 9, 12 y 15Si x = – 3, los lados miden: – 3, 0 y 3, que no son valoresválidos.

Solución:

Largo: xAncho: y2x + 2y = 24

xy = 32x = 8 m, y = 4 mEl largo mide 8 m, y el ancho mide 4 m

Solución:

El lado desigual: xCada lado igual: x + 5x + 2(x + 5) = 34x = 8 mEl lado desigual mide 8 mCada lado igual mide 13 m

Solución:Sonia tiene: xAlba tiene: 300 – x300 – x = 3xx = 75 !Sonia tiene: 75 !Alba tiene: 225 !

Solución:

Medida de los segmentos:AP = x, PB = 42 – x3x = 4(42 – x)x = 24 cm

! Aplica la teoría

xA P B42 – x

x

x + 5 x + 5

x

y

x + 3

x + 6x

x + 2

x

"#$

94 SOLUCIONARIO

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44. Un coche sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, quedista 900 km de A, con una velocidad de 80 km/h. Doshoras más tarde sale de la misma ciudad A con direccióna la ciudad B una moto a 120 km/h. ¿Cuánto tiempotardará en alcanzar la moto al coche? ¿A qué distanciade la ciudad A lo alcanzará?

Coche Motoe: e e: ev: 80 km/h v: 120 km/ht: t t: t – 2e = vt e = vte = 80t e = 120(t – 2)

Hay que resolver el sistema:

e = 80te = 120(t – 2)

t = 6 he = 80 · 6 = 480 km

Solución:

BA

Cochev = 80 km/ht = t

Motov = 120 km/ht = t – 2

Cee

"#$

TEMA 2. ÁLGEBRA 95

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Ejercicios y problemas1. Ecuaciones de 1er y 2º grado


a) x + + + = 25

b) – = – 2x

c) – = 4x –

d) – + + 2x =

46. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x2 + 3x – 10 = 0 b) x2 – 6x + 9 = 0c) 3x2 – 7x – 6 = 0 d) 6x2 + 7x + 2 = 0

47. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 5x2 – 20 = 0 b) 3x2 + 6x = 0 c) 9x2 – 25 = 0 d) 3x2 – 8x = 0

48. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla cuántas raíces tienen:a) x2 + 10x + 25 = 0 b) 3x2 + 8x – 3 = 0c) x2 – 6x + 13 = 0 d) x2 + 8x + 15 = 0

49. Halla la descomposición factorial de los siguientes trino-mios de 2º grado:a) x2 – x – 6 b) 9x2 + 12x + 4c) 2x2 – 9x – 5 d) 6x2 – 5x – 6

50. Halla ecuaciones de 2º grado que tengan las siguientesraíces:a) x1 = –3, x2 = 1 b) x1 = –2, x2 = 3c) x1 = –1/2, x2 = 5 d) x1 = 3, x2 = 3/4

51. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla la suma y elproducto de sus raíces:a) x2 + 2x – 8 = 0 b) x2 – 7x + 10 = 0c) 15x2 + x – 2 = 0 d) 4x2 – 19x – 5 = 0

2. Factorización de polinomios

52. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:a) x4 – 2x2 b) x2 – 16c) x2 + 6x + 9 d) x2 – 10x + 25

53. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y hallasus raíces:a) x3 – 9x b) x3 + 10x2 + 25xc) x4 – 16x2 d) x3 – 8x2 + 16x

Solución:a) x(x + 3)(x – 3) ! x1 = 0, x2 = – 3, x3 = 3b) x(x + 5)2 ! x1 = 0, x2 = x3 = – 5c) x2(x + 4)(x – 4) ! x1 = x2 = 0, x3 = – 4, x4 = 4d) x(x – 4)2 ! x1 = 0, x2 = x3 = 4

Solución:

a) x2(x + %—2)(x – %—

2) b) (x + 4)(x – 4)c) (x + 3)2 d) (x – 5)2

Solución:a) S = – 2, P = – 8 b) S = 7, P = 10c) S = – 1/15, P = – 2/15 d) S = 19/4, P = – 5/4

Solución:a) (x + 3)(x – 1) = x2 + 2x – 3b) (x + 2)(x – 3) = x2 – x – 6c) 2(x + 1/2)(x – 5) = 2x2 – 9x – 5d) 4(x – 3)(x – 3/4) = 4x2 – 15x + 9

Solución:a) (x + 2)(x – 3) b) 9(x + 2/3)2

c) 2(x – 5)(x + 1/2) d) 6(x – 3/2)(x + 2/3)

Solución:a) ) = 0

Tiene una sola raíz real, que es doble.b) ) = 100 > 0

Tiene dos raíces reales y distintas.c) ) = – 16 < 0

No tiene raíces reales.d) ) = 4 > 0

Tiene dos raíces reales y distintas.

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 2b) x1 = 0, x2 = – 2c) x1 = 5/3, x2 = – 5/3d) x1 = 0, x2 = 8/3

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 5b) x1 = x2 = 3c) x1 = 3, x2 = – 2/3d) x1 = – 1/2, x2 = – 2/3

Solución:a) x = 12 b) x = 3/5c) x = 1/2 d) x = – 2

85

–3x + 75

2x – 53

83

2x + 58

3x – 16

112

5x + 16

2x – 34

x4

x3

x2

96 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas54. Halla la descomposición factorial de los siguientes poli-

nomios y calcula sus raíces:a) 15x3 – 8x2 – 9x + 2b) 5x3 – 2x2 – 20x + 8c) 49x3 – 28x2 + 4xd) 3x4 – x3 – 57x2 – 71x + 30

55. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:a) x3 – 5x2 – 2x + 10b) 8x5 + 18x4 + x3 – 6x2

56. Escribe un polinomio que tenga las siguientes raíces:a) x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1b) x1 = x2 = 3, x3 = 0c) x1 = 1, x2 = – 2, x3 = 3d) x1 = 2, x2 = x3 = 1, x4 = –2

3. Fracciones algebraicas

57. Descompón mentalmente en factores el numerador y eldenominador, y simplifica las siguientes fracciones alge-braicas:

a) b)

58. Completa:

a) = b) =

59. Calcula:

a) + b) –

60. Efectúa:

a) · b) ·

61. Calcula:

a) : b) :

62. Opera y simplifica:

a) ( – ) :

b) ( + 4)( – )

4. Aplicaciones de las ecuacionesde 2º grado

63. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x4 – 13x2 + 36 = 0b) x4 – 3x2 – 4 = 0c) x4 – 10x2 + 25 = 0d) x6 – 7x3 – 8 = 0

Solución:3x2 – 11x + 3 – 24x + 33a) —— b) ——x2 – 6x + 5 2x3 – 9x2 + 9x

1x – 3

1x

12x – 3

x – 5x – 2

2x + 3x – 2

5xx – 1

Solución:x + 5 5a) — b) —x – 1 x + 2

x2 + 4x + 45x2 + 5

x + 2x2 + 1

x2 – 1x2 + 10x + 25

x + 1x + 5

Solución:3x2 + 1 x – 3a) — b) —x2 – 1 x2 + x

x – 3x2

xx + 1

3x2 + 1x2 + 2x + 1

x + 1x – 1

Solución:3x2 + 11x – 10 – 2x2 – 6x – 3a) ——— b) ———

x2 – 4 (x + 3)2

2x + 1x + 3

xx2 + 6x + 9

5x + 2

3xx – 2

Solución:a) 2x2 + x – 3b) x

…x – 3

x2 + 3xx2 – 9

2x + 3…

x + 1x2 – 1

Solución:3x(x – 1) x (x + 2)2 x + 2a) —= — b) —— = —6(x – 1) 2 (x + 2)(x – 2) x – 2

x2 + 4x + 4x2 – 4

3x2 – 3x6x – 6

Solución:a) (x – 2)(x – 3)(x – 1) = x3 – 6x2 + 11x – 6b) (x – 3)2 x = x3 – 6x2 + 9xc) (x – 1)(x + 2)(x – 3) = x3 – 2x2 – 5x + 6d) (x – 2)(x – 1)2(x + 2) = x4 – 2x3 – 3x2 + 8x – 4

Solución:a) (x – 5)(x – %—

2)(x + %—2)

x1 = 5, x2 = %—2, x3 = –%—

2b) 8x2(x + 2)(x – 1/2)(x + 3/4)

x1 = x2 = 0, x3 = – 2, x4 = 1/2, x5 = – 3/4

Solución:a) 15(x – 1)(x – 1/5)(x + 2/3)

x1 = 1, x2 = 1/5, x3 = – 2/3b) 5(x – 2)(x + 2)(x – 2/5)

x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 2/5c) 49x(x – 2/7)2

x1 = 0, x2 = x3 = 2/7d) 3(x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 1/3)

x1 = – 2, x2 = – 3, x3 = 5, x4 = 1/3

TEMA 2. ÁLGEBRA 97

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a) – =

b) 12 + = 2x + 7

c) 3x – =

d) + 4 = 6 +


a) 5x – = 3x + 2

b) – + 8 =

c) + = 9

d) – = – 5




5. Ecuaciones exponenciales,logarítmicas y sistemas

69. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-rítmicas:

a) 3x + 3x – 1 = 12

b) 4x – 10 · 2x + 16 = 0

c) 2x + 1 = 3x – 1

d) log (x + 3) – log (x – 2) + 2 log 5 = 2


a) 3x + 2 – 4x – 3 = 0

b) 5x + 2 – 4 · 5x + 1 – 8 · 5x – 1 = 85

c) log3 (5x + 2) – log3 (2x – 1) = 1

d) 4 · 22x – 33 · 2x + 8 = 0

Solución:a) x = 22,09 b) x = 2c) x = 5 d) x1 = 3, x2 = – 2

Solución:a) x = 2 b) x1 = 3, x2 = 1c) x = 4,42 d) x = 11/3

Solución:a) x1 = 2, y1 = – 4; x2 = 8, y2 = 8

El sistema es compatible.b) No tiene solución real.

El sistema es incompatible.

"#$

4x = y2

2x – y = –2

b)"#$

8x – y2 = 02x – y = 8

a)

Solución:a) x = 17/5, y = 8/5

El sistema es compatible.b) x = 4, y = 3

El sistema es compatible.

"(#($

4 25—x + y = —3 3x2 + y2 = 25

b)"#$

x + y = 5x2 – y2 = 9

a)

Solución:a) x1 = 2, y1 = 7; x2 = – 1, y2 = – 8

El sistema es compatible.b) x1 = 2, y1 = 3; x2 = – 2, y2 = – 3

El sistema es compatible.

"(#($

6y = —x2y = 3x

b)"#$

5x – y = 35x2 – y = 13

a)

Solución:

a) x = 2

b) x1 = 4, x2 = –16/25

c) x = 16

d) x1 = 2, x2 = – 19/6

5x + 2x2 – 9

xx + 3

2x + 3x – 3

%x%x + 9

53

5x + 1x – 2

7x – 3x + 2

%x + 2

Solución:

a) x1 = – 2, x2 = – 1/5

b) x = 5

c) x1 = 1/2, x2 = – 7/3

d) x = 3

%2x – 5%x + 6

32

2x – 1x + 3

%3x + 10

212

2x + 3x

5x – 1x + 1

Solución:

a) x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 3, x4 = – 3

b) x1 = 2, x2 = – 2

c) x1 = %—5, x2 = – %—

5

d) x1 = 2, x2 = – 1

98 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas71. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

rítmicas:a) L x + L (x + 1) – L 2 = L 3

b) 3 · 32x – 28 · 3x + 9 = 0

c) 2x – 2 + 2x – 1 + 2x + 2x + 1 = 30

d) 5x – 2 – 4x + 1 = 0


a) 4x + 1 – 7x – 1 = 0

b) 3x – 1 + 3x + 3x + 1 = 39

c) log2 (2x + 5) – log2 x + log2 3 = log2 11

d) 52x – 6 · 5x + 5 = 0


a) b)

6. Inecuaciones polinómicas y racionales

74. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:a) x2 – x – 2 < 0 b) x2 – x – 6 > 0c) –x2 + 4x – 4 * 0 d) x2 – 4 ' 0

75. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a) < 0 b) > 0

c) * 0 d) ' 0

76. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:a) x3 – 4x ' 0b) x3 + 3x2 – x – 3 < 0

77. Dada la función f(x) = –x2 + 2x + 3, halla:a) cuándo vale cero.b) cuándo es positiva.c) cuándo es negativa.

78. Dada la función f(x) = , halla:

a) cuándo vale cero.b) cuándo es positiva.c) cuándo es negativa.

Solución:a) x1 = – 1, x2 = 1b) (– &, – 3) U (– 1, 1) U (3, + &)c) (– 3, – 1) U (1, 3)

x2 – 1x2 – 9

Solución:a) x1 = 3, x2 = – 1b) (– 1, 3)c) (– &, – 1) U (3, + &)

Solución:a)

[– 2, 0] U [2, + &)

b)

(– &, – 3) U (– 1, 1)

Solución:a)

(– &, 2) U (3, + &)

b)

(– 3, 0) U (1, + &)

c)

(– &, 3)

d)

(– &, – 3] U [2, + &)

x2 + x – 6x2 – 2x + 1

x2 + 2x – 3

x + 3x2 – x

x – 23 – x

Solución:a)

(–1, 2)

b)

(– &, – 2) U (3, + &)

c)

! = (– &, + &)

d)

(– &, – 2] U [2, + &)

Solución:a) x1 = 1, y1 = – 1; x2 = 3, y2 = 1b) x = 10, y = 1

"#$

x + y = 11log x = log y + 1

"#$

x – y = 25 · 2x – 2 · 4y+1 = 8

Solución:a) x = 5,95 b) x = 2c) x = 3 d) x1 = 0, x2 = 1

Solución:a) x = 2 b) x1 = 2, x2 = – 1c) x = 3 d) x = 20,64

0 1

2– 1

0 1

– 2 2

0 1

3– 2

0 1

0 1

2 3

0 1

– 3 2

0 1

1– 3 0

0 1

3

0 1

– 3 1– 1

0 1

20– 2

TEMA 2. ÁLGEBRA 99

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7. Método de Gauss

79. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los siguientessistemas:a) b)

80. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los siguientessistemas:a) b)

8. Resolución de problemas

81. Ismael tiene tres años más que Ana, y Sonia tiene 2 añosmás que Ismael. Entre los tres tienen 53 años. ¿Cuántosaños tiene cada uno?

82. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isóscelesmide el triple que el lado desigual. Si el perímetro mide42 m, ¿cuánto mide cada lado?

83. Se mezcla café del tipo A de 5,5 !/kg con café del tipoB de 4 !/kg para obtener una mezcla de 90 kg a 5 !/kg.¿Cuántos kilogramos de café debemos tomar de cadatipo?

84. Halla las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendoque el largo es el doble que el ancho y que la superficiemide 50 m2

85. Un frutero compra una caja de plátanos a 0,8 !/kg. Se leestropean 3 kg, que tira a la basura, y el resto los vendea 1,2 !. Si gana 18 !, ¿cuántos kilogramos de plátanoscontenía la caja inicialmente?

Solución:

Compra: x kg a 0,8 "/kg

Vende: x – 3 a 1,2 "/kg

0,8x + 18 = (x – 3)1,2

x = 54 kg

Solución:

Ancho: x

Largo: 2x

x · 2x = 50

Si x = 5, el ancho mide 5 m y el largo mide 10 m

Si x = – 5, se obtienen valores no válidos.

Solución:

Café de tipo A: x a 5,5 #/kg

Café de tipo B: 90 – x a 4 #/kg

5,5x + 4(90 – x) = 5 · 90

x = 60 kg

Café de tipo A: 60 kg

Café de tipo B: 30 kg

Solución:El lado desigual: xCada lado igual: 3xx + 2 · 3x = 42x = 6 mEl lado desigual mide 6 mCada lado igual mide 18 m

Solución:Ana: x Ismael: x + 3 Sonia: x + 5x + x + 3 + x + 5 = 53 ! x = 15Ana: 15 años. Ismael: 18 años. Sonia: 20 años.

Solución:a) x = 2, y = – 1, z = 3 b) x = 2, y = – 3, z = 5

"(#($

3x – 2y – z = 74x + y – 2z = –52x – 3y – 4z = –7

"(#($

2x – 3y + z = 10x + y – 2z = –5

5x – 2y – 2z = 6

Solución:a) x = 1, y = 2, z = 3 b) x = – 1, y = 2, z = 5

"(#($

2x + y – 2z = –103x – 4y + 5z = 14

x + y – z = – 4

"(#($

x + y + z = 62x – y – 3z = –93x + y – 2z = –1


a) x4 – 3x2 = 0

b) x6 – 27x3 = 0

c) x4 – 7x2 + 12 = 0

d) 4x4 – 17x2 + 4 = 0

Solución:

a) x1 = x2 = 0, x3 = %—3, x4 = – %—

3b) x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 3c) x1 = 2, x2 = – 2, x3 = %—

3, x4 = – %—3

d) x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 1/2, x4 = – 1/2

x

3x 3x

2x

x

Para ampliar

100 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas87. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) x(x + 3) = 0 b) (x + 1)(x – 5) = 0c) x(x + 2)(3x – 6) = 0 d) x(x – 1)(2x + 5) = 0

88. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:a) 2x2 = 0 b) x2 – 9 = 0c) x2 – 4x = 0 d) 3x2 – 7x = 0

89. Halla mentalmente la descomposición factorial de los si-guientes trinomios de 2º grado:a) x2 – 7x b) x2 + 12x + 36c) x2 – 25 d) x2 – 14x + 49

90. Halla ecuaciones de 2º grado que tengan las siguientesraíces:a) x1 = 2, x2 = –5 b) x1 = –1, x2 = 4c) x1 = 1/2, x2 = 2/3 d) x1 = 4, x2 = –1/3

91. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla la suma y elproducto de sus raíces:a) x2 + 5x + 6 = 0 b) x2 + 3x – 10 = 0c) 5x2 – 14x – 3 = 0 d) 6x2 + x – 2 = 0

92. Halla la descomposición factorial de los siguientes trino-mios de 2º grado:a) 6x2 – 5x – 1 b) 9x2 – 18x + 8c) 15x2 – 17x + 2 d) 6x2 – 5x – 6

93. Plantea una ecuación de segundo grado que tenga:a) una solución real doble.b) dos soluciones reales y distintas.

94. Sabiendo que la ecuación 4x2 + kx – 9 = 0 tiene dos raí-ces opuestas, halla el valor de k

95. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:a) x2 + x + 1/4b) x2 – 3

96. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:a) x2 + 2x/3 + 1/9b) 4x2 – 12x + 9c) x2 + 2x/5 + 1/25d) 9x2 – 25

97. Factoriza los siguientes polinomios:a) x5 – 16xb) x6 – 25x2

98. Factoriza los siguientes polinomios:a) x4 – 81 b) x4 – 9x2

Solución:a) (x + 3)(x – 3)(x2 + 9)b) x2(x – 3)(x + 3)

Solución:a) x(x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

b) x2(x + %—5 )(x – %—

5 )(x2 + 5)

Solución:a) (x + 1/3)2 b) (2x – 3)2

c) (x + 1/5)2 d) (3x + 5)(3x – 5)

Solución:a) (x + 1/2)2

b) (x + %—3 )(x – %—

3 )

Solución:k = 0

Solución:a) (x – 3)2 = 0 ! x2 – 6x + 9 = 0b) (x + 2)(x – 3) = 0 ! x2 – x – 6 = 0

Solución:a) 6(x – 1)(x + 1/6) b) 9(x – 2/3)(x – 4/3)c) 15(x – 1)(x – 2/15) d) 6(x – 3/2)(x + 2/3)

Solución:a) S = – 5, P = 6 b) S = – 3, P = – 10c) S = 14/5, P = – 3/5 d) S = – 1/6, P = – 1/3

Solución:a) (x – 2)(x + 5) = 0 ! x2 + 3x – 10 = 0b) (x + 1)(x – 4) = 0 ! x2 – 3x – 4 = 0c) (x – 1/2)(x – 2/3) = 0 ! 6x2 – 7x + 2 = 0d) (x – 4)(x + 1/3) = 0 ! 3x2 – 11x – 4 = 0

Solución:a) x(x – 7) b) (x + 6)2

c) (x + 5)(x – 5) d) (x – 7)2

Solución:a) x1 = x2 = 0 b) x1 = 3, x2 = – 3c) x1 = 0, x2 = 4 d) x1 = 0, x2 = 7/3

Solución:a) x1 = 0, x2 = – 3b) x1 = – 1, x2 = 5c) x1 = 0, x2 = – 2, x3 = 2

d) x1 = 0, x2 = 1, x3 = – 5/2

TEMA 2. ÁLGEBRA 101

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99. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:a) 14x3 – 27x2 – 6x + 8b) x3 – 3x2 – 13x + 15c) x4 – 7x3 – 3x2 + 21x d) x4 – 4x3 – x2 + 20x – 20

100. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la factori-zación de polinomios:a) x3 – 27 = 0 b) x4 + 2x2 – 3 = 0c) x3 – 2x2 – 49x + 98 = 0 d) 4x3 – 16x2 – x + 4 = 0

101. Escribe un polinomio que tenga las siguientes raíces:a) x1 = 3, x2 = –1, x3 = –2b) x1 = x2 = –1, x3 = 4c) x1 = –2, x2 = 2, x3 = 1d) x1 = –3, x2 = x3 = 2, x4 = 1

102. Descompón mentalmente en factores el numerador y eldenominador y simplifica las siguientes fracciones alge-braicas:

a) b)

103. Calcula:

a) + – b) + –

104. Efectúa:

a) · b) ·

105. Calcula:

a) :

b) :

106. Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)


a) 3x2 – x – 6 = 1 b) 21 – x2 =

c) 35x – 4 = 92x – 1 d) log(x – 16) = log 3

Solución:a) x1 = 3, x2 = –2 b) x1 = 2, x2 = –2c) x = 2 d) x = 25

12

18

Solución:a) x1 = 2, y1 = 3; x2 = –2, y2 = –3;

x3 = 3, y3 = 2; x4 = –3, y4 = –2b) x1 = 1, y1 = 1; x2 = –1, y2 = –1

"((#(($

3x + 2y = —x2x + y = —y

"(#($

6y = —xx2 + y2 = 13

Solución:3x2 + 6x + 3 2x2 + 9x – 5a) —— b) ——x3 + 2x2 + 2x x – 5

2x + 1x2 – 25

4x2 – 1x2 – 10x + 25

x2 + 2x + 2x3 + x2

3x2 + 6x + 3x4 + x3

Solución:x2 + x – 2 x3 – 3x2 + 2xa) —— b) ——x2 – x – 2 x2 + 4x + 3

x2 – 4x2 + x

x3 – x2

x2 + 5x + 6x2 + 4x + 4x2 + 2x + 1

x2 – 1x2 – 4

Solución:6x2 + 5x – 16 – x2 + 3x + 5a) —— b) ——

x(x2 – 4) x (x2 – 1)

3x

x + 2x2 – x

xx2 – 1

x + 1x2 – 4

3x – 2

4x

Solución:3x(x – 3) 3x (x + 5)2 x + 5a) —= — b) —— = —(x – 3)2 x – 3 (x + 5)(x – 5) x – 5

x2 + 10x + 25x2 – 25

3x2 – 9xx2 – 6x + 9

Solución:a) (x – 3)(x + 1)(x + 2) ! x3 – 7x – 6b) (x + 1)2(x – 4) ! x3 – 2x2 – 7x – 4c) (x + 2)(x – 2)(x – 1) ! x3 – x2 – 4x + 4d) (x + 3)(x – 2)2(x – 1) ! x4 – 2x3 – 7x2 + 20x – 12

Solución:a) (x – 3)(x2 + 3x + 9)

x1 = 3b) (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

x1 = 1, x2 = –1c) (x – 2)(x – 7)(x + 7)

x1 = 2, x2 = 7, x3 = –7d) 4(x – 4)(x – 1/2)(x + 1/2)

x1 = 4, x2 = 1/2, x3 = –1/2

Solución:

a) 14(x – 2)(x – 1/2)(x + 4/7)

x1 = 2, x2 = 1/2, x3 = – 4/7

b) (x – 1)(x + 3)(x – 5)

x1 = 1, x2 = – 3, x3 = 5

c) x(x – 7)(x + %—3 )(x – %—

3 )x1 = 0, x2 = 7, x3 = – %—

3 , x4 = %—3

d) (x – 2)2(x + %—5 )(x – %—

5 )x1 = x2 = 2, x3 = – %—

5 , x4 = %—5

102 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas108. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

rítmicas:

a) 2x =

b) 0,5x = 32

c) = 23

d) = 27


110. Resuelve las siguientes inecuaciones:a) x2 – 4x + 4 < 0b) x2 – 4x + 4 > 0c) x2 – 4x + 4 * 0d) x2 – 4x + 4 ' 0

111. Resuelve las siguientes inecuaciones:a) x2 + 2x + 3 < 0b) x2 + 2x + 3 > 0c) x2 + 2x + 3 * 0d) x2 + 2x + 3 ' 0

112. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x3 – 4x * 0

b) x4 – x2 > 0

c) > 0

d) ' 0

113. Dada la función f(x) = |3x + 5|, halla:




Solución:

a) x = – 5/3

b) ! – {– 5/3} = (– &, – 5/3) U (– 5/3, + &)

c) Nunca es negativa: +

Solución:a)

(– &, – 2] U [0, 2]b)

(– &, – 1) U (1, + &)c)

(2, + &)d)

[– 3, – 1) U (1, 3]

9 – x2

x2 – 1

5(x – 2)3

Solución:a)

La solución es el conjunto vacío: +b)

La solución es toda la recta real: !

c)

La solución es el conjunto vacío: +d)


Solución:a)

La solución es el conjunto vacío: +b)

! – {2} = (– &, 2) U (2, + &)c)

La solución es el punto: {2}d)


Solución:a) x = 3, y = 1b) x = 2, y = 1

"#$

4 · 2x = 4y + 1

log (x + y) + log (x – y) = log 3

b)

"#$

5x = 25 · 5y

log (x + y) – log (x – y) = log 2

a)

Solución:a) x = 2/3b) x = –5c) x = 8,06d) x = –3/2

19x

5%7x

3%4

0 1

0 1

0 1

2

0 1

2

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

10– 1

0 1

2

0 1

31– 1– 3

0 1

20– 2


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114. Resuelve los siguientes sistemas:

115. Un ángulo de un rombo mide el doble que cada uno delos contiguos.¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de di-cho rombo?

116. Un tren sale de una ciudad A hacia otra ciudad B,que dis-ta 600 km de A, con una velocidad de 80 km/h; a la mis-ma hora sale de la ciudad B con dirección a la ciudad Aotro tren a 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encon-trarse? ¿A qué distancia de la ciudad A se encuentran?

117. Halla las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendoque el perímetro mide 34 m,y la diagonal, 13 m

Solución:

x + y = 17x2 + y2 = 169

x = 5, y = 12, o bien, x = 12, y = 5Un lado mide 12 m y el otro mide 5 m

Solución:

e = 80t600 – e = 120t

e = 240; t = 3 hTardarán en encontrarse 3 horas.Se encuentran a 240 km de A y a 360 km de B

Solución:

Cada ángulo menor: xCada ángulo mayor: 2x2x + 2 · 2x = 360ºx = 60ºCada uno de los dos ángulosmenores mide 60º, y cadauno de sus contiguos, 120º

Solución:a) x = 2, y = – 1, z = 1 b) x = 9/2, y = 6, z = 15/2

"((#(($

x + y + z = 18x y— = —3 4x z— = —3 5

b)"(((#((($

x y 17— + — + z = —3 4 12x + y z 1—— – — = – —3 2 6x y + z— – —— = 12 6

a)

118. Un número entero más el anterior y más el siguiente esigual a 51. ¿De qué número se trata?

119. La altura de un triángulo equilátero es de 5 m. Calculacuánto mide el lado.

120. El área de una plaza de toros mide 2 827 m2. Calcula elradio de la plaza.

Solución:A = ,R2

,R2 = 2 827R = 30 mR = – 30; este valor no es válido.

Se aplica el teorema de Pitágoras:(x/2)2 + 52 = x2

10%–3x = — m

310%–

3x = –—; este valor no es válido.3

Solución:

Solución:Número entero: xAnterior: x – 1Siguiente: x + 1x + x – 1 + x + 1 = 51 ! x = 17

x

x

2x 2x

BA

Tren 1v = 80 km/ht = t

Tren 2v = 120 km/ht = t

e 600 – eC

"#$

"#$

x

y13 m

Problemas

x/2

x5 m

R

104 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas121. Halla dos números enteros consecutivos sabiendo que

su producto es 156

122. El cateto mayor de un triángulo rectángulo es 7 unidadesmás largo que el menor y una unidad menor que la hipote-nusa. Calcula las dimensiones de los catetos y de la hipo-tenusa de dicho triángulo rectángulo.

123. Halla las dimensiones de una habitación rectangular de15 m2 de superficie sabiendo que es 2 metros más largaque ancha.

124. El número de días de un año no bisiesto es igual al cua-drado de un número entero,más el cuadrado del siguientey más el cuadrado del siguiente. ¿De qué número enterose trata?

125. Una finca es 5 m más larga que ancha y tiene 750 m2 desuperficie. Calcula las dimensiones de la finca.

126. Halla un número sabiendo que si a dicho número eleva-do a la cuarta potencia le restamos su cuadrado, se ob-tiene 72

127. Halla un número sabiendo que si le sumamos su raíz cua-drada, se obtiene 30

128. Halla un número sabiendo que la suma de su opuesto consu inverso es igual a 5/6

129. Para ir del punto A al punto C, hacemos el recorrido APy luego PC, y andamos en total 19 km. Si la distancia deB a C es de 15 km, ¿a qué distancia de C está el punto P?

Solución:

(15 – x)2 + 62 = (19 – x)2

x = 12,5 km

A

B P C

6 km

Solución:Número: x– x + 1/x = 5/6x = 2/3, o bien, x = – 3/2

Solución:Número: xx + %–

x = 30x = 25

Solución:Número: xx4 – x2 = 72x = 3, x = – 3

Solución:Lado menor: xLado mayor: x + 5x(x + 5) = 750

x = 25, los lados miden 25 y 30 mSi x = –30, se obtiene valores no válidos.

Solución:Nº de días de un año no bisiesto: 365Número: xNúmero siguiente: x + 1Número siguiente del siguiente: x + 2x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = 365x = 10x = –12

Solución:

Lado menor: xLado mayor: x + 2x(x + 2) = 15

Si x = 3, los lados miden 3 y 5 mSi x = –5, se obtienen valores no válidos.

Solución:

Cateto menor: xCateto mayor: x + 7Hipotenusa: x + 8x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2

Si x = 5, los catetos miden 5 y 12, y la hipotenusa, 13Si x = – 3, se obtienen valores no válidos.

Solución:Un número: xEl siguiente: x + 1x(x + 1) = 156Los números pueden ser: 12 y 13, o bien – 13 y – 12

x + 7

x + 8x

x + 2

x

x + 5

x

A

B P C

6 km19 – x

x15 – x


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130. Calcula dos números cuya diferencia es 5 y la suma desus cuadrados es 73

131. Un rectángulo tiene 21 cm2 de área y su diagonal midecm. Calcula las dimensiones del rectángulo.

132. Para vallar una finca rectangular de 600 m2 se han utiliza-do 100 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

133. La suma de dos números es 13 y la suma de sus inversoses 13/42. Calcula dichos números.

134. Halla dos números positivos sabiendo que su diferenciaes 4 y su producto es 32

135. La cantidad de un medicamento en la sangre viene dadapor la fórmula c = 50 · 0,85t, donde c se mide en mili-gramos y t en horas. Si cuando la cantidad baja de 14 mgse tiene que administrar una nueva dosis, ¿cada cuántotiempo hay que administrar las dosis? Redondea el tiem-po a horas.

136. Un cultivo de bacterias crece según la fórmula y = 2t/5, don-de y es el número de miles de bacterias y t se mide en ho-ras. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que hayamás de 28000 bacterias?

137. La longitud de la circunferencia de un árbol crece segúnla fórmula c = 0,05e0,2t, donde c es la longitud de la cir-cunferencia medida en metros, y t, el número de años.¿Cuántos años tardará en medir 1 m?

138. Una determinada alga cuya superficie es de 0,5 m2 se du-plica cada semana. Se colocan cinco de estas algas en unlago de 6 km2. ¿Cuánto tiempo tardarán en colonizar to-do el lago?

Solución:5 · 0,5 · 2t = 6 · 106

log 2,5 + t log 2 = 6 + log 66 + log 6 – log 2,5

t = ——= 21,19log 2

Tardarán aproximadamente 21 semanas.

Solución:0,05e0,2t = 1L 0,05 + 0,2t = 0

L 0,05t = –— = 14,980,2

Tardará casi 15 años.

Solución:2t/5 = 28 000t

— log 2 = log 28 0005

5 · log 28 000t = —— = 73,87

log 2Deben transcurrir casi 74 horas.

Solución:50 · 0,85t = 14log 50 + t log 0,85 = log 14

log 14 – log 50t = —— = 7,8

log 0,85Cada 8 horas.

Solución:x – y = 4xy = 32x1 = 8, y1 = 4x2 = – 4, y2 = – 8Como se piden valores positivos, la solución negativa noes válida.

Solución:x + y = 131 1 13— + — = —x y 42x = 6, y = 7; o bien x = 7, y = 6

Solución:

xy = 600x + y = 50

x = 30, y = 20; o bien x = 20, y = 30Las dimensiones de la finca son 30 m y 20 m

Solución:

xy = 21x2 + y2 = 58x = 7, y = 3; o bien x = 3, y = 7Las dimensiones del rectángulo son 7 cm y 3 cmEl resto de soluciones no son válidas.

%58

Solución:Números: x e y

x – y = 5x2 + y2 = 73

Los números son 8 y 3, o bien – 3 y – 8

"#$

"#$

"#$

"#$

x

y%-58

x

y

"(#($

106 SOLUCIONARIO

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ño, S

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Ejercicios y problemas139. La mitad de un número más su cuadrado es menor de

39. ¿Qué valores puede tomar dicho número?

140. El perímetro de un rectángulo mide 24 m. ¿Qué valorespueden tomar los lados para que la superficie sea mayorde 32 m2?

141. Halla cuándo es positiva la función: f(x) = –x2 + 5x – 4

142. Halla cuándo es negativa la función: f(x) =

143. En la ecuación de 2º grado x2 + 4x + c = 0, determinaqué valores debe tomar c para que:a) tenga una sola raíz real.b) tenga dos raíces reales.c) no tenga raíces reales.

144. En una familia de tres miembros ingresan entre los tres3 250 ! al mes.La madre gana el doble que el hijo y el hi-jo gana el 75% del sueldo del padre. ¿Cuál es el salario decada uno?

145. Una colección de 126 discos se ha dividido en tres par-tes. La primera tiene el doble de discos que la segunda, yentre las dos primeras suman la mitad de la colección.¿Cuántos discos tiene cada parte?

146. Se han comprado 2 500 acciones de tres empresas a 12 !,10 ! y 15 !, respectivamente, cada acción. Si el capitalinvertido es de 30 000 ! y el número de acciones de laprimera empresa supone un 40% del total, ¿cuántas ac-ciones se han comprado de cada empresa?

147. De una cierta cantidad de dinero se ha gastado primerola mitad, y luego la tercera parte de lo que quedaba, y aúnquedan 4 000 !. ¿Cuánto dinero había inicialmente?

148. Hoy la edad de un padre es 6 veces la de su hijo, y den-tro de 9 años la edad del padre será el triple de la edadde su hijo. ¿Cuántos años tiene hoy cada uno?

Solución:

6x + 9 = 3(x + 9)x = 6La edad del hijo hoy: 6 años.La edad del padre hoy: 36 años.

Solución:x 1 x— + — · — + 4 000 = x2 3 2x = 12 000 "

Solución:De 12 ": x De 10 ": y De 15 ": z

x + y + z = 2 50012x + 10y + 15z = 30 000

x = 0,4 · 2 500x = 1000 acciones de 12 "y = 900 acciones de 10 "z = 600 acciones de 15 "

Solución:Primera: 2xSegunda: x2x + x = 63x = 21Primera: 42 discos.Segunda: 21 discos.Tercera: 63 discos.

Solución:Padre: x Hijo: 0,75 x Madre: 1,5 xx + 0,75x + 1,5x = 3 250x = 1 000 "Padre: 1 000 " Hijo: 750 " Madre: 1 500 "

Solución:! = 16 – 4ca) 16 – 4c = 0 ! c = 4b) 16 – 4c > 0 ! c < 4c) 16 – 4c < 0 ! c > 4

Solución:x2 – 4—< 0

x(– &, – 2) U (0, 2)

x2 – 4x

Solución:– x2 + 5x – 4 > 0En el intervalo: (1, 4)

Solución:Base: xAltura: 12 – xx(12 – x) > 32Los números del intervalo abierto: (4, 8)

Solución:x/2 + x2 < 39Los números del intervalo abierto: (– 13/2, 6)

"(#($

Ahora

Hijo x

Padre 6x

Dentro de 9 años

x + 9

6x + 9


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149. Los lados de un triángulo rectángulo son números quese diferencian en cinco unidades. Calcula las longitudesde dichos lados.

Para profundizar

150. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) |2x + 3| = 5b) |–3x + 5| = |x – 7| c) |x2 + 5| = 9d) |x2 – 1| = 8

151. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) |x2 – 5x| = 6b) |x2 + 7| = 2c) |x2 – x| = 12d) |2x2 + 5x| = 3

152. La suma de un número par más el par anterior y más elimpar siguiente es 77. ¿De qué número se trata?

153. Dos grifos llenan un depósito en dos horas. Si uno echael doble de agua que el otro, ¿cuánto tiempo tardaría enllenar el depósito cada grifo?

154. Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones al-gebraicas:

a) para x = 3 b) para x = –2

155. Halla dos números enteros consecutivos, sabiendo quesu producto dividido por su suma es igual a 6/5

Solución:Números: x, x + 1x(x + 1) 6—= — ! x = 2x + x + 1 5Los números son: 2 y 3Aparece también la solución x = – 3/5, pero no es unnúmero entero.

Solución:

a) Se obtiene 0/0; se puede simplificar previamente.x2 – 6x + 9 (x – 3)2 x – 3—— = —— = —

x2 – 9 (x + 3)(x – 3) x + 3Se obtiene: 0

b) Se obtiene 0/0; se puede simplificar previamente.x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x + 1—— = —— = —x2 – x – 6 (x + 2)(x – 3) x – 3

Se obtiene: 1/5

x2 + 3x + 2x2 – x – 6

x2 – 6x + 9x2 – 9

Solución:

Volumen del depósito: 2(x + 2x) = 6xTiempo grifo 1 del caudal menor:xt1 = 6x ! t1 = 6 horas.Tiempo grifo 2 del caudal mayor:2xt2 = 6x ! t2 = 3 horas.

Solución:Número par: 2xPar anterior: 2x – 2Impar siguiente: 2x + 12x + 2x – 2 + 2x + 1 = 77x = 13Número par: 26 Par anterior: 24 Impar siguiente: 27

Solución:a) x2 – 5x = 6 ! x1 = 6, x2 = – 1

x2 – 5x = – 6 ! x1 = 2, x2 = 3b) x2 + 7 = 2 ! No tiene solución real.

x2 + 7 = – 2 ! No tiene solución real.c) x2 – x = 12 ! x1 = 4, x2 = – 3

x2 – x = – 12 ! No tiene solución real.d) 2x2 + 5x = 3 ! x1 = – 3, x2 = 1/2

2x2 + 5x = – 3 ! x1 = – 1, x2 = – 3/2

Solución:a) 2x + 3 = 5 ! x = 1

2x + 3 = – 5 ! x = – 4b) – 3x + 5 = x – 7 ! x = 3

– 3x + 5 = – x + 7 ! x = – 1c) x2 + 5 = 9 ! x1 = 2, x2 = – 2

x2 + 5 = – 9 ! No tiene solución real.d) x2 – 1 = 8 ! x1 = 3, x2 = – 3

x2 – 1 = – 8 ! No tiene solución real.

Solución:

Cateto menor: xCateto mayor: x + 5Hipotenusa: x + 10

x2 + (x + 5)2 = (x + 10)2

Si x = 15, los catetos miden: 15 y 20; la hipotenusa mide30Si x = – 5, se obtienen valores no válidos.

x + 5

x + 10x

Caudal

Grifo 1 x

Grifo 2 2x

Tiempot1

t2

Volumenxt1

2xt2

108 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas156. Halla dos números enteros consecutivos, sabiendo que

su suma más la raíz cuadrada de su suma es igual a 30

157. Las diagonales de un rombo son proporcionales a 3 y 2.El área del rombo mide 243 cm2. Calcula las diagonalesdel rombo.

158. La fórmula de revalorización de un sueldo viene dada porS = s(1 + r)t, donde S es el sueldo final, s el sueldo inicial,r el tanto por uno y t el número de años. Calcula el nú-mero de años que tienen que transcurrir para que un suel-do anual de 20000 !,con una revalorización del 3,5 % anual,se transforme en 30000 !

159. En un lago artificial se introducen 85 truchas, que se re-producen según la fórmula N = 85e2t, donde N es el nú-mero de truchas y t el número de años. ¿Cuánto tiempotiene que transcurrir para que haya más de un millón detruchas?

160. La población de una ciudad viene dada por la fórmulap = 2e0,005t, donde p es el número de millones de habi-tantes, y t, el tiempo en años. Calcula cuántos años tie-nen que transcurrir para que la población sea de 2,5 mi-llones de habitantes.

161. La población de una cierta especie animal en peligro deextinción se reduce según la fórmula P = 5 000 · 2–0,3t,donde P es la población final, y t, el número de años. Si

se considera que la extinción es inevitable si hay menosde 100 ejemplares, ¿en cuántos años se alcanzará el pun-to en el que se considera que la extinción es inevitable?

162. El polonio tiene un período de semidesintegración de 140días, es decir, cada 140 días se transforma en la mitad desu peso. Si tenemos 200 g de polonio, ¿en cuánto tiempose transformará en 25 g?

163. En la actualidad la edad de un padre es el triple de la desu hijo, y dentro de 15 años la edad del padre será el do-ble de la edad de su hijo. ¿Cuántos años tienen en estemomento el padre y el hijo?

164. Halla el radio de la sección de un tronco de un árbol pa-ra que tenga 1 m2 de área.

165. Halla dos números impares consecutivos cuyo productosea 323

Solución:Números impares consecutivos: 2x + 1, 2x + 3(2x + 1)(2x + 3) = 323 ! x1 = 8, x2 = – 10Los números son: 17 y 19, o bien – 19 y – 17

Solución:1

A = ,R2 ! ,R2 = 1 ! R = — = 0,56 m = 56 cm%—,

Solución:

3x + 15 = 2(x + 15) ! x = 15Edad del hijo ahora: 15 años.Edad del padre ahora: 45 años.

Solución:200 · (1/2)t = 25log 200 – t log 2 = log 25

log 200 – log 25t = ——= 3

log 2Tiempo: 3 · 140 = 420 días.Serán 3 períodos.

Solución:5 000 · 2– 0,3t = 100log 5 000 – 0,3t log 2 = 2

log 5 000 – 2t = —— = 18,81

0,3 log 2Se alcanzará a los 18,81 años.

Solución:2e0,005t = 2,5L 2 + 0,005t = L 2,5

L 2,5 – L 2t = —— = 44,60,005

Deben transcurrir 44,6 años.

Solución:85e2t = 1 000 000 ! t = 4,69 años.

Solución:20 000 · 1,035t = 30 000 ! t = 11,79 años.

Solución:

x y— = —3 2 x = 27, y = 18xy Las diagonales miden: 27 cm y 18 cm— = 2432

Las soluciones negativas no tienen sentido.

Solución:Números: x, x + 1x + x + 1 + %—x + x + 1 = 30 ! x = 12Los números son: 12 y 13

"((#(($

Ahora

Hijo x

Padre 3x

Dentro de 15 años

x + 15

3x + 15


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166. Una finca rectangular tiene de superficie 759 m2 y se ne-cesitan 112 m de cerca para vallarla. Calcula las dimen-siones de la finca.

167. Las edades de Óscar y su madre suman 65 años, y den-tro de cinco años la edad de la madre será el doble quela de Óscar.¿Qué edad tienen en ese momento cada uno?

168. Se mezcla café del tipo A de 6 "/kg con café del tipo B de4,5 "/kg para obtener una mezcla de 60 kg a 5 "/kg.¿Cuán-tos kilogramos de café debemos tomar de cada tipo?

169. Un camión sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, quedistan 800 km entre sí, con una velocidad de 70 km/h;dos horas más tarde sale de la misma ciudad A con di-rección a la ciudad B un coche a 110 km/h.¿Cuánto tiem-po tardará en alcanzar el coche al camión? ¿A qué dis-tancia de la ciudad A lo alcanzará?

Solución:

Camión Cochee: e e: ev: 70 km/h v: 110 km/ht: t t: t – 2e = vt e = vte = 70t e = 110(t – 2)

Hay que resolver el sistema:

e = 70te = 110(t – 2)

t = 5,5 h = 5 h 30 min ! e = 70 · 5,5 = 385 km

Solución:Tipo A: x a 6 "/kg Tipo B: 60 – x a 4,5 "/kg6x + 4,5(60 – x) = 60 · 5 ! x = 20 kgTipo A: 20 kg Tipo B: 40 kg

Solución:

x + y = 65y + 5 = 2(x + 5)

x = 20, y = 45

Edad Óscar ahora: 20 años.Edad de la madre ahora: 45 años.

Solución:2x + 2y = 112xy = 759

x = 33, y = 23; o bien x = 23, y = 33

La finca mide 33 m . 23 m

"#$

"#$

"#$

BA

Camiónv = 70 km/ht = t

Cochev = 110 km/ht = t – 2

ee C

Ahora

Óscar x

Madre y

Dentro de 5 años

x + 5

y + 5

BLOQUE II

Geometría3. Razones trigonométricas4. Resolución de triángulos5. Geometría analítica6. Lugares geométricos y cónicas7. Los números complejos

114 SOLUCIONARIO

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3 Razonestrigonométricas

1. Razones trigonométricas o circulares

1. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente losque están en grados a radianes y viceversa:a) 45°, 120°, 270°b) !/6 rad, !/2 rad, 3!/4 rad, ! rad

2. Pasa los ángulos que están en grados a radianes y viceversa:a) 54° b) 217°c) 1,25 rad d) 2,47 rad

3. Reduce a un ángulo menor de 360° los siguientes ángu-los y escríbelos en forma general:a) 765° b) 2 345° c) –540°

4. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redon-dea el resultado a cuatro decimales:a) sen 47° 35' 44" b) cos 73° 15' 52"c) tg 25° 5' 12" d) sen 83° 44' 23"

5. Calcula los siguientes ángulos en grados, minutos y se-gundos sabiendo que:a) sen " = 0,7634 b) cos " = 0,1234c) tg " = 2,5 d) sen " = 0,8888

Solución:a) " = 49º 45’ 53’’b) " = 82º 54’ 42’’c) " = 68º 11’ 55’’d) " = 62º 43’ 22’’

Solución:a) 0,7384 b) 0,2880 c) 0,4682 d) 0,9940

Solución:a) 45º + 360º k, k # !

b) 185º + 360º k, k # !

c) 180° + 360° k, k # !

Solución:a) 0,9425 rad b) 3,7874 radc) 71º 37’ 11’’ d) 141º 31’ 14’’

Solución:a)

45º = !/4 rad120º = 2!/3 rad270º = 3!/2 rad

b)

!/6 rad = 30º!/2 rad = 90º3!/4 rad = 135º! rad = 180º

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

En una circunferencia de radio R = 1 m, calcula mentalmente y de forma exacta la longitud de:a) la circunferencia. b) la semicircunferencia. c) un cuarto de circunferencia. d) tres cuartos de circunferencia.

Solución:3!a) LCircunferencia = 2! m b) LSemicircunferencia = ! m c) LCuarto de circunferencia = !/2 m d) LTres cuartos de circunferencia = — m2

45º120º

270º

! rad !/6 rad

!/2 rad3!/4 rad

TEMA 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 115

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" Piensa y calcula

En el triángulo rectángulo e isósceles del dibujo, calcula mentalmente:a) el ángulo "b) tg "

Solución:a) " = 45º b) tg " = 1

8. La pirámide de Kefrén, de Egipto, proyecta una sombrade 134,7 m y el ángulo que forma el suelo con la rectaque une el extremo de la sombra con la parte más al-ta de la pirámide es de 45°. Halla mentalmente la altu-ra de dicha pirámide.

9. Si sen " = 0,3456, calcula mentalmente cos (90° – ")

10. Si cos 50° = 0,6428, calcula mentalmente sen 40°

11. Sabiendo que cos " = 1/2, haz el dibujo del ángulo " ycalcula mentalmente el valor de "

Solución:" = 60º

Solución: 0,6428

Solución: 0,3456

Solución:Altura = 134,7 m

! Aplica la teoría

2. Relaciones entre razones. Razones de 30°, 45° y 60°

6. Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo ""del triángulo rectángulo siguiente:

7. Un árbol y su sombra forman un ángulo recto. La som-bra mide 7,8 m y el ángulo con el que se ve la parte su-perior del árbol desde el extremo de la sombra mide47° 30'. Calcula la altura del árbol.

Solución:

htg 47º 30’ = —7,8

h = 7,8 tg 47º 30’ = 8,5 m

Solución:sen " = 3/5 cosec " = 5/3cos " = 4/5 sec " = 5/4tg " = 3/4 cotg " = 4/3

10 m

8 m6 m

!

x

x

1

!

!

h

7,8 m

47º 30'

21

30º

60º1

116 SOLUCIONARIO

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12. Sabiendo que sen " = 2/3, calcula cos " y tg "

13. Sabiendo que cos " = 3/5, calcula sen " y tg "

14. Sabiendo que tg " = 1/2, calcula sen " y cos "

15. Demuestra que tg 45° = 1

16. Demuestra que sen 60° = cos 30° =

17. Un faro proyecta una sombra de 50 m, y el ángulo queforma el suelo con la recta que une el extremo de lasombra con la parte más alta del faro es de 30°.Halla laaltura del faro.

Solución:

tg 30° = h/50$—

3h = 50 tg 30° = 50 — = 28,87 m3

Solución:

x = sen 60° = cos 30°

1x2 + (—)2= 1

2Despejando x se obtiene que:

$—3 $—

3x = — % sen 60° = cos 30° = —

2 2

$32

Solución:

xtg 45º = — = 1x

Solución:tg2 " + 1 = sec2 "1 $—

5 2$—5— + 1 = sec2 " % sec " = — % cos " = —

4 2 5sen "tg " = —cos "

2$—5 1 $—

5sen " = cos " tg " = — · — = —5 2 5

$—5sen " = —

5

Solución:Se aplica la fórmula fundamental:sen2 " + cos2 " = 1

3 4sen2 " + (—)2= 1 % sen " = —

5 54 3 4tg " = sen " : cos " = — : — % tg " = —5 5 3

Solución:Se aplica la fórmula fundamental:sen2 " + cos2 " = 14 $—

5— + cos2 " = 1 % cos " = —9 3

2 $—5 2$—

5tg " = sen " : cos " = — : — % tg " = —3 3 5

45º

1

45º

x

x

21

30º x30º

60º

60º1

h

50 m30°


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" Piensa y calcula

Completa la siguiente tabla escribiendo el signo de las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes:

Solución:

18. Un ángulo " está en el 3er cuadrante y se sabe que sen " = –1/2. Dibuja el ángulo y calcula mentalmenteel ángulo ", el cos " y la tg "

19. Sustituye los puntos suspensivos por & o ' :a) |sen "| … 1b) |sec "| … 1

20. Haz el dibujo y calcula mentalmente el seno, el cosenoy la tangente de 225°

21. Un ángulo " está en el 2º cuadrante, y sen " = 4/5.Hazel dibujo del ángulo ", halla el cos " y la tg "

22. Un ángulo " está en el 4º cuadrante, y tg " = –2/3.Hazel dibujo del ángulo ", halla el sen " y el cos "

23. Calcula las siguientes razones trigonométricas redon-deando el resultado a cuatro cifras decimales:

a) sen 55° 33' 44" b) cos 163° 25' 35"

c) tg 255° 42' 13" d) sen 344° 33' 25"

Solución:a) 0,8247 b) – 0,9585 c) 3,9242 d) – 0,2663

Solución:

2$—13sen " = –—

133$—

13cos " = —13

Solución:

cos " = – 3/5tg " = – 4/3

Solución:

$—2sen 225° = – sen 45° = –—

2$—

2cos 225° = – cos 45° = –—2

tg 225° = tg 45° = 1

Solución:a) |sen "| ' 1 b) |sec "| & 1

Solución:

" = 210°$—

3cos 210° = – cos 30° = –—2

$—3tg 210° = tg 30° = —

3

! Aplica la teoría

3. Generalización de las razones trigonométricas

xy +

+1er 2o 3er 4o

xy +

+1er

+–2o

––

3er

–+4o

210º30º

–1/2

–1/2

225º45º

"

180º

– "

"

–2/3

360º – "

118 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Calcula mentalmente:a) sen 60° + sen 30° b) sen (60° + 30°) c) 2 · cos 45° d) cos (2 · 45°)

Solución:$—

3 1 1 + $—3 $—

2a) — + — = — b) sen 90° = 1 c) 2 · — = $—2 d) cos 90° = 0

2 2 2 2

25. Calcula sen 75°

26. Calcula tg 15°

27. Si sen " = 0,3, calcula cos 2"

28. Si cos " = 0,6, calcula tg "/2

29. Calcula cos 75° – cos 15°

Solución:" + ( " – (cos " – cos ( = – 2 sen — sen —

2 2cos 75° – cos 15° = – 2 sen 45° sen 30° =

$—2 1 $—

2= – 2 — · — = –—2 2 2

Solución:

" 1 – cos "tg — = $ ——2 1 + cos "

" 1 – 0,6tg — = $ ——2 1 + 0,6"tg — = ±0,52

Solución:cos 2" = cos2 " – sen2 "En primer lugar hay que calcular cos "cos " = 0,9539cos 2" = 0,95392 – 0,32 = 0,8199

Solución:tg 45° – tg 30°tg 15º = tg (45º – 30º) =——= 2 – $—

31 + tg 45° tg 30°

Solución:sen 75º = sen (45º + 30º) =

$—2($—

3 + 1)= sen 45º cos 30º + cos 45º sen 30º = ——

4

! Aplica la teoría

4. Razones de operaciones con ángulos

24. Calcula el ángulo " en grados, minutos y segundos enlos siguientes casos:

a) sen " = 0,5555 y " está en el 1er cuadrante.

b) cos " = –0,42 y " está en el 2º cuadrante.

c) tg " = 1,7 y " está en el 3er cuadrante.

d) sen " = –0,65 y " está en el 4º cuadrante.

Solución:a) " = 33º 44’ 43’’b) " = 114º 50’ 5’’c) " = 239º 32’ 4’’d) " = 319º 27’ 30’’


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l Bru

ño, S

.L.

30. Si sen " = 1/3, calcula sen (" + 30°)

31. Si tg " = 2/3, calcula tg (60° – ")

32. Una escalera de bomberos está apoyada sobre la fa-chada de una casa; la escalera mide 15 m de longitud yel ángulo que forma la escalera con el suelo es de 75°.Calcula la altura a la que llegará la escalera en la casa.

Solución:sen 75º = h/15h = 15 · sen 75º = 14,49 m

Solución:tg 60° – tg "tg(60° – ") = —— =

1 + tg 60° tg "$—

3 – 2/3 24 – 13$—3= —— = ——

1 + $—3 · 2/3 3

Solución:sen (" + 30º) = sen " cos 30º + cos " sen 30ºEn primer lugar hay que calcular cos "

2$—2cos " = —

31 $—

3 2$—2 1 $—

3 + 2$—2sen (" + 30°) = — · — + — · — = —

3 2 3 2 6

" Piensa y calcula

Observando el dibujo y sabiendo que cos " = , cos ( = – , calcula mentalmente cuánto

miden los ángulos " y (

Solución:" = 60º ( = 120º

12

12

5. Ecuaciones e identidades trigonométricas

1

1/2– 1/2!"

33. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones trashacer el dibujo correspondiente:

a) sen x = 0 b) cos x = –1

34. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones trashacer el dibujo correspondiente:

a) sen x = b) cos x = –

Solución:a)

x1 = 45º + 360ºk, k #!

x2 = 135º + 360ºk, k #!

b)

x1 = 120º + 360ºk, k # !

x2 = 240º + 360ºk, k # !

12

$22

Solución:a)

x1 = 360ºk, k # !

x2 = 180º + 360ºk, k #!

b)

x = 180º + 360ºk, k # !

! Aplica la teoría

0º

180º

45º135º

120º240º

–1

180º

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35. Resuelve la siguiente ecuación:sen2 x = sen x

36. Resuelve la siguiente ecuación:2 cos2 x – sen x = 1

37. Resuelve la siguiente ecuación:1 + sec2 x = 3 tg2 x

38. Resuelve la siguiente ecuación:cosec2 x = 2 cotg2 x

Solución:cosec2 x = 2 cotg2 x

1 2cos2 x— = —sen2 x sen2 x

2 cos2 x = 1

$—2cos x = ± —

2

$—2Si cos x = —

2

x1 = 45° + 360°k, k # !

x2 = 315º + 360ºk, k # !

Solución:1 + sec2 x = 3 tg2 xSe aplica que: tg2 x + 1 = sec2 x1 + tg2 x + 1 = 3 tg2 xtg2 x = 1tg x = ± 1Si tg x = 1

x1 = 45º + 360ºk, k # !

x2 = 225º + 360ºk, k # !

Si tg x = – 1

x3 = 135º + 360ºk, k # !

x4 = 315º + 360ºk, k # !Solución:2 cos2 x – sen x = 12(1 – sen2 x) – sen x = 12 – 2 sen2 x – sen x = 12 sen2 x + sen x – 1 = 0sen x = 1/2, sen x = – 1Si sen x = 1/2

x1 = 30º + 360ºk, k # !

x2 = 150º + 360ºk, k # !

Si sen x = – 1

x3 = 270º + 360ºk, k # !

Solución:sen2 x – sen x = 0 ò sen x(sen x – 1) = 0sen x = 0, sen x = 1Si sen x = 0

x1 = 360ºk, k # !, x2 = 180º + 360ºk, k # !

Si sen x = 1

x3 = 90º + 360ºk, k # !

0º

180º

90º

30º150º

1/21/2

270º

–1

45º225º

135º

315º

45º

315º


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39. Comprueba la siguiente identidad:tg2 x – sen2 x = tg2 x sen2 x

40. Comprueba la siguiente identidad:sec2 x + cosec2 x = sec2 x cosec2 x

41. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigo-nométricas:a) b)

Solución:a) Sumando ambas ecuaciones, se obtiene:

2 sen x = 1Si sen x = 1/2x1 = 30º + 360ºk, k # !

x2 = 150º + 360ºk, k # !

Restando de la 1a ecuación la 2ª, se obtiene:2 sen y = 1Si sen y = 1/2y1 = 30º + 360ºk, k # !

y2 = 150º + 360ºk, k # !

b) Sumando las dos ecuaciones, se obtiene:2sen2 x = 2sen2 x = 1sen x = $—

1 = ± 1

Si sen x = 1x = 90° + 360°k, k # !

Si sen x = – 1x = 270° + 360°k, k # !

Restando las dos ecuaciones, se obtiene:2cos2 y = 1/2cos2 y = 1/4cos y = $—1/4 = ± 1/2

Si cos y = 1/2y1 = 60° + 360°k, k # !

y2 = 300° + 360°k, k # !

Si cos y = – 1/2y3 = 120° + 360°k, k # !

y4 = 240° + 360°k, k # !

)*+

sen2 x + cos2 y = 5/4sen2 x – cos2 y = 3/4

)*+

sen x + sen y = 1sen x – sen y = 0

Solución:Haciendo operaciones en el 1er miembro se obtiene el2° miembro:

1 1 sen2 x + cos2 xsec2 x + cosec2 x = —+—= ——=cos2 x sen2 x sen2 x cos2 x

1 1 1= —— = — ·— = cosec2 x sec2 xsen2 x cos2 x sen2 x cos2 x

La representación gráfica es:

Solución:Se hacen operaciones en cada uno de los dos miembros.En el 1er miembro:

sen2 xtg2 x – sen2 x = —– sen2 x =cos2 x

sen2 x – sen2 x cos2 x sen2 x(1 – cos2 x) sen4 x= ——— = ——= —cos2 x cos2 x cos2 x

En el 2° miembro:sen2 x sen4 xtg2 x sen2 x = —sen2 x = —cos2 x cos2 x


$—2Si cos x = –—

2

x3 = 135º + 360ºk, k # !

x4 = 225º + 360ºk, k # !

135º225º

y 6

5

4

3

2

1

– 6 – 5 – 4 – 3 – 1– 2 1 2 3 4 5 6– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

x

y

x– 6 – 5 – 4 – 3 – 1– 2 1 2 3 4 5 6

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

6

5

4

3

2

1

30º150º

1/21/2

30º150º

1/21/2

90º

270º

300º 1/260º

120º–1/2

240º

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Ejercicios y problemas1. Razones trigonométricas o circulares

42. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente de gra-dos a radianes: 30°, 90°, 180°

43. Dibuja los siguientes ángulos y pasa mentalmente de ra-dianes a grados: !/3 rad, 2!/3 rad, 3!/2 rad

44. Pasa de grados a radianes los siguientes ángulos:a) 47° b) 319°

45. Pasa de radianes a grados los siguientes ángulos:a) 0,85 rad b) 1,23 rad

46. Reduce a un ángulo menor de 360° los siguientes ángu-los y escríbelos en forma general:a) 900° b) 25 647° c) –1 755°

47. Calcula todas las razones trigonométricas del ángulo "del triángulo rectángulo siguiente:

48. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redon-dea el resultado a cuatro decimales:a) sen 55° 33' 22" b) cos 87° 5' 2"c) tg 45° 15' 25" d) sen 18° 11' 20"

49. Calcula los ángulos en grados, minutos y segundos sa-biendo que:a) sen " = 0,4444 b) cos " = 0,6703c) tg " = 0,5 d) sen " = 0,9876

2. Relaciones entre razones. Razonesde 30°, 45° y 60°

50. Un sabio llamado Thales de Mileto se acerca a la esfingede Egipto con un bastón de 1 m de altura, se sienta enuna piedra y pone el bastón vertical al suelo. Espera has-ta que la sombra es igual de larga que el bastón. En esemomento mide la longitud de la sombra de la esfinge yobtiene 57 m. Calcula mentalmente cuánto mide de al-to dicha esfinge.

51. Sabiendo que cos " = 0,7777, calcula mentalmentesen (90° – ")

52. Sabiendo que sen 50°= 0,7660,calcula mentalmente cos 40°

Solución:0,7660

Solución:0,7777

Solución:Altura = 57 m

1 m

x

1 m57 m

Solución:a) " = 26º 23’ 6’’ b) " = 47º 54’ 35’’c) " = 26º 33’ 54’’ d) " = 80º 58’ 4’’

Solución:a) 0,8247 b) 0,0509c) 1,0090 d) 0,3122

Solución:sen " = 4/5 cosec " = 5/4cos " = 3/5 sec " = 5/3tg " = 4/3 cotg " = 3/4

Solución:a) 180º + 360ºk, k # !

b) 87º + 360ºk, k # !

c) 45° + 360° k, k # !

Solución:a) 48º 42’ 5’’ b) 70º 28’ 26’’

Solución:a) 0,8203 rad b) 5,5676 rad

Solución:

!/3 rad = 60º2!/3 rad = 120º3!/2 rad = 270º

Solución:

30º = !/6 rad90º = !/2 rad180º = ! rad

30º90º

180º

!/3 rad3!/2 rad

2!/3 rad


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53. Sabiendo que sen " = 1/2, haz el dibujo del ángulo " ycalcula mentalmente el valor de "

54. Sabiendo que sen " = 4/5, calcula cos " y tg "

55. Sabiendo que cos " = 2/5, calcula sen " y tg "

56. Sabiendo que tg " = 5/12, calcula sen " y cos "

57. Demuestra que:

a) tg 60° = cotg 30° = b) tg 30° = cotg 60° =

3. Generalización de las razones trigonométricas

58. Un ángulo " está en el segundo cuadrante y es tal quecos " = –1/2. Dibuja el ángulo y calcula mentalmente elángulo ", el sen " y la tg "

59. Sustituye los puntos suspensivos por el signo corres-pondiente:a) |cos "| … 1b) |cosec "| … 1

60. Haz el dibujo y calcula mentalmente seno, coseno y tan-gente de 210°

61. Un ángulo " está en el 2º cuadrante y es tal que tg " = – 2.Haz el dibujo del ángulo "; halla sen " y cos "

Solución:

Solución:

1sen 210° = – sen 30° = – —2$—

3cos 210° = – cos 30° = –—2

$—3tg 210° = tg 30° = —

3

Solución:a) |cos "| ' 1b) |cosec "| & 1

Solución:

" = 120°$—

3sen 120° = sen 60° = —2

tg 120° = – tg 60° = – $—3

Solución:

$—3 1tg 60° = sen 60° : cos 60° = — : — = $—

32 21 $—

3 $—3tg 30° = sen 30° : cos 30° = — : — = —

2 2 3

$33

$3

Solución:cos " = 12/13, sen " = 5/13

Solución:Se aplica la fórmula fundamental:sen2 " + cos2 " = 1

4 $—21sen2 " + — = 1 % sen " = —

25 5$—

21 2 $—21tg " = sen " : cos " = — : — % tg " = —

5 5 2

Solución:Se aplica la fórmula fundamental:sen2 " + cos2 " = 116 3— + cos2 " = 1 % cos " = —25 5

4 3 4 tg " = sen " : cos " = — : — % tg " = —5 5 3

Solución:

" = 30º 21

30º

60º

1

21

30º30º

60º

60º1

23

60º120º

30º210º

!1

2

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62. Un ángulo " está en el 3er cuadrante, y cos " = –3/5. Hazel dibujo del ángulo "; halla sen " y tg "

63. Calcula las siguientes razones trigonométricas y redon-dea el resultado a cuatro cifras decimales:a) sen 256° 23' 5"b) cos 12° 20' 30"c) tg 157° 13' 10"d) cos 325° 26' 27"

64. Calcula el ángulo " en grados,minutos y segundos en lossiguientes casos:a) sen " = 0,2020 y " está en el 1er cuadrante.b) tg " = –3,1415 y " está en el 2º cuadrante.c) cos " = –0,6 y " está en el 3er cuadrante.d) sen " = –0,8325 y " está en el 4º cuadrante.

4. Razones de operaciones con ángulos

65. Calcula cos 75°

66. Calcula sen 15°

67. Sabiendo que cos " = 0,6, calcula sen 2"

68. Sabiendo que cos " = 0,4, calcula tg "/2

69. Calcula cos 15° + cos 75°

70. Sabiendo que cos " = 0,6, calcula sen (60° – ")

Solución:sen (60º – ") = sen 60º cos " – cos 60º sen "En primer lugar hay que calcular sen ":sen " = 0,8

$—3 1sen (60º – ") = — · 0,6 – — · 0,8 = 0,1196

2 2

Solución:" + ( " – (cos 15° + cos 75° = 2 cos — cos — =

2 2$—

2 1 $—2= 2 cos 45° cos (– 60°) = 2 — · — = —

2 2 2

Solución:

" 1 – cos "tg — = $ ——2 1 + cos "

" 1 – 0,4tg — = $ ——2 1 + 0,4"tg — = ±0,65472

Solución:sen 2" = 2 sen " cos "En primer lugar hay que calcular sen ":sen " = 0,8sen 2" = 2 · 0,8 · 0,6 = 0,96

Solución:sen 15º = sen (45º – 30º) == sen 45º cos 30º – cos 45º sen 30º =

$—2 $—

3 $—2 1 $—

2($—3 – 1)= — · — – — · — = ——

2 2 2 2 4

Solución:cos 75º = cos (45º + 30º) == cos 45º cos 30º – sen 45º sen 30º =

$—2 $—

3 $—2 1 $—

2($—3 – 1)= — · — – — · — = ——

2 2 2 2 4

Solución:a) " = 11º 39’ 14’’b) " = 107º 39’ 26’’c) " = 233º 7’ 48’’d) " = 303º 38’ 37’

Solución:a) – 0,9719b) 0,9769c) – 0,4200d) 0,8235

Solución:

sen2 " + cos2 " = 19 4sen2 " + — = 1 % sen " = – —25 5

4 3 4 5 4tg " = sen " : cos " = – — : (– —) = — · — = —5 5 5 3 3

4 tg " = —3

Solución:tg2 " + 1 = sec2 "4 + 1 = sec2 "

$—5sec " = – $—

5 % cos " = – —5

tg " = sen " : cos "sen " = tg " cos "

$—5 2$—

5sen " = – 2(–—) = —5 5

"


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71. Sabiendo que tg " = 5/4, calcula tg (" – 45°)

5. Ecuaciones e identidades trigonométricas

72. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-cer el dibujo correspondiente:a) sen x = –1b) cos x = 0

73. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-cer el dibujo correspondiente:

a) sen x = –

b) cos x =

74. Resuelve la siguiente ecuación: 2 cos x = sec x

75. Resuelve la siguiente ecuación: 2 sen2 x + cos x = 1

Solución:2 sen2 x + cos x = 1Se aplica que: sen2 x = 1 – cos2 x2(1 – cos2 x) + cos x = 12 – 2 cos2 x + cos x = 12 cos2 x – cos x – 1 = 0

1 ± $—1 + 8 1 ± 3 1cos x = —— = — =4 4 – 1/2

Si cos x = 1

x1 = 360ºk, k # !

1Si cos x = – —2

x2 = 120º + 360ºk, k # !

x3 = 240º + 360ºk, k # !

Solución:2 cos x = sec x2 cos x = 1/cos x2 cos2 x = 1cos2 x = 1/2

$—2cos x = ± —

2$—

2Si cos x = —2

x1 = 45º + 360ºk, k # !

x2 = 315º + 360ºk, k # !

$—2Si cos x = – —

2

x3 = 135º + 360ºk, k # !

x4 = 225º + 360ºk, k # !

Solución:a)

x1 = 210º + 360ºk, k # !

x2 = 330º + 360ºk, k # !

b)

x1 = 30º + 360ºk, k # !

x2 = 330º + 360ºk, k # !

$32

12

Solución:a)

x = 270º + 360ºk, k # !

b)

x1 = 90º + 360ºk, k # !

x2 = 270º + 360ºk, k # !

Solución:tg " – tg 45° 5/4 – 1 1tg (" – 45°) = —— = —— = —

1 + tg " tg 45° 1 + 5/4 · 1 9

270º

–1

270º 90º

210º

330º–1/2 –1/2

330º 30º

45º

315º

135º225º

1

120º240º

88

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Ejercicios y problemas76. Resuelve la siguiente ecuación:

cos x = sen 2x

77. Resuelve la siguiente ecuación:tg2 x + 3 = 2 sec2 x

78. Comprueba la siguiente identidad:cos x + sec x = sec x (1 + cos2 x)

79. Comprueba la siguiente identidad:

tg2 x – sen2 x = sen2 x tg2 x

80. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigono-métricas:

a)

b) )*+

sen x + cos y = 1sen2 x + cos2 y = 1/2

)*+

sen x + cos y = 3/23 sen x – 2 cos y = 2

Solución:Haciendo operaciones en el 1er miembro se obtiene el 2ºmiembro.

sen2 xtg2 x – sen2 x = —– sen2 x = cos2 x

sen2 x – sen2 x cos2 x sen2 x(1 – cos2 x)= ——— = ——— =cos2 x cos2 x

sen2 x sen2 x= —— = sen2 x tg2 xcos2 x


Solución:Se hacen operaciones en cada uno de los dos miembros.En el 1er miembro:

1 cos2 x + 1cos x + sec x = cos x + — = ——cos x cos x

En el 2° miembro:1 + cos2 x sec x(1 + cos2 x) = ——

cos xLa representación gráfica es:

Solución:tg2 x + 3 = 2 sec2 xSe aplica la fórmula: tg2 x + 1 = sec2 xtg2 x + 3 = 2(tg2 x + 1)tg2 x + 3 = 2 tg2 x + 2tg2 x = 1tg x = ± 1

Si tg x = 1

x1 = 45º + 360ºk, k # !

x2 = 225º + 360ºk, k # !

Si tg x = – 1

x3 = 135º + 360ºk, k # !

x4 = 315º + 360ºk, k # !

Solución:cos x = sen 2xcos x = 2 sen x cos x2 sen cos x – cos x = 0

cos x = 0cos x(2 sen x – 1) = 0 %

2 sen x = 1 % sen x = 1/2Si cos x = 0

x1 = 90º + 360ºk, k # !

x2 = 270º + 360ºk, k # !

Si sen x = 1/2

x3 = 30º + 360ºk, k # !, x4 = 150º + 360ºk, k # !

270º 90º

30º150º

1/21/2

45º225º

135º

315º

)*+

y

x– 6 – 5 – 4 – 3 – 1– 2 1 2 3 4 5 6

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

6

5

4

3

2

1

y

– 6 – 5 – 4 – 3 – 1– 2 1 2 3 4 5 6– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

6

5

4

3

2

1

x


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81. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigono-métricas y da las soluciones en [0, !/2]:

a)

b)

Solución:a) Sumando las dos ecuaciones, se tiene:

sen(x + y) = 1Restando las dos ecuaciones, se tiene:sen(x – y) = 1/2De donde se tiene:x + y = 90°x – y = 30°Resolviendo el sistema:x = 60°, y = 30°

b) Como sen 2x = 2 sen x cos x, se tiene:2y sen 2x = 32y cos 2x = $—

3Dividiendo la 1a ecuación entre la 2a ecuación:tg 2x = $—

3 (solo se toman las soluciones de [0, !/2])

2x = 60° + 360°k, k # !

x = 30° + 180°k, k # !

y = $—3

)*+

4y sen x cos x = 32y cos 2x = $

—3

)*+

sen x · cos y = 3/4sen y · cos x = 1/4

Solución:a) Se multiplica la 1ª ecuación por 2 y se suman. Se ob-

tiene:5 sen x = 5sen x = 1

x = 90º + 360ºk, k # !

