at00065503 02 t02 pdmat1bachcc · factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus...

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86 SOLUCIONARIO © Grupo Editorial Bruño, S.L. 2 Álgebra 1. Ecuaciones de 1 er y 2° grado 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 2 = 2x + b) + 10 = 3x – 2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 2 + x – 6 = 0 b) x 2 – 10x + 25 = 0 c) 6x 2 + 5x – 4 = 0 d) 2x 2 + 7x – 15 = 0 3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x 2 – 12 = 0 b) 2x 2 + 6x = 0 c) 4x 2 – 9 = 0 d) 5x 2 + 7x = 0 4. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla cuántas raí- ces tienen: a) 2x 2 – 7x – 15 = 0 b) 4x 2 + 12x + 9 = 0 c) x 2 – 4x + 13 = 0 d) 6x 2 – 7x + 3 = 0 5. Halla la descomposición factorial de los siguientes tri- nomios de 2º grado: a) x 2 + 5x – 14 b) 6x 2 – x – 2 c) 3x 2 – 10x + 3 d) 5x 2 + 24x – 5 6. Halla un número sabiendo que dicho número más su mi- tad y menos su sexta parte es igual a16 Solución: x + x/2 – x/6 = 16 x = 12 Solución: a) (x – 2)(x + 7) b) 6(x – 2/3)(x + 1/2) c) 3(x – 3)(x – 1/3) d) 5(x + 5)(x – 1/5) Solución: a) Δ = 169 > 0 Tiene dos raíces reales y distintas. b) Δ = 0 Tiene una sola raíz real, que es doble. c) Δ = – 36 < 0 No tiene raíces reales. d) Δ = – 23 < 0 No tiene raíces reales. Solución: a) x 1 = 2, x 2 = – 2 b) x 1 = 0, x 2 = – 3 c) x 1 = 3/2, x 2 = – 3/2 d) x 1 = 0, x 2 = – 7/5 Solución: a) x 1 = 2, x 2 = – 3 b) x 1 = x 2 = 5 c) x 1 = 1/2, x 2 = – 4/3 d) x 1 = 3/2, x 2 = – 5 Solución: a) x = 1/2 b) x = 5 5 2 5x – 2 4 5x + 3 6 4x – 3 12 1 8 6x + 5 8 3x – 1 4 Aplica la teoría Piensa y calcula Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + 3 = 5 b) 3x = 12 c) x 2 = 25 d) x(x – 7) = 0 e) 5x 2 = 0 f) |x| = 7 Solución: a) x = 2 b) x = 4 c) x = ± 5 d) x = 0, x = 7 e) x = 0 f) x = ± 7

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Page 1: AT00065503 02 t02 PDmat1bachCC · Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) x 2 + 5x b) x + 2x + 1 c) x 2 – 6x + 9 d) x – 16 Solución:

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2 Álgebra

1. Ecuaciones de 1er y 2° grado

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) – + 2 = 2x +

b) – + 10 = 3x – –

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x2 + x – 6 = 0 b) x2 – 10x + 25 = 0c) 6x2 + 5x – 4 = 0 d) 2x2 + 7x – 15 = 0

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3x2 – 12 = 0 b) 2x2 + 6x = 0 c) 4x2 – 9 = 0 d) 5x2 + 7x = 0

4. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla cuántas raí-ces tienen:a) 2x2 – 7x – 15 = 0 b) 4x2 + 12x + 9 = 0c) x2 – 4x + 13 = 0 d) 6x2 – 7x + 3 = 0

5. Halla la descomposición factorial de los siguientes tri-nomios de 2º grado:

a) x2 + 5x – 14 b) 6x2 – x – 2

c) 3x2 – 10x + 3 d) 5x2 + 24x – 5

6. Halla un número sabiendo que dicho número más su mi-tad y menos su sexta parte es igual a16

Solución:x + x/2 – x/6 = 16x = 12

Solución:

a) (x – 2)(x + 7)

b) 6(x – 2/3)(x + 1/2)

c) 3(x – 3)(x – 1/3)

d) 5(x + 5)(x – 1/5)

Solución:a) ! = 169 > 0Tiene dos raíces reales y distintas.b) ! = 0Tiene una sola raíz real, que es doble.c) ! = – 36 < 0No tiene raíces reales.d) ! = – 23 < 0No tiene raíces reales.

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 2 b) x1 = 0, x2 = – 3c) x1 = 3/2, x2 = – 3/2 d) x1 = 0, x2 = – 7/5

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 3 b) x1 = x2 = 5c) x1 = 1/2, x2 = – 4/3 d) x1 = 3/2, x2 = – 5

Solución:a) x = 1/2 b) x = 5

52

5x – 24

5x + 36

4x – 312

18

6x + 58

3x – 14

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:a) x + 3 = 5 b) 3x = 12 c) x2 = 25 d) x(x – 7) = 0 e) 5x2 = 0 f) |x| = 7

Solución:a) x = 2 b) x = 4 c) x = ± 5 d) x = 0, x = 7 e) x = 0 f) x = ± 7

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TEMA 2. ÁLGEBRA 87

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" Piensa y calcula

Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces:a) x2 + 5x b) x2 + 2x + 1 c) x2 – 6x + 9 d) x2 – 16

Solución:a) x(x + 5) ! x1 = 0, x2 = – 5 b) (x + 1)2 ! x1 = x2 = – 1c) (x – 3)2 ! x1 = x2 = 3 d) (x + 4)(x – 4) ! x1 = – 4, x2 = 4

7. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:

a) x2 + 3x b) x2 – 4

c) x2 – 2x + 1 d) x2 + 4x + 4

8. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y hallasus raíces:

a) x3 – 4x

b) x3 + 2x2 + x

c) x4 – 25x2

d) x3 – 6x2 + 9x

9. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:

a) x3 – 4x2 – 11x + 30

b) x3 – x2 – 8x + 12

10. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:

a) x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4

b) x5 – 2x4 – 2x3 + 4x2 + x – 2

11. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:

a) 6x3 – 7x2 – 14x + 8

b) 5x4 – 33x3 + 66x2 – 28x – 24

12. Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces:

a) x1 = 1, x2 = 2

b) x1 = 3/5, x2 = 0

c) x1 = 2, x2 = –1, x3 = 3

d) x1 = 0, x2 = x3 = 1, x4 = 3

Solución:a) (x – 1)(x – 2) = x2 – 3x + 2b) 5x(x – 3/5) = 5x2 – 3xc) (x – 2)(x + 1)(x – 3) = x3 – 4x2 + x + 6d) x(x – 1)2(x – 3) = x4 – 5x3 + 7x2 – 3x

Solución:a) 6(x – 2)(x – 1/2)(x + 4/3)

x1 = 2, x2 = 1/2, x3 = – 4/3b) 5(x – 2)2(x – 3)(x + 2/5)

x1 = x2 = 2, x3 = 3, x4 = – 2/5

Solución:a) (x – 1)2(x + 2)2

x1 = x2 = 1, x3 = x4 = – 2b) (x – 1)2(x + 1)2(x – 2)

x1 = x2 = 1, x3 = x4 = – 1, x5 = 2

Solución:

a) (x – 2)(x + 3)(x – 5)

x1 = 2, x2 = – 3, x3 = 5

b) (x + 3)(x – 2)2

x1 = – 3, x2 = x3 = 2

Solución:

a) x(x + 2)(x – 2) ! x1 = 0, x2 = – 2, x3 = 2

b) x(x + 1)2 ! x1 = 0, x2 = x3 = – 1

c) x2(x + 5)(x – 5) ! x1 = x2 = 0, x3 = –5, x4 = 5

d) x(x – 3)2 ! x1 = 0, x2 = x3 = 3

Solución:

a) x(x + 3) b) (x + 2)(x – 2)

c) (x – 1)2 d) (x + 2)2

! Aplica la teoría

2. Factorización de polinomios

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" Piensa y calcula

Factoriza mentalmente el numerador y el denominador, y simplifica la fracción algebraica

Solución:x(x + 1) x—= —(x + 1)2 x + 1

x2 + xx2 + 2x + 1

13. Descompón mentalmente en factores el numerador yel denominador,y simplifica las siguientes fracciones al-gebraicas:

a)

b)

14. Completa:

a) =

b) =

15. Calcula:

a) +

b) –

16. Efectúa:

a) ·

b) ·

17. Calcula:

a) :

b) :

18. Opera y simplifica:

a) ( – ) :

b) ( + )( : )Solución:

x2 – 7x + 10a) ——2(x + 1)