Se multiplica la 1ª ecuación por 3 y se le resta la 2ª. Seobtiene:5 cos y = 5/2cos y = 1/2

y1 = 60º + 360ºk, k # !

y2 = 300º + 360ºk, k # !

b) Haciendo: sen x = u, cos y = v, se tiene:u + v = 1u2 + v2 = 1/2Resolviendo el sistema, se obtiene:u = 1/2, v = 1/2Luego:sen x = 1/2

x1 = 30º + 360ºk, k # !

x2 = 150º + 360ºk, k # !

cos y = 1/2

y1 = 60º + 360ºk, k # !

y2 = 300º + 360ºk, k # !

90º

60º300º

30º150º

1/2

60º

300º1/2

60º

)*+

)*+

)*+

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l Bru

ño, S

.L.


82. Dibuja los siguientes ángulos y pasa de grados a radianesde modo exacto:

180°, 240°, 270°

83. Dibuja los siguientes ángulos y pasa de radianes a gradosde modo exacto:

5!/3 rad, 7!/4 rad, 11!/6 rad

84. Reduce los siguientes ángulos a ángulos comprendidosentre 0° y 360°. Escríbelos en forma general:a) –30°b) –150°c) –600°d) – 2 500°

85. Reduce los siguientes ángulos a ángulos comprendidos en-tre 0 rad y 2! rad. Escríbelos en forma general:a) –13!/2 radb) –83!/3 rad

86. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-cer el dibujo correspondiente:a) sen x = –1/2b) tg x = –1

87. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-cer el dibujo correspondiente:a) tg x = b) cotg x = 1

88. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones tras ha-cer el dibujo correspondiente:a) cosec x = 2b) sec x = – 2

Solución:a) cosec x = 2 % sen x = 1/2

x1 = 30º + 360ºk, k # !

x2 = 150º + 360ºk, k # !

Solución:a)

x1 = 60º + 360ºk, k # !

x2 = 240º + 360ºk, k # !

b) cotg x = 1 % tg x = 1

x1 = 45º + 360ºk, k # !

x2 = 225º + 360ºk, k # !

$3

Solución:a)

x1 = 210º + 360ºk, k # !

x2 = 330º + 360ºk, k # !

b)

x1 = 135º + 360ºk, k # !

x2 = 315º + 360ºk, k # !

Solución:a) !/2 + 2k!, k # !

b) !/3 + 2k!, k # !

Solución:a) 330º + 360ºk, k # !

b) 210º + 360ºk, k # !

c) 120º + 360ºk, k # !

d) 20º + 360ºk, k # !

Solución:

5!/3 rad = 300º7!/4 rad = 315º11!/6 rad = 330º

Solución:

180º = ! rad240º = 4!/3 rad270º = 3!/2 rad

Para ampliar

180º

240º

270º

210º

330º–1/2 –1/2

135º

315º

240º 60º

45º225º

30º150º

1/21/2


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89. Calcula en radianes el menor ángulo que forman las agu-jas de un reloj cuando marcan:a) las 3 h en punto.b) las 5 h en punto.c) las 8 h en punto.d) las 11 h en punto.

90. La longitud de una circunferencia mide 32 cm. Calcula engrados las amplitudes de los siguientes arcos:a) Arco de longitud 4 mb) Arco de longitud 8 mc) Arco de longitud 16 md) Arco de longitud 24 m

91. Sin utilizar la calculadora, halla:a) sen 30° + cos 60° – tg 45°b) tg 45° – sen 60° + cos 30°

92. Sin utilizar la calculadora, halla:a) sen !/3 + cos !/6 – tg !/4b) cos !/3 – tg !/6 + sen !/6

93. Un triángulo rectángulo es isósceles, y la hipotenusa mide7 m. Calcula cuánto miden los catetos y su área.

94. Deduce las fórmulas de las áreas de los siguientes polie-dros regulares:a) Tetraedro. b) Octaedro. c) Icosaedro.

95. Completa la siguiente tabla escribiendo el signo:

Solución:

Solución:Previamente se calcula el área de un triángulo equilátero:

sen 60º = h/a % h = a sen 60ºa$—

3h = —2

Área de un triángulo equilátero:a2$—

3A = —4

a) TetraedroATetraedro = a2$—

3b) Octaedro

AOctaedro = 2a2$—3

c) IcosaedroAIcosaedro = 5a2$—

3

Solución:

x 7$—2sen 45° = — % x = 7 sen 45° = —

7 2

1 7$—2 7$—

2 49Área = — · — · — = — = 12,25 m22 2 2 4

Solución:$—

3 $—3a) — + — – 1 = $—

3 – 12 21 $—

3 1 $—3b) — – — + — = 1 – —

2 3 2 3

Solución:1 1a) — + — – 1 = 02 2

$—3 $—

3b) 1 – — + — = 12 2

Solución:a) 45º b) 90º c) 180º d) 270º

Solución:a) !/2 b) 5!/6c) 2!/3 d) !/6

b) sec x = – 2 % cos x = – 1/2

x1 = 120º + 360ºk, k # !

x2 = 240º + 360ºk, k # !

1er 2º 3er 4º

sen "

cos "

tg "

1er 2º 3er 4º

sen " + + – –

cos " + – – +

tg " + – + –

120º240º

45º

7 m45º

x

x

h

30º

60º

a

130 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas96. Calcula mentalmente el valor de los siguientes ángulos:

a) sen " = 0

b) sen " = 1

c) cos " = 0

d) cos " = 1

97. Sabiendo que sen 35° = 0,5736, representa el ángulo " deforma aproximada y calcula mentalmente:a) sen 145°b) sen 215°c) sen (– 35°)

98. Sin utilizar la calculadora, halla:a) sen 330° + cos 240° – tg 150°b) tg 120° – sen 240° + cos 315°

99. Sin utilizar la calculadora, halla:a) sen 2!/3 + cos 5!/6 – tg 7!/4b) cos 5!/4 – tg 4!/3 + sen 5!/4

100. Sabiendo que cos " = 1/4, calcula cos (" + 60°)

101. Sabiendo que tg " = 3/4, calcula tg (30° – ")

102. Resuelve la siguiente ecuación:cos 2x = 2 – 3 sen x

103. Resuelve la siguiente ecuación: tg x = 2 sen x

Solución:tg x = 2 sen xsen x— = 2 sen xcos xsen x = 2 sen x cos x

Solución:cos 2x = 2 – 3 sen xSe aplica que: cos 2x = cos2 x – sen2 xcos2 x – sen2 x = 2 – 3 sen x1 – sen2 x – sen2 x = 2 – 3 sen x2 sen2 x – 3 sen x + 1 = 0

3 ± $—9 – 8 3 ± 1 1sen x = —— = — =4 4 1/2

Si sen x = 1

x1 = 90º + 360ºk, k # !

Si sen x = 1/2

x2 = 30º + 360ºk, k # !

x3 = 150º + 360ºk, k # !

Solución:tg 30° – tg "tg (30° – ") = —— =

1 + tg 30° tg "$—3/3 – 3/4 25$—

3 – 48= —— = ——1 + $—

3/3 · 3/4 39

Solución:cos (" + 60º) = cos " cos 60º – sen " sen 60ºEn primer lugar hay que calcular sen "

$—15sen " = —4

1 1 $—15 $—

3 1 – 3$—5cos (" + 60º) = — · — – — · — = —

4 2 4 2 8

Solución:$—

3 $—3a) — – — + 1 = 1

2 2$—

2 $—2b) – — – $—

3 – — = –$—3 – $—

22 2

Solución:1 1 $—

3 $—3a) – — – — + — = — – 1

2 2 3 3$—

3 $—2 $—

2 – $—3b) – $—

3 + — + — = —2 2 2

Solución:

a) 0,5736b) – 0,5736c) – 0,5736

Solución:a) "1 = 360ºk, k # !

"2 = 180º + 360ºk, k # !

b) " = 90º + 360ºk, k # !

c) "1 = 90º + 360ºk, k # !

"2 = 270º + 360ºk, k # !

d) " = 360ºk, k # !

215º

145º

35º

325º

90º

30º150º

1/21/2

88


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Con calculadora

104. Completa la siguiente tabla:

A la vista del resultado de la tabla anterior, completa las si-guientes frases con las palabras «crece» o «decrece»:a) Cuando el ángulo crece de 0° a 90°, el seno…b) Cuando el ángulo crece de 0° a 90°, el coseno…c) Cuando el ángulo crece de 0° a 90°, la tangente…

105. Sabiendo que sen " = 0,7523, halla el ángulo " y calculacos " y tg ". El ángulo está en el 1er cuadrante.

106. Sabiendo que cos " = 0,2345, halla el ángulo " y calculasen " y tg ". El ángulo está en el 1er cuadrante.

107. Calcula los distintos ángulos menores de 360° en grados,minutos y segundos, sabiendo que:a) sen " = –0,4321 b) cos " = 0,7654c) tg " = –3,4532 d) cos " = – 0,3333

108. Calcula las siguientes razones trigonométricas redondean-do el resultado a cuatro decimales:a) sen 2,3 radb) cos 0,5 radc) tg 4,345 radd) sen 5,7 rad

109. Calcula los ángulos en radianes aproximando el resultadoa cuatro decimales, sabiendo que:a) sen " = 0,4444 en el 1er cuadranteb) cos " = –0,8011 en el 2º cuadrantec) tg " = 2 en el 3er cuadranted) sen " = –0,7055 en el 4º cuadrante

Solución:Hay que poner la calculadora en modo Rad.a) 0,4605 b) 2,4999c) 4,2487 d) 5,5001Hay que volver a poner la calculadora en modo Deg.

Solución:Hay que poner la calculadora en modo Rad.a) 0,7457 b) 0,8776c) 2,5983 d) – 0,5507

Solución:a) " = 205º 36’ 3’’, " = 334º 23’ 57’’b) " = 40º 3’ 27’’, " = 319º 56’ 33’’c) " = 106º 9’ 1’’, " = 286º 9’ 1’’d) " = 109º 28’ 9’’, " = 250º 31’ 51’’

Solución:" = 76º 26’ 16’’sen " = 0,9721tg " = 4,1455

Solución:" = 48º 47’ 24’’cos " = 0,6588tg " = 1,1419

Solución:

a) Crece. b) Decrece. c) Crece.

2 sen x cos x – sen x = 0sen x(2 cos x – 1) = 0 %

sen x = 02 cos x – 1 = 0 % cos x = 1/2

Si sen x = 0

x1 = 360ºk, k # !

x2 = 180º + 360ºk, k # !

Si cos x = 1/2

x3 = 60º + 360ºk, k # !

x4 = 300º + 360ºk, k # !

0º180º

60º300º

)*+

0°

sen

cos

tg

10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

0°

sen 0,0000

cos 1,0000

tg 0

10°

0,1736

0,9848

0,1763

20°

0,3420

0,9397

0,3640

30°

0,5000

0,8660

0,5774

40°

0,6428

0,7660

0,8391

50°

sen 0,7660

cos 0,6428

tg 1,1918

60°

0,8660

0,5000

1,7321

70°

0,9397

0,3420

2,7475

80°

0,9848

0,1736

5,6713

90°

1,0000

0,0000

ERROR

132 SOLUCIONARIO

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110. Halla el valor de x en el siguiente triángulo rectángulo:








A

C

B

b = 8,4 m a = 12 mx

Solución:sen x = 2/3,6 % x = 33º 44’ 56’’

A

C

B

b = 2 ma = 3,6 m

x

Solución:tg x = 10/7 % x = 55º 29’’

A

C

B

b = 7 m

c = 10 m

x

Solución:tg x = 4/9 % x = 23º 57’ 45’’

A

C

B

b = 4 m

c = 9 mx

Solución:6,4 6,4tg 28° = — % x = — = 12,04 cmx tg 28°

A

C

B

b = 6,4 cm

xB = 28°

Solución:2,5 2,5sen 32° = — % x = —= 4,72 cmx sen 32°

A

C

B

b = 2,5 cmx

B = 32°

Solución:xcos 26º 36' = — % x = 5,59 cos 26º 36' = 5 cm

5,59

A

C

Bx

a = 5,59 cm

B = 26° 36'

Solución:xsen 31º = — % x = 5,83 sen 31º = 3 cm

5,83

A

C

B

xa = 5,83 cm

B = 31°

Problemas


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118. Un tramo de una carretera recta mide 150 m y asciende12 m. Calcula el ángulo de elevación y la pendiente.

119. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase porel origen de coordenadas O(0, 0) y por el punto A(1, 2).Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisascon la recta.

120. Halla la altura de una torre eléctrica sabiendo que a unadistancia de 12 m de la base se ve la parte superior conun ángulo de 55°

121. Una escalera de bomberos que mide 25 m está apoyadasobre la fachada de un hotel y forma con el suelo un án-gulo de 75°. Si cada planta del hotel mide 2,5 m de altu-ra, ¿a qué planta llegará como máximo?

122. Rocío está volando unacometa.Sabiendo que elhilo que ha soltado mi-de 10 m y el ángulo queforma con la horizontales de 74°, calcula la al-tura a la que se encuen-tra.

123. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen un cate-to y la altura. Calcula los demás lados y ángulos.

Solución:sen B = 2,54/3 % B = 57º 51’ 3’’C = 90º – 57º 51’ 3’’ = 32º 8’ 57’’cos B = 3/HipotenusaHipotenusa = 3/cos 57º 51’ 3’’Hipotenusa = 5,64 msen B = (Cateto AC)/HipotenusaCateto AC = 5,64 sen 57º 51’ 3’’ = 4,78 m

B

A

C

3 m2,54 m

Solución:sen 74º = h/10 % h = 10 sen 74º = 9,6 m9,6 m más la altura a la que tenga la mano Rocío.

Solución:sen 75º = h/25 % h = 25 sen 75º = 24,15 mNº de planta: 24,15/2,5 = 9,6Llega a la planta 10 porque pasa de la planta 9

25 m

75°

Solución:tg 55º = h/12 % h = 12 tg 55º = 17,14 m

55°12 m

Solución:

tg " = 2 % " = 63º 26’ 6’’

Solución:12sen x = — % x = 4º 35’ 19’’150

Pendiente = tg 4º 35’ 19’’ = 0,08 = 8%

Solución:cos x = 8,4/12 % x = 45º 34’ 23’’

Y

XO(0, 0)

A(1, 2)!

10 m

74°

134 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas124. Una antena de televisión que mide 15 m proyecta una

sombra de 27 m. Halla el ángulo que forma el suelo conla recta que une el extremo de la sombra con la puntamás alta de la antena.

125. Un faro proyecta una sombra de 50 m, y el ángulo queforma el suelo con la recta que une el extremo de lasombra con la parte más alta del faro es de 30°. Halla laaltura del faro.

126. Calcula la apotema de un hexágono regular cuyo ladomide 15 m

127. La pirámide de Keops de Egipto mide de alto 137 m, labase es cuadrada y tiene de arista 230 m. Halla el ángulode inclinación de las caras laterales.

128. En un triángulo rectángulo se conoce el cateto,c = 2,5 cm, y el ángulo opuesto, C = 35°. Calcula los de-más lados y ángulos.

129. Calcula el área del siguiente triángulo.

130. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen un cate-to y la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.Cal-cula los demás lados y ángulos.

Solución:cos C = 4,1/4,85 % C = 32º 17’ 22’’B = 90º – 32º 17’ 22’’ = 57º 42’ 38’’sen 57º 42’ 38’’ = 4,85/HipotenusaHipotenusa = 5,74 cmtg 57º 42’ 38’’ = 4,85/(Cateto AB)Cateto AB = 3,06 cm

B

A

C

4,85 cm

4,1 cm

Solución:sen 47º = h/2,5 % h = 1,83 cm

1Área = — 4,5 · 1,83 = 4,12 cm22

h

4,5 cm

2,5 cm

47°

Solución:B = 90º – 35º = 55ºsen 35º = 2,5/a % a = 4,36 cmtg 35º = 2,5/b % b = 3,57 cm

A C

B

c = 2,5 cma

b35°

Solución:tg x = 137/115 % " = 49º 59’ 22’’

x

a = 230 m

h = 137 m

Solución:

a = $—152 – 7,52 = 13 m

15 ma

Solución:tg 30º = h/50 % h = 50 tg 30º = 28,87 m

50 m 30°

Solución:tg " = 15/27 % " = 29º 3’ 17’’

7,5 m

15 ma


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131. En el siguiente triángulo rectángulo se conocen la altura yla proyección de un cateto sobre la hipotenusa.Calcula loslados y los ángulos de dicho triángulo.

132. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase porel origen de coordenadas O(0,0) y por el punto A(–2,1).Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisascon dicha recta.

133. Calcula el ángulo de elevación de una escalera de una ca-sa que en 4,5 m de horizontal sube 2,5 m

134. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonomé-tricas:

135. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonomé-tricas:

Solución:Se despeja sen x en la 1ª ecuación y se sustituye en la 2ª:sen x = 1/2 + cos y2(1/2 + cos y) cos y = 12 cos2 y + cos y – 1 = 0

– 1 ± $—1 + 8 – 1 ± 3 1/2cos y = —— = —=4 4 – 1

Para cos y = 1/2 % sen x = 1

x = 90º + 360ºk, k # !

y1 = 60º + 360ºk, k # !, y2 = 300º + 360ºk, k # !

Para cos y = –1 % sen x = – 1/2

x1 = 210º + 360ºk, k # !, x2 = 330º + 360ºk, k # !

y = 180º + 360ºk, k # !

)*+

sen x – cos y = 1/22 sen x cos y = 1

4(sen y + 1) sen y = – 14 sen2 y + 4 sen y + 1 = 0(2 sen y + 1)2 = 02 sen y + 1 = 0Si sen y = – 1/2

y1 = 210º + 360ºk, k # !

y2 = 330º + 360ºk, k # !

Para sen y = – 1/2 % sen x = sen y + 1 = 1/2Si sen x = 1/2

x1 = 30º + 360ºk, k # !

x2 = 150º + 360ºk, k # !

Solución:Se despeja sen x en la 1ª ecuación y se sustituye en la 2ª:sen x = sen y + 1

)*+

sen x – sen y = 14 sen x sen y = –1

Solución:tg x = 2,5/4,5 % " = 29º 3’ 17’’

x

2,5 m

4,5 m

Solución:

tg " = – 1/2 % " = 153º 26’ 6’’

Solución:tg C = 2,84/1,72 % C = 58º 47’ 58’’B = 90º – 28º 47’ 58’’ = 31º 12’ 2’’sen B = 2,84/c % c = 5,48 msen C = 2,84/b % b = 3,32 msen B = 3,32/a % a = 6,41 m

A

C B

h = 2,84 m

p = 1,72 m a

cb

Y

XA(–2, 1) !

O(0, 0)

210º

330º–1/2 –1/2

30º150º

1/21/2

90º 60º300º

210º

330º–1/2 –1/2

180º

88

136 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemasPara profundizar

136. Una cinta transportadora tiene una longitud de 10 m yqueremos que eleve la carga 3,5 m. ¿Qué ángulo de ele-vación hay que ponerle?

137. Un rectángulo mide 5 m de largo y 3 m de alto. Halla elángulo que forma la diagonal con cada uno de los lados.

138. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase porel origen de coordenadas O(0, 0) y por el punto A(4, 3).Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisascon dicha recta.

139. Calcula los ángulos de un rombo en el que las diagona-les miden 6 m y 8 m

140. Calcula la apotema de un pentágono regular cuyo ladomide 7 m

141. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 24 m

142. Calcula el área de un tetraedro en el que la arista mide6 m de longitud.

Solución:

sen 60º = h/24 % h = 24 sen 60º = 20,78 m1A = — 24 · 20,78 = 249,36 m22

Área

24 m

Solución:

tg 36º = 3,5/a % a = 3,5/tg 36º = 4,82 m

7 m a

tg A/2 = 3/4 % A/2 = 36º 52’ 12’’A = 73º 44’ 24’’B = 180º – 73º 44’ 23’’ = 106º 15’ 36’’

Solución:

A

B

8 m

6 m

Solución:

tg " = 3/4 % " = 36º 52’ 12’’

Solución:tg A = 3/5 % A = 30º 57’ 50’’B = 90º – 30º 57’ 50’’ = 59º 2’ 10’’

A

B

5 m

3 m

Solución:sen " = 3,5/10 % " = 20º 29’ 14’’

10 m3,5 m

!

Y

XO(0, 0)

A(4, 3)!

4 m

3 m

A/2

B/2

3,5 m

a36º

24 mh

60º

6 m


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

143. Calcula el área de un hexágono regular cuyo lado mide14 cm

144. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase porel origen de coordenadas O(0,0) y por el punto A(–5,–5).Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisascon dicha recta.

145. Dibuja en unos ejes coordenados una recta que pase porel origen de coordenadas O(0,0) y por el punto A(2,–1).Halla el ángulo que forma el semieje positivo de abscisascon dicha recta.

Solución:

tg " = 1/(– 2) % " = 153º 26’ 6’’

Solución:

" = 45º

cos 30º = a/14 % a = 14 cos 30ºa = 12,12 cm

1A = — 6 · 14 · 12,12 = 509,04 cm22

Solución:

14 cm

Área

Solución:

Previamente se calcula el área de un triángulo equilátero:sen 60º = h/6 % h = 6 sen 60ºh = 3$—

3 mÁrea de un triángulo equilátero:

1A = — · 6 · 3 $—3 = 9$—

3 m22

Tetraedro:ATetraedro = 4 · 9$—

3 = 36 $—3 = 62,35 m2

6 mh

60º

7 cm

a 14 cm

30º

Y

X

A(–5, –5)

O(0, 0)!

Y

XO(0, 0)

!

A(2, –1)

142 SOLUCIONARIO

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.L.

4 Resoluciónde triángulos

1. Resolución de triángulos rectángulos

1. En un triángulo rectángulo se conoce la hipotenusa a = 5 m y un cateto c = 4 m. Calcula los demás elementos.

2. En un triángulo rectángulo se conoce la hipotenusa a = 5,41 m y el ángulo B = 33° 42’ 15".Calcula los demás elementos.

Solución:

Solución:

A

C

B

¿b?

c = 4 m

a = 5 m

¿Área?

¿C?

¿B?

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Calcula mentalmente la incógnita que se pide en los siguientes triángulos rectángulos:a) b = 6 m, c = 8 m; halla la hipotenusa a b) B = 35°; halla el otro ángulo agudo C

Solución:a) a = 10 m b) c = 55°

a = 5 m

c = 4 m

b

B

C

Área

Datos Incógnita

b2 = a2 – c2

ccos B = —a

C = 90° – B1Área = — b · c2

Fórmulas

b = 3 m4cos B = — ! B = 36° 52' 12''5

C = 53° 7' 48''1Área = — · 3 · 4 = 6 m22

Resolución

a = 5,41 cm

¿c?

¿b?¿Área?

¿C?

C

AB33º 42' 15''

TEMA 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 143

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ño, S

.L.

3. En un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo B = 24° 25’ 30" y el cateto opuesto b = 2,4 m. Calcula los demáselementos.

Solución:

4. Se quiere medir la anchura de un río. Para ello se observaun árbol que está en la otra orilla.Se mide el ángulo de ele-vación desde esta orilla a la parte más alta del árbol y seobtiene 47°. Alejándose 5 m del río, se vuelve a medir elángulo de elevación y se obtiene 39°. Calcula la anchuradel río.

Solución:

h

! x = 15,42 mtg 47° = —

xhtg 39° = —

5 + x

x

5 m

47

39

a = 5,41 m

B = 33° 42' 15''

C

b

c

Área

Datos Incógnitas

C = 90° – Bbsen B = — ! b = a sen Baccos B = — ! c = a cos Ba1Área = — b · c2

Fórmulas

C = 90° – 33° 42' 15'' = 56° 17' 45''

b = 5,41 sen 33° 42' 15'' = 3 m

c = 5,41 cos 33° 42' 15'' = 4,5 m

1Área = — · 3 · 4,5 = 6,75 m22

Resolución

b = 2,4 m

B = 24° 25' 30''

C

a

c

Área

Datos Incógnitas

C = 90° – Bb bsen B = — ! a = —a sen B

b btg B = — ! c = —c tg B1Área = — b · c2

Fórmulas

C = 90° – 24° 25' 30'' = 65° 34' 30''

a = 5,8 m

c = 5,28 m

1Área = — · 2,4 · 5,28 = 6,34 m22

Resolución

90º

h

B C A

D

39º 47ºx5

"##$##%

24º 25' 30''

¿a?

¿c?

b = 2,4 m

B

¿C?

¿Área?

C

A

144 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Observa el triángulo rectángulo del dibujo y calcula mentalmente el valor de k

k =

Solución:k = 10 cm

asen A

5. En un triángulo se conocen:b = 6,4 cm, c = 6,4 cm y B = 73°Calcula mentalmente el ángulo C. ¿Cuántas solucionestiene?

6. En un triángulo se conoce: a = 12,5 m, A = 73° y B = 54°Calcula el lado b. ¿Cuántas soluciones tiene?

7. En un triángulo se conocen:b = 6,5 cm, c = 7 cm y B = 67°Calcula el ángulo C. ¿Cuántas soluciones tiene?

8. De un triángulo se conocen:a = 15,6 m, A = 69° y B = 83°Halla la longitud del diámetro de la circunferencia cir-cunscrita.

Solución:Datos:

6,5 7 7 · sen 67°—= — ! sen C = ——sen 67° sen C 6,5

C1 = 82° 26’ 32’’ ! B + C1 < 180°

C2 = 97° 33’ 28’’ ! B + C2 < 180°

Tiene dos soluciones.

12,5 b 12,5 · sen 54°—= — ! b = —— = 10,57 msen 73° sen 54° sen 73°

Tiene una solución.

Solución:

Solución:

El triángulo es isósceles.C = 73°. La solución es única.

! Aplica la teoría

2. Teorema de los senos

A

B

Cb = 8 cm

c = 6 cma = 10 cm

B C73º ¿C?

A

c = 6,4 cm b = 6,4 cm

A

B Ca = 12,5 m

54º

¿b?

73º

B

C1

C2

¿C2?

¿C1?

A7 cm

67º

6,5 cm

11. En un triángulo se conocen:b = 12,5 m, c = 15,7 m y A = 63°Calcula el lado a

12. En un triángulo se conocen los tres lados:a = 5 m, b = 6 m y c = 7 mCalcula el ángulo A

Solución:Solución:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Aa2 = 12,52 + 15,7 2 – 2 · 12,5 · 15,7 · cos 63°a = 14,98 m


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! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo según que el cuadrado del lado mayor sea, respectivamente, menor,igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados.Clasifica mentalmente los siguientes triángulos:

a) a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m b) a = 3 m, b = 4 m, c = 5 m c) a = 4 m, b = 5 m, c = 6 m

Solución:a) 16 > 13 ! Obtusángulo. b) 25 = 25 ! Rectángulo. c) 36 < 41 ! Acutángulo.

9. En un triángulo se conocen:a = 5 m, b = 8 m y A = 72°Calcula el ángulo B. ¿Cuántas soluciones tiene?

10. En un triángulo se conocen:b = 7,5 cm, A = 98° y B = 87°Calcula el lado a. ¿Cuántas soluciones tiene?

Solución:No hay solución porque:A + B = 98º + 87º = 185º >180°

Solución:5 8 8 · sen 72°—= — ! sen B = —— = 1,52

sen 72° sen B 5

No tiene solución porque sen B = 1,52 > 1

Solución:

15,6D =—= 16,71 msen 69°

3. Teorema del coseno

A

a = 15,6 mB

¿D?

C

69º

83º

O

c = 15,7 m

b = 12,5 m

¿a?

B

A C

63º

a = 5 m

c = 7 mb = 6 m

A

B C

146 SOLUCIONARIO

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.L." Piensa y calcula

En un triángulo cualquiera, se sabe que sen A = 1/2. Calcula mentalmente cuánto mide el ángulo A.¿Cuántas soluciones puede tener, una o dos?

Solución:Tiene dos soluciones: A = 30° y A = 150°

13. En un triángulo se conocen:a = 4,5 cm, c = 3,8 cm y B = 83° 30'Calcula su área.

14. En un triángulo se conocen los tres lados:a = 4,5 cm, b = 5,5 cm y c = 6 cmCalcula el área.

15. Un solar tiene forma de triángulo y se conocen dos la-dos,que miden 18 m y 23 m,y el ángulo que forman,quees de 125°. El m2 vale 30 !. Calcula el valor del solar.

Solución:

1Área = — 18 · 23 · sen 125° = 169,56 m22

Precio = 169,56 · 30 = 5 086,8 "

Semiperímetro = 8 cmÁrea = &8(8 – 4,5)(8 – 5,5)(8 – 6) = 11,83 cm2

Solución:

Solución:

1Área = — 4,5 · 3,8 · sen 83° 30’ = 8,5 cm22

62 + 72 – 52cos A = —— = 0,7143

2 · 6 · 7A = 44° 24’ 51’’

4. Resolución de triángulos no rectángulos

a = 4,5 cm

¿Área?

c = 3,8 cm

A

B C

83º 30'

a = 4,5 cm

¿Área?

c = 6 cm b = 5,5 cm

A

B C

18 m 23 m125º


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16. Resuelve un triángulo en el que se conocen: b = 9,5 m, A = 32° y C = 93°

17. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 7,5 cm, b = 6,4 cm y A = 53°

Solución:

Solución:

! Aplica la teoría

¿a?¿c?

¿Área?

A

B

b = 9,5 m C32º 93º

a = 7,5 cm

A

B

b = 6,4 cm C53º

b = 9,5 m

A = 32°

C = 93°

B

a

c

Área

Datos Incógnitas

B = 180° – (A + C)a b b · sen A— = — ! a = —

sen A sen B sen Ba c a · sen C— = — ! c = —

sen A sen C sen A1Área = — ab sen C2

Fórmulas

B = 180° – (32° + 93°) = 55°9,5 · sen 32°a = —— = 6,15 m

sen 55°6,15 · sen 93°c = —— = 11,59 m

sen 32°1Área = — · 6,15 · 9,5 · sen 93° = 29,17 m22

Resolución

a = 7,5 cm

b = 6,4 cm

A = 53°

B

C

c

Área

Datos Incógnitas

a b b · sen A— = — ! sen B = —sen A sen B a

C = 180° – (A + B)

a c a · sen C— = — ! c = —sen A sen C sen A

1Área = — ab sen C2

Fórmulas

6,4 · sen 53°sen B = —— = B1 = 42° 57' 40''7,5

Como el ángulo suplementario de B1tiene el mismo seno, puede existir un B2B2 = 180° – 42° 57' 40'' = 137° 2' 20'' (No es válido)

C = 180° – (53° + 42° 57' 40'') = 84° 2' 20''

7,5 · sen 84° 2' 20''c = ——= 9,34 cmsen 53°

1Área = — · 7,5 · 6,4 · sen 84° = 23,87 cm22

Resolución

148 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Clasifica los siguientes triángulos en posibles e imposibles. Razona la respuesta.a) Triángulo 1: a = 5 m, b = 7 m, c = 9 mb) Triángulo 2: a = 5 m, b = 10 m, c = 20 m

Solución:a) Es posible. 5 + 7 > 9 La suma de los dos lados menores es superior al mayor.b) Es imposible: 5 + 10 < 20

18. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 8,4 m, b = 7,6 m y B = 61°

Solución:

19. Resuelve un triángulo en el que se conocen:a = 7 cm, c = 5 cm y C = 65° 7· sen 65°sen A = —= 1,27

5

No tiene solución.Solución:

7 5— = —sen A sen 65°

5. Tercer y cuarto casos de resolución de triángulos

a = 8,4 m

b = 7,6 m

B = 61°

A

C

c

Área

Datos Incógnitas

a b a · sen b— = — ! sen A = —sen A sen B b

C = 180° – (A + B)

b c b · sen C— = — ! c = —sen B sen C sen B


Fórmulas

8,4 · sen 61°sen A = —— = A1 = 75° 10' 8''7,6

Como el ángulo suplementario de A1 tiene elmismo seno, puede existir un A2A2 = 180° – 75° 10' 8'' = 104° 49' 52''C1 = 180° – (75° 10' 8'' + 61°) = 43° 49' 52''C2 = 180° – (104° 49' 52'' + 61°) = 14° 10' 8''

7,6 · sen 43° 49' 52''c1 = ———= 6,02 msen 61°

7,6 · sen 14° 10' 8''c2 = ——— = 2,13 msen 61°

1A1 = — · 8,4 · 7,6 · sen 43° 49' 52'' = 22,11 m221A2 = — · 8,4 · 7,6 · sen 14° 10' 8'' = 7,81 m22

Resolución

b = 7,6 m

b = 7,6 m

B

A1

A2

¿C1?¿C2?

¿c1?

¿c2?

¿A1?

¿A2?

a = 8,4 m C61º


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20. Resuelve un triángulo en el que se conocen: b = 9,2 m, c = 6,7 m y A = 75°

21. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 12,5 cm, b = 10,5 cm y c = 8,2 cm

Solución:

Solución:

! Aplica la teoría

b = 9,2 m

c = 6,7 m

A = 75°

a

C

B

Área

Datos Incógnitas

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Aa = &b2 + c2 – 2bc cos A

a c c · sen A— = — ! sen C = —sen A sen C a

B = 180° – (A + C)

1Área = — bc sen A2

Fórmulas

a = &9,22 + 6,72 – 2 · 9,2 · 6,7 · cos 75°a = 9,88 m

6,7 · sen 75°sen C = —— ! C = 40° 55' 19''9,88

B = 180° – (75° + 40° 55' 19'')B = 64° 4' 41''

1Área = — · 9,2 · 6,7 · sen 75° = 29,77 m22

Resolución

a = 12,5 cm

b = 10,5 cm

c = 8,2 cm

A

B

C

Área

Datos Incógnitas

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 + c2 – a2

cos A = ——2bc


C = 180° – (A + B)


Fórmulas

10,52 + 8,22 – 12,52cos A = ——

2 · 10,5 · 8,2A = 82° 54' 53''

10,5 · sen 82° 54' 53''sen B = ————12,5

B = 56° 28' 8''

C = 180° – (82° 54' 53'' + 56° 28' 8'')C = 40° 36' 59''

1Área = — · 12,5 · 10,5 · sen 40° 36' 59''2

Área = 42,72 cm2

Resolución

C

A B

b = 9,2 m

75º

c = 6,7 m

A

¿A?

¿B? ¿C?

¿Área?

a = 12,5 cmB

c = 8,2 cm b = 10,5 cm

C

150 SOLUCIONARIO

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22. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 5,3 cm, b = 9,5 cm y c = 4,1 cm¿Cuántas soluciones tiene?

23. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 8,9 m, c = 6,5 m y B = 115°

Solución:

Solución: No tiene solución porque 5,3 + 4,1 < 9,5

24. Halla la distancia que hay entre dos barcos C y D,sabiendoque hemos medido la distancia que hay entre A y B y he-mos obtenido 450 m,y que con el teodolito hemos obte-nido que CAD = 48°,BAD = 57°, ABC = 42° y CBD = 53°

Solución:

A

CB

¿b?¿A?

¿C?

¿Área?

a = 8,9 m

c = 6,5 m

115º

A B

C

D

48º57º 42º

450 m

53º

a = 8,9 m

c = 6,5 m

B = 115°

b

A

C

Área

Datos Incógnitas

b2 = a2 + c2 – 2ac cos Bb = &a2 + c2 – 2ac cos B

a b a · sen B— = — ! sen A = —sen A sen B b

C = 180° – (A + B)

1Área = — ac sen B2

Fórmulas

b = &8,92 + 6,52 – 2 · 8,9 · 6,5 · cos 115°b = 13,05 m

8,9 · sen 115°sen A = —— ! A = 38° 10' 38''13,05

C = 180° – (38° 10' 38'' + 115°)C = 26° 49' 22''

1Área = — · 8,9 · 6,5 · sen 115° = 26,21 m22

Resolución

a) En el triángulo ABC se calcula ACACB = 180° – (48° + 57° + 42°) = 33°

450 AC 450 · sen 42°—= —! AC = ——= 553 msen 33° sen 42° sen 33°

b) En el triángulo ABD se calcula ADADB = 180° – (57° + 42° + 53°) = 28°

450 AD 450 · sen 95°—= —! AD = ——= 955 msen 28° sen 95° sen 28°

c) En el triángulo ACD se calcula CDCD2 = 5532 + 9552 – 2 · 553 · 955 · cos 48°CD = 715 m


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Ejercicios y problemas1. Resolución de triángulos rectángulos

25. En un triángulo rectángulo se conocen los dos catetos b = 2,5 cm y c = 4,3 cm. Calcula los demás elementos.

26. En un triángulo rectángulo se conocen un ángulo agudo, C = 52° 5’ 43", y el cateto contiguo, b = 3,5 cm. Calcula los demáselementos.

Solución:

Solución:

A B

C

¿a?

c = 4,3 cm

b = 2,5 cm¿Área?

¿C?

¿B?

b = 2,5 cm

c = 4,3 cm

a

B

C

Área

Datos Incógnitas

a2 = b2 + c2

btg B = —c

C = 90° – B1Área = — b · c2

Fórmulas

a = 4,97 cm2,5tg B = — ! B = 30° 10' 25''4,3

C = 59° 49' 35''1Área = — · 2,5 · 4,3 = 5,38 cm22

Resolución

b = 3,5 cm

C = 52° 5' 43''

B

a

c

Área

Datos Incógnitas

B = 90° – Cb bcos C = — ! a = —a cos C

ctg C = — ! c = b tg Cb1Área = — b · c2

Fórmulas

B = 90° – 52° 5' 43'' = 37° 54' 17''3,5a = ——— = 5,7 cm

cos 52° 5' 43''

c = 3,5 · tg 52° 5' 43'' = 4,5 cm

1Área = — · 3,5 · 4,5 = 7,88 cm22

Resolución

B

¿c?¿a?

¿Área?

b = 3,5 cm52º 5' 43''

C A

152 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas27. En el centro de un lago sale verticalmente un chorro de

agua y se quiere medir su altura. Para ello se mide el án-gulo de elevación desde la orilla a la parte más alta delchorro de agua y se obtiene 43°; tras alejarse 100 m dellago, se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtiene35°. Calcula la altura del chorro de agua.

2. Teorema de los senos

28. En un triángulo se conocen:a = 5,6 cm, b = 5,6 cm y B = 58°Calcula mentalmente el ángulo A. ¿Cuántas solucionestiene?

29. En un triángulo se conocen:a = 9,5 m, B = 57° y C = 68°Calcula el lado c. ¿Cuántas soluciones tiene?

30. En un triángulo se conocen:a = 7,2 cm, b = 6,5 cm y B = 57°Calcula el ángulo A. ¿Cuántas soluciones tiene?

31. De un triángulo se conocen:b = 8,5 m y B = 65°Halla la longitud del radio de la circunferencia circuns-crita.

Solución:

7,2 6,5 7,2 · sen 57°— = —! sen A = ——sen A sen 57° 6,5A1 = 68° 16’ 40’’ ! A1 + B < 180°A2 = 111° 43’ 20’’ ! A2 + B < 180°Tiene dos soluciones.

Solución:

A = 180° – (57° + 68°) = 55°9,5 c—= —

sen 55° sen 68°9,5 · sen 68°c = —— = 10,75 m

sen 55°Hay una solución.

Solución:

El triángulo es isósceles.A = 58°La solución es única.

Solución:

htg 43° = —x

hh = 281,07

tg 35° = —100 + x

Altura = 281,07 m

h

x 100 m

43º 35º

C

AB

5,6 cm 5,6 cm

58º ¿A?

"##$##%

A

¿c?

57º 68º

B a = 9,5 m C

A1

b = 6,5 cm

CB

A2

a = 7,2 cm57º


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32. En un triángulo se conocen:b = 7 cm,c = 8,5 cm y B = 92°Calcula el ángulo C. ¿Cuántas soluciones tiene?

33. En un triángulo se conocen:c = 7,5 m, B = 125° y C = 73°Calcula el lado b. ¿Cuántas soluciones tiene?

3. Teorema del coseno

34. En un triángulo se conocen:a = 8,2 m, b = 7,5 m y C = 87°Calcula el lado c

35. En un triángulo se conocen los tres lados:a = 2 cm, b = 3 cm y c = 4 cmCalcula el ángulo C

36. En un triángulo se conocen:b = 8 m, c = 10 m y A = 65°Calcula su área.

37. En un triángulo se conocen los tres lados:a = 8 cm, b = 9 cm y c = 10 cmCalcula el área.

Solución:

1Área = — bc sen A21Área = — · 8 · 10 · sen 65° = 36,25 m22

Solución:

c2 = a2 + b2 – 2ab cos Ca2 + b2 – c2

cos C = ——2ab

22 + 32 – 42cos C = ——

2 · 2 · 3C = 104° 28' 39''

c2 = a2 + b2 – 2ab cos Cc = &8,22 + 7,52 – 2 · 8,2 · 7,5 · cos 87°c = 10,82 m

Solución:

Solución:B + C = 125° + 73° = 198° > 180°No tiene solución.

Solución:7 8,5—= —

sen 92° sen C8,5 · sen 92°sen C = —— = 1,21

7No tiene solución porque sen C = 1,21 > 1

Solución:

D = 8,5/sen 65° = 9,38 mR = 9,38/2 = 4,69 m

C

B

A

b = 8,5 m

65º

¿R?

A

¿c?

BC

b = 7,5 m

a = 8,2 m

87º

A

¿C?

b = 3 cm

B Ca = 2 cm

c = 4 cm

C

A

b = 8 m

65º

c = 10 m

¿Área?

B

154 SOLUCIONARIO

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4. Resolución de triángulos no rectángulos

38. Resuelve un triángulo en el que se conocen: b = 3,5 m, A = 56° y B = 85°

39. Resuelve un triángulo en el que se conocen: b = 4,6 cm, c = 3,7 cm y B = 58°

Solución:

Solución:

Solución:

Semiperímetro = 13,5Área = &13,5(13,5 – 8)(13,5 – 9)(13,5 – 10) = 34,2 cm2

A

CB

c = 10 cmb = 9 cm

a = 8 cm

¿Área?

B

A

¿c?85º

56º ¿C?¿Área?

¿a?

b = 3,5 m C

C

¿a?¿Área?

58º ¿A?

c = 3,7 cmB A

b = 4,6 cm

¿C?

b = 3,5 mA = 56°B = 85°

C

a

c

Área

Datos Incógnitas

C = 180° – (A + B)a b b · sen A— = — ! a = —

sen A sen B sen Bb c b · sen C— = — ! c = —

sen B sen C sen B1Área = — ab sen C2

Fórmulas

C = 180° – (56° + 85°) = 39°3,5 · sen 56°a = ——— = 2,91 m

sen 85°3,5 · sen 39°c = ——— = 2,21 m

sen 85°1Área = — · 2,91 · 3,5 · sen 39° = 3,2 m22

Resolución

b = 4,6 cmc = 3,7 cmB = 58°

C

A

a

Área

Datos Incógnitas

c b c · sen B— = — ! sen C = —sen C sen B b

A = 180° – (B + C)a b b · sen A— = — ! a = —

sen A sen B sen B1Área = — ac sen B2

Fórmulas

3,7 · sen 58°sen C = —— ! C1 = 43° 36''4,6

Como el ángulo suplementario de C1 tiene el mis-mo seno, puede existir un C2C2 = 180° – 43° 36'' = 136° 59' 24'' (No es válido)

A = 180° – (58° + 43° 36'') = 78° 59' 24''4,6 · sen 78° 59' 24''a = ——— = 5,32 cm

sen 58°1A = — · 5,32 · 3,7 · sen 58° = 8,35 cm22

Resolución


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40. Resuelve un triángulo en el que se conocen:b = 5,2 mc = 4,3 mC = 73°¿Cuántas soluciones tiene?

Solución:5,2 4,3— = —

sen B sen 73°5,2 · sen 73°sen B = —— = 1,16

4,3No tiene solución porque sen B = 1,16 > 1

41. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 11,5 cm, b = 13,2 cm y A = 58°

5. Tercer y cuarto casos de resolución de triángulos

42. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 23 m, c = 27 m y B = 65°

Solución:

Solución:

CA

B1

B2

¿c1?

¿c2?

58º

¿B2?

¿C2?¿C1?

a = 11,5 cm

a = 11,5 cm

b = 13,2 cm

¿Área1?

¿Área 2?

A

¿A?

¿Área?

65º ¿C?

¿b?

CB

c = 27 m

a = 23 m

a = 11,5 cm

b = 13,2 cm

A = 58°

B

C

c

Área

Datos Incógnitas


C = 180° – (A + B)

a c a · sen C— = — ! c = —sen A sen C sen A


Fórmulas

13,2 · sen 58°sen B = —— ! B1 = 76° 45' 29''11,5

Como el ángulo suplementario de B1 tiene elmismo seno, puede existir un B2B2 = 180° – 76° 45' 29'' = 103° 14' 31''

C1 = 180° – (58° + 76° 45' 29'') = 45° 14' 31''C2 = 180° – (58° + 103° 14' 31'') = 18° 45' 29''

11,5 · sen 45° 14' 31''c1 = ———= 9,63 cmsen 58°

11,5 · sen 18° 45' 29''c2 = ———= 4,36 cmsen 58°

1A1 = — · 11,5 · 13,2 · sen 45° 14' 31'' = 53,9 cm221A1 = — · 11,5 · 13,2 · sen 18° 45' 29'' = 24,41 cm22

Resolución

156 SOLUCIONARIO

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43. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 5,8 cm, b = 7,3 cm y c = 6,5 cm

44. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 7,2 m, b = 5,4 m y C = 83°

Solución:

Solución:

a = 23 m

c = 27 m

B = 65°

b

A

C

Área

Datos Incógnitas

b2 = a2 + c2 – 2ac cos Bb = &a2 + c2 – 2ac cos B

a b a · sen B— = — ! sen A = —sen A sen B b

C = 180° – (A + B)

1Área = — ac sen B2

Fórmulas

b = &232 + 272 – 2 · 23 · 27 · cos 65°b = 27,08 m

23 · sen 65°sen A = —— ! A = 50° 19' 56''27,08

C = 180° – (50° 19' 56'' + 65°)C = 64° 40' 4''

1Área = — · 23 · 27 · sen 65° = 281,41 m22

Resolución

A

¿A?

¿Área?

¿B? ¿C?CB

b = 7,3 cm

a = 5,8 cm

c = 6,5 cm

A

BC

b = 5,4 m

a = 7,2 m

¿c?

¿Área?

¿A?

¿B?83º

a = 5,8 cm

b = 7,3 cm

c = 6,5 cm

A

B

C

Área

Datos Incógnitas

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 + c2 – a2

cos A = ——2bc


C = 180° – (A + B)


Fórmulas

7,32 + 6,52 – 5,82cos A = ——

2 · 7,3 · 6,5A = 49° 17' 15''

7,3 · sen 49° 17' 15''sen B = ————5,8

B = 72° 33' 31''

C = 180° – (49° 17' 15'' + 72° 33' 31'')C = 58° 9' 14''

1Área = — · 5,8 · 7,3 · sen 58° 9' 14''2

Área = 17,98 cm2

Resolución


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45. Resuelve un triángulo en el que se conocen: a = 47 cm, b = 52 cm y c = 99 cm. ¿Cuántas soluciones tiene?

46. Halla la distancia que hay entre los picos de dos monta-ñas C y D, sabiendo que se ha medido en una llanuracercana la distancia que hay entre A y B y se ha obteni-do 900 m, y que con el teodolito se ha obtenido queCAD = 47°, BAD = 45°, ABC = 47° y CBD = 44°

Solución:

Solución:No tiene solución porque 47 + 52 = 99

a = 7,2 m

b = 5,4 m

C = 83°

c

A

B

Área

Datos Incógnitas

c2 = a2 + b2 – 2ab cos Cc = &a2 + b2 – 2ab cos C

a c a · sen C— = — ! sen A = —sen A sen C c

B = 180° – (A + C)


Fórmulas

c = &7,22 + 5,42 – 2 · 7,2 · 5,4 · cos 83°c = 8,46 m

7,2 · sen 83°sen A = —— ! A = 57° 38' 31''8,46

B = 180° – (57° 38' 31'' + 83°)B = 39° 21' 29''

1Área = — · 7,2 · 5,4 · sen 83° = 19,3 m22

Resolución

DC

A Bd = 900 m

44º47º45º

47º

a) En el triángulo ABC se calcula ACACB = 180° – (47° + 45° + 47°) = 41°

900 AC 900 · sen 47°—= —! AC = ——= 1 003 msen 41° sen 47° sen 41°

b) En el triángulo ABD se calcula ADADB = 180° – (45° + 47° + 44°) = 44°

900 AD 900 · sen 91°—= —! AD = ——= 1 295 msen 44° sen 91° sen 44°

c) En el triángulo ACD se calcula CDCD2 = 1 0032 + 1 2952 – 2 · 1 003 · 1 295 · cos 47°CD = 955 m

158 SOLUCIONARIO

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47. Una persona que mide 1,78 m proyecta una sombra de2,15 m. ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol en esemomento?

48. En un triángulo rectángulo,un cateto mide el doble que elotro. Calcula la amplitud de sus ángulos agudos.

49. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 7 m y el área14 m2. Halla los demás elementos del triángulo rectán-gulo.

50. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 20 m y elárea 96 m2.Halla los demás elementos del triángulo rec-tángulo.

51. Calcula mentalmente el radio de una circunferencia cir-cunscrita a un triángulo en el que un lado mide 7 m y elángulo opuesto 30°

52. En un triángulo se conocen:a = 6 cm,b = 4,5 cm y A = 85°Calcula el ángulo C. ¿Cuántas soluciones tiene?

Solución:

6 4,5 4,5 · sen 85°—= — ! sen B = ——sen 85° sen B 6B1 = 48° 20' 38''B2 = 131° 39' 22'' (No es válido)C = 46° 39' 22''Tiene una solución.

Solución:7 1D = —= 7 : — = 7 · 2 = 14 m

sen 30° 2Radio = 14/2 = 7 m

Solución:1— b · c = 962b2 + c2 = 202

se obtiene:b = 16 m, c = 12 m

16tg B = — !12

! B = 53° 7' 48'', C = 36° 52' 12''

1A = — · b · c2114 = — · 7 · c ! c = 4 m2

tg B = 7/4 ! B = 60° 15' 18''C = 29° 44' 42''a = &72 + 42 = 8,06 m

Solución:

Solución:

tg B = 1/2 ! B = 26° 33’ 54’’C = 63° 26’ 6’’

Solución:

Ángulo de elevación = 'tg ' = 1,78/2,15' = 39° 37’ 18’’

Para ampliar

1,78 m

!2,15 m

C

x

A B2x

B

A C

¿a?¿c?

¿C?

¿B?

Área = 14 m2

b = 7 m

B

A C

a = 20 m

¿b?

¿c?

¿B?

¿C?Área = 96 m2

A C

B

a = 6 cm

b = 4,5 cm

85º ¿C?

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53. Una cinta transportadora de carbón llega desde un puer-to de mar hasta una central térmica; si la cinta mide350 m y se quiere que eleve el carbón a 50 m de altura,¿qué ángulo de elevación debe llevar la cinta?

54. Dado un triángulo isósceles en que los lados iguales mi-den 9 m y el desigual 6 m, calcula la altura relativa al la-do desigual.

55. Calcula la apotema y el área de un hexágono regular cu-yo lado mide 5,4 cm

56. Calcula la apotema y el área de un heptágono regular cu-yo lado mide 9,2 cm

57. Dos personas están en una playa y ven un globo desdelos puntos A y B, de forma que las dos personas y el glo-bo están en un plano perpendicular al suelo. La distanciaentre las dos personas es de 5 km,el ángulo de elevacióndel globo desde el punto A es de 55°, y desde el punto B,de 48°. Calcula la altura a la que se encuentra el globo.

58. Un ángulo de un triángulo mide de amplitud 75° y el ra-dio de la circunferencia circunscrita mide 5 m. Halla lamedida del lado opuesto al ángulo dado.

Solución:

Resolviendo el sistema:

tg 55° = h/xhtg 48° = —

(5 – x)se obtiene:x = 2,187 kmh = 3,124 km

Solución:

4,6 4,6tg 25° 42' 51'' = — ! a = —— = 9,55 cma tg 25° 42' 51''

7 · 9,2 · 9,55Área = —— = 307,51 cm22

Solución:

asen 60° = —5,4

a = 5,4 sen 60° = 4,68 cm6 · 5,4 · 4,68Área = —— = 75,82 cm2

2

Solución:

Altura = h = &92 – 32 = 8,49 m

Solución:

Ángulo de elevación = xsen x = 50/350 x = 8° 12’ 48’’

Problemas

50 m350 m

x

9 m 9 mh

6 m

5,4 cm

5,4 cma

60º

a

4,6 cm

9,2 cm

25º 42' 51''

A B

C

h

55º 48ºx 5 – x

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160 SOLUCIONARIO

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59. Tres pueblos A,B y C están unidos por carreteras rectasque forman un triángulo; la distancia de A hasta B es de12 km,de A hasta C de 15 km y el ángulo ABC mide 60°.Calcula la distancia del pueblo B al C

60. Tres pueblos A, B y C están formando un triángulo. Si ladistancia AB = 25 km, distancia AC = 43 km y el ánguloque se forma en A es de 75°, ¿cuál es la distancia que hayentre los pueblos C y B?

61. Un solar tiene forma de triángulo, del que se conocen:a = 53 m, b = 47 m y C = 60°Calcula el área del solar.

62. Una señal de socorro de un teléfono móvil A se escuchadesde dos antenas B y C separadas entre sí 25 km,el án-gulo B mide 54° y el ángulo C mide 66°. Calcula las dis-tancias que hay desde cada una de las antenas B y C al te-léfono móvil.

Solución:

Solución:

1Área = — 53 · 47 · sen 60° = 1 078,63 m22

Solución:

CB = &252 + 432 – 2 · 25 · 43 · cos 75° = 43,79 km

Solución:

15 12—= —sen 60° sen C

12 · sen 60°sen C = —— ! C = 43° 51’ 14’’15

A = 180° – (60° + 43° 51’ 14’’) = 76° 8’ 46’’BC 15—— = —

sen 76° 8' 46'' sen 60°15 · sen 76° 8' 46''BC = ——= 16,82 km

sen 60°

Solución:

x—= 2Rsen 75°x = 10 · sen 75° = 9,66 m

x

75º 5 m

C

15 km

60º12 km BA

C

BA

43 km

25 km

75º

A

BC

b = 47 m

a = 53 m60º

A

CB 25 km

54º 66º


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63. Dos torres de alta tensión A y B se encuentran separa-das por un lago. Se toma un punto auxiliar C y se midenlas distancias AC = 33 m,BC = 45 m y el ángulo C = 73°.Halla la distancia que hay entre dichas torres.

64. La pantalla de un cine ocupa una longitud de 16 m. Si lafila 15 está situada a 20 m de la pantalla, halla el ángulobajo el que ve un espectador la pantalla y di en qué lugartendrá mejor visión si está colocado en:a) una butaca totalmente lateral.b) una butaca totalmente centrada.

65. Calcula el área de un triángulo isósceles en el que los la-dos iguales miden 7,5 m, y el desigual, 5 m

66. Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide7,6 cm

67. Calcula el área de un octógono regular cuyo lado mide3,8 m

Solución:

atg 54° = — ! a = 3,8 · tg 54° = 5,23 cm3,8

5 · 7,6 · 5,23Área = —— = 99,37 cm22

Solución:

Semiperímetro = 10 mÁrea = &10(10 – 7,5)2(10 – 5) = 17,68 m2

Solución:a) b)

a) tg x = 16/20 ! x = 38° 39’ 35’’b) tg x/2 = 8/20 ! x/2 = 21° 48’ 5’’ ! x = 43° 36’ 10’’Se ve mejor en una butaca centrada porque el ángulo esmayor.

Solución:

AB = &332 + 452 – 2 · 33 · 45 · cos 73° = 47,39 m

A = 180° – (54° + 66°) = 60°AB 25 25 · sen 66°—= — !AB = —— = 26,372 km

sen 66° sen 60° sen 60°AC 25 25 · sen 54°—= —!AC = —— = 23,354 km

sen 54° sen 60° sen 60°

B

AC

45 km

33 km73º

x

20

168

16

20

x—2

7,5 m 7,5 m

5 m

a54º

36º 7,6 cm

3,8 cm

162 SOLUCIONARIO

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68. Una antena de radio está sujeta por dos cables que vandesde la parte más alta al suelo. Los puntos de sujeciónde los cables y el pie de la antena están alineados. Se hanmedido los ángulos que forma la horizontal con cadauno de los cables y son 40° y 50°. Sabiendo que la dis-tancia entre los pies de los cables es de 60 m, calcula laaltura de la antena.

Para profundizar

69. En una llanura hay una montaña cortada verticalmente enuna orilla de un río. Desde la otra orilla se ve el puntomás alto de la montaña bajo un ángulo de 60°. Aleján-dose del río perpendicularmente 100 m,el ángulo de ele-vación mide 30°. Calcula:a) la anchura del río.b) la altura de la montaña.

70. Un barco A emite una señal de socorro que se recibe endos estaciones de radio B y C. Se conocen los ángulosABC = 68°, ACB = 55° y la distancia entre las estacio-nes de radio, que es de 23 km. Calcula la distancia quehay desde el barco a cada una de las estaciones de radio.

Solución:

Solución:

Resolviendo el sistema:tg 60° = h/xtg 30° = h/(100 + x)se obtiene:x = 50 mh = 86,6 m

Solución:

Resolviendo el sistema:tg 40° = h/(60 – x)tg 50° = h/xse obtiene:x = 24,8 mh = 29,5 m

Solución:

atg 67° 30' = — ! a = 1,9 · tg 67° 30' = 4,59 m1,9

8 · 3,8 · 4,59Área = —— = 69,77 m22

a3,8 m67º 30'

22º 30'

1,9 m

A

B C

h

x60 – x40º 50º

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"$%

30º

h

60ºx100

A

CB68º 55º

23 km


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71. En un triángulo uno de los lados es el doble de otro y elángulo opuesto a este lado menor mide 30°.Calcula cuán-to mide cada uno de los otros ángulos.

72. Las diagonales de un romboide miden 15 m y 12 m y for-man un ángulo de 60°. Calcula cuánto miden los lados.

73. Dos circunferencias, cuyos radios son de 8 cm y 10 cm,se cortan.El ángulo que forman las tangentes respectivasen el punto de intersección mide 50°. Halla la distanciaentre los dos centros de las circunferencias.

74. Sobre una de las orillas paralelas de un río se han toma-do dos puntos, A y B, a 60 m de distancia entre sí. Des-de estos puntos se ha mirado un objeto,C, sobre la otraorilla.Las visuales desde los puntos A y B a C forman conla línea AB unos ángulos de 50° y 80°, respectivamente.Calcula la anchura del río.

75. Se desea hallar desde el punto A la distancia a una torrey su altura. Por imposibilidad de medir la base sobre elplano vertical que pasa por A y D se han tomado las si-guientes medidas.La longitud AB = 125 m en el plano ho-rizontal.El ángulo de elevación desde A hasta D es de 38°;y en el triángulo ABC, el ángulo B = 46° y el ángulo ACB = 54°. Halla la distancia AC y la altura CD.

Solución:

Resolviendo el sistema:htg 80° = —x

htg 50° = —60 – x

se obtiene:x = 10,42 mh = 59,09 m

A 60 m B

C

50º 80º

Solución:OPO’ = 180° – 50° = 130ºAplicando el teorema del coseno en el triángulo OPO’OO’ = &82 + 102 – 2 · 8 · 10 · cos 130° = 16,34 cm

O

P 10 cm8 cm

O'

50º

Solución:Aplicando el teorema del coseno en el triángulo AOBAB = &7,52 + 62 – 2 · 7,5 · 6 · cos 60° = 6,87 mAplicando el teorema del coseno en el triángulo AODAD = &7,52 + 62 – 2 · 7,5 · 6 · cos 120° = 11,72 m

60°7,5 m

7,5 m

A

B

O

D

C6 m

6 m

Solución:x 2x—= —

sen 30° sen Csen C = 2 sen 30° = 1C = 90°B = 60°

A30

B

C

2x

x

El ángulo A = 180° – (68° + 55°) = 57°AC 23 23 · sen 68°—= —! AC = —— = 25,427 km

sen 68° sen 57° sen 57°AB 23 23 · sen 55°—= —! AB = —— = 22,465 km

sen 55° sen 57° sen 57°

x60 – x

h

50º

80º

"##$##%

164 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.


Solución:En el triángulo ABC:A = 180° – (46° + 54°) = 80°

AC 125 125 · sen 46°—= — ! AC = —— = 111,14 msen 46° sen 54° sen 54°

CDtg 38° = — ! CD = 111,14 · tg 38° = 86,83 m111,14

A

B C

D

125 m

46º

38º

54º

168 SOLUCIONARIO

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5 Geometría analítica

1. Operaciones con vectores

1. Dibuja los vectores de posición de los siguientes puntos:

2. Calcula el módulo y el argumento del vector !v en los si-guientes casos:a) !v (3, 4) b) !!v (– 2, 2) c) !v (– 4, – 2) d) !v (2, – 5)

3. Calcula !u + !v y !u – !v analítica y gráficamente en los si-guientes casos:

a) !u (1, 3) y !v (5, 2)

b) !u (1, 3) y !v (4, 1)

Solución:a) !u + !v = (6, 5)

!u – !v = (– 4, 1)

b) !u + !v = (5, 4)!u – !v = (– 3, 2)

Solución:a) |!v | = 5, " = 53° 7’ 48”b) |!v | = 2#—

2, " = 135°c) |!v | = 2#—

5, " = 206° 33’ 54”d) |!v | = #—

29, " = 291° 48’ 5”

Solución:

Y

XA

BC

D

E

FG H

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Dado el vector !v (3, 4) del dibujo siguiente, calcula mentalmente su longitud y la pendiente.

Solución:Longitud = 5 Pendiente = 4/3

Y

XO

A

C

D

v(3, 4)

Y

XA

BC

D

E

FG H

Y

X

u + v

u – v u v

Y

X

u + v

u – vu

v

TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 169

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" Piensa y calcula

Calcula de forma razonada y mentalmente el ángulo que forman los vectores !u y !v del dibujo.

Solución:Como el vector !u está en la bisectriz del primer cuadrante y el !v en la del segundo, forman un ángulo de 90°

Y

X

v(– 5, 5)

u(3, 3)!

4. Calcula y representa en cada caso los vectores siguientes:

a) Multiplica por 3 el vector !v (1, 2)

b) Multiplica por – 2 el vector !v (– 3, 1)

5. Calcula las coordenadas de los vectores !AB en los si-

guientes casos:a) A(– 2, 1), B(3, – 2) b) A(4, 1), B(– 3, 5)

Solución:a)

!AB (5, – 3) b)

!AB (– 7, 4)

b) – 2!v = (6, – 2)

Solución:a) 3!v = (3, 6)

2. Producto escalar de vectores

Y

Xv

v3

Y

Xv

v–2

6. Halla el producto escalar de los vectores siguientes:

a) !u (3, 4) y !v (– 2, 5)

b) !u (– 2, 0) y !v (– 3, – 1)

7. Calcula el ángulo que forman los vectores siguientes:

a) !u (6, – 1) y !v (2, 5)

b) !u (– 2, – 5) y !v (3, – 4)

Solución:

6 · 2 – 1 · 5a) cos " = ——— = 0,2137 $#—62 + (–1)2 #—22 + 52

" = 77° 39’ 39”

Solución:a) !u · !v = 14b) !u · !v = 6

! Aplica la teoría

Y

X

v (2, 5)

u (6, –1)

!

11. Determina el vector director de las rectas r y s 12. Dibuja, en cada caso, la recta que pasa por el punto A ytiene como vector director !v :a) A(2, 1), !v (1, 1) b) A(2, – 4), !v (– 3, 2)c) A(– 2, – 4), !v (3, 1) d) A(– 3, 0), !v (4, – 3)

Solución:a)

Solución:Vector director de la recta r: !v (5, 4)Vector director de la recta s: !v (3, – 2)

Y

X

r

s

! Aplica la teoría

170 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 2, 0) y B(1, 5) y calcula mentalmente las coordenadas del vector !AB y las coor-

denadas de un vector perpendicular a !AB

Solución:

!AB(3, 5)!n(5, – 3)

8. Halla el valor de x para que los vectores !u (2,6) y !v (x,–3)sean perpendiculares.

9. Halla el valor de x de forma que el producto escalar delos vectores !u (2, 3) y !v (x, – 2) sea igual a 4

10. Escribe las coordenadas de dos vectores perpendicu-lares a !v(5, – 3)

Solución:!n1(3, 5); !n2(– 3, – 5)

Solución:!u · !v = 4 $ 2x – 6 = 4 $ x = 5

Solución:!u · !v = 0 $ 2x – 18 = 0 $ x = 9

– 2 · 3 – 5 · (– 4)b) cos " = ———= 0,5199 $#——

(– 2)2 + (– 5)2 #——32 + (– 4)2

" = 58° 40' 17''

3. Determinación de una recta

Y

X

v (3, –4) u (–2, –5)

!

Y

XA(–2, 0)

B(1, 5)

AB(3, 5)

n(5, –3)

Y

XA(2, 1)(1, 1)v

13. Dibuja, en cada caso, la recta que pasa por los puntosA y B, calcula el vector director y la pendiente de larecta:

a) A(1, 2), B(– 4, – 1)

b) A(– 2, 3), B(5, – 1)

c) A(– 1, – 2), B(3, 1)

d) A(– 1, 3), B(5, – 3)

14. Dibuja la recta que pasa por los puntos A y B y calculaun vector director y uno normal a la recta en cada caso:

a) A(– 4, – 1), B(3, 4)

b) A(– 2, 1), B(1, – 3)

Solución:

a)

!AB = (7, 5)!n(5, – 7)

b)

!AB = (3, – 4)!n(4, 3)

c)

!v (4, 3)m = 3/4

d)

!v (6, – 6) 11 (1, –1)m = –1

Solución:a)

!v (5, 3)m = 3/5

b)

!v (7, – 4)m = – 4/7

b)

c)

d)


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Y

X

A(2, –4)

(–3, 2)v

Y

X

A(–2, –4)

(3, 1)v

Y

XA(–3, 0) v(4, –3)

Y

XA(1, 2)

B(–4, –1)

Y

XA(–2, 3)

B(5, –1)

Y

XA(–1, –2)

B(3, 1)

Y

XA(–1, 3)

B(5, –3)

Y

X

A(–4, –1)

B(3, 4)

Y

XA(–2, 1)

B(1, –3)

172 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Calcula mentalmente las coordenadas del punto P, de un vector director, de un vector normal y el valor de la pendiente dela recta del dibujo siguiente.

Solución:P(– 5, 2) !v(3, 2) !n(2, – 3) m = 2/3

Y

X

P(p , p )1 2

O

v2

v1

!

X(x, y)

v p + v

p

p +

2v

v(v , v )1 2

x =

p +

tv

15. Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua,general y explícita de la recta determinada por el pun-to P(–3, 1) y vector director !v (2, 3)

16. Dada la recta r ! 4x + 3y – 6 = 0a) halla una recta s paralela a r que pase por el punto

P(3, 4)b) halla una recta t perpendicular a r que pase por el

punto P(– 2, 1)

17. Dadas las siguientes rectas,escribe el tipo de ecuación,halla un punto, un vector director y la pendiente:

a) (x, y) = (– 2, 1) + t(3, 2), t % !

b)=

c) t % !

d) 3x – 5y + 6 = 0

e) y = 3x – 4

Solución:

a) Vectorial:P(– 2, 1); !v (3, 2), m = 2/3

b) Continua:P(– 5, 2); !v (4, 5), m = 5/4

c) Paramétricas:P(– 4, 3); !v (1, 2), m = 2

d) General:P(– 2, 0); !v (5, 3), m = 3/5

e) Explícita:P(0, – 4); !v (1, 3), m = 3

&'(

x = – 4 + ty = 3 + 2t

y – 25

x + 54

Solución:a) 4x + 3y – 24 = 0 b) 3x – 4y + 10 = 0

Solución:Ecuación vectorial:(x, y) = (– 3, 1) + t(2, 3); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = – 3 + 2ty = 1 + 3t

t % !

Ecuación continua:x + 3 y – 1— = —

2 3 Ecuación general:3x – 2y + 11 = 0Ecuación explícita:

3 11y = —x + —2 2

! Aplica la teoría

4. La recta en el plano

&'(


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" Piensa y calcula

Calcula mentalmente y compara, en cada gráfico, las pendientes de las rectas r y s y di cuántos puntos tienen en común las rectas.

Solución:a) mr = 1/2, ms = 1; tienen un punto en común.b) mr = 3/2, ms = 3/2; no tienen ningún punto en común.c) mr = – 1/2, ms = – 1/2; tienen todos los puntos en común, son la misma recta.

Y

X

rs

Y

Xrs

Y

Xr s

a) b) c)

18. Determina cuáles de los siguientes puntos pertenecena la recta r ! 2x – 3y + 4 = 0:a) A(1, 2)b) B(3, 5)c) C(– 5, – 2)d) D(– 1, 4)

19. Estudia la posición relativa de los siguientes pares derectas:

20. Halla la ecuación del haz de rectas paralelas a r ! 3x – 2y + 6 = 0 y, de ellas, calcula la que pasa porel punto A(3, 2)

21. Halla la ecuación del haz de rectas que pasan por elpunto A(1,2) y escribe la ecuación de la que tiene pen-diente 3

Solución:y – 2 = m(x – 1); m % !

m = 3 $ y – 2 = 3(x – 1) $ y – 2 = 3x – 3 $$ y = 3x – 1

Solución:3x – 2y + K = 0; K % !

A(2, 3) $ 3 · 2 – 2 · 3 + K = 0 $ 0 + K = 0 $ K = 03x – 2y = 0

Solución:1 – 3 2a) — = — = — $ Coincidentes.3 – 9 63 – 5 2b) — = — ) — $ Paralelas.6 – 10 32 –3c) — ) — $ Secantes.4 2

&'(

2x – 3y = 14x + 2y = 5

c)

&'(

3x – 5y = 26x – 10y = 3

b)

&'(

x – 3y = 23x – 9y = 6

a)

Solución:a) 2 · 1 – 3 · 2 + 4 = 2 – 6 + 4 = 0 $ A % rb) 2 · 3 – 3 · 5 + 4 = 6 – 15 + 4 = – 5 ) 0 $ B * rc) 2(– 5) – 3(– 2) + 4 = – 10 + 6 + 4 = 0 $ C % rd) 2(– 1) – 3 · 4 + 4 = – 2 – 12 + 4 = – 10 ) 0 $ D * r

! Aplica la teoría

5. Propiedades afines

174 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Dibuja las rectas y = 2 e y = 5. Halla mentalmente el ángulo que forman y la distancia que hay entre ellas.

Solución:

Las rectas son paralelas; por tanto, forman un ángulo de cero grados.La distancia entre ellas es de 3 unidades.

22. Halla la distancia que hay entre los puntos A(1, 4) y B(5, 2)

23. Halla la distancia que hay del punto P(3, 2) a la recta r ! 4x – 3y + 9 = 0

24. Halla la distancia que hay entre las rectas:r ! x + 3y – 7 = 0 s ! 2x + 6y – 5 = 0

25. Halla el ángulo que forman las rectas:r ! 2x – 7y = 4 s ! 3x + 4y = 1

26. Calcula mentalmente las coordenadas del punto me-dio del segmento de extremos A(– 4, 3) y B(6, – 5)

27. El punto M(1, – 1) es el punto medio del segmento AB.Si A(– 3, – 4), calcula las coordenadas del punto B

Solución:B(x, y)– 3 + x—= 1 $ – 3 + x = 2 $ x = 5

2– 4 + y—= – 1 $ – 4 + y = – 2 $ y = 2

2B(5, 2)

Solución:M(1, – 1)

Solución:|2 · 3 – 7 · 4|cos " = ——— $ " = 52° 48’ 55”

#——22 + (– 7)2 #—32 + 42

Solución:Son paralelas:P(7, 0) % r

|2 · 7 + 6 · 0 – 5| 9 9 9#—10d(P, s) = ——= — = — = —

#—22 + 62 #—40 2#—

10 20

Solución:|4 · 3 – 3 · 2 + 9|d(P, r) = ——= 3 unidades.

#——42 + (– 3)2

Solución:!AB(4, – 2) $ d(A, B) = #——

42 + (– 2)2 = 2#—5 unidades.

! Aplica la teoría

6. Distancias y ángulos en el plano

Y

X

y = 5

y = 2


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Ejercicios y problemas1. Operaciones con vectores

28. Dado el cuadrilátero de la figura, calcula:

a) los vectores de posición de los vértices del cuadrilá-tero.

b) las coordenadas de los vectores:!AB,

!BC,

!DA y

!DC

c) las coordenadas de !AB +

!BC y representa el vector.

d) las coordenadas de !DA –

!DC y representa el vector.

29. Calcula el módulo y el argumento del vector en los si-guientes casos:a) !v (1, 5) b) !v (– 3, 4)c) !v (– 2, – 3) d) !v (3, – 5)

30. Calcula !u + !v y !u – !v analítica y gráficamente en los si-guientes casos:

a) !u (– 3, 2) y !v (3, 3)

b) !u (1, 2) y !v (4, 3)

31. Calcula y representa en cada caso los siguientes vec-tores:

a) Multiplica por 2 el vector !v (– 2, 3)

b) Multiplica por – 3 el vector !v (1, 2)

Solución:a) 2!v = (– 4, 6)

Solución:a) !u + !v = (0, 5)

!u – !v = (– 6, – 1)

b) !u + !v = (5, 5)!u – !v = (– 3, – 1)

Solución:

a) |!v | = #—26, " = 78° 41’ 24”

b) |!v | = 5, " = 126° 52’ 12”

c) |!v | = #—13, " = 236° 18’ 36”

d) |!v | = #—34, " = 300° 57’ 50”

Solución:

a) !OA(5, 1)!OB(– 1, 3)!OC(– 4, – 1)!OD(2, – 5)

b) !AB(– 6, 2)!BC(– 3, – 4)!DA(3, 6)!DC(– 6, 4)

c) !AB +

!BC = (– 9, – 2)

d) !DA –

!DC = (9, 2)

Y

XA

B

C

D

Y

XBC AB

AB

C

D

AB BC +

Y

X

DC DA

AB

C

D

DA DC –

Y

X

u + v

vu

u – v

Y

X

u + v

vu

u – v

Y

Xv

v2

176 SOLUCIONARIO

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2. Producto escalar de vectores

32. Halla el producto escalar de los vectores siguientes:a) !u (– 2, 3) y !v (4, – 7)b) !u (0, 1) y !v (– 5, 2)

33. Calcula el ángulo que forman los vectores siguientes:a) !u (3, – 5) y !v (4, 1)b) !u (5, – 2) y !v (– 3, 4)

34. Halla el valor de x para que los vectores !u (6,x) y !v (5,– 3)sean perpendiculares.

35. Halla el valor de x de forma que el producto escalar delos vectores !u (2, – 4) y !v (1, x) sea igual a 6

36. Analiza si los vectores !u (– 2, 5) y !v (3, 2) son perpendi-culares.

37. Escribe las coordenadas de dos vectores perpendicula-res a !v en los siguientes casos:a) !v (3, – 2)b) !v (– 1, – 3)c) !v (0, – 1)d) !v (1, 0)

3. Determinación de una recta

38. Determina el vector director de las rectas r y s en cadacaso:a) b)

39. Dibuja, en cada caso, la recta que pasa por el punto A ytiene como vector director !v :a) A(5, 1), !v (– 1, 0)b) A(– 3, 0), !v (2, 5)c) A(– 3, – 2), !v (4, – 1)d) A(2, 1), !v (– 3, 1)

Solución:a) Vector director de la recta r: !v (9, – 7)

Vector director de la recta s: !v (3, 1)b) Vector director de la recta r: !v (2, 1)

Vector director de la recta s: !v (3, – 2)

Solución:

a) !n1(2, 3); !n2(– 2, – 3)

b) !n1(3, – 1); !n2(– 3, 1)

c) !n1(1, 0); !n2(– 1, 0)

d) !n1(0, 1); !n2(0, – 1)

Solución:!u · !v = – 6 + 10 = 4 ) 0No son perpendiculares.