(x + 4)2b) —x(x2 – 9)

1x + 4

1x

1x – 3

1x2 – 9

2x2 – 4x + 4

1x – 2

2x + 1

Solución:x – 4a) —x – 2

6b) —x – 1

x2 – 13x2 + 3

2x + 2x2 + 1

x2 – 4x2 – 16

x + 2x + 4

Solución:x2

a) ——x2 – 3x + 2

x2 + 2b) ——x2 – 2x – 3

x2 + 2x2 – 9

x + 3x + 1

x2

x2 – 4x + 2x – 1

Solución:3x + 1a) —x2 – 1– x2 + 3x + 2b) ——

x2 – 4

x + 1x + 2

2xx2 – 4

1x + 1

2x – 1

Solución:a) 2x2 – 5x – 3b) 2x2 + 7x + 5

…2x + 5

x2 – 1x – 1

2x + 1…

x + 3x2 – 9

Solución:x(x + 1) xa) —= —2(x + 1) 2

(x + 1)2 x + 1b) —— = —(x + 1)(x – 1) x – 1

x2 + 2x + 1x2 – 1

x2 + x2x + 2

! Aplica la teoría

3. Fracciones algebraicas

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" Piensa y calcula

Observando la representación gráfica, calcula las soluciones del sistema:

Solución:x1 = – 4, y1 = 2 x2 = – 1, y2 = – 1

Y

Xy = x + 4x + 22

y = – x – 2

"#$

y = –x – 2y = x2 + 4x + 2

19. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x4 – 10x2 + 9 = 0 b) x4 – 3x2 – 4 = 0c) x6 – 9x3 + 8 = 0 d) x6 + 7x3 – 8 = 0

20. Resuelve las ecuaciones racionales:

a) – 5 = b) =

c) – = – d) + = –

21. Resuelve las ecuaciones irracionales:

a) 3x + = 4x + 1

b) 3 – x + = x + 8

c) – = 2

d) = 5 –

22. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibleso incompatibles:

23. Halla un número sabiendo que dicho número más suinverso es igual a 26/5

24. Halla un número, sabiendo que el número menos laraíz cuadrada, de dicho número al cuadrado menos7 unidades, es igual a uno.

Solución:x – %—x2 – 7 = 1x = 4

Solución:x + 1/x = 26/5 ! x = 5, x = 1/5

Solución:a) x1 = 4, y1 = 2; x2 = – 4, y2 = – 2

Sistema compatible.b) x1 = 3, y1 = – 4; x2 = – 2, y2 = 6

Sistema compatible.

"#$

2x + y = 2y = x2 – 3x – 4

b)"#$

x – 2y = 0x2 + y2 = 20

a)

Solución:a) x = 2 b) x = –1 c) x = 5 d) x = 3

%x – 2%5x + 1

%x – 1%2x + 6

%3x + 12

%17 – 4x

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 1/4 b) x1 = 1, x2 = – 4/3c) x1 = 3, x2 = – 1/4 d) x1 = 1/3, x2 = 6/7

15

xx – 2

3x – 1x + 2

23

3x – 1x + 1

x + 1x

4x – 3x – 2

x – 2x

5x – 4x + 1

2x + 3x – 1

Solución:a) x1 = 1, x2 = – 1, x3 = 3, x4 = – 3b) x1 = 2, x2 = – 2c) x1 = 1, x2 = 2d) x1 = 1, x2 = – 2

! Aplica la teoría

4. Aplicaciones de las ecuaciones de 2° grado

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" Piensa y calcula

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:a) 2x = 8 b) 2x = 1/8 c) 2x = 1 d) 2x = 2 e) log5 x = 3 f) log5 x = – 3 g) log5 x = 0 h) log5 x = 1

Solución:a) x = 3 b) x = – 3 c) x = 0 d) x = 1 e) x = 125 f) x = 1/125 g) x = 1 h) x = 5

25. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y lo-garítmicas:a) 2x + 2x + 1 = 24 b) 9x – 10 · 3x + 9 = 0c) 5x – 2 – 3x + 1 = 0 d) log (x + 3) + log x = 1

26. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y lo-garítmicas:a) 4 log x + 1 = log 16 + log 5xb) 4x – 10 · 2x + 16 = 0c) 5x – 1 + 5x + 5x + 1 = 31d) 6x – 3 – 5x + 4 = 0

27. Resuelve los sistemas:

a)

b)

28. En la fórmula del capital final, en el interés compuesto C = c(1 + r)t,donde C es el capital final,c el capital inicial,r el tanto por uno y t el número de años. Calcula el nú-mero de años que tienen que transcurrir para que un ca-pital de 10000 !colocado al 5 % se transforme en 15000!

Solución:10000 · 1,05t = 15000t = 8,3 años

Solución:a) x = 1, y = 2 b) x = 10, y = 1

"#$

2 log x + log y = 2log xy = 1

"#$

2x + 3y = 112x + 1 – 3y – 1 = 1

Solución:a) x = 2 b) x1 = 3, x2 = 1c) x = 1 d) x = 64,79

Solución:a) x = 3 b) x1 = 0, x2 = 2c) x = 8,45 d) x = 2

! Aplica la teoría

5. Ecuaciones exponenciales, logarítmicas y sistemas

" Piensa y calcula

Observando la gráfica, halla los intervalos de los valores de x en los que la parábola y = x2 – 2x – 3 es positiva.

Solución:Positiva (+) : (– &, – 1) U (3, + &)

Y

X

y = x2 – 2x – 3

A(3, 0)B(–1, 0)

+ +

6. Inecuaciones polinómicas y racionales

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TEMA 2. ÁLGEBRA 91

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29. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:a) x2 – 5x + 4 < 0 b) x2 + x + 2 > 0

c) x2 + 6x + 9 Ì 0 d) x3 – 2x2 – 5x + 6 ' 0

30. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a) < 0 b) > 0

c) Ì 0 d) Ó 0

31. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:

a) x3 – 3x – 2 > 0

b) x3 – 8x2 + 20x – 16 Ì 0

32. Dada la función f(x) = –x2 + 6x – 8, halla:

a) cuándo vale cero.

b) cuándo es positiva.

c) cuándo es negativa.

33. Dada la función f(x) = , halla:

a) cuándo vale cero.

b) cuándo es positiva.

c) cuándo es negativa.

Solución:a) x1 = 0, x2 = 1b) (– @, – 2) U (0, 1) U (2, +@)c) (– 2, 0) U (1, 2)

x2 – xx2 – 4

Solución:a) x1 = 2, x2 = 4b) (2, 4)c) (– @, 2) U (4, + @)

Solución:a)

(– 2, 3)

b)

(0, 1) U (3, + @)

c)

(– @, – 2) U [0, 2)

d)

(– @, – 3) U {1} U (2, + @)

x2 – 2x + 1x2 + x – 6

xx2 – 4

x2 – 3xx – 1

x + 2x – 3

Solución:a)

(1, 4)

b)

! = (– @, + @)

c)

x = – 3

d)

[– 2, 1] U [3, + @)

! Aplica la teoría

" Piensa y calcula

Calcula mentalmente el valor de z en la 3ª ecuación. Sustituye ese valor en la 2ª ecuación y calcula mentalmente el valorde y. Sustituye el valor de z y de y en la 1ª ecuación, y calcula mentalmente el valor de x

Solución:z = 2 y = 4 x = – 2

"(#($

x + y – z = 0y + z = 6

3z = 6

7. Método de Gauss

0 1

41

0 1

0 1

– 3

0 1

– 2 1 3

0 1

3– 2

0 1

– 3 1 2

0 1

0 1 3

0 1

0– 2 2

Solución:a)

(2, + @)b)

(– @, 4]

0 1

2

0 1

4

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34. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los sistemas:

a)

b)

35. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los sistemas:

a)

b)

36. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los sistemas:

37. Calcula tres números tales que la suma de los tres es 9.El mediano disminuido en una unidad es la tercera par-te de la suma del mayor y el menor. La diferencia entreel mayor y el menor excede en uno al mediano.