Solución:!u · !v = 62 – 4x = 6 $ x = – 1

Solución:!u · !v = 0 $ 30 – 3x = 0 $ x = 10

Solución:a)

" = 73° 4’ 21”b)

" = 148° 40’ 17”

Solución:a) !u · !v = – 29b) !u · !v = 2

b) – 3!v = (– 3, – 6)Y

Xv

v–3

Y

X!

v (4, 1)

u (3, –5)

Y

X!

v (–3, 4)

u (5, –2)

Y

X

r

s

Y

X

r

s


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40. Dibuja la recta que pasa por los puntos A y B, y calcu-la el vector director y la pendiente de la recta en cadacaso:a) A(2, 1), B( – 1, – 4) b) A(3, – 2), B(– 1, 5)c) A(– 2, – 1), B(1, 3) d) A(3, – 1), B(– 3, 5)

41. Dibuja la recta que pasa por los puntos A y B y calcula unvector normal a la recta en cada caso:

a) A(– 1, – 4), B(4, 3)

b) A(1, – 2), B(– 3, 1)

Solución:a)

!v (5, 7)!n (7, – 5)

Solución:

b)

!v (4, – 7)m = – 7/4

c)

!v (3, 4)m = 4/3

d)

!v (– 6, 6) || (– 1, 1)m = – 1

Solución:a)

!v (3, 5)m = 5/3

Solución:

a)

b)

c)

d)

Y

Xv (–1, 0)

A(5, 1)

Y

X

v (2, 5)

A(–3, 0)

Y

X

v (4, –1)A(–3, –2)

Y

Xv (–3, 1)A(2, 1)

Y

XA(2, 1)

B(–1, –4)

Y

X

A(3, –2)

B(–1, 5)

Y

XA(–2, –1)

B(1, 3)

Y

X

A(3, –1)

B(–3, 5)

Y

X

A(–1, –4)

B(4, 3)

178 SOLUCIONARIO

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4. La recta en el plano

42. Halla las ecuaciones vectorial,paramétricas,continua,ge-neral y explícita de la recta determinada por el punto Ay el vector director:a) A(2, 5) y !v (2, 3)b) A(– 1, 3) y !v (4, – 1)c) A(– 2, 1) y !v (2, 1)d) A(0, 3) y !v (1, – 2)

43. Escribe las ecuaciones vectorial, paramétricas y generalde los ejes de coordenadas.

Solución:Eje de abscisas, XEcuación vectorial:(x, y) = t(1, 0); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = ty = 0

t % !

Ecuación general:y = 0Eje de ordenadas,YEcuación vectorial:(x, y) = t(0, 1); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = 0y = t

t % !

Ecuación general:x = 0

c) Ecuación vectorial:(x, y) = (– 2, 1) + t(2, 1); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = – 2 + 2ty = 1 + t

t % !

Ecuación continua:x + 2— = y – 1

2Ecuación general:x – 2y + 4 = 0Ecuación explícita:

xy = — + 22

d) Ecuación vectorial:(x, y) = (0, 3) + t(1, – 2); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = ty = 3 – 2t

t % !

Ecuación continua:y – 3x = —– 2

Ecuación general:2x + y – 3 = 0Ecuación explícita:y = – 2x + 3

Solución:a) Ecuación vectorial:

(x, y) = (2, 5) + t(2, 3); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = 2 + 2ty = 5 + 3t

t % !

Ecuación continua:x – 2 y – 5— = —

2 3 Ecuación general:3x – 2y + 4 = 0Ecuación explícita:

3y = — x + 22

b) Ecuación vectorial:(x, y) = (– 1, 3) + t(4, – 1); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = – 1 + 4ty = 3 – t

t % !

Ecuación continua:x + 1 y – 3— = —

4 – 1Ecuación general:x + 4y – 11 = 0Ecuación explícita:

x 11y = – — + —4 4

b)

!v (4, – 3)!n (3, 4)

Y

X

A(1, –2)

B(–3, 1)

&'(

&'(

&'(

&'(

&'(

&'(


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l Bru

ño, S

.L.

44. Dadas las siguientes rectas, escribe el tipo de ecuación,halla un punto, un vector director y la pendiente:a) (x, y) = (– 4, 2) + t(5, 1), t %!

b) x + 3y + 4 = 0 c) y = – 2x – 1

d)t %! e) =

45. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(– 4,5)y tiene pendiente – 3

46. Dada la recta r ! 3x – 5y + 8 = 0a) halla una recta s paralela a r que pase por el punto

P(3, 2)b) halla una recta t perpendicular a r que pase por el pun-

to P(– 1, 2)

5. Propiedades afines

47. Determina cuáles de los siguientes puntos pertenecen ala recta 4x + y – 8 = 0:a) A(1, 4) b) B(– 2, 0)c) C(3, – 4) d) D(– 3, 20)

48. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

49. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rec-tas:

50. Halla la ecuación del haz de rectas que pasan por el pun-to A y escribe la ecuación de la que tiene la pendiente,m, que se indica en cada caso:a) A(– 1, 2) y m = 2 b) A(2, 4) y m = – 3c) A(– 3, – 2) y m = 1/2 d) A(– 1, 3) y m = – 2/3

51. Halla la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta r ! 4x + 5y – 2 = 0 y, de ellas, calcula la que pasa por elpunto A(1, – 2)

6. Distancias y ángulos en el plano

52. Halla la distancia que hay entre los puntos A y B en loscasos siguientes:a) A(2, 5) y B( – 3, 1) b) A(– 2, 4) y B(2, 0)c) A(3, – 2) y B( – 3, 4) d) A(3, 0) y B(0, 4)

Solución:4x + 5y + K = 0; K % !

A(1, – 2) $ K = 64x + 5y + 6 = 0

Solución:a) y – 2 = m(x + 1); m % !

m = 2 $ y = 2x + 4b) y – 4 = m(x – 2); m % !

m = – 3 $ y = – 3x + 10c) y + 2 = m(x + 3); m % !

1 x 1m = — $ y = — – —2 2 2

d) y – 3 = m(x + 1); m % !

2 2 7m = – — $ y = – —x + —3 3 3

Solución:4 –3 1a) — = — = — $ Coincidentes.8 –6 23 – 6b) — ) — $ Secantes.–2 5

&'(

3x – 6y = 5– 2x + 5y = 3

b)&'(

4x – 3y = 18x – 6y = 2

a)

Solución:1 – 7a) — ) — $ Secantes.4 – 11 – 6 5b) — = — ) — $ Paralelas.–2 12 3

&'(

x – 6y = 5– 2x + 12y = 3

b)&'(

x – 7y = 84x – y = 5

a)

Solución:A, C y D

Solución:a) 3x – 5y + 1 = 0b) 5x + 3y – 1 = 0

Solución:y – 5 = – 3(x + 4)y = – 3x – 7

Solución:a) Vectorial:

A(– 4, 2); !v (5, 1), m = 1/5b) General:

A(– 4, 0); !v (3, – 1), m = – 1/3c) Explícita:

A(0, – 1); !v (1, – 2), m = – 2d) Paramétricas:

A(2, 4); !v (1, – 2), m = – 2e) Continua:

A(5, – 2); !v (3, 4), m = 4/3

y + 24

x – 53

&'(

x = 2 + ty = 4 – 2t

57. Dados los vectores !u (3, – 4) y !v (– 2, 1), calcula las coordenadas de los siguientes vectores:a) 2 !u + !vb) 3 !u – 2 !vc) 2(!u + !v)d) !v – 2 !ue) 3(!u + !v) – 2(!u – !v)

58. Calcula las coordenadas del vector !u de forma que

!u + 3!v = !w

siendo !v (2, – 1) y !w (– 4, 3)

59. Calcula x e y para que se cumplan las siguientes igualdades:a) 2(x, y) = (4, 5) b) – 3(x, 2) = 4(9, 2y)

60. Dados los vectores !u (– 2, 3), !v (5, – 1) y !w (3, 4), calcula:a) (2 !u + 3!v) · !w b) !u · !v + !u · !w

Solución:a) 45 b) – 7

Solución:a) x = 2, y = 5/2 b) x = – 12, y = – 3/4

Solución:1— !u = !w – 3!v $ !u = 2!w – 6!v2

!u (– 20, 12)

12

Solución:a) (4, – 7) b) (13, – 14) c) (2, – 6)d) (– 8, 9) e) (– 7, 1)

180 SOLUCIONARIO

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53. Halla la distancia del punto P a la recta r en cada caso:a) P(2, 5) y r ! x – 3y + 5 = 0b) P(– 1, 3) y r ! 3x + 5y – 7 = 0c) P(0, 5) y r ! 4x + y + 1 = 0d) P(– 2, – 3) y r ! 2x – 6y + 3 = 0

54. Halla la distancia que hay entre las rectas r y s en los ca-sos siguientes:a) r ! 2x + y – 5 = 0 y s ! 4x + 2y + 1 = 0b) r ! x + 6y + 9 = 0 y s ! x + y – 6 = 0c) r ! 5x – 3y + 7 = 0 y s ! 15x – 9y – 2 = 0d) r ! y – 5 = 0 y s ! y + 1 = 0

55. Halla el ángulo que forman las rectas r y s en los casossiguientes:a) r ! x + y – 5 = 0 y s ! x + 2y + 3 = 0b) r ! x – 4y + 9 = 0 y s ! 2x + 3y – 1 = 0c) r ! 3x – 5y + 2 = 0 y s ! 6x – 10y – 5 = 0d) r ! y – 2 = 0 y s ! x + 3 = 0

56. Calcula mentalmente las coordenadas del punto mediodel segmento AB:a) A(– 5, 2) y B(1, – 4) b) A(3, 5) y B(– 1, – 5)

Solución:a) M(– 2, – 1) b) M(1, 0)

Solución:a) " = 18° 26’ 6”b) " = 47° 43’ 35”c) Son paralelas: " = 0°d) Son perpendiculares: " = 90°

Solución:a) Son paralelas:

11#—5P(0, 5) % r; d(r, s) = d(P, s) = —

10b) Son secantes: d(r, s) = 0c) Son paralelas:

23#—34P(1, 4) % r; d(r, s) = d(P, s) = —

102d) Son paralelas: d(r, s) = 6

Solución:4#—

10a) d(P, r) = — unidades.5

5#—34b) d(P, r) = — unidades.

346#—

17c) d(P, r) = — unidades.17

17#—10d) d(P, r) = — unidades.

20

Solución:

a) !AB (– 5, – 4) $ d(A, B) = #—

41 unidades.

b) !AB (4, – 4) $ d(A, B) = 4#—

2 unidades.

c) !AB (– 6, 6) $ d(A, B) = 6#—

2 unidades.

d) !AB (– 3, 4) $ d(A, B) = 5 unidades.

Para ampliar


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61. Dados los vectores !u (3,1) y !v (2,3),calcula el ángulo queforman los vectores !u + !v y !u – !v

62. Halla el valor de x para que los vectores !u (7,x) y !v (3,– 4)sean perpendiculares.

63. Halla el valor de x de forma que el producto escalar delos vectores !u (– 3, – 2) y !v (5, x) sea igual a 5

64. Escribe las coordenadas de un vector perpendicular a !ven los siguientes casos:

a) !v (5, – 2)

b) !v (– 3, – 1)

c) !v (0, – 4)

d) !v (– 3, 5)

65. Dibuja las rectas que pasan por el punto A y tienen co-mo vector director !v, y determina otro punto de la rec-ta en cada caso:

a) A(– 2, 1), !v (2, 3)

b) A(0, 3), !v (2, – 1)

c) A(– 2, – 5), !v (3, 4)

d) A(2, 3), !v (1, – 2)

66. Dibuja las rectas que pasan por los puntos A y B, y calcu-la el vector director y la pendiente de la recta en cadacaso:a) A(3, 4), B(– 5, – 1)b) A(– 3, 2), B(4, – 2)c) A(– 2, – 3), B(5, 6)d) A(– 2, 4), B(3, – 2)

Solución:a)

!v (8, 5)m = 5/8

b)

!v (7, – 4)m = – 4/7

b)

c)

d)

Solución:a)

Solución:a) !n (2, 5)b) !n (1, – 3)c) !n (4, 0) || (1, 0)d) !n (5, 3)

Solución:!u · !v = 5 $ – 15 – 2x = 5 $ x = – 10

Solución:!u · !v = 0 $ 21 – 4x = 0 $ x = 21/4

Solución:!u + !v = (5, 4)!u – !v = (1, – 2)" = 102° 5’ 41”

Y

XA(–2, 1)

B(0, 4)v(2, 3)

Y

X

A(0, 3)B(4, 1)

v(2, –1)

Y

X

A(–2, –5)

B(4, 3)

v(3, 4)

Y

X

A(2, 3)

B(3, 1)

v(1, –2)

Y

X

A(3, 4)

B(–5, –1)

Y

XA(–3, 2)

B(4, –2)

182 SOLUCIONARIO

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67. Halla las ecuaciones vectorial,paramétricas,continua,ge-neral y explícita de las rectas dibujadas:a)

b)

Ecuación explícita:3 5y = —x + —2 2

Recta sP(2, 1), !v (3, – 1)Ecuación vectorial:(x, y) = (2, 1) + t(3, – 1); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = 2 + 3ty = 1 – t

t % !


3 – 1 Ecuación general:x + 3y – 5 = 0Ecuación explícita:

x 5y = – — + —3 3

b) Recta rP(0, 3), !v (1, 2)Ecuación vectorial:(x, y) = (0, 3) + t(1, 2); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = ty = 3 + 2t

t % !

Ecuación continua:y – 3x = —

2 Ecuación general:2x – y + 3 = 0Ecuación explícita:y = 2x + 3

Recta sP(2, – 5), !v (4, – 3)Ecuación vectorial:(x, y) = (2, – 5) + t(4, – 3); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = 2 + 4ty = – 5 – 3t

t % !

Ecuación continua:x – 2 y + 5— = —

4 – 3Ecuación general:3x + 4y + 14 = 0Ecuación explícita:

3 7y = – —x – —4 2

Solución:a) Recta r

P(1, 4), !v (2, 3)Ecuación vectorial:(x, y) = (1, 4) + t(2, 3); t % !

Ecuaciones paramétricas:x = 1 + 2ty = 4 + 3t

t % !


2 3 Ecuación general:3x – 2y + 5 = 0

c)

!v (7, 9)m = 9/7

d)

!v (5, – 6)m = – 6/5

Y

X

A(–2, –3)

B(5, 6)

Y

X

A(–2, 4)

B(3, –2)

Y

X

rs

Y

X

r

s

&'(

&'(

&'(

&'(


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68. Dadas las siguientes rectas, escribe el tipo de ecuación,halla un punto, un vector director y la pendiente:

a) y = – 4x + 5

b) 2x – 5y + 10 = 0

c)t %!

d) =

e) (x, y) = (2, 5) + t(– 2, 3), t %!

69. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(–3,–5)y tiene pendiente 4

70. Dada la recta r ! 5x + 3y +1 = 0a) halla una recta s paralela a r que pase por el punto

P(1, 3)b) halla una recta s perpendicular a r que pase por el pun-

to P(– 5, 2)

71. Estudia la posición relativa de los pares de rectas:

a) r ! 2x + 3y – 1 = 0; s ! 3x – 4y – 5 = 0

b) r ! x + 5y – 6 = 0; s ! = y + 3

c) r ! y = – 3x + 2; s ! t %!

d) r ! x – 4y + 5 = 0; s ! y = 2x + 1

72. Halla la ecuación del haz de rectas que pasan por el pun-to A y escribe la ecuación de la que tiene la pendiente,m, que se indica en cada caso:a) A(3, 2) y m = – 4b) A(– 2, 1) y m = – 1/3c) A(– 2, 0) y m = – 2d) A(– 1, 2) y m = 3/2

73. Halla la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta r ! 5x – 3y + 7 = 0 y, de ellas, calcula la que pasa porel punto A(2, – 3)

74. Halla la distancia del punto P a la recta r en cada caso:

a) P(3, 5) y r ! 6x – y + 1 = 0

b) P(– 2, 5) y r ! 3x – 4y + 9 = 0

c) P(0, – 3) y r ! =

d) P(0, 0) y r ! t %!&'(

x = 2 + ty = 3 + t

y – 14

x + 23

Solución:5x – 3y + K = 0; K % !

5x – 3y – 19 = 0

Solución:a) y – 2 = m(x – 3); m % !

y = – 4x + 14b) y – 1 = m(x + 2); m % !

x 1y = – — + —3 3

c) y = m(x + 2); m % !

y = – 2x – 4d) y – 2 = m(x + 1); m % !

3 7y = —x + —2 2

Solución:2 3a) — ) — $ Secantes.3 – 4

b) s ! x + 5y + 14 = 01 5 – 6— = — ) — $ Paralelas.1 5 14

c) r ! 3x + y – 2 = 0s ! 3x + y – 2 = 03 1 – 2— = — = — $ Coincidentes.3 1 – 2

d) s ! 2x – y + 1 = 01 – 4— ) — $ Secantes.2 – 1

&'(

x = 2 – ty = – 4 + 3t

x – 1– 5

Solución:a) 5x + 3y – 14 = 0b) 3x – 5y + 25 = 0

Solución:Se aplica la forma punto-pendiente:y + 5 = 4(x + 3)y = 4x + 7

Solución:a) Explícita:

A(0, 5); !v (1, – 4), m = – 4b) General:

P (– 5, 0); !v (5, 2), m = 2/5c) Paramétricas:

P (– 4, 3); !v (2, 5), m = 5/2d) Continua:

P (– 5, – 4); !v (3, 5), m = 5/3e) Vectorial:

P(2, 5); !v (– 2, 3), m = – 3/2

y + 45

x + 53

&'(

x = – 4 – 2ty = 3 – 5t

184 SOLUCIONARIO

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75. Halla la distancia que hay entre las rectas r y s en los ca-sos siguientes:a) r ! x + y – 3 = 0; s ! y = – x + 1

b) r ! = ; s ! 3x – 4y = 0

76. Halla el ángulo que forman las rectas r y s en los casossiguientes:

a) r ! y = x/2 + 3; s ! y = – x + 2

b) r ! ; s ! y = 3x – 7

Solución:

a) r ! x – 2y + 6 = 0s ! x + y – 2 = 0" = 71° 33’ 54”

b) r ! x – 2y + 5 = 0s ! 3x – y – 7 = 0" = 45°

&'(

x = 1 + 2ty = 3 + t

b) r ! 3x – 4y + 5 = 0r y s son paralelas.P(1, 2) % rd(r, s) = d(P, s) = 1

Solución:a) s ! x + y – 1 = 0

r y s son paralelas.P(0, 3) % rd(r, s) = d(P, s) = #—

2

y – 23

x – 14

Solución:14#—

37a) d(P, r) = — unidades.37

17b) d(P, r) = — unidades.5

c) r ! 4x – 3y + 11 = 0d(P, r) = 4 unidades.

d) r ! x – y + 1 = 0#—

2d(P, r) = — unidades.2

77. Sea P el punto medio del segmento AB. Expresa !OP en

función de !OA y

!OB

78. Se conocen los vectores !AB (3, 1),

!AC (– 4, 1) y

!AD = 2

!AB +

!AC.Si se tiene que A(1, 2), calcula las coor-

denadas de los puntos B, C y D

79. Sean los vectores !u (4, 3) y !v (– 5, x). Calcula el valor dex para que los vectores !u + !v y !u – !v sean ortogonales.

80. Halla el valor de x para que los vectores !u (4,3) y !v (x,1)formen un ángulo de 45°

81. Determina si los tres puntos siguientes están alineados:a) A(1, 2), B(– 2, – 4) y C(3, 6)b) A(0, 1), B(2, – 5) y C(– 1, 4)c) A(1, 3), B(– 2, 0) y C(4, 5)d) A(0, 2), B(– 3, – 1) y C(5, 3)

Solución:#—

24x + 3 = 5 · #—x2 + 1 · —2

1x = —7

Solución:!u + !v = (– 1, 3 + x)!u – !v = (9, 3 – x)– 9 + 9 – x2 = 0x = 0

Solución:!OB =

!OA +

!AB = (1, 2) + (3, 1) = (4, 3)

!OC =

!OA +

!AC = (1, 2) + (– 4, 1) = (– 3, 3)

!OD =

!OA +

!AD = (1, 2) + 2(3, 1) + (– 4, 1) = (3, 5)

Solución:1!

OP = — (!OA +

!OB)

2

Y

XO

A

B

P

Problemas


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82. Halla el valor de k para que los siguientes puntos esténalineados:a) A(1, 4), B(– 2, 1) y C(3, k)b) A(0, – 1), B(2, – 5) y C(– 1, k)

83. Calcula el valor de k para que el punto P(– 3, 5) per-tenezca a la recta determinada por los puntos A(2, 3) y B(– 1, k)

84. Dados los puntos A(2, 4), B(– 1, – 2) y C(– 3, 1), determi-na las coordenadas del punto D(x, y) de forma que loscuatro puntos formen un paralelogramo.

85. Halla el valor de k para que las rectas:

r ! 4x + ky + 8 = 0

s ! =

sean paralelas.

86. Calcula el valor de a y b para que las rectas:r ! ax + 3y + 6 = 0s ! bx – 2y – 1 = 0sean perpendiculares y la recta r pase por el punto A(3,4).

87. Halla la longitud del segmento determinado por los puntos de corte de la recta dada por la ecuación 3x + 5y – 15 = 0 con los ejes de coordenadas.

88. Calcula el valor de k para que la distancia del punto A(2,1)a la recta x – 2y + k = 0 sea 5

89. Dado el triángulo de vértices A(1, – 3),B(– 4, 5) y C(5, 1),calcula:a) la longitud de la altura que pasa por el vértice Ab) el área del triángulo.

Solución:|2 – 2 + k|—— = 5

#—5

k = ± 5#—5

Solución:Se pasa la ecuación a forma canónica.Se divide toda ella entre 15x y— + — = 15 3p = 5, q = 3 $ P(5, 0), Q(0, 3)

d(P, Q) = #—34 unidades

Solución:ab – 6 = 03a + 12 + 6 = 0a = – 6, b = – 1

Solución:s ! 2x + y + 5 = 04 k— = — $ k = 22 1

y + 34

x + 1– 2

Solución:

!OD =

!OC +

!BA = (– 3, 1) + (3, 6) = (0, 7)

Solución:Los vectores

!PA = (5, – 2),

!PB = (2, k – 5) tienen que ser

paralelos.5 – 2 21— = — $ k = —2 k – 5 5

Solución:– 3 – 3a)

!AB = (– 3, – 3),

!AC = (2, k – 4) $ — = — $ k = 6

2 k – 42 – 4b)

!AB = (2, – 4),

!AC = (– 1, k + 1) $ — = — $ k = 1

–1 k + 1

Solución:

Para que los puntos A, B y C estén alineados, los vectores!AB y

!AC tienen que ser paralelos, es decir, sus coordena-

das tienen que ser proporcionales.

a) !AB = (–3, –6),

!AC = (2, 4), A, B y C están alineados.

b) !AB = (2, – 6),

!AC = (– 1, 3), A, B y C están alineados.

c) !AB = (–3, –3),

!AC = (3, 2), A,B y C no están alineados.

d) !AB = (– 3, – 3),

!AC = (5,1), A,B y C no están alineados.

Y

X

BA

BA

O

B

C

A

D

OD

OC

Y

X

Q(0, 3)

P(5, 0)

186 SOLUCIONARIO

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Para profundizar

90. Los lados de un triángulo ABC tienen como ecuaciones:

AB ! 2x + 5y – 8 = 0

AC ! 5x + 3y – 1 = 0

BC ! 3x – 2y – 12 = 0

Calcula las coordenadas de los tres vértices.

91. Calcula el área del cuadrilátero A(0, – 2), B(– 3, 2),C(1, 3)y D(4, 2)

92. Calcula las amplitudes de los ángulos del triángulo de vér-tices A(2, – 1), B(– 1, 3) y C(4, 3)

93. Halla el área del rombo cuyos vértices son: A(1, 0),B(3, 4), C(5, 0) y D(3, – 4)

Solución:

Área = D · d/2 = 8 · 4/2 = 16 unidades cuadradas

Solución:

!AB (– 3, 4),

!AC (2, 4) $ A = 63° 26’ 6”

!BA (3, – 4),

!BC (5, 0) $ B = 53° 7’ 48”

C = 180° – (A + B) = 63° 26’ 6”

Solución:

El cuadrilátero se divide en dos triángulos:ABD y BCD• Área de ABD:

d(B, D) = 7Recta que pasa por BD: r ! y = 2h = d(A, r) = 4

1AABD = — · 7 · 4 = 14 u22

• Área de BCD:d(B, D) = 7Recta que pasa por BD: r ! y = 2h = d(C, r) = 1

1ABCD = — · 7 · 1 = 7/2 u22

• AABCD = 35/2 u2

Solución:

A es la solución del sistema formado por las rectas AB yAC:A(– 1, 2)

B es la solución del sistema formado por las rectas AB yBC:B(4, 0)

C es la solución del sistema formado por las rectas AC yBC:C(2, – 3)

Solución:

a) Recta que pasa por B y Cr ! 4x + 9y – 29 = 0

52h = d(A, r) = — unidades.#—

97b) d(B, C) = #—

971 52Área = — #—

97 · — = 26 unidades cuadradas.2 #—

97

Y

XC(5, 1)

h

B(–4, 5)

A(1, –3)

Y

XB(4, 0)

C(2, –3)

A(–1, 2)

Y

X

A(0, –2)

B(–3, 2)C(1, 3)

D(4, 2)

Y

X

B(–1, 3) C(4, 3)

A(2, –1)

Y

XC(5, 0)

D(3, –4)

B(3, 4)

A(1, 0)


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ño, S

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94. Calcula el área del triángulo formado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de la recta 5x + 3y – 15 = 0 con los ejes.

95. Calcula las coordenadas de un vector de módulo uno dela misma dirección y sentido que !v (3, 4)

96. Halla un punto de la recta 2x – y + 2 = 0 que equidistede los puntos A(1, 0) y B(– 2, 0)

97. Halla el haz de rectas que pasan por el origen y calcula laecuación de la recta del haz, tal que la distancia del pun-to P(2, 0) a dicha recta sea

98. Un cuadrado tiene dos vértices opuestos en B(1, 1) yD(5, 3). Calcula las coordenadas de A y C y el área delcuadrado.

99. Calcula los vértices del triángulo ABC, del que se cono-cen las coordenadas del punto A(4,3) y las ecuaciones delas alturas: x – y + 2 = 0, 2x + y – 6 = 0

Solución:

La recta que contiene al lado AB pasa por A y es perpen-dicular a la recta x – y + 2 = 0A(4, 3), mAB = – 1y – 3 = – (x – 4)x + y – 7 = 0Resolviendo el sistema:

x + y – 7 = 02x + y – 6 = 0

se obtiene el vértice: B(– 1, 8)

La recta que contiene al lado AC pasa por A y es perpen-dicular a la recta 2x + y – 6 = 0A(4, 3), mAC = 1/2

1y – 3 = —(x – 4)2

x – 2y + 2 = 0Resolviendo el sistema:

x – 2y + 2 = 0x – y + 2 = 0

se obtiene el vértice: C(– 2, 0)

Solución:

El centro del cuadrado es el punto medio de la diagonalBD: M(3, 2)El vector

!MB es (– 2, – 1), que es una semidiagonal. Las

otras dos semidiagonales perpendiculares son:!MA(1, – 2) y

!MC(– 1, 2)

!OA =

!OM +

!MA = (3, 2) + (1, – 2) = (4, 0) $ A(4, 0)

!OC =

!OM +

!MC = (3, 2) + (– 1, 2) = (2, 4) $ C(2, 4)

Área = (lado)2; lado = d(A, B) Lado = #—

10 unidades.Área = 10 unidades cuadradas.

Solución:La ecuación del haz es:y = mx; m % !

d(P, r) = #—2

mx – y = 0|2m|—— = #—

2#——

m2 + 1 m = ± 1Hay dos ecuaciones del haz que verifican la condición:y = xy = – x

#2

Solución:P(x, y) % rd(A, P) = d(B, P)Es la solución del sistema:2x – y + 2 = 0#——(x – 1)2 + y2 = #——

(x + 2)2 + y2

x = – 1/2, y = 1P(– 1/2, 1)

Solución:Se divide entre el módulo, que es 5!v (3/5, 4/5)

Solución:

Se pasa la ecuación a forma canónica.Se divide toda ella entre 15x/3 + y/5 = 1p = 3, q = 5Área = 3 · 5/2 = 15/2 = 7,5 unidades cuadradas.

Y

X

Q(0, 5)

P(3, 0)

&'(

&'(

&'(

Y

X

C(2, 4)D(5, 3)

B(1, 1) M(3, 2)

A(4, 0)

Y

X

B(–1, 8)

A(4, 3)

C(–2, 0)

2x + y –6 = 0

x – y + 2 = 0

190 SOLUCIONARIO

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6 Lugares geométricosy cónicas

1. Lugares geométricos

1. Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano queestán a 3 unidades de la recta y = 2. Halla mentalmentesu ecuación.

2. Halla mentalmente la mediatriz del segmento que tienelos extremos en los puntos A(1, 2) y B(5, 2)

3. Halla la mediatriz del segmento que tiene los extremosen los puntos A(2, 1) y B(– 4, 3)

4. Halla mentalmente la ecuación de la bisectriz del primery tercer cuadrantes.

5. Calcula el circuncentro del triángulo cuyos vértices sonlos puntos: A(2, 4), B(5, – 5) y C(– 3, – 1)

Solución:

Mediatriz r del lado AB:M(7/2, – 1/2)mAB = – 3 ! m = 1/3y + 1/2 = 1/3(x – 7/2)r ! x – 3y – 5 = 0Mediatriz s del lado AC:N(– 1/2, 3/2)mAC = 1 ! m = – 1y – 3/2 = – (x + 1/2)s ! x + y – 1 = 0Resolviendo el sistema formado por r y s, se obtiene elcircuncentro: O(2, – 1)

Solución:y = x

Solución:M(– 1, 2)

AB"

(– 6, 2) || (3, – 1) ! mAB = – 1/3 ! m = 3y – 2 = 3(x + 1)y = 3x + 5

Solución:x = 3

Solución:

Son las rectas: y = 5, y = – 1

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Dados los puntos A(4, 1) y B(– 2, 5), halla mentalmente el punto medio y la pendiente del segmento AB

Solución:M(1, 3)

AB"

(– 6, 4) ! m = – 2/3

y = 5

y = 2

y = –1

Y

XY

X

OM

r

s

N

A(2, 4)

B(5, –5)

C(–3, –1)

TEMA 6. LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS 191

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" Piensa y calcula

Calcula mentalmente:a) el área del triángulo del dibujo que tiene como vértices los puntos A(– 5, – 2), B(4, – 2) y

C(– 1, 4)b) la pendiente del lado ACc) la pendiente de una recta perpendicular al lado AC que pasa por el vértice B

Solución:a) A = 27 u2

b) mAC = 3/2c) m = – 2/3

6. Aplicando la propiedad de que la bisectriz de un ánguloes el lugar geométrico de los puntos del plano que equi-distan de los lados,halla las bisectrices de los ángulos queforman las rectas:

r ! 5x – 12y + 22 = 0, s ! 4x – 3y + 11 = 0

d(P, r) = d(P, s)

|5x – 12y + 22| |4x – 3y + 11|——= ——#—25 + 144 #—16 + 9

b1 ! 9x + 7y + 11 = 0

b2 ! 7x – 9y + 23 = 0Solución:

2. Alturas y medianas de un triángulo

Y

X

B(4, – 2)

C(– 1, 4)

A(– 5, – 2)

h

Y

X

s b1

b2

r

7. Dibuja la altura relativa al lado AB, y calcula mentalmen-te la longitud de dicha altura en el triángulo que tienecomo vértices los puntos:

A(– 3, 1), B(4, 1) y C(2, 5)

8. Dibuja y halla mentalmente la ecuación de la recta quecontiene a la mediana relativa al lado AB del triángulo quetiene como vértices los puntos:

A(2, 5), B(2, – 1) y C(– 2, – 2)

Solución:

Mediana: y = x

Solución:

Altura = 4 unidades.

! Aplica la teoría

Y

X

C(2, 5)

B(4, 1)A(–3, 1)

Y

X

A(2, 5)

y = x

B(2, –1)C(–2, –2)

192 SOLUCIONARIO

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9. Dibuja el triángulo que tiene como vértices los siguien-tes puntos y calcula mentalmente su área:

A(3, 4), B(3, – 2) y C(– 1, – 2)

10. Dibuja y halla la ecuación de la recta que contiene a laaltura relativa al lado AB del triángulo que tiene comovértices los puntos:

A(5, 4), B(1, – 3) y C(– 3, 2)

11. Halla y dibuja el ortocentro del triángulo que tiene co-mo vértices los puntos:

A(4, 4), B(2, – 4) y C(– 3, 1)

12. Dibuja el triángulo que tiene como vértices los siguientespuntos y halla su área:A(3, 2), B(– 1, – 3) y C(– 4, 5)

Solución:

Longitud de la base:d(A, B) = #—

41Altura:Ecuación de la recta que contiene al lado AB:r ! 5x – 4y – 7 = 0

47h = d(C, r) = — unidades.#—

411 47Área = — · #—

41 · — = 23,5 u2

2 #—41

Solución:

Recta que contiene a la altura relativa al lado AB:C(– 3, 1)mAB = 4 ! m = – 1/4r ! x + 4y – 1 = 0Recta que contiene a la altura relativa al lado AC:B(2, – 4)mAC = 3/7 ! m = – 7/3s ! 7x + 3y – 2 = 0Resolviendo el sistema formado por r y s, se obtiene elortocentro:O(1/5, 1/5)

Solución:

Ecuación de la recta que contiene a la altura:C(– 3, 2)mAB = 7/4 ! m = – 4/7y – 2 = – 4/7(x + 3)4x + 7y – 2 = 0

Solución:

Área = 12 u2

Y

X

A(3, 4)

B(3, –2)C(–1, –2)

Y

X

A(5, 4)

C(–3, 2)

B(1, –3)

4x + 7y – 2 = 0

Y

X

A(4, 4)

B(2, –4)

C(–3, 1)

x + 4y – 1 = 0

7x + 3y – 2 = 0

O

s

r

Y

X

A(3, 2)

C(–4, 5)

h

B(–1, –3)


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" Piensa y calcula

Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo del dibujo, escribiendo loscuadrados de los catetos en el primer miembro. ¿Qué fórmula obtienes?

Solución:x2 + y2 = 52 ! x2 + y2 = 25

13. Dibuja la circunferencia que tiene el centro en el ori-gen de coordenadas y radio R = 4, y halla mentalmen-te su ecuación.

14. Dibuja y halla la ecuación general de la circunferenciaque tiene el centro en el punto C(1, – 2) y radio R = 3

15. Halla el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0. Haz el dibujo.

16. Halla las ecuaciones de las siguientes circunferencias:a) b)

Solución:a) x2 + y2 = 16b) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 32

x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

Solución:C(3, – 1)R = #—9 + 1 – 6 = 2

Solución:

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 32

La ecuación general es:x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0

Solución:

x2 + y2 = 16

! Aplica la teoría

3. Secciones cónicas y circunferencia

Y

X

P(x, y)

x

y5

Y

X

x2 + y2 = 16

Y

X

C(1, –2)

Y

X

C(3, –1)

Y

X

Y

X

194 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

De las siguientes ecuaciones, ¿cuál corresponde a una recta y cuál a una circunferencia? Calcula mentalmente: en la recta, lapendiente y la ordenada en el origen, y en la circunferencia, el centro y el radio.a) x2 + y2 – 4x + 6y + 12 = 0b) y = 2x – 5

Solución:a) Circunferencia de C(2, – 3) y R = 1b) Recta de pendiente m = 2 y ordenada en el origen b = – 5

17. Dibuja la siguiente recta y circunferencia e indica suposición relativa.

y = 4 x2 + y2 = 9

18. Halla los puntos de corte de la siguiente recta y circun-ferencia y estudia su posición relativa. Haz el dibujo.

x + y = – 3 x2 + y2 + 2x + 4y – 3 = 0

19. Dadas la recta y la circunferencia siguientes:

y = 2x + 5 x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

calcula la distancia del centro de la circunferencia a larecta y el radio de la circunferencia, y estudia su posi-ción relativa. Haz el dibujo.

20. Estudia la posición relativa de las siguientes circunfe-rencias. Haz el dibujo.

x2 + y2 + 2x – 4y = 0 x2 + y2 – 4x + 2y – 12 = 0

Solución:Resolviendo el sistema se obtienen:A(1, 3), B(– 2, 0)

Las circunferencias son secantes.

Solución:Centro de la circunferencia: C(2, 1)Radio: R = 3Distancia del centro a la recta:

8 8#—5d = d(C, r) = — = — = 3,58

#—5 5

d > R ! La recta es exterior.

Solución:Resolviendo el sistema se obtienen dos puntos de cor-te:A(1, – 4), B(– 3, 0)

La recta es secante.

Solución:

La recta es exterior a la circunferencia.

! Aplica la teoría

4. Posiciones relativas

Y

X

y = 4

x2 + y2 = 9

Y

XB(–3, 0)

A(1, –4)C(–1, –2)

X

Y

C(2, 1)d

X

Y

B (–2, 0)

A (1, 3)

C(2, –1)

C(–1, 2)


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" Piensa y calcula

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 5 m, y un cateto, 4 m. Halla mentalmente la medida del otro cateto.

Solución:3 m

21. Se tiene una elipse en la que b = 4 y c = 3.Halla la ecua-ción reducida, el centro, los vértices, los focos, el ejeprincipal, el eje secundario, la distancia focal y la ex-centricidad. Dibuja la elipse.

22. La ecuación reducida de una elipse es: + = 1

Halla el centro, los vértices, los focos,el eje principal, eleje secundario, la distancia focal y la excentricidad. Di-buja la elipse.

Solución:a = 4, b = 3c = #—16 – 9 = #—

7PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(4, 0),A'(– 4, 0), B(0, 3) y B'(0, – 3)Focos: F(#—

7, 0), F'(– #—7, 0)

SegmentosEje principal: es AA', d(A,A') = 2a = 8Eje secundario: es BB', d(B, B') = 2b = 6Distancia focal: es FF', d(F, F') = 2c = 2#—

7Excentricidad: es e = c/a = #—

7/4

y2

9x2

16

Solución:a = #—16 + 9 = 5x2 y2— + — = 125 16PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(5, 0),A'(– 5, 0), B(0, 4) y B'(0, – 4)Focos: F(3, 0), F'(– 3, 0)SegmentosEje principal: es AA', d(A,A') = 2a = 10Eje secundario: es BB', d(B, B') = 2b = 8Distancia focal: es FF', d(FF') = 2c = 6Excentricidad: es e = c/a = 3/5

! Aplica la teoría

5. La elipse

Y

X

Y

X

196 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Halla mentalmente las pendientes de las siguientes rectas: a) y = 3x/4 b) y = – 3x/4

Solución:a) m = 3/4b) m = – 3/4

23. Halla la ecuación de una elipse que tiene el centro enel punto C(2, 1) y en la que a = 4 y b = 3. Dibújala.

24. Halla la ecuación de las siguientes elipses:a) b)

Solución:x2 y2

a) a = 4, b = 2 — + — = 116 4x2 y2

b) a = 3, b = 5 — + — = 19 25

Solución:(x – 2)2 (y – 1)2—+ —= 1

16 9

25. Se tiene una hipérbola en la que b = 4, c = 5 y los focosestán en el eje X. Halla la ecuación reducida, el centro,los vértices, los focos,el eje principal,el eje secundario, ladistancia focal, la excentricidad y las asíntotas. Dibuja la hipérbola.

Excentricidad: es e = c/a = 5/3

Rectas

Asíntotas:

y = 4x/3

y = – 4x/3Solución:

a = #—25 – 16 = 3x2 y2— + — = 19 16

PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(3, 0),A'(– 3, 0), B(0, 4) y B'(0, – 4)Focos: F(5, 0), F'(– 5, 0)SegmentosEje principal: es AA', d(A,A') = 2a = 6Eje secundario: es BB', d(B, B') = 2b = 8Distancia focal: es FF', d(F, F') = 2c = 10

! Aplica la teoría

6. La hipérbola

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


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26. Halla la ecuación de una hipérbola que tiene el centroen el punto C(1, – 2) y en la que a = 4 y b = 3

27. La ecuación reducida de una hipérbola es:

– = 1

Halla el centro, los vértices, los focos,el eje principal, eleje secundario, la distancia focal, la excentricidad y lasasíntotas. Dibuja la hipérbola.

SegmentosEje principal: es AA', d(A,A') = 2a = 8Eje secundario: es BB', d(B, B') = 2b = 6Distancia focal: es FF', d(F, F') = 2c = 10

Excentricidad: es e = c/a = 5/4

Rectas

Asíntotas:y = 3x/4y = – 3x/4

Solución:a = 4, b = 3c = #—16 + 9 = 5PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(4, 0),A'(– 4, 0), B(0, 3) y B'(0, – 3)Focos: F(5, 0), F'(– 5, 0)

y2

9x2

16

Solución:(x – 1)2 (y + 2)2—– —= 1

16 9

" Piensa y calcula

Halla mentalmente la distancia que hay entre el punto A(0, 3/2) y la recta y = – 3/2

Solución:Distancia = 3 u

Y

XA(0, 3/2)

y = – 3/2

7. La parábola

Y

X

198 SOLUCIONARIO

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28. Se tiene una parábola en la que p = 3/2 y el foco está enel eje Y. Halla la ecuación reducida, el vértice, el foco, ladistancia focal, la excentricidad, la directriz y el eje. Di-buja la parábola.

29. El foco de una parábola es el punto F(0,3) y la directrizes la recta y = – 3.Halla la ecuación de la parábola y di-bújala.

30. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vérticeen el punto V(2, 1) y en la que p = 3/2. Dibújala.

31. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano quetienen doble distancia al punto A(2,3) que a la recta y = 5

32. Se tiene una parábola de ecuación y = x2/2. Halla el va-lor del parámetro p, el vértice, el foco, la distancia focal,la excentricidad, la directriz y el eje. Dibuja la parábola.

Solución:2p = 2 ! p = 1PuntosVértice:V(0, 0) Foco: C(0, 1/2)SegmentosDistancia focal: d(F, d) = 1

Excentricidad: e = 1RectasDirectriz: y = – 1/2Eje: x = 0

Solución:a) Sea el punto P(x, y)

b)

c) d(A, P) = 2 d(P, r)

d) d(A, P) = #——(x – 2)2 + (y – 3)2

d(P, r) = y – 5

e) #——(x – 2)2 + (y – 3)2 = 2(y – 5)

f) Se opera, se simplifica y se obtiene:x2 – 3y2 – 4x + 34y – 87 = 0

Solución:(x – 2)2y = —+ 1

3

Solución:p = 6

x2y = —

12

Solución:x2

y = —3

PuntosVértice:V(0, 0) Foco: C(0, 3/4)SegmentosDistancia focal: d(F, d) = 3/2Excentricidad: e = 1RectasDirectriz: y = – 3/4Eje: x = 0

! Aplica la teoría

Y

X

Y

X

y = –3

F(0, 3)

Y

XV(2, 1)

Y

X

y = 5

P(x, y)A(2, 3)

r

Y

X


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Ejercicios y problemas1. Lugares geométricos

33. Dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano queestán a 2 unidades de la recta x = –1 y halla mentalmen-te su ecuación.

34. Halla mentalmente la mediatriz del segmento que tienelos extremos en los puntos A(1, 2) y B(1, 4)

35. Aplicando la propiedad de que la mediatriz de un segmentoes el lugar geométrico de los puntos del plano que equi-distan de los extremos, halla la mediatriz del segmentoque tiene los extremos en los puntos A(4, 1) y B(–2, 5)

36. Halla las bisectrices de las rectas:r ! x – 2y – 6 = 0, s ! 2x + y – 2 = 0

37. Calcula el circuncentro del triángulo cuyos vértices sonlos puntos:

A(5, 5), B(– 3, 1) y C(2, – 4)

Solución:

Mediatriz del lado AB:M(1, 3)mAB = 1/2 ! m = – 2y – 3 = – 2(x – 1)r ! 2x + y – 5 = 0Mediatriz del lado AC:N(7/2, 1/2)mAC = 3 ! m = – 1/3y – 1/2 = – 1/3(x – 7/2)s ! x + 3y – 5 = 0Resolviendo el sistema formado por r y s, se obtiene elcircuncentro:O(2, 1)

Solución:a) Sea P(x, y)

b)

c) d(P, r) = d(P, s)

|x – 2y – 6| |2x + y – 2|d) —— = ——#—1 + 4 #—4 + 1

e) Se simplifica y se obtiene:b1 !3x – y – 8 = 0b2 ! x + 3y + 4 = 0

f) Se obtienen dos rectas que son las bisectrices.

Solución:a) Sea el punto P(x, y)

b)

c) d(A, P) = d(B, P)

d) d(A, P) = #——(x – 4)2 + (y – 1)2

d(B, P) = #——(x + 2)2 + (y – 5)2

e) #——(x – 4)2 + (y – 1)2 = #——

(x + 2)2 + (y – 5)2

f) Se eleva al cuadrado, se opera y se obtiene:3x – 2y + 3 = 0

g) Se obtiene la ecuación de una recta.

Solución:y = 3

Solución:

x = – 3, x = 1

Y

X

x =

–3

x =

–1

x =

1

Y

X

P(x, y)

A(4, 1)

B(–2, 5)

Y

X

s

r

P(x, y)b1

b2

Y

XO

s

r

M

N

A(5, 5)

B(–3, 1)

C(2, –4)

200 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas2. Alturas y medianas de un triángulo

38. Dibuja y halla mentalmente la longitud de la altura relati-va al lado AB del triángulo que tiene como vértices los puntos:

A(– 4, 5), B(– 4, – 1) y C(2, 1)

39. Dibuja y halla mentalmente la ecuación de la recta que con-tiene a la mediana relativa al lado AB del triángulo que tie-ne como vértices los puntos:

A(– 2, 5), B(– 2, – 1) y C(2, – 2)

40. Dibuja el triángulo que tiene como vértices los siguien-tes puntos, y halla mentalmente su área:

A(3, 5), B(– 3, 5) y C(– 3, – 3)

41. Dibuja el triángulo que tiene como vértices los puntos:A(– 4, – 1), B(– 2, 5) y C(3, 3)

Halla la ecuación de la recta que contiene a la medianarelativa al lado AB

42. Halla y dibuja el ortocentro del triángulo que tiene co-mo vértices los puntos:

A(4, 5), B(1, – 2) y C(– 5, 3)

43. Dibuja el triángulo que tiene como vértices los siguien-tes puntos, y halla su área:

A(3, 4), B(– 1, – 5) y C(– 5, 1)

Solución:

Recta que contiene a la altura relativa al lado AB:C(– 5, 3)mAB = 7/3 ! m = – 3/7y – 3 = – 3/7(x + 5)r ! 3x + 7y – 6 = 0Recta que contiene a la altura relativa al lado AC:B(1, – 2)mAC = 2/9 ! m = – 9/2y + 2 = – 9/2(x – 1)s ! 9x + 2y – 5 = 0 Resolviendo el sistema formado por r y s, se obtiene elortocentro:O(23/57, 13/19)

Solución:

Punto medio del lado AB es M(– 3, 2)mMC = 1/6

1y – 2 = — (x + 3)6

La mediana es x – 6y + 15 = 0

Solución:

Área = 24 u2

Solución:

La mediana es y = – x

Solución:

Altura = 6 unidades.

Y

X

A(–4, 5)

C(2, 1)

B(–4, –1)

h

Y

X

A(–2, 5)

C(2, –2)

M

B(–2, –1)

Y

X

A(3, 5)

C(–3, –3)

B(–3, 5)

Y

XC(3, 3)

A(–4, –1)

B(–2, 5)

M

Y

XC(–5, 3)

s

r

A(4, 5)

B(1, –2)

O


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3. Secciones cónicas y circunferencia

44. Dibuja la circunferencia que tiene el centro en el origende coordenadas y radio R = 3, y halla mentalmente suecuación.

45. Dibuja y halla la ecuación general de la circunferenciaque tiene el centro en el punto C(– 3, 1) y radio R = 2

46. Halla el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 – 4y – 5 = 0. Haz el dibujo.


4. Posiciones relativas

48. Dibuja la recta y la circunferencia siguientes y estudiamentalmente su posición relativa.

x = 1 x2 + y2 = 16

49. Halla los puntos de corte de la recta y la circunferenciasiguientes y estudia su posición relativa. Haz el dibujo.

3x – 2y = – 3 x2 + y2 – 8x – 2y + 4 = 0

Solución:

La recta es secante.

Solución:a) x2 + y2 = 25b) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 22

x2 + y2 – 2x + 6y + 6 = 0

Solución:C(0, 2)R = #0 + 4 + 5 ! R = 3

Solución:

(x + 3)2 + (y – 1)2 = 22

x2 + y2 + 6x – 2y + 6 = 0

Solución:

x2 + y2 = 9

Solución:

Longitud de la base:d(A, B) = #(– 1 – 3)2 + (– 5 – 4)2 = #—

97 unidades.Altura:Ecuación de la recta que contiene al lado AB:r ! 9x – 4y – 11 = 0

|– 45 – 4 – 11| 60h = d(C, r) = —— = — unidades.#—

97 #—97

1 60Área = — · #—97 · — = 30 u2

2 #—97

Y

XC(–5, 1)

h

A(3, 4)

B(–1, –5)

Y

X

Y

XC(–3, 1)

Y

X

C(0, 2)

Y

X

x2 + y2 = 16

x = 1

Y

X

Y

X

202 SOLUCIONARIO

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50. Dadas la recta y la circunferencia siguientes:

y = x + 2

x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0

calcula la distancia del centro de la circunferencia a la rec-ta, el radio de la circunferencia y estudia su posición re-lativa. Haz el dibujo.

51. Estudia la posición relativa de las siguientes circunferen-cias. Haz el dibujo.

x2 + y2 + 6x – 11 = 0

x2 + y2 – 6x + 6y + 13 = 0

5. La elipse52. Se tiene una elipse en la que a = 4 y b = 2.Halla la ecuación

reducida,el centro, los vértices, los focos,el eje principal,eleje secundario, la distancia focal y la excentricidad. Dibujala elipse.

53. La ecuación reducida de una elipse es:

+ = 1

Halla el centro, los vértices, los focos, el eje principal, eleje secundario, la distancia focal y la excentricidad.Dibu-ja la elipse.

Solución:a = 3, b = 2

c = #—9 – 4 = #—5

y2

4x2

9

Solución:

c = #—16 – 4 = #—12 = 2#—

3x2 y2— + — = 116 4PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(4, 0),A'(– 4, 0), B(0, 2) y B'(0, – 2)Focos: F(2#—

3, 0), F'(– 2#—3, 0)


3 Excentricidad: es e = c/a = #—

3/2

Solución:Resolviendo el sistema se obtiene:A(1, – 2)Las circunferencias son tangentes exteriores.

Solución:Centro de la circunferencia: C(– 3, 2)Distancia del centro a la recta x – y + 2 = 0 es

|– 3 – 2 + 2|d = d(C, r) = —— = 2,12#—

2Radio: R = #—9 + 4 – 4 = 3d < R ! La recta es secante.

Solución:Resolviendo el sistema se obtiene:x = 1, y = 3 ! A(1, 3)La recta es tangente a la circunferencia.

X

Y

A(1, 3)C(4, 1)

X

Y

C(–3, 2)

r

R

d

X

Y

C(–3, 0)

C'(3, –3)

A(1, –2)

X

Y


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54. Halla la ecuación de una elipse que tiene el centro en elpunto C(3, – 2) y en la que a = 5 y b = 4

55. Halla la ecuación de las siguientes elipses:a) b)

6. La hipérbola

56. Se tiene una hipérbola en la que a = 2 y b = 1, y los focosestán en el eje X.Halla la ecuación reducida, el centro, losvértices, los focos, el eje principal, el eje secundario, la dis-tancia focal, la excentricidad y las asíntotas. Dibuja la hi-pérbola.

57. La ecuación reducida de una hipérbola es:

– = 1

Halla el centro, los vértices, los focos,el eje principal,el ejesecundario, la distancia focal, la excentricidad y las asínto-tas. Dibuja la hipérbola.

Solución:a = 3, b = 2c = #—9 + 4 = #—


13, 0), F'(– #—13, 0)



13/3RectasAsíntotas:y = 2x/3y = – 2x/3

y2

4x2

9

Solución:c = #—4 + 1 = #—

5x2— – y2 = 14

PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(2, 0),A'(– 2, 0), B(0, 1) y B'(0, – 1)Focos: F(#—

5, 0), F'(– #—5, 0)



5/2RectasAsíntotas:y = x/2y = – x/2

Solución:x2 y2

a) — + — = 125 9(x – 2)2 (y – 1)2b) —+—= 1

9 4

Solución:(x – 3)2 (y + 2)2—+—= 1

25 16

PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(3, 0),A'(– 3, 0), B(0, 2) y B'(0, – 2)Focos: F(#—

5, 0), F'(– #—5 , 0)



5/3

X

Y

Y

X

Y

X

Y

X

204 SOLUCIONARIO

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58. Halla la ecuación de una hipérbola que tiene el centro enel punto C(2, – 1) y en la que a = 3 y b = 4

59. Se tiene una hipérbola equilátera en la que a = 3 y los fo-cos están en el eje X. Halla la ecuación reducida, el cen-tro, los vértices, los focos, el eje principal, el eje secun-dario,la distancia focal, la excentricidad y las asíntotas.Di-buja la hipérbola.

60. Halla las ecuaciones de las siguientes hipérbolas y de susasíntotas:a) b)

61. Halla las ecuaciones de las siguientes hipérbolas y de susasíntotas:a) b)

7. La parábola

62. Se tiene una parábola en la que el foco está en el eje Y y p = 2. Halla la ecuación reducida, el vértice, el foco, la dis-tancia focal, la excentricidad, la directriz y el eje. Dibuja laparábola.

Solución:(x – 1)2 (y – 2)2a) —–—= 1

9 42 4 2 8Asíntotas: y = —x + —, y = – —x + —3 3 3 3

x2 y2b) — – — = 1 ! x2 – y2 = 9

9 9Asíntotas: y = x, y = – x

Solución:a) a = 3, b = 2

x2 y2— – — = 19 4


b) b = 2, a = 3x2 y2

– — + — = 19 4


Solución:x2 y2— – — = 19 9

c =#—9 + 9 = #—18 = 3#—

2PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(3, 0),A'(– 3, 0), B(0, 3) y B'(0, – 3)Focos: F(3#—

2, 0), F'(– 3#—2, 0)



2RectasAsíntotas:y = xy = – x

Solución:(x – 2)2 (y + 1)2—–—= 1

9 16

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


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63. El foco de una parábola es el punto F(2,0) y la directriz esla recta x = – 2.Halla la ecuación de la parábola y dibújala.

64. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice enel punto V(1, 2), el eje es paralelo al de ordenadas y en laque p = 1/2. Haz el dibujo.

65. Se tiene una parábola de ecuación y = x2/3. Halla el va-lor del parámetro p, el vértice, el foco, la distancia fo-cal, la excentricidad, la directriz y el eje. Dibuja la pa-rábola.

66. Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas:

a)

b)

Solución:a) y = x2

b) x = y2

Solución:

2p = 3 ! p = 3/2

PuntosVértice:V(0, 0) Foco: F(0, 3/4)

SegmentosDistancia focal: d(F, d) = 3/2

Excentricidad: e = 1

RectasDirectriz: y = – 3/4Eje: x = 0

Solución:y = (x – 1)2 + 2 y = x2 – 2x + 3

Solución:p = 4

y2x = —

8

Solución:x2

y = —4

PuntosVértice:V(0, 0) Foco: F(0, 1)SegmentosDistancia focal: d(F, d) = 2Excentricidad: e = 1RectasDirectriz: y = – 1Eje: x = 0

Y

X

Y

X

Y

X F(0, 1)

y = –1

Y

X F(2, 0)

x =

–2

Y

X V(1, 2)

x =

1

Y

X F(0, 3/4)

y = –3/4

206 SOLUCIONARIO

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67. Dibuja el triángulo que tiene los vértices en los puntosA(1, 2), B(5, 2) y C(1, 4), y halla mentalmente el circun-centro. Dibuja la circunferencia circunscrita.

68. Halla las bisectrices de las rectas:r ! 2x – 7y – 15 = 0, s ! 7x + 2y + 27 = 0

69. Dibuja el triángulo que tiene como vértices los siguientespuntos, y halla mentalmente su área:

A(– 3, 0), B(5, 0) y C(0, 4)

70. Dibuja la circunferencia que tiene el centro en el puntoC(2, 2) y radio R = 2 .Halla mentalmente su ecuación.


72. Dibuja la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 0), B(5, 0) y C(0, 5). Halla el centro, el radio y suecuación.

Solución:Como el triángulo es rectángulo, el centro de la circunferen-cia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa, y el diá-metro es la longitud de la hipotenusa.

Solución:a) x2 + y2 = 9b) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 32

x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0

Solución:

(x – 2)2 + (y – 2)2 = (2#—2)2

x2 + y2 – 4x – 4y = 0

#2

Solución:

Área = 16 u2

Solución:

d(P, r) = d(P, s)|2x – 7y – 15| |7x + 2y + 27|——= ——

#—4 + 49 #—49 + 4b1 ! 5x + 9y + 42 = 0b2 ! 9x – 5y + 12 = 0

Solución:

El circuncentro es el punto medio de la hipotenusa:O(3, 3)

Para ampliar

Y

X A(1, 2)

C(1, 4)

B(5, 2) O(3, 3)

Y

X

s

b2

b1

r

Y

X

C(0, 4)

A(–3, 0) B(5, 0)

Y

X

C(2, 2)

Y

X

A(0, 0) B(5, 0)

C(0, 5)

O(5/2, 5/2)

Y

X

Y

X


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73. Dibuja la recta y circunferencia siguientes:r ! y = 5c ! x2 + y2 = 25

y estudia su posición relativa.

74. Halla los puntos de corte de la recta y la circunferenciasiguientes y estudia su posición relativa. Haz el dibujo.

r ! 2x – y = – 4c ! x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

75. Halla los puntos de corte de las siguientes circunferen-cias y estudia su posición relativa. Haz el dibujo.

x2 + y2 – 6x – 2y + 1 = 0x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0

76. Utilizando la siguiente trama y la definición de elipse, di-buja cinco elipses distintas.

77. La ecuación reducida de una elipse es:

+ = 1

Halla el centro, los vértices, los focos, el eje principal, eleje secundario, la distancia focal y la excentricidad.Dibu-ja la elipse.

Solución:a = 3, b = 5c = #—25 – 9 = 4

y2

25x2

9

Solución:

Siguiendo los puntos diagonales de la trama, la distancia aun foco aumenta una unidad y la distancia al otro foco dis-minuye una unidad; por tanto, la suma de las distancias alos focos permanece constante.

Solución:Resolviendo el sistema, se obtiene:A(0, 1)Son tangentes exteriores.

Solución:Resolviendo el sistema, se obtiene:5x2 + 8x + 4 = 0que no tiene solución real.La recta es exterior a la circunferencia.

Solución:

La recta es tangente a la circunferencia.

El centro es O(5/2, 5/2)El radio es R = 5#—

2/2Ecuación:(x – 5/2)2 + (y – 5/2)2 = 25/2x2 + y2 – 5x – 5y = 0

Y

X

y = 5

x2 + y2 = 25

Y

XC(2, 1)

Y

XC’(–3, 1) C(3, 1)

208 SOLUCIONARIO

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78. Halla las ecuaciones de las siguientes elipses:a) b)

79. Utilizando la siguiente trama y la definición de hipérbo-la, dibuja cinco hipérbolas distintas.

80. La ecuación de una hipérbola es:

– = 1

Halla el centro, los vértices, los focos, el eje principal, eleje secundario, la distancia focal y la excentricidad.Dibu-ja la hipérbola.

Solución:a = 3, b = 5c = #—9 + 25 = #—


34, 0), F'(– #—34, 0)



34/3RectasAsíntotas:y = 5x/3y = – 5x/3

y2

25x2

9

Solución:

Siguiendo los puntos diagonales de la trama, la distancia a unfoco aumenta una unidad y la distancia al otro foco aumentauna unidad; por tanto, la diferencia de las distancias a losfocos permanece constante.

Solución:x2 y2

a) — + — = 125 4(x + 1)2 (y – 2)2b) —+—= 1

4 9

PuntosCentro: O(0, 0)Vértices:A(3, 0),A'(– 3, 0), B(0, 5) y B'(0, – 5)Focos: F(0, 3), F'(0, – 3)SegmentosEje principal: es AA', d(A,A') = 2a = 6Eje secundario: es BB', d(B, B') = 2b = 10Distancia focal: es FF', d(F, F') = 2c = 8Excentricidad: es e = c/b = 4/5

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


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81. Halla las ecuaciones de las hipérbolas y de sus asíntotas:a) b)

82. Se tiene una parábola en la que el foco está en el eje X yp = 1.Halla la ecuación reducida,el vértice,el foco, la dis-tancia focal, la excentricidad, la directriz y el eje. Dibujala parábola.

83. Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas:

a)

b)

Solución:a) x = y2/4b) y = x2/4

Excentricidad: e = 1RectasDirectriz: x = – 1/2Eje: y = 0

Solución:y2

x = —2

PuntosVértice:V(0, 0)Foco: F(1/2, 0)SegmentosDistancia focal: d(F, d) = 1

Solución:a) a = 2, b = 3

x2 y2— – — = 14 9


b) a = 2, b = 1x2

–— + y2 = 14

Asíntotas:y = x/2y = – x/2

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

XF(1/2, 0)

x =

–1/2

210 SOLUCIONARIO

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84. Halla y dibuja el ortocentro del triángulo que tiene co-mo vértices los puntos:A(– 3, – 4), B(5, – 2) y C(1, 4)

85. Dibuja el triángulo que tiene como vértices los siguien-tes puntos, y halla su área:A(1, 3), B(4, – 5) y C(– 4, – 3)


87. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por lospuntos: A(4, 2), B(– 2, 2) y C(1, 5)

88. Estudia la posición relativa de la recta y la circunferenciasiguientes. Haz el dibujo.

r ! 3x – y = – 6c ! x2 + y2 – 4x – 4y – 2 = 0

Solución:

Cálculo del circuncentroMediatriz relativa al lado AB:r ! x = 1Mediatriz relativa al lado AC:N(5/2, 7/2)mAC = – 1 ! m = 1s ! x – y + 1 = 0 Resolviendo el sistema formado por r y s, se obtiene elcircuncentro:O(1, 2), que es el punto medio del lado ABEl radio es R = 3La ecuación de la circunferencia es:(x – 1)2 + (y – 2)2 = 32

x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0

Solución:a) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 52

x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0b) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 32

x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0

Solución:

Longitud de la base:d(A, B) = #(4 – 1)2 + (– 5 – 3)2 = #—

73Altura:Ecuación de la recta que contiene al lado AB:r ! 8x + 3y – 17 = 0

|– 32 – 9 – 17| 58h = d(C, r) = —— = — unidades#—

73 #—73

1 58Área = — · #—73 · — = 29 u2

2 #—73

Solución:

Recta que contiene a la altura relativa al lado AB:C(1, 4)mAB = 1/4 ! m = – 4y – 4 = – 4(x – 1)r ! 4x + y – 8 = 0Recta que contiene a la altura relativa al lado AC:B(5, – 2)mAC = 2 ! m = – 1/2y + 2 = – 1/2(x – 5)s ! x + 2y – 1 = 0Resolviendo el sistema formado por r y s, se obtiene elortocentro:O(15/7, – 4/7)

Problemas

Y

X

O

C(1, 4)

B(5, –2)

A(–3, –4)

s $ x + 2y – 1 = 0

r $ 4x + y – 8 = 0

Y

X

A(1, 3)

h

B(4, –5)

C(–4, –3)

Y

X

Y

X

Y

XA(4, 2)

C(1, 5)

B(–2, 2)


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89. Se tiene una elipse en la que a = 3 y b = 3. Halla la ecua-ción reducida y dibújala. Interpreta el resultado.

90. De una elipse sabemos que la distancia entre los focoses de 8 unidades, y entre los vértices A y A' es de 10 uni-dades. Halla su ecuación y dibújala.

91. La primera ley de Kepler dice: “La órbita que describe laTierra en su movimiento de traslación alrededor del Soles una elipse, en uno de cuyos focos está el Sol”. La dis-tancia máxima de la Tierra al Sol es de 15,2 · 107 km, y ladistancia mínima es de 14,7 · 107 km. Calcula la excen-tricidad e interpreta el resultado.

92. Se tiene una hipérbola en la que a = 2 y b = 2 y los focosestán en el eje X.Halla la ecuación reducida y dibújala. In-terpreta el resultado.

93. De una hipérbola se sabe que la distancia entre los focoses de 10 unidades, y entre los vértices A y A' es de 6 uni-dades. Halla su ecuación y dibújala.

Solución:2c = 10 ! c = 52a = 6 ! a = 3b = 4x2 y2— – — = 19 16

Solución:x2 y2— – — = 1! x2 – y2 = 44 4

Es una hipérbola equilátera.

Solución:2a = 15,2 · 107 + 14,7 · 107 = 299 000 000a = 149 500 000 c = a – 14,7 · 107 = 2 500 000e = c/a = 0,017Como la excentricidad es muy pequeña, es casi una cir-cunferencia.

Solución:2c = 8 ! c = 42a = 10 ! a = 5b = #—25 – 16 = 3x2 y2— + — = 125 9

Solución:x2 y2— + — = 1% x2 + y2 = 99 9

Es una circunferencia de centro el origen y radio 3

Solución:Resolviendo el sistema se obtiene:A(– 1, 3)La recta es tangente a la circunferencia.

Y

X

C(2, 2)A(–1, 3)

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

212 SOLUCIONARIO

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ño, S

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Ejercicios y problemas94. Los vértices de una hipérbola equilátera son los puntos

A(3, 0) y A'(– 3, 0). Halla su ecuación y dibújala.

95. El foco de una parábola es el punto F(0, – 2), y la direc-triz es la recta y = 2.Halla la ecuación de la parábola y di-bújala.

Para profundizar

96. Halla las bisectrices de los ángulos que forman las rectas:r ! 4x + 7y – 9 = 0 s ! 7x – 4y + 33 = 0

97. Halla el centro de la circunferencia que pasa por los si-guientes puntos, y dibújala:

A(5, – 3), B(2, 6) y C(– 3, 1)

98. Halla la ecuación de la circunferencia inscrita al triángu-lo del siguiente dibujo:

Solución:

a) Cálculo del centro de la circunferencia inscrita, que esel incentro.Bisectriz del ángulo A: 45x – 47y + 8 = 0

Y

X

A(4, 4)

C(1, – 5)

B(– 3, 2)

Solución:

Cálculo del centro de la circunferencia, que es el circun-centro.Mediatriz del lado AB:M(7/2, 3/2)mAB = – 3 ! m = 1/3r ! x – 3y + 1 = 0Mediatriz del lado AC:N(1, – 1)mAC = – 1/2 ! m = 2s ! 2x – y – 3 = 0Resolviendo el sistema formado por r y s, se obtiene elcircuncentro:O(2, 1)

Solución:

d(P, r) = d(P, s)|4x + 7y – 9| |7x – 4y + 33|——= ——

#—16 + 49 #—49 + 16b1 ! 3x – 11y + 42 = 0b2 ! 11x + 3y + 24 = 0

Solución:p = – 4

x2y = –—

8

Solución:a = b = 3x2 y2— – — = 1 ! x2 – y2 = 99 9

Y

X

Y

X

F(0, –2)

y = 2

Y

X

sb1

b2

r

Y

XO

s

r

N

M

A(5, –3)

B(2, 6)

C(–3, 1)

Y

XB(–3, 2)

A(4, 4)

C(1, –5)

RO


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99. La excentricidad de una cónica es 0,6, y la distancia focal,6 unidades. ¿De qué cónica se trata? Halla su ecuación.

100. Dados los puntos A(3, 0) y B(– 3, 0), halla el lugar geo-métrico de los puntos C,de forma que ABC sea un trián-gulo de perímetro 16 unidades.

101. Halla el área de la elipse de la siguiente figura, sabiendoque la fórmula es A = &ab, siendo a y b los semiejes.

102. La excentricidad de una cónica es 1,25, y la distancia fo-cal, 10 unidades. ¿De qué cónica se trata? Halla su ecua-ción.

Solución:e = c/a = 1,25 > 1 Se trata de una hipérbola.2c = 10 ! c = 5

c 5a = — = — = 4e 1,25

b = #—25 – 16 = 3x2 y2— – — = 116 9

Solución:A = &ab = & · 5 · 3 = 15 & u2

Y

X

Solución:Es una elipse de:Distancia focal 2c = 6 ! c = 3Luego 2a = 16 – 6 ! 2a = 10 ! a = 5b = 4x2 y2— + — = 125 16

Solución:e = c/a = 0,6 < 1 Se trata de una elipse.2c = 6 ! c = 33/a = 0,6 ! a = 3/0,6 = 5b = #—25 – 9 = 4x2 y2— + — = 125 16

Bisectriz del ángulo B: 4,07x + 10y – 7,78 = 0Incentro: O(0,45; 0,6)

b) Cálculo del radio, que es la distancia del incentro a unade las rectas que pasa por dos vértices.R = d(O, r), siendo r la recta que pasa por ABr ! 2x – 7y + 20 = 0

|0,9 – 4,2 + 20|d(O, r) = ——= 2,29 unidades.#—

53La ecuación es:(x – 0,45)2 + (y – 0,6)2 = 2,292

Y

X

Y

X

220 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales.a) x2 – 25 = 0 b) x2 + 9 = 0

Solución:a) Tiene dos soluciones: 5 y – 5 b) No tiene solución real.

1. Completa con equis las casillas a las que pertenecen lossiguientes números.

2. Escribe cinco números complejos que no sean reales.

3. Escribe cinco números imaginarios puros.

4. Halla mentalmente las siguientes raíces:

a)

b)

5. Calcula mentalmente x e y para que los siguientes nú-meros complejos sean iguales:

z1 = x – 4i

z2 = – 3 – yi

6. Halla los números complejos representados en el si-guiente plano de Gauss por sus afijos:

Y

Xz4

z8 z5

z2

z3

z1 z7 z6

z9

Solución:x = – 3, y = 4

Solución:a) ± 4b) ± 5i

!– 25

!16

Solución:i, 3i, – 3i, 5i, – 5i

Solución:2 + 3i, 5i, !—

– 4, 3 – 4i, 4!—– 7

Solución:

" Aplica la teoría

1. Forma binómica del número complejo

7 Los númeroscomplejos

2 + 5i3/4 "

Números !! "" ##"$$

– 4#

!—5

23

"%%

2 + 5i3/4 "

Números !! "" ##"$$

"– 4 " " " "# " "

!—5 " "

23 " " " " "

"%%

TEMA 7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 221

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! Piensa y calcula

Las raíces de la ecuación de 2º grado x2 – 4x + 13 = 0 son x1 = 2 + 3i, x2 = 2 – 3i. Represéntalas en el plano de Gauss. ¿Res-pecto de qué recta son simétricas?