Solución:x: el número menor.y: el número mediano.z: el número mayor.

x + y + z = 9y – 1 = (x + z)/3z – x = y + 1

x = 1, y = 3, z = 5

Solución:a) x = 2, y = – 4, z = 3b) x = 1/2, y = – 3, z = 5

"(#($

4x – y – z = 02x + y + z = 36x – 2y – 3z = – 6

b)

"(#($

2x – y + z = 11x – y + 3z = 15

3x + 2y – 5z = – 17

a)

Solución:a) x = – 3, y = 4, z = 2b) x = 3, y = – 2, z = 1

"(#($

x + y – z = 02x – 3y + z = 13

–3x + 2y + 5z = –8

"(#($

2x – y + z = –8x + 3y – 2z = 5

2x + y + 3z = 4

Solución:a) x = 5, y = – 3, z = 2b) x = 3, y = – 2, z = 1

"(#($

x + y + z = 22x – y + 3z = 11x + 2y – z = –2

"(#($

2x + y – 3z = 1x – 2y + 4z = 19

3x + 4y – z = 1

! Aplica la teoría

"(#($

" Piensa y calcula

Halla mentalmente tres números enteros consecutivos menores que 7, de forma que sean los lados de un triángulo rectán-gulo.

Solución:

3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52

8. Resolución de problemas

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TEMA 2. ÁLGEBRA 93

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38. Un segmento AB tiene de longitud 42 cm.Halla un pun-to P de dicho segmento de forma que el triángulo equi-látero construido sobre AP tenga el mismo perímetroque el cuadrado construido sobre PB.

39. Entre Sonia y Alba tienen 300 !. Alba tiene el triple dedinero que Sonia. ¿Cuánto dinero tiene cada una?

40. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados igualesmide 5 m más que el desigual. Si el perímetro mide 34 m,¿cuánto mide cada lado?

41. En un prado se quiere cercar una zona rectangular pa-ra que paste una cabra. Se tiene 24 m de valla y quere-mos que el área del recinto delimitado sea de 32 m2.Calcula las dimensiones de la zona vallada.

42. Los lados de un triángulo rectángulo son números quese diferencian en tres unidades. Calcula las longitudesde dichos lados.

43. Un piso tiene forma rectangular y su área es de 120 m2.Si el largo mide 2 m más que el ancho, ¿cuáles son lasdimensiones del piso?

Solución:

Ancho: xLargo: x + 2x(x + 2) = 120Si x = 10, el ancho es 10 m y el largo 12 mSi x = – 12, los lados son – 12 y 10, que no son valoresválidos.

Solución:

Cateto menor: xCateto mayor: x + 3Hipotenusa: x + 6x2 + (x + 3)2 = (x + 6)2

Si x = 9, los lados miden: 9, 12 y 15Si x = – 3, los lados miden: – 3, 0 y 3, que no son valoresválidos.

Solución:

Largo: xAncho: y2x + 2y = 24

xy = 32x = 8 m, y = 4 mEl largo mide 8 m, y el ancho mide 4 m

Solución:

El lado desigual: xCada lado igual: x + 5x + 2(x + 5) = 34x = 8 mEl lado desigual mide 8 mCada lado igual mide 13 m

Solución:Sonia tiene: xAlba tiene: 300 – x300 – x = 3xx = 75 !Sonia tiene: 75 !Alba tiene: 225 !

Solución:

Medida de los segmentos:AP = x, PB = 42 – x3x = 4(42 – x)x = 24 cm

! Aplica la teoría

xA P B42 – x

x

x + 5 x + 5

x

y

x + 3

x + 6x

x + 2

x

"#$

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44. Un coche sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, quedista 900 km de A, con una velocidad de 80 km/h. Doshoras más tarde sale de la misma ciudad A con direccióna la ciudad B una moto a 120 km/h. ¿Cuánto tiempotardará en alcanzar la moto al coche? ¿A qué distanciade la ciudad A lo alcanzará?

Coche Motoe: e e: ev: 80 km/h v: 120 km/ht: t t: t – 2e = vt e = vte = 80t e = 120(t – 2)

Hay que resolver el sistema:

e = 80te = 120(t – 2)

t = 6 he = 80 · 6 = 480 km

Solución:

BA

Cochev = 80 km/ht = t

Motov = 120 km/ht = t – 2

Cee

"#$

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TEMA 2. ÁLGEBRA 95

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Ejercicios y problemas1. Ecuaciones de 1er y 2º grado

45. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x + + + = 25

b) – = – 2x

c) – = 4x –

d) – + + 2x =

46. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x2 + 3x – 10 = 0 b) x2 – 6x + 9 = 0c) 3x2 – 7x – 6 = 0 d) 6x2 + 7x + 2 = 0

47. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 5x2 – 20 = 0 b) 3x2 + 6x = 0 c) 9x2 – 25 = 0 d) 3x2 – 8x = 0

48. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla cuántas raíces tienen:a) x2 + 10x + 25 = 0 b) 3x2 + 8x – 3 = 0c) x2 – 6x + 13 = 0 d) x2 + 8x + 15 = 0

49. Halla la descomposición factorial de los siguientes trino-mios de 2º grado:a) x2 – x – 6 b) 9x2 + 12x + 4c) 2x2 – 9x – 5 d) 6x2 – 5x – 6

50. Halla ecuaciones de 2º grado que tengan las siguientesraíces:a) x1 = –3, x2 = 1 b) x1 = –2, x2 = 3c) x1 = –1/2, x2 = 5 d) x1 = 3, x2 = 3/4

51. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla la suma y elproducto de sus raíces:a) x2 + 2x – 8 = 0 b) x2 – 7x + 10 = 0c) 15x2 + x – 2 = 0 d) 4x2 – 19x – 5 = 0

2. Factorización de polinomios

52. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:a) x4 – 2x2 b) x2 – 16c) x2 + 6x + 9 d) x2 – 10x + 25

53. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y hallasus raíces:a) x3 – 9x b) x3 + 10x2 + 25xc) x4 – 16x2 d) x3 – 8x2 + 16x

Solución:a) x(x + 3)(x – 3) ! x1 = 0, x2 = – 3, x3 = 3b) x(x + 5)2 ! x1 = 0, x2 = x3 = – 5c) x2(x + 4)(x – 4) ! x1 = x2 = 0, x3 = – 4, x4 = 4d) x(x – 4)2 ! x1 = 0, x2 = x3 = 4

Solución:

a) x2(x + %—2)(x – %—

2) b) (x + 4)(x – 4)c) (x + 3)2 d) (x – 5)2

Solución:a) S = – 2, P = – 8 b) S = 7, P = 10c) S = – 1/15, P = – 2/15 d) S = 19/4, P = – 5/4

Solución:a) (x + 3)(x – 1) = x2 + 2x – 3b) (x + 2)(x – 3) = x2 – x – 6c) 2(x + 1/2)(x – 5) = 2x2 – 9x – 5d) 4(x – 3)(x – 3/4) = 4x2 – 15x + 9

Solución:a) (x + 2)(x – 3) b) 9(x + 2/3)2

c) 2(x – 5)(x + 1/2) d) 6(x – 3/2)(x + 2/3)

Solución:a) ) = 0

Tiene una sola raíz real, que es doble.b) ) = 100 > 0

Tiene dos raíces reales y distintas.c) ) = – 16 < 0

No tiene raíces reales.d) ) = 4 > 0

Tiene dos raíces reales y distintas.

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 2b) x1 = 0, x2 = – 2c) x1 = 5/3, x2 = – 5/3d) x1 = 0, x2 = 8/3

Solución:a) x1 = 2, x2 = – 5b) x1 = x2 = 3c) x1 = 3, x2 = – 2/3d) x1 = – 1/2, x2 = – 2/3

Solución:a) x = 12 b) x = 3/5c) x = 1/2 d) x = – 2

85

–3x + 75

2x – 53

83

2x + 58

3x – 16

112

5x + 16

2x – 34

x4

x3

x2

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Ejercicios y problemas54. Halla la descomposición factorial de los siguientes poli-

nomios y calcula sus raíces:a) 15x3 – 8x2 – 9x + 2b) 5x3 – 2x2 – 20x + 8c) 49x3 – 28x2 + 4xd) 3x4 – x3 – 57x2 – 71x + 30

55. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:a) x3 – 5x2 – 2x + 10b) 8x5 + 18x4 + x3 – 6x2

56. Escribe un polinomio que tenga las siguientes raíces:a) x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1b) x1 = x2 = 3, x3 = 0c) x1 = 1, x2 = – 2, x3 = 3d) x1 = 2, x2 = x3 = 1, x4 = –2

3. Fracciones algebraicas

57. Descompón mentalmente en factores el numerador y eldenominador, y simplifica las siguientes fracciones alge-braicas:

a) b)