Solución:

Son simétricas respecto del eje de abscisas, X

7. Representa los afijos de los siguientes números comple-jos en el plano de Gauss.a) z1 = 2 – 3i b) z2 = – 4c) z3 = – 4 + 5i d) z4 = 3ie) z5 = – 3 – 4i f) z6 = 2g) z7 = 5 + 3i h) z8 = – 5i

Solución:

Solución:

z1 = – 3 – 3i z2 = 3i

z3 = – 3 z4 = 0

z5 = 4 + 5i z6 = 3 – 4i

z7 = – 2i z8 = – 1 + 5i

z9 = 5

2. Operaciones en forma binómica

Y

X

z8 = –1 + 5iz5 = 4 + 5i

z3 = –3

z1 = –3 – 3i

z2 = 3i

z4 = 0z9 = 5

z7 = –2i

z6 = 3 – 4iY

X

z8 = –5i

z9 = –4 + 5iz4 = 3i z7 = 5 + 3i

z2 = –4

z1 = 2 –3i

z5 = –3 –4i

z6 = 2

Y

X

z1 = 2 + 3i

z2 = 2 – 3i

8. Sean z1 = 3 – 4i, z2 = – 2 + 5iCalcula:a) z1 + z2 b) z1 – z2

c) 2z1 – 5z2 d) – 3z1 + 4z2

9. Sean z1 = 3 + 5i, z2 = 4 – 2i, z3 = – 1 + 6iCalcula:a) z1 · z2 b) z1 · z3 c) z2 · z3

Solución:a) 22 + 14ib) – 33 + 13ic) 8 + 26i

Solución:a) 1 + i b) 5 – 9ic) 16 – 33i d) – 17 + 32i

" Aplica la teoría

222 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Dado el número complejo z = 3 + 4i, halla mentalmente la longitud de la hipotenusa, r, del triángulo rectángulo siguiente, latangente del ángulo $ y, utilizando la calculadora, el ángulo $

Solución:r = 5 tg $ = 4/3 % $ = 53° 7’ 48”

Y

Xr

3

4!

z = 3 + 4i

10. Calcula:a) (3 + 2i)2 b) (– 4 + 7i)2

c) (2 – i)2 d) (1 + i)2

11. Sea z = 4 – 3i. Calcula:a) el opuesto de z b) el conjugado de zc) el inverso de z d) el producto z · z–

12. Sea z1 = 2 + 6i, z2 = 3 – i, z3 = – 4 + 5iCalcula:a) z1/z2 b) z1/z3 c) z2/z3

13. Calcula las siguientes potencias:a) i259 b) i342 c) i372 d) i109

14. Dado el número complejo z = 3 + 5i, calcula:z · z– · z– 1

15. Dibuja un rectángulo de centro el origen de coorde-nadas y lados paralelos a los ejes, sabiendo que uno delos vértices es el afijo del número complejo z = 5 + 3i.Halla las coordenadas de los otros tres vértices en fun-ción del opuesto y/o del conjugado de z

Solución:

Solución:3 – 5i

Solución:a) – i b) – 1 c) 1 d) i

Solución:22 34 17 11a) 2i b) — – — i c) –— – — i41 41 41 41

Solución:a) – z = – 4 + 3i b) z– = 4 + 3i

4 3c) z– 1 = — + — i d) z · z– = 2525 25

Solución:a) 5 + 12i b) – 33 – 56ic) 3 – 4i d) 2i

3. Forma polar del número complejo

Y

X

z = 5 + 3i

–z = –5 – 3i

–z = –5 + 3i

z = 5 – 3i


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16. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de lossiguientes números complejos y pásalos a forma polar.a) z1 = 5ib) z2 = – 6c) z3 = – 3id) z4 = 4

17. Representa en el plano de Gauss los siguientes nú-meros complejos y pásalos a forma polar y trigono-métrica.a) z1 = 3 + 5ib) z2 = – 4 – 6ic) z3 = – 3 + 2id) z4 = 2 – 5i

18. Representa en el plano de Gauss los siguientes núme-ros complejos y pásalos a forma trigonométrica y bi-nómica.a) z1 = 360° b) z2 = 4225°

c) z3 = 5330° d) z4 = 6150°

Solución:a)

z1 = 3(cos 60º + i sen 60º) =1 !—

3 3 3!—3= 3 (— + — i) = — + — i

2 2 2 2

b)

z2 = 4(cos 225º + i sen 225º) = !—

2 !—2= 4 (–— – — i) = – 2!—

2 – 2!—2i

2 2c)

z3 = 5(cos 330º + i sen 330º) = !—

3 1 5!—3 5= 5 (— – — i) = — – — i

2 2 2 2

d)

z4 = (!—29)291º 48’ 5’’ =

= !—29(cos 291º 48’ 5’’ + i sen 291º 48’ 5’’)

Solución:a)

z1 = (!—34)59º 2’ 10’’ =

= !—34(cos 59° 2’ 10” + i sen 59° 2’ 10”)

b)

z2 = (2!—13)236º 18’ 36’’ =

= 2!—13(cos 236° 18’ 36” + i sen 236° 18’ 36”)

c)

z3 = (!—13)146º 18’ 36’’ =

= !—13(cos 146° 18’ 36” + i sen 146° 18’ 36”)

Solución:a) 590° b) 6180° c) 3270° d) 40°

" Aplica la teoría

Y

X5

3

r

!

z1 = 3 + 5i

Y

X–4 !

r–6

z2 = –4 –6i

Y

X2r

–3

!z3 = –3 + 2i

Y

X2

r–5

!

z4 = 2 – 5i

Y

X60º3z1 = 360°

Y

X

4

225°

z2 = 4225°

Y

X330º

5

z2 = 5330°

224 SOLUCIONARIO

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19. Representa en el plano de Gauss los siguientes núme-ros complejos y pásalos a forma polar y binómica.a) z1 = 3 (cos 225° + i sen 225°)b) z2 = 2 (cos 300° + i sen 300°)c) z3 = 4 (cos 30° + i sen 30°)d) z4 = 5 (cos 135° + i sen 135°)

20. Define y representa el lugar geométrico definido por:|z| = 5

Solución:

Es una circunferencia de centro el origen de coordena-das y de radio 5

c)

!—3 1z3 = 430º = 4(— + — i) = 2!—

3 + 2i2 2

d)

!—2 !—

2 5!—2 5!—

2z4 = 5135º = 5(–— + — i) = –— + — i2 2 2 2

Solución:a)

!—2 !—

2 3!—2 3!—

2z1 = 3225º = 3(–— – — i) = –— – — i2 2 2 2

b)

1 !—3z2 = 2300º = 2 (— – — i) = 1– !—

3i 2 2

d)

z4 = 6(cos 150º + i sen 150º) = !—

3 1= 6 (– — + — i) = – 3!—3+ 3i

2 2

Y

X150º6

z4 = 6150°

Y

X225º

3z1

Y

X2

300º

z2

Y

X30º4

z3

Y

X135º5

z4

Y

X

|z| = 5


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! Piensa y calcula

Dado el número complejo z = 4 + 4i, multiplica reiteradamente tres veces por i. Representa en el plano de Gauss el núme-ro complejo z = 4 + 4i y los tres números complejos que has obtenido. Une mediante un segmento cada afijo con elsiguiente, y el último con el primero. ¿Qué figura se obtiene?

Solución:

Se obtiene un cuadrado.

21. Sean z1 = 2120°, z2 = 3210°, z3 = 4315°

Calcula:

a) z1 · z2 b) z1 · z3 c) z2 · z3

22. Sean z1 = 6225°, z2 = 3150°, z3 = 2300°

Calcula:

a) z1/z2 b) z1/z3 c) z2/z3

23. Sean z1 = 5150°, z2 = 3225°, z3 = 245°

Calcula:

a) z31 b) z4

2 c) z53

24. Un triángulo equilátero de centro el origen de coor-denadas tiene un vértice en el punto A(0, 5). Halla lascoordenadas de los otros dos vértices y dibuja dichotriángulo.

Solución:z1 = 5i = 590°

z2 = 590° · 1120° = 5210°

z3 = 5210° · 1120° = 5330°

Solución:a) 12590° b) 81180° c) 32225°

Solución:a) 275° b) 3285° c) 1,5210°

Solución:a) 6330° b) 875° c) 12165°

" Aplica la teoría

4. Operaciones en forma polar

Y

X

z2 = –4 + 4i z1 = 4 + 4i

z3 = –4 – 4i z4 = 4 – 4i

Y

X

z1 = 590°

z3 = 5330°z2 = 5210°

226 SOLUCIONARIO

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25. Halla las raíces cúbicas de z = 8i; represéntalas gráfica-mente y une mediante una línea poligonal los afijos ob-tenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?

26. Halla las raíces cuartas de z = – 81; represéntalas gráfi-camente y une mediante una línea poligonal los afijosobtenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?

27. Halla las raíces quintas de z = – 3 + 4i;represéntalas grá-ficamente y une mediante una línea poligonal los afijosobtenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?

28. Resuelve las ecuaciones siguientes; representa las raí-ces gráficamente y une mediante una línea poligonal losafijos obtenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?

a) z4 + 16 = 0

b) z4 – 16i = 0

Solución:

a) z4 + 16 = 0 % z = 4!—– 16 =

4!—16180°

z1 = 245°

z2 = 2135°

z3 = 2225°

z4 = 2315°

Solución:z = 5126° 52’ 12”

z1 = (5!—5)25º 22’ 26’’

z2 = (5!—5)97º 22’ 26’’

z3 = (5!—5)169º 22’ 26’’

z4 = (5!—5)241º 22’ 26’’

z5 = (5!—5)313º 22’ 26’’

Se obtiene un pentágono regular.

Solución:z = 81180°

z1 = 345°

z2 = 3135°

z3 = 3225°

z4 = 3315°


Solución:z = 890°

z1 = 230°

z2 = 2150°

z3 = 2270°

Se obtiene un triángulo equilátero.

" Aplica la teoría

! Piensa y calcula

a) Calcula mentalmente . ¿Cuántas raíces tiene?

b) Observando que = , calcula mentalmente . ¿Cuántas raíces tiene?

Solución:a) 1 y – 1, tiene dos raíces. b) 1, – 1, i y – i, tiene cuatro raíces.

4!1!!—1

4!1

!1

5. Radicación de números complejos

Y

X

z2 = 2150° z1 = 230°

z3 = 2270°

Y

X

z2 = 3135° z1 = 345°

z3 = 3225° z4 = 3315°

Y

X

z3 = (5 5 )169º 22' 26''–

! –!

(5 5 )241º 22' 26''–

!z4 =

(5 5 )97º 22' 26'–

!z1 = (5 5 )25º 22' 26''

z2 =

(5 5 )313º 22' 26''–

!z5 =


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29. Resuelve la ecuación: x2 + 6x + 10 = 0a) ¿Cómo son las raíces?En la parábola correspondiente:b) halla el vértice.c) halla el eje de simetría.d) Represéntala.

30. Halla una ecuación de 2º grado que tenga las raíces:2 ± 3i

31. Halla una ecuación de 2º grado que tenga las raíces:6 ± i

32. Resuelve la ecuación:

x2 – 2x + 3 = 0

a) ¿Cómo son las raíces?

En la parábola correspondiente:

b) halla el vértice.

c) halla el eje de simetría.

d) Represéntala.

33. Dado el dibujo de la parábola siguiente, halla:

a) el vértice.

b) las raíces.

c) la ecuación de la parábola.

Solución:

a) V(2, 3)

b) x1 = 2 + !—3 i, x2 = 2 – !—

3 i

c) (x – 2)2 + 3 = 0 % y = x2 – 4x + 7

Y

X

Solución:

x1 = 1 + !—2 i

x2 = 1 – !—2 i

a) Las raíces son complejas conjugadas.

b) V(1, 2)

c) x = 1

d)

Solución:(x – 6)2 + (!—

5 )2 = 0x2 – 12x + 41 = 0

!5

Solución:(x – 2)2 + 32 = 0x2 – 4x + 13 = 0

Solución:x1 = – 3 + ix2 = – 3 – ia) Las raíces son complejas conjugadas.b) V(– 3, 1)c) x = – 3d)

Se obtiene un cuadrado.b) z4 – 16i = 0 % z =

4!—16i =

4!—1690°

z1 = 222° 30’

z2 = 2112° 30’

z3 = 2202° 30’

z4 = 2292° 30’


Y

X

z2 = 2135°

z3 = 2225° z4 = 2315°

z1 = 245°

Y

X

z2 112º 30'= 2

z3 = 2202° 30'

z4 = 2292° 30'

z1 = 222° 30'

Y

X

y = x2 + 6x + 10

V(–3, 1)

x =

–3

Y

X

y = x2 – 2x + 3

V(1, 2)

x = 1

228 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas1. Forma binómica

del número complejo

34. Completa con equis las casillas a las que pertenecen lossiguientes números.

35. Escribe cinco números complejos que no sean reales.

36. Escribe cinco números imaginarios puros.

37. Halla mentalmente las siguientes raíces:

a)

b)

38. Calcula mentalmente x e y para que los siguientes nú-meros complejos sean iguales:

z1 = 8 – xiz2 = y – 5i

39. Halla los números complejos representados en el siguienteplano de Gauss por sus afijos:

40. Representa los afijos de los siguientes números comple-jos en el plano de Gauss.a) z1 = 3 + 5i b) z2 = – 6c) z3 = 4 – 6i d) z4 = 2ie) z5 = – 2 + 5i f) z6 = 4g) z7 = – 1 – 4i h) z8 = – 2i

2. Operaciones en forma binómica

41. Sean z1 = 2 – 3i, z2 = 5 – 4iCalcula:a) z1 + z2 b) z1 – z2

c) 3z1 – 4z2 d) – 5z1 + 2z2

Solución:a) 7 – 7i b) – 3 + i c) –14 + 7i d) 7i

Solución:

Solución:

z1 = – 2 – 5i z2 = 5i z3 = – 2z4 = 0 z5 = 5 + 3i z6 = 5 – 5iz7 = – 4i z8 = – 5 + 4i z9 = 3

Y

X

z8 z2 z5

z3 z4 z9

z1z7 z6

Solución:x = 5, y = 8

Solución:a) ± 6b) ± 8i

!– 64

!36

Solución:7i, – 2i, 4i, 9i, – 9i

Solución:4 + 5i, – 7i, !—

– 5, – 2 – 3i, 6!—– 43

Solución:

!—–13– 7 " "

Números !! "" ##"$$

– 6/52 + 5i

28e

"%%

!—–13– 7 " "

Números !! "" ##"$$

"– 6/5 " " "2 + 5i "

28 " " " " "e " "

"%%

Y

Xz4 = 0z3 = –2

z8 = –5 + 4i z5 = 5 + 3iz2 = 5i

z1 = –2 –5i z7 = –4i

z9 = 3

z6 = 5 –5i

Y

X

z7 = – l –4iz8 = –2i

z6 = 4z2 = –6

z4 = 2iz1 = 3 + 5iz5 = –2 + 5

z3 = 4 –6i


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42. Sean z1 = 5 – 2i, z2 = – 3 + i, z3 = 6 – 4iCalcula:a) z1 · z2 b) z1 · z3 c) z2 · z3

43. Calcula:a) (4 + i)2 b) (– 5 + 2i)2

c) (3 – 3i)2 d) (6 + i)2

44. Sea z = – 5 + 2iCalcula:

a) el opuesto de z

b) el conjugado de z

c) el inverso de z

d) el producto z · z–

45. Sean z1 = 3 – 5i, z2 = 2 + i, z3 = – 6 + 4iCalcula:a) z1/z2 b) z1/z3 c) z2/z3

46. Calcula las siguientes potencias:a) i159 b) i242 c) i272 d) i209

47. Dado el número complejo z = 4 – 5i, calcula: z · z– · z–1

3. Forma polar del número complejo

48. Calcula mentalmente el módulo y el argumento de los si-guientes números complejos, y pásalos a forma polar.a) z1 = – 4b) z2 = 5ic) z3 = – 2id) z4 = 3

49. Representa en el plano de Gauss los siguientes númeroscomplejos, y pásalos a forma polar y trigonométrica.a) z1 = – 4 + 5ib) z2 = 3 – 2ic) z3 = – 6 – id) z4 = 1 + 5i

Solución:a)

z1 = (!—41)128º 39’ 35’’ =

= !—41(cos 128° 39’ 35” + i sen 128° 39’ 35”)

b)

z2 = (!—13)326º 18’ 36’’ =

= !—13(cos 326° 18’ 36” + i sen 326° 18’ 36”)

c)

z3 = (!—37)189º 27’ 44’’ =

= !—37(cos 189° 27’ 44” + i sen 189° 27’ 44”)

Solución:a) 4180° b) 590° c) 2270° d) 30°

Solución:4 + 5i

Solución:a) – i b) – 1 c) 1 d) i

Solución:1 13a) — – — i5 5

19 9b) –— + — i26 262 7c) –— – — i13 26

Solución:a) – z = 5 – 2ib) –z = – 5 – 2i

5 2c) z– 1 = –— – — i29 29

d) z · –z = 29

Solución:a) 15 + 8i b) 21 – 20ic) – 18i d) 35 + 12i

Solución:a) – 13 + 11i b) 22 – 32i c) – 14 + 18i

Y

X5

r

–4

!

z1 = –4 + 5i

Y

X

r

3–2

!

z2 = 3 –2i

Y

Xr

–6–1

!

z3 = –6 – i

230 SOLUCIONARIO

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50. Representa en el plano de Gauss los siguientes númeroscomplejos, y pásalos a forma trigonométrica y binómica.a) z1 = 4210° b) z2 = 5135°

c) z3 = 630° d) z4 = 3315°

51. Representa en el plano de Gauss los siguientes númeroscomplejos, y pásalos a forma polar y binómica.a) z1 = 4(cos 150° + i sen 150°)b) z2 = 3(cos 330° + i sen 330°)c) z3 = 2(cos 45° + i sen 45°)d) z4 = 5(cos 240° + i sen 240°)

Solución:a)

!—3 1z1 = 4150° = 4 (–— + —i) = – 2!—

3 + 2i 2 2

b)

!—3 1 3!—

3 3z2 = 3330° = 3(— – —i) = — – —i 2 2 2 2

c)

!—2 !—

2z3 = 245° = 2(— + — i) = !—2 + !—

2 i 2 2

d)

z4 = 3(cos 315° + i sen 315°) =!—

2 !—2 3!—

2 3!—2= 3(— – — i) = — – — i

2 2 2 2

Solución:a)

z1 = 4(cos 210° + i sen 210°) =!—

3 1= 4 (–— – —i) = – 2!—3 – 2i

2 2b)

z2 = 5(cos 135° + i sen 135°) =!—

2 !—2 5!—

2 5!—2= 5 (–— + — i) = –— + — i

2 2 2 2c)

z3 = 6(cos 30° + i sen 30°) =!—

3 1= 6(— + —i) = 3!—3 + 3i

2 2

d)

z4 = (!—26)78º 41’ 24’’ =

= !—26(cos 78° 41’ 24” + i sen 78° 41’ 24”)

Y

X

r

l

5!

z4 = l + 5i

Y

X

4

210º

z1 = 4210°

Y

X5 135º

z2 = 5135°

Y

X6

30º

z3 = 630°

Y

X3

315º

z4 = 3315°

Y

X4 150ºz1

Y

X

3

330º

z2

Y

X2 45ºz3


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52. Define y representa el lugar geométrico de todos los nú-meros complejos que tienen de argumento 45°


4. Operaciones en forma polar

54. Sean z1 = 460°, z2 = 5240°, z3 = 6300°

Calcula:a) z1 · z2 b) z1 · z3 c) z2 · z3

55. Sean z1 = 845°, z2 = 4210°, z3 = 2330°

Calcula:a) z1/z2 b) z1/z3 c) z2/z3

56. Sean z1 = 6120°, z2 = 5315°, z3 = 3225°

Calcula:a) z1

3 b) z24 c) z3

5

57. Un cuadrado de centro el origen de coordenadas tiene unvértice en el punto A(4, 0). Halla las coordenadas de losotros vértices y dibuja dicho cuadrado.

5. Radicación de números complejos

58. Halla las raíces cúbicas de z = – 27i; represéntalas gráfi-camente y une mediante una línea poligonal los afijos ob-tenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?


z1 = 390°

z2 = 3210°

z3 = 3330°

Se obtiene un triángulo equilátero.

Solución:z1 = 4 = 40°

z2 = 40° · 190° = 490° = 4iz3 = 490° · 190° = 4180° = – 4z4 = 4180° · 190° = 4270° = – 4i

Solución:a) 2160° b) 625180° c) 24345°

Solución:a) 2195° b) 475° c) 2240°

Solución:a) 20300° b) 240° c) 30180°

Solución:Es una circunferencia de centro el origen de coordenadasy de radio 4

Solución:Es una semirrecta, que nace en el origen de coordenadasO(0, 0), y el ángulo formado por el semieje positivo de las X y dicha semirrecta tiene una amplitud de 45°; esdecir, es la bisectriz del primer cuadrante.

d)

1 !—3 5 5!—

3z4 = 5240° = 5(– — – —i) = – — – — i 2 2 2 2

Y

X

5

240º

z4

Y

X45º

Y

X

|z| = 4

Y

X

z2 = 4i

z3 = –4

z4 = –4i

z1 = 4

Y

X

z2 = 3210° z3 = 3330°

z1 = 390°

232 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas59. Halla las raíces cuartas de z = 16; represéntalas gráfica-

mente y une mediante una línea poligonal los afijos ob-tenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?

60. Halla las raíces quintas de z = 3 + 5i; represéntalas gráfi-camente y une mediante una línea poligonal los afijos ob-tenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?

61. Resuelve las ecuaciones siguientes; representa las raícesgráficamente y une mediante una línea poligonal los afi-jos obtenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?

a) z4 – 81 = 0 b) z4 + 16i = 0

62. Resuelve la ecuación:x2 – 4x + 5 = 0

a) ¿Cómo son las raíces?En la parábola correspondiente:b) halla el vértice.c) halla el eje de simetría.d) Represéntala.

Solución:x1 = 2 + ix2 = 2 – ia) Son complejas conjugadas.b) V(2, 1)c) x = 2d)

z3 = – 3z4 = – 3i


b) z4 + 16i = 0 % z = 4!—– 16i = 4!—16270°

z1 = 267° 30’

z2 = 2157° 30’

z3 = 2247° 30’

z4 = 2337° 30’


Solución:a) z4 – 81 = 0 % z4 = 81 % z = 4!—

81z1 = 3z2 = 3i

Solución:z = (!—

34)59º 2’ 10’’

z1 = (10!—34)11º 48’ 26’’

z2 = (10!—34)83º 48’ 26’’

z3 = (10!—34)155º 48’ 26’’

z4 = (10!—34)227º 48’ 26’’

z5 = (10!—34)299º 48’ 26’’

Se obtiene un pentágono regular.

Solución:z = 160°

z1 = 20°

z2 = 290°

z3 = 2180°

z4 = 2270°


Y

Xz3 = 2180°

z4 = 2270°

z1 = 20°

z2 = 290°

Y

X

3410

155º 48' 26''( )

227º 48' 26''

z3 =

3410( )z4 =

299º 48' 26''3410( )z5 =

11º 48' 26''3410( )z1 =

83º 48' 26''3410( )z2 =

Y

Xz1 = 3

z3 = –3

z4 = –3i

z2 = 3i

Y

X

z1 = 267° 30'z2 = 2157° 30'

z3 = 2247° 30'

z4 = 2337° 30'

Y

X

y = x2 – 4x + 5

V(2, 1)

x = 2


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63. Resuelve la ecuación:

x2 + 4x + 7 = 0

a) ¿Cómo son las raíces?

En la parábola correspondiente:

b) halla el vértice.

c) halla el eje de simetría.

d) Represéntala.64. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raí-

ces: 3 ± 5i

65. Halla una ecuación de segundo grado que tenga las raí-ces: – 2 ± i

Solución:(x + 2)2 + (!—

3 )2= 0 x2 + 4x + 7 = 0

!3

Solución:(x – 3)2 + 52 = 0 x2 – 6x + 34 = 0

d)

Solución:

x1 = – 2 + !—3 i

x2 = – 2 – !—3 i

a) Son complejas conjugadas.

b) V(– 2, 3)

c) x = – 2

66. Las raíces cuadradas de los números reales negativos,¿quéclase de números son? Pon un ejemplo.

67. La suma de un número complejo y su conjugado,¿qué cla-se de número es? Pon un ejemplo.

68. El producto de un número complejo y su conjugado, ¿quéclase de número es? Pon un ejemplo.

69. Dado el número complejo:

z = 3 + 5i

Calcula:

a) el conjugado del opuesto.

b) el opuesto del conjugado.

c) ¿qué relación hay entre los resultados obtenidos en losdos apartados anteriores?

70. Calcula x e y para que:

a) x + 2i + 5 – 3i = 7 + yi

b) 3 – 5i – 7 + yi = x + 2i

Solución:

a) x = 2, y = – 1

b) x = – 4, y = 7

Solución:

a) –– z = – 3 + 5i

b) – z– = – 3 + 5i

c) Que son iguales.

Solución:Es un número real.z = 4 + 5i, z– = 4 – 5iz · z– = 41

Solución:Es un número real.Ejemplo:z = 2 + 3i, z– = 2 – 3iz + z– = 4

Solución:Son números imaginarios puros.Ejemplo:!—

– 9 = ± 3i

Y

X

y = x2 + 4x + 7V(–2, 3)

x = –2

Para ampliar

234 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas71. Halla los números complejos representados en forma

polar:

72. Representa los siguientes números complejos en el ejepolar.

a) z1 = 5330° b) z2 = 4180°

c) z3 = 3150° d) z4 = 590°

e) z5 = 2240° f) z6 = 30°

g) z7 = 660° h) z8 = 2270°

73. Escribe la condición que deben cumplir los números com-plejos representados en la siguiente figura:

74. Define y representa el lugar geométrico de todos los nú-meros complejos cuya parte imaginaria está comprendi-da entre – 2 y 3

75. Si el producto de dos números complejos no reales es unnúmero real, ¿qué relación hay entre sus argumentos?Pon un ejemplo.

76. Resuelve las ecuaciones siguientes.Representa las raícesgráficamente y une mediante una línea poligonal los afi-jos obtenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?

a) z6 – 1 = 0

b) z6 + i = 0

Solución:

a) z6 – 1 = 0 % z = 6!—1 = 6!—

10°

z1 = 10°

z2 = 160°

z3 = 1120°

z4 = 1180°

z5 = 1240°

z6 = 1300°

Se obtiene un hexágono regular.

Solución:La suma de los argumentos tiene que ser 180° o 360°260° · 3120° = 6180° = – 6

Solución:Es una franja horizontal, los números complejos que estáncomprendidos entre las rectas y = – 2 e y = 3, incluidas lasrectas.– 2 & Imaginaria (z) & 3

Solución:Que la parte real esté comprendida entre 2 y 52 & Real (z) & 5

Y

X

Solución:

Solución:

z1 = 5230° z2 = 390°

z3 = 4180° z4 = 440°

z5 = 6320° z6 = 3270°

z7 = 5120° z8 = 40°

z7z2 z4

z3

z1 z6

z8

z5

z6

z1z8

z5

z2

z3

z4z7

Y

X

y = 3

y = –2

Y

X

z5 = l240° z6 = l300°

z1 = l0°

z2 = l60°z3 = l120°

z4 = l180°


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77. Resuelve las ecuaciones siguientes.Representa las raícesgráficamente y une mediante una línea poligonal los afi-jos obtenidos. ¿Qué polígono regular se obtiene?a) z6 + 1 = 0b) z6 – i = 0

78. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice enel punto V(1, 4) y que no corta al eje de abscisas.


a) x4 + 5x2 – 36 = 0

b) x4 + 5x2 + 4 = 0


a) x4 + 13x2 + 36 = 0

b) x4 – 3x2 – 4 = 0

Solución:

a) x1 = 2i, x2 = – 2i, x3 = 3i, x4 = – 3i

b) x1 = 2, x2 = – 2, x3 = i, x4 = – i

Solución:

a) x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 3i, x4 = – 3i

b) x1 = i, x2 = – i, x3 = 2i, x4 = – 2i

Solución:Las raíces son: 1 ± 2i(x – 1)2 + 22 = x2 – 2x + 5y = x2 – 2x + 5

z5 = 1255°

z6 = 1315°


Solución:a) z6 + 1 = 0 % z = 6!—

– 1 = 6!—1180°

z1 = 130°

z2 = 190°

z3 = 1150°

z4 = 1210°

z5 = 1270°

z6 = 1330°


b) z6 – i = 0 % z = 6!—i = 6!—190°

z1 = 115°

z2 = 175°

z3 = 1135°

z4 = 1195°

b) z6 + i = 0 % z = 6!—– 1 = 6!—1270°

z1 = 145°

z2 = 1105°

z3 = 1165°

z4 = 1225°

z5 = 1285°

z6 = 1345°


Y

X

z6 345º= 1

z2 = l105°

z3 = l165°

z4 = l225° z5 = l285°

z1 = l45°

Y

X

z5 = l270°

z6 = l330°

z1 = l30°

z2 = l90°z3 = l150°

z4 = l210°

Y

X

z2 = l75°

z1 = l15°

z6 = l315°z5 = l255°

z4 = l195°

z3 = l135°

Y

X

y = x2 – 2x + 5

V(1, 4)

x = 1

236 SOLUCIONARIO

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81. Halla un número que sumado con su inverso dé 1. ¿Quétipo de números son el resultado?

82. Dados los números complejos z0 = 0,z1 = 3 + 2i,z2 = 1 + 3i,halla z1 + z2 y representa los afijos de z0, z1, z2 y z1 + z2.Únelos mediante segmentos en el siguiente orden: z0, z1,z1+ z2, z2 y z0. ¿Qué polígono se obtiene?

83. Dado el número complejo z = 5 + 3i, calcula el conjuga-do, z–, el opuesto, – z, y el opuesto del conjugado, – z–. Re-presenta los cuatro números complejos en el plano deGauss y únelos en el siguiente orden: z, z–, – z, – z–, z. ¿Quépolígono se obtiene?

84. Resuelve la siguiente ecuación sabiendo que z es un nú-mero complejo: 2z + 6 – 3i = 5z – 3 + 3i

85. Dados los números complejos z1 = 4 + xi, z2 = x – i, hallax para que z1 · z2 sea:a) un número real.b) un número imaginario puro.

86. Dados los números complejos z1 = 2 – 6i, z2 = x + 3i, ha-lla x para que z1/z2 sea:a) un número real.b) un número imaginario puro.

87. Dado el número complejo z = x – 3i, halla x para que(x – 3i)2 sea:a) un número real.b) un número imaginario puro.

88. Resuelve la siguiente ecuación:(x – 5i)(3 + yi) = 22 – 7i

89. Dados los números complejos z1 = x + i, z2 = 2 + i, hallax para que el afijo de z1 · z2 esté en la bisectriz del 1er cuadrante.

Solución:3x + 5y + (xy – 15)i = 22 – 7iSe transforma en el sistema:3x + 5y = 22xy – 15 = – 7x1 = 4, y1 = 2x2 = 10/3, y2 = 12/5

Solución:(x – 3i)2 = x2 – 9 – 6xia) – 6x = 0 % x = 0b) x2 – 9 = 0 % x = ± 3

Solución:z1 2x – 18 6x + 6— = —— – —— iz2 x2 + 9 x2 + 9

a) 6x + 6 = 0 % x = – 1b) 2x – 18 = 0 % x = 9

Solución:z1 · z2 = 5x + (x2 – 4) ia) x2 – 4 = 0 % x = ± 2b) 5x = 0 % x = 0

Solución:z = 3 – 2i

Solución:–z = 5 – 3i– z = – 5 – 3i– –z = – 5 + 3i

Se obtiene un rectángulo.

Solución:z1 + z2 = 4 + 5i

Se obtiene un paralelogramo; es equivalente a la suma devectores.

Solución:1z + — = 1 % z2 – z + 1 = 0z1 !—

3 1 !—3z1 = — + — i, z2 = — – — i

2 2 2 2El resultado son dos números complejos conjugados, talque la suma de sus partes reales es uno.

Problemas

Y

Xz0

z1 + z2 = 4 + 5iz2 = 1 + 3i

z1 = 3 + 2i

Y

X

= 5 + 3iz

z

= –5 – 3iz–

–z1 = –5 + 3i—

z = 5 + 3i—

'()


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92. Define y representa el lugar geométrico definido por:|z| & 5


94. Define y representa el lugar geométrico de todos los nú-meros complejos que tienen de argumento 150°

95. Define y representa el lugar geométrico de todos los nú-meros complejos que tienen de parte real 4

96. Define y representa el lugar geométrico de todos los nú-meros complejos que tienen de parte imaginaria – 3

Solución:Es una recta vertical de abscisa 4

Solución:Es una semirrecta que nace en el origen de coordenadas,y el ángulo que forma el semieje positivo de las X condicha semirrecta tiene de amplitud 150°

Solución:Que su módulo sea menor o igual que 2|z| & 2

Y

X

Solución:Es el círculo de centro el origen de coordenadas y ra-dio 5, es decir, la circunferencia y su interior.

Solución:Que su módulo sea 4|z| = 4

Y

X

Solución:Es una circunferencia con centro en el origen de coorde-nadas y radio 3

Solución:z1 · z2 = 2x – 1 + (x + 2)i %% 2x – 1 = x + 2 % x = 3

Comprobación:z1 · z2 = 5 + 5i

Y

X

|z| = 3

Y

X

z 5

Y

X150º

Y

Xx = 4

238 SOLUCIONARIO

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z = + i

calcula z50. Da el resultado en forma binómica.

98. Aplicando la fórmula de Moivre,expresa sen 2$ y cos 2$en función del seno $ y del cos $

99. Halla los vértices de un hexágono regular, sabiendo queuno de ellos es el punto A(5, 0)

100. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice en elpunto V(3, 2) y que no corta al eje de abscisas.

101. Halla las raíces cúbicas de i y de – i, represéntalas gráfi-camente en los mismos ejes coordenados y forma el po-lígono que se obtiene uniendo los afijos de cada una delas raíces.

Para profundizar

102. ¿En qué números complejos coincide su inverso con suconjugado? Representa gráficamente la solución.

Solución:

z = i = 190º

z1 = 130º

z2 = 1150º

z3 = 1270º

z = – i = 1270º

z4 = 190º

z5 = 1210º

z6 = 1330º

Solución:Las raíces son:x1 = 3 + !—

2 ix2 = 3 – !—

2 i(x – 3)2 + 2 = 0 % x2 – 6x + 11 = 0y = x2 – 6x + 11

Solución:

A(5, 0) % z = 50°

50° · 160° = 560°

560° · 160° = 5120°

5120° · 160° = 5180°

5180° · 160° = 5240°

5240° · 160° = 5300°

Solución:(cos $ + i sen $)2 = cos 2$ + i sen 2$Desarrollando el cuadrado del primer miembro e igualan-do las partes reales e imaginarias, se obtiene:cos 2$ = cos2 $ – sen2 $sen 2$ = 2 sen $ cos $

Solución:z = 145°

z50 = (145°)50 = 150

50 · 45º = 190° = i

!22

!22

Solución:Es una recta horizontal de ordenada – 3

Y

X

y = –3

Y

X

5240°

5180°

5300°

50°

560°5120°

Y

X

y = x2 – 6x + 11V(3, 2)

x = 3

Y

X

z5 = 1210°

z3 = 1270°

z6 = 1330°

z4 = 190° z1 = 130° z2 = 1150°


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103. Define y representa el lugar geométrico determinadopor:

3 & |z| & 5


105. Define y representa el lugar geométrico de todos los nú-meros complejos cuya parte real está comprendida en-tre 1 y 4


z = – i

calcula z50. Da el resultado en forma binómica.

107. Si el cociente de dos números complejos no reales es unnúmero real,¿qué relación hay entre sus argumentos? Ponun ejemplo.

108. Halla un número complejo cuyo cuadrado sea un núme-ro real negativo.

109. Halla un número complejo cuyo cuadrado sea un núme-ro imaginario puro.

110. Aplicando la fórmula de Moivre,expresa sen 3$ y cos 3$en función del seno $ y del cos $.Ten en cuenta que:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Solución:z = 345°

z2 = 990° = 9i

Solución:z = 5iz2 = – 25

Solución:La diferencia de sus argumentos tiene que ser 0° o 180°630° : 230° = 30° = 36210° : 230° = 3180° = – 3


z50 = (1315°)50 = 150

50 · 315° = 1270° = – i

!22

!22

Solución:Es una franja vertical comprendida entre las rectas x = 1 yx = 41 & Real(z) & 4

Solución:2 & |z| & 4

Y

X

Solución:Son los números complejos cuyo módulo está compren-dido entre 3 y 5, es decir, una corona circular de radios 3y 5, con el centro en el origen de coordenadas.

Solución:x y—— – —— i = x – yi

x2 + y2 x2 + y2

Para que las partes reales e imaginarias sean iguales tieneque ser:x2 + y2 = 1Son los números complejos que tienen de módulo uno, esdecir, los números complejos que están sobre la circunfe-rencia unidad.

Y

Xx2

+ y2 = 1

Y

X

3 Ì |z | Ì 5

Y

X

x = 1 x = 4

240 SOLUCIONARIO

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111. Halla los vértices de un cuadrado de centro el origen decoordenadas,sabiendo que uno de los vértices es el pun-to A(3, 4). Haz el dibujo.

112. Halla los vértices de un pentágono regular sabiendo queuno de ellos es el punto A(0, 4)

113. Halla la ecuación de una parábola que tiene el vértice enel punto V(– 3, 1) y que no corta al eje de abscisas.


a) x3 – 7x2 + 19x – 13 = 0

b) x3 + 6x + 20 = 0

Solución:a) x1 = 1, x2 = 3 + 2i, x3 = 3 – 2ib) x1 = – 2, x2 = 1 + 3i, x3 = 1 – 3i

Solución:Las raíces son:

x1 = – 3 + i

x2 = – 3 – i

(x + 3)2 + 1 = x2 + 6x + 10

y = x2 + 6x + 10

Solución:

A(0, 4) % z = 490°

490° · 172° = 4162°

4162° · 172° = 4234°

4234° · 172° = 4306°

4306° · 172° = 418°

Solución:z1 = 3 + 4iz2 = z1 · i = – 4 + 3iz3 = z2 · i = – 3 – 4iz4 = z3 · i = 4 – 3i

Solución:(cos $ + i sen $)3 = cos 3$ + i sen 3$Desarrollando el primer cubo e igualando las partes rea-les e imaginarias, se obtiene:sen 3$ = 3 sen $ cos2 $ – sen3 $cos 3$ = cos3 $ – 3 cos $ sen2 $

Y

X

z3 = –3 – 4iz4 = 4 – 3i

z2 = –4 + 3iz1 = 3 + 4i

Y

Xz3 = 4162°

z4 = 4234° z5 = 4306°

z1 = 418°

z2 = 490°

Y

X

y = x2 + 6x + 10

V(–3, 1)

x = –3

BLOQUE III

Funciones8. Funciones9. Continuidad, límites y asíntotas

10. Cálculo de derivadas11. Aplicaciones de las derivadas12. Integrales

! Piensa y calcula

Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional:

a) f(x) = b) f(x) = x3 – 5x2 + 6x – 4

Solución:a) Racional. b) Polinómica.

2x + 5x2 – 4

1. La siguiente gráfica, ¿es función? Razona la respuesta.

2. La siguiente gráfica, ¿es función? Razona la respuesta.

3. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus caracterís-ticas. Es decir, completa el formulario de los diez apar-tados.

Solución:1. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = ! = (– !, + !)3. Continuidad: es continua en todo !4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: es simétrica respecto del origen O(0, 0)6. Asíntotas: no tiene.7. Corte con los ejes:

– Eje X: B(– "—3, 0), O(0, 0),A("—

3, 0)– Eje Y: O(0, 0)Signo:– Positiva (+): (– !, – "—

3) U (0, "—3)

– Negativa (–): (– "—3, 0) U ("—

3, + !)

Y

X

y= – x3 + 3x

B(– 3, 0) A( 3, 0)

Solución:Sí es una función, porque para cada valor de x existe unúnico valor de y

Y

X

y = x2 + 2x – 3

Solución:No es una función. Por ejemplo, para x = 0 existen dosvalores de y, el 3 y el – 3

Y

X

x2 y2

25 9+ = 1

" Aplica la teoría

1. Estudio gráfico de una función

244 SOLUCIONARIO

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8 Funciones

! Piensa y calcula

Considera los rectángulos con un lado de triple longitud que el otro. Expresa el perímetro yel área en función del lado menor.

Solución:P(x) = 8x A(x) = 3x2

2. Funciones reales de variable real

3x

x

TEMA 8. FUNCIONES 245

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4. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus caracterís-ticas. Es decir, completa el formulario de los diez apar-tados.

Solución:1. Tipo de función: racional.2. Dominio: Dom(f) = ! – {0} = (– !, 0) U (0, + !)3. Continuidad: es discontinua en x = 04. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: es simétrica respecto del origen O(0, 0)6. Asíntotas:

– Verticales: x = 0– Horizontales: no tiene.– Oblicuas: y = x

7. Corte con los ejes: no corta a ninguno de los ejes.Signo:– Positiva (+): (0, + !)– Negativa (–): (– !, 0)

8. Máximos y mínimos relativos:a) Máximo relativo:A(– 1, – 2)b) Mínimo relativo: B(1, 2)Monotonía:– Creciente: (– !, – 1) U (1, +!)– Decreciente: (– 1, 0) U (0, 1)

9. Puntos de inflexión: no tiene.Curvatura:– Convexa (#): (0, + !)– Cóncava ($): (– !, 0)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = (– !, – 2] U [2, + !)

Y

X

y = x2+ 1 x

8. Máximos y mínimos relativos:

a) Máximo relativo: C(1, 2)

b) Mínimo relativo: D(– 1, – 2)

Monotonía:

– Creciente: (– 1, 1)

– Decreciente: (– !, – 1) U (1, + !)

9. Puntos de inflexión: O(0, 0)

Curvatura:

– Convexa (#): (– !, 0)

– Cóncava ($): (0, + !)

10. Recorrido o imagen:

Im(f) = ! = (– !, + !)

246 SOLUCIONARIO

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5. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio:a) b)

6. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio:a) y = x3 – 4x2 + 5

b) y =

c) y =

d) y =

7. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio:a) y = 2x

b) y = log xc) y = log2 (x – 3)d) y = sen (x + 1)

8. A partir de la gráfica de y = f(x), dibuja la traslación quese pide en cada caso y halla su ecuación.a) f(x) + 2b) f(x + 2)c) f(x – 1)d) f(x – 2) + 1

Solución:a)

y = x2 + 2

b)

y = (x + 2)2 % y = x2 + 4x + 4

c)

y = (x – 1)2 % y = x2 – 2x + 1

d)

y = (x – 2)2 + 1 % y = x2 – 4x + 5

Y

X

y = x2

Solución:a) Exponencial. Dom(f) = ! = (– !, + !)b) Logarítmica. Dom(f) = (0, + !) c) Logarítmica. Dom(f) = (3, + !)d) Trigonométrica. Dom(f) = ! = (– !, + !)

Solución:a) Polinómica. Dom(f) = ! = (– !, + !)b) Racional.

Dom(f) = ! – {5} = (– !, 5) U (5, + !)c) Racional. Dom(f) = ! – {– 2, 2} =

= (– !, – 2) U (– 2, 2) U (2, + !)d) Irracional. Dom(f) = [– 1, +!)

"x + 1

x + 3x2 – 4

4x – 5

Solución:a) Irracional. Dom(f) = [1, +@)b) Racional. Dom(f) = ! – {– 1, 1} =

= (– !, – 1) U (– 1, 1) U (1, + !)

" Aplica la teoría

Y

X

– y = x – 1

Y

X

y =x

x2–1

Y

Xy = x2

y = x2 + 2

Y

X

y = x2

y = (x + 2)2

Y

Xy = x2 y = (x – 1)2

Y

Xy = x2 y = (x – 2)2 + 1


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! Piensa y calcula

Dada la gráfica de la función f(x), dibuja la gráfica g(x) simétrica respecto de la recta y = xCalcula el dominio y el recorrido o imagen de f(x) y de g(x). ¿Qué relación existe entre ellos?

Solución:

Dom(f) = [0, + !), Im(f) = [– 5, + !)Dom(g) = [– 5, + !), Im(g) = [0, + !)Dom(f) = Im(g) y Dom(g) = Im(f)

9. Calcula g ° f y f ° g en cada uno de los siguientes casos:

a) f(x) = y g(x) = x2 + 2

b) f(x) = x2 – 3x y g(x) = sen x

10. Calcula la función inversa de las siguientes funciones:

a) y = 3x + 2 b) y =

c) y = d) y = x2 + 3; x & 0

11. Indica si las siguientes funciones son pares, impares ono son ni pares ni impares, y calcula su simetría:a) y = x2 – 9 b) y = x2 – 4x

c) y = d) y =

12. Calcula la composición f ° g y g ° f, siendo f(x) = x2 y,g(x) =

13. Indica si las siguientes funciones son pares o imparesanalizando la gráfica:a) b)

Solución:a) Impar % Simétrica respecto del origen O(0, 0)b) Par % Simétrica respecto del eje Y

Solución:f ° g(x) = f ("—

x ) = ("—x )2 = x

g ° f(x) = g(x2) = "—x2 = x

"x

Solución:a) Par % simétrica respecto del eje Yb) Ni par, ni impar.c) Impar % simétrica respecto del origen O(0, 0)d) Ni par, ni impar.

3x – 5x – 2

2x

Solución:x – 2a) f – 1(x) = — b) f – 1(x) = x2 + 1

33x + 2c) f – 1(x) = — d) f – 1(x) = "—x – 3x – 1

x + 2x – 3

"x – 1

Solución:a) (g ° f)(x) = x + 2, (f ° g)(x) = "—x2 + 2b) (g ° f)(x) = sen (x2 – 3x)

(f ° g)(x) = sen2 x – 3 sen x

"x

" Aplica la teoría

3. Operaciones con funciones

Y

Xf(x)

g(x)

y = x

y = x3 – 3x

Y

X

Y

Xy = —1

x2

y = x

Y

X

f(x)

248 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Dibuja una recta que tenga de pendiente y pase por el punto P(0, 2)

Solución:

13

14. Analiza de qué grado pueden ser las funciones polinómi-cas siguientes. ¿Qué signo tiene el coeficiente principal?a) b)

15. Representa las siguientes rectas, halla la pendiente y la ordenada en el origen:

a) y = 4 b) y = – 2 c) y =

d) y = –2x e) y = x + 3 f) y = – + 4

b)

m = 0, ordenada en el origen: – 2

c)

m = 3/2, ordenada en el origen: 0

d)

m = – 2, ordenada en el origen: 0

Solución:a)

m = 0, ordenada en el origen: 4

2x3

3x2

Solución:a) De 3er grado. El coeficiente principal es negativo.b) De 4º grado. El coeficiente principal es positivo.

" Aplica la teoría

4. Funciones polinómicas

P(0, 2)

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

y = 4

Y

X

y = –2

Y

X

y = 3x2

Y

X

y = –2x


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16. Haz un dibujo aproximado de las funciones:a) y = x6 b) y = x7

17. Escribe la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a)

b)

c)

d)

Solución:2xa) y = — + 13xb) y = – — + 32

xc) y = — – 23

5xd) y = –—2

Solución:a)

b)

e)

m = 1, ordenada en el origen: 3f)

m = – 2/3, ordenada en el origen: 4

Y

X

y = x + 3

Y

X

y = + 42x3

–

Y

X

y = x6

Y

X

y = x7

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

250 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Dada la fórmula del eje de simetría de una parábola x = – , despeja mentalmente b

En una parábola, se conoce el eje x = 3 y a = 1. ¿Cuánto vale b?

Solución:b = – 2ax % b = – 6

b2a

18. Representa la parábola y = x2, y, a partir de ella, las si-guientes funciones:

a) y = x2 + 1

b) y = (x + 1)2

c) y = (x – 2)2 + 3

d) y = x2 – 5

19. Representa las siguientes parábolas:a) y = x2 – 6x + 5b) y = –x2 – 2x + 3c) y = 2x2 + 4x – 1d) y = –3x2 – 6x + 2

Solución:a)

b)

d)

Solución:a)

b)

c)

" Aplica la teoría

5. Función cuadrática

Y

X

y = x2 + 1

y = x2

Y

Xy = (x + 1)2y = x2

Y

Xy = x2

y = (x – 2)2 + 3

Y

X

y = x2 – 5

y = x2

Y

X

x =

3

V(3, –4)

V(–1, 4)

Y

X

x =

–1


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20. Halla las fórmulas de las siguientes parábolas:a) b)

21. Halla las fórmulas de las siguientes parábolas:a)

b)

22. El número de bolígrafos vendidos en una papelería vie-ne dado por la función f(x) = 6 – x, siendo x el precioen euros. Calcula:a) la función de ingresos, I(x)b) el número de bolígrafos que hay que vender para que

los ingresos sean máximos.

Solución:a) I(x) = 6x – x2

b) V(3, 9), que es el máximo. Hay que vender 3 bolí-grafos.

Solución:a) y = x2 + 4x + 4 b) y = – 3x2 + 6x – 2

Solución:a) y = 2x2 – 8x + 4 b) y = – x2 – 4x – 1

c)

d)

Y

X

V(–1, –3)x

= –1

V(–1, 5) Y

X

x =

–1

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

252 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Analiza si la función f(x) = es impar y dibuja la parte de gráfica que falta.

Dibuja las asíntotas.

Solución:Sí es impar.

1x

23. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas.Halla laconstante, k, de proporcionalidad inversa:

a) y = b) y = –

24. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas.Halla laconstante k

a) y =

b) y =

c) y =

d) y = –

Solución:a)

2y = — + 1x + 1

k = 2

x + 1x + 2

2x – 5x – 1

3x – 5x – 2

x + 3x + 1

Solución:a)

k = 2

b)

k = – 4

4x

2x

" Aplica la teoría

6. Funciones racionales e irracionales

Y

X

Y

X

y = 1x

y = 0x

= 0

Y

X

y = 2x

y = 0

x = 0

2

Y

X

y = 4x–

y = 0 4

x = 0

Y

Xy = 12

x = –

1


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25. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas:a) b)

26. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas:

a) b)

27. Dibuja las siguientes funciones irracionales:

a) y =

b) y = –2 +

c) y = –

d) y = 3 –

Solución:a)

b)

c)

"2 – x

"x + 2

"x – 1

"x – 1

Solución:1a) y = — + 2

x – 34b) y = — + 1

x + 2

Solución:3 2a) y = — b) y = –—

x – 1 x + 1

b)1y = — + 3

x – 2

k = 1

c)– 3y = — + 2

x – 1

k = – 3

d)1y = — – 1

x + 2

k = 1

Y

X

x = 2

y = 3 1

Y

Xy = 2

3

x = 1

Y

X

y = –11

x = –

2

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

–

254 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Observando la gráfica correspondiente a y = 3x, dibuja la gráfica correspondiente a y = log3 x, sabiendo que es inversa de laanterior.

Solución:

Y

X(0, 1)

y = 3x

y = x

(1, 3)

28. Escribe la fórmula de las siguientes funciones irracionales:a) b)

Solución:a) y = "—x + 5 b) y = "—x – 2

d)

7. Funciones exponenciales y logarítmicas

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

y = log3 x

y = x

y = 3x

(3, 1)(1, 0)

(1, 3)

(0, 1)


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29. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y susasíntotas:

a) y = 3x

b) y = log3 x

¿Respecto a qué recta son simétricas?

30. Dibuja en los mismos ejes las gráficas de las funcionessiguientes y sus asíntotas:

a) y = ( )x

b) y = log1/3 x


31. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas:

a) y = 1 + 2x

b) y = –5 + ( )x

c) y = 2x – 3

d) y = ( )x + 3

32. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asíntotas:a) y = 3 + log2 x b) y = –3 + log1/2 xc) y = log2 (x + 5) d) y = log1/2 (x – 1)

Solución:a)

Solución:

a)

b)

c)

d)

12

12

Solución:

Son simétricas respecto de la bisectriz del primer y ter-cer cuadrantes, y = x; por lo tanto, una es inversa de laotra.

13

Solución:

Son simétricas respecto de la bisectriz del primer y ter-cer cuadrantes, y = x; por lo tanto, una es inversa de laotra.

" Aplica la teoría

Y

X

y = x

y = 3x

y = log3 x

Y

X

y = 13( )x

y = x

y = log1/3 x

Y

Xy = 1

Y

X

y = –5

Y

Xy = 0

Y

Xy = 0

Y

X

–

256 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Completa la siguiente tabla:

Solución:

33. Escribe las fórmulas de las siguientes gráficas:a) b)

34. Escribe las fórmulas de las siguientes funciones:a) b)

Solución:a) y = L xb) y = log2 (x – 1)

Solución:a) y = 1 + 3x

1b) y = – 2 + (—)x

3

b)

c)

d)

8. Funciones trigonométricas

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

Y

X

Y

X

–

Y

X

–

x

sen x 1—2

1—2

1– —2

1– —2

cos x "—3—

2"

—3–—

2"

—3–—

2"

—3—

2

tg x "—3—

3"

—3–—

3"

—3—

3"

—3–—

3

30° 150° 210° 330°

xsen xcos xtg x

30° 150° 210° 330°0

' /2

'

3 /2'

2'


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35. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y=senx

a) y = 2 + sen x b) y = sen (x + )

36. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y=cosx

a) y = –1 + cos x b) y = cos (x – )

37. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y = tgx

a) y = 1 + tg x b) y = tg (x + )

38. Dibuja las siguientes funciones:

a) y = sen 2x

b) y = sen


a) y = 2 sen x

b) y = sen x12

Solución:

a)

b)

x3

Solución:

a)

b)

'2

Solución:

a)

b)

'2

Solución:

a)

b)

'2

" Aplica la teoría

Y

X

y = 2 + sen x

y = sen x

Y

X

y = sen 2x +( ) y = sen x'

Y

Xy = cos x

y = –1 + cos x

Y

X

(y = cos x y = cos x – )2'

Y

X

y =

tg x

y =

1 +

tgx

Y

X

Y

X

Y

X

y = tg x + )'2( y = tgx

258 SOLUCIONARIO

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a) y = cos 2x b) y = cos

c) y = 2 cos x d) y = cos x

b)

c)

d)

Solución:

a)Solución:

a)

12

x3

Solución:

a)

b)

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Y

X

Y

X

Y

X

–

Y

X

Y

X

–

Y

X–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

1 20 '

Y

X'/ 2

3

2'

–1

1

1 2 4 50 ' / 2 '

3 63 / 2'

Y

X

2'

–1

1

1 2 4 50 ' / 2 ' 3 / 2'

3 6

Y

X

Y

X

–

Y

X

4

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

1

Y

X

–

Y

X

Y

X2

Y

X

–

Y

X

1 2 3 4

5 6 7 8

9

10 11 12 13

14 15 16 17

18 19 20 21

Solución:Polinómica: y = x2

Solución:Exponencial: y = 2x

Solución:Irracional: y = "x

Solución:Racional: y =

1x

Solución:Logarítmica: y = L x

Solución:Polinómica: y = – 3

Solución: Trigonométrica: y = cos x

Solución: Trigonométrica: y = sen x

Solución:Irracional: y = "x – 1

Solución:Racional: y = – 2

4x – 3

Solución:Polinómica: y = x2 – 4x + 3

Solución:Polinómica : y = – 1

3x2

Solución:Exponencial: y = ex

Solución:Polinómica: y = – 2x + 3

Solución:Racional: y = – 3

1x + 2

Solución:Logarítmica: y = log2 x

Solución:Polinómica: y = 3x2 + 6x + 1

Solución:Racional: y = – + 1

2x + 3

Solución:Irracional: y = "2 – x

Solución:Polinómica: y = –2x2 + 4x

Solución:Trigonométrica:y = tg x

Funciones elementales que hay que conocerHalla el tipo de cada una de las siguientes funciones y calcula mentalmente su fórmula

260 SOLUCIONARIO

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.L.

Ejercicios y problemas1. Estudio gráfico de una función

41. Indica cuál de las siguientes gráficas es función.a) b)

42. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características.Es decir, completa el formulario de los diez apartados.

43. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características.Es decir, completa el formulario de los diez apartados.

Solución:

1. Tipo de función: polinómica.

2. Dominio: Dom(f) = ! = (– !, + !)

3. Continuidad: es continua en todo !

4. Periodicidad: no es periódica.

5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Y

6. Asíntotas: no tiene.

7. Corte con los ejes:– Eje X: A(– 2"—

2, 0), O(0, 0), B(2"—2, 0)

– Eje Y: O(0, 0)Signo:– Positiva (+): (– 2"—

2, 0) U (0, 2"—2)

– Negativa (–): (– !, – 2"—2) U (2"—

2, + !)8. Máximos y mínimos relativos:

– Máximo relativo: E(– 2, 4), F(2, 4)– Mínimo relativo: O(0, 0)Monotonía:– Creciente: (– !, – 2) U (0, 2)– Decreciente: (– 2, 0) U (2, + !)

2"—3 20 2"—

3 209. Puntos de inflexión: C(–—, —), D(—, —)3 9 3 9Curvatura:

2"—3 2"—

3– Convexa (#): (–—,—)3 3

2"—3 2"—

3– Cóncava ($): (– !, –—) U (—, + !)3 3

10. Recorrido o imagen:Im(f) = (– !, 4]

Y

X

y = + 2x2 x4

4

D ( ) 2 3 3

20 9

, C ( ) 2 3 3

20 9

,

A(– 2 2 ,

EF

0) B(2 2 , 0)

9. Puntos de inflexión: O(0, 0)Curvatura:– Convexa (#): (– !, – 1) U (1, + !)– Cóncava ($): (– 1, 1)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = ! = (– !, – 1) U (0, + !)

Solución:

1. Tipo de función: racional.2. Dominio:

Dom(f) = ! – {– 1, 1} = (– !, – 1) U (– 1, 1) U (1, + !)3. Continuidad: es discontinua en x = – 1 y en x = 14. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Y6. Asíntotas:

– Verticales: x = – 1, x = 1– Horizontales: y = 0– Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes: A(0, – 1)Signo:– Positiva (+): (– !, – 1) U (1, + !)– Negativa (–): (– 1, 1)

8. Máximos y mínimos relativos:– Máximo relativo: A(0, – 1)Monotonía:– Creciente: (– !, – 1) U (– 1, 0)– Decreciente: (0, 1) U (1, + !)

Y

X

y =1

x2 – 1

Solución:a) Sí es función, porque para cada valor de x existe un úni-

co valor de yb) No es función. Por ejemplo, para x = 4 existen dos

valores de y

Y

X

y = 2x – 3+ 1

Y

X

x2

9y2

16 = 1

–


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.L.

2. Funciones reales de variable real

44. Clasifica las siguientes funciones y halla su dominio:

a) b)


a) y = x4 – x2 + 1 b) y =

c) y = d) y = 3 +


a) y = 2x3 – 7x2 + 3x – 4 b) y =

c) y = d) y =


a) y = 3x b) y = ( )x

c) y = L (x – 2) d) y = cos (x – ')

48. A partir de la gráfica de y = f(x), dibuja las gráficas si-guientes y halla su ecuación:

a) y = f(x + 2) b) y = f(x) – 5c) y = f(x – 3) + 1 d) y = f(x + 1) – 2

Solución:a)

y = x2 + 4x + 4

b)

y = x2 – 5

c)

y = x2 – 6x + 10

Y

X

Solución:a) Exponencial. Dom(f) = ! = (– !, + !)b) Exponencial. Dom(f) = ! = (– !, + !)c) Logarítmica. Dom(f) = (2, + !)d) Trigonométrica. Dom(f) = ! = (– !, + !)

23


Dom(f) = ! – {– 1, 0} == (– !, – 1) U (– 1, 0) U (0, + !)

c) Racional. Dom(f) = ! – {2} = (– !, 2) U (2, + !)d) Irracional. Dom(f) = (– !, 2]

"4 – 2xx(x – 2)2

3x2 + x


Dom(f) = ! – {– 3} = (– !, – 3) U (– 3, + !)c) Racional.

Dom(f) = ! – {– 2, 3} == (– !, – 2) U (– 2, 3) U (3, + !)

d) Irracional. Dom(f) = [– 2, + !)

"x + 2x + 1x2 – x – 6

2x + 3

Solución:a) Racional. Dom(f) = ! – {0} = (– !, 0) U (0, + !)b) Racional. Dom(f) = ! = (– !, + !)

Y

X

y =x2–1

x

Y

X

y =5

x2+1

Y

Xy = x2

y = (x + 2)2

Y

X

y = x2

y = x2 – 5

Y

X

y = x2 y = (x – 3)2 + 1

3. Operaciones con funciones

49. Dibuja la función inversa de y = f(x) en cada caso y hallasu fórmula.a) b)

50. Dadas las funciones f(x) = x2 – 4 y g(x) = , calcula:a) g ° fb) f ° g

51. Dadas las funciones f(x) = sen x y g(x) = 2x + 1,calcula:a) g ° f b) f ° g

52. Calcula la función inversa de y = f(x) en los siguientes casos:a) y = 2x + 1 b) y = –3x + 2

53. Calcula la función inversa de y = f(x) en los siguientes casos:

a) y = b) y = x2 – 4; x & 0

54. Indica si las siguientes funciones son pares, impares o nipares ni impares, y calcula su simetría:a) y = x b) y = x + 3

c) y = d) y = x2 + 2

4. Funciones polinómicas

55. Analiza de qué grado pueden ser las funciones polinó-micas siguientes. ¿Qué signo tiene el coeficiente prin-cipal?

a) b)

Solución:a) Es impar % simétrica respecto del origen de coordena-

das O(0, 0)b) No es par, ni impar.c) Es impar % simétrica respecto del origen de coordena-

das O(0, 0)d) Es par % simétrica respecto del eje Y

3x

Solución:3xa) f – 1(x) = — b) f – 1(x) = "—x + 4

1 – x

xx + 3

Solución:x – 1 2 – xa) f – 1(x) = — b) f – 1(x) = —

2 3

Solución:a) (g ° f)(x) = 1 + 2 sen xb) (f ° g)(x) = sen (2x + 1)

Solución:a) (g ° f)(x) = "—x2 – 4b) (f ° g)(x) = x – 4

"x

Solución:a)

b)

d)

y = x2 + 2x – 1

262 SOLUCIONARIO

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Y

X

y = x

y= x+2–

Y

X

y = x

y = 3x – 1

Y

X

Y

X

Y

X

y = x2

y = (x + 1)2 – 2

Y

X

y = x

y = x2 – 2x Ó 0

y= x+2

Y

Xy = 3x – 1

y = x

y = 1 + log3 x


© G

rupo

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ño, S

.L.

56. Representa las siguientes rectas,halla la pendiente y la or-denada en el origen.

a) y = –x b) y = – c) y = + 1 d) y = –2x – 1

57. Escribe las fórmulas de las siguientes rectas:

a)

b)

58. Haz un dibujo aproximado de las funciones siguientes:

a) y = x3

b) y = x4

Solución:

a)

b)

Solución:

2xa) y = —3

5xb) y = –— + 43

Solución:a)

m = – 1, ordenada en el origen: 0b)

1m = – —, ordenada en el origen: 02

c)

3m = —, ordenada en el origen: 12

d)

m = – 2, ordenada en el origen: – 1

3x2

x2

Solución:a) De 2º grado. El coeficiente principal es positivo.b) De 3er grado. El coeficiente principal es negativo.

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

y = x3

Y

X

y = x4

5. Función cuadrática

59. Representa la parábola y = 2x2; a partir de ella, las si-guientes:a) y = 2(x – 1)2

b) y = 2x2 – 3c) y = 2(x + 2)2

d) y = 2(x + 1)2 + 2

60. Representa las siguientes parábolas:a) y = x2 – 4x + 2 b) y = –x2 – 2x + 1

c) y = x2 + x – 3 d) y = –2x2 + 4x + 3

61. Escribe las fórmulas de las siguientes parábolas:

a) b)

Solución:

a)

b)

c)

d)

12

Solución:

a)

b)

c)

d)

264 SOLUCIONARIO

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rupo

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.L.


Y

Xy = 2x2 y = 2(x – 1)2

Y

X

y = 2x2

y = 2x2 – 3

Y

X

y = 2x2

y = 2(x + 2)2

Y

X

y = 2x2

y = 2(x + 1)2 + 2

V(2, –2)

x =

2

Y

X

V(–1, 2)

Y

X

x =

–1

V(–1, –7/2)

Y

Xx

= –1

V(1, 5)Y

X

x =

1

Y

X

Y

X


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c) d)

6. Funciones racionales e irracionales

62. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas. Halla laconstante, k, de proporcionalidad inversa.

a) y = – b) y =

63. Dibuja las siguientes hipérbolas y sus asíntotas. Halla laconstante k

a) y =

b) y =

c) y =

d) y =

64. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas:a) b)

Solución:a)

2y = — + 2x

k = 2

b)1y = —+ 3

x + 2

k = 1

c)– 4y = —– 2

x + 1

k = – 4

d)3y = — – 2x

k = 3

–2x + 3x

–2x – 6x + 1

3x + 7x + 2

2x + 2x

Solución:a)

k = – 3b)

k = 2

2x

3x

Solución:a) y = x2 – 4x + 1 b) y = – x2 – 4xc) y = – 2x2 + 8x – 4 d) y = 3x2 + 6x

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

x = 0

y = 03

Y

Xy = 0

x = 0

2

Y

X

x = 0

y = 2 2

Y

X

x = –

2

y = 31

Y

Xx =

–1

y = –2 4

Y

X

x = 0

3

y = –2

c) d)

65. Dibuja las siguientes funciones irracionales:

a) y =

b) y = –3 +

c) y = –

d) y = 2 –

7. Funciones exponenciales y logarítmicas

66. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y susasíntotas:a) y = 4x b) y = log4 x ¿Respecto a qué recta son simétricas?

67. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y susasíntotas:

a) y = ( )xb) y = log1/4 x


Solución:Son simétricas respecto de la bisectriz del 1er y 3er cua-drantes; y = x, por lo tanto, una es inversa de la otra.

14

Solución:Son simétricas respecto de la bisectriz del 1er y 3er cua-drantes; y = x; por lo tanto, una es inversa de la otra.

d)

Solución:a)

b)

c)

"x – 3

"x – 3

"x + 2

"x + 2

Solución:

3 5a) y = –— + 2 b) y = —x – 1 x + 1

2 1c) y = — + 3 d) y = –— – 3x – 1 x + 2

266 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemasY

X

Y

X

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

y = 4x

y = log4xy =

x

Y

X

y = log1/4x

y = 14( )x


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.L.

68. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asín-totas:

a) y = 3x – 2

b) y = 1 + ( )x

c) y = –1 + 2x + 1

d) y = –2 + ( )x + 1

69. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y sus asín-totas:

a) y = log2 (x – 1)

b) y = 3 + log1/2 x

c) y = –1 + log3 (x – 2)

d) y = 2 + log1/3 (x + 1)

Solución:

a)

b)

c)

d)

Solución:a)

b)

c)

d)

12

12

Y

Xy = 0

Y

Xy = 1

Y

X

y = –1

Y

X

y = –2

Y

X

–

x =

1

Y

X

–

x =

0

Y

X

– x =

2

Y

X

–

x =

–1

70. Escribe las fórmulas de las siguientes gráficas:a) b)

c) d)

8. Funciones trigonométricas

71. Dibuja las siguientes funciones a partir de la funcióny = sen x

a) y = –2 + sen x b) y = sen (x – )

72. Dibuja las siguientes funciones a partir de la funcióny = cos x

a) y = 1 + cos x b) y = cos (x + )

73. Dibuja las siguientes funciones a partir de la función y = tg x

a) y = –1 + tg x b) y = tg (x – )Solución:a)

b)

'2

Solución:a)

b)

'2

Solución:a)

b)

'2

Solución:a) y = 1 + 3x

b) y = log1/3 (x + 2)c) y = ex

d) y = log3 (x – 1)

268 SOLUCIONARIO

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Y

X

Y

X

–

Y

X

Y

X

–

Y

Xy = sen x

y = –2 + sen x

Y

Xy = sen x

y = sen x– 2 ( )'

Y

X

y = 1 + cos x

y = cos x

Y

Xy = cos x + '

2( ) y = cos x

Y

Xy =

tg x

y =

–1 +

tg x

Y

X

y =

tg x

y =

tg (x

– '

/2)


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a) y = sen 3x b) y = cos

b)

Solución:a)

x3

75. Indica cuál de las siguientes gráficas es función:a) b)

76. Dada la siguiente gráfica, halla todas sus características.Es decir, completa el formulario de los diez apartados.

3. Continuidad: es discontinua en x = – 1 y en x = 1


5. Simetrías: es simétrica respecto del eje Y

6. Asíntotas:

– Verticales: x = – 1, x = 1

– Horizontales: y = 1

– Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:

– Eje X: no corta.

– Eje Y: A(0, – 1)

Signo:

– Positiva (+): (– !, – 1) U (1, + !)

– Negativa (–): (– 1, 1)


g) Máximo relativo:A(0, – 1)

h) Mínimo relativo: no tiene.

Monotonía:

– Creciente: (– !, –1) U (– 1, 0)

– Decreciente: (0, 1) U (1, + !)

9. Puntos de inflexión: no tiene.

Curvatura:

– Convexa (#): (– !, – 1) U (1, + !)

– Cóncava ($): (– 1, 1)


Im(f) = ! = (– !, – 1] U (1, + !)

Solución:1. Tipo de función: racional.2. Dominio: Dom(f) = ! – {– 1, 1} =

= (– !, – 1) U (– 1, 1) U (1, + !)

Y

X

y = x2+1x2–1

Solución:a) Es función: y = Dec(x)b) No es función.

Y

X

Y

X

Para ampliar

Y

X

y = Dec (x)

–3

01 2 4 5

– 1

3

12'''/2 3 /2'

3 6

2

–2

Y

X

77. Dada la siguiente gráfica, halla todas sus características. Esdecir, completa el formulario de los diez apartados.

78. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) y =

b) y =

79. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) y = L b) y = L

c) y = sen d) y = e

80. Dibuja la función inversa de y = f(x) en cada caso:a) b)

81. Dadas las funciones f(x) = tg x y g(x) = , calcula:

a) g ° f b) f ° gc) f ° f d) g ° g

Solución:1 1a) (g ° f)(x) = — b) (f ° g)(x) = tg —

tg x x

c) (f ° f)(x) = tg (tg x) d) (g ° g)(x) = x

1x

Solución:a)

b)

Solución:a) Dom(f) = (– !, – 2) U (3, + !)b) Dom(f) = (0, + !)c) Dom(f) = ! – {0} = (– !, 0) U (0, + !)d) Dom(f) = [0, + !)

"x2x

"xx + 2x – 3

Solución:a) Dom(f) = (5, + !)b) Dom(f) = (– !, 0] U (1, + !)

" xx – 1

2"x – 5

Solución:1. Tipo de función: irracional.2. Dominio: Dom(f) = [0, + !)3. Continuidad: es continua en [0, + !)4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: no es simétrica.6. Asíntotas:

– Verticales: no tiene.– Horizontales: no tiene.– Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:– Eje X: O(0, 0)– Eje Y: O(0, 0)Signo:– Positiva (+): (0, + !)

8. Máximos y mínimos relativos:a) Máximo relativo: no tiene.b) Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:– Creciente: (0, + !)– Decreciente: (

9. Puntos de inflexión: no tiene.Curvatura:– Convexa (#): (– Cóncava ($): (0, + !)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = ! = [0, + !)

Y

X

y= x–

270 SOLUCIONARIO

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Y

X

y = f(x)y = x

Y

X

y = 2 + 2x

y = x

Y

X

y = f(x)y = x

Y

X

y = 2 + 2x

y = log2 (x – 2)y = x


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82. Calcula la función inversa de la función y = f(x) en los si-guientes casos:

a) y =

b) y = x2 – 5

c) y =

d) y =

83. Analiza de qué grado pueden ser las funciones polinómicassiguientes. ¿Qué signo tiene el coeficiente principal?a) b)

84. Dibuja la recta que pasa por los puntos A(–2,3) y B(6,–1),y halla su fórmula.

85. Representa la parábola f(x) = x2; a partir de ella, las si-guientes funciones:a) f(x – 2) + 1b) f(x + 1) – 2

86. Calcula la función cuadrática que pasa por los puntos si-guientes:

a) A(0, –1), B(2, –5) y C(5, 4)

b) A(3, 4), B(4, 2) y C(1, –4)

87. Calcula la función cuadrática que pasa por los puntos si-guientes:

a) A(2, 0), B(3, 1) y C(4, 4)

b) A(–1, 2), B(–3, –2) y C(–5, 2)

88. Escribe las fórmulas de las siguientes hipérbolas:a)

Solución:a) y = x2 – 4x + 4b) y = x2 + 6x + 7

Solución:a) y = x2 – 4x – 1b) y = – 2x2 + 12x – 14

Solución:a)

b)

Solución:

Solución:a) Es de grado cuatro.

El coeficiente principal es negativo.b) Es de grado dos.

El coeficiente principal es negativo.

Solución:a) y = x2 – 2 si x & 0b) y = "—x + 5

3xc) y = —x – 1x – 2d) y = —x – 1

x – 2x – 1

xx – 3

"x + 2

Y

X

Y

X

Y

Xy = –x/2 + 2

B(6, –1)

A(–2, 3)

Y

X

y = x2

y = (x – 2)2 + 1

Y

X

y = x2

y = (x + 1)2 – 2

Y

X

b)

c)

d)

89. Escribe las fórmulas de las siguientes gráficas:

a) b)

c) d)

90. Dibuja las siguientes funciones:a) y = 2 sen x b) y = sen 2x

c) y = sen x d) y = sen

Solución:

a)

b)

c)

d)

x2

12

Solución:a) y = 2x – 1

1b) y = (—)x + 2

2c) y = log2 (x + 3)d) y = log1/2 x

Solución:1a) y = —– 1

x + 14b) y = – — – 1x

3c) y = — + 1x

1d) y = –—+ 2x – 3

272 SOLUCIONARIO

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rupo

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toria

l Bru

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Y

X

Y

X

Y

X

–

Y

X

–

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


© G

rupo

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toria

l Bru

ño, S

.L.

91. Dibuja las siguientes funciones:a) y = 3 cos xb) y = cos 3x

c) y = cos x

d) y = cos

92. Dibuja las siguientes funciones a partir de y = sen x:a) y = –sen xb) y = 2 – sen x

93. Dibuja las siguientes funciones a partir de y = cos x:a) y = –cos xb) y = 1 – cos x

94. Dibuja las siguientes funciones:a) y = cos xb) y = sen (x + '/2)¿Qué observas?

Solución:

a)

b)

Solución:

a)

b)

Solución:

a)

b)

c)

d)

x3

13

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

Xy = –sen x y = sen x

Y

X

y = 2 – sen x

y = sen x

Y

Xy = – cos x y = cos x

Y

X

y = 1 – cos x

y = cos x

b)

Se observa que son la misma gráfica, luego:cos x = sen (x + '/2)

Solución:

a)

95. En la gráfica adjunta se representan los ingresos en fun-ción del precio de cada cuaderno que fabrica una em-presa y que se vende. Describe las características de lagráfica.

96. En un cartón rectangular de 8 cm de largo por 6 cm deancho, se cortan, en los vértices, cuatro cuadrados de x cm de lado para construir una caja. Escribe la fun-ción que da el volumen de dicha caja en función de la lon-gitud x y calcula su dominio de definición.

97. El perímetro de un rectángulo mide 10 m. Expresa elárea del rectángulo en función del lado x de la base.Cal-cula el dominio de definición de la función.

Solución:V(x) = (8 – 2x)(6 – 2x) xV(x) = 4x3 – 28x2 + 48xDom(V) = [0, 3]

xx x

x

xxx

x

Monotonía:– Creciente: (0, 3)– Decreciente: (3, 6)

9. Puntos de inflexión: no tiene.Curvatura:– Cóncava ($): (0, 6)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = [0, 9]

Solución:1. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = [0, 6]3. Continuidad: es continua en su dominio.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: Simétrica respecto a x = 36. Asíntotas:

– Verticales: no tiene.– Horizontales: no tiene.– Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:– Eje X: O(0, 0) y A(6 0)– Eje Y: O(0, 0)Signo:– Positiva (+):A(0, 6)

8. Máximos y mínimos relativos:a) Máximo relativo: B(3, 9)

Para 3 ! se alcanzan unos ingresos de 9 millones.b) Mínimo relativo: no tiene.