58. Completa:

a) = b) =

59. Calcula:

a) + b) –

60. Efectúa:

a) · b) ·

61. Calcula:

a) : b) :

62. Opera y simplifica:

a) ( – ) :

b) ( + 4)( – )

4. Aplicaciones de las ecuacionesde 2º grado

63. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x4 – 13x2 + 36 = 0b) x4 – 3x2 – 4 = 0c) x4 – 10x2 + 25 = 0d) x6 – 7x3 – 8 = 0

Solución:3x2 – 11x + 3 – 24x + 33a) —— b) ——x2 – 6x + 5 2x3 – 9x2 + 9x

1x – 3

1x

12x – 3

x – 5x – 2

2x + 3x – 2

5xx – 1

Solución:x + 5 5a) — b) —x – 1 x + 2

x2 + 4x + 45x2 + 5

x + 2x2 + 1

x2 – 1x2 + 10x + 25

x + 1x + 5

Solución:3x2 + 1 x – 3a) — b) —x2 – 1 x2 + x

x – 3x2

xx + 1

3x2 + 1x2 + 2x + 1

x + 1x – 1

Solución:3x2 + 11x – 10 – 2x2 – 6x – 3a) ——— b) ———

x2 – 4 (x + 3)2

2x + 1x + 3

xx2 + 6x + 9

5x + 2

3xx – 2

Solución:a) 2x2 + x – 3b) x

…x – 3

x2 + 3xx2 – 9

2x + 3…

x + 1x2 – 1

Solución:3x(x – 1) x (x + 2)2 x + 2a) —= — b) —— = —6(x – 1) 2 (x + 2)(x – 2) x – 2

x2 + 4x + 4x2 – 4

3x2 – 3x6x – 6

Solución:a) (x – 2)(x – 3)(x – 1) = x3 – 6x2 + 11x – 6b) (x – 3)2 x = x3 – 6x2 + 9xc) (x – 1)(x + 2)(x – 3) = x3 – 2x2 – 5x + 6d) (x – 2)(x – 1)2(x + 2) = x4 – 2x3 – 3x2 + 8x – 4

Solución:a) (x – 5)(x – %—

2)(x + %—2)

x1 = 5, x2 = %—2, x3 = –%—

2b) 8x2(x + 2)(x – 1/2)(x + 3/4)

x1 = x2 = 0, x3 = – 2, x4 = 1/2, x5 = – 3/4

Solución:a) 15(x – 1)(x – 1/5)(x + 2/3)

x1 = 1, x2 = 1/5, x3 = – 2/3b) 5(x – 2)(x + 2)(x – 2/5)

x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 2/5c) 49x(x – 2/7)2

x1 = 0, x2 = x3 = 2/7d) 3(x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 1/3)

x1 = – 2, x2 = – 3, x3 = 5, x4 = 1/3

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TEMA 2. ÁLGEBRA 97

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64. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) – =

b) 12 + = 2x + 7

c) 3x – =

d) + 4 = 6 +

65. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x – = 3x + 2

b) – + 8 =

c) + = 9

d) – = – 5

66. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibleso incompatibles:

67. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibleso incompatibles:

68. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibleso incompatibles:

5. Ecuaciones exponenciales,logarítmicas y sistemas

69. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-rítmicas:

a) 3x + 3x – 1 = 12

b) 4x – 10 · 2x + 16 = 0

c) 2x + 1 = 3x – 1

d) log (x + 3) – log (x – 2) + 2 log 5 = 2

70. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-rítmicas:

a) 3x + 2 – 4x – 3 = 0

b) 5x + 2 – 4 · 5x + 1 – 8 · 5x – 1 = 85

c) log3 (5x + 2) – log3 (2x – 1) = 1

d) 4 · 22x – 33 · 2x + 8 = 0

Solución:a) x = 22,09 b) x = 2c) x = 5 d) x1 = 3, x2 = – 2

Solución:a) x = 2 b) x1 = 3, x2 = 1c) x = 4,42 d) x = 11/3

Solución:a) x1 = 2, y1 = – 4; x2 = 8, y2 = 8

El sistema es compatible.b) No tiene solución real.

El sistema es incompatible.

"#$

4x = y2

2x – y = –2

b)"#$

8x – y2 = 02x – y = 8

a)

Solución:a) x = 17/5, y = 8/5

El sistema es compatible.b) x = 4, y = 3

El sistema es compatible.

"(#($

4 25—x + y = —3 3x2 + y2 = 25

b)"#$

x + y = 5x2 – y2 = 9

a)

Solución:a) x1 = 2, y1 = 7; x2 = – 1, y2 = – 8

El sistema es compatible.b) x1 = 2, y1 = 3; x2 = – 2, y2 = – 3

El sistema es compatible.

"(#($

6y = —x2y = 3x

b)"#$

5x – y = 35x2 – y = 13

a)

Solución:

a) x = 2

b) x1 = 4, x2 = –16/25

c) x = 16

d) x1 = 2, x2 = – 19/6

5x + 2x2 – 9

xx + 3

2x + 3x – 3

%x%x + 9

53

5x + 1x – 2

7x – 3x + 2

%x + 2

Solución:

a) x1 = – 2, x2 = – 1/5

b) x = 5

c) x1 = 1/2, x2 = – 7/3

d) x = 3

%2x – 5%x + 6

32

2x – 1x + 3

%3x + 10

212

2x + 3x

5x – 1x + 1

Solución:

a) x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 3, x4 = – 3

b) x1 = 2, x2 = – 2

c) x1 = %—5, x2 = – %—

5

d) x1 = 2, x2 = – 1

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Ejercicios y problemas71. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

rítmicas:a) L x + L (x + 1) – L 2 = L 3

b) 3 · 32x – 28 · 3x + 9 = 0

c) 2x – 2 + 2x – 1 + 2x + 2x + 1 = 30

d) 5x – 2 – 4x + 1 = 0

72. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-rítmicas:

a) 4x + 1 – 7x – 1 = 0

b) 3x – 1 + 3x + 3x + 1 = 39

c) log2 (2x + 5) – log2 x + log2 3 = log2 11

d) 52x – 6 · 5x + 5 = 0

73. Resuelve los sistemas:

a) b)

6. Inecuaciones polinómicas y racionales

74. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:a) x2 – x – 2 < 0 b) x2 – x – 6 > 0c) –x2 + 4x – 4 * 0 d) x2 – 4 ' 0

75. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a) < 0 b) > 0

c) * 0 d) ' 0

76. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:a) x3 – 4x ' 0b) x3 + 3x2 – x – 3 < 0

77. Dada la función f(x) = –x2 + 2x + 3, halla:a) cuándo vale cero.b) cuándo es positiva.c) cuándo es negativa.

78. Dada la función f(x) = , halla:

a) cuándo vale cero.b) cuándo es positiva.c) cuándo es negativa.

Solución:a) x1 = – 1, x2 = 1b) (– &, – 3) U (– 1, 1) U (3, + &)c) (– 3, – 1) U (1, 3)

x2 – 1x2 – 9

Solución:a) x1 = 3, x2 = – 1b) (– 1, 3)c) (– &, – 1) U (3, + &)

Solución:a)

[– 2, 0] U [2, + &)

b)

(– &, – 3) U (– 1, 1)

Solución:a)

(– &, 2) U (3, + &)

b)

(– 3, 0) U (1, + &)

c)

(– &, 3)

d)

(– &, – 3] U [2, + &)

x2 + x – 6x2 – 2x + 1

x2 + 2x – 3

x + 3x2 – x

x – 23 – x

Solución:a)

(–1, 2)

b)

(– &, – 2) U (3, + &)

c)

! = (– &, + &)

d)

(– &, – 2] U [2, + &)

Solución:a) x1 = 1, y1 = – 1; x2 = 3, y2 = 1b) x = 10, y = 1

"#$

x + y = 11log x = log y + 1

"#$

x – y = 25 · 2x – 2 · 4y+1 = 8

Solución:a) x = 5,95 b) x = 2c) x = 3 d) x1 = 0, x2 = 1

Solución:a) x = 2 b) x1 = 2, x2 = – 1c) x = 3 d) x = 20,64

0 1

2– 1

0 1

– 2 2

0 1

3– 2

0 1

0 1

2 3

0 1

– 3 2

0 1

1– 3 0

0 1

3

0 1

– 3 1– 1

0 1

20– 2

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7. Método de Gauss

79. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los siguientessistemas:a) b)

80. Resuelve, aplicando el método de Gauss, los siguientessistemas:a) b)

8. Resolución de problemas

81. Ismael tiene tres años más que Ana, y Sonia tiene 2 añosmás que Ismael. Entre los tres tienen 53 años. ¿Cuántosaños tiene cada uno?

82. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isóscelesmide el triple que el lado desigual. Si el perímetro mide42 m, ¿cuánto mide cada lado?

83. Se mezcla café del tipo A de 5,5 !/kg con café del tipoB de 4 !/kg para obtener una mezcla de 90 kg a 5 !/kg.¿Cuántos kilogramos de café debemos tomar de cadatipo?

84. Halla las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendoque el largo es el doble que el ancho y que la superficiemide 50 m2

85. Un frutero compra una caja de plátanos a 0,8 !/kg. Se leestropean 3 kg, que tira a la basura, y el resto los vendea 1,2 !. Si gana 18 !, ¿cuántos kilogramos de plátanoscontenía la caja inicialmente?

Solución:

Compra: x kg a 0,8 "/kg

Vende: x – 3 a 1,2 "/kg

0,8x + 18 = (x – 3)1,2

x = 54 kg

Solución:

Ancho: x

Largo: 2x

x · 2x = 50

Si x = 5, el ancho mide 5 m y el largo mide 10 m

Si x = – 5, se obtienen valores no válidos.

Solución:

Café de tipo A: x a 5,5 #/kg

Café de tipo B: 90 – x a 4 #/kg

5,5x + 4(90 – x) = 5 · 90

x = 60 kg

Café de tipo A: 60 kg

Café de tipo B: 30 kg

Solución:El lado desigual: xCada lado igual: 3xx + 2 · 3x = 42x = 6 mEl lado desigual mide 6 mCada lado igual mide 18 m

Solución:Ana: x Ismael: x + 3 Sonia: x + 5x + x + 3 + x + 5 = 53 ! x = 15Ana: 15 años. Ismael: 18 años. Sonia: 20 años.

Solución:a) x = 2, y = – 1, z = 3 b) x = 2, y = – 3, z = 5

"(#($

3x – 2y – z = 74x + y – 2z = –52x – 3y – 4z = –7

"(#($

2x – 3y + z = 10x + y – 2z = –5

5x – 2y – 2z = 6

Solución:a) x = 1, y = 2, z = 3 b) x = – 1, y = 2, z = 5

"(#($

2x + y – 2z = –103x – 4y + 5z = 14

x + y – z = – 4

"(#($

x + y + z = 62x – y – 3z = –93x + y – 2z = –1

86. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x4 – 3x2 = 0

b) x6 – 27x3 = 0

c) x4 – 7x2 + 12 = 0

d) 4x4 – 17x2 + 4 = 0

Solución:

a) x1 = x2 = 0, x3 = %—3, x4 = – %—

3b) x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 3c) x1 = 2, x2 = – 2, x3 = %—

3, x4 = – %—3

d) x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 1/2, x4 = – 1/2

x

3x 3x

2x

x

Para ampliar

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Ejercicios y problemas87. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) x(x + 3) = 0 b) (x + 1)(x – 5) = 0c) x(x + 2)(3x – 6) = 0 d) x(x – 1)(2x + 5) = 0

88. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:a) 2x2 = 0 b) x2 – 9 = 0c) x2 – 4x = 0 d) 3x2 – 7x = 0

89. Halla mentalmente la descomposición factorial de los si-guientes trinomios de 2º grado:a) x2 – 7x b) x2 + 12x + 36c) x2 – 25 d) x2 – 14x + 49

90. Halla ecuaciones de 2º grado que tengan las siguientesraíces:a) x1 = 2, x2 = –5 b) x1 = –1, x2 = 4c) x1 = 1/2, x2 = 2/3 d) x1 = 4, x2 = –1/3

91. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla la suma y elproducto de sus raíces:a) x2 + 5x + 6 = 0 b) x2 + 3x – 10 = 0c) 5x2 – 14x – 3 = 0 d) 6x2 + x – 2 = 0

92. Halla la descomposición factorial de los siguientes trino-mios de 2º grado:a) 6x2 – 5x – 1 b) 9x2 – 18x + 8c) 15x2 – 17x + 2 d) 6x2 – 5x – 6

93. Plantea una ecuación de segundo grado que tenga:a) una solución real doble.b) dos soluciones reales y distintas.

94. Sabiendo que la ecuación 4x2 + kx – 9 = 0 tiene dos raí-ces opuestas, halla el valor de k

95. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:a) x2 + x + 1/4b) x2 – 3

96. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:a) x2 + 2x/3 + 1/9b) 4x2 – 12x + 9c) x2 + 2x/5 + 1/25d) 9x2 – 25

97. Factoriza los siguientes polinomios:a) x5 – 16xb) x6 – 25x2

98. Factoriza los siguientes polinomios:a) x4 – 81 b) x4 – 9x2

Solución:a) (x + 3)(x – 3)(x2 + 9)b) x2(x – 3)(x + 3)

Solución:a) x(x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

b) x2(x + %—5 )(x – %—

5 )(x2 + 5)

Solución:a) (x + 1/3)2 b) (2x – 3)2

c) (x + 1/5)2 d) (3x + 5)(3x – 5)

Solución:a) (x + 1/2)2

b) (x + %—3 )(x – %—

3 )

Solución:k = 0

Solución:a) (x – 3)2 = 0 ! x2 – 6x + 9 = 0b) (x + 2)(x – 3) = 0 ! x2 – x – 6 = 0

Solución:a) 6(x – 1)(x + 1/6) b) 9(x – 2/3)(x – 4/3)c) 15(x – 1)(x – 2/15) d) 6(x – 3/2)(x + 2/3)

Solución:a) S = – 5, P = 6 b) S = – 3, P = – 10c) S = 14/5, P = – 3/5 d) S = – 1/6, P = – 1/3

Solución:a) (x – 2)(x + 5) = 0 ! x2 + 3x – 10 = 0b) (x + 1)(x – 4) = 0 ! x2 – 3x – 4 = 0c) (x – 1/2)(x – 2/3) = 0 ! 6x2 – 7x + 2 = 0d) (x – 4)(x + 1/3) = 0 ! 3x2 – 11x – 4 = 0

Solución:a) x(x – 7) b) (x + 6)2

c) (x + 5)(x – 5) d) (x – 7)2

Solución:a) x1 = x2 = 0 b) x1 = 3, x2 = – 3c) x1 = 0, x2 = 4 d) x1 = 0, x2 = 7/3

Solución:a) x1 = 0, x2 = – 3b) x1 = – 1, x2 = 5c) x1 = 0, x2 = – 2, x3 = 2

d) x1 = 0, x2 = 1, x3 = – 5/2

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TEMA 2. ÁLGEBRA 101

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99. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces:a) 14x3 – 27x2 – 6x + 8b) x3 – 3x2 – 13x + 15c) x4 – 7x3 – 3x2 + 21x d) x4 – 4x3 – x2 + 20x – 20

100. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la factori-zación de polinomios:a) x3 – 27 = 0 b) x4 + 2x2 – 3 = 0c) x3 – 2x2 – 49x + 98 = 0 d) 4x3 – 16x2 – x + 4 = 0

101. Escribe un polinomio que tenga las siguientes raíces:a) x1 = 3, x2 = –1, x3 = –2b) x1 = x2 = –1, x3 = 4c) x1 = –2, x2 = 2, x3 = 1d) x1 = –3, x2 = x3 = 2, x4 = 1

102. Descompón mentalmente en factores el numerador y eldenominador y simplifica las siguientes fracciones alge-braicas:

a) b)

103. Calcula:

a) + – b) + –

104. Efectúa:

a) · b) ·

105. Calcula:

a) :

b) :

106. Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

107. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-rítmicas:

a) 3x2 – x – 6 = 1 b) 21 – x2 =

c) 35x – 4 = 92x – 1 d) log(x – 16) = log 3

Solución:a) x1 = 3, x2 = –2 b) x1 = 2, x2 = –2c) x = 2 d) x = 25

12

18

Solución:a) x1 = 2, y1 = 3; x2 = –2, y2 = –3;

x3 = 3, y3 = 2; x4 = –3, y4 = –2b) x1 = 1, y1 = 1; x2 = –1, y2 = –1

"((#(($

3x + 2y = —x2x + y = —y

"(#($

6y = —xx2 + y2 = 13

Solución:3x2 + 6x + 3 2x2 + 9x – 5a) —— b) ——x3 + 2x2 + 2x x – 5

2x + 1x2 – 25

4x2 – 1x2 – 10x + 25

x2 + 2x + 2x3 + x2

3x2 + 6x + 3x4 + x3

Solución:x2 + x – 2 x3 – 3x2 + 2xa) —— b) ——x2 – x – 2 x2 + 4x + 3

x2 – 4x2 + x

x3 – x2

x2 + 5x + 6x2 + 4x + 4x2 + 2x + 1

x2 – 1x2 – 4

Solución:6x2 + 5x – 16 – x2 + 3x + 5a) —— b) ——

x(x2 – 4) x (x2 – 1)