Y

XDin

ero

(ingr

esos

en m

illon

es !

)

Dinero (precio en !)

274 SOLUCIONARIO

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Y

X

Y

X

Problemas


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98. El precio de venta al público de una revista en función del número, en miles, de ejemplares editados, x, es

p(x) = 4 – x/2Escribe la función de los ingresos que se obtienen, de-pendiendo de los ejemplares editados, y calcula el domi-nio de definición.

99. Escribe una función que exprese el área de un rectángu-lo inscrito en una circunferencia de 1 m de radio en fun-ción del lado x de la base. ¿Cuál es su dominio de defini-ción?

100. Dado un triángulo equilátero de lado x, define las fun-ciones del perímetro y el área, en función del lado. Cal-cula sus dominios de definición.

101. Halla la función que da la longitud del lado de un cuadradoen función del área y calcula su dominio.

102. La dosis habitual recomendada de un determinado anti-biótico para niños es de 20 mg por kilogramo de peso aldía, sin sobrepasar los 1 000 mg al día. Escribe la funciónque da la cantidad de antibiótico que se debe suministraren función del peso. Representa la gráfica.

103. Un taxi cobra 2 " por bajada de bandera y 0,06 " porcada salto de contador. Escribe la fórmula de la funciónque da el precio de una carrera, en función de los saltosdel contador, y representa su gráfica.

104. Una empresa ha realizado un estudio para determinarlas funciones de oferta y de demanda de un producto enfunción del precio de venta, x. La función de oferta es y = x – 2, y la de demanda es y = –4x + 18. Representa di-chas funciones y halla el punto de equilibrio.

Solución:

Solución:D(x) = 2 + 0,06x

Solución:

D(x) =20 x si 0 Ì x Ì 50

1 000 si x > 50

Solución:L(x) = "—

xDom(L) = [0, + !)

Solución:P(x) = 3xDom(P) = [0, + !)

x"—3 "—

3A(x) = x — = — x22 2

Dom(A) = [0, + !)

Solución:

A(x) = x "—4 – x2

Dom(A) = [0, 2]

Solución:I(x) = x · p(x) = x (4 – x/2)I(x) = 4x – x2/2Dom(I) = [0, 8]

Solución:A(x) = x(5 – x)A(x) = 5x – x2

Dom(A) = [0, 5]

x

2 m

)*+

Y

X200

504030Peso (kg)

Dos

is (m

g/dí

a)

2010

400

600

800

1000

Y

X1

50 604030Nº de pasos

Prec

io (e

uros

)

2010

2

3

4

5

6

Y

X

Precio (euros)

Can

tidad

de

prod

ucto y = –4x + 18

y = x – 2Oferta

Demanda

P(4, 2)2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

0

105. Se depositan 1 000 " a un 3% de interés simple duranteun año.Escribe la fórmula que da los intereses en funcióndel tiempo.

106. Halla el área de un cuadrado en función del lado. Repre-séntala gráficamente.

107. Expresa la fórmula que da el producto de dos númerosque se diferencian en 4 unidades. Representa su gráfica.

108. Con 12 metros de moldura se desea decorar una puer-ta formando un rectángulo.a) Escribe la fórmula que expresa el área de dicho rec-

tángulo en función del lado xb) Representa la función.c) Determina las dimensiones del rectángulo que hacen

el área máxima.

109. El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vendera x " una unidad de un determinado producto viene da-do por la fórmula B(x) = –x2 + 8x – 12 a) Representa la función B(x)b) Determina el precio al que hay que vender el produc-

to para obtener el máximo beneficio.

110. Una máquina envasa un pedido de latas de tomate en8 horas. Se ponen varias máquinas idénticas a trabajar.a) Halla la función que expresa el tiempo de envasado en

función del número de máquinas.b) Identifica la función obtenida.c) Representa gráficamente dicha función.

Solución:8a) y = —x

b) Función de proporcionalidad inversac)

Solución:a)

b) A 4!

b)

c) Un cuadrado de 3 m de lado con un área de 9 m2

Solución:a) A(x) = x(6 – x) ò A(x) = 6x – x2

Solución:

Solución:

Solución:

276 SOLUCIONARIO

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Y

X

Tiempo (años)1

30

60

90

2 3 4 5 6 7 8 910

Inte

rese

s (e

uros

)

y = 30x

Y

X

Longitud del lado (m)

Áre

a de

l cua

drad

o (m

2 )

A(x) = x2

Y

X

y = x2 + 4x

Y

X

Longitud de la base (m)

Áre

a (m

2 )

y = –x2 + 6x

Y

XPrecio (")

Bene

ficio

(mile

s de

")

y = –x2 + 8x – 12

Y

X

Nº de máquinas

Tiem

po (h

oras

) y = 8x


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111. Para recoger los higos de una finca,una persona tarda 60horas.a) Halla la función que expresa el número de personas

en función del número de horas.b) Identifica la función obtenida.c) Representa gráficamente dicha función.

112. Un cultivo de bacterias se reproduce de forma que el nú-mero de bacterias se duplica cada minuto.Expresa la fun-ción que representa el número de bacterias en funcióndel tiempo.

113. Se deposita un capital de 6 000 " al 10% anual, de ma-nera que los intereses se acumulan al capital. Expresa la función que da el capital acumulado en función deltiempo.

Para profundizar

114. Dadas las funciones

f(x) = cos x y g(x) = x2

calcula f ° g ° f

115. Dada la gráfica de la función y = , dibuja la in-versa.

116. ¿Puede tener una función polinómica de cuarto grado so-lo un mínimo? Pon un ejemplo.

117. ¿Puede existir una función polinómica de tercer gradoque no tenga ni máximo ni mínimo? Pon un ejemplo.

118. Una pelota rueda desde una altura de 2 m y cae al sueloa 3 m de distancia. Calcula la fórmula de la curva que si-gue al caer.

Solución:y = ax2 + 2Pasa por el punto P(3, 0)

29a + 2 = 0 % a = – —9

2x2y = –— + 2

9

2 m

3 m

Solución:Sí, la función potencial: y = x3

Solución:Sí, la función potencial: y = x4

Solución:

No es función.

Y

X

y =x2+1

x

x2 + 1x

Solución:(f ° g ° f)(x) = (f ° g)(cos x) = f(cos2 x) = cos(cos2 x)

Solución:C = 6 000 · 1,1t

Solución:Suponiendo que inicialmente haya una bacteria y siendo xel tiempo en minutos: y = 2x

Solución:60a) y = —x

b) Función de proporcionalidad inversa.c) Y

X

Tiempo (horas)

20

2 4 1086

40

60

80

100

Nº

de p

erso

nas y = 60

x

Y

X

119. Un rectángulo tiene 6 m2 de área.a) Halla la función que expresa uno de los lados en fun-

ción del otro.b) Identifica la función obtenida.c) Representa gráficamente dicha función.

120. En un cuadrado de 1 m de lado se unen los puntos me-dios, formando otro cuadrado. En éste se vuelven a unirsus puntos medios para formar un tercer cuadrado, y asíse repite el proceso indefinidamente.a) Expresa la fórmula que da el perímetro de los sucesi-

vos cuadrados.b) Expresa la fórmula que da el área de los sucesivos cua-

drados.

Solución:a) Los lados de los cuadrados forman una progresión

"—2

geométrica de razón —. Luego los perímetros serán:2"—

2P(n) = 4 · (—)n – 1

21b) Las áreas serán: A(n) = (—)n – 1

2

Solución:6a) x · y = 6 % y = —x

b) Función de proporcionalidad inversa.c)

278 SOLUCIONARIO

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Y

X

Longitud de la base (m)Long

itud

de la

altu

ra (m

)

y = 6x

282 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula


Solución:

1. Representa las funciones:

a) y = Ent(2x) b) y = |x|

2. Representa las funciones:a) y = Signo(x2 – 4)b) y = |–x2 + 1|

b)

Solución:a)

" Aplica la teoría

1. Funciones especiales

9 Continuidad, límitesy asíntotas

Parte entera de x Ent (x)

x 0,3 – 0,3 1,8 – 1,8 2,4 – 2,4 3,9

Parte decimal de x Dec (x)Valor absoluto de x |x|

– 3,9

Parte entera de x Ent (x) 0

x 0,3

– 1

– 0,3

1

1,8

– 2

– 1,8

2

2,4

– 3

– 2,4

3

3,9

– 4

Parte decimal de x Dec (x) 0,3 0,7 0,8 0,2 0,4 0,6 0,9 0,1

Valor absoluto de x |x| 0,3 0,3 1,8 1,8 2,4 2,4 3,9 3,9

– 3,9

Y

X

y = Ent(2x)

Y

X

y = |x|

TEMA 9. CONTINUIDAD, LÍMITES Y ASÍNTOTAS 283

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a) y = |log2 x|

b) y = |sen x|


a) y =

b) y =

5. Representa la función:

y =

Solución:

2x si x ! 1–x + 3 si 1 < x ! 2log2 x si x > 2

"#$#%

Solución:a)

b)

1/x si x < 0&

—x si x ' 0

"$%

x si x ! –1x2 si x > –1

"$%

Solución:a)

b)

Solución:a)

b)

Y

X

y = Signo(x2 – 4)

Y

X

y = |– x2 +1|

Y

X

y = | log2 x|

x =

0

–

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

y = |sen x|

284 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Completa mentalmente las siguientes tablas:

Solución:

6. Representa las siguientes funciones y estudia la conti-nuidad analizando su gráfica:a) y = –x2 + 4x + 1 b) y = 2/x c) y =

7. Representa la función f(x) = y calcula los siguienteslímites:a) f(x) b) f(x)

8. Representa la función f(x) =

y calcula los límites laterales en x = 2

Solución:

límx(2+

f(x) = límx(2+

(– x) = – 2

límx(2–

f(x) = límx(2–

(– x2 + 5) = 1

–x2 + 5 si x ! 2–x si x > 2

"$%

Solución:

a) límx(1

&—x + 3 = 2 b) límx(– 2

&—x + 3 = 1

límx(–2

límx(1

&x + 3

Solución:a)

Es una parábola y es continua en todo !b)

Es una hipérbola y es discontinua en x = 0c)

Es una función irracional y es continua en todo sudominio, Dom(f) = [0, + ))

&x

" Aplica la teoría

2. Continuidad

x

y = Ent(x)

1,9 1,99 1,999 1,9999 x

y = Ent(x)

2,1 2,01 2,001 2,0001

1 1 1

x

y = Ent(x)

1,9 1,99 1,999

1

1,9999

2 2 2

x

y = Ent(x)

2,1 2,01 2,001

2

2,0001

Y

X

y = –x2 + 4x + 1

Y

X

y = —2x

Y

X

y = &*x

–

Y

X

y = &*x + 3 –

Y

X


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! Piensa y calcula

Completa la siguiente sucesión:

Solución:


y estudia la continuidad en x = 1

f(1) = 21 = 2

2límx(1+

f(x) = límx(1+

— = 2x

límx(1–

f(x) = límx(1–

2x = 2

La función es continua en x = 1

Solución:

2x si x ! 12/x si x > 1

"$%

3. Discontinuidades

2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 ( 3– 3 3+ + 3,00001 3,0001 3,001 3,01 3,1

2,9 2,99 ( 3– 3 3+ + 3,01 3,1

Y

X

10. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-nuidades:

f(x) =


y = Dec(x)

Se estudia el punto x = 3

f(3) = 2

límx(3+

f(x) = límx(3+

(– x + 1) = – 2

límx(3–

f(x) = límx(3–

(– x + 1) = – 2

La función es discontinua en x = 3, donde tiene una dis-continuidad evitable.Se evita definiendo f(3) = – 2

Solución:

–x + 1 si x , 32 si x = 3

"$%

" Aplica la teoría

Y

X

286 SOLUCIONARIO

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12. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-nuidades: y =

13. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-

nuidades: y =


y = tg x


f(x) =

Solución:

Es discontinua en x = –2, donde tiene una discontinuidadevitable. Se evita definiendo f(–2) = –1

3 – x2 si x , –25 si x = –2

"$%

Solución:

(2k + 1)-Es discontinua en x =—, k . ", donde tiene una

2discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.

Solución:2y = 3 + —

x – 1

Es discontinua en x = 1, donde tiene una discontinuidadde 1ª especie de salto infinito.

3x – 1x – 1

Solución:

Es discontinua en x = – 1, donde tiene una discontinui-dad de 2ª especie, ya que no existe el límite lateral por laizquierda.

&x + 1

Solución:

Es discontinua en los números enteros, donde tiene unadiscontinuidad de 1ª especie de salto uno.

Y

X

Y

X

–

Y

X

2

Y

X

Y

X


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! Piensa y calcula

Calcula mentalmente los siguientes cocientes y di cuál o cuáles no tienen solución, tienen una solucióno tienen muchas soluciones.

a) b) c) d)

Solución:a) 3 b) Muchas soluciones. c) 0 d) No tiene solución.

50

05

00

62

16. Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) (–5x3 + 3x – 7)

b) (x4 – 5x3 + 3)

17. Calcula los siguientes límites y representa la funcióncorrespondiente:

a)

b)


a) b)

c) d)

e) f)

Solución:3 3a) – — b) – — c) –@2 2

d) –@ e) 0 f) 0

x2 + 34x3 – 5

límx(–@

x2 + 34x3 – 5

límx(+@

–x5 + 3x2

7x3 – 1lím

x(–@

–x5 + 3x2

7x3 – 1lím

x(+@

3x2 + 5x–2x2 + 7

límx(–@

3x2 + 5x–2x2 + 7

límx(+@

– 3x + 5 –3 · 1+ + 5 – 3 + 5 2b) límx(1+

—= —— =—= — = +@x – 1 1+ – 1 0+ 0+

– 3x + 5 –3 · 1– + 5 – 3 + 5 2límx(1–

—= —— =—= — = –@x – 1 1– – 1 0– 0–

No existe límx(1

f(x)

Solución:x2 – 4 0 (x + 2)(x – 2)

a) límx(– 2

— = [—] = límx(– 2

—— =x + 2 0 x + 2

= límx(– 2

(x – 2) = – 2 – 2 = – 4

–3x + 5x – 1lím

x(1

x2 – 4x + 2lím

x(–2

Solución:a) –@ b) +@

límx(–@

límx(+@

" Aplica la teoría

4. Límites de funciones polinómicas y racionales

Y

X

Y

X

288 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Halla el resultado de operar los siguientes símbolos; puede dar + ), – ) o indeterminado.a) + @ + @ b) + @ – @ c) – @ + @ d) – @ – @

Solución:a) +@ b) Indeterminado. c) Indeterminado. d) –@

19. Representa la función f(x) = 3 + Halla el límite de f(x) cuando x ( 2–


Halla el límite de f(x) cuando x ( + @

21. Halla el siguiente límite:

( – 5x)


(7x2 – )Solución:

7x3 + 14x2 – 5xlímx(–@ (7x2 – ——) = [@ – @] =

x + 2

7x2(x + 2) – (7x3 + 14x2 – 5x)= lím

x(–@————=

x + 2

7x3 + 14x2 – 7x3 – 14x2 + 5x= límx(–@

————=x + 2

5x @= límx(–@

— = [—] = 5x + 2 @

7x3 + 14x2 – 5xx + 2lím

x(–@

Solución:5x2 + x – 1lím

x(+@ (—— – 5x) = [@ – @] =x + 3

5x2 + x – 1 – 5x(x + 3)= lím

x(+@———=

x + 3

5x2 + x – 1 – 5x2 – 15x= límx(+@

———=x + 3

– 14x – 1 @= límx(+@

—= [—] = – 14x + 3 @

5x2 + x – 1x + 3lím

x(+@

Solución:

límx(+@

&—x + 2 = +@

&x + 2

Solución:

límx(2–

(3 + &—2 – x ) = 3

&2 – x

" Aplica la teoría

5. Límites de funciones irracionales y límites de operaciones

Y

X

–

Y

X

–


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23. Halla el siguiente límite: (x – )

24. Halla el siguiente límite: ( – )

25. Halla el límite de la siguiente sucesión: ( – )

26. Halla el límite de la siguiente sucesión: (3n – )

Solución:

(3n – &—9n2 + 5n )(3n + &—9n2 + 5n ) 9n2 – (9n2 + 5n)lím

n(+@(3n – &—9n2 + 5n ) = [@ – @] = lím

n(+@————= lím

n(+@——=

3n + &—9n2 + 5n 3n + &—9n2 + 5n

9n2 – 9n2 – 5n – 5n –@ – 5n – 5 5= límn(+@

——= límn(+@

——= [—] = límn(+@

—— = — = – —3n + &—9n2 + 5n 3n + &—9n2 + 5n @ 3n + &—9n2 3 + 3 6

&9n2 + 5nlímn(+@

Solución:

(&——n2 + 3n – 5 – &—n2 + 1 )(&——

n2 + 3n – 5 + &—n2 + 1 )lím

n(+@(&——

n2 + 3n – 5 – &—n2 + 1 ) = [@ – @] = límn(+@

——————=&——

n2 + 3n – 5 + &—n2 + 1

n2 + 3n – 5 – (n2 + 1) n2 + 3n – 5 – n2 – 1 3n – 6 @= lím

n(+@———= lím

n(+@———= lím

n(+@———= [—] =

&——n2 + 3n – 5 + &—n2 + 1 &——

n2 + 3n – 5 + &—n2 + 1 &——n2 + 3n – 5 + &—n2 + 1 @

3n 3= límn(+@

—— = —&—

n2 + &—n2 2

&n2 + 1&n2 + 3n – 5límn(+@

Solución:

(&——x2 + 5x + 1 – &—x2 – 4x )(&——

x2 + 5x + 1 + &—x2 – 4x )lím

x(–@(&——

x2 + 5x + 1 – &—x2 – 4x ) = [@ – @] = límx(–@

——————=&——

x2 + 5x + 1 + &—x2 – 4x

x2 + 5x + 1 – (x2 – 4x) x2 + 5x + 1 – x2 + 4x 9x + 1 –@= lím

x(–@———= lím

x(–@———= lím

x(–@———= [—] =

&——x2 + 5x + 1 + &—x2 – 4x &——

x2 + 5x + 1 + &—x2 – 4x &——x2 + 5x + 1 + &—x2 – 4x @

9x 9= límx(–@

—— = – —&—

x2 + &—x2 2

&x2 – 4x&x2 + 5x + 1límx(–@

Solución:

(x – &—x2 + 6x )(x + &—x2 + 6x ) x2 – (x2 + 6x)lím

x(+@(x – &—x2 + 6x ) = [@ – @] = lím

x(+@———= lím

x(+@——=

x + &—x2 + 6x x + &—x2 + 6x

x2 – x2 – 6x – 6x –@ – 6x – 6= límx(+@

—— = límx(+@

—— = [—] = límx(+@

—— = — = – 3x + &—x2 + 6x x + &—x2 + 6x @ x + &—

x2 1 + 1

&x2 + 6xlímx(+@

290 SOLUCIONARIO

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! Piensa y calcula

Dibuja la siguiente hipérbola, halla sus asíntotas y represéntalas.

y = + 1

Solución:

Asíntotas:Vertical: x = 3Horizontal: y =1

2x – 3

Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionales y laposición de la curva respecto de cada una de ellas:

27. y =

28. y =

Solución:Verticales: 1 – x = 0 / x = 1

x2 – x – 2 1+ – 1+ – 2 – 2límx(1+

—— = —— = — = +@1 – x 1 – 1+ 0–

x2 – x – 2 1– – 1– – 2 – 2límx(1–

—— = —— = — = –@1 – x 1 – 1– 0+

Horizontal: no tiene.Oblicua:

x2 – x – 2 – x + 1– x2 + x – x

– 2

x2 – x – 2 2 2—— = – x – — = – x +—1 – x – x + 1 x – 1

y = – x2lím

x(+@— = 0+ / La curva está encima de lax – 1 asíntota.

2límx(–@

— = 0– / La curva está debajo de lax – 1 asíntota.

x2 – x – 21 – x

Solución:

Verticales: x = 0

x2 + 4 4límx(0+

— = — = +@2x 0+

x2 + 4 4límx(0–

— = — = –@2x 0–

Horizontal: no tiene.Oblicua:

xy = —2

x2 + 4 x 4 x 2— = — + — = — + —2x 2 2x 2 x

2límx(+@

— = 0+ / La curva está encima de la asíntota.x

2límx(–@

— = 0– / La curva está debajo de la asíntota.x

x2 + 42x

" Aplica la teoría

6. Asíntotas de funciones racionales

Y

X2y = 1

x = 3


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29. y =

30. y =

x2 1+ 1límx(1+

— = — = — = +@x2 – 1 1+ – 1 0+

x2 1– 1límx(1–

— = — = — = –@x2 – 1 1– – 1 0–

x2 1– 1límx(–1+

— = — = — = –@x2 – 1 1– – 1 0–

x2 1+ 1límx(–1–

— = — = — = +@x2 – 1 1+ – 1 0+

Horizontal:x2

límx(Ï@

— = 1 / y = 1x2 – 1

1límx(+@

— = 0+ / La curva está encima de lax2 – 1 asíntota.

1límx(–@

— = 0+ / La curva está encima de lax2 – 1 asíntota.

Oblicua: no tiene.

Solución:Verticales: x2 – 1 = 0 / x = 1, x = – 1

x2

x2 – 1

Solución:

Verticales: no tiene.

Horizontal: y = 0

6xlímx(+@

— = 0+ / La curva está encima de lax2 + 3 asíntota.

6xlímx(–@

— = 0– / La curva está debajo de lax2 + 3 asíntota.

Oblicua: no tiene.

6xx2 + 3

292 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas1. Funciones especiales

31. Representa las funciones:a) y = Dec(2x)b) y = Signo(sen x)

32. Representa las funciones:a) y = |2x – 4|b) y = |x2 – 2x – 3|


a) y = | | b) y = |cos x|

34. Representa la función: y =


Solución:

3x si x ! 13/x si x > 1

"$%

Solución:

x2 – 1 si x ! 23 si x > 2

"$%

Solución:a)

b)

4x

Solución:a)

b)

Solución:a)

b)

Y

X

y = Dec(2x)

Y

X

y = Signo(sen x)

Y

X

y = |2x – 4|

Y

X

y = |—|4x

Y

X

y = |cos x|

Y

X

Y

X

Y

X

y = |x2 – 2x – 3|


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y =

2. Continuidad

37. Representa las siguientes funciones y estudia la continui-dad de forma gráfica:

a) y = – 1

b) y = | |

38. Representa las siguientes funciones y estudia la continui-dad de forma gráfica:a) y = |x| b) y = Dec(x)

39. Representa la función:f(x) = sen x

y calcula los siguientes límites:

a) f(x) b) f(x)


f(x) =

y calcula los límites laterales en x = 0

&—x + 4 si x 0 0

2x si x > 0

"$%

Solución:

a) límx(!/2

sen x = 1 b) límx(!

sen x = 0

límx(!

límx(!/2

Solución:a)

Es el valor absoluto de una función polinómica y es conti-nua en todo !b)

Es la función parte decimal y es discontinua en todos lospuntos de abscisa entera.

Solución:a)

Es una recta y es continua en todo !

b)

Es el valor absoluto de una función racional, de una hipér-bola y es discontinua en x = 0

3x

2x3

Solución:

–3 si x < –2–x si –2 0 x 0 1&—x – 1 si x > 1

"#$#%

Y

X

Y

X

y = — – 12x3

Y

X

y = |—|3x

Y

X

y = |x|

Y

X

y = Dec(x)

Y

X

y = sen x

294 SOLUCIONARIO

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f(x) =

y estudia la continuidad en x = –1

3. Discontinuidades


f(x) =

43. Representa la siguiente función y estudia sus disconti-nuidades: y = Signo(x)


y =


y = 2x + 6x + 1

Solución:

Es discontinua en x = 2, donde tiene una discontinui-dad de 2ª especie, ya que no existe el límite lateral por laderecha.

&2 – x

Solución:

Se estudia el punto x = 0f(0) = no existe.límx(0+

f(x) = límx(0+

Signo(x) = 1

límx(0–

f(x) = límx(0–

Signo(x) = – 1

La función es discontinua en x = 0, donde tiene una dis-continuidad de 1ª especie de salto finito de 2 unidades.

Se estudia el punto x = 1f(1) = 3límx(1+

f(x) = límx(1+

3 = 3

límx(1–

f(x) = límx(1–

(x + 2) = 3

La función es continua en x = 1; por lo tanto, es continuaen todo !

Solución:

x + 2 si x < 13 si x ' 1

"$%

Solución:

f(– 1) = 3lím

x(– 1+f(x) = 3

límx(– 1–

f(x) = 4

La función es discontinua en x = – 1, donde tiene una dis-continuidad de salto finito de 1

4 si x < –13/(x + 2) si x ' –1

"$%

Solución:

a) límx(0+

f(x) = 1 b) límx(0–

f(x) = 2

Y

X

–

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

–y = &*2 – x


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y = – log2 x


f(x) =

4. Límites de funciones polinómicasy racionales

48. Calcula mentalmente los siguientes límites:a) (–x5 + 7x2 – 3x + 1)

b) (–x5 + 7x2 – 3x + 1)

49. Calcula el siguiente límite:

Representa la función correspondiente.


Representa la función correspondiente.

Solución:x2 + 2x – 3 0 (x – 1)(x + 3)

límx(1

—— = [—] = límx(1

—— =x – 1 0 x – 1

= límx(1

(x + 3) = 1 + 3 = 4

x2 + 2x – 3x – 1lím

x(1

Solución:2x – 2 2 · (– 1+) – 2 – 2 – 2 – 4

límx(–1+

— = —— = —= — = –@x + 1 (– 1+) + 1 0+ 0+

2x – 2 2 · (– 1–) – 2 –2 – 2 – 4lím

x(–1–— = —— = —= — = +@x + 1 (– 1–) + 1 0– 0–

2x – 2x + 1lím

x(–1

Solución:a) lím

x(+@(– x5 + 7x2 – 3x + 1) = lím

x(+@(– x5) = –@

b) límx(–@

(– x5 + 7x2 – 3x + 1) = límx(–@

(– x5) = +@

límx(–@

límx(+@

límx(1+

f(x) = límx(1+

(– x + 3) = 2

límx(1–

f(x) = límx(1–

2x = 2

La función es continua en x = 1

Solución:

Se estudia el punto x = 1f(1) = – 1 + 3 = 2

2x si x < 1–x + 3 si x ' 1

"$%

Solución:

Es continua en todo su dominio, es discontinua en x = 0, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie, ya queno existe el límite lateral por la izquierda.

Solución:

Es discontinua en x = – 1, donde tiene una discontinuidadde 1ª especie de salto infinito.

Y

X

4

y = —

y = 2

x = –1

2x + 6x + 1

Y

X

y = – log2 x –

Y

X

Y

X4

y = 2

x = –1

296 SOLUCIONARIO

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a)

b)


a)

b)


a)

b)

5. Límites de funciones irracionales y límites de operaciones

54. Representa la función:f(x) = 2 +

Halla el límite de f(x) cuando x ( –5+


f(x) =

Halla el límite de f(x) cuando x ( – )

56. Halla el siguiente límite: (3x – )Solución:

6x2 + 5x – 4límx(+@ (3x – ——) = [@ – @] =

2x + 1

3x(2x + 1) – (6x2 + 5x – 4)= límx(+@

———=2x + 1

6x2 + 3x – 6x2 – 5x + 4= límx(+@

———=2x + 1

6x2 + 3x – 6x2 – 5x + 4 – 2x + 4= límx(+@

———= límx(+@

—=2x + 1 2x + 1

–@ – 2= [—] = — = – 1@ 2

6x2 + 5x – 42x + 1lím

x(+@

Solución:

límx(–@

&—3 – x = +@

&3 – x

Solución:

límx(– 5+

(2 + &—x + 5) = 2

&x + 5

Solución:– x5 + 7x3 @a) lím

x(+@—— = [—] = –@4x2 – 3x @

– x5 + 7x3 @b) límx(–@

—— = [—] = +@4x2 – 3x @

–x5 + 7x3

4x2 – 3xlím

x(–@

–x5 + 7x3

4x2 – 3xlím

x(+@

Solución:3x4 – 5 @a) lím

x(+@—= [—] = – 3– x4 + 2x3 @

3x4 – 5 @b) límx(–@

—= [—] = – 3– x4 + 2x3 @

3x4 – 5–x4 + 2x3lím

x(–@

3x4 – 5–x4 + 2x3lím

x(+@

Solución:– 4x + 1 @a) lím

x(+@—= [—] = 09x2 + 5 @

– 4x + 1 @b) límx(–@

—= [—] = 09x2 + 5 @

–4x + 19x2 + 5

límx(–@

–4x + 19x2 + 5

límx(+@

Y

X

Y

X

–

Y

X

–


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( – 5x)58. Halla el siguiente límite:

(2x – )

Solución:

límx(+@

(2x – &—4x2 – 3x) = [@ – @] =

(2x – &—4x2 – 3x)(2x + &—4x2 – 3x)= límx(+@

————=2x + &—4x2 – 3x

4x2 – 4x2 + 3x 3x @= límx(+@

——= límx(+@

——= [—]2x + &—4x2 – 3x 2x + &—4x2 – 3x @

3x 3x 3= límx(+@

—= límx(+@

— = —2x + 2x 4x 4

&4x2 – 3xlímx(+@

Solución:10x3 + x2 – 7lím

x(–@ (—— – 5x) = [–@ + @] =2x2 + 3

10x3 + x2 – 7 – 5x(2x2 + 3)= límx(–@

———=2x2 + 3

10x3 + x2 – 7 – 10x3 – 15x= límx(–@

———=2x2 + 3

x2 – 15x – 7 @ 1= límx(–@

—— = [—] = —2x2 + 3 @ 2

10x3 + x2 – 72x2 + 3

límx(–@

59. Halla el siguiente límite: ( – )

60. Halla el límite de la siguiente sucesión: ( – )

61. Halla el límite de la siguiente sucesión: (2n – 5 – )

Solución:

(2n – 5 – &—4n2 – 7n )(2n – 5 + &—4n2 – 7n )lím

n(+@(2n – 5 – &—4n2 – 7n ) = [@ – @] = lím

n(+@—————=

2n – 5 + &—4n2 – 7n

4n2 – 20n + 25 – 4n2 + 7n – 13n + 25 @ – 13n – 13n 13= límn(+@

———= límn(+@

——— = [—] = límn(+@

—= límn(+@

— = –—2n – 5 + &—4n2 – 7n 2n – 5 + &—4n2 – 7n @ 2n + 2n 4n 4

&4n2 – 7nlímn(+@

Solución:

(&—3n – 5 – &—n + 2)(&—3n – 5 + &—n + 2) 3n – 5 – n – 2límn(+@

(&—3n – 5 – &—n + 2) = [@ – @] = límn(+@

————= límn(+@

——=&—3n – 5 + &—n + 2 &—3n – 5 + &—n + 2

2n – 7 @ 2n= límn(+@

——= [—] = límn(+@

—— = +@&—3n – 5 + &—n + 2 @ &—

3n + &—n

&n + 2&3n – 5límn(+@

Solución:

(&——x3 + 2x – 1 – &—x3 – 5x )(&——

x3 + 2x – 1 + &—x3 – 5x )lím

x(+@(&——

x3 + 2x – 1 – &—x3 – 5x ) = [@ – @] = límx(+@

——————=&——

x3 + 2x – 1 + &—x3 – 5x

x3 + 2x – 1 – x3 + 5x 7x – 1 @ 7x= límx(+@

———= límx(+@

———= [—] = límx(+@

— = 0&——

x3 + 2x – 1 + &—x3 – 5x &——x3 + 2x – 1 + &—x3 – 5x @ 2&—

x3

&x3 – 5x&x3 + 2x – 1límx(+@

298 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas6. Asíntotas de funciones racionales

62. Halla las asíntotas de las siguientes funciones racionalesy la posición de la curva respecto de cada una de ellas:

a) y =

b) y =


a) y =

b) y =

Solución:

a) Verticales: 4 – x2 = 0 / x = 2, x = – 2

x 2+ 2límx(2+

—= —= — = –@4 – x2 4 – 4+ 0–

x 2– 2límx(2–

—= —= — = +@4 – x2 4 – 4– 0+

x – 2+ – 2límx(– 2+

—= —= — = –@4 – x2 4 – 4– 0+

x – 2– – 2límx(– 2–

—= —= — = +@4 – x2 4 – 4+ 0–

Horizontal:

xlímx(Ï@

— = 0 / La asíntota es: y = 04 – x2

xlímx(+@

— = 0– / La curva está debajo de la4 – x2

asíntota.

xlímx(–@

— = 0+ / La curva está encima de la4 – x2

asíntota.

Oblicua: no tiene.

b) Verticales: x = 0

2x – 1 2 · 0+ – 1 – 1límx(0+

—= —— = — = –@x2 0+ 0+

2x – 1 2 · 0– – 1 – 1límx(0–

—= —— = — = –@x2 0+ 0+

Horizontal:

2x – 1límx(Ï@

— = 0 / La asíntota es: y = 0x2

2x – 1límx(+@

— = 0+ / La curva está encima de lax2

asíntota.

2x – 1límx(–@

— = 0– / La curva está debajo de lax2

asíntota.

Oblicua: no tiene.

2x – 1x2

x4 – x2

Solución:

a) Verticales: x – 1 = 0 / x = 1

x2 – 3x + 3 1+ – 3 · 1+ + 3 1límx(1+

—— = —— = — = +@x – 1 1+ – 1 0+

x2 – 3x + 3 1– – 3 · 1– + 3 1límx(1–

—— = —— = — = –@x – 1 1– – 1 0–

Horizontal: no tiene.

Oblicua:

x2 – 3x + 3 x – 1– x2 + x x – 2

– 2x + 32x – 2

1

x2 – 3x + 3 1—— = x – 2 + —x – 1 x – 1

La asíntota es: y = x – 2

1límx(+@

— = 0+ / La curva está encima de lax – 1 asíntota.

1límx(–@

— = 0– / La curva está debajo de lax – 1 asíntota.

b) Verticales: no tiene.

Horizontal:

x2lím

x(Ï@— = 1 / La asíntota es: y = 1x2 + 3

x2 x2 – x2 – 3 – 3— – 1= —— = —x2 + 3 x2 + 3 x2 + 3

3límx(+@ (–—) = 0– / La curva está debajo de la

x2 + 3 asíntota.

3límx(–@ (–—) = 0– / La curva está debajo de la

x2 + 3 asíntota.

Oblicua: no tiene.

x2

x2 + 3

x2 – 3x + 3x – 1


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a) y = b) y =

b) Verticales: x = 0

x2 + 2x – 1 0+ + 2 · 0+ – 1 – 1límx(0+

—— = ——= — = –@x 0+ 0+

x2 + 2x – 1 0+ + 2 · 0– – 1 – 1límx(0–

—— = ——= — = +@x 0– 0–

Horizontal: no tiene.

Oblicua:

x2 + 2x – 1 – 1—— = x + 2 + —x x

La asíntota es: y = x + 2

1límx(+@ (– —) = 0– / La curva está debajo de la

x asíntota.

1límx(–@ (– —) = 0+ / La curva está encima de la

x asíntota.

Solución:

a) Verticales: no tiene.

Horizontal: y = 0

5límx(Ï@

— = 0 / La asíntota es: y = 0x2 + 1

5límx(+@


5límx(–@


Oblicua: no tiene.

x2 + 2x – 1x

5x2 + 1


a) f(x) = | | b) f(x) = |2x|

66. Representa la función: f(x) = | |


Solución:

–x si x < –2x2 si –2 0 x < 1log2 x si x ' 1

"#$#%

Solución:

2x – 1

Solución:a)

b)

1x

Para ampliar

Y

X

y = |—|1x

Y

X

y = |2x|

Y

X

x = 1

Y

X

300 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas68. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada una

de las siguientes funciones,es decir,el conjunto donde escontinua, y razona por qué son iguales o distintos.

a) f(x) = 5x3 – 3x2 + x – 4

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) =

69. Halla el dominio y el campo de continuidad de cada unade las siguientes funciones y razona por qué son igualeso distintos.a) f(x) = 2x b) f(x) = log2 xc) f(x) = sen x d) f(x) = tg xe) f(x) = Ent(x) f ) f(x) = Signo(x)

70. Halla y clasifica las discontinuidades de la siguiente fun-ción a partir de su gráfica:


Solución:Es discontinua en x = 3, donde tiene una discontinuidad de 2ª especie porque no existe el límite lateral por laderecha.

Y

X

f(x) = 1 + &*3 – x–

Solución:Es discontinua en x = – 2 y en x = 2, donde tiene una dis-continuidad de 1ª especie de salto infinito.

Y

X

y = xx – 42

c) Dom(f) = ! = (–@, +@)C(f) = ! = (–@, +@)El dominio y el campo de continuidad son iguales porestar definida la función por una sola fórmula.

(2k + 1)!d) Dom(f) = ! – {—, k . "}2

(2k + 1)!C(f) = ! – {—, k . "}2El dominio y el campo de continuidad son iguales porestar definida la función por una sola fórmula.

e) Dom(f) = !C(f) = ! – "El dominio y el campo de continuidad no son iguales.Se observa que la función no está definida por una fór-mula analítica.

f) Dom(f) = !C(f) = ! – {0}El dominio y el campo de continuidad no son iguales.Se observa que la función no está definida por una fór-mula analítica.

Solución:a) Dom(f) = ! = (–@, +@)

C(f) = ! = (–@, +@)El dominio y el campo de continuidad son iguales porestar definida la función por una sola fórmula.

b) Dom(f) = (0, +@)C(f) = (0, +@)El dominio y el campo de continuidad son iguales porestar definida la función por una sola fórmula.

Solución:a) Dom(f) = ! = (–@, +@)

C(f) = ! = (–@, +@)Las funciones polinómicas son continuas en todo !El dominio y el campo de continuidad son iguales porestar definida la función por una sola fórmula.

b) Dom(f) = ! – {1} = (–@, 1) U (1, +@)C(f) = ! – {1} = (–@, 1) U (1, +@)El punto x = 1 de discontinuidad no está en el dominio.El dominio y el campo de continuidad son iguales porestar definida la función por una sola fórmula.

c) Dom(f) = ! = (–@, +@)C(f) = ! = (–@, +@)No hay ningún punto de discontinuidad.El dominio y el campo de continuidad son iguales porestar definida la función por una sola fórmula.

d) Dom(f) = [3, +@)C(f) = [3, +@)El dominio y el campo de continuidad son iguales porestar definida la función por una sola fórmula.

&x – 3

x – 3x2 + 4

x + 2x – 1


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f(x) =


a) (x5 – 7x2 – 4x + 23)

b) (–x6 + 7x5 – 2x + 1)


a)

b)


a) (x3 + 5x2 – 2x + 7)

b) (–x4 + 2x2 – 4x + 5)

76. Calcula los siguientes límites:

a)

b)


a) b)



a)

b)

80. Calcula los siguientes límites:

a)

b)

Solución:x2 – 2x 0 x(x – 2)

a) límx(2

—= [—] = límx(2

—— =x2 – 4 0 (x + 2)(x – 2)

x 2 2 1= límx(2

— = — = — = —x + 2 2 + 2 4 2

1b) límx(0

— = +@x2

1x2lím

x(0

x2 – 2xx2 – 4

límx(2

Solución:a) 0 b) 0

5x – 1–2x3 + 5

límx(–@

5x – 1–2x3 + 5

límx(+@

Solución:x + 1 5+ + 1 6a) lím

x(5+— = —= — = +@x – 5 5+ – 5 0+

x + 1 5– + 1 6b) límx(5–

— = —= — = –@x – 5 5– – 5 0–

Como los límites laterales son distintos, el límite cuandox tiende a 5 no existe.

x + 1x – 5lím

x(5

Solución:1 1a) – — b) – —2 2

–x3 + 72x3 + 5

límx(–@

–x3 + 72x3 + 5

límx(+@

Solución:3x – 1 3 · 5 – 1 14a) lím

x(5— = —= — = 2x + 2 5 + 2 7

x – 3 0 x – 3b) límx(3

—— = [—] = límx(3

—— =x2 – 4x + 3 0 (x – 1)(x – 3)

1 1= — = —3 – 1 2

x – 3x2 – 4x + 3

límx(3

3x – 1x + 2lím

x(5

Solución:a) +@ b) –@

límx(–@

límx(+@

Solución:a) –@ b) + @

–5x3 + x2x2 – 1

límx(–@

–5x3 + x2x2 – 1

límx(+@

Solución:a) 23 b) 5

límx(1

límx(0

Solución:Es discontinua en x = – 1, donde tiene una discontinuidadevitable. Se evita definiendo f(– 1) = – 2

x2 + 4x + 1 si x ? –14 si x = –1

"$%

Y

X

302 SOLUCIONARIO

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83. Halla una función racional que tenga como asíntota ver-tical la recta x = 2

84. Halla una función racional que tenga como asíntota ho-rizontal la recta y = 3

85. Halla una función racional que tenga como asíntota obli-cua la recta y = 2x – 1

86. Representa y halla mentalmente las asíntotas de las si-guientes funciones exponenciales:a) y = 2x b) y = –5 + 2x – 1

c) y = –3 + 2x d) y = 1 + 2x – 1

Solución:

a)

Horizontal: y = 0

b)

Horizontal: y = – 5

Solución:1 2x2 – x + 1f(x) = 2x – 1 + — = ——x x

Solución:3xf(x) = —

x + 5

Solución:1f(x) = —

x – 2


82. Halla los siguientes límites:

a) b)

Solución:

&—x + 8 – 3 0 (&—x + 8 – 3)(&—x + 8 + 3) x + 8 – 9 x – 1a) lím

x(1—— = [—] = lím

x(1 ———= lím

x(1 ——= lím

x(1 ——=

x – 1 0 (x – 1)(&—x + 8 + 3) (x – 1)(&—x + 8 + 3) (x – 1)(&—x + 8 + 3)

1 1 1 1= límx(1

—— = límx(1

—— = — = —&—x + 8 + 3 &—1 + 8 + 3 3 + 3 6

x – 2 0 (x – 2)(1 + &—3x – 5) (x – 2)(1 + &—3x – 5)b) lím

x(2—— = [—] = lím

x(2 ———= lím

x(2 ——=

1 – &—3x – 5 0 (1 – &—3x – 5)(1 + &—3x – 5) 1 – 3x + 5

(x – 2)(1 + &—3x – 5) (x – 2)(1 + &—3x – 5) 1 + &—3x – 5 1 + &—6 – 5 2= límx(2 ——= lím

x(2 ——= lím

x(2 —— = —— = – —

– 3x + 6 – 3(x – 2) – 3 – 3 3

x – 21 – &3x – 5

límx(2

&x + 8 – 3x – 1

límx(1

Solución:

x – &—3 0 (x – &—

3 )(x + &—3 ) x2 – 3 1 1 1 &

—3lím

x(&—3—= [—] = lím

x(&—3——= lím

x(&—3——= lím

x(&—3—= —= — = —

x2 – 3 0 (x2 – 3)(x + &—3 ) (x2 – 3)(x + &—

3 ) x + &—3 &—

3 + &—3 2&—

3 6

x – &3x2 – 3

límx(&

–3

Y

Xy = 0

Y

X

y = –5


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87. Representa y halla mentalmente las asíntotas de las si-guientes funciones logarítmicas:a) y = log2 xb) y = 3 + log2 xc) y = log2 (x + 3)d) y = 1 + log2 (x – 3)

88. Dada la función f(x) =

a) completa mentalmente las siguientes tablas:

b) Observando las tablas, induce los siguientes límites:

c) Calcula f(0), razona si la función f(x) es continua enx = 0 y, en caso negativo, clasifica la discontinuidad.

Solución:a)

1 1b) límx(0+

— = +@ límx(0–

— = –@x x

c) f(0) no existe y viendo los límites laterales obtenidosen el apartado b), la función es discontinua en x = 0,donde tiene una discontinuidad de 1ª especie de saltoinfinito.

1xlím

x(0–

1xlím

x(0+

1x

c)

Vertical: x = – 3

d)

Vertical: x = 3

Solución:a)

Vertical: x = 0b)

Vertical: x = 0

c)

Horizontal: y = – 3

d)

Horizontal: y = 1

Y

X

y = –3

Y

Xy = 1

Y

X

x = 0 –

Y

X

–

x = 0

Y

X

– x =

–3

Y

X

–

x = 3

x

f(x)0,1 0,01 0,001 0,0001

x

f(x)– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001

x

f(x) 10 100 1 000 10 0000,1 0,01 0,001 0,0001

x

f(x) – 10 – 100 – 1 000 – 10 000– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001

304 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemasCon calculadora

89. Dada la función f(x) = 2x

a) completa las siguientes tablas:

b) Observando las tablas, induce los siguientes límites:2x 2x

c) Calcula f(0) y razona si la función f(x) es continua enx = 0

90. Dada la función f(x) = a) completa las siguientes tablas:


c) Calcula f(0), razona si la función f(x) es continua enx = 0 y clasifica la discontinuidad.

91. Dada la función:f(x) = x2 + x + 9

a) completa las siguientes tablas:


(x2 + x + 9)

(x2 + x + 9)

92. Dada la función:

f(x) =

a) completa la siguiente tabla. En la cuarta fila está el valorde la función menos el valor de la asíntota horizontal.

b) Observando la tabla, razona si la curva está encima odebajo de la asíntota.

Solución:a)

b) La curva está encima de la asíntota.

3x2 + 2x2 – 1

Solución:a)

b) límx(–@

(x2 + x + 9) = +@

límx(+@

(x2 + x + 9) = +@

límx(+@

límx(–@

Solución:a)

b) límx(0+

&—x = 0 lím

x(0–&—

x no existe.

c) f(0) = 0 y, viendo los límites obtenidos en el apartado b),la función es discontinua en x = 0, donde tiene una dis-continuidad de 2ª especie.

&xlímx(0–

&xlímx(0+

&x

Solución:a)

b) límx(0+

2x = 1 límx(0–

2x = 1

c) f(0) = 1 y, viendo los límites laterales obtenidos en elapartado b), la función es continua en x = 0

límx(0–

límx(0+

x

f(x)0,1 0,01 0,001 0,0001

x

f(x)– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001

x

f(x)– 10 – 100 – 1 000 – 10 000

x

f(x)10 100 1 000 10 000

x

f(x) 99 9 909 999 009 99 990 009

– 10 – 100 – 1 000 – 10 000

x

f(x)

y = 3

f(x) – 3

10 100 1 000 10 000

x

f(x) 3,05 3,0005 3,000005 3,00000005y = 3 3 3 3 3

f(x) – 3 0,05 0,0005 0,000005 0,00000005

10 100 1 000 10 000

x

f(x) 119 10 109 1 001 009 100 010 009

10 100 1 000 10 000

x

f(x) 1,07 1,007 1,0007 1,000070,1 0,01 0,001 0,0001

x

f(x) 0,9 0,99 0,999 0,9999– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001

x

f(x)0,1 0,01 0,001 0,0001

x

f(x)– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001

x

f(x) 0,3 0,1 0,03 0,010,1 0,01 0,001 0,0001

x

f(x) No existen– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001


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93. Dada la función:

f(x) =

a) completa la siguiente tabla. En la cuarta fila está el valorde la función menos el valor de la asíntota horizontal.

b) Observando la tabla, razona si la curva está encima odebajo de la asíntota.

Solución:a)

b) La curva está encima de la asíntota.

2x2 + x + 1x


f(x) =

¿Qué función es?

95. Halla el valor de k para que la siguiente función sea con-tinua en todo !

f(x) =

96. Halla el valor de n para que la siguiente función sea con-tinua en todo !

f(x) =

97. Halla el valor de k para que la siguiente función sea con-tinua en todo !

f(x) =

Solución:kf (1) = — = k1

límx(1–

f (x) = límx(1–

(x + 2) = 1 + 2 = 3

klímx(1+

f (x) = límx(1+

— = kx

Por tanto, tiene que ser: k = 3

x + 2 si x < 1k/x si x ' 1

"$%

Solución:f (– 2) = (– 2)2 – 1 = 4 – 1 = 3

límx(– 2–

f (x) = límx(– 2–

(– x + n) = 2 + n

límx(– 2+

f (x) = límx(– 2+

(x2 – 1) = 4 – 1 = 3

Por tanto, tiene que ser:2 + n = 3 / n = 1

–x + n si x < –2x2 – 1 si x ' –2

"$%

Solución:f(2) = 2 · 2 – 1 = 4 – 1 = 3lím

x(2–f(x) = lím

x(2–(2x – 1) = 4 – 1 = 3

límx(2+

f(x) = límx(2+

k = k

Por tanto, tiene que ser: k = 3

2x – 1 si x 0 2k si x > 2

"$%

Solución:

Es la función y = Signo(x)

x|x|

x

f(x)

y = 2x + 1

f(x) – (2x + 1)

10 100 1 000 10 000

x

f(x) 21,1 201,01 2 001,001 20 001,0001y = 2x + 1 21 201 2 001 20 001

f(x) – (2x + 1) 0,1 0,01 0,001 0,0001

10 100 1 000 10 000

Problemas

Y

X

306 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas98. Halla el valor de n para que la siguiente función sea con-

tinua en todo !

f(x) =

99. Los ingresos de una empresa, en función del número deaños que lleva funcionando, vienen dados por la función:

f(x) =

donde x viene dado en años, y f(x), en millones de euros.¿Es continua la función f(x)?

100. En un aparcamiento que permanece abierto 10 horas dia-rias, hay un cartel que dice: “cada hora, 1,5 !” y “más de4 horas, 7 !”a) Representa la función correspondiente.b) ¿En qué puntos es discontinua, y qué tipo de disconti-

nuidad tiene en cada uno de ellos?

101. Calcula el valor de a para que:

= 3

102. Observando la gráfica:

calcula:

a) ( – 4x)b) ( – 4x)


calcula:

a)

b)

c)

d)

Solución:a) +@ b) –@c) +@ d) –@

x2 + 1xlím

x(0–

x2 + 1xlím

x(0+

x2 + 1xlím

x(–@

x2 + 1xlím

x(+@

Y

X

y = —x2 + 1x

Solución:a) +@b) –@

x3

3límx(–@

x3

3límx(+@

Y

X

x3

3y = — – 4x

Solución:a— = 3 / a = 62

ax2 + 3x2x2 – 5

límx(+@

Solución:a)

b) Es discontinua en: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4En esos puntos tiene una discontinuidad de 1ª especiede salto finito. En los tres primeros puntos el salto es de1,5 y en el último el salto es de 1

Solución:Sí es continua, porque:f (9) = 3

límx(9 –

f (x) = límx(9 –

&—x = 3

4x – 30 6límx(9 +

f (x) = límx(9 +

—= — = 3x – 7 2

&—x si 0 0 x 0 9

4x – 30———— si x > 9x – 7

"#$#%

Solución:f (1) = 21 = 2

límx(1–

f (x) = límx(1–

2x = 2

límx(1+

f (x) = límx(1+

(3x + n) = 3 + n

Por tanto, tiene que ser: 3 + n = 2 / n = – 1

2x si x 0 13x + n si x > 1

"$%

Y

X


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a) calcula: ( – )

b) Halla el límite analíticamente para comprobar el re-sultado.

105. Rocío comienza a trabajar en una empresa de informáti-ca.La función que calcula el número de ordenadores quemonta, en función del tiempo, viene dada por:

f(t) =

donde t es el número de días que lleva trabajando, y f(t),el número de ordenadores que monta.

a) ¿Cuántos ordenadores monta el primer día?

b) ¿Cuántos ordenadores monta el quinto día?

c) ¿Cuántos ordenadores monta el décimo día?

d) ¿Qué día montará 5 ordenadores?

e) ¿Puede llegar a montar algún día 7 ordenadores?

f) ¿A qué número tenderá cuando lleve mucho tiempotrabajando?

106. Los gastos mensuales en euros que una familia tiene enalimentación vienen dados por la función:

f(x) =

donde x son los ingresos de la familia en euros.

a) Halla el valor de k para que los gastos sean continuos;es decir, no haya salto en x = 1 000 !

b) ¿Hacia qué valor se estabilizan los gastos de alimenta-ción de las familias con la renta más alta?

107. En una ciudad se hace un censo inicial y se sabe que elnúmero de habitantes evoluciona según la función:

P(t) =

donde t es el número de años transcurridos desde quese hace el censo,y P(t) es el número de habitantes en mi-llones.

a) ¿Cuántos habitantes hay cuando se realiza el censo ini-cial?

b) ¿Cuántos habitantes habrá dentro de 50 años?

c) Con el paso del tiempo, ¿hacia qué población se esta-bilizará? Halla la asíntota horizontal para comprobarlo.

108. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la po-sición de la curva respecto de cada una de ellas:

y =

Solución:Verticales: no tiene.Horizontal: y = 0

3xlímx(+@

— = 0+ / La curva está encima de la asíntota.x2 + 1

3xlímx(–@

— = 0 – / La curva está debajo de la asíntota.x2 + 1

Oblicua: no tiene.

3xx2 + 1

Solución:a) t = 0 / P(0) = 1 millón.b) t = 50 / P(50) = 3 millones.

t2 + 500t + 2 500c) límt(@——= 1 millón.

(t + 50)2

Asíntota horizontal: y = 1

t2 + 500t + 2 500(t + 50)2

Solución:2 000xa) k = 100 b) lím

x(+@—= 2 000 !x + 3 000

0,4x + k si 0 0 x 0 1 0002 000x————— si x > 1 000x + 3 000

"#$#%

Solución:6ta) 1 b) 3 c) 4 d) —= 5 / t = 25

t + 56te) No, porque al resolver la ecuación — = 7, se obtie-

ne un número negativo. t + 5

6tf) límt(+@

—= 6t + 5

6tt + 5

Solución:a) 0

b) límx(+@

(&—x + 5 – &—x + 3) = [@ – @] =

(&—x + 5 – &—x + 3)(&—x + 5 + &—x + 3)= lím

x(+@————=

&—x + 5 + &—x + 3

x + 5 – (x + 3)= lím

x(+@——=&—x + 5 + &—x + 3

x + 5 – x – 3 2= lím

x(+@——= lím

x(+@——= 0

&—x + 5 + &—x + 3 &—x + 5 + &—x + 3

&x + 3&x + 5límx(+)

Y

X

– f(x) = &*x + 5 – &*x + 3

308 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas109. Halla las asíntotas de la siguiente función racional y la po-

sición de la curva respecto de cada una de ellas:

y =

Para profundizar

110. Halla el valor de f(3) para que la siguiente función sea con-tinua en todo !

f(x) =

111. Halla el valor de m y n para que la siguiente función seacontinua en todo !

f(x) =

112. Halla el valor de m y n para que la siguiente función seacontinua en todo !

f(x) =

113. Una determinada especie evoluciona según la función:

f(t) = 5 + 2– t

donde t es el número de años y f(t) son los millones deunidades existentes.Representa la gráfica y, observándola, contesta a la si-guiente pregunta: ¿la especie está en vías de extinción?

114. Una determinada especie evoluciona según la función:

f(t) = , t > 0

donde t es el número de años y f(t) son los millones deunidades existentes.Representa la gráfica y, observándola, contesta a la si-guiente pregunta: ¿la especie está en vías de extinción?

Solución:

La especie sí está en vías de extinción, porque tiendehacia 0.

2límt(+@

— = 0t

2t

Solución:

La especie no está en vías de extinción, porque tiende aestabilizarse hacia 5 millones de unidades.lím

t(+@(5 + 2– t) = 5

Solución:m + n = 2

2m + n = 1/ m = – 1, n = 3

2x si x 0 1mx + n si 1 < x < 2log2 x si x ' 2

"#$#%

Solución:– m + n = 12m + n = 1

/ m = 0, n = 1

x2 si x 0 –1mx + n si –1 < x < 22/x si x ' 2

"#$#%

Solución:x2 – 3xlím

x(3—= lím

x(3x = 3

x – 3f (3) = 3

x2 – 3xx – 3

Solución:Verticales: x2 – 1 = 0 / x = 1, x = – 1

x2 + 1 1+ + 1 2límx(1+

— = — = — = +@x2 – 1 1+ – 1 0+

x2 + 1 1– + 1 2límx(1–

— = — = — = –@x2 – 1 1– – 1 0–

x2 + 1 1– + 1 2límx(–1+

— = — = — = –@x2 – 1 1– – 1 0–

x2 + 1 1+ + 1 2límx(–1–

— = — = — = +@x2 – 1 1+ – 1 0+

Horizontal: y = 12lím

x(+@— = 0+ / La curva está encima de la asíntota.x2 – 1

2límx(–@

— = 0+ / La curva está encima de la asíntota.x2 – 1

Oblicua: no tiene.

x2 + 1x2 – 1

"$%

"$%

Y

X

Y

X


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115. Observando la gráfica de la sucesión:

a) calcula:

b) Halla el límite analíticamente para comprobar el re-sultado.

116. Una entidad financiera paga un tanto por ciento en fun-ción del dinero depositado, definido por:

R(x) =

donde x es la cantidad de dinero depositado en euros, yR(x), el valor del tanto por ciento.Hacia qué valor se estabilizará el tanto por ciento cuan-do se deposite una cantidad muy grande.

117. Los beneficios o las pérdidas de una empresa vienen da-dos por la función:

f(x) =

donde x es el número de años que lleva funcionando, yf(x) son millones de euros.a) Halla los beneficios o las pérdidas en el 1er,2º y 3er años.b) Hacia qué valor se estabilizan las ganancias o pérdidas

con el paso del tiempo.

118. Halla una función racional que tenga como asíntotas ver-ticales las rectas x = 3, x = –1

119. Calcula una función racional que tenga como asíntotaslas rectas x = –2 e y = 3

120. Halla una función racional que tenga como asíntotas lasrectas x = 1 e y = x – 2

Solución:1 x2 – 3x + 3y = x – 2 +— / f (x) = ——

x – 1 x – 1

Solución:3xy = —

x + 2

Solución:1 1f(x) = —— / f (x) = ——

(x – 3)(x + 1) x2 – 2x – 3

Solución:a) – 3, 0, 25/13 = 1,9 millones de euros, respectivamente.

5x2 – 20b) límx(+@

—= 5 millones de euros de ganancias.x2 + 4

5x2 – 20x2 + 4

Solución:

6x + 8 000límx(+@

—— = 6 %x + 10 000

6x + 8 000x + 10 000

Solución:a) 3b) 3

3n2 – 2n + 4n2 + 5

límn(+@

Y

X

y = 3

3n2 – 2n + 4n2 + 5

an = —

314 SOLUCIONARIO

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1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes fun-ciones en el intervalo que se indica:

a) f(x) = 2x – 3 en [1, 4]

b) f(x) = x2 – 4x + 2 en [2, 4]

c) f(x) = en [1, 2]

d) f(x) = en [–1, 2]

Solución:f(4) – f(1) 5 – (– 1) 6

a) TVM[1, 4] = —— = —= — = 24 – 1 4 – 1 3

f(4) – f(2) 2 – (– 2) 4b) TVM[2, 4] = —— = —= — = 2

4 – 2 4 – 2 2 f(2) – f(1) 0 – (– 1/2) 1

c) TVM[1, 2] = —— = —— = —2 – 1 2 – 1 2f(2) – f(– 1) 2 – 1 1

d) TVM[– 1, 2] = —— = —= —2 – (– 1) 2 – (– 1) 3!x + 2

2x – 4x + 3

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

La gráfica y = f(x) representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo.

Calcula mentalmente:

a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por P y Q

b) la distancia media recorrida entre 3 s y 6 s

c) la pendiente de la recta tangente t en el punto P

Solución:a) 2

8 – 2 6b) TVM[3, 6] = — = — = 2 m6 – 3 3

c) 1/2

1. La derivada

10 Cálculo de derivadas

Y

XP(3, 2)

Q(6, 8)

t

y = f(x)

Tiempo (s)

Espa

cio

(m)

r

TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS 315

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ño, S

.L.

2. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:a) f(x) = 3x – 2 en x = 1 b) f(x) = – 2x + 1 en x = –3 c) f(x) = x2 – 4 en x = –2 d) f(x) = – x2 + 5x – 3 en x = 1

Solución:f(1 + h) – f(1) 3(1 + h) – 2 – (3 – 2) 3 + 3h – 2 – 3 + 2 3ha) f '(1) = lím

h"0—— = lím

h"0——— = lím

h"0——— = lím

h"0— = 3

h h h hf(– 3 + h) – f(– 3) – 2(– 3 + h) + 1 – [– 2 · (– 3) + 1] 6 – 2h + 1 – 6 – 1 – 2hb) f '(– 3) = lím

h"0——= lím

h"0—————— = lím

h"0——— = lím

h"0— = – 2

h h h hf(– 2 + h) – f(– 2) (– 2 + h)2 – 4 – [(– 2)2 – 4] 4 – 4h + h2 – 4 – 0 – 4h + h2

c) f '(– 2) = límh"0——= lím

h"0————— = lím

h"0——— = lím

h"0—=

h h h hh(– 4 + h)

= límh"0—= lím

h"0(– 4 + h) = – 4

hf(1 + h) – f(1) – (1 + h)2 + 5(1 + h) – 3 – (– 12 + 5 · 1 – 3)

d) f '(1) = límh"0

—— = límh"0—————=

h h

– 1 – 2h – h2 + 5 + 5h – 3 + 1 – 5 + 3 – h2 + 3h h(– h + 3)= lím

h"0————= lím

h"0—= lím

h"0—= lím

h"0(– h + 3) = 3

h h h

3. Aplica la definición de derivada y calcula:a) la derivada de la función f(x) = x2 en x = 1b) las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el

punto de abscisa x = 1c) Representa la función f(x) y las rectas.

4. Aplica la definición de derivada y calcula:a) la derivada de la función f(x) = x2 – 2x + 1 en x = 3b) las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el

punto de abscisa x = 3c) Representa la función f(x) y las rectas.

5. El número de bacterias que hay en un cultivo se expre-sa mediante la fórmula f(x) = 2x, donde x representa elnúmero de horas. Calcula el crecimiento medio por ho-ra de las bacterias entre las 3 y las 5 horas.

Solución:f(5) – f(3) 32 – 8 24

TVM[3, 5] = —= —= — = 12 bacterias/h5 – 3 5 – 3 2

Solución:f(3 + h) – f(3)

a) f '(3) = límh"0

—— =h

(3 + h)2 – 2(3 + h) + 1 – (32 – 2 · 3 + 1)= lím

h"0————=

h9 + 6h + h2 – 6 – 2h + 1 – 9 + 6 – 1= lím

h"0————=

h

4h + h2 h(4 + h)= lím

h"0—= lím

h"0—= lím

h"0(4 + h) = 4

h h

b) Si x = 3 ò f(3) = 4 ò P(3, 4)La recta tangente: m = f '(3) = 4y – 4 = 4(x – 3)y = 4x – 8La recta normal:

1y – 4 = – —(x – 3)4

1 19y = – —x + —4 4

c)

Solución:f(1 + h) – f(1) (1 + h)2 – 1

a) f '(1) = límh"0

—— = límh"0

—— =h h

1 + 2h + h2 – 1 h(2 + h)= lím

h"0——= lím

h"0—= lím

h"0(2 + h) = 2

h h

b) Si x = 1 ò f(1) = 1 ò P(1, 1)

La recta tangente: m = f '(1) = 2y – 1 = 2(x – 1)y = 2x – 1

La recta normal:1y – 1 = – —(x – 1)2

1 3y = – —x + —2 2

c) Y

X

y = x2

y = 2x – 1 y = – —x + — 1 2

3 2

Y

Xy = x2 – 2x + 1

y = 4x – 8

y = – —x + —14

194

316 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

a) Observa la gráfica de la función de f(x) = |x2/4 – 1| y calcula las pendientes de las rectas tangentes r y sb) ¿Se puede dibujar una única recta tangente a la gráfica de la función f(x) en x = 2?

Solución:a) mr = – 1 y ms = 1b) No.

Y

X

s

r

y = |x2/4 – 1|

6. Analiza si las funciones representadas admiten derivadaen x = 2

7. Aplica la definición de derivada y calcula la función deri-vada de las siguientes funciones:a) f(x) = 5b) f(x) = 4x – 3c) f(x) = x2 – x + 1

d) f(x) =

8. Calcula el valor de la derivada de la función f(x) = x2 + 1en los puntos de abscisa:

a) x = 2 b) x = –1c) x = 0 d) x = 1

Solución:(x + h)2 + 1 – (x2 + 1)

f '(x) = límh"0———=

hx2 + 2xh + h2 + 1 – x2 – 1= lím

h"0———=

h2xh + h2

= límh"0—= lím

h"0(2x + h) = 2x

hf '(x) = 2xa) f '(2) = 2 · 2 = 4b) f '(– 1) = 2 · (– 1) = – 2c) f '(0) = 2 · 0 = 0d) f '(1) = 2 · 1 = 2

(x + h)2 – (x + h) + 1 – (x2 – x + 1)c) f '(x) = lím

h"0————=

hx2 + 2xh + h2 – x – h + 1 – x2 + x – 1= lím

h"0————=

h2xh + h2 – h= lím

h"0—— = lím

h"0(2x + h – 1) = 2x – 1

h1 1 x – x – h— – — —

x + h x (x + h)xd) f '(x) = lím

h"0—— = lím

h"0—— =

h h– h – 1 1= lím

h"0—= lím

h"0—= –—

(x + h)xh x(x + h) x2

Solución:5 – 5a) f '(x) = lím

h"0— = 0

h4(x + h) – 3 – (4x – 3)

b) f '(x) = límh"0———=

h4x + 4h – 3 – 4x + 3 4h= lím

h"0——— = lím

h"0— = 4

h h

1x

Solución:a) No, porque la función no es continua.b) No. Hay dos rectas tangentes diferentes.

Y Y

X X

! Aplica la teoría

2. La función derivada


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" Piensa y calcula

Clasifica las siguientes funciones como polinómicas, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigono-métricas:

a) y = 2x b) y = x5 c) y = sen x d) y = e) y = L x

Solución:a) Exponencial. b) Polinómica. c) Trigonométrica. d) Irracional. e) Logarítmica.

!x

9. Calcula el valor de la abscisa en el que la derivada dela función f(x) = x2 + x vale 4

10. Dibuja la gráfica de la función cuadrática y = x2

a) Calcula su función derivada.b) Representa la función derivada en los mismos ejes

coordenados.c) Observando el dibujo, calcula los puntos en los que

la derivada toma estos valores: 1, 2, –1, – 2, 0

Solución:(x + h)2 – x2 x2 + 2xh + h2 – x2

a) f '(x) = límh"0

—— = límh"0——=

h h

2xh + h2= lím

h"0—= lím

h"0(2x + h) = 2x

h

b)

c) x = 1/2, x = 1, x = – 1/2, x = – 1, x = 0

Solución:(x + h)2 + x + h – (x2 + x)

f '(x) = límh"0———=

hx2 + 2xh + h2 + x + h – x2 – x= lím

h"0————=

h2xh + h2 + h= lím

h"0—— = lím

h"0(2x + h + 1) = 2x + 1

h2x + 1 = 4 ò 2x = 3 ò x = 3/2

3. Reglas de derivación

Y

X

y = x2

y = 2x

Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación:

11. a) y = 8 b) y = –3x + 1

12. a) y = x2 + 4x – 5 b) y = x4 – 3x2 + 1

13. a) y = (x – 8)2 b) y = (3x2 + 1)3

14. a) y = (x2 + 4)2 b) y = (x4 – 1)3

15. a) y = b) y =

16. a) y = e3x – 2 b) y = 2x3 + 5

Solución:a) y' = 3e3x – 2 b) y' = 3x22x3 + 5L 2

Solución:x 3x2 – 2a) y' = — b) y' = ——

!—x2 – 3 44!

—(x3 – 2x)3

4!x3 – 2x!x2 – 3

Solución:a) y' = 4x(x2 + 4) b) y' = 12x3(x4 – 1)2

Solución:a) y' = 2(x – 8) b) y' = 18x(3x2 + 1)2

Solución:a) y' = 2x + 4 b) y' = 4x3 – 6x

Solución:a) y' = 0 b) y' = – 3

! Aplica la teoría

318 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Observa la gráfica de la función racional f(x) = y halla:

a) los máximos y mínimos relativos.b) la monotonía, es decir:

• intervalos donde es creciente ( )• intervalos donde es decreciente ( )

Solución:a) Máximo relativo:A(– 1, – 2)

Mínimo relativo: B(1, 2)b) Creciente ( ): (– @, – 1) U (1, + @)

Decreciente ( ): (– 1, 0) U (0, 1)

x2 + 1x

17. a) y = L (3x – 2) b) y = log (2x3 + x)

18. a) y = sen (3x – 7) b) y = cos (x2 + 4x)

19. a) y = x2 + tg x b) y = x L x

20. a) y = b) y =

21. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes fun-ciones y simplifica los resultados.

a) y = x3 – 6x2 + 9x b) y =

22. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal ala curva y = x3 – 3x2 en el punto de abscisa x = 1

Solución:f(1) = – 2 # P(1, – 2)f '(x) = 3x2 – 6xRecta tangente:f '(1) = – 3y + 2 = – 3(x – 1) # y = – 3x + 1Recta normal:

1 1 7y + 2 = —(x – 1) # y = —x – —3 3 3

Solución:a) y' = 3x2 – 12x + 9

y'' = 6x – 12y''' = 6

x2 – 1b) y' = —x2

2y'' = —x3

6y''' = –—x4

x2 + 1x

Solución:– x2 + 2x + 1a) y' = ——

(x2 + 1)2

ex(sen x + cos x)b) y' = ——

cos2 x

ex

cos xx – 1x2 + 1

Solución:a) y' = 2x + sec2 xb) y' = 1 + L x

Solución:a) y' = 3cos(3x – 7)b) y' = – (2x + 4) sen (x2 + 4x)

Solución:3 6x2 + 1a) y' = — b) y' = — log e

3x – 2 2x3 + x

4. Máximos, mínimos relativos y monotonía

Y

X

y = —x2 + 1

x


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23. Calcula los máximos y los mínimos relativos y deter-mina la monotonía de la función:

y = x3 – 6x2 + 9x


y = x3 – 3x2


y = x3 – 3x2 + 4x + 1


y = – x3 + x2


y =


y = x2 – x + 1

x – 1

Solución:x2 – 1y' = —

x2

y' = 0 # x = – 1, x = 1x = – 1 # y = – 2 # A(– 1, – 2)x = 1 # y = 2 # B(1, 2)

2y'' = —x3

y''(– 1) = – 2 < 0 (–) # A(– 1, – 2) máximo relativo.y''(1) = 2 > 0 (+) # B(1, 2) mínimo relativo.

Creciente ( ): (– @, – 1) U (1, + @)Decreciente ( ): (– 1, 0) U (0, 1)

x2 + 1x

Solución:y' = x3 – 3x2 + 2xy' = 0 # x = 0, x = 1, x = 2x = 0 # y = 0 # O(0, 0)x = 1 # y = 1/4 # A(1, 1/4)x = 2 # y = 0 # B(2, 0)y'' = 3x2 – 6x + 2y''(0) = 2 > 0 (+) # O(0, 0) mínimo relativo.y''(1) = – 1 < 0 (–) # A(1, 1/4) máximo relativo.y''(2) = 2 > 0 (+) # B(2, 0) mínimo relativo.

Creciente ( ): (0, 1) U (2, + @)Decreciente ( ): (– @, 0) U (1, 2)

x4

4

Solución:y' = 3x2 – 6x + 4y' $ 0 # No tiene ni máximos ni mínimos relativos.

Creciente ( ): ! = (– @, + @)Decreciente ( ): Ö

Solución:y' = 3x2 – 6x y' = 0 # x = 0, x = 2x = 0 # y = 0 # O(0, 0)x = 2 # y = – 4 # A(2, – 4)y'' = 6x – 6y''(0) = – 6 < 0 (–) # O(0, 0) máximo relativo.y''(2) = 6 > 0 (+) # A(2, – 4) mínimo relativo.

Creciente ( ): (– @, 0) U (2, + @)Decreciente ( ): (0, 2)

Solución:y' = 3x2 – 12x + 9y' = 0 # x = 1, x = 3x = 1 # y = 4 # A(1, 4)x = 3 # y = 0 # B(3, 0)y'' = 6x – 12y''(1) = – 6 < 0 (–) # A(1, 4) máximo relativo.y''(3) = 6 > 0 (+) # B(3, 0) mínimo relativo.

Creciente ( ): (– @, 1) U (3, + @)Decreciente ( ): (1, 3)

! Aplica la teoría

x 0 1 3

f '(x) + – +

x 0 1 2

f '(x) – + – +

x – 1 0 1

f '(x) + – – +

x 0 2

f '(x) + – +

x 0

f '(x) +

320 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Observa la gráfica de la función racional f(x) = y halla visualmente el punto de

inflexión y los intervalos donde es convexa (%), y cóncava (&)

Solución:Punto de inflexión: O(0, 0)Convexa (%): (– 1, 0) U (1, + @)Cóncava (&): (– @, – 1) U (0, 1)

xx2 – 1

29. Aplicando el cálculo de derivadas, estudia la monoto-nía de la recta: y = –2x + 3Haz la representación gráfica de la recta e interpreta elresultado.

30. Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máximosy mínimos relativos y determina la monotonía de la pa-rábola:

y = x2 – 2x – 3Haz la representación gráfica de la parábola e interpretael resultado.

Solución:y' = 2x – 2y' = 0 # x = 1x = 1 # y = – 4 # A(1, – 4)y'' = 2y''(1) = 2 > 0 (+) # A(1, – 4) mínimo relativo.

Creciente ( ): (1, + @)Decreciente ( ): (– @, 1)

Tiene un mínimo relativo; antes del eje es decreciente,y después, creciente.

Solución:y' = – 2 < 0 # Es siempre decreciente.La gráfica de la función es una recta de pendientem = –2, que es la derivada.

Solución:x2 – 2xy' = —(x – 1)2

y' = 0 # x = 0, x = 2x = 0 # y = – 1 # A(0, – 1)x = 2 # y = 3 # B(2, 3)

2y'' = —(x – 1)3

y''(0) = – 2 < 0 (–) # A(0, – 1) máximo relativo.y''(2) = 2 > 0 (+) # B(2, 3) mínimo relativo.