3x

x + 2x2 – x

xx2 – 1

x + 1x2 – 4

3x – 2

4x

Solución:3x(x – 3) 3x (x + 5)2 x + 5a) —= — b) —— = —(x – 3)2 x – 3 (x + 5)(x – 5) x – 5

x2 + 10x + 25x2 – 25

3x2 – 9xx2 – 6x + 9

Solución:a) (x – 3)(x + 1)(x + 2) ! x3 – 7x – 6b) (x + 1)2(x – 4) ! x3 – 2x2 – 7x – 4c) (x + 2)(x – 2)(x – 1) ! x3 – x2 – 4x + 4d) (x + 3)(x – 2)2(x – 1) ! x4 – 2x3 – 7x2 + 20x – 12

Solución:a) (x – 3)(x2 + 3x + 9)

x1 = 3b) (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

x1 = 1, x2 = –1c) (x – 2)(x – 7)(x + 7)

x1 = 2, x2 = 7, x3 = –7d) 4(x – 4)(x – 1/2)(x + 1/2)

x1 = 4, x2 = 1/2, x3 = –1/2

Solución:

a) 14(x – 2)(x – 1/2)(x + 4/7)

x1 = 2, x2 = 1/2, x3 = – 4/7

b) (x – 1)(x + 3)(x – 5)

x1 = 1, x2 = – 3, x3 = 5

c) x(x – 7)(x + %—3 )(x – %—

3 )x1 = 0, x2 = 7, x3 = – %—

3 , x4 = %—3

d) (x – 2)2(x + %—5 )(x – %—

5 )x1 = x2 = 2, x3 = – %—

5 , x4 = %—5

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102 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas108. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

rítmicas:

a) 2x =

b) 0,5x = 32

c) = 23

d) = 27

109. Resuelve los sistemas:

110. Resuelve las siguientes inecuaciones:a) x2 – 4x + 4 < 0b) x2 – 4x + 4 > 0c) x2 – 4x + 4 * 0d) x2 – 4x + 4 ' 0

111. Resuelve las siguientes inecuaciones:a) x2 + 2x + 3 < 0b) x2 + 2x + 3 > 0c) x2 + 2x + 3 * 0d) x2 + 2x + 3 ' 0

112. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x3 – 4x * 0

b) x4 – x2 > 0

c) > 0

d) ' 0

113. Dada la función f(x) = |3x + 5|, halla:

a) cuándo vale cero.

b) cuándo es positiva.

c) cuándo es negativa.

Solución:

a) x = – 5/3

b) ! – {– 5/3} = (– &, – 5/3) U (– 5/3, + &)

c) Nunca es negativa: +

Solución:a)

(– &, – 2] U [0, 2]b)

(– &, – 1) U (1, + &)c)

(2, + &)d)

[– 3, – 1) U (1, 3]

9 – x2

x2 – 1

5(x – 2)3

Solución:a)

La solución es el conjunto vacío: +b)

La solución es toda la recta real: !

c)

La solución es el conjunto vacío: +d)

La solución es toda la recta real: !

Solución:a)

La solución es el conjunto vacío: +b)

! – {2} = (– &, 2) U (2, + &)c)

La solución es el punto: {2}d)

La solución es toda la recta real: !

Solución:a) x = 3, y = 1b) x = 2, y = 1

"#$

4 · 2x = 4y + 1

log (x + y) + log (x – y) = log 3

b)

"#$

5x = 25 · 5y

log (x + y) – log (x – y) = log 2

a)

Solución:a) x = 2/3b) x = –5c) x = 8,06d) x = –3/2

19x

5%7x

3%4

0 1

0 1

0 1

2

0 1

2

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

10– 1

0 1

2

0 1

31– 1– 3

0 1

20– 2

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TEMA 2. ÁLGEBRA 103

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114. Resuelve los siguientes sistemas:

115. Un ángulo de un rombo mide el doble que cada uno delos contiguos.¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de di-cho rombo?

116. Un tren sale de una ciudad A hacia otra ciudad B,que dis-ta 600 km de A, con una velocidad de 80 km/h; a la mis-ma hora sale de la ciudad B con dirección a la ciudad Aotro tren a 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encon-trarse? ¿A qué distancia de la ciudad A se encuentran?

117. Halla las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendoque el perímetro mide 34 m,y la diagonal, 13 m

Solución:

x + y = 17x2 + y2 = 169

x = 5, y = 12, o bien, x = 12, y = 5Un lado mide 12 m y el otro mide 5 m

Solución:

e = 80t600 – e = 120t

e = 240; t = 3 hTardarán en encontrarse 3 horas.Se encuentran a 240 km de A y a 360 km de B

Solución:

Cada ángulo menor: xCada ángulo mayor: 2x2x + 2 · 2x = 360ºx = 60ºCada uno de los dos ángulosmenores mide 60º, y cadauno de sus contiguos, 120º

Solución:a) x = 2, y = – 1, z = 1 b) x = 9/2, y = 6, z = 15/2

"((#(($

x + y + z = 18x y— = —3 4x z— = —3 5

b)"(((#((($

x y 17— + — + z = —3 4 12x + y z 1—— – — = – —3 2 6x y + z— – —— = 12 6

a)

118. Un número entero más el anterior y más el siguiente esigual a 51. ¿De qué número se trata?

119. La altura de un triángulo equilátero es de 5 m. Calculacuánto mide el lado.

120. El área de una plaza de toros mide 2 827 m2. Calcula elradio de la plaza.

Solución:A = ,R2

,R2 = 2 827R = 30 mR = – 30; este valor no es válido.

Se aplica el teorema de Pitágoras:(x/2)2 + 52 = x2

10%–3x = — m

310%–

3x = –—; este valor no es válido.3

Solución:

Solución:Número entero: xAnterior: x – 1Siguiente: x + 1x + x – 1 + x + 1 = 51 ! x = 17

x

x

2x 2x

BA

Tren 1v = 80 km/ht = t

Tren 2v = 120 km/ht = t

e 600 – eC

"#$

"#$

x

y13 m

Problemas

x/2

x5 m

R

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104 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas121. Halla dos números enteros consecutivos sabiendo que

su producto es 156

122. El cateto mayor de un triángulo rectángulo es 7 unidadesmás largo que el menor y una unidad menor que la hipote-nusa. Calcula las dimensiones de los catetos y de la hipo-tenusa de dicho triángulo rectángulo.

123. Halla las dimensiones de una habitación rectangular de15 m2 de superficie sabiendo que es 2 metros más largaque ancha.

124. El número de días de un año no bisiesto es igual al cua-drado de un número entero,más el cuadrado del siguientey más el cuadrado del siguiente. ¿De qué número enterose trata?

125. Una finca es 5 m más larga que ancha y tiene 750 m2 desuperficie. Calcula las dimensiones de la finca.

126. Halla un número sabiendo que si a dicho número eleva-do a la cuarta potencia le restamos su cuadrado, se ob-tiene 72

127. Halla un número sabiendo que si le sumamos su raíz cua-drada, se obtiene 30

128. Halla un número sabiendo que la suma de su opuesto consu inverso es igual a 5/6

129. Para ir del punto A al punto C, hacemos el recorrido APy luego PC, y andamos en total 19 km. Si la distancia deB a C es de 15 km, ¿a qué distancia de C está el punto P?

Solución:

(15 – x)2 + 62 = (19 – x)2

x = 12,5 km

A

B P C

6 km

Solución:Número: x– x + 1/x = 5/6x = 2/3, o bien, x = – 3/2

Solución:Número: xx + %–

x = 30x = 25

Solución:Número: xx4 – x2 = 72x = 3, x = – 3

Solución:Lado menor: xLado mayor: x + 5x(x + 5) = 750

x = 25, los lados miden 25 y 30 mSi x = –30, se obtiene valores no válidos.