Creciente ( ): (– @, 0) U (2, + @)Decreciente ( ): (0, 1) U (1, 2)

5. Puntos de inflexión y curvatura

x 0 1 2

f '(x) + – – +

x 0 1

f '(x) – +

Y

X

Y

X

Y

X

y = —x

x2 – 1


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31. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatu-ra de la función:

y = x3 – 6x2 + 9x + 1


y = x3 – 3x2 + 4x


y = (x – 1)3 + 1


y = x4 – 6x2


y = x4 + 4x3 + 2


y =

Solución:2 – xy' = —

x3

x – 1x2

Solución:y' = 4x3 + 12x2

y'' = 12x2 + 24xy'' = 0 # x = 0, x = – 2x = 0 # y = 2 # A(0, 2)x = – 2 # y = – 14 # B(– 2, – 14)y''' = 24x + 24y'''(0) = 24 $ 0y'''(– 2) = – 24 $ 0Puntos de inflexión: A(0, 2), B(– 2, – 14)

Convexa (%): (– @, – 2) U (0, + @)Cóncava (&): (– 2, 0)

Solución:y' = 4x3 – 12x y'' = 12x2 – 12y'' = 0 # x = – 1, x = 1x = – 1 # y = – 5 # A(– 1, – 5)x = 1 # y = – 5 # B(1, – 5)y''' = 24x y'''(1) = 24 $ 0y'''(– 1) = – 24 $ 0Punto de inflexión: A(–1, – 5), B(1, – 5)

Convexa (%): (– @, –1) U (1, + @)Cóncava (&): (–1, 1)

Solución:y' = 3(x – 1)2

y'' = 6(x – 1)y'' = 0 # x = 1 # y = 1 # A(1, 1)y''' = 6 $ 0Punto de inflexión: A(1, 1)

Convexa (%): (1, + @)Cóncava (&): (– @, 1)

Solución:y' = 3x2 – 6x + 4y'' = 6x – 6y'' = 0 # x = 1 # y = 2 # A(1, 2)y''' = 6 $ 0Punto de inflexión: A(1, 2)

Convexa (%): (1, + @)Cóncava (&): (– @, 1)

Solución:y' = 3x2 – 12x + 9y'' = 6x – 12y'' = 0 # x = 2 # y = 3 # A(2, 3)y''' = 6 $ 0Punto de inflexión: A(2, 3)

Convexa (%): (2, + @)Cóncava (&): (– @, 2)

! Aplica la teoría

x 0 2

f ''(x) – +

x – 1 0 1

f ''(x) + – +

x – 2 0

f ''(x) + – +

x 0 1

f ''(x) – +

x 0 1

f ''(x) – +

322 SOLUCIONARIO

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y =

38. Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones:

a) y = x5

b) y = x6

Solución:a) y' = 5x4

y' = 0 # x = 0 # y = 0 # O(0, 0)y'' = 20x3

y''' = 60x2

yIV = 120xyV = 120Punto de inflexión en O(0, 0)

b) y' = 6x5

y' = 0 # x = 0 # y = 0 # O(0, 0)y'' = 30x4

y''' = 120x3

yIV = 360x2

yV = 720xyVI = 720Mínimo en O(0, 0)

Convexa (%): (– 1, 0) U (1, + @)Cóncava (&): (– @, – 1) U (0, 1)

Solución:x2 + 1y' = –—

(x2 – 1)2

2x(x2 + 3)y'' = —

(x2 – 1)3

y'' = 0 # x = 0 # y = 0 # O(0, 0)6(x4 + 6x2 + 1)

y''' = –——(x2 – 1)4

y'''(0) = – 6 ? 0Punto de inflexión: O(0, 0)

xx2 – 1

2(x – 3)y'' = —

x4

y'' = 0 # x = 3 # y = 2/9 # A(3, 2/9)6(4 – x)

y''' = —x5

y'''(3)= 2/81 ? 0Punto de inflexión: A(3, 2/9)

Convexa (%): (3, + @)Cóncava (&): (– @, 0) U (0, 3)

x 0 3

f ''(x) – – +

x – 1 0 1

f ''(x) – + – +


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Ejercicios y problemas1. La derivada


a) f(x) = –3x + 5 en [–1, 2]

b) f(x) = x2 – 6x – 4 en [1, 3]

c) f(x) = en [–1, 3]

d) f(x) = en [–3, 0]

Solución:f(2) – f(– 1) – 1 – 8 – 9a) TVM[– 1, 2] = —— = —= — = – 3

2 – (– 1) 2 – (– 1) 3f(3) – f(1) – 13 – (– 9) – 4b) TVM[1, 3] = —— = —— = — = – 2

3 – 1 3 – 1 2f(3) – f(– 1) 0 – (– 4) 4c) TVM[– 1, 3] = —— = —= — = 1

3 – (– 1) 3 – (– 1) 4f(0) – f(– 3) 2 – 1 1d) TVM[– 3, 0] = —— = —= —

0 – (–3) 0 – (– 3) 3!x + 4

x – 3x + 2

40. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:a) f(x) = 5x – 3 en x = –4 b) f(x) = –x + 2 en x = 3 c) f(x) = –x2 + 5 en x = –1 d) f(x) = 3x2 + 5x – 4 en x = 1

41. Aplica la definición de derivada y calcula:a) la derivada de la función f(x) = x2 + 4x – 1 en x = 1b) las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa x = 1c) Representa la función f(x) y las rectas.

Solución:f(1 + h) – f(1) (1 + h)2 + 4(1 + h) – 1 – (12 + 4 · 1 – 1) 1 + 2h + h2 + 4 + 4h – 1 – 1 – 4 + 1a) f '(1) = lím

h"0—— = lím

h"0————= lím

h"0————=

h h h

6h + h2 h(6 + h)= lím

h"0—= lím

h"0—= lím

h"0(6 + h) = 6

h h

b) Si x = 1 # f(1) = 4 # P(1, 4) c)La recta tangente:m = f '(1) = 6y – 4 = 6(x – 1)y = 6x – 2

La recta normal:1y – 4 = – —(x – 1)6

1 25y = – —x + —6 6

Solución:f(– 4 + h) – f(– 4) 5(– 4 + h) – 3 – [5 · (– 4) – 3] – 20 + 5h – 3 + 20 + 3 5ha) f '(– 4) = lím

h"0——= lím

h"0————= lím

h"0———= lím

h"0— = 5

h h h h

f(3 + h) – f(3) – (3 + h) + 2 – (– 3 + 2) – 3 – h + 2 + 3 – 2 – hb) f '(3) = límh"0

—— = límh"0———= lím

h"0——= lím

h"0— = – 1

h h h h

f(– 1 + h) – f(– 1) – (– 1 + h)2 + 5 – [– (– 1)2 + 5] – 1 + 2h – h2 + 5 + 1 – 5c) f '(– 1) = límh"0——= lím

h"0————= lím

h"0———=

h h h

2h – h2 h(2 – h)= lím

h"0—= lím

h"0—= lím

h"0(2 – h) = 2

h h

f(1 + h) – f(1) 3(1 + h)2 + 5(1 + h) – 4 – (3 · 12 + 5 · 1 – 4)d) f '(1) = lím

h"0—— = lím

h"0—————=

h h

3 + 6h + 3h2 + 5 + 5h – 4 – 3 – 5 + 4 3h2 + 11h h(3h + 11)= lím

h"0————= lím

h"0—— = lím

h"0——= lím

h"0(3h + 11) = 11

h h h

Y

X

y = 6x – 2

P(1, 4)y = – —x + —1

6256

324 SOLUCIONARIO

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42. El número de llamadas que se reciben en una centralita es: f(x) = 4x – , donde x se expresa en horas, y f(x), en miles dellamadas.Calcula el número medio de llamadas que se reciben entre las 2 y las 4 horas; y entre las 4 y las 6 horas. ¿Cómo interpre-tas los resultados?

2. La función derivada

43. Analiza si las funciones representadas admiten derivada en x = 1

44. Aplicando la definición de derivada, calcula la función derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x2 – 4x + 3 b) f(x) =

45. Aplicando la definición de derivada, halla la función derivada de f(x) =

Calcula:a) el valor de la derivada en el punto de abscisa x = 2b) el valor de la abscisa en el que la derivada vale 1/4

Solución:!—x + h – !—

x 0 (!—x + h – !—x )(!—x + h + !—

x ) x + h – xf '(x) = límh"0

—— = [—] = límh"0———= lím

h"0——=

h 0 h(!—x + h + !—x ) h(!—x + h + !—

x )

h 1 1= límh"0——= —= —h(!—x + h + !—

x ) !—x + !—

x 2!—x

1 !—2a) f '(2) = — = —

2!—2 4

1 1b) — = — # 2!—x = 4 # !—

x = 2 # x = 42!—

x 4

!x

Solución:

2(x + h)2 – 4(x + h) + 3 – (2x2 – 4x + 3) 2(x2 + 2xh + h2) – 4x – 4h + 3 – 2x2 + 4x – 3a) f '(x) = lím

h"0—————= lím

h"0—————=

h h

2x2 + 4xh + 2h2 – 4x – 4h + 3 – 2x2 + 4x – 3 4xh + 2h2 – 4h= límh"0—————= lím

h"0——= lím

h"0(4x + 2h – 4) = 4x – 4

h h

3 3 3x + 6 – 3x – 3h – 6—– — ———x + h + 2 x + 2 (x + h + 2)(x + 2) – 3h 3b) f '(x) = lím

h"0——— = lím

h"0——— = lím

h"0——— = –—

h h (x + h + 2)(x + 2)h (x + 2)2

3x + 2

Solución:a) No, porque es discontinua.

b) No, porque se pueden dibujar dos rectas tangentes dependientes distintas en x = 1

Solución:f(4) – f(2) 8 – 6 2 f(6) – f(4) 6 – 8 – 2a) TVM[2, 4] = —— = — = — = 1 b) TVM[4, 6] = —— = — = — = – 1

4 – 2 4 – 2 2 6 – 4 6 – 4 2

Entre 2 y 4 la función es creciente y entre 4 y 6 es decreciente. Debe presentar un máximo en x = 4

x2

2

Y

X

Y

X


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3. Reglas de derivación


46. a) y = 3x2 + x – 7 b) y = –x4 + x2 – 6x

47. a) y = 2x3 + x2 – 5 b) y = 3x4 + 5x + 1

48. a) y = (x3 – 1)2 b) y = (x3 + 1)4

49. a) y = (2x3 + x2)3 b) y = (2x4 – 1)5

50. a) y = b) y =

51. a) y = b) y =

52. a) y = e2x3 b) y = e7x

53. a) y = 72x + 3 b) y = e–x2+ 2

54. a) y = L (5x3 – 3x) b) y = L (x4 – x2)

55. a) y = log (2x3 + 5) b) y = log (x2 + 4x + 1)

56. a) y = sen (3x2 – 4x) b) y = cos (4x3 + x)

57. a) y = sen (x3 + 2) b) y = tg (x2 – 1)

58. a) y = ex + cos x b) y = x ex

59. a) y = b) y =

Solución:– 2x2 – 6x – 4a) y' = ——

(x2 – 2)2

(1/x)sen x – L x cos x sen x – x L x cos xb) y' = ——— = ——

sen2 x x sen2 x

L xsen x

2x + 3x2 – 2

Solución:a) y' = ex – sen xb) y' = (x + 1)ex

Solución:a) y' = 3x2 cos (x3 + 2)b) y' = 2x sec2 (x2 – 1)

Solución:a) y' = (6x – 4) cos (3x2 – 4x)b) y' = – (12x2 + 1) sen (4x3 + x)

Solución:6x2

a) y' = —log e2x3 + 5

2x + 4b) y' = —— log ex2 + 4x + 1

Solución:15x2 – 3a) y' = —5x3 – 3x4x3 – 2x 4x2 – 2b) y' = —= —x4 – x2 x3 – x

Solución:a) y' = 2 · 72x + 3 · L 7b) y' = – 2x e–x2+ 2

Solución:a) y' = 6x2e2x3

b) y' = 7e7x

Solución:3x2 – 1a) y' = ——

55!—(x3 – x)4

2x + 4b) y' = ——3

3!—(x2 + 4x)2

3!x2 + 4x5!x3 – x

Solución:3xa) y' = —

!—3x2 – 23x2 – 1b) y' = ——

2!—x3 – x

!x3 – x!3x2 – 2

Solución:a) y' = 3(6x2 + 2x)(2x3 + x2)2

b) y' = 40x3(2x4 – 1)4

Solución:a) y' = 6x2(x3 – 1)b) y' = 12x2(x3 + 1)3

Solución:a) y' = 6x2 + 2xb) y' = 12x3 + 5

Solución:a) y' = 6x + 1b) y' = – 4x3 + 2x – 6

326 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas60. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes fun-

ciones y simplifica los resultados.

a) y = –x4 + 2x2

b) y = – 2x

c) y =

d) y =


a) y = –x3 + 3x

b) y = x4 – 4x2

c) y =

d) y =

4. Máximos, mínimos relativos y monotonía

62. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de la función:

y = x3 – 3x


y = – 4x

Solución:y' = x2 – 4y' = 0 # x = – 2, x = 2x = – 2 # y = 16/3 # A(– 2, 16/3)x = 2 # y = –16/3 # B(2, – 16/3)y'' = 2xy''(– 2) = – 4 < 0 (–) # A(– 2, 16/3) máximo relativo.y''(2) = 4 > 0 (+) # B(2, – 16/3) mínimo relativo.

x3

3

Solución:y' = 3x2 – 3y' = 0 # x = – 1, x = 1x = – 1 # y = 2 # A(– 1, 2)x = 1 # y = – 2 # B(1, – 2)y'' = 6xy''(– 1) = – 6 < 0 (–) # A(– 1, 2) máximo relativo.y''(1) = 6 > 0 (+) # B(1, – 2) mínimo relativo.

Creciente ( ): (– @, – 1) U (1, + @)Decreciente ( ): (– 1, 1)

12xc) y' = –—(x2 + 3)2

36(x2 – 1)y'' = —

(x2 + 3)3

144x(3 – x2)y''' = ——

(x2 + 3)4

– x2 + 2x – 3d) y' = ——(x – 1)2

4y'' = —(x – 1)3

12y''' = –—(x – 1)4

Solución:a) y' = – 3x2 + 3

y'' = – 6xy''' = – 6

b) y' = 4x3 – 8xy'' = 12x2 – 8y''' = 24x

x2 – x – 21 – x

6x2 + 3

Solución:a) y' = – 4x3 + 4x

y'' = – 12x2 + 4y''' = – 24x

x2b) y' = — – 2

2y'' = xy''' = 1

x2 + 1c) y' = —x2

2y'' = – —x3

6y''' = —x4

x2 – 4d) y' = —2x2

4y'' = —x3

12y''' = –—x4

x2 + 42x

x2 – 1x

x3

6

x – 1 0 1

f '(x) + – +


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y = 2x3 – 6x + 1


y = –x3 + 6x2 + 15x – 1


y =


y =


y =

Solución:x2 – 4x + 3y' = ——

(x – 2)2

y' = 0 # x = 1, x = 3x = 1 # y = 0 # A(1, 0)x = 3 # y = 4 # B(3, 4)

x2 – 2x + 1x – 2

Solución:6xy' = —

(x2 + 3)2

y' = 0 # x = 0x = 0 # y = 0 # O(0, 0)

– 18x2 + 18y'' = ——(x2 + 3)3

y''(0) = 2/3 > 0 (+) # O(0, 0) mínimo relativo.

Creciente ( ): ( 0, + @)Decreciente ( ): (– @, 0)

x2

x2 + 3

Solución:– 2x2 + 2y' = —(x2 + 1)2

y' = 0 # x = – 1, x = 1x = – 1 # y = – 1 # A(– 1, – 1)x = 1 # y = 1 # B(1, 1)

4x3 – 12xy'' = —(x2 + 1)3

y''(– 1) = 1 > 0 (+) # A(– 1, – 1) mínimo relativo.y''(1) = – 1 < 0 (–) # B(1, 1) máximo relativo.

Creciente ( ): ( – 1, 1)Decreciente ( ): (– @, – 1) U (1, + @)

2xx2 + 1

Solución:y' = – 3x2 + 12 x + 15y' = 0 # x = – 1, x = 5x = – 1 # y = – 9 # A(– 1, – 9)x = 5 # y = 99 # B(5, 99)y'' = – 6x + 12y''(– 1) = 18 > 0 (+) # A(– 1, – 9) mínimo relativo.y''(5) = – 18 < 0 (–) # B(5, 99) máximo relativo.

Creciente ( ): ( – 1, 5)Decreciente ( ): (– @, – 1) U (5, + @)

Solución:y' = 6x2 – 6y' = 0 # x = – 1, x = 1x = – 1 # y = 5 # A(– 1, 5)x = 1 # y = – 3 # B(1, – 3)y'' = 12xy''(– 1) = – 12 < 0 (–) # A(– 1, 5) máximo relativo.y''(1) = 12 > 0 (+) # B(1, – 3) mínimo relativo.



x – 2 0 2

f '(x) + – +

x – 1 0 1

f '(x) + – +

x – 1 0 5

f '(x) – + –

x –1 0 1

f '(x) – + –

x 0

f '(x) – +

328 SOLUCIONARIO

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69. Aplicando el cálculo de derivadas, estudia la monotoníade la recta:

y = 4x – 5

Haz la representación gráfica de la recta e interpreta elresultado.

70. Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máximos ymínimos relativos y determina la monotonía de la pará-bola:

y = –2x2 – 8x – 3

Haz la representación gráfica de la parábola e interpretael resultado.

5. Puntos de inflexión y curvatura

71. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la función:

y = x3 – 3x + 4


y = –x3 + 3x2 + 1


y = 2x3 – 3x + 4

Solución:y' = – 3x2 + 6x y'' = – 6x + 6y'' = 0 # x = 1 # y = 3 # A(1, 3)y''' = – 6 $ 0Punto de inflexión: A(1, 3)

Convexa (%): (– @, 1)Cóncava (&): (1, + @)

Solución:y' = 3x2 – 3 y'' = 6x y'' = 0 # x = 0 # y = 4 # A(0, 4)y''' = 6 $ 0Punto de inflexión: A(0, 4)

Convexa (%): (0, + @)Cóncava (&): (– @, 0)

Es una parábola con eje de simetría en x = – 2 y con elvértice en A(– 2, 5)

Solución:y' = – 4x – 8y' = 0 # x = – 2x = – 2 # y = 5 # A(– 2, 5)y'' = – 4y''(– 2) = – 4 < 0 (–) # A(– 2, 5) máximo relativo.

Creciente ( ): (– @, – 2)Decreciente ( ): (– 2, + @)

Solución:y' = 4 > 0 # La función es siempre creciente.

Es una recta de pendiente 4, que es el valor de la derivada.

2y'' = —(x – 2)3

y''(1) = – 2 < 0 (–) # A(1, 0) máximo relativo.y''(3) = 2 > 0 (+) # B(3, 4) mínimo relativo.

Creciente ( ): (– @, 1) U (3, +@)Decreciente ( ): (1, 2) U (2, 3)

x 0 1 2 3

f '(x) + – – +

x 0

f ''(x) – +

x 0 1

f ''(x) + –

x – 2 0

f '(x) + –

Y

X

YA(– 2, 5)

X


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74. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la función y = 4x3 – 3x4

75. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la función y = x4 – 6x2 – 6x + 1


y =


y =

78. Calcula los puntos críticos de la función y = x3

Solución:y' = 3x2

y' = 0 # x = 0 # O(0, 0)


(x2 – 4)2

2x3 + 24xy'' = —

(x2 – 4)3

y'' = 0 # x = 0 # y = 0 # O(0, 0)6(x4 + 24x2 + 16)

y''' = –——(x2 – 4)4

y'''(0) = – 3/8 $ 0 # Punto de inflexión: O(0, 0)

Convexa (%): (– 2, 0) U (2, + @) Cóncava (&): (– @, – 2) U (0, 2)

xx2 – 4

Solución:12xy' = –—

(x2 + 3)2

36(x2 – 1)y'' = —

(x2 + 3)3

y'' = 0 # x = – 1, x = 1x = – 1 # y = 3/2 # A(– 1, 3/2)x = 1 # y = 3/2 # B(1, 3/2)

144x(3 – x2)y''' = ——

(x2 + 3)4

y'''(– 1) = – 9/8 $ 0Punto de inflexión:A(–1, 3/2)y''' (1) = 9/8 $ 0 # Punto de inflexión: B(1, 3/2)

Convexa (%): (– @, – 1) U (1, + @) Cóncava (&): (– 1, 1)

6x2 + 3

Solución:y' = 4x3 – 12x – 6y'' = 12x2 – 12y'' = 0 # x = – 1, x = 1x = – 1 # y = 2 # A(– 1, 2)x = 1 # y = – 10 # B(1, – 10)y''' = 24x y''' (– 1) = – 24 $ 0 # Punto de inflexión: A(– 1, 2)y''' (1) = 24 $ 0 # Punto de inflexión: B(1, – 10)


Solución:y' = 12x2 – 12x3

y'' = 24x – 36x2

y'' = 0 # x = 0, x = 2/3x = 0 # y = 0 # O(0, 0)x = 2/3 # y = 16/27 # B(2/3, 16/27)y''' = 24 – 72xy'''(0) = 24 $ 0 # Punto de inflexión: O(0, 0)y'''(2/3) = – 24 $ 0Punto de inflexión: A(2/3, 16/27)

Convexa (%): (0, 2/3) Cóncava (&): (– @, 0) U (2/3, + @)

Solución:y' = 6x2 – 3 y'' = 12x y'' = 0 # x = 0 # y = 4 # A(0, 4)y''' = 12 $ 0Punto de inflexión: A(0, 4)

Convexa (%): (0, + @) Cóncava (&): (– @, 0)

x 0

f ''(x) – +

x – 1 0 1

f ''(x) + – +

x – 2 0 2

f ''(x) – + – +

x 0 2/3

f ''(x) – + –

x – 1 0 1

f ''(x) + – +

330 SOLUCIONARIO

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79. Calcula los puntos críticos de la función y = x4

y'' = 12x2

y''(0) = 0

y''' = 24x

y'''(0) = 0

yIV = 24 > 0 (+) # O(0, 0) mínimo relativo.Solución:y' = 4x3

y' = 0 # x = 0 # O(0, 0)

y'' = 6xy''(0) = 0y''' = 6 $ 0 # O(0, 0) Punto de inflexión.

80. Calcula la tasa de variación media de las siguientes fun-ciones en el intervalo que se indica:a) f(x) = –x + 1 en [–1, 2]b) f(x) = –x2 + 4x – 2 en [2, 4]


a) f(x) = en [3, 5]

b) f(x) = en [–2, 3]

82. Aplica la definición de derivada y calcula:

a) la derivada de la función f(x) = en x = 1

b) las ecuaciones de las rectas tangente y normal en elpunto de abscisa x = 1

c) Representa la función f(x) y las rectas.

83. El espacio que recorre una motocicleta viene dado porf(t) = t2 + t, donde t se expresa en segundos, y f(t), enmetros. Calcula la velocidad media en las dos primerashoras de movimiento.

84. Analiza en qué puntos la función del gráfico no es deri-vable.

Y

X

y = |x2 – 4|

Solución:f(2) – f(0) 6 – 0 6

TVM[0, 2] = —= — = — = 3 m/s2 – 0 2 2

b) Si x = 1 # f(1) = 3 # P(1, 3)La recta tangente:m = f '(1) = – 3y – 3 = – 3(x – 1)y = – 3x + 6La recta normal:

1y – 3 = —(x – 1)3

1 8y = —x + —3 3

c)

Solución:3 3 3 – 3 – 3h— – — ——

1 + h 1 1 + ha) f '(1) = lím

h"0—— = lím

h"0—— =

h h– 3h – 3= lím

h"0—= lím

h"0— = – 3

(1 + h)h 1 + h

3x

Solución:f(5) – f(3) 2 – 4 – 2a) TVM[3, 5] = —= — = — = – 1

5 – 3 5 – 3 2f(3) – f(– 2) 3 – 2 1b) TVM[– 2, 3] = —— = —= —

3 – (– 2) 3 – (– 2) 5

!x + 6

x + 1x – 2

Solución:f(2) – f(– 1) – 1 – 2 – 3a) TVM[– 1, 2] = —— = —= — = – 1

2 – (– 1) 2 – (– 1) 3f(4) – f(2) – 2 – 2 – 4b) TVM[2, 4] = —= —= — = – 2

4 – 2 4 – 2 2

Para ampliar

Y

XA(1, 3)

y = – 3x + 6

y = — + —x3

83


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85. Analiza si en x = 3 la función del gráfico es derivable.Di-buja la recta tangente en dicho punto.

86. Aplicando la definición de derivada, calcula la función de-rivada de las siguientes funciones:a) f(x) = x3

b) f(x) =

87. Aplicando la definición de derivada, halla la función deri-vada de:

f(x) =

Calcula:a) el valor de la derivada en el punto de abscisa x = 3b) el valor de la abscisa en el que la derivada es –1/3


88. a) y = (x2 + 4)3

b) y = (x3 + 4)2 sen x

89. a) y = +

b) y =

90. a) y =

b) y =

Solución:ex sen x – ex cos x ex(sen x – cos x)

a) y' = ——= ——sen2 x sen2 x

xb) y' = —!—x2 – 1

!x2 – 1

ex

sen x

Solución:1 5a) y' = — – —

2!—x x2

– 2x2 – 2x – 4b) y' = ——(x2 – 2)2

x2 + 2x – 1x2 – 2

5x!x

Solución:a) y' = 6x(x2 + 4)2

b) y' = 6x2(x3 + 4) sen x + (x3 + 4)2 cos x

Solución:3 3—–—

x + h – 2 x – 2f '(x) = límh"0

——— =h

3x – 6 – 3x – 3h + 6———(x + h – 2)(x – 2) – 3h= lím

h"0——— = lím

h"0——— =

h (x + h – 2)(x – 2)h3= –—

(x – 2)2

a) f '(3) = – 33b) –—= – 1/3 # x = – 1, x = 5

(x – 2)2

3x – 2

Solución:(x + h)3 – x3

a) f '(x) = límh"0

—— =h

x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – x3= lím

h"0———=

h(3x2 + 3xh + h2)h

= límh"0——= lím

h"0(3x2 + 3xh + h2) = 3x2

h

2 2—–—x + h – 1 x – 1b) f '(x) = lím

h"0——— =

h2x – 2 – 2x – 2h + 2———

(x + h – 1)(x – 1) – 2h= límh"0

——— = límh"0

——— =h (x + h – 1)(x – 1)h

2= –—(x – 1)2

2x – 1

Solución:

La función es derivable en x = 3. La tangente en dichopunto es la recta y = 1

Y

Xy = (x – 3)3 + 1

Solución:En x = – 2 y en x = 2 la gráfica de la función tiene picos, yse pueden dibujar, en cada uno de ellos, dos rectas tan-gentes con distinta pendiente. Es decir, la función no esderivable.

Y

Xy = 1

332 SOLUCIONARIO

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91. a) y = b) y =

92. a) y = esen x b) y =

93. a) y = e b) y = ex L x

94. a) y = e2x cos x b) y = 2x + 3e– (x+2)

95. a) y = L tg x b) y = L 5x + e

96. a) y = tg b) y = sen

97. a) y = cos2 x b) y = tg2 x + 2sen x

98. a) y = b) y = x sen x


a) y = x3 – 6x2 + 12x – 7 b) y = –x3 + 3x2 – 4x + 4

c) y = d) y =

100. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes fun-ciones y simplifica los resultados.a) y = x4 + 2x2

b) y = x4 – x3

c) y =

d) y = x2 – 1x2 + 1

x2

x2 + 3

Solución:a) y' = 3x2 – 12x + 12

y'' = 6x – 12y''' = 6

b) y' = – 3x2 + 6x – 4y'' = – 6x + 6y''' = – 6

8xc) y' = –—(x2 – 1)2

24x2 + 8y'' = —(x2 – 1)3

– 96x3 – 96xy''' = ——(x2 – 1)4

2 – 2xd) y' = —x3

4x – 6y'' = —x4

– 12x + 24y''' = ——x5

2x – 1x2

4x2 – 1

Solución:2 cos x + (2x + 1) sen x

a) y' = ———cos2 x

b) y' = sen x + x cos x

2x + 1cos x

Solución:a) y' = – 2 cos x sen xb) y' = 2 tg x sec2 x + cos x 2sen x L 2

Solución:3a) y' = —sec2 !—3x + 2

2!—3x + 2

1b) y' = — cos !—2x

!—2x

!2x!3x + 2

Solución:sec2 x 1a) y' = —= —— = sec x cosec xtg x sen x cos x

1 1b) y' = — + — e!—x

x 2!—x

!x

Solución:a) y' = e2x (2 cos x – sen x)b) y' = 2 – 3e– (x + 2)

Solución:1a) y' = —e!—x + 2

2!—x + 2

1b) y' = ex (Lx + —)x

!x + 2

Solución:a) y' = cos x esen x

ex – e– xb) y' = —

2

ex + e–x

2

Solución:1a) y' = –—

3x 3!—x

3b) y' = ——2(3x – 5)!—L(3x – 5)

!L (3x – 5)1

3!x


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y = x3 – 2x2 + x


y =


y =


y =


(x2 + 1)2

y' = 0 # x = 0x = 0 # y = 5 # A(0, 5)

30x2 – 10y'' = —(x2 + 1)3

y''(0) = – 10 < 0 (–) # A(0, 5) máximo relativo.

Creciente ( ): (– @, 0) Decreciente ( ): (0, + @)

5x2 + 1


y' = 0 # x = 0, x = 2x = 0 # y = – 4 # A(0, – 4)x = 2 # y = 0 # B(2, 0)

2y'' = —(x – 1)3

y''(0) = – 2 < 0 (–) # A(0, – 4) máximo relativo.y''(2) = 2 > 0 (+) # B(2, 0) mínimo relativo.

Creciente ( ): (– @, 0) U (2, + @)Decreciente ( ): (0, 1) U (1, 2)

x2 – 4x + 4x – 1

8(3x2 – 6x – 1)y'' = ——

(x2 – 2x + 5)3

y''(1) = – 1/2 < 0 (–) # A(1, 1) máximo relativo.

Creciente ( ): (– @, 1)Decreciente ( ): (1, + @)

Solución:– 8x + 8y' = ——

(x2 – 2x + 5)2

y' = 0 # x = 1x = 1 # y = 1 # A(1, 1)

4x2 – 2x + 5

Solución:y' = 3x2 – 4x + 1y' = 0 # x = 1, x = 1/3x = 1 # y = 0 # A(1, 0)x = 1/3 # y = 4/27 # B(1/3, 4/27)y'' = 6x – 4y''(1) = 2 > 0 (+) # A(1, 0) mínimo relativo.y''(1/3) = – 2 < 0 (–) # B(1/3, 4/27) máximo relativo.

Creciente ( ): (– @, 1/3) U (1, + @)Decreciente ( ): (1/3, 1)

Solución:a) y' = 4x3 + 4x

y'' = 12x2 + 4y''' = 24x

b) y' = 4x3 – 3x2

y'' = 12x2 – 6xy''' = 24x – 6

6xc) y' = —(x2 +3)2

– 18x2 + 18y'' = ——(x2 + 3)3

72x3 – 216xy''' = ——(x2 + 3)4

4xd) y' = —(x2 +1)2

– 12x2 + 4y'' = ——(x2 + 1)3

48x3 – 48xy''' = ——(x2 + 1)4

x 0 11/3

f '(x) + – +

x 0 1

f '(x) + –

x 0 1 2

f '(x) + – – +

x 0

f '(x) + –

334 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas105. Aplicando el cálculo de derivadas, estudia la monotonía

de la recta y = – + 3

Haz la representación gráfica de la recta e interpreta el re-sultado.

106. Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máximos ymínimos relativos y determina la monotonía de la pará-

bola y = – x – 3

Haz la representación gráfica de la parábola e interpretael resultado.


a) y = x3 – 3x2 + 2

b) y = x4 – 6x2 + 5x


a) y =

b) y =

Solución:

– 2x2 + 2a) y' = —(x2 + 1)2

4x3 – 12xy'' = ——(x2 + 1)3

y'' = 0 # x = – !—3, x = 0, x = !—

3

x = – !—3 # y = – !—

3/2 # A(– !—3, – !—

3/2)

x = 0 # y = 0 # O(0, 0)

x = !—3 # y = !—

3/2 # B(!—3, !—

3/2)

2xx2 – 1

2xx2 + 1

Solución:a) y' = 3x2 – 6x

y'' = 6x – 6y'' = 0 # x = 1 # y = 0 # A(1, 0)y''' = 6y'''(1) = 6 $ 0 # Punto de inflexión: A(1, 0)

Convexa (%): (1, + @) Cóncava (&): (– @, 1)

b) y' = 4x3 – 12x + 5 y'' = 12x2 – 12y'' = 0 # x = – 1, x = 1x = – 1 # y = – 10 # A(– 1, – 10)x = 1 # y = 0 # B(1, 0)y''' = 24xy'''(– 1) = – 24 $ 0 # Punto de inflexión: A(– 1, – 10)y'''(1) = 24 $ 0 # Punto de inflexión: B(1, 0)


Solución:y' = x – 1y' = 0 # x = 1x = 1 # y = – 7/2 # A(1, – 7/2)y'' = 1y''(1) = 1 > 0 (+) # A(1, – 7/2) mínimo relativo.

Creciente ( ): (1, + @) Decreciente ( ): (– @, 1)

El vértice de la parábola coincide con el mínimo calculado.Antes del vértice, la parábola es decreciente, y después,creciente.

x2

2

Solución:y' = – 1/2 < 0La derivada es menor que cero para todo valor de x; lue-go la función es siempre decreciente.La gráfica de la función es una recta de pendiente –1/2,que es su derivada.

x2

Y

X

Y

A(1, – 7/2)

X

x 0 1

f '(x) – +

x 0 1

f ''(x) – +

x – 1 0 1

f ''(x) + – +


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– 2x2 – 2b) y' = —(x2 – 1)2

4x3 + 12xy'' = ——(x2 – 1)3

y'' = 0 # x = 0 # y = 0 # O(0, 0)

– 12x4 + 72x2 – 12y''' = ——(x2 – 1)4

y'''(0) = – 12 $ 0 # Punto de inflexión: O(0, 0)

Convexa (%): (– 1, 0) U (1, + @) Cóncava (&): (– @, – 1) U (0, 1)

– 12x4 + 72x2 – 12y''' = ——(x2 + 1)4

y''' (– !—3) = 3/8 $ 0 #

# Punto de inflexión: A (– !—3, – !—

3/2)

y'''(0) = – 12 $ 0 # Punto de inflexión: O(0, 0)

y'''(!—3 ) = 3/8 $ 0 # Punto de inflexión: B (!—

3, !—3/2)

Convexa (%): (– !—3, 0) U (!—

3, + @)

Cóncava (&): (– @, – !—3 ) U (0, !—

3 )

109. Aplicando la definición de derivada, calcula la ecuaciónde la recta tangente a la curva:

f(x) =

en el punto de abscisa x = –2

110. Halla los puntos en los que la función derivada de las si-guientes funciones es igual a cero:a) y = 2x3 + 3x2 – 12x b) y = x3 – 3x2 + 3x + 2

111. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a lacurva y = x2 – 4x + 5 en el punto de abscisa x = 3

112. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a lacurva y = x3 – 5x + 4 en el punto de abscisa x = –2

Solución:x = – 2 # y = 6 # P(– 2, 6)y' = 3x2 – 5

Solución:x = 3 # y = 2 # P(3, 2)y' = 2x – 4Recta tangente:m = y'(3) = 2y – 2 = 2(x – 3)y = 2x – 4Recta normal:

1y – 2 = – —(x – 3)2

1 7y = – —x + —2 2

b) y' = 3x2 – 6x + 33x2 – 6x + 3 = 0x2 – 2x + 1 = 0 # x = 1x = 1 # y = 3 # P(1, 3)

Solución:a) y' = 6x2 + 6x – 12

6x2 + 6x – 12 = 0x2 + x – 2 = 0 # x = 1, x = – 2x = 1# y = – 7 # P(1, – 7)x = – 2 # y = 20 # P(– 2, 20)

Solución:1 1—— –—

– 2 + h + 3 – 2 + 3f '(– 2) = límh"0

——— =h

1 1 – 1 – h— – 1 —h + 1 1 + h – h= lím

h"0—= lím

h"0—— = lím

h"0—=

h h (1 + h)h– 1= lím

h"0— = – 11 + h

Si x = – 2 # f (– 2) = 1 # P(– 2, 1)m = f '(– 2) = – 1y – 1 = – (x + 2)y = – x – 1

1x + 3

x – !—3 0 !

—3

f ''(x) – + – +

x – 1 0 1

f ''(x) – + – +

Problemas

336 SOLUCIONARIO

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113. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la

curva y = en el punto de abscisa x = 1

114. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y = x4 + 1 cuya pendiente sea 4

115. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 – 9x + 1 cuya pendiente sea 3. ¿Cuántas solucio-nes hay?

116. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curvay = –x3 + 26x que sean paralelas a la recta y = –x

117. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3 – x2 que tengan una pendiente de 45°

118. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la curvay = x2 – 4 en los puntos de corte con el eje X

Solución:x2 – 4 = 0 # x = 2, x = – 2y' = 2xa) P(2, 0)

m = y'(2) = 4y = 4(x – 2)y = 4x – 8

Solución:m = tg 45° = 1y' = 3x2 – 2x3x2 – 2x = 1 # 3x2 – 2x – 1 = 0 # x = 1, x = – 1/3a) x = 1 # y = 0 # P(1, 0)

m = 1y = x – 1

b) x = – 1/3 # y = – 4/27 # P(– 1/3, – 4/27)m = 1y + 4/27 = x + 1/3y = x + 5/27

Solución:La recta tiene de pendiente:y' = – 1, m = – 1y' = – 3x2 + 26– 3x2 + 26 = – 1 # x2 = 9 # x = 3, x = – 3a) x = 3 # y = 51 # P(3, 51)

m = – 1y – 51 = – 1(x – 3)y = – x + 54

b) x = – 3 # y = – 51 # P(– 3, – 51)m = – 1y + 51 = – 1(x + 3)y = – x – 54

b) x = – 2 # y = 11 # P(– 2, 11)m = 3y – 11 = 3(x + 2)y = 3x + 17

Hay dos soluciones.

Solución:y' = 3x2 – 93x2 – 9 = 3 # 3x2 = 12 # x2 = 4 # x = 2, x = – 2a) x = 2 # y = – 9 # P(2, – 9)

m = 3y + 9 = 3(x – 2)y = 3x – 15

Solución:y' = 4x3

4x3 = 4 # x3 = 1 # x = 1x = 1 # y = 2 # P(1, 2)m = 4y – 2 = 4(x – 1)y = 4x – 2

Solución:x = 1 # y = 1 # P(1, 1)y' = – 1/x2

Recta tangente:m = y'(1) = – 1y – 1 = – 1(x – 1)y = – x + 2Recta normal:y – 1 = (x – 1)y = x

1x

Recta tangente:m = y'(– 2) = 7y – 6 = 7(x + 2)y = 7x + 20Recta normal:

1y – 6 = – —(x + 2)7

1 40y = – —x + —7 7


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y = sen x


y = cos x


y = x – sen x

122. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-na la monotonía de la función y = x + cos x

123. Aplicando el cálculo de derivadas, estudia la monotonía

de la recta y = – 2. Haz la representación gráfica de

la recta e interpreta el resultado.

Solución:y' = 1/3 > 0 # La función es siempre creciente.La gráfica de la función es una recta de pendiente m = 1/3,que es la derivada.

x3

Solución:y' = 1 – sen x1 – sen x = 0 # x = '/2 + 2k', k ( "

x = '/2 # y = 1 # A('/2, '/2)y'' = – cos xy''( '/2) = 0y''' = sen xy'''('/2) = 1 ? 0A('/2, '/2) es un punto de inflexión, y lo mismo sucedecon todos los x = '/2 + 2k', k ( "

Como y' = 1 – sen x, se tiene que y' nunca puede sernegativa; por tanto, es siempre creciente.Creciente ( ): = ! = (– @, + @)Decreciente ( ): = Ö

Solución:y' = 1 – cos x1 – cos x = 0 #x = 2k', k ( "

x = 0 # y = 0 # A(0, 0)y'' = sen xy''(0) = 0y''' = cos xy'''(0) = 1 ? 0A(0, 0) es un punto de inflexión y lo mismo sucede contodos los x = 2k', k ( "

Como y' = 1 – cos x, se tiene que y' nunca puede sernegativa; por tanto, es siempre creciente.Creciente ( ): ! = (– @, + @)Decreciente ( ): Ö

Solución:Como es una función periódica de período 2', solo seestudia en el primer período positivo [0, 2']y' = – sen xsen x = 0 # x = 0, x = 'x = 0 # y = 1 # A(0, 1)x = ' # y = – 1 # B(', – 1)y'' = – cos xy''(0) = – 1 < 0 (–) # A(0, 1) máximo relativo.y''(') = 1 > 0 (+) # B(', – 1) mínimo relativo.

Creciente ( ): (', 2')Decreciente ( ): (0, ')

Solución:Como es una función periódica de período 2', solo seestudia en el primer período positivo [0, 2']y' = cos xcos x = 0 # x = '/2, x = 3'/2x = '/2 # y = 1 # A('/2, 1)x = 3'/2 # y = – 1 # B(3'/2, – 1)y'' = – sen xy''('/2) = – 1 < 0 (–) # A('/2, 1) máximo relativo.y''(3'/2) = 1 > 0 (+) # B(3'/2, – 1) mínimo relativo.

Creciente ( ): (0, '/2) U (3'/2, 2')Decreciente ( ): ('/2, 3'/2)

b) P(– 2, 0)m = y'(– 2) = – 4y = – 4(x + 2)y = – 4x – 8

x 0 '/2 ' 3'/2 2'

f '(x) + – +

x 0 '/2 ' 3'/2 2'

f '(x) – +

Y

X

338 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas124. Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máximos y

mínimos relativos y determina la monotonía de la pará-bola y = –3x2 + 6x + 2. Haz la representación gráfica dela parábola e interpreta el resultado.

125. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la función: y = sen x

126. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la función: y = cos x

127. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la función: y = x + sen x

128. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvaturade la función: y = x – cos x

Solución:y' = 1 + sen xy'' = cos xcos x = 0 # x = '/2 + 2k', k ( "

x = '/2 # y = '/2 # A('/2, '/2)y''' = – sen xy'''('/2) = – 1 ? 0A('/2, '/2) es un punto de inflexión, y lo mismo sucedecon todos los x = '/2 + k', k ( "

Solución:y' = 1 + cos xy'' = – sen x– sen x = 0 # x = k', k ( "

x = 0 # y = 0 # A(0, 0)y''' = – cos xy'''(0) = – 1 ? 0A(0, 0) es un punto de inflexión y lo mismo sucede contodos los x = k', k ( "

Convexa (%): (', 2')Cóncava (&): (0, ')La convexidad es periódica de período 2'

Solución:Como es una función periódica de período 2', solo seestudia en el primer período positivo [0, 2']y' = – sen xy'' = – cos x– cos x = 0 # x = '/2, x = 3'/2x = '/2 # y = 0 # A('/2, 0)x = 3'/2 # y = 0 # B(3'/2, 0)y''' = sen xy'''('/2) = 1 ? 0 # A('/2, 0) punto de inflexión.y'''(3'/2) = – 1 ? 0 # B(3'/2, 0) punto de inflexión.

Convexa (%): ('/2, 3'/2)Cóncava (&): (0, '/2) U (3'/2, 2')

Solución:Como es una función periódica de período 2', solo seestudia en el primer período positivo [0, 2']y' = cos xy'' = – sen x– sen x = 0 # x = 0, x = 'x = 0 # y = 0 # A(0, 0)x = ' # y = 0 # B(', 0)y''' = – cos xy'''(0) = – 1 $ 0 # A(0, 0) punto de inflexión.y'''(') = 1 $ 0 # B(', 0) punto de inflexión.

Convexa (%): (', 2')Cóncava (&): (0, ')

Solución:y' = – 6x + 6y' = 0 # x = 1x = 1 # y = 5 # A(1, 5)y'' = – 6 < 0 (–) # A(1, 5) máximo relativo.

Creciente ( ): (– @, 1) Decreciente ( ): (1, + @)

Tiene un máximo relativo, antes del eje es creciente, ydespués, decreciente.

YA(1, 5)

X

x 0 1

f '(x) + –

x 0 '/2 ' 3'/2 2'

f ''(x) – +

x 0 '/2 ' 3'/2 2'

f ''(x) – + –

x 0 '/2 ' 3'/2 2'

f ''(x) – +


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Para profundizar

129. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta nor-mal a la curva

y = x2 + 6x + 4

en el punto de abscisa x = –2.Haz la representación grá-fica.

130. La ecuación de la recta tangente a una curva y = f(x) enel punto de abscisa x = 3 es:

y – 4x + 11 = 0

Calcula cuánto valen f(3) y f'(3)

131. Halla los puntos en los que las rectas tangentes a las cur-vas y = x2 + 3x – 2, y = 2x2 + x – 3 son paralelas.

132. Demuestra que la función y = L x es estrictamente cre-ciente en todo su dominio.

133. Determina los máximos, los mínimos relativos y la mo-notonía de la función y = x2 – 8 L x

134. Calcula la amplitud del ángulo con el que la recta tangentea la gráfica de la función y = sen x corta al eje X en elpunto de abscisa x = 0

Solución:y' = cos xm = tg ) = cos 0º = 1) = 45°

Solución:y' = 2x – 8/x2x – 8/x = 0 # x = 2, x = – 2x = – 2 no se estudia, por no estar en el dominio.x = 2 # y = 4 – 8 L 2 # A(2, 4 – 8 L 2)y'' = 2 + 8/x2

y''(2) = 4 > 0 (+) # A(2, 4 – 8 L 2) mínimo relativo.Monotonía:

Creciente ( ): (2, + @)Decreciente ( ): (0, 2)

Solución:y' = 1/xDom(f) = (0, + @)y' > 0 en todos los puntos del dominio; por lo tanto, escreciente siempre.

Solución:y' = 2x + 3y' = 4x + 12x + 3 = 4x + 1 # x = 1x = 1 # y = 2 # A(1, 2) en la 1ª parábola.x = 1 # y = 0 # A(1, 0) en la 2ª parábola.

Solución:La recta tangente es:y = 4x – 11f(3) = 4 · 3 – 11 = 1f'(3) = 4

Solución:x = – 2 # y = – 4 # P(– 2, – 4)y' = 2x + 6m = y'(– 2) = 2Recta tangente:y + 4 = 2(x + 2) # y = 2x Recta normal:

1 1y + 4 = – — (x + 2) # y = – — x – 52 2

Convexa (%): (0, '/2) U (3'/2, 2')Cóncava (&): ('/2, 3'/2)La convexidad es periódica de período 2'

x 0 '/2 ' 3'/2 2'

f ''(x) + – +

Y

X

x 0 2

f '(x) – +

344 SOLUCIONARIO

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.L.

Representa las siguientes funciones polinómicas completan-do el formulario de los diez apartados.

1. y = x3 – 6x2 + 9x


• Máximo relativo: B(1, 4) • Mínimo relativo:A(3, 0)

Monotonía:

• Creciente ( ): (– @, 1) U (3, + @)• Decreciente ( ): (1, 3)

9. Puntos de inflexión: D(2, 2)

Curvatura:

• Convexa (!): (2, + @) • Cóncava ("): (– @, 2)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = ! = (– @, + @)

Solución:y' = 3x2 – 12x + 9y'' = 6x – 12y''' = 61. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)3. Continuidad: es continua en todo el dominio.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni res-

pecto del origen O(0, 0)6. Asíntotas:

• Verticales: no tiene.• Horizontales: no tiene.• Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0), A(3, 0)• Eje Y: O(0, 0)Signo:• Positiva (+): (0, 3) U (3, + @) • Negativa (–): (– @, 0)

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Calcula mentalmente: a) (x3 – 3x) b) (x3 – 3x)

Solución:a) + @ b) – @

límx#–@

límx#+@

1. Representación de funciones polinómicas

11 Aplicaciones de lasderivadas

Y

X

–

–

TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 345

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2. y = –x3 – 3x2 + 2

3. y = x4 – 2x3

4. y = –x4 + 2x2

Solución:

y' = – 4x3 + 4xy'' = – 12x2 + 4y''' = – 24x

1. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)3. Continuidad: es continua en todo el dominio.4. Periodicidad: no es periódica.

1. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)3. Continuidad: es continua en todo el dominio.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni res-



7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0),A(2, 0)• Eje Y: O(0, 0)Signo:• Positiva (+): (– @, 0) U (2, + @) • Negativa (–): (0, 2)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: B(3/2, – 27/16) Monotonía:• Creciente ( ): (3/2, + @)• Decreciente ( ): (– @, 3/2)

9. Puntos de inflexión: O(0, 0), C(1, – 1)Curvatura:• Convexa (!): (– @, 0) U (1, + @) • Cóncava ("): (0, 1)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = [– 27/16, + @)

Solución:

y' = 4x3 – 6x2

y'' = 12x2 – 12xy''' = 24x – 12

Solución:y' = – 3x2 – 6x y'' = – 6x – 6y''' = – 61. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)3. Continuidad: es continua en todo el dominio.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni res-



7. Corte con los ejes:• Eje X:A(–$—

3 – 1, 0), B(– 1, 0), C($—3 – 1, 0)

• Eje Y: D(0, 2)Signo:• Positiva (+): (– @, – $—

3 – 1) U (– 1, $—3 – 1)

• Negativa (–): (– $—3 – 1, – 1) U ($—

3 – 1, + @)8. Máximos y mínimos relativos:

• Máximo relativo: D(0, 2) • Mínimo relativo: E(– 2, – 2)Monotonía:• Creciente ( ): (– 2, 0)• Decreciente ( ): (– @, – 2) U (0, + @)

9. Puntos de inflexión: F(– 1, 0)Curvatura:• Convexa (!): (– @, – 1) • Cóncava ("): (– 1, + @)


Y

X

– –

––

Y

X

––

–

346 SOLUCIONARIO

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.L." Piensa y calcula

Calcula mentalmente: a) b)

Solución:a) + @ b) – @

x2 + 1xlím

x#–@

x2 + 1xlím

x#+@

5. De una función polinómica se sabe que tiene un máxi-mo relativo en el punto A(3, 4), un mínimo relativo en elpunto B(1,– 2),otro máximo relativo en el punto C(–2,1),y que f(x) = – @, f(x) = – @

Con esta información, dibuja la gráfica a mano alzada.

Solución:

Y

X

límx#–%

límx#+%

10. Recorrido o imagen:Im(f) = (– @, 1]

5. Simetrías: es par & simétrica respecto del eje Y

6. Asíntotas:

• Verticales: no tiene.

• Horizontales: no tiene.

• Oblicuas: no tiene.


• Eje X: A(– $—2, 0), O(0, 0), B($—

2, 0)• Eje Y: O(0, 0)

Signo:

• Positiva (+): (– $—2, 0) U (0, $—

2)• Negativa (–): (– @, – $—

2) U ($—2, + @)


a) Máximo relativo: C(– 1, 1), D(1, 1)

b) Mínimo relativo: O(0, 0)

Monotonía:

• Creciente ( ): (– @, – 1) U (0, 1)

• Decreciente ( ): (– 1, 0) U (1, + @)

9. Puntos de inflexión: E(– $—3/3, 5/9), F($—

3/3, 5/9)

Curvatura:

• Convexa (!): (– $—3/3, $—

3/3)• Cóncava ("): (– @, – $—

3/3) U ($—3/3, + @)

2. Representación de funciones racionales

Y

X

––

–

Y

X

A(3, 4)

C(–2, 1)

B(1, –2)


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.L.

Representa las siguientes funciones racionales completandoel formulario de los diez apartados.

6. y =

7. y =


(x2 – 1)2

6x2 + 2y'' = —(x2 – 1)3

24x3 + 24xy''' = –——(x2 – 1)4

1. Tipo de función: racional.2. Dominio: Dom(f) = ! – {– 1, 1} =

= (– @, – 1) U (– 1, 1) U (1, + @)3. Continuidad: es discontinua en x = 1 y x = – 1, donde

tiene discontinuidades de 1ª especie de salto infinito.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: es par ò simétrica respecto del eje Y6. Asíntotas:

• Verticales: x = – 1, x = 1• Horizontales: y = 0 • Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: no lo corta.• Eje Y: A(0, – 1)Signo:• Positiva (+): (– @, – 1) U (1, + @) • Negativa (–): (– 1, 1)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: A(0, – 1) • Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): (– @, – 1) U (– 1, 0) • Decreciente ( ): (0, 1) U (1, + @)

9. Puntos de inflexión: no tiene.Curvatura:• Convexa (!): (– @, – 1) U (1, + @) • Cóncava ("): (– 1, 1)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = (– @, – 1] U (0, + @)

1x2 – 1


2y'' = —(x – 1)3

6y''' = –—(x – 1)4

1. Tipo de función: racional.2. Dominio: Dom(f) = ! – {1} = (– @, 1) U (1, + @)3. Continuidad: es discontinua en x = 1, donde tiene

una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni res-


• Verticales: x = 1• Horizontales: no tiene.• Oblicuas: y = x – 2

7. Corte con los ejes:• Eje X: no lo corta.• Eje Y: A(0, – 3)Signo:• Positiva (+): (1, + @) • Negativa (–): (– @, 1)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo:A(0, – 3) • Mínimo relativo: B(2, 1) Monotonía:• Creciente ( ): (– @, 0) U (2, + @)• Decreciente ( ): (0, 1) U (1, 2)

9. Puntos de inflexión: no tiene.Curvatura:• Convexa (!): (1, + @)• Cóncava ("): (– @, 1)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = (– @, – 3] U [1, + @)

x2 – 3x + 3x – 1

! Aplica la teoría

Y

X

–

–

Y

X

–

– –

348 SOLUCIONARIO

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8. y = 9. y =

Solución:x2 + 1y' = —

x2

2y'' = –—x3

6y''' = —x4

1. Tipo de función: racional.

2. Dominio: Dom(f) = ! – {0} = (– @, 0) U (0, + @)

3. Continuidad: es discontinua en x = 0, donde tieneuna discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.


5. Simetrías: es impar & simétrica respecto del eje ori-gen de coordenadas O(0, 0)

6. Asíntotas:• Verticales: x = 0• Horizontales: no tiene.• Oblicuas: y = x

7. Corte con los ejes:• Eje X: A(– 1, 0), B(1, 0)• Eje Y: no lo corta.Signo:• Positiva (+): (– 1, 0) U (1, + @) • Negativa (–): (– @, – 1) U (0, 1)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): (– @, 0) U (0, + @)• Decreciente ( ): Ö

9. Puntos de inflexión: no tiene.Curvatura:• Convexa (!): (– @, 0)• Cóncava ("): (0, + @)


x2 – 1x

Solución:– 2x2 + 2y' = —(x2 + 1)2

4x3 – 12xy'' = —(x2 + 1)3

12(x4 – 6x2 + 1)y''' = –——

(x2 + 1)4


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)

3. Continuidad: es continua en todo el dominio.


5. Simetrías: es impar & simétrica respecto del eje ori-gen de coordenadas O(0, 0)

6. Asíntotas:• Verticales: no tiene.• Horizontales: y = 0 • Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0)• Eje Y: O(0, 0)Signo:• Positiva (+): (0, + @) • Negativa (–): (– @, 0)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: A(1, 1) • Mínimo relativo: B(– 1, – 1) Monotonía:• Creciente ( ): (– 1, 1) • Decreciente ( ): (– @, – 1) U (1, + @)

9. Puntos de inflexión: C(– $—3, – $—

3/2), O(0, 0),

D($—3, $—

3/2)Curvatura:• Convexa (!): (– $—

3, 0) U ($—3, + @)

• Cóncava ("): (– @, – $—3 ) U (0, $—

3 )

10. Recorrido o imagen:Im(f) = [– 1, 1]

2xx2 + 1

Y

X

–

–

Y

X

– –

– –


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" Piensa y calcula

Halla y representa la función derivada de cada una de las siguientes funciones polinómicas. ¿Qué relación hay entre el gra-do de cada una de ellas y el de su derivada?

Solución:

La función derivada de una función polinómica es otra función polinómica de un grado menor.

10. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que lafunción:

f(x) = –x3 + ax2 + bxtenga un mínimo relativo en el punto P(1, –4)

11. Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f'(x)es la recta siguiente:

Resuelve los siguientes apartados:

a) Estudia la monotonía.b) Calcula la pendiente de la recta tangente para x = 3c) Razona si tiene un máximo o mínimo relativo y ha-

lla su abscisa.d) Haz una aproximación de una gráfica de la función f(x)

Solución:

a) La función f(x) es creciente en: (– @, 2)La función f(x) es decreciente en: (2, + @)

Y

X

f’(x)Solución:Pasa por P(1, – 4)y = – x3 + ax2 + bx & – 1 + a + b = – 4Por ser P(1, – 4) un mínimo: y'(1) = 0y' = – 3x2 + 2ax + b & – 3 + 2a + b = 0Resolviendo el sistema: a = 6, b = – 9y = – x3 + 6x2 – 9x

! Aplica la teoría

3. Problemas con condiciones

Y

X

y = 2 x

Y

X

y = x2 – 4

Y

X

– 4xx3

3y =

y’ = 2

Y

Xy’ = 2x

Y

X

y’ = x2 – 4

Y

X

Y

X

P (1, – 4)

" Piensa y calcula

En una ciudad hay una epidemia de gripe, y la función que define el número de enfermos es:f(x) = 125 + 20x – x2

donde x se mide en días, e y, en miles de personas. Calcula mentalmente cuántos enfermos de gripe hay el día en que sedetecta la epidemia, es decir, en el momento x = 0

Solución:125 000 personas.

4. Aplicaciones de las derivadas a otras áreas

350 SOLUCIONARIO

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12. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que lafunción:

f(x) = ax4 + bx3

tenga un punto de inflexión en el punto P(1, –1)


Resuelve los siguientes apartados:

a) Estudia la monotonía.

b) Calcula la pendiente de la recta tangente para x = –2

c) Razona si tiene un máximo o mínimo relativo y ha-lla su abscisa.

d) Haz una aproximación de una gráfica de la función f(x)

Solución:

a) La función f(x) es creciente en: (– 3, + @)

La función f(x) es decreciente en: (– @, – 3)

b) f '(– 2) = 2

c) Tiene un mínimo relativo en x = – 3

d)

Y

X

f’(x)

Solución:Pasa por P(1, – 1)y = ax4 + bx3 & a + b = – 1Por ser P(1, – 1) un punto de inflexión: y''(1) = 0y' = 4ax3 + 3bx2

y'' = 12ax2 + 6bx & 12a + 6b = 0Resolviendo el sistema: a = 1, b = – 2y = x4 – 2x3

b) f '(3) = – 1c) Tiene un máximo relativo en x = 2d) Y

X

Y

X

P (1, –1)

Y

X


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14. Un movimiento está definido por la función:e(t) = t3 – 3t2 – t + 3

donde t se mide en segundos, y e, en metros.Calcula:a) el espacio recorrido al cabo de 5 sb) la velocidad.c) la velocidad al cabo de 5 sd) la aceleración.e) la aceleración al cabo de 5 s

15. La resistencia de una viga, en función del peso que so-porta, viene dada por: R(x) = 3x – x2

donde x se mide en toneladas.Calcula el peso máximoque soporta.

16. Los beneficios de una empresa, en función del númerode piezas producidas, vienen dados por:

B(x) = –3x4 + 28x3 – 84x2 + 96x – 25

donde x se mide en miles de piezas.Calcula el númerode piezas que tiene que producir para que los benefi-cios sean máximos.

17. La concentración en la sangre de un medicamento pues-to mediante una inyección intravenosa viene dado por:

C(t) = 4 – t2/16

donde t es el número de horas que transcurren desdeque se inyecta el medicamento en la sangre.Calcula la velocidad de la concentración.

Solución:C'(t) = – t/8

Solución:

B'(x) = – 12x3 + 84x2 – 168x + 96

B'(x) = 0 & x = 1, x = 2, x = 4

B''(x) = – 36x2 + 168x – 168

Máximos relativos: A(1, 12), B(4, 39)

Mínimo relativo: C(2, 7)

El mayor máximo relativo se obtiene en 4 000 unidades.

Solución:R'(x) = 3 – 2xR'(x) = 0 & x = 3/2R''(x) = – 2 < 0 (–) & máximox = 1 500 kg es el máximo peso soportado.

Solución:a) e(5) = 48 mb) v(t) = e'(t) = 3t2 – 6t – 1c) v(5) = 44 m/sd) a(t) = v'(t) = e''(t) = 6t – 6e) a(5) = 24 m/s2

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Un rectángulo tiene 12 m de perímetro; luego el ancho más el largo es 6 m. Completa la siguiente tabla:

Calcula las dimensiones del rectángulo que tiene mayor superficie.

Solución:

El rectángulo de mayor superficie es un cuadrado de lado x = y = 3 m

5. Problemas de optimización

Largo = xAlto = y

Superficie60

055

148

239

328

415

500

6

Largo = xAlto = y

Superficie60 1 2 3 4 5 6

352 SOLUCIONARIO

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18. Calcula dos números cuya suma sea 60 y de forma quesea mínimo el cuadrado del primero más el doble delcuadrado del segundo.

19. Un ganadero quiere cercar un recinto de forma rec-tangular en un prado para que puedan pastar las vacas.Si dispone de 1 600 m de cerca, ¿cuánto medirá de lar-go y de ancho el recinto para que la superficie del re-cinto sea máxima?

20. Se quiere construir un recipiente en forma de prisma cua-drangular tal que el volumen sea máximo. Si la superficiees de 24 m2, ¿qué dimensiones debe tener la caja?

Solución:a) Incógnitas, datos y dibujo.

x = longitud de la base.y = altura.Superficie = 24 m2

b) Función que hay que maximizar.S(x, y) = xySujeta a las condiciones:Perímetro = 1600 m & x + y = 800

c) Se escribe la ecuación con una sola variable.S(x, y) = xyx + y = 800 & y = 800 – xS(x) = x(800 – x)S(x) = 800x – x2

d) Se calculan los máximos y mínimos relativos deri-vando.S'(x) = 800 – 2xS'(x) = 0 & x = 400Si x = 400 & y = 400

e) Se comprueba en la 2a derivada.S''(x) = – 2 < 0 (–) & Máximo relativo.

f) El recinto es un cuadrado que mide 400 m de lado.

Solución:a) Incógnitas, datos y dibujo:

x = longitud de la base.y = altura.Perímetro = 1600 m

Solución:

a) Incógnitas, datos y dibujo.x = primer número.y = segundo número.x + y = 60

b) Función que hay que minimizar.f(x, y) = x2 + 2y2

Sujeto a: x + y = 60 & y = 60 – x

c) Se escribe la función con una sola variable.f(x, y) = x2 + 2y2

f(x) = x2 + 2(60 – x)2

f(x) = 3x2 – 240x + 7 200

d) Se calculan los máximos y mínimos relativos.f '(x) = 6x – 240f '(x) = 0 & x = 40Si x = 40 & y = 20

e) Se comprueba en la segunda derivada.f ''(x) = 6 > 0 (+) & Mínimo relativo.El primer número es x = 40, y el segundo, y = 20

! Aplica la teoría

S(x, y) = xy

x

y

x

x

y


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d) Se calculan los máximos y mínimos relativos deri-vando.

1V'(x) = — (12 – 3x2)2

V'(x) = 0 & x = – 2 y x = 2 (La solución negativa no tiene sentido).Si x = 2 & y = 2

e) Se comprueba en la segunda derivada.V''(x) = – 3x V''(2) = – 6 < 0 (–) & Máximo relativo.

f) La caja es un cubo de arista 2 m y tendrá un volumende 8 m3

b) Función que hay que minimizar.V(x, y) = x2ySujeta a las condiciones:Superficie = 24 m2 & 4xy + 2x2 = 24 & 2xy + x2 = 12

c) Se escribe la función con una sola variable.V(x, y) = x2y

12 – x22xy + x2 = 12 & y = —

2xx(12 – x2)V(x) = —

21V(x) = — (12x – x3)2

354 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas1. Representación de funciones

polinómicas

21. Representa la siguiente función polinómica completandoel formulario de los diez apartados.

y = – 2x


y = –x3 + 3x

Solución:

y' = – 3x2 + 3y'' = – 6x y''' = – 6


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)



5. Simetrías: es impar & simétrica respecto del origenO(0, 0)

6. Asíntotas:• Verticales: no tiene.• Horizontales: no tiene.• Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0), A(– $—

3 , 0), B($—3 , 0)

• Eje Y: O(0, 0)

Signo:• Positiva (+): (– @, – $—

3 ) U (0, $—3 )

• Negativa (–): (– $—3 , 0) U ($—

3 , + @)8. Máximos y mínimos relativos:

• Máximo relativo: C(1, 2) • Mínimo relativo: D(– 1, – 2)

Monotonía:• Creciente ( ): (– 1, 1)• Decreciente ( ): (– @, – 1) U (1, + @)

9. Puntos de inflexión: O(0, 0)Curvatura:• Convexa (!): (– @, 0)• Cóncava ("): (0, + @)


Solución:y' = x2/2 – 2y'' = x y''' = 11. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)3. Continuidad: es continua en todo el dominio.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: es impar & simétrica respecto del origen

O(0, 0)6. Asíntotas:


7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0), A(– 2$—

3 , 0), B(2$—3 , 0)

• Eje Y: O(0, 0)Signo:• Positiva (+): (– 2$—

3 , 0) U (2$—3 , + @)

• Negativa (–): (– @, – 2$—3 ) U (0, 2$—

3 )8. Máximos y mínimos relativos:

• Máximo relativo: C(– 2, 8/3) • Mínimo relativo: D(2, – 8/3)Monotonía:• Creciente ( ): (– @, – 2) U (2, + @)• Decreciente ( ): (– 2, 2)

9. Puntos de inflexión: O(0, 0)Curvatura:• Convexa (!): (0, + @) • Cóncava ("): (– @, 0)


x3

6

Y

X

– –

– –

Y

X

– –

– –


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rupo

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y = x4 – 4x2


y = –x4 + 6x2 – 5

Solución:

y' = – 4x3 + 12x

y'' = – 12x2 + 12

y''' = – 24x


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)





7. Corte con los ejes:• Eje X: A(– $—

5, 0), B(– 1, 0), C(1, 0), D($—5, 0)

• Eje Y: E(0, – 5)

Signo:• Positiva (+): (– $—

5, – 1) U (1, $—5 )

• Negativa (–): (– @, – $—5 ) U (– 1, 1) U ($—

5, + @)8. Máximos y mínimos relativos:

• Máximo relativo: F(– $—3, 4), G($—

3, 4)• Mínimo relativo: E(0, – 5)

Montonía:• Creciente ( ): (– @, – $—

3 ) U (0, $—3 )

• Decreciente ( ): (– $—3,0) U ($—

3, + @)9. Puntos de inflexión: B(– 1, 0), C(1, 0)

Curvatura:• Convexa (!): (– 1, 1 )• Cóncava ("): (– @, – 1) U (1, + @)


Solución:

y' = 4x3 – 8x

y'' = 12x2 – 8

y''' = 24x


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)





7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0), A(– 2, 0), B(2, 0)• Eje Y: O(0, 0)

Signo:• Positiva (+): (– @, – 2) U (2, + @) • Negativa (–): (– 2, 0) U (0, 2)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: O(0, 0) • Mínimo relativo: C(– $—

2, – 4), D($—2, – 4)

Monotonía:• Creciente ( ): (– $—

2, 0) U ($—2, + @)

• Decreciente ( ): (– @, –$—2) U (0, $—

2)9. Puntos de inflexión: E(– $—

6/3, – 20/9), F($—6/3, – 20/9)

Curvatura:• Convexa (!): (– @, – $—

6/3) U ($—6/3, + @)

• Cóncava ("): (– $—6/3, $—

6/3)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = [– 4, + @)

Y

X

– –

––

Y

X

–

––

– –

356 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas25. De una función polinómica se sabe que tiene un máximo

relativo en el punto A(2,4),un mínimo relativo en el pun-to B(– 2, – 2), un punto de inflexión en el punto C(0, 1)y que:

f(x) = – @ f(x) = + @


2. Representación de funciones racionales

26. Representa la siguiente función racional completando elformulario de los diez apartados.

y =


y =

Solución:

x2 – 2x + 3y' = –——(x – 1)2

4y'' = —(x – 1)3

12y''' = –—(x – 1)4


2. Dominio: Dom(f) = ! – {1} = (– @, 1) U (1, + @)

x2 – x – 21 – x

6. Asíntotas:• Verticales: x = 0• Horizontales: no tiene.• Oblicuas: y = x/2

7. Corte con los ejes:• Eje X: no lo corta.• Eje Y: no lo corta.Signo:• Positiva (+): (0, + @) • Negativa (–): (– @, 0)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: A(– 2, – 2)• Mínimo relativo: B(2, 2)Monotonía:• Creciente ( ): (– @, – 2) U (2, + @)• Decreciente ( ): (– 2, 0) U (0, 2)


10. Recorrido o imagen:Im(f) = (– @, – 2] U [2, + @)

Solución:x2 – 4y' = —2x2

4y'' = —x3

12y''' = –—x4


2. Dominio: Dom(f) = ! – {0} = (– @, 0) U (0, + @)

3. Continuidad: es discontinua en x = 0, donde tiene unadiscontinuidad de 1ª especie de salto infinito.



x2 + 42x

Solución:

Y

X

límx#–@

límx#+@

Y

X

Y

X

–

–


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y = 29. Representa la siguiente función racional completando el

formulario de los diez apartados.

y =


(x2 – 1)2

xx2 – 1

– 144x3 + 432xy''' = ——(x2 + 3)4


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)




6. Asíntotas:• Verticales: no tiene.• Horizontales: y = 0• Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: no lo corta.• Eje Y: A(0, 2)Signo:• Positiva (+): ! = (– @, + @)• Negativa (–): Ö

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: A(0, 2) • Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): (– @, 0)• Decreciente ( ): (0, + @)

9. Puntos de inflexión: B(– 1, 3/2), C(1, 3/2)Curvatura:• Convexa (!): (– @, – 1) U (1, + @)• Cóncava ("): (– 1, 1)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = (0, 2]


(x2 + 3)2

36x2 – 36y'' = ——(x2 + 3)3

6x2 + 3

3. Continuidad: es discontinua en x = 1, donde tiene unadiscontinuidad de 1ª especie de salto infinito.


5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni respec-to del origen O(0, 0)

6. Asíntotas:• Verticales: x = 1• Horizontales: no tiene.• Oblicuas: y = – x

7. Corte con los ejes:• Eje X: A(– 1, 0), B(2, 0)• Eje Y: C(0, – 2)Signo:• Positiva (+): (– @, – 1) U (1, 2) • Negativa (–): (– 1, 1) U (2, + @)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): Ö• Decreciente ( ): (– @, 1) U (1, + @)



Y

X

– –

––

Y

X

–

358 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas3. Problemas con condiciones

30. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la fun-ción:

f(x) = ax3 + bx2 – 5tenga un máximo relativo en el punto P(3, 4)


Calcula para f(x):

a) la monotonía.

b) la pendiente de la recta tangente para x = 1

c) Razona si tiene un máximo o mínimo relativo y hallasu abscisa.

d) Haz una aproximación de una gráfica de la función f(x)

Solución:

a) La función f(x) es creciente en: (– @, 2)

La función f(x) es decreciente en: (2, + @)

b) f '(1) = 2

c) Tiene un máximo relativo en x = 2

Y

Xf’(x)

Solución:

Pasa por P(3, 4) & 27a + 9b – 5 = 4

y' = 3ax2 + 2bx

Máximo en (3, 4) & y'(3) = 0 & 27a + 6b = 0

Resolviendo el sistema, se obtiene:

a = – 2/3, b = 3

y = – 2x3/3 + 3x2 – 5

2x3 + 6xy'' = —(x2 – 1)3

6(x4 + 6x2 + 1)y''' = –——

(x2 – 1)4


2. Dominio: Dom(f) = ! – {– 1, 1} == (– @, – 1) U (– 1, 1) U ( 1, + @)

3. Continuidad: es discontinua en x = – 1 y x = 1, dondetiene discontinuidades de 1ª especie de salto infinito.



6. Asíntotas:

• Verticales: x = – 1 y x = 1

• Horizontales: y = 0

• Oblicuas: no tiene.


• Eje X: O(0, 0)

• Eje Y: O(0, 0)

Signo:

• Positiva (+): (– 1, 0) U (1, + @)

• Negativa (–): (– @, – 1) U (0, 1)


• Máximo relativo: no tiene.

• Mínimo relativo: no tiene.

Monotonía:

• Creciente ( ): Ö• Decreciente ( ): (– @, – 1) U (– 1, 1) U (1, + @)

9. Puntos de inflexión: O(0, 0)

Curvatura:

• Convexa (!): (– 1, 0) U (1, + @)

• Cóncava ("): (– @, – 1) U (0, 1)


Im(f) = ! = (– @, + @)

Y

X

– –

– –

Y

X

P(3, 4)


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f(x) = ax4 + bx3 – bx2

tenga un máximo relativo en el punto P(1, 1)

33. Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f '(x)es la recta siguiente:

Calcula para f(x):a) la monotonía.b) la pendiente de la recta tangente para x = 4c) Razona si tiene un máximo o mínimo relativo y halla

su abscisa.d) Haz una aproximación de una gráfica de la función f(x)

4. Aplicaciones de las derivadas a otras áreas

34. Un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) es:e(t) = 2t – 4

a) Calcula el espacio recorrido al cabo de 5 segundos.b) Calcula la velocidad.c) Representa en los mismos ejes el espacio y la veloci-

dad. ¿Qué tipo de gráficas son?

35. La longitud de un feto a lo largo del embarazo viene da-da por la función:

f(x) = –

donde x se mide en semanas, e y, en centímetros:a) Si el embarazo dura 40 semanas, ¿cuánto mide el niño?b) ¿En qué momento crece más rápidamente; es decir,

cuándo es máxima la derivada?

x3

600x2

10

Solución:a) e(5) = 6 mb) v(t) = e'(t) = 2 m/sc)

El espacio es una función afín y la velocidad es una funciónconstante.