Solución:Nº de días de un año no bisiesto: 365Número: xNúmero siguiente: x + 1Número siguiente del siguiente: x + 2x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = 365x = 10x = –12

Solución:

Lado menor: xLado mayor: x + 2x(x + 2) = 15

Si x = 3, los lados miden 3 y 5 mSi x = –5, se obtienen valores no válidos.

Solución:

Cateto menor: xCateto mayor: x + 7Hipotenusa: x + 8x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2

Si x = 5, los catetos miden 5 y 12, y la hipotenusa, 13Si x = – 3, se obtienen valores no válidos.

Solución:Un número: xEl siguiente: x + 1x(x + 1) = 156Los números pueden ser: 12 y 13, o bien – 13 y – 12

x + 7

x + 8x

x + 2

x

x + 5

x

A

B P C

6 km19 – x

x15 – x

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TEMA 2. ÁLGEBRA 105

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130. Calcula dos números cuya diferencia es 5 y la suma desus cuadrados es 73

131. Un rectángulo tiene 21 cm2 de área y su diagonal midecm. Calcula las dimensiones del rectángulo.

132. Para vallar una finca rectangular de 600 m2 se han utiliza-do 100 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

133. La suma de dos números es 13 y la suma de sus inversoses 13/42. Calcula dichos números.

134. Halla dos números positivos sabiendo que su diferenciaes 4 y su producto es 32

135. La cantidad de un medicamento en la sangre viene dadapor la fórmula c = 50 · 0,85t, donde c se mide en mili-gramos y t en horas. Si cuando la cantidad baja de 14 mgse tiene que administrar una nueva dosis, ¿cada cuántotiempo hay que administrar las dosis? Redondea el tiem-po a horas.

136. Un cultivo de bacterias crece según la fórmula y = 2t/5, don-de y es el número de miles de bacterias y t se mide en ho-ras. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que hayamás de 28000 bacterias?

137. La longitud de la circunferencia de un árbol crece segúnla fórmula c = 0,05e0,2t, donde c es la longitud de la cir-cunferencia medida en metros, y t, el número de años.¿Cuántos años tardará en medir 1 m?

138. Una determinada alga cuya superficie es de 0,5 m2 se du-plica cada semana. Se colocan cinco de estas algas en unlago de 6 km2. ¿Cuánto tiempo tardarán en colonizar to-do el lago?

Solución:5 · 0,5 · 2t = 6 · 106

log 2,5 + t log 2 = 6 + log 66 + log 6 – log 2,5

t = ——= 21,19log 2

Tardarán aproximadamente 21 semanas.

Solución:0,05e0,2t = 1L 0,05 + 0,2t = 0

L 0,05t = –— = 14,980,2

Tardará casi 15 años.

Solución:2t/5 = 28 000t

— log 2 = log 28 0005

5 · log 28 000t = —— = 73,87

log 2Deben transcurrir casi 74 horas.

Solución:50 · 0,85t = 14log 50 + t log 0,85 = log 14

log 14 – log 50t = —— = 7,8

log 0,85Cada 8 horas.

Solución:x – y = 4xy = 32x1 = 8, y1 = 4x2 = – 4, y2 = – 8Como se piden valores positivos, la solución negativa noes válida.

Solución:x + y = 131 1 13— + — = —x y 42x = 6, y = 7; o bien x = 7, y = 6

Solución:

xy = 600x + y = 50

x = 30, y = 20; o bien x = 20, y = 30Las dimensiones de la finca son 30 m y 20 m

Solución:

xy = 21x2 + y2 = 58x = 7, y = 3; o bien x = 3, y = 7Las dimensiones del rectángulo son 7 cm y 3 cmEl resto de soluciones no son válidas.

%58

Solución:Números: x e y

x – y = 5x2 + y2 = 73

Los números son 8 y 3, o bien – 3 y – 8

"#$

"#$

"#$

"#$

x

y%-58

x

y

"(#($

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106 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas139. La mitad de un número más su cuadrado es menor de

39. ¿Qué valores puede tomar dicho número?

140. El perímetro de un rectángulo mide 24 m. ¿Qué valorespueden tomar los lados para que la superficie sea mayorde 32 m2?

141. Halla cuándo es positiva la función: f(x) = –x2 + 5x – 4

142. Halla cuándo es negativa la función: f(x) =

143. En la ecuación de 2º grado x2 + 4x + c = 0, determinaqué valores debe tomar c para que:a) tenga una sola raíz real.b) tenga dos raíces reales.c) no tenga raíces reales.

144. En una familia de tres miembros ingresan entre los tres3 250 ! al mes.La madre gana el doble que el hijo y el hi-jo gana el 75% del sueldo del padre. ¿Cuál es el salario decada uno?

145. Una colección de 126 discos se ha dividido en tres par-tes. La primera tiene el doble de discos que la segunda, yentre las dos primeras suman la mitad de la colección.¿Cuántos discos tiene cada parte?

146. Se han comprado 2 500 acciones de tres empresas a 12 !,10 ! y 15 !, respectivamente, cada acción. Si el capitalinvertido es de 30 000 ! y el número de acciones de laprimera empresa supone un 40% del total, ¿cuántas ac-ciones se han comprado de cada empresa?

147. De una cierta cantidad de dinero se ha gastado primerola mitad, y luego la tercera parte de lo que quedaba, y aúnquedan 4 000 !. ¿Cuánto dinero había inicialmente?

148. Hoy la edad de un padre es 6 veces la de su hijo, y den-tro de 9 años la edad del padre será el triple de la edadde su hijo. ¿Cuántos años tiene hoy cada uno?

Solución:

6x + 9 = 3(x + 9)x = 6La edad del hijo hoy: 6 años.La edad del padre hoy: 36 años.

Solución:x 1 x— + — · — + 4 000 = x2 3 2x = 12 000 "

Solución:De 12 ": x De 10 ": y De 15 ": z

x + y + z = 2 50012x + 10y + 15z = 30 000

x = 0,4 · 2 500x = 1000 acciones de 12 "y = 900 acciones de 10 "z = 600 acciones de 15 "

Solución:Primera: 2xSegunda: x2x + x = 63x = 21Primera: 42 discos.Segunda: 21 discos.Tercera: 63 discos.

Solución:Padre: x Hijo: 0,75 x Madre: 1,5 xx + 0,75x + 1,5x = 3 250x = 1 000 "Padre: 1 000 " Hijo: 750 " Madre: 1 500 "

Solución:! = 16 – 4ca) 16 – 4c = 0 ! c = 4b) 16 – 4c > 0 ! c < 4c) 16 – 4c < 0 ! c > 4

Solución:x2 – 4—< 0

x(– &, – 2) U (0, 2)

x2 – 4x

Solución:– x2 + 5x – 4 > 0En el intervalo: (1, 4)

Solución:Base: xAltura: 12 – xx(12 – x) > 32Los números del intervalo abierto: (4, 8)

Solución:x/2 + x2 < 39Los números del intervalo abierto: (– 13/2, 6)

"(#($

Ahora

Hijo x

Padre 6x

Dentro de 9 años

x + 9

6x + 9

Page 22: AT00065503 02 t02 PDmat1bachCC · Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) x 2 + 5x b) x + 2x + 1 c) x 2 – 6x + 9 d) x – 16 Solución:

TEMA 2. ÁLGEBRA 107

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ño, S

.L.

149. Los lados de un triángulo rectángulo son números quese diferencian en cinco unidades. Calcula las longitudesde dichos lados.

Para profundizar

150. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) |2x + 3| = 5b) |–3x + 5| = |x – 7| c) |x2 + 5| = 9d) |x2 – 1| = 8

151. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) |x2 – 5x| = 6b) |x2 + 7| = 2c) |x2 – x| = 12d) |2x2 + 5x| = 3

152. La suma de un número par más el par anterior y más elimpar siguiente es 77. ¿De qué número se trata?

153. Dos grifos llenan un depósito en dos horas. Si uno echael doble de agua que el otro, ¿cuánto tiempo tardaría enllenar el depósito cada grifo?

154. Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones al-gebraicas:

a) para x = 3 b) para x = –2

155. Halla dos números enteros consecutivos, sabiendo quesu producto dividido por su suma es igual a 6/5

Solución:Números: x, x + 1x(x + 1) 6—= — ! x = 2x + x + 1 5Los números son: 2 y 3Aparece también la solución x = – 3/5, pero no es unnúmero entero.