Solución:a) La función f(x) es creciente en: (1, + @)

La función f(x) es decreciente en: (– @, 1)b) f '(4) = 3c) Tiene un mínimo relativo en x = 1d)

Y

Xf’(x)

Solución:Pasa por P(1, 1) & a + b – b = 1 & a = 1y' = 4ax3 + 3bx2 – 2bx Máximo en (1, 1) & y'(1) = 0 & 4a + 3b – 2b = 0Resolviendo el sistema, se obtiene:a = 1, b = – 4y = x4 – 4x3 + 4x2

d) Y

X

Y

XP(1, 1)

Y

X

ee = 2t – 4

e’ = 2

t

360 SOLUCIONARIO

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36. Los beneficios anuales de una empresa siguen la función:

B(x) =

donde x es el número de años que lleva funcionando yB(x) se mide en millones de euros.a) ¿En qué momento los beneficios son máximos?b) Calcula los beneficios en el momento en que sean má-

ximos.

37. Los valores de las acciones de una determinada empre-sa, a lo largo de los 12 meses de un año, están definidospor la función:

f(x) = – + + 15

donde x es el número del mes y f(x) es el valor de cadaacción en euros.Calcula:a) el valor de las acciones al comenzar el año.b) el valor de las acciones al final del año.c) el valor máximo y mínimo de las acciones a lo largo

del año.

5. Problemas de optimización

38. Calcula dos números x e y tales que su producto sea má-ximo, sabiendo que suman 60

39. Se quiere construir un depósito abierto,es decir, sin tapa,con forma de prisma cuadrangular tal que el volumen seamáximo. Si la superficie es de 48 m2, ¿qué dimensionesdebe tener el depósito?


x = primer número.y = segundo número.x + y = 60

b) Función que hay que minimizar.f(x, y) = xysujeto a: x + y = 60 & y = 60 – x

c) Se escribe la función con una sola variable.f(x, y) = xyf(x) = x(60 – x)f(x) = 60x – x2

d) Se calculan los máximos y mínimos relativos.f '(x) = 60 – 2xf '(x) = 0 & x = 30Si x = 30 & y = 30

e) Se comprueba en la 2a derivada.f ''(30) = – 2 < 0 (–) & Máximo relativo.El primer número es x = 30 y el segundo y = 30

f '(x) = 0 & x = 2, x = 83x 3f ''(x) = –— – —25 5

f ''(2) = – 9/25 < 0 (–) & Máximo relativo. Alcanza elmáximo relativo en el 2º mes y valen a 397/25 = 15,88 !Como el máximo relativo es menor que el valor de lasacciones al final del año, el mayor valor lo alcanzan al finaldel año y vale 17,88 !f''(8) = 9/25 > 0 (+) & Mínimo relativo.Alcanza el míni-mo relativo en el 8º mes y valen a 343/25 = 13,72 !

Solución:a) f(0) = 15 !b) f(12) = 447/25 = 17,88 !

3x2 3x 24c) f '(x) = — – — + —50 5 25

24x25

3x2

10x3

50

Solución:100xB(x) = —

x2 + 25– 100x2 + 2 500B'(x) = ——

(x2 + 25)2

B'(x) = 0 & x = 5, x = – 5 (El valor negativo no tiene sentido).

200x3 – 15 000xB''(x) = ——(x2 + 25)3

B''(5) = – 2/5 < 0 (–) & Máximo relativo.Los beneficios son máximos a los 5 años.b) B(5) = 10 millones de euros.

100xx2 + 25

Solución:a) f(40) = 160/3 = 53,33 cmb) f '(x) = x/5 – x2/200

f ''(x) = 1/5 – x/100 f ''(x) = 0 & 1/5 – x/100 = 0 & x = 20 semanas.f '''(x) = – 1/100 < 0 (–) & Máximo relativo.


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40. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 m. Halla las longitudes de los catetos para que el áreadel cuadrado construido sobre la hipotenusa sea mínima.

Solución:

a) Incógnitas, datos y dibujo.x = cateto mayor.y = cateto menor.Suma de los catetos = 12 m

b) Función que hay que minimizar.A(x, y) = x2 + y2

Sujeta a las condiciones:x + y = 12

c) Se escribe la función con una sola variable.A(x, y) = x2 + y2

x + y = 12 & y = 12 – xA(x) = x2 + (12 – x)2

A(x) = 2x2 – 24x + 144

d) Se calculan los máximos y mínimos derivando.A'(x) = 4x – 24A'(x) = 0 & x = 6 Si x = 6 & y = 6

e) Se comprueba en la 2a derivada.A''(x) = 4 A''(6) = 4 < 0 (–) & Mínimo relativo.

f) El triángulo es isósceles y sus catetos miden 6 m


x = longitud de la base.y = altura.Superficie = 48 m2

b) Función que hay que minimizar.V(x, y) = x2ySujeta a las condiciones:Superficie = 48 m2 & 4xy + x2 = 48

c) Se escribe la función con una sola variable.V(x, y) = x2y

48 – x24xy + x2 = 48 & y = —

4x V(x) = 1/4(48x – x3)

d) Se calculan los máximos y mínimos derivando.V'(x) = 1/4(48 – 3x2)V'(x) = 0 & x = – 4 y x = 4(La solución negativa no tiene sentido).Si x = 4 & y = 2

e) Se comprueba en la 2a derivada.V''(x) = – 3x/2 V''(4) = – 6 < 0 (–) & Máximo relativo.

f) El depósito tiene de base un cuadrado de lado 4 m yaltura 2 m, y tendrá un volumen de 32 m3

x

x

y

x

y

Para ampliar


y = x3 – 6x2 + 12x – 7

1. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)3. Continuidad: es continua en todo el dominio.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni respec-

to del origen O(0, 0)

Solución:

y' = 3x2 – 12x + 12 y'' = 6x – 12 y''' = 6

362 SOLUCIONARIO

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y = –x3 + 3x2 – 4x + 443. Representa la siguiente función polinómica completando

el formulario de los diez apartados.y = x4 + 2x2

Solución:

y' = 4x3 + 4x

y'' = 12x2 + 4

y''' = 24x


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)





7. Corte con los ejes:• Eje X: A(2, 0)• Eje Y: B(0, 4)Signo:• Positiva (+): (– @, 2) • Negativa (–): (2, + @)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): Ö• Decreciente ( ): ! = (– @, + @)

9. Puntos de inflexión: C(1, 2)Curvatura:• Convexa (!): (– @, 1) • Cóncava ("): (1, + @)


Solución:

y' = – 3x2 + 6x – 4

y'' = – 6x + 6

y''' = – 6


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)



5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni respec-to del origen O(0, 0)


7. Corte con los ejes:• Eje X: A(1, 0)• Eje Y: B(0, – 7)Signo:• Positiva (+): (1, + @) • Negativa (–): (– @, 1)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): ! = (– @, + @)• Decreciente ( ): Ö

9. Puntos de inflexión: C(2, 1)Curvatura:• Convexa (!): (2, + @) • Cóncava ("): (– @, 2)


Y

X

–

–

Y

X

–

–


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y = x4 – x3 45. De una función polinómica de tercer grado se sabe quetiene un punto de inflexión en el punto O(0, 0), no tieneni máximos ni mínimos relativos, y que:

f(x) = + @ f(x) = – @

Con esta información, dibuja una gráfica a mano alzada.Halla una fórmula para esta gráfica.

Y

X

límx#–@

límx#+@


7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0), A(8/3, 0)• Eje Y: O(0, 0)Signo:• Positiva (+): (– @, 0) U (8/3, + @) • Negativa (–): (0, 8/3)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: O(2, – 16/3)Monotonía:• Creciente ( ): (2, + @)• Decreciente ( ): (– @, 2)

9. Puntos de inflexión: O(0, 0), B(4/3, – 256/81)Curvatura:• Convexa (!): (– @, 0) U (4/3, + @)• Cóncava ("): (0, 4/3)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = [– 16/3, + @)

Solución:

y' = 4x3 – 8x2

y'' = 12x2 – 16x

y''' = 24x – 16

1. Tipo de función: polinómica.2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)3. Continuidad: es continua en todo el dominio.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni respec-

to del origen O(0, 0).

83


7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0)• Eje Y: O(0, 0)Signo:• Positiva (+): (– @, 0) U (0, + @) • Negativa (–): Ö

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: O(0, 0)Monotonía:• Creciente ( ): (0, + @)• Decreciente ( ): (– @, 0)

9. Puntos de inflexión: no tiene.Curvatura:• Convexa (!): ! = (– @, + @)• Cóncava ("): Ö

10. Recorrido o imagen:Im(f) = [0, + @)

Y

X

– –

Y

X

–

––

364 SOLUCIONARIO

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46. De una función polinómica de cuarto grado se sabe quetiene un solo mínimo relativo en el punto O(0,0), no tie-ne ni máximos relativos, ni puntos de inflexión, y que:

f(x) = + @ f(x) = + @

Con esta información, dibuja una gráfica a mano alzada.Halla una fórmula para esta gráfica.

47. Halla una función racional que tenga como asíntota ver-tical la recta x = 2

48. Halla una función racional que tenga dos asíntotas verti-cales x = 2, x = –1

49. Halla una función racional que tenga como asíntota ho-rizontal la recta y = 3

50. Halla una función racional que tenga dos asíntotas: unavertical, x = 1, y otra horizontal, y = –2

51. Halla una función racional que tenga como asíntota obli-cua y = 2x + 1

Solución:1Por ejemplo, y = —– 2

x – 1

Solución:1Por ejemplo, y = — + 3x

Solución:xPor ejemplo, y = ——

(x – 2)(x + 1)

Solución:1Por ejemplo, y = —

x – 2

Solución:y = x4

Y

X

límx#–@

límx#+@

Solución:y = x3

Y

X

Y

X

Y

X

x = 2

Y

X

x = 2

x = –1

Y

Xy = 3

1

Y

X

1y = –2

x =

1


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y =


y =

Solución:

6xy' = —(x2 + 3)2

– 18x2 + 18y'' = ——(x2 + 3)3

72x3 – 216xy''' = ——(x2 + 3)4


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)




6. Asíntotas:•Verticales: no tiene.• Horizontales: y = 1 • Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0)• Eje Y: O(0, 0)Signo:• Positiva (+): (– @, 0) U (0, + @) • Negativa (–): Ö

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: O(0, 0)

x2

x2 + 3

9. Puntos de inflexión: C(3/2, 8/9)Curvatura:• Convexa (!): (3/2, + @)• Cóncava ("): (– @, 0) U (0, 3/2)


Solución:

– 2x + 2y' = —x3

4x – 6y'' = —x4

– 12x + 24y''' = ——x5

1. Tipo de función: racional.2. Dominio: Dom(f) = ! – {0} = (– @, 0) U (0, + @)3. Continuidad: es discontinua en x = 0, donde tiene una

discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: no es simétrica respecto del eje Y, ni respec-

to del origen O(0, 0)6. Asíntotas:

• Verticales: x = 0• Horizontales: y = 0 • Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: A(1/2, 0)• Eje Y: no lo corta.Signo:• Positiva (+): (1/2, + @) • Negativa (–): (– @, 0) U (0, 1/2)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: B(1, 1)• Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): (0, 1) • Decreciente ( ): (– @, 0) U (1, + @)

2x – 1x2

Solución:1 2x2 + x + 1Por ejemplo, y = 2x + 1 + —, es decir, y = ——x x

Y

Xy = 2x + 1

Y

X

–

–

366 SOLUCIONARIO

© G

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ño, S

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y =


y =

Solución:

4xy' = —(x2 + 1)2

– 12x2 + 4y'' = ——(x2 + 1)3

48x3 – 48xy''' = ——(x2 + 1)4


2. Dominio: Dom(f) = ! = (– @, + @)




6. Asíntotas:• Verticales: no tiene.• Horizontales: y = 1• Oblicuas: no tiene.

x2 – 1x2 + 1

Signo:• Positiva (+): (– @, – 2) U (0, 2) • Negativa (–): (– 2, 0) U (2, + @)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): (– @, – 2) U (– 2, 2) U (2, + @) • Decreciente ( ): Ö

9. Puntos de inflexión: O(0, 0)Curvatura:• Convexa (!): (– @, – 2) U (0, 2)• Cóncava ("): (– 2, 0) U (2, + @)


Solución:

x2 + 4y' = —(x2 – 4)2

–2x3 – 24xy'' = ——(x2 – 4)3

6(x4 + 24x2 + 16)y''' = ——

(x2 – 4)4


2. Dominio: Dom(f) = ! – {– 2, 2} = = (– @, – 2) U (– 2, 2) U (2, + @)

3. Continuidad: es discontinua en x = –2 y x = 2, donde tie-ne discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.


5. Simetrías: es impar & simétrica respecto del origen.

6. Asíntotas:• Verticales: x = – 2, x = 2• Horizontales: y = 0• Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: O(0, 0)• Eje Y: O(0, 0)

x4 – x2

Monotonía:• Creciente ( ): (0, + @) • Decreciente ( ): (– @, 0)

9. Puntos de inflexión: A(– 1, 1/4), B(1, 1/4)Curvatura:• Convexa (!): (– 1, 1)• Cóncava ("): (– @, – 1) U (1, + @)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = [0, 1)

Y

X

– –Y

X

– –

– –


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56. Calcula el valor de los coeficientes a y b para que la fun-ción f(x) = ax4 + bx3 tenga un punto de inflexión en elpunto P(2, 3)


f(x) = x3 + ax + btenga un mínimo relativo en el punto P(1, 3)

58. Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f'(x)es la parábola siguiente:

Calcula para f(x):

a) la monotonía.

b) las abscisas del máximo y del mínimo relativos.

c) la curvatura.

d) la abscisa del punto de inflexión.

e) Haz una aproximación de una gráfica de la función f(x)

Solución:

a) La función f(x) es creciente en: (– @, – 1) U (3, + @)La función f(x) es decreciente en: (– 1, 3)

b) Tiene un máximo relativo en x = – 1 y un mínimo rela-tivo en x = 3

c) Convexa (!): (1, + @)Cóncava ("): (– @, 1)

d) Punto de inflexión en x = 1

Y

X

f'(x)

Solución:Pasa por P(1, 3) & y(1) = 3 & 1 + a + b = 3y' = 3x2 + a Mínimo relativo en P(1, 3) & y'(1) = 0 & 3 + a = 0Resolviendo el sistema, se obtiene:a = – 3, b = 5y = x3 – 3x + 5

Solución:Pasa por P(2, 3) & y(2) = 3 & 16a + 8b = 3y' = 4ax3 + 3bx2

y'' = 12ax2 + 6bxPunto de inflexión en P(2, 3) & y''(2) = 0 & 48a + 12b = 0Resolviendo el sistema, se obtiene:a = – 3/16, b = 3/4y = – 3x4/16 + 3x3/4

7. Corte con los ejes:• Eje X: A(– 1, 0), B(1, 0)• Eje Y: C(0, – 1)Signo:• Positiva (+): (– @, – 1) U (1, + @) • Negativa (–): (– 1, 1)

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: C(0, – 1)Monotonía:• Creciente ( ): (0, + @) • Decreciente ( ): (– @, 0)

9. Puntos de inflexión: D(– $—3 /3, –1/2), E($—

3 /3, –1/2),Curvatura:• Convexa (!): (– $—

3 /3, $—3 /3)

• Cóncava ("): (– @, – $—3 /3) U ($—

3 /3, + @)

10. Recorrido o imagen:Im(f) = [– 1, 1)

Y

X

–

– –

Y

XP(2, 3)

Y

XP(1, 3)

368 SOLUCIONARIO

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59. Sea una función f(x) tal que la gráfica de su 2ª derivadaf''(x) es la recta siguiente:

Calcula para f(x):

a) la curvatura.

b) la abscisa del punto de inflexión.

c) Haz una aproximación de una gráfica de la función f(x)

60. Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado(m.r.u.a.) está definido por la función:

e(t) = – 4t + 4

a) Calcula el espacio recorrido al cabo de 7 segundos.b) Calcula la velocidad al cabo de 7 segundos.c) Calcula la aceleración al cabo de 7 segundos.d) Representa en los mismos ejes el espacio, la velocidad

y la aceleración. ¿Qué tipo de gráficas son?

61. Un agente de seguros cobra una comisión que viene da-da por la función:

C(x) = –0,001x2 + 0,05x + 20Calcula cuántos seguros debe hacer para que la comi-sión sea máxima.

62. De todos los cilindros de volumen 16' m3,halla el de su-perficie mínima.


x = longitud del radio.y = altura.Volumen = 16' m3

Solución:C'(x) = – 0,002x + 0,05C'(x) = 0 & x = 25C''(x) = – 0,002 < 0 (–) & Máximo relativo.Para x = 25 seguros, obtiene la máxima comisión.

Solución:a) e(7) = 1/2 mb) v(t) = e'(t) = t – 4

v(7) = e'(7) = 3 m/sc) a(t) = v'(t) = 1

a(7) = 1 m/s2

d)

La gráfica del espacio es una parábola; la de la velocidad,una recta inclinada, y la de la aceleración, una recta hori-zontal.

t2

2

Solución:a) Convexa (!): (– 1, + @)

Cóncava ("): (– @, – 1)b) Punto de inflexión en x = – 1c)

Y

Xf’’(x)

e)Y

X

Y

X

e

e” = 1

e’ = t – 4

e = — – 4t + 4t2

2

t

y

x


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63. Calcula las dimensiones del mayor rectángulo que se pue-de inscribir en una circunferencia de radio 20 cm

b) Función que hay que maximizar.A(x, y) = xySujeta a las condiciones:x2 + y2 = 402

c) Se escribe la función con una sola variable.A(x, y) = xy

x2 + y2 = 402 & y = $—1 600 – x2

A(x) = x$—1 600 – x2

A(x) = $——1 600x2 – x4

d) Se calculan los máximos y mínimos derivando.1 600 – 2x2

A'(x) = ——$—1 600 – x2

A'(x) = 0 & x = 20$—2, x = – 20$—

2(La solución negativa no tiene sentido).Si x = 20$—

2 & y = 20$—2

e) Se comprueba en la segunda derivada.2x3 – 4 800xA''(x) = ———

(1 600 – x2)$—1 600 – x2

A''(20$—2) = – 4 < 0 (–) & Máximo relativo.

f) El rectángulo es un cuadrado de lado 20$—2 cm con un

área de 800 cm2


x = base del rectángulo.y = altura del rectángulo.Radio de la circunferencia circunscrita = 20 cm

b) Función que hay que minimizar.A(x, y) = 2'x2 + 2'xySujeta a las condiciones:Volumen = 16' m3 & 'x2y = 16'

c) Se escribe la función con una sola variable.A(x, y) = 2'x2 + 2'xy

16'x2y = 16' & y = —x2

32'A(x) = 2'x2 + —x

d) Se calculan los máximos y mínimos relativos derivando.32'A'(x) = 4'x – —x2

A'(x) = 0 & x = 2 Si x = 2 & y = 4

e) Se comprueba en la 2a derivada.64'A''(x) = 4' + —x3

A''(2) = 12' > 0 (+) & Mínimo relativo.

f) El cilindro tiene un radio de 2 m y una altura de 4 mcon una superficie mínima de 24' m2

40

x

y

Problemas

64. De una función polinómica se sabe que tiene un máximorelativo en el punto A(– 1, 3), un mínimo relativo en elpunto B(1, – 1) y un punto de inflexión en el punto C(0, 1), y que:

f(x) = + @ f(x) = – @


Solución:

límx#–@

límx#+@

A(–1, 3)

C(0, 1)

B(1, –1)

Y

X

370 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas65. Estudia si en el punto O(0, 0) la siguiente función poli-

nómica tiene un punto de inflexión:y = x4 – x

66. Estudia el punto P(0, – 1) de la siguiente función polinó-mica:

y = x4 – 1

67. De una función racional se sabe que tiene como asínto-ta y = 0, tiene un máximo relativo en el punto A(1, 2), unmínimo relativo en el punto B(–1, –2), puntos de infle-xión en O(0, 0), C(3, 1) y D(–3, –1), y que:

f(x) = 0+ f(x) = 0–


68. Estudia el punto P(0, 3) de la siguiente función racional:

y =

69. Estudia el punto O(0, 0) de la siguiente función racional:

y =

Solución:–3x2 + 3y' = —(x2 + 1)2

y'(0) = 3

3xx2 + 1


(x2 + 3)2

y'(0) = 054x2 – 54y'' = —(x2 + 3)3

y''(0) = –2 < 0 (–)El punto P(0, 3) es un máximo relativo.

9x2 + 3

Solución:

Y

X

límx#–@

límx#+@

Solución:y' = 4x3

y' = 0 y'' = 12x2

y''(0) = 0y''' = 24xy'''(0) = 0yIV = 24 > 0 (+) La función tiene un mínimo relativo en P(0, –1)

Solución:y' = 4x3 – 1y'' = 12x2

y''(0) = 0y''' = 24xy'''(0) = 0yIV = 24, es de orden par.En el punto O(0, 0) no hay punto de inflexión.

Y

X

Y

X

A(1, 2)

D(–3, –1) O(0, 0)

B(–1, –2)

C(3, 1)

Y

X

Y

X


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70. Aplicando el cálculo de derivadas,halla la función cuadrá-tica que pasa por el origen de coordenadas O(0, 0) y tie-ne un mínimo relativo en el punto P(2, –4)

71. Aplicando el cálculo de derivadas, halla la función cua-drática que pasa por el origen de coordenadas y tiene unmáximo relativo en el punto P(–2, 4)

72. Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f'(x)es la parábola siguiente:

Calcula para f(x):a) la monotonía.b) las abscisas del máximo y del mínimo relativos.c) la curvatura.d) la abscisa del punto de inflexión.e) Haz una aproximación de una gráfica de la función f(x)

Solución:a) La función f(x) es creciente en: (–2, 0)

La función f(x) es decreciente en: (–@, –2) U (0,+@) b) Tiene un mínimo relativo en x = –2 y tiene un máximo

relativo en x = 0c) Convexa (!): (–@, –1)

Cóncava ("): (–1, + @)d) Punto de inflexión en x = –1e)

Y

Xf’(x)

y' = 2ax + bTiene un máximo relativo en P(–2, 4) & y'(–2) = 0 && –4a + b = 0Resolviendo el sistema:a = –1, b = –4, c = 0y = –x2 – 4x

Solución:y = ax2 + bx + cPasa por O(0, 0) & y(0) = 0 & c = 0Pasa por P(– 2, 4) & y(– 2) = 4 & 4a – 2b = 4

Solución:y = ax2 + bx + cPasa por O(0, 0) & y(0) = 0 & c = 0Pasa por P(2, –4) & y(2) = –4 & 4a + 2b = – 4y' = 2ax + bTiene un mínimo relativo en P(2, –4) & y'(2) = 0 && 4a + b = 0Resolviendo el sistema:a = 1, b = –4, c = 0y = x2 – 4x

6x3 – 18xy'' = ——(x2 + 1)3

y''(0) = 018(x4 – 6x2 + 1)

y''' = –——(x2 + 1)4

y'''(0) = – 18 ? 0En el punto (0, 0) hay un punto de inflexión.

Y

X

Y

X

P(2, – 4)

O(0, 0)

Y

X

P(–2, 4)

O(0, 0)

Y

X

372 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas73. Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f'(x)

es la recta siguiente:

Calcula la fórmula de f(x) sabiendo que pasa por el ori-gen de coordenadas.


Calcula la fórmula de f(x) sabiendo que pasa por el ori-gen de coordenadas.

75. Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado(m.r.u.a.) está definido por la función:

e(t) = 5t2

a) Calcula el espacio recorrido al cabo de 3 segundos.

b) Calcula la velocidad al cabo de 3 segundos.

c) Calcula la aceleración al cabo de 3 segundos.

d) Representa en los mismos ejes el espacio, la velocidady la aceleración. ¿Qué tipo de gráficas son?

76. Las funciones que definen los ingresos y gastos de unaempresa en millones de euros vienen dadas por:

I(x) = 6x –

G(x) = + 2x + 4

donde x es el número de miles de unidades vendidas.

Halla la función que obtiene los beneficios y calcula cuán-tas unidades tiene que producir para que los beneficiossean máximos.

x2

6

x2

2

Solución:a) e(3) = 45 mb) v(t) = 10t

v(3) = 10 · 3 = 30 m/sc) a(t) = 10

a(3) = 10 m/s2

d)

La gráfica del espacio es una parábola; la de la veloci-dad, una recta inclinada, y la de la aceleración, una rectahorizontal.

Solución:y' = 2x + 2La función debe ser de 2º grado y = ax2 + bx + cComo pasa por el origen: c = 0y' = 2ax + b2ax + b = 2x + 2 & a = 1, b = 2y = x2 + 2x

Y

X

f’(x)

Solución:y' = – 2x + 2La función debe ser de 2º grado y = ax2 + bx + cComo pasa por el origen: c = 0y' = 2ax + b2ax + b = –2x + 2 & a = –1, b = 2y = –x2 + 2x

Y

X

f’(x)

Y

X

Y

X

e

t

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

e = 5t2

e’ = 10t

e” = 10


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77. Una entidad financiera saca al mercado unos fondos deinversión que se rentabilizan anualmente,de acuerdo conla fórmula:

R(x) = –0,001x2 + 0,08x + 5

donde x es la cantidad depositada en miles de euros yR(x) es el tanto por ciento.

Calcula:

a) La cantidad que se debe invertir para obtener la me-jor rentabilidad.

b) Calcula el tanto por ciento en el mejor de los casos.

78. La población de una ciudad a partir del instante inicial (t = 0) sigue la función:

P(t) =

donde t es el número de años, y P(t), la población en mi-llones de habitantes.a) ¿En qué año tendrá la ciudad el mayor número de ha-

bitantes?b) ¿Cuántos habitantes tendrá en ese momento?

79. Una finca está al lado de una carretera y se quiere vallarel mayor rectángulo posible. El metro de valla al lado dela carretera cuesta 5 ", y el resto, a 2 ".Halla el área delmayor recinto que se puede vallar con 2 800 "

80. Un jardinero quiere construir un parterre (jardín pe-queño) con forma de sector circular de área máxima.Halla el radio del parterre, sabiendo que el perímetromide 24 m


x = base del rectángulo.y = altura del rectángulo.5x + 2x + 2y + 2y = 2 800

b) Función que hay que minimizar.A(x, y) = xySujeta a las condiciones:7x + 4y = 2 800

c) Se escribe la función con una sola variable.A(x, y) = xy

2 800 – 7x7x + 4y = 2800 & y = ——4

7A(x) = 700x – — x24

d) Se calculan los máximos y mínimos relativos derivando.7A'(x) = 700 – — x2

A'(x) = 0 & x = 200 Si x = 200 & y = 350

e) Se comprueba en la 2a derivada.A''(x) = – 7/2A''(200) = – 7/2 < 0 (–) & Máximo relativo.

f) El rectángulo tendrá al lado de la carretera 200 m y alotro lado 350 m, con un área de 70 000 m2

Solución:–320t + 12 800a) P'(t) = ——

(t + 40)3

P'(t) = 0 & t = 40640t – 51 200P''(t) =——

(t + 40)4

P''(40) = –1/1600 < 0 (–) & Máximo relativo.Se alcanza la máxima población a los 40 años.

b) P(40) = 3 & 3 000 000 habitantes.

t2 + 400t + 1 600(t + 40)2

Solución:a) R'(x) = – 0,002x + 0,08

R'(x) = 0 & x = 40R''(x) = – 0,002 < 0 (–) & Máximo relativo.Con 40000 euros se alcanza la máxima rentabilidad.

b) R(40) = 6,6%

Solución:B(x) = I(x) – G(x)

2B(x) = – — (x2 – 6x + 6)34B'(x) = – — (x – 3)3

B'(x ) = 0 & x = 34B''(x) = –— < 0 (–) & máximo relativo.3

Se obtiene el máximo en 3 000 unidades producidas.

x

y

374 SOLUCIONARIO

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Para profundizar

81. De una función polinómica se sabe que tiene un máximorelativo en el punto A(–2, 4), un mínimo relativo en elpunto B(1,–4),otro máximo relativo en el punto C(4,–1),y que:

f(x) = – @ f(x) = – @


82. Estudia el punto P(0, 1) de la siguiente función polinómi-ca: y = x4 + 1

83. Estudia si en el punto O(0, 0) de la siguiente función po-linómica tiene un punto de inflexión:

y = –x4 – x

Solución:y' = –4x3 – 1y'' = –12x2

y''(0) = 0y''' = –24xy'''(0) = 0

Solución:y' = 4x3

y'(0) = 0y'' = 12x2

y''(0) = 0y''' = 24xy'''(0) = 0yIV = 24 > 0 (+) & Mínimo relativo.

Solución:

Y

X

límx#–@

límx#+@


R = Longitud del radio.L = Longitud del arco.Perímetro = 24 m

b) Función que hay que minimizar.1A(L, R) = — LR2

Sujeta a las condiciones:L + 2R = 24

c) Se escribe la función con una sola variable.1A(L, R) = — LR2

L + 2R = 24 & L = 24 – 2RA(R) = 12R – R2

d) Se calculan los máximos y mínimos relativos derivando.A'(R) = 12 – 2RA'(R) = 0 & R = 6 Si R = 6 & L = 12

e) Se comprueba en la 2a derivada.A''(R) = –2A''(6) = –2 < 0 (–) & Máximo relativo.

f) El jardín tendrá un radio de 6 m y una longitud de arcode 12 m, con un área de 36 m2

R

L

Y

X

A(–2, 4)

C(4, –1)

B(1, – 4)

Y

X


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84. De una función racional se sabe que tiene como asínto-tas x = 0 e y = x, corta al eje X en los puntos A(1, 0) yB(–1, 0), y que:

f(x) = +@ f(x) = –@

f(x) = –@ f(x) = +@

Con esta información, dibuja una gráfica a mano alzada.

85. Estudia el punto P(0, – 1) de la siguiente función racional:

y =


y =

Solución:2y' = – —x3

6y'' = —x4

24y''' = –—x5

1. Tipo de función: racional.2. Dominio: Dom(f) = ! – {0} = (–@, 0) U (0, +@)3. Continuidad: es discontinua en x = 0, donde tiene una

discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.4. Periodicidad: no es periódica.5. Simetrías: es par & simétrica respecto del eje Y 6. Asíntotas:

• Verticales: x = 0• Horizontales: y = 0• Oblicuas: no tiene.

7. Corte con los ejes:• Eje X: no lo corta.• Eje Y: no lo corta.Signo:• Positiva (+): (–@, 0) U (0, +@) • Negativa (–): Ö

8. Máximos y mínimos relativos:• Máximo relativo: no tiene.• Mínimo relativo: no tiene.Monotonía:• Creciente ( ): (–@, 0) • Decreciente ( ): (0, +@)

9. Puntos de inflexión: no tiene.Curvatura:• Convexa (!): (–@, 0) U (0, +@)• Cóncava ("): Ö

10. Recorrido o imagen:Im(f) = (0, +@)

1x2


(x2 – 1)2

y'(0) = 012x2 + 4y'' = —(x2 – 1)3

y''(0) < 0 (–) & (0, –1) máximo relativo.

x2 + 1x2 – 1

Solución:

Y

X

límx#0–

límx#0+

límx#–@

límx#+@

yIV = –24 < 0 (–)En O(0, 0) no hay punto de inflexión.

Y

X

Y

X

Y

X

– –

376 SOLUCIONARIO

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toria

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ño, S

.L.

Ejercicios y problemas87. Halla la función polinómica de 3er grado que pasa por el

origen de coordenadas O(0, 0), tiene un máximo relati-vo en el punto P(–2,4) y un punto de inflexión en Q(–1,2)

88. Sea una función f(x) tal que la gráfica de su 2ª derivadaf''(x) es la recta siguiente:

Calcula para f(x):

a) la curvatura.

b) la abscisa del punto de inflexión.

c) Haz una aproximación de una gráfica de la derivadaf'(x)

89. Los gastos en euros de una empresa,en función del númerode objetos que produce, vienen dados por la función:

G(x) = x2 + 3x + 900Se define el gasto medio como el gasto que cuesta pro-ducir un objeto, es decir:

GM(x) =

Calcula:a) el número de objetos que tiene que producir para que

el gasto medio sea mínimo.b) el coste de cada pieza cuando el gasto medio sea mí-

nimo.

90. La función que halla el número de personas que visitanun parque de atracciones en verano,desde las 8 hasta las20 horas, viene dada por:

f(x) = x3 – 45x2 + 600x – 1 250Calcula:a) a qué hora hay más personas en el parque de atrac-

ciones.b) a qué hora hay menos personas en el parque de atrac-

ciones.

Solución:f '(x) = 3x2 – 90x + 600f '(x) = 0 & x = 10, x = 20f ''(x) = 6x – 90f ''(10) = –30 < 0 (–) & Máximo relativo.

Solución:900a) GM(x) = x + 3 + —x

900GM'(x) = 1 – —x2

GM'(x) = 0 & x = –30 , x = 30(El valor negativo no tiene sentido).

1 800GM'' (x) = —x3

GM''(30) = 1/15 > 0 (+) & Mínimo relativo.

b) GM(30) = 63 euros.

G(x)x

Solución:a) Convexa (!): (– @, – 1)

Cóncava ("): (– 1, + @)

b) Tiene punto de inflexión en x = –1

Y

X

f’’(x)

Solución:y = ax3 + bx2 + cx + dPasa por O(0, 0) & d = 0Pasa por P(–2, 4) & y(–2) = 4 & – 8a + 4b – 2c + d = 4Pasa por Q(–1, 2) & y(–1) = 2 & –a + b – c + d = 2y' = 3ax2 + 2bx + cMáximo relativo en P(–2, 4) & y'(–2) = 0 && 12a – 4b + c = 0y'' = 6ax + 2bPunto de inflexión en Q(–1, 2) & y''(–1) = 0 && –6a + 2b = 0Resolviendo el sistema:a = 1, b = 3, c = 0, d = 0y = x3 + 3x2

Y

XO(0, 0)

Q(–1, 2)

P(–2, 4)

Y

X


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91. En una isla de Australia hay una plaga de conejos que si-gue la función:

f(x) =

donde x representa el número de días.Calcula:a) en qué día hay más conejos y cuántos hay.b) Con el paso del tiempo, ¿hacia dónde tiende a estabi-

lizarse el número de conejos?

92. De todos los triángulos isósceles de perímetro 60 cm,halla el de área máxima.

93. Calcula un punto P(x, y) de la parábola y = x2 tal que sudistancia al punto A(0, 3) sea mínima.


Punto incógnita: P(x, y)Punto fijo: A(0, 3)Parábola: y = x2

b) Función que hay que minimizar.

d(A, P) = d(x, y) = $——x2 + (y – 3)2

Sujeta a las condiciones: y = x2

c) Se escribe la función con una sola variable.

d(y) = $——y + (y – 3)2

d(y) = $——y2 – 5y + 9

d) Se calculan los máximos y mínimos derivando.2y – 5d'(y) = ——

2$——y2 – 5y + 9

d'(y) = 0 & y = 5/2Si y = 5/2 & x = ± $—

10/2e) Se comprueba en la 2a derivada.

11d''(y) = ———4(y2 – 5y + 9)$——

y2 – 5y + 92$—

11d''(5/2) = — > 0 (+) & Mínimo relativo.11

f) Los puntos son: P(– $—10/2 , 5/2) y Q($—

10/2, 5/2)

d) Se calculan los máximos y mínimos derivando.

3$—15(20 – x)A'(x) = ——$—x – 15

A'(x) = 0 & x = 20Si x = 20 & y = 20

e) Se comprueba en la 2a derivada.

3$—15(10 – x)A''(x) = ——

2(x – 15)$—x – 15

A''(20) = –3$—3 < 0 (–) & Máximo relativo.

f) El triángulo de área máxima es el equilátero de 20 cm delado.

Solución:

a) Incógnitas, datos y dibujo.x = lado desigual del triángulo.y = lado igual.Perímetro = 60 cm

b) Función que hay que minimizar.1A(x, y) = — y · h2

Sujeta a las condiciones:2x + y = 60

yh2 = x2 – (—)2

2

c) Se escribe la función con una sola variable.

A(x) = (30 – x) $——60x – 900

Solución:1 000 000(25 – x)

a) y' = ——(x2 – 50x + 626)2

y' = 0 & x = 251 000 000(3x2 – 150x + 1 874)

y'' = ———(x2 – 50x + 626)3

y''(25) = – 1 000 000 < 0 (–) & Máximo relativo.

b) límx#+@

f(x) = 0 & Por tanto, se extinguen.

500 000x2 – 50x + 626

f ''(20) = 30 > 0 (+) & Mínimo relativo.a) Hay más personas a las 10 horas.b) Hay menos personas a las 20 horas.

x

y

h

Y

XP(x, y)

A(0, 3)

1. !(2x + 5)3 dx

2. !

3. !ex/2 dx

4. !5x + 4 dx

5. ! dx

6. !sen (2x + 1) dx

7. !cos (x – 1) dx

8. !tg dx

Solución:– 3 L |cos x/3| + k

x3

Solución:sen (x – 1) + k

Solución:1– — cos (2x + 1) + k2

Solución:1— L |x2 + 1| + k2

xx2 + 1

Solución:5x + 4— + k

L 5

Solución:2ex/2 + k

Solución:2"—

x + k

dx"x

Solución:(2x + 5)4—+ k

8

! Aplica la teoría

386 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula


Solución:

1. Reglas de integración

12 Integrales

f(x)

f '(x) 4x3

x6 x5—5

x2

x3

5x4

x6—6

x3

x

x

1

2x

xn

xn

f(x)

f '(x) 6x5 4x3

x6 x4

x4

x5—5

x2

x3—3

3x2

x3

5x4

x5

x5

x6—6

x3

x4—4

1

x

x

x2—2

0

1

2x

x2

nxn – 1

xn

xn

xn + 1—n + 1

TEMA 12. INTEGRALES 387

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9. !5ex dx

10. !(8x3 – 6x2 + 5x – 3) dx

11. !

12. ! dx

13. !5ex tg ex dx

14. !(5x7 – 6x5 – x2 – 4) dx

15. !sen 2x/3 dx

16. !

17. !e3x dx

18. !

19. !x2 tg x3 dx

20. ! dx

21. !x(5x2 – 1)3 dx

22. !5x/2 dx

23. !cos x/3 dx

24. !Solución:4

4"—x + k

dx4"x3

Solución:3 sen x/3 + k

Solución:2 · 5x/2—+ k

L 5

Solución:(5x2 – 1)4—+ k

40

Solución:1— L |x3 + 6x + 5| + k3

x2 + 2x3 + 6x + 5

Solución:1– — L |cos x3| + k3

Solución:1– — + kx

dxx2

Solución:e3x— + k3

Solución:3"—

7x—+ k7

3dx2"7x

Solución:3 2x– — cos — + k2 3

Solución:5x8 x3— – x6 – — – 4x + k8 3

Solución:– 5 L |cos ex| + k

Solución:5x

5"—x2

—+ k7

5"x2

Solución:1–— + k

4x4

dxx5

Solución:52x4 – 2x3 + — x2 – 3x + k2

Solución:5ex + k

388 SOLUCIONARIO

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" Piensa y calcula

Calcula la integral F(x) = !2x dx tal que su gráfica pase por el punto (0, 3)

Solución:F(x) = x2 + 3

Calcula tres primitivas de cada una de las siguientes fun-ciones:

25. f(x) = x + 1

26. f(x) = sen x/2

27. f(x) = ex

28. f(x) =

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

29. !(x4 – 6x2 + 3) dx

30. !(sen x – cos x) dx

31. !

32. !(x2 – x + 1 – + ) dx

Calcula la primitiva de las siguientes funciones para que pa-sen por el punto que se indica en cada caso:

33. f(x) = x2 – 4 por el punto (0, 0)

34. f(x) = ex por el punto (0, 2)

Solución:ex + 1

Solución:x3— – 4x3

Solución:x3 x2 5— – — + x – L |x| – — + k3 2 x

5x2

1x

Solución:3

3"—x2

— + k2

dx3"x

Solución:– cos x – sen x + k

Solución:x5— – 2x3 + 3x + k5

Solución:5x

5"—x3 5x

5"—x3 5x

5"—x3

— —+ 7 — – 88 8 8

5"x3

Solución:ex ex + 2 ex – 1

Solución:– 2 cos x/2 – 2 cos x/2 + 3 – 2 cos x/2 – 4

Solución:x2 x2 x2— + x — + x + 5 — + x – 72 2 2

! Aplica la teoría

2. Integral indefinida y definida

Y

XP(0, 0)

Y

XP(0, 2)


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" Piensa y calcula

Calcula mentalmente el área del recinto limitado por el eje X y la recta f(x) = 2x en el intervalo [– 2, 2]

Solución:8 u2

Y

X– 2 2

y = 2x

35. f(x) = por el punto (0, 3)

36. f(x) = sen 3x por el punto (#/3, 1)

Calcula las siguientes integrales definidas aplicando la reglade Barrow:

37. !2

5(x2 – 6x + 10) dx

38. !1

e(1/x) dx

39. !0

12e2x dx

40. !0

#/2(cos x) dx

Solución:F(x) = sen xF(#/2) – F(0) = 1 – 0 = 1 u2

Solución:F(x) = e2x

F(1) – F(0) = e2 – 1 u2

Solución:F(x) = L |x|F(e) – F(1) = 1 – 0 = 1 u2

Solución:x3

F(x) = — – 3x2 + 10x3

50 32 18F(5) – F(2) = — – — = — = 6 u23 3 3

Solución:cos 3x 2–— + —

3 3

Solución:L |x2 + 1| + 3

2xx2 + 1

3. Cálculo de áreas

Y

X

P(0, 3)

Y

XP(#/3, 1)

390 SOLUCIONARIO

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Calcula el área del recinto limitado por el eje X y cada unade las siguientes funciones en los intervalos que se indican.

41. f(x) = – x2 + 2x + 3 en el intervalo [1, 4]

42. f(x) = 1/x en el intervalo [1, e]

43. f(x) = sen x en el intervalo [0, 2#]

44. Calcula el área comprendida entre las funciones:f(x) = x2 + 2x + 1 ; g(x) = 2x + 2

45. Calcula el área comprendida entre las funciones:f(x) = x3 – 2x ; g(x) = x2

46. Calcula el área comprendida entre el eje X y la siguientefunción:

f(x) = x2 – 4

Solución:

f(x) = g(x) $ x1 = –1, x2 = 0, x3 = 2f(x) – g(x) = x3 – x2 – 2x

x4 x3F(x) = — – — – x2

4 35 5A1 = |F(0) – F(–1)| = %0 – —% = —12 12

8 8A2 = |F(2) – F(0)| = %– — – 0% = —3 3

5 8 37Área = A1 + A2 = — + — = — u212 3 12

Solución:

f(x) – g(x) = x2 – 1x3

F(x) = — – x3

2 2 4Área = |F(1) – F(–1)| = %– — – —% = — u23 3 3

F(x) = – cos xA1 = |F(#) – F(0)| = |1 + 1| = 2A2 = |F(2#) – F(#)| = |–1 – 1| = 2Área = A1 + A2 = 2 + 2 = 4 u2

Solución:

Solución:

F(x) = L |x|Área = |F(e) – F(1)| = |1 – 0| = 1 u2

Solución:

x3F(x) = – — + x2 + 3x

311 16A1 = |F(3) – F(1)| = %9 – —% = —3 3

20 7A2 = |F(4) – F(3)| = %— – 9% = —3 3

16 7 23Área = A1 + A2 = — + — = — u23 3 3

! Aplica la teoría

Y

XA2

A1x

= 4

x =

1

Y

X

x =

e

x =

1

Y

X

A2

A1#

2#

Y

X–1 1

Y

X

A2

A1

–12


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" Piensa y calcula

Sea la función f(x) = 2xa) Calcula mentalmente el área comprendida entre el eje X y la función f(x) en el intervalo [0, 3]

b) Calcula la expresión A(x) = !0

x2t dt aplicando la regla de Barrow, y calcula F(3). ¿Cómo son los resultados?

Solución:a) 9 u2 b) F(x) = x2 $ F(3) = 9Los resultados son iguales.


f(x) = x3 – 4xSolución:

f(x) = 0) $ x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2

x4F(x) = — – 2x2

4A1 = |F(0) – F(–2)| = |0 + 4| = 4A2 = |F(2) – F(0)| = | –4 – 0| = 4Área = A1 + A2 = 4 + 4 = 8 u2

Solución:

f(x) = 0 $ x1 = –2, x2 = 2

x3F(x) = — – 4x

3

16 16 32Área = |F(2) – F(–2)| = %– — – —% = — u23 3 3

4. Aplicaciones de las integrales

Y

X–2 2

Y

XA2

A1–22

48. Expresa la función área de la función f(x) = x + 1 en elintervalo [0, x] y calcula el valor del área del recinto li-mitado por el eje X y f(x) en el intervalo [0, 5]

49. Expresa la función área de la función f(x) = x2 + 2 enel intervalo [0, x] y calcula el valor del área del recintolimitado por el eje X y f(x) en el intervalo [0, 1]

Solución:x3 7A(x) = !0

x(t2 + 2) dt = — + 2x $ A(1) = — u2

3 3

Solución:x2 35A(x) = !0

x(t + 1) dt = — + x $ A(5) = — u2

2 2

! Aplica la teoría

392 SOLUCIONARIO

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50. La velocidad de un móvil en m/s se da por la función v(t) = 6 – t/2, donde t se mide en segundos. Calcula elespacio recorrido por el móvil en los 5 primeros se-gundos.

51. Calcula la función que expresa la velocidad de un co-che que mantiene una aceleración constante de 3 m/s2

52. Una empresa que hace cajas de cartón para embalartiene la siguiente función de ingreso marginal, en milesde euros:

i(x) = 8 –

donde x es el número de cajas vendidas en miles.

a) ¿Qué ingreso se obtiene por la venta de 4 000 cajas?b) ¿Cuál es el ingreso adicional al pasar de 4 000 a

5 000 cajas vendidas?

53. El coste marginal, en millones de !, de una empresa alfabricar motos se expresa por la función:

c(x) = 3 + x/2 donde x se mide en miles de unidades. ¿Cuál es el cos-te adicional al pasar de 2 000 a 4 000 unidades?

Solución:

x!2

4(3 – —) dx = 3 millones de euros.2

Solución:

xa) !0

4(8 – —) dx = 28 mil euros.2

x 23b) !4

5(8 – —) dx = — mil euros.2 4

x2

Solución:

v(t) = !0

t3 dt = 3t

Solución:

t 95e = !0

5(6 – —) dt = — m2 4


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Ejercicios y problemas1. Reglas de integración

54. !x sen x2 dx

55. ! dx

56. !(– 3x + 2)5 dx

57. !5 sen dx

58. !

59. !x e5x2 dx

60. !(– 7x4 + 4x3 – x + 1) dx

61. !x4 cos (3x5 + 1) dx

62. !

63. !tg x/5 dx

64. ! dx

65. !52x – 1 dx

66. ! ex dx

67. !cos dx

68. ! dx

69. !(– 3x + 1)2 dx

Solución:(–3x + 1)3

–—+ k9

Solución:L |x2 – x| + k

2x – 1x2 – x

Solución:2 5x – 3— sen — + k5 2

5x – 32

Solución:2— ex + k3

23

Solución:52x – 1—+ k2 L 5

Solución:7x

7"—x3

—+ k10

7"x3

Solución:– 5 L |cos x/5| + k

Solución:8"—

3x—+ k3

4 dx"3x

Solución:sen (3x5 + 1)——+ k

15

Solución:7x5 x2

–— + x4 – — + x + k5 2

Solución:e5x2

— + k10

Solución:1– — + k

5x5

dxx6

Solución:x–10 cos — + k2

x2

Solución:(–3x + 2)6

–—+ k18

Solución:L |x| + k

1x

Solución:1– — cos x2 + k2

394 SOLUCIONARIO

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70. !x cos x2 dx

71. !ex / 5 dx

72. !

73. !32x +1 dx

74. ! dx

75. !(5x4 – 9x2 – 6x + 1) dx

76. !

77. !tg (3x – 1) dx

2. Integral indefinida y definida

Calcula tres primitivas de cada una de las siguientes fun-ciones:

78. f(x) = 6x2 – 8x – 3

79. f(x) = 2/x

80. f(x) = 2 tg x/2

81. f(x) = 6/x3

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

82. !(– x3 + 3x2 + 4x – 1) dx

83. !(cos x/3 – tg 2x) dx

84. ! dx

Solución:5x

5"—x4

—+ k9

5"x4

Solución:13 sen x/3 + — L |cos 2x| + k2

Solución:x4

– — + x3 + 2x2 – x + k4

Solución:F1(x) = – 3/x2 F2(x) = – 3/x2 + 9 F3(x) = – 3/x2 – 7

Solución:F1(x) = – 4 L |cos x/2|F2(x) = – 4 L |cos x/2| + 1F3(x) = – 4 L |cos x/2| – 3

Solución:F1(x) = 2 L |x|F2(x) = 2 L |x| + 7F3(x) = 2 L |x| – 8

Solución:F1(x) = 2x3 – 4x2 – 3xF2(x) = 2x3 – 4x2 – 3x + 5F3(x) = 2x3 – 4x2 – 3x – 4

Solución:1– — L |cos (3x – 1)| + k3

Solución:1–—— + k

8(2x – 1)4

dx(2x – 1)5

Solución:x5 – 3x3 – 3x2 + x + k

Solución:7(3x + 5)

7"—(3x + 5)4———+ k

33

7"(3x + 5)4

Solución:32x + 1—+ k2 L 3

Solución:2"—5x – 1—+ k

5

dx"5x – 1

Solución:5ex/5 + k

Solución:1— sen x2 + k2


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85. !((3x – 1)2 + – ) dx

Calcula la primitiva de las siguientes funciones para que pasenpor el punto que se indica en cada caso:

86. f(x) = (2x – 1)3 por el punto (1, 2)

87. f(x) = 1 / x por el punto (1, e)

88. f(x) = por el punto (2, 5)

89. f(x) = cos x / 2 por el punto (#, 2)

90. f(x) = ex / 3 por el punto (0, 0)

Calcula las siguientes integrales definidas aplicando la regla deBarrow.

91. !– 1

1(x2 – 1) dx

92. !0

3dx

93. !1

32x dx

Solución:2F(x) = — x "—

x3

F(3) – F(0) = 2"—3

"x

Solución:x3

F(x) = — – x3

4F(1) – F(– 1) = – —3

Solución:F(x) = 3ex/3 – 3

Solución:F(x) = 2 sen x/2

Solución:F(x) = 1 + 2"—x + 2

1"x + 2

Solución:L |x| + e

Solución:(2x – 1)4 15—+ —

8 8

Solución:(3x – 1)3 4—+ 3 L |2x + 3| +—+ k

9 5(5x – 1)

4(5x – 1)2

62x + 3

Y

XP(1, 2)

Y

X

P(1, e) –

Y

X

P(2, 5) –

Y

X

P(#, 2)

Y

XP(0, 0)

396 SOLUCIONARIO

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94. !0

#sen x dx

3. Cálculo de áreasCalcula el área del recinto limitado por el eje X y cada una delas siguientes funciones en los intervalos que se indican.

95. f(x) = 6/x en el intervalo [1, e]

96. f(x) = ex en el intervalo [0, 1]

97. f(x) = cos x en el intervalo [0, 2#]

98. Calcula el área comprendida entre las funciones:f(x) = – x2 + 4x – 1 ; g(x) = – x + 3

99. Calcula el área comprendida entre las funciones:f(x) = x3 ; g(x) = x2

Solución:

f(x) = g(x) $ x1 = 0, x2 = 1g(x) – f(x) = x2 – x3

x3 x4F(x) = — – —

3 41 1Área = |F(1) – F(0)| = %— – 0% = — u212 12

Solución:

f(x) = g(x) $ x1 = 1, x2 = 4f(x) – g(x) = – x2 + 5x – 4

x3 5F(x) = – — + — x2 – 4x3 2

8 11 27 9Área = |F(4) – F(1)| = %— + —% = — = — u23 6 6 2

Solución:

F(x) = sen xA1 = 1, A2 = 2, A3 = 1Área = 4 u2

Solución:

F(x) = ex

Área = |F(1) – F(0)| = e – 1 u2

Solución:

F(x) = 6 L |x|Área = |F(e) – F(1)| = |6 – 0| = 6 u2

Solución:F(x) = – cos xF(#) – F(0) = 2

Solución:2x

F(x) = —L 2

6F(3) – F(1) = —L 2

Y

X

x =

1

x =

e

Y

X

x =

0

x =

1

Y

X

A2

A1 A3

x =

2#

x =

0

##/2

Y

X41

Y

X

–1

1

0 1–1


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f(x) = – x2 + 1


f(x) = x3 – 2x2

4. Aplicaciones de las integrales

102. Expresa la función área de la función f(x) = x2 + 2x en elintervalo [0, x] y calcula el valor del área del recinto li-mitado por el eje X y f(x) en el intervalo [0, 3]

103. Expresa la función área de la función f(x) = ex en el in-tervalo [0, x] y calcula el valor del área del recinto limi-tado por el eje X y f(x) en el intervalo [0, 1]

104. La velocidad de un móvil en m/s se da por la funciónv(t) = 2 + t, donde t se mide en segundos. Calcula el espacio recorrido por el móvil en los 6 primeros se-gundos.

105. Calcula las funciones que expresan la velocidad y el es-pacio recorrido por una pelota que cae libremente al vacío.

106. La función de ingreso marginal de un producto, en millo-nes de euros, es:

i(x) = 15 – 2x

donde x es el número de unidades vendidas en miles.

a) ¿Qué ingreso se obtiene por la venta de 2 000 unida-des?

b) ¿Cuál es el ingreso adicional al pasar de 2 000 a 3 000unidades vendidas?

Solución:

a) !0

2(15 – 2x) dx = 26 millones de euros.

b) !2

3(15 – 2x) dx = 10 millones de euros.

Solución:Suponemos g = 10 m/s2

v(t) = !0

t10 dt = 10t

e(t) = !0

t10t dt = 5t2

Solución:

e = !0

6(2 + t) dt = 30 m

Solución:

A(x) = !0

xet dt = ex $ A(1) = e u2

Solución:

x3A(x) = !0

x(t2 + 2t) dt = — + x2 $ A(3) = 18 u2

3

Solución:

f(x) = 0 $ x1 = 0, x2 = 2

x4 2x3F(x) = — – —

4 34 4Área = |F(2) – F(0)| = %– — – 0% = — u23 3

Solución:

f(x) = 0 $ x1 = –1, x2 = 1

x3F(x) = – — + x

32 2 4Área = |F(1) – F(–1)| = %— + —% = — u23 3 3

Y

X1–1

Y

X20

398 SOLUCIONARIO

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107. !(x5 + – + – ) dx

108. !((x + 3)4 – + ) dx

109. !(ex / 2 – 72x – 3 + ) dx

110. !(sen (2x + 1) – cos + x tg x2) dx

Calcula la primitiva de las siguientes funciones para que pasenpor el punto que se indica en cada caso y haz el dibujo de lafunción integral para comprobarlo.

111. f(x) = 2x por el punto (1, 2)

112. f(x) = ex por el punto (1, e)

113. f(x) = por el punto (4, 5)

114. f(x) = cos x por el punto (#, 2)

Calcula las siguientes integrales definidas aplicando la regla deBarrow, dibuja cada una de las funciones del integrando y hazla interpretación geométrica de la regla de Barrow.

115. !0

4(x + 1) dx

Solución:F(x) = 2 + sen x

Solución:F(x) = 2"—

x + 1

1"x

Solución:F(x) = ex

Solución:F(x) = x2 + 1

Solución:1 x 1– — cos (2x + 1) – 2 sen — – — L |cos x2| + k2 2 2

x2

Solución:72x – 3 12ex/2 – — + — L |x2 – 9| + k2 L 7 2

xx2 – 9

Solución:(x + 3)5 1—– L |2x + 3| – — + k

5 3x – 1

3(3x – 1)2

22x + 3

Solución:x6 4 2x"—

x 33"—

x2— + L |x| + — +— – —+ k6 x 3 2

13"x

"x4x2

1x

Para ampliar

Y

XP(1, 2)

Y

X

P(1, e)

Y

X

P(4, 5) –

Y

X

P(#, 2)


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116. !2

5dx

117. !0

1ex dx

118. !0

#/2sen x dx

Calcula el área del recinto limitado por el eje X y cada una delas siguientes funciones en los intervalos que se indican.

119. f(x) = 2 / (x – 1) en el intervalo [2, e + 1]

120. f(x) = e– x en el intervalo [0, 1]

Solución:

F(x) = – e– x

1Área = |F(1) – F(0)| = %– — + 1% = 1 – 1/e u2e

Solución:

F(x) = 2 L |x – 1|Área = |F(e + 1) – F(2)| = |2 – 0| = 2 u2

Solución:F(x) = – cos xF(#/2) – F(0) = 0 + 1 = 1 u2

El resultado obtenido, 1 u2, es el área de la zona coloreada.

Solución:F(x) = ex

F(1) – F(0) = e – 1 u2

El resultado obtenido, e – 1 u2, es el área de la zona colo-reada.

Solución:2(x – 1)"—x – 1

F(x) = ——316 2 14F(5) – F(2) = — – — = — u23 3 3

14El resultado obtenido,— u2, es el área de la zona coloreada.3

"x – 1

Solución:x2

F(x) = — + x2

F(4) – F(0) = 12 – 0 = 12 u2

El resultado obtenido, 12 u2, es el área de la zona coloreada.

Y

X

x =

0

x =

4

Y

X

x =

2

x =

5

–

Y

X

x =

0

x =

1Y

X

x =

0

x =

#/2

Y

X

x =

2

x =

e +

1

Y

X

x =

0

x =

1

400 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas121. Calcula el área comprendida entre las funciones:

f(x) = – 3x2 + 4 ; g(x) = x2

122. Calcula el área comprendida entre las funciones:f(x) = x4 ; g(x) = x2

123. Calcula el área comprendida por el eje X y la función f(x) = – x2 + 4x

124. Calcula el área comprendida por el eje X y la función f(x) = 3x2 – x3

125. Expresa la función área A(x) en el intervalo [0, x] limita-da por el eje X y la función f(x) = 2x – 2. Dibuja la gráfi-ca f(x) y A(x) e interpreta el resultado.

126. Expresa la función área A(x) en el intervalo [1, x] limita-da por el eje X y la función f(x) = 1 / x

a) Dibuja la gráfica f(x) y A(x) e interpreta el resultado.

b) Calcula el valor del área del recinto limitado por el ejeX y la función f(x) en el intervalo [1, e]

Solución:

A(x) = !0

x(2t – 2) dt = x2 – 2x

La función A(x) halla el área comprendida entre el eje X yla recta y = 2x – 2 en el intervalo [0, x]

Solución:

f(x) = 0 $ x1 = 0, x2 = 3

x4F(x) = x3 – —

427 27Área = |F(3) – F(0)| = %— – 0% = — u24 4

f(x) = 0 $ x1 = 0, x2 = 4x3

F(x) = – — + 2x23

32 32Área = |F(4) – F(0)| = %— – 0% = — u23 3

Solución:

Solución:

f(x) = g(x) $ x1 = –1, x2 = 0, x3 = 1f(x) – g(x) = x4 – x2

x5 x3F(x) = — – —

5 3A1 = A2 = 2/15Área = 4/15 u2

Solución:

f(x) = g(x) $ x1 = –1, x2 = 1f(x) – g(x) = – 4x2 + 4

4F(x) = – — x3 + 4x3

8 8 16Área = |F(1) – F(–1)| = %— + —% = — u23 3 3

Y

X–1 1

Y

XA2A1

–1

1

0 1–1

Y

X0 4

Y

X0 3

Y

X


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127. La velocidad de un móvil en m/s viene dada por la fun-ción v(t) = 5 + 2t, donde t se mide en segundos. Calcu-la el espacio recorrido por el móvil entre los 3 y 5 se-gundos.

Solución:

e(t) = !(5 + 2t) dt = 5t + t2

e(5) – e(3) = 50 – 24 = 26 m

La función A(x) halla el área comprendida entre el eje X yla hipérbola y = 1/x en el intervalo [1, x]

b) A(e) = L e = 1 u2

Solución:

1A(x) = !1

x— dt = L |x|t

a)Y

X

Problemas

128. Dadas las curvas de los siguientes gráficos, halla la fór-mula de cada una de ellas y luego calcula la integral inde-finida.a) b)

129. Dadas las curvas de los siguientes gráficos, halla la fór-mula de cada una de ellas y luego calcula la integral inde-finida.a) b)

130. Dada la recta y = – 2x + 4a) haz el dibujo de la recta.b) calcula dos primitivas.c) representa en el mismo dibujo de la recta las dos pri-

mitivas.d) ¿en qué se parecen las dos primitivas?

Solución:

F1(x) = – x2 + 4xF2(x) = – x2 + 4x – 3Una primitiva se obtiene de la otra por una traslación.

Solución:a) y = "—

x2x"—

xF(x) = — + k3

b) y = 2x

2xF(x) = — + k

L 2

Solución:a) y = x2 – 4x + 3

x3F(x) = — – 2x2 + 3x + k

3b) y = 1/x

F(x) = L |x| + k

Y

X

Y

X

Y

X

–

Y

X

Y

X

402 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas131. Dada la recta del siguiente gráfico:

a) halla la ecuación de la recta.

b) calcula dos primitivas.

c) representa en el mismo dibujo de la recta las dos pri-mitivas.

d) ¿en qué se parecen las dos primitivas?

132. Dada la curva del siguiente gráfico:

a) halla la fórmula de la función.

b) calcula una primitiva y represéntala.

c) ¿en qué se parecen la primitiva y la función?

133. Calcula el área comprendida entre los ejes de coorde-nadas y la función f(x) = – x3 + x2 + 4

134. Dada la curva del siguiente gráfico, halla la fórmula y lue-go calcula la integral indefinida.

135. Calcula el área comprendida entre las funciones:

f(x) = – x2 + 5 ; g(x) = – 4

Solución:f(x) = g(x) $ x1 = –3, x2 = 3

f(x) – g(x) = – x2 + 9

x3F(x) = – — + 9x

3

Área = |F(3) – F(–3)| = |18 + 18| = 36 u2

Solución:y = sen x

!sen x dx = – cos x + k

2#

–1

1

1 2 4 50 # / 2 # 3 / 2#

3 6

Solución:

x4 x3F(x) = – — + — + 4x

4 320 20Área = |F(2) – F(0)| = %— – 0% = — u23 3

Solución:a) y = ex

b) F(x) = ex + 1c) Una primitiva se obtiene de la otra por una traslación.

Y

X

Solución:a) y = 2xb) F1(x) = x2

F2(x) = x2 – 1c)

d) Una primitiva se obtiene de la otra por traslación.

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X0

2


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136. Calcula el área comprendida por el eje X y la función

f(x) = x2 – 2x – 3


f(x) = x3 + 3x2 – x – 3


f(x) = x3 – 6x2 + 9x

139. Calcula el área comprendida por el eje X y la función f(x) = x4 – 5x2 + 4

140. Dada la función f(x) = x2 y una tangente a dicha curva y = 2x – 1, halla el punto de tangencia y el área com-prendida por el eje de ordenadas, la curva y la tangente.

Solución:

x2 = 2x – 1 $ x = 1Punto de tangencia: P(1, 1)f(x) – g(x) = x2 – 2x + 1

x3F(x) = — – x2 + x

3Área = 1/3 u2

Solución:

f(x) = 0 $ x1 = –2, x2 = –1, x3 = 1, x4 = 2

x5 5x3F(x) = — – — + 4x

5 3A1 = A3 = 22/15,A2 = 76/15

Área = 8 u2

Solución:

f(x) = 0 $ x1 = 0, x2 = 3

x4 9x2F(x) = — – 2x3 + —

4 227 27Área = |F(3) – F(0)| = %— – 0% = — u24 4

Solución:

f(x) = 0 $ x1 = –3, x2 = –1, x3 = 1

x4 x2F(x) = — + x3 – — – 3x

4 2

A1 = A2 = 4

Área = 8 u2

Solución:

f(x) = 0 $ x1 = –1, x2 = 3

x3F(x) = — – x2 – 3x

3

5 32Área = |F(3) – F(–1)| = %–9 – —% = — u23 3

Y

X–3 3

Y

X–1 3

Y

XA2

A1

1–1–3

Y

X0 3

Y

X

A3A1

A2

–2 –1 1 2

Y

X–1

–1

1

1

404 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas141. Calcula el área del recinto limitado por la función

f(x) = x2 – 4 y las tangentes a dicha curva en los puntosde corte con el eje de abscisas.

142. El ritmo de crecimiento de una población de aves vienedado por la función f(x) = – x2 + 2x + 8, donde x se mi-de en años, y f(x), en miles. ¿En cuánto aumentarán lasaves durante el segundo y el tercer año?

143. Una tubería se rompe y se pierde agua a una velocidaddeterminada por la función f(t) = 1 + 2t, donde t se mi-de en minutos, y f(t), en litros por minuto.a) ¿Cuál es la función que da la cantidad de agua perdida

al cabo de x minutos?b) ¿Cuánta agua se pierde durante la cuarta hora?

Para profundizar144. Representa la función:

y = |x|y sin utilizar el cálculo integral halla el área comprendidaentre el eje X y la función en el intervalo [– 2, 3]

145. Calcula el área del recinto limitado por el eje X y la si-guiente función en el intervalo que se indica:

f(x) = tg x en el intervalo [0, #/4]

146. Calcula el área comprendida entre el eje X , la recta x = 4y la función f(x) =

Solución:

Área = !4

–5"—x + 5 dx = 18 u2

"x + 5

Solución:

L 2!0

#/4tg x dx = — = 0,35 u2

2

Solución:

Área = 6,5 u2

Solución:

a) F(x) = !0

x(1 + 2t) dt = x + x2

b) F(4) – F(3) = 20 – 12 = 8 litros.

Solución:

46!13(– x2 + 2x + 8) dx = — miles de aves.

3

Solución:

y = x2 – 4 corta al eje de abcisas en los puntos A(– 2, 0) yB(2, 0)y’ = 2xRecta tangente en el punto A(– 2, 0)y’(– 2) = – 4y = – 4(x + 2) $ y = – 4x – 8f(x) – g(x) = x2 + 4x + 4A1 = 8/3 u2

Recta tangente en el punto B(2, 0)y’(2) = 4y = 4(x – 2) $ y = 4x – 8f(x) – g(x) = x2 – 4x + 4A2 = 8/3 u2

Área = 16/3 u2

Y

X

A2A1

Y

X

x =

–2

x =

3

Y

X–1

–1

1

1

x =

0

x =

#/4

Y

X– 5

x =

4


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147. Calcula el área comprendida entre los ejes y la función:f(x) = – 2 +

148. Dadas las funciones: f(x) = kx2; g(x) = x, halla el valor dek para que el área comprendida entre las dos curvas sea8 / 3 u2

149. El número de nacimientos, en miles, en una poblaciónviene dado por la función:

f(x) = – x2 + 6 xdonde x se mide en años.El número de muertes,en miles,en la población viene da-do por la función g(x) = x2 – 8x + 20, donde x se mideen años.Calcula la variación de población entre el segundo y quin-to año.

150. El coste marginal, en millones de euros, de una empresaal fabricar juguetes se expresa por la función

c(x) = 2 + x / 3donde x se mide en miles de unidades.¿Cuál es el coste adicional al pasar de 2 000 a 3 000 uni-dades?

151. El beneficio marginal, en millones de euros, que se ob-tiene de un determinado producto viene dado por lafunción:

b(x) = – x2 + 4x + 5donde x son, en miles, las unidades producidas y ven-didas.Calcula el beneficio conseguido al aumentar la produc-ción de 2 000 a 4 000 unidades.

Solución:

46!2

4(–x2 + 4x – 5) dx = — millones de euros.

3

Solución:Variación de la población:

x 19!2

5(2 + —) dx = — millones de euros.3 2

Solución:

Variación de la población:

f(x) – g(x) = –2x2 + 14x – 20

!2

5(–2x2 + 14x – 20) dx = 9 mil personas.

Solución:Resolviendo la ecuación kx2 = x se obtiene, x = 0 y x = 1/k

1!0

1/k(x – kx2) dx = —

6k2

Resolviendo la ecuación:1 8 1— = — $ k = ± —

6k2 3 41a) k = —4

1b) k = – —4

Solución:

8Área = | !0

4(– 2 + "—

x ) dx | = — u23

"x

Y

X0 4

Y

X0 4

Y

X– 4 0

Y

X2 5

406 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas152. Un móvil parte del reposo y tarda 5 segundos en alcan-

zar una velocidad de 6 m/s. Mantiene esa velocidad du-rante 2 segundos y comienza a frenar hasta pararse en 2 segundos. Calcula el espacio que ha recorrido.

Solución:

6xÁrea = !0

5— dx + !5

76 dx + !7

9(– 3x + 27) dx =

5

= 15 + 12 + 6 = 33 m

Y

X

y = 6

y = 6x/5 y = – 3x + 27

0 5 7 9

BLOQUE IV

Estadística y probabilidad13. Estadística bidimensional14. Probabilidad.

Distribución binomial y normal

412 SOLUCIONARIO

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1. Las calificaciones de 30 estudiantes en dos exámenes hansido las siguientes:

Haz la tabla de frecuencia de doble entrada.

Solución:

! Aplica la teoría

13 Estadísticabidimensional

1. Distribuciones bidimensionales" Piensa y calcula

Se ha administrado una sustancia A, otra B y otra C a 20 individuos para estudiar su relación con los niveles de colesterol.Observando las gráficas, indica qué sustancia tiene mayor relación con la subida o bajada de colesterol.

Solución:La A y la C. En la A, al aumentar la cantidad de sustancia baja el nivel del colesterol; y en la C, al aumentar la cantidad desustancia, aumenta también la cantidad de colesterol.

Y

X2 4 6 8 10 12

140

150160

170

180

190

Sustancia A (mg)

Col

este

rol (

mg/

dl) Y

X2 4 6 8 10 12

140

150160

170

180

190

Sustancia B (mg)

Col

este

rol (

mg/

dl) Y

X2 4 6 8 10 12

140

150160

170

180

190

Sustancia C (mg)

Col

este

rol (

mg/

dl)

1er Examen2o ExamenNo estudiantes

55

510

74

62

74

83

102

4 5 6 7 7 9 10X

Y 4 5 6 7 9 10

5 5 10 0 0 0 0 15

6 0 0 0 2 0 0 2

7 0 0 4 4 0 0 8

8 0 0 0 0 3 0 3

10 0 0 0 0 0 2 2

5 10 4 6 3 2 30

TEMA 13. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 413

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2. Dibuja el diagrama de barras correspondiente a la si-guiente distribución bidimensional:

3. Dibuja la nube de puntos de la siguiente distribución bi-dimensional:

Solución:

Solución:

XY 1 2 3 4 5

1 3 0 0 0 0

2 0 1 0 0 0

3 2 1 6 0 0

4 0 3 0 3 2

5 0 0 0 0 4

X 2 1 4 2 1 3 4 2 3 1

2 5 1 3 3 2 2 4 3 4Y

Y

Frecuencia

X1 1

12

34

5

2 3 4 5

56

32

4

Y

X1

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6

414 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Cilindrada(cm3)1 000

Velocidad(km/h)

125

1 200 130

1 400 140

1 600 145

1 600 150

1 800 170

2 000 190

2 000 195

" Piensa y calcula

La siguiente distribución recoge las calificaciones de Matemáticas y de Lengua de un grupo de 6 alum-nos. Calcula mentalmente la media de cada asignatura:

Solución:Media de Matemáticas: 5 Media de Lengua: 6

2. Parámetros

MatemáticasLengua 4 4 5 6 7 10

2 3 5 5 6 9

xi 8 7 6 5 7 8 6 5

5 4 7 4 3 6 5 5

2 4 3 5 3 4 2 2

yi

ni

4. Calcula la covarianza de la siguiente distribución bidi-mensional:


6. La siguiente tabla recoge ladistribución de la cilindradade un motor y la velocidadmáxima que puede generar:

a) Representa la nube depuntos.

b) Representa el centro degravedad.

c) Calcula e interpreta la co-varianza.

Solución:a) b)

c) Covarianza = 2 025 000/8 – 1 575 · 155,63 = 8 015,63La nube de puntos se orienta a la derecha y arriba.

Solución:Covarianza = 368/30 – 5 · 2,40 = 0,27

Solución:Covarianza = 783/25 – 6,48 · 4,80 = 0,22

! Aplica la teoría

XY 2 4 6 8

1 1 3 0 22 2 5 1 03 3 1 4 64 0 2 0 0

Y

X20001000 1500

120

150

200

G(1575, 155,63)

" Piensa y calcula

Indica el signo de la covarianza y si la relación entre las variables es funcional, fuerte o nula en lossiguientes casos:

Solución:En la 1a la covarianza es positiva y la relación es funcional; en la 2a, la covarianza y la relación son nulas, y en la 3a, la cova-rianza es negativa y la relación es fuerte.

3. Correlación


© G

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ño, S

.L.

7. Calcula el coeficiente de correlación e indica el tipo decorrelación para la siguiente distribución bidimensional:

8. La temperatura media en los meses de invierno en va-rias ciudades y el gasto medio por habitante en cale-facción han sido:

Calcula el coeficiente de correlación e interpreta el re-sultado.


Solución:

Coeficiente de correlación = 0,45

Correlación débil y directa.

Solución:

Coeficiente de correlación = – 0,99

Correlación muy fuerte e inversa.

Es decir, cuando baja la temperatura se gasta mucho encalefacción.

Solución:Coeficiente de correlación = – 0,66Correlación débil e inversa.

! Aplica la teoría

Y

X

Y

X

Y

X

Temperatura (°C) 10Gasto (!) 150

12

120

14

102

15

90

17

50

20

18

xi 1 4 4 2 5 3 1

5 2 3 6 3 2 4yi

XY 1 2 3 4

1 1 2 0 02 2 1 0 03 0 1 2 34 0 4 3 1

416 SOLUCIONARIO

© G

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toria

l Bru

ño, S

.L.

Antigüedad 1Nº piezas 7

2

8

3

6

4

4

5

3

6

2

" Piensa y calcula

Se han ajustado las nubes de puntos adjuntas según las rectas dadas. Calcula el valor de y para x = 20 en la 1ª y x = 30 en la 2ª. ¿Qué estimación crees que es más fiable?

Solución:En la 1a, para x = 20 ! y = 398,36En la 2a, para x = 30 ! y = 28,79La 1a es más fiable, porque los datos están más relacionados.