Solución:

a) Se obtiene 0/0; se puede simplificar previamente.x2 – 6x + 9 (x – 3)2 x – 3—— = —— = —

x2 – 9 (x + 3)(x – 3) x + 3Se obtiene: 0

b) Se obtiene 0/0; se puede simplificar previamente.x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x + 1—— = —— = —x2 – x – 6 (x + 2)(x – 3) x – 3

Se obtiene: 1/5

x2 + 3x + 2x2 – x – 6

x2 – 6x + 9x2 – 9

Solución:

Volumen del depósito: 2(x + 2x) = 6xTiempo grifo 1 del caudal menor:xt1 = 6x ! t1 = 6 horas.Tiempo grifo 2 del caudal mayor:2xt2 = 6x ! t2 = 3 horas.

Solución:Número par: 2xPar anterior: 2x – 2Impar siguiente: 2x + 12x + 2x – 2 + 2x + 1 = 77x = 13Número par: 26 Par anterior: 24 Impar siguiente: 27

Solución:a) x2 – 5x = 6 ! x1 = 6, x2 = – 1

x2 – 5x = – 6 ! x1 = 2, x2 = 3b) x2 + 7 = 2 ! No tiene solución real.

x2 + 7 = – 2 ! No tiene solución real.c) x2 – x = 12 ! x1 = 4, x2 = – 3

x2 – x = – 12 ! No tiene solución real.d) 2x2 + 5x = 3 ! x1 = – 3, x2 = 1/2

2x2 + 5x = – 3 ! x1 = – 1, x2 = – 3/2

Solución:a) 2x + 3 = 5 ! x = 1

2x + 3 = – 5 ! x = – 4b) – 3x + 5 = x – 7 ! x = 3

– 3x + 5 = – x + 7 ! x = – 1c) x2 + 5 = 9 ! x1 = 2, x2 = – 2

x2 + 5 = – 9 ! No tiene solución real.d) x2 – 1 = 8 ! x1 = 3, x2 = – 3

x2 – 1 = – 8 ! No tiene solución real.

Solución:

Cateto menor: xCateto mayor: x + 5Hipotenusa: x + 10

x2 + (x + 5)2 = (x + 10)2

Si x = 15, los catetos miden: 15 y 20; la hipotenusa mide30Si x = – 5, se obtienen valores no válidos.

x + 5

x + 10x

Caudal

Grifo 1 x

Grifo 2 2x

Tiempot1

t2

Volumenxt1

2xt2

Page 23: AT00065503 02 t02 PDmat1bachCC · Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) x 2 + 5x b) x + 2x + 1 c) x 2 – 6x + 9 d) x – 16 Solución:

108 SOLUCIONARIO

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ño, S

.L.

Ejercicios y problemas156. Halla dos números enteros consecutivos, sabiendo que

su suma más la raíz cuadrada de su suma es igual a 30

157. Las diagonales de un rombo son proporcionales a 3 y 2.El área del rombo mide 243 cm2. Calcula las diagonalesdel rombo.

158. La fórmula de revalorización de un sueldo viene dada porS = s(1 + r)t, donde S es el sueldo final, s el sueldo inicial,r el tanto por uno y t el número de años. Calcula el nú-mero de años que tienen que transcurrir para que un suel-do anual de 20000 !,con una revalorización del 3,5 % anual,se transforme en 30000 !

159. En un lago artificial se introducen 85 truchas, que se re-producen según la fórmula N = 85e2t, donde N es el nú-mero de truchas y t el número de años. ¿Cuánto tiempotiene que transcurrir para que haya más de un millón detruchas?

160. La población de una ciudad viene dada por la fórmulap = 2e0,005t, donde p es el número de millones de habi-tantes, y t, el tiempo en años. Calcula cuántos años tie-nen que transcurrir para que la población sea de 2,5 mi-llones de habitantes.

161. La población de una cierta especie animal en peligro deextinción se reduce según la fórmula P = 5 000 · 2–0,3t,donde P es la población final, y t, el número de años. Si

se considera que la extinción es inevitable si hay menosde 100 ejemplares, ¿en cuántos años se alcanzará el pun-to en el que se considera que la extinción es inevitable?

162. El polonio tiene un período de semidesintegración de 140días, es decir, cada 140 días se transforma en la mitad desu peso. Si tenemos 200 g de polonio, ¿en cuánto tiempose transformará en 25 g?

163. En la actualidad la edad de un padre es el triple de la desu hijo, y dentro de 15 años la edad del padre será el do-ble de la edad de su hijo. ¿Cuántos años tienen en estemomento el padre y el hijo?

164. Halla el radio de la sección de un tronco de un árbol pa-ra que tenga 1 m2 de área.

165. Halla dos números impares consecutivos cuyo productosea 323

Solución:Números impares consecutivos: 2x + 1, 2x + 3(2x + 1)(2x + 3) = 323 ! x1 = 8, x2 = – 10Los números son: 17 y 19, o bien – 19 y – 17

Solución:1

A = ,R2 ! ,R2 = 1 ! R = — = 0,56 m = 56 cm%—,

Solución:

3x + 15 = 2(x + 15) ! x = 15Edad del hijo ahora: 15 años.Edad del padre ahora: 45 años.

Solución:200 · (1/2)t = 25log 200 – t log 2 = log 25

log 200 – log 25t = ——= 3

log 2Tiempo: 3 · 140 = 420 días.Serán 3 períodos.

Solución:5 000 · 2– 0,3t = 100log 5 000 – 0,3t log 2 = 2

log 5 000 – 2t = —— = 18,81

0,3 log 2Se alcanzará a los 18,81 años.

Solución:2e0,005t = 2,5L 2 + 0,005t = L 2,5

L 2,5 – L 2t = —— = 44,60,005

Deben transcurrir 44,6 años.

Solución:85e2t = 1 000 000 ! t = 4,69 años.

Solución:20 000 · 1,035t = 30 000 ! t = 11,79 años.

Solución:

x y— = —3 2 x = 27, y = 18xy Las diagonales miden: 27 cm y 18 cm— = 2432

Las soluciones negativas no tienen sentido.

Solución:Números: x, x + 1x + x + 1 + %—x + x + 1 = 30 ! x = 12Los números son: 12 y 13

"((#(($

Ahora

Hijo x

Padre 3x

Dentro de 15 años

x + 15

3x + 15

Page 24: AT00065503 02 t02 PDmat1bachCC · Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) x 2 + 5x b) x + 2x + 1 c) x 2 – 6x + 9 d) x – 16 Solución:

TEMA 2. ÁLGEBRA 109

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toria

l Bru

ño, S

.L.

166. Una finca rectangular tiene de superficie 759 m2 y se ne-cesitan 112 m de cerca para vallarla. Calcula las dimen-siones de la finca.

167. Las edades de Óscar y su madre suman 65 años, y den-tro de cinco años la edad de la madre será el doble quela de Óscar.¿Qué edad tienen en ese momento cada uno?

168. Se mezcla café del tipo A de 6 "/kg con café del tipo B de4,5 "/kg para obtener una mezcla de 60 kg a 5 "/kg.¿Cuán-tos kilogramos de café debemos tomar de cada tipo?

169. Un camión sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, quedistan 800 km entre sí, con una velocidad de 70 km/h;dos horas más tarde sale de la misma ciudad A con di-rección a la ciudad B un coche a 110 km/h.¿Cuánto tiem-po tardará en alcanzar el coche al camión? ¿A qué dis-tancia de la ciudad A lo alcanzará?

Solución:

Camión Cochee: e e: ev: 70 km/h v: 110 km/ht: t t: t – 2e = vt e = vte = 70t e = 110(t – 2)

Hay que resolver el sistema:

e = 70te = 110(t – 2)

t = 5,5 h = 5 h 30 min ! e = 70 · 5,5 = 385 km

Solución:Tipo A: x a 6 "/kg Tipo B: 60 – x a 4,5 "/kg6x + 4,5(60 – x) = 60 · 5 ! x = 20 kgTipo A: 20 kg Tipo B: 40 kg

Solución:

x + y = 65y + 5 = 2(x + 5)

x = 20, y = 45

Edad Óscar ahora: 20 años.Edad de la madre ahora: 45 años.

Solución:2x + 2y = 112xy = 759

x = 33, y = 23; o bien x = 23, y = 33

La finca mide 33 m . 23 m

"#$

"#$

"#$

BA

Camiónv = 70 km/ht = t

Cochev = 110 km/ht = t – 2

ee C

Ahora

Óscar x

Madre y

Dentro de 5 años

x + 5

y + 5