10. Calcula la recta de regresión de la siguiente distribu-ción bidimensional:

11. Un laboratorio ha experimentado, en 6 pacientes, conun medicamento para bajar la temperatura de los en-fermos,observado el tiempo que tarda en desaparecer,y ha obtenido los resultados siguientes:

Calcula la recta de regresión y estima el tiempo que tar-daría en normalizarse la temperatura para 650 mg

12. En una empresa, la relación entre el número de piezasdefectuosas que elaboran unos trabajadores y la anti-güedad de éstos es:

a) Calcula la recta de regresión.b) Estima el número de piezas defectuosas que haría

un obrero con 7 años de antigüedad.c) Estima el tiempo que llevaría trabajando un obrero

si no hiciese piezas defectuosas.

Solución:a) y – 5 = –1,2(x – 3,5)

y = –1,2x + 9,2b) Para x = 7 ! y = 0,8 piezas defectuosas.c) Para y = 0 ! x = 7,67 años.

Solución:

y – 2,75 = – 0,0047(x – 350)

y = – 0,0047x + 4,4

Para x = 650 ! y = 1,35 horas.

Solución:y – 28,4 = 0,5(x – 3) ! y = 0,5x + 26,9

! Aplica la teoría

4. Regresión

Dosis (mg) 100Tiempo (h) 4

200

3,5

300

3

400

2

500

2,5

600

1,5

X 1 2 3 4 5

26 30 27 31 28Y

Y

X2 4 6 8 10

50

90

130

170

210 y = 18,54x + 27,56Y

X20 22 24 26 28

1020

30

40

50

y = 0,42x + 16,19


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ño, S

.L.

Ejercicios y problemas1. Distribuciones bidimensionales

13. Haz la tabla de frecuencia de doble entrada de la siguientedistribución bidimensional:


15. Haz la tabla de frecuencias de las siguientes nubes de puntos:a) b)

2. Parámetros16. Calcula la covarianza de la siguiente distribución bidi-

mensional:


18. La siguiente tabla recoge el crecimiento de una planta según los gramos de abono que se le suministran.Abono (g): X; crecimiento (cm): Y

a) Representa la nube de puntos.b) Representa el centro de gravedad.c) Calcula e interpreta la covarianza.

Solución:a) b)

c) Covarianza = 346/8 – 4,50 · 8,25 = 6,13La nube de puntos se orienta a la derecha y arriba.

Solución:Covarianza = 6 520/33 – 7,06 · 27,52 = 3,30

Solución:Covarianza = 1 608/26 – 5,81 · 10,50 = 0,87

Solución:a)

b)

Solución:

Solución:

X 14

20

6

16

19

12

16

21

8

17

20

5

17

21

4

19

20

3

20

21

4

Yni

xi 5

11

2

7

11

4

4

10

3

5

10

3

7

12

4

8

11

2

4

9

3

6

10

5

yi

ni

XY 14

19 020 621 0

6

16

120820

17

0549

19

0303

20

0044

12141642

XY 3

24 326 228 030 1

5

0430

7

0321

9

1043

11

0024

XY 1 2 3 4

1 0 0 0 02 0 2 0 13 2 5 6 54 4 3 0 3

Y

Frecuencia

X1 1

12

34

5

2 3 4 5

56

32

4

Y

X2

2

4

6

8

10

12

4 6 8 10 12

Y

X2

2

4

6

8

10

12

4 6 8 10 12

X 2 3 3 4 5 5 6 6 7 8

2 3 4 4 3 5 5 6 8 9

9

8

10

10Y

X 1 2 3 4 5 6 7 8

5 5 6 7 9 10 12 12Y

X 3 3 4 4 5 6 6 7 8 8

9 10 7 8 7 5 6 4 3 4

9

2

9

3Y

X

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

56

9101112

78 G(4,5; 8,25)

418 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas3. Correlación


20. La temperatura en grados y la presión atmosférica enmilímetros en distintas ciudades son:

Calcula el coeficiente de correlación e interpreta el re-sultado.


4. Regresión

22. Calcula la recta de regresión de y sobre x de la siguien-te distribución bidimensional:

Calcula el valor de y para x = 9 y el valor de x para y = 30


24. Las 10 últimas cotizaciones de dos empresas dedicadasa dar servicios por Internet han sido:

Calcula la recta de regresión de y sobre x y analiza si se-ría fiable hacer alguna estimación.

Solución:y – 4,88 = 0,1(x – 8,64)y = 0,1x + 4,02No es muy fiable hacer estimaciones porque el coeficien-te de correlación r = 0,53 está, en valor absoluto, muy ale-jado de 1. La correlación es débil.

Solución:y – 1,85 = 0,45(x – 1,93) y = 0,45x + 0,98

Solución:y – 25,8 = 3,25(x – 5,4)y = 3,25x + 8,25Para x = 9 ! y = 37,5Para y = 30 ! x = 6,69

Solución:Coeficiente de correlación = 0,90La correlación es directa y fuerte.

Solución:Coeficiente de correlación = 0,91La correlación es directa y fuerte.

Solución:Coeficiente de correlación = 0,65La correlación es directa y débil.

xi 14

80

15

81

16

80

19

82

17

81

15

78yi

X 8,20

4,80

8,15

4,83

8,40

4,90

8,50

4,88

8,88

4,95

8,81

4,96

8,87

4,88

8,75

4,80

8,87 8,99

4,85 4,92Y

X 2

16

4

20

6

25

7

34

8

34Y

xi 3

3yi

5

4

6

7

5

6

13

6

7

5

6

8

6

7

7

5

8

8

4

8

10

2

10

10

3ni

Temp. (°C) 12Presión (mm) 800

13

805

14

803

17

810

15

805

13

800

16

810

XY 0

0 51 12 23 04 0

1

28510

2

061046

3

071060

4

00020


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.L.

25. La tabla siguiente recoge los datos de un grupo de estu-diantes con las horas dedicadas al estudio de un examen,X, y la calificación obtenida,Y:

Dibuja la nube de puntos e indica si sobre ella se puedededucir alguna relación.

26. Haz la tabla de frecuencia de doble entrada de la siguientedistribución bidimensional:


28. Haz la tabla de frecuencias de las siguientes nubes de puntos:a) b)



Solución:Covarianza: 1 272/30 – 6,17 · 5,80 = 6,63

Solución:a)

b)

Solución:

Solución:

Solución:

La relación que se obtiene es que al aumentar las horasde estudio, se aumenta la calificación. Es una relacióndirecta.

X 4

5

6

7

7

8

3

5

3

6

7

7

8

8

7

9

5

6

6

6Y

xi 1

0yi

2

1

4

3

3

2

2

4

5

4

6

8

3

6

5

2

8

4

3

9

8

4

9

10

2

10

8

5ni

xi 6

2yi

7

6

3

10

5

3

6

4

3

4

4

4

5

3

5

2

2

5

3ni

XY 1

1 02 13 34 2

2

4150

3

3200

4

4100

XY 0

60 470 680 090 0

1

2730

2

0830

3

0043

XY 2

2 03 04 05 3

3

00022

04509

06006

7100017

7205537

3 4 5 6

Para ampliar

X

Y

1 2 3 4 5 6Horas de estudio

Cal

ifica

ción

7 8

56

910

78

Y

Frecuencia

X1 1

12

34

5

2 3 4 5

56

32

4

Y

X2

2

4

6

8

10

12

4 6 8 10 12

Y

X2

2

4

6

8

10

12

4 6 8 10 12

X 2 2 3 3 4 5 5 6 7 7

5 6 6 7 7 7 9 10 7 9

8

8

8

10Y

X 1 2 3 3 4 4 5 6 7 8

6 7 5 6 6 7 5 5 4 3

9

3

9

4Y

420 SOLUCIONARIO

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.L.






Solución:y – 6,67 = 0,83(x – 5,42)y = 0,83x + 2,17

Solución:y – 8,71 = 0,7881(x – 7,14)y = 0,7881x + 3,083

Solución:Coeficiente de correlación: 0,98Es directa y fuerte.

Solución:Coeficiente de correlación: 0,64Es directa y débil.

Solución:Covarianza: 4 220/40 – 1,38 · 72,50 = 5,81

xi 65

68

63

66

67

68

64

65

68

69

62

66

70

68

66

65yi

X 175

169

181

185

192

202

211

219

235

240

255

266

275

295

286

329

292

357Y

X 170

173

168

170

170

173

165

170

175

178

169

170

180

179

175

172

173

180Y

X 6

8

5

7

8

10

8

9

7

8

6

8

10

11Y

XY 4

5 36 47 08 0

5

2650

6

0082

7

0006

35. La siguiente tabla recoge la estatura en centímetros de ungrupo de padres (X) y sus respectivos hijos mayores (Y):

Calcula:a) el coeficiente de correlación.b) la recta de regresión de y sobre xc) Estima la estatura de un hijo cuyo padre mida

185 cm, e indica si la estimación es fiable.

36. La siguiente tabla muestra el cierre de los últimos días de los índices del IBEX35 (X) y Dow Jones 30 (Y):

a) Calcula el coeficiente de regresión.b) Calcula la recta de regresión del Dow Jones sobre el IBEX.

37. El rendimiento anual obtenido según la inversión realiza-da, en miles de euros, en una plantación agrícola es:

Calcula:a) el coeficiente de correlación.b) la recta de regresión del rendimiento sobre la inversión.c) Estima el rendimiento para una inversión de 22 000 !,

e indica si la estimación es fiable.

Solución:a) Coeficiente de regresión: 0,7551b) y – 10 287,58 = 0,7551(x – 8 216,20)

y = 0,7551x + 4 083,5

Solución:a) Coeficiente de correlación: 0,76

b) Recta de regresión de y sobre xy – 173,89 = 0,6809(x – 171,67)y = 0,6809x + 57

c) 182,97 cm. Como r = 0,76 < 0,85 ! no es muy fiablela estimación.

Problemas

X 8 236,9

10 334,5

8 164,7

10 235,1

8 236,1

10 198,2

8 202,1

10 313,7

8 241,2

10 356,4Y

Inversión 12

3

14

3,5

16

4,5

15

5

18

6

20

6,5

21

7,5

15

4,5Rendimeinto


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.L.

38. Las estaturas y los pesos de un grupo de personas son:

Calcula:a) el coeficiente de correlación.b) la recta de regresión del peso sobre la estatura.c) Estima el peso para una persona que mida 195 cm,e in-

dica si la estimación es fiable.

39. En un taller de artesanía se ha registrado el número depiezas acabadas que unos artesanos hacen según las ho-ras de trabajo:

Calcula:a) el coeficiente de correlación.b) la recta de regresión del número de piezas sobre el

número de horas.c) Estima el número de piezas para 10 h de trabajo, e in-

dica si la estimación es fiable.

40. De una goma se cuelgan distintos pesos en gramos y semide el alargamiento en centímetros producido; se ob-tienen los siguientes resultados:

Calcula:a) el coeficiente de correlación.b) la recta de regresión del alargamiento sobre el peso.c) Estima el alargamiento que se producirá para un peso

de 90 g, e indica si la estimación es fiable.

41. Calcula el centro de gravedad,las desviaciones típicas mar-ginales, la covarianza y el coeficiente de correlación de lasiguiente distribución:

a) Representa la nube de puntos y calcula la recta de re-gresión de y sobre x, e interpreta los resultados.

b) Un coche tiene 1 900 cm3 de cilindrada. ¿Qué veloci-dad máxima alcanzará?

c) Un coche tiene una velocidad máxima de 150 km/h.¿Qué cilindrada tendrá?

Solución:–x = 1 575, –y = 155,63sx = 338,19, sy = 24,80sxy = 8 015,63r = 0,96a)

y – 155,63 = 0,0701(x – 1 575)y = 0,0701x + 45,22Como el coeficiente de correlación es 0,96 > 0,85, lasestimaciones son fiables.b) 178,44 km/hc) 1 494,35 cm3

Solución:a) Coeficiente de correlación: 0,998 = 1b) y – 11 = 0,2643(x – 45)

y = 0,2643x – 0,89c) 22,9 cmSe puede aceptar una relación funcional ! es muy fiablela estimación.

Solución:a) Coeficiente de correlación: 0,75b) y – 3,75 = 0,8333(x – 7,75)

y = 0,8333x – 2,71c) 5,62 piezas.Como r = 0,75 < 0,85 ! no es fiable la estimación.

Solución:a) Coeficiente de correlación: 0,96b) y – 79,75 = 0,5795(x – 181)

y = 0,5795x – 25,14c) 87,86 kgComo r = 0,96 > 0,85 ! la estimación es fiable.


y = 0,4829x – 2,85c) 7,7738 · 1 000 = 7 773,8 !Como r = 0,97 > 0,85 ! la estimación es fiable.

Estatura 175

Peso 77

180

79

180

80

185

82

183

80

180

80

190

85

175

75

Horas 8

Nº piezas 3

7,5

4

8

4

8,5

5

6

2

7

3

8

5

9

4

Peso (g) 10

Alargamiento (cm) 2

20

4

30

7

40

10

50

12

60

15

70

18

80

20

Cilindrada (cm3) 1 000

Velocidad (km/h) 125

1 200

130

1 400

140

1 600

145

1 600

150

1 800

170

2 000

190

2 000

195

X

Y

Cilindrada (cm3)

Velo

cida

d (k

m/h

)

110120130140150160170180190200

1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200

422 SOLUCIONARIO

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.L.

Ejercicios y problemas42. Calcula el centro de gravedad,las desviaciones típicas mar-

ginales, la covarianza y el coeficiente de correlación de lasiguiente distribución:

a) Representa la nube de puntos y calcula la recta de re-gresión de y sobre x, e interpreta los resultados.

b) Si hubiese 12 vendedores, ¿cuántos pedidos se espe-rarían?

c) Para obtener 250 pedidos,¿cuántos vendedores haríanfalta?

43. El número de bacterias por centímetro cúbico que hayen un cultivo, según el paso del tiempo, es:

Calcula:a) el coeficiente de correlación.b) la recta de regresión del número de bacterias sobre el

tiempo.c) Estima el número de bacterias que habrá después de

7 horas, e indica si la estimación es fiable.

44. En una compañía telefónica,han registrado en una mues-tra los siguientes datos sobre el número de teléfonos yel número de llamadas interurbanas realizadas:

Calcula:a) el coeficiente de correlación.b) la recta de regresión del número de llamadas sobre el

número de teléfonos.c) Estima el número de llamadas para 850 teléfonos e in-

dica si es fiable la estimación.

Para profundizar

45. Se ha medido experimentalmente la presión del vapordel agua en centímetros de mercurio según la tempera-tura, y se han obtenido los siguientes resultados:

a) Calcula el coeficiente de correlación.b) Dibuja la nube de puntos.c) ¿Qué tipo de curva crees que se ajustará mejor a es-

tos puntos?

Solución:a) Coeficiente de correlación: 0,94b) Nube de puntos:

c) Una parábola.

Solución:a) Coeficiente de correlación: 0,997 = 1b) y – 60 = 0,0766(x – 675)

y = 0,0766x + 8,3c) 73,41 llamadas.Se puede aceptar una relación funcional ! es muy fiablela estimación.

c) 61 bacterias.Se puede aceptar una relación funcional ! es muy fiablela estimación.

Solución:a) Coeficiente de correlación: 0,998 = 1b) y – 31,86 = 7,2857(x – 3)

y = 7,2857x + 10

Solución:–x = 6,14, –y = 141,43sx = 2,59, sy = 48,82sxy = 124,08r = 0,98a)

y – 141,43 = 18,537(x – 6,14)y = 18,537x + 27,56Como el coeficiente de correlación es 0,98 > 0,85, lasestimaciones son fiables.b) 250,01 pedidos = 250 pedidos.c) 12 vendedores.

Nº de vendedores: xi 2

Nº de pedidos: yi 70

4

90

5

110

6

150

7

170

9

190

10

210

X

Y

Nº de vendedores

Nº

de p

edid

os

7090

110130150170190210230

3 5 7 9 1121 4 6 8 10

Tiempo (h) 0

Nº de bacterias 10

1

17

2

24

3

32

4

40

5

48

6

52

Temperatura 0

Presión 0,5

10

0,8

20

1,6

30

3

40

5,5

50

9

Nº de teléfonos 550

Nº de llamadas 50

600

55

650

58

700

62

750

65

800

70

Y

X0

21

43

65

87

9

10 20 30 40 50


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46. Las calificaciones de un grupo de estudiantes en Mate-máticas y en Física se distribuyen así:

Calcula:

a) el coeficiente de correlación.

b) la recta de regresión de y sobre x

c) Estima la calificación en Física para un alumno que ha-ya sacado un 7,5 en Matemáticas.

d) ¿Se debería hacer la recta de regresión de x sobre ypara estimar la calificación en Matemáticas de un alum-no que haya obtenido un 6,5 en Física? Haz dicha es-timación.


y = 0,81x + 1,42c) 7,5 en Física.d) Para y = 6,5 se obtiene con la recta de regresión de y

sobre x:x = 5,65La recta de regresión de x sobre y es:x – 4,6 = 0,89(y – 5,15)x = 0,89y + 0,02Para y = 6,5 ! x = 5,8Teniendo en cuenta que r = 0,85, no es demasiado fia-ble utilizar la recta de regresión de y sobre x.

Y(Física)X(Matem.) 0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8

6 2

8 14 1

1 3 12 1

2 4 12

8 a 10

1

0 a 2

2 a 4

4 a 6

6 a 8

1 1 1 108 a 10

426 SOLUCIONARIO

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14 Probabilidad. Distribuciónbinomial y normal

! Piensa y calcula

Calcula mentalmente:a) la probabilidad de que al sacar una bola, sea roja.b) la probabilidad de que al sacar dos bolas sin devolución, la primera sea roja y la segunda azul.

Solución:a) 1/2 b) 1/3

1. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraenal azar, sucesivamente y sin devolución, dos bolas.a) Haz el diagrama de árbol que representa el experi-

mento.b) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea ne-

gra, condicionado a que la primera ha sido blanca.

2. Lanzamos dos monedas de 1 ! al aire:a) Haz el diagrama de árbol.b) Calcula la probabilidad de sacar dos caras.

3. De una baraja española de 40 cartas se extraen dos deellas con devolución. Determinar:a) la probabilidad de que las dos sean copas.b) la probabilidad de que la segunda sea de oros, condi-

cionado a que la primera haya sido de copas.c) la probabilidad de que las dos sean figuras.d) la probabilidad de que la segunda sea figura, condicio-

nado a que la primera haya sido un as.

Solución:C = “sacar copas” O = “sacar oros”F = “sacar figura” A = “sacar as”a) P(C » C) = 10/40 · 10/40 = 1/16

Solución:a)

C = “sacar cara” X = “sacar cruz”b) P(C » C) = 1/2 · 1/2 = 1/4

Solución:a)

B = “sacar bola blanca” N = “sacar bola negra”

b) P(N/B) = 2/5

" Aplica la teoría

1. Probabilidad condicionada

3 B2 N

4 B2 N

2/3B

2 B2 N

3 B1 N

3/5B

1/3N

2/5N

4 B1 N

3 B1 N

4 B

4/5B

1/5N

1/2

1/2

C

C CC

X CX1/2

1/2

X

C XC

X XX1/2

1/2

TEMA 14. PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL 427

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! Piensa y calcula

En una familia con dos hijos la probabilidad de que sean los dos varones es 1/4 y de que sean las dos mujeres es 1/4. Calculala probabilidad de que en una familia con dos hijos, ambos tengan el mismo sexo.

Solución:1/4 + 1/4 = 1/2

4. Considérese una urna que contiene 2 bolas rojas y 4 blan-cas. Si de la urna se sacan dos bolas sin devolución, cal-cula la probabilidad de que:a) las dos bolas sean del mismo color.b) al menos una de las bolas sea blanca.

5. Un barco cubre diariamente el servicio entre dos puer-tos. Se sabe que la probabilidad de accidente en día sinniebla es 0,005, y en día de niebla, 0,07. Un cierto día deun mes en el que hubo 18 días sin niebla y 12 con nieblase produjo un accidente. Calcula la probabilidad de queel accidente haya sido en un día sin niebla.

6. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas.Si la carta extraída es un rey, nos dirigimos a la urna I; encaso contrario, a la urna II.A continuación, extraemosuna bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancasy 5 negras y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 ne-gras. Halla:a) la probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de

la urna II b) la probabilidad de que la bola extraida sea negra.

Solución:R = “sacar rey”B = “sacar bola blanca”N = “sacar bola negra”

Solución:N = “día con niebla” A = “producirse un accidente”

Se aplica el teorema de Bayes:P(N– » A) 0,003P(N– /A) = —= —— = 0,097

P(A) 0,028 + 0,003

Solución:CR = “sacar bola roja” B = “sacar bola blanca”

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:P(R » R) + P(B » B) = 1/3 · 1/5 + 2/3 · 3/5 = 7/15

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:P(R » B) + P(B » R) + P(B » B) == 1/3 · 4/5 + 2/3 · 2/5 + 2/3 · 3/5 = 14/15

" Aplica la teoría

2. Teoremas de probabilidad

c) P(F » F) = 12/40 · 12/40 = 9/100d) P(F/A) = P(F) = 3/10

b) P(O/C) = P(O) = 1/4Los sucesos son independientes al ser con devolu-ción.

1 R4 B

2 R4 B

1/3R 1 R

3 B

1/5R

2/3B

4/5B

2 R3 B

1 R3 B

4 B

2/5R

3/5B

2 R2 B

12/30

18/30

N

A NA

A NA

0,07 0,028

A NA 0,003

A NA

0,005N

428 SOLUCIONARIO

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3. Distribuciones de frecuencia y probabilidad discretas

7. La distribución de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta x viene dada por:

a) Calcula el valor de kb) Calcula la media y la desviación típica.

8. La distribución de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta x viene dada por:

Calcula:a) P(x > 5) b) P(x < 3)c) la media. d) la desviación típica.

9. Se considera el experimento de lanzar dos monedas alaire y observar el número de caras. Calcula:a) la distribución de probabilidad, y represéntala gráfica-

mente.b) los parámetros.

Solución:a)

b) µ = 1! = 0,71

Solución:a) P(x > 5) = 0,25 + 0,3 = 0,55b) P(x < 3) = 0c) µ = 5,45d) ! = 1,36

Solución:a) k + 0,7 = 1 " k = 0,3b) µ = 3,31

! = 1,35

" Aplica la teoría

! Piensa y calcula

Calcula mentalmente la probabilidad de que una familia con dos hijos tenga:a) dos varones. b) un varón y una mujer. c) dos mujeres.

Solución:a) 1/4 b) 1/2 c) 1/4

V

M

VV

VM

MV

MM

V

M

V

M

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

xi 1 2 3 4 5

pi 0,07 0,35 0,03 k 0,25

Nº de caras pi

0 0,25

1 0,50

2 0,25

xi 3 4 5 6 7

pi 0,1 0,2 0,15 0,25 0,3

Distribución de probabilidad

Número de caras

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

00,00

Prob

abili

dade

s

1 2

a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta:P(B » R– ) = 9/10 · 3/5 = 27/50

b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:P(N) = 1/10 · 5/12 + 9/10 · 2/5 = 241/600

7 B5 N

4 R1/10

R 7 B4 N

7/12B

9/10

5/12N

6 B4 N

5 B4 N

3/5B

2/5N

6 B3 N

6 B5 N

R


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! Piensa y calcula

Un jugador encesta con probabilidad 1/3. Calcula la probabilidad de que al tirar dos veces enceste:a) dos veces. b) una vez. c) ninguna vez.

Solución:a) 1/9 b) 4/9 c) 4/9

10. Un opositor domina 80 temas de los 100 que consta eltemario. Para el examen se eligen 2 temas al azar, yel opositor puede dominar los dos,uno o ninguno.Hazla distribución de probabilidad.

Solución:

11. Calcula mentalmente:

a) 1! b) 5! c) ( ) d) ( )

12. Halla, utilizando la calculadora:

a) 8! b) 13! c) ( ) d) ( )

13. La probabilidad de que un jugador de baloncesto en-ceste una canasta de 3 puntos es 0,6. Si tira a cesta 4 veces, calcula la probabilidad de que enceste 3

14. Un 5% de las piezas producidas en un proceso de fa-bricación resultan defectuosas.Halla la probabilidad deque en una muestra de 20 piezas elegidas al azar hayaexactamente dos piezas defectuosas.

Solución:a) x ! número de piezas defectuosas.b) B(20; 0,05)

20c) P(x = 2) = ( ) · 0,052 · 0,9518 = 0,18872

Solución:a) x ! número de encestes.b) B(4; 0,6)

4c) P(x = 3) = ( ) · 0,63 · 0,4 = 0,34563

Solución:a) 40 320 b) 6 227 020 800 c) 210 d) 252

105

104

Solución:a) 1 b) 120 c) 1 d) 7

71

40

" Aplica la teoría

4. Distribución binomial

Nº de temas pi

0 0,04

1 0,32

2 0,64

! Piensa y calcula

Calcula mentalmente el área comprendida entre el eje X y la recta y = x en el intervalo [0, 3]

Solución:Área = 6 u2

43

5. Distribuciones de frecuencia y probabilidad continuas

Y

X

y = 43

x

! Piensa y calcula

En el primer dibujo del margen,el área comprendida entre el eje X y la curva es 1.Cal-cula mentalmente cuánto vale el área que queda a la izquierda de la recta x = µ

Solución:1/2

6. Distribución normal

430 SOLUCIONARIO

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15. Demuestra que la siguiente función es de densidad ycalcula P(3 # x # 4)

f(x) =

16. Demuestra que la siguiente función es de densidad ycalcula P(1 # x # 2)

f(x) =

17. Calcula la función de distribución de una variable alea-toria cuya función de densidad es:

f(x) =

18. Una variable aleatoria tiene la siguiente función de dis-tribución:

F(x) =

Calcula P(x # 10) y P(8 # x # 10)

Solución:P(x # 10) = F(10) = 10/12 = 5/6P(8 # x # 10) = F(10) – F(8) = 10/12 – 8/10 = 1/30

0 si x < 0x—— si x $ 0x + 2

%&'&(

Solución:

0 si x # 1x – 1F(x) = — si 1 < x < 7

61 si x $ 7

1/6 si x ) [1, 7]0 si x * [1, 7]

%'(

Solución:

a) f(x) $ 0 para todo valor del dominio.b) El área comprendida entre el eje X y la función f(x)

en el dominio es el área de un triángulo: (2 · 1)/2 = 1Como se verifican las características a) y b), es unafunción de densidad.P(1 # x # 2) = (1 · 1/2)/2 = 1/4

x– — + 1 si x ) [0, 2]2

0 si x * [0, 2]

%&'&(

Solución:


en el dominio es el área de un rectángulo: 4 · 1/4 = 1Como se verifican las características a) y b), es unafunción de densidad.P(3 # x # 4) = 1 · 1/4 = 1/4

1/4 si x ) [2, 6]0 si x * [2, 6]

%'(

" Aplica la teoría

Y

Xµ !+µµ !–

Y

X1/4

1

2 6

Y

X

1

2

Y

X1

2

1 7

x 1

P(x # xi) 0

2

1/6

3

2/6

4

3/6

5

4/6

6

5/6

7

1

%&&'&&(

19. Calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades:a) P(z # 0,5)b) P(z # 1,72)c) P(z $ 2,4)d) P(z # – 3,56)

20. Calcula en una N(0,1) las siguientes probabilidades:a) P(1,5 # z # 2)b) P(– 2,3 # z # 3,7)c) P(– 3,4 # z # – 1,8)d) P(– 1,6 # z # 1,6)

21. Calcula el valor de k en los siguientes casos:a) P(z # k) = 0,9582b) P(z $ k) = 0,7612

22. Calcula en una N(20, 4) las siguientes probabilidades:a) P(x # 25)b) P(x $ 17)c) P(23 # x # 27)d) P(15 # x # 18)

23. El peso de los recién nacidos sigue una distribución nor-mal de media 3,5 kg y una desviación típica de 0,6 kg.Calcula la probabilidad de que un recién nacido peseentre 2,7 kg y 4 kg

Solución:a) x ! peso de los recién nacidos.b) N(3,5; 0,6)c) P(2,7 # x # 4)

2,7 – 3,5 4 – 3,5P(2,7 # x # 4) = P(— # z # —) =0,6 0,6

= P(– 1,33 # z # 0,83) = P(z # 0,83) – P(z # – 1,33) == P(z # 0,83) – 1 + P(z # 1,33) = 0,7049

Solución:25 – 20a) P(z #—) = P(z # 1,25) = 0,8944

4

17 – 20b) P(z $—) = P(z $ – 0,75) = P(z # 0,75) = 0,77344

23 – 20 27 – 20c) P(— # z #—) = P(0,75 # z # 1,75) =4 4

= P(z # 1,75) – P(z # 0,75) = 0,1865

15 – 20 18 – 20d) P(— # z #—) = P(– 1,25 # z # – 0,5) =4 4

= P(z # – 0,5) – P(z # – 1,25) == 1 – P(z # 0,5) – 1 + P(z # 1,25) = 0,2029

Solución:a) k = 1,73b) k = – 0,71

Solución:a) P(z # 2) – P(z # 1,5) = 0,0440b) P(z # 3,7) – P(z # – 2,3) =

= P(z # 3,7) – 1 + P(z # 2,3) = 0,9892c) P(z # – 1,8) – P(z # – 3,4) =

= 1 – P(z # 1,8) – 1 + P(z # 3,4) = 0,0356d) P(z # 1,6) – P(z # – 1,6) =

= P(z # 1,6) – 1 + P(z # 1,6) = 2P(z # 1,6) – 1 = 0,8904

Solución:a) 0,6915b) 0,9573c) 1 – P(z # 2,4) = 0,0082d) P(z $ 3,56) = 1 – P(z # 3,56) = 0,0002

" Aplica la teoría


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.L. ! Piensa y calcula

En una función de distribución se estudia la probabilidad de la variable aleatoria número de hijas de las familias con dos des-cendientes. Calcula mentalmente P(x = 1) y P(0,5 < x < 1,5)

Solución:1/4 y 1/4

7. La binomial se aproxima a la normal

432 SOLUCIONARIO

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.L.

24. El 5% de los libros prestados en una biblioteca de uncentro escolar son técnicos.Si se toman los últimos 500préstamos,calcula la probabilidad de que se hayan pres-tado entre 25 y 30 libros técnicos.

25. Se lanza una moneda 500 veces.Calcula la probabilidadde que salgan a lo sumo 260 caras.

26. Se sabe que entre los enfermos diabéticos la probabi-lidad de superar un infarto es del 20%. Si se tienen 200pacientes, calcula la probabilidad de que al menos 50superen el infarto.

27. Se lanza un dado 130 veces. Calcula la probabilidad deque salga al menos 18 veces el número 4

Solución:a) x ! Número de cuatros.b) B(130; 0,17)c) P(x $ 18)

Se decide si se puede normalizar:np = 130 · 0,17 = 22,1 > 5nq = 130 · 0,83 = 107,9 > 5Se puede ajustar a una normal.Se normaliza:µ = np = 130 · 0,17 = 22,1

! = +—npq = +

——130 · 0,17 · 0,83 = 4,28

B(130; 0,17) " N(22,1; 4,28)Se corrige la continuidad y se tipifica:

17,5 – 22,1P(x $ 18) " P(x $ 17,5) = P(z $ ——) =4,28

= P(z $ – 1,07) = P(z # 1,07) = 0,8577

Solución:a) x ! Número de pacientes.b) B(200; 0,2)c) P(x $ 50)

Se decide si se puede normalizar:np = 200 · 0,2 = 40 > 5nq = 200 · 0,8 = 160 > 5Se puede ajustar a una normal.Se normaliza:µ = np = 200 · 0,2 = 40

! = +—npq = +

——200 · 0,2 · 0,8 = 5,66

B(200; 0,2) " N(40; 5,66)Se corrige la continuidad y se tipifica:P(x $ 50) " P(x $ 49,5) =

49,5 – 40= P(z $—) = P(z $ 1,68) =5,66

= 1 – P(z # 1,68) = 0,0465

Solución:a) x ! Número de caras.b) B(500; 0,05)c) P(x # 260)

Se decide si se puede normalizar:np = 500 · 0,5 = 250 > 5nq = 500 · 0,5 = 250 > 5Se puede aproximar a una normal.Se normaliza:µ = np = 500 · 0,5 = 250

! = +—npq = +

——500 · 0,5 · 0,5 = 11,18

B(500; 0,5) " N(250; 11,18)Se corrige la continuidad y se tipifica:P(x # 260) " P(x # 260,5) =

260,5 – 250= P(z # ——) = P(z # 0,94) = 0,826411,18

Solución:a) x ! Número de libros prestados.b) B(500; 0,05)c) P(25 # x # 30)


! = +—npq = +

——500 · 0,05 · 0,95 = 4,87

B(500; 0,05) " N(25; 4,87)Se corrige la continuidad y se tipifica:P(25 # x # 30) " P(24,5 # x # 30,5) =

24,5 – 25 30,5 – 25= P(— # z #—) =4,87 4,87

= P(– 0,10 # z # 1,13) == P(z # 1,13) – P(z # – 0,10) == P(z # 1,13) – (1 – P(z # 0,10) = 0,4106

" Aplica la teoría


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Ejercicios y problemas1. Probabilidad condicionada

28. Haz un diagrama cartesiano para el experimento de lan-zar al aire dos monedas y calcula la probabilidad de ob-tener:a) dos caras.b) dos cruces.c) una cara y la otra cruz.

29. La probabilidad de un suceso A es 0,2 y la probabilidadde un suceso B es 0,35. Calcula la probabilidad de la in-tersección de A y B sabiendo que son sucesos indepen-dientes.

30. En una urna hay 4 bolas amarillas y 6 verdes.Si se extraendos bolas,haz el diagrama de árbol del experimento cuan-do se hace:a) con devolución.b) sin devolución.

31. Haz un diagrama en árbol para el experimento de lanzaruna moneda tres veces y calcula la probabilidad de ob-tener:a) tres caras.b) las dos primeras caras y una cruz.c) la primera cara y luego dos cruces.d) tres cruces.

2. Teoremas de la probabilidad

32. Dos máquinas se usan para producir marcapasos. La má-quina A produce el 75% de todos los marcapasos, mien-tras que la máquina B produce el 25%.El 1% de todos losmarcapasos producidos por la máquina A son defectuo-sos, mientras que el 2% de los marcapasos producidospor la máquina B son defectuosos.a) Dibuja un diagrama de árbol que represente esta si-

tuación.b) Se selecciona un marcapasos al azar de entre todos

los producidos y se encuentra que es defectuoso. En-cuentra la probabilidad de que haya sido producidopor la máquina A.

Solución:A = “producido por la máquina A”B = “producido por la máquina B”D = “sacar marcapasos defectuoso”a)

b) Se utiliza el teorema de Bayes:0,0075P(A/D) = —= 0,60,0125

Solución:

a) 1/8 b) 1/8 c) 1/8 d) 1/8

Solución:A = “sacar bola amarilla” V = “sacar bola verde”a)

b)

Solución:P(A » B) = P(A) · P(B) = 0,2 · 0,35 = 0,07

Solución:

a) 1/4 b) 1/4 c) 1/2

C

X

C

CC

XC

C

CX

XX

4 A6 V

4 A6 V

2/5A 4 A

6 V

4 A6 V

2/5A

3/5V

3/5V

4 A6 V

4 A6 V

2/5A

3/5V

4 A6 V

3 A6 V

4 A6 V

2/5A 3 A

5 V

2 A6 V

1/3A

3/5V

2/3V

4 A5 V

3 A5 V

4/9A

5/9V

4 A4 V

1/2

1/2

C

X

X

1/2

1/2

CCCCCCX

CX

1/2

1/2

CXCCXX

CX

1/2

1/2

X

1/2

1/2

CXCCXCX

CX

1/2

1/2

XXCXXX

CX

1/2

1/2

0,75

0,25

A

D 0,0075

D

0,01

D 0,005

D

0,02B

434 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas33. En un supermercado, el 70% de las compras las

realizan las mujeres; de las compras realizadas por éstas,el 80% supera los 12 !,mientras que de las compras rea-lizadas por hombres solo el 30% supera esa cantidad.a) Elegido un tique de compra al azar, ¿cuál es la proba-

bilidad de que supere los 12 !? b) Si se sabe que el tique de compra supera los 12 !,¿cuál

es la probabilidad de que la compra haya sido hechapor una mujer?

34. Se estima que solo un 20% de los que compran accionesen Bolsa tienen conocimientos bursátiles.De ellos,el 80%obtienen beneficios.De los que compran acciones sin co-nocimientos bursátiles, solo un 10% obtienen beneficios.Se desea saber:a) el tanto por ciento de los que compran acciones en

Bolsa que obtienen beneficios.b) Si se elige al azar una persona que ha comprado ac-

ciones en Bolsa y resulta que ha obtenido beneficios,¿cuál es la probabilidad de que tenga conocimientosbursátiles?

35. En una universidad existen tres facultades: A,B y C.En Ahay matriculadas 150 chicas y 50 chicos; en B, 300 chicasy 200 chicos; y en C, 150 chicas y 150 chicos.a) Calcula la probabilidad de que un estudiante, elegido

al azar, sea chico.b) Si un estudiante elegido al azar resultara ser chico,¿cuál

es su facultad más probable?

Solución:A = “ser de la universidad A”B = “ser de la universidad B”C = “ser de la universidad C”V = “ser chico”M = “ser chica”

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:P(V) = 1/20 + 1/5 + 3/20 = 2/5

b) Se aplica el teorema de Bayes:1/20P(A/V) = — = 1/82/51/5P(B/V) = — = 1/22/53/20P(C/V) = — = 3/82/5

La universidad más probable es la B

b) Se aplica el teorema de Bayes:0,16P(C/B) = — = 0,670,24

Solución:C = “tienen conocimientos bursátiles”B = “obtienen beneficios”

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:P(B) = 0,16 + 0,08 = 0,24 " 24%

Solución:M = “compra realizada por mujer”S = “compra superior a 12 !”

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:P(S) = 0,56 + 0,09 = 0,65

b) Se aplica el teorema de Bayes:0,56P(S/M) = — = 0,860,65

0,7

0,3

MS 0,560,8

S

VS 0,090,3

S

0,2

0,8

CB 0,16

B

0,8

B 0,08

B

0,1C

A1/5

C

B1/2

3/10

150 M 50 V

M

1/20V

3/4

1/4

300 M200 V

M

1/5V

3/5

2/5

150 M150 V

M

3/20V

1/2

1/2

200 A500 B300 C


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3. Distribuciones de frecuencia y probabilidad discretas

36. Una variable x tiene una distribución de probabilidad da-da por la siguiente tabla:

Calcula:a) P(x = 7) b) P(x > 3)c) la media. d) la desviación típica.

37. Se considera el experimento de lanzar dos dados de seiscaras numerados y sumar los números que se obtienen.a) Halla la función de probabilidad.b) Halla sus parámetros.

38. Una variable x tiene una distribución de probabilidad da-da por la siguiente tabla:

a) Calcula el valor de kb) Representa la función de probabilidad.c) Calcula la media.d) Calcula la desviación típica.

4. Distribución binomial

39. Un examen tipo test tiene diez preguntas con cuatrorespuestas cada una. Si un alumno responde aleatoria-mente, ¿qué probabilidad tiene de contestar bien a másde tres preguntas?

40. Considera una caja que contiene 4 bolas rojas y 2 bolasnegras. Se selecciona una bola al azar, se anota su color yse devuelve a la caja. Esta actividad se repite diez veces.Encuentra la probabilidad de observar una bola roja seisveces.

41. En un centro, aprobaron Lengua el 80% de los alumnos.¿Cuál es la probabilidad de que,de un grupo de 8 alumnoselegidos al azar, solo dos hayan suspendido Lengua?

Solución:a) x ! número de alumnos suspensos.b) B(8; 0,2)c) P(x = 2)

8P(x = 2) = ( ) · 0,22 · 0,86 = 0,29362

Solución:a) x ! número de bolas rojas.b) B(10, 2/3)c) P(x = 6)

10 2 1P(x = 6) = ( )(—)6 (—)4= 0,2276

6 3 3

Solución:a) x ! número de respuestas acertadas.b) B(10, 1/4)c) P(x > 3)

P(x > 3) = 1 – P(x # 3) = 1 – 0,7759 = 0,2241

b)

c) µ = 3,74d) ! = 1,83

Solución:a) 1/19

Solución:

a) µ = 7b) ! = 2,42

Solución:a) P(x = 7) = 0 b) P(x > 3) = 1/3c) µ = 3 d) ! = 1,49

xi 1 2 3 4 6

pi 2/9 1/9 3/9 2/9 1/9

xi 1 2 3 4 5 6

pi 3/19 4/19 k 2/19 5/19 4/19

xi pi

2 1/36

3 2/36

4 3/36

5 4/36

6 5/36

7 6/36

8 5/36

9 4/36

10 3/36

11 2/36

12 1/36

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Distribución de probabilidad0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

1 2 3 4 5 60,00

Prob

abili

dade

s

436 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas42. Si el 20% de las piezas producidas por una máquina son

defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que entre cuatropiezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas?

5. Distribuciones de frecuencia y probabilidad continuas

43. Demuestra que la siguiente función es de densidad y cal-cula P(5 # x # 6)

f(x) =

44. Calcula la función de distribución de una variable aleato-ria cuya función de densidad es:

f(x) =

45. Una variable aleatoria tiene la siguiente función de dis-tribución:

F(x) =

Calcula la P(6 # x # 8)

6. Distribución normal

46. Calcula en una N(0, 1) las siguientes probabilidades:a) P(z # 3,51)b) P(z $ – 2,43)c) P(z $ 1,62)d) P(z # – 2,38)

47. Calcula en una N(0,1) las siguientes probabilidades:a) P(2,5 # z # 3)b) P(– 1,34 # z # 1,72)c) P(– 2,14 # z # – 1,18)d) P(– 3,5 # z # 3,5)

Solución:a) P(z # 3) – P(z # 2,5) = 0,0049b) P(z # 1,72) – P(z # – 1,34) =

= P(z # 1,72) – 1 + P(z # 1,34) = 0,8672c) P(z # – 1,18) – P(z # – 2,14) =

= 1 – P(z # 1,18) – 1 + P(z # 2,14) = 0,1028d) P(z # 3,5) – P(z # – 3,5) = P(z # 3,5) – 1 + P(z # 3,5) =

= 2P(z # 3,5) – 1 = 0,9996

Solución:a) 0,9998b) P(z # 2,43) = 0,9925c) 1 – P(z # 1,62) = 0,0526d) 1 – P(z # 2,38) = 0,0087

Solución:P(6 # x # 8) = F(8) – F(6) = 8/5 – 1 – 6/5 + 1 = 2/5

0 si x < 5x— – 1 si 5 , x , 1051 si x > 10

%&&'&&(

Y

X1/4

1

1 2 3 4 5 6

Solución:

0 si x # 1x – 1F(x) = — si 1 < x < 6

51 si x $ 6

1/5 si x ) [1 ,6]0 si x * [1, 6]

%'(

Solución:


en el dominio es el área de un rectángulo: 3 · 1/3 = 1Como se verifican las características a) y b), es unafunción de densidad.P(5 # x # 6) = 1 · 1/3 = 1/3

1/3 si x ) [4, 7]0 si x * [4, 7]

%'(

Solución:a) x ! número de piezas defectuosas.b) B(4; 0,2)c) P(x # 2)

P(x # 2) =4 4 4= ( ) · 0,20 · 0,84 + ( ) · 0,2 · 0,83 + ( ) · 0,22 · 0,82 =0 1 2

= 0,9728

Y

X1/3

1

4 7

%&&'&&(

x 1

P(x # xi) 0

2

1/5

3

2/5

4

3/5

5

4/5

6

1


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48. Calcula el valor de k en los siguientes casos:a) P(z # k) = 0,7881b) P(z $ k) = 0,9959

49. Calcula en una N(16, 2) las siguientes probabilidades:a) P(x # 18) b) P(x $ 14)c) P(15 # x # 17) d) P(17 # x # 18)

7. La binomial se aproxima a la normal

50. Halla la probabilidad de que al lanzar una moneda 12 ve-ces salgan al menos 5 caras.

51. En un test de 120 preguntas de verdadero o falso, hallala probabilidad de acertar al menos 40 respuestas.

52. Se sabe que una máquina produce un 5% de piezas de-fectuosas. Calcula la probabilidad de que sean defectuo-sas en una muestra de 500 piezas:a) a lo sumo 30b) entre 30 y 50

Solución:a) x ! Número de piezas defectuosas.b) B(500; 0,05)c) P(x # 30) y P(30 # x # 50)


! = +—npq = +

——500 · 0,05 · 0,95 = 4,87

B(500; 0,05) " N(25; 4,87)Se corrige la continuidad y se tipifica:Apartado a)

30,5 – 25P(x # 30) " P(x # 30,5) = P(z #—) =4,87

P(z # 1,13) = 0,8708

Apartado b)P(30 # x # 50) " P(29,5 # x # 50,5) =

29,5 – 25 50,5 – 25= P(— # x #—) =4,87 4,87

= P(0,92 # z # 5,24) = P(z # 5,24) – P(z # 0,92) == 1 – 0,8212 = 0,1788

Solución:a) x ! Número de respuestas.b) B(120; 0,5)c) P(x $ 40)


! = +—npq = +

——120 · 0,5 · 0,5 = 5,48

B(120; 0,5) " N(60; 5,48)Se corrige la continuidad y se tipifica:

39,5 – 60P(x $ 40) " P(x $ 39,5) = P(z $—) =5,48

P(z $ – 3,74) = P(z # 3,74) = 0,9999

Solución:a) x ! Número de caras.b) B(12; 0,5)c) P(x $ 5)


! = +—npq = +

——12 · 0,5 · 0,5 = 1,73

B(12; 0,5) " N(6; 1,73)Se corrige la continuidad y se tipifica:

4,5 – 6P(x $ 5) " P(x $ 4,5) = P(z $ —) =1,73

P(z $ – 0,87) = P(z # 0,87) = 0,8078

Solución:18 – 16a) P(z #—) = P(z # 1) = 0,8413

2

14 – 16b) P(z $—) = P(z $ – 1) = P(z # 1) = 0,84132

15 – 16 17 – 16c) P(— # z #—) = P(– 0,5 # z # 0,5) =2 2

= P(z # 0,5) – P(z # – 0,5) = P(z # 0,5) – 1 + P(z # 0,5) == 2 · P(z # 0,5) – 1 = 0,383

17 – 16 18 – 16d) P(— # z #—) = P(0,5 # z # 1) =2 2

= P(z # 1) – P(z # 0,5) = 0,1498

Solución:a) k = 0,8 b) k = – 2,64

438 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemasPara ampliar

53. Halla la probabilidad de obtener dos bolas azules al ex-traer dos bolas de una urna que contiene 5 bolas rojas y5 azules cuando el experimento se hace:a) con devolución.b) sin devolución.

54. Calcula la probabilidad de obtener dos reyes al extraer dos cartas con devolución de una baraja española de 40 cartas.

55. Se lanza un dado de quinielas dos veces. Calcula la pro-babilidad de sacar:a) dos unos.b) una X, condicionado a que ha salido un dos.

56. Calcula la probabilidad de obtener dos números que su-men 5 al lanzar al aire dos dados.

57. Halla la probabilidad de obtener dos bastos al extraercon devolución dos cartas de una baraja española de 40 cartas.

58. Considera dos cajas con bolas de colores. La caja A con-tiene 4 bolas rojas, 1 bola blanca y 3 bolas negras. La ca-ja B contiene 8 bolas rojas,1 bola blanca y 7 bolas negras.Considera un experimento en dos etapas:primero se lan-za un dado y luego se selecciona una bola de una de lascajas A o B. La caja se selecciona dependiendo del resul-tado observado al lanzar el dado. Si el resultado al lanzarel dado está en el conjunto {1, 2, 3, 4}, entonces se se-lecciona al azar una bola de la caja A. De otra manera, seselecciona al azar una bola de la caja B. Calcula la proba-bilidad:a) de sacar bola blanca.b) de que se haya sacado la bola de la caja B sabiendo que

es negra.

Solución:B = “sacar bastos”P(B » B) = 1/4 · 1/4 = 1/16

Solución:

S = “sacar dos números que sumen 5”P(S) = 5/36

Solución:

a) P(1 » 1) = 1/2 · 1/2 = 1/4b) P(X/2) = 1/3

Solución:R = “extraer rey”P(R » R) = 1/10 · 1/10 = 1/100

Solución:A = “sacar bola azul”R = “sacar bola roja”a)

P(A » A) = 1/2 · 1/2 = 1/4b)

P(A » A) = 1/2 · 4/9 = 2/9

5 R5 A

5 R5 A

1/2R 5 R

5 A

5 R5 A

1/2R

1/2A

1/2A

5 R5 A

5 R5 A

1/2R

1/2A

5 R5 A

4 R5 A

5 R5 A

1/2R 4 R

4 A

3 R5 A

4/9R

1/2A

5/9A

5 R4 A

4 R4 A

5/9R

4/9A

5 R3 A

1/2

1/6

1/3

11X2

21X2

X1X2

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


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59. El equipo directivo de cierta empresa del sector de hos-telería está constituido por 25 personas de las que un60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a unapersona de dicho equipo para que represente a la em-presa en un certamen internacional. Decide lanzar unamoneda:si sale cara,selecciona a una mujer,y si sale cruz,a un hombre.Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directi-vo hablan inglés, determina, justificando la respuesta, laprobabilidad de que la persona seleccionada hable inglés.

60. En una oficina el 70% de los empleados son asturianos.De entre los asturianos, el 50% son hombres, mientrasque de los no asturianos, solo son hombres el 20%.

a) ¿Qué porcentaje de empleados no asturianos sonmujeres?

b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la ofi-cina sea mujer.

c) Fernando trabaja en dicha oficina. ¿Cuál es la probabi-lidad de que sea asturiano?

61. El 12% de los habitantes de un país padece cierta enfer-medad.Para el diagnóstico de ésta, se dispone de un pro-cedimiento que no es completamente fiable, ya que dapositivo en el 90% de los casos de personas realmenteenfermas,pero también da positivo en el 5% de personassanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una per-sona a la que el procedimiento le ha dado positivo?

Solución:E = “estar enfermo”S = “estar sano”P = “dar positivo”

Se aplica el teorema de Bayes:0,044P(A/D) = —— = 0,29

0,108 + 0,044

Solución:A = “ser asturiano”V = “ser hombre”M = “ser mujer”

a) P(M/A) = 0,8 " 80%b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:

P(M) = 0,35 + 0,24 = 0,59c) Se utiliza el teorema de Bayes:

0,035P(A/V) = —— = 0,850,35 + 0,06

Solución:M = “seleccionar mujer”V = “seleccionar hombre”I = “saber inglés”

Se aplica la regla de la suma:P(I) = 1/6 + 3/20 = 19/60

Solución:A = “elegir la urna A”B = “elegir la urna B”R = “sacar bola roja”B = “sacar bola blanca”N = “sacar bola negra”

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:P(B) = 2/3 · 1/8 + 1/3 · 1/16 = 5/48

b) Se aplica el teorema de Bayes:7/48P(B/N) = —— = 7/19

1/4 + 7/48

A2/3

B1/3

4 R1 B3 N

R

N

B

4/8

3/8

1/8

8 R1 B7 N

R

N

B

1/2

7/16

1/16

2 41

C

1/2

1/2

X

I 1/6

1/3I

1/3

2/315 M

I 3/20

7/20I

3/10

7/1010 V

0,7

0,3

AV 0,35

0,35

0,24

M

0,5

0,5

V 0,06

M

0,2

0,8A

0,12

0,88

EP 0,108

0,012P

0,9

0,1

P 0,044

0,836P

0,05

0,95S

440 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas62. Un distribuidor de bolsas de plástico las vende en lotes

de 100. El número de bolsas defectuosas en un lote tie-ne la siguiente distribución de probabilidad:

Calcula la media y la desviación típica.

63. Considera el experimento de lanzar dos dados de cua-tro caras al aire. Sea x la variable aleatoria que repre-senta el valor absoluto de la diferencia de los valoresobservados. Encuentra la función de probabilidad de x

64. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distri-bución de probabilidad:

y se sabe que P(x < 4) = 0,65 y P(x > 2) = 0,6.

Calcula:a) la media.b) la desviación típica.

65. Se lanza 12 veces una moneda. Calcula:a) la probabilidad de obtener 5 caras.b) la esperanza matemática de que salga cara.c) la desviación típica.

66. Se lanza un dado 5 veces. Calcula:a) la probabilidad de obtener tres cuatros.b) el número medio de cuatros obtenidos.c) la desviación típica.

67. Un determinado antibiótico produce efectos secunda-rios en el 25% de las personas que lo toman. Lo ingierenocho personas. Calcula la probabilidad de que sufranefectos secundarios:a) a lo sumo dos personas.b) más de dos personas.

Solución:• x ! Número de cuatros.• B(5; 1/6)

5 1 5a) P(x = 3) = ( ) · (—)3· (—)2

= 0,03223 6 6

b) µ = np = 5 · 1/6 = 0,83

c) ! = +—npq = +

——5 · 1/6 · 5/6 = 0,83

Solución:• x ! Número de caras.• B(12; 0,5)

12a) P(x = 5) = ( ) · 0,55 · 0,57 = 0,19345

b) µ = np = 12 · 0,5 = 6

c) ! = +—npq = +

——12 · 0,5 · 0,5 = 1,73

Solución:Para calcular los parámetros se calcula previamente elvalor de a, b y c:0,15 + a + b = 0,65b + c + 0,1 = 0,60,15 + a + b + c + 0,1 = 1Resolviendo el sistema se obtiene:a = b = c = 1/4a) Media = 2,9b) Desviación típica = 1,22

Solución:

Solución:

Parámetros:Media: 0,3 bolsas defectuosas.Varianza: 0,91Desviación típica: 0,95

xi 0

pi 0,9

1

0,01

2

0,02

3

0,03

4

0,04

xi 1

pi 0,15

2

a

3

b

4

c

5

0,1

xi Pi Pi · xi Pi · x2

0 0,90 0,00 0,00

1 0,01 0,01 0,01

2 0,02 0,04 0,08

3 0,03 0,09 0,27

4 0,04 0,16 0,64

Total 1,00 0,30 1,00

1 2 3

1 0 1 2

2 1 0 1

3 2 1 0

4 3 2 1

4

3

2

1

0

xi 0

pi 0,2500

1

0,3750

2

0,2500

3

0,1250

%'(


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ño, S

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68. Una moneda está trucada de forma que la probabilidadde obtener cara es 3/7. Se lanza la moneda 10 veces.Cal-cula:a) la probabilidad de obtener cinco caras.b) la probabilidad de obtener a lo sumo dos caras.

69. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea dedensidad de una variable aleatoria, y calcula la P(3 # x # 4)

f(x) =

70. Calcula el valor de k para que la siguiente función sea dedensidad de una variable aleatoria, y calcula la P(2 # x # 3)

f(x) =

71. En una distribución N(0,1), calcula:a) P(z $ – 1,75)b) P(z # – 2,38)c) P(0,25 # z # 1,65)d) P(– 2 # z # 2)

72. En una distribución N(18; 2,5), calcula:a) P(x $ 17) b) P(15 # x # 21)

Solución:17 – 18a) P(x $ 17) = P(z $—) = P(z $ – 0,4) =

2,5= P(z # 0,4) = 0,6554

15 – 18 21 – 18b) P(15 # x # 21) = P(— # z #—) =2,5 2,5

= P(– 1,2 # z # 1,2) = P(z # 1,2) – P(z # – 1,2) == P(z # 1,2) – 1 + P(z # 1,2) = 2P(z # 1,2) – 1 = 0,7698

Solución:a) P(z # 1,75) = 0,9599b) 1 – P(z # 2,38) = 0,0087c) P(z # 1,65) – P(z # 0,25) = 0,3518d) P(z # 2) – P(z # – 2) = P(z # 2) – 1 + P(z # 2) =

= 2P(z # 2) – 1 = 0,9544

Solución:a) La función debe cumplir:

• f(x) $ 0 para todo valor del dominio.• El área comprendida entre el eje X y la función f(x)

en el dominio debe ser 15k + k— · 4 = 1 " k = 1/12

2b) Se calcula el área del trapecio de la figura:

1/3 + 1/4P(2 # x # 3) = —· 1 = 7/242

k(x + 1) si x ) [0, 4]0 si x * [0, 4]

%'(

Solución:a) La función debe cumplir:

• f(x) $ 0 para todo valor del dominio.• El área comprendida entre el eje X y la función f(x)

en el dominio debe ser 14 · 4k— = 1 " k = 1/8

2b) Se calcula el área del trapecio de la figura:

1/2 + 3/8P(3 # x # 4) = —· 1 = 7/162

kx si x ) [0, 4]0 si x * [0, 4]

%'(

Solución:• x ! Número de caras.• B(10; 3/7)

10 3 4a) P(x = 5) = ( ) · (—)5· (—)5

= 0,22205 7 7

b) P(x # 3) =10 4 10 3 4 10 3 4= ( ) · (—)10

+ ( ) · — · (—)9+ ( ) · (—)2

· (—)8=

0 7 1 7 7 2 7 7

= 0,1255

Solución:• x ! Número de personas con efectos secundarios.• B(8; 0,25)a) P(x # 2) =

8 8 8= ( ) · 0,758 + ( ) · 0,25 · 0,757 + ( ) · 0,252 · 0,756 =0 1 2

= 0,6785b) P(x > 2) = 1 – P(x # 2) = 0,3215

Y

X

1/2

1

1 2 3 4

Y

X1/12

5/12

1 2 3 4

442 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas73. En una normal N(0,1), calcula el valor de k en los si-

guientes casos:a) P(z $ k) = 0,9066b) P(– k # z # k) = 0,8

74. En una distribución N(8; 1,5), calcula el valor de k enlos siguientes casos:a) P(x $ k ) = 0,05b) P(– k # x # k) = 0,99

Solución:k – 8 k – 8a) P(z $ —) = 0,05 " P(z # —) = 0,951,5 1,5

k – 8— = 1,64 " k = 10,461,5

b) P(– k # x # k) " 2P(x # k) – 1 = 0,99 "0,99 + 1P(x # k) = —= 0,995

2k – 8Tipificando:— = 2,58 " k = 11,871,5

Solución:a) k = –1,32b) P(– k # z # k) = P(z # k) – P(z # – k) =

= P(z # k) – 1 + P(z # k) = 2P(z # k) – 10,8 + 12P(x # k) – 1 = 0,8 " P(z # k) = —= 0,9 "

2k = 1,28

Problemas

75. Una caja contiene 7 tarjetas de la misma forma y tama-ño:4 de color amarillo y 3 de color rojo.Se extrae de ellaal azar una tarjeta, se anota su color y, sin devolverla a lacaja, extraemos de ésta una segunda tarjeta. Se pide:a) escribir el espacio muestral.b) hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos ele-

mentales del espacio muestral.

76. Se ha realizado un estudio entre 800 estudiantes, obte-niéndose los datos siguientes: hay 440 mujeres de lascuales cursan estudios técnicos 300 y el resto estudianhumanidades. De los 360 varones, 200 cursan estudiostécnicos y 160 humanidades.Se selecciona al azar un alum-no. Se pide:a) probabilidad de que estudie humanidades si se sabe

que es varón.b) probabilidad de que la persona elegida sea mujer si se

sabe que realiza estudios técnicos.

c) ¿Son independientes los sucesos ser varón y estudiarhumanidades?

77. En una asesoría fiscal se ha contratado a tres personaspara hacer declaraciones de renta. La primera de ellas seencarga de efectuar el 30%, la segunda el 45% y la terce-ra el 25% restante. Se ha comprobado que de las decla-raciones realizadas por la primera persona, el 1% sonerróneas, la segunda comete errores en el 3% de los ca-sos y la tercera en el 2% de los casos.

Solución:M = “ser mujer”V = “ser varón”T = “realizar estudios técnicos”H = “realizar estudios de humanidades”

a) P(H/V) = 0,44b) Se aplica el teorema de Bayes:

0,374P(M/T) = —— = 0,60,374 + 0,252

c) P(V) = 0,45P(H) = 0,374P(V) · P(H) = 0,168P(V » H) = 0,198 " P(V » H) - P(V) · P(H)Son dependientes.

Solución:A = “sacar bola amarilla”R = “sacar bola roja”E = {(A,A), (A, R), (R,A), (R, R)}

3 A3 R

4 A3 R

4/7A 3 A

2 R

2 A3 R

1/22/7

2/7

2/7

1/7

A

3/7R

1/2R

4 A2 R

3 A2 R

2/3A

1/3R

4 A1 R

0,55

0,45

M

T 0,374

0,176H

0,68

0,32

T 0,252

0,198H

0,56

0,44V


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a) Calcula la probabilidad de que al elegir al azar una de-claración de la renta, ésta sea errónea.

b) Al elegir una declaración que resultó correcta, ¿cuáles la probabilidad de que la haya realizado la segundapersona?

78. Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño:2 de color azul y 3 de color verde. Se extrae un lápiz delestuche y, a continuación, sin devolución, se extrae otrolápiz. Se pide:a) escribir los sucesos elementales que definen los suce-

sos M = "Solo ha salido un lápiz de color verde" yN = "El segundo lápiz extraído es de color azul".

b) calcular las probabilidades de los sucesos M, N yM » N

c) Estudia la independencia de los sucesos M y N. Razo-na la respuesta.

79. En un quiosco ganan 150 ! diarios si no llueve, y si llue-ve pierden 20 ! al día. Si la probabilidad de lluvia es 0,3,¿cuál es la ganancia esperada ese día?

80. Una variable aleatoria x toma los valores 1, 2, 3, 4 y 5, ylas probabilidades que toma cada valor son P(x = xi) = k · xi,siendo k un número real.a) Calcula el valor de kb) Calcula P(x < 4)

81. En un juego con una baraja española con 40 cartas,una per-sona recibe 15 céntimos cuando saca una sota o un caba-llo, y 5 céntimos si saca un rey o un as. Si saca cualquierotra carta, tiene que pagar 4 céntimos. ¿Cuál es la ganan-cia esperada para una persona que entra en el juego?

82. Un tratamiento contra la hipertensión arterial produceuna mejoría en el 75% de los casos. Se administra el tra-tamiento a cinco pacientes. Calcula:a) la probabilidad de que los 5 pacientes mejoren.b) la probabilidad de que 3 pacientes no obtengan mejo-

ría.

Solución:• x ! Número de pacientes que mejoran.• B(5; 0,75)

5a) P(x = 5) = ( ) · 0,755 = 0,23735

5b) P(x = 2) = ( ) · 0,752 · 0,253 = 0,08792

Solución:µ = 15 · 8/40 + 5 · 8/40 – 4 · 24/40 = 8/5 = 1,6

Solución:a) k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1 " k = 1/15b) P(x < 4) = 1/15 + 2/15 + 3/15 = 6/15 = 2/5

Solución:µ = 150 · 0,7 – 20 · 0,3 = 99 !

a) M = (A »V) « (V » A)N = (A » A) « (V » A)

b) P(M) = 3/10 + 3/10 = 3/5P(N) = 1/10 + 3/10 = 2/5M » N = (V » A)P(M » N) = 3/10

c) P(M) · P(N) = 6/25P(M » N) - P(M) · P(N) " Son dependientes.

Solución:A = “sacar lápiz de color azul”V = “sacar lápiz de color verde”

Solución:A = “estar realizada por la primera persona”B = “estar realizada por la segunda persona”C = “estar realizada por la tercera persona”E = “declaración errónea”

a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total:P(E) = 0,003 + 0,0135 + 0,005 = 0,0215

b) Se utiliza el teorema de Bayes:0,4365P(B/E–) = ———— = 0,45

0,297 + 0,4365 + 0,245

A

B

C

0,45

0,25

0,3

E

0,297

0,003

0,0135

0,005

E

0,01

0,99

E

0,4365E

0,03

0,97

E

0,245E

0,02

0,98

A2/5

3/5V

1 A3 V

2 A3 V

3 V

1 A2 V

1 A2 V

2 A1 V

A

V1/4

3/4

A

V1/2

1/2

2 A2 V

3/10

3/10

3/10

1/10

444 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas83. La probabilidad de que el proceso en el horno de seca-

do de pinturas para coches sea defectuoso es del 2%. Sehan secado 100 coches. Calcula:a) el número medio de secados defectuosos.b) la desviación típica.

84. De una baraja española se extraen 12 cartas, con devo-lución. Calcula:a) la probabilidad de obtener a lo sumo dos reyes.b) el número medio de reyes.

85. Un test de inteligencia está compuesto de 80 preguntas,cada una de las cuales tiene cuatro respuestas de las quesolo una es correcta. Se contesta aleatoriamente. Hallala media, la varianza y la desviación típica del número depreguntas acertadas.

86. La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo enun lanzamiento a 12 m de distancia es 0,4. Realiza 5 lan-zamientos. Calcula:a) la probabilidad de obtener 5 hoyos.b) la probabilidad de obtener a lo sumo 2 hoyos.c) el número medio de hoyos.d) la desviación típica.

87. La duración de cierto tipo de batería sigue una distribu-ción normal de media 3 años, con una desviación típicade 0,5 años.a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren en-

tre 2 y 4 años? b) Si una batería lleva funcionando 3 años, ¿cuál es la

probabilidad de que dure menos de 4,5 años?

88. El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 10 kmestá normalmente distribuido con una media de 60 mi-nutos y una desviación típica de 9 minutos.

a) Calcula la probabilidad de que una persona sana in-vierta menos de 50 minutos.

b) Calcula la probabilidad de que una persona sana in-vierta menos de 55 minutos o más de 65 minutos.

c) En una fiesta de animación al deporte participan 500personas sanas. Calcula cuántas de ellas invertirán enhacer el recorrido entre 50 y 60 minutos.

Solución:• x ! Tiempo en minutos que se invierte.

• N(60; 9)

50 – 60a) P(x # 50) = P(z #—) = P(z # – 1,11) =9

= 1 – P(z # 1,11) = 0,1335

Solución:• x ! Número de años.• N(3; 0,5)

2 – 3 4 – 3a) P(2 # x # 4) = P(— # z # —) =0,5 0,5

= P(– 2 # z # 2) = P(z # 2) – P(z # – 2) == P(z # 2) – 1 + P(z # 2) == 2P(z # 2) – 1 = 0,9544 = 95,44%

3 – 3 4,5 – 3b) P(3 # x # 4,5) = P(— # z # —) =0,5 0,5

= P(0 # z # 3) = P(z # 3) – P(z # 0) = 0,4987

5a) P(x = 5) = ( ) · 0,45 = 0,01025

a) P(x # 2) =5 5 5= ( ) · 0,65 + ( ) · 0,4 · 0,64 + ( ) · 0,42 · 0,63 =0 1 2

= 0,6826c) µ = np = 5 · 0,4 = 2

d) ! = +—npq = +

——5 · 0,4 · 0,6 = 1,1

Solución:• x ! Número de hoyos.• B(5; 0,4)

Solución:• x ! Número de respuestas acertadas.• B(80; 0,25)

a) µ = n · p = 80 · 0,25 = 20

b) V = n · p · q = 80 · 0,25 · 0,75 = 15

c) ! = +—V = +—

15 = 3,87

Solución:• x ! Número de reyes.• B(12; 0,1)a) P(x # 2) =

12 12 12= ( ) · 0,912 + ( ) · 0,1 · 0,911 + ( ) · 0,12 · 0,910 =0 1 2

= 0,8891b) µ = np = 12 · 0,1 = 1,2

Solución:• x ! Número de secados defectuosos.• B(100; 0,02)a) µ = np = 100 · 0,02 = 2

b) ! = +—npq = +

——100 · 0,02 · 0,98 = 1,4


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89. El número de libros prestados semanalmente en la bi-blioteca de un centro escolar sigue una distribuciónnormal de media 25 y desviación típica 1,5. Calcula laprobabilidad de que en una semana se presten entre25 y 30 libros.

90. En un estudio realizado por una empresa hotelera, la dis-tribución del tiempo de estancia del viajero en el hotelfue normal, con una media de 3,7 días y una desviacióntípica de 1,1 días.a) ¿Qué probabilidad habrá de que un viajero permanezca

en el hotel entre 2 y 5 días?b) De 500 viajeros, ¿cuántos habrán permanecido entre

4 y 7 días?

91. La edad de una población se ajusta a una normal de me-dia 27 años y una desviación estándar de 1,8 años. Si setoman aleatoriamente 230 personas, ¿cuántas estaráncomprendidas entre los 25 y los 30 años?

Para profundizar

92. El estudio de un cuestionario sobre el grado de satisfac-ción de los usuarios de servicios públicos revela que lasatisfacción sigue una distribución normal, con una notamedia de 5,7 puntos y con una desviación típica de 0,5 puntos.a) Calcula la probabilidad de que la calificación de un usua-

rio esté entre 6 y 7 puntos.b) De 1 000 usuarios, ¿cuántos habrán otorgado una no-

ta entre 4 y 6 puntos?

Solución:• x ! Nota de satisfacción.• N(5,7; 0,5)

6 – 5,7 7 – 5,7a) P(6 # x # 7) = P(— # z # —) =0,5 0,5

= P(0,6 # z # 2,6) = P(z # 2,6) – P(z # 0,6) = 0,2696

b) 1 000 · P(4 # x # 6) =4 – 5,7 6 – 5,7= 1 000 · P(— # z # —) =

0,5 0,5= 1 000 · P(– 3,4 # z # 0,6) == 1 000 [P(z # 0,6) – P(z # – 3,4)] == 1 000 [P(z # 0,6) – 1 + P(z # 3,4)] == 1 000 · 0,7254 = 725,4 . 725 personas.

Solución:a) x ! Años de edad.b) N(27; 1,8)c) 230 · P(25 # x # 30) =

25 – 27 30 – 27230 · P(— # z #—) =1,8 1,8

= 230 · P(– 1,11 # z # 1,67) == 230 [P(z # 1,67) – P(z # – 1,11)] == 230 [P(z # 1,67) – 1 + P(z # 1,11)] == 230 · 0,819 = 188,37 . 188 personas.

b) 500 · P(4 # x # 7) =4 – 3,7 7 – 3,7= P(— # z # —) =

1,1 1,1= 500 · P(0,27 # z # 3) == 500 · [P(z # 3) – P(z # 0,27)] == 500 · 0,3923 = 196,15 . 196 personas.

Solución:• x ! Días de estancia.• N(3,7; 1,1)

2 – 3,7 5 – 3,7a) P(2 # x # 5) = P(— # z # —) =1,1 1,1

= P(– 1,55 # z # 1,18) == P(z # 1,18) – P(z # – 1,55) == P(z # 1,18) – 1 + P(z # 1,55) = 0,8204

Solución:

a) x ! Número de libros prestados semanalmente.

b) N(25; 1,5)

25 – 25 30 – 25c) P(25 # x # 30) = P(— # z #—) =1,5 1,5

= P(0 # z # 3,33) = P(z # 3,33) – P(z # 0) =

= 0,9996 – 0,5 = 0,4996

b) P(x # 55) + P(x Ó 65) =

55 – 60 65 – 60= P(z #—) + P(z #—) =9 9

= P(z # – 0,56) + P(z $ 0,56) == 1 – P(z # 0,56) + 1 – P(z # 0,56) == 2 – 2P(z # 0,56) = 0,5754

c) 500 · P(50 # x # 60) =

50 – 60 60 – 60= 500 · P(— # z #—) =9 9

= 500 · P(– 1,11 # z # 0) == 500 · [P(z # 0) – P(z # – 1,11)] == 500 · [P(z # 0) – 1 + P(z # 1,11)] == 500 · 0,3665 = 183,25 . 183 personas.

446 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas93. El tiempo T requerido para completar una solicitud de

asistencia económica tiene una distribución normal de media 45 minutos y desviación estándar de 5 minu-tos. Encuentra la probabilidad de que una persona relle-ne la instancia:

a) en menos de 40 minutos.

b) en 35 a 55 minutos.

94. Un atleta de tiro con arco da en el centro de la diana el60% de los lanzamientos. Se supone que todos los tirosson en las mismas condiciones. Calcula la probabilidad de que en 50 lanzamientos acierte al menos en 30 oca-siones.

95. Los paquetes recibidos en un almacén se ajustan a unadistribución normal de media 300 kg y una desviación tí-pica de 50 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que 25 de esospaquetes, elegidos al azar, excedan el límite de carga delmontacargas donde se van a meter, que es de 8 200 kg?

96. La frecuencia cardíaca de los varones fumadores es unavariable aleatoria que se ajusta a una normal de media70 lpm. Calcula:

a) la desviación típica,sabiendo que la probabilidad de queun varón fumador tenga más de 80 lpm es de 0,0228

b) Si se mide el ritmo cardíaco a 400 varones, ¿cuántostendrán entre 60 y 70 lpm?

Solución:• x ! Número de latidos por minuto.• B(70; !)

a) P(x $ 80) = 0,0228P(x $ 80) = 1 – P(x Ì 80) = 0,0228 "" P(x Ì 80) = 0,9772Tipificando:

80 – 70P(z Ì—) = 0,9772!

80 – 70—= 2 " ! = 5!

b) 400 · P(60 # x # 70) = 400 · P(–2 # z # 0) == 400[P(z # 0) – 1 + P(z # 2)] = 400 · 0,4772 == 190,88 . 191 personas.

Solución:a) x ! Peso en kilos del paquete.b) N(300; 50)

c) 8 200 < 25 · x " x > 328 kg328,5 – 300P(x $ 328,5) = P(z $ ——) =

50= P(z $ 0,57) = 1 – P(z # 0,57) = 0,2843

Solución:a) x ! Número de dianas.b) B(50; 0,6)c) P(x $ 30)

Se decide si se puede normalizar:np = 50 · 0,6 = 30 > 5nq = 50 · 0,4 = 20 > 5Se puede ajustar a una normal.Se normaliza:µ = np = 50 · 0,6 = 30

! = +—npq = +

——50 · 0,6 · 0,4 = 3,46

B(50; 0,6) " N(30; 3,46)

Se corrige la continuidad y se tipifica:

29,5 – 30P(x $ 30) " P(x $ 29,5) = P(z $—) =3,46

P(z $ – 0,14) = P(z # 0,14) = 0,5557

Solución:• x ! Tiempo en minutos.• N(45; 5)

40 – 45a) P(x # 40) = P(z #—) = P(z # – 1) =5

= 1 – P(z # 1) = 0,158735 – 45 55 – 45b) P(35 # x # 55) = P(— # z #—) =

5 5= P(– 2 # z # 2) = P(z # 2) – P(z # – 2) == P(z # 2) – 1 + P(z # 2) = 2P(z # 2) – 1 = 0,9544

at00065503 01 t01 pdmat1bachcc · 70 solucionario © grupo editorial bruño, s.l. 1 los números...

